中国矿业大学普通物理8章2【修订】
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解：无限大平面电流可看成由无限多根紧密而 平行排列的长直电流所组成。如图，由对称性分析： P 点处合磁场的方向必然平行平板指向左方，其下 半部分空间磁场方向必然平行平板指向右方。
dB1 dB
P
dl2
dB2
dl1 O
取矩形回路 abcd 作积分回路 L，由安培环路定理得
LB dl abB dl bcB dl cdB dl daB dl 2Bl dB1
L L
I3
I2
I1
L
B1 dl B2 dl Bn dl
L L
o I1 o I 2 o I n o I i
（3）电流在环路之外 B dl B cos dl
L L
I
d
B dl´
cd
B dl 0
da
故由安培环路定理得
L
B dl Bab 0 I nab
即得：
B 0nI
（为均匀磁场）
方向：右手螺旋定则
通电螺绕环的磁感应线
例三 载流螺绕环的磁场分布
环形螺线管称为螺绕环。设螺绕环轴线半径为R， 环上均匀密绕 N 匝线圈，通有电流 I。求环内磁场 分布。 解：由对称性分析
R
B dl 2r B 0 I
L
P
I
dB
即 （2）r ＜R
0 I B 2r
同理
L
O
P
B P
R
I 2 LB dl 2r B 0 R 2 r
即
0 rI B 2 2R
0 I 2R
O
r
r
若为面分布，即电流 I 均匀分布在圆柱面上， 则由安培环路定理得空间的磁场分布为：
理求磁场分布。
例一
无限长载流圆柱形导体的磁场分布
设真空中有一无限长载流圆柱体，圆柱半径为 R ，圆柱横截面上均匀地通有 电流 I ，沿轴线流动。求磁场 分布。
R
P
I
dB2
解：由对称性分析，圆柱 体内外空间的磁感应线是一系 列同轴圆周线，如图所示。
dB
L
dI1 O dI2
dB1
P
（1）r ＞R 应用安培环路定理
= 0； F = 0
结论： 带电粒子作匀速直线运动。
（2） v0 B
F qvB
方向垂直于v 和B
粒子在磁场中作匀速率 圆周运动。 洛伦兹力不作功。
动力学方程： 运动半径：
v qvB m R
mv R qB
2
2 R 2 m 周期：T v qB
频率：
1 qB T 2 m
一、安培环路定理
在真空中，磁感应强度 B矢量沿任何闭合曲线 L一周的线积分，等于闭合曲线所包围的电流的代 数和的o倍，而与曲线的形状大小无关。
B dl o I
L
说明磁场是非保守场
注意
此公式中的磁场是整个空间电流激发的。
如图求 B dl ?
L
B d l 0 ( I1 I1 I1 I 2 )
（1）环内的 B 线为一系
列与环同心的圆周线，在环 内任取一点 P1 ，过P1 点作以 O点为圆心，半径为 r 的圆 周作积分回路 L ，方向与电 流 I 构成右手螺旋方向，由 安培环路定理得 B 的环流 为
L
L
O R
d
r
P1
—— 洛伦兹力公式
F qv B
大小：
ห้องสมุดไป่ตู้ 方向：垂直 v 和
F qBvsin
B 组成的平面，
v
F
q
指向：由右手螺旋定则决定。
当q 0, F与v B同向； 当q0, F与v B反向。
B
说明：1、洛仑兹力F的方向垂直于v和B所确定的平面。
1 B B1 B2 2 0 j 0 j 2
两板之外：
B B1 B2 0
（2）同向电流 两板之间：
j
j
B B1 B2 0
两板之外：
1 B B1 B2 2 0 j 0 j 2
§8-5 带电粒子在磁场中所受作用及其 运动
结论： 带电粒子作匀速圆周运动，其周期 和频率与速度无关。
1930年狄 拉克预言 自然界存 在正电子
正电子
电子
B
铝板
显示正电 子存在的 云室照片 及其摹描 图
（3） v0 B夹角
v v v
v v0 cos ——匀速直线运动 v v0 sin
设此长直螺线管可视为无限长密绕螺线管，线圈中 通电流 I ，单位长密绕 n 匝线圈，求管内磁场分布。 解：由对称性分析，磁场分布如图：
管内部 B 线平行于轴线，离轴等距离处B 大小相等。 管外部 贴近管壁处B 趋近于零。
取过管内任一点 P 的矩形回路 abcda 为积分回 路 L ，绕行方向为 a b c d a ，则 B 环 流为
——匀速率圆周运动
等距螺旋运动
螺旋线半径为:
m v m v0 sin R qB qB
2R 2m T v qB
螺旋周期为:
螺旋线的螺距为:
v
v0
v
2m v0 cos h Tv qB
B
h
三、带电粒子在不均匀磁场中的运动
R
m v qB
B变大
L L L 2
L
B cos900 dl B cosdl 0
0
0 I rd 0 I 2e
（2）多根载流导线穿过环路
B B1 B2 Bn
B dl B1 B2 Bn dl
l
与 I 成右螺旋的反方向
l
2
0
d o I
B d l 0 I
若闭合路径上某处 dl 不在上述垂直平面内，则分解得：
dl dl dl
L
I
r dr
B
故有
r
d
dl
B dl B dl dl
3、电流的符号规定：
当电流方向与积分路 径的绕行方向构成右手螺 旋关系时电流为正，反之 为负。
I4 I3
l
I2
I1
4 、 LE dl 0 静电场是保守场，可引入电势能
LB dl 0 I 内 磁场是非保守场，不可引入电势能
二.安培环路定理的应用
当电流分布具有对称性时（无限长、 无限大、柱对称等），可应用安培环路定
§8-4 安培环路定理
无限长直载流导线： （1）电流穿过环路 o I B 2 r B dl B cos dl
L L
I
l
与 I 成右螺旋
d r
l
B
dl cos rd
dl
o I o I LB dl L 2 r rd 2
而
Bab ab Bcd cd 0 nab I
d
P2
考虑到
Bab ab 0nab I
a
b
O R
c
d
故得
P2 处的磁感应强度为：
Bcd 0
环管外无磁场：
B0
例四 一无限大薄导体平板均匀地通有电流， 若导体平板垂直屏幕，电流沿平板垂直屏幕向外， 设电流沿平板横截面方向单位宽度的电流为 j ，试计 算空间磁场分布。
B dl B 2r 0 NI
则得
0 NI B 2r
d d R r R 2 2
当环很细，R 很大时，即R＞＞d 时，可认为 r≈R，令
N n 2R
则得
0 NI B 0 nI 2R
dl
B dl B dl Bdl cos Bdl cos
o I o I rd r d 0 2 r 2 r
结论：
电流在环路之外
I
d
B dl´
B
r
B dl 0
L
r
dl
说明:回路外电流只影响B而不会影响它沿闭合回路的积分
a
d
b
c
bc cd da
B dl B dl B dl B dl B dl
L ab
因为
B dl B ab
ab
B dl 0
bc
B dl 0
L
I1 I1
L
I2 I 3
I1
（I1 I 2） 0
问：1） B
2）若
B d l 0
L
是否与回路 外电流有关？ L
，是否回路
L上各处
B 0？
是否回路 L 内无电流穿过？
说明：
1、安培环路定理表达式中的电流强度是指闭合曲 线所包围，并穿过的电流强度，不包括闭合曲线 以外的电流。 2、安培环路定理表达式中的磁感应强度B是闭合 曲线内外所有电流产生的磁感应强度。
对相互垂直的电场和磁场，当带电粒子进入其 中时，有
v E, v B
B
dl cos rd dl cos r d
o I B 2 r
r
r
o I B 2 r B dl B dl Bdl cos Bdl cos o I o I rd r d 0 2 r 2 r
B
0 0 I 2r
rR r R
若电流 I 均匀分布在如图所示的横截面上， 则由安培环路定理得空间的磁场分布为：
I
a
b
B
0 2 b a 0 I 2r
2
r a
0 I
2
r 2 a2 r
a r b r b
通电螺线管的磁感应线
I
I
例二 长直载流螺线管内的磁场分布
L
O R
d
r
P1
（磁场集中在环内，且均匀分布）
（2）管外：任取一点 P2 ，过P2 作扇形积分回路 abcda，其绕行方向符合右手螺旋定则，由安培环路 定理， 的环流为 B
B abcd dl ab B dl bc B dl cd B dl da B dl Bab ab Bcd cd
2、 洛仑兹力F不能改变带电粒子速度v的大小， 只能改变其运动方向。
二、带电粒子在均匀磁场中的运动
设一质量为 m ，电量为 q 进入均匀磁场B ，忽略重力，其运动规律分三种情 况： （1）v0 ∥B
的带电粒子以初速v0
F qv B
+
v
B
F qv sin B
一、洛伦兹力
由前面对磁感应强度的定义知：
Z
F
q ∥ O 1当v B时，F 0 X 2当v B时，max qvB F vx v 3当v B为 时，F qBvx qBvsin
vy
B
Y
矢量式：
F qv B
R变小
f // 指向磁场较弱方向，阻 止粒子向磁场较强方向 运动
带电粒子沿磁场方向速度减小至零，从而掉向反转运动
带电粒子在不均匀磁场中的运动
磁约束
非均匀磁场的应用：范•艾伦（Van Allen）辐射带
§8-6 带电粒子在电磁场中运动的应用
1、速度选择器
+
A A’ K
+
速度选择器
p1 p2
L
........ .. ... ..... ..... ... . ..... .. . . . d
即
2Bl 0lj
B
d
dB
P
所以得
0
2
dB2
dl1 O dl2
c
j
a
L
b
无限大均匀平面电流两侧为匀强磁场，即大 小相等，方向相反，与离板的距离无关。
思考 两无限大薄导体平板通有同向或反向电 流，如图所示。求两板之间和两板之外的磁场分布。 解：（1）反向电流 两板之间：
j
j
dB1 dB
P
dl2
dB2
dl1 O
取矩形回路 abcd 作积分回路 L，由安培环路定理得
LB dl abB dl bcB dl cdB dl daB dl 2Bl dB1
L L
I3
I2
I1
L
B1 dl B2 dl Bn dl
L L
o I1 o I 2 o I n o I i
（3）电流在环路之外 B dl B cos dl
L L
I
d
B dl´
cd
B dl 0
da
故由安培环路定理得
L
B dl Bab 0 I nab
即得：
B 0nI
（为均匀磁场）
方向：右手螺旋定则
通电螺绕环的磁感应线
例三 载流螺绕环的磁场分布
环形螺线管称为螺绕环。设螺绕环轴线半径为R， 环上均匀密绕 N 匝线圈，通有电流 I。求环内磁场 分布。 解：由对称性分析
R
B dl 2r B 0 I
L
P
I
dB
即 （2）r ＜R
0 I B 2r
同理
L
O
P
B P
R
I 2 LB dl 2r B 0 R 2 r
即
0 rI B 2 2R
0 I 2R
O
r
r
若为面分布，即电流 I 均匀分布在圆柱面上， 则由安培环路定理得空间的磁场分布为：
理求磁场分布。
例一
无限长载流圆柱形导体的磁场分布
设真空中有一无限长载流圆柱体，圆柱半径为 R ，圆柱横截面上均匀地通有 电流 I ，沿轴线流动。求磁场 分布。
R
P
I
dB2
解：由对称性分析，圆柱 体内外空间的磁感应线是一系 列同轴圆周线，如图所示。
dB
L
dI1 O dI2
dB1
P
（1）r ＞R 应用安培环路定理
= 0； F = 0
结论： 带电粒子作匀速直线运动。
（2） v0 B
F qvB
方向垂直于v 和B
粒子在磁场中作匀速率 圆周运动。 洛伦兹力不作功。
动力学方程： 运动半径：
v qvB m R
mv R qB
2
2 R 2 m 周期：T v qB
频率：
1 qB T 2 m
一、安培环路定理
在真空中，磁感应强度 B矢量沿任何闭合曲线 L一周的线积分，等于闭合曲线所包围的电流的代 数和的o倍，而与曲线的形状大小无关。
B dl o I
L
说明磁场是非保守场
注意
此公式中的磁场是整个空间电流激发的。
如图求 B dl ?
L
B d l 0 ( I1 I1 I1 I 2 )
（1）环内的 B 线为一系
列与环同心的圆周线，在环 内任取一点 P1 ，过P1 点作以 O点为圆心，半径为 r 的圆 周作积分回路 L ，方向与电 流 I 构成右手螺旋方向，由 安培环路定理得 B 的环流 为
L
L
O R
d
r
P1
—— 洛伦兹力公式
F qv B
大小：
ห้องสมุดไป่ตู้ 方向：垂直 v 和
F qBvsin
B 组成的平面，
v
F
q
指向：由右手螺旋定则决定。
当q 0, F与v B同向； 当q0, F与v B反向。
B
说明：1、洛仑兹力F的方向垂直于v和B所确定的平面。
1 B B1 B2 2 0 j 0 j 2
两板之外：
B B1 B2 0
（2）同向电流 两板之间：
j
j
B B1 B2 0
两板之外：
1 B B1 B2 2 0 j 0 j 2
§8-5 带电粒子在磁场中所受作用及其 运动
结论： 带电粒子作匀速圆周运动，其周期 和频率与速度无关。
1930年狄 拉克预言 自然界存 在正电子
正电子
电子
B
铝板
显示正电 子存在的 云室照片 及其摹描 图
（3） v0 B夹角
v v v
v v0 cos ——匀速直线运动 v v0 sin
设此长直螺线管可视为无限长密绕螺线管，线圈中 通电流 I ，单位长密绕 n 匝线圈，求管内磁场分布。 解：由对称性分析，磁场分布如图：
管内部 B 线平行于轴线，离轴等距离处B 大小相等。 管外部 贴近管壁处B 趋近于零。
取过管内任一点 P 的矩形回路 abcda 为积分回 路 L ，绕行方向为 a b c d a ，则 B 环 流为
——匀速率圆周运动
等距螺旋运动
螺旋线半径为:
m v m v0 sin R qB qB
2R 2m T v qB
螺旋周期为:
螺旋线的螺距为:
v
v0
v
2m v0 cos h Tv qB
B
h
三、带电粒子在不均匀磁场中的运动
R
m v qB
B变大
L L L 2
L
B cos900 dl B cosdl 0
0
0 I rd 0 I 2e
（2）多根载流导线穿过环路
B B1 B2 Bn
B dl B1 B2 Bn dl
l
与 I 成右螺旋的反方向
l
2
0
d o I
B d l 0 I
若闭合路径上某处 dl 不在上述垂直平面内，则分解得：
dl dl dl
L
I
r dr
B
故有
r
d
dl
B dl B dl dl
3、电流的符号规定：
当电流方向与积分路 径的绕行方向构成右手螺 旋关系时电流为正，反之 为负。
I4 I3
l
I2
I1
4 、 LE dl 0 静电场是保守场，可引入电势能
LB dl 0 I 内 磁场是非保守场，不可引入电势能
二.安培环路定理的应用
当电流分布具有对称性时（无限长、 无限大、柱对称等），可应用安培环路定
§8-4 安培环路定理
无限长直载流导线： （1）电流穿过环路 o I B 2 r B dl B cos dl
L L
I
l
与 I 成右螺旋
d r
l
B
dl cos rd
dl
o I o I LB dl L 2 r rd 2
而
Bab ab Bcd cd 0 nab I
d
P2
考虑到
Bab ab 0nab I
a
b
O R
c
d
故得
P2 处的磁感应强度为：
Bcd 0
环管外无磁场：
B0
例四 一无限大薄导体平板均匀地通有电流， 若导体平板垂直屏幕，电流沿平板垂直屏幕向外， 设电流沿平板横截面方向单位宽度的电流为 j ，试计 算空间磁场分布。
B dl B 2r 0 NI
则得
0 NI B 2r
d d R r R 2 2
当环很细，R 很大时，即R＞＞d 时，可认为 r≈R，令
N n 2R
则得
0 NI B 0 nI 2R
dl
B dl B dl Bdl cos Bdl cos
o I o I rd r d 0 2 r 2 r
结论：
电流在环路之外
I
d
B dl´
B
r
B dl 0
L
r
dl
说明:回路外电流只影响B而不会影响它沿闭合回路的积分
a
d
b
c
bc cd da
B dl B dl B dl B dl B dl
L ab
因为
B dl B ab
ab
B dl 0
bc
B dl 0
L
I1 I1
L
I2 I 3
I1
（I1 I 2） 0
问：1） B
2）若
B d l 0
L
是否与回路 外电流有关？ L
，是否回路
L上各处
B 0？
是否回路 L 内无电流穿过？
说明：
1、安培环路定理表达式中的电流强度是指闭合曲 线所包围，并穿过的电流强度，不包括闭合曲线 以外的电流。 2、安培环路定理表达式中的磁感应强度B是闭合 曲线内外所有电流产生的磁感应强度。
对相互垂直的电场和磁场，当带电粒子进入其 中时，有
v E, v B
B
dl cos rd dl cos r d
o I B 2 r
r
r
o I B 2 r B dl B dl Bdl cos Bdl cos o I o I rd r d 0 2 r 2 r
B
0 0 I 2r
rR r R
若电流 I 均匀分布在如图所示的横截面上， 则由安培环路定理得空间的磁场分布为：
I
a
b
B
0 2 b a 0 I 2r
2
r a
0 I
2
r 2 a2 r
a r b r b
通电螺线管的磁感应线
I
I
例二 长直载流螺线管内的磁场分布
L
O R
d
r
P1
（磁场集中在环内，且均匀分布）
（2）管外：任取一点 P2 ，过P2 作扇形积分回路 abcda，其绕行方向符合右手螺旋定则，由安培环路 定理， 的环流为 B
B abcd dl ab B dl bc B dl cd B dl da B dl Bab ab Bcd cd
2、 洛仑兹力F不能改变带电粒子速度v的大小， 只能改变其运动方向。
二、带电粒子在均匀磁场中的运动
设一质量为 m ，电量为 q 进入均匀磁场B ，忽略重力，其运动规律分三种情 况： （1）v0 ∥B
的带电粒子以初速v0
F qv B
+
v
B
F qv sin B
一、洛伦兹力
由前面对磁感应强度的定义知：
Z
F
q ∥ O 1当v B时，F 0 X 2当v B时，max qvB F vx v 3当v B为 时，F qBvx qBvsin
vy
B
Y
矢量式：
F qv B
R变小
f // 指向磁场较弱方向，阻 止粒子向磁场较强方向 运动
带电粒子沿磁场方向速度减小至零，从而掉向反转运动
带电粒子在不均匀磁场中的运动
磁约束
非均匀磁场的应用：范•艾伦（Van Allen）辐射带
§8-6 带电粒子在电磁场中运动的应用
1、速度选择器
+
A A’ K
+
速度选择器
p1 p2
L
........ .. ... ..... ..... ... . ..... .. . . . d
即
2Bl 0lj
B
d
dB
P
所以得
0
2
dB2
dl1 O dl2
c
j
a
L
b
无限大均匀平面电流两侧为匀强磁场，即大 小相等，方向相反，与离板的距离无关。
思考 两无限大薄导体平板通有同向或反向电 流，如图所示。求两板之间和两板之外的磁场分布。 解：（1）反向电流 两板之间：
j
j