2019届广东省湛江市高三调研测试题数学(理科)试题(word版)
湛江市2019年普通高考测试(一)理科数学卷
51 ∩ 50 ∩
50
n＞i？ 是 输出 e 结束
50 ∩ 49 ∩
49
2. 下列函数中既不是奇函数，又不是偶函数的是 A. y=x3-x B. y=e|x| C. y= lnx D. y=sinx
OO OO OO OO OO D =D C ，A E = 1 OO EC ，且 AD 与 BE 相交于点 O，则O A· O B= 9. 在正三角形 ABC 中，AB=2，B 2 A. - 4 5 B. - 3 4 C. - 2 3 D. - 1 2
2 2 已知椭圆 E： x2 + y 2 =1 （ a>b>0）过点 Q 姨 2 ， 姨 3 a b 2 2
▲
名.
（ a ， b > 0）的 左 、 右 焦 点 分 别 为 F1 ， F2 ， P 为 E 右 支 上 一 点 ， 15. 若 双 曲 线 E ： x2 - y 2 = 1 a b PF1 = F1F2 ，∠PF1F2=30°，△PF1F2 的面积为 2，则 a= ▲ . 16. 已知空间直角坐标系中的四个点 A （ 4，1，1），B （ 4，-2，-1），C （ -2，-2，-1），D （ -2，1，-1）. 经过 A，B，C，D 四点的球记作球 M. 从球 M 内部任取一点 P， 则点 P 落在三棱锥 A-BCD 内部的概率是 ▲ . 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每 个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （ 一）必考题：共 60 分. 17.（ 12 分） 在等差数列 △ an △ 和等比数列 △ bn △ 中，a2=0，b2=1，且 a3=b3，a4=b4. （ 1）求 an 和 bn； 2）求数列 △ nbn △ 的前 n 项和 Sn. （ 12 分） 18.（ 如图， 在四棱锥 P-ABCD 中， 底面 ABCD 为菱形，且 ∠DAB=60°，平面 PAB⊥平面 ABCD，点 E 为 BC 中点，点 F 22 22 F =1 F A ，AP=PB= 姨 2 AB= 姨 2 ． 满足P 2 2 （ 1）求证：PC∥平面 DEF； （ 2）求二面角 F-DE-B 的余弦值． 19.（ 12 分） 在一次高三年级统一考试中，数学试卷有一道满分 10 分的选做题，学生可以从 A，B 两 道题目中任选一题作答. 某校有 900 名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该 选做题的得分情况， 计划从 900 名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为 10 的样本，为 此将 900 名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为 001~900. （ 1）若采用随机数表法抽样，并按照以下随机数表，以方框内的数字 5 为起点，从左向右 依次读取数据，每次读取三位随机数，一行读数用完之后接下一行左端. 写出样本编号的中位数； 05 26 93 70 60 07 97 10 88 23 51 26 87 85 85 26 99 61 65 53 14 65 52 68 75 22 35 85 15 13 09 98 42 99 64 54 87 66 47 54 58 37 78 80 70 87 59 36 22 41 92 03 51 59 77 61 71 62 99 15 73 32 08 11 12 42 10 50 67 42 26 78 63 06 55 59 56 78 06 83 06 51 29 16 93 44 95 92 63 16 32 17 55 85 74 13 08 27 01 50 52 91 05 70 74 58 05 77 09 51 29 56 24 29 48 94 44 67 16 94 15 29 39 39 43
2019广东湛江普通高考第二次重点试题—数学(理)
2019广东湛江普通高考第二次重点试题—数学（理）注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！无论是单选、多选还是论述题，最重要的就是看清题意。
在论述题中，问题大多具有委婉性，尤其是历年真题部分，在给考生较大发挥空间的同时也大大增加了考试难度。
考生要认真阅读题目中提供的有限材料，明确考察要点，最大限度的挖掘材料中的有效信息，建议考生答题时用笔将重点勾画出来，方便反复细读。
只有经过仔细推敲，揣摩命题老师的意图，积极联想知识点，分析答题角度，才能够将考点锁定，明确题意。
如果事件A ，B 互斥，那么).()()(B P A P B A P +=+ 如果事件A ，B 相互独立，那么)()()(B P A P AB P =A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件的最小值为7.假设函数的零点与()224-+=x x g x的零点之差的绝对值不超过0.25,那么()x f 可以是8.对一个定义在R 上的函数()x f 有以下四种说法：①()()x f x f R x +=-∈∀11,；②在区间〔-∞，0)上单调递减； ③对任意021>>x x 满足()()21x f x f >；④是奇函数.那么以上说法中能同时成立的最多有 A.1个B.2个C.3个D.4个【二】填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每题5分，总分值30分.(一〕必做题(9〜13题〕9.向量m=(1，3)，n=(x ，1)，假设m 丄n ，那么x =________11.曲线233x x y +-=在点〔1，2)处的切线方程为_______.用上述变换中的两种变换，将函数x y sin =的图象变换到函_______(填上一种你认为正确的答案即可〕.13.运行如下图框图，坐标满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-+30203x y x y x 的点共有_______个.(二〕选做题〔14〜15题，考生只能从中选做一题〕 14.(几何证明选讲选做题)如图，ABC Rt ∆中，，︒=∠︒=∠30,90A C 圆O 经过B 、C 且与AB 、AC 分别相交于15.(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为.⎩⎨⎧-=+=t y t x 33〔参数R t ∈)，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+==2sin 2cos 2θθy x 〔参数)2,0[πθ∈〕，那么圆心到直线l 的距离为______【三】解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题总分值12分)在ΔABC 中，角A ，B，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积(1) 求角C 的大小；(1) 求数列{}n a 的通项公式；(2)假设[x ]表示不超过实数x 的最大整数，如[3.2]=3，[-1.3]=-2等，函数()][x x f =，18.(本小题总分值14分)某市为了解今年高中毕业生的身体素质状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行实心球测试，成绩在8米及以上的为合格.把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图〕，第一小组为[5，6)，从左到右前5个小组的频率分别为0.06,0.10,0.14,0.28,0.30.第6小组的频数是6. (1) 求这次实心球测试成绩合格的人数； (2) 用此次测试结果估计全市毕业生的情况.假设从今年的高中毕业生中随机抽取两名，记X 表示两人中成绩不合格．．．的人数，求X 的分布列及数学期望； (3) 经过多次测试后，甲成绩在8〜10米之间，乙成绩在9.5〜10.5米之间，现甲、乙各投一次，求甲投得比乙远的概率.19. (本小题总分值14分)如图，五面体EF-ABCD 中，ABCD 是以点H 为中心的正方形，E F//AB ，EH 丄平面ABCD ，AB=2，E F=EH=1.(1) 证明：平面ADF 丄平面ABCD; (2) 求五面体EF —ABCD 的体积；(3) 设N 为EC 的中点,假设在平面ABCD 内存在一点M,使MN 丄平面BCE ，求MN 的长.20. (本小题总分值14分〕抛物线m m mx y ,0(2>=为常数〕的焦点是F(1，0)，()00,y x P 是抛物线上的动点，定点A(2，0).(1) 假设20>x ，设线段AP 的垂直平分线与X 轴交于()0,1x Q ,求1x的取值范围；(1) 求a 与b的关系式(用a 表示b )，并求()x f 的单调区间；参考答案【一】选择题：本大题共8小题、每题5分、共40分、 1、A2、D3、C4、C5、B6、D7、A8、B【二】填空题：本大题共7小题、考生作答6小题。
广东省湛江市2019届高三高考模拟测试(二)理科数学试卷及解析
…………○……名：___________班级：____…………○……广东省湛江市2019届高三高考模拟测试（二）理科数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.若复数z 满足2z −z̅=3+12i ，其中i 为虚数单位，z̅是z 的共轭复数，则复数z 在复平面内对应的点所在的象限是（ ） A. 一 B. 二C. 三D. 四2.已知全集U=Z,A ={1,2,3,4}, B ={x |(x +1)(x −3)>0,x ∈Z }，则集合A ∩(C U B )的子集个数为（ ） A. 2B. 4C. 8D. 163.已知实数m 是给定的常数，函数f(x)=mx 3−x 2−2mx −1的图象不可能是( )A. B. C. D.4.平行四边形ABCD 中，∠BAD =120∘,|AB ⃑⃑⃑⃑⃑ |=2,|AD ⃑⃑⃑⃑⃑ |=3, BE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =13BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ,CF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =12CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，则AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =（ ） A. 3B. 32C. −3D. −325.设F 1,F 2分别为离心率e=√5的双曲线C:x 2a −y 2b =1(a >0,b >0)的左、右焦点，A 1,A 2分别为双曲线C 的左、右顶点，以F 1,F 2为直径的圆交双曲线的渐近线l 于M,N 两点，若四边形MA 2NA 1的面积为4，则b =（ ）A. 2B. 2√2C. 4D. 4√26.现有甲班A,B,C,D 四名学生，乙班E,F,G 三名学生，从这7名学生中选4名学生参加某项活动，则甲、乙两班每班至少有1人，且A 必须参加的方法有（ ） A. 10种B. 15种C. 18种D. 19种答案第2页，总16页……装……※※不※※要※※在※……装……7.在ΔABC 中，内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，且acosB =(4c −b )cosA ，则cos2A =（ ）A. −78B. −18C. 78D. 188.一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数.设这个整数为a ，当a ∈[2,2019]时，符合条件的a 共有（ ） A. 133个B. 134个C. 135个D. 136个9.已知α,β,γ是三个不同的平面，m,n 是两条不同的直线，给出下列命题： ①若m//α,n ⊂α，则m//n ；②若α∩β=m,m//n ，且n ⊄α,n ⊄β，则n//α,n//β； ③若n ⊥α,m ⊂β,α//β，则m ⊥n ；④ α⊥γ,β⊥γ,α∩β=m,n ⊂γ，则m ⊥n .其中真命题的个数是（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 410.把函数y=f (x )的图像向左平移2π3个单位长度，再把所得的图像上每个点的横、纵坐标都变为原来的2倍，得到函数g (x )的图像，并且g (x )的图像如图所示，则f (x )的表达式可以为（ ）A. f (x )=2sin (x +π6)B. f (x )=sin (4x +π6)C. f (x )=sin (4x −π6)D. f (x )=2sin (4x −π6)11.已知直线l 不过坐标原点O ，且与椭圆C:x 24+y 23=1相交于不同的两点A,B,ΔOAB 的面积为√3，则|OA |2+|OB |2的值是（ ） A. 4B. 7C. 3D. 不能确定12.已知函数f (x )=1−22x +1，当x≥0时，不等式f (ax 2+x )+f (1−e x )≤0恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. (−∞,1]B. (0,1]C. (−∞,12] D. (0,12]…………装……:___________姓名：__…………装……第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）13.已知函数f (x )=e x cosx +x 5，则曲线y =f (x )在点(0,f (0))处的切线方程是_______．14.若实数x,y 满足不等式组{2x +y −4≤0,x −y +m ≥0,y ≥0,，且z =x −2y 的最小为0，则实数m =______．15.设a∈(0,π2),β∈(0,π2)，且sinβcosβ=1+cos2α2cosα+sin2α，则tan (α+2β+π4)=______．16.圆锥Ω的底面半径为2，其侧面展开图是圆心角大小为180∘的扇形.正四棱柱ABCD−A ′B ′C ′D ′的上底面的顶点A ′,B ′,C ′,D ′均在圆锥Ω的侧面上，棱柱下底面在圆锥Ω的底面上，则此正四棱柱体积的最大值为_____．三、解答题（题型注释）17.S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S n =−12n 2+212n . （1）求{a n }的通项公式； （2）设b n=1a2n a 2n+2,T n=b 1+b 2+⋯+b n ，求T n .18.三棱锥A −BCD 中，底面ΔBCD 是等腰直角三角形，BC =BD =2,AB =√2，且AB ⊥CD,O为CD 中点，如图.（1）求证：平面ABO ⊥平面BCD ；（2）若二面角A −CD−B 的大小为π3，求AD 与平面ABC 所成角的正弦值. 19.某小区为了调查居民的生活水平，随机从小区住户中抽取6个家庭，得到数据如下：答案第4页，总16页参考公式：回归直线的方程是：ŷ=b̂x+â，其中，b̂=∑(x i−x̅)(y i−y̅)ni=1∑(x i−x̅)2ni=1=∑x i y i−nx̅y̅ni=1∑x i2−nx̅2ni=1,â=y̅−b̂x̅.（1）据题中数据，求月支出y（千元）关于月收入x（千元）的线性回归方程（保留一位小数）；（2）从这6个家庭中随机抽取3个，记月支出超过6千家庭个数为ξ，求ξ的分布列与数学期望. 20.已知动圆P过定点F(12,0)，且和直线x=−12相切，动圆圆心P形成的轨迹是曲线C，过点Q(4,−2)的直线与曲线C交于A,B两个不同的点.（1）求曲线C的方程；（2）在曲线C上是否存在定点N，使得以AB为直径的圆恒过点N？若存在，求出N点坐标；若不存在，说明理由.21.已知正实数a，函数g(x)=2a3x3−12(a+2)x2+x(x>0),f(x)=ax2−(a+2)x+ lnx+2.（1）讨论函数g(x)的单调性；（2）若f(x)<0在x∈[12,1]内有解，求a的取值范围.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，点M(0,1)，直线l:{x=2ty=1+t（t为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为7ρ2+ρ2cos2θ=24. （1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于点A,B，求1|MA|+1|MB|的值.23.选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)=|x−1|,g(x)=|2x+3|.（1）解不等式f(x)−g(x)≥2；（2）若2f(x)≤g(x)+m对于任意x∈R恒成立，求实数m的最小值，并求当m取最小值时x的范围.参数答案1.A【解析】1.利用复数的运算法则、共轭复数的定义和几何意义即可得出． 设z=a +bi,则2a +2bi −(a −bi )=3+12i 即a +3bi =3+12i,故{a =33b =12解a=3,b=4,z =3+4i ，则复数z 在复平面内对应的点在第一象限故选：A 2.C【解析】2.先求B.再求C U B ，求得A ∩(C U B )则子集个数可求由题C U B ={x |(x +1)(x −3)≤0,x ∈Z }={x |−1≤x ≤3,x ∈Z }=={−1,0,1,2,3}, 则集合A ∩(C UB )={1,2,3},故其子集个数为23=8故选：C 3.D【解析】3.令m=0,排除D,对函数求导，确定其极值点的正负即可判断. 当m=0,C 符合题意，当m ≠0，f ′(x )=3mx 2−2x −2m,∆=4+24m 2>0,设3mx 2−2x −2m =0的两根为x 1，x 2,则x 1x 2=−23<0,则两个极值点x 1，x 2异号，则D 不合题意，故选:D. 4.B【解析】4.将AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，AF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 分别表示为向量AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 及AD⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的和，利用数量积的定义求值即可 由题AF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ , AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +BE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +1AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑答案第6页，总16页则AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =（AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 2）（AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +13AD⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ）= 32故选：B 5.A【解析】5. 由e=√得渐近线方程与圆的方程x 2+y 2=c 2联立得M 坐标，利用四边形面积得a,c 的方程求解即可得b 由题e=√5=c a,∴b a=2,故渐近线方程为y =2x, 以F 1,F 2为直径的圆的方程为x 2+y 2=c 2，联立{x 2+y 2=c 2y =2x，得y=±√5,由双曲线与圆的对称性知四边形MA2NA 1为平行四边形，不妨设y M=5,MA 2NA 1的面积S=2a ×√5=4,得ac=√5,又√5=ca ，得a=1,c=√5,b =2故选：A 6.D【解析】6.分情况讨论甲乙两个班的人数求解即可 由题按甲乙班参加人数分情况讨论如下： 若甲班1人，乙班3人，共1种方法； 若甲班2人，乙班2人，共C 31C 32=9种方法；若甲班3人，乙班1人，共C 32C 31=9种方法；故甲、乙两班每班至少有1人，且A 必须参加的方法有1+9+9=19种 故选：D 7.A【解析】7.根据题目条件结合三角形的正弦定理以及三角形内角和定理可得sin A∵acosB ＝（4c ﹣b ）cosA ． ∴sinAcosB ＝4sinCcosA ﹣sinBcosA即sinAcosB+sinBcosA ＝4cosAsinC∴sinC ＝4cosAsinC ∵0＜C ＜π，sinC ≠0．∴1＝4cosA ，即cosA =14，则cos2A =2cos 2A −1=−78故选：A ． 8.C【解析】8.由题设a=3m+2=5n+3,m,n ∈N ∗,得3m=5n+1，对m 讨论求解即可 由题设a=3m+2=5n+3,m,n ∈N ∗,则3m=5n+1当m=5k,n 不存在； 当m=5k+1，n 不存在 当m=5k+2,n=3k+1，满足题意 当m=5k+3,n 不存在； 当m=5k+4,n 不存在； 故2≤a=15k+8≤2019,解−615≤k ≤201115,k ∈Z,则k=0,1,2…134,共135个故选：C 9.C【解析】9.利用线面关系逐项分析即可 对①若m//α,n⊂α，则m//n 或m,n 异面，故错误；对②，由线面平行的判定定理知：若α∩β=m,m//n ，且n ⊄α,n ⊄β，则n//α,n//β，正确对③，若n⊥α,α//β，则m ⊥β，m ⊂β,则m ⊥n ，正确对④，设α⋂γ=a,β⋂γ=b,在面γ内任取点O,作OA ⊥a, OB ⊥b,由α⊥γ,β⊥γ，得OA ⊥α, OB ⊥β,故OA ⊥m, OB ⊥m,则m ⊥γ，又n ⊂γ，则m ⊥n ，正确综上真命题的个数是3个 故选：C 10.B答案第8页，总16页【解析】10.根据条件先求出φ和ω，结合函数图象变换关系进行求解即可． ∵g （0）＝2sin φ＝1，即sin φ=12，∴φ=5π6+2kπ,或φ=π6+2kπ,k ∈Z （舍去）则g （x ）＝2sin （ωx +5π6），又7π12ω+5π6=2kπ,k ∈Z,∴ω=(2k −56)×127,当k=1,ω=2 即g （x ）＝2sin （2x +5π6），把函数g （x ）的图象上所有点的横坐标缩短到到原来的12，得到y ＝2sin （4x +5π6），再把纵坐标缩短到到原来的12，得到y ＝sin （4x +5π6），再把所得曲线向右平移2π3个单位长度得到函数g （x ）的图象，即g （x ）＝sin[4（x -2π3）+5π6]＝sin [4x −8π3+5π6]=sin (4x −11π6)=sin (4x +π6)故选：B ． 11.B【解析】11.k 不存在时, 设直线x=t>0,得A,B 坐标进而得|OA |2+|OB |2=7；k 存在时，设直线方程y =kx +m,与椭圆联立，由面积公式结合韦达定理化简得3+4k 2=2m 2，进而得|OA |2+|OB |2的值即可由题直线斜率k 不存在时，设直线x=t>0，则A(t,√3−34t 2), B(t,−√3−34t 2),S=t√3−34t 2=√3,解t=√2, 则|OA |2+|OB |2=7k 存在时，设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，y=kx +m, 与椭圆C:x 24+y 23=1联立得(3+4k 2)x 2+8kmx +4(m 2−3)=0,∆=48(4k2+3−m 2),x 1+x 2=−8km 3+4k2,x 1x 2=4(m 2−3)3+4k2,|AB |=√1+k 2×4√3√4k 2+3−m 23+4k2，点O 到直线l 的距离d=√1+k ∴S ∆AOB =12×√1+k 2×√3√4k 2+3−m 23+4k 2√1+k 2=2√3|m |√4k 2+3−m 23+4k =√3，得3+4k 2=2m 2，即k 2=2m 2−34①又x 124+y 123=1,x 224+y 223=1, |OA |2+|OB |2=14(x 12+x 22)+6=14[(x 1+x 2)2−2x 1x 2]+6=8k 2m 2−6m 2+18+24k2(3+4k 2)2+6=8k 2m 2−6m 2+18+24k24m4+6 将①代入得|OA |2+|OB |2=7故选：B 12.C【解析】12.由题判断f (x )为奇函数且单调递增，转化f (ax 2+x )+f (1−e x )≤0为f (ax 2+x )<f (e x −1)恒成立，利用单调性得ax 2+x <e x −1,分离a 求导求范围即可易知f (x )=1−22x +1单调递增，f (x )=1−22x +1=2x −12x +1，则f (−x )=2−x −12−x +1=1−2x 2x +1=− f (x )，故f (x )为奇函数，当x≥0时，不等式f (ax 2+x )+f (1−e x )≤0恒成立等价为f (ax 2+x )≤−f (1−e x )即f (ax 2+x )≤f (e x −1)恒成立，故ax 2+x ≤e x −1在x ≥0时恒成立当x=0时，0≤0恒成立，a ∈R当x>0时，a ≤e x −1−x x 2,设g (x )=e x −1−x x 2,则g ′(x )=x+2+e x (x−2)x3 设h (x )= x +2+e x (x −2),ℎ′(x )=e x (x −1)+1,ℎ′′(x )=xe x >0,则ℎ′(x )单增，又ℎ′(1)=0，则当0<x<1,ℎ′(x )<0, 当x>1,ℎ′(x )>0,故h (x )≥h (1)=0，即g ′(x )≥0，故g (x )单调递增，当x →0,g (x )→12,故a ≤12，综上a ≤12故选：C 13.y =x +1【解析】13.求导，x=0代入求k ，点斜式求切线方程即可f ′(x )=e x (cosx −sinx )+5x 4,则f ′(0)=1，又f (0)=1故切线方程为y=x+1 故答案为y=x+1答案第10页，总16页………装…………○…………订……请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※………装…………○…………订……14.−45【解析】14.画出可行域，由z 的几何意义确定其最小值，列m 的方程求解即可 画出可行域如图阴影部分所示： 当z=x −2y 过A 时取得最小值，联立{2x +y −4=0x −y +m =0得A (4−m 3,4+2m 3),则4−m 3+2×4+2m3=0，解m=−45故答案为−4515.−1【解析】15.sinβcosβ=1+cos2α2cosα+sin2α=2cos 2α2cosα+2sinαcosα=cosα1+sinα=cos 2α2−sin 2α2(sin α2+cos α2)2=cos α2−sin α2sin α2+cos α2=1−tan α21+tanα2=tan (π−α)……○…………装学校:___________姓……○…………装故tan β=tan (π4−α2)又a∈(0,π2),π4−α2∈(0,π4)，∴β=π4−α2，故2β=π2−α，则tan (α+2β+π4)=则tan (3π4)=−1故答案为−116.64√327【解析】16.设圆锥的母线长为l ，由侧面展开图求得l =4,进而得圆锥高为2√3，设正四棱柱ABCD −A ′B ′C ′D ′的底面边长为2a,高为h,进而得2−√2a2=23，正四棱柱体积V=4a 2ℎ=4a 2(2√3−√6a),设函数f (a )=4a 2(2√3−√6a)，求导求其最值即可设圆锥的母线长为l,圆锥底面周长为2π×2=4π=π×l,∴l =4,∴圆锥高为√42−22=2√3设正四棱柱ABCD −A ′B ′C ′D ′的底面边长为2a,高为h,则2−√2a2=23,得2√3−√6a =ℎ, 正四棱柱体积V=4a 2ℎ=4a 2(2√3−√6a),设f (a )=4a 2(2√3−√6a),f ′(a )=4a(4√3−3√6a),令f ′(a )=0得a=2√23,当0<a <2√23,f ′(a )>0;a >2√23,f ′(a )<0,故f (a )的最大值为f (2√23)=64√327故答案为64√32717.（1）a n =−n +11（2）T n =−118−14n−18【解析】17. （1）当n≥2时，a n =s n −s n−1=−n +11，检验n =1成立即可求解；（2）由b n =答案第12页，总16页1a 2n +a 2n+2=12(12n−11−12n−9)裂项相消求和即可 （1）当n ≥2时，a n =s n −s n−1=−12n 2+212n +12(n −1)2 −212(n −1)=−n +11当n=1时，满足上式，∴a n =−n +11（2）由a n =−n +11可得b n=1a2n +a 2n+2=1(2n−11)(2n−9)=12(12n−11−12n−9)∴T n =12[(1−9−1−7)+(1−7−1−5)+⋯+(12n−11−12n−9)]=12(1−9−12n −9) =−118−14n −1818.（1）见证明；（2）√427【解析】18. （1）证明CD⊥平面ABO ，即可证明平面ABO ⊥平面BCD （2）证明∠AOB 为二面角A −CD −B 的平面角，得∠AOB=π3，进而得ΔABO 为等边三角形，以B 为原点，建立空间直角坐标系，求平面ABC的法向量n⃑⃑ ，利用向量的线面角公式求解即可 （1）证明：ΔBCD 是等腰直角三角形，BC=BD =2,O 为CD 中点，∴BO ⊥CD∵AB ⊥CD,AB ∩BO =B,∴CD ⊥平面ABO ∵CD ⊂平面BCD,∴平面ABO ⊥平面BCD（2）∵CD ⊥平面ABO,∴CD ⊥AO∴∠AOB 为二面角A −CD −B 的平面角，∴∠AOB =π3∵BO =√2,∴AB =BO,∴ΔABO 为等边三角形，以B 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则B (0,0,0),C (2,0,0), A (12,12,√62),D (0,2,0)BA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(12,12,√62),BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(2,0,0), AD⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(−12,32,−√62) 设平面ABC 的法向量n ⃑⃑ =(x,y,z )，则{BA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅n ⃑⃑ =0,BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅n ⃑⃑ =0, 即{12x +12y +√62z =02x =0…………○……号：___________…………○……取n⃑⃑ =(0,√6,−1) 设AD 与平面ABC 所成角为θ，则sinθ=|cos⟨n ⃑ ,AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ⟩|=3√62+√6212×√1+9+6×√7=√427故AD 平面ABC 所成角的正弦值为√427.19.（1）y ̂=−0.2x −0.6（2）见解析【解析】19.（1）先求x ̅，y ̅,再利用公式求b ̂，a ̂即可；（2）由超几何分布列分布列求期望即可 （1）x̅=20+30+35+40+48+556=38,y ̅=4+5+6+8+8+116=7 b ̂= (20×4+30×5+35×6+40×8+48×8+55×11)−6×38×7202+302+352+402+482+552−6×382≈0.2 â=y ̅−bx ̅=7−0.2×38=−0.6 所以月支出y 关于x 月收入的线性回归方程是：y ̂=−0.2x −0.6 （2）ξ的可能取值为0,1,2,3P (ξ=0)=C 33⋅C 30C 63=120, P (ξ=1)=C 32⋅C 31C 63=920,P (ξ=2)=C 31⋅C 32C 63=920, P (ξ=3)=C 30⋅C 33C 63.故ξ的分布列为：数学期望E (ξ)=0×120+1×920+2×920+3×120=1.5.20.（1）y 2=2x （2）见解析答案第14页，总16页【解析】20.（1）由抛物线定义确定P的轨迹方程，（2）设A(x1,y1),B(x2,y2)，直线的方程为l AB:x=n(y+2)+ 4，代入抛物线方程，整理得y2−2ny−4n−8=0,设存在定点N(x0,y0)，由K NA⋅K NB=−1，代入韦达定理整理得(2y0−4)n+y02−4=0，利用{2y−4=0,y2−4=0,即可得y0=2,x0=2（1）设动圆圆心P到直线x=−12的距离为d，根据题意，d=|PF|∴动点P形成的轨迹是以F(12,0)为焦点，以直线x=−12为准线的抛物线，∴抛物线方程为y2=2x.（2）根据题意，设A(x1,y1),B(x2,y2)，直线的方程为l AB:x=n(y+2)+4，代入抛物线方程，整理得y2−2ny−4n−8=0,Δ=4n2+16(n+2)=4(n2+4n+8)>0,y 1+y2=2n,y1y2=−4n−8若设抛物线上存在定点N，使得以AB为直径的圆恒过点N，设N(x0,y0)，则y02=2x0K NA=y1−y0x1−x0=y1−y0y122−y022=2y1+y0，同理可得K NB=2y2+y0K NA⋅K NB=2y1+y0⋅2y2+y0=4y1y2+(y1+y2)y0+y0=4−4n−8+2ny0+y0=−1∴(2y0−4)n+y02−4=0,∴{2y0−4=0,y02−4=0,解得y0=2,x0=2,∴在曲线C上存在定点N(2,2)，使得以AB为直径的圆恒过点N.21.（1）见解析；（2）a>1【解析】21.（1）g′(x)=2ax2−(a+2)x+1令g′(x)=0，解得x1=12,x2=1a,讨论1a与12的大小关系确定g′(x)的符号变化求单调性即可；（2）f(x)<0在x∈[12,1]内有解，则f(x)min<0,f′(x)=2ax2−(a+2)x+1x =g′(x)x(x>0)，由（1）的讨论确定f′(x)的正负变化确定其最小值即可求解g′(x)=2ax2−(a+2)x+1令g′(x)=0，解得x1=12,x2=1a当1a <12时，即a >2时在(0,1a ),(12,+∞)上，函数g (x )单调递增，在(1a ,12)上，函数g (x )单调递减； 当1a =12时，即a =2时，函数g (x )在定义域(0,+∞)上单调递增；当1a>12时，即0<a <2时，在(0,12),(1a ,+∞)上，函数g (x )单调递增，在(12,1a)上，函数g (x )单调递减. 综上所述，当a >2时，在(0,1a ),(1a ,+∞)上，函数g (x )单调递增；在(1a ,12)上，函数g (x )单调递减；当a=2时，函数g (x )在定义域(0,+∞)上单调递增；当0<a <2时，在(0,12),(1a,+∞)上，函数g (x )单调递增，在(12,1a)上，函数g (x )单调递减. （2）若f (x )<0在x ∈[12,1]内有解，则f (x )min <0,f ′(x )=2ax −(a +2)+1x=2ax 2−(a+2)x+1x=g ′(x )x(x >0)由（1）可知，当1a≤12，即a ≥2时，∵x ∈[12,1],∴f ′(x )≥0，函数f (x )在[12,1]上单调递增，f (x )min =f (12)=a 4−a+22+ln 12+2<0，解得；a >4(1−ln2),∴a ≥2当12<1a<1，即1<a<2时，∵x ∈[12,1]∴在x ∈[1a,1]时，f ′(x )≤0，函数在上单调递减，在x ∈[1a,1]时，f ′(x )≥0，函数f (x )在[1a,1]上单调递增， ∴f (x )min =f (1a)=1a−a+2a+ln 1a+2 =−1a+1+ln 1a令1a =t ∈(12,1),ℎ(t )=−t +1+lnt (12<t <1), ℎ′(t )=−1+1t >0，函数ℎ(t )在(12,1)上单调递增.∴ℎ(t )<ℎ(1)=0恒成立，∴1<a <2当1a ≥1，即0<a ≤1时，∵x ∈[12,1],∴f ′(x )≤0，函数f (x )在[12,1]上单调递减， f (x )min =f (1)=0,f (x )min <0不成立，综上所述：a >1.22.（1）y 24+x 23=1（2）43【解析】22.（1）利用极坐标与普通的互化求解即可；（2）将直线l 的参数方程化为标准形式为：{x =5y =1+5（t 为参数），与椭圆联立，利用t 的几何意义求解1|MA |+1|MB |即可答案第16页，总16页（1）∵7ρ2+ρ2cos2θ=24∴7ρ2+ρ2(2cos 2θ−1)=24又∵ρ2=x 2+y 2,x =ρcosθ∴曲线C 的直角坐标方程为：y 24+x 23=1（2）将直线l 的参数方程化为标准形式为：{x =√5y =1+5（t 为参数），代入曲线C 方程，得19t 2+6√5t −45=0.∆>0恒成立∴t 1+t 2=−6√519,t 1t 2=−4519∴1|MA|+1|MB|=1|t 1|+1|t 2|= |t 1−t 2||t 1t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2|t 1t 2|=4323.（1）{x |−2≤x ≤−43}（2）x≤−32【解析】23.（1）零点分段去绝对值化简f (x )−g (x )解不等式即可；（2）2f (x )<g (x )+m 恒成立，即|2x −2|−|2x +3|≤m 恒成立，即m ≥(|2x −2|−|2x +3|)max ，由绝对值三角不等式求(|2x −2|−|2x +3|)max 即可求解 （1）f (x )−g (x )=|x −1|−|2x +3|当x ≤−32时，不等式化为x +4≥2，解得x ≥−2，可得−2≤x ≤−32；当−32<x <1时，不等式化为−3x −2≥2，解得x ≤−43，可得−32<x ≤−43；当x≥1时，不等式化为−x −4≥2，解得x ≤−6，可得x ∈∅.综上可得，原不等式的解集为{x |−2≤x ≤−43}.（2）若2f (x )<g (x )+m 恒成立，则|2x −2|−|2x +3|≤m 恒成立，∴m ≥(|2x −2|−|2x +3|)max又∵|2x −2|−|2x +3|≤|(2x −2)−(2x +3)|=5∴m 最小值为5.此时{(2x −2)(2x +3)≥0,(2x −2)2≥(2x +3)2,∴{x ≥1或x ≤−32x ≤−14,解得x ≤−32.。
广东省湛江市2019-2020学年高三下学期模拟数学(理)试题(word无答案)
广东省湛江市2019-2020学年高三下学期模拟数学（理）试题一、单选题(★) 1 . 已知集合，，则（）A．B．C．D．(★) 2 . 设（是虚数单位），则（）A．B．1C．2D．(★) 3 . 已知等差数列的前项和为，，，则（）A．25B．32C．35D．40(★) 4 . 某歌手大赛进行电视直播，比赛现场有名特约嘉宾给每位参赛选手评分，场内外的观众可以通过网络平台给每位参赛选手评分.某选手参加比赛后，现场嘉宾的评分情况如下表，场内外共有数万名观众参与了评分，组织方将观众评分按照，，分组，绘成频率分布直方图如下：嘉宾评分嘉宾评分的平均数为，场内外的观众评分的平均数为，所有嘉宾与场内外的观众评分的平均数为，则下列选项正确的是（）A．B．C．D．(★) 5 . 已知函数的图象如图所示，则可以为（）A．B．C．D．(★★) 6 . 若两个非零向量、满足，且，则与夹角的余弦值为（）A．B．C．D．(★) 7 . 已知为等比数列，，，则（）A．9B．－9C．D．(★★) 8 . 已知、分别是双曲线的左、右焦点，过作双曲线的一条渐近线的垂线，分别交两条渐近线于点、，过点作轴的垂线，垂足恰为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．(★★) 9 . 已知，，，则（）A．B．C．D．(★★) 10 . 过抛物线的焦点的直线与抛物线交于、两点，且，抛物线的准线与轴交于，的面积为，则（）A．B．C．D．(★★) 11 . 已知函数（，，），将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的部分图象如图所示，则是的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件二、解答题(★) 12 . 如图，在中，，，点在线段上.（1）若，求的长；（2）若，，求的面积.(★★) 13 . 如图，在四棱柱中，底面为菱形，.（1）证明：平面平面；（2）若，是等边三角形，求二面角的余弦值.(★★) 14 . 某工厂生产一种产品的标准长度为，只要误差的绝对值不超过就认为合格，工厂质检部抽检了某批次产品1000件，检测其长度，绘制条形统计图如图：（1）估计该批次产品长度误差绝对值的数学期望；（2）如果视该批次产品样本的频率为总体的概率，要求从工厂生产的产品中随机抽取2件，假设其中至少有1件是标准长度产品的概率不小于0.8时，该设备符合生产要求.现有设备是否符合此要求？若不符合此要求，求出符合要求时，生产一件产品为标准长度的概率的最小值.(★★) 15 . 已知椭圆经过点，离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线交椭圆于、两点，若，在线段上取点，使，求证：点在定直线上.(★★★★) 16 . 设函数，是函数的导数.（1）若，证明在区间上没有零点；（2）在上恒成立，求的取值范围.(★★) 17 . 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求的普通方程和的直角坐标方程；（2）把曲线向下平移个单位，然后各点横坐标变为原来的倍得到曲线（纵坐标不变），设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最小值.(★★) 18 . 已知，，函数的最小值为.（1）求证：；（2）若恒成立，求实数的最大值.。
广东省湛江市2019届高三调研测试题数学(文科)试题(解析版)
湛江市2019届高三调研测试题数学（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由与，求出两集合的交集即可.【详解】∵，，∴，故选C.【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.已知某地区中小学生人数如图所示，用分层抽样的方法抽取名学生进行调查，则抽取的高中生人数为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由扇形图先得学生总人数，根据分层抽样的定义建立比例关系，解方程即可得到结论．【详解】由扇形图可得学生总人数为人，设抽取的高中生人数为，则，解得，故选B.【点睛】本题主要了考查分层抽样的概念及应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键，属于基础题.3.满足（是虚数单位）的复数A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据复数的基本运算即可得到结论．【详解】∵，∴，即，故选A.【点睛】本题主要考查复数的计算，掌握其运算法则即可，比较基础4.双曲线的焦点到渐近线的距离为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分别求出双曲线的焦点坐标和渐近线方程，利用点到直线的距离公式，即能求出结果．【详解】双曲线中，焦点坐标为，渐近线方程为，∴双曲线的焦点到渐近线的距离，故选C.【点睛】本题考查双曲线的焦点到渐近线的距离的求法，是基础题，解题时要熟练掌握双曲线的简单性质.5.已知非零向量m、n满足n m，且m m n，则m、n的夹角为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】运用向量的数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，计算向量夹角，结合其范围，即可得到．【详解】∵，∴，即，又∵，∴，解得，结合，所以，故选C.【点睛】本题考查平面向量的数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题. 6.明朝数学家程大位将“孙子定理”（也称“中国剩余定理”）编成易于上口的《孙子歌诀》：三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知．已知正整数被除余,被除余，被除余，求的最小值．按此歌诀得算法如图，则输出的结果为（）A. 53B. 54C. 158D. 263【答案】A【解析】按程序框图知的初值为，代入循环结构，第一次循环，第二次循环，推出循环，的输出值为，故选A.7.曲线在点处的切线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：利用点斜式方程可知为y=2x+1视频8.某正三棱锥正视图如图所示，则俯视图的面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由正视图知，该正三棱锥的底边长为，高为，则侧视图是一个底边长为，高为的三角形，其面积为，故选D．9.使函数是偶函数，且在上是减函数的的一个值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】,由于为偶函数，则，，，当时，，，当时，，为减函数，符合题意，所以选B.10.设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下列命题中正确的是A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，【答案】A【解析】【分析】对每一选项进行逐一判定，不正确的只需取出反例，正确的证明一下即可．【详解】对于A，根据线面平行性质定理即可得A选项正确；对于B，当，时，若，，则，但题目中无条件，故B不一定成立；对于C，若，，，则与相交或平行，故C错误；对于D，若，，则与平行或异面，则D错误，故选A.【点睛】本题考查的知识点空间直线与平面垂直的判定定理，性质定理，定义及几何特征，其中熟练掌握空间中线线垂直，线面垂直，面面垂直的相互转化是解答本题的关键．11.已设函数，则满足的的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分类讨论：①当时；②当时，再按照指数不等式和对数不等式求解，最后求出它们的并集即可.【详解】当时，的可变形为，，∴．当时，的可变形为，∴，则满足的的取值范围是，故选D.【点睛】本题主要考查了关于分段函数的不等式，解题的关键为转化特定的不等式类型求解，属于基础题. 12.点、、、在同一个球的球面上，，若四面体体积的最大值为，则这个球的表面积为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据几何体的特征，先确定外接圆的圆心即小圆圆心，判定外接球的球心，求出球的半径，即可求出球的表面积【详解】根据题意知，是一个等边三角形，其面积为，外接圆的半径为1，小圆的圆心为，由于底面积不变，高最大时体积最大，所以与面垂直时体积最大，最大值为，∴，设球心为，半径为，则在直角中，，即，∴，则这个球的表面积为：，故选B.【点睛】本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积，其中分析出何时四面体的体积的最大值，是解答的关键.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13.若是奇函数，则．【答案】【解析】本题考查函数的奇偶性定义。
广东省湛江市遂溪新桥中学2019年高三数学理测试题含解析
广东省湛江市遂溪新桥中学2019年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知直线m、n与平面，给出下列三个命题：①若②若③若其中真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：C2. 如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为A. 4β+4cosβB. 4β+4sinβC. 2β+2cosβD. 2β+2sinβ参考答案：B【分析】阴影部分的面积S=S△PAB+ S1- S△OAB.其中S1、S△OAB的值为定值.当且仅当S△PAB取最大值时阴影部分的面积S取最大值.【详解】观察图象可知，当P为弧AB的中点时，阴影部分的面积S取最大值，此时∠BOP=∠AOP=π-β, 面积S最大值为βr2+S△POB+ S△POA=4β+|OP||OB|s in（π-β）+|OP||OA|Sin（π-β）=4β+2Sinβ+2Sinβ=4β+4 Sinβ，故选B.3. 复数z满足方程=﹣i（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限参考答案：A【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由=﹣i，得，然后利用复数代数形式的除法运算化简，求出复数z在复平面内对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：由=﹣i，得，即z=1+i．则复数z在复平面内对应的点的坐标为（1，1）．位于第一象限．4. 如图，ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是A．BD∥平面CB1D1．AC1⊥BD勤BC．AC1⊥平面CB1D1 ‘D．异面直线AC1与CB所成的角为60°参考答案：D5. 已知，则（）A. B. C. D.参考答案：A由平方得，选A.6. 已知集合，则（）A．B．Ｃ．Ｄ．D7. 双曲线的一条渐近线与圆相交于两点，且，则此双曲线的离心率为（）A． B． C．D．参考答案：B略8. 某种实验中，先后要实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有A．24种 B．48种 C．96种 D．144种参考答案：C9. 给出下列三个命题：①②成立；③对于集合，则其中真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：C略10. 下列命题中，真命题的是( )A．?x∈R，x2＞0 B．?x∈R，﹣1＜sinx＜1C．?x0∈R，＜0 D．?x0∈R，tanx0=2参考答案：D考点：特称命题；全称命题．专题：简易逻辑．分析：根据含有量词的命题的判断方法即可得到结论．解答：解：A．当x=0时，x2＞0不成立，即A错误．B．当x=时，﹣1＜sinx＜1不成立，即B错误．C．?x∈R，2X＞0，即C错误．D．∵tanx的值域为R，∴?x0∈R，tanx0=2成立．故选：D．点评：本题主要考查含有量词的命题的真假判断，比较基础．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知在中，角，，所对的边分别为，，，，点在线段上，且.若，则．参考答案：，有正弦定理得，则，所有。
广东省湛江市2019届高三上学期第一次调研考试数学(文)试题(含精品解析)
广东省湛江市2019届高三上学期第一次调研考试数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A ={1，2，5}，B ={x |x ≤2}，则A ∩B =（ ）A. B. C. D. {1}{5}{1,2}{2,5}2.已知某地区中小学生人数如图所示，用分层抽样的方法抽取200名学生进行调查，则抽取的高中生人数为（ ）A. 10B. 40C. 30D. 203.满足=i （i 是虚数单位）的复数z =（ ）z ‒i z A.B. C. D. 12‒12i 12+12i ‒12+12i ‒12‒12i 4.双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ）x 24‒y 2=1A. 1 B. C. 2 D. 325.已知非零向量，满足||=4||，且⊥（2+），则与的夹角为（ ）⃗a ⃗b ⃗b ⃗a ⃗a ⃗a ⃗b ⃗a ⃗b A.B. C. D. π3π22π35π66.明朝数学家程大位将“孙子定理”（也称“中国剩余定理”）编成易于上口的《孙子歌诀》：三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知．已知正整数n 被3除余2，被5除余3，被7除余4，求n 的最小值．按此歌诀得算法如图，则输出n 的结果为（ ）A. 53B. 54C. 158D. 2637.曲线y =在点（-1，-1）处的切线方程为（ ）x x +2A. B. C. D. y =2x +1y =2x ‒1y =‒2x ‒3y =‒2x ‒28.某正三棱锥正视图如图所示，则俯视图的面积为（ ）A. 63B. 123C. 62D. 1229.使函数是偶函数，且在上是减函数的θf(x)=3sin(2x +θ)+cos(2x +θ)[0，π4]的一个值是（ ）A. B. C. D.π6π32π35π610.设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A. ，，B. ，，α∩β=n m ⊂αm//β⇒m//n α⊥βα∩β=m m ⊥n⇒n ⊥βC. ，，D. ，，m ⊥n m ⊂αn ⊂β⇒α⊥βm//αn ⊂α⇒m//n11.设函数f （x ）=，则满足f （x ）≤2的x 的取值范围是（ ）{21‒x ,x ≤11‒log 2x,x >1A. B. C. D. [‒1,2][0,2][1,+∞)[0,+∞)12.点A 、B 、C 、D 在同一个球的球面上，AB =BC =AC =，若四面体ABCD 体积的3最大值为，则这个球的表面积为（ ）3A. B. C. D. 16916π8π289π1625π16二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若f （x ）=是奇函数，则a =______．12x ‒1+a 14.设x 、y 满足不等式组，则z =2x +y 的最大值为______．{x ‒y ‒1≥0x +y ‒4≤0y ≥115.圆心在直线y=-4x上，且与直线x+y-1=0相切于点P（3，-2）的圆的标准方程为______．216.若△ABC的内角满足sin A+sin B=2sin C，则cos C的最小值是______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.已知数列{a n}满足a n=2a n-1+1（n∈N*，n≥2），且a1=1，b n=a n+1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{nb n}的前n项和T n．18.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA=PD，PA⊥AB，N是棱AD的中点．（1）求证：平面PAB⊥平面PAD；（2）设AB=AD=AP=2，求点N到平面PAC的距离．19.某机构组织语文、数学学科能力竞赛，按照一定比例淘汰后，颁发一二三等奖．现有某考场的两科考试成绩数据统计如下图所示，其中数学科目成绩为二等奖的考生有12人．（Ⅰ）求该考场考生中语文成绩为一等奖的人数；（Ⅱ）用随机抽样的方法从获得数学和语文二等奖的学生中各抽取5人，进行综合素质测试，将他们的综合得分绘成茎叶图，求样本的平均数及方差并进行比较分析；（Ⅲ）已知本考场的所有考生中，恰有3人两科成绩均为一等奖，在至少一科成绩为一等奖的考生中，随机抽取2人进行访谈，求两人两科成绩均为一等奖的概率．20.已知椭圆G ：=1（a ＞b ＞0）的离心率为，右焦点为（2，0），斜率为x 2a 2+y 2b 26321的直线l 与椭圆G 交与A 、B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P （-3，2）．（Ⅰ）求椭圆G 的方程；（Ⅱ）求△PAB 的面积．21.设函数．f(x)=x ‒2x ‒a(lnx ‒1x 2)(a ＞0)（Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间；（Ⅱ）记函数f （x ）的最小值为g （a ），证明：g （a ）＜1．22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程是（α是参数）．以原点{x =3cosαy =sinαO 为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρsin(θ+π4)=42（1）求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程；（2）设P 为曲线C 1上的动点，求点P 到C 2上点的距离的最小值，并求此时点P 的直角坐标．23.设函数f （x ）=|2x -7|+1（Ⅰ）求不等式f （x ）≤x 的解集；（Ⅱ）若存在x 使不等式f （x ）-2|x -1|≤a 成立，求实数a 的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：集合A={1，2，5}，B={x|x≤2}，则A∩B=（1，2}．故选：C．直接求解交集即可．本题考查集合的交集的求法，基本知识的考查．2.【答案】B【解析】解：某地区中小学生人数如图所示，用分层抽样的方法抽取200名学生进行调查，则抽取的高中生人数为：200×=40．故选：B．利用分层抽样的性质直接求解．本题考查抽取的高中生人数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】C【解析】解：由=i，得z-i=zi，∴z=，故选：C．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．4.【答案】A【解析】解：双曲线中，焦点坐标为（，0），渐近线方程为：y=，∴双曲线的焦点到渐近线的距离：d==1．故选：A．分别求出双曲线的焦点坐标和渐近线方程，利用点到直线的距离公式，能求出结果．本题考查双曲线的焦点到渐近线的距离的求法，是基础题，解题时要熟练掌握双曲线的简单性质．5.【答案】C【解析】解：由已知非零向量，满足||=4||，且⊥（2+），可得•（2+）=2+=0，设与的夹角为θ，则有2+||•4||•cosθ=0，即cosθ=-，又因为θ∈[0，π]，所以θ=，故选：C．由题意可得可得•（2+）=2+=0，设与的夹角为θ，求得cosθ=-，结合θ的范围，求得θ的值．本题主要考查向量的数量积运算与向量夹角之间的关系，采用两向量垂直时其数量积为零来进行转化．本体属于基础题，注意运算的准确性．6.【答案】A【解析】解：【方法一】正整数n被3除余2，得n=3k+2，k∈N；被5除余3，得n=5l+3，l∈N；被7除余4，得n=7m+4，m∈N；求得n的最小值是53．【方法二】按此歌诀得算法如图，则输出n的结果为按程序框图知n的初值为263，代入循环结构得n=263-105-105=53，即输出n值为53．故选：A．【方法一】根据正整数n被3除余2，被5除余3，被7除余4，求出n的最小值．【方法二】按此歌诀得算法的程序框图，按程序框图知n的初值，代入循环结构求得n的值．本题考查了程序框图的应用问题，也考查了古代数学的应用问题，是基础题．7.【答案】A【解析】解：∵y=，∴y′=，所以k=y′|x=-1=2，得切线的斜率为2，所以k=2；所以曲线y=f（x）在点（-1，-1）处的切线方程为：y+1=2×（x+1），即y=2x+1．故选：A．欲求在点（-1，-1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=-1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．8.【答案】A【解析】解：由正视图知，该正三棱锥的底边长为6，高为4，则侧视图是一个底边长为，高为4的三角形，其面积为．故选：A．根据正三棱锥的正视图得出底边长和高，得出侧视图三角形的底和高，求出面积即可本题考查立体几何中正三棱锥的三视图，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：∵函数=2sin（2x+θ+）是偶函数，∴θ+=kπ+，即θ=kπ+，k∈Z①，故可取θ=，此时，f（x）=2sin（2x+）=cos2x，且在上，2x∈[0，]，f（x）是减函数，故选：B．利用两角和的正弦公式化简函数的解析式，再利用三角函数的奇偶性、单调性，求得θ的一个值．本题主要考查两角和的正弦公式，三角函数的奇偶性、单调性，属于基础题．10.【答案】A【解析】解：由m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，知：在A中，α∩β=n，m⊂α，m∥β，则由线面平行的性质定理得m∥n，故A正确；在B中，α⊥β，α∩β=m，m⊥n，则n与β相交、平行或m⊂β，故B错误；在C中，m⊥n，m⊂α，n⊂β，由α与β相交或平行，故C错误；在D中，m∥α，n⊂α，则m与n平行或异面，故D错误．故选：A．在A中，由线面平行的性质定理得m∥n；在B中，则n与β相交、平行或m⊂β；在C中，由α与β相交或平行；在D中，m与n平行或异面．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．11.【答案】D【解析】解：当x≤1时，21-x≤2的可变形为1-x≤1，x≥0，∴0≤x≤1．当x＞1时，1-log2x≤2的可变形为x≥，∴x≥1，故答案为[0，+∞）．故选：D．分类讨论：①当x≤1时；②当x＞1时，再按照指数不等式和对数不等式求解，最后求出它们的并集即可．本题主要考查不等式的转化与求解，应该转化特定的不等式类型求解．12.【答案】C【解析】解：根据题意知，△ABC是一个等边三角形，其面积为，外接圆的半径为1．小圆的圆心为Q，若四面体ABCD的体积的最大值，由于底面积S△ABC不变，高最大时体积最大，所以，DQ与面ABC垂直时体积最大，最大值为S△ABC×DQ=，∴DQ=4，设球心为O，半径为R，则在直角△AQO中，OA2=AQ2+OQ2，即R2=12+（4-R）2，∴R=则这个球的表面积为：S=4π（）2=故选：C．根据几何体的特征，判定外接球的球心，求出球的半径，即可求出球的表面积．本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积，其中分析出何时四面体ABCD的体积的最大值，是解答的关键．13.【答案】1 2【解析】解：∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x），∴=∴=，解得a=．故答案为：．根据奇函数的性质，f（x）=-f（-x），代入f（x）的解析式，得到等式即可求出a的值．本题主要考查奇函数的性质，根据f（x）=-f（-x）列出式子即可解得a的值，本题比较基础．14.【答案】7【解析】解：x、y满足不等式组表示的区域如图：由z=2x+y得到y=-2x+z，所以当直线经过图中A（3，1）时，直线在y轴上的解决最大，所以最大值为2×3+1=7；故答案为：7．画出不等式组表示的平面区域，利用目标函数的几何意义求最大值．本题考查了简单线性规划问题；正确画出可行域，利用目标函数的几何意义求最值是解答的关键．15.【答案】（x-1）2+（y+4）2=8【解析】解：∵圆心在直线y=-4x上，设圆心C为（a，-4a），圆与直线x+y-1=0相切于点P（3，-2），则k PC==1，∴a=1．即圆心为（1，-4）．r=|CP|==2，∴圆的标准方程为（x-1）2+（y+4）2=8．故答案为：（x-1）2+（y+4）2=8．由圆心在直线y=-4x 上，可设圆心C 为（a ，-4a ），圆与直线x+y-1=0相切于点P （3，-2），利用过圆心和P 的直线与x+y-1=0垂直，求出a ，两点之间的距离公式PC=r ，可得圆的标准方程．此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，圆的标准方程，以及直线的点斜式方程，当直线与圆相切时，圆心到切线的距离等于圆的半径．属于基础题．16.【答案】6‒24【解析】解：由正弦定理得a+b=2c ，得c=（a+b ），由余弦定理得cosC====≥=，当且仅当时，取等号，故≤cosC ＜1，故cosC 的最小值是．故答案为：．根据正弦定理和余弦定理，利用基本不等式即可得到结论．本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，结合基本不等式的性质是解决本题的关键．17.【答案】解：（Ⅰ）∵a n =2a n -1+1（n ∈N *，n ≥2），化为：a n +1=2（a n -1+1），∴=2，b 1=a 1+1=2．b nb n ‒1∴数列{b n }是以2为首项，公比为2的等比数列，∴b n =2n ，∴a n =2n -1．（Ⅱ）nb n =n •2n ，∴T n =2+2×22+3×23+……+n •2n ，2T n =22+2×23+……+（n -1）•2n +n •2n +1，∴-T n =2+22+……+2n -n •2n +1=-n •2n +1，2×(2n ‒1)2‒1∴T n =2+（n -1）•2n +1．【解析】（Ⅰ）由a n =2a n-1+1（n ∈N *，n≥2），化为：a n +1=2（a n-1+1），利用等比数列的通项公式即可得出b n ，进而得出a n ．（Ⅱ）nb n =n•2n ，利用错位相减法即可得出．本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】证明：（1）∵在四棱锥P -ABCD中，底面ABCD 是矩形，∴AB ⊥AD ，∵PA ⊥AB ，PA ∩AD =A ，∴AB ⊥平面PAD ，∵AB ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PAD ．解：（2）∵AB =AD =AP =2，N 是棱AD 的中点．∴PN ⊥AD ，∵AB ⊥平面PAD ，PN ⊂平面PAD ．∴PN ⊥AB ，∵AB ∩AD =A ，∴PN ⊥平面ABCD ，以N 为原点，NA 为x 轴，过N 作AB 的平行线为y 轴，NP 为z 轴，建立空间直角坐标系，N （0，0，0），P （0，0，），A （1，0，0），C （-1，2，0），3=（1，0，-），=（-1，2，-），=（0，0，-），⃗PA 3⃗PC 3⃗PN 3设平面PAC 的法向量=（x ，y ，z ），⃗n 则，取z =1，得=（，，1），{⃗n ⋅⃗PA=x ‒3z =0⃗n ⋅⃗PC=‒x +2y ‒3z =0⃗n 33∴点N 到平面PAC 的距离：d ===，|⃗PN ⋅⃗n||⃗n|37217∴点N 到平面PAC 的距离为217【解析】（1）推导出AB ⊥AD ，PA ⊥AB ，从而AB ⊥平面PAD ，由此能证明平面PAB ⊥平面PAD ．（2）以N 为原点，NA 为x 轴，过N 作AB 的平行线为y 轴，NP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点N 到平面PAC 的距离．本题考查面面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.【答案】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由数学成绩为二等奖的考生有12人，可得，-------（1分）121‒0.4‒0.26‒0.1=50所以语文成绩为一等奖的考生50×（1-0.38×2-0.16）=4人．----------（3分）（Ⅱ）设数学和语文两科的平均数和方差分别为，，，‒x 1‒x 2s 21，s 22‒x 1=81+84+93+90+925=88，‒x 2=79+89+84+86+875=85，s 21=72+42+52+22+425=22，-----------（7分）s 22=62+42+22+12+125=11.6因为88＞85，11.6＜22，所以数学二等奖考生较语文二等奖考生综合测试平均分高，但是稳定性较差．-----------（8分）（Ⅲ）两科均为一等奖共有3人，仅数学一等奖有2人，仅语文一等奖有1人----（9分）设两科成绩都是一等奖的3人分别为A 1，A 2，A 3，只有数学一科为一等奖的2人分别是B 1，B 2，只有语文一科为一等奖的1人是C ，则随机抽取两人的基本事件空间为：Ω={A 1A 2，A 1A 3，A 1B 1，A 1B 2，A 1C ，A 2A 3，A 2B 1，A 2B 2，A 2C ，A 3B 1，A 3B 2，A 3C ，B 1B 2，B 1C ，B 2C }，共有15个，-----------（10分）而两人两科成绩均为一等奖的基本事件Ω1={A 1A 2，A 1A 3，A 2A 3}共3个，-----------（11分）所以两人的两科成绩均为一等奖的概率．-----------（12分）P =315=15【解析】（Ⅰ）由数学成绩为二等奖的考生有12人，能求出语文成绩为一等奖的考生数．（Ⅱ）求出数学和语文两科的平均数和方差，从而得到数学二等奖考生较语文二等奖考生综合测试平均分高，但是稳定性较差．（Ⅲ）两科均为一等奖共有3人，仅数学一等奖有2人，仅语文一等奖有1人，设两科成绩都是一等奖的3人分别为A 1，A 2，A 3，只有数学一科为一等奖的2人分别是B 1，B 2，只有语文一科为一等奖的1人是C ，利用列举法能求出两人的两科成绩均为一等奖的概率．本题考查频率分布直方图的应用，考查平均数、方差、概率的求法，考查频率分布直方图的性质、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．20.【答案】解：（Ⅰ）由已知得，c =，，22c a=63解得a =，又b 2=a 2-c 2=4，23所以椭圆G的方程为．x 212+y 24=1（Ⅱ）设直线l 的方程为y =x +m ，由得4x 2+6mx +3m 2-12=0．①{y =x +m x 212+y 24=1设A ，B 的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2）（x 1＜x 2），AB 的中点为E （x 0，y 0），则x 0==-，x 1+x 223m 4y 0=x 0+m =，m4因为AB 是等腰△PAB 的底边，所以PE ⊥AB ，所以PE 的斜率k =，2‒m 4‒3+3m 4=‒1解得m =2．此时方程①为4x 2+12x =0．解得x 1=-3，x 2=0，所以y 1=-1，y 2=2，所以|AB |=3，此时，点P （-3，2）．2到直线AB ：y =x +2距离d =，|‒3‒2+2|2=322所以△PAB 的面积s =|AB |d =．1292【解析】（Ⅰ）根据椭圆离心率为，右焦点为（，0），可知c=，可求出a 的值，再根据b 2=a 2-c 2求出b 的值，即可求出椭圆G 的方程；（Ⅱ）设出直线l 的方程和点A ，B 的坐标，联立方程，消去y ，根据等腰△PAB ，求出直线l 方程和点A ，B 的坐标，从而求出|AB|和点到直线的距离，求出三角形的高，进一步可求出△PAB 的面积．此题是个中档题．考查待定系数法求椭圆的方程和椭圆简单的几何性质，以及直线与椭圆的位置关系，同时也考查了学生观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．21.【答案】解：（Ⅰ）显然f （x ）的定义域为（0，+∞）．，f '(x)=1+2x2‒a(1x +2x3)=x 2+2x 2‒a ⋅x 2+2x 3=(x 2+2)(x ‒a)x 3∴x 2+2＞0，x ＞0，若x ∈（0，a ），x -a ＜0，此时f '（x ）＜0，f （x ）在（0，a ）上单调递减；若x ∈（a ，+∞），x -a ＞0，此时f '（x ）＞0，f （x ）在（a ，+∞）上单调递增；综上所述：f （x ）在（0，a ）上单调递减，在（a ，+∞）上单调递增．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知：，f(x )min =f(a)=a ‒2a ‒a(lna ‒1a2)=a ‒alna ‒1a即：．要证g （a ）＜1，即证明，即证明，g(a)=a ‒alna ‒1aa ‒alna ‒1a ＜11‒lna ‒1a2＜1a 令，则只需证明，ℎ(a)=lna +1a +1a2‒1ℎ(a)=lna +1a +1a 2‒1＞0∵，且a ＞0，ℎ'(a)=1a‒1a2‒2a3=a 2‒a ‒2a 3=(a ‒2)(a +1)a 3故当a ∈（0，2），a -2＜0，此时h '（a ）＜0，h （a ）在（0，2）上单调递减；当a ∈（2，+∞），a -2＞0，此时h '（a ）＞0，h （a ）在（2，+∞）上单调递增，∴，ℎ(a )min =ℎ(2)=ln2+12+14‒1=ln2‒14＞0∴．∴g （a ）＜1．ℎ(a)=lna +1a +1a 2‒1＞0【解析】（Ⅰ）首先求得导函数，然后结合导函数的解析式分类讨论函数的单调性即可；（Ⅱ）首先求得g （a ）的解析式，然后利用导函数结合分析法证明题中的不等式即可．本题主要考查导函数研究函数的单调性，导函数证明不等式的方法，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题．22.【答案】解：（1）由曲线C 1：，可得，两式两边平方相加{x =3cosαy =sinα{x3=cosαy =sinα得：，(x3)2+y 2=1即曲线C 1的普通方程为：．x 23+y 2=1由曲线C 2：得：，ρsin(θ+π4)=4222ρ(sinθ+cosθ)=42即ρsinθ+ρcosθ=8，所以x +y -8=0，即曲线C 2的直角坐标方程为：x +y -8=0．（2）由（1）知椭圆C 1与直线C 2无公共点，椭圆上的点到直线x +y -P(3cosα，sinα)8=0的距离为，d =|3cosα+sinα‒8|2=|2sin(α+π3)‒8|2∴当时，d 的最小值为，此时点P 的坐标为．sin(α+π3)=132(32，12)【解析】（1）由条件利用同角三角函数的基本关系把参数方程化为直角坐标方程，利用直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcosθ、y=ρsinθ，把极坐标方程化为直角坐标方程．（2）求得椭圆上的点到直线x+y-8=0的距离为，可得d 的最小值，以及此时的α的值，从而求得点P 的坐标．本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，正弦函数的值域，属于基础题．23.【答案】解：（Ⅰ）由f （x ）≤x 得|2x -7|+1≤x ，∴或，{2x ‒7≥02x ‒7+1≤x {2x ‒7<0‒2x +7+1≤x 解得：或，72≤x ≤683≤x ＜72∴不等式f （x ）≤x 的解集为；{x|83≤x ≤6}（Ⅱ）令g （x ）=f （x ）-2|x -1|=|2x -7|-2|x -1|+1，则g （x ）=，{6，x ≤1‒4x +10，1＜x ≤72‒4，x ＞72∴g （x ）min =-4，∵存在x使不等式f（x）-2|x-1|≤a成立，∴g（x）min≤a，∴a≥-4．【解析】（Ⅰ）结合不等式分类讨论即可求得不等式的解集；（Ⅱ）零点分段求得函数g（x）的最小值，结合题意即可求得实数a的取值范围．本题考查绝对值不等式的解法，分类讨论的数学思想等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．。
广东省湛江市2019届高三调研测试题数学(理科)试题含答案
xF
(5 p ) p 22
2
5 ，即 N 到 y 轴的距离为｜MF | 2
的一半。
所以圆与
y
轴的切点 H（0，2），
NH
//
x 轴，
5 N(
,2) ， M (5
p
,4) ，代入
y2
2 px 得
2
2
p2 10 p 16 0 p 2或p 8 ．
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
2
6
18. （本小题满分 12 分）
P
（Ⅰ）证明：设 AC 与 BD 交于点 O ，连结 PO ，……………1 分
因为 AB CB , AD CD ， BD 为公共边，
所以△ABD≌△CBD，所以∠ABD=∠CBD，
A 又 AB CB ，所以 AC⊥BD，……………………2 分
B
且 O 为 AC 中点．又 PA=PC，所以 PO⊥AC，
(0,2) ，则 C 的焦点到准线距离为 A． 4 或 8 B． 2 或 4
C． 2 或 8
D． 4 或16
第 II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题～第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答。第 22 题～
第 23 题为选考题，考生根据要求做答。
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分．
支，七子团圆正半月，除百零五便得知．已知正整数 n 被 3 除
余 2 ，被 5 除余 3 ，被 7 除余 4 ，求 n 的最小值．按此歌诀得 n 105 ?
算法如图，则输出 n 的结果为
否
A． 53
B． 54
广东省湛江市2019届高三上学期第一次调研考试数学(文)试题(含精品解析)
（Ⅰ）求该考场考生中语文成绩为一等奖的人数； （Ⅱ）用随机抽样的方法从获得数学和语文二等奖的学生中各抽取 5 人，进行综 合素质测试，将他们的综合得分绘成茎叶图，求样本的平均数及方差并进行比较 分析； （Ⅲ）已知本考场的所有考生中，恰有 3 人两科成绩均为一等奖，在至少一科成 绩为一等奖的考生中，随机抽取 2 人进行访谈，求两人两科成绩均为一等奖的概 率．
A. [ ‒ 1,2]
B. [0,2]
C. [1, + ∞)
D. [0, + ∞)
12. 点 A、B、C、D 在同一个球的球面上，AB=BC=AC= 3，若四面体 ABCD 体积的
最大值为 3，则这个球的表面积为（ ）
A.
169������
16
B. 8������
289������
C. 16
25������
D. 263 D. ������ = ‒ 2������ ‒ 2
A. 6 3 B. 12 3 C. 6 2 D. 12 2
9. 使函数������(������) = 3������������������(2������ + ������) + ������������������(2������ + ������)是偶函数，且在[0，���4���]上是减函数的 θ
广东省湛江市 2019 届高三上学期第一次调研考试数学
（文）试题
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1. 已知集合 A={1，2，5}，B={x|x≤2}，则 A∩B=（ ）
湛江市2019—2020学年度第一学期期末调研考试高中数学(必修①、②)试卷
湛江市2019—2020学年度第一学期期末调研考试高中数学(必修①、②)试卷说明：本卷满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确答案的代号填入下面的表格内．1．已知集合{}4,3,2,1=A ，{}A x x y y B ∈-==,23|，则=B AA ．{}1B ．{}4C ．{}3,1D ．{}4,1 2．轴截面为正方形的圆柱的侧面积与全面积的比是A ．2:1B ．3:2C ．3:1D ．4:1 3．直线0133=++y x 的倾斜角为A ．150 B ． 120 C ．30 D ．60 4．函数x x x f --+=33||ln )(的定义域为A ．),1[∞+-B ．),0()0,1[∞+-C ．)1,(-∞-D ．),0()0,1(∞+- 5．有一组实验数据如下表：则体现这些数据的最佳函数模型是A .21x y = B .x y 2log = C .x y 231⋅= D . 221x y =学校 班级 姓 学密 封 线6．已知圆C 的圆心是直线01=++y x 和直线01=--y x 的交点，直线01143=-+y x 与圆C 相交的弦长为6，则圆C 的方程为A ．18)1(22=++y x B ．23)1(22=++y xC ．18)1(22=++y x D ．23)1(22=++y x7．过半径为2的球O （O 为球心）表面上一点A 作球O 的截面，若OA 与该截面所成的角是30，则该截面的面积为A ．πB ．π2C ．π3D ．π32 8．设m 、n 是两条不同直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中正确的是 A ．若α//m ，βα⊥，则β⊥m B ．若α//m ，α//n ，则n m // C ．若α⊥m ， β//m ，则βα// D ．若n m //，α⊥m ，则α⊥n 9．若圆C ：222)()(a a y a x =++-被直线l ：02=++y x 分成的两段弧长之比为3:1，则满足条件的圆A ．有一个B ．有两个C ．有三个D ．有四个 10．已知函数)(x f 是定义域为R 的偶函数，3)1(=-f ，且当0≥x 时，c x x f x++=2)(（c 为常数），则不等式6)1(<-x f 的解集是A ．)1,3(-B ．)3,2(-C ．)2,2(-D ．)3,1(- 11．若点),(n m 在直线01034=-+y x 上，则22n m +的最小值是A ．2B ．22C ．4D ．32 12．定义在区间),1(∞+上的函数)(x f 满足两个条件：（1）对任意的),1(∞+∈x ，恒有)(2)2(x f x f =成立；（2）当]2,1(∈x 时，x x f -=2)(．若函数)1()()(--=x k x f x g 恰有两个零点，则实数k 的取值范围是A ．)2,1[B ．]2,1[C ．)2,34[D ．)2,34(二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．函数32)(+=x x f ，)()2(x f x g =+，则=)(x g _________．14．已知直线l 与直线x y =平行，且被圆074422=+--+y x y x 所截得的弦长为2，则直线l 的方程为________．15．过点)3,1(-P 且和圆022222=--++y x y x 相切的直线方程为 ． 16. 如图，在直角梯形ABCD 中，DC BC ⊥，DC AE ⊥，M 、N 分别是AD 、BE 的中点，将三角形ADE 沿AE 折起，则下列说法正确的是______________． （1）不论D 折至何位置（不在平面ABC 内），都有//MN 平面DEC ； （2）不论D 折至何位置，都有AE MN ⊥；（3）不论D 折至何位置（不在平面ABC 内），都有AB MN //（4）在折起过程中，一定存在某个位置，使AD EC ⊥．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分10分）已知ABC ∆的顶点A 的坐标为)3,4(，AB 边上的高所在直线方程为03=--y x ，D 为AC 边的中点，且BD 所在的直线方程为073=-+y x .（Ⅰ）求顶点B 的坐标；（Ⅱ）求BC 所在直线的方程.18.（本小题满分12分）如图，在三棱锥ABC P -中，CP AP =，点O 是AC 的中点，1=OP ，2=OB ，5=PB .（Ⅰ）证明：平面PAC ⊥平面ABC ； （Ⅱ）若BC AC ⊥，3=BC ，求点A 到平面PBC 的距离.A CBPO19.（本小题满分12分）某种商品在30天内每件的销售价格P （元）与时间t （天）的函数关系为⎩⎨⎧∈≤≤+-∈<<+=**.,3025100,,25020N t t t N t t t P ，该商品在30天内日销售量Q （件）与时间t （天）之间满足一次函数关系，具体数据如下表：（Ⅰ）根据表中提供的数据，求出日销售量Q 关于时间t 的函数表达式； （Ⅱ）求该商品在这30天中的第几天的日销售金额最大，最大值是多少？20．（本小题满分12分）已知函数xx x f 1)(-=（0≠x ）． （Ⅰ）用定义法证明；函数)(x f 在区间),0(∞+上单调递增；（Ⅱ）若对任意)0,2[-∈x 都有a x f >)(恒成立，求实数a 的取值范围．21．（本小题满分12分）如图，直方体1111D C B A ABCD -中，O 是AC 中点. （Ⅰ）证明：1OC //平面11D AB ；（Ⅱ）求直线A D 1与平面11ACC A 所成的角的值. 22．（本小题满分12分）已知圆心为C 的圆过点)3,3(，且与直线2=y 相切于点)2,0(．（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）已知点)4,3(-M ．对于圆C 上任意一点P ，线段MC 上存在异于点M 的一点N ，使||||PN PM λ=（λ为常数）恒成立，判断使OPN ∆的面积等于4的点P 有几个，并说明理由．ACB1A1B1CD 1D O。
广东省湛江市廉江育才职业高级中学2019年高三数学理联考试卷含解析
广东省湛江市廉江育才职业高级中学2019年高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（）A．B． C. D．参考答案：A2. 已知函数其中若的最小正周期为,且当时, 取得最大值,则( )A. 在区间上是增函数B. 在区间上是增函数C. 在区间上是减函数D. 在区间上是减函数参考答案：A由，所以，所以函数，当时，函数取得最大值，即，所以，因为，所以，，由，得，函数的增区间为，当时，增区间为，所以在区间上是增函数，选A.3. 对于函数(其中)，选取的一组值计算和，所得出的正确结果一定不可能是（）A、4和6B、2和1C、2和4D、1和3参考答案：B略4. 在正三棱锥中，、分别是、的中点，且，若侧棱，则正三棱锥外接球的表面积是（）A．B．C．D．参考答案：C5. 已知是偶函数，且当x≥2时A．{x|0<x<4} B．{x|-2<x<2} C．{x|2<x<6} D．{x|-4<x<0}参考答案：D6. 若函数（）有大于零的极值点，则实数范围是（）A． B． C． D．参考答案：B解：因为函数y=e（a-1）x+4x，所以y′=（a-1）e（a-1）x+4（a＜1），所以函数的零点为x0=，因为函数y=e（a-1）x+4x（x∈R）有大于零的极值点，故＝0，得到a<-3,选B7. 已知，都是定义在R上的函数，且满足以下条件：①②③若则等于A． B．2 C． D．2或参考答案：A8. 设，且满足约束条件，且的最大值为7，则的最大值为（）A． B． C． D．参考答案：D试题分析：作出可行域，如图四边形内部（含边界），再作直线，平移直线，当它过点时，取得最大值7，由解得，即，所以，，从而得，表示可行域内点与点连线斜率，，所以的最大值为．故选D．考点：简单的线性规划的非线性应用．9. 已知向量，，则（）A. 1B. －1C. 3D. －3参考答案：B【分析】根据向量加减的坐标运算求出，，再根据向量数量积的坐标运算即可求解.【详解】由，，两式联立，可得，，所以.故选：B【点睛】本题主要考查了向量加减、数量积的坐标运算，考查了学生的基本运算能力，属于基础题.10. 从4男2女共6名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，不同选法共有（）A. 156种B. 168种C. 180种D. 240种参考答案：B【分析】先求出从4男2女共6名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队有多少种选法，然后再求出服务队中没有女生有多少种选法，两数相减即可.【详解】从4男2女共6名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队有种选法，服务队中没有女生的选法有种，所以要求服务队中至少有1名女生，不同选法共有种选法，故本题选B.【点睛】本题考查了组合问题、分步计算原理.本题采用的是间接法来求解，当问题的正面的好多种情况时，可以看它的反面情况，这样求解起来简单.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若等差数列的首项为公差为，前项的和为，则数列为等差数列，且通项为．类似地，若各项均为正数的等比数列的首项为，公比为，前项的积为，则数列为等比数列,通项为_____________参考答案：12. 若函数f（x）=（a﹣2）x2+（a﹣1）x+3是偶函数，则f（x）的增区间是．参考答案：（﹣∞，0]（也可以填（﹣∞，0））【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】计算题．【分析】由已知中函数f（x）=（a﹣2）x2+（a﹣1）x+3是偶函数，根据偶函数的性质，我们可以求出满足条件的a的值，进而求出函数的解析式，根据二次函数的性质，即可得到答案．【解答】解：∵函数f（x）=（a﹣2）x2+（a﹣1）x+3是偶函数，∴a﹣1=0∴f（x）=﹣x2+3，其图象是开口方向朝下，以y轴为对称轴的抛物线故f（x）的增区间（﹣∞，0]故答案为：（﹣∞，0]（也可以填（﹣∞，0））【点评】本题考查的知识点是奇偶性与单调性的综合，其中根据已知条件结合偶函数的性质，得到a值，是解答本题的关键．13. 电脑系统中有个“扫雷”游戏，要求游戏者标出所有的雷，游戏规则是:一个方块下面有一个雷或没有雷，如果无雷，掀开方块下面就会标有数字（如果数字是0，常省略不标），此数字表明它周围的方块中雷的个数（至多八个），如图甲中的“3”表示它的周围八个方块中有且仅有3个雷.图乙是张三玩的游戏中的局部，根据图乙中信息，上方第一行左起七个方块中（方块上标有字母），能够确定下面一定没有雷的方块有，下面一定有雷的方块有 .（请填入所有选定方块上的字母）图甲图乙参考答案：BDEF(3分)；AC（2分）略14. 已知函数满足，当时，，若函数恰有个4零点，则的取值范围是．参考答案：15. 方程的实数解的个数为参考答案：216. 有一个底面圆的半径为1，高为3的圆柱，点O1，O2分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O1，O2的距离都大于1的概率为．参考答案：略17. 在区间[-2，3]上任取一个数a，则函数有极值的概率为.参考答案：2/5三、解答题：本大题共5小题，共72分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
【湛江市2019届高三调研测试题 数学（理科） 第 1 页 共 12 页】湛江市2019届高三调研测试题数学（理科）本试卷共6页，共23小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡上。
在答题卡右上角的“试室号”和“座位号”栏填写试室号、座位号，将相应的试室号、座位号信息点涂黑。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}220A x x x =--< ，}0log |{2<=x x B ，则A B =A ． )2,1(-B ．)1,0(C ．)2,(-∞D ．)1,1(-2．若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数1zi+的点是A ． EB ．FC ． GD ．H3．已知某地区中小学生人数如图所示，用分层抽样的方法抽取200名学生进行调查，则抽取的高中生人数为A ．10B ．40C ．30D ．204．已知非零向量m 、n 满足|n ||4=m |，且m 2(⊥m +n )，则m 、n 的夹角为小学 4500人初中 3500人高中 2000人【湛江市2019届高三调研测试题 数学（理科） 第 2 页 共 12 页】A ．3π B ．2π C ．32π D ．65π5．曲线2+=x xy 在点)1,1(--处的切线方程为 A ．12+=x y B ．12-=x y C ．22--=x y D ．32--=x y 6．明朝数学家程大位将“孙子定理”（也称“中国剩余定理”）编成易于上口的《孙子歌诀》：三人同行七十稀，五树梅花廿一支，除百零五便得知．已知正整数n 被3除余2，被5除余3，被7除余4，求n 的最小值．按此歌诀得算法如图，则输出n 的结果为 A ．53B ．54C ．158D ．2637．函数|sin y x x =｜在[],-ππ的图像大致为 A ． B ． C ． D ．8．正三棱锥的正视图如图所示，则侧视图的面积为 A ．212 B ．312 C ．26 D ．36 9．设0.52a -=，3log b π=，4log 2c =，则【湛江市2019届高三调研测试题 数学（理科） 第 3 页 共 12 页】A ． b a c >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．a c b >>10．已知直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB ｜为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为 A ．2B ．3C ．2D ．311．设数列}{n a 满足51=a ，且对任意整数n ，总有44)3)(3(1+=+++n n n a a a 成立，则数列}{n a 的前2018项的和为 A ．840-B ．835-C ．830-D ．825-12．设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点M 在C 上，5MF =，若以MF 为直径的圆过点)2,0(，则C 的焦点到准线距离为 A ．4或8 B ．2或4C ．2或8D ．4或16第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。
第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13.已知数列{}n a 是等差数列（公差0≠d ），2a ，4a ，8a 成等比数列，则该等比数列的公比为______．14．设x 、y 满足不等式组10401--⎧⎪+-⎨⎪⎩≥≤≥x y x y y ，则y x z +=2的最大值为 ．15. 511()(2)x x x x+-的展开式中，常数项为______．16. 点A 、B 、C 、D 在同一个球的球面上，3===AC BC AB ，若四面体ABCD 体积的最大值为3，则这个球的表面积为______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且222b c a +=，32c a =【湛江市2019届高三调研测试题 数学（理科） 第 4 页 共 12 页】（Ⅰ）求C sin 的值；（Ⅱ）若6a =，求△ABC 的面积.18．如图，在四棱锥ABCD P -中，△PAB 、△PBC 、△ACD 均为等边三角形，BC AB ⊥．（Ⅰ）求证：BD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）求直线CD 与平面PBC 所成角的正弦值．19．电动车企业生产每台车的利润与车首次出现故障的时间有关．某厂家生产甲、乙两种型号电动车，保修期均为2年．现从该厂已售出的两种型号电动车中各随机抽取50台，统计数据如下：将频率视为概率．（Ⅰ）从该厂生产的甲、乙两种型号电动车中随机各抽取一台，求至少有一台首次出现故障发生在保修期内的概率；（Ⅱ）若该厂生产的电动车均能售出，记生产一台甲型号的车利润为1X ，生产一台乙型号的车利润为2X ，若该厂预计今后这两种型号电动车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种型号．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种型号的电动车？并说明理由．PABCD【湛江市2019届高三调研测试题 数学（理科） 第 5 页 共 12 页】20. （本小题满分12分）已知斜率为k 的直线l 与椭圆22198x y C +=：交于A 、B 两点，线段AB 的中点为(1,)M t (0)t >.（Ⅰ）证明：13k <-；（Ⅱ）设F 为C 的右焦点，Q 为C 上的一点，且=++−→−−→−−→−FB FA FQ 0，证明：FA ，FQ ，FB 成等差数列.21.（本小题满分12分）函数()2ln f x x x ax =+（a 为常数）有两个极值点1x ，2x （12x x <）．（Ⅰ）证明：021<<-a ； （Ⅱ）证明：()()2112f x f x >>-．【湛江市2019届高三调研测试题 数学（理科） 第 6 页 共 12 页】请考生在第22、23二题中任选一题作答。
注意：只能做所选定的题目。
如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos 3y x （θ为参数），以O为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为24)4sin(=+πθρ．（Ⅰ）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设P 为曲线1C 上的动点，求点P 到2C 上点的距离的最小值，并求此时点P 的坐标．23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲设函数1|72|)(+-=x x f . （Ⅰ）求不等式()≤f x x 的解集；（Ⅱ）若存在x 使不等式()2|1|--≤f x x a 成立，求实数a 的取值范围.湛江市2019届高三调研测试题数学（理科）参考答案及评分意见一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. A2. D3. B4. C5. A6. A7. A8. D9. A 10. B 11. B 12. C11.解：∵数列{a n }满足a 1=5，且对任意整数n ，总有（a n+1+3）（a n +3）=4a n +4成立，【湛江市2019届高三调研测试题 数学（理科） 第 7 页 共 12 页】∴8（a 2+3）=24，解得a 2=0，3（a 3+3）=4，解得34548,(3)333=-+=-a a ，解得a 4=﹣5，﹣2（a 5+3）=﹣16， 解得a 5=5．∴数列{a n }是以4为周期的数列，且123453+++=-a a a a ，∴20185504()508353=⨯-++=-S ．12.解：MF 的中点记为N ，则2522)25(2=+-=+=p p x x x F M N ，即N 到y 轴的距离为|MF ｜ 的一半。
所以圆与y 轴的切点），（20H ，x NH //轴，)2,25(N ，)4,25(pM -，代入px y 22=得82016102==⇒=+-p p p p 或． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 2； 14.7 ； 15.40； 16.16289π． 16.提示：O 为球心，O '为ABC ∆的中心，易知当O D '过球心O 时四面体ABCD 的体积最大．4=△ABC S，13-'==△D ABC ABC V S DO 4='O D连结O C '并延长交AB 于E ，2360sin ==AC CE ，1='O C ，由222O C O O OC '+'=，OD OC =得：1)4(22+-=OD OD ，所以817=OD ， 所以表面积16289)817(42ππ=⋅=S ． 三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）依题意得222cos 2b c a A bc +-===………………………………………………1分 ∵π<<A 0∴6A π=. ………………………………………………………………………………2分由32c a =及正弦定理可得：3sin 2sin C A =，∴21sin sin 33C A ==. ………………………………………………………………4分【湛江市2019届高三调研测试题 数学（理科） 第 8 页 共 12 页】（Ⅱ）由32c a =知c a <，所以C 为锐角，cos 3C ===， …………………………………………5分 所以sin sin[()]sin()B A C A C π=-+=+ ………………………………………6分C A C A sin cos cos sin += …………………………………………7分 6223+=………………………………………………………8分 由6a =及32c a =可得出4c =，…………………………………………………9分所以11sin 64226S ac B ==⨯⨯⨯=. …………………12分 18. （本小题满分12分）（Ⅰ）证明：设AC 与BD 交于点O ，连结PO ，……………1分因为CB AB =,CD AD =，BD 为公共边， 所以△ABD ≌△CBD ，所以∠ABD =∠CBD ，又CB AB =，所以AC ⊥BD ，……………………2分 且O 为AC 中点．又P A =PC ，所以PO ⊥AC ， 又AB ⊥BC ，所以OA =OB =OC ，结合P A =PB ， 可得Rt △POA ≌Rt △POB ，所以∠POB =∠POA =90°，即PO ⊥OB ，又OA 故PO ⊥平面ABCD 又BD ⊂平面ABCD ，所以PO ⊥BD ．又PO ∩AC =O ，所以BD ⊥平面P AC （Ⅱ）解：以O 为原点，建立空间直角坐标系O ﹣不妨设OA=1，易得OP=1，OD=3， 则P （0，0，1），B （﹣1，0，0）， C （0，1，0），D （3，0，0），所以)1,1,0(-=PC ，)0,1,1(=BC ，)0,1,3(-=CD ，………………………8分 设平面PBC 的法向量为),,(z y x =，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅=-=⋅0y x z y ，取)1,1,1(-=， 设直线CD 与平面PBC 所成角为θ，则6333213|||||||,cos |sin +=⨯+=⋅=><=CD n θ． …………………10分 PABCDO【湛江市2019届高三调研测试题 数学（理科） 第 9 页 共 12 页】所以CD 与平面PBC 所成角的正弦值为633+．………………………………12分 19. （本小题满分12分）（Ⅰ）设“甲、乙两型号的车至少有一台首次出现故障发生在保修期内”为事件A ，则=)(A P 45451915050100-⋅=. ………………………………………………………3分 （Ⅱ）依题意得，1X 的分布列为………………………………………………7分2X 的分布列为 …………………………………………9分∴)(1X E ＝286109300503200251100=⨯+⨯+⨯，………………………………10分 4.2785045290504180501150)(2=⨯+⨯+⨯=X E ．………………………………11分因为)()(21X E X E >，所以应生产甲型号的电动车．………………………………12分 20. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+)2(189 )1(18922222121 yx yx ………………………………………………2分 （1）- （2）得08))((9))((21212121=-++-+y y y y x x x x ．∵ 121222x x y y t +=+=，． ∴08)(29)(22121=-+-y y t x x ． ………………………………………………3分 ∴ 121289y y k x x t-==--．……………………………………………………………4分【湛江市2019届高三调研测试题 数学（理科） 第 10 页 共 12 页】由题设可知点),1(t M 在椭圆内，∴18912<+t ，解得803t <<，∴818319983k t =-⋅<-⋅=-． ……………………………………………………5分（Ⅱ）∵=++−→−−→−−→−FB FA FQ 0，M 为AB 的中点，∴ 2FQ FM =-， …………………………………………………………………6分 ∵),1(t M ，∴(1,2)Q t -．∵点(1,2)Q t -在椭圆上，∴214198t +=． ………………………………………7分 又 0t > ∴ 43t =． ………………………………………………………………8分由（Ⅰ）知89k t =-，所以23k =-．∴直线l 的方程为)1(3234--=-x y ，即2+23y x =-．…………………………9分由直线l 的方程与椭圆方程联立，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=18923222y x x y 消y 化简得2230x x --=，解得1213x x =-=，． …………………………10分 从而得8(1,)3A -，(3,0)B ， 又8(1,0)(1,)3F Q -，， ∴ 10(3FA =-=，83FQ =，2FB =．…………………11分∴ FA ，FQ ，FB 成等差数列. ………………………………………………12分21. （本小题满分12分）证明：（Ⅰ）由已知得()ln 12(0)'=++>f x x axx ,由题意得()0'=f x 有两个不等实根1212,()x x x x < ， …………………………1分 设()ln 21g x x ax =++ 则 1()2(0)'=+>g x a x x……………………………2分【湛江市2019届高三调研测试题 数学（理科） 第 11 页 共 12 页】①当0≥a 时，()0'>g x ,所以()g x 是增函数,不符合题意; …………………3分 ②当0a < 时，由()0'=g x 得:102x a =-> .……………………………………4分 列表如下:依题意:11()ln()022g a a -=-> ,解得:102a -<<. 综上所求: 102a -<<得证.………………………………………………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)知:(),()'f x f x 变化如下:由表可知:()f x 在12[,]x x 上为增函数，所以:21()()f x f x > ……………………7分 又(1)(1)210'==+>f g a , 故1(0,1)x ∈ ………………………………………8分 由(Ⅰ)知:111ln 2x ax --=,2111111111()ln (x ln )(01)2f x x x ax x x x =+==-<< ……………………………………………………………………………………………10分 设1()(ln )(01)2h x x x x x =-<< ,则1()ln 02'=<h x x 成立,所以()h x 单调递减, ……………………………………………………………………………………………11分故:1()(1)2h x h >=- ,也就是11()2f x >- 综上所证: 211()()2f x f x >>-成立. ………………………………………………12分22．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）对曲线1C ：3cos 22x =θ，22sin y =θ，∴曲线1C 的普通方程为1322=+y x ．…………………………………………2分【湛江市2019届高三调研测试题 数学（理科） 第 12 页 共 12 页】对曲线2C ：24)cos (sin 22)4sin(=+⋅=+θθρπθρ， ∴8cos sin =+θρθρ．∴曲线2C 的直角坐标方程为08=-+y x ．……………………………………5分 （Ⅱ）设曲线1C 上的任意一点为)sin ,cos 3(θθP ， ……………………………6分 则点P 到曲线2C ：08=-+y x 的距离2|8)3sin(2|2|8sin cos 3|-+=-+=πθθθd ，……………………………8分当1)3sin(=+πθ，即6πθ=时，23min =d ，此时点P 的坐标为)21,23(．…………………………………………………………………10分23．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）由()≤f x x 得：|27|1-+≤x x ， ……………………………………………1分∴270271-⎧⎨-+⎩≥≤x x x 或270271-<⎧⎨-++⎩≤x x x， 解得：762≤≤x 或8732≤≤x ．………4分∴不等式()≤f x x 的解集是]6,38[． ……………………………………………5分（Ⅱ）令1|1|2|72||1|2)()(+---=--=x x x x f x g ，则6,17()410,1274,2⎧⎪⎪⎪=-+<⎨⎪⎪->⎪⎩≤≤x g x x x x ， ………………………………………………7分 ∴4)(min -=x g ． ……………………………………………………………………8分 ∵存在x 使不等式()2|1|--≤f x x a 成立，∴min ()≤g x a ．∴4-≥a ． ……………………………………………………………………………10分注:如上各题若有其它解法，请评卷老师酌情给分.。