厄米算符本征值和本征函数
量子力学中的力学量 Ⅲ. 连续谱本征函数的“归一化”Ⅵ . 算符的共同本征函数
2. 本征函数的封闭性也可看作 (x)
函数按本征函数展开，而展开系数恰为本
征函数的复共轭。
(x x) cxnn (x)
n
c
x n
*n (x)(x x)dx *n (x)
(x x) n (x)*n (x)
n
Ⅳ . 算符的共同本征函数 一次测量有一“涨落”
A Aˆ 2 (,Aˆ 2) (,(Aˆ Aˆ )2)
是不对的 。仅当 a2 0 才成立。
3. 函数的导数 函数具有任何级的导数，可以证明
(n)(x x0 )f (x)dx (1)nf (n)(x0 )
(m) (x) (1)m (m) (x)
(m) (y x)(n) (x a)dx (mn) (y a)
x(n) (x) n(n1) (x)
Ⅵ . 算符的共同本征函数 A. 算符“涨落”之间的关系 B. 算符的共同本征函数组
B. 函数 1. 函数的定义和表示 函数不是一般意义下的函数，而
是一分布。但习惯上仍将它看作一函数。
其重要性和意义在积分中体现出来 它可用一函数的极限来定义
（1）
(x)
0
x0 x0
（2）
b
a
f
(x)(x
第十讲回顾
第四章 量子力学中的力学量 Ⅰ. 表示力学量算符的性质
D. 厄米算符 E. 厄米算符的性质 Ⅱ. 厄米算符的本征值和本征函数 A. 算符的本征方程
B. 力学量算符的本征值和本征函数 性质
C. 测量结果的概率 D. 直接可观测的力学量的本征函数
构成一完备组。 Ⅲ. 连续谱本征函数的“归一化”
cnn
n
Ⅲ. 连续谱本征函数的“归一化”
A. 连续谱本征函数“归一化”
第一讲算符及其本征值与本征函数
pz z 1 p z ( z ) e 1/ 2 (2)
i
三、算符运算规则及线性厄米算符
一、算符相等：对任意函数Ψ，若 A B ˆB ˆ 则： A ˆ ˆ ˆ ˆ ( A B ) A B 二、算符和与差： ˆB ˆ (B ˆ A ˆ ) 三、算符乘： A 四、线性算符： ˆ (c c ) c A ˆ c A ˆ 成立，则 A ˆ 是线性算符。 若 A 1 2 1 2 • 五、泊松括号与算符对易： • • • • •
2 2 2 2 ˆ ˆ i ˆ U ˆ ˆ ,T E T U ( r ) H ,U (r ) U (r ) t 2m 2m ˆ i i ( i j k ), P ˆ 2 2 2 P x y z ˆ i , P ˆ i , P ˆ i P x x x x x x ˆ xi ˆ yj ˆ zk ˆ xi yj zk r r
ˆ *1 (r )Px 2 (r )d *1 (r )(i x ) 2 (r )d 2 dydz *1 (i ) dx x *1 dydz (i ) *1 2 2 dx x dydz 0 2 (i ) *1 dx x
简并度
• 不同的算符一般有不同的本征函数系和本征值谱， 因为算符不同，本征方程的数学形式不同，因而 方程解的函数形式不同。 ˆ 的某一本征 ˆ 的本征方程时，可能得出 A • 当解 A 值对应的不止一个是一个本征函数，而是f个线性 无关的本征函数，则称该本征值有f度简并，并且 属于该本征值的本征函数也有f个。 • 这时，当粒子处于该f个态中的任何一个，力学量 的值都是一样的。即：
厄米算符的本征值和本征函数
厄米算符的本征值和本征函数厄米算符的本征值和本征函数是一种量子力学中非常重要的概念，它们可用于解释原子、分子和其他微观物体上的各种物理性质。
它们也是量子力学方程中最重要的部分，因为它们可以用来描述物体在不同情况下的行为。
厄米算符本征值(eigenvalue)是一个复数值，它代表了对应算符作用在相应状态上得到的实际结果。
这个数值由施加到物体上的力或能量决定，而不同的力和能量会产生不同的本征值。
厄米算符本征函数(eigenfunction)是一个复数函数，它代表了对应的状态的形式，它包含了物体的物理性质，比如其位置、运动和能量等信息。
它们可以用来描述物体在不同情况下的行为，并且可以用来解释物理系统的演化和发展。
比如，厄米算符本征函数可以用来描述原子核的结构，以及电子在量子力学中的行为等。
厄米算符本征值和本征函数之间具有密切的关系，它们是相互依赖的。
它们可以用来解释一个物理系统的行为，以及相关物理性质的变化。
比如，厄米算符本征值可以用来表示量子力学系统中电子所处的能量状态，而本征函数则可以用来描述这些状态的形式，从而可以解释该系统的物理性质和行为。
厄米算符本征值和本征函数的计算通常需要解决复杂的方程，这些方程的形式取决于描述原子、分子等物体的力学模型。
比如，如果要求解原子核的本征值和本征函数，就需要解决相应的核力学方程。
厄米算符本征值和本征函数在量子力学中有着重要的作用，它们可以用来解释原子、分子和其他微观物体的物理性质和行为。
它们可以用来识别物体的能量状态，从而可以解释物理系统的演化和发展。
此外，厄米算符本征值和本征函数的计算也是量子力学的重要组成部分，它们可以用来描述物理系统的行为。
厄米算符的本征值与本征函数
即属于动量算符不同本征值的两个本征函数ψ pv′ 与ψ pv 相互正交。这是所有厄密算符的本征函数所共
有的。
2). 线性谐振子能量本征函数组成正交归一系
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
线性谐振子的能量本征函数
−1α 2x2
ψ n = N ne 2 H n (αx)
∫ 组成正交归一系：
∞ψ
−∞
n*ψ
n′ dx
=
δ
nn′
3). 角动量本征函数组成正交归一系
综合上述讨论可得如下结论：既然厄米算符本征函数总可以取为正交归一化的，所以以后凡是
提到厄米算符的本征函数时，都是正交归一化的，即组成正交归一系。
6. 实例
1). 动量本征函数组成正交归一系
∫ψ *pv′ (rv)ψ pv (rv)drv = δ ( pv − pv ′)
当 pv ≠ pv ′ 时，
∫ψ *pv′ (rv)ψ pv (rv)drv = 0
1). 正交性的定义
∫ 如果两函数ψ1和ψ2满足关系式 ψ 1*ψ 2dτ = 0 ，则称ψ1和ψ2相互正交。
2). 定理 III：厄米算符属于不同本征值的本征函数彼此正交。（证明）
∫ ∫ ( Aˆψ m )*ψ ndτ = Am ψ m*ψ ndτ
∫ ∫ ∫ ( Aˆψ m )*ψ ndτ =
ψ
* m
2. 厄米算符的本征方程 1) . 涨落
涨落定义为 (ΔA)2 = ( Aˆ − A)2
证明: (ΔA)2 = ( Aˆ − A)2 ≥ 0
2) . 力学量的本征方程 若体系处于一种特殊状态，在此状态下测量 A 所得结果是唯一确定的，即：
(ΔA)2 = 0
则称这种状态为力学量 A 的本征态。
量子力学——算符（精品pdf）
算符
目录
一、位置算符
1.1 厄米算符 1.2 （位置算符）本征值与本征函数
1.3 正则对易关系
二、动量算符
2.1 动量算符导引 2.2 （动量算符）本征值与本征函数
七、自旋算符
7.1 概论 7.2 发展史 7.3 自旋量子数
7.3.1 基本粒子的自旋 7.3.2 亚原子粒子的自旋 7.3.3 原子和分子的自旋
中心的角色。角动量，动量，与能量是物体运动的三个基
本特性
目录 3.1 简介 3.2 数学定义 3.3 角动量是厄米算符 3.4 对易关系
3.4.1 角动量算符算符与自己的对易关系 3.4.2 角动量平方算符与角动量算符之间的对易关系 3.4.3 哈密顿算符与角动量算符之间的对易关系 3.4.4 在经典力学里的对易关系 3.5 (角动量)本征值与本征函数
目录 1.1 厄米算符 1.2 本征值与本征函数 1.3 正则对易关系
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1.1厄米算符
由于每一种经过测量而得到的物理量都是实值的。所以，可观察量 O 的期望值是 实值的：
对于任意量子态 ，这关系都成立：
根据伴随算符的定义，假设 是 的伴随算符，则
因此，
这正是厄米算符的定义。所以，表示可观察量的算符 ，都是厄米算符。
2.3 厄米算符 2.4 正则对易关系
7.3.4 自旋与统计
7.4 自旋的方向
三、角动量算符
3.1 简介 3.2 数学定义 3.3 角动量是厄米算符 3.4 对易关系
3.4.1 角动量算符算符与自己的对易关系 3.4.2 角动量平方算符与角动量算符之间的对易关系 3.4.3 哈密顿算符与角动量算符之间的对易关系
经过一番繁杂的运算，终于得到想要的方程
力学量和算符
第三章 力学量和算符内容简介：在上一章中，我们系统地介绍了波动力学，它的着眼点是波函数 。
用波函数描述粒子的运动状态。
本章将介绍量子力学的另一种表述，它的着眼点是力学量和力学量的测量，并证实了量子力学中的力学量必须用线性厄米算符表示。
然后进一步讨论力学量的测量，它的可能值、平均值以及具有确定值的条件。
我们将证实算符的运动方程中含有对易子，出现 。
§ 3.1 力学量算符的引入 § 3.2 算符的运算规则§ 3.3 厄米算符的本征值和本征函数 § 3.4 连续谱本征函数§ 3.5 量子力学中力学量的测量 § 3.6 不确定关系 § 3.7 守恒与对称在量子力学中。
微观粒子的运动状态用波函数描述。
一旦给出了波函数，就确定了微观粒子的运动状态。
在本章中我们将看到：所谓“确定”，是在能给出概率以及能求得平均值意义下说的。
一般说来。
当微观粒子处在某一运动状态时，它的力学量，如坐标、动量、角动量、能量等，不同时具有确定的数值，而具有一系列可能值，每一可能值、均以一定的概率出现。
当给定描述这一运动状态的波函数 后，力学量出现各种可能值的相应的概率就完全确定。
利用统计平均的方法，可以算出该力学量的平均值，进而与实验的观测值相比较。
既然一切力学量的平均值原则上可由 给出，而且这些平均值就是在 所描述的状态下相应的力学量的观测结果，在这种意义下认为，波函数描写了粒子的运动状态。
力学量的平均值对以波函数(,)r t ψ 描述的状态，按照波函数的统计解释，2(,)r t ψ表示在t 时刻在 r r d r →+中找到粒子的几率，因此坐标的平均值显然是:()2*(,)(,)(,) 3.1.1r r t rdr r t r r t dr ψψψ∞∞-∞-∞==⎰⎰坐标r 的函数()f r的平均值是：()()()*(,)(,) 3.1.2f r r t f r r t dr ψψ∞-∞=⎰现在讨论动量的平均值。
第四章 力学量用厄米算符表达
ˆ ˆ ˆ Fψ = Aψ + Bψ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 称算符 F 等于 A 与 B 之和。写作 F = A + B
。
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 例3：哈密顿算符 H = T + V 就是动能算符 T 与势能算符 V
之和。算符求和满足交换律与结合律，
ˆ ˆ ˆ ˆ A+ B = B + A
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ A + ( B + C ) = ( A + B) + C
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ l = r × p = r × (−i ∇) = −i r × ∇
如果没有经典力学表达式的量子力学力学量，比如电子的自旋， 它的算符由量子力学独立建立。
Atomic physics and quantum mechanics
9
三
算符运算的基本性质
定义1：线性算符
由于态叠加原理，在量子力学中的力学量算符应是线性算符， 所谓线性算符，即是具有如下性质
式中c1、c2为任意常数。
Atomic physics and quantum mechanics
20
定义9：转置算符
ˆ ˆ 算符 A 的转置算符 AT 定义为
ˆ Tφ = dτφ Aψ ∗ ˆ dτψ ∗ A ∫ ∫ ˆ ˆ (ψ , ATφ ) = (φ ∗, Aψ ∗)
式中 ψ 与 例5：证明
∫
+∞ −∞
⎡⎛ ∂ ⎞ T ∂ ⎤ dxψ ∗ ⎢⎜ ⎟ + ⎥ φ = 0 ∂x ⎥ ⎢ ⎝ ∂x ⎠ ⎣ ⎦
ψ ∗, φ 任意
∂ ⎛ ∂ ⎞ + =0 ⎜ ⎟ ∂x ⎝ ∂x ⎠
21
T
Atomic physics and quantum mechanics
物理-线性厄米算子 力学量算子
Lx ypz zpy Ly zpx xpz Lz xpy ypx
即：
Lˆx ypˆ z zpˆ y i
(y z ) z y
Lˆ y zpˆ x xpˆ z i
(z x ) x z
Lz
xpˆ y ypˆ x i
(x y ) y x
Lˆ x
-i
(y z ) z y
x
xˆ,
p
i
Tˆ 2 2 2m
量子力学的第四条基本假设：
量子力学中的每个力学量 F 都用一个线性厄米算子 Fˆ 表示。测量力学量 Fˆ 的可能值谱就是算子Fˆ 的本征值
谱；仅当系统处在 Fˆ 的某个本征态 n时，测量力学量 F 才能得到唯一确定的结果Fn，即算子Fˆ 属于本征态 n
的本征值。
[xˆ j , pˆi ] i ij i, j x, y, z
根据对不同变量的微分可交换，有 [ pˆi , pˆ j ] 0 i, j x, y, z
[xˆi , xˆ j ] 0 i, j x, y, z
[Aˆ , Bˆ ] Aˆ Bˆ BˆAˆ
不难证明，对易子满足下列恒等式：
1, 2 是两个任意波函数, , 是两个任意常数。
厄米算子：
对两个任意波函数 (x)和 (x)，算子 Fˆ 还具有性质：
*(x)Fˆ(x)dV (x)[Fˆ (x)]*dV
称 Fˆ 是厄米算子。 例：验证动量算子 pˆ i 是线性厄米算子。
证明：取它的一个分量,它的线性性可由微分算子线性看
d dx
(
x)
i
(x) xpˆ x (x)
[xpˆ x pˆ x x] (x) i (x)
由于 (x)是任意波函数
[xpˆ x pˆ x x] i
H(三章2讲)算符本征函数系【优质PPT】
第三章：量子力学中的力学量
第二讲：算符本征函数系
一、所有力学量算符都是线性厄密算符
Aˆ
(c11
c2 2 )
c（1 Aˆ 1） c（2 Aˆ
）
2
Ψ*Aˆ dτ= (Aˆ Ψ)* dτ
(, Aˆ ) (Aˆ , )
二、（厄密）算符对易式
0, 称 为 不 对 易
4. 知道体系初始时刻的态函数及其所处的力场，通过解薛定 谔方程即可确定以后各时刻的体系的态函数。
作业：1.
２.证明 厄米算符本征函数的正交归一性。 ３. 试述波函数是Hilbert空间的一个矢量
正因为如此，我们常称波函数为态矢量！
tips:若本征函数本来是归一的，可以把正交与归一合并
本征分立谱：
n * nd 1
m * nd 0
定义：mn＝1， m n
0, m n
即：
m
* nd
mn
( m , n ) mn
三、厄密算符的本征方程
定义：
Aˆ a
如上式，若厄密算符作用于一波函数，结果等于一个常数乘以 这个波函数，则称这个方程为厄密算符的本征方程。
并称a 是Aˆ 的本征值， 为属于a 的本征函数，
测量公设：在任意态下对力学量A进行测量，其测量值必是 相应于算符Aˆ 的本征值{an}之一 ；当体系处于算符A的某一本 征态 n 时，则每次测量值是完全确定的，即为an
cnn n
(n (x ''),n (x ')) (x '' x ')
封闭性：
(n (x ''),n (x ')) (x '' x ')
量子物理-厄米算符
A n A m m , n 0 Am Am m,n0
厄米算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交。
如果所考虑的本征函数是归一化的，则有：
n2dn *ndn,n 1
正交归一性可以统一写成
m,nmn
2021/4/4
4
角动量的本征值问题
在球坐标系下考虑角动量的 z 分量的本征值问题。
ilz Cexpi lz
2m
对于自由运动，能量本征值可以取一切非负的实数值。
对应于一个非零的能量本征值 E0
有两个不同的的本征态 ~exp ikx
粒子做自由运动时的能量本征态是二重简并的。
2021/4/4
8
感谢您的阅读收藏，谢谢！
2021/4/4
9
定义如下函数
并数2取021p/“41/4归p一2 化” 0系,,ppC11 pp2221动一量化本征*函p数pd按x以下方p式p7归
自由粒子的能量本征值问题
当粒子沿直线自由运动 时，其哈密顿量为：
H px2
2
2
2m 2mx2
2m2 2x2 E 2x2 2m 2 Ek 20 k20
xC ex ik pxE k 22
2
e
xpi
2
lz
1
lz m
C ex im p m 0 , 1 , 2 , ,
2
2
2
n 2d C2d C 2 d 2 C 2 1
0
0
0
C
1
2
20m m *ndn2120e周in期m性d边条件0
2
m*nd mn
0
2021/4/4
5
平面转子的能量本征值问题
考虑绕 z 轴转动的平面
第12讲厄米算符的本征值和本征函数、算符与力学量的关系分析
二式相 减 得：
(Fm Fn ) m *nd 0
(Fˆm )*nd m * Fˆnd Fn m *nd
（2）分立谱、连续谱正交归一表示式
若m≠Fn， 则必有：
m *nd 0
[证毕]
1. 分立谱正 交归一条 件分别为：
n *nd 1
m *nd 0
m *nd mn
2. 连续谱正 交归一条 件表示为：
c * d 2 * Fˆ 1 c d1 * Fˆ 2
式右 d (Fˆ )* d (Fˆ [ 1 c 2 ]) *[ 1 c 2 ] d (Fˆ 1 )* 1 | c |2 d (Fˆ 2 )* 2
c * d (Fˆ 2 )* 1 c d (Fˆ 1 )* 2
[ d1 * Fˆ 1 ]* | c |2 [ d 2 * Fˆ 2 ]* c * d (Fˆ 2 )* 1 c d (Fˆ 1 )* 2
Fˆni Fnni
i 1,2,, f
一般说来，这些函数 并不一定正交。
但是
可以证明由这 f 个函数可以线性组合成 f 个独立的新函数， 它们仍属于本征值 Fn 且满足正交归一化条件。
证明
由这 f 个φn i 线性组合成 f 个新函数 ψn j
二式相减得： d2 * Fˆ1 d (Fˆ 2 )*1
所得二式正是厄密算符的定义式， 故逆定理成立。实验上的可观测 量当然要求在任何状态下平均值 都是实数，因此相应的算符必须 是厄密算符。
（二）厄密算符的本征方程
（1）涨落
(F )2 (Fˆ F )2 *(Fˆ F )2d
证明：
Fˆ 因为是厄密算符 F 必为实数 因而 Fˆ F 也是厄密算符
根据定理 I
F d n * Fˆ n Fn d n * n Fn
厄米算符的本征值与本征函数
19
四、角动量的本征值与本征函数（3）
2、角动量 z 分量的本征值与本征函数(1)
设本征值与本征函数为 和 lz ，本征方程为：
i
lz
ln
ilz /
解为： () C exp( ilz / ) 其中 C 为归一化常数
当 2 ，系统将回到原来的位置，由波函数的
单值性要求，有： ( 2 ) () ，即：
A ，可能
出现各种不同的结果，根据概率论，所得结果的平均将趋
于一个确定值，即平均值（期望）：A ， A *Aˆd 3r 每次测量结果则围绕平均值有一个涨落（方差）。定
义为： Aˆ 2 ( Aˆ A)2 *( Aˆ A)2d 3r
因为 Aˆ 是厄米算符，A 必为实数，因此 Aˆ 也是厄米算符 Aˆ ( Aˆ A) Aˆ A Aˆ A Aˆ
exp( ilz ( 2 ) / ) exp( ilz / ) e(2ilz /) 1 lz m, m 0,1,2 是量子化的
相应的本征函数： m () Ceim , m 0,1,2 20
四、角动量的本征值与本征函数（4）
2、角动量 z 分量的本征值与本征函数(2)
由归一化条件，有：
根据前述的推论2：Aˆ 2 *( Aˆ A)2d 3r 0
7
三、厄米算符的本征值与本征函数(2)
1、本征函数（本征态）和本征值（2）
Aˆ 2 *( Aˆ A)2d 3r 0 若 Aˆ 2 *( Aˆ A)2d 3r 0 ，涨落为零，其物理含
义为：测量 A 所得的结果是唯一确定的，换句话说，测量
Aˆ 和
(r)，若Aˆ＋
Aˆ ，即Aˆ
~ Aˆ *
~
则 A 2 *( Aˆ)2d 3r * Aˆ *( Aˆ )d 3r
厄米算符的本征值与本征函数
1、本征值与本征函数
处于ψ 态中，测量力学量A，可得到各种 值，这些值有一定的几率分布。
对于都用ψ来描述其状态的大量相同体系进 行多次测量，所得结果进行统计平均将趋向 于一个确定的值。
见下表：
28
1
(1) A1 p1 A2 p2 A3 p3
A0
(2) A1 p'1 A2 p'2 A3 p'3
p (r)
1 (2 )3/2
ei
p
r
/
为 p/的单色平面波。
28
19
在量子力学中，平面波代表粒子处在动量 一定、在空间各处出现的概率都相同的状态， 这是一种理想化的型。它不能用通常的办 法归一化，而是采用 函数的形式“归一化”。
28
20
(4)一维自由粒子的能量本征态。
则有
px ' (x)
1 ei px ' x/ 2
px '*(x) px "(x) dx ( px ' px")
平面波的“归一化”就用δ函数的形式表示 了出来。
28
18
在三维情况下，动量算符的本征值方程是
i p (r) p p (r)
动量算符的本征值 在直角坐标系中的三个分量px, py和pz 均为实数。动量本征值方程的解是
(A)2 ( Aˆ A)* *( Aˆ A)d | ( Aˆ A ) |2 d 0
如果体系处于一种特殊状态，测量 A 所得 结果唯一确定，即涨落 (A)2 0，
则这种状态称为力学量A的本征态。
28
第12讲厄米算符的本征值和本征函数、算符与力学量的关系
d
d
1
ˆ d ( F ˆ ) * d * F *F 2 2 1 ˆ 1 ) * 2 d ( F 2 ˆ 1
ˆ d ( F ˆ ) * ] [ d ( F ˆ ) * d * F ˆ ] [ d 1 * F 2 1 2 2 1 2 1
（四）实例
（1）动量本征函数组成正交归一系 （2）线性谐振子能量本征函数组成正交归一系
（3）角动量本征函数组成正交归一系
1. Lz 本征函数
2. L2本征函数
（4）氢原子波函数组成正交归一系
§6 算符与力学量的关系
（一）力学量的可能值
（1） 力学量算符本征函数组成完备系
（2） 力学量的可能值和相应几率
i 1 i 1
Fn nj
因为
j , j 1,2, , f
f2 - f(f+1)/2 = f(f-1)/2 ≥ 0，
算符 F 本征值 Fn简并的本质是： 当 Fn 确定后还不能唯一的确定状 态，要想唯一的确定状态还得寻找 另外一个或几个力学量算符，F 算 符与这些算符两两对易，其本征值 与 Fn 一起共同确定状态。
（2）分立谱、连续谱正交归一表示式
1. 分立谱正 交归一条 件分别为： 3. 正交归一系
n * n d 1 m * n d 0
m
* nd 0
[证毕]
m
* n d mn
2. 连续谱正 交归一条 件表示为：
* d ( )
1. ψ nj是本征值Fn的本征函数。
2. 满足正交归一条件的f个新函数ψnj可以组成。 为此只需证明线性 叠加系数 Aji 的个 数 f 2 大于或等于 正交归一条件方程 个数即可。
厄米算符的正交性_第三章
f 2 f ( f 1) 2 ，故可以有许多种方法选 n j 满足上述正交归一化条件式。
综合上述讨论可作如下结论：厄密算符的本征 函数总可取为正交归一化的，并可构成正交归 一完备函数系。
6
2
m ( x) n (x)dx mn
3.5 厄密算符本征函数的正交性（续２）
ˆ （2）角动量分量算符 Lz 的本征函数
1 i m m ( ) e (m 0, 1, 2,) 2
构成正交归 一函数系
2 0
( )m ( )d mm
Fn
有
当 m n 时F
m
* n m d 1 有
n
* m
d 0
可见函数系 { n } 构成一正交归一函数系。 Ex
ˆ （1）线性谐振子能量算符 H 的本征函数
n Nn e
1 2 x2 2
H n ( x) (n 1, 2, 3,)
构成正交归一系
nlm (r, , ) Rnl (r)Ylm ( , ) 组成正交归一函数系
0 0
2x 0
* nlm nlmr 2 sin drdd nn
综合上述三式，可合写成
0 0
2 0
* nlm nlm d nn ll mm
1线性谐振子能量算符的本征函数ex35厄密算符本征函数的正交性续1构成正交归一系2角动量分量算符的本征函数构成正交归一函数系3角动量平方算符的本征函数4氢原子能量算符的本征函数35厄密算符本征函数的正交性续2lmlm构成正交归一函数系nlmnllm组成正交归一函数系1以上的讨论假定了本征值为分立谱
量子力学习题解答-第3章
=c
2.
b * 1 a
ò
f
* 1
( x ) g ( x ) dx + c ò f ( x ) g ( x ) dx = c
展开系数 C ( p, t ) 称为动量表象的波函数，我们可在动量表象用波函数 C ( p, t ) 来研究这个 态。 Y 的性质都是唯一确定的，无论用什么表象研究都是一样的。
ˆ 的本征态为分立谱 f 时， 当力学量 F n Y = å cn f n ,
n
cn = f n Y
ˆ 表象中，可以方便的用矩阵形式来表示各种量子力学的公式。这个表象的波函数（展 在 F ˆ 表示为一个方矩阵 开系数 {c 可表示为一列矩阵，算符 G n } æ c æ G11 G12 1 ö ç c ÷ çG 22 ç 2 ÷ ç 21 G Ψ = ç M ÷ G = ç ... ... ç ÷ ç ç cn ÷ ç Gn1 ... ç M ÷ ç ... ... è ø è
2
测量力学量 Q ，得到的可能结果必是 Q 本征值中的一个，得到 q n 几率为 c n 。对系综测量 力学量 Q （具有大量相同 Y 态系综中的每一个 Y 进行测量）所得的平均值（期待值）为
Q = å qn cn
n
2
ˆ Ydx 计算方法等价。 这与用 Q = ò Y Q
*
ˆ 具有连续谱的本征函数系 如果力学量 Q
a a
1-2-算符及本征值
1(Aˆ 1)dx
eix (i d eix ) dx dx
eix (i)2eixdx
dx x
所以，算符Aˆ 为厄米算符
本征函数、本征值和本征方程
若算符Aˆ 作用于函数 等于一常数a乘以 Aˆ a
则称函数 为算符Aˆ 的本征函数，a为算符Aˆ 的本征值。
Aˆ Bˆ BˆAˆ 一般情况
思考
给出算符Aˆ 的三个例子， 使得Aˆ 满足：Aˆ ex ex
算符(Operater)
线性算符:
Aˆ (c11 c22) c1Aˆ 1 c2Aˆ 2
c1,
c2为任意常数，
1
,
为任意函数
2
以下算符哪些（个）是线性算符？
运算 乘以
取平方根
Aˆ Bˆ
Aˆ Bˆ BˆAˆ 例 Aˆ x
Bˆ d dx
算符对易：Aˆ Bˆ BˆAˆ
例 Aˆ 3 Bˆ d
dx
Aˆ (Bˆf
)
x
d dx
fห้องสมุดไป่ตู้
x
d dx
f
Bˆ( Aˆ f ) d x f f x df
dx
dx
3 d f d 3f dx dx
dx
d (x) adx (x) ln (x) ax C ' (x) eCeax Ceax
作业
通常给字母上加一 ^ 或 [ ]表示算符。
Aˆ 1 2
运算
算符
sin x的作用结果
乘以
x
x sin x
取平方根
sin x
对x求导
厄米算符的对易关系
厄米算符的对易关系 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】§6 - 3 厄米算符的对易关系一 算符的一般运算规则和对易式1 、 算符之和与积1 ) 单位算符I对于任意的波函数，有ψψ=I .(6. 42)2 ) 算符Aˆ和B ˆ相等 如果对于任意的波函数?,都有ψψBAˆˆ=, 则有 B Aˆˆ=. (6. 43) 3 ) 算符Aˆ与B ˆ之和B A ˆˆ+ 对于任意的波函数?，有 ψψψB A B A ˆˆ)ˆˆ(+=+.(6. 44) 显然：A B B A ˆˆˆˆ+=+,(满足交换律)C B A C B Aˆ)ˆˆ()ˆˆ(ˆ++=++,(满足结合律)可证:● 两个线性算符之和仍为线性算符.● 两个厄米算符之和仍为厄米算符。
4 ) 算符Aˆ与B ˆ之积B A ˆˆ 对于任意的波函数?，有)ˆ(ˆ)ˆˆ(ψψB A B A=.(6. 45)问题：两个厄米算符之积是不是厄米算符研究两个算符作用是否与次序有关2、 对易式及其满足的恒等式算符之积一般并不满足交换律，即0ˆˆˆˆ≠-A B B A. ● 对易式的定义A B B A B Aˆˆˆˆ]ˆ,ˆ[-≡.(6. 46)若0]ˆ,ˆ[=B A，则称算符A ˆ与B ˆ对易； 若]ˆ,ˆ[B A? 0，则称算符A ˆ与B ˆ不对易。
● 两个厄米算符之积一般并不是厄米算符，除非这两个厄米算符可对易。
具体而言，若AAˆˆ=+，B B ˆˆ=+，则有 A B A B B A ˆˆˆˆ)ˆˆ(==+++,(6. 47)只有当0]ˆ,ˆ[=B A或B A A B ˆˆˆˆ=时，才有B A B A ˆˆ)ˆˆ(=+,这时两个厄米算符Aˆ与B ˆ的积B A ˆˆ才是厄米算符。
● 对易式满足下列恒等式：]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆˆ,ˆ[C A B A C B A ±=±,]ˆ,ˆ[ˆˆ]ˆ,ˆ[]ˆˆ,ˆ[C A B C B A C B A+=,(6. 48)]ˆ,ˆ[ˆˆ]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆˆ[C B A B C A C B A +=.3、 逆算符1ˆ-A若由φψ=Aˆ 能够唯一地解出?，则有φ1ˆ-A ψ=.若算符Aˆ的逆算符1ˆ-A 存在，则有I A A AA ==--ˆˆˆˆ11. 可以证明，若Aˆ与B ˆ的逆算符均存在，则有111ˆˆ)ˆˆ(---=A B B A .(6. 49)二 学的基量子力本对易式1、动量算符的各个分量之间可对易0]ˆ,ˆ[=y x p p,0]ˆ,ˆ[=z y p p,0]ˆ,ˆ[=x z p p. 由坐标表象中的动量算符为∇-= i ˆp立即可证.2、 量子力学的基本对易式（位置算符和动量算符各分量之间的对易式，重要！）αββαδ= i ],[p x ,其中z y x ,,,=βα或1, 2, 3，这里用了克罗内克符号1,0.αβαβαβ=⎧δ=⎨≠⎩.可见，动量算符的各个分量只与位置算符的不同分量对易0]ˆ,[=y px ,0]ˆ,[=z px , 0]ˆ,[=x py ,0]ˆ,[=z py ,0]ˆ,[=x pz ,0]ˆ,[=y pz ;动量算符的相同分量之间是不可对易的i ]ˆ,[]ˆ,[]ˆ,[===z y x p z p y px . 凡与经典力学量相对应的力学量之间的对易关系，均可由此导出。
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AB BA
（3.3.8）
d.任何算符总可分解为
i
（3.3.9）
令
1
米算符。2
、 1
2i
，则 和 均为厄
3.3 厄米算符的本征值和本征函数
厄米算符的平均值、本征值、本征函数具有下列性质：
① 厄米算符的平均值是实数，因为
*
O
*
m
Om
*
m
由
O m n Om m n
及O的厄米性质，O m n m O n ，及
m O n On m n
3.3 厄米算符的本征值和本征函数
得
(Om On ) m n 0
又因 On Om
得
m n 0
得证。若本征函数是正交归一化的，则有
* dr
*
dr
* dr
*
*
（3.3.10）
② 在任何状态下平均值均为实数的算符必为厄米算符。
③ 厄米算符的本征值为实数。厄米算符在本征态中的平均 值就是本征值。
④ 厄米算符属于不同本征值的本征函数正交。
⑤ 厄米算符的简并的本征函数可以经过重新组合后使它正 交归一化。
成立，而且 1 、 2 为任意波函数。为此令 1 2 ，利
用（1）式得
(1 2 ) O(1 2 ) O(1 2 ) (1 2 )
（2）
因为 O在 1、 2 中的平均值也是实数，所以上式又写为
1 O 2 2 O1 O1 2 O 2 1
（3）
3.3 厄米算符的本征值和本征函数
对 1和 2作变换，令
1 1eia , 2 2eib （ a,b 为任意实数）
代入（3）式后得
ei(ba)[ 1 O 2 O1 2 ] ei(ba)[ O 2 1 2 O1 ]
因为 a,b 任意，上式成立的充要条件为
1 O 2 O1 2
2 O1 O 2 1
因此，O 必为厄米算符。得证。
（4）
3.3 厄米算符的本征值和本征函数
性质 ④ 的证明： O n On n O m Om m
且 On Om (m n) ，因为 O 是厄米算符，它的本征函数
是实数，Om Om* 。本征方程的共轭方程为
px i
的复共轭算符
x
*
px i
x
px
。
3.3 厄米算符的本征值和本征函数
4. 厄米算符
算符
的厄米共轭算符 ，定义为
*
（3.3.5）
则
,
,
*
*, *
*
*
, ,
3.3 厄米算符的本征值和本征函数
2. 转置算符
若算符 满足
* *
（3.3.3）
即
*d r *d r
（3.3.4）
则称 为转置算符。 , 为任意函数。
3.
复共轭算符
*
将算符 中的所有复量均换成它的共轭复量，称为
的复共轭算符*。例如算符
3.3 厄米算符的本征值和本征函数
c.无论厄米算符A 、B 是否对易，算符 1 AB BA 及 1 AB BA
必为厄米算符，因为
2
2i
1
2i
AB BA
1 2i
B
A
1 2i
AB
1 2i
A B B A
1 2i
（3.3.6）
厄米算符具有下列性质：
a.两厄米算符之和仍为厄米算符。
b.当且仅当两厄米算符A 和 B 对易时，它们之积才为厄米算
符。因为
AB B A BA
（3.3.7）
只有在 [A, B] 0 时，BA AB ，才有 AB AB ，即 AB 仍为厄
米算符。
m n
mn
1 0
(m n) (m正交归一。
⑥ 厄米算符的本征函数系具有完备性。
⑦ 厄米算符的本征函数系具有封闭型。
3.3 厄米算符的本征值和本征函数
性质 ② 的证明：由 O O * 得
*
O O O
（1）
上式并不足以说明算符 O 厄米，因为 是同一个态。要
证明 O 厄米，必须按厄米算符的定义，证明 1 O 2 O1 2