31导数的定义PPT课件

科学出版社
注: 1）若
lim
x 0
y x
,
也说函数
y f(x) 在 x 0
处的导数为
无穷大。 2） f '(x0) 就是函数 y f(x)在 x 0 处的变化率。它反映
了函数 y f(x)在 x 0处随自变量x 的变化快慢程度。
3）导数定义的几种等价形式。
f(x0) lx i0m f(x0 xx )f(x0)
两个问题的共性:
所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 .
类似问题还有:
加速度 是速度增量与时间增量之比的极限 变
角速度 是转角增量与时间增量之比的极限 化
线密度 是质量增量与长度增量之比的极限
率 问
电流强度 是电量增量与时间增量之比的极限 题
科学出版社
导数概念
பைடு நூலகம்
定义3.1 设函数 y f(x)在 x 0 的邻域 U(x0,)内有定义，当
存在,
求极限
lim f(x0h)f(x0h).
h 0
2h
解: 是令 原否式t 可 x按0 h l 下0 h 述,则 i f方(x0法m 作h2)h:f ( x0 ) ff((xx00)2(h2f)h(hx)0f ( xh0))
原式 h l12 if0m f(x(t0)22h 12h)f(fx(0t))hfl i(m 0x0f)(t)f(x0)
科学出版社
播放
例1
已知
f '(x0 )
存在，求
lim f(x03h)f(x0)
h 0
h
解
lim f(x03h)f(x0)
h 0
h
(3)lim f(x03h)f(x0)3f
h 0
3h
'(x0)
例2
设
f
'(0 )
存在，f (0) 0 求
f (ex2 1)
lim
.
x0 x tan x
解
原式=
f[0(ex2 1) ] f(0) ex2 1
lim
x 0
ex2 1
xtaxn
lim f[0(ex21 ) ]f(0)x2f'(0)
x 0
ex21
x2
科学出版社
例3. 证明函数f(x)x 在 x = 0 不可导.
证: f(0h)f(0) h
h h
1, 1,
h0 h0
lim f(0h)f(0)不存在 ,即x在x0不可. 导
h 0
h
例4. 设
f
(x0)
x0xU(x0,), x0 时,有函数增量
yf(x 0 x )f(x 0),如果
lim ylimf(x0 x)f(x0)
x x 0
x 0
x
存在，则称函数 y f(x)在 x 0 可导, 函数 y f(x)
在 x 0 处的导数, 记作
y xx0 ;
f(x0);
dy dx
x
x0
;
df (x) dx x x0
f(x0) lx i0m f(x0 x )xf(x0)
f'(x0)xl ixm 0 f(xx) xf0(x0)
f'(0)lim f(x)f(0)
x 0
x
f'(x0)lh i0m f(x0hh )f(x0)(式中h的只要是无穷小即可)
科学出版社
★ 如 果y函 f(数 x)在 开I内 区的 间每 点 处 都,可 就导 称f函 (x)在 数开I内 区可 间 . 导
割线 M N 的斜率
tan
f(x)f(x0) xx0
kxl im x0 f(xx)xf0(x0)
科学出版社
瞬时速度 vlimf(t)f(t0) tt0 t t0
切线斜率 k limf(x)f(x0) xx0 xx0
f (t0 )
o t0
y
f (t)
t
s
yf(x)
N
CM
T
o x 0 x x
科学出版社
导数与微分基本公式 四则运算法则 复合函数求导的链式法则 高阶导数 隐函数和参量函数求导
难点 导数的实质，用定义求导，链式法则
科学出版社
基本要求
①准确叙述导数定义并深刻理解它的实质 ②会用定义求导数 ③熟记求导基本公式 ④牢固掌握链式法则 ⑤掌握隐函数和参量函数求导法 ⑥理解高阶导数，掌握求高阶导数的方法 ⑦弄清微分与导数的联系与区别，理解并会运用 一阶微分的形式不变性
科学出版社
例5
f (x)
已知
f ( x ) 在 x 1连续，且
lim
x1
x1
2,
求
f (1)
解 f ( 1 ) l i m f ( x ) l i m ( x 1 )f ( x ) l i m ( x 1 ) l i m f ( x ) 0
x 1 x 1 x 1x 1 x 1x 1
科学出版社
自由落体运动
s
1 2
gt2
f (t0 )
o t0
f (t)
t
s
2.切线问题 割线的极限位置——切线位置
科学出版社
播放
曲线的切线斜率
y
曲线 C:yf(x)在 M 点处的切线
yf(x)
N
割线 M N 的极限位置 M T
(当时)
CM
T
切线 MT 的斜率
o x 0 x x
ktan limtan
科学出版社
§3.1 导数的概念 1 导数概念的引入 2 导数的定义 3 单侧导数 4 导数的几何意义 5 函数可导与连续的关系
科学出版社
一、 引例
导数概念的引入
1. 变速直线运动的速度
设描述质点运动位置的函数为
sf(t)
则 t 0 到 t的平均速度为
v f(t)f(t0) t t0
而在 t 0 时刻的瞬时速度为 vtl im t0 f(t)t tf0(t0)
f(1)limf(x)f(1) lim f (x) 2
x1 x1
x1 x 1
科学出版社
单侧导数
1.左导数:
f ( x 0 ) x lx 0 i 0 f m ( x x ) x f 0 ( x 0 ) l x i 0 f ( m x 0 x x ) f ( x 0 ) ;
★ 对 于 任x一I,都 对 应f(着 x)的 一 个 确 定 的 导 数.这 值个 函 数 叫 做 原 f(x)来 的函 导数 函 . 数 记 作 y, f(x),dy或df(x). dx dx
即 ylim f(xx)f(x)
x 0
x
或 f(x)lim f(xh )f(x).
h 0
h
科学出版社
注意: 1.f(x0)f(x)xx0. 2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数.
第三章 导数与微分
科学出版社
科学出版社
第三章 导数与微分
31 导数的概念 2 求导法则 3 高等导数 4 函数的微分
科学出版社
导数和微分是继连续性之后，函数研究的进一步 深化。导数反映的是因变量相对于自变量变化的快 慢程度和增减情况，而微分则是指明当自变量有微 小变化时，函数大体上变化多少。
重点 导数与微分的定义及几何解释