微分方程积分因子的求法
全微分方程与积分因子法
已构成全微分的项分出再把剩下的项凑成全微分．但这种方法
要求熟记一些简单二元函数的全微分，如
ydx＋xdy＝d（x，y）
ydx－xdy y2
＝d（
x y
）
－ydx＋xdy x2
＝d（
x y
）
ydx－xdy ＝d（ιn｜ x ｜）
xy
y
ydx－xdy x2＋y2
＝d（arctg
x y
）
｜ ｜ ydx－xdy x2－y2
的通解为
μ（x，y）＝∫x0xP（x，y）dx＋∫y0xQ（x，y）dy＝C
（7）
其中点（x0，y0）可在与路径无关的单连通区域 G 内 任 意 取
得．很 多 情 况 下 都 选 （0，0）为 （x0，y0），只 有 当 点 （0，0）不 在 上 述
单连通区域 G 内，才考虑其他点作为曲线积分的始点．
坠p － 坠Q 坠y 坠x
－P
这里 φ 仅为 y 的函数．从而求得方程 （1）的一个积分因子 μ＝
e 。 ∫φ（y）dy
例 4 试用公式法解线性微分方程（8）
解 ： 将 （8）式 改 写 成 ［Q（x）－P（X）Y］DX－DY＝0
（10）
这时由公式，μ（x）＝e∫p（x）dx．以 μ（x）＝e∫p（x）dx 乘上（10）式得到
或 y＝e－∫p（x）dx［∫Q（x）e∫p（x）dxdx＋C］
2．公 式 法
由同一个方程
ydx－xdy＝0
可以有不同的积分因子 1 y2
，
1 x2
，
1和 1 xy x2±y2
．可以证明，只要方程有解，则必有积分因子存在，
并且不是唯一的．因此，在具体解题过程中，由于求出的积分因
微分方程的积分因子
在求解某些类型的微分方程时，可以使用积分因子（integrating factor）来简化方程的求解过程。
积分因子是一个乘法因子，可以乘以微分方程的两边，使其变为可积分的形式。
对于形如dy/dx + P(x)y = Q(x) 的一阶线性常微分方程，其中P(x) 和Q(x) 是已知函数，可以使用积分因子来求解。
积分因子的计算步骤如下：
1.将方程写成标准形式：dy/dx + P(x)y = Q(x)。
2.计算积分因子μ(x) = exp(∫P(x)dx)。
3.将积分因子乘以原方程的两边，得到μ(x)dy/dx + μ(x)P(x)y = μ(x)Q(x)。
4.左侧的第一项可以通过链式法则化简为d(μ(x)y)/dx。
5.整理得到d(μ(x)y)/dx = μ(x)Q(x)。
6.对上述等式两边同时积分，得到μ(x)y = ∫μ(x)Q(x)dx。
7.最后，解出y = (1/μ(x)) ∫μ(x)Q(x)dx。
通过引入积分因子，原本的一阶线性常微分方程可以转化为可积分的形式。
积分因子的选择依赖于方程中的函数P(x) 和Q(x)，使得乘以积分因子后，方程的左侧可以写成导数的形式，从而方便求解。
需要注意的是，不是所有的一阶线性常微分方程都可以使用积分因子法求解，这种方法适用于特定类型的方程。
在具体求解时，还需要根据具体方程形式和条件进行判断和处理。
2.2-线性微分方程(积分因子法)
s
x Q(s)ex P(t)dt ds
x0
(3)
二 伯努利(Bernoulli )方程
形如 dy p(x) y Q(x) yn n 0,1是常数 dx
的方程,称为伯努利方程. 这里P(x), Q(x)为x的连续函数 。
解法: 10 引入变量变换 z y1n ,方程变为
dz (1 n)P(x)z (1 n)Q(x) dx 20 求以上线性方程的通解
§2.2 线性微分方程与积分因子法
一阶线性微分方程的一般形式为
a(x) dy b(x) y c(x) dx
在a(x) 0的区间上可写成 dy P(x) y Q(x) (1)L L 标准形式 dx
这里假设P(x), Q(x)在考虑的区间上是 x的连续函数 若Q(x) 0,则(1)变为
dy P(x) y 0 (2)L L 齐次线性方程 dx
若Q(x) 0,则(1)称为非齐次线性方程。
一 一阶线性微分方程的解法-----积分因子法
dy P(x) y Q(x) (1) dx
求解思想：方程两边乘一个函数，使得左边变成 一个函数的导数
y e p(x)dx ( Q(x)e p(x)dxdx c)
(3)
注: (i) 求(1)的通解可直接用公式(3) (ii) 课本用的是常数变易法，方程整理的形式不同
解: 原方程不是未知函数 y的线性方程 ，但将它改写为
dx 2x y2
dy y
即
dx 2 x ，
故其通解为 x e p( y)dy ( Q( y)e p( y)dydy c)
e
2 y
dy
(
(
y)e
2 y
dy
dy
c)
常微分方程积分因子法的求解
用积分因子法解常微分方程摘要：每一个微分方程通过转化为恰当方程之后，可以运用恰当方程的公式进行求解，因此非恰当微分方程转化成恰当方程是求解微分方程的重要步骤，转化成恰当方程需要求解出积分因子，因此积分因子的求解变得非常重要.此论文主要研究几类微分方程积分因子，从而使微分方程的求解变得较简便.关键词：微分方程恰当微分方程积分因子通解Abstract：After each differential equation through into the appropriate equation, can use the appropriate equations for solving non appropriate formula, the differential equation is transformed into an appropriate equation is an important step in solving differential equations, into the appropriate equation requires the solution of the integral factor, thus solving the integral factor becomes very important. This paper mainly research for several kinds of differential equation of integral factor, to make it easy for solving differential equations.Key Words：Differential equation Exact differential equation Integrating factor General solution自变量只有一个的微分方程称为常微分方程.常微分方程是数学分析或基础数学的一个组成部分，在整个数学大厦中占据着重要位置.本文通过运用求微分方程的积分因子来将微分方程转化为恰当微分方程求解.常微分方程是解决实际问题的重要工具[1].1 恰当微分方程1.1 常微分方程联系自变量、未知函数以及未知函数的某些导数（或微分）之间的关系式称为微分方程. 未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程，未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程.方程2(),2d y dy b cy f t dt dt++= （1.1） 20dy dy t y dt dt ⎛⎫ ⎪⎝⎭++= （1.2） 就是常微分方程的例子，这里y 是未知数，t 是自变量. 1.2 恰当微分方程考虑一阶方程(,)(,)0M x y dx N x y dy += （1.3） 这里假设(,)M x y dx ，(,)N x y dy 在某矩形区域内是x ，y 的连续函数且具有连续的一阶偏导数.若方程（1.3）的左端恰好是某个二元函数(,)u x y 的全微分，即(,)(,)(,)M x y dx N x y dy du x y += （1.4） 则称（1.3）为恰当微分方程（全微分方程）.恰当微分方程（1.3）的通解就是(,),u x y c = （1.5） 这里c 是任意常数.定理1[2] 设函数(,)M x y dx 和(,)N x y dy 在一个矩形区域R 中连续且有连续的一阶偏导数，则称（2.1）为恰当微分方程的充要条件是(,)(,).M x y N x y x y∂∂=∂∂ （1.6） 1.3 恰当微分方程的解法方法1 凑微分法：利用熟知的二元函数微分公式，重新分组组合，分块凑成全微分式 方法2 不定积分法：利用关系式：(,)(,)(,)M x y dx N x y dy du x y +=由此，函数(,)u x y 应适合方程组(,),(,)u u M x y N x y x y∂∂==∂∂对(,)u M x y x∂=∂关于x 积分得 (,)()u M x y dx y ϕ=+⎰两端关于y 求导数，并利用恰当微分方程的充要条件，得''()()(,)u M N dx y dx y N x y y y xϕϕ∂∂∂=+=+=∂∂∂⎰⎰ 通过对方程'()(,)N dx y N x y xϕ∂+=∂⎰ 关于y 积分，解出()y ϕ，从而可得(,)()u M x y dx y ϕ=+⎰的表达式，令 (,)()M x y dx y c ϕ+=⎰即得方程的通解. 如果对(,)u N x y x∂=∂关于y 积分，同理可得方程的通解为 (,)()N x y dx x c ψ+=⎰其中()x ψ可类似于()y ϕ求解的方法得到.方法3 公式法：方程的通解为000(,)(,)x y x y M x y dx N x y dy c +=⎰⎰ 或 000(,)(,)x y x y M x y dx N x y dy c +=⎰⎰ 其中c 是任意常数[3].例1 求2()(2)0x y dx x y dy ++-=的通解解 这里2,2M x y N x y =+=-,在xy 平面上有连续偏导数，这时 1,1,M N yx∂∂==∂∂ 因此方程为恰当微分方程. 方法1（不定积分法） 现在求u ，使它同时满足如下两个方程：2u x y x∂=+∂， （1）2u x y y ∂=-∂. （2） 由（1）对x 积分，得到31()3u x xy y ϕ=++， （3） 将（3）对y 求导数，并使它满足（2），即得()2ud y x x y y dy ϕ∂=+=-∂，于是()2,d y y dy ϕ=-积分后得2(),y y ϕ=-将()y ϕ代入（3），得到321.3u x xy y =+-因此，方程的通解为321,3x xy y c +-=这里c 是任意常数.方法2 （公式法） 取00(,)(0,0)x y =因此00(,)(,)(,)xy u x y M x y dx N x y dy=+⎰⎰200()(2)x yx y dx x y dy =++-⎰⎰321()003x y x xy y =+- 3213x xy y =+- 因此，方程的通解为321,3x xy y c +-= 这里c 是任意常数.方法3（凑微分法） 将方程重新“分项组合”，得到220x dx ydx xdy ydy ++-=即32103d x dxy dy +-= 或者写成321()03d x xy y +-= 因此，方程的通解为321,3x xy y c +-= 这里c 是任意常数.2 用积分因子法解常微分方程恰当微分方程可通过积分求出它的通解,但并非所有的微分方程均为恰当微分方程。
一类典型微分方程积分因子的求法
） Ｐ ＋ｘ Ｑ— Ｃ ， ＂ ｆ ）一２ Ｃ
例 求方 程
２ Ｐ 一 ，（ ， ＝２ ｚ再 由 ｘＰ＋ＹＱ ＝， ） Ｚ’ ）ｚ ｘＰ ， ＇ （ 两边关 于 戈求 导 可 得 Ｐ ＝厂（ 一ｍ Ｐ — ｘ ） ｘ
ＹＱ ， “ 于是
积分因子 ， 并求其通解．
Ｐ ｌｎ ｍｉ ｓｗ ｔ ｐｉａ ｏ ｓ ｔ ｏｙ ｏ ａ ｈ Ａｐ ｌ ｔ ｎ ｏ Ｎｕｍｅ ｃ ｌＡｎ ｙ ｉ．Ｊ Ｉ ｓ． ｌ ｉ ｃｉ ｉ ｒ ａ ａ ８８ ． ｎｔ ｌ
［ ］ ＪＣ ｕ ｈ ｒ Ｔ ｅＮ ｍ ｒ ａ Ａ ａ ｓ ｆ ｒｉ ｒ Ｄｆｒｎａ １ ． ．Ｂ ｔ ｅ ， ｈ ｕ ｅ ｃ ｎ ｌ ｉ ｏ Ｏ ｄ ａ ｉ ｅｔ ｌ ｃ ｉｌ ｙ ｓ ｎ ｙ ｅ ｉ
文章编号 ：０ ８—１０ （０ １ ０ １０ ４ ２ ２ １ ） ２—０ ７ ｏ ２４一 ２
一
类 典 型 微 分 方 程 积 分 因 子 的 求 法①
沈 浮 ， 王金 山 ， 王 鹏
（ 放军炮兵学院数学教研室 。安徽 合肥 ２ ０３ ） 解 ３０ １
摘
一
要 ： 讨论了一阶微分方程有形如 ＝ （
＝ ｙ
若方 程 Ｐ ＋ ｄ ｘ ２ Ｃ； ｙ＝ｏ ）一 ’ 一 … ｙ ｙ — Ｊ—ｕ ） Ｐ） ＝ （
满 足 ｙ Ｐ 一 Ｑ ＝ ， ） 和 （
＝
＋ｙ 的函数 ． 定 理 ２ 若 方程 （ ）满 足 条 件 ： Ｐ ＋ｒＱ ＝ １ ｎ
推论 ２ 若 方 程 （ ）满 足 条 件 ＂ ＋ｙＱ ： １ － Ｐ Ｘ ｜ ｋ 非零 常数 ）和 （ ｊ 为 ｝ （ ｋ＋ｃ Ｐ ） ＝Ｃ ＋则方 程 （ ） Ｑ， １ 有积分 因子
， 一 ｙ Ｖ 一
微分方程的积分因子求解法
常微分方程的积分因子求解法内容摘要：本文给出了几类特殊形式的积分因子的求解方法，并推广到较一般的形式。
关键词： 全微分方程，积分因子。
一、 基本知识定义1.1 对于形如0),(),(=+dy y x N dx y x M （1.1）的微分方程，如果方程的左端恰是x ，y 的一个可微函数),(y x U 的全微分，即d ),(y x U = dy y x N dx y x M ),(),(+,则称（1。
1）为全微分方程.易知，上述全微分方程的通解为 ),(y x U =C , （C 为任意常数）.定理1。
1 （全微分方程的判别法)设),(y x M ，),(y x N 在x ,y 平面上的单连通区域G 内具有连续的一阶偏导数，则(1.1）是全微分方程的充要条件为xy x N y y x M ∂∂=∂∂),(),( （1。
2) 证明见参考文献[1].定义1。
2 对于微分方程(1。
1）,如果存在可微函数),(y x μ，使得方程),(y x μ0),(),(),(=+dy y x N y x dx y x M μ （1.3）是全微分方程，则称),(y x μ为微分方程(1。
1）的积分因子。
定理1。
2 可微函数),(y x μ为微分方程（1.1）的积分因子的充要条件为x y x y x N ∂∂),(ln ),(μ-y y x y x M ∂∂),(ln ),(μ=xy x N y y x M ∂∂-∂∂),(),( （1。
4） 证明：由定理1。
1得，),(y x μ为微分方程(1。
1）的积分因子的充要条件为xy x N y x y y x M y x ∂∂=∂∂)),(),(()),(),((μμ， 展开即得： x y x y x N ∂∂),(),(μ—y y x y x M ∂∂),(),(μ=),(),(),(y x x y x N y y x M μ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂。
上式整理即得（1。
求解积分因子的方法整理
求解积分因子的方法整理积分因子是用于求解微分方程中的一种工具。
它是通过对微分方程进行一定的变换，使得变换后的微分方程可以方便地进行求解。
本文将介绍一些常用的求解积分因子的方法。
1. 修补法修补法是一种常用的求解一阶非线性微分方程积分因子的方法。
例如，考虑形如 y' + P(x)y = Q(x) 的微分方程。
我们可以将其变形成：y' + P(x)y - Q(x) = 0然后，我们找一个函数 f(x) 使得 f(x)[y' + P(x)y - Q(x)] 是一个完全微分方程，即：f(x)[y' + P(x)y - Q(x)] = \frac{d}{dx} [f(x)y]然后，我们令其等于 0，即可得到：这个方程的通解为：f(x)y = C，其中 C 为常数。
因此，我们可以将积分因子 f(x) 确定为：f(x) = e^{\int P(x)dx}2. 常数变易法然后，我们令其积分因子为 f(x)，即：考虑求出 f(x) 应满足的条件。
由于积分因子 f(x) 是一个乘积，因此其导数应该可以表示成一个和式，即：其中 A 和 B 是常数。
解这个常微分方程可以得到：其中 C 是常数。
因此，我们就得到了积分因子 f(x)。
3. 两类微分方程的积分因子对于形如 y' + P(x)y = Q(x) 和 y' - P(x)y = Q(x) 的微分方程，它们的积分因子分别为：其中，P(x) 和 Q(x) 是已知的函数。
对于形如 y'''+P(x)y''+Q(x)y'+R(x)y=S(x) 的三阶及以上的线性微分方程，我们可以通过求其特征方程来确定其积分因子。
特别地，当其特征根为实根时，其积分因子可以表示为：当其特征根为复根时，其积分因子可以表示为：f(x) = e^{\alpha x}[\cos(\beta x) + \alpha^{-1} \sin(\beta x)]其中，\alpha 和 \beta 是特征根的实部和虚部。
第二章-2.3恰当微分方程与积分因子
3
由全微分的定义，有
u u du dx dy x y
因此，当而且仅当存在函数 u u ( x, y )，使得
u u M ( x, y ), N ( x, y ) x y (3.2)
时，方程(3.1 )是恰当微分方程，并可写成下列形式
du ( x, y) 0
结论: 关系式
sin 2 x x 2 y 2 y 2 c,
由初始条件 y(0) 2, 得 c 4,
故所求的初值问题的解为:
sin 2 x x 2 y 2 y 2 4.
18
3 曲线积分法 定理1充分性的证明也可用如下方法: M ( x, y ) N ( x, y) 由于 , y x 由数学分析曲线积分与路径无关的定理知:
§2.3. 恰当方程和积分因子
一阶常微分方程的一般形式为 dy f ( x, y ) dx 可改写成微分的形式（或对称的形式）
f ( x, y)dx dy 0 进一步把 x, y 平等看待，写成下面形式的一阶
微分方程
M(x,y)dx+N(x,y)dy=0
(3.1)
1
2.3.1 恰当微分方程 1.定义
故所给方程是恰当方程.
由于M ( x, y), N ( x, y)在 全平面上连续 ,
故取( x0 , y0 ) (0,0),则
21
M ( x, y ) y cos x 2 xe y N ( x, y ) sin x x 2 e y 2,
u( x, y)
( x, y )
2 y
2 xdx (sin x x e 2)dy
xdx ydy x y
2 2
全微分方程及积分因子
1.5 全微分方程及积分因子一、全微分方程的定义及条件则它的全微分为是一个连续可微的函数设,),(y x U U =dy yU dx x U dU ¶¶+¶¶=如果我们恰好碰见了方程0),(),(=¶¶+¶¶dy yy x U dx x y x U 就可以马上写出它的通积分.),(c y x U=定义1使得若有函数),,(y x U dyy x N dx y x M y x dU ),(),(),(+=则称微分方程)1(,0),(),(=+dy y x N dx y x M 是全微分方程..),()1(c y x U =的通积分为此时如0=+ydx xdy 0)2()3(322=+++dy xy x dx y y x 0)()(=+dy y g dx x f 是全微分方程.=)(xy d =+)(23xy y x d =+òò))()((y d y g x d x f d 1.全微分方程的定义需考虑的问题(1) 方程(1)是否为全微分方程?(2) 若(1)是全微分方程,怎样求解?(3) 若(1)不是全微分方程,有无可能转化为全微分方程求解?2 方程为全微分方程的充要条件定理1则方程偏导数中连续且有连续的一阶域在一个矩形区和设函数,),(),(R y x N y x M )1(,0),(),(=+dy y x N dx y x M 为全微分方程的充要条件是).2(,),(),(x y x N y y x M ¶¶=¶¶)1(,0),(),(=+dy y x N dx y x M证明“必要性”设(1)是全微分方程,使得则有函数),,(y x U dy yU dx x U y x dU ¶¶+¶¶=),(dy y x N dx y x M ),(),(+=故有),,(y x M xU =¶¶),(y x N y U =¶¶从而从而有都是连续的和由于,22y x U x y U ¶¶¶¶¶¶,22y x U x y U ¶¶¶=¶¶¶故.),(),(xy x N y y x M ¶¶=¶¶yx U y N x y U y M ¶¶¶=¶¶¶¶¶=¶¶22,“充分性”，xy x N y y x M ¶¶=¶¶),(),(若解这个方程得看作参数把出发从,,)5(y 满足则需构造函数),,(y x U )4(,),(),(),(dy y x N dx y x M y x dU +=即应满足)5(),,(y x M x U =¶¶)6(),,(y x N yU =¶¶ò+=).(),(),(y dx y x M y x U j,)(的任意可微函数是这里y y j =¶¶y U 因此ò¶¶-=)7(),()(dx y x M y N dy y d j ,)7(无关的右端与下面证明x 的偏导数常等于零即对x 事实上]),([ò¶¶-¶¶dx y x M y N x ]),([ò¶¶¶¶-¶¶=dx y x M yx x N )6(),,(y x N y U =¶¶即同时满足使下面选择),6(),(U y j ò+¶¶dy y d dx y x M y )(),(j N =ò+=).(),(),(y dx y x M y x U j]),([ò¶¶¶¶-¶¶=dx y x M x y x N yM x N ¶¶-¶¶=.0º积分之得右端的确只含有于是,)7(,y ,]),([)(dy dx y x M y N y òò¶¶-=j 故ò=dx y x M y x U ),(),(,]),([dy dx y x M yN òò¶¶-+(8)。
全微分方程及积分因子
全微分⽅程及积分因⼦1.5 全微分⽅程及积分因⼦⼀、全微分⽅程的定义及条件则它的全微分为是⼀个连续可微的函数设,),(y x U U =dy yU dx x U dU ??+??=如果我们恰好碰见了⽅程0),(),(=??+??dy yy x U dx x y x U 就可以马上写出它的通积分.),(c y x U=定义1使得若有函数),,(y x U dyy x N dx y x M y x dU ),(),(),(+=则称微分⽅程)1(,0),(),(=+dy y x N dx y x M 是全微分⽅程..),()1(c y x U =的通积分为此时如0=+ydx xdy 0)2()3(322=+++dy xy x dx y y x 0)()(=+dy y g dx x f 是全微分⽅程.=)(xy d =+)(23xy y x d =+òò))()((y d y g x d x f d 1.全微分⽅程的定义需考虑的问题(1) ⽅程(1)是否为全微分⽅程?(2) 若(1)是全微分⽅程,怎样求解?(3) 若(1)不是全微分⽅程,有⽆可能转化为全微分⽅程求解?2 ⽅程为全微分⽅程的充要条件定理1则⽅程偏导数中连续且有连续的⼀阶域在⼀个矩形区和设函数,),(),(R y x N y x M )1(,0),(),(=+dy y x N dx y x M 为全微分⽅程的充要条件是).2(,),(),(x y x N y y x M ??=??)1(,0),(),(=+dy y x N dx y x M证明“必要性”设(1)是全微分⽅程,使得则有函数),,(y x U dy yU dx x U y x dU ??+??=),(dy y x N dx y x M ),(),(+=故有),,(y x M xU =??),(y x N y U =??从⽽从⽽有都是连续的和由于,22y x U x y U ,22y x U x y U ???=???故.),(),(xy x N y y x M ??=??yx U y N x y U y M =??=??22,“充分性”，xy x N y y x M ??=??),(),(若解这个⽅程得看作参数把出发从,,)5(y 满⾜则需构造函数),,(y x U )4(,),(),(),(dy y x N dx y x M y x dU +=即应满⾜)5(),,(y x M x U =??)6(),,(y x N yU =??ò+=).(),(),(y dx y x M y x U j,)(的任意可微函数是这⾥y y j =??y U 因此ò??-=)7(),()(dx y x M y N dy y d j ,)7(⽆关的右端与下⾯证明x 的偏导数常等于零即对x 事实上]),([ò??-??dx y x M y N x ]),([ò-??=dx y x M yx x N )6(),,(y x N y U =??即同时满⾜使下⾯选择),6(),(U y j ò+??dy y d dx y x M y )(),(j N =ò+=).(),(),(y dx y x M y x U j]),([ò-??=dx y x M x y x N yM x N ??-??=.0o积分之得右端的确只含有于是,)7(,y ,]),([)(dy dx y x M y N y òò??-=j 故ò=dx y x M y x U ),(),(,]),([dy dx y x M yN òò??-+(8)。
积分因子的分组求法
积分因子的分组求法
积分因子是解决常微分方程中非齐次线性方程的有力工具，但对于一些复杂的方程，求解积分因子可能会较为困难。
此时，我们可以尝试使用分组求法来求解积分因子。
具体来说，我们可以将方程中的项分为多个组，每个组中包含同一种类型的项。
然后，我们可以分别对每个组求积分因子，最后将所有的积分因子乘起来得到整个方程的积分因子。
例如，对于如下的非齐次线性方程：
$$y'' + 2xy' - 3y = 2x^2 e^x$$
我们可以将方程中的项分为两组：
$$y'' - 3y = 0$$
和
$$2xy' = 2x^2 e^x$$
对于第一组，我们可以直接使用常数变易法求出其积分因子为$e^{-sqrt{3}x}$。
对于第二组，我们可以使用变量分离法求出其积分因子为 $x^2$。
因此，整个方程的积分因子为：
$$e^{-sqrt{3}x} cdot x^2 = x^2 e^{-sqrt{3}x}$$ 通过分组求法，我们成功地求解了该方程的积分因子。
- 1 -。
关于一阶常微分方程积分因子的求法
关于一阶常微分方程积分因子的求法摘要目前关于一阶常微分方程积分因子的求解方法介绍比较零散，一般的教科书中大都局限在一些简单的情况，如公式法一般只给出含有x或y的一元函数的积分因子的情形，很少涉及到二元的情况，对积分因子的求法并没有一个系统全面的总结，故积分因子的求法有广阔的研究空间.一阶常微分方程灵活多变，有多种不同的方程类型，因而可针对不同类型的方程，研究与其适应的求解方法. 本课题将根据积分因子的定义及性质，通过不同的分类方法，在原有求积分因子方法的基础上，对多种求法进行加深和扩充，系统地总结出一些较为规律的求解方法：观察法、公式法和分组法，给出这些方法的使用条件，并对方法的可行性进行证明，结合具体问题进行分析讨论，通过对这三种方法的研究，解决了某些一阶常微分方程的求解问题.关键词一阶，积分因子，全微分方程，观察，公式，分组，通解The Solution about First Order DifferentialEquation of Intergral FactorABSTRACTAt present about first order differential equations solving method of integral factor is introduced, the comparison scattered in general mostly confined to a textbook, such as some simple formula general give only contain x or y unary function of integral factor of the situation, rarely involve the condition of dual integral factor of sapce and no system, so overall summary of integral factor of sapce has broad research space. A flexible and order ordinary differential equations, and there are many different types of the equation, thus the equation of different types, with the solving method to study. This topic will be based on the definition and properties of integral factor, through different classification method andway of integrating factors in original for the foundation, on the various sapce for deepening and expanded, systematically summarizes some relatively regular solution: observation, formula and grouping law, given these methods using conditions, and feasibility of the method is proved that combined with concrete problems are discussed, based on the three methods to study and resolve some of the first order differential equation problem solving.KEYWORDS first-order,Integral factor, observation,formula,grouping,general solution.目录1 引言 (1)2 几种变系数齐次线性方程的求解方法 (1)2.1 降阶法 (1)2.2 常系数化法 (8)2.3 幂级数法 (17)2.4 恰当方程法 (20)3 结束语 (23)4 致谢语 (23)参考文献 (24)1 引 言常微分方程是数学科学联系实际的主要桥梁之一。
线性微分方程求解公式
线性微分方程求解公式
线性微分方程（LDE）是数学中一类非常重要的概念，它可以用来描述物理系统中动态变化的过程。
它是一种把时间变量和函数变量之间的关系表达为一个微分方程的方法。
线性微分方程（LDE）可以用来解释许多实际应用中的问题，如机械系统的动力学分析、气体流动的传热分析、电磁学分析和电路分析等，并且它们在理论物理学、数学物理学和其他重要的科学领域中也有着重要的应用。
线性微分方程的求解公式是：先把线性微分方程化为一阶线性微分方程，然后将其标准化，即解出其一阶线性微分方程的积分因子。
其求解公式可以表示为：设y=f(x)是方程
dy/dx+Py=Q的一般解，则f(x)的一般解为：f(x)=e^（∫Pdx）∫Qe^(-∫Pdx)dx+C其中C为任意的常数，而∫Pdx表示P的积分因子。
由此可以看出，线性微分方程的求解公式是由一阶线性微分方程的积分因子得出的，而积分因子又是由方程参数（P、Q）得出的。
因此，线性微分方程的求解公式需要先求解出一阶线性微分方程的积分因子，然后再将其带入上面的求解公式中即可得出方程的解。
线性微分方程（LDE）的求解公式是一种非常重要的数学工具，它可以帮助我们更好地理解复杂的物理系统，从而更好地进行分析和设计。
它的应用非常广泛，在医学、经济学、工
程学等领域都有重要的作用，因此，理解并熟练掌握这一求解公式对于我们来说非常重要。
一阶微分方程三类积分因子的计算
（令“＝２，ｂ＝１）
一（２ｘ十ｙ）３（ｚ一２ｙ）十：ｃｙ（ｙ２—４ｘ２）
５—（２ｘ辈ｙ蔫［－（２并ｘ焘券ｙ器‰ｘｙ 一一（２ｘ＋ｙ）［（２ｚ＋ｙ）２（２ｙ—ｚ）＋ｘｙ（２ｘ—ｙ）］
ａＮ ａＭ
熹ｂＭ一要ａＮ 一 ＋ ）
一志２ｘ＋ｙ刈２ｚ州 ＋ｖ）２（２ 一ｚ）＋ （２ｚ—ｖ）］一——一一Ｊ¨ｚ １＿ｙ７
１．卢（ｚ，ｙ）＝Ｆ（ｎｚ十６ｙ）， ２．Ｐ（ｚ，ｙ）＝Ｇ（ｚｙ）．３．户（ｚ，ｙ）＝ｅｘｐＦｆｆ（ｚ）如＋Ｊ’ｇ（ｙ）出］三种形式的积分因子的
充要条件．
关键词 恰当方程；积分因子
中图分类号：０１７５
文献标识码：Ａ
文章编号：１００２－－０７３Ｘ（２００２）０３一００５２一０４
一阶微分方程Ｍ（ｚ，ｙ）ｄｚ＋Ｎ（ｚ，ｙ）ｄｙ：Ｏ （１）当百ａＭ一百ａＮ时，称方程（１）为恰当方程。对于恰当方
Ｇ（ｘｙ）Ｍ（ｘ，ｙ）ｄｘ＋Ｇ（ｘｙ）Ｎ（ｘ，ｙ）ｄｙ＝０
即
ｚｚ－，！ｖ－－（ｘｙ２一ｙ）ｄｘ＋击‘ｚ≯，３，一３ｘ）ｄｙ ２ ｏ
（ｙ－－Ｚ去）出＋（Ｐ ３Ｖｙ）ｄｙ ２。 舛ｚ＋斑ｙ－土。ｄｚ一专ｄｙ＝ｏ
得全微分方程ｄ（ｘｙ—ｌｎｘｙ ３）＝０ 所以．得方稗的诵锶．ｚｖ—ｌｎｘｖ ３＝Ｃ
３．具有形为ｐ（ｘ。ｙ）＝ｅｘＰｉｌｌ（ｘＩ出＋ｆｇ（ｙ）ｄｙ］积分因子的条件 命题３ 一阶微分方程Ｍ（ｚ，ｙ）如＋Ｎ（ｚ，３，）出一ｏ，具有形为Ｐ（ｚ，ｊ，）一ｅｘｐ［ｆｆ（ｚ）出＋Ｊ－ｇ（ｙ）出］积
第２３卷第３期 ２ ０ ０ ２年６月
衡阳师范学院学报（自然科学） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｈｅｎｇｙａｎｇ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ）
ＮＯ．３Ｖ０１．２３ ＪＵＢ．２ ０ ０ ２
微分方程积分因子的求法
微分方程积分因子的求法罗伟东【摘要】利用积分因子，可以对一个一阶微分方程的求解进行统一处理。
因此，如何求解积分因子就成为解一阶微分方程的一个重点了。
但对于一个具体的方程，如何求出它的积分因子呢，一般的方法是解一个一阶偏微分方程，不过那是比较不容易的。
但是，对于某些特殊的情况，却可以简单地得出积分因子。
通过查找我们发现，在大多数《常微分方程》的教材中都只给出了只与x 或y 有关的积分因子的求法，但这是不够的。
所以我们在这里来讨论一下关于求解()x y αβμ和()m n ax by μ+这两类积分因子的充要条件及部分例题，由此我们就可以得到形式相近的积分因子。
如：通过x y μ=+，可以得到x y μ=-的积分因子。
如此举一反三，力求使得求积分因子的问题变的简便易行。
同时，还对积分因子的求法进行了推广，总结出几类方程积分因子的求法。
【关键字】微分方程 ， 积分因子 ， 求解方法【目录】引言 (1)目录 (2)一、()x y αβμ和()m n ax by μ+两类积分因子§ 1、 与()x y αβμ有关的积分因子 (3)§ 2、 与()m n ax by μ+有关的积分因子 (4)二、微分方程积分因子求法的推广§ 1、 满足条件()P Q P Qf x y x y∂∂-=-∂∂的积分因子求法 (7)§ 2、 方程1123422(3)36330m m m m x mx y xy dx y x y x y dy +-⎡⎤⎡⎤++++++=⎣⎦⎣⎦积分因子 (10)§ 3、 方程13()30m m m x m x y x dx x dy -⎡⎤+++=⎣⎦积分因子 (12)§ 4、 方程1(4)4450m m m m x mx y y dx x x y dy -⎡⎤⎡⎤++++++=⎣⎦⎣⎦积分因子 (13)参考文献 (15)一、()x y αβμ和()m n axby μ+两类积分因子引言： 微分方程是表达自然规律的一种自然的数学语言。
1.5 全微分方程及积分因子
1. ydx ( y 2 x )dy 0 2. xy 3dx ( x 2 y 2 1)dy 0
高 等 数 学
[例4] 解方程 ydx ( y x )dy 0
2
哈 尔 滨 工 程 大 学
1 2 [解] ( 2 ) [ ydx xdy y dy] 0 y 2 2 y y
1) 方程M ( x , y )dx N ( x , y ) 0存在仅与x有关的 积分因子 ( x , y ) ( x )的充要条件为
高 等 数 学
1 M N ( ) N y x
仅与x有关,这时该方程的积分因子为
1 M N ( x ) dx ) ( x) e , 这里 ( x ) ( N y x
积分因子的确定
高 等 数 学
( x , y )是方程M ( x , y )dx N ( x , y ) 0的积分因子的
充要条件是 : ( x , y ) M ( x , y ) ( x , y ) N ( x , y ) y x
即
哈 尔 滨 工 程 大 学
M N N M ( ) x y y x
2）微分方程M ( x , y )dx N ( x , y ) 0有一个仅依赖
哈 尔 滨 工 程 大 学
于y的积分因子的充要条件是
1 M N ( ) M y x
仅与y有关,这时该方程的积分因子为
高 等 数 学
( y ) dy ( y) e ,
1 M N 这里 ( y ) ( ). M y x
高 等 数 学
1 2 (2xydx x dy ) de d ( y ) 0 2 1 2 2 d(x y y ex ) 0 2 1 2 2 x 所以 x y y e c 2
常微分方程积分因子法-推荐下载
( x）
1 x2
x 2 y 2 x 2 y 2 xy
是两组的公共的积分因子，从而是方程 (5.8) 的积分因子.
为了使这种分组求积分因子的方法一般化，给出下面的有关积分因子的一个性质定理.
定理 6 若 (x, y) 是方程 (5.1) 的一个积分因子，使得
(x, y)P(x, y)dx (x, y)Q(x, y)dy d(x, y)
y
d (ln x ) ydx xdy .
y
xy
x2 y2
11 1 1 于是 x 2 , y 2 , x 2 y 2 , xy 等都是这个微分方程的积分因子.由此再来看上面的例 1，将 (5.8) 式的左端分
成两组：
(3x3dx 2x2 ydy) ( ydx xdy) 0 .
11 其中第二组由上述讨论知，有积分因子 , ,
§5 积分因子法 本节再来讨论§1 剩下的没有解决的第三个问题.即当方程
P(x, y)dx Q(x, y)dy 0
不满足条件 P Q 时，有什么办法能把它变为恰当方程呢？由一阶微分的形式不变性，易见变量代 y x
换发在这里是无能为力的.但在§2 对变量分离方程
X (x)Y1 ( y)dx X1 (x)Y ( y)dy 0 ，
成为恰当方程，亦即
(x, y)P(x, y)dx (x, y)Q(x, y)dy 0
(P) (Q)
y
满足这一条件的 (x, y) 称为方程 (5.1) 的一个积分因子.
由条件 (5.3) ，可以看出 (x, y) 应满足方程
x
P Q (Q P )
y x x y
(5.4) 是一阶线性偏微分方程.对于一般的一次连续可微函数 P(x, y),Q(x, y) ，虽然可证 (5.4) 的解
（整理）几种特殊类型积分因子的求法
（整理）⼏种特殊类型积分因⼦的求法运⽤积分因⼦⽅法求解⼏种特殊类型微分⽅程⽅⼩，数学与计算机科学学院摘要:针对满⾜某些条件的微分⽅程,着重研究如何直接地、有效地求出其积分因⼦的⽅法,从⽽⽅便快捷地求出其通解.引⾔：⽅程取形式0y ),(),(=+d y x N dx y x M 时的求解问题教材中主要介绍了五种类型的初等解法，实际上作为基础的还是恰当微分⽅程，其他类型均可借助积分因⼦化为这种类型，掌握⼀些特殊类型的积分因⼦求法及部分特殊结构微分⽅程的积分因⼦的求法，从⽽⼤提⾼解微分⽅程的效率和可操作性.⼀.⼏种特殊类型结构的微分⽅程0y ),(),(=+d y x N dx y x M 的积分因⼦的求法1．常见⼀阶微分⽅程⼏种运⽤积分因⼦转化成恰当微分⽅程 1.1可分离变量⽅程)()(y x f dxdyφ=很容易求得积分因⼦为)(1y ?µ=例求0)1()(=--++-dy y x xy dx x xy 的积分因⼦解：变形为0)1)(1()1(=+-+-dy y x dx y x积分因⼦为)1)(1(1)()(1),(12--==y x y q x p y x µ⽅程两边乘以上积分因⼦得：0111=-++-dy y y dx x x 两边积分得原⽅程的通解为C y x y x =--++2)1)(1ln(1．2 线性微分⽅程设),(y x f 及yf连续，试证⽅程0),(=-dx y x f dy 为线性微分⽅程它有仅依赖于x 的积分因⼦.证明：设⽅程0),(=-dx y x f dy 是线性微分⽅程.即存在)(),(x h x g 使得)()(),(x h x yg y x f +=)(,1),()(),(M x g x g N x Ny M N x h x yg y x f -=-=??-=--=-= 所以，⽅程具有积分因⼦=-dxx g e )(µ这即证明了⽅程有仅依赖于x 的积分因⼦.例2 :解⽅程: 0)cos sin ()sin cos (=++-dy x x x y dx x y x y 解: ∵x x x y N x x x y M cos sin ,sin cos +=-= y M yMx N =??-??于是积分因⼦为:y ydy e e u =?=∴通解为:C x x y x x e y =-+)sin sin cos (.1.3 伯努利微分⽅程⽅程的积分因⼦是))((y ?=---dx x p n neµ证明：设伯努利⽅程为n y x q y x p dx dy)()(+=，)1,0(≠n改写为,0)()(=--dx y x q ydx x p dy n乘以得ny - 0)()(y 1=----dx x q dx y x p dy n n即,0)()1()()1()(11=------dx x q n dx y x p n y d n n再乘以?)()1(得--dxx p n e )()1(,0)()1(])()1()([)()1(11=-?-------dx x q n edx y x p n y d dxx p n n n即.0])()1([][)()1()(1(1=?--??-----dx e x q n d ey d dx x p n dx s p nn这是全微分⽅程，因此所求积分因⼦是))((y ?=---dx x p n n eµ例求2y sinx)(cosx -=+y dxdy的积分因⼦及通解解：积分因⼦x dxx p n e y e y y x ---=?=2)(),(µ原⽅程两边同乘以xey --2，并化为对称式为dx e x x dx e y dy e y x x x -----=+)sin (cos 12凑微分为：)sin ()(1x e d y e d x x ---=-两边同时求积分得：C y e x e x x =+---1sin证明由于,),(),(,),(),(yN xM y x N y x N yN xM y x M y x M +=+=µµ则有2)()()()(yN xM yN y N y N x M yN xM y M y M +++??-+??=??µ2)(yN xM y NyM MN y M yN +--=,同理，2)()(yN xM x MxN MN x N xM xN +--=??µ，由于⽅程是齐次的，我们不妨设),(),(y x N y x M 和是m 次齐次函数，则有N m y y Nx x M m y y M x x M ?=+?=+N 与由上⾯两个式⼦可推出xMxN x xM y N yM y M yN -=+N ，从⽽得到xN y M ??=??)例 02)3(22=+-x y d xdy x y解此为齐次⽅程，故有积分因⼦)(1)32(1)(123232y x y y x y y x Qy Px -=-+=+=µ乘以积分因⼦，原⽅程化为0)]()3[()](2[232222=--+-dy y x y x y dx x y x这是⼀个全微分⽅程，它的通解为C dx y y dx x y xy xln 00213222=--+-??C y x y y =+--ln )ln(ln 222其中C 为常数2、具有特殊结构的⼀阶微分⽅程0y ),(),(=+d y x N dx y x M 的积分因⼦的求法 2.1⽅程0)()()()(=+y Q x P dx y N x M 有积分因⼦:)()(1x P y N =µ显然,直接验证可得µ=)()(1x P y N为上式的积分因⼦.若)()()()())(y P x Qf x Q y P ?-=??-??，则?=+dyy dx x f e )()(?µ是⽅程的积分因⼦)(3()1)(6(222yxy y x xy x -+--+-==)2()1(yP x Q --- 故有积分因⼦2211xy edyy dx x ==---µ 于是原⽅程化为0)6)()13(2=+-+dy y x dx y x即0])()1[(6)3(2=-+-dy y x dx y dy dx x这是⼀个全微分⽅程，积分得出通解为C y x y x =+-6ln 3或cy x y x y =+-26ln 32.2 设函数)(),(u g u f 连续、可微且,则⽅程0)()(=+dy xy xg dx xy yf 有积分因⼦: )]()([1xy g xy f xy -证明:令µ=xy ,则原⽅程可化为0)()]()([=+-µµµd g dx xg u f u (1)(1)式两边同乘以)]()([1()([)(=--du g f g x dx µµµµ 显然(2) 为恰当⽅程,故(1) 有积分因⼦)]()([1µµµg f -,,因⽽原⽅程有积分因⼦)]()([(1xy g xy f xy -,但对于⼀个较复杂的⽅程,往往不容易直接求得它的积分因⼦.例 0)(12332=-+-dy y x y x dx y x 解原⽅程化为0)1()1(2222=-++dy y x x dx y x y因为 02)1()1(2222≠=--+y x y x ,故有积分因⼦xyy x y x xy 21)]}1()1[({12222=--+=µ乘上xy21=µ得 021********=-++dy x ydy x dx x dx xy 即0)(2)(222=-++ydyx dx ydy x dx xy ⼆．针对满⾜某些条件的微分⽅程，运⽤积分因⼦⽅法求出通解.但是如果把它的左端分成⼏组,⽐如分成两组:0)()(2211=+++dy N dx M dy N dx M (3)后,可分别求得各组的积分因⼦21µµ和,也就是如果有21,µµ 使+11M µ111µµd dy N = +22M µ222µµd dy N =于是借助于21,µµ常可求得0=+NdY Mdx 的积分因⼦.为了说明这⼀点,先注意下⼀事实.如果µ是0=+NdY Mdx 的⼀个积分因⼦,且+M µµµd Ndy =,则)(µµφ也是0=+NdY Mdx 的积分因⼦.此处)(µφ是µ的任⼀连续函数. 事实上µµ?µµµφµµφµµφd Ndy Mdx Ndy dx )())(()(M=+=+）（其中Ф表⽰φ的⼀个原函数.据此知,对于任意的函数)(µφ及)(11µφµ、)(22µ?µ 都分别是(3) 的第⼀组和第⼆组的积分因⼦.函数?φ,有着⼴泛选择的可能性.是0=+NdY Mdx 的积分因⼦.例:解⽅程: 0)1()3(32=+++dy yx dx x x y解:原⽅程改写为0)3()(32=+++dy yx x dy dx x y 显然y x y xy x 32211,,,====µµµµ为使),()(3y x y xy x ?φ=只须取2)(µµφ=,µµ?=)( 于是求得原⽅程的⼀个积分因⼦: 233)()(y x y x y xy x ===?φµ⽽以之乘⽅程的两端,便得0)()36232522=+++dy y x y x dx y x y x于是dx y x y x y x x)3(),(25032+=?µ=)0(2)(3)(233=+c y x xy 取∴通解为:c 2)(3)(233=+y x xy结论1：设),(y x u 是⽅程0y ),(),(=+d y x N dx y x M 的积分因⼦，从⽽求得可微⽅程),(y x U 使)(Ndy Mdx dU +=µ时)(),(1U y x µ?µ=.),(1y x µ也是⽅程的积分因⼦，其中）（t ?是t 的可微函数.结论2：设),(1y x u ，),(2y x u 是⽅程0y ),(),(=+d y x N dx y x M 的两个积分因⼦，且≠211=µµ（任意常数）是⽅程的通解. 结论3：假设当⽅程0y ),(),(=+d y x N dx y x M 为齐次⽅程时，且为恰当⽅程，则它的通解可表⽰为c d y x yN dx y x xM =+y ),(),(（c 为任意常数）. 参考⽂献（顶格、宋体、⼩四号加粗）：[1] 刘⼴珠.⾼中⽣考试焦虑成因分析[J].陕西师⼤学报（哲社版），1995，24（1）：161-164.（参考⽂献序号在⽂中采⽤右上标注的⽅式，⽤数字加⽅括号表⽰，如[1]，[2]，…，序号应连续。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
微分方程积分因子的求法何佳【摘要】利用积分因子，可以对一个一阶微分方程的求解进行统一处理。
因此，如何求解积分因子就成为解一阶微分方程的一个重点了。
但对于一个具体的方程，如何求出它的积分因子呢，一般的方法是解一个一阶偏微分方程，不过那是比较不容易的。
但是，对于某些特殊的情况，却可以简单地得出积分因子。
通过查找我们发现，在大多数《常微分方程》的教材中都只给出了只与x 或y 有关的积分因子的求法，但这是不够的。
所以我们在这里来讨论一下关于求解()x y αβμ和()m n ax by μ+这两类积分因子的充要条件及部分例题，由此我们就可以得到形式相近的积分因子。
如：通过x y μ=+，可以得到x y μ=-的积分因子。
如此举一反三，力求使得求积分因子的问题变的简便易行。
同时，还对积分因子的求法进行了推广，总结出几类方程积分因子的求法。
【关键字】微分方程 ， 积分因子 ， 求解方法【目录】引言 (1)目录 (2)一、()x y αβμ和()m n ax by μ+两类积分因子§ 1、 与()x y αβμ有关的积分因子 (3)§ 2、 与()m n ax by μ+有关的积分因子 (4)二、微分方程积分因子求法的推广§ 1、 满足条件()P Q P Qf x y x y∂∂-=-∂∂的积分因子求法 (7)§ 2、 方程1123422(3)36330m m m m x mx y xy dx y x y x y dy +-⎡⎤⎡⎤++++++=⎣⎦⎣⎦积分因子 (10)§ 3、 方程13()30m m m x m x y x dx x dy -⎡⎤+++=⎣⎦积分因子 (12)§ 4、 方程1(4)4450m m m m x mx y y dx x x y dy -⎡⎤⎡⎤++++++=⎣⎦⎣⎦积分因子 (13)参考文献 (15)一、()x y αβμ和()m n axby μ+两类积分因子引言： 微分方程是表达自然规律的一种自然的数学语言。
它从生产实践与科学技术中产生，而又成为现代科学技术中分析问题与解决问题的一个强有力的工具。
人们在探求物质世界某些规律的过程中，一般很难完全依靠实验观测认识到该规律，反而是依照某种规律存在的联系常常容易被我们捕捉到，而这种规律用数学语言表达出来，其结果往往形成一个微分方程，而一旦求出方程的解，其规律则一目了然。
所以我们必须能够求出它的解。
同时，对于全微分方程我们有一个通用的求解公式。
但是，就如大家都知道的那样，并不是所有的微分形式的一阶方程都是全微分方程。
那时对于这类不是全微分方程的一阶微分方程该如何求出它的解呢，这就需要用到这里我们讨论的积分因子了。
§1、与()x y αβμ有关的积分因子一般的，我们有这样的定义：假如存在这样的连续可微函数μ( x , y )≠0使方程：μ( x , y ) M ( x , y ) dx +μ( x , y ) N ( x , y ) dy =0 .（1-1）成为全微分方程，我们就把μ( x , y )称为方程（1-1）的一个积分因子。
推论1 若111()()m n P Q y x x y myQ nxP --∂∂-∂∂⎡⎤-⎣⎦仅是n m y x 的函数时， 设 111()()m n P Q y xx y myQ nxP --∂∂-∂∂⎡⎤-⎣⎦=)(n m y x ϕ则方程(1-1)有积分因子：exp ()()m n m n x y d x y μϕ⎡⎤=⎣⎦⎰ ． 证明 ： 设()m n x y μμ=，令n m y x z =，则μ满足：xQ y P P y z dz d Q x z dz d ∂∂-∂∂=∂∂-∂∂μμln ln ⇒11ln m n m n d P Q mx y Q nx y P dz y x μ--∂∂⎡⎤-=-⎣⎦∂∂ ⇒=dz d μln 111()()m n P Q y xx y myQ nyP --∂∂-∂∂⎡⎤-⎣⎦ 因此，当且仅当上式的右端是关于n m y x 的函数，设为)(n m y x ϕ，方程(1-1)有积分因子：exp ()()m n m n x y d x y μϕ⎡⎤=⎣⎦⎰．例1 求方程3243(2)(48)0y x y x dx x xy y dy +++++=的积分因子．解：∵1()P Q yQ xP y x ∂∂--∂∂344332(1)(14)(48)(2)x y y x xy y x y x y x +-+=++-++12xy =-+ ∴ 方程有积分因子：l n (2)11exp ()22xy u d xy e xy xy -+=-==++⎰§2、与()m n ax by μ+有关的积分因子推论 1 如果)(1xQ y P P Q ∂∂-∂∂-仅是关于)(y x +的函数，则可设 )(1xQ y P P Q ∂∂-∂∂-)(y x +=ϕ 则方程(1-1)有积分因子：exp ()()x y d x y μϕ⎡⎤=++⎣⎦⎰． 证明 ： 如果μ仅是关于)(y x +的函数，即)(y x +=μμ，设y x z +=，此时μ满足： y z dz d Q x z dz d ∂∂-∂∂μμln ln ，xQ y P P ∂∂-∂∂= 即=dzd μln )(1x Q y P P Q ∂∂-∂∂- 因此，当上式右端仅是关于)(y x +的函数时，设为)(y x +=μμ，则方程(1-1)有积分因子：exp ()()x y d x y μϕ⎡⎤=++⎣⎦⎰．推论 2 若 )()(21xQ y P yP xQ ∂∂-∂∂-仅是)22(y x +的函数时， 设)()()(2122y x x Q y P xP yQ +=∂∂-∂∂-ϕ 则方程(1-1)有积分因子：2222exp ()()x y d x y μϕ⎡⎤=++⎣⎦⎰． 证明 设)(22y x +=μμ，令22y x z +=，则μ满足(1-1)式，即： 有 xQ y P P y z dz d Q x z dz d ∂∂-∂∂=∂∂-∂∂μμln ln ⇒[]ln 22d P Q xQ yP dz y xμ∂∂-=-∂∂ ⇒ln 1(22)d P Q dz xQ yP y x μ∂∂=--∂∂．因此，当上式右端为22()x y +的函数时，设为22()x y ϕ+，则方程(1-1)有积分因子 ：2222exp ()()x y d x y μϕ⎡⎤=++⎣⎦⎰ 推论 3 若 1()(0)(2)P Q a xQ aP y x∂∂-≠-∂∂仅是2()x ay +的函数时， 设21()()(2)P Q x ay xQ aP y x ϕ∂∂-=+-∂∂ 则方程(1-1)有积分因子：22exp ()()x ay d x ay μϕ⎡⎤=++⎣⎦⎰． 证明 ： 设2()x ay μμ=+，令2z x ay =+，则μ满足(1-1)式，即：ln ln d z d z P Q Q P dz x dz y y xμμ∂∂∂∂-=-∂∂∂∂ ⇒[]ln 2d P Q xQ aP dz y xμ∂∂-=-∂∂ ⇒ln 1()(2)d P Q dz xQ aP y x μ∂∂=--∂∂ 因此，仅当上式右端为2()x ay +的函数时，设为2()x ay ϕ+，则方程(1-1)有积分因子：22exp[()()]x ay d x ay μϕ=++⎰例1 求解32233223(23)(23)0x x y y y dx y xy x x dy ++-+++-=的积分因子．解： 由 1()P Q Q P y x ∂∂--∂∂222232233223(323)(323)(23)(23)x y y y x x y x y x x x x y y y +--+-=++--++- 2x y =-+ 可知方程有积分因子： 2exp ()u d x y x y=-++⎰()2ln x y e -+=21()x y =-+．例2 求解方程20x dx dy ++=（的积分因子．解： 由方程可知 P x = ； 2Q = 因为 211()(4)22(4)P Q a xQ aP y x x y ∂∂--==-∂∂+仅是24x y +的函数，则方程的积分因子是：μ=二、微分方程积分因子求法的推广微分方程积分因子求法的推广主要写了几类特定微分方程的积分因子的求法，极大的提高了我们计算积分因子的速度，对我们的学习有很大帮助。
§1 满足条件()P Q P Qf x y x y∂∂-=-∂∂的积分因子求法 定理1 假设(,)(,)0P x y dx Q x y dy +=中(,)P x y ，(,)Q x y 存在以下关系：()P Q P Qf x y x y∂∂-=-∂∂ 其中()f x 是x 的连续函数，则该方程的积分因子是：1()(,)f x dx dyy x y e μ+⎰⎰= ()f x dx e y ⎰=⋅．证明 ：1()()f x dx dy y f x e x μ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦⎰⎰∂=∂ ()(,)f x x y μ=1()1f x dx dy y e y yμ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦⎰⎰∂=∂ 1(,)x y y μ= (,)(,)(,)(,)0x y P x y dx x y Q x y dy μμ+=即：P P P y y yμμμ∂∂∂=+∂∂∂ P P y yμμ∂=+∂ Q Q Q x x xμμμ∂∂∂=+∂∂∂ ()Q Qf x xμμ∂=+∂ 若要使得(,)x y μ是积分因子，必须满足：Q P x yμμ∂∂=∂∂ 则 ()P P Q Qf x y y xμμμμ∂∂+=+∂∂ 即 ()P Q P Qf x y x y μμ⎡⎤⎡⎤∂∂-=-⎢⎥⎢⎥∂∂⎣⎦⎣⎦即要满足： ()Q P P Qf x x y y∂∂-=-∂∂． 若满足以上定理可得到如下定理：定理2 如果()(,)f x dx x y e y μ⎰=⋅是方程(,)(,)0P x y dx Q x y dy +=的积分因子，则()2()222(,)()f x dx f x dx x y e y e y μ⎰⎰=⋅=⋅也是该方程的积分因子证明 ：∵ 220Pdx Qdy μμ+=∴ 22()2P P P y y yμμμμ∂∂∂=+∂∂∂ 222P P y yμμ∂=+∂ 22()2Q Q Q x x xμμμμ∂∂∂=+∂∂∂ 222()Q Qf x xμμμ∂=+∂ 22()()P Q y xμμ∂∂-=∂∂22(2)(2)P Q P Q y y x x μμμμμμ∂∂∂∂+-+∂∂∂∂ 22()()P Q P Q y x y xμμμμ∂∂∂∂=-+-∂∂∂∂ 22(())()P P Q Q f x y y xμμμμ∂∂=-+-∂∂ 222(())()P P Q Qf x y y xμμ∂∂=-+-∂∂ 因为()f x ，1y 分别是x ，y 的连续函数，则由连续函数的局部性质知2()f x ，2y 也分别是x ，y 的连续函数．又因为 22()P Q P Q f x y x y∂∂-=-∂∂ 22()()P Q y xμμ∂∂-=∂∂222(())()P P Q Qf x y y x μμ∂∂-+-∂∂ 222(())2(())P P Qf x Qf x y yμμ=-+- =0 所以 220Pdx Qdy μμ+=是全微分方程．所以 2μ也是该方程的积分因子．例3 求3sin 0y yx dx e xdy +=的积分因子．解 ：3cos y P Q x e x y x∂∂-=-∂∂ ()cot f x x =-可以由上面的定理得到方程的积分因子：cot xdx e y μ-⎰=⋅．例 4 求23sin 0y y xdx x ye dy +=的积分因子． 解 ：22sin 3y M N x x ye y x∂∂-=-∂∂ 可以取 2333()y y x ye f x x ye x--== 从而使该方程能够满足定理1所需条件 则有：313331dx dx x x y e y e y y x xμ--⎰⎰=⋅=⋅=⋅= 所以方程的积分因子是：3y x μ=． 同理，由定理2知：26y xμ= 也是该方程的积分因子．§2方程1123422(3)36330m m m m xmx y xy dx y x y x y dy +-⎡⎤⎡⎤++++++=⎣⎦⎣⎦积分因子定理3 齐次方程为：1123422(3)36330m m m m x mx y xy dx y x y x y dy +-⎡⎤⎡⎤++++++=⎣⎦⎣⎦ 则该方程有积分因子：1222()x y μ=+．证明： 令1222()z x y =+则知 1222()z x x y x -∂=+∂ 1222()z y x y y-∂=+∂ ∵ (,)(,)0x y P d x x y Q d y μμ+= 1123(3)3m m P m x mx y xy +-=+++ 422633m Q y x y x y =++∴P d z P P y d z y yμμμ∂∂∂=+∂∂∂ 1222()d PPy x y dz yμμ-∂=++∂ Q d z Q Q x dz x xμμμ∂∂∂=+∂∂∂ 1222()d QQx x y dz xμμ-∂=++∂ 若有：P Qy xμμ∂∂=∂∂ 也即是有：1222()()()d Q PPy xQ x y dz x yμμ-∂∂-+=-∂∂ ⇒12221()()Q P d x y dzPy xQ x y μμ-∂∂-∂∂=-⋅+⇒1222ln ()()Q P d x y dzPy Qx x y μ-∂∂-∂∂=-⋅+12221()x y =+∴ 12221()(,)dzxy x y eμ+⎰=122212221()()d xy xy e++⎰= 1222ln()x y e+=1222()x y =+．例 5 求解齐次方程32342226cos 3cos 3cos (cos )63cos 30x y x y x d x y xy x y dy ⎡⎤⎡⎤+++++=⎣⎦⎣⎦的积分因子．解：由定理3得方程的积分因子是： 1222()x y μ=+§3、方程13()30mm mxm x y x dx x dy -⎡⎤+++=⎣⎦积分因子定理4 齐次方程：13()30m m mx m x y x dx x dy -⎡⎤+++=⎣⎦则该方程有积分因子：2()x y μ=+．证明： 令2()z x y =+ 则知22x y x μ∂=+∂ 22x y yμ∂=+∂ 因为 (,)(,)0x y P d x x y Q d y μμ+= 所以有P d z PP y d z y yμμμ∂∂∂=+∂∂∂ (22)d PP x y dz yμμ∂=++∂ Q d z QQ x dz x xμμμ∂∂∂=+∂∂∂ (22)d QQ x y dz xμμ∂=++∂若有P Qy xμμ∂∂=∂∂ 则有：()(22)()d Q PP Q x y dz x yμμ∂∂-+=-∂∂ ⇒1()(22)Q P d x y dz P Q x y μμ∂∂-∂∂=-⋅+ ⇒ln ()(22)Q P d x y dz P Q x y μ∂∂-∂∂=-⋅+21()x y =+所以 (,)x y μ22211()()()dzd x y x y x y ee+++⎰⎰==2ln()x y e +=2()x y =+．例 6 求解齐次方程4343s i n 4(s i n )s i n (s i n )3s i nyy x x e x dx xde ⎡⎤+++=⎣⎦ 的积分因子．解： 方程满足定理3方程的形式，因此，方程的积分因子为： 2(s i n )y x e μ=+．§4方程1(4)4450mm mm xmx y y dx x x y dy -⎡⎤⎡⎤++++++=⎣⎦⎣⎦积分因子定理5 若齐次方程的形式为：1(4)4450m m mm x mx y y dx x x y dy -⎡⎤⎡⎤++++++=⎣⎦⎣⎦则方程的积分因子是：3()x y μ=+．证明： 令3()z x y =+ 则知23()z x y x ∂=+∂ 23()z x y y∂=+∂ 因为 (,)(,)0x y P d x x y Q d y μμ+= 1(4)4m m P m x mx y y -=+++ 45m Q x x y =++所以有P d z P P y d z y yμμμ∂∂∂=+∂∂∂ 23()d PP x y dz yμμ∂=++∂ Q d z QQ x dz x xμμμ∂∂∂=+∂∂∂ 23()d QQ x y dz xμμ∂=++∂若有P Qy xμμ∂∂=∂∂ 即有：23()()()d Q PP Q x y dz x yμμ∂∂-+=-∂∂ ⇒21()3()Q P d x y dz P Q x y μμ∂∂-∂∂=-⋅+ ⇒2ln ()3()Q P d x y dz P Q x y μ∂∂-∂∂=-⋅+31()x y =+ 所以 31()(,)dzx y x y eμ+⎰=31()()d x y x y e++⎰=3ln()x y e += 3()x y =+所以 方程的积分因子是：3()x y μ=+．例7 求齐次方程323(7sin 3sin 4)(sin 4sin 5)0x xy y dx x x y dy +++++=的积分因子．解：方程满足定理5条件，则知方程的积分因子是： 3()x y μ=+．本文讨论了几种微分方程积分因子的求解方法。