微分方程积分因子的求法

微分方程积分因子的求法

何佳

【摘要】

利用积分因子，可以对一个一阶微分方程的求解进行统一处理。因此，如何求解积分因子就成为解一阶微分方程的一个重点了。但对于一个具体的方程，如何求出它的积分因子呢，一般的方法是解一个一阶偏微分方程，不过那是比较不容易的。但是，对于某些特殊的情况，却可以简单地得出积分因子。通过查找我们发现，在大多数《常微分方程》的教材中都只给出了只与x 或y 有关的积分因子的求法，但这是不够的。所以我们在这里来讨论一下关于求解()x y αβμ和()m n ax by μ+这两类积分因子的充要条件及部分例题，由此我们就可以得到形式相近的积分因子。如：通过x y μ=+，可以得到x y μ=-的积分因子。如此举一反三，力求使得求积分因子的问题变的简便易行。同时，还对积分因子的求法进行了推广，总结出几类方程积分因子的求法。

【关键字】

微分方程 ， 积分因子 ， 求解方法

【目录】

引言

(1)

目录

(2)

一、()x y αβμ和()m n ax by μ+两类积分因子

§ 1、 与()x y αβμ有关的积分因子

(3)

§ 2、 与()m n ax by μ+有关的积分因子

(4)

二、微分方程积分因子求法的推广

§ 1、 满足条件()P Q P Qf x y x y

∂∂-=-∂∂的积分因子求法 (7)

§ 2、 方程1123422(3)36330m m m m x mx y xy dx y x y x y dy +-⎡⎤⎡⎤++++++=⎣⎦⎣⎦积

分因子

(10)

§ 3、 方程13()30m m m x m x y x dx x dy -⎡⎤+++=⎣⎦

积分因子 (12)

§ 4、 方程1(4)4450m m m m x mx y y dx x x y dy -⎡⎤⎡⎤++++++=⎣⎦⎣⎦积分因子

(13)

参考文献

(15)

一、()x y αβμ和()m n ax

by μ+两类积分因子

引言： 微分方程是表达自然规律的一种自然的数学语言。它从生产实践与科学技术中产生，而又成为现代科学技术中分析问题与解决问题的一个强有力的工具。人们在探求物质世界某些规律的过程中，一般很难完全依靠实验观测认识到该规律，反而是依照某种规律存在的联系常常容易被我们捕捉到，而这种规律用数学语言表达出来，其结果往往形成一个微分方程，而一旦求出方程的解，其规律则一目了然。所以我们必须能够求出它的解。同时，对于全微分方程我们有一个通用的求解公式。但是，就如大家都知道的那样，并不是所有的微分形式的一阶方程都是全微分方程。那时对于这类不是全微分方程的一阶微分方程该如何求出它的解呢，这就需要用到这里我们讨论的积分因子了。

§1、与()x y αβμ有关的积分因子

一般的，我们有这样的定义：

假如存在这样的连续可微函数μ( x , y )≠0

使方程：

μ( x , y ) M ( x , y ) dx +μ( x , y ) N ( x , y ) dy =0 .（1-1）

成为全微分方程，我们就把μ( x , y )称为方程（1-1）的一个积分因子。

推论1 若111()()m n P Q y x x y myQ nxP --∂∂-∂∂⎡⎤-⎣⎦

仅是n m y x 的函数时， 设 111()()m n P Q y x

x y myQ nxP --∂∂-∂∂⎡⎤-⎣⎦=)(n m y x ϕ

则方程(1-1)有积分因子：

exp ()()m n m n x y d x y μϕ⎡⎤=⎣⎦

⎰ ． 证明 ： 设()m n x y μμ=，令n m y x z =，则μ满足：

x

Q y P P y z dz d Q x z dz d ∂∂-∂∂=∂∂-∂∂μμln ln ⇒11ln m n m n d P Q mx y Q nx y P dz y x μ--∂∂⎡⎤-=-⎣

⎦∂∂ ⇒=dz d μln 111()()m n P Q y x

x y myQ nyP --∂∂-∂∂⎡⎤-⎣⎦ 因此，当且仅当上式的右端是关于n m y x 的函数，设为)(n m y x ϕ，方程(1-1)有积分因子：

exp ()()m n m n x y d x y μϕ⎡⎤=⎣⎦⎰．

例1 求方程3243(2)(48)0y x y x dx x xy y dy +++++=的积分因子．

解：

∵

1()P Q yQ xP y x ∂∂--∂∂344332(1)(14)(48)(2)x y y x xy y x y x y x +-+=++-++

12xy =-

+ ∴ 方程有积分因子：

l n (2)11exp ()22xy u d xy e xy xy -+=-==++⎰

§2、与()m n ax by μ+有关的积分因子

推论 1 如果)(1x

Q y P P Q ∂∂-∂∂-仅是关于)(y x +的函数，

则可设 )(1x

Q y P P Q ∂∂-∂∂-)(y x +=ϕ 则方程(1-1)有积分因子：

exp ()()x y d x y μϕ⎡⎤=++⎣⎦

⎰． 证明 ： 如果μ仅是关于)(y x +的函数，即)(y x +=μμ，设y x z +=，此时μ满足： y z dz d Q x z dz d ∂∂-∂∂μμln ln ，x

Q y P P ∂∂-∂∂= 即

=dz

d μln )(1x Q y P P Q ∂∂-∂∂- 因此，当上式右端仅是关于)(y x +的函数时，设为)(y x +=μμ，则方程(1-1)有积分因子：

exp ()()x y d x y μϕ⎡⎤=++⎣⎦⎰．

推论 2 若 )()(21x

Q y P yP xQ ∂∂-∂∂-仅是)22(y x +的函数时， 设

)()()(2122y x x Q y P xP yQ +=∂∂-∂∂-ϕ 则方程(1-1)有积分因子：

2222exp ()()x y d x y μϕ⎡⎤=++⎣⎦

⎰． 证明 设)(22y x +=μμ，令22y x z +=，则μ满足(1-1)式，即： 有 x

Q y P P y z dz d Q x z dz d ∂∂-∂∂=∂∂-∂∂μμln ln ⇒[]ln 22d P Q xQ yP dz y x

μ∂∂-=-∂∂ ⇒

ln 1(22)d P Q dz xQ yP y x μ∂∂=--∂∂．