上海市浦东新区2016-2017学年高二(下)期中数学试卷
上海市浦东新区四校2016_2017学年高二数学上学期期中试题
n1 n 2 n3
3n
5 ____ 6
8、已知数列 an 满足 an n2 n （ R ），且 a1 a2 a3 an an1 ，则 的取值范围是 ___ 3, ________．
9、若数列an满足an+1 =
2an，0 an
2an
1,
1 2
a n
1 2 （n 1
.
492
5、已知矩阵A=
1 2
2 2
1 3
，矩阵B=
a
2a 3a
。若AB
1222
,则a
=__-2
___
6、数列 {an} （ n N *
）的通项公式
an
(213n)
n ,1 1
5n 1
n 100, , n 100,
，则
lim
n
an
=_
2 5
__________ __
7、 已知 f (n) 1 1 1 1（n N ），则 f (1)
---4 分
（2）由（1）Sn
=
n（a1 +an）=n 2
2+11n=312---------------------6
分
n=13-------------------8分
18、（本小题满分 10 分，4+6 分）
设首项为 2，公比为 q (q 0) 的等比数列的前 n 项和为 Sn ，且 Tn a2 a4 a6 a2n ，
(1) 求Sn ；
（2）求 lim Sn T n
n
解：（1）当q=1，Sn 2n；---------------1分
当q>0且q
1，Sn =
（2 1-q
上海市高二下学期期中数学试卷及答案(共3套)
上海市浦东新区高二第二学期期中数学试卷一、填空题（1-6题，每题3分；7-12题，每题4分）。
1. 过点)5,3(P ，且与向量)2,4(=d 平行的直线l 的点方向式方程为 24= 。
2. 直线023=++y x 的倾斜角为___________ 3arctan -π3. 直线0143=+-y x 与0743=+-y x 的距离为 56。
4.直线1y x =+被曲线2112y x =-截得的线段AB 的长为_____________ 5. 直线21:60l x m y ++=与2:(2)320l m x my m -++=平行，求实数m 的值___0或1-6.已知方程22123x y k k+=-+表示椭圆，求实数k 的取值范围_32m -<<且12≠- 7．过点)3,1(-且与直线013=+-y x 的夹角为6π的直线方程为04301=+-=+y x x 或8．已知一圆的圆心坐标为)1,2(-C ，且被直线01:=--y x l 截得的弦长为22，则此圆的方程22(2)(1)4x y -++= 。
9．若椭圆)0(14422>=++k ky x 的两焦点和两顶点构成一个正方形，则=k 4 。
10．已知点)3,2(-A 、)2,3(B --，若直线l 过点)1,1(P 且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的 取值范围_____4-≤k 或43≥k11.已知关于x 0x m +=有两个不等实数根，则实数m 的取值范围1m ≤-12.设AB 是椭圆221164x y +=的长轴，若把AB 分成10等分，依次过每个分点作AB 的垂线，交椭圆的上半部分于129P P P 、、。
1F 为椭圆的左焦点，则11112FA F P F P +++191F P FB ++的值___________。
44 二、选择题（每题4分）。
13. 若点P 的坐标为(,)a b ，曲线C 的方程为(,)0F x y =，则“(,)0F a b =”是“点P 在曲线C 上”的____________ （ C ）()A 充分非必要条件 ()B 必要非充分条件 ()C 充要条件 ()D 既非充分又非必要条件14．椭圆的焦距为8，且椭圆上的点到两个焦点距离之和为10，则该椭圆的标准方程是 （ B ）（A ）192522=+y x （B ）125922=+y x 或192522=+y x（C ）125922=+y x（D ）1251622=+y x 或191622=+y x15. 圆上的点到直线043=+y x 的距离的最大值是 （ C ）)(A53 B)(51)(C 552+ )(D 552-16. 已知椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线 必经过椭圆的另一个焦点. 今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A 、B 是它的两个焦点， 长轴长为a 2，焦距为2c. 当静放在点A 的小球（小球的半径不计），从点A 沿直线击出， 经椭圆壁反弹后再回到点A 时，小球经过的路程是 （ D ） （A ）a 4 （B ）)(2c a - (C) )(2c a + （D ）以上三种情况都有可能三、 解答题（共42分）。
浦东新区2016学年高二第二学期期中数学试卷答案
浦东新区2016高二第二学期期中数学试卷一、填空题（1-6题，每题3分；7-12题，每题4分）。
1. 过点，且与向量平行的直线的点方向式方程为 。
2. 直线的倾斜角为___________ 3. 直线0143=+-y x 与0743=+-y x 的距离为 56。
4.直线1y x =+被曲线2112y x =-截得的线段AB 的长为_____________ 5. 直线21:60l x m y ++=与2:(2)320l m x my m -++=平行，求实数m 的值___0或1-6.已知方程22123x y k k+=-+表示椭圆，求实数k 的取值范围_32m -<<且12≠- 7．过点且与直线的夹角为的直线方程为8．已知一圆的圆心坐标为，且被直线截得的弦长为，则此圆的方程 22(2)(1)4x y -++= 。
9．若椭圆)0(14422>=++k ky x 的两焦点和两顶点构成一个正方形，则=k 4 。
10．已知点)3,2(-A 、)2,3(B --，若直线过点)1,1(P 且与线段AB 相交，则的斜率k 的 取值范围_____或11.已知关于x 0x m ++=有两个不等实数根，则实数m 的取值范围1m ≤-12.设AB 是椭圆221164x y +=的长轴，若把AB 分成10等分，依次过每个分点作AB 的垂线，交椭圆的上半部分于129P P P 、、。
1F 为椭圆的左焦点，则11112F A F P F P +++191F P F B ++的值___________。
44二、选择题（每题4分）。
13. 若点P 的坐标为(,)a b ，曲线C 的方程为(,)0F x y =，则“(,)0F a b =”是“点P 在曲线C 上”的____________ （ ） 充分非必要条件 必要非充分条件充要条件 既非充分又非必要条件 14．椭圆的焦距为8，且椭圆上的点到两个焦点距离之和为10，则该椭圆的标准方程是 （ B ）（A ） （B ）或 （C ）（D ）或15. 圆x 2+y 2+4x −2y +245=0上的点到直线的距离的最大值是 （ ）16. 已知椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线必经过椭圆的另一个焦点. 今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A 、B 是它的两个焦点，)5,3(P )2,4(=d l 2543-=-y x 023=++y x 3arctan -π)3,1(-013=+-y x 6π04301=+-=+y x x 或)1,2(-C 01:=--y x l 22l l 4-≤k 43≥k C ()A ()B ()C ()D 192522=+y x 125922=+y x 192522=+y x 125922=+y x 1251622=+y x 191622=+y x 043=+y x C )(A 53B)(51)(C 552+)(D 552-长轴长为a 2，焦距为2c. 当静放在点A 的小球（小球的半径不计），从点A 沿直线击出， 经椭圆壁反弹后再回到点A 时，小球经过的路程是 （ D ） （A ）a 4 （B ）)(2c a - (C) )(2c a + （D ）以上三种情况都有可能 三、解答题（共42分）。
2016年上海市浦东新区高二下学期数学期中考试试卷
2016年上海市浦东新区高二下学期数学期中考试试卷一、填空题（共12小题；共60分）1. 椭圆的长轴长为．2. 直线的方程为，则直线的倾斜角为．3. 若直线过点，且它的一个法向量是，则直线的方程为．4. 以为圆心，且经过原点的圆的方程是．5. 圆的圆心到直线的距离．6. 直线与直线的夹角是．7. 过点且与圆相切的直线方程是．8. 与椭圆共焦点，且过点的椭圆的标准方程为．9. 椭圆的焦点为，，点在椭圆上，若，则的大小为．10. 椭圆的两焦点分别为，，过作弦，且的周长为，则此椭圆的方程为．11. 若直线与曲线有公共点，则的取值范围为．12. 若直线始终平分圆的周长，则的最小值为．二、选择题（共4小题；共20分）13. 直线的倾斜角为A. B. C. D. 以上都不对14. 过点且与直线平行的直线的点方向式方程是A. B.C. D.15. 两条直线与垂直的充要条件是A. B.C. D.16. 已知点，，若直线上存在点，使得，则称该直线为“A型直线”，给出下列直线：；；；，其中为“A型直线”的是A. B. C. D.三、解答题（共5小题；共65分）17. 已知的顶点的坐标分别为，，．求：（1）边上中线的长；（2）边上中线所在的直线方程．18. 已知圆的圆心在直线上，并且与轴交于两点，，求圆的方程．19. 已知圆及直线．当直线被圆截得的弦长为时，求的值．20. 已知椭圆的焦点分别为，，长轴长为，设直线交椭圆于，两点．（1）求椭圆的方程；（2）求线段的中点坐标．21. 如图，已知椭圆的焦点和上顶点分别为，，，我们称为椭圆的“特征三角形”．如果两个椭圆的特征三角形是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，且三角形的相似比即为椭圆的相似比．若椭圆，直线．（1）已知椭圆与椭圆是相似椭圆，求的值及椭圆与椭圆的相似比；（2）求点到椭圆上点的最大距离．（3）如图，设直线与椭圆相交于，两点，与椭圆交于，两点，求证：．答案第一部分1.【解析】椭圆的长轴长为：．2.【解析】由直线方程，得其斜率，设其倾斜角为，则，所以．3.【解析】因为直线的法向量是，故直线的方向向量为，所以直线的斜率为：，所以直线的方程为：，所以直线方程为：．4.【解析】因为所求圆经过坐标原点，且圆心与原点的距离为，所以所求圆的方程为．5.【解析】圆心到直线的距离为．6.【解析】因为直线的斜率为，所以直线的倾斜角，又因为直线的斜率，所以直线的倾斜角，所以两直线的夹角为．7.【解析】显然点在圆上，设切线方程的斜率为，则切线方程为，即，所以圆心到直线的距离，解得，则切线方程为，即．8.【解析】设与椭圆共焦点的椭圆标准方程为：，把点代入上述方程可得：，解得．所以满足条件的椭圆标准方程为：．9.【解析】因为，，所以．在中，，所以．10.【解析】由题意可设椭圆的标准方程为：．因为过作弦，且的周长为，则，解得，又，则．所以椭圆的标准方程为：．11.【解析】依题意可知曲线可整理成，图象如图所示．直线与半圆相切时，原点到直线的距离为，即，所以．直线过半圆的右顶点时，，所以．所以直线与曲线有公共点时，的取值范围为．12.【解析】由题意得，直线过圆心，所以，．所以，当且仅当时，等号成立．第二部分13. B 【解析】因为线与轴垂直，所以其倾斜角为．14. D 【解析】所求直线的方向向量为，又经过点，因此所求直线的点方向式方程是．15. B【解析】时，两条直线与垂直，化为．时，且与不同时为，也满足上式．即满足条件：．16. B 【解析】由题意可知，点的轨迹是以，为焦点的椭圆，其方程是，把代入椭圆方程并整理得，，因为，所以不是“A型直线”．把代入椭圆方程，成立，所以是“A型直线”．把代入椭圆方程，不成立，所以不是“A型直线”．把代入椭圆方程并整理得，，因为，所以是“A型直线”．第三部分17. （1）因为，，所以线段的中点坐标是，又因为，所以边上中线的长为：．（2）结合，易得边上中线所在的直线方程为：，整理，得：．18. 如图示：根据垂径定理可得的垂直平分线过圆心，而圆心在直线上，则圆心坐标为，圆的半径，则圆的标准方程为：．19. 由题意圆的圆心坐标是，半径是．利用弦长公式可得弦心距，再由点到直线的距离公式可得，所以，解得．20. （1）由题意可知：椭圆的焦点，，焦点在轴上，设椭圆的方程为：，，，，所以椭圆的方程为：．（2）由（）可知：消整理得：，由，所以直线与椭圆有两个不同的交点，设，，中点，则，由中点坐标公式可知：，，故线段的中点坐标为．21. （1）由椭圆焦点在轴上，，，，所以椭圆的特征三角形是腰长为，底边长为的等腰三角形，椭圆的特征三角形是腰长为，底边长为的等腰三角形，椭圆与椭圆是相似椭圆，因此两个特征三角形相似，所以，解得：，即，所以椭圆与椭圆的相似比为．（2）椭圆，设椭圆上动点，所以当时，最大，即最大值为，所以的最大值为，点到椭圆上点的最大距离．（3）直线不与轴垂直，直线，，，线段的中点，由直线方程代入椭圆，可得，即有，，再将直线代入椭圆，可得，设，，线段的中点，即有，，故，的中点重合．则．。
2016-2017学年上海市浦东新区高三(上)期中数学试卷(带参考答案)
2016-2017学年上海市浦东新区高三（上）期中数学试卷一、填空题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设全集U=R，集合A={x|x＜2}，B={y|y=x2+1}，则A∪∁U B=．2．（5分）函数f（x）=x2﹣1（x≥0）的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（2）=．3．（5分）x＞1，则函数y=x+的值域是．4．（5分）已知集合A={x||x|≤2，x∈R}，B={x|≤4，x∈Z}，则A∩B=．5．（5分）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，有AB=AA1，则AC1与平面BB1C1C 所成的角的正弦值为．6．（5分）已知一组数据7、8、9、x、y的平均数是8，则这组数据的中位数是．7．（5分）若不等式|3x﹣b|＜4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b的取值范围．8．（5分）（1+x）7的展开式中x2的系数是．9．（5分）从总体中抽取一个样本：3、7、4、6、5，则总体标准差的点估计值为．10．（5分）已知y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，若g（x）=f（x）+2，则g （﹣1）=．11．（5分）已知f（x）=log a（x+1），g（x）=log a（1﹣x），a＞0且a≠1，则使f （x）﹣g（x）＞0成立的x的集合是．12．（5分）在Rt△ABC中，两直角边分别为a、b，设h为斜边上的高，则= +，由此类比：三棱锥S﹣ABC中的三条侧棱SA、SB、SC两两垂直，且长度分别为a、b、c，设棱锥底面ABC上的高为h，则．二、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分）13．（5分）“a＞1”是“f（x）=（a﹣1）•a x在定义域内为增函数”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要14．（5分）如图，直线a、b相交于点O且a、b成60°角，过点O与a、b都成60°角的直线有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条15．（5分）有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本，若将其随机地并排放到书架的同一层上，则同一科目的书都相邻的概率为（）A．B．C．D．16．（5分）已知三个球的半径R1、R2、R3满足R1+2R2=3R3，则它们的表面积S1、S2、S3满足的等量关系是（）A．S1+2S2=3S3B．+=C．+2=3D．+4=917．（5分）已知函数f（x）=，则不等式f（x）≥x2的解集是（）A．[﹣1，1]B．[﹣2，2]C．[﹣2，1]D．[﹣1，2]18．（5分）我们定义渐近线：已知曲线C，如果存在一条直线，当曲线C上任意一点M沿曲线运动时，M可无限趋近于该直线但永远达不到，那么这条直线称为这条曲线的渐近线：下列函数：①y=x；②y=2x﹣1；③y=lg（x﹣1）；④y=；其中有渐近线的函数的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4三、解答题（共5小题，满分70分）19．（14分）用一个半径为10cm的半圆纸片卷成一个最大的无底圆锥，放在水平桌面上，被一阵风吹倒，如图所示，求它的最高点到桌面的距离．20．（14分）已知全集U=R，集合A={x|4x﹣9•2x+8＜0}，B={x|}，C={x||x ﹣2|＜4}，求A∪B，C U A∩C．21．（14分）如图：三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，若底面ABC是边长为2的正三角形，且PB与底面ABC所成的角为．若M是BC的中点，求：（1）三棱锥P﹣ABC的体积；（2）异面直线PM与AC所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．22．（14分）甲厂以x千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求1≤x ≤10），每小时可获得利润是100（5x+1﹣）元．（1）写出生产该产品t（t≥0）小时可获得利润的表达式；（2）要使生产该产品2 小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围．23．（14分）已知函数f（x）=|x+|﹣|x﹣|；（1）作出函数f（x）的图象；（2）根据（1）所得图象，填写下面的表格：性质定义域值域单调性奇偶性零点f（x）（3）关于x的方程f2（x）+m|f（x）|+n=0（m，n∈R）恰有6个不同的实数解，求n的取值范围．2016-2017学年上海市浦东新区高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设全集U=R，集合A={x|x＜2}，B={y|y=x2+1}，则A∪∁U B=（﹣∞，2）．【解答】解：∵集U=R，集合A={x|x＜2}=（﹣∞，2），B={y|y=x2+1}=[1，+∞），∴∁U B=（﹣∞，1），∴A∪（∁U B）=（﹣∞，2），故答案为：（﹣∞，2）．2．（5分）函数f（x）=x2﹣1（x≥0）的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（2）=．【解答】解：根据函数与它的反函数的定义域和值域互换，令函数f（x）=x2﹣1=2，其中x≥0，解得x=；所以f﹣1（2）=．故答案为：．3．（5分）x＞1，则函数y=x+的值域是[3，+∞）．【解答】解：∵x＞1，则，x﹣1＞0，；那么：函数y=x+=x﹣1++1≥=3，当且仅当x=2时取等号．所以函数y的值域是[3，+∞）．4．（5分）已知集合A={x||x|≤2，x∈R}，B={x|≤4，x∈Z}，则A∩B={0，1，2}．．【解答】解：∵集合A={x||x|≤2，x∈R}={x|﹣2≤x≤2}，B={x|≤4，x∈Z}={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16}，∴A∩B={0，1，2}．故答案为：{0，1，2}．5．（5分）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，有AB=AA1，则AC1与平面BB1C1C 所成的角的正弦值为．【解答】解：取BC的中点E，连接C1E，AE则AE⊥BC，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∴面ABC⊥面BB1C1C，面ABC∩面BB1C1C=BC，∴AE⊥面BB1C1C，∴∠AC1E就是AC1与平面BB1C1C所成的角，在Rt△AC1E中，∵AB=AA1，sin∠AC1E=．故答案为：．6．（5分）已知一组数据7、8、9、x、y的平均数是8，则这组数据的中位数是8．【解答】解：由题意知：（7+8+9+x+y）÷5=8，化简可得又因为该组数据为5个，则中位数对应位置（5+1）÷2=3．①当x=y时，得x=y=8．显然，改组数据中位数为8．②当x≠y时，不妨设x＜y，又因为x+y=16，可以得到x＜8＜y，此时中位数也为8．7．（5分）若不等式|3x﹣b|＜4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b的取值范围5＜b＜7．【解答】解：因为，又由已知解集中的整数有且仅有1，2，3，故有．故答案为5＜b＜7．8．（5分）（1+x）7的展开式中x2的系数是21．【解答】解：由题意，二项式（1+x）7的展开式通项是T r=x r+1故展开式中x2的系数是=21故答案为：21．9．（5分）从总体中抽取一个样本：3、7、4、6、5，则总体标准差的点估计值为．【解答】解：样本数据：3、7、4、6、5的平均数为：=×（3+7+4+6+5）=5，方差为s2=×[（3﹣5）2+（7﹣5）2+（4﹣5）2+（6﹣5）2+（5﹣5）2]=2.5，所以标准差为s==．故答案为：．10．（5分）已知y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，若g（x）=f（x）+2，则g （﹣1）=﹣1．【解答】解：由题意，y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，所以f（1）+1+f（﹣1）+（﹣1）2=0解得f（﹣1）=﹣3所以g（﹣1）=f（﹣1）+2=﹣3+2=﹣1故答案为：﹣1．11．（5分）已知f（x）=log a（x+1），g（x）=log a（1﹣x），a＞0且a≠1，则使f （x）﹣g（x）＞0成立的x的集合是当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|﹣1＜x＜0}；当a＞1时，原不等式的解集为{x|0＜x＜1} ．【解答】解：f（x）﹣g（x）＞0，即log a（x+1）﹣log a（1﹣x）＞0，log a（x+1）＞log a（1﹣x）．当0＜a＜1时，上述不等式等价于，解得﹣1＜x＜0；当a＞1时，原不等式等价于，解得0＜x＜1．综上所述，当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|﹣1＜x＜0}；当a＞1时，原不等式的解集为{x|0＜x＜1}．故答案为：当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|﹣1＜x＜0}；a＞1时，原不等式的解集为{x|0＜x＜1}．12．（5分）在Rt△ABC中，两直角边分别为a、b，设h为斜边上的高，则= +，由此类比：三棱锥S﹣ABC中的三条侧棱SA、SB、SC两两垂直，且长度分别为a、b、c，设棱锥底面ABC上的高为h，则+．【解答】解：∵PA、PB、PC两两互相垂直，∴PA⊥平面PBC．设PD在平面PBC内部，且PD⊥BC，由已知有：PD=，h=PO=，∴，即．故答案为：．二、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分）13．（5分）“a＞1”是“f（x）=（a﹣1）•a x在定义域内为增函数”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【解答】解：当a＞1时，a﹣1＞0，a x在定义域内为增函数，则f（x）=（a﹣1）•a x在定义域内为增函数”成立，即充分性成立，若0＜a＜1，a﹣1＜0，a x在定义域内为减函数，满足f（x）=（a﹣1）•a x在定义域内为增函数”，此时a＞1不成立，即必要性不成立，故“a＞1”是“f（x）=（a﹣1）•a x在定义域内为增函数”的充分不必要条件，故选：A．14．（5分）如图，直线a、b相交于点O且a、b成60°角，过点O与a、b都成60°角的直线有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【解答】解：在a、b所确定的平面内有一条如图，平面外有两条．如图故选：C．15．（5分）有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本，若将其随机地并排放到书架的同一层上，则同一科目的书都相邻的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本，将其随机地并排放到书架的同一层上，基本事件总数n==120，同一科目的书都相邻包含的基本事件个数m==24，∴同一科目的书都相邻的概率为p===．故选：A．16．（5分）已知三个球的半径R1、R2、R3满足R1+2R2=3R3，则它们的表面积S1、S2、S3满足的等量关系是（）A．S1+2S2=3S3B．+=C．+2=3D．+4=9【解答】解：因为S1=4πR12，所以=2，同理：=2，=2，由R1+2R2=3R3，得+2=3．故选：C．17．（5分）已知函数f（x）=，则不等式f（x）≥x2的解集是（）A．[﹣1，1]B．[﹣2，2]C．[﹣2，1]D．[﹣1，2]【解答】解：①当x≤0时；f（x）=x+2，∵f（x）≥x2，∴x+2≥x2，x2﹣x﹣2≤0，解得，﹣1≤x≤2，∴﹣1≤x≤0；②当x＞0时；f（x）=﹣x+2，∴﹣x+2≥x2，解得，﹣2≤x≤1，∴0＜x≤1，综上①②知不等式f（x）≥x2的解集是：﹣1≤x≤1，故选：A．18．（5分）我们定义渐近线：已知曲线C，如果存在一条直线，当曲线C上任意一点M沿曲线运动时，M可无限趋近于该直线但永远达不到，那么这条直线称为这条曲线的渐近线：下列函数：①y=x；②y=2x﹣1；③y=lg（x﹣1）；④y=；其中有渐近线的函数的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：对于：①y=x，根据渐近线的定义，不存在渐近线；对于②y=2x+1是由y=2x的图象向上平移1个单位得到，其渐近线方程为y=1；对于③y=log2（x﹣1）是由y=log2x向右平移一个单位得到，其渐近线方程为x=1；对于④y==（1﹣），其渐近线方程为x=，y=；综上，有渐近线的个数为3个故选：C．三、解答题（共5小题，满分70分）19．（14分）用一个半径为10cm的半圆纸片卷成一个最大的无底圆锥，放在水平桌面上，被一阵风吹倒，如图所示，求它的最高点到桌面的距离．【解答】解：如图所示，设PAB为轴截面，过点A作AD⊥PB，π•AB=10π，解得AB=10，∴△PAB是等边三角形，∴AD=AB•sin60°=10×=5．∴它的最高点到桌面的距离为5cm．20．（14分）已知全集U=R，集合A={x|4x﹣9•2x+8＜0}，B={x|}，C={x||x ﹣2|＜4}，求A∪B，C U A∩C．【解答】解：由1＜2x＜8，得A=（0，3）．（2分）由，得B=（﹣2，3]．（4分）由|x﹣2|＜4⇒﹣2＜x＜6，得C=（﹣2，6）．（6分）所以A∪B=（﹣2，3]，（8分）C U A∩C=（﹣2，0]∪[3，6）．（12分）21．（14分）如图：三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，若底面ABC是边长为2的正三角形，且PB与底面ABC所成的角为．若M是BC的中点，求：（1）三棱锥P﹣ABC的体积；（2）异面直线PM与AC所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．【解答】解：（1）因为PA⊥底面ABC，PB与底面ABC所成的角为所以因为AB=2，所以（2）连接PM，取AB的中点，记为N，连接MN，则MN∥AC所以∠PMN为异面直线PM与AC所成的角计算可得：，MN=1，异面直线PM与AC所成的角为22．（14分）甲厂以x千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求1≤x ≤10），每小时可获得利润是100（5x+1﹣）元．（1）写出生产该产品t（t≥0）小时可获得利润的表达式；（2）要使生产该产品2 小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围．【解答】解：（1）设生产该产品t（t≥0）小时可获得利润为f（t），则f（t）=100t （5x+1﹣）元，t≥0，1≤x≤10．（2）由题意可得：100×2×（5x+1﹣）≥3000，化为：5x2﹣14x﹣3≥0，1≤x ≤10．解得3≤x≤10．∴x的取值范围是[3，10]．23．（14分）已知函数f（x）=|x+|﹣|x﹣|；（1）作出函数f（x）的图象；（2）根据（1）所得图象，填写下面的表格：性质定义域值域单调性奇偶性零点f（x）（3）关于x的方程f2（x）+m|f（x）|+n=0（m，n∈R）恰有6个不同的实数解，求n的取值范围．【解答】解：函数f（x）=|x+|﹣|x﹣|=，作出函数f（x）的图象如图：（2）由函数的图象得函数的定义域为{x|x≠0}，函数的值域为（0，2]，在（﹣∞，﹣1]和（0，1）上单调递增，在[1，+∞）和（﹣1，0），单调递减，函数关于y轴对称，是偶函数，函数与x轴没有交点，无零点．（3）∵0＜f（x）≤2，且函数f（x）为偶函数，∴令t=f（x），则方程等价为t2+mt+n=0，则由图象可知，当0＜t＜2时，方程t=f（x）有4个不同的根，当t=2时，方程t=f（x）有2个不同的根，当t≤0或t＞2时，方程t=f（x）有0个不同的根，若方程f2（x）+m|f（x）|+n=0（m，n∈R）恰有6个不同的实数解，等价为方程f2（x）+mf（x）+n=0（m，n∈R）恰有6个不同的实数解，即t2+mt+n=0有两个不同的根，其中t1=2，0＜t2＜2，则n=t1t2∈（0，4）．。
上海市浦东新区四校2016_2017学年高二数学上学期期中试题
2016学年第一学期期中四校联考高二年级数学考试试卷一、填空题：（本大题共有12道小题，每小题3分，共36分） 1、 二元一次方程组23121x y x y +=⎧⎨-=-⎩的增广矩阵是2、 若4321,,,a a a a 四个数成等比数列，则4321a a a a = 。
3、无穷等比数列{}n a 的通项公式为113()2n n a -=⨯-，则其所有项的和为____________4、已知三阶行列式294753618，则元素3的代数余子式的值为 . 121122223223a a AB a a ⎛⎫-⎛⎫⎛⎫ ⎪-=⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭、已知矩阵A=，矩阵B=。
若,则=_____ 6、数列{}n a （*n N ∈）的通项公式1(),1100,321,100,51nn n a n n n ⎧≤≤⎪⎪=⎨+⎪>⎪-⎩，则lim n n a →∞=_____________7、 已知1111()n N 1233f n n n n n*=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+∈+++（），则(1)f = ____ 8、已知数列{}n a 满足2n a n n λ=+（R λ∈），且123a a a <<<⋅⋅⋅<1n n a a +<<⋅⋅⋅，则λ的取值范围是___________．{}n n n n+112412062=n ,=1721,12nn a a a a a a a a *⎧≤<⎪⎪∈⎨⎪-≤<⎪⎩，、若数列满足（N ）若，则的值为_____10、在等比数列}{n a 中, nn n =2+n N S a *∈前项和（）,则a = . 11、数列{}n a 满足11154,3n n n a S S a ++=+=，则n a ={}{}{}n n n5-n n n n n n n n n*n 5n b b 12=2b b =n+k c =,>b c c c n k a a a a a N ≤⎧⎨⎩≤∈，、已知数列的通项公式为，数列的通项公式，设，中，对任意恒成立，则实数的取值范围是________.班级 姓名 考试号…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每小题3分. 将正确答案的代号 填写在答题纸对应题号后的横线上. 13. 当1-≠m 时，下列关于方程组⎩⎨⎧=++=+mmy x m y mx 21的判断，正确的是………………（ ）A 、方程组有唯一解B 、方程组有唯一解或有无穷多解C 、方程组无解或有无穷多解D 、方程组有唯一解或无解14. 下列四个命题中，正确的是……………………………………………………………（ ）A 、若22lim A a nn =∞→，则A a n n =∞→lim B 、若0>n a ，A a n n =∞→lim ，则0>A C 、若A a n n =∞→lim ，则22lim A a nn =∞→ D 、若A a n n =∞→lim ，则nA na n n =∞→lim 15、数列{}n a 为等比数列，则下列结论中不．正确的是……………………（ ） A ．2{}n a 是等比数列 B ．n n+1{}a a ⋅是等比数列 C ．1{}na 是等比数列 D ．{lg }n a 是等差数列 16、无穷等差数列}{n a 的各项均为整数，首项为1a 、公差为d ，n S 是其前n 项和， 3、21、15是其中的三项，给出下列命题：①对任意．．满足条件的d ，存在1a ，使得99一定是数列}{n a 中的一项； ②存在．．满足条件的数列}{n a ，使得对任意的*N n ∈，n n S S 42=成立； ③对任意．．满足条件的d ，存在1a ，使得30一定是数列}{n a 中的一项。
2016-2017年上海市杨浦区高二(下)期中数学试卷和答案
2016-2017学年上海市杨浦区高二（下）期中数学试卷一、填空题（本大题满分40分）本大题共有10题，要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）直线y=x+1的倾斜角是．2．（4分）抛物线y2=2x的准线方程是．3．（4分）若复数满足z满足=i2016+i2017（i为虚数单位），则复数z=．4．（4分）若方程=1表示椭圆，则实数m的取值范围为．5．（4分）若复数z满足|z﹣i|=1（i是虚数单位），则z的模的取值范围是．6．（4分）坐标原点（0，0）关于直线x﹣2y+2=0对称的点的坐标是．7．（4分）在复数集中分解因式：3x2﹣6x+4=．8．（4分）过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7）的圆交y轴于M、N两点，则|MN|=．9．（4分）双曲线﹣y2=1（n＞1）的两个焦点为F1，F2，P在双曲线上，且满足|PF1|+|PF2|=2，则△PF1F2的面积为．10．（4分）若动点P（x0，y0）在圆C：x2+y2=1上运动，则动点Q（x0y0，x0+y0）的轨迹方程是．二.选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案，选对得3分，否则一律得零分11．（3分）点P（m2，5）与圆x2+y2=24的位置关系是（）A．在圆外B．在圆上C．在圆内D．不确定12．（3分）与双曲线=1有共同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线标准方程为（）A．B．C．D．13．（3分）已知抛物线C：y2=x与直线l：y=kx+1，“k≠0”是“直线l与抛物线C 有两个不同交点”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．（3分）下列命题中，正确的是（）A．若z是复数，则|z|2=z2B．任意两个复数不能比较大小C．当b2﹣4ac＞0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c∈C）有两个不相等的实数根D．在复平面xOy上，复数z=m2+mi（m∈R，i是虚数单位）对应的点的轨迹方程是y2=x三、解答题（本大题满分48分）本大题共有5题，解答下列各题要写出必要的步骤15．（8分）已知△ABC的三个顶点是A（3，﹣4）、B（0，4）、C（﹣6，0），求：（1）BC边上的高AD所在直线的一般式方程；（2）BC边上的中线AM所在直线的一般式方程．16．（8分）已知复数z1=（2x+1）+i，z2=y+（2﹣y）i．（1）若z1=z2，且x，y∈R，求z1；和|z1|；（2）若z1=z2，且x∈R，y为纯虚数，求z1．17．（10分）已知关于x的方程x2﹣x+m=0m∈R）的两根为x1、x2，且|x1|+|x2|=3，求m的值．解：∵x1、x2是x2﹣x+m=0的两个根，∴，∵|x1|+|x2|=3，x12+2|x1x2|+x22=9．（x1+x2）2﹣2x1x2+2|x1x2|=9，即1﹣2m+2|m|=9，解得m=﹣2．请你仔细阅读上述解题过程，判断是否有错误．如果有，请指出错误之处，并写出正确的解答过程．18．（10分）在平面直角坐标xO中，动点P到两点，的距离之和为4，设动点的轨迹C．（Ⅰ）写出C的方程；（Ⅱ）设直线y=kx+1与C交于A、B两点k为何值时？19．（12分）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c=0和点P1（x1，y1），P2（x2，y2），记η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），若η＜0，则称点P1，P2被直线l分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线．（1）求证：点A（1，2），B（﹣1，0）被直线x+y﹣1=0分隔；（2）若直线y=kx是曲线x2﹣4y2=1的分隔线，求实数k的取值范围；（3）动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为E，求E的方程，并证明y轴为曲线E的分隔线．2016-2017学年上海市杨浦区高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分40分）本大题共有10题，要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）直线y=x+1的倾斜角是．【考点】I2：直线的倾斜角．【解答】解：设直线y=x+1的倾斜角为α，α∈[0，π）．∴tanα=1，解得α=．故答案为：．2．（4分）抛物线y2=2x的准线方程是．【考点】K8：抛物线的性质．【解答】解：抛物线y2=2x，∴p=1，∴准线方程是x=﹣故答案为：x=﹣．3．（4分）若复数满足z满足=i2016+i2017（i为虚数单位），则复数z=2i．【考点】A5：复数的运算．【解答】解：由=i2016+i2017=（i4）504+（i4）504•i=1+i，得z=（1+i）2=2i．故答案为：2i．4．（4分）若方程=1表示椭圆，则实数m的取值范围为．．【考点】K4：椭圆的性质．【解答】解：方程=1表示椭圆，则，解得．故答案为：．5．（4分）若复数z满足|z﹣i|=1（i是虚数单位），则z的模的取值范围是[0，2] ．【考点】A8：复数的模．【解答】解：由|z﹣i|=1，可得z在复平面内对应点在以（0，1）为圆心，以1为半径的圆上，如图，则z的模的取值范围是[0，2]，故答案为：[]0，2．6．（4分）坐标原点（0，0）关于直线x﹣2y+2=0对称的点的坐标是．【考点】IQ：与直线关于点、直线对称的直线方程．【解答】解：设原点（0，0）关于直线x﹣2y+2=0对称的点的坐标是（a，b），则，解得a=﹣，b=．∴要求的对称的点的坐标是．故答案为：．7．（4分）在复数集中分解因式：3x2﹣6x+4=．【考点】&M：因式分解定理．【解答】解：首先求出3x2﹣6x+4=0的虚根为：，所以：3x2﹣6x+4=，故答案为：8．（4分）过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7）的圆交y轴于M、N两点，则|MN|=4．【考点】J2：圆的一般方程．【解答】解：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，∴D=﹣2，E=4，F=﹣20，∴x2+y2﹣2x+4y﹣20=0，令x=0，可得y2+4y﹣20=0，∴y=﹣2±2，∴|MN|=4．故答案为：4．9．（4分）双曲线﹣y2=1（n＞1）的两个焦点为F1，F2，P在双曲线上，且满足|PF1|+|PF2|=2，则△PF1F2的面积为1．【考点】KC：双曲线的性质．【解答】解：令|PF1|=x，|PF2|=y，依题意可知解得x=+，y=﹣，∴x2+y2=（+）2+（﹣）2=4n+4∵|F1F2|=2∴|F1F2|2=4n+4∴x2+y2|F1F2|2∴△PF1F2为直角三角形∴△PF1F2的面积为xy=（2+）（﹣）=1故答案为：1．10．（4分）若动点P（x0，y0）在圆C：x2+y2=1上运动，则动点Q（x0y0，x0+y0）的轨迹方程是．【考点】J3：轨迹方程．【解答】解：设Q（x，y），则x=x0y0，y=x0+y0，∵动点P（x0，y0）在圆C：x2+y2=1上运动，∴x02+y02=1，∴y2=2x+1∵x02+y02=1≥2|x0y0|=2x，∴﹣，∴所求轨迹方程为：．故答案为：：．二.选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案，选对得3分，否则一律得零分11．（3分）点P（m2，5）与圆x2+y2=24的位置关系是（）A．在圆外B．在圆上C．在圆内D．不确定【考点】J5：点与圆的位置关系．【解答】解：已知圆的圆心为原点O，半径为，OP=，所以点在圆外，故选：A．12．（3分）与双曲线=1有共同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线标准方程为（）A．B．C．D．【考点】KC：双曲线的性质．【解答】解：设所求的双曲线方程为，∵所求双曲线过点（2，2），则，即λ=﹣3，∴所求双曲线方程为．故选：B．13．（3分）已知抛物线C：y2=x与直线l：y=kx+1，“k≠0”是“直线l与抛物线C 有两个不同交点”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【解答】解：将直线方程代入抛物线方程得，即y=k•y2+1，∴ky2﹣y+1=0，当k=0时，方程只有一个解．当k≠0时，要使直线l与抛物线C有两个不同交点，则△=1﹣4k＞0，解得k＜且k≠0．∴“k≠0”是“直线l与抛物线C有两个不同交点”的必要不充分条件．故选：B．14．（3分）下列命题中，正确的是（）A．若z是复数，则|z|2=z2B．任意两个复数不能比较大小C．当b2﹣4ac＞0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c∈C）有两个不相等的实数根D．在复平面xOy上，复数z=m2+mi（m∈R，i是虚数单位）对应的点的轨迹方程是y2=x【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【解答】解：对于A，若z=i，则|z|2=1，z2=﹣1，|z|2≠z2，故A错误；对于B，当两个复数均为实数时，可以比较大小，故B错误；对于C，只有当a，b，c均为实数时，在满足b2﹣4ac＞0时，一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，故C错误；对于D，由z=m2+mi（m∈R，i是虚数单位），设z对应的点Z（x，y），得，消去m得，y2=x，∴在复平面xOy上，复数z=m2+mi（m∈R，i是虚数单位）对应的点的轨迹方程是y2=x．故D正确．故选：D．三、解答题（本大题满分48分）本大题共有5题，解答下列各题要写出必要的步骤15．（8分）已知△ABC的三个顶点是A（3，﹣4）、B（0，4）、C（﹣6，0），求：（1）BC边上的高AD所在直线的一般式方程；（2）BC边上的中线AM所在直线的一般式方程．【考点】IJ：直线的一般式方程与直线的垂直关系．【解答】解：（1）是高AD所在直线的一个法向量，故l AD：3x+2y﹣1=0；（2）BC的中点M（﹣3，2），是BC边所在直线的一个方向向量，故l AM：x+y+1=0．16．（8分）已知复数z1=（2x+1）+i，z2=y+（2﹣y）i．（1）若z1=z2，且x，y∈R，求z1；和|z1|；（2）若z1=z2，且x∈R，y为纯虚数，求z1．【考点】A8：复数的模．【解答】解：（1）∵z1=（2x+1）+i，z2=y+（2﹣y）i，z1=z2，且x，y∈R，∴．∴；（2）由y为纯虚数，设y=bi（b∈R）∴z2=bi+（2﹣bi）i=b+（b+2）i，又∵z1=z2，x∈R，∴⇒，∴z1=﹣1+i．17．（10分）已知关于x的方程x2﹣x+m=0m∈R）的两根为x1、x2，且|x1|+|x2|=3，求m的值．解：∵x1、x2是x2﹣x+m=0的两个根，∴，∵|x1|+|x2|=3，x12+2|x1x2|+x22=9．（x1+x2）2﹣2x1x2+2|x1x2|=9，即1﹣2m+2|m|=9，解得m=﹣2．请你仔细阅读上述解题过程，判断是否有错误．如果有，请指出错误之处，并写出正确的解答过程．【考点】3V：二次函数的性质与图象．【解答】解：解题过程不正确．（2分）当两根正确的解答过程如下：x1、x2为虚根时，．（4分）∵x1、x2是x2﹣x+m=0的两个根，∴，①当△≥0即时，方程有两个实数根．∵|x1|+|x2|=3，∴．，即1﹣2m+2|m|=9，解得m=﹣2．（6分）②当△＜0即时，方程有一对共轭虚根．∵=|x2|2=m，∴|x1|==，解得m=，（9分）综上所述，m=﹣2或m=．（10分）18．（10分）在平面直角坐标xO中，动点P到两点，的距离之和为4，设动点的轨迹C．（Ⅰ）写出C的方程；（Ⅱ）设直线y=kx+1与C交于A、B两点k为何值时？【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．【解答】解：（Ⅰ）∵在平面直角坐标xO中，动点P到两点，的距离之和为4，∴曲线C是焦点在y轴上的椭圆，设其方程为，由题意知2a=4，c=，则b=1，∴曲线C的方程为．（2）联立，化简，得（4+k2）x2+2kx﹣3=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，∴y1y2=（kx1+1）（kx2+1）=k2x1x2+k（x1+x2）+1=﹣+1=﹣+1，∵，∴=x1x2+y1y2=﹣﹣+1=0，解得k=．∴k=时，．19．（12分）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c=0和点P1（x1，y1），P2（x2，y2），记η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），若η＜0，则称点P1，P2被直线l分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线．（1）求证：点A（1，2），B（﹣1，0）被直线x+y﹣1=0分隔；（2）若直线y=kx是曲线x2﹣4y2=1的分隔线，求实数k的取值范围；（3）动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为E，求E的方程，并证明y轴为曲线E的分隔线．【考点】IG：直线的一般式方程与直线的性质．【解答】解：（1）把点（1，2）、（﹣1，0）分别代入x+y﹣1可得η=（1+2﹣1）（﹣1﹣1）=﹣4＜0，∴点（1，2）、（﹣1，0）被直线x+y﹣1=0分隔．（2）联立可得（1﹣4k2）x2=1，根据题意，此方程无解，故有1﹣4k2≤0，∴|k|≥．当|k|≥时，对于直线y=kx，曲线x2﹣4y2=1上的点（﹣1，0）和（1，0）满足η=﹣k2＜0，即点（﹣1，0）和（1，0）被y=kx分隔．故实数k的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．（3）设点M（x，y），则•|x|=1，故曲线E的方程为[x2+（y﹣2）2]x2=1 ①．对任意的y0，（0，y0）不是上述方程的解，即y轴与曲线E没有公共点．又曲线E上的点（1，2）、（﹣1，2）对于y轴（x=0）满足η=1×（﹣1）=﹣1＜0，即点（﹣1，2）和（1，2）被y轴分隔，所以y轴为曲线E的分隔线．。
上海高二下学期期中数学试卷(理科)
上海高二下学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题： (共14题；共14分)1. （1分）复数z=在复平面内对应点所在的象限是________2. （1分）已知向量=(-1,x,3),=(2,-4,y)，且，那么x+y的值为________3. （1分）平行四边形OABC各顶点对应的复数分别为zO＝0，zA＝2＋ i，zB＝－2a＋3i，zC＝－b＋ai，则实数a－b为________．4. （1分） (2016高二上·清城期中) 在△ABC中，若角A，B，C成等差数列，且边a=2，c=5，则S△abc=________．5. （1分）已知i是虚数单位，则i2015=________6. （1分）已知向量 =（﹣3，2）， =（﹣1，0），且向量与垂直，则实数λ的值为________．7. （1分）（3+4i）（﹣2﹣3i）=________8. （1分） (2016高二下·赣榆期中) 用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为________．9. （1分） (2016高一上·扬州期末) 如图所示，在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=3，E是边CD的中点，= ，若• =﹣4，则sin∠BAD=________．10. （1分）用数学归纳法证明，从到，左边需要增乘的代数式为________.11. （1分） (2016高一上·渝中期末) 已知向量，，则向量与的夹角为________．12. （1分） (2018高二下·济宁期中) 如图1，在中，，，是垂足，则，该结论称为射影定理.如图2，在三棱锥中，平面，平面，为垂足，且在内，类比射影定理，可以得到结论：________．13. （1分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB= ，BC=1，PA=2，E为PD的中点，则直线BE与平面ABCD所成角的正切值为________．14. （1分） (2018高三上·张家口期末) 将正整数对作如下分组，第组为，第组为，第组为，第组为则第组第个数对为________．二、解答题 (共6题；共45分)15. （5分）已知z、为复数，（1+3i）z为实数，且,求16. （10分） (2017高二下·中山期末) 在各项为正的数列{an}中，数列的前n项和Sn满足Sn= （an+ ），（1）求a1，a2，a3；（2）由（1）猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．17. （5分） (2015高二下·福州期中) 用分析法证明：当x≥4时， + ＞ + ．18. （5分）已知向量 =（λ，﹣2）， =（﹣3，5），若向量与的夹角为钝角，求λ的取值范围．19. （10分） (2016高一下·定州期末) 已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，a1=b1=1，且b3S3=36，b2S2=8（n∈N*）．（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）若an＜an+1，求数列{anbn}的前n项和Tn．20. （10分）(2017·盐城模拟) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，面PAD⊥底面ABCD，且△PAD 是边长为2的等边三角形，PC= ，M在PC上，且PA∥面BDM．（1）求直线PC与平面BDM所成角的正弦值；（2）求平面BDM与平面PAD所成锐二面角的大小．参考答案一、填空题： (共14题；共14分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、解答题 (共6题；共45分)15-1、16-1、16-2、17-1、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、。
华师大二附中2016-2017学年高二下学期期中数学试卷 含解析
2016-2017学年上海市华师大二附中高二（下)期中数学试卷一、填空题1．向量对应复数﹣3+2i，则向量所对应的复数为．2．复数z=（m2﹣m﹣4)+（m2﹣5m﹣6）i(m∈R），如果z是纯虚数，那么m= ．3．平面α的斜线与α所成的角为30°，那此斜线和α内所有不过斜足的直线中所成的角的最大值为．4．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,如果对角线AC1与过点A的相邻三个面所成的角分别是α，β，γ，那么cos2α+cos2β+cos2γ=．5．若复数|z﹣3i｜=5,求｜z+2｜的最大值和最小值．6．异面直线a与b所成的角为50°,P为空间一点，则过P点且与a，b所成的角都是50°的直线有条．7．圆锥底面半径为10，母线长为30，从底面圆周上一点，绕侧面一周再回到该点的最短路线的长度是．8．已知集合A={z｜z=i+i2+i3+…+i n,n∈N＊}，B={z|z=z1•z2,z1∈A，z2∈A}，则集合B中的元素共有个．9．设x1，x2是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，若x1是虚数,是实数,则S=1+= ．10．（理科）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，在正方体的表面上与点A距离为的点的集合形成一条曲线,则这条曲线的长度为．二、选择题（4&＃215；4=16）11．下列命题中,错误的是（）A．过平面α外一点可以作无数条直线与平面α平行B．与同一个平面所成的角相等的两条直线必平行C．若直线l垂直平面α内的两条相交直线，则直线l必垂直平面αD．垂直于同一个平面的两条直线平行12．下列命题中，错误的是( )A．圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形B．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个C．圆锥的轴截面是所有过顶点的界面中面积最大的一个D．当球心到平面的距离小于球面半径时，球面与平面的交线总是一个圆13．已知复数z1,z2满足｜z1﹣|=|1﹣z1z2｜｜，则有（) A．|z1|＜0且|z2|＜1 B．｜z1|＜1或｜z2|＜1 C．|z1|=1且｜z2｜=1 D．｜z1｜=1或｜z2|=114．如图，正四面体ABCD的顶点A，B,C分别在两两垂直的三条射线Ox,Oy，Oz上，则在下列命题中，错误的为( ）A．O﹣ABC是正三棱锥B．直线OB∥平面ACDC．直线AD与OB所成的角是45°D．二面角D﹣OB﹣A为45°三、解答题（8+10+12+14）15．已知复数z1满足（1+i）z1=﹣1+5i，z2=a﹣2﹣i，其中i为虚数单位，a∈R，若＜｜z1｜,求a的取值范围．16．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=1，BC=2,E为PD的中点．(1）求直线CE与平面ABCD所成角的大小;(2)求二面角E﹣AC﹣D的大小，(结果用反三角函数值表示）17．如图，在正三棱锥A﹣BCD中,AB=,点A到底面BCD的距离为1，E为棱BC的中点．（1）求异面直线AE与CD所成角的大小;（结果用反三角函数值表示)（2）求正三棱锥A﹣BCD的表面积．18．已知z是实系数方程x2+2bx+c=0的虚根，记它在直角坐标平面上的对应点为P z，(1）若（b，c)在直线2x+y=0上,求证：P z在圆C1:（x﹣1)2+y2=1上；（2）给定圆C：（x﹣m）2+y2=r2(m、r∈R，r＞0），则存在唯一的线段s满足：①若P z在圆C上，则（b，c）在线段s上；②若（b，c)是线段s上一点（非端点）,则P z在圆C上、写出线段s的表达式，并说明理由;(3)由（2）知线段s与圆C之间确定了一种对应关系，通过这种对应关系的研究，填写表（表中s1是（1）中圆C1的对应线段)．线段s与线段s1的关系m、r的取值或表达式s所在直线平行于s1所在直线s所在直线平分线段s12016-2017学年上海市华师大二附中高二(下)期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．向量对应复数﹣3+2i，则向量所对应的复数为3﹣2i ．【考点】A2：复数的基本概念．【分析】根据向量复数的几何意义进行求解即可．【解答】解：向量对应复数﹣3+2i，则向量对应向量坐标为（﹣3,2），则向量所对应的坐标为（3，﹣2)，则定义的复数为3﹣2i，故答案为：3﹣2i2．复数z=（m2﹣m﹣4）+(m2﹣5m﹣6）i（m∈R）,如果z是纯虚数，那么m= ．【考点】A2：复数的基本概念．【分析】根据纯虚数的定义建立方程进行求解即可．【解答】解：∵z是纯虚数，∴，得得m=,故答案为：3．平面α的斜线与α所成的角为30°，那此斜线和α内所有不过斜足的直线中所成的角的最大值为90°．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【分析】斜线和α内所有不过斜足的直线为异面直线，由此能求出此斜线和α内所有不过斜足的直线中所成的角的最大角．【解答】解:∵斜线和α内所有不过斜足的直线为异面直线，∴此斜线和α内所有不过斜足的直线中所成的角的最大角为90°．故答案为：90°．4．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，如果对角线AC1与过点A的相邻三个面所成的角分别是α,β，γ，那么cos2α+cos2β+cos2γ= 2 ．【考点】MI:直线与平面所成的角．【分析】由已知得cosα=，cosβ=，cosγ=，由此能求出cos2α+cos2β+cos2γ的值．【解答】解:∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1C1⊥面AB1，∴AC1与面AB1所成的角为∠C1AB1=α，同理AC1与面AD1所成的角为∠C1AD1=β,AC1与面AC所成的角为∠C1AC=γ，∵cosα=，cosβ=，cosγ=，∴cos2α+cos2β+cos2γ=++=++===2．故答案为：2．5．若复数｜z﹣3i|=5，求｜z+2|的最大值和最小值．【考点】A4:复数的代数表示法及其几何意义；A8：复数求模．【分析】利用圆的复数形式的方程和复数形式的两点间的距离公式即可得出．【解答】解:如图，满足|z﹣3i|=5的复数z所对应的点是以C（0,3）为圆心,5为半径的圆．｜z+2|表示复数z所对应的点Z和点A（﹣2，0)的距离，由题设z 所对应的点在圆周上，而此圆周上的点到点A距离的最大值与最小值是过A的圆周的直径被A点所分成的两部分．∴｜AC｜==．∴|z+2|max=5+，|z+2｜min=5﹣．6．异面直线a与b所成的角为50°，P为空间一点，则过P点且与a，b所成的角都是50°的直线有 2 条．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【分析】把异面直线a,b平移到相交，使交点为P，此时∠APB=50°，过P点作直线c平分∠APB，直线从c向两边转到d时与a，b所成角单调递增，必有经过50°，由此能求出结果．【解答】解：把异面直线a，b平移到相交，使交点为P,此时∠APB=50°,过P点作直线c平分∠APB，这时c与a，b所成角为25°,过P点作直线d垂直a和b，这时d与a，b所成角为90°，直线从c向两边转到d时与a，b所成角单调递增，必有经过50°，由题意满足条件的直线有2条．故答案为：2．7．圆锥底面半径为10，母线长为30，从底面圆周上一点，绕侧面一周再回到该点的最短路线的长度是30．【考点】LH：多面体和旋转体表面上的最短距离问题．【分析】作出侧面展开图，则扇形的弦长为最短距离．【解答】解:圆锥的侧面展开图为半径为30，弧长为20π的扇形AOB，∴最短距离为AB的长．扇形的圆心角为=,∴AB==30．故答案为：30．8．已知集合A=｛z|z=i+i2+i3+…+i n，n∈N＊}，B=｛z｜z=z1•z2，z1∈A，z2∈A｝，则集合B中的元素共有7 个．【考点】15:集合的表示法．【分析】由题意并且结合复数的有关运算可得:集合A=｛1，1+i，i，0｝,进而得到B={1，1+i，i，2i，﹣1+i，﹣1，0｝．【解答】解:由题意可得：集合A=｛z｜z=1+i+i2+…+i n，n∈N＊}=｛1,1+i，i,0｝，所以B=｛z｜z=z1•z2，z1、z2∈A｝=｛1，1+i，i,2i,﹣1+i，﹣1，0}，所以集合B中共有7个元素．故答案是：7．9．设x1，x2是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，若x1是虚数,是实数,则S=1+= ﹣2 ．【考点】A7：复数代数形式的混合运算．【分析】设x1=s+ti（s，t∈R，t≠0）．则x2=s﹣ti．则x1+x2=2s,x1x2=s2+t2．利用是实数,可得3s2=t2．于是x1+x2=2s，x1x2=s2+t2．+1=0，取=ω，则ω2+ω+1=0，ω3=1．代入化简即可得出．【解答】解：设x1=s+ti（s，t∈R，t≠0）．则x2=s﹣ti．则x1+x2=2s，x1x2=s2+t2．∵==+i是实数,∴3s2t﹣t3=0，∴3s2=t2．∴x1+x2=2s，x1x2=s2+t2．∴4s2==+2x1x2=x1x2，∴+1=0,取=ω，则ω2+ω+1=0，∴ω3=1．则S=1+=1+ω+ω2+ω4+ω8+ω16+ω32 =0+ω+ω2+ω+ω2=﹣2．故答案为：﹣2．10．（理科)正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1,在正方体的表面上与点A距离为的点的集合形成一条曲线，则这条曲线的长度为．【考点】G7：弧长公式；L2：棱柱的结构特征．【分析】本题首先要弄清楚曲线的形状,再根据曲线的性质及解析几何知识即可求出长度．【解答】解:由题意，此问题的实质是以A为球心、为半径的球在正方体ABCD﹣A1B1C1D1各个面上交线的长度计算，正方体的各个面根据与球心位置关系分成两类:ABCD、AA1DD1、AA1BB1为过球心的截面,截痕为大圆弧,各弧圆心角为、A1B1C1D1、B1BCC1、D1DCC1为与球心距离为1的截面,截痕为小圆弧，由于截面圆半径为r=,故各段弧圆心角为．∴这条曲线长度为3••+3••=故答案为二、选择题（4×；4=16）11．下列命题中，错误的是（)A．过平面α外一点可以作无数条直线与平面α平行B．与同一个平面所成的角相等的两条直线必平行C．若直线l垂直平面α内的两条相交直线,则直线l必垂直平面αD．垂直于同一个平面的两条直线平行【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】应用直线与平面平行的判定定理可判断A；由直线与平面所成的角的概念可判断B；由直线与平面垂直的判定定理可判断C；由直线与平面垂直的性质定理，可判断D．【解答】解：A．由直线与平面平行的判定定理可知A正确，且它们在同一个平面内；B．与同一个平面所成的角相等的两条直线可能平行、相交或异面，故B错；C．由直线与平面垂直的判定定理，可知C正确;D．由直线与平面垂直的性质定理，可知D正确．故选B．12．下列命题中，错误的是（)A．圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形B．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个C．圆锥的轴截面是所有过顶点的界面中面积最大的一个D．当球心到平面的距离小于球面半径时，球面与平面的交线总是一个圆【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据旋转体的结构特征进行分析判断．【解答】解：对于A，圆锥的轴截面都是以母线为腰，以底面直径为底边的等腰三角形，故A正确；对于B，圆柱过母线的截面为矩形，一边为圆柱的高，另一边为圆柱底面圆的弦,∴当另一半为底面直径时截面最大,故B正确；对于C，设圆锥任意两条母线的夹角为θ,则过此两母线的截面三角形面积为l2sinθ，∴当圆锥轴截面的顶角为钝角,则当θ=时,过顶点的截面中面积最大，故C错误；对于D，球心到平面的距离小于球面半径时，球被平面分成两部分,截面为圆，故D正确．故选C．13．已知复数z1，z2满足｜z1﹣｜=｜1﹣z1z2|｜，则有（) A．｜z1｜＜0且|z2｜＜1 B．|z1｜＜1或|z2|＜1 C．｜z1|=1且｜z2｜=1 D．|z1|=1或|z2｜=1【考点】A4:复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用，结合，化简出，通过分解因式推出z1,z2中至少又一个值为1可得答案．【解答】解：由|z1﹣｜=|1﹣z1z2|，得，即=，∴=，∴=．∴，即．得或．∴|z1｜=1或｜z2|=1．故选：D．14．如图，正四面体ABCD的顶点A，B,C分别在两两垂直的三条射线Ox,Oy，Oz上，则在下列命题中，错误的为（)A．O﹣ABC是正三棱锥B．直线OB∥平面ACDC．直线AD与OB所成的角是45°D．二面角D﹣OB﹣A为45°【考点】MB：空间点、线、面的位置．【分析】结合图形,逐一分析答案，运用排除、举反例直接计算等手段，找出正确答案．【解答】解：对于A，如图ABCD为正四面体，∴△ABC为等边三角形，又∵OA、OB、OC两两垂直，∴OA⊥面OBC，∴OA⊥BC．过O作底面ABC的垂线，垂足为N，连接AN交BC于M，由三垂线定理可知BC⊥AM,∴M为BC中点，同理可证，连接CN交AB于P,则P为AB中点,∴N为底面△ABC中心，∴O﹣ABC是正三棱锥,故A正确．对于B，将正四面体ABCD放入正方体中，如图所示,显然OB与平面ACD不平行．则答案B不正确．对于C，AD和OB成的角,即为AD和AE成的角,即∠DAE=45°，故C正确．对于D，二面角D﹣OB﹣A即平面FDBO与下底面AEBO成的角,故∠FOA为二面角D﹣OB﹣A的平面角，显然∠FOA=45°，故D正确．综上，故选：B．三、解答题(8+10+12+14）15．已知复数z1满足（1+i）z1=﹣1+5i，z2=a﹣2﹣i,其中i为虚数单位，a∈R,若＜｜z1｜，求a的取值范围．【考点】A2:复数的基本概念；A5：复数代数形式的乘除运算；A8：复数求模．【分析】先求复数Z1,然后代入＜|z1｜，解二次不等式即可求出a的范围．【解答】解：由题意得z1==2+3i,于是=|4﹣a+2i｜=，|z1｜=.＜，得a2﹣8a+7＜0，1＜a＜7．16．如图,四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=1,BC=2，E为PD的中点．（1）求直线CE与平面ABCD所成角的大小；（2）求二面角E﹣AC﹣D的大小，（结果用反三角函数值表示）【考点】MT：二面角的平面角及求法；MI：直线与平面所成的角．【分析】（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴,AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线CE与平面ABCD所成角的大小．(2）先求出平面AEC的法向量和平面ACD的法向量，利用向量法能求出二面角E﹣AC﹣D的大小．【解答】解:（1)以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，则C（1,2，0），D(0，2，0），P(0，0，1），E（0，1，）,=（﹣1，﹣1，），平面ABCD的法向量=(0，0,1），设直线CE与平面ABCD所成角为θ，则sinθ===，．∴直线CE与平面ABCD所成角的大小为arcsin．（2）=(0，1，），=（1，2,0)，设平面AEC的法向量=（x，y,z）,则，取y=1，得=（﹣2，1，﹣2）,平面ACD的法向量=（0,0，1），设二面角E﹣AC﹣D的大小为θ，则cosθ=｜|==．θ=arccos．∴二面角E﹣AC﹣D的大小为．17．如图,在正三棱锥A﹣BCD中，AB=，点A到底面BCD的距离为1，E为棱BC的中点．(1）求异面直线AE与CD所成角的大小；（结果用反三角函数值表示)（2）求正三棱锥A﹣BCD的表面积．【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；LM:异面直线及其所成的角．【分析】(1)作出棱锥的高，利用勾股定理和等边三角形的性质计算底面边长，再计算斜高，利用余弦定理求出要求角的余弦值；(2）直接代入面积公式计算即可．【解答】解：(1）作AO⊥平面BCD，垂足为O，则O为等边三角形△ABC的中心，AO=1，连结OB,则OB==2,设△ABC的边长为a，则OB===2，∴a=2．连结OE，则OE==1，取BD的中点F，连结EF，AF．则EF∥CD，EF=a=，∴∠AEF是异面直线AE与CD所成角,∵AE=AF==，∴cos∠AEF==，∴异面直线AE与CD所成角为arccos．（2）三棱锥的表面积S=+=3+3．18．已知z是实系数方程x2+2bx+c=0的虚根,记它在直角坐标平面上的对应点为P z，(1）若(b，c）在直线2x+y=0上,求证：P z在圆C1:（x﹣1）2+y2=1上;（2）给定圆C:（x﹣m）2+y2=r2(m、r∈R，r＞0）,则存在唯一的线段s满足：①若P z在圆C上，则（b，c）在线段s上；②若（b，c）是线段s上一点(非端点)，则P z在圆C上、写出线段s的表达式，并说明理由；（3)由（2）知线段s与圆C之间确定了一种对应关系，通过这种对应关系的研究，填写表(表中s1是（1）中圆C1的对应线段)．线段s与线段s1的关系m、r的取值或表达式s所在直线平行于s1所在直线s所在直线平分线段s1【考点】A2：复数的基本概念；JE：直线和圆的方程的应用．【分析】（1）（b,c）在直线2x+y=0上，求出方程的虚根，代入圆的方程成立，就证明P z在圆C1:(x﹣1）2+y2=1上;（2）①求出虚根，虚根在定圆C:(x﹣m）2+y2=r2（m、r∈R,r＞0）,推出c=﹣2mb+r2﹣m2，则存在唯一的线段s满足（b，c）在线段s上；②(b,c)是线段s上一点（非端点）,实系数方程为x2+2bx﹣2mb+r2﹣m2=0，b∈（﹣m﹣r，﹣m+r）此时△＜0，求出方程的根P z，可推出P z在圆C上．(3）由（2)知线段s与圆C之间确定了一种对应关系，直接填写表．【解答】解：(1）由题意可得2b+c=0,解方程x2+2bx﹣2b=0，得∴点或，将点P z代入圆C1的方程，等号成立,∴P z在圆C1：（x﹣1）2+y2=1上(2）当△＜0，即b2＜c时，解得,∴点或，由题意可得（﹣b﹣m）2+c﹣b2=r2，整理后得c=﹣2mb+r2﹣m2,∵△=4(b2﹣c）＜0，（b+m）2+c﹣b2=r2,∴b∈（﹣m﹣r，﹣m+r）∴线段s为：c=﹣2mb+r2﹣m2,b∈［﹣m﹣r，﹣m+r]若(b，c）是线段s上一点（非端点），则实系数方程为x2+2bx﹣2mb+r2﹣m2=0,b∈(﹣m﹣r，﹣m+r）此时△＜0，且点在圆C上(3）表线段s与线段s1的关系m、r的取值或表达式s所在直线平行于s1所在直线m=1，r≠1s所在直线平分线段s1r2﹣（m﹣1）2=1，m≠1线段s与线段s1长度相等（1+4m2）r2=52017年6月18日。
【中小学资料】上海市2016-2017学年高二数学下学期期中试卷(含解析)
2016-2017学年上海市高二（下）期中数学试卷一、填空题1．抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为．2．方向向量为，且过点A（3，4）的直线的一般式方程为．3．若复数z满足，则= ．4．直线x+y﹣2=0和ax﹣y+1=0的夹角为，则a的值为．5．已知点（﹣4，0）是椭圆kx2+3ky2=1的一个焦点，则k= ．6．如果实数x，y满足线性约束条件，则z=x﹣y+1的最小值等于．7．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为．8．参数方程（t为参数），化为一般方程为．9．以椭圆3x2+13y2=39的焦点为顶点，以为渐近线的双曲线方程为．10．M是抛物线y=4x2+1上的一个动点，且点M是线段OP的中点（O为原点），P的轨迹方程为．11．某地球仪上北纬60°纬线长度为6πcm，则该地球仪的体积为cm3．12．若圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=1（a＞0）上总存在两个点到原点的距离为1，则a的取值范围是．二、选择题13．命题p：a≥1；命题q：关于x的实系数方程x2﹣2x+a=0有虚数解，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件14．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为S1、S2，则S1：S2=（）A．1：1 B．2：1 C．3：2 D．4：115．如图，在下列四个几何体中，它们的三视图（主视图、左视图、俯视图）中有且仅有两个相同，而另一个不同的几何体是（）A．（2）（3）（4） B．（1）（2）（3） C．（1）（3）（4） D．（1）（2）（4）16．如果函数y=|x|﹣2的图象与曲线C：x2+y2=λ恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（）A．{2}∪（4，+∞）B．（2，+∞）C．{2，4} D．（4，+∞）三、简答题17．直角坐标系中，已知动点P（x，y）到定点F（0，2）的距离与它到y=﹣1距离之差为1，（1）求点P的轨迹C（2）点A（3，1），P在曲线C上，求|PA|+|PF|的最小值，并求此时点P的坐标．18．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3，过A1、C1、B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如下所示的几何体ABCD﹣A1C1D1．（1）若A1C1的中点为O1，求异面直线BO1与A1D1所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）求点D到平面A1BC1的距离d．19．复数z满足z+（1﹣2i）z+（1+2i）=3，求|z|的最大值．20．已知直线l：kx﹣y+1+2k=0，k∈R（1）直线过定点P，求点P坐标；（2）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设三角形OAB的面积为4，求出直线l方程．21．椭圆C：过点M（2，0），且右焦点为F（1，0），过F的直线l与椭圆C相交于A、B两点．设点P（4，3），记PA、PB的斜率分别为k1和k2．（1）求椭圆C的方程；（2）如果直线l的斜率等于﹣1，求出k1•k2的值；（3）探讨k1+k2是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出k1+k2的取值范围．2016-2017学年上海市师大二附中高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为 2 ．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】直接利用抛物线的性质求解即可．【解答】解：抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为：p=2．故答案为：2．2．方向向量为，且过点A（3，4）的直线的一般式方程为2x﹣y﹣2=0 ．【考点】IG：直线的一般式方程．【分析】根据点向式方程计算即可【解答】解：方向向量为，且过点A（3，4）的方程为=，即2x﹣y﹣2=0，故答案为：2x﹣y﹣2=0．3．若复数z满足，则= ．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算；A8：复数求模．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求值．【解答】解：∵==，∴．故答案为：．4．直线x+y﹣2=0和ax﹣y+1=0的夹角为，则a的值为2±．【考点】IV：两直线的夹角与到角问题．【分析】先求出两条直线的斜率，再利用两条直线的夹角公式求得a的值．【解答】解：直线x+y﹣2=0的斜率为﹣1，和ax﹣y+1=0的斜率为a，直线x+y﹣2=0和ax﹣y+1=0的夹角为，∴tan==||，求得a==2﹣，或a==2+，故答案为：2±．5．已知点（﹣4，0）是椭圆kx2+3ky2=1的一个焦点，则k= ．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】利用椭圆的焦点坐标，列出方程求解即可．【解答】解：点（﹣4，0）是椭圆kx2+3ky2=1的一个焦点，可得：，解得k=．故答案为：．6．如果实数x，y满足线性约束条件，则z=x﹣y+1的最小值等于﹣2 ．【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出可行域，变形目标函数，平移直线y=﹣x可得当直线经过点A（﹣2，1）时，z 取最小值，代值计算可得．【解答】解：作出线性约束条件，所对应的可行域（如图），变形目标函数可得y=x+1+z，平移直线y=x可知，当直线经过点A（﹣2，1）时，截距取最小值，z取最小值，代值计算可得z的最小值为z=﹣2﹣1+1=﹣2故答案为：﹣2．7．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为45°．【考点】MI：直线与平面所成的角；L3：棱锥的结构特征．【分析】先做出要求的线面角，把它放到一个直角三角形中，利用直角三角形中的边角关系求出此角．【解答】解：如图，四棱锥P﹣ABCD中，过P作PO⊥平面ABCD于O，连接AO，则AO是AP在底面ABCD上的射影．∴∠PAO即为所求线面角，∵AO=，PA=1，∴cos∠PAO==．∴∠PAO=45°，即所求线面角为45°．故答案为45°．8．参数方程（t为参数），化为一般方程为x+y﹣2=0 ．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】参数方程消去参数t，能求出其一般方程．【解答】解：∵参数方程（t为参数），∴消去参数t，得：x=1+（1﹣y），整理，得一般方程为：x+y﹣2=0．故答案为：x+y﹣2=0．9．以椭圆3x2+13y2=39的焦点为顶点，以为渐近线的双曲线方程为．【考点】KI：圆锥曲线的综合．【分析】求出椭圆的焦点坐标，得到双曲线的顶点坐标，结合双曲线的渐近线方程，求解即可．【解答】解：以椭圆3x2+13y2=39的焦点为（±，0），则双曲线的顶点（±，0），可得a=，以为渐近线的双曲线，可得b=，所求的双曲线方程为：．故答案为：．10．M是抛物线y=4x2+1上的一个动点，且点M是线段OP的中点（O为原点），P的轨迹方程为y=2x2+2 ．【考点】KK：圆锥曲线的轨迹问题．【分析】设出P的坐标，求出M的坐标，动点M在抛物线y=4x2+1上运动，点M满足抛物线方程，代入求解，即可得到P的轨迹方程．【解答】解：设P的坐标（x，y），由题意点M为线段OP的中点，可知M（，），动点M在抛物线y=4x2+1上运动，所以=4+1，所以y=2x2+2动点P的轨迹方程为：y=2x2+2．故答案为：y=2x2+2．11．某地球仪上北纬60°纬线长度为6πcm，则该地球仪的体积为288 cm3．【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】地球仪上北纬60°纬线的周长为6πcm，可求纬圆半径，然后求出地球仪的半径，再求体积．【解答】解：由题意：地球仪上北纬60°纬线的周长为6πcm，纬圆半径是：3cm，地球仪的半径是：6cm；地球仪的体积是：π×63=288cm3，故答案为：288π．12．若圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=1（a＞0）上总存在两个点到原点的距离为1，则a的取值范围是（0，）．【考点】JA：圆与圆的位置关系及其判定．【分析】转化题目，为两个圆的位置关系，通过圆心距与半径和与差的关系列出不等式求解即可．【解答】解：圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=1（a＞0）上总存在两个点到原点的距离为1，转化为：以原点为圆心1为半径的圆与已知圆相交，可得1﹣1＜＜1+1，可得0＜2，即a∈（0，）．故答案为：（0，）二、选择题13．命题p：a≥1；命题q：关于x的实系数方程x2﹣2x+a=0有虚数解，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据复数的有关性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：若关于x的实系数方程x2﹣2x+a=0有虚数解，则判别式△＜0，即8﹣4a＜0，解得a＞2，∴p是q的必要不充分条件，故选：B14．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为S1、S2，则S1：S2=（）A．1：1 B．2：1 C．3：2 D．4：1【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】根据圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，设为球的半径为1，结合圆柱的表面积的公式以及球的表面积即可得到答案．【解答】解：由题意可得：圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，设球的半径为1，所以等边圆柱的表面积为：S1=6π，球的表面积为：S2=4π．所以圆柱的表面积与球的表面积之比为S1：S2=3：2．故选C．15．如图，在下列四个几何体中，它们的三视图（主视图、左视图、俯视图）中有且仅有两个相同，而另一个不同的几何体是（）A．（2）（3）（4） B．（1）（2）（3） C．（1）（3）（4） D．（1）（2）（4）【考点】L7：简单空间图形的三视图．【分析】主视图、左视图、俯视图中有且仅有两个相同，需要看出四个图形的三视图，圆柱的侧视图与主视图一样，圆锥的侧视图与主视图一样，四棱柱侧视图与主视图一样，得到结果．【解答】解：要找三视图中有且仅有两个相同，而另一个不同的几何体，需要看出所给的四个几何体的三视图，正方体的三视图都是正方形，都相同，不合题意，圆柱的侧视图与主视图一样，符合题意，圆锥的侧视图与主视图一样，符合题意，四棱柱侧视图与主视图一样，符合题意，故符合题意的有（2）（3）（4）三个，故选A．16．如果函数y=|x|﹣2的图象与曲线C：x2+y2=λ恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（）A．{2}∪（4，+∞）B．（2，+∞）C．{2，4} D．（4，+∞）【考点】J8：直线与圆相交的性质．【分析】根据题意画出函数y=|x|﹣2与曲线C：x2+y2=λ的图象，抓住两个关键点，当圆O 与两射线相切时，两函数图象恰好有两个不同的公共点，过O作OC⊥AB，由三角形AOB为等腰直角三角形，利用三线合一得到OC为斜边AB的一半，利用勾股定理求出斜边，即可求出OC的长，平方即可确定出此时λ的值；当圆O半径为2时，两函数图象有3个公共点，半径大于2时，恰好有2个公共点，即半径大于2时，满足题意，求出此时λ的范围，即可确定出所有满足题意λ的范围．【解答】解：根据题意画出函数y=|x|﹣2与曲线C：x2+y2=λ的图象，如图所示，当AB与圆O相切时两函数图象恰好有两个不同的公共点，过O作OC⊥AB，∵OA=OB=2，∠AOB=90°，∴根据勾股定理得：AB=2，∴OC=AB=，此时λ=OC2=2；当圆O半径大于2，即λ＞4时，两函数图象恰好有两个不同的公共点，综上，实数λ的取值范围是{2}∪（4，+∞）．故选A三、简答题17．直角坐标系中，已知动点P（x，y）到定点F（0，2）的距离与它到y=﹣1距离之差为1，（1）求点P的轨迹C（2）点A（3，1），P在曲线C上，求|PA|+|PF|的最小值，并求此时点P的坐标．【考点】IW：与直线有关的动点轨迹方程．【分析】（1）设P（x，y），由两点间距离公式和点到直线的距离公式列出方程，由此能求出曲线C的方程；（2）要使|PA|+|PF|的值最小，则三点P，A，F三点共线，此时点P为直线AF与抛物线的交点即可【解答】解：（1）（1）设P（x，y），∵动点P（x，y）到定点F（0，2）的距离与它到y=﹣1距离之差为1，∴，整理得x2=8y∴点P的轨迹C是以原点为顶点，对称轴为y轴的抛物线．（2）如图，要使|PA|+|PF|的值最小，则三点P，A，F三点共线，此时点P为直线AF与抛物线的交点．直线AF方程：x+3y﹣6=0由得P（，）|PA|+|PF|的最小值为．18．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3，过A1、C1、B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如下所示的几何体ABCD﹣A1C1D1．（1）若A1C1的中点为O1，求异面直线BO1与A1D1所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）求点D到平面A1BC1的距离d．【考点】MK：点、线、面间的距离计算；LM：异面直线及其所成的角．【分析】（1）建立空间直角坐标系．求出相关点的坐标，求出．利用空间向量的连结求解异面直线BO1与A1D1所成的角．（2）求出平面ABD的法向量．通过空间向量的距离公式求解即可．【解答】（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分，第2小题满分．（理科）解：（1）按如图所示建立空间直角坐标系．由题知，可得点D（0，0，0）、B（2，2，0）、D1（0，0，3）、A1（2，0，3）、C1（0，2，3）．由O1是A1C1中点，可得O1（1，1，3）．于是，．设异面直线BO1与A1D1所成的角为θ，则．因此，异面直线BO1与A1D1所成的角为．（2）设是平面ABD的法向量．∴又，∴取z=2，可得即平面BA1C1的一个法向量是．∴=．19．复数z满足z+（1﹣2i）z+（1+2i）=3，求|z|的最大值．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】设z=a+bi（a，b∈R），则，代入z+（1﹣2i）z+（1+2i）=3，得（a+1）2+（b+2）2=8．则z在复平面内所对应点的轨迹为以（﹣1，﹣2）为圆心，以为半径的圆．数形结合求|z|的最大值．【解答】解：设z=a+bi（a，b∈R），则，代入z+（1﹣2i）z+（1+2i）=3，得（a2+b2+2a+4b）+（b﹣2a﹣b+2a）i=3，即a2+b2+2a+4b=3，化为（a+1）2+（b+2）2=8．∴z在复平面内所对应点的轨迹为以（﹣1，﹣2）为圆心，以为半径的圆．∴|z|=，则|z|的最大值为．20．已知直线l：kx﹣y+1+2k=0，k∈R（1）直线过定点P，求点P坐标；（2）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设三角形OAB的面积为4，求出直线l方程．【考点】IO：过两条直线交点的直线系方程．【分析】（1）由kx﹣y+1+2k=0，可得k（x+2）+（1﹣y）=0可得直线l：kx﹣y+1+2k=0必过直线x+2=0，1﹣y=0的交点（﹣2，1）（2）令y=0，得A（﹣）；令x=0，得B（0，1+2k）三角形OAB的面积为s===4，解得k【解答】解：（1）由kx﹣y+1+2k=0，可得k（x+2）+（1﹣y）=0∴直线l：kx﹣y+1+2k=0必过直线x+2=0，1﹣y=0的交点（﹣2，1）∴P（﹣2，1）．（2）∵直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，∴k＞0令y=0，得A（﹣）；令x=0，得B（0，1+2k）三角形OAB的面积为s===4解得k=∴直线l方程为：x﹣2y+4=021．椭圆C：过点M（2，0），且右焦点为F（1，0），过F的直线l与椭圆C相交于A、B两点．设点P（4，3），记PA、PB的斜率分别为k1和k2．（1）求椭圆C的方程；（2）如果直线l的斜率等于﹣1，求出k1•k2的值；（3）探讨k1+k2是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出k1+k2的取值范围．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）利用已知条件求出b，即可求解椭圆方程．（2）直线l：y=﹣x+1，设AB坐标，联立利用韦达定理以及斜率公式求解即可．（3）当直线AB的斜率不存在时，不妨设A，B，求出斜率，即可；当直线AB的斜率存在时，设其为k，求直线AB：y=k（x﹣1），联立直线与椭圆的方程组，利用韦达定理以及斜率公式化简求解即可．【解答】解：（1）∵a=2，又c=1，∴，∴椭圆方程为…（2）直线l：y=﹣x+1，设A（x1，y1）B（x2，y2），由消y得7x2﹣8x﹣8=0，有，．……（3）当直线AB的斜率不存在时，不妨设A（1，），B（1，﹣），则，，故k1+k2=2．…当直线AB的斜率存在时，设其为k，则直线AB：y=k（x﹣1），设A（x1，y1）B（x2，y2），由消y得（4k2+3）x2﹣8k2x+（4k2﹣12）=0，有，．…=…。
2017-2018年上海市浦东新区高二(下)期中数学试卷和答案
2017-2018学年上海市浦东新区高二（下）期中数学试卷一、填空题（共12小题，每小题3分，满分36分）只要求直接填写结果，没空回填对的3分，否则一律得零分1．（3分）复数1+2i的虚部为．2．（3分）关于x的方程x2+4x+k=0有一个根a+3i（a∈R，i为虚数单位），则实数k等于3．（3分）直线x﹣y+1=0的倾斜角为．4．（3分）若复数z=，则|z|=5．（3分）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=与直线y=m有且只有一个公共点，则实数m的值为6．（3分）已知复数z 1=3+4i，z2=t+4i，且z1是实数，则实数t等于7．（3分）设复数z=cosθ+isinθ，则|z﹣i|的最大值是8．（3分）以双曲线=1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为9．（3分）已知点A（3，2），F是抛物线y2=2x的焦点，若点P在抛物线上运动，当|PA|+|PF|取最小值时，点P的坐标为．10．（3分）已知双曲线=1的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过点F交双曲线的左支于A，B两点，且|AB|=9，则△ABF2的周长为11．（3分）以椭圆=1的右焦点为圆心，且与双曲线=1的两条渐近线都相切的圆方程为．12．（3分）已知点A（﹣1，0），B（1，0）及抛物线y2=2x，若抛物线上点P满足|PA|=m|PB|，则m的取值范围是二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得3分，否则一律不得分13．（3分）抛物线y2=8x的焦点到准线的距离是（）A．1B．2C．4D．814．（3分）已知F1，F2是定点，|F1F2|=5，若动点P满足|PF1|+|PF2|=5，则动点P的轨迹是（）A．直线B．线段C．圆D．椭圆15．（3分）若椭圆=1与双曲线=1（m∈R）有相同的焦点，则m的值为（）A．1B．﹣1C．±1D．不确定16．（3分）若双曲线x2﹣=1（b＞1）的两条渐近线的夹角为θ，则θ不可能为（）A．arccos B．2arctanC．π﹣2arctanb D．2arctanb三、解答题（共5小题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤17．（8分）在复数范围内解方程|z|2+（z+）i=1﹣i（i为虚数单位）．18．（8分）已知双曲线经过点P（1，1），其渐近线方程为y=±x，求此双曲线的方程．19．（10分）求以坐标原点为顶点，焦点在坐标轴上且经过点M（﹣2，4）的抛物线的方程．20．（12分）已知椭圆的焦点分别为F1（﹣2，0）、F2（2，0），长轴长为6，设直线x﹣y+2=0交椭圆于A，B两点，求线段AB的中点坐标．21．（14分）若方程=1所表示的曲线为C．（1）试讨论实数t的取值范围，使曲线C分别为：①圆，②双曲线；（2）若点P（m，1）（m＞0）不在曲线C上，求实数m的取值范围．2017-2018学年上海市浦东新区高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共12小题，每小题3分，满分36分）只要求直接填写结果，没空回填对的3分，否则一律得零分1．（3分）复数1+2i的虚部为2．【考点】A1：虚数单位i、复数．【解答】解：复数a+bi（a，b∈R）的实部为a，虚部为b．∴复数1+2i的虚部为2．故答案为：2．2．（3分）关于x的方程x2+4x+k=0有一个根a+3i（a∈R，i为虚数单位），则实数k等于13【考点】&S：实系数多项式虚根成对定理．【解答】解：关于x的方程x2+4x+k=0有一个根a+3i（a∈R，i为虚数单位），k ∈R．则a﹣3i也是此方程的一个根．∴a+3i+a﹣3i=﹣4，（a+3i）（a﹣3i）=k，解得a=﹣2．k=4+9=13．故答案为：13．3．（3分）直线x﹣y+1=0的倾斜角为60°．【考点】I2：直线的倾斜角．【解答】解：设直线x﹣y+1=0的倾斜角为θ．由直线x﹣y+1=0化为y=x+1，∴，∵θ∈[0°，180°）∴θ=60°．故答案为：60°．4．（3分）若复数z=，则|z|=【考点】A8：复数的模．【解答】解：∵复数z=======﹣1﹣i，∴|z|==．故答案为：．5．（3分）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=与直线y=m有且只有一个公共点，则实数m的值为2【考点】KE：曲线与方程．【解答】解：由题意，曲线y=为以原点O（0，0）为圆心，2为半径的半圆（x轴上侧）与直线L：y=m（L∥x轴）有且只有一个公共点∴m=2故答案为：2．6．（3分）已知复数z 1=3+4i，z2=t+4i，且z1是实数，则实数t等于3【考点】A5：复数的运算．【解答】解：∵z1=3+4i，z2=t+4i，∴z 1=（3+4i）（t﹣4i）=（3t+16）+（4t﹣12）i，由z 1是实数，得4t﹣12=0，即t=3．故答案为：3．7．（3分）设复数z=cosθ+isinθ，则|z﹣i|的最大值是2【考点】A8：复数的模．【解答】解：∵z=cosθ+isinθ，∴|z﹣i|=|cosθ+（sinθ﹣1）i|==．∴当sinθ=﹣1时，|z﹣i|的最大值是2．故答案为：2．8．（3分）以双曲线=1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为【考点】KI：圆锥曲线的综合．【解答】解：双曲线=1可得双曲线的焦点在x轴上，焦点坐标为（，0），（，0），顶点坐标为（3，0），（﹣3，0），由题意设椭圆的焦点坐标为（3，0），（﹣3，0），顶点坐标为（，0），（，0），则a=2，c=3，b2=a2﹣c2=3，∴椭圆的标准方程：，故答案为：，9．（3分）已知点A（3，2），F是抛物线y2=2x的焦点，若点P在抛物线上运动，当|PA|+|PF|取最小值时，点P的坐标为（2，2）．【考点】K8：抛物线的性质．【解答】解：设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|∴要求|PA|+|PF|取得最小值，即求|PA|+|PD|取得最小当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，∵A（3，2），∴P点的纵坐标y=2，此时由y2=2x得x=，即P（2，2），故答案为：（2，2）10．（3分）已知双曲线=1的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过点F交双曲线的左支于A，B两点，且|AB|=9，则△ABF2的周长为50【考点】KC：双曲线的性质．【解答】解：根据题意双曲线=1，双曲线图象如图：|AF2|﹣|AF1|=2a=16 ①|BF2|﹣|BF1|=2a=16 ②而|AB|=9，①+②得：|AF2|+|BF2|=41，∴周长为50．故答案为：50．11．（3分）以椭圆=1的右焦点为圆心，且与双曲线=1的两条渐近线都相切的圆方程为（x﹣5）2+y2=16．【考点】K4：椭圆的性质；KC：双曲线的性质．【解答】解：∵c2=169﹣144=25，∴椭圆的右焦点为F（5，0），∴所求圆的圆心坐标是（5，0）．∵双曲线的渐近线方程是，由点到直线的距离公式可知（5，0）到的距离=4，∴所求圆的半径为4．故所求圆的方程是（x﹣5）2+y2=16．答案：（x﹣5）2+y2=16．12．（3分）已知点A（﹣1，0），B（1，0）及抛物线y2=2x，若抛物线上点P满足|PA|=m|PB|，则m的取值范围是[1，]【考点】K8：抛物线的性质；KN：直线与抛物线的综合．【解答】解：设P（，y），由题意可得m2====1+，1≤m2≤1+=3，∴1≤m≤，当且仅当y2=2时，m取得最大值，y=0时，m取得最小值，则m的取值范围是[1，]．故答案为：[1，]．二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得3分，否则一律不得分13．（3分）抛物线y2=8x的焦点到准线的距离是（）A．1B．2C．4D．8【考点】K8：抛物线的性质．【解答】解：由y2=2px=8x，知p=4，又焦点到准线的距离就是p．故选：C．14．（3分）已知F1，F2是定点，|F1F2|=5，若动点P满足|PF1|+|PF2|=5，则动点P的轨迹是（）A．直线B．线段C．圆D．椭圆【考点】J3：轨迹方程．【解答】解：∵|PF1|+|PF2|=5，且|F1F2|=5∴|PF1|+|PF2|=|F1F2|①当点P不在直线F1F2上时，根据三角形两边之和大于第三边，得|PF1|+|PF2|＞|F1F2|，不符合题意；②当点P在直线F1F2上时，若点P在F1、F2两点之外时，可得|PF1|+|PF2|＞5，得到|PF1|+|PF2|＞|F1F2|，不符合题意；若点P在F1、F2两点之间（或与F1、F2重合）时，可得|PF1|+|PF2|=|F1F2|，符合题意．综上所述，得点P在直线F1F2上且在F1、F2两点之间或与F1、F2重合，故点P的轨迹是线段F1F2．故选：B．15．（3分）若椭圆=1与双曲线=1（m∈R）有相同的焦点，则m的值为（）A．1B．﹣1C．±1D．不确定【考点】K4：椭圆的性质；KC：双曲线的性质．【解答】解：椭圆得∴c1=，∴焦点坐标为（，0）（﹣，0），双曲线：有则半焦距c2=∴则实数m=±1故选：C．16．（3分）若双曲线x2﹣=1（b＞1）的两条渐近线的夹角为θ，则θ不可能为（）A．arccos B．2arctanC．π﹣2arctanb D．2arctanb【考点】KC：双曲线的性质．【解答】解：双曲线的标准方程为x2﹣=1（b＞1），则渐近线方程为y=±bx，直线的倾斜角为α，由y=bx得渐近线的斜率b=tanα，cosα=，则α=arctanb，b＞1，，双曲线x2﹣=1（b＞1）的两条渐近线的夹角为θ，θ=π﹣2arctanb．也可以是：2arctan；也可以是arccos．双曲线x2﹣=1（b＞1）的两条渐近线的夹角为θ，则θ不可能为：2arctanb．故选：D．三、解答题（共5小题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤17．（8分）在复数范围内解方程|z|2+（z+）i=1﹣i（i为虚数单位）．【考点】A8：复数的模．【解答】解：设z=a+bi（a，b∈R），则由|z|2+（z+）i=1﹣i，得：a2+b2+2ai=1﹣i，∴，即或．故z=﹣或．18．（8分）已知双曲线经过点P（1，1），其渐近线方程为y=±x，求此双曲线的方程．【考点】KC：双曲线的性质．【解答】解：根据题意，要求双曲线的渐近线为y=±x，设其方程为﹣x2=t，又由双曲线经过点（1，1），则﹣1=t，则t=﹣，则双曲线的方程为﹣x2=﹣，即2x2﹣y2=1．则双曲线的方程为2x2﹣y2=1．19．（10分）求以坐标原点为顶点，焦点在坐标轴上且经过点M（﹣2，4）的抛物线的方程．【考点】K8：抛物线的性质．【解答】解：根据题意，要求抛物线经过点M（﹣2，4），则该抛物线开口向上或向左，若抛物线开口向左，设其方程为y2=﹣2px，又由其经过点M（﹣2，4），则有16=（﹣2）×p×（﹣2），解可得p=4，此时抛物线的方程为y2=﹣8x，若抛物线开口向上，设其方程为x2=2py，又由其经过点M（﹣2，4），则有（﹣2）2=2p×4，解可得p=，此时抛物线的方程为x2=y，综合可得：抛物线的方程为x2=y或y2=﹣8x．20．（12分）已知椭圆的焦点分别为F1（﹣2，0）、F2（2，0），长轴长为6，设直线x﹣y+2=0交椭圆于A，B两点，求线段AB的中点坐标．【考点】K4：椭圆的性质；KL：直线与椭圆的综合．【解答】解：椭圆的焦点分别为F1（﹣2，0）、F2（2，0），长轴长为6，焦点在x轴上，设椭圆C的方程为：（a＞b＞0），a=3，b2=a2﹣c2=9﹣8=1，∴椭圆C的方程为：；由，消y整理得：10x2+36x+27=0，由△=362﹣4×10×27=216＞0，∴直线与椭圆有两个不同的交点，设A（x1，y1），B（x2，y2），中点E（x0，y0），则x1+x2=﹣，由中点坐标公式可知：x0==﹣，y0=x0+2=，故线段AB的中点坐标为（﹣，）．21．（14分）若方程=1所表示的曲线为C．（1）试讨论实数t的取值范围，使曲线C分别为：①圆，②双曲线；（2）若点P（m，1）（m＞0）不在曲线C上，求实数m的取值范围．【考点】K4：椭圆的性质；KC：双曲线的性质；KE：曲线与方程．【解答】解：（1）因为方程表示圆时，4﹣t=t﹣2＞0，解得t=3，此时，此方程表示圆．因为方程表示双曲线时，（4﹣t）（t﹣2）＜0，即t＜2或t＞4，所以当t＜2或t ＞4时，此方程表示双曲线．（2）点P（m，1）（m＞0）不在曲线C上，方程≠1，即m2≠（4﹣t）•（）=，当t＞2时，≥3+2，当t＜2时，≤3﹣2．可得m∈（3﹣2，3+2）．。
【精品】2016-2017学年上海市浦东新区高二(上)期中数学试卷
2016-2017学年上海市浦东新区高二（上）期中数学试卷一、填空题1．（5分）4和10的等差中项是．2．（5分）等比数列{a n}中，a1=2，公比q=3，则a5=．3．（5分）向量=（4，﹣3），则与同向的单位向量=．4．（5分）=．5．（5分）在平面直角坐标系中，已知两点A（2，﹣1）和B（﹣1，5），点P满足=2，则点P的坐标为．6．（5分）等比数列{a n}中，a2=1，a4=4，则a6=．7．（5分）S n是数列{a n}的前n项和，若a4=7，a n=a n﹣1+2（n≥2，n∈N*），则S8=．8．（5分）已知等边△ABC的边长为1，则=．9．（5分）已知向量=（1，2），=（3，﹣4），则向量在向量上的投影为．10．（5分）在数列{a n}中，S n是其前n项和，若S n=n2+1，n∈N*，则a n=．11．（5分）若等比数列{a n}的前n项和S n=（）n+a（n∈N*），则数列{a n}的各项和为．12．（5分）数列{a n}中，a n+1=，a1=2，则数列{a n}的前2015项的积等于．二、选做题13．（5分）=（1，2），=（k，4），若∥，则下列结论正确的是（）A．k=﹣6 B．k=2 C．k=6 D．k=﹣214．（5分）已知等差数列{a n}中，前n项和S n=n2﹣15n，则使S n有最小值的n 是（）A．7 B．7或8 C．8 D．915．（5分）用数学归纳法证明1+a+a2+…+a n+1=（a≠1，n∈N*），在验证n=1成立时，左边的项是（）A．1 B．1+a C．1+a+a2D．1+a+a2+a416．（5分）下列命题中，正确命题的个数是（）①若2b=a+c，则a，b，c成等差数列；②“ａ，b，c成等比数列”的充要条件是“ｂ2=ac”；③若数列{a n2}是等比数列，则数列{a n}也是等比数列；④若||=||，则=．A．3 B．2 C．1 D．0三、解答题17．（14分）在等差数列{a n}中，已知a1+a2=2，a2+a3=10，求通项公式a n及前n 项和S n．18．（14分）已知||=2，||=3，且向量与的夹角为，求|3﹣2|．19．（14分）已知数列满足a1=1，a n+1=2a n+1（n∈N*）（1）求证：数列{a n+1}是等比数列；（2）求{a n}的通项公式．20．（14分）已知=（m﹣2）+2，=+（m+1），其中、分别为x、y轴正方向单位向量．（1）若m=2，求与的夹角；（2）若（+）⊥（﹣），求实数m的值．21．（14分）已知各项为正的数列{a n}是等比数列，a1=2，a5=32，数列{b n}满足：对于任意n∈N*，有a1b1+a2b2+…+a n b n=（n﹣1）?2n+1+2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令f（n）=a2+a4+…+a2n，求的值；（3）求数列{b n}通项公式，若在数列{a n}的任意相邻两项a k与a k+1之间插入b k （k∈N*）后，得到一个新的数列{c n}，求数列{c n}的前100项之和T100．2016-2017学年上海市浦东新区高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．（5分）4和10的等差中项是7．【分析】利用等差中项的定义即可得出．【解答】解：4和10的等差中项==7，故答案为：7．【点评】本题考查了等差中项的求法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．（5分）等比数列{a n}中，a1=2，公比q=3，则a5=162．【分析】直接利用等比数列的通项公式得答案．【解答】解：在等比数列{a n}中，由a1=2，公比q=3，得a5=．故答案为：162．【点评】本题考查等比数列的通项公式，是基础的计算题．3．（5分）向量=（4，﹣3），则与同向的单位向量=（，﹣）．【分析】与向量同向的单位向量是【解答】解：∵向量=（4，﹣3），∴||==5，∴与同向的单位向量=（，﹣），故答案为：（，﹣）．【点评】本题考查与一个向量同向的单位向量的求法，是基础题，解题时要熟练掌握单位向量的性质．4．（5分）=2．【分析】利用=，即可得出结论．【解答】解：==2，故答案为：2．【点评】本题考查极限运算，考查学生的计算能力，比较基础．5．（5分）在平面直角坐标系中，已知两点A（2，﹣1）和B（﹣1，5），点P满足=2，则点P的坐标为（0，3）．【分析】市场P的坐标，利用向量相等，列出方程求解即可．【解答】解：设P（a，b），点A（2，﹣1）和B（﹣1，5），点P满足=2，可得（a﹣2，b+1）=2（﹣1﹣a，5﹣b），可得a﹣2=﹣2﹣2a，b+1=10﹣2b，解得a=0，b=3．点P的坐标为（0，3）．故答案为：（0，3）．【点评】本题考查向量相等的应用，坐标运算，考查计算能力．6．（5分）等比数列{a n}中，a2=1，a4=4，则a6=16．【分析】有已知求出q2，再由得答案．【解答】解：在等比数列{a n}中，由a2=1，a4=4，得，∴．故答案为：16．【点评】本题考查等比数列的通项公式，是基础的计算题．7．（5分）S n是数列{a n}的前n项和，若a4=7，a n=a n﹣1+2（n≥2，n∈N*），则S8= 64．【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：∵a n=a n﹣1+2（n≥2，n∈N*），∴数列{a n}是公差为2的等差数列，又a4=7，∴a1+3×2=7，解得a1=1．∴S8=8+=64．故答案为：64．【点评】本题考查了等差数列的定义通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．（5分）已知等边△ABC的边长为1，则=．【分析】由题意，等边三角形ABC的边长为1，可知两向量模已知，夹角已知，故易求．【解答】解：由题意，等边三角形ABC的边长为1，∴=﹣=﹣1×1×cos60°=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查向量数量积的运算，熟练掌握向量数量积的计算公式是解题的关键，本题属于基本公式考查题，计算型．9．（5分）已知向量=（1，2），=（3，﹣4），则向量在向量上的投影为﹣1．【分析】利用向量投影的意义解答．【解答】解：由已知向量在向量上的投影为==﹣1；故答案为：﹣1．【点评】本题考查了平面向量的投影求法；利用数量积的几何意义求之即可．10．（5分）在数列{a n}中，S n是其前n项和，若S n=n2+1，n∈N*，则a n=．【分析】由S n=n2+1，n∈N*，可得n=1时，a1=S1=2；n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，即可得出．【解答】解：∵S n=n2+1，n∈N*，∴n=1时，a1=S1=2，n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n2+1﹣[（n﹣1）2+1]=2n﹣1，则a n=．故答案为：．【点评】本题考查了数列递推关系、通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．（5分）若等比数列{a n}的前n项和S n=（）n+a（n∈N*），则数列{a n}的各项和为﹣1．【分析】由数列的前n项和求出首项和通项公式（n≥2），把首项代入求a，得到等比数列的通项公式，求出公比，代入无穷递缩等比数列的所有项和的公式得答案．【解答】解：由，得，=（n≥2），∵数列{a n}是等比数列，∴，得a=﹣1．∴，则，则数列{a n}的各项和为．故答案为：﹣1．【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查了无穷递缩等比数列的所有项和的求法，是基础题．12．（5分）数列{a n}中，a n+1=，a1=2，则数列{a n}的前2015项的积等于3．【分析】通过计算出数列前几项的值，判断该数列为周期数列，进而可得结论．【解答】解：∵且a1=2，∴a2===﹣3，a3===﹣，a4===，a5===2，不难发现数列{a n}是周期数列，四个为一周期且最前四个乘积为=1，∵2015=503×4+3，∴数列{a n}前2015项的积为：=3，故答案为：3．【点评】本题考查求数列的前n项的乘积，找出其周期是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．二、选做题13．（5分）=（1，2），=（k，4），若∥，则下列结论正确的是（）A．k=﹣6 B．k=2 C．k=6 D．k=﹣2【分析】根据平面向量平行的坐标关系解答即可．【解答】解：因为=（1，2），=（k，4），∥，所以4=2k，解得k=2；故选：B．【点评】本题考查了平面向量平行时坐标的运算关系；属于基础题．14．（5分）已知等差数列{a n}中，前n项和S n=n2﹣15n，则使S n有最小值的n 是（）A．7 B．7或8 C．8 D．9【分析】S n=n2﹣15n看作关于n的二次函数．结合二次函数的图象与性质可以求解．【解答】解：S n=n2﹣15n=（n﹣）2﹣，∴数列{S n}的图象是分布在抛物线y=（x﹣）2﹣上的横坐标为正整数的离散的点．又抛物线开口向上，以x=为对称轴，且|﹣7|=|8﹣|，所以当n=7，8时，S n有最小值．故选：B．【点评】本题考查数列的函数性质，等差数列前n项和是关于n的二次函数，采用函数思想可以解决Sn的有关问题．15．（5分）用数学归纳法证明1+a+a2+…+a n+1=（a≠1，n∈N*），在验证n=1成立时，左边的项是（）A．1 B．1+a C．1+a+a2D．1+a+a2+a4【分析】在验证n=1时，左端计算所得的项．把n=1代入等式左边即可得到答案．【解答】解：用数学归纳法证明1+a+a2+…+a n+1=（a≠1，n∈N*），在验证n=1时，把当n=1代入，左端=1+a+a2．故选：C．【点评】此题主要考查数学归纳法证明等式的问题，属于概念性问题．16．（5分）下列命题中，正确命题的个数是（）①若2b=a+c，则a，b，c成等差数列；②“ａ，b，c成等比数列”的充要条件是“ｂ2=ac”；③若数列{a n2}是等比数列，则数列{a n}也是等比数列；④若||=||，则=．A．3 B．2 C．1 D．0【分析】由等差中项的概念判断①；由充分必要条件的判断方法判断②；举例说明③④错误；【解答】解：对于①，若2b=a+c，则b﹣a=c﹣b，即a，b，c成等差数列，故①正确；对于②，由b2=ac，不一定有a，b，c成等比数列，反之，若a，b，c成等比数列，则b2=ac，∴b2=ac是a，b，c成等比数列的必要不充分条件，故②错误；对于③，若数列{a n2}是等比数列，则数列{a n}也是等比数列错误，如1，2，4成等比数列，但﹣1，﹣，2不是等比数列，故③错误；对于④，由，不一定有，如，故④错误．∴正确命题的个数是1个，故选：C．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了充分必要条件的判断方法，考查向量相等的条件，是中档题．三、解答题17．（14分）在等差数列{a n}中，已知a1+a2=2，a2+a3=10，求通项公式a n及前n 项和S n．【分析】设等差数列{a n}的公差为d，由a1+a2=2，a2+a3=10，可得2a1+d=2，2a1+3d=10，联立解得a1，d．再利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1+a2=2，a2+a3=10，∴2a1+d=2，2a1+3d=10，联立解得a1=﹣1，d=4．∴通项公式a n=﹣1+4（n﹣1）=4n﹣5，前n项和S n==2n2﹣3n．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（14分）已知||=2，||=3，且向量与的夹角为，求|3﹣2|．【分析】首先由已知求出的数量积，然后利用向量的平方与其模的平方相等解答．【解答】解：|3﹣2|2==36+36﹣12×=36；|3﹣2|=6．【点评】本题考查了平面向量的模的计算；一般的，利用向量的平方与模的平方相等解答．19．（14分）已知数列满足a1=1，a n+1=2a n+1（n∈N*）（1）求证：数列{a n+1}是等比数列；（2）求{a n}的通项公式．【分析】（1）给等式a n+1=2a n+1两边都加上1，右边提取2后，变形得到等于2，所以数列{a n+1}是等比数列，得证；（2）设数列{a n+1}的公比为2，根据首项为a1+1等于2，写出数列{a n+1}的通项公式，变形后即可得到{a n}的通项公式．【解答】解：（1）由a n+1=2a n+1得a n+1+1=2（a n+1），又a n+1≠0，∴=2，即{a n+1}为等比数列；（2）由（1）知a n+1=（a1+1）q n﹣1，即a n=（a1+1）q n﹣1﹣1=2?2n﹣1﹣1=2n﹣1．第11页（共13页）【点评】此题考查学生掌握等比数列的性质并会确定一个数列为等比数列，灵活运用等比数列的通项公式化简求值，是一道综合题．20．（14分）已知=（m ﹣2）+2，=+（m+1），其中、分别为x 、y 轴正方向单位向量．（1）若m=2，求与的夹角；（2）若（+）⊥（﹣），求实数m 的值．【分析】由已知，将与坐标化，利用平面向量的坐标运算解答即可．（1）将m 代入两个向量的坐标，进行数量积的坐标运算即可；（2）分别求出+，﹣的坐标，利用向量垂直数量积为0，求出m ．【解答】解：因为、分别为x 、y 轴正方向单位向量，所以=（m ﹣2，2），=（1，m+1），所以（1）m=2时，=（0，2，），=（1，3），与的夹角的余弦值，所以与的夹角为arccos ；（2）+=（m ﹣1，m+2），﹣=（m ﹣3，1﹣m ），又（+）⊥（﹣），所以（m ﹣1）（m ﹣3）+（m+2）（1﹣m ）=0，即﹣5m+5=0，解得m=1．【点评】本题考查了平面向量的运算；利用已知将向量坐标化使得运算简便．21．（14分）已知各项为正的数列{a n }是等比数列，a 1=2，a 5=32，数列{b n }满足：对于任意n ∈N *，有a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n =（n ﹣1）?2n +1+2．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）令f （n ）=a 2+a 4+…+a 2n ，求的值；（3）求数列{b n }通项公式，若在数列{a n }的任意相邻两项a k 与a k +1之间插入b k （k ∈N *）后，得到一个新的数列{c n }，求数列{c n }的前100项之和T 100．【分析】（1利用q=，即可得出．。
2016-2017学年下学期期中考高二数学理科参考答案 精品
2016-2017学年下学期期中考 高二理科数学 参考答案13．514．-10 15．1416．3 三、解答题（共6题，共70分） 17．【解析】（1）没有抓到白球，即取到的全是红球，∴没有抓到白球的概率是304236C C 1C 5=；…3分 （2）X的所有可能取值为1，2，3………………………………………………………4分()124236C C 1P X 1,C 5===()214236C C P X 2C ===35，()304236C C 1P X 3C 5===，………7分∴X 8分8()5E X =。
………………………………………………………10分18．【解析】(1)连接AC 交BD 于点O ，连接OE ；在△CPA 中，E ，O 分别是边CP ，CA 的中点，∴OE ∥PA ，而OE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ，∴PA ∥平面BDE . ……………………4分(2)如图建立空间直角坐标系，设PD ＝DC ＝2.则A (2,0,0)，P (0,0,2)，E (0,1,1)，B (2,2,0),∴ DE ＝(0,1,1)，DB＝(2,2,0)，……………………5分设n ＝(x ，y ，z )是平面BDE 的一个法向量，则由00n DE n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得0220y z x y ⎧⎨⎩＋＝，＋＝取y ＝－1，得n ＝(1，－1,1)， 又DA＝(2,0,0)是平面DEC 的一个法向量．……………………9分∴cos 〈n ，DA 〉＝n DA n DA⋅⋅3＝.……………………11分 故结合图形知二面角B-DE-C的余弦值为3……………………12分 19．【解析】（1）平均值为11万元，中位数为7万元. ……………………2分（2）年薪高于7万的有5人，低于或等于7万的有5人；ξ取值为0，1，2.()25210209C P C ξ===，()1155210519C C P C ξ===，()25210229C P C ξ===，………6分∴ξ的分布列为数学期望为0121999E ξ=⨯+⨯+⨯=.……………………8分（3）设(),1,2,3,4i i x y i =分别表示工作年限及相应年薪，则 2.5,6x y ==，()()()1217 1.45ˆni i i n i i x x y y b x x ==--===-∑∑6 1.4 2.5ˆ 2.5ˆa y bx =-=-⨯=， 得线性回归方程： 1.4 2.5y x =+.………………………………11分 可预测该员工第5年的年薪收入为9.5万元. …………………12分20将22⨯列联表中的数据代入计算，得2K 的观测值：()2100301045151003.030, 3.030 3.8414555752533K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯ ， ∴在犯错误概率不超过0.05前提下，不能认为赞成“自助游”与性别有关系.………6分(2)X 的所有可能取值为0,1,2,3,依题意()()i 3ii 33313,,i ?·,i 0,1,2,3444X B P X C -⎛⎫⎛⎫⎛⎫~=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴X 的分布列为：()94E X np ==.………………………………………………………………………12分 21．（Ⅰ）当2,a =212()2ln ,'(),2f x x x f x x x =-=- 1'(1)1,(1),2f f =-=()fx 在(1,(1))f 处的切线方程为()112y x -=--，即2230.x y +-=……………4分（Ⅱ）由2'().a x af x x x x-=-=由0a >及定义域为(0,)+∞，令'()0,fx x ==得1,01,a <≤即在(1,e)上，'()0f x >，)(x f 在[1,e]上单调递增， 因此，()f x 在区间[1,e]的最小值为1(1)2f =． ②若21e,1e ,a<<<<即在（上，'()0f x <，)(x f 单调递减;在上，'()0f x >，)(x f 单调递增，因此()f x 在区间[1,e]上的最小值为1(1ln ).2f a a =- 2e,e ,a ≥即在(1,e)上，'()0f x <，)(x f 在[1,e]上单调递减， 因此，在()f x 区间[1,e]上的最小值为21(e)e 2f a =-． 综上，()2min221,01,21()1ln ,1,21,.2a f x a a a e e a a e ⎧<≤⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩………………………………………8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知当01a <≤或2e a ≥时，)(xf 在(1,e)上是单调递增或递减函数，不可能存在两个零点．当21e a <<时，要使()f x 在区间(1,e)上恰有两个零点，则∴21(1ln )0,21(1)0,21(e)e 0,2a a f f a ⎧-<⎪⎪⎪=>⎨⎪⎪=->⎪⎩即2e1e 2a a >⎧⎪⎨<⎪⎩，此时，21e e 2a <<．所以，a 的取值范围为21(e,e ).2…12分 22．【解析】(I )椭圆的长轴长为a =又与椭圆22124x y +=有相同的离心率2e =,故2, 2.c b == 所以椭圆M 的方程为22184x y +=………………………………………………4分 (II)若l 的斜率存在，设:l ,y kx m =+因l 与C 相切，故r =， 即()2221m r k =+. ①……………………………………5分又将直线l 方程代入椭圆M 的方程得()222124280,k x kmx m +++-=…………6分设()()1122,,,,A x y B x y 由韦达定理得1x +2x =24,12kmk -+12x x =222812m k -+，由0OA OB ⋅= 得到12x x +12y y =()21k +222812m k-++km 2412km k -++2m =0 化简得22388m k =+，② ……………………………………………………8分联立①②得283r =。
上海市浦东新区四校2016-2017学年高二上学期期中联考数学试题解析(解析版)
上海市浦东新区四校2016-2017学年高二上学期期中联考数学试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.二元一次方程组23121x y x y +=⎧⎨-=-⎩的增广矩阵是【答案】2311-2-1⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】试题分析：由二元一次方程组集合增广矩阵的概念可知其所对应的增广矩阵.A=2311-2-1⎛⎫⎪⎝⎭考点：二元一次方程组的矩阵形式2.若4321,,,a a a a 四个数成等比数列，则31a a 【答案】0 【解析】试题分析：4321,,,a a a a 四个数成等比数列1423a a a a ∴=121423340a a a a a a a a ∴=-= 考点：等比数列及矩阵运算3.无穷等比数列{}n a 的通项公式为113()2n n a -=⨯-，则其所有项的和为____________ 【答案】2 【解析】试题分析：由等比数列通项公式可知113,2a q ==-，所以所有项的和为1321112a S q===-⎛⎫-- ⎪⎝⎭考点：等比数列及求和4.已知三阶行列式294753618，则元素3的代数余子式的值为【答案】52 【解析】试题分析：行列式294753618中元素3的代数余子式的21A =-（1×2-6×9）=52考点：三阶矩阵5.已知矩阵A=121223-⎛⎫ ⎪-⎝⎭，矩阵B=23a a a ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭，若AB=1222⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a =【答案】-2 【解析】试题分析：由矩阵A=121223-⎛⎫ ⎪-⎝⎭，矩阵B=23a a a ⎛⎫⎪- ⎪⎪⎝⎭，若AB=1222⎛⎫ ⎪⎝⎭可知4312a a a --= 2a ∴=- 考点：矩阵与矩阵的乘法的意义6.数列{}n a （*n N ∈）的通项公式1(),1100,321,100,51nn n a n n n ⎧≤≤⎪⎪=⎨+⎪>⎪-⎩，则lim n n a →∞=_____________【答案】25【解析】试题分析：()277512125555151551n n n a n n n -++===+---，当n →∞时75051n →-2lim 5nn a →∞∴= 考点：求极限7.已知1111()n N 1233f n n n n n*=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+∈+++（），则(1)f = ____ 【答案】56【解析】试题分析：由函数式可知()1111511112236f =+=+=++ 考点：函数求值8.已知数列{}n a 满足2n a n n λ=+（R λ∈），且123a a a <<<⋅⋅⋅<1n n a a +<<⋅⋅⋅，则λ的取值范围是_________ 【答案】()3,-+∞ 【解析】试题分析：由123a a a <<<⋅⋅⋅<1n n a a +<<⋅⋅⋅，可知数列单调递增，结合二次函数性质可知3322λλ-<∴>- 考点：数列单调性9.若数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩，若167a =则24a 的值为 ____【答案】37【解析】试题分析：由数列递推公式可知12346536,,,7777a a a a ====，所以数列周期为3 24337a a ∴== 考点：数列递推公式及数列周期性10.在等比数列}{n a 中, n n n =2+n N S a *∈前项和（）,则a = 【答案】-1 【解析】试题分析：∵等比数列}{n a 中，n n =2+S a ， ∴12213323,6,18a b a S S a S S =+=-==-=， ∴（3+a ）•18=36，∴a=-1 考点:等比数列11.数列{}n a 满足11154,3n n n a S S a ++=+=，则n a =【答案】14,134,2n n n -=⎧⎨⋅≥⎩【解析】试题分析：1115533n n n n n n S S a S S a ++-+=∴+=，两式相减得14n n a a +=，在1153n n n S S a +++=中令1n =代入得212a =2n ∴≥时134n n a -=14,134,2n n n a n -=⎧∴=⎨⋅≥⎩考点：数列求通项公式12.已知数列{}n a 的通项公式为52n n a -=，数列{}n b 的通项公式n b n k =+，设,,n n nn n nn b a b c a a b ≤⎧=⎨>⎩若在数列{}n c 中5n c c ≤对任意*n N ∈恒成立，则实数k 的取值范围是 【答案】[]5,3--考点：数列与不等式的综合二、填空题（每题3分，满分12分，将答案填在答题纸上）13.当1-≠m 时，下列关于方程组⎩⎨⎧=++=+m my x m y mx 21的判断，正确的是………………（ ）A 、方程组有唯一解B 、方程组有唯一解或有无穷多解C 、方程组无解或有无穷多解D 、方程组有唯一解或无解【答案】B 【解析】 试题分析：D=11m m=m 2-1=（m+1）（m-1），Dx=112m mm+=m 2-m=m （m-1），Dy=112m m m+=2m 2-m-1=（2m+1）（m-1），当m ≠-1，m ≠1时，D ≠0，方程组有唯一解，解为1211m x m m y m ⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩．当m=1时，D=Dx=Dy=0，方程组有无穷多组解，此时方程组化为22x y x y +=⎧⎨+=⎩令x=t （t ∈R ），原方程组的解为()2x tt R y t=⎧∈⎨=-⎩∴方程组有唯一解或有无穷多解 考点：根的存在性及根的个数判断14.下列四个命题中，正确的是……………………………………………………………（ ）A 、若22lim A a n n =∞→，则A a n n =∞→lim B 、若0>n a ，A a n n =∞→lim ，则0>AC 、若A a n n =∞→lim ，则22lim A a n n =∞→ D 、若A a n n =∞→lim ，则nA na n n =∞→lim【答案】C 【解析】试题分析：A 中n a 的极限为A ±；B 中1n a n=时结论错误；C 正确；D 中结论错误 考点：数列与极限15.数列{}n a 为等比数列，则下列结论中不．正确的是……………………（ ） A ．2{}n a 是等比数列 B ．n n+1{}a a ⋅是等比数列C ．1{}na 是等比数列 D ．{lg }n a 是等差数列 【答案】D 【解析】试题分析：因为数列{}n a 为等比数列， 所以设1n n a q a +=，则11lg lg lg lg n n n naa a q a ++=-=（当且仅当q ＞0是有意义） 所以{lg }n a 是等差数列是错误的 考点：等比关系的确定16.无穷等差数列}{n a 的各项均为整数，首项为1a 、公差为d ，n S 是其前n 项和，3、21、15是 其中的三项，给出下列命题：①对任意．．满足条件的d ，存在1a ，使得99一定是数列}{n a 中的一项； ②存在．．满足条件的数列}{n a ，使得对任意的*N n ∈，n n S S 42=成立； ③对任意．．满足条件的d ，存在1a ，使得30一定是数列}{n a 中的一项。
最新沪教版2017年高二数学下学期期中考试试题及答案
2017年上海市高二年级期中数学试卷考生注意：本试卷考试时间120分钟，试卷满分150分。
一、填空题：（本大题共14题，每题4分，共56分）。
1、抛物线的准线方程为2、以A(1，3)与B(－3,5)为直径的圆的标准方程为 。
3、“直线平面”是“直线垂直于平面内无数条直线”条件；4、如图，在正方体中，则异面直线与所成角的大小是____________.5、双曲线的渐近线方程为 。
6、各棱长都为的正四棱锥的体积 。
7、以下4个命题：1）三个点可以确定一个平面； 2）平行于同一个平面的两条直线平行；3）抛物线对称轴为轴；4）同时垂直于一条直线的两条直线一定平行； 正确的命题个数为 。
8、若双曲线的一个焦点坐标F 1（0，4），则实数的值为 。
9、如图，在长方体中，AB =BC =2，AA 1=1，则AC 1与平面A 1B 1C 1D 1所成角的正弦值为10、已知正三棱锥的底面边长为2，高为1，则该三棱锥的侧面积y x 42=⊥l αα1111D C B A ABCD -B A 1C B 11422=-y x a V =x y 42-=y 11222=+y m x m 1111ABCD A B C D - C CABCDA 1 D 1 C 1B 1为 。
11、如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的母线与轴线所成的角为 12、如图，球O 的半径长为，小圆直径|AB|=30 则A 、B 两点的球面距离为 。
13、已知过点A 的直线与抛物线交于不同的两点，计算的值为 .。
14、平面的斜线AB 交于点B,过定点A 的动直线与AB 垂直，且交于点C,则动点C 的轨迹是 。
二、选择题：（本大题共4题，每题4分，共16分）15、直线与圆的位置关系是（ ） A ．相交不过圆心；B ．相交过圆心；C ．相切D ．相离16、抛物线，焦点坐标为（ ） A ．（）B ．（） C ．（）D ．（）17、已知是两条不同直线，是三个不同平面．下列命题中正确的是（ ） A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，，则18、长度分别为的六条线段能成为同一个四面体的六条棱的充要条件是（ ）. A ． B ．C ．． 三、解答题：（14+14+16+16+18）19、一个圆锥形的空杯子上面放一个球形的冰激凌，圆锥底的直径与球的直径均为10，如果冰激凌融化后全部流在杯子中，正好装满杯子不会溢出，求杯子高度。
2016-2017学年高二下学期期中考试数学(理)试题(A卷)Word版含答案
试卷类型 A2016-2017学年高二下学期期中考试数学（理）试题一．选择题（5分×12=60分）在每小题给出的四个选项只有一个正确。
1．下列求导运算正确的是（ ） A. 233'1x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ B. ()21log 'ln2x x = C. ()33'3log x x e = D. ()2cos '2sin x x x x =-2．曲线34y x x =-在点（－1，－3）处的切线方程是（ ） A.74y x =+ B.72y x =+ C.2y x =- D.4y x =- 3．由“若b a>，则c b c a +>+”推理到“若b a >，则bc ac >”是（ ）A.归纳推理B.类比推理C.演绎推理D.不是推理4．已知三棱锥O ABC -，点,M N 分别为,AB OC 的中点，且,,OA a OB b OC c === ，用a ， b ， c表示MN ，则MN等于( )A. ()12b c a +-B.()12a b c +- C. ()12a b c -+ D. ()12c a b -- 5．若'0()3f x =-，则000()(3)limh f x h f x h h→+--=（ ） A ．-3 B ． -6 C ．-9 D ．-126．若2(sin cos )2x a x dx π-=⎰，则实数a 等于（ ）A ．1-B ．1C ．7．如图，函数()y f x =的图象在点P 处的切线方程是8y x =-+，则()()55f f '+=( )A ．12B ．1C ．2D ．0 8．函数32()23f x x x a =-+的极大值为6，那么a 的值是（ ） A ．5 B ．0 C ．6 D ．19.函数f （x ）在x=x 0处导数存在，若p ：f′（x 0）=0：q ：x=x 0是f （x ）的极值点，则（ ） A ．p 是q 的充分必要条件B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 10．若2()2'(1)f x xf x =+，则'(0)f 等于 （ ） A. －2 B. －4 C. 2 D. 0 11．由曲线x y =，直线2-=x y 及y 轴所围成的封闭图形的面积为（ ）A ．316 B ．310C ．4D ．6 12．函数()f x 在实数集R 上连续可导，且()()20f x f x '->在R 上恒成立，则以下不等式一定成立的是（ ） A. ()()221f f e >B. ()()221f f e <C. ()()321f e f -> D. ()()321f e f -<二．填空题。
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2016-2017学年上海市浦东新区高二（下）期中数学试卷一、填空题（1-6题，每题3分；7-12题，每题4分）．1．过点P（3，5），且与向量=（4，2）平行的直线l的点方向式方程为．2．直线3x+y+2=0的倾斜角为．3．直线3x﹣4y+1=0与3x﹣4y+7=0的距离为．4．直线y=x+1被曲线截得的线段AB的长为．5．若直线l1：x+m2y+6=0与l2：（m﹣2）x+3my+2m=0平行，则m=．6．已知方程表示椭圆，求实数k的取值范围．7．过点（﹣1，）且与直线x﹣y+1=0的夹角为的直线方程为．8．已知一圆的圆心坐标为C（2，﹣1），且被直线l：x﹣y﹣1=0截得的弦长为2，则此圆的方程．9．若椭圆的两焦点和两顶点构成一个正方形，则k=．10．已知点A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2），直线l过点P（1，1）且与线段AB有交点，则直线l的斜率k的取值范围为．11．已知关于x的方程+x+m=0有两个不等实数根，则实数m的取值范围．12．设AB是椭圆的长轴，若把AB分成10等分，依次过每个分点作AB的垂线，交椭圆的上半部分于P1、P2、…P9．F1为椭圆的左焦点，则|F1A|+|F1P1|+|F1P2|+…+|F1P9|+|F1B|的值．二、选择题（每题4分）．13．若点P的坐标为（a，b），曲线C的方程为F（x，y）=0，则F（a，b）=0是点P在曲线C上的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件14．椭圆的焦距为8，且椭圆上的点到两个焦点距离之和为10，则该椭圆的标准方程是（）A． +=1B． +=1或+=1C． +=1D． +=1或+=115．圆x2+y2+4x﹣2y+=0上的点到直线3x+4y=0的距离的最大值是（）A．B．C．D．16．椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球（小球的半径不计），从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是（）A．4a B．2（a﹣c）C．2（a+c）D．以上答案均有可能三、解答题（共42分）．17．已知定圆C1：（x+1）2+y2=36及定圆C2：（x﹣1）2+y2=4，动圆P与C1内切，与C2外切，求动圆圆心P的轨迹方程．18．△ABC中，顶点B（3，4），C（5，2），AC边所在直线方程为x﹣4y+3=0，AB边上的高所在直线方程为2x+3y﹣16=0．（1）求AB边所在直线的方程；（2）求AC边的中线所在直线的方程．19．如图，某处立交桥为一段圆弧AB．已知地面上线段AB=40米，O为AB中点．桥上距离地面最高点P，且OP高5米．工程师在OB中点C处发现他的正上方桥体有裂缝．需临时找根直立柱，立于C处，用于支撑桥体．求直立柱的高度．（精确到0.01米）．20．已知直线l：y=x+m与圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4=0相交于A，B不同两点．（1）求m的取值范围；（2）设以AB为直径的圆经过原点，求直线l的方程．21．在平面直角坐标系中，已知椭圆两焦点坐标为F1（﹣2，0），F2（2，0），椭圆C上的点到右焦点距离最小值为3﹣2．（1）求椭圆C的方程；（2）设斜率为﹣2的直线交曲线C于E、F两点，求线段EF的中点N的轨迹方程；（3）设经过点F1（﹣2，0）的直线与曲线C相交所得的弦为线段PQ，求△PQO的面积的最大值（O是坐标原点）．2016-2017学年上海市浦东新区高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（1-6题，每题3分；7-12题，每题4分）．1．过点P（3，5），且与向量=（4，2）平行的直线l的点方向式方程为=．【考点】IC：直线的斜截式方程．【分析】根据题意，由点的坐标以及直线的方向向量，将其直接代入直线的点方向式方程即可得答案．【解答】解：根据题意，直线l过点P（3，5），且以向量=（4，2）为方向向量，则其方程为：=；故答案为：=．2．直线3x+y+2=0的倾斜角为π﹣arctan3．【考点】I2：直线的倾斜角．【分析】根据题意，设直线3x+y+2=0的倾斜角为θ，求出直线的斜率，即可得tanθ=﹣3，由反三角函数的定义即可得答案．【解答】解：根据题意，设直线3x+y+2=0的倾斜角为θ，直线3x+y+2=0的斜率k=﹣3，则有tanθ=﹣3，又由0≤θ＜π，则θ=π﹣arctan3；故答案为：π﹣arctan3．3．直线3x﹣4y+1=0与3x﹣4y+7=0的距离为．【考点】IU：两条平行直线间的距离．【分析】由已知直线的方程直接代入平行线间的距离公式可得答案．【解答】解：由平行线间的距离公式可得：直线3x﹣4y+1=0与3x﹣4y+7=0的距离为d=．故答案为：．4．直线y=x+1被曲线截得的线段AB的长为．【考点】IS：两点间距离公式的应用．【分析】直线y=x+1和曲线联立方程组，求出它们的交点坐标，再用两点间距离公式计算得答案．【解答】解：解方程组，整理得x2﹣2x﹣4=0，解得x=或x=．∴直线y=x+1被曲线截得的交点坐标是A（，），B（，），∴直线y=x+1被曲线截得的线段的长|AB|==．故答案为：．5．若直线l1：x+m2y+6=0与l2：（m﹣2）x+3my+2m=0平行，则m=0或﹣1．【考点】I8：两条直线平行与倾斜角、斜率的关系．【分析】由两直线平行可得学生的关系，得到关于m的不等式组求得答案．【解答】解：∵直线l1：x+m2y+6=0与l2：（m﹣2）x+3my+2m=0平行，∴，解得：m=0或m=﹣1．故答案为：0或﹣1．6．已知方程表示椭圆，求实数k的取值范围﹣3＜m＜2且x≠﹣．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】根据题意，由椭圆的标准方程分析可得，解可得k的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，方程表示椭圆，则有，解可得：﹣3＜m＜2且x≠﹣，故答案为：﹣3＜m＜2且x≠﹣．7．过点（﹣1，）且与直线x﹣y+1=0的夹角为的直线方程为x+1=0或x﹣+4=0．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】直线x﹣y+1=0的斜率为，设所求直线的斜率为k，由过点（﹣1，）且与直线x﹣y+1=0的夹角为，得到tan=||，由此能求出结果．【解答】解：直线x﹣y+1=0的斜率为，设所求直线的斜率为k，∵过点（﹣1，）且与直线x﹣y+1=0的夹角为，∴tan=||，∴=，或=﹣，由=，得3k﹣3=，k不存在，此时直线方程为x+1=0，由=﹣，得，解得k=，此时直线方程为y﹣=（x+1），即x﹣+4=0．∴过点（﹣1，）且与直线x﹣y+1=0的夹角为的直线方程为x+1=0或x ﹣+4=0．故答案为：x+1=0或x﹣+4=0．8．已知一圆的圆心坐标为C（2，﹣1），且被直线l：x﹣y﹣1=0截得的弦长为2，则此圆的方程（x﹣2）2+（y+1）2=4．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】先求出圆心C（2，﹣1）到直线l的距离d=，再由圆被直线l：x﹣y ﹣1=0截得的弦长为2，求出此圆半径r，由此能求出此圆的方程．【解答】解：∵一圆的圆心坐标为C（2，﹣1），且被直线l：x﹣y﹣1=0截得的弦长为2，圆心C（2，﹣1）到直线l的距离d==，∵圆被直线l：x﹣y﹣1=0截得的弦长为2，∴此圆半径r==2，∴此圆的方程为（x﹣2）2+（y+1）2=4．故答案为：（x﹣2）2+（y+1）2=4．9．若椭圆的两焦点和两顶点构成一个正方形，则k=4．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】根据题意，分析可得椭圆的焦点在y轴上，作出图形，分析可得b=c，由椭圆的几何性质可得a2=b2+c2=2b2，结合椭圆的方程可得k+4=2×4，解可得k 的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，椭圆的焦点在y轴上，设其焦点为F1、F2，若两焦点和两顶点构成一个正方形，则两顶点在x轴上，设x轴上两顶点问为A、B，如图所示，若四边形AF1BF2为正方形，则有b=c，则a2=b2+c2=2b2，则有k+4=2×4，解可得k=4；故答案为：4．10．已知点A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2），直线l过点P（1，1）且与线段AB有交点，则直线l的斜率k的取值范围为（﹣∞，﹣4，+∞）．【考点】I3：直线的斜率．【分析】由题意画出图形，求出PA和PB的斜率，数形结合得答案．【解答】解：如图，，．∴直线l的斜率k的取值范围为（﹣∞，﹣4，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣4，+∞）．11．已知关于x的方程+x+m=0有两个不等实数根，则实数m的取值范围（﹣，﹣1．12．设AB是椭圆的长轴，若把AB分成10等分，依次过每个分点作AB的垂线，交椭圆的上半部分于P1、P2、…P9．F1为椭圆的左焦点，则|F1A|+|F1P1|+|F1P2|+…+|F1P9|+|F1B|的值44．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】由题意可知当i+j=10时有：|P i F1|=|P j F2|，其中i、j∈{1，2，3，…，9}，由椭圆定义可知：|P i F1|+|P i F2|=2a=2×4=8，i∈{1，2，3，…，9}，根据椭圆性质则|F1P1|+|F1P2|+…+|F1P9|=36，|F1A|+|F1B|=2a=8，即可求得答案．【解答】解：F是椭圆的一个焦点，不妨令F为左焦点F1，则右焦点为F2，分别连结点F2与P1，P2，…P9九个点，易知当i+j=10时有：|P i F1|=|P j F2|，其中i、j∈{1，2，3，…，9}，由椭圆定义可知：|P i F1|+|P i F2|=2a=2×4=8，i∈{1，2，3，…，9}，∴2（|F1P1|+|F1P2|+…+|F1P9|）=9×8=72，即|F1P1|+|F1P2|+…+|F1P9|=36，则|F1A|+|F1B|=2a=8，∴|F1A|+|F1P1|+|F1P2|+…+|F1P9|+|F1B|=36+8=44，故答案为：44．二、选择题（每题4分）．13．若点P的坐标为（a，b），曲线C的方程为F（x，y）=0，则F（a，b）=0是点P在曲线C上的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用点与曲线的关系以及充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：根据曲线与方程的关系可知，因为F（a，b）=0，所以点P的坐标满足方程，所以点P在曲线上．反之，满足F（a，b）=0的实数对（a，b）和点P对应．所以F（a，b）=0是点P在曲线C上的充要条件．故选C．14．椭圆的焦距为8，且椭圆上的点到两个焦点距离之和为10，则该椭圆的标准方程是（）A． +=1B． +=1或+=1C． +=1D． +=1或+=1【考点】K3：椭圆的标准方程．【分析】由题意求得c=4，a=5，b2=a2﹣c2=9，分类讨论即可求得椭圆的标准方程．【解答】解：由题意可知：焦距为2c=8，则c=4，2a=10，a=5，b2=a2﹣c2=9，∴当椭圆的焦点在x轴上时，椭圆的标准方程：，当椭圆的焦点在y轴上时，椭圆的标准方程：，故椭圆的标准方程为：或，故选B．15．圆x2+y2+4x﹣2y+=0上的点到直线3x+4y=0的距离的最大值是（）A．B．C．D．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】先求出圆x2+y2+4x﹣2y+=0的圆心C（﹣2，1），半径r=，再求出圆心C（﹣2，1）到直线3x+4y=0的距离d，则圆x2+y2+4x﹣2y+=0上的点到直线3x+4y=0的距离的最大值为r+d．【解答】解：圆x2+y2+4x﹣2y+=0的圆心C（﹣2，1），半径r==，∴圆心C（﹣2，1）到直线3x+4y=0的距离d==，∴圆x2+y2+4x﹣2y+=0上的点到直线3x+4y=0的距离的最大值：d max==．故选：C．16．椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球（小球的半径不计），从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是（）A．4a B．2（a﹣c）C．2（a+c）D．以上答案均有可能【考点】K5：椭圆的应用．【分析】（1）静放在点A的小球（小球的半径不计）从点A沿直线出发，经椭圆壁右顶点反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是2（a﹣c）；（2）静放在点A的小球（小球的半径不计）从点A沿直线出发，经椭圆壁左顶点反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是2（a+c）；（3）静放在点A的小球（小球的半径不计）从点A沿直线出发，经椭圆壁非左右顶点反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是4a．【解答】解：（1）静放在点A的小球（小球的半径不计）从点A沿直线出发，经椭圆壁右顶点反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是2（a﹣c），则选B；（2）静放在点A的小球（小球的半径不计）从点A沿直线出发，经椭圆壁左顶点反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是2（a+c），则选C；（3）静放在点A的小球（小球的半径不计）从点A沿直线出发，经椭圆壁非左右顶点反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是4a，则选A．由于三种情况均有可能，故选D．三、解答题（共42分）．17．已知定圆C1：（x+1）2+y2=36及定圆C2：（x﹣1）2+y2=4，动圆P与C1内切，与C2外切，求动圆圆心P的轨迹方程．【考点】K3：椭圆的标准方程．【分析】由题意分别表示出|PF1|=6﹣r，|PF2|=2+r，|PF1|+|PF2|=8＞2，可知P 的轨迹是以F1，F2为焦点，长轴长为8的椭圆，即可求得P的轨迹方程．【解答】解：设所求点P（x，y），F1（﹣1，0），F2（1，0），动圆半径为r，由题易得|PF1|=6﹣r，|PF2|=2+r，∴|PF1|+|PF2|=8＞2，由点P到两定点F1，F2距离之和为定长8，且大于|F1F2|=2c=2，满足椭圆定义，∴轨迹方程：．动圆圆心P的轨迹方程．18．△ABC中，顶点B（3，4），C（5，2），AC边所在直线方程为x﹣4y+3=0，AB边上的高所在直线方程为2x+3y﹣16=0．（1）求AB边所在直线的方程；（2）求AC边的中线所在直线的方程．【考点】IK：待定系数法求直线方程．【分析】（1）据题意，AB边所在直线的方程为3（x﹣3）﹣2（y﹣4）=0，即可得出（2）联立，解得A（1，1），可得AC的中点D，可得AC边的中线所在直线的方程．【解答】解：（1）据题意，AB边所在直线的方程为3（x﹣3）﹣2（y﹣4）=0，即3x﹣2y﹣1=0（2）联立⇒A（1，1）AC的中点，则AC边的中线所在直线的方程为x=3．19．如图，某处立交桥为一段圆弧AB．已知地面上线段AB=40米，O为AB中点．桥上距离地面最高点P，且OP高5米．工程师在OB中点C处发现他的正上方桥体有裂缝．需临时找根直立柱，立于C处，用于支撑桥体．求直立柱的高度．（精确到0.01米）．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】建立平面直角坐标系，利用勾股定理求出圆的半径，写出圆的方程，利用圆的方程求直立柱的高度即可．【解答】解：如图建立平面直角坐标系，设圆的半径为r，在Rt△O1OA中：OA=20，OO1=r﹣5，O1A=r；∴r2=202+（r﹣5）2，解得r=42.5；∴圆的方程为x2+（y+37.5）2=42.52；令x=10，求得y=3.81（米），即所求直立柱的高度为3.81米．20．已知直线l：y=x+m与圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4=0相交于A，B不同两点．（1）求m的取值范围；（2）设以AB为直径的圆经过原点，求直线l的方程．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】（1）由，得：2x2+2（m+1）x+m2+4m﹣4=0，由此利用根的判别式能求出m的取值范围．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则，由于以AB为直径的圆为（x﹣x1）（x﹣x2）+（y﹣y1）（y﹣y2）=0，若它经过原点，则x1x2+y1y2=0，由此能求出直线l的方程．【解答】解：（1）由，得：2x2+2（m+1）x+m2+4m﹣4=0，∵直线l：y=x+m与圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4=0相交于A，B不同两点，∴△=4（m+1）2﹣8（4m﹣4）＞0，解得，∴m的取值范围是（﹣3﹣3，﹣3+3）．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则，y1y2=（x1+m）（x2+m）=x1x2+m（x1+x2）+m2，由于以AB为直径的圆为（x﹣x1）（x﹣x2）+（y﹣y1）（y﹣y2）=0，若它经过原点，则x1x2+y1y2=0，∴2x1x2+m（x1+x2）+m2=0，∴+m×+m2=0解得m=﹣4或m=1．直线l的方程为x﹣y﹣4=0或x﹣y+1=0．21．在平面直角坐标系中，已知椭圆两焦点坐标为F1（﹣2，0），F2（2，0），椭圆C上的点到右焦点距离最小值为3﹣2．（1）求椭圆C的方程；（2）设斜率为﹣2的直线交曲线C于E、F两点，求线段EF的中点N的轨迹方程；（3）设经过点F1（﹣2，0）的直线与曲线C相交所得的弦为线段PQ，求△PQO的面积的最大值（O是坐标原点）．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由c=2，a﹣c=3﹣2．a=3，b2=a2﹣c2=1即可求得椭圆方程；（2）方法一：设直线方程为y=﹣2x+t，代入椭圆方程，利用韦达定理及中点坐标公式，消去t，即可求得轨迹方程，代入椭圆方程，即可求得x的取值范围；方法二：利用设而不求法，将E和F坐标代入椭圆方程，作差，根据中点坐标公式，即可求得即可求得轨迹方程，代入椭圆方程，即可求得x的取值范围；（3）设直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，弦长公式，根据函数的单调性即可求得△PQO的面积的最大值．【解答】解：（1）椭圆的焦点为，c=2，由a﹣c=3﹣2．a=3，则b2=a2﹣c2=1故曲线C的方程为．（2）方法1：设A（x1，y1），B（x2，y2），N（x，y），设直线方程为y=﹣2x+t，，﹣4tx+t2﹣1=0，，∴x﹣18y=0，，则x2=±，则﹣＜x＜，∴线段EF的中点N的轨迹方程是：x﹣18y=0，﹣＜x＜，方法2：设A（x1，y1），B（x2，y2），N（x，y），则x1+x2=2x，y1+y2=2y．∵A、B在曲线C上，∴，．将以上两式相减得：（x1﹣x2）（x1+x2）+9（y1﹣y2）（y2+y2）=0，即=﹣，则﹣2=﹣，∴线段EF的中点N的轨迹方程：x﹣18y=0，﹣＜x＜；（3）设直线PQ的方程是：my=x+2，x=my﹣2，代入得．设P（x1，y1），Q（x2，y2），，，则，令t=m2+9≥9，，当t=16，即时，∴，△PQO的面积的最大值为．2017年6月2日。