投资学(高级教程)-无风险投资

设风险证券组合期望收益率为 Rn ，其风险为σn ， 如图中的点N；引入的无风险投资收益率为Rf , 则σf =0，如图中的点F。有设无风险投资与风险证券组
合的再组合比例系数分别为βf 和βn，有βf +βn=1，记 再组合期望收益率为 R，p 有
Rp f Rf n Rn
(5.1)
R
N
Rn
P
Rp
Rf
σp σn
σ
由于无风险投资的σf=0，则协方差σnf=σfn=0，再 组合投资的风险σp 满足下式：
2 p
[n, f
]
2 n
fn
nf
2 f
n
f
[n
,
f
]0n2
0 0
n f
n2
2 n
(5.2)
有
n
p n
将式(5.3)代入式(5.1), 得
Rp
(1
p n
)R
f
p n
Rn
p (m)
Rp Rm
Rf Rf
m
(5.13)
由无风险投资与其它风险证券组合(N)的再组合FN
确定的风险为
p (n)
Rp Rn
Rf Rf
n
(5.14)
p (m) p (n) (R p
R
f
)(
R
m m
R
f
n Rn Rf
)
(5.15)
由式(5.6)知，
dk d n
d Rn d n
n
Rn
Rf
Rn Rf n
p
Rf
性质得证。
(5.3) (5.4)
性质5.2:
(1) 无风险投资与风险证券组合的再组合的方程直线 与风险证券组合有效边界相切的切点(M)由下式确定：
Rm bRf a cRf b
2 m
ac
1 b2
2
(cRm
2bRm
a)
变量定义同前。
(5.5)
(2)当无风险投资与风险证券组合投资的再组合直线， 与风险证券组合有效边界相切时，该再组合切线即为 新的有效边界。
组合投资期望收益率与标准差关系：
Rp= rf + α(Ra- rf )= rf + (σp /σa) (Ra- rf )
=
rf
Ra rf
a
p
(CAL 方程)
借入
Ra
A
贷出
CAL
rf
k
σa
性质5.1：无风险投资与风险证券组合投资的再
组合的风险（标准差），与再组合的期望收益率 间呈线性关系。
证明：
d cR b
(5.9)
R
Rm
M
Rn
N
P
Rp
Rf
σp σmσn
σ
由性质5.1及式(5.6)知，上图中无风险投资(F)与风险证 券组合的再组合直线与风险证券组合有效边界在M点 相切时，满足：
dR d m
ac cR
b m
2
b
m
Rm Rf m
km
(5.10)
2 m
1 ac b2
2
[c R m
(cR f
如何确定资本结构变化、借贷利率变化条件下的 有效资产组合(边界)？
证明：
(1) 式(5.4)表示的直线的斜率为：
k dRn Rn Rf d n n
(5.6)
由性质4.5可知，风险证券组合有效边界可表示为：
2
ac
1
b2Βιβλιοθήκη (cR22bRa)
式(5.7)两边对σ求 d R，有
d
(5.7)
ac
1
b2
(cR
dR d
b
dR) d
(5.8)
即
d R ac b2
2 n
2
R
n R
2 n
f
0
(5.16)
式(5.4)所示直线的斜率随的增大而增大，切线FM 斜率达最大值，且有
Rm Rf Rn Rf ,
m
n
Rn Rf 0
(5.17)
p (m) p (n)
(5.18)
式(5.18)说明，对于一定的期望收益率，再组合FM确 定的投资风险最小，故再组合FM为新的有效边界，其 解析式为：
在均值-方差模型基础上引入无风险投资，若无风 险投资收益率为常数，则无风险投资于风险组合资 产的再组合，使组合资产选择转化为线性问题，使 决策简明化。
但利率的变化使常数条件消失，有效资产组合(边 界)的线性特征变为非线性特征；企业借贷比例变化 导致资本结构改变以及借贷利率的变化；投资风险 也将改变，将使有效资产组合(边界)随之变化。
记风险资产A的收益率为ra， R
其期望收益率为Ra，标准差为 Ra 12%
A
σa；无风险资产收益率为rf。
假定Ra=12%， σa =18%，
P
rf =5%。则风险资产溢价为 5%
Ra- rf =7%。
σa=18% σ
风险资产与无风险资产的组合P的收益率为：
rp =α ra +(1-α) rf =5%+ α(ra-5%) Rp=αRa +(1-α) rf = rf + α(Ra- rf ) 资产组合风险为： σp = α σa (或 α = σp /σa )。
p
m Rm Rf
(R p
Rf
)
(5.19)
证毕。
5.2 引入无风险资产的最优资产组合
不含无风险资产的资产组合选择
引入无风险借贷的资产组合选择
不同借贷利率条件下的资产组合选择
风险厌恶型(贷出)的最优资产组合选择
冒险型(借入)的最优资产组合选择
中性(不借不贷)的最优资产组合选择
思考问题：
b)Rm
bRf
]
(5.11)
令式(5.7)中 R Rm, m将, 式(5.7)与式(5.11)联立，解得
Rm bRf a
cRf b
(5.12)
2 m
1 ac b2
2
(cRm
2bRm
a)
式(5.12)表示切点M坐标。
(2) 对于一定的期望收益率，由式(5.5)知，再组
合FM确定的风险为
5 无风险资产 ---- 借入与贷出
5.1 无风险投资的引入
无风险投资指购买由政府或银行担保发行的债 券（如国库券）而进行的投资活动。无风险投资 收益率是稳定的，标准差为零。当在风险证券组 合中引入无风险投资时，其组合的期望收益率与 风险之间的关系将发生有趣的变化。
一种风险资产与一种无风险资产的组合