光在球面上的反射和折射
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第三章几何光学球面反射折射物像公式
例3.4:
一个折射率为1.6的玻璃哑铃，长20cm，两端的曲率半径为 2cm。若在 离哑铃左端5cm处的轴上有一物点,试求像的位置和性质。
[解]：两次折射成像问题。
n
P
O1
n
P’1 n` O 2
1、P为物, 对球面O1折射成像P1’
已知 : s1 5cm , r1 2cm , n 1, n ' 1.6 n n n n 由折射成像公式 ' r1 s1 s1
沿轴线段
A、凡光线与主轴交点在顶点右方者线段长度数值为正； 凡光线与主 轴交点在顶点左方者线段长度数值为负； B、物点或像点至主轴的距离在主轴上方为正，下方为负。 ② 光线的倾角均从主轴或球面法线算起，并取小于900的角度；由主轴 （或法线）转向有关光线时： A、顺时针转动，角度为正；B、逆时针转动，角度为负。 （注意：角度的正负与构成它的线段的正负无关）
2
r
2
s r
'
2
2 r s ' r cos
光程 PAP ' nl nl ' n
r 2 r s 2 2 r r s cos r
2
n
s r
'
2
2 r s r cos
1、高斯公式：
球面反射 : f ' f 1 1 2 ' s s r
六、理想成象的两个普适公式
n' n n' n 将物像公式 ' 变形为 : s s r n' n r r ' ' ' f f n n n n 1 1 ' ' s s s s
光在球面上的反射和折射
和
f ' n' r n'n
Gauss成像公式: f ' f 1 s' s
P
F
O
P’ F’
n n’
-f -x
f’ x’
-s
s’
分别以F和F’为基准点，量度物点P和像点P’ 的位置，物距和
和像距分别用 x 和 x’ 表示：
-s = -x-f s’ = x’+f’
xx' ff '
Newton成像公式
凹面镜 r 0, f f 0;
凸面镜 r 0, f f 0.
球面反射物像公式： 1 1 1 s s f
Mirror
例3.3
3 单个球面的折射成像
A. Abbe不变式 B. 焦距(focal lengh) C. Gauss成像公式和 Newton成像公式
4球面折射对光束单心性的破坏
f
'
(nL
1)
1 r1
1 r2
C2
O
证明： I1面: s1, s1’, r1 I2面: s2, s2’, r2
-r2
nL
I1 I2
r1 C1
薄透镜
3-3 光在球面上的反射和折射
顶点
曲率中心
曲率半径
主光轴(optical axis) ---- 光学系统的对称轴
C
主平面
近轴光线(paraxial ray) ---与光轴夹角较小，并靠近光轴的光线
o
光轴
黄线—近轴光线 绿线—非近轴光线
1. 符号规则(sign convention) 几何光学常用的符号规则： 笛卡尔坐标规则。
u
S
•
C
3-3光在球面介质上的反射、折射
3-3光在球面介质上的反射、折射 光在球面介质上的反射、 光在球面介质上的反射 球面成像的公式
第3章 几何光学 章
n′ n n′ − n − = s′ s r
物、像具有共轭关系，可逆关系. 像具有共轭关系，可逆关系 三 焦点 焦距 焦平面
n′ − n 球面成像的公式； 由球面成像的公式；令：Φ = — 球面光焦度 球面光焦度. r
n r os = f = − n′ − n
且： f ′ /
— 物空间的主焦距 物空间的主焦距 主焦距. （第一主焦距） 第一主焦距）
焦点、焦距是由介质折射率和球面半径决定 焦点、焦距是由介质折射率和球面半径决定.
f = − n′ / n
f ′=
焦距与光焦度关系： 焦距与光焦度关系：
n′ n′ → Φ = Φ f ′ n n f = → Φ = Φ f
像点在像空间无限远处！ 像点在像空间无限远处！
— 像空间的主焦距 像空间的主焦距 主焦距. （第二主焦距） 第二主焦距）
n s=− r n′ − n
3-3光在球面介质上的反射、折射 光在球面介质上的反射、 光在球面介质上的反射
第3章 几何光学 章
n s=− r n′ − n
— 物空间的主焦点 （第一主焦点） 物空间的主焦点 第一主焦点） 主焦点.（
第3章 几何光学 章
n s′ s′ − r = (r − s) (− s) n′
此式表明； 只与已知量有关 具有一个像点. 只与已知量有关， 此式表明；s´只与已知量有关，具有一个像点 球面折射成像条件： ） 球面折射成像条件：1）元光束 . 2）光线近轴传播 ）光线近轴传播.
s′ n 成像的公式： 成像的公式：由： s ′ − r = (r − s) (− s) n′ s′n′ rn′ rn sn ( s ′ − r ) n′ ( r − s ) n − = − = s′ s′ ( − s ) ( − s ) s′ (− s) n′ n n′ − n ∴ − = s′ s r
几何光学基本定律球面反射和折射成像
11-1-4 全反射
n1sinin2sinr
当 n1 n2 有 r i
临界角 ic ：相应于折射角 为90°的入射角.
r
n2
i
ic ic
n1
全反射：当入射角 i 大于临界角时,将不会出现折射 光,入射光的能量全部反射回原来介质的现象.
sin ic
n2 n1
§11-2 平面反射和平面折射成像
i i v1 n1
n2
r v2
⑵ 入射角 i 的正弦与折射角 r 的正弦之比为一个常数
sin i sin r n 21
n21称为第二种介质对第 一种介质的相对折射率
n21
sin i sinr
v1 v2
绝对折射率：一种介质相对于真空的折射率 n c v 。
设
c n1 v1
c n2 v2
n 21
虚像
m y 1 y
像正立
例2.点光源P位于一玻璃球心点左侧25 cm处.已知玻璃球半径 是10 cm,折射率为1.5,空气折射率近似为1,求像点的位置.
解: p1 15cm
P2
R10cm
n1 1
P1
n2 1.5
n1 P p1
p 1 p2
n2
C
P2
p 2
n1 n2 n2 n1
p1 p1
R
R
2
C
P
P
R
C P
P
会聚光入射凹镜：虚物成实像
p0
p' 0
R0
f
R 2
0
发散光入射凸镜： 实物成虚像
p 0 p' 0 R0
f R 0 2
R
P
P
3.5光在球面上的反射和折射符号法则
Chap.3 Basic Principles of Geometrical Optics
主讲人：尹国盛 教授 河南大学物理与信息光电子学院
1
主要内容
3.1 光线的概念 3.2 费马原理 3.3 单心光束 实像和虚像 3.4 光在平面界面上的反射和折射
光学纤维 3.5 光在球面上的反射和折射 3.6 光连续在几个球面界面上的折射
如果：n1 > n2，那么 y < y ,即像点P 位于 物点 P 的上方，视深度减小。
（渔民叉鱼） 如果：n1 < n2, 那么 y > y ,即像点P 位于
物点 P 的下方，视深度增大。
20
三. 全反射 光学纤维
1.全反射：
对光线只有反射而无折射的现像。
当光从光密介质n1射向光疏介质
n2（<n1）时，i1 i2 i1 ＝ic
18
∵ 单心光束的波面是球面， ∴ 在平面界面上折射后，波面的形状发生 变化，不再是球面了。这样形成的互相垂直 的两小段像且不那么清晰的现像称为像散。
② 当i1＝0，即当P所发出的光束几乎垂直于 界面时,有 x ＝0 ， y = y1 = y2 = y n2 n1 。
19
这表明 y 近似地与入射角 i1 无关，则折 射光束是近似单心的，y 称为像视深度，y 为 物的实际深度。
25
例题3.1 人眼前一小物体，距人眼25cm，今 在人眼和小物体之间放置一块平行平面玻璃 板，玻璃板的折射率为1.5 ，厚度为5mm。 试问此时看小物体相对它原来的位置移动多 远？
解：利用 P162 L 3.1 的结果，
PPˊ= d ( 1-1/n )
可得：
s = 5×（1－1/1.5）= 5/3≈1.67（mm)
主讲人：尹国盛 教授 河南大学物理与信息光电子学院
1
主要内容
3.1 光线的概念 3.2 费马原理 3.3 单心光束 实像和虚像 3.4 光在平面界面上的反射和折射
光学纤维 3.5 光在球面上的反射和折射 3.6 光连续在几个球面界面上的折射
如果：n1 > n2，那么 y < y ,即像点P 位于 物点 P 的上方，视深度减小。
（渔民叉鱼） 如果：n1 < n2, 那么 y > y ,即像点P 位于
物点 P 的下方，视深度增大。
20
三. 全反射 光学纤维
1.全反射：
对光线只有反射而无折射的现像。
当光从光密介质n1射向光疏介质
n2（<n1）时，i1 i2 i1 ＝ic
18
∵ 单心光束的波面是球面， ∴ 在平面界面上折射后，波面的形状发生 变化，不再是球面了。这样形成的互相垂直 的两小段像且不那么清晰的现像称为像散。
② 当i1＝0，即当P所发出的光束几乎垂直于 界面时,有 x ＝0 ， y = y1 = y2 = y n2 n1 。
19
这表明 y 近似地与入射角 i1 无关，则折 射光束是近似单心的，y 称为像视深度，y 为 物的实际深度。
25
例题3.1 人眼前一小物体，距人眼25cm，今 在人眼和小物体之间放置一块平行平面玻璃 板，玻璃板的折射率为1.5 ，厚度为5mm。 试问此时看小物体相对它原来的位置移动多 远？
解：利用 P162 L 3.1 的结果，
PPˊ= d ( 1-1/n )
可得：
s = 5×（1－1/1.5）= 5/3≈1.67（mm)
1. 4. 光在球面上的反射与折射
§1.4、光在球面上的反射与折射1.4.1、球面镜成像<1）球面镜的焦距球面镜的反射仍遵从反射定律，法线是球面的半径。
一束近主轴的平行光线，经凹镜反射后将会聚于主轴上一点F<图1-4-1），这F 点称为凹镜的焦点。
一束近主轴的平行光线经凸面镜反射后将发散，反向延长可会聚于主轴上一点F<图1-4-2），这F 点称为凸镜的虚焦点。
焦点F 到镜面顶点O 之间的距离叫做球面镜的焦距f 。
可以证明，球面镜焦距f 等于球面半径R 的一半，即b5E2RGbCAP<2）球面镜成像公式 根据反射定律可以推导出球面镜的成像公式。
下面以凹镜为例来推导：<如图1-4-3所示）设在凹镜的主轴上有一个物体S ，由S 发出的射向凹镜的光线镜面A 点反射后与主轴交于点，半径CA为反图1-4-1图1-4-2射的法线，即S的像。
根据反射定律，，则CA为角A的平分线，根据角平分线的性质有p1EanqFDPw①由为SA为近轴光线，所以，，①式可改写为②②式中OS叫物距u，叫像距v，设凹镜焦距为f，则代入①式化简这个公式同样适用于凸镜。
使用球面镜的成像公式时要注意：凹镜焦距f取正，凸镜焦距f取负；实物u取正，虚物u取负；实像v为正，虚像v为负。
DXDiTa9E3d上式是球面镜成像公式。
它适用于凹面镜成像和凸面镜成像，各量符号遵循“实取正，虚取负”的原则。
凸面镜的焦点是虚的，因此焦距为负值。
在成像中，像长和物长h之比为成像放大率，用m表示，RTCrpUDGiT由成像公式和放大率关系式可以讨论球面镜成像情况，对于凹镜，如表Ⅰ所列；对于凸镜，如表Ⅱ所列。
表Ⅰ 凹镜成像情况～2f表Ⅱ 凸镜成像情况～～2f同侧～<3）球面镜多次成像 球面镜多次成像原则：只要多次运用球面镜成像公式即可，但有时前一个球面镜反射的光线尚未成像便又遇上了后一个球面镜，此时就要引进虚像的概念。
5PCzVD7HxA 如图1-4-4所示，半径为R 的凸镜和凹镜主轴相互重合放置，两镜顶点O1 、 O2 相距2.6R ，现于主轴上距凹镜顶点O1为0.6R 处放一点光源S 。
光在球面上的反射和折射参考幻灯片
s'0.10m
顶点O的右边，虚像。
如右图，光线从右向
左传播，此时
A 物空间
巳知：S=0.05m， r=0.20m
Байду номын сангаас
P’
O PC
像空间
由球面镜物像公式，
11 2 s s' r
10/8/2020
1 1 2 0.05 s' 0.20
s'0.1m 0
顶点O的左边，虚像。
3.3.4 球面折射对 光束单心性的破坏
-s
考虑光线P－A－P’的光程 PA' P nln'l
n[ (r)2(rs)22(r)(rs)cos]12
n[ (r)2(s'r)22(r)(s'r)cos]12
当A点在镜面上移动时，是位置的变量。由费马原理
可得
dPA ' P 0 rss'r0
d
l
l'
由此可见，若s已知，则反射线与主轴的交点P’到O 点的距离s’随入射线的倾角u（亦即角）而变。也
由费马原理可得
d PAP' 0
d
n(rs)n'(s'r)0
l
l'
折射线与主轴的交点P’到O点的距离s’随入射线的倾角 u（亦即角）而变。
物点发出的单心光束经球面折射后，单心性也被破坏。
10/8/2020
3.3.5 近轴光线条件下球面折射的物像公式
近轴光线条件下，
角很小，在一级近似下，cos≈1，则有：l≈-s ，l’≈s’
10/8/2020 返回第3 章
3.3.1 符号法则
几何光学中的“符号”是人为规定的具有任意 性，需统一；
3.5 光在球面上的反射和折射 符号法则
2.光焦度公式：
0 会聚 n n ＝ ＝0 平面折射 r 0 发散
单位：m -1 ，称为屈光度，用 D 表示。 （共轭P176）
23
四. 棱 镜
主截面：垂直于两界面的截面. 偏向角：出射线与入射线间的交角. ＝(i1-i2 )+(i1 -i2 )= i1 +i 2 -A 最小偏向角：
A A ＝2i A , i i , i i 2 2
0 1 1 1 2 2
(i i A)
2 2
尹国盛教授河南大学物理与信息光电子学院31光线的概念32费马原理33单心光束实像和虚像34光在平面界面上的反射和折射光学纤维35光在球面上的反射和折射36光连续在几个球面界面上的折射37薄透镜38近轴物点近轴光线成像的条件39理想光具组的基点和基面310理想光具组的放大率基点和基面的性质311一般理想光具组的作图求像法和物像公式波面波面波面波面31光线的概念一光线与波面二几何光学的基本实验定律1光的直线传播定律小孔成像物体的影子2光的反射定律和折射定律3光的独立传播定律和光路可逆原理
11
5.物像之间的等光程性
物点S和像点S之间 各光线的光程都相等 （费马原理）
12
3.4 光在平面界面上的反射和折射 光学纤
三. 全反射 光学纤维
四. 棱镜
13
一. 光的平面反射成像
一个平面镜是最简单的光学系统
平面反射镜是一个最简单的理想光学系 统，它不改变光束的单心性，能成完善的像。 所成的像与原物大小相同，而物和像以平面 镜为对称。
B A
极小值：图（ｂ） 光的直线传播、 光的反射定律、折射定律 极大值：图（c） 恒定值：图（a）
6
3.3 单心光束 实像和虚像
1.5 光在单球面上的反射和折射
（1） 横向放大率
B y A
n
i
n
A
o
i
C
s
B
y
s
y i . s
在上图的折射系统中, 由几何关系,得
AB 是 AB 的像.
y i , s
近轴条件下，在入射点 O 处，由折射定律:
ni ni
物理科学与信息工程学院 21
将
y y i , i s s
(1) 物和像的虚实
< 0 物像互为倒立实物实像或虚物虚像,
> 0物像互为正立, 实物虚像或虚物实像.
(2) 像的放大和缩小
> 1，像放大； <1，像缩小；
= 1，物象等大.
物理科学与信息工程学院 25
（2）角放大率
B
u
A
h
C
u s
A' B'
s
和
在上图折射系统中, A和A是一对共轭物像点,
物理科学与信息工程学院 14
2、近轴光线条件下，球面折射的物象公式
在近轴光线条件下， 很小，在一级近似下， cos1，
• P
n u
s
i
A
i
C
n
n
O
u
P'
•
r
B
因此
s
l [r (r s )]2 s
l ' [r ( s ' r )]2 s '
u 是一对共轭角. 我们定义角放大率为 u , u
u
物理科学与信息工程学院 26
由上图可得
u s , u s
B y A
n
i
n
A
o
i
C
s
B
y
s
y i . s
在上图的折射系统中, 由几何关系,得
AB 是 AB 的像.
y i , s
近轴条件下，在入射点 O 处，由折射定律:
ni ni
物理科学与信息工程学院 21
将
y y i , i s s
(1) 物和像的虚实
< 0 物像互为倒立实物实像或虚物虚像,
> 0物像互为正立, 实物虚像或虚物实像.
(2) 像的放大和缩小
> 1，像放大； <1，像缩小；
= 1，物象等大.
物理科学与信息工程学院 25
（2）角放大率
B
u
A
h
C
u s
A' B'
s
和
在上图折射系统中, A和A是一对共轭物像点,
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2、近轴光线条件下，球面折射的物象公式
在近轴光线条件下， 很小，在一级近似下， cos1，
• P
n u
s
i
A
i
C
n
n
O
u
P'
•
r
B
因此
s
l [r (r s )]2 s
l ' [r ( s ' r )]2 s '
u 是一对共轭角. 我们定义角放大率为 u , u
u
物理科学与信息工程学院 26
由上图可得
u s , u s
光在球面上的反射折射
13 – 3 光在球面上的反射、折射成像 一 . 球面镜的反射成像 1. 凹面镜的反射成像 近轴光线 : 靠近 球面对称轴（ 主光 轴 ），且与对称轴具 有微小夹角的光线 . 焦距
1 2 3 4 5
物理学教程 （第二版）
凹面镜的焦点
F
f r 2
曲率半径
主 光 轴
f
* 第十三章 几何光学
13 – 3 光在球面上的反射、折射成像 利用作图法 确定像的位置和 大小 成像公式 A 2 1 2 1
物理学教程 （第二版）
2 . 凸面镜的反射成像
1
虚焦点
1 2 3 4 5
O
F
h0
1 2 2
O
f
p0
p
h1
f
F
f 0
凸面镜焦距
* 第十三章 几何光学
p0 0, p 0
凸面镜成像
13 – 3 光在球面上的反射、折射成像 二 . 球面上的折射成像 1. 成像公式（近轴光线）
物理学教程 （第二版）
O
物理学教程 （第二版）
h0 F
h1
p
1 1 1 p p f
凹面镜 f 0 (A) p 0, p 0 B
p
f
p
h0
1 F
O
h1
1 2
2
(B)
p 0, p 0
* 第十三章 几何光学
p
f
13 – 3 光在球面上的反射、折射成像 成像公式
物理学教程 （ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ二版）
n n n n p p r
M
f f 1 p p
Q
i
o
i
c
1 2 3 4 5
物理学教程 （第二版）
凹面镜的焦点
F
f r 2
曲率半径
主 光 轴
f
* 第十三章 几何光学
13 – 3 光在球面上的反射、折射成像 利用作图法 确定像的位置和 大小 成像公式 A 2 1 2 1
物理学教程 （第二版）
2 . 凸面镜的反射成像
1
虚焦点
1 2 3 4 5
O
F
h0
1 2 2
O
f
p0
p
h1
f
F
f 0
凸面镜焦距
* 第十三章 几何光学
p0 0, p 0
凸面镜成像
13 – 3 光在球面上的反射、折射成像 二 . 球面上的折射成像 1. 成像公式（近轴光线）
物理学教程 （第二版）
O
物理学教程 （第二版）
h0 F
h1
p
1 1 1 p p f
凹面镜 f 0 (A) p 0, p 0 B
p
f
p
h0
1 F
O
h1
1 2
2
(B)
p 0, p 0
* 第十三章 几何光学
p
f
13 – 3 光在球面上的反射、折射成像 成像公式
物理学教程 （ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ二版）
n n n n p p r
M
f f 1 p p
Q
i
o
i
c
几何光学
s in( u' )
s in( u' )
s' s'r r s' s
单球面反射 的物像公式
1 1 2 s s' r
即s’与-u和-u’均无关，保持单心性.
对于给定r 的球面, s’与s是 唯一对应的,此时存在确定的像 点P’,且s称为物距, s’称为像距.
三. 近轴物在近轴光线条件下球面反射的成像公式
ii. 近轴物,即y<<s,则式中的≈关系才能成立(一级近似)
四. 单个反射球面的成像放大率
1. 横向放大率:像的横向大小与物的横向大小之比.
y y' s s'
像长 物长
y' y
s' s
y P
P’ -y’
O
a. 1为放大像, 1缩小像, 1与物同大；
f, f ’ 符号相反, 永远位于球面界面的两侧.
4. 球面折射成像 的Gauss公式
f' f 1 s' s
5. 球面折射成像牛顿 Newton公式 若分别选用折射球面的物方焦点F 和像方焦点F’
为原点量度物距和像距:
物点在物方焦点之左：-x ; 物点在物方焦点之右：x ; 像点在像方焦点之左：-x’ ; 像点在像方焦点之右：x’ ;
4.当r=∞时,球面镜变成平面镜,这时s’= -s,若s为负, 则s’为正,反之亦然.物和像处于以平面镜为对称中 心的两个对称的位置.
例1.一点状物体放在离凹球面镜前0.05m处,凹球面镜 的曲率半径为0.20m,试确定像的位置和性质.
解: 光线自左向右进行 s=-0.05m r=-0.2m
光学——球面反射和折射
-u
u`
P
O
r
C
P`
-s
s`
P C s r r sP C s rA C r
nsin i1n sin i2
15
P C s i n u P C s i n u n r s s i n u s r s i n u n
已知:s1 5cm,r1 2cm,
n` P n1,n' 1.6
’ 1
O2
O1
P2’
n=1,n’=1.6 由折射成像公式：
n n n n s1 s1 r1
-s1
s1’
代入数据，可求得s1’.
-s2 -s2’
2、P1’为物对球面O2折射成像
s 2 2 0 1 6 4 c m , r 2 2 c m , n 1 . 6 , n ' 1
s — 物距 s’— 象距 r — 球面曲率半径
令 s=－∞ ，则 s’= r/2 = f’ ， f’ — 象方焦距 令 s’=－∞，则 s = r/2 = f ， f — 物方焦距 反射球面特点: f ’ = f , 物方焦点F 和象方焦点F’重合.
10
焦点:沿主轴方向的平行光束经球面反射后会聚
§1.4 球面反射和折射
• 符号法则 • 球面反射 • 球面折射 • 理想成象的两个普适公式
1
E
(1)线段 y
A
C
Or
-y’
-s
s’
以单球面折射系统为例, 从顶点算起： 沿轴线段
A、光线与主轴交于顶点右方者,线段长度为正； 光线与主轴交于顶点左方者,线段长度为负；
B、物点或像点至主轴的距离在主轴上方为正，
光在球面上的反射和折射
§3-5 光在球面上的反射和折射单独一个球面不仅是一个简单的光学系统，而且是组成光学仪器的基本元件，研究光经由球面的反射和折射，是一般光学系统成象的基础。
一、符号法则为了研究光线经由球面反射和折射后的光路，必须先说明一些概念以及规定一些适当的符号法则，以便使所得的结果能普遍适用。
(图3－12)图3-12中的AOB 所示球面的一部分，这部分球面的中心点O 称为顶点，球面的球心C 称为曲率中心，球面的半径称为曲率半径，连接顶点的曲率中心的直线CO 称为主轴，通过主轴的平面称为主截面，主轴对于所有的主截面具有对称性，因而我们只须讨论一个主截面内光线的反射。
图3-12表示球面的一个主截面。
在计算任一条光线的线段长度和角度时，我们对符号作如下规定。
（1）光线和主轴交点的位置都从顶点算起，凡在顶点右方者，其间距离的数值为正；凡在顶点左方者，其间距离的数值为负，物点或象点至主轴的距离，在主轴上方为正，在下方为负。
（2）光线方向的倾斜角度都从主轴（或球面法线）算起，并取小于2π的角度，由主轴（或球面法线）转向有关光线时，若沿顺时针方向转，则该角度的数值为正；若沿逆时针方向转动的，则该角度的数值为负（在考虑角度的符号时，不必考虑组成该角度两边的线段的符号）。
（3）在图中出现的长度和角度（几何量）只用正值，例如s 表示的某线段值是负的，则应用()s -来表示该线值的几何长度。
以下讨论的都是假定光线自左向右进行。
二、球面反射对光束单心性的破坏在图3-12中，一个从点光源P 发出的光波从左向右入射到曲率中心为C ，顶点为O ，曲率半径为γ的一个凹球面镜上，光线PA 经球面镜AOB 反射后，在'P 点与主轴相交，令 '',,'',ττ==-=-=AP PA s O P s PO半径AC 与主轴的夹角为ϕ，则光线'PAP 的光程为 (')'P A P n n ττ=+ 在PAC ∆和'ACP ∆中应用余弦定理，并注意c o s c o s ()()()'()(')',P C sr r s C P r s s r ϕπϕ=--=---=-=---=- 从而可得()()()()[]2122cos 2ϕs r r s r r l --+-+-=（3-10）以及()()()()[]2122'cos '2'ϕr s r r s r l ----+-= （3-11）因此，光线'PAP 的光程可写成12221222(')()()2()()cos ()(')2()(')cos PAP n r r s r r s n r s r r s r ϕϕ⎡⎤=-+-+--⎣⎦⎡⎤+-+----⎣⎦（3－12）由于当A 点在镜面上移动时，半径r 是常数，而ϕ才是位置的变量，根据费马原理，物象间的光程应取稳定值，为此，把（3-12）式对ϕ求导，并令其等于零，即()()[]()[]0sin '21sin 21''=-+--=ϕϕϕr s r ln s r r l n d PAP d 由此可得 0''=---l rs l s r 或者⎪⎭⎫⎝⎛+=+l s l s r l l ''111'（3-13） 如果发光点P 至O 点的距离s 为已知，从此式即可算出任一反射线和主轴的交点'P 到 O 点的距离's 的值，显然's 的值将随着所取入射线的倾斜角u ，亦即角ϕ的变化而变化，这就是说，从物点发散的单心光束经球面反射后，将不再保持单心（即使平等光束入射时也不例外），关于这一点可说明如下：PC A 1A 2OP 2P'P 3 (图3－13)图3-13中，相应于1PA 及2PA 两入射光线的反射线分别交主轴于1P 和2P 两点，且相交于'P 点，把该图绕主轴PO 转过一个小角度，使三角形12PA A 展成一单心的空间光束，此时'P 点描出一条很短的弧线，它垂直于图面即反射光束的子午象线，而图面中的12PP 则为弧矢象线。
§3.3 光在球面上的反射和折射
r s s r 0 l l
或：
1 1 1 s s l l r l l
（2）
2、球面反射对光的单心的破坏
由式（2）可以看出，s 的值随 u亦即角 的变化而变化
如图3.3 3、近轴光线条件下球面反射的物象公式 （1）球面反射的物象公式。
2 2 2 2 1/2
l r (s r ) 2r (s r )cos
根据费马原理
1/2
d ( PAP) n n 2r (r s)sin 2r ( s r )sin d l l n(r s) n( s r ) 2r sin 0 l l
图3.6
f f f x ff xx f x 1 fx x f x f x f x f
xx ff
这种物像公式的形式称为牛顿公式。
（12）
nr nr n n n n 1 f f 1 s s s s
Ⅱ、牛顿公式： 物距和象距也可以分 别从物方和象方焦点 算起。并遵守同样的 符号法则，如图3.6从 上图得
（11）
s x ( f ), s f x
xs f x s f
§3.3 光在球面上的反射和折射
一、符号法则（新笛卡儿符号法则） 1、基本概念 顶点O 曲率半径 曲率中心C 主轴 CO
主平面：过主轴的平面 2、符号法则
光线的线段长度和角度的符号规定：
图3.1
（1）线段：光线和主轴交点的位置都从顶点算起， “上正下负，右正左负 ” （2）角度：取小于 / 2 的锐角，主轴（或球面法线）转向有关 光线时，“顺正逆负”
f n c、 f f 的关系： f n
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1 1 1 s s ( ) l l r l l
考虑近轴光线,进一步得到
它的成像规律与介质无关．
1 1 2 s s r
s：物距
s：像距
'
C
FF
o
令 令
s ,
得 得
s ,
r f f 2
凹面镜
r f ; 2 r f , 2
因此球面镜物方焦点与像方焦点重合 .
P
O n n’
A
P’
r
C
-s
s’
5 近轴光线下球面折射的物像公式
M O n n’
l s, l s
'
'
P
P’
r
C
-s
s’
n' n n'n n'n 定义光焦度(optical power) ： s' s r r
r 的单位为米时，光焦度的单位称为屈光度(diopter)
n'n r
P
-u
f
-i’ C
u’
P’
Q
n’
r
s’
-s
单个折射面成像系统的笛卡尔符号规则
笛卡尔坐标规则补充
线段
纵向线段 以球面顶点 O 为原点，以入射光线进行 的方向为正方向，建立物空间坐标 s 和像空间坐标 ， 物点坐标为物距，像点坐标为像距 . s 横向线段 以光轴为起点，向上为正向下为负.
n
y
• S
u
O1
R s1 ’
O2
s2 ’ s2
P’
n' n n'n s' s r
(2).
O1面：s1=-2R, r1=+R, n1=1, n1’=1.5
s1’ =
O2面：s2= , r2= -R, n2=1.5, n2’=1
s2’ = 2R
例2. 推导薄透镜(thin lens)的焦距公式-----透镜制造者公式
nL 1 nL 1 I 面： s1 ' s1 r1
透镜制造者公式
n < n
O F n n’
> 0，会聚作用
C
r
f’
F’
-f
< 0，发散作用
F’
n
O n’
n > n
C
F
-f’
r
f
F’
O
F
n
n’
n < n
f
-f’
O F n n’
F’
n > n
-f
f’
焦距公式
从
n' n n'n s' s r
s’ = 时
物方焦距：
O F n n’
C
r
f’
s
i
n
n
S
O
i
C
u
r
y
•
s
图中各量的表示方法
图中只标记角度和线段的绝对值．标记点用大写字母, 标记角度和线段用小写字母.
物与像 的一一对应关系称为共轭.
n
y
• S
u
s
i
n
n
S
O
i
C
u
r
y
•
s
2球面反射对光束单心性的破坏
P到P 的光程:
[ PAP] nPA nAP nl nl
1 1 f ' (n L 1) r r 1 2
证明：
I1面: s1, s1’, r1 I2面: s2, s2’, r2
C2 - r2
r1 O
C1
nL I1
I2
薄透镜
s = s1, s’ = s2’, s2 = s1’
1 nL 1 nL II 面： s2 ' s2 r2
-s = -x- f s’ = x’+f’
xx' ff '
Newton成像公式
成像规律图
以S 为横坐标, 以 S为纵坐标, 根据高斯公式作物距和像距关系曲 线. 这是一条以S=f， S=ƒ 两直线为渐近线的双曲线. 曲线上每一点 都对应光轴上一对共轭点. 第二象限实 物实像
s 第一象限虚 物实像
F’
-f
n f r n n'
n' f ' r n'n
同理： 像方焦距:
f、 f ’、 之间的关系:
n n'n n' F r f' f
n < n’
O n n’ C
r
f’
F’
f n f' n'
-f
f, f ’ 符号相反，大小不等
6 Gauss成像公式和Newton成像公式 由球面折射物像公式
f
1
像放大 像缩小 第三象限 实物虚像
f
0
1
第四象限 虚物虚像
s
例1、一个折射率为1.5的玻璃球，半径R，置于空气中。在近轴成像时， 问： （1）无穷远处的物成像在何处？ （2）物在球前2R处，成像在何处？
n=1.5
P1’ O2
R s2 ’ s2 s1 ’ P’
P
- s1
O1
'
PC (s) （ - - r） r - s
CP' (r) （ - - s '） s -r
1 cos ] 2 1 cos ] 2
'
l [ r 2 r s 2 2 r r s
' 2
l [ r s r 2 r s ' r
笛卡尔坐标规则:
i. 假设光线从左侧进入光学系统； ii. 线段量以光轴与介质分界面的交点为参照点， 左方负，右方正；在光轴上方为正，下方为负； iii. 角度量以介质分界面法线或光轴为基准，按小于 90o的方向旋转，顺时针为正逆时针为负； iv. 所有量用绝对值表示----全正表示。
-i
M h O n
用Fermat原理推导
A
l
出发点：
P O
l'
C n n’
P’
P、P为物像共轭点。
r
s’
从P发出的各同心 光线都到P点
-s
从Fermat原理可知P点到P点的 所有成像光线有相等的光程
PAP ' nl nl '
Fermat原理
等 光 程
dPAP ' 0 d
' ' n n 1 n s ns ' ' l r l l l '
n' n n'n s' s r
和
n r 焦距公式： f n n'
Gauss成像公式:
n' f ' r n'n
f' f 1 s' s
P
F n
O n’
F’
P’
-x
-f
f’
x’
s’ -s 分别以F和F’为基准点，量度物点P和像点P’ 的位置，物距和 和像距分别用 x 和 x’ 表示：
3-3 光在球面上的反射和折射
顶点 曲率中心 曲率半径
主光轴(optical axis) ---- 光学系统的对称轴 主平面 近轴光线(paraxial ray) ---与光轴夹角较小，并靠近光轴的光线
C
o
光轴
黄线—近轴光线
绿线—非近轴光线
1. 符号规则(sign convention)
几何光学常用的符号规则： 笛卡尔坐标规则。
凸面镜
球面反射物像公式：
r 0, f f 0; r 0, f f 0.
1 1 1 s s f
Mirror
例3.3
3 单个球面的折射成像
A. Abbe不变式 B. 焦距(focal lengh) C. Gauss成像公式和 Newton成像公式
4球面折射对光束单心性的破坏
n=1.5
解：
-s1
O1
n' n n'n s' s r
(1). O1面：s1=-, r1=+R, n1=1, n1’=1.5
R
O2 P’ s2 ’ s2 s1 ’
P1’
s1’ = 3R s2’ = R/2
O2面：s2=R, r2= -R, n2=1.5, n2’=1
P
n=1.5
-s1
' 2
d PAP' d
0
得到
r s s r ' 0 l l
' 1 1 1s s ' ' l r l l l
i
'
或者
结论
球面反射 破坏光束 的单心性
-i’ -u’
-u
3近轴光线条件下球面反射的物像 公式 利用几何知识可以得到单球面反射系统成像公式