(完整版)三角函数化简求值专题复习

三角函数化简求值专题复习

高考要求

1、理解任意角的概念、弧度的意义、正确进行弧度与角度的换算；掌握任意角三角函数的定义、会利用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦、正切。

2、 掌握三角函数公式的运用（即同角三角函数基本关系、诱导公式、和差及倍角公式）

3、 能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。 热点分析

1.近几年高考对三角变换的考查要求有所降低，而对本章的内容的考查有逐步加强的趋势，主要表现在对三角函数的图象与性质的考查上有所加强.

2.对本章内容一般以选择、填空题形式进行考查，且难度不大，从1993年至2002年考查的内容看，大致可分为四类问题（1）与三角函数单调性有关的问题；（2）与三角函数图象有关的问题；（3）应用同角变换和诱导公式，求三角函数值及化简和等式证明的问题；（4）与周期有关的问题

3.基本的解题规律为：观察差异（或角，或函数，或运算），寻找联系（借助于熟知的公式、方法或技巧），分析综合（由因导果或执果索因），实现转化.解题规律：在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解；在最值问题和周期问题中，解题思路是合理运用基本公式将表达式转化为由一个三角函数表达的形式求解.

【例1】求值：

?

+??

??+?+?80cot 40csc 10sin 20tan 10cos 20sin 2.

解：原式的分子?

?

?+??+

?=20cos 10sin 20sin 20cos 10cos 20sin 2

??+?=20cos 10cos 20sin 2?

?

+?=20cos 10cos 40sin

320cos 20cos 60sin 220cos 80sin 40sin =?

?

?=??+?=

，

原式的分母＝

?

?

+?=??+?80sin 80cos 40cos 280sin 80cos 40sin 1 ()??+?+?=80sin 80cos 40cos 40cos ??

?+?=80sin 20cos 60cos 240cos

310cos 10cos 30cos 280sin 20cos 40cos =?

?

?=??+?=

，

所以，原式＝１．

【变式】1、求值

()

?

+??+?+?10cos 110tan 60tan 110cos 40cos 2

解：()()2

5cos 25cos 45cos 225cos 250cos 40cos 25cos 21060cos 240cos 25cos 210sin 23

10cos 21240cos 25cos 210sin 310cos 40cos 2=?

??=??+?=??-?+?=?

??

?

? ???+?+?=??+?+?=·原式 【变式】2、求0

2

2

10sin 21)140

cos 1140

sin 3(

?-

。

分析：原式=

202020210sin 21

140cos 140sin 140sin 140cos 3?

-

16160sin 200sin 1680cos 80sin 200sin 810sin 2180sin 4

1200sin 80sin 410sin 21)40cos 40sin ()140sin 140cos 3)(140sin 140cos 3(0

000002000

2000000=-=-=??-=?

-+-= 【例2】（三兄弟）已知23523sin cos π

απαα<

<=-，且，求α

α

αtan 1sin 22sin 2

-+的值

解：原式=α

αααααsin cos cos sin 2cos 2sin 2-+=()αααααsin cos sin cos 2sin -+

∵5

2

3αsin αcos =-，上式两边平方，得：2518α2sin 1=-

∴2572sin =

α；又∵2

3π

απ<< ∴0sin cos 0sin 0cos <+<<αααα，，

∴()()ααααααcos sin 4sin cos sin cos 22+-=+()25

322sin 2sin cos 2=

+-=ααα ∴524sin cos -=+αα，∴原式5

2

3524257???? ??-

?=

7528-= 【变式】（05

天津）已知7sin()24

1025π

αα-

=

=，求sin α及tan()3

π

α+． 【解析】：由题设条件，应用两角差的正弦公式得

)cos (sin 22)4sin(1027ααπα-=-=，即5

7

cos sin =-αα ①

由题设条件，应用二倍角余弦公式得

)sin (cos 5

7

)sin )(cos sin (cos sin cos 2cos 25722ααααααααα+-=+-=-== 故51

sin cos -=+αα ②

由①和②式得53sin =α，5cos =α

因此，4

3

tan -=α，由两角和的正切公式

11325483

343344

33143

3tan 313tan )3tan(-=+-=+

-

=-+=+ααπα 【例3】（最值辅助角）已知函数f (x )=2a sin 2x －23a sin x cos x +a +b －1，（a 、b 为常数，a <0），它的定义域为[0,2

π

]，值域为[－3,1]，试求a 、b 的值。

解：f (x )=2a sin 2x －23a sin x cos x +a +b －1 =a (1－cos2x )－3a sin2x +a +b －1 =－2a sin 12)6

π2(-+++b a x

∵0≤x ≤

π2 ∴π6≤2x +π6≤π6

7 ∴1)6π

2sin(21≤≤+-x

∵a <0 ∴a ≤－2a sin ()26x +π

≤－2a

∴3a +b －1≤－2a sin ()26

x +π

+2a +b －1≤b －1

∵值域为[－3,1] ∴???-=-+=-31311b a b ∴??

???

=-=2

34b a 【变式】已知00

<α<β<900

，且sin α，sin β是方程-

+-020240cos x )40cos 2(x 2

1

=0的两个实数根，求sin(β-5α)的值。

解：由韦达定理得sin α+sin β=2cos400

，sin αsin β=cos 2

400

-2

1 ∴ sin β-sin α=)40cos 1(2sin sin 4)sin (sin )sin (sin 0222-=βα-β+α=α-β040sin 2= 又sin α+sin β=2cos400

∴ ???

????=-=α=+=β0000005

sin )40sin 240cos 2(21sin 85sin )40sin 240cos 2(21sin

∵ 00<α<β< 90

∴ ?????=α=β005

85 ∴ sin(β-5α)=sin600

=

23

【例4】（最值二次型）已知 αβαβαπ

βπ

2222sin 2

1

sin sin 2sin 2sin 34

6

-

=-<

≤-

，试求，的最值。 解：∵4

πβ6π<≤-

∴-22

sin 21<

≤β，21sin 02<≤β ∴1sin 202<≤β ∵23222sin sin sin βαα=- ∴03212≤-

即???????<<-≤≤≤??????<--≥-1sin 3

10sin 1sin 32

01sin 2sin 30sin 2sin 322

ααααααα或 ∴ 1αsin 3

2

0αsin 31<≤≤<-或

y=4

1)21(sin sin 21)sin 2sin 3(21sin 21

sin 22222--=--=-αααααβ 当sin α∈[

32，1]时函数y 递增，∴当sina=23

时 y min =92

-； 当sin α∈(31-

，0)时，函数y 递减，∴当sin α=0时，y min =2

1

∴ 故当)sin 2

1(sin ,92)sin 21(sin 32sin 22min 22αβαβα--=-=时，无最大值

【变式】设关于x 的函数y =2cos 2x －2a cos x －(2a +1)的最小值为f (a )，试确定满足f (a )=2

1

的a 值，并对此时的a 值求y 的最大值.

解：由y =2(cos x －2a )2－2

2

42+-a a 及cos x ∈［－1，1］得：

f (a )??

?

????≥-<<-----≤)2( 41)22( 122)2( 12a a a a a

a ∵f (a )=

21,∴1－4a =21?a =8

1

?［2,+∞) 故－22a －2a －1=2

1

，解得：a =－1，此时，

y =2(cos x +21)2+2

1

，当cos x =1时，即x =2k π，k ∈Z ，y max =5.

【例5】（角的变换）已知

2π＜β＜α＜4π3,cos(α－β)=1312,sin(α+β)=－5

3

,求sin2α的值_________. 解：∵

2π＜β＜α＜4π3,∴0＜α－β＜4π.π＜α+β＜4

π

3, ∴sin(α－β)=.5

4

)βα(sin 1)βαcos(,135)βα(cos 122-=+--=+=

-- ∴sin2α=sin ［(α－β)+(α+β)］

=sin(α－β)cos(α+β)+cos(α－β)sin(α+β)

.65

56)53(1312)54(135-=-?+-?=

【变式】（1）已知8cos(2α+β)+5cos β=0，求tan(α+β)·tan α的值； （2）已知

5cos 3sin cos sin 2-=θ

-θθ

+θ，求θ+θ2sin 42cos 3的值。

解：（1）从变换角的差异着手。 ∵ 2α+β=(α+β)+α，β=(α+β)-α ∴ 8cos[(α+β)+α]+5cos[(α+β)-α]=0 展开得：13cos(α+β)cos α-3sin(α+β)sin α=0 同除以cos(α+β)cos α得：tan(α+β)tan α=3

13

（1）以三角函数结构特点出发 ∵

3tan 1tan 2cos 3sin cos sin 2-θ+θ=θ-θθ+θ ∴ 53

tan 1

tan 2-=-θ+θ ∴ tan θ=2

∴ 5

7

tan 1tan 8tan 33cos sin cos sin 8)sin (cos 32sin 42cos 3222222=θ

+θ

+θ-=

θ

+θθ

θ+θ-θ=

θ+θ 【例6】已知奇函数f (x )的定义域为实数集,且f (x )在[0,)+∞上是增函数，当02

π

θ≤≤

时，是否存在这样的实数m ，

使2

(42cos )(2sin 2)(0)f m m f f θθ--+>对所有的[0,]2

π

θ∈均成立？若存在，求出所有适合条件的实数m ；

若不存在，说明理由。 解：()f x Q

为奇函数，()()()(0)0f x f x x R f ∴-=-∈∴=

2(42cos )(2sin 2)0f m m f θθ--+>Q 2(42cos )(2sin 2)f m m f θθ∴->+

又()f x Q

在[]0,+∞上是增函数，且()f x 是奇函数 ()f x ∴是R 上的增函数，

22

42cos 2sin 2

cos cos 220

m m m m θθθθ∴->+∴-+-> []0,,cos 0,12πθθ??

∈∴∈????Q ，令[]cos (0,1)l l θ=∈

∴满足条件的m 应该使不等式2220l mt m -+->对任意[]0,1m ∈均成立。

设

2

2()22()222

m g t l mt m l m =-+-=-+-，由条件得 02(0)0

m

g ??或 012()02

m

m g ?≤≤???

?>??或 12(1)0

m

g ?>???>?

解得，42m -<≤或2m > 即m

存在，取值范围是(4)-+∞

【变式】已知函数3

2

1()43cos ,32f x x x θ=-+

其中,x R θ∈为参数，且0.2

π

θ≤≤ （1）当cos 0θ=时，判断函数()f x 是否有极值；

（2）要使函数()f x 的极小值大于零，求参数θ的取值范围；

（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数θ，函数()f x 在区间(21,)a a -内都是增函数，求实数a 的取值范围。 解：（1）当cos 0θ=时31()4,32

f x x =+则()f x 在(,)-∞+∞内是增函数，故无极值。

（2）2

'()126cos ,f x x x θ=-令'()0,f x =得 12cos 0,.2

x x θ

==

由02

π

θ≤≤

及（I ），只需考虑cos 0θ>的情况。

当x 变化时，'()f x 的符号及()f x 的变化情况如下表：

因此，函数()f x 在cos 2x θ=

处取得极小值cos (),2f θ且3cos 11

()cos .2432

f θθ=-+ 要使cos ()0,2f θ>必有311cos 0,432θ-+>可得10cos ,2θ<<所以32

ππθ<<

（3）由（2）知，函数()f x 在区间(,0)-∞与cos (,)2

θ

+∞内都是增函数。

由题设，函数()f x 在(21,)a a -内是增函数，则a 须满足不等式组

210a a a -

≤? 或21121cos 2

a a

a θ-

?-≥??

由（II ），参数(

,)32ππ

θ∈时，10cos .2θ<<要使不等式121cos 2a θ-≥关于参数θ恒成立，必有121.4a -≥综上，解得0a ≤或5 1.8a ≤<所以a 的取值范围是5

(,0][,1).8

-∞U

练习：

一、选择题

1.已知方程x 2+4ax +3a +1=0(a ＞1)的两根均tan α、tan β，且α，β∈(－2

π,

2π)，则tan 2β

α+的值是( )

A.

2

1

B.－2

C.

3

4 D.

2

1

或－2 二、填空题

2.已知3sin 5α=

，),2(ππα∈，1

tan()2πβ-=，则tan(2)αβ-=_________. 3.设α∈(43,4ππ)，β∈(0，4π)，cos(α－4π)=53，sin(43π+β)=13

5

，则sin(α+β)=_________.

三、解答题

4.不查表求值:

.10cos 1)

370tan 31(100sin 130sin 2?

+?+?+?

5.已知cos(4π+x )=53，(12

17π＜x ＜47π

)，求x x x tan 1sin 22sin 2-+的值.

6.已知α－β=38π，且α≠k π(k ∈Z ).求

)4β

4π(sin 42

αsin

2

αcsc )απcos(12-----的最大值及最大值时的条件.

7、已知cos α+sin β=3，sin α+cos β的取值范围是D ，x ∈D ，求函数y =10

43

2log 2

1

++x x 的最小值，并求取得最小

值时x 的值.

参考答案

一、1.解析：∵a ＞1，tan α+tan β=－4a ＜0. tan α+tan β=3a +1＞0,又α、β∈(－

2π,2π)∴α、β∈(－2

π,θ),则2βα+∈(－2π,0),又tan(α+

β)=

342

tan 12tan

2)tan(,34)13(14tan tan 1tan tan 2

=β+α-β

+α=β+α=+--=βα-β+α又a a , 整理得

2tan 2

22β

αtan 32βα-+++=0.解得tan 2

βα+=－2. 答案：B 2.解析：∵sin α=

5

3,α∈(2π,π),∴cos α=－54

则tan α=－43,又tan(π－β)=21可得tan β=－21, .34)2

1(1)

21

(2tan 1tan 22tan 2

2-=---?=

-=βββ 247)3

4()43(1)34(432tan tan 1tan tan )2tan(2

=

-?-+---=?+-=-βαβαβα 答案：247 3.解析：α∈(

4π3,4π),α－4π∈(0, 2π),又cos(α－4π)=5

3

. 6556

)sin(.

6556

13554)1312(53)43sin()4sin()43cos()4cos()]

4

3()4cos[(]2)43()4sin[()sin(.13

12)43cos(,135)43sin().,43(43).4,0(,54)4sin(=

+=?+-?-=+?-++?--=++--=-++-=+∴-=+∴=+∈+∴∈=

-

∴βαβππαβππαβπ

παπβππαβαβπβπππβππβπ

α即

三、4.答案：2

75285

3)54(25

7)

4πcos()

4π

sin(2sin sin cos cos )cos (sin sin 2cos sin 1sin 2cos sin 2tan 1sin 22sin 5

4)4πsin(,π24π3π5,π4712π17.

25

7

)4π(2cos 2sin ,53)4πcos(:.522=-?=++=-+=-

+=-+-=+∴<+<∴<<=+-=∴=+x x x x

x x

x x x x x x x x x x x x x x x x x 又解Θ )2sin 2121(42

cos 2cos

22sin 2)22cos(14

2

sin 1)

cos 1(2

sin )

4

4

(

sin 42

sin

2

csc

)cos(1:.62

2

2

2βαα

α

βπα

αα

β

π

α

α

απ--?=----+=

-

----=

t 令解

2

)3

22sin(22)21()322sin(4.32243824,382

2cos

2sin

42)2

sin

2

(sin

2---=--?-=∴-=-=-∴=---+=-+=π

απαπαπ

αβαπβαβ

αβ

αβ

α

t Θ π≠αk Θ（k ∈Z ）,3

22322π

-

π≠π-α∴

k （k ∈Z ） ∴当

,2ππ23π22α-=-k 即3ππ4α+=k （k ∈Z ）时,)π3

2

2αsin(-的最小值为－1.

7.解：设u =sin α+cos β.则u 2+(3)2=(sin α+cos β)2+(cos α+sin β)2=2+2sin(α+β)≤4.∴u 2≤1,－1≤u ≤1.即D =［－

1,1］,设t =32+x ,∵－1≤x ≤1,∴1≤t ≤5.x =2

3

2-t .

.2

1

,232,2,258log 2log 82log ,0log .82,2,42.

82

24142142104325.05.05

.0min 5.0max 2-==+==-==∴>=====≤+

=+=++=

∴x x t y M M y M t t t t

t t t x x M 此时时时是减函数在时即当且仅当Θ