2005级线性代数考试试题
理工大学线性代数考试试卷及参考答案(B)
11．设 ，求
四、证明题（16分＝8分×2）：
12．设 为 维列向量，且 ，证明： 是对称的正交阵．
13．设 可逆，证明其伴随矩阵 也可逆，且 ．
五、计算题（14分）：
14．解矩阵方程 。
六、计算题（10分）：
15．设 ，求可逆矩阵 ，使 为对角矩阵，并求 ．
七、 ( ) ．
3．当 时， 都是线性方程组 的解．
( ) ；（ ） ；
（ ） ；（ ） ．
4．向量 线性无关，而 线性相关，则__________.
( ) 必可由 线性表出；（ ） 必不可由 线性表出；
（ ） 必可由 线性表出；（ ） 必不可由 线性表出．
５．已知 阶方阵 的每行元素之和均为 ，则（）是 的特征值．
( ) ； （ ） ； （ ） ； （ ） ．
二、填空题（20分＝4分 ）：
6． _______．
7．设 为三阶方阵，若 ＝5，则 =_______．
8．若4阶方阵 的秩为2，则 的伴随矩阵 的秩等于_______．
9．设 则 ＝________．
10． 阶矩阵 有 个不同的特征值是 与对角矩阵相似的_______条件．
16．设 阶方阵 ，且 可逆，证明
2005级线性代数期末考试参考答案（B卷）
一、单项选择（20分＝4分 5）：
1、 2、 3、 4、 5、
二、填空题（20分＝4分 ）：
6、 ，7、 ，8、0，9、 ，10、充分不必要
三、计算行列式（14分）：
11．解：因为 7’
所以 7’
四、证明（16分＝8分×2）：
2005级线性代数期末考试试卷（B卷）
课程名称：线性代数适用专业年级：
合工大2005-2006第一学期《线性代数》试卷参考答案
2005-2006学年第一学期《线性代数》试卷参考答案一、填空题（每小题3分，共计15分）1. 已知220340005A ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭=，那么1A -=32210100015⋅⎛⎫⎪- ⎪⎪⎝⎭- ； 2. 设A 是4阶方阵，()2R A =，*A 是A 的伴随矩阵，则*()R A = 0 ；3. 若齐次线性方程组123123123000x x x x x x x x x λλλ⎧⎪⎨⎪⎩++=++=++= (1)λ≠有非零解，则λ= －2 ；4. 设矩阵1104102A a ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭-=-与200010001B ⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭=相似，则a = 3 ； 5. 在多项式1210423()2332112x x f x x x-=中，4x 的系数是 －6 .二、选择题（每小题3分，共计15分）1. 设M 是n 阶方阵，若0M =，则矩阵M 中（ C ）.()A 必有一行元素全为0 ()B 必有两行元素对应成比例()C 必有一行向量是其余行向量的线性组合()D 任一行向量是其余行向量的线性组合2. 设,A B 都是n 阶方阵，则下列结论正确的是（ C ）.()A 若A 与B 相似，则A 与B 有相同的特征值和特征向量 ()B 若A 与B 相似，则A 与B 都相似于同一个对角阵()C 若A 与B 相似，则A 与B 等价()D 若A 与B 等价，则A 与B 相似3. 设123,,ξξξ是齐次线性方程组A =0x 的基础解系，则（ D ）也是A =0x 的基础解系。
()A 与123,, ξξξ等价的一个向量组 ()B 与123,,ξξξ等秩的一个向量组 ()C 122331,,--- ξξξξξξ ()D 122331,,+++ξξξξξξ4. 设3阶方阵A 有3个线性无关的特征向量，3λ=是A 的二重特征值， 则(3)R A E -=（ A ）.()A 1 ()B 2 ()C 3 ()D 无法确定5. 设二次型222123122331(,,)()()()f x x x x x x x x x =++-++，则下列结论正确的是( B ).()A f 是正定的 ()B f 的秩是2 ()C f 的秩是3 ()D f 的特征值是1,1,1三、（10分）计算n 阶行列式0000000000n a b a b D a b ba=.解 按第一列展开，得1110000000000000(1)00000000n n n n a b b a b ab D a b a b b aab+--=+-阶阶1111(1)(1)n n nnn n a a ab bb --++=⨯+=+-⨯- .四、（10分）求下列向量组的一个最大线性无关组1234(1,1,1),(0,2,5),(2,4,7),(1,1,3)TTTT====-αααα并指出4 α能否被123,,ααα线性表示.解 因为()1234102110211021124102220222157305540001---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭αααα， 所以124,,ααα或134,, ααα是向量组1234,,,αααα的最大线性无关组。
武汉大学2005-2006线性代数试题(工科54学时)
武汉大学数学与统计学院2005－2006学年第一学期《线性代数》A 卷（供工科54学时用）学院 专业 学号 姓名注 所有答题均须有详细过程，内容必须写在答题纸上，凡写在其它地方一律无效。
一、计算题（每题5分，6题共30分）：1．设111111111-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭A ，当 1 n 是不小于的整数时，计算nA .2．设二阶方阵A 满足方程O I A A =+-232，求A 所有可能的特征值. 3．求二次型213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩.4．已知阶矩阵(2)n ≥，且非奇异，求**()A .5．设A 是三阶实对称矩阵，其对应的二次型的正负惯性指数均为1，且满足0+==E A E A -，计算A I 323+.6. 设n 阶向量Tx x )00(，，，， =α，矩阵T n I A αα-=,且T n x I A αα+=-1，求实数x .二、解答题（3题共45分，每题15分）1．设10102016A a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且()2R A =，满足，求a 和.2．已知222254245λλλ--⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪---⎝⎭A ,121λ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭b ,就方程组=AX b 无解、有唯一解、有无穷多解诸情形，对λ值进行讨论，并在有无穷多解时，求出其通解.3、设二次型222123123122331(,,)222=++---f x x x x x x x x x x x x ,(1).求出二次型f 的矩阵A 的全部特征值; (2).求可逆矩阵P ，使AP P 1-成为对角阵;(3).计算mA (m 是正整数).三、证明题和讨论题（2题共25分）：1.（10分）设是阶实方阵，(1).当为奇数且I AA T=及时, 证明：0=-A I .(2).当 m 为给定任意正整数且O I A m =+)(时, 证明：A 可逆.2.（15分）对线性空间3R 中的向量组A ：123,,ααα和B ：123,,βββ,讨论下面的问题：(1).向量组B 是否能成为3R 中的基？能否用A 线性表示B ？如果可以，试求出由123,,ααα到123,,βββ的过渡矩阵P ,其中1100α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 2110α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 3111α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭；111β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭a 2112β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭a 3110β-⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭，且a 为实数.(2).若112321233123(22), (22), (22), βαααβαααβααα=+-=-+=--k k k k 是非零实数，（a ）给出向量组123,,βββ线性无关的一个充要条件，并证明之；（b ）给出矩阵123(),,βββ为正交阵的一个充要条件，并证明之.（2005－2006上工科54学时）线性代数A 卷参考解答一、计算题：1、11113111111()n --⎛⎫⎪--- ⎪⎪--⎝⎭；2、1212λλ＝，＝；3、 2 ；4、2n AA -； 5、－10 ； 6、－1 . 二、解答题：1、解：由初等变换求得a ＝1，（记E I =，下同），由0≠-EA ，因此 可逆 ，且2、解：经计算, 因此方程组有唯一解。
2005-2006第二学期线性代数
安徽大学20 05 -20 06 学年第 二 学期 《线性代数》期末考试试卷（A 卷）（时间120分钟）年级 院系专业 姓名 学号 座位号一、选择题（每小题3分，共30分）1．．排列542316的逆序数τ（542316）=（ ）A ．7B ．6C ．8D ．92．设A 是3阶方阵，且|A|=2，则|2A|=（ ） A ．4B ．-4C ．16D ．123设A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--121011322，则A 的伴随矩阵A*=（ ） A ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----461351341B ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----461351341C ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----433654111D ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----4336541114．A,B 是n 阶方阵，，则下列结论中错误．．的是（ ） A ．TTTA B AB =)( B ．kk k B A AB =)( C ．kllk A A =)(D ．B A AB =5．设A,B,C 为n 阶方阵，则下列结论正确的是（ ） A ．AB=AC 则B=CB ．AB=0,则A=0或B=0C ．AB=E,则A,B 可逆。
D ．AB=BA7．设α1、α2是非齐次线性方程组Ax=b 的解，β是对应齐次方程组Ax=0的解，则Ax=b必有一个解是（ ） A ．21α+αB ．21α-αC ．21α+α+βD ．213231α+α+β 8．设齐次线性方程组Ax=0的基础解系含有一个解向量，当A 是3阶方阵时，（ ） A ．r(A)=0 B ．r(A)=1 C ．r(A)=2D ．r(A)=39．下列矩阵可逆的是（ ）A ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100010000B ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-011110101C ． ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011101111 D ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛11102201110．已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=132121111λA 的秩为2则=λ（ ）。
A ．2B ．1C ．0D ．-1二．填空题（每空3分，共30分）1． ()(),4023,5321-=-=βα则.23βα-= 。
2005级数三线性代数期末考试试卷A
λ=0或25.当n元二次型正定时, 二次型的秩为 n二． 选择题（每小题3分，共15分）1. 设 0,A n A =为阶方阵则的必要条件是( B ) (a) A 的两行(或列)元素对应成比例 (b) A 中必有一行为其余行的线性组合 (c) A 中有一行元素全为零 (d) 任一行为其余行的线性组合2. 设n 维行向量112200 2 (,,,,),,,T T A E B E ααααα==-=+ 矩阵 ,E n AB =其中为阶单位矩阵则( B )(a) 0 (b) E (c) –E (d) E+T αα3. 设 0 ,,,A B n AB =为阶方阵满足等式则必有( C )(a) 00A B ==或 (b) 0A B += (c) 00A B ==或 (d) 0A B +=4.s 维向量组12,,,n ααα (3n s ≤≤)线性无关的充分必要条件是( C ) (a) 存在一组不全为零的数12,,,n k k k , 使得11220n n k k k ααα+++≠ (b) 12,,,n ααα 中存在一个向量, 它不能由其余向量线性表出 (c) 12,,,n ααα 中任意一个向量都不能由其余向量线性表出 (d) 12,,,n ααα 中任意两个向量都线性无关5. 设A 为n 阶方阵, 且秩121 ,0(),R A n Ax αα=-=是的两个不同的解, 则0Ax =的通解为( AB )(a) 1k α (b) 2k α (c) 12()k αα- (d) 12()k αα+三. 计算题(每小题10分,共30分)1. 计算2512371459274612D ---=--的值.D=-92. 设1100213401100213 C=0011002100010002,B -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦, 矩阵X 满足关系式:1 (),.T T X E C B C E X --=求1 0 0 0 X=-2 1 0 0 1 -2 1 0 0 1 -2 13. 设二次型222123123121323224(,,)f x x x x x x x x x x x x αβ=+++++经正交变换化为标准型22232,,.f y y αβ=+求的值 α=β=0四. 解答题(每小题12分,共24分)21 2.,,,?123123123x +x +kx =4k x +kx +x =k x x +x =4⎧⎪-⎨⎪--⎩为何值时线性方程组有唯一解无解有无穷多解,.若有解时求出其全部解1 1 k 4r(A,b)=-1 k 1 k2 1 -1 2 -4当k=-1或-2时,方程组无解 当k=2时,方程组有无穷多解当k ≠±2且k ≠-1时,方程组有唯一解2. 求向量组11111(,,,)α=,21111(,,,)α=--,31111(,,,)α=--,41111(,,,)α=--,1211(,,,)β=的一个极大线性无关组和秩, 并将β用极大线性无关组线性表出.1 1 1 1 1 A= 1 1 -1 -12 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1α1,α2,α4, β是一个极大线性无关组 r(α1,α2,α3,α4, β)=4β=0×α1+0×α2+0×α4+1×β五. 证明题(每小题8分,共16分)1. 已知123,,ααα线性无关, 证明向量组: 1111122133l l l βααα=++,2211222233l l l βααα=++,3311322333l l l βααα=++线性无关的充分必要条件是1112132122233132330.l l l D l l l l l l =≠2. 设A B n 与为阶对称阵, 且1 ,()AB E A AB E A -++及都可逆证明为 可逆的对称阵.令C=(AB+E)-1A,D=A-1(AB+E) 所以CD=E,DC=E 所以C 可逆又CT=[(AB+E)-1A]T=AT[(AB+E)-1]T=A[(AB+E)T]-1=A(BA+E)-1。
江西财经大学线性代数
江西财经大学03-04学年第一学期期末考试试卷试卷代码：03043B 卷 课时：48课时 课程名称：线性代数 适用对象：选课班一、填空题（3×5=15分）1、若五阶行列式||A 的第二行元素依次是1，2，-3，4，-1，它们的余子式对应为2，-1，0，12，5，则||A = 。
2、设A 为n 阶方阵，12,X X 均为线性方程组AX B =的解，且12X X ≠，则||A = 。
3、设,A B 均是n 阶方阵，A 与B 相似，如果B 的n 个特征值是1，2，，n 为前n 个自然数，则齐次线性方程组()0I A X -=的基础解系中含 个向量。
4、设1234,,,αααα为3维向量，且123,,ααα线性无关，则()1234,,,R αααα= 。
5、设123,,ααα均为n 维向量，且(,)i j i j αα=+，则1213(,)αααα+-= 。
二、单项选择题（3×5=15分）1、设A ，B 均是n 阶方阵，以下论断正确的是 。
（A ）若0AB =，则0A =或0B = （B ）若AC BC =，且0C ≠，则A B =（C ）若2A B AB =，则0A =或A I = （D ）若n AB I =则()()R A R B = 2、设A 为n 阶方阵，线性方程组0AX =有非零解，则 。
（A ）0AX =有无穷多个非零解 （B ）0AX =仅有一个非零解 （C ）0AX =仅有二个非零解 （D ）0AX =仅有n 个非零解 3、下列关于向量内积的论断中，正确的是 。
（A ）若（2α，β）=0，则2βα=-（B ）若（α，β）=（X ，Y ）则X α=，Y β=（C ）若（αβ+，γ）=2（α，γ），则βα= （D ）若（αβ-，αβ-）=0，则αβ=4、设10002301A x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的三个特征值是1，1，5，则x = 。
（A ）0 （B ）1 （C ）5 （D ）4 5、A ，B 为n 阶方阵，若||||A B =，则A 与B 。
2004-2005第二学期线性代数试题参考答案
----------------------------精品word 文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- 2004级2004-2005第二学期线性代数试题参考答案一、 填空题（每小题3分，共15 分）1． ))()((b c a c a b ---； 2. 相关; 3. 12536-; 4. 44<<-t ; 5.可以二、 选择题(每小题3分,共15 分)1. B2. C;3. D;4. A;5. C三、 计算题(每小题10分共30分)1.行列式的值为36-.2. B X E A X B AX =-⇒+=)(.,110101111⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-E A 0≠-E A , E A -可逆. 故⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=-=-143311410352111211101)(1B E A X . 3. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----==00001000021003511991191103281120351),,,(4321T T T T A αααα.向量组的秩为3,它的一个极大无关组为421,,ααα.四、 解答题(每小题12分, 共24分)1. 方程组的增广矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-300002621037321134551353137321b b .当3=b 时,方程组有解.此时的方程组为⎩⎨⎧=++=+++26237324324321x x x x x x x ,它有一特解T )0,0,2,3(.对应的齐次线性方程组为⎩⎨⎧=++=+++06207324324321x x x x x x x ,它有基础解系T )1,3,0,2(--, T )0,1,2,1(--. 故原方程组的通解为 T )0,0,2,3(+k T )1,3,0,2(--+l T )0,1,2,1(--,k 与l 为任意常数.2. 二次型的矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=312132220A .由由 0=-A E λ得A 的特征值2-=λ, 和4=λ(二重). 当2-=λ时,0)(=-X A E λ的基础解系为T )1,1,2(-,当6=λ时,0)(=-X A E λ的基础解系为T T )1,1,1(,)1,1,0(-.易知这三个向量是两两正交的. 只需再将它们单位化即可得正交矩阵----------------------------精品word 文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=61312161312162310P 使得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-2441AP P . 在正交变换PYX =下,232221244y y y f -+=. 五、 证明题(每小题8分,共16分)1. 对B 按列分块, []321B B B B =, 则对于方程0=AX ,321,,B B B 都是其解.由于0B ≠, 故方程0=AX 至少有一个非零解,其充要条件是0=A .而)2(5-=λA . 所以2=λ. 此时⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→000850321A ,秩2)(=A r . 方程0=AX 的基础解系只含一个向量X, )3,2,1(,==i X k B i i . 所以秩3,11)(=-<=n n B r . 故B 的伴随矩阵*B 的秩为0.2. 因三维向量组(I):321,,ααα中的三个向量分别是三阶矩阵A 的属于特征值 0, 1, 3 的特征向量, 一定是线性无关的. 因此等价于其构成的行列式0321≠ααα. 而向量组(II): 421,,ααα线性相关等价于0421=ααα. 向量组(III): 4321,,αααα-满足条件0421*******≠-=-αααααααααα. 故向量组(III)线性无关.。
华师大 05年 高等代数
华东师范大学2005年功读硕士研究生入学考试试题考试科目：高等代数一填空，选择，是非题（共15小题，满分60分，每小题4分） 1. 设3阶方阵A 的特征值为2，3，5，则=-E A 2________ 2. 如果α是()x f '''的2重根，则α一定是多项式()x f 的5重根。
3. 设向量组s ααα,...,,21()2≥s 线性相关，且其中任意s-1个向量线性无关，则存在全不为零的数s k k k ,...,,21，使得0...2211=+++s s k k k ααα4. 设1W 与2W 分别是数域K 上8元齐次线性方程组AX=0与BX=0的解空间，如果rankA=3，rankB=2,821K W W =+那么()=⋂21dim W W __________ 5. 实反对称矩阵的非零特征值必为：（A ）正实数（B ）负实数（C ）1或0（D ）纯虚数6. 若三次实系数多项式()x f 恰有一个实根，∆为()x f 的判别式，则 A 。
∆>0 B 。
∆=0 C 。
∆<0 D 。
∆R ∉7. 3阶整系数的行列式等于-1的正交矩阵共有________个8. 设A 是行列式等于-1的正交变换，则________一定是A 的特征值。
9. 排列n n j j j j 121...-与排列121...j j j j n n -具有相同的奇偶性的充要条件是n=____(mod4) 10. 设0r 是数域K 上非齐次线性方程组AX=B 的特解，s ηηη,...,,21是该方程组的导出组的基础解系，则以下命题中错误的是： A ．s r r r r ηηη---020100,...,,,是AX=B 的一组线性无关解向量B ． A X=B 的每个解均可表为s s r ηηη,...,2,,210的线性组合。
C ． s r ηη+++...210是AX=B 的解。
D ．AX=B 的每个解均可表为001020,,,s γγηγηγη+++++ 的线性组合。
线性代数考试(A)参考答案及评释学习资料
线性代数考试(A)参考答案及评释华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2005学年第一学期 考试科目：线性代数 考试类型：闭卷 考试时间：120分钟学号 姓名 年级专业这是题文 这是参考答案 填空题.（每小题3分，共30分）1.若行列式D 各行元素之和等于0，则该行列式等于0. 各行加到第一行上去, 则第一行全为零P98奇数阶实反对称阵的行列式为零P64定理2.7非齐次线性方程组有解的充要条件 41141222222n n n --**⎛⎫===⋅= ⎪⎝⎭A A A重要关系*=AA A E ( P34定理1.9); 1n -*=A A(p44题1.18)5.设()()1,1,5,3,9,2,3,5,TTαβ=--=---则α与β的距离为9.()8,3,2,29-===αβ由正交矩阵的定义T =A A E 立即得到1T -=A A 且1T ===A A A A E若λ是A 的特征值, 则1λ是1-A 的特征值, 因为()110x x x x λλ-=≠⇒=A A x . 参考P87定理4.4: ()ϕA 的特征值是()ϕλ.8．如果()222123123121323,,2246f x x x x x tx x x x x x x =+++++是正定的，则t 的取值范围是5t >.11212323t ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 1231121110,10,123501223t t ∆=>∆==>∆==-> p100定理5.6由2=AA 推出()()22-+=-A E A E EEnglish!二、单选题（每题3分，共15分）1.n 元齐次线性方程组0,AX =秩()(),R A r r n =<则有基础解系且基础解系 含（ D ）个解向量.（A ）n （B ）r （C ）r n - （D ）n r - P62 line 5: 基础解系含n r -个解向量2. 设四阶方阵A 的秩为2，则其伴随矩阵A *的秩为（ D ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）0.A的余子式(3阶子式)全为零.*A是零矩阵.3. 设A是n阶方阵，满足2A E=，则（ B ）（A）A的行列式为1 （B）,-+不同时可逆.A E A E=（D）A的特征值全是1 （C）A的伴随矩阵*A A2000或.A E A E A E A E A E=⇒+-=⇒+=-=4. 设n阶方阵,,A B C满足ABC E=，其中E是n阶单位阵，则必有（ C ）（A）ACB E== (D) BAC E= (C) BCA E= (B) CBA E()()A E.p7性质1.2, p35定理1.10=⇒=A BC E BC或者141231234142332,3,4333411111111111111110000111111000101111101111100010000010001001000100010000101001000000i r r i c c c c r r r r r r r r x x x x x x x x x x x xxxxx x x x x-=+++-+-↔↔-------+---==----+-----====.2.给定向量组()()121,1,1,1,1,1,1,1,TTαα==--()32,1,2,1Tα=， ()41,1,1,1,Tα=--求1234,,,αααα的一个最大无关组和向量组的秩.()213141434212341121112111110212,,,112100021111021011211121021202120002000200020000r r r r r r r r r r A αααα---+-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪----- ⎪ ⎪==−−−→ ⎪⎪--⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪------⎪ ⎪−−−→−−−→ ⎪ ⎪--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可见()1234,,,3R αααα=，124,,ααα是一个最大无关组。
线代2005。12。A答案
2005-2006学年第1学期《线性代数Ⅱ》A 卷试题答案及评分标准一、填空题（每小题3分，共18分）1．43512132a a a a a k i 是5阶行列式中带负号的项，则i = , k = . 2．设iA A A A i 的第为设阶方阵为,4,3-=个列向量，),,(321A A A A =，则行列式=+12135,2,3A A A A .3．设A n A A 阶方阵分别为1,-*的伴随阵和逆矩阵，则=-*1A A .4．矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=303000003012100210A 对应的实二次型 =),,,(4321x x x x f .5．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=53342111a A ，且2,6321===λλλ的特征值为A ， 如果A 有三个线性无关的特征向量，则=a .6、n 阶方阵A 具有n 个不同的特征值是A 与对角阵相似的 条件.1． i = 5 , k = 4 ； 2．40 ；3． 2-n A ；4．2442222136x x x x x x --+ ；5． 2-； 6. 充分。
二、简答题（每小题4分，12分）1．举出任何反例皆可（2分）。
当BA AB =时，等式2222)(B AB A B A ++=+成立（2分）。
2．一定不为零（2分）。
若A 的特征值0=λ，则存在0 ≠x 使得0 ==x x A λ即方程0=x A 有非零解，所以0=A ，即A 不可逆，与已知矛盾（2分）。
3．不相似（2分）。
否则有可逆阵C 使C -1AC=B,即A=B,矛盾（2分）。
三、计算题（一）（每小题8分，共32分）1．值为120（答案错误可适当给步骤分）。
2．解：由X A E AX +=+2化简得))(()(E A E A X E A +-=-（4分），E A E A --=-故,1可逆（2分），所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=+=201030102E A X （2分）。
3．解：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡601424527121103121301,,,,54321T T T T T ααααα∽⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡00000110001011021301（6分）故421,,ααα 或431,,ααα为一个最大线性无关组（或其他正确答案）。
武汉大学数学与统计学院 2005-2006第一学期《线性代数》B卷(供72学时用)
武汉大学数学与统计学院2005－2006第一学期《线性代数》B 卷（供72学时用）姓名 学号 专业 成绩一、计算题：（以下5题，每题8分，共40分） 1．设()11,1,1αT=()21,2,3αT=()31,3,t αT=，求t 使得线性相关.2．已知矩阵，求A 的伴随阵*A . 3．已知111222333A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 求22005A A 和.4．计算：211121314222122324233132334244142434100001111x x x x x x x x D x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +=+++.及矩阵211213142212232423132334241424341111x x x x x x x x x x x x x x A x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫+ ⎪+ ⎪= ⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭的秩. 5．设n 阶方阵A 的各行元素之和均为，当A 可逆，且时，求的各行元素之和.二、解答题和证明题（以下6题，共60分）：1．(10分)求解齐次线性方程组: 12341234123412343 0253 044319022 0x x x x x x x x x x x x x x x x --+=⎧⎪--+=⎪⎨-++=⎪⎪--+=⎩.2．(10分)求矩阵X ，使满足AX =A +2X , 其中301110014A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.3．(10分)设线性空间3R 中的六个向量如下:1α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--221，2α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-031，3α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-601，4α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-283，1β=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-210，2β=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--652(1)求出由1α,2α,3α,4α生成的子空间L(1α,2α,3α,4α)的维数，并选出一个基； (2)对1β和2β中属于L (1α,2α,3α,4α)者，给出其在(1)中所选的基下的坐标. 4．(15分)设A 的一个特征值为1, 其中A ＝.(1)求常数；(2)求可逆矩阵P ，使AP 为对角阵；(3)设向量=(5, 3, 3)，计算A (k 为正整数).5．(10分)已知A 是n 阶可逆矩阵, 证明A T A 是n 阶正定矩阵. 6．(5分)设是n m ⨯矩阵，B 是m n ⨯矩阵（n m ≤），其中I 是n 阶单位矩阵，若AB I =，证明B 的列向量组线性无关.（2005－2006上）线性代数B 卷参考解答： 一、计算题：1．对实数,令：得方程组， 其系数行列式,即t=5时，方程组有非零解，相应，线性相关.2．由初等变换求得101110123321A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭，则*1011012321A A A -⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪--⎝⎭.3．记，，因此所以2()()()A αβαβαβαβT T TT ==，而，则26A A =；同理可求:20052004()()()()()()()AαβαβαβαβαβαβαβαβαβT T T T T T T T T =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=＝20046A .4. 第1列乘以i x -加到第1i +列(1,2,3,4)i =,则12341234110000100001001x x x x x D x x x ----=421234i=142i=11+010001+001000001001i i x x x x x x ----==∑∑.易知0D A =≠, 则矩阵211213142212232423132334241424341111x x x x x x x x x x x x x x A x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫+ ⎪+ ⎪= ⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭的秩为4. 5．因的各行元素之和为，即，(),或，即.又因为A 可逆，得，即各行元素之和均为.二、解答题和证明题：1．对系数矩阵作初等行变换化：因24()()R A R B ==<，故有无穷多解。
浙江树人大学 线性代数 期末试题 期末试卷
1浙江树人大学2004/2005第二学期 04级本科《线性代数B 》期末试题(A 卷) 学院______班级______学号______姓名________一、单项选择题（每小题2分，共16分）1．设A 是方阵且非奇异，若AB=AC ，则必有( ) （a ） B=C; b ）B=C=O;（c ）A 1-=B=C;（d ）B ≠C . 2. 设A 为3阶方阵，|A| = 3，则其行列式 | 3A|是（ ） （a ）3 （b ）32 （c ）33 （d ）343．设齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=+02020z y kx z ky x z kx有非零解，则k = （ ）（a ）2 （b ）0 （c ）-1 （d ）-2 4．下列矩阵为初等矩阵的是……………………………（ ）（a ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001010100 （b ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛210210001 （c ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛132321213（d ）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1000000015．设向量组s ααα,,,21 线性相关，则一定有……………（ ）（a ）121,,,-s ααα 线性相关 （b ）121,,,+s ααα 线性相关 （c ）121,,,-s ααα 线性无关 （d ）121,,,+s ααα 线性无关 6．设n 阶方阵A 为非奇异阵，则必有（ ） （a ） 秩（A ）= n ；（b ）秩（A ）= 0； （c ）|A|=0；（d ）方程组AX=0有非零解。
7．设向量（2，-3，5）与向量（- 4，6，k ）线性相关，则k=（ ） （a ）5；（b ）-5；（c ）10； （d ）-10.8．设AX=b 是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结（ ）（a ）21ηη+是AX=0的一个解；（b ）212121ηη+是AX=b 的一个解；（c ）21ηη-是AX=0的一个解；（d ）212ηη-是AX=b 的一个解。
05华工线代试题及答提示
2005年华南理工大学线性代数期考试卷姓名 班级 成绩单序号一． 填空题（15分）1．若*A 是6阶方阵A 的伴随矩阵，且rank(A)=4, 则rank(*A )=( ).2.设cos sin sin cos A αααα-⎛⎫=⎪⎝⎭，则100A =（ ）。
3．设12,3123{(,)|230}T V x x x x x x =-+=是3R 的子空间，则空间V 的维数是（ ）。
4．对称矩阵A 的全部特征根是4,-5,3,2,若已知矩阵A E β+为正定矩阵，则常数β必须大于数值（ ）。
5．已知n 阶矩阵100...0010...0001...0..................000...1000...01A λλλλ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，0λ≠，则矩阵A 的逆是二．选择题(15分)１．若A,B 是n 阶方阵，下列等式中恒等的表达式是( )A.222()AB A B =,B. 111()AB A B ---=,C. | A+B|=|A|+|B|,D. ***()AB B A =2.若A 是n 阶方阵，则Ａ为正交矩阵的充要条件不是（ ）Ａ.Ａ的列向量构成n R 的单位正交基，Ｂ．Ａ的行向量构成n R 的单位正交基， Ｃ．1T A A -=， Ｄ．d e t 1A =± 3.若1V 是空间n R 的一个k 维子空间，1,...,k αα是1V 的一组基；2V 是空间m R 的一个k 维子空间, 1,...,k ββ是2V 的一组基.且,,m n k m k n ≠<<,则( ) A.向量组1,...,k αα可以由向量组1,...,k ββ线性表示,B. 向量组1,...,k ββ可以由向量组1,...,k αα线性表示,C. 向量组1,...,k ββ与向量组1,...,k αα可以相互线性表示,D. 向量组1,...,k ββ与向量组1,...,k αα不能相互线性表示.4.若12,λλ是实对称阵A 的两个不同特征根,12,ξξ是对应的特征向量,则下列命题哪一个不成立( )A. 12,λλ都是实数,B. 12,ξξ一定正交,C. 12ξξ+有可能是A 的特征向量。
合工大2005 2006第一学期《线性代数》试卷参考答案
2005-2006学年第一学期《线性代数》试卷参考答案一、填空题（每小题3分，共计15分）1. 已知220340005A ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭=，那么1A -=32210100015⋅⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭- ； 2. 设A 是4阶方阵，()2R A =，*A 是A 的伴随矩阵，则*()R A = 0 ；3. 若齐次线性方程组123123123000x x x x x x x x x λλλ⎧⎪⎨⎪⎩++=++=++= (1)λ≠有非零解，则λ= －2 ；4. 设矩阵11040102A a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭-=-与200010001B ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭=相似，则a = 3 ；5. 在多项式1210423()2332112xx f x x x-=中，4x 的系数是 －6 .二、选择题（每小题3分，共计15分）1. 设M 是n 阶方阵，若0M =，则矩阵M 中（ C ）.()A 必有一行元素全为0 ()B 必有两行元素对应成比例()C 必有一行向量是其余行向量的线性组合()D 任一行向量是其余行向量的线性组合2. 设,A B 都是n 阶方阵，则下列结论正确的是（ C ）.()A 若A 与B 相似，则A 与B 有相同的特征值和特征向量 ()B 若A 与B 相似，则A 与B 都相似于同一个对角阵()C 若A 与B 相似，则A 与B 等价()D 若A 与B 等价，则A 与B 相似3. 设123,,ξξξ是齐次线性方程组A =0x 的基础解系，则（ D ）也是A =0x 的基础解系。
()A 与123,,ξξξ等价的一个向量组 ()B 与123,,ξξξ等秩的一个向量组 ()C 122331,,---ξξξξξξ ()D 122331,,+++ξξξξξξ4. 设3阶方阵A 有3个线性无关的特征向量，3λ=是A 的二重特征值， 则(3)R A E -=（ A ）.()A 1 ()B 2 ()C 3 ()D 无法确定5. 设二次型222123122331(,,)()()()f x x x x x x x x x =++-++，则下列结论正确的是( B ).()A f 是正定的 ()B f 的秩是2 ()C f 的秩是3 ()D f 的特征值是1,1,1三、（10分）计算n 阶行列式00000000000n a b a b D a b b a=.解 按第一列展开，得1110000000000000(1)00000000000000n n n n a b b a ba b D aba b b a a b +--=+-阶阶1111(1)(1)n n n n n n a a a b b b --++=⨯+=+-⨯- .四、（10分）求下列向量组的一个最大线性无关组1234(1,1,1),(0,2,5),(2,4,7),(1,1,3)T T T T ====-αααα并指出4α能否被123,,ααα线性表示.解 因为()1234102110211021124102220222157305540001---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭αααα， 所以124,,ααα或134,,ααα是向量组1234,,,αααα的最大线性无关组。
2005线性代数 数三
证： 1．AA－1=E， |AA－1|=|E|， |AA－1|=1，
|A－1|= 1 | A |1 |A|
2 .A*=|A|A－1， |A*|=|AA－1|=|A|n|A－1|=|A|n|A|－1=|A|n－1
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四川大学各级各类考试的监考人员，必须严格执行《四川大学考试工作管理办法》、四 川大学考场规则》和《四川大学监考人员职责》.有违反学校有关规定的，严格按照《四川 大学教学事故认定及处理办法》进行处理.
一．选择题（每小题 3 分，共 15 分）
1.设 A，B 均为 n 阶矩阵，|A| = 2，|B|=－3，则|2A*B－1|=
10
,
10
得
x1 x3
10,12 ，从而得一基础解系 1
1 0 0
，
2
0
2 1
通解为
x1 x2 x3 x4
1
2 0 1
2 0
k1
1 1 0 0
k
2
1 0 2 1
(k1k2 R)
六.(12 分)
解：
据定义，有 Aξ=λξ，故
2
(A
(D)以上都不对
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学院：
线
四川大学期末考试试卷
1 a 1 2 4.若矩阵 1 1 a 2 的秩为 2,则 a 的值为( )
1 0 1 2
(A)0
(B)0 或-1
(C)-1
(D)-1 或 1
a11x1 a12x2a1nxn 0
5.如果齐次线性方程组
有非零解,那么( )
as1x1 as2x2asnxn 0
1
厦门大学2005年高等代数
厦门大学2005年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题（一）高等代数部分一.填空题1.设n 阶行列式A 的值为a ,将A 的每个元素ij a 换成(1)i j ij a +-,得到的新行列式的值为2.设12,,,s ααα 是线性方程组A X b =的解,则当且仅当12,,,s a a a 满足条件 时,1122s s a a a ααα+++ 也是AX b =的解.3.000a a a A a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,0a ≠的Jordan 标准型是 .4.设A 是实数域上的3阶方阵, A 的伴随矩阵记为*A .若A 的特征值为1,2,3,则*A 的特征值为 .5.设A 是n 阶实可逆矩阵,则'00A A ⎛⎫ ⎪⎝⎭的正惯性指数是 ,符号差是 . 6.设1100001,010A B P AP -⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭,其中P 是3阶可逆阵,则200422PA -= . 二.设A 是n 阶方阵,则秩(A)<n 当且仅当存在n 阶非零方阵B,使得AB=BA=0.三.设V 是n 维线性空间,ψ是V 的线性变换,设U 是V 的子空间.求证:1dim(())dim((0))dim()U U U -ψ+ψ⋂=.这里,1(){()|},(0){|()0}.V a a V a V a -ψ=ψ∈ψ=∈ψ=四.设A 是实数域上的5阶非零方阵,(),ij ij A a A =是ij a 的代数余子式.若,1,5,ij ij a A i j =≤≤求证A 可逆并求A .五.设12,V V 是n 维线性空间V 的子空间,且12V V V =⊕.设()L a 是V 中向量a 生成的子空间,且满足12()0,()0.V L a V L a ⋂=⋂=求12(())(())V L a V L a +⋂+的维数并证明. （二）抽象代数部分一.设G 为一个群,若H 为G 的一个非空子集,H 中每个元素的阶都有限,且满足:对任意,a b H ∈,都有ab H ∈.试证明H 为G 的一个子群.二.若H,K 为G 的不变子群,且H K ⊆,试证明:商群K/H 是商群G/H 的不变子群.三.设{|,R a bi a b i =+=为整数，,在复数的加法和乘法下R 成为一个环,记(1+i)为由复数1+i 生成的环R 的理想.试讨论商环R/(1+i)的结构.（三）复变函数部分一.在复平面上求级数01nn z n ∞=+∑的收敛区域. 二.计算22,(1)zC e dz z +⎰其中曲线C 为圆周|z|=2. 三.若12(),(),,()n f z f z f z 在区域D 内解析,且1()0,.nk k f z z D =≡∀∈∏试证:存在1,k n ≤≤使得()0,.k f z z D ≡∀∈。
线性代数试卷(05年末)答案
2005年——2006年第一学期期末试题（答案） 一．填空（每题5分）1．321,,ααα线性无关，则133221,,αααααα--- 线性相关 。
2．,2,3124321==αααααα则=++21431ααααα 1 。
3．A 为3阶实正交阵，,)0,0,1(,1'11==a 则Ax =的解为 （1，0，0）‘ 。
4．二次型3231212322214222x x x x x x tx x x f -+-++=为正定二次型的条件为 t >2 。
5．非齐次线性方程组Ax =有解的充要条件是 )()(A R A R = 。
二．（15分）已知向量组,)1,2,2,1,4(,)0,0,1,5,2(,)2,1,0,1,3(,)1,1,2,0,1('4'3'2'1--=-=--=-=αααα（1） 求),,,(4321ααααR 。
（2） 求向量组的一个最大无关组。
（3） 将其余向量用最大无关组线性表示。
解：（1）()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=00000000010010101001~00000000010015104231~10212011210215104231,,,4321αααα因此),,,(4321ααααR =3。
（2）向量组的一个最大无关组可取321,,ααα （或可取431,,ααα）。
（3）214ααα+=。
三．（10分）已知线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=+--=+++=+++μλ4321432143214321121053153363132x x x x x x x x x x x x x x x x 问λ和μ各取何值时，方程组无解？有唯一解？有无穷多组解？解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----10000210001121013211~53000420001121013211~53000422001121013211~191260066401121013211~121051315133163113211μμμλμλμλ（1）当2≠λ时，有唯一解；（2）当2=λ①且当1≠μ时，无解；②且当1=μ时，有无穷多解。
线性代数历年考试试题与答案
2003～2004年度第一学期线性代数（工）期末考试试卷（A ）本试卷共九大题一．填空题：（每题4分，共20分）1．()=⋅⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-01121 。
2．设A 为3阶方阵，且2=A ，则=+-*14A A 。
3．向量组()()()2,6,2,4,0,2,1,3,1,3,1,2321-=-=-=ααα线性 关。
4．线性方程组04321=+++x x x x 的基础解系中含有 个向量。
5．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=121,110,011321ξξξ为3R 的一个基，且⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00t α在该基下的坐标为()111-，则t = 。
二．选择题：（每题4分，共20分）1．设n 阶矩阵A 的每行元素之和为1，则A 必有一个特征值[ ] A. –1 B. 1 C. 0 D. n 2．设矩阵()n m ij a A ⨯=，0=Ax 仅有零解的充分必要条件是[ ]A. A 的行向量组线性相关B. A 的行向量组线性无关C. A 的列向量组线性相关D. A 的列向量组线性无关 3．设321,,ααα为0=Ax 的一个基础解系，则下列[ ]也是该方程的一个基础解系。
A. 与321,,ααα等价的一个向量组B. 与321,,ααα等秩的一个向量组C. 321211,,αααααα+++D.133221,,αααααα--- 4．下列结论正确的是[ ]A. 若存在可逆的P 使PA=B ，则A 与B 应有相同的标准形B. 若21,αα为A 的两个不同的特征值对应的特征向量，则21,αα是正交的C. 若21,αα同为实对称阵A 的某个特征值的两个特征向量，则21,αα必线性无关D. 矩阵A 能对角化的充要条件为A 有个n 互不相同的特征值5．设三阶矩阵A 的特征值为0，-1，1，其对应的特征向量分别为321,,ξξξ， 令()132,,ξξξ=P ，则=-AP P 1[ ]A. diag (0,-1,1)B. diag (-1, 0,1)C. diag (-1,1,0)D. diag (1,0,-1)三．（7分）求行列式().0,1111111112121≠+++nna a a a a a四．（7分）利用初等变换求⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=111123321A 的逆矩阵. 五．（8分）设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=100020001A ，且EBA BA A 82*-=，求B.六．（10分） 求向量组()()()9,2,2,1,6,6,1,1,3,4,1,2321---=--==ααα,()7,2,1,14-=α的一个最大无关组，并把其余的向量用最大无关组线性表示.七．（10分）问k 为何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=+++=++=+324622432132131k x x x k x x x kx x 有解，并求出其全部解.八．（12分）设矩阵A 与B 相似，其中⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=10000002,10100002y B x A ， ①求x,y ; ②求正交阵P ，使得B AP P T=.九．（6分）证明：设A 为m ×n 阵，方程n E YA =有解的充分必要条件是()n A R =.2004－2005学年第1学期考试试题（A ）卷一、选择题（1）方阵A ，B 满足r(A)=r(B)，则（答案填在卷首答题处）（A ）A －B=O （B ）r(A －B)=0 （C ）r(A ，B)≤r(A)+r(B) （D ）r(A+B)=2r(A) （2）向量组12,,...n ααα线性相关，则（答案填在卷首答题处） （A ）1α可由其余向量线性表示；（B ）12,,...n ααα至少有一个零向量；（C ）12,,...n ααα中至少有一个向量可以由其余向量线性表示； （D ）12,,...n ααα任两个向量成比例.（3）设n 元齐次线性方程组AX=0的系数矩阵A 的秩为r ，则AX=0有非零解的充分必要条件是（答案填在卷首答题处）（A ）r=n （B ）r<n （C ）r ≥n （D ）r>n（4）n 阶方阵A 具有n 个不同的特征值是A 与对角阵相似的（答案填在卷首答题处）（A ）充分必要条件 （B ）充分而非必要条件（C ）必要而非充分条件 （D ）既非充分也非必要条件 （5）矩阵20A =，则（答案填在卷首答题处）（A ）A=O （B ）det(A)＝0 （C ）r(A)=0 （D ）A=A T二、填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分。
2005级线性代数考试试题
2005级线性代数考试试题院系_____________________；学号__________________；姓名___________________一、单项选择题（每小题2分，共40分）。
1．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=6 35 24 1C ,6 5 43 2 1B ,4 32 1A ，则下列矩阵运算无意义的是 【 】A . BAC B. ABC C . BCA D. CAB2.设n 阶方阵A 满足A 2–E =0，其中E 是n 阶单位矩阵，则必有【 】A. A=A -1B.A=-EC. A=ED.det(A)=1 3.设A 为3阶方阵，且行列式det(A)=21,则det(-2A)= 【 】 A.4 B.-4 C.-1 D.14.设A 为3阶方阵，且行列式det(A)=0，则在A 的行向量组中【 】A.必存在一个行向量为零向量B.必存在两个行向量，其对应分量成比例C. 存在一个行向量，它是其它两个行向量的线性组合D. 任意一个行向量都是其它两个行向量的线性组合5．设向量组321,,a a a 线性无关，则下列向量组中线性无关的是【 】A ．133221,,a a a a a a --- B. 212132,,a a a a - C. 32322,2,a a a a + D. 3121,,a a a a +6.向量组(I): )3(,,1≥m a a m 线性无关的充分必要条件是【 】A.(I)中任意一个向量都不能由其余m-1个向量线性表出B.(I)中存在一个向量,它不能由其余m-1个向量线性表出C.(I)中任意两个向量线性无关D.存在不全为零的常数0,,,111≠++m m m a k a k k k 使7．设a 为n m ⨯矩阵，则n 元齐次线性方程组0=Ax 存在非零解的充分必要条件是 【 】A ．A 的行向量组线性相关B . A 的列向量组线性相关 C. A 的行向量组线性无关 D. A 的列向量组线性无关 8.设i a 、i b 均为非零常数（i =1，2，3），且齐次线性方程组⎩⎨⎧=++=++00332211332211x b x b x b x a x a x a的基础解系含2个解向量，则必有 【 】A.03221= b b a aB.02121≠ b b a aC. 332211b a b a b a == D. 02131= b b a a9.方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++ax x x x x x x x x 32132132123 3 12 12 有解的充分必要的条件是【 】A. a=-3B. a=-2C. a=3D. a=210. 设η1，η2，η3是齐次线性方程组Ax = 0的一个基础解系，则下列向量组中也为该方程组的一个基础解系的是 【 】A. 可由η1，η2，η3线性表示的向量组B. 与η1，η2，η3等秩的向量组C.η1－η2，η2－η3，η3－η1D. η1，η1+η3，η1+η2+η3 11. 已知非齐次线性方程组的系数行列式为0，则 【 】A. 方程组有无穷多解B. 方程组可能无解，也可能有无穷多解C. 方程组有唯一解或无穷多解D. 方程组无解12.n 阶方阵A 相似于对角矩阵的充分必要条件是A 有n 个 【 】A.互不相同的特征值B.互不相同的特征向量C.线性无关的特征向量D.两两正交的特征向量 13. 下列子集能作成向量空间R n 的子空间的是 【 】A. }0|),,,{(2121=a a a a a nB. }0|),,,{(121∑==ni i n aa a a C. },,2,1,|),,,{(21n i z a a a a i n =∈ D. }1|),,,{(121∑==n i inaa a a14. F 3的两个子空间V 1={(x 1,x 2,x 3)|2x 1-x 2+x 3=0}, V 2={(x 1,x 2,x 3)|x 1+x 3=0}, 则子空间V 1 V 2的维数为【 】A. 二维B. 一维C. 三维D. 零维15. 设M n (R)是R 上全体n 阶矩阵的集合，定义)(,det )(R M A A A n ∈=σ，则σ是M n (R)到R 的 【 】A. 一一映射B. 满射C. 一一对应D. 既不是满射又不是一一对应15. 令),,(321x x x =ξ是R 3的任意向量，则下列映射中是R 3的线性变换的是 【 】A. 0,)(≠+=ααξξσB.)0,,2()(32321x x x x x +++=ξτC. ),,()(32221x x x p =ξ D. )0,cos ,(cos )(21x x w =ξ17.下列矩阵中为正交矩阵的是 【 】A.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1- 1 01 1 00 0 1 B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1- 22 151C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1 01- 1D.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡2 2 12- 1 212- 23118.若2阶方阵A 相似于矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3- 20 1B ,E 为2阶单位矩阵,则方阵E –A 必相似于矩阵【 】A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4 10 1B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4- 1 0 1-C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4 2-0 0D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4- 2-01-19.二次型32212132122),,(x x x x x x x x f ++=的秩等于【 】A ．0 B.1 C.2 D.320.若矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=8020001 a a A 正定,则实数a 的取值范围是【 】 A ．a < 8 B. a ＞4 C ．a ＜-4 D ．-4 ＜a ＜4二、填空题（每小题2分，共20分）。
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2005级线性代数考试试题院系_____________________；学号__________________；姓名___________________一、单项选择题（每小题2分，共40分）。
1．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=6 35 24 1C ,6 5 43 2 1B ,4 32 1A ，则下列矩阵运算无意义的是 【 】A . BAC B. ABC C . BCA D. CAB2.设n 阶方阵A 满足A 2–E =0，其中E 是n 阶单位矩阵，则必有【 】A. A=A -1B.A=-EC. A=ED.det(A)=1 3.设A 为3阶方阵，且行列式det(A)=21,则det(-2A)= 【 】 A.4 B.-4 C.-1 D.14.设A 为3阶方阵，且行列式det(A)=0，则在A 的行向量组中【 】A.必存在一个行向量为零向量B.必存在两个行向量，其对应分量成比例C. 存在一个行向量，它是其它两个行向量的线性组合D. 任意一个行向量都是其它两个行向量的线性组合5．设向量组321,,a a a 线性无关，则下列向量组中线性无关的是【 】A ．133221,,a a a a a a --- B. 212132,,a a a a - C. 32322,2,a a a a + D. 3121,,a a a a +6.向量组(I): )3(,,1≥m a a m 线性无关的充分必要条件是【 】A.(I)中任意一个向量都不能由其余m-1个向量线性表出B.(I)中存在一个向量,它不能由其余m-1个向量线性表出C.(I)中任意两个向量线性无关D.存在不全为零的常数0,,,111≠++m m m a k a k k k 使7．设a 为n m ⨯矩阵，则n 元齐次线性方程组0=Ax 存在非零解的充分必要条件是 【 】A ．A 的行向量组线性相关B . A 的列向量组线性相关 C. A 的行向量组线性无关 D. A 的列向量组线性无关 8.设i a 、i b 均为非零常数（i =1，2，3），且齐次线性方程组⎩⎨⎧=++=++00332211332211x b x b x b x a x a x a的基础解系含2个解向量，则必有 【 】A.03221= b b a aB.02121≠ b b a aC. 332211b a b a b a == D. 02131= b b a a9.方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++ax x x x x x x x x 32132132123 3 12 12 有解的充分必要的条件是【 】A. a=-3B. a=-2C. a=3D. a=210. 设η1，η2，η3是齐次线性方程组Ax = 0的一个基础解系，则下列向量组中也为该方程组的一个基础解系的是 【 】A. 可由η1，η2，η3线性表示的向量组B. 与η1，η2，η3等秩的向量组C.η1－η2，η2－η3，η3－η1D. η1，η1+η3，η1+η2+η3 11. 已知非齐次线性方程组的系数行列式为0，则 【 】A. 方程组有无穷多解B. 方程组可能无解，也可能有无穷多解C. 方程组有唯一解或无穷多解D. 方程组无解12.n 阶方阵A 相似于对角矩阵的充分必要条件是A 有n 个 【 】A.互不相同的特征值B.互不相同的特征向量C.线性无关的特征向量D.两两正交的特征向量 13. 下列子集能作成向量空间R n 的子空间的是 【 】A. }0|),,,{(2121=a a a a a nB. }0|),,,{(121∑==ni i n aa a a C. },,2,1,|),,,{(21n i z a a a a i n =∈ D. }1|),,,{(121∑==n i inaa a a14. F 3的两个子空间V 1={(x 1,x 2,x 3)|2x 1-x 2+x 3=0}, V 2={(x 1,x 2,x 3)|x 1+x 3=0}, 则子空间V 1 V 2的维数为【 】A. 二维B. 一维C. 三维D. 零维15. 设M n (R)是R 上全体n 阶矩阵的集合，定义)(,det )(R M A A A n ∈=σ，则σ是M n (R)到R 的 【 】A. 一一映射B. 满射C. 一一对应D. 既不是满射又不是一一对应15. 令),,(321x x x =ξ是R 3的任意向量，则下列映射中是R 3的线性变换的是 【 】A. 0,)(≠+=ααξξσB.)0,,2()(32321x x x x x +++=ξτC. ),,()(32221x x x p =ξ D. )0,cos ,(cos )(21x x w =ξ17.下列矩阵中为正交矩阵的是 【 】A.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1- 1 01 1 00 0 1 B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1- 22 151C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1 01- 1D.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡2 2 12- 1 212- 23118.若2阶方阵A 相似于矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3- 20 1B ,E 为2阶单位矩阵,则方阵E –A 必相似于矩阵【 】A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4 10 1B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4- 1 0 1-C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4 2-0 0D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4- 2-01-19.二次型32212132122),,(x x x x x x x x f ++=的秩等于【 】A ．0 B.1 C.2 D.320.若矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=8020001 a a A 正定,则实数a 的取值范围是【 】 A ．a < 8 B. a ＞4 C ．a ＜-4 D ．-4 ＜a ＜4二、填空题（每小题2分，共20分）。
21．设矩阵,1 00 2,1 0 23 1- 1⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=B A 记T A 为A 的转置，则B A T= 。
22．设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=5 32 1A 则行列式det(TAA )的值为 . 23．行列式6 7 2 15 9 83 4 的值为 .24．若向量组 ), , ( ), a , t, ( ), a , , (a 10064321321===线性相关，则常数t = . 25.向量组（1，2），（3，4）， （4，6）的秩为 .26.齐次线性方程组⎩⎨⎧=+-=++0320 321321x x x x x x 的基础解系所含解向量的个数为27.已知T , , x )201(1=、T , , x )54(32=是3元非齐次线性方程组b Ax =的两个解向量，则对应齐次线性方程0=Ax 有一个非零解ξ= .28.矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=6- 0 05 4 03 2 1A 的全部特征值为 。
29．设λ是3阶实对称矩阵A 的一个一重特征值，T 1) 3 1, 1, (ξ=、T 2) 12 a, 4, (ξ=是A 的属于特征值λ的特征向量，则实常数a= .30.31222121321422),,(x x x x x x x x x f ++-=的相伴矩阵A=三、计算题（每小题8分，共40分）31．计算行列式27 2- 6 2- 2 2 0 01 4 3-54 3 0 的值。
32．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡4 6 1-3- 5- 1 3- 4- 1 A 求 A -1。
33．求方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++022420763 02 432143214321x x x x x x x x x x x x 的基础解系与通解。
34．a 取何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=++=+a x x x x x x x 3232121 107432 有解？在有解时求出方程组的通解。
35．设向量组321,,a a a 线性无关。
试证明：向量组332123211,,a a a a a a =-=++=βββ线性无关。
答题纸 一、单项选择题（本大题共20小题，每小题2分，共40分）1.__2. __3. __4. __5. __6. __7. __8. __9.__ 10.__ 11.__ 12.__ 13.__ 14.__ 15.__ 16.__ 17.__ 18.__ 19. __ 20. __二、填空题（本大题共10空，每空2分，共20分）21.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡ 22.______ 23. ______ 24. ______ 25. ______ 26. ______ 27. ______ 28. ______ 29. ______ 30.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡三、计算题（每小题8分，共40分）2005级线性代数考试试题参考答案及评分标准一、单项选择题（本大题共20小题，每小题2分，共40分）1.A2.A3.B4.C5.D6.A7.B8.C9.D 10.D 11.B 12.C 13.B 14.B 15.B 16.B 17.C 18.D 19.D 20.D二、填空题（本大题共10空，每空2分，共20分）21.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1 6 0 2-2 2 22. 1 23. 360 24. 8 25. 2 26. 1 27.(2,4,3)T(或它的非零倍数) 28. 1、4、-629. 4 30.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0 0 20 2 1-2 1- 1三、计算题（每小题8分，共40分）31. 296 02220 01435430--=D …………1分 29 62- 2 254 33=…………3分 .96=…………6分32. 解法1: ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=1 0 0 4 6 1 0 1 0 3 5 1 0 0 13- 4- 1 )|(E A⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→1 0 1 1 2 00 1 1- 0 1- 00 0 1 3- 4- 1…………2分 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→1 2 1- 1 0 00 1 1- 0 1- 0 0 4- 5 3- 0 1…………4分⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→1 2 1- 1 0 00 1- 1 0 1 0 3 2 2 0 0 1…………5分 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=∴-1 2 1-0 1- 1 3 2 2 1A ，……6分.解法2: det （A ）=-1⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1 2 1-0 1 1-3- 2- 2-*A …………5分 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=∴1 2 1-0 1- 1 3 2 2 A 1-…………6分27. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1 2 1-0 1 1-3- 2- 2-*A …………2分 一个基础解系:ξ=(-2, 1, 0, 0)T,ξ=(2, 0, -1, 1)T…………5分通解为2211ξξk k x += （1k 、2k 是任意常数）…………6分33． ,200021103021⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→ a- - - A 故当且仅当a=2时，有解。