高二精选题库2-2. 数学 数学doc北师大版
北师大版高二数学选修2-2第二、三章检测题及答案.doc
高二数学选修 2-2 第二章与第三章铁一中 司婷 杨文兵 一：选择题（共 12 题，每小题 5 分，共 60 分）1. 函数 yx 2 在 x1 处和 x1 处的导数之间的关系是（）A. f (1) f ( 1)B. f (1) f (1)C. f (1) f ( 1)D.以上都不对2. 与直线 2xy4 0 平行且与抛物线 yx 2 相切的直线方程是（）A. 2x y 3 0B.2x y 3 0C. 2x y 1 0D.2x y 1 03. 函数 yx1在 x 1 处的导数是（）x5A. 2B.C.1D.24. 函数 yx 2 cos x 的导数为A. y 2x cos x x 2 sin xB. y2x cos x x 2 sin xC. yx 2 cos x2xsin xD. y xcos x x 2 sin x5. 下列求导数运算正确的是A. （x+ 1 ) ′=1+12B. (log2x) ′=1x xx ln 2C. (3 x ) ′=3x log 3eD. (x2cosx) ′ = －2xsinx 6. 若 y ( x 1)( x 2)( x1) ，则 y（）A. x 3 2x 2x 2B. 3x 2 4x 1C. 3x 2 4x 2D.3x 24x 37. 曲线 y1x 5 上点 M 处的切线与直线y 3 x 垂直，则切线方程为（）5A. 5x 5y 4 0B.5x 5 y 4 0C. 5x 5y 4 0 或 5x 5 y 4 0D. 5x 5y 4 0 或 5x 5 y 4 08. 函数y sin3( 3x ) 的导数为（）4A. 3 sin 2 ( 3x ) cos(3x )B. 9 sin 2 ( 3x ) cos(3x )4 4 4 4C. 9sin 2 (3x )D. 9 sin 2 (3x ) cos(3x )4 4 49．使函数f (x) x3 3x 2 1是减函数的区间为A．2, B ．,2 C ．,0 D．0,210．若函数y a( x3 x) 的减区间为 ( 3 , 3 )，则 a 的范围是3 3A． a 0 B ． 1 a 0C ． a 1 D ． 1 a 111. 函数y x3 x 2 2 的极值情况是（）A.有极大值，无极小值B.有极小值，无极大值C.既无极大值也无极小值D.既有极大值又有极小值12.三次函数当 x 1时有极大值 4 ，当 x 3 时有极小值 0 ，且函数过原点，则此函数是（）A. y x 3 6x 2 9xB. y x3 6x2 9xC. y x 3 6x 2 9xD. y x3 6x2 9x二：填空题（共 6 题，每题 5 分，共 30 分）13. 函数 y 100 x 2，当 6 x 8 时的最大值为 ___________，最小值为_________。
北师大版高二数学练习册试题及答案
北师大版高二数学练习册试题及答案【一】1．下列说法中不正确的是()A．数列a，a，a，…是无穷数列B．1，－3，45，－7，－8，10不是一个数列C．数列0，－1，－2，－3，…不一定是递减数列D．已知数列{an}，则{an＋1－an}也是一个数列解析：选B.A，D显然正确；对于B，是按照一定的顺序排列的一列数，是数列，所以B 不正确；对于C，数列只给出前四项，后面的项不确定，所以不一定是递减数列．故选B.2．已知数列{an}的通项公式为an＝1＋（－1）n＋12，则该数列的前4项依次为()A．1，0，1，0B．0，1，0，1C.12，0，12，0D．2，0，2，0解析：选A.当n分别等于1，2，3，4时，a1＝1，a2＝0，a3＝1，a4＝0.3．已知数列{an}的通项公式是an＝2n2－n，那么()A．30是数列{an}的一项B．44是数列{an}的一项C．66是数列{an}的一项D．90是数列{an}的一项解析：选C.分别令2n2－n的值为30，44，66，90，可知只有2n2－n＝66时，n＝6(负值舍去)，为正整数，故66是数列{an}的一项．4．已知数列的通项公式是an＝2，n＝1，n2－2，n≥2，则该数列的前两项分别是()A．2，4B．2，2C．2，0D．1，2解析：选B.当n＝1时，a1＝2；当n＝2时，a2＝22－2＝2.5.如图，各图形中的点的个数构成一个数列，该数列的一个通项公式是()A．an＝n2－n＋1B．an＝n（n－1）2C．an＝n（n＋1）2D．an＝n（n＋2）2解析：选C.法一：将各图形中点的个数代入四个选项便可得到正确结果．图形中，点的个数依次为1，3，6，10，代入验证可知正确答案为C.法二：观察各个图中点的个数，寻找相邻图形中点个数之间的关系，然后归纳一个通项公式．观察点的个数的增加趋势可以发现，a1＝1×22，a2＝2×32，a3＝3×42，a4＝4×52，所以猜想an＝n（n＋1）2，故选C.6．若数列{an}的通项满足ann＝n－2，那么15是这个数列的第________项．解析：由ann＝n－2可知，an＝n2－2n.令n2－2n＝15，得n＝5.答案：57．已知数列{an}的前4项为11，102，1003，10004，则它的一个通项公式为________．解析：由于11＝10＋1，102＝102＋2，1003＝103＋3，10004＝104＋4，…，所以该数列的一个通项公式是an＝10n＋n.答案：an＝10n＋n8．已知数列{an}的通项公式为an＝2017－3n，则使an>0成立的正整数n的值为________．解析：由an＝2017－3n>0，得n答案：6729．已知数列{n(n＋2)}：(1)写出这个数列的第8项和第20项；(2)323是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？解：(1)an＝n(n＋2)＝n2＋2n，所以a8＝80，a20＝440.(2)由an＝n2＋2n＝323，解得n＝17.所以323是数列{n(n＋2)}中的项，是第17项．10．已知数列2，74，2，…的通项公式为an＝an2＋bcn，求a4，a5.解：将a1＝2，a2＝74代入通项公式，得a＋bc＝2，4a＋b2c＝74，解得b＝3a，c＝2a，所以an＝n2＋32n，所以a4＝42＋32×4＝198，a5＝52＋32×5＝145.[B能力提升]11．已知数列{an}的通项公式为an＝sinnθ，0解析：a3＝sin3θ＝12，又0答案：1212．“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年英国来华传教士伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2017这2016个数中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则此数列的项数为________．解析：能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数，故an＝15n－14.由an＝15n－14≤2017得n≤135.4，当n＝1时，此时a1＝1，不符合，故此数列的项数为135－1＝134.答案：13413．在数列{an}中，a1＝3，a17＝67，通项公式是关于n的一次函数．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求a2016；(3)2017是否为数列{an}中的项？若是，为第几项？解：(1)设an＝kn＋b(k≠0)．由a1＝3，且a17＝67，得k＋b＝317k＋b＝67，解之得k＝4且b＝－1.所以an＝4n－1.(2)易得a2016＝4×2016－1＝8063.(3)令2017＝4n－1，得n＝20184＝10092∉N＋，所以2017不是数列{an}中的项．14．(选做题)已知数列9n2－9n＋29n2－1，(1)求这个数列的第10项；(2)98101是不是该数列中的项，为什么？(3)求证：数列中的各项都在区间(0，1)内；(4)在区间13，23内是否有数列中的项？若有，有几项？若没有，说明理由．解：(1)设an＝9n2－9n＋29n2－1＝（3n－1）（3n－2）（3n－1）（3n＋1）＝3n－23n＋1.令n＝10，得第10项a10＝2831.(2)令3n－23n＋1＝98101，得9n＝300.此方程无正整数解，所以98101不是该数列中的项．(3)证明：因为an＝3n－23n＋1＝3n＋1－33n＋1＝1－33n＋1，又n∈N＋，所以0所以数列中的各项都在区间(0，1)内．(4)令13所以n>76，n当且仅当n＝2时，上式成立，故区间13，23内有数列中的项，且只有一项为a2＝47.【二】1．为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为()A．50B．40C．25D．20解析：选C.根据系统抽样的特点，可知分段间隔为100040＝25.2．某城区有农民、工人、知识分子家庭共计2000户，其中农民家庭1800户，工人家庭100户，知识分子家庭100户．现要从中抽取容量为40的样本，以调查家庭收入情况，则在整个抽样过程中，可以用到的抽样方法有()①简单随机抽样；②系统抽样；③分层抽样．A．②③B．①③C．③D．①②③解析：选 D.由于各类家庭有明显差异，所以首先应用分层抽样的方法分别从三类家庭中抽出若干户．又由于农民家庭户数较多，那么在农民家庭这一层宜采用系统抽样；而工人、知识分子家庭户数较少，宜采用简单随机抽样．故整个抽样过程要用到①②③三种抽样方法．3．从2004名学生中选取50名组成参观团，若采用下面的方法选取：先利用简单随机抽样从2004人中剔除4人，剩下的2000人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的机会() A．不全相等B．均不相等C．都相等D．无法确定解析：选C.系统抽样是等可能的，每人入样的机率均为502004.4．总体容量为524，若采用系统抽样，当抽样的间距为下列哪一个数时，不需要剔除个体()A．3B．4C．5D．6解析：选B.由于只有524÷4没有余数，故选B.5．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为() A．11B．12C．13D．14解析：选B.法一：分段间隔为84042＝20.设在1，2，…，20中抽取的号码为x0，在[481，720]之间抽取的号码记为20k＋x0，则481≤20k＋x0≤720，k∈N*，所以24120≤k＋x020≤36.因为x020∈120，1，所以k＝24，25，26， (35)所以k值共有35－24＋1＝12(个)，即所求人数为12.法二：使用系统抽样的方法，从840人中抽取42人，即每20人中抽取1人，所以在区间[481，720]抽取的人数为720－48020＝12.6．为了了解1203名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，现采用选取的号码间隔一样的系统抽样方法来确定所选取样本，则抽样间隔k＝________．解析：由于120340不是整数，所以从1203名学生中随机剔除3名，则抽样间隔k＝120040＝30.答案：307．某高三(1)班有学生56人，学生编号依次为01，02，03，…，56.现用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知编号为06，34，48的同学在样本中，那么样本中另一位同学的编号应该是________．解析：由于系统抽样的样本中个体编号是等距的，且间距为564＝14，所以样本编号应为06，20，34，48.答案：208．为了了解学生对某网络游戏的态度，高三(11)班计划在全班60人中展开调查．根据调查结果，班主任计划采用系统抽样的方法抽取若干名学生进行座谈，为此先对60名学生进行编号：01，02，03，…，60.已知抽取的学生中最小的两个编号为03，09，则抽取的学生中的编号为________．解析：由最小的两个编号为03，09可知，抽样距为k＝9－3＝6，而总体容量N＝60，所以样本容量n＝Nk＝10，即抽取10名同学，的编号为第10组抽取的个体的编号，故编号为3＋9×6＝57.答案：579．某批产品共有1564件，产品按出厂顺序编号，号码从1到1564，检测员要从中抽取15件产品做检测，请你给出一个系统抽样方案．解：(1)先从1564件产品中，用简单随机抽样的方法抽出4件产品，将其剔除．(2)将余下的1560件产品编号：1，2，3， (1560)(3)取k＝156015＝104，将总体均分为15组，每组含104个个体．(4)从第一组，即1号到104号利用简单随机抽样法抽取一个编号s.(5)按编号把s，104＋s，208＋s，…，1456＋s共15个编号选出，这15个编号所对应的产品组成样本．10．下面给出某村委会调查本村各户收入情况做的抽样，阅读并回答问题．本村人口数：1200，户数300，每户平均人口数4人；应抽户数：30；抽样间隔：120030＝40；确定随机数字：从标有1～30的号码中随机抽取一张，为12.确定第一样本户：编号12的户为第一样本户；确定第二样本户：12＋40＝52，52号为第二样本户；…(1)该村委会采用了何种抽样方法？(2)抽样过程存在哪些问题？试修改；(3)何处是用简单随机抽样？解：(1)系统抽样．(2)本题是对某村各户进行抽样，而不是对某村人口抽样．抽样间隔30030＝10，其他步骤相应改为确定随机数字：从标有1～10的号码中随机抽取一张，为2.(假设)确定第一样本户：编号02的住户为第一样本户；确定第二样本户：2＋10＝12，12号为第二样本户．(3)确定随机数字：从标有1～30的号码中随机抽取一张，为12.[B能力提升]11．为了检测125个电子元件的质量，欲利用系统抽样的方法从中抽取容量为1Δ(Δ中的数字被墨水污染，无法分辨)的样本进行检测，若在抽样时首先利用简单随机抽样剔除了5个个体，则Δ中的数字有()A．1种可能B．2种可能C．3种可能D．4种可能解析：选C.由于125－5＝120＝10×12＝15×8，故有3种可能，分别为0，2，5.12．已知某种型号的产品共有N件，且40＜N＜50，现需要利用系统抽样抽取样本进行质量检测，若样本容量为7，则不需要剔除；若样本容量为8，则需要剔除1个个体，则N＝________．解析：因为样本容量为7时，不需要剔除，所以总体的容量N为7的倍数，又40＜N ＜50，所以N＝42或49.若N＝42，因为42除以8的余数为2，所以当样本容量为8时，需要剔除2个个体，不符合题意；若N＝49，因为49除以8的余数为1，所以当样本容量为8时，需要剔除1个个体，满足题意，故N＝49.答案：4913．为了调查某路口一个月的车流量情况，*采用系统抽样的方法，样本距为7，从每周中随机抽取一天，他正好抽取的是星期日，经过调查后做出报告．你认为*这样的抽样方法有什么问题？应当怎样改进？如果是调查一年的车流量情况呢？解：*所统计的数据以及由此所推断出来的结论，只能代表星期日的交通流量．由于星期日是休息时间，很多人不上班，不能代表其他几天的情况．改进方法可以将所要调查的时间段的每一天先随机地编号，再用系统抽样方法来抽样，或者使用简单随机抽样来抽样亦可．如果是调查一年的交通流量，使用简单随机抽样法显然已不合适，比较简单可行的方法是把样本距改为8.14．(选做题)一个总体中的1000个个体编号为0，1，2，…，999，并依次将其均分为10个小组，组号为0，1，2，…，9，要用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第0组随机抽取的号码为x，那么依次错位地得到后面各组的号码，即第k组中抽取的号码的后两位数为x＋33k的后两位数．(1)当x＝24时，写出所抽取样本的10个号码；(2)若所抽取样本的10个号码中有一个的后两位数是87，求x的取值范围．解：(1)由题意知此系统抽样的间隔是100，根据x＝24和题意得，24＋33×1＝57，第1组抽取的号码是157；由24＋33×2＝90，则在第2组抽取的号码是290，…故依次是24，157，290，323，456，589，622，755，888，921.(2)由x＋33×0＝87得x＝87，由x＋33×1＝87得x＝54，由x＋33×2＝87，得x＝21，由x＋33×3＝187得x＝88…，依次求得x值可能为21，22，23，54，55，56，87，88，89，90.。
北师大高二数学必修模块考试题附标准答案
高二年级必修5宝鸡铁一中 张爱丽班级： 姓名：一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知数列{a n }地通项公式为a n =121-2n,在下列各数中,( )不是数列{a n }地项 A. 1 B. -1 C. 2 D. 32.某厂地产值若每年平均比上一年增长10%，经过x 年后，可以增长到原来地2倍，在求x 时，所列地方程正确地是( )A. (1+10%)x-1=2 B. (1+10%)x =2 C. (1+10%)x+1=2 D. x=(1+10%)23.已知数列{a n }中，a n /a n-1=2,(n ≥2),且a 1=1，则这个数列地第10项为（ ） A ．1024B ．512 C ．256D ．1284.在△ABC 中，一定成立地等式是( ) A.a sinA=b sinB B.a cosA=b cosB C.a sinB=b sinA D.a cosB=b cosA5.在△ABC 中,a=1,b=3,∠A=30°,则∠B 等于 （ ）A ．60°B ．60°或120°C ．30°或150°D ．120°6．两个等差数列，它们地前n 项和之比为1235-+n n ，则这两个数列地第9项之比是（ ）A ．35B ．58C ．38D ．477.已知△ABC 地周长为9，且4:2:3sin :sin :sin =C B A ，则cosC 地值为 （ ）A ．41-B ．41C ．32-D ．328. 设a= 3-x, b=x-2,则a 与b 地大小关系为( )A . a>b B. a=b C . a<b D. 与x 有关9.若实数a 、b 满足a +b =2，是3a +3b 地最小值是（ ） A ．18 B ．6 C ．23 D ．24310.等式11(-x)(x -)023>地解集为（ ）11. 32A x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭1. 2⎧⎫>⎨⎬⎩⎭B x x1. |3⎧⎫<⎨⎬⎩⎭C x x 11. |32⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或D x x x11.知点（3，1）和（-4，6）在直线3x-2y+a=0地两侧，则a 地取值范围是（ ）A ．a<-7或a>24B ．a=7或a=24C ．-7<a<24D ．-24<a<712.图, 不等式(x+y)(x-y)<0表示地平面区域是（）二.填空题 （ 每小题4分，共16分）13.数224y =x +x +1地最小值是___14.比数列{a n }中，已知a 1=23，a 4=12，则q =_____，S4 =____．15.某高山上地温度从山脚起，每升高100米降低0.7C ︒，已知山顶处地温度是14.8C ︒，山脚温度是26C ︒，则这山地山顶相对于山脚处地高度是．16.x 、y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+≥+0,01222y x y x y x ，目标函数z=3x+y 地最小值为____．三、 解答题：(共44分) 17.（6分）解不等式(x 2－3x ＋2) (3 －x )＞018.（12分）等差数列{a n }地前n 项和记为Sn,已知 a 10=30，a 20 =50.(1)求通项a n(2)若Sn=242，求n19.12分）在△ABC 中，已知3=a ，2=b ，B=45︒ 求A 、C 及c20.（14分）假设某市2004年新建住房400万2m ，其中有250万2m 是中低价房.预计在今后地若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房地面积均比上一年增加50万2m .那么，到哪一年底，该市历年所建中低价房地累计面积（以2004年为累计地第一年）将首次不少于4750万2m ？（2） 当年建造地中低价房地面积占该年建造住房面积地比例首次大于85%？参考答案13. 3 14.2, 22.5 15.1600米 16.1min =z三. 解答题：17.｛x ︱x<1或2 < x < 3｝; 18.(1)a n = 2n + 10 ; (2) n = 11;19.解：由正弦定理得：23245sin 3sin sin === b B a A ∵B=45︒<90︒即b <a ∴A=60︒或120︒当A=60︒时C=75︒22645sin 75sin 2sin sin +===BC b c 当A=120︒时C=15︒22645sin 15sin 2sin sin -===B C b c 20.（1）到2013年底，该市历年所建中低价房地累计面积将首次不少于4750（2）到2009年底，当年建造地中低房地面积占该年建造住房面积地比例将首次大于85%试题说明：本试题共20道题，时间120分钟，满分120分1.课本P6 练习：2 改变3.课本P38A组. 2 改变4.正弦定理地变形5.课本P49练习2：1改变6.专家伴读8.基本不等式地应用：课本P92练习1：1改变16.课本P19A组. 6 改变17.课本P83例11 改变20.课本P40C组. 2 改变版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. Copyright is personal ownership.xHAQX。
高二精选题库数学 课堂训练_2-1北师大版
第2章 第1节时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1. [2012·浙江嘉兴一中模拟]设集合M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，给出下列四个图形，其中能表示以集合M 为定义域，N 为值域的函数关系的是( )答案：B解析：利用函数的定义，要求定义域内的任一变量都有唯一的函数值与之对应，A 中(0,2]没有函数值，C 中函数值不唯一，D 中的值域不是N ，所以选B.2. 已知f ：x →－sin x 是集合A (A ⊆[0,2π])到集合B ＝{0，12}的一个映射，则集合A 中的元素个数最多有( )A. 4个B. 5个C. 6个D. 7个答案：B解析：A ⊆[0,2π]，由－sin x ＝0得x ＝0，π，2π；由－sin x ＝12得x ＝7π6，11π6，∴A 中最多有5个元素.3. 定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(4－x )， x ≤0f (x －1)－f (x －2)， x >0，则f (3)的值为( )A. －1B. －2C. 1D. 2答案：B解析：f (3)＝f (3－1)－f (3－2)＝f (2)－f (1) ＝f (2－1)－f (2－2)－f (1)＝f (1)－f (0)－f (1)＝－f (0)＝－log 24＝－2.4. [2012·天津模拟]若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为f (x )＝x 2，值域为{1,4}的“同族函数”共有 ( )A. 7个B. 8个C. 9个D. 10个答案：C解析：先确定定义域的构成元素，再分类计数得到满足条件的定义域. 由已知x 2＝1，得x ＝±1； x 2＝4，得x ＝±2.∴“同族函数”的定义域必须是由±1，±2两组数中至少各取一个构成的集合. 当定义域中有两个元素时有{－1，－2}，{－1,2}，{1，－2}，{1,2}共4个. 有三个元素时有{－1，－2,2}，{－1，－2,1}，{－1,2,1}，{－2,2,1}共4个. 有四个元素时有{－2，－1,1,2}1个. 综上共有：4＋4＋1＝9个.5. [2012·福建省宁德市模拟]若函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是( )A. (0，34]B. (0，34)C. [0，34]D. [0，34)答案：D解析：∵y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，当m ＝0，∴mx 2＋4mx ＋3＝3满足题意. 当m >0时，Δ＝16m 2－12m <0， 解得0<m <34，当m <0时，Δ＝16m 2－12m <0，无解. 综上，0≤m <34，即m ∈[0，34).6. [2012·宁波市“十校联考”]设集合A ＝[0，12)，B ＝[12，1]，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12，x ∈A 2(1－x )，x ∈B ，若x 0∈A ，且f [f (x 0)]∈A ，则x 0的取值范围是( )A. (0，14]B. (14，12)C. (14，12]D. [0，38]答案：B解析：因为f [f (x 0)]＝f (x 0＋12)＝2(1－x 0－12)＝1－2x 0，所以0≤1－2x 0<12，故14<x 0≤12，又x 0∈A ，所以14<x 0<12.二、填空题(每小题7分，共21分)7. 如图，函数f (x )的图像是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f [1f (3)]的值等于__________.答案：2解析：f [1f (3)]＝f (1)＝2.8. (1)若2f (x )－f (－x )＝x ＋1，则f (x )＝__________；(2)若函数f (x )＝xax ＋b ，f (2)＝1，又方程f (x )＝x 有唯一解，则f (x )＝__________.答案：(1)x 3＋1 (2)2xx ＋2解析：(1)∵2f (x )－f (－x )＝x ＋1，用－x 去替换式子中的x ， 得2f (－x )－f (x )＝－x ＋1，即有⎩⎪⎨⎪⎧2f (x )－f (－x )＝x ＋12f (－x )－f (x )＝－x ＋1，解方程组消去f (－x )，得f (x )＝x3＋1.(2)由f (2)＝1得22a ＋b ＝1，即2a ＋b ＝2；由f (x )＝x 得x ax ＋b ＝x ，变形得x (1ax ＋b－1)＝0，解此方程得x ＝0或x ＝1－b a ，又∵方程有唯一解，∴1－b a ＝0，解得b ＝1，代入2a ＋b ＝2得a ＝12，∴f (x )＝2xx ＋2.9. [2012·南通六校联考(一)]定义新运算“⊕”如下：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2.设函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]，则函数f (x )的值域为__________.答案：[－4,6]解析：由题意知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ∈[－2，1]x 3－2，x ∈(1，2]，当x ∈[－2,1]时，f (x )∈[－4，－1]，当x∈(1,2]时，f (x )∈(－1,6]，故当x ∈[－2,2]时，f (x )∈[－4,6].三、解答题(10、11题12分、12题13分)10. (1)已知f (x )的定义域为[0,1)，求函数f (x ＋1)及f (x 2)的定义域； (2)已知f (x 2－3)＝lg x 2x 2－6，求f (x )的定义域.解：(1)依题意，0≤x ＋1<1，∴－1≤x <0， ∴f (x ＋1)的定义域为[－1,0).由0≤x 2<1得－1<x <1，∴f (x 2)的定义域为(－1，1). (2)令u ＝x 2－3，则f (x )的定义域就是u 的值域. 要使lg x 2x 2－6有意义，只需x 2>6，即x 2－3>3，∴u >3， 即f (x )的定义域是(3，＋∞).11.如图，在△AOB 中，点A (2,1)，B (3,0)，点E 在射线OB 上自O 开始移动.设OE ＝x ，过E 作OB 的垂线l ，记△AOB 在直线l 左边部分的面积为S ，试写出S 与x 的函数关系式，并画出大致的图像.解：当0≤x ≤2时，△OEF 的高EF ＝12x ，∴S ＝12x ·12x ＝14x 2；当2<x ≤3时，△BEF 的高EF ＝3－x ，∴S ＝12×3×1－12(3－x )·(3－x )＝－12x 2＋3x －3；当x >3时，S ＝32.所以S ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 24(0≤x ≤2)－12x 2＋3x －3(2<x ≤3).32(x >3)函数图像如图所示.12. 定义在正整数集上的函数f (x )对任意m ，n ∈N *，都有f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )＋4(m ＋n )－2，且f (1)＝1.(1)求函数f (x )的表达式；(2)若m 2－tm －1≤f (x )对于任意的m ∈[－1,1]，x ∈N *恒成立，求实数t 的取值范围. 解：(1)取m ＝1，则有f (n ＋1)－f (n )＝f (1)＋4(1＋n )－2＝4n ＋3，当n ≥2时，f (n )＝f (1)＋[f (2)－f (1)]＋[f (3)－f (2)]＋…＋[f (n )－f (n －1)]＝2n 2＋n －2， 又f (1)＝1，∴f (x )＝2x 2＋x －2(x ∈N *). (2)f (x )＝2(x ＋14)2－178，∴x ＝1时f (x )min ＝1，由条件得m 2－tm －1≤1在m ∈[－1,1]上恒成立，即m 2－tm －2≤0， 若m ＝0，则t ∈R ，若0<m ≤1，则t ≥m －2m ，即t ≥－1，若－1≤m <0，则t ≤m －2m ，即t ≤1，综上－1≤t ≤1.。
(完整版)数学北师大版高中选修2-2高二数学(理科)选修2-2测试卷
普通高中课程标准实验教材（选修2-2）数学综合测试一．选择题（本大题8小题，每题4分，共32分，每小题所给选项中只有一项符合题目要求）1．一物体沿直线作匀速直线运动，其位移与时间的关系为s=2t+6，则在某时间段的平均速度与任一时刻的瞬时速度（）A）相等 B）不等 C）有时相等 D）无法比较2．复数m2+2m-3+(m-1)i(m∈R)为纯虚数，则（）A）m=1,m=-3 B）m=1 C）m=-3 D）m=33.曲线y=x3-3x2+1在点(1,-1)处的切线方程为（）A）3x-y-4=0B）3x+y-2=0C）4x+y-3=0D）4x-y-5=04．曲线y=cosx(0≤x≤π)与坐标轴所围成的面积是（）A）0 B）1 C）2 D）35．下列在演绎推理中可以作为证明数列an =n+1n上是递增数列的大前题的有（）个 A）0 B）1 C）2 D）3①函数y=f(x)在对于区间（a,b）中任意两个数x1,﹤x2若x1x2都有f(x1)﹤f(x2)则函数为增函数，②函数y=f(x)在对于区间（a,b）中的导数f'(x)﹥0则函数为增函数，③数列{an}中若对任意正整数都有an+1＞an6.函数y=ax3+x+1有极值的充要条件是（）A）a＞0 B）a＜0 C）a≥0 D）a≤07.如图所示是函数y=f(x)的导函数y=f'(x)图象，则下列哪一个判断是正确的（）A）在区间（-2，1）内y=f(x)-2为增函数3B）在区间（1，3）内y=f(x)为减函数124C）在区间（4，5）内y=f(x)为增函数D）当x=2时y=f(x)有极小值8．做一个底面为正三角形的体积为V的直棱柱，要求其表面积最小，则底面边长为（）A）3VB）32VC）34VD）23V二．填空题（本大题共6个小题，每小题4分，满分24分）9．⎰32(3x+2x)dx=10．复数3+5i的共轭复数为11．归纳推理，类比推理,演绎推理中从一般到特殊的推理过程的是12．关于x的方程x3-3x-a=0有三个不同的根，则a的取值范围是（2）若f(x)在区间［1，2］上是减函数，求a的范围13．设27n 的个位数为an，如a1=7,.a2=9,......则a2007=214．不等式ln(1+x)-14x≤M恒成立，则M的最小值为三.解答题(本大题共4题,满分34分)15.已知a.b都是正数,求证a+1b ...b+1a这2个数中至少有一个不小于2 (6分)16已知函数f(x)=13x3-2ax2+3a2x+b(a＞0) (8分)(1)当y=f(x)的极小值为1时求b的值17.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-13和x=1处取得极值，（1）求a,b的值及其单调区间，（2）若对x∈［-1，2］不等式f(x)≤c2恒成立，求c的取值范围 (10)18.已知复数Z=cosθ+i sinθ（1）计算Z2,Z3,Z4，（2）猜想Z n并用数学归纳法证明（10）(备用公式Sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβcos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ。
2022-2023学年北师大版高二下数学：导数的应用(附答案解析)
2022-2023学年北师大版高二下数学：导数的应用一．选择题（共8小题）1．（2021秋•湖北期中）若f（x）＝e x•lnx，则f（x）的切线的倾斜角α满足（）A．一定为锐角B．一定为钝角C．可能为直角D．可能为0°2．（2021秋•运城期末）已知，则f′（x）＝（）A．cos x B．﹣cos x C．sin x D．﹣sin x 3．（2021秋•新化县期末）若函数f（x），g（x）满足f（x）+xg（x）＝x2﹣1，且f（1）＝1，则f'（1）+g'（1）＝（）A．1B．2C．3D．44．（2021秋•怀仁市校级期末）已知f（x）＝cos2x+e2x，则f'（x）＝（）A．﹣2sin2x+2e2x B．sin2x+e2xC．2sin2x+2e2x D．﹣sin2x+e2x5．（2021春•番禺区校级期中）函数y＝cos（1+x2）的导数是（）A．2x sin（1+x2）B．﹣sin（1+x2）C．﹣2x sin（1+x2）D．2cos（1+x2）6．（2020•南充模拟）设a∈R，函数f（x）＝e x+a•e﹣x的导函数是f′（x），且f′（x）是奇函数．若曲线y＝f（x ）的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为（）A．ln2B．﹣ln2C ．D ．7．（2019春•南开区校级期中）下列式子不正确的是（）A．（3x2+cos x）′＝6x﹣sin xB．（lnx﹣2x ）′＝ln2C．（2sin2x）′＝2cos2xD．（）′＝8．（2015春•郑州期末）若函数f（x）＝，则f′（x）是（）A．仅有最小值的奇函数B．仅有最大值的偶函数C．既有最大值又有最小值的偶函数第1页（共12页）。
2022-2023学年北师大版高二下数学：概率(附答案解析)
2022-2023学年北师大版高二下数学：概率一．选择题（共8小题）1．（2021秋•宜昌期中）某产品共有三个等级，分别为一等品、二等品和不合格品．从一箱产品中随机抽取1件进行检测，设“抽到一等品”的概率为0.55，“抽到二等品”的概率为0.2，则“抽到不合格品”的概率为（）A．0.8B．0.75C．0.45D．0.25 2．（2021秋•常州期中）某个班级有55名学生，其中男生35名，女生20名，男生中有20名团员，女生中有12名团员．在该班中随机选取一名学生，如果选到的是团员，那么选到的是男生的概率为（）A ．B ．C ．D ．3．（2021秋•沙市区校级期中）先后抛掷两枚骰子，甲表示事件“第一次掷出正面向上的点数是1”，乙表示事件“第二次掷出正面向上的点数是2”，丙表示事件“两次掷出的点数之和是7”，丁表示事件“两次掷出的点数之和是8”，则（）A．甲与丙相互独立B．甲与丁相互独立C．乙与丁相互独立D．丙与丁相互独立4．（2021秋•浙江期中）不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色小球各2个，一次任意摸出2个小球，则与事件“2个小球都为红色”互斥而不对立的事件有（）A．2个小球不全为红色B．2个小球恰有一个红色C．2个小球至少有一个红色D．2个小球不全为绿色5．（2021秋•仁寿县期中）先后抛掷一颗骰子两次，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x，y，事件A为：x+y为偶数，事件B为：xy为奇数，则概率P（B|A）＝（）A ．B ．C ．D ．6．（2021秋•河南期中）如图所示，阴影部分由六个全等的三角形组成，每个三角形是底边为圆的半径，顶角为120°的等腰三角形，若在圆内随机取一点，则该点落到阴影部分内的概率为（）第1页（共18页）。
北师大版本高中高二数学选修23测试卷试题包括答案.doc
高二数学（选修2-3）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分；每小题所给的四个选项中只有一个选项符合题意）1．在 100 件产品中，有 3 件是次品，现从中任意抽取 5 件，其中至少有 2 件次品的取法种数为 ( )A ． C 32 C 973B ．C 32 C 973 +C 33C 972 C ． C 1005 -C 13C 974D ． C 1005 - C 9752． C 22 C 32 C 42C 102 等于（ ）A ．990B ． 165C ． 120D ． 552303．二项式a的展开式的常数项为第（）项3aA ． 17B ． 18C ． 19D ． 20 4．设 ( x 2 1)(2 x 1)9a 0 a 1 (x 2) a 2 (x 2)2 a 11 ( x 2)11 ，则aaaa 的值为（）121 1A ． 2B ． 1C ．1D ． 25．从 6 名学生中，选出 4 人分别从事 A 、 B 、C 、D 四项不同的工作，若其中， 甲、乙两人不能从事工作 A ，则不同的选派方案共有（ ）A ．96 种B ．180 种C ． 240 种D ．280 种6． 设随机变量服从 B （6， 1），则 P （ =3）的值是（）2A ．5B ．3C ．5D ．31616887．在某一试验中事件 A 出现的概率为 p ，则在 n 次试验中 A 出现 k 次的概率为 （）A ． － p kB ． 1 p k p n k － kD ． C k1p k p n k1 C.1 1 p n8．从 1，2， ,, ， 9 这九个数中，随机抽取 3 个不同的数，则这 3 个数的和为偶数的概率是（）A ．5B．4C．11D．10 9 9 21 219．随机变量服从二项分布～ B n, p ，且E 300, D 200, 则 p 等于（）A. 2B. 1C. 1D. 03 310．某考察团对全国 10 大城市进行职工人均平均工资x 与居民人均消费y进行统计调查 , y 与x具有相关关系,回归方程 y? 0.66 x 1.562 (单位:千元),若某城市居民消费水平为7.675,估计该城市消费额占人均工资收入的百分比为（）A. 66%B. 72.3%C. 67.3%D. 83%111．设随机变量 X ～N（2，4），则 D（ X）的值等于 ( )2A.1B.2C. 1D.4212．设回归直线方程为?1.5x ，则变量x增加一个单位时，（）y 2A ．y平均增加 1. 5 个单位 B. y平均增加 2 个单位C．y平均减少 1. 5 个单位 D. y平均减少 2 个单位二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
北师大版数学高二-选修2-2模块综合测试1
选修2－2 模块综合测试(一)(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．“金导电、银导电、铜导电、锡导电，所以一切金属都导电”．此推理方法是( ) A ．完全归纳推理 B ．归纳推理 C ．类比推理D ．演绎推理解析：由特殊到一般的推理为归纳推理．故选B. 答案：B2．设f (x )＝10x ＋l gx ，则f ′(1)等于( ) A ．10 B ．10ln10＋l g e C ．10ln10＋ln10 D ．11ln10解析：∵f ′(x )＝10x ln10＋1x ln10，∴f ′(1)＝10ln10＋l g e ，故选B. 答案：B3．[2013·四川高考]如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( )A ．AB ．BC ．CD ．D解析：设z ＝－a ＋b i(a ，b ∈R ＋)，则z 的共轭复数z ＝－a －b i ，它对应点的坐标为(－a ，－b )，是第三象限的点．故选B.答案：B4．已知复数z 1＝m ＋2i ，z 2＝3－4i ，若z 1z 2为实数，则实数m 的值为( )A ．83B ．32C ．－83D ．－32解析：z 1z 2＝m ＋2i 3－4i ＝(m ＋2i )(3＋4i )(3－4i )(3＋4i )＝(3m －8)＋(6＋4m )i32＋42是实数，∴6＋4m ＝0.∴m ＝－32.答案：D5．a ＋b >2c 成立的一个充分条件是( ) A ．a >c 或b >c B ．a >c 且b >c C ．a >c 且b <cD ．a >c 或b <c解析：⎩⎨⎧a >cb >c ⇒a ＋b >2c ，a ＋b >2cD ⇒/⎩⎨⎧a >c ，b >c .答案：B6．[2014·杭州高二检测]函数y ＝ln x (x >0)的图像与直线y ＝12x ＋a 相切，则a 等于( )A ．ln2－1B ．ln2＋1C ．ln2D ．2ln2解析：因为函数y ＝ln x 的导数y ′＝1x ，又函数y ＝ln x (x >0)的图像与直线y ＝12x ＋a 相切，所以1x ＝12，即x ＝2，所以切点P (2，ln2)，所以ln2＝1＋a ，即a ＝ln2－1.答案：A7．∫2π0|sin x |dx ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．4解析：∫2π0|sin x |d x ＝∫π0sin x d x ＋∫2ππ(－sin x )d x ＝－cos x⎪⎪⎪ π0＋cos x⎪⎪⎪ 2ππ＝1＋1＋1＋1＝4.答案：D8．给出下列三个命题： ①若a ≥b >－1，则a 1＋a ≥b1＋b；②若正整数m 和n 满足m ≤n ，则m (n －m )≤n2；③设P (x 1，y 1)为圆O 1：x 2＋y 2＝9上任意一点，圆O 2以Q(a ，b )为圆心且半径为1，当(a －x 1)2＋(b －y 1)2＝1时，圆O 1与O 2相切．其中假命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：①中，∵a ≥b >－1， ∴a ＋1≥b ＋1>0. ∴要证原式成立，只要证 a (1＋b )≥b (1＋a )，这显然成立． ∴①正确； ②中m (n －m )≤m ＋(n －m )2＝n2也成立； ③中⊙O 1的圆心为O(0,0)，半径r 1＝3. ⊙O 2的圆心为Q(a ，b )，半径r 2＝1， ∴|OQ|＝a 2＋b 2.∵|O P |＋|P Q|＝r 1＋r 2＝4或|O P |－|P Q|＝r 1－r 2＝2与|OQ|的大小关系都是不确定的，∴不一定相切，故③为假命题．故选B .答案：B9．在区间(0，＋∞)内，函数f (x )＝e x －x 是( ) A ．增函数 B ．减函数 C ．先增后减D ．先减后增解析：f ′(x )＝e x －1，因为x >0，所以e x >1，所以e x －1>0，即y ′>0在(0，＋∞)上恒成立．故函数在(0，＋∞)上是增函数．答案：A10．对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1)f ′(x )≥0，则必有( ) A ．f (0)＋f (2)<2f (1) B ．f (0)＋f (2)≤2f (1) C ．f (0)＋f (2)≥2f (1) D ．f (0)＋f (2)>2f (1)解析：因为(x －1)f ′(x )≥0，所以⎩⎨⎧ x ≥1，f ′(x )≥0.或⎩⎨⎧x ≤1，f ′(x )≤0.(1)函数y ＝f (x )在(－∞，1]上单调递减， f (0)>f (1)；在[1，＋∞)上单调递增，f (2)>f (1)， 所以f (0)＋f (2)>2f (1)． (2)函数y ＝f (x )为常数函数时， f (0)＋f (2)＝2f (1)，故f (0)＋f (2)≥2f (1)，故选C. 答案：C11．已知f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )且f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋…＋f (n )不能等于( ) A ．f (1)＋2f (1)＋…＋nf (1) B ．f (n (n ＋1)2)C ．n (n －1)D ．n (n ＋1)2f (1)解析：f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )， 令x ＝y ＝1，∴f (2)＝2f (1)．令x ＝1，y ＝2，f (3)＝f (1)＋f (2)＝3f (1)． ⋮f (n )＝nf (1)，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (n )＝(1＋2＋…＋n )f (1) ＝n (n ＋1)2f (1)．∴A 、D 正确；又f (1)＋f (2)＋…＋f (n )＝f (1＋2＋…＋n ) ＝f (n (n ＋1)2)．∴B 也正确．故选C. 答案：C12．已知y ＝f (x )是R 上的可导函数，对于任意的正实数t ，都有函数g (x )＝f (x ＋t )－f (x )在其定义域内为减函数，则函数y ＝f (x )的图像可能为下图中的( )解析：因为函数g (x )＝f (x ＋t )－f (x )在其定义域内为减函数，所以g ′(x )＝f ′(x ＋t )－f ′(x )<0恒成立，即f ′(x )为减函数(切线斜率减小)．答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．[2013·重庆高考]已知复数z ＝5i1＋2i (i 是虚数单位)，则|z |＝________.解析：∵z ＝5i1＋2i ＝5i (1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝10＋5i 5＝2＋i ，∴|z |＝22＋12＝ 5.答案： 514．函数y ＝11－cos x 的导数是__________．解析：y ′＝1′(1－cos x )－1·(1－cos x )′(1－cos x )2＝－sin x(1－cos x )2.答案：y ′＝－sin x(1－cos x )215．曲线y ＝x 3＋x 在x ＝1处的切线与x 轴，直线x ＝2所围成的三角形的面积为__________．解析：∵y ′＝3x 2＋1，∴y ′|x ＝1＝4. ∴曲线y ＝x 3＋x 在x ＝1处的切线方程为 y －2＝4(x －1)，即y ＝4x －2，故所求面积为以(12，0)，(2,0)，(2,6)为顶点的直角三角形的面积S ，∴S ＝12×32×6＝92.答案：9216．[2014·福建高考]已知集合{a ，b ，c }＝{0,1,2}，且下列三个关系：①a ≠2；②b ＝2；③c ≠0有且只有一个正确，则100a ＋10b ＋c 等于________．解析：当a ≠2正确时，c ＝0，b ≠2，{a ，b ，c }中没有元素2，与集合相等矛盾，①不正确；当b ＝2正确时，c ＝0，a ＝2，这与集合元素的互异性矛盾，②不正确；当c ≠0正确时，a ＝2，b ≠2，此时b ＝0，c ＝1，符合题意，这时100a ＋10b ＋c ＝201. 答案：201三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知复数z 1满足(1＋i)z 1＝1＋5i ，z 2＝1－(a －2)i ，其中i 为虚数单位，a ∈R ，若|z 1－z 2|<|z 1|，求实数a 的取值范围．解：由题意，得z 1＝1＋5i1＋i ＝3＋2i ，于是|z 1－z 2|＝|2－(a －4)i|＝(4－a )2＋4，|z 1|＝13.因为|z 1－z 2|<|z 1|，所以(4－a )2＋4<13，即a 2－8a ＋7<0，解得a 的取值范围为(1,7)． 18．(12分)已知a 、b 、c 、d ∈R ，且a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd >1，求证：a 、b 、c 、d 中至少有一个是负数．证明：假设a 、b 、c 、d 都是非负数，因为a ＋b ＝c ＋d ＝1，所以(a ＋b )(c ＋d )＝1. 又(a ＋b )(c ＋d )＝ac ＋bd ＋ad ＋bc ≥ac ＋bd ， 所以ac ＋bd ≤1，这与已知ac ＋bd >1矛盾． 所以a 、b 、c 、d 中至少有一个是负数．19．(12分)已知实数a ≠0，函数f (x )＝ax (x －2)2(x ∈R )有极大值32，求a 的值． 解：f (x )＝ax (x －2)2＝a (x 3－4x 2＋4x )． ∴f ′(x )＝a (3x 2－8x ＋4)＝a (3x －2)(x －2)． 由f ′(x )＝0，得x ＝23或x ＝2.当a >0时，f (x )在x ＝23时，取极大值，由f (23)＝32，得a ＝27；当a <0时，f (x )在x ＝2时，取极大值， 由f (2)＝32，得a 不存在， ∴a ＝27.20．(12分)已知函数f (x )＝ax 3＋bx ＋1的图像经过点(1，－3)且在x ＝1处，f (x )取得极值．求：(1)函数f (x )的解析式； (2)f (x )的单调递增区间．解：(1)由f (x )＝ax 3＋bx ＋1的图像过点(1，－3)，得a ＋b ＋1＝－3.∵f ′(x )＝3ax 2＋b ，又f ′(1)＝3a ＋b ＝0，∴由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝－4，3a ＋b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－6.∴f (x )＝2x 3－6x ＋1.(2)∵f ′(x )＝6x 2－6，∴由f ′(x )>0得x >1或x <－1. ∴f (x )的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)．21．(12分)已知数列8·112·32，8·232·52，…，8·n (2n －1)2·(2n ＋1)2，…，S n 为该数列的前n 项和，计算得S 1＝89，S 2＝2425，S 3＝4849，S 4＝8081.观察上述结果，推测出S n (n ∈N *)，并用数学归纳法加以证明． 解：推测S n ＝(2n ＋1)2－1(2n ＋1)2(n ∈N *)． 用数学归纳法证明如下：(1)当n ＝1时，S 1＝(2＋1)2－1(2＋1)2＝89，等式成立；(2)假设当n ＝k 时等式成立，即S k ＝(2k ＋1)2－1(2k ＋1)2，那么当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝S k ＋8(k ＋1)(2k ＋1)2(2k ＋3)2＝(2k ＋1)2－1(2k ＋1)2＋8(k ＋1)(2k ＋1)2(2k ＋3)2＝[(2k ＋1)2－1](2k ＋3)2＋8(k ＋1)(2k ＋1)2(2k ＋3)2＝(2k ＋1)2(2k ＋3)2－(2k ＋3)2＋8(k ＋1)(2k ＋1)2(2k ＋3)2＝(2k ＋1)2(2k ＋3)2－(2k ＋1)2(2k ＋1)2(2k ＋3)2＝(2k ＋3)2－1(2k ＋3)2＝[2(k ＋1)＋1]2－1[2(k ＋1)＋1]2.也就是说，当n ＝k ＋1时，等式成立．根据(1)和(2)，可知对一切n ∈N *，等式均成立．22．(12分)[2013·广东高考]设函数f (x )＝(x －1)e x －kx 2(k ∈R )． (1)当k ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)当k ∈(12，1]时，求函数f (x )在[0，k ]上的最大值M .解：(1)当k ＝1时，f (x )＝(x －1)e x －x 2，f ′(x )＝e x ＋(x －1) e x －2x ＝x e x －2x ＝x (e x －2)． 令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝ln2. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化如下表：(2)f ′(x )＝e x ＋(x －1)e x －2kx ＝x e x －2kx ＝x (e x －2k )， 令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝ln(2k )．令g (k )＝ln(2k )－k ，则g ′(k )＝1k －1＝1－k k >0，所以g (k )在(12，1]上递增，所以g (k )≤ln2－1＝ln2－lne<0，从而ln(2k )<k ，所以ln(2k )∈[0，k ]，所以当x ∈(0，ln(2k ))时，f ′(x )<0；当x ∈(ln(2k )，＋∞)时，f ′(x )>0；所以M ＝max {f (0)，f (k )}＝max {－1，(k －1)e k －k 3}． 令h (k )＝(k －1)e k －k 3＋1， 则h ′(k )＝k (e k －3k )，令φ(k )＝e k －3k ，则φ′(k )＝e k －3<e －3<0，所以φ(k )在(12，1]上递减，而φ(12)·φ(1)＝(e －32)(e －3)<0，所以存在x 0∈(12，1]使得φ(x 0)＝0，且当k ∈(12，x 0)时，φ(k )>0，当k ∈(x 0,1)时，φ(k )<0，所以φ(k )在(12，x 0)上单调递增，在(x 0,1)上单调递减．因为h (12)＝－12e ＋78>0，h (1)＝0，所以h (k )≥0在(12，1]上恒成立，当且仅当k ＝1时取得“＝”．综上，函数f (x )在[0，k ]上的最大值M ＝(k －1)e k －k 3.。
高二精选题库4-1. 数学 数学doc北师大版
第4模块 第1节[知能演练]一、选择题1．判断下列各命题的真假：(1)向量AB →的长度与向量BA →的长度相等；(2)向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； (3)两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； (4)两个有公共终点的向量，一定是共线向量；(5)向量AB →与向量CD →是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上； (6)有向线段就是向量，向量就是有向线段． 其中假命题的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：(1)真命题；(2)假命题，若a 与b 中有一个为零向量时，其方向是不确定的；(3)真命题；(4)假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反；(5)假命题，共线向量所在直线可以重合、可以平行；(6)假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段．答案：C2．若四边形ABCD 是正方形，E 是DC 边的中点，且AB →＝a ，AD →＝b ，则BE →等于( )A ．b ＋12aB ．b －12aC ．a ＋12bD ．a －12b解析：BE →＝BC →＋CE →＝b ＋(－12a )＝b －12a .答案：B3．已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD →＝2DB →，若CD →＝ rAB →＋sAC →，则r ＋s 的值是( )A.23B ．0C.43D ．－3解析：在△ABC 中，CD →＝23CB →＝23(AB →－AC →)＝23AB →－23AC →，故r ＋s ＝0. 答案：B4．平行四边形ABCD 中，O 为AC 与BD 的交点，点E 在BC 上，且BE →＝2EC →，设AB →＝a ，AD →＝b ，则OE →为( )A.32a ＋76b B.12a ＋16 C.12a －16bD.12a ＋23b 解析：如右图．由向量的运算法则得OE →＝OC →＋CE →＝12AC →＋13DA →＝12(a ＋b )－13b ＝12＋16b ，故选B.答案：B 二、填空题5．△ABC 中，BD →＝12→，AE →＝3ED →，若AB →＝a ，AC →＝b ，则BE →＝________.解析：依题意有BE →＝BD →＋DE →＝BD →＋14→＝BD →＋14(BA →－BD →)＝34BD →＋14BA →＝34×13BC →＋14BA →＝14(b －a )＋14(－a )＝－12a ＋14b .答案：－12a ＋14b6．如下图所示，两块斜边长相等的直角三角板并在一起，若AD →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________，y ＝________.解析：以A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设AB →＝(1,0)，AC →＝(0,1)，则|BC →|＝2，∴|BD →|＝2×sin60°＝62.由题意有AD →＝(x ，y )，∴x ＝1＋62cos45°＝1＋32，y ＝62sin45°＝32.故x ＝1＋32，y＝32. 答案：1＋32，32三、解答题7．在△AOB 中，C 是AB 边上的一点，且BC CA ＝λ(λ>0)，若OA →＝a ，OB →＝b .(1)当λ＝1时，用a ，b 表示OC →； (2)用a ，b 表示OC →.解：(1)当λ＝1时，OC →＝12(OA →＋OB →)＝12a ＋12b .(2)OC →＝OB →＋BC →，BA →＝OA →－OB →＝a －b ， 因为BCCAλ，BC ＝λCA ，BA ＝BC ＋CA ， BA ＝(λ＋1)·CA ，BC ＝λ1＋λBA .所以BC →＝λ1＋λBA →， 即OC →＝OB →＋λ1＋λBA →＝b ＋λ1＋λ(a －b )＝λa ＋b 1＋λ.8．如下图，点O 是梯形ABCD 对角线的交点，|AD |＝4，|BC |＝6，|AB |＝2. 设与BC →同向的单位向量为a 0，与BA →同向的单位向量为b 0.(1)用a 0和b 0表示AC →，CD →和OA →；(2)若点P 在梯形ABCD 所在的平面上运动，且|CP →|＝2，求|BP →|的最大值和最小值． 解：(1)由题意知BC →＝6a 0，BA →＝2b 0，∴AC →＝BC →－BA →＝6a 0－2b 0； ∵AD →∥BC →，∴AD →＝4a 0，则CD →＝CA →＋AD →＝2b 0－6a 0＋4a 0＝2b 0－2a 0； 过C 点作CM ∥BD ，易知四边形BCMD 是平行四边形．则|AO ||AD |＝|AC ||AM |，即|AO |4＝|6a 0－2b 0|10， 得OA →＝450－125a 0.(2)BP →＝BC →＋CP →，BP →2＝(BC →＋CP →)2＝BC →·BC →＋CP →·CP →＋2BC →·CP →，即|BP →|2＝|BC →|2＋|CP →|2＋2|BC →|·|CP →|·cos 〈BC →，CP →〉＝62＋22＋2·6·2cos 〈BC →，CP →〉＝40＋24cos 〈BC →，CP →〉．∵cos 〈BC →，CP →〉∈[－1,1]，∴当cos 〈BC →，CP →〉＝1时，|BP →|max ＝8. 当cos 〈BC →，CP →〉＝－1时，|BP →|min ＝4.[高考·模拟·预测]1．已知向量a ，b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b .如果c ∥d ，那么( )A ．k ＝1且c 与d 同向B ．k ＝1且c 与d 反向C ．k ＝－1且c 与d 同向D ．k ＝－1且c 与d 反向解析：由c ∥d ，则存在λ使c ＝λd ，即k a ＋b ＝λa －λb ， ∴(k －1)a ＋(λ＋1)b ＝0.又a 与b 不共线， ∴k －λ＝0，且λ＋1＝0.∴k ＝－1.此时c ＝－a ＋b ＝－(a －b )＝－d . 故c 与d 反向，选D. 答案：D2．已知非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 的形状是 ( )A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰(非等边)三角形D ．等边三角形解析：由⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，得∠BAC 的平分线垂直于BC . ∴AB ＝AC .而AB →|AB →|·AC →|AC →|＝cos 〈AB →，AC →〉＝12，又〈AB →，AC →〉∈[0°，180°]，∴∠BAC ＝60°.故△ABC 为正三角形，选D. 答案：D3．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →＝(1,1)，1|BA →|BA →＋1|BC →|BC →＝3|BD →|BD →，则四边形ABCD的面积为________．解析：由于AB →＝DC →＝(1,1)，则四边形ABCD 是平行四边形且|AB →|＝2，又由1|BA →|BA →＋1|BC →|BC →＝3|BD →|BD →，得BC 、CD (BA )与BD 三者之间的边长之比为1∶1∶3，那么可知∠DAB ＝120°，所以AB 边上的高为62.所以四边形ABCD 的面积为2×62＝ 3. 答案： 34．已知向量集合M ＝{a |a ＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R }，N ＝{b |b ＝(－2，－2)＋λ(4,5)，λ∈R }，则M ∩N ＝________.解析：由(1,2)＋λ1(3,4)＝(－2，－2)＋λ2(4,5)，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋3λ1＝－2＋4λ22＋4λ1＝－2＋5λ2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－1λ2＝0，∴M ∩N ＝{(－2，－2)}．答案：{(－2，－2)}5． O 是平面上一点，A ，B ，C 是平面上不共线三点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ＝12时，则PA →·(PB →＋PC →)的值为________． 解析：由OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ＝12AP →＝12(AB →＋AC →)，即P 为△ABC 中BC 边的中点．∴PB →＋PC →＝0.∴PA →·(PB →＋PC →)＝PA →·0＝0. 答案：06．若a ，b 是两个不共线的非零向量，t ∈R .(1)若a ，b 起点相同，t 为何值时，a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在一直线上？(2)若|a |＝|b |且a 与b 夹角为60°，t 为何值时，|a －t b |的值最小？ 解：(1)设a －t b ＝m [a －13(a ＋b )]，m ∈R ，化简得(23－1)a ＝(m3t )b ，∵a 与b 不共线，∴⎩⎨⎧ 23m －1＝0m3－t ＝0⇒⎩⎨⎧m ＝32，t ＝12.∴t ＝12时，a ，t b ，13(a ＋b )的终点在一直线上．(2)|a －t b |2＝(a －t b )2 ＝|a |2＋t 2|b |2－2t |a ||b |cos60° ＝(1＋t 2－t )|a |2.∴当t ＝12时，|a －t b |有最小值32|a |.。
北师大版高中数学选修2-2测试题全套及答案
高中数学选修2-2测试题全套及答案模块综合测评(时间150分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.若复数z＝a＋i的实部与虚部相等，则实数a＝()A.－1B.1C.－2D.2【解析】z＝a＋i的虚部为1，故a＝1，选B.【答案】B2.已知复数z＝11＋i，则z·i在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】∵z＝11＋i＝1－i2，∴z＝12＋12i，∴z·i＝－12＋12i.【答案】B3.观察：6＋15<211， 5.5＋15.5<211，4－2＋17＋2<211，……，对于任意的正实数a，b，使a＋b<211成立的一个条件可以是()A.a＋b＝22B.a＋b＝21C.ab＝20D.ab＝21【解析】由归纳推理可知a＋b＝21.故选B.【答案】B4.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则f′(1)＝()A.－eB.－1C.1D.e【解析】∵f(x)＝2xf′(1)＋ln x，∴f′(x)＝2f′(1)＋1 x，∴f′(1)＝2f′(1)＋1，∴f′(1)＝－1.【答案】B5.由①y＝2x＋5是一次函数；②y＝2x＋5的图像是一条直线；③一次函数的图像是一条直线.写一个“三段论”形式的正确推理，则作为大前提、小前提和结论的分别是()A.②①③B.③②①C.①②③D.③①②【解析】该三段论应为：一次函数的图像是一条直线(大前提)，y＝2x＋5是一次函数(小前提)，y＝2x＋5的图像是一条直线(结论).【答案】D6.已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图像如图1所示，则()图1A.函数f (x )有1个极大值点，1个极小值点B.函数f (x )有2个极大值点，2个极小值点C.函数f (x )有3个极大值点，1个极小值点D.函数f (x )有1个极大值点，3个极小值点 【解析】 根据极值的定义及判断方法，检查f ′(x )的零点左右值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个点处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个点处取得极小值；如果左右都是正，或者左右都是负，那么f (x )在这个点处不是极值.由此可见，x 2是函数f (x )的极大值点，x 3是极小值点，x 1，x 4不是极值点.【答案】 A7.曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( ) A.94e 2 B.2e 2C.e 2D.e 22【解析】 ∵f ′(x )＝e x ，∴曲线在点(2，e 2)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝e 2，切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)，即e 2x －y －e 2＝0，切线与x 轴和y 轴的交点坐标分别为A (1，0)，B (0，－e 2)，则切线与坐标轴围成的△OAB 的面积为12×1×e 2＝e 22.【答案】 D8.已知数列1，a ＋a 2，a 2＋a 3＋a 4，a 3＋a 4＋a 5＋a 6，…，则数列的第k 项是( )A.a k ＋a k ＋1＋…＋a 2k B.a k －1＋a k ＋…＋a 2k －1 C.a k －1＋a k ＋…＋a 2k D.a k －1＋a k ＋…＋a 2k －2【解析】 由归纳推理可知，第k 项的第一个数为a k －1，且共有k 项.故选D. 【答案】 D9.函数f (x )＝ax 3－x 在R 上为减函数，则( ) A.a ≤0 B.a <1C.a <2D.a ≤13【解析】 由题意可知f ′(x )＝3ax 2－1≤0在R 上恒成立，则a ≤0. 【答案】 A10.设a ＝⎠⎛10x －13d x ，b ＝1－⎠⎛01x 12d x ，c ＝⎠⎛10x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系( ) A .a>b>c B.b>a>c C .a>c>b D.b>c>a【解析】 由题意可得a ＝⎠⎛01x －13dx ＝32x 23⎪⎪⎪1＝32； b ＝1－⎠⎛01x 12dx ＝1－23x 32⎪⎪⎪1＝1－⎝ ⎛23－0c ＝⎠⎛01x 3dx ＝x 44⎪⎪⎪1＝14.综上，a >b >c . 【答案】 A11.在数学归纳法的递推性证明中，由假设n ＝k 时成立推导n ＝k ＋1时成立时，f (n )＝1＋12＋13＋…＋12n －1增加的项数是( )A.1B.2k ＋1C.2k －1D.2k【解析】 ∵f (k )＝1＋12＋13＋…＋12k －1，又f (k ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1.从f (k )到f (k ＋1)是增加了(2k ＋1－1)－2k ＋1＝2k 项. 【答案】 D12.已知函数f (x )＝x 3－ln (x 2＋1－x )，则对于任意实数a ，b (a ＋b ≠0)，则f （a ）＋f （b ）a ＋b的值为( )A.恒正B.恒等于0C.恒负D.不确定【解析】 可知函数f (x )＋f (－x )＝x 3－ln (x 2＋1－x )＋(－x )3－ln (x 2＋1＋x )＝0， 所以函数为奇函数，同时，f ′(x )＝3x 2＋1x 2＋1>0，f (x )是递增函数，f （a ）＋f （b ）a ＋b ＝f （a ）－f （－b ）a －（－b ），所以f （a ）＋f （b ）a ＋b>0，所以选A .【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上)13.复数3＋ii 2(i 为虚数单位)的实部等于________.【解析】 ∵3＋ii 2＝－3－i ，∴其实部为－3. 【答案】 －314.观察下列等式：13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，……，根据上述规律，第五个等式为________.【解析】 第n 个等式左边为1到n ＋1的立方和，右边为1＋2＋3＋…＋(n ＋1)的平方，所以第五个等式为13＋23＋33＋43＋53＋63＝212.【答案】 13＋23＋33＋43＋53＋63＝21215.曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与直线y ＝12围成的封闭图形的面积为__________.【解析】 由于曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与直线y ＝12的交点的横坐标分别为x ＝π6及x ＝5π6，因此所求图形的面积为⎠⎜⎛π65π6⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －12dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos x －12x ⎪⎪⎪⎪5π6π6＝3－π3.【答案】3－π316.已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1－x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，2)处的切线方程是________.【解析】 设x ＞0，则－x ＜0，f (－x )＝e x －1＋x . ∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )＝e x －1＋x . ∵当x ＞0时，f ′(x )＝e x －1＋1， ∴f ′(1)＝e 1－1＋1＝1＋1＝2.∴曲线y ＝f (x )在点(1，2)处的切线方程为 y －2＝2(x －1)， 即2x －y ＝0.【答案】 2x －y ＝0三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)设复数z ＝（1＋i ）2＋3（1－i ）2＋i，若z 2＋az ＋b ＝1＋i ，求实数a ，b 的值.【解】 z ＝（1＋i ）2＋3（1－i ）2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i2＋i＝（3－i ）（2－i ）5＝5－5i 5＝1－i .因为z 2＋az ＋b ＝(1－i )2＋a (1－i )＋b＝－2i ＋a －ai ＋b ＝(a ＋b )－(2＋a )i ＝1＋i ，所以⎩⎨⎧a ＋b ＝1，－（2＋a ）＝1，解得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝4.18.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3x ＋1. (1)当a ＝－2时，讨论f (x )的单调性；(2)若x ∈[2，＋∞)时，f (x )≥0，求a 的取值范围.【解】 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 3－32x 2＋3x ＋1， f ′(x )＝3x 2－62x ＋3.令f ′(x )＝0，得x 1＝2－1，x 2＝2＋1.当x ∈(－∞， 2－1)时，f ′(x )＞0，f (x )在(－∞，2－1)上是增函数； 当x ∈(2－1，2＋1)时，f ′(x )＜0，f (x )在(2－1, 2＋1)上是减函数； 当x ∈(2＋1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )在(2＋1，＋∞)上是增函数.(2)由f (2)≥0，得a ≥－54.当a ≥－54，x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＝3(x 2＋2ax ＋1)≥3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－52x ＋1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(x －2)＞0，所以f (x )在(2，＋∞)上是增函数，于是当x ∈[2，＋∞)时，f (x )≥f (2)≥0.综上，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－54，＋∞.19.(本小题满分12分)设等差数列{a n }的公差为d ，S n 是{a n }中从第2n －1项开始的连续2n －1项的和，即 S 1＝a 1， S 2＝a 2＋a 3，S 3＝a 4＋a 5＋a 6＋a 7， ……S n ＝a 2n －1＋a 2n －1＋1＋…＋a 2n －1， ……若S 1，S 2，S 3成等比数列，问：数列{S n }是否成等比数列？请说明你的理由. 【解】 ∵S 1，S 2，S 3成等比数列，∴S 1＝a 1≠0，且S 1·S 3＝S 22，由S 1·S 3＝S 22，得a 1(a 4＋a 5＋a 6＋a 7)＝(a 2＋a 3)2，即a 1(4a 1＋18d )＝(2a 1＋3d )2，2a 1d ＝3d 2.∴d ＝0或a 1＝32d . 当d ＝0时，S n ＝2n －1a 1≠0， S n ＋1S n ＝2n a 12n －1a 1＝2(常数)，n ∈N ＋，{S n }成等比数列；当a 1＝32d 时，S n ＝a 2n －1＋a 2n －1＋1＋a 2n －1＝2n －1a 2n －1＋2n －1（2n －1－1）2d＝2n －1[a 1＋(2n －1－1)d ]＋2n －1（2n －1－1）2d＝2n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫32d ·2n －1＋a 1－32d ＝32d ·4n －1≠0，S n ＋1S n ＝32d ·4n 32d ·4n －1＝4(常数)，n ∈N ＋，{S n }成等比数列.综上所述，若S 1，S 2，S 3成等比数列，则{S n }成等比数列.20.(本小题满分12分)已知幂函数f (x )＝x －m 2＋2m ＋3(m ∈Z )为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设函数g (x )＝14f (x )＋ax 3＋92x 2－b (x ∈R )，其中a ，b ∈R ，若函数g (x )仅在x ＝0处有极值，求a 的取值范围.【解】 (1)因为f (x )在区间(0，＋∞)上是单调增函数， 所以－m 2＋2m ＋3>0，即m 2－2m －3<0， 所以－1<m <3，又m ∈Z ，所以m ＝0，1，2. 而m ＝0，2时，f (x )＝x 3不是偶函数，m ＝1时， f (x )＝x 4是偶函数， 所以f (x )＝x 4.(2)由(1)知g (x )＝14x 4＋ax 3＋92x 2－b ，则g ′(x )＝x (x 2＋3ax ＋9)，显然x ＝0不是方程x 2＋3ax ＋9＝0的根.为使g (x )仅在x ＝0处有极值， 必须x 2＋3ax ＋9≥0恒成立，即有Δ＝9a 2－36≤0，解不等式得a ∈[－2，2]. 这时，g (0)＝－b 是唯一极值，所以a ∈[－2，2].21.(本小题满分12分)在各项为正的数列{a n }中，数列的前n 项和S n 满足S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n .(1)求a 1，a 2，a 3；(2)由(1)猜想到数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想.【解】 (1)由S 1＝a 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋1a 1，得a 21＝1， 因为a n >0，所以a 1＝1.由S 2＝a 1＋a 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2，得a 22＋2a 2－1＝0，所以a 2＝2－1，由S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＋1a 3，得a 23＋22a 3－1＝0，所以a 3＝3－ 2. (2)猜想a n ＝n －n －1(n ∈N ＋). 证明：①当n ＝1时，a 1＝1－0＝1，命题成立； ②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时， a k ＝k －k －1成立， 则n ＝k ＋1时， a k ＋1＝S k ＋1－S k＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a k ，即a k ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1 －12⎝⎛⎭⎪⎫k －k －1＋1k －k －1 ＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－k ，所以a 2k ＋1＋2ka k ＋1－1＝0. 所以a k ＋1＝k ＋1－k ， 则n ＝k ＋1时，命题成立.则①②知，n ∈N ＋，a n ＝n －n －1.22.(本小题满分12分)设函数f (x )＝a e x ln x ＋b ex －1x ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝e(x －1)＋2.(1)求a ，b ； (2)证明：f (x )>1.【解】 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a e x ln x ＋a x e x －b x 2e x －1＋bx e x －1.由题意可得f (1)＝2，f ′(1)＝e.故a ＝1，b ＝2.(2)证明：由(1)知，f (x )＝e x ln x ＋2x e x －1，从而f (x )>1等价于x ln x >x e －x －2e .设函数g (x )＝x ln x ，则g ′(x )＝1＋ln x .所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，g ′(x )<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，g ′(x )>0.故g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增，从而g (x )在(0，＋∞)上的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e .设函数h (x )＝x e －x－2e ，则h ′(x )＝e －x (1－x ). 所以当x ∈(0，1)时，h ′(x )>0； 当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )<0.故h (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，从而h (x )在(0，＋∞)上的最大值为h (1)＝－1e . 综上，当x >0时，g (x )>h (x )，即f (x )>1.章末综合测评(一) 推理与证明(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.下面四个推理不是合情推理的是( ) A.由圆的性质类比推出球的有关性质B.由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°C.某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分D.蛇、海龟、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龟、蜥蜴是爬行动物，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的【解析】 逐项分析可知，A 项属于类比推理，B 项和D 项属于归纳推理，而C 项中各个学生的成绩不能类比，不是合情推理.【答案】 C2.用反证法证明命题“若直线AB ，CD 是异面直线，则直线AC ，BD 也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：①则A ，B ，C ，D 四点共面，所以AB ，CD 共面，这与AB ，CD 是异面直线矛盾； ②所以假设错误，即直线AC ，BD 也是异面直线； ③假设直线AC ，BD 是共面直线. 则正确的序号顺序为( ) A.①②③ B.③①② C.①③② D.②③①【解析】 结合反证法的证明步骤可知，其正确步骤为③①②. 【答案】 B3.下列推理是归纳推理的是( )A.A，B为定点，动点P满足|P A|＋|PB|＝2a>|AB|，得P的轨迹为椭圆B.由a1＝1，a n＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和S n的表达式C.由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜出椭圆x2a2＋y2b2＝1的面积S＝πabD.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇【解析】由归纳推理的特点知，选B.【答案】B4.用反证法证明“a，b，c中至少有一个大于0”，下列假设正确的是()A.假设a，b，c都小于0B.假设a，b，c都大于0C.假设a，b，c中都不大于0D.假设a，b，c中至多有一个大于0【解析】用反证法证明“a，b，c中至少有一个大于0”，应先假设要证命题的否定成立.而要证命题的否定为：“假设a，b，c中都不大于0”，故选C.【答案】C5.用数学归纳法证明“5n－2n能被3整除”的第二步中，当n＝k＋1时，为了使用假设，应将5k＋1－2k＋1变形为()A.(5k－2k)＋4·5k－2kB.5(5k－2k)＋3·2kC.(5－2)(5k－2k)D.2(5k－2k)－3·5k【解析】5k＋1－2k＋1＝5k·5－2k·2＝5k·5－2k·5＋2k·5－2k·2＝5(5k－2k)＋3·2k.【答案】B6.已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…－1n＝2⎝⎛⎭⎪⎫1n＋2＋1n＋4＋…＋12n时，若已假设n＝k(k≥2且k为偶数)时等式成立，则还需要用归纳假设再证n＝________时等式成立.()A.k＋1B.k＋2C.2k＋2D.2(k＋2)【解析】根据数学归纳法的步骤可知，n＝k(k≥2且k为偶数)的下一个偶数为n＝k＋2，故选B.【答案】B7.已知{b n}为等比数列，b5＝2，则b1·b2·b3·b4·b5·b6·b7·b8·b9＝29.若{a n}为等差数列，a5＝2，则{a n}的类似结论为()A.a1a2a3…a9＝29B.a1＋a2＋a3＋…＋a9＝29C.a1a2a3…a9＝2×9D.a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9【解析】根据等差、等比数列的特征知，a1＋a2＋…＋a9＝2×9.【答案】D8.袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则()A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C.乙盒中红球不多于丙盒中红球D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多【解析】 取两个球往盒子中放有4种情况： ①红＋红，则乙盒中红球数加1； ②黑＋黑，则丙盒中黑球数加1；③红＋黑(红球放入甲盒中)，则乙盒中黑球数加1；④黑＋红(黑球放入甲盒中)，则丙盒中红球数加 1.因为红球和黑球个数一样多，所以①和②的情况一样多，③和④的情况完全随机.③和④对B 选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数没有任何影响.①和②出现的次数是一样的，所以对B 选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数的影响次数一样.综上，选B. 【答案】 B9.在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19且n ∈N ＋)成立，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b 11＝1，则有( )A.b 1·b 2·…·b n ＝b 1·b 2·…·b 19－nB.b 1·b 2·…·b n ＝b 1·b 2·…·b 21－nC.b 1＋b 2＋…＋b n ＝b 1＋b 2＋…＋b 19－nD.b 1＋b 2＋…＋b n ＝b 1＋b 2＋…＋b 21－n 【解析】 令n ＝10时，验证即知选B. 【答案】 B10.将石子摆成如图1的梯形形状.称数列5，9，14，20，…为“梯形数”.根据图形的构成，此数列的第2 016项与5的差，即a 2 016－5＝( )图1A.2 018×2 014B.2 018×2 013 C .1 010×2 012 D.1 011×2 013【解析】 a n －5表示第n 个梯形有n －1层点，最上面一层为4个，最下面一层为n ＋2个.∴a n －5＝（n －1）（n ＋6）2，∴a 2 016－5＝2 015×2 0222＝2 013×1 011. 【答案】 D11.在直角坐标系xOy 中，一个质点从A (a 1，a 2)出发沿图2中路线依次经过B (a 3，a 4)，C (a 5，a 6)，D (a 7，a 8)，…，按此规律一直运动下去，则a 2 015＋a 2 016＋a 2 017＝( )图2A.1 006B.1 007C.1 008D.1 009【解析】 依题意a 1＝1，a 2＝1；a 3＝－1，a 4＝2；a 5＝2，a 6＝3；…，归纳可得a 1＋a 3＝1－1＝0，a 5＋a 7＝2－2＝0，…，进而可归纳得a 2 015＋a 2 017＝0，a 2＝1，a 4＝2，a 6＝3，…，进而可归纳得a 2 016＝12×2 016＝1 008，a 2 015＋a 2 016＋a 2 017＝1 008.故选C.【答案】 C12.记集合T ＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 110＋a 2102＋a 3103＋a 4104|a i ∈T ，i ＝1，2，3，4，将M 中的元素按从大到小排列，则第2 016个数是( )A.710＋9102＋8103＋4104B.510＋5102＋7103＋2104C.510＋5102＋7103＋3104D.710＋9102＋9103＋1104【解析】 因为a 110＋a 2102＋a 3103＋a 4104 ＝1104(a 1×103＋a 2×102＋a 3×101＋a 4)，括号内表示的10进制数，其最大值为9 999，从大到小排列，第2 016个数为9 999－2 016＋1＝7 984，所以a 1＝7，a 2＝9，a 3＝8，a 4＝4. 【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上)13.已知圆的方程是x 2＋y 2＝r 2，则经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.类比上述性质，可以得到椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1类似的性质为__________.【解析】 圆的性质中，经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x与y 分别用M (x 0，y 0)的横坐标与纵坐标替换.故可得椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1类似的性质为：过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0y b2＝1. 【答案】 经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb 2＝1 14.观察下列等式： 13＝1， 13＋23＝9，13＋23＋33＝36，13＋23＋33＋43＝100， ……照此规律，第n 个等式可为__________.【解析】 依题意，注意到13＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×1×（1＋1）2，13＋23＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×2×（2＋1）2＝9，13＋23＋33＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×3×（3＋1）2＝36，……，照此规律，第n 个等式可为13＋23＋33＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12n （n ＋1）2. 【答案】 13＋23＋33＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12n （n ＋1）215.当n ＝1时，有(a －b )(a ＋b )＝a 2－b 2，当n ＝2时，有(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝a 3－b 3，当n ＝3时，有(a －b )(a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3)＝a 4－b 4，当n ∈N ＋时，你能得到的结论是__________.【解析】 根据题意，由于当n ＝1时，有(a －b )(a ＋b )＝a 2－b 2，当n ＝2时，有(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝a 3－b 3，当n ＝3时，有(a －b )(a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3)＝a 4－b 4，当n ∈N ＋时，左边第二个因式可知为a n ＋a n －1b ＋…＋ab n －1＋b n ，那么对应的表达式为(a －b )·(a n ＋a n －1b ＋…＋ab n －1＋b n )＝a n ＋1－b n ＋1.【答案】 (a －b )(a n ＋a n －1b ＋…＋ab n －1＋b n )＝a n ＋1－b n ＋116.如图3，如果一个凸多面体是n (n ∈N ＋)棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有________条，这些直线共有f (n )对异面直线，则f (4)＝________，f (n )＝__________.(答案用数字或n 的解析式表示)图3【解析】 所有顶点所确定的直线共有棱数＋底边数＋对角线数＝n ＋n ＋n （n －3）2＝n （n ＋1）2.从题图中能看出四棱锥中异面直线的对数为f (4)＝4×2＋4×12×2＝12，所以f (n )＝n (n －2)＋n （n －3）2·(n －2)＝n （n －1）（n －2）2.【答案】 n （n ＋1）2 12 n （n －1）（n －2）2三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)用综合法或分析法证明：(1)如果a ，b >0，则lg a ＋b 2≥lg a ＋lg b2；(2)6＋10>23＋2.【证明】 (1)当a ，b >0时，有a ＋b2≥ab ，∴lg a ＋b2≥lg ab ，∴lg a ＋b 2≥12lg ab ＝lg a ＋lg b 2.(2)要证6＋10>23＋2， 只要证(6＋10)2>(23＋2)2， 即260>248，这是显然成立的， 所以，原不等式成立.18.(本小题满分12分)观察以下各等式：sin 230°＋cos 260°＋sin 30°cos 60°＝34， sin 220°＋cos 250°＋sin 20°cos 50°＝34， sin 215°＋cos 245°＋sin 15°cos 45°＝34.分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明.【解】 猜想：sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34. 证明如下：sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝sin 2α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α－12sin α2＋sin α⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α－12sin α＝sin 2α＋34cos 2α－32sin αcos α＋14sin 2α＋ 32sin α·cos α－12sin 2α ＝34sin 2α＋34cos 2α ＝34.19.(本小题满分12分)点P 为斜三棱柱ABC A 1B 1C 1的侧棱BB 1上一点，PM ⊥BB 1交AA 1于点M ，PN ⊥BB 1交CC 1于点N .(1)求证：CC 1⊥MN ；(2)在任意△DEF 中有余弦定理：DE 2＝DF 2＋EF 2－2DF ·EF ·cos ∠DFE .扩展到空间类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明.【解】 (1)证明：因为PM ⊥BB 1，PN ⊥BB 1，又PM ∩PN ＝P ， 所以BB 1⊥平面PMN ，所以BB 1⊥MN . 又CC 1∥BB 1，所以CC 1⊥MN . (2)在斜三棱柱ABC A 1B 1C 1中，有S 2ABB 1A 1＝S 2BCC 1B 1＋S 2ACC 1A 1－2S BCC 1B 1S ACC 1A 1cos α. 其中α为平面BCC 1B 1与平面ACC 1A 1所成的二面角. 证明如下：因为CC 1⊥平面PMN ，所以上述的二面角的平面角为∠MNP . 在△PMN 中，因为PM 2＝PN 2＋MN 2－2PN · MN cos ∠MNP ，所以PM 2·CC 21＝PN 2·CC 21＋MN 2·CC 21－2(PN ·CC 1)·(MN ·CC 1)cos ∠MNP ， 由于S BCC 1B 1＝PN ·CC 1，S ACC 1A 1＝MN ·CC 1， S ABB 1A 1＝PM ·BB 1＝PM ·CC 1，所以S 2 ABB 1A 1＝S 2 BCC 1B 1＋S 2 ACC 1A 1－2S BCC 1B 1·S ACC 1A 1·cos α.20.(本小题满分12分)如图4，在三棱锥P ABC 中，D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点.已知P A ⊥AC ，P A ＝6，BC ＝8，DF ＝5.求证：图4(1)直线P A ∥平面DEF ； (2)平面BDE ⊥平面ABC .【证明】 (1)因为D ，E 分别为棱PC ，AC 的中点，所以DE ∥P A . 又因为P A ⊆/平面DEF ，DE 平面DEF ， 所以直线P A ∥平面DEF .(2)因为D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，P A ＝6，BC ＝8，所以DE ∥P A ，DE ＝12P A ＝3，EF ＝12BC ＝4.又因为DF ＝5，故DF 2＝DE 2＋EF 2， 所以∠DEF ＝90°，即DE ⊥EF .又P A ⊥AC ，DE ∥P A ，所以DE ⊥AC .因为AC ∩EF ＝E ，AC 平面ABC ，EF 平面ABC ， 所以DE ⊥平面ABC . 又DE 平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABC .21.(本小题满分12分)在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝14，且a n ＋1＝（n －1）a n n －a n(n ≥2).(1)求a 3，a 4，猜想a n 的表达式，并加以证明；(2)设b n ＝a n ·a n ＋1a n ＋a n ＋1， 求证：对任意的n ∈N ＋，都有b 1＋b 2＋…＋b n <n3.【解】 (1)容易求得：a 3＝17，a 4＝110.故可以猜想a n ＝13n －2，n ∈N ＋.下面利用数学归纳法加以证明：①显然当n ＝1，2，3，4时，结论成立，②假设当n ＝k (k ≥4，k ∈N ＋)时，结论也成立，即a k ＝13k －2.那么当n ＝k ＋1时，由题设与归纳假设可知：a k ＋1＝（k －1）a kk －a k＝（k －1）×13k －2k －13k －2＝k －13k 2－2k －1＝k －1（3k ＋1）（k －1） ＝13k ＋1＝13（k ＋1）－2. 即当n ＝k ＋1时，结论也成立，综上，对任意n ∈N ＋，a n ＝13n －2成立.(2)证明：b n ＝a n ·a n ＋1a n ＋a n ＋1＝13n －2·13n ＋113n －2＋13n ＋1＝13n ＋1＋3n －2＝13(3n ＋1－3n －2)，所以b 1＋b 2＋…＋b n ＝13[(4－1)＋(7－4)＋(10－7)＋…＋(3n ＋1－3n －2)]＝13(3n ＋1－1)，所以只需要证明13(3n ＋1－1)<n3⇔3n ＋1<3n ＋1⇔3n ＋1<3n ＋23n ＋1⇔0<23n(显然成立)，所以对任意的n ∈N ＋，都有b 1＋b 2＋…＋b n <n3.22.(本小题满分12分)记U ＝{1，2，…，100}，对数列{a n }(n ∈N ＋)和U 的子集T ，若T ＝∅，定义S T ＝0；若T ＝{t 1，t 2，…，t k }，定义S T ＝at 1＋at 2＋…＋at k .例如：T ＝{1，3，66}时，S T ＝a 1＋a 3＋a 66.现设{a n }(n ∈N ＋)是公比为3的等比数列，且当T ＝{2，4}时，S T ＝30.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)对任意正整数k (1≤k ≤100)，若T ⊆{1，2，…，k }，求证：S T <a k ＋1； (3)设C ⊆U ，D ⊆U ，S C ≥S D ，求证：S C ＋S C ∩D ≥2S D .【解】 (1)由已知得a n ＝a 1·3n －1，n ∈N ＋.于是当T ＝{2，4}时，S T ＝a 2＋a 4＝3a 1＋27a 1＝30a 1. 又S T ＝30，故30a 1＝30，即a 1＝1.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1，n ∈N ＋.(2)证明：因为T ⊆{1，2，…，k }，a n ＝3n －1>0，n ∈N ＋，所以S T ≤a 1＋a 2＋…＋a k ＝1＋3＋…＋3k －1＝12(3k－1)<3k . 因此，S T <a k ＋1.(3)证明：下面分三种情况证明.①若D 是C 的子集，则S C ＋S C ∩D ＝S C ＋S D ≥S D ＋S D ＝2S D . ②若C 是D 的子集，则S C ＋S C ∩D ＝S C ＋S C ＝2S C ≥2S D . ③若D 不是C 的子集，且C 不是D 的子集. 令E ＝C ∩∁U D ，F ＝D ∩∁U C ， 则E ≠∅，F ≠∅，E ∩F ＝∅.于是S C ＝S E ＋S C ∩D ，S D ＝S F ＋S C ∩D ，进而由S C ≥S D 得S E ≥S F . 设k 为E 中的最大数，l 为F 中的最大数，则k ≥1，l ≥1，k ≠l . 由(2)知，S E <a k ＋1.于是3l －1＝a l ≤S F ≤S E <a k ＋1＝3k ， 所以l －1<k ，即l ≤k . 又k ≠l ，故l ≤k －1.从而S F ≤a 1＋a 2＋…＋a l ＝1＋3＋…＋3l －＝a k －12≤S E －12， 故S E ≥2S F ＋1，所以S C －S C ∩D ≥2(S即S C＋S C∩D≥2S D＋1.综合①②③得，S C＋S C∩D≥2S D.章末综合测评(二) 变化率与导数(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.某质点沿直线运动的位移方程为f(x)＝－2x2＋1，那么该质点从x＝1到x＝2的平均速度为()A.－4B.－5C.－6D.－7【解析】ΔyΔx＝f（2）－f（1）2－1＝（－2×22＋1）－（－2×12＋1）1＝－6.【答案】C2.设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝()A.1B.12 C.－12 D.－1【解析】y′＝2ax，于是切线斜率k＝f′(1)＝2a，由题意知2a＝2，∴a＝1.【答案】A3.下列各式正确的是()A.(sin α)′＝cos α(α为常数)B.(cos x)′＝sin xC.(sin x)′＝cos xD.(x－5)′＝－15x－6【解析】由导数公式知选项A中(sin α)′＝0；选项B中(cos x)′＝－sin x；选项D中(x －5)′＝－5x－6.【答案】C4.设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y＝2x，则a等于()【解析】令f(x)＝ax－ln(x＋1)，则f′(x)＝a－1 x＋1.由导数的几何意义可得在点(0，0)处的切线的斜率为f′(0)＝a－1.又切线方程为y＝2x，则有a－1＝2.∴a＝3.【答案】D5.已知二次函数f(x)的图像如图1所示，则其导函数f′(x)的图像大致形状是()图1A B C D【解析】 由图像知f (x )＝ax 2＋c (a <0)，∴f ′(x )＝2ax (a <0)，故选B. 【答案】 B6.已知函数y ＝x －1，则它的导函数是( )A.y ′＝12x －1 B.y ′＝x －12（x －1）C.y ′＝2x －1x －1D.y ′＝－x －12（x －1）【解析】 u ＝x －1，y ′＝(u )′·u ′＝12u＝12x －1＝x －12（x －1）. 【答案】 B7.若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( ) A.4x －y －3＝0 B.x ＋4y －5＝0 C.4x －y ＋3＝0 D.x ＋4y ＋3＝0 【解析】 切线l 的斜率k ＝4，设y ＝x 4的切点的坐标为(x 0，y 0)，则k ＝4x 30＝4，∴x 0＝1，∴切点为(1，1)，即y －1＝4(x －1)，∴4x －y －3＝0. 【答案】 A8.设函数f (x )＝x m ＋ax 的导数为f ′(x )＝2x ＋1，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1f （n ）(n ∈N ＋)的前n 项和是( ) A.nn ＋1 B.n ＋2n ＋1C.nn －1D.n ＋1n 【解析】 ∵f ′(x )＝mx m －1＋a ＝2x ＋1，∴m ＝2，a ＝1，∴f (x )＝x 2＋x ，∴1f （n ）＝1n 2＋n ＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1f （n ）(n ∈N ＋)的前n项和为1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.故选A.【答案】 A9.如图2，下列图像中，有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R ，a ≠0)的导函数f ′(x )的图像，则f (－1)等于( )图2A.－13B.13C.73D.－13或73【解析】 f ′(x )＝x 2＋2ax ＋(a 2－1)＝[x ＋(a －1)][x ＋(a ＋1)].显然(2)(4)不符合，若(1)是f ′(x )的图像，则有a ＝0，与已知矛盾，故(3)是f ′(x )的图像，∴a ＝－1.∴f (－1)＝－13－1＋1＝－13.【答案】 A10.过点(－1，0)作抛物线y ＝x 2＋x ＋1的切线，则其中一条切线为( ) A.2x ＋y ＋2＝0 B.3x －y ＋3＝0 C.x ＋y ＋1＝0 D.x －y ＋1＝0 【解析】 y ′＝2x ＋1，设所求切线的切点为(x 0，x 20＋x 0＋1)， 则x 20＋x 0＋1x 0＋1＝2x 0＋1，∴x 0＝0或x 0＝－2.当x 0＝0时，曲线y ＝x 2＋x ＋1在点(0，1)处的切线斜率为1，方程为y －1＝x ，即x －y ＋1＝0.当x 0＝－2时，切线方程为3x ＋y ＋3＝0.【答案】 D11.点P 是曲线x 2－y －2ln x ＝0上任意一点，则点P 到直线4x ＋4y ＋1＝0的最短距离是( )A.22(1－ln 2)B.22(1＋ln 2)C.22⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋ln 2 D.12(1＋ln 2)【解析】 y ′＝2x －1x ＝－1⇒x ＝12⇒y ＝14＋ln 2，所以切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14＋ln 2，切点到直线的距离就是两平行线间的距离，由点到直线的距离公式求得d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4×12＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋ln 2＋142＋42＝22(1＋ln 2)，故选B.【答案】 B12.已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2C.⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 【解析】 因为y ＝4e x ＋1，所以y ′＝－4e x （e x ＋1）2＝－4e x e 2x ＋2e x ＋1＝－4e x ＋1e x ＋2.因为e x >0，所以e x ＋1e x≥2，所以y ′∈[－1，0)，所以tan α∈[－1，0).又因为α∈[0，π)，所以α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上) 13.设函数y ＝f (x )是一次函数，若f (1)＝－1，且f ′(2)＝－4，则f (x )＝________. 【解析】 ∵y ＝f (x )是一次函数，∴设f (x )＝ax ＋b ， ∴f ′(x )＝a ，则f (1)＝a ＋b ＝－1，又f ′(2)＝a ＝－4. 即a ＝－4，b ＝3，∴f (x )＝－4x ＋3.【答案】 －4x ＋314.若抛物线y ＝x 2－x ＋c 上一点P 的横坐标为－2，抛物线过点P 的切线恰好过坐标原点，则c 的值为________.【解析】 ∵y ′＝2x －1， ∴当x ＝－2时，y ′＝－5. 又P (－2，6＋c )， ∴6＋c －2＝－5，∴c ＝4. 【答案】 415.设函数f (x )＝(x －a )(x －b )(x －c )(a ，b ，c 是两两不等的常数)，则a f ′（a ）＋bf ′（b ）＋cf ′（c ）＝________. 【解析】 ∵f ′(x )＝(x －b )(x －c )＋(x －a )·(x －c )＋(x －a )·(x －b )， ∴f ′(a )＝(a －b )(a －c )， 同理f ′(b )＝(b －a )(b －c )， f ′(c )＝(c －a )(c －b )， 代入原式中得值为0. 【答案】 016.设函数f (x )＝cos(3x ＋φ)(0<φ<π)，若f (x )＋f ′(x )是奇函数，则φ＝____. 【解析】 f ′(x )＝－sin (3x ＋φ)·(3x ＋φ)′＝－3sin (3x ＋φ)， ∴f (x )＋f ′(x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)＝2 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋φ＋π3，当f (x )＋f ′(x )为奇函数时，φ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π＋π6，k ∈Z ，∵0<φ<π，∴φ＝π6.【答案】 π6三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)求下列函数的导数. (1)y ＝3x 2＋x cos x ；(2)y ＝tan x x ；(3)y ＝x 2－2x ＋5x 3.【解】 (1)y ′＝(3x 2)′＋(x cos x )′ ＝6x ＋x ′cos x ＋x (cos x )′ ＝6x ＋cos x －x sin x .(2)法一：y ′＝（tan x ）′·x －tan xx 2＝xcos 2x －tan x x 2＝x －cos 2x ·tan x x 2cos 2x＝x －sin x cos x x 2cos 2x .法二：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x x cos x ′＝（sin x ）′x cos x －sin x （x cos x ）′x 2cos 2x＝x cos 2x －sin x （cos x －x sin x ）x 2cos 2x＝x －sin x cos x x 2cos 2x .(3)∵y ＝1x －2x 2＋5x 3＝x －1－2x －2＋5x －3， ∴y ′＝－x －2－2×(－2)x －3＋5×(－3)x －4＝－1x 2＋4x 3－15x 4.18.(本小题满分12分)已知曲线y ＝f (x )＝x 3－8x ＋2. (1)求曲线在点(0，2)处的切线方程；(2)过原点作曲线的切线l ：y ＝kx ，求切线l 的方程.【解】 (1)∵f (x )＝x 3－8x ＋2，∴f ′(x )＝3x 2－8，则f ′(0)＝－8，所以曲线在点(0，2)处的切线方程为y －2＝－8(x －0)，即8x ＋y －2＝0.(2)设切点为P (a ，a 3－8a ＋2)，切线斜率k ＝3a 2－8，则切线方程y －(a 3－8a ＋2)＝(3a 2－8)(x －a )，又因为切线过原点，所以0－(a 3－8a ＋2)＝(3a 2－8)(0－a )，即2a 3－2＝0，所以a ＝1，即切线l 斜率为k ＝－5，切线l 方程为y ＝－5x ，即5x ＋y ＝0.19.(本小题满分12分)已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限.(1)求P 0的坐标；(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程. 【解】 (1)由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1，由已知得3x 2＋1＝4，解得x ＝±1.当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4.又因为点P 0在第三象限，所以切点P 0的坐标为(－1，－4).(2)因为直线l ⊥l 1，l 1的斜率为4，所以直线l 的斜率为－14， 因为l 过切点P 0，点P 0的坐标为(－1，－4)，所以直线l 的方程为y ＋4＝－14(x ＋1)， 即x ＋4y ＋17＝0.20.(本小题满分12分)设函数f (x )＝x e a －x ＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝(e －1)x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)求过点(2，f (2))且与切线y ＝(e －1)x ＋4垂直的直线方程l . 【解】 (1)因为f (x )＝x e a －x ＋bx ， 所以f ′(x )＝(1－x )e a －x ＋b .依题设，⎩⎨⎧f （2）＝2e ＋2，f ′（2）＝e －1，即⎩⎨⎧2e a －2＋2b ＝2e ＋2，－e a －2＋b ＝e －1. ∴⎩⎨⎧a ＝2，b ＝e. (2)由(1)知k l ＝11－e ，且f (2)＝2e ＋2，∴y －(2e ＋2)＝11－e(x －2).即所求直线l 的方程为y ＝11－e x ＋21－e＋2e ＋2. 21.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a ln x ＋x 2. (1)若a ＝1，求f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)对于任意x ≥2使得f ′(x )≥x 恒成立，求实数a 的取值范围.【解】 (1)当a ＝1时，f (x )＝ln x ＋x 2，则f ′(x )＝1x ＋2x ，故在点(1，f (1))处的切线斜率为k ＝f ′(1)＝3，又f (1)＝1，即切点为(1，1)，故切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0.(2)当x ≥2时，f ′(x )≥x ，即ax ＋2x ≥x (x ≥2)恒成立，即a ≥－x 2在x ∈[2，＋∞)上恒成立. 令t ＝－x 2，当x ∈[2，＋∞)时，易知t max ＝－4，为使不等式a ≥－x 2恒成立，则a ≥－4，故实数a 的取值范围为[－4，＋∞).22.(本小题满分12分)已知两曲线f (x )＝x 3＋ax ，g (x )＝ax 2＋bx ＋c 都经过点P (1，2)，且在点P 有公切线.(1)求a ，b ，c 的值；(2)设k (x )＝f （x ）g （x ），求k ′(－2)的值.【解】 (1)依题意，⎩⎨⎧1＋a ＝2，a ＋b ＋c ＝2，即⎩⎨⎧a ＝1，b ＋c ＝1.故f (x )＝x 3＋x ，g (x )＝x 2＋bx ＋1－b ， 所以f ′(x )＝3x 2＋1，g ′(x )＝2x ＋b ，由于两曲线在点P (1，2)处有公切线，故f ′(1)＝g ′(1)，即4＝2＋b ， 所以b ＝2.故c ＝1－b ＝－1.(2)由(1)可得f (x )＝x 3＋x ，g (x )＝x 2＋2x －1，故k (x )＝f （x ）g （x ）＝x 3＋xx 2＋2x －1，故k ′(x )＝（x 3＋x ）′（x 2＋2x －1）－（x 3＋x ）（x 2＋2x －1）′（x 2＋2x －1）2＝（3x 2＋1）（x 2＋2x －1）－（x 3＋x ）（2x ＋2）（x 2＋2x －1）2＝x 4＋4x 3－4x 2－1（x 2＋2x －1）2. 故k ′(－2)＝16－32－16－1（4－4－1）2＝－33.章末综合测评(三) 导数应用(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.物体运动的方程为s ＝14t 4－3，则t ＝5时的瞬时速度为( ) A.5 B.25C.125D.625【解析】 ∵v ＝s ′＝t 3，∴t ＝5时的瞬时速度为53＝125. 【答案】 C2.函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A.(－∞，2) B.(0，3) C.(1，4) D.(2，＋∞)【解析】 f ′(x )＝(x －2)e x ，由f ′(x )>0，得x >2，所以函数f (x )的单调递增区间是(2，＋∞). 【答案】 D3.函数f (x )＝ax 3＋x ＋1有极值的充要条件是( ) A.a ≥0 B.a >0 C.a ≤0 D.a <0 【解析】 f ′(x )＝3ax 2＋1，当a ＝0时，f ′(x )＝1>0，f (x )单调增加，无极值； 当a ≠0时，只需Δ＝－12a >0，即a <0即可. 【答案】 D4.函数f (x )的导函数f ′(x )的图像如图1所示，那么f (x )的图像最有可能的是( )图1A B C D【解析】 数形结合可得在(－∞，－2)，(－1，＋∞)上，f ′(x )<0，f (x )是减函数；在(－2，－1)上，f ′(x )>0，f (x )是增函数，从而得出结论.【答案】 B5.若函数y ＝a (x 3－x )的递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33，⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞，则a 的取值范围是( )A.a >0B.－1<a <0C.a >1D.0<a <1【解析】 依题意得y ′＝a (3x 2－1)>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33，⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞，∴a >0.【答案】 A6.若函数f (x )在R 上可导，且满足f (x )－xf ′(x )>0，则( ) A.3f (1)<f (3) B.3f (1)>f (3) C.3f (1)＝f (3) D.f (1)＝f (3)【解析】 由于f (x )>xf ′(x )，⎝ ⎛⎭⎪⎫f （x ）x ′＝f ′（x ）x －f （x ）x 2<0恒成立，因此f （x ）x 在R 上是单调递减函数，∴f （3）3<f （1）1，即3f (1)>f (3)，故选B.【答案】 B7.若函数f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x ＋a 在区间[－2，－1]上的最大值为2，则它在该区间上的最小值为( )A.－5B.7C.10D.－19【解析】 ∵f (x )′＝－3x 2＋6x ＋9＝－3(x ＋1)(x －3)，所以函数在[－2，－1]内单调递减，所以最大值为f(－2)＝2＋a＝2，∴a＝0，最小值为f(－1)＝a－5＝－5.【答案】A8.函数y＝12x－2sin x的图像大致是()【解析】因为y′＝12－2cos x，所以令y′＝12－2cos x>0，得cos x<14，此时原函数是增函数；令y′＝12－2cos x<0，得cos x>14，此时原函数是减函数，结合余弦函数图像，可得选项C正确.【答案】C9.若f(x)＝－12x2＋b ln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是()A.[－1，＋∞)B.(－1，＋∞)C.(－∞，－1]D.(－∞，－1)【解析】f′(x)＝－x＋bx＋2，由题意知f′(x)≤0在(－1，＋∞)上恒成立，即b≤x2＋2x在(－1，＋∞)上恒成立，即b≤(x＋1)2－1，则b≤－1，故选C.【答案】C10.已知y＝f(x)是定义在R上的函数，且f(1)＝1，f′(x)>1，则f(x)>x的解集是()A.(0，1)B.(－1，0)∪(0，1)C.(1，＋∞)D.(－∞，－1)∪(1，＋∞)【解析】不等式f(x)>x可化为f(x)－x>0，设g(x)＝f(x)－x，则g′(x)＝f(x)′－1，由题意g′(x)＝f′(x)－1>0，∴函数g(x)在R上单调递增，又g(1)＝f(1)－1＝0，∴原不等式⇔g(x)>0⇔g(x)>g(1)，∴x>1，故选C.【答案】C11.当x∈[－2，1]时，不等式ax3－x恒成立，则实数a的取值范围是()A.[－5，－3]C.[－6，－2]【解析】 当x ＝0时，ax 3－x 2＋4x ＋3≥0变为3≥0恒成立，即a ∈R .当x ∈(0，1]时，ax 3≥x 2－4x －3，a ≥x 2－4x －3x 3，∴a ≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2－4x －3x 3max . 设φ(x )＝x 2－4x －3x 3，φ′(x )＝（2x －4）x 3－（x 2－4x －3）3x 2x 6＝－x 2－8x －9x 4＝－（x －9）（x ＋1）x 4＞0，∴φ(x )在(0，1]上递增，φ(x )max ＝φ(1)＝－6. ∴a ≥－6.当x ∈[－2，0)时，a ≤x 2－4x －3x 3，∴a ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2－4x －3x 3min . 仍设φ(x )＝x 2－4x －3x 3，φ′(x )＝－（x －9）（x ＋1）x 4. 当x ∈[－2，－1)时，φ′(x )＜0. 当x ∈(－1，0)时，φ′(x )＞0.∴当x ＝－1时，φ(x )有极小值，即为最小值.而φ(x )min ＝φ(－1)＝1＋4－3－1＝－2，∴a ≤－2.综上知－6≤a ≤－2. 【答案】 C12.已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a ln x ，若函数f (x )在(0，1)上单调，则实数a 的取值范围是( ) A.a ≥0 B.a <－4 C.a ≥0或a ≤－4 D.a >0或a <－4【解析】 f ′(x )＝2x ＋2＋ax ，x ∈(0，1)， ∵f (x )在(0，1)上单调，∴f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在(0，1)上恒成立，∴2x ＋2＋a x ≥0或2x ＋2＋ax ≤0在(0，1)上恒成立， 即a ≥－2x 2－2x 或a ≤－2x 2－2x 在(0，1)上恒成立.设g (x )＝－2x 2－2x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋12，则g (x )在(0，1)上单调递减，∴g (x )max ＝g (0)＝0，g (x )min ＝g (1)＝－4. ∴a ≥g (x )max ＝0或a ≤g (x )min ＝－4. 【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上) 13.已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为________. 【解析】 因为f (x )＝(2x ＋1)e x ，所以f ′(x )＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)e x ， 所以f ′(0)＝3e 0＝3. 【答案】 314.函数f (x )＝12e x (sin x ＋cos x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为________.【解析】 ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ′(x )＝e x cos x ≥0，∴f (0)≤f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，即12≤f (x )≤12e π2.【答案】 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12，12e π2 15.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2，在x ＝1时有极值10，则a ＋b ＝________.【解析】 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f ′(1)＝2a ＋b ＋3＝0，f (1)＝a 2＋a ＋b ＋1＝10，⎩⎨⎧2a ＋b ＝－3，a 2＋a ＋b ＝9，解得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝3或⎩⎨⎧a ＝4，b ＝－11，当a ＝－3时，x ＝1不是极值点，a ，b 的值分别为4，－11，∴a ＋b ＝－7.【答案】 －716.周长为20 cm 的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为________cm 3. 【解析】 设矩形的长为x ，则宽为10－x (0<x <10)，由题意可知所求圆柱的体积V ＝πx 2(10－x )＝10πx 2－πx 3，∴V ′(x )＝20πx －3πx 2.由V ′(x )＝0，得x ＝0(舍去)，x ＝203，且当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，203时，V ′(x )>0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫203，10时，V ′(x )<0，∴当x ＝203时，V (x )取得最大值为4 00027π cm 3.【答案】 4 00027π三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)若函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋3既有极大值又有极小值，求实数a 的取值范围.【解】 ∵f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)， 令3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)＝0，即x 2＋2ax ＋a ＋2＝0，∵函数f (x )有极大值和极小值，∴方程x 2＋2ax ＋a ＋2＝0有两个不相等的实数根，即Δ＝4a 2－4a －8>0，解得a >2或a <－1.故实数a 的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞).18.(本小题满分12分)设函数f (x )＝x 3－3ax 2＋3bx 的图像与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11).(1)求a ，b 的值；(2)讨论函数f (x )的单调性.【解】 (1)求导得f ′(x )＝3x 2－6ax ＋3b .由于f (x )的图像与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11)，所以f (1)＝－11，f ′(1)＝－12，。
数学北师大版高中选修2-2高二数学(理科)选修2-2测试卷
普通高中课程标准实验教材（选修2-2）数 学 综 合 测 试一． 选择题（本大题8小题，每题4分，共32分，每小题所给选项中只有一项符合题目要求）1． 一物体沿直线作匀速直线运动，其位移与时间的关系为62+=t s ，则在某时间段的平均速度与任一时刻的瞬时速度 （ ）A ）相等B ）不等C ）有时相等D ）无法比较 2．复数i m m m )1(322-+-+ (m R ∈)为纯虚数，则 （ ） A ）m=1,m=-3 B ）m=1 C ）m=-3 D ）m=33.曲线)1,1(1323-+-=在点x x y 处的切线方程为 （ ） A ）3x-y-4=0 B ）3x+y-2=0 C ）4x+y-3=0 D ）4x-y-5=04．曲线y=cosx(0π≤≤x )与坐标轴所围成的面积是 （ ） A ）0 B ）1 C ）2 D ）35．下列在演绎推理中可以作为证明数列nn n a 1+=上是递增数列的大前题的有（ ）个 A ）0 B ）1 C ）2 D ）3 ①函数y=f(x)在对于区间（a,b ）中任意两个数,1x ﹤2x 若21x x 都有)(1x f ﹤)(2x f 则函数为增函数，②函数y=f(x)在对于区间（a,b ）中的导数)('x f ﹥0则函数为增函数，③数列{}n a 中若对任意正整数都有1+n a ＞n a 6.函数y=13++x ax 有极值的充要条件是 （ ） A ）a ＞0 B ）a ＜0 C ）a ≥0 D ）a ≤07.如图所示是函数y=f(x)的导函数y=)('x f 图象，则下列哪一个判断是正确的 （ ） A ）在区间（-2，1）内y=f(x)为增函数B ）在区间（1，3）内y=f(x)为减函数C ）在区间（4，5）内y=f(x)为增函数D ）当x=2时y=f(x)有极小值8．做一个底面为正三角形的体积为V 的直棱柱，要求其表面积最小，则底面边长为（ ） A ）3V B ）32V C ）34V D ）23V二．填空题（本大题共6个小题，每小题4分，满分24分）9．=+⎰dx x x )23(2310．复数3+5i 的共轭复数为11．归纳推理，类比推理,演绎推理中从一般到特殊的推理过程的是 12．关于x 的方程033=--a x x 有三个不同的根，则a 的取值范围是 13．设n27的个位数为n a ，如,......9,.721==a a 则=2007a14．不等式 241)1ln(x x -+≤M 恒成立，则M 的最小值为三.解答题(本大题共4题,满分34分)15.已知a.b 都是正数,求证b a 11...++ 这2个数中至少有一个不小于2 (6分)16 已知函数b x a ax x x f ++-=2233132)((a ＞0) (8分) (1)当y=f(x)的极小值为1时求b 的值（2）若f(x)在区间［1，2］上是减函数，求a 的范围17.已知函数c bx ax x x f +++=23)(在131=-=x x 和处取得极值，（1）求a,b 的值及其单调区间，（2）若对x ∈［-1，2］不等式f(x)≤2c 恒成立，求c 的取值范围 (10)18.已知复数θθsin cos i Z +=（1）计算432,,Z Z Z ，（2）猜想n Z 并用数学归纳法证明（10）(备用公式Sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β。
高二精选题库4-1. 数学 数学doc北师大版
第4模块 第1节[知能演练]一、选择题1．判断下列各命题的真假：(1)向量AB →的长度与向量BA →的长度相等；(2)向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； (3)两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； (4)两个有公共终点的向量，一定是共线向量；(5)向量AB →与向量CD →是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上； (6)有向线段就是向量，向量就是有向线段． 其中假命题的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：(1)真命题；(2)假命题，若a 与b 中有一个为零向量时，其方向是不确定的；(3)真命题；(4)假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反；(5)假命题，共线向量所在直线可以重合、可以平行；(6)假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段．答案：C2．若四边形ABCD 是正方形，E 是DC 边的中点，且AB →＝a ，AD →＝b ，则BE →等于( )A ．b ＋12aB ．b －12aC ．a ＋12bD ．a －12b解析：BE →＝BC →＋CE →＝b ＋(－12a )＝b －12a .答案：B3．已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD →＝2DB →，若CD →＝ rAB →＋sAC →，则r ＋s 的值是( )A.23B ．0C.43D ．－3解析：在△ABC 中，CD →＝23CB →＝23(AB →－AC →)＝23AB →－23AC →，故r ＋s ＝0. 答案：B4．平行四边形ABCD 中，O 为AC 与BD 的交点，点E 在BC 上，且BE →＝2EC →，设AB →＝a ，AD →＝b ，则OE →为( )A.32a ＋76b B.12a ＋16b C.12a －16bD.12a ＋23b 解析：如右图．由向量的运算法则得OE →＝OC →＋CE →＝12AC →＋13DA →＝12(a ＋b )－13b ＝12a ＋16b ，故选B.答案：B 二、填空题5．△ABC 中，BD →＝12DC →，AE →＝3ED →，若AB →＝a ，AC →＝b ，则BE →＝________.解析：依题意有BE →＝BD →＋DE →＝BD →＋14DA →＝BD →＋14(BA →－BD →)＝34BD →＋14BA →＝34×13BC →＋14BA →＝14(b －a )＋14(－a )＝－12a ＋14b .答案：－12a ＋14b6．如下图所示，两块斜边长相等的直角三角板并在一起，若AD →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________，y ＝________.解析：以A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设AB →＝(1,0)，AC →＝(0,1)，则|BC →|＝2，∴|BD →|＝2×sin60°＝62.由题意有AD →＝(x ，y )，∴x ＝1＋62cos45°＝1＋32，y ＝62sin45°＝32.故x ＝1＋32，y＝32. 答案：1＋32，32三、解答题7．在△AOB 中，C 是AB 边上的一点，且BC CA ＝λ(λ>0)，若OA →＝a ，OB →＝b .(1)当λ＝1时，用a ，b 表示OC →； (2)用a ，b 表示OC →.解：(1)当λ＝1时，OC →＝12(OA →＋OB →)＝12a ＋12b .(2)OC →＝OB →＋BC →，BA →＝OA →－OB →＝a －b ， 因为BCCA ＝λ，BC ＝λCA ，BA ＝BC ＋CA ，BA ＝(λ＋1)·CA ，BC ＝λ1＋λBA .所以BC →＝λ1＋λBA →，即OC →＝OB →＋λ1＋λBA →＝b ＋λ1＋λ(a －b )＝λa ＋b 1＋λ.8．如下图，点O 是梯形ABCD 对角线的交点，|AD |＝4，|BC |＝6，|AB |＝2. 设与BC →同向的单位向量为a 0，与BA →同向的单位向量为b 0.(1)用a 0和b 0表示AC →，CD →和OA →；(2)若点P 在梯形ABCD 所在的平面上运动，且|CP →|＝2，求|BP →|的最大值和最小值． 解：(1)由题意知BC →＝6a 0，BA →＝2b 0，∴AC →＝BC →－BA →＝6a 0－2b 0； ∵AD →∥BC →，∴AD →＝4a 0，则CD →＝CA →＋AD →＝2b 0－6a 0＋4a 0＝2b 0－2a 0； 过C 点作CM ∥BD ，易知四边形BCMD 是平行四边形．则|AO ||AD |＝|AC ||AM |，即|AO |4＝|6a 0－2b 0|10， 得OA →＝45b 0－125a 0.(2)BP →＝BC →＋CP →，BP →2＝(BC →＋CP →)2＝BC →·BC →＋CP →·CP →＋2BC →·CP →，即|BP →|2＝|BC →|2＋|CP →|2＋2|BC →|·|CP →|·cos 〈BC →，CP →〉＝62＋22＋2·6·2cos 〈BC →，CP →〉＝40＋24cos 〈BC →，CP →〉．∵cos 〈BC →，CP →〉∈[－1,1]，∴当cos 〈BC →，CP →〉＝1时，|BP →|max ＝8. 当cos 〈BC →，CP →〉＝－1时，|BP →|min ＝4.[高考·模拟·预测]1．已知向量a ，b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b .如果c ∥d ，那么( )A ．k ＝1且c 与d 同向B ．k ＝1且c 与d 反向C ．k ＝－1且c 与d 同向D ．k ＝－1且c 与d 反向解析：由c ∥d ，则存在λ使c ＝λd ，即k a ＋b ＝λa －λb ， ∴(k －1)a ＋(λ＋1)b ＝0.又a 与b 不共线， ∴k －λ＝0，且λ＋1＝0.∴k ＝－1.此时c ＝－a ＋b ＝－(a －b )＝－d . 故c 与d 反向，选D. 答案：D2．已知非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 的形状是 ( )A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰(非等边)三角形D ．等边三角形解析：由⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，得∠BAC 的平分线垂直于BC . ∴AB ＝AC .而AB →|AB →|·AC →|AC →|＝cos 〈AB →，AC →〉＝12，又〈AB →，AC →〉∈[0°，180°]，∴∠BAC ＝60°.故△ABC 为正三角形，选D. 答案：D3．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →＝(1,1)，1|BA →|BA →＋1|BC →|BC →＝3|BD →|BD →，则四边形ABCD的面积为________．解析：由于AB →＝DC →＝(1,1)，则四边形ABCD 是平行四边形且|AB →|＝2，又由1|BA →|BA →＋1|BC →|BC →＝3|BD →|BD →，得BC 、CD (BA )与BD 三者之间的边长之比为1∶1∶3，那么可知∠DAB ＝120°，所以AB 边上的高为62.所以四边形ABCD 的面积为2×62＝ 3. 答案： 34．已知向量集合M ＝{a |a ＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R }，N ＝{b |b ＝(－2，－2)＋λ(4,5)，λ∈R }，则M ∩N ＝________.解析：由(1,2)＋λ1(3,4)＝(－2，－2)＋λ2(4,5)，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋3λ1＝－2＋4λ22＋4λ1＝－2＋5λ2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－1λ2＝0，∴M ∩N ＝{(－2，－2)}．答案：{(－2，－2)}5． O 是平面上一点，A ，B ，C 是平面上不共线三点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ＝12时，则P A →·(PB →＋PC →)的值为________． 解析：由OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ＝12，得AP →＝12(AB →＋AC →)，即P 为△ABC 中BC 边的中点．∴PB →＋PC →＝0.∴P A →·(PB →＋PC →)＝P A →·0＝0. 答案：06．若a ，b 是两个不共线的非零向量，t ∈R .(1)若a ，b 起点相同，t 为何值时，a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在一直线上？(2)若|a |＝|b |且a 与b 夹角为60°，t 为何值时，|a －t b |的值最小？ 解：(1)设a －t b ＝m [a －13(a ＋b )]，m ∈R ，化简得(23m －1)a ＝(m3－t )b ，∵a 与b 不共线，∴⎩⎨⎧ 23m －1＝0m3－t ＝0⇒⎩⎨⎧m ＝32，t ＝12.∴t ＝12时，a ，t b ，13(a ＋b )的终点在一直线上．(2)|a －t b |2＝(a －t b )2 ＝|a |2＋t 2|b |2－2t |a ||b |cos60° ＝(1＋t 2－t )|a |2.∴当t ＝12时，|a －t b |有最小值32|a |.。
北师大版高二数学试题(有答案)(选修2-1)AKMKnU
（选修2-1）孙 敏一、选择题（本大题共12小题，每小题6分，共72分） 1、a 3＞8是a ＞2的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件 2、全称命题“所有被5整除的整数都是奇数”的否定是（ ） A ．所有被5整除的整数都不是奇数； B ．所有奇数都不能被5整除C ．存在一个被5整除的整数不是奇数；D ．存在一个奇数，不能被5整除3、抛物线281x y -=的准线方程是( )A ． 321=x B ． 2=y C ． 321=y D ． 2-=y 4、有下列命题：①20ax bx c ++=是一元二次方程（0a ≠）；②空集是任何集合的真子集；③若a ∈R ，则20a ≥；④若,a b ∈R 且0ab >，则0a >且0b >．其中真命题的个数有（ ） A ．1 B ． 2 C ． 3 D ． 45、椭圆1162522=+y x 的离心率为（ ） A ．35 B ． 34 C ．45 D ． 9256、以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆096222=++-+y x y x 的圆心的抛物线的方程是（ ）A ．23x y =或23x y -=B ．23x y =C ．x y 92-=或23x y =D ．23x y -=或x y 92=7、已知a ＝（2，－3，1），b ＝（4，－6，x ），若a ⊥b ，则x 等于（ ） A ．－26 B ．－10 C ．2 D ．10 8、如图，空间四边形ABCD 中，M 、G 分别是BC 、CD 的中点，则BC AB 2121++等于（ ）A ．B ．C ．D ．9、已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A 、B 、C 一定共面的是（ ） A ．OM OA OB OC =++u u u u r u u u r u u u r u u u r B ． 2OM OA OB OC =--u u u u r u u u r u u u r u u u rC ．1123OM OA OB OC =++u u u u r u u u r u u u r u u u rD ．111333OM OA OB OC =++u u u u r u u u r u u u r u u u r10、设3=a ，6=b ， 若a •b ＝9，则,<>a b 等于（ ）A ．90°B ．60°C ．120°D ．45°11、已知向量a ＝（1，1，－2），b ＝12,1,x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若a ·b ≥0，则实数x 的取值范围为（ ）A ．2(0,)3 B ．2(0,]3C ．(,0)-∞∪2[,)3+∞D ．(,0]-∞∪2[,)3+∞12、设R x x ∈21,，常数0>a ，定义运算“﹡”：22122121)()(x x x x x x --+=*，若0≥x ，则动点),(a x x P *的轨迹是（ ）A ．圆B ．椭圆的一部分C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）13、命题“若2430x x -+=，则x ＝1或x ＝3”的逆否命题为 ． 14、给出下列四个命题：①x ∃∈R ，是方程3x －5＝0的根；②,||0x x ∀∈>R ； ③2,1x x ∃∈=R ；④2,330x x x ∀∈-+=R 都不是方程的根． 其中假命题．．．的序号有 ． 15、若方程11222=-+-k y k x 表示的图形是双曲线，则k 的取值范围为 ． 16、抛物线24y x =的准线方程是 ．17、由向量(102)=，，a ，(121)=-，，b 确定的平面的一个法向量是()x y =，，2n ，则x ＝ ，y ＝ ．三、解答题（本大题共5小题，共53分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程） 18、（本小题满分8分）双曲线的离心率等于2，且与椭圆221259x y +=有相同的焦点，求此双曲线方程．19、（本小题满分10分）已知命题:P “若,0≥ac 则二次方程02=++c bx ax 没有实根”. (1)写出命题P 的否命题；(2)判断命题P 的否命题的真假, 并证明你的结论.20、（本小题满分11分）已知0≠ab ,求证1=+b a 的充要条件是02233=--++b a ab b a21、（本小题满分12分）如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、CD的中点．（Ⅰ）证明：AD ⊥D 1F ； （Ⅱ）求AE 与D 1F 所成的角； （Ⅲ）证明：面AED ⊥面A 1FD 1．22、（本小题满分12分）设椭圆12222=b y a x ＋(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1(－2，0)，左准线 L 1 ：ca x 2-=与x 轴交于点N（－3，0），过点N 且倾斜角为300的直线L 交椭圆于A 、B 两点。
高二精选题库数学 课堂训练_2-5北师大版
第2章 第5节时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1. [2012·浙江百校联考]已知0<a <1，log a (1－x )<log a x ，则( ) A. 0<x <1 B. x <12C. 0<x <12D. 12<x <1 答案：C解析：由⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0x >01－x >x，解得：0<x <12.2.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x (x >0)，2x (x ≤0)，若f (a )＝12，则a 的值为( )A.－1B. 2C.－1或12D.－1或 2答案：D解析：由题知，⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，log 2a ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，2a ＝12，可得a ＝2或－1.故选D. 3.已知lg a ＋lg b ＝0，则函数f (x )＝a x 与函数g (x )＝－log b x 的图像可能是( )答案：B解析：由题知，a ＝1b ，则f (x )＝(1b )x ＝b －x ，g (x )＝－log b x ，当0<b <1时，f (x )单增，g (x )单增，B 正确；当b >1时，f (x )单减，g (x )单减.故选B.4. 函数f (x )＝|log 3x |在区间[a ，b ]上的值域为[0,1]，则b －a 的最小值为( ) A. 2 B. 23 C. 13 D. 1答案：B解析：由题知函数f (x )＝|log 3x |在区间[a ，b ]上的值域为[0,1]，当f (x )＝0时x ＝1，当f (x )＝1时x ＝3或13，所以要使值域为[0,1]，定义域可以为[13，3]，[1,3]，[13，1]，所以b －a 的最小值为23.故选B.5. 若不等式x 2－log a x <0对x ∈(0，12)恒成立，则实数a 的取值范围是( )A. {a |0<a <1}B. {a |116≤a <1}C. {a |a >1}D. {a |0<a ≤116}答案：B解析：由x 2－log a x <0得x 2<log a x ，设f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝log a x ，要使x ∈(0，12)时，不等式x 2<log a x 恒成立，只需f 1(x )＝x 2在(0，12)上的图像在f 2(x )＝log a x 图像的下方即可.当a >1时，显然不成立；当0<a <1时，如图，要使x 2<log a x 在x ∈(0，12)上恒成立，需f 1(12)≤f 2(12). 所以有(12)2≤log a 12，解得a ≥116，∴116≤a <1. 6. [2012·东北师大附中摸底考试]若实数a 满足a >|y －1|－|y －2|(y ∈R )恒成立，则函数f (x )＝log a (x 2－5x ＋6)的单调减区间为( )A. (52，＋∞)B. (3，＋∞)C. (－∞，52)D. (－∞，2)答案： D解析：由于a >|y －1|－|y －2|(y ∈R )恒成立，又|y －1|－|y －2|的最大值是1，故a >1.设g (x )＝x 2－5x ＋6，则函数f (x )的定义域是(－∞，2)∪(3，＋∞).又函数g (x )＝x 2－5x ＋6的单调递减区间是(－∞，52)，由复合函数的单调性知，函数f (x )＝log a (x 2－5x ＋6)的单调递减区间是(－∞，2).二、填空题(每小题7分，共21分)7. [变式题]函数f (x )＝log 2(2x ＋6)的定义域为________. 答案：[－52，＋∞)解析：由题知log 2(2x ＋6)≥0，即2x ＋6≥1，解得x ≥－52，所以函数f (x )＝log 2(2x ＋6)的定义域为[－52，＋∞).8. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1x ≤0log 2x x >0，则使函数f (x )的图像位于直线y ＝1上方的x 的取值范围是________.答案：－1<x ≤0或x >2解析：当x ≤0时，3x ＋1>1⇒x ＋1>0，∴－1<x ≤0；当x >0时，log 2x >1⇒x >2，∴x >2. 综上所述：－1<x ≤0或x >2.9.设函数f (x )＝|log 2x |，则f (x )在区间(m －2,2m )内有定义且不是单调函数的充要条件是________.答案：2≤m ＜3解析：由题意知，只需1∈(m －2,2m )，且m －2≥0即可.于是0≤m －2<1，且2m >1，于是2≤m <3.三、解答题(10、11题12分、12题13分) 10. 已知y ＝log 4(2x ＋3－x 2). (1)求定义域； (2)求f (x )的单调区间；(3)求y 的最大值，并求取得最大值的x 值. 解：(1)由真数2x ＋3－x 2>0，解得－1<x <3. ∴定义域是{x |－1<x <3}.(2)令u ＝2x ＋3－x 2，则u >0，y ＝log 4u . 由于u ＝2x ＋3－x 2＝－(x －1)2＋4，考虑到定义域，其增区间是(－1,1]，减区间是[1,3). 又y ＝log 4u 在u ∈(0，＋∞)上是增函数， 故该函数的增区间是(－1,1]，减区间是[1,3). (3)∵u ＝2x ＋3－x 2＝－(x －1)2＋4≤4，∴y ＝log 4(2x ＋3－x 2)≤log 44＝1.∴当x ＝1，u 取得最大值4时，y 就取得最大值1.11. [2012·辽宁抚顺]已知函数f (x )＝log a (x ＋1)(a >1)，若函数y ＝g (x )图像上任意一点P 关于原点对称的点Q 的轨迹恰好是函数f (x )的图像.(1)写出函数g (x )的解析式；(2)当x ∈[0,1)时总有f (x )＋g (x )≥m 成立，求m 的取值范围. 解：(1)设P (x ，y )为g (x )图像上任意一点，则 Q (－x ，－y )是点P 关于原点的对称点， ∵Q (－x ，－y )在f (x )的图像上， ∴－y ＝log a (－x ＋1)， 即y ＝g (x )＝－log a (1－x )(a >1). (2)f (x )＋g (x )≥m ，即log a x ＋11－x≥m .设F (x )＝log a 1＋x1－x ，x ∈[0,1)，由题意知，只要F (x )min ≥m 即可.∵F (x )在[0,1)上是增函数，∴F (x )min ＝F (0)＝0.故m ≤0即为所求.12. 定义在R 上的函数f (x )满足对任意的x ，y ∈R 都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，且当x >0时，f (x )>0.(1)求证：f (x )为奇函数； (2)判断f (x )的单调性并证明；(3)解不等式：f [log 2(x ＋1x＋6)]＋f (－3)≤0.解：(1)令x ＝y ＝0，则f (0)＝0，令y ＝－x ，则f (x )＋f (－x )＝f (0)＝0. ∴f (x )为奇函数.(2)f (x )为R 上的单调增函数，设x 1<x 2，则x 2－x 1>0，f (x 2－x 1)>0，∴f (x 2)＝f [x 1＋(x 2－x 1)]＝f (x 1)＋f (x 2－x 1)>f (x 1)，∴f (x )为R 上的单调增函数.(3)∵f (0)＝0且f (x )在R 上单调递增，∴原不等式等价于f [log 2(x ＋1x ＋6)＋(－3)]≤f (0)⇔log 2(x ＋1x ＋6)≤3⇔0<x ＋1x ＋6≤8⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x >0x 2＋6x ＋1>0x 2－2x ＋1≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x <0x 2＋6x ＋1<0，x 2－2x ＋1≥0∴原不等式的解集为{x |x ＝1或－3－22<x <－3＋22}.。
《高二数学北师大选修2-2》选修2-2综合测试题
高中数学选修2-2综合测试题(时间：120分钟满分：150分)学号：班级：姓名：得分：一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知复数z=(l+i)(—2+3i)(i为虚数单位)，则z的共轲复数z=()A.1+iB.1-iC.—5+iD.—5—i2.已知复数z=l—2i,那么!等于()Ag-十飞-1 B.^~_*12n l_2.C'5+5D5孑3. 证明命题："如：)=节+点在(0,+8)上是增加的"，现给出的证法如下：因为顶x)=e'+j,所以f(x)=e v—因为x>0,所以所以e*—*>0,即f'(x)>0,所以/(x)在(0,+8)上是增加的，使用的证明方法是()A.综合法B.分析法C.反证法D.以上都不是4.观察下式：1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52,4+5+6+7+8+9+10=72,则第〃个式子是()A.〃+(〃+1)+(〃+2)+...+(2〃一1)=〃2B.乃+(〃+1)+(〃+2)+...+(2〃—1)=(2〃一I)2C.乃+(〃+1)+(〃+2)+...+(3〃—2)=(2〃一I)2D.〃+(〃+1)+(〃+2)+...+(3〃一1)=(2〃一I)25.函数*=sin(2x+l)的导数岳()A.cos(2x+l)B.2cos(2x+l)C.2cosxD.(2x+l)sin(2x+l)6.函数y=\n x(x>0)的图象与直线y=^x+a相切，则。
等于()A.In2-1B.In2+1C.In2D.21n27.已知函数*(x)的图象如下图所示，其中/(x)是函数/(》)的导函数，函数y=A x)的图象大致是图中的()7V8.设ZUBC的二边长分别为a,b,c,AABC的面积为S,内切圆半径为r,则『=芥床，类比这个结论可知：四面体S-ABC的四个面的面积分别为S[,&，S3,&，内切球半径为R,四面体S一/BC的体积为则R=()VA-------------S+S2+S3+S4 -3/2Vc-------------S+S2+S3+S4[x2,[0,1],2—x9xC[l,2], 345 A'4B5C685]+&+&+$4 -4KD$+&+&+&9〃)=D.不存在若»=A2-x),且(x-ir(x)>0,a=J[O),b=K§),c=X3)，则10.函数人*)在定义域R内可导,a,b,c的大小关系是()A.a>b>cB.c>a>bC.b>a>cD.c>b>a11.若CKxv*则2x与3sinx的大小关系().A.2x>3sinxB.2x<3sinxC.2x=3sinxD.与x的取值有关x212.设函数/(X)满足x2/7(x)+2欢x)=£,久2)=§,则x>0时，7(x)()则匚/3用=()A.有极大值，无极小值B.有极小值，无极大值C.既有极大值又有极小值D.既无极大值也无极小值二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.)13.观察下列等式:13+23=32'13+23+33=6243+23+33+43=102,…,根据上述规律，第五个等式为•14.设，=(2—i)2(i为虚数单位)，则复数z的模为.15.山曲线y=(x~2)2+l,横坐标轴及直线x=3,x=5围成的图形的面积等于.16.已知函数y(x)=—|x2+4x—3Inx在|7,f+1］上不单调，则/的取值范围是三、解答题(本大题共6小臀，共70分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.(10分)设复数z=~,若z2+ax+b=1+/,求实数a,b的值.18.8以(12分)已知数歹Uj守，尹孑，•••,(2〃一1)2.(2〃+1)2,…，&为该数列的前”项和，计算得8...24...48 (80)S=6，&=云&=为，&=曲.观察上述结果，推测出S…(«£N*),并用数学归纳法加以证明.19.(12分)设F(x)=/J(?+2?-8)dA(1)求E(x)的单调区间；(2)求E(x)在［1,3］上的最值.、20.(12分)已知函数/(x)=x2+lnx.⑴求函数»^［1,e］上的最大值和最小值；(2)求证：当x6(l,+8)时，函数fix)的图象在g(x)=|x3的下方.21.(12分)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是一个平行四边形，AB=(2,—1,—4),AD= (4,2,0),AP=(~1,2,-1).(1)求证：以_L底面ABCD-,(2)求四棱锥P-ABCD的体积；(3)对于向量。
高二数学北师大版选修2-2 第2章 §5 简单复合函数的求导法则课件(37张)
1.解答此类问题常犯两个错误 (1)不能正确区分所给函数是否为复合函数； (2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成.
2.复合函数求导的步骤
[再练一题] 2.求下列函数的导数. 1 (1)y＝(2x－1) ；(2)y＝ ； 1－2x
4
π (3)y＝sin－2x＋3；(4)y＝102x＋3.
§5
简单复合函数的求导法则
1.了解复合函数的概念.(难点) 2.掌握复合函数的求导法则.(重点) 3.能利用复合函数的求导法则求简单复合函数的导数.(重点、难点)
[基础· 初探] 教材整理 1 复合函数的概念 阅读教材 P49 倒数第 2 行以上部分，完成下列问题. 一般地，对于两个函数 y＝f(u)和 u＝φ(x)＝ax＋b，给定 x 的一个值，就得到 了 u 的值，进而确定了 y 的值，这样 y 可以表示成 x的函数 ，我们称这个函数 为函数 y＝f(u)和 u＝φ(x)的 y＝f(φ(x)) ，记作复合函数 ，其中 u 为中间变量.
＋
【提示】 ∵f′(x)＝e2x 1·(2x＋1)′＝2e2x 1，
Байду номын сангаас
[探究共研型]
复合函数导数的应用
探究 1 求曲线
π y＝cos2x＋6在
π x＝6处切线的斜率.
【提示】
π ∵y′＝－2sin2x＋6， π π k＝－2sin2×6＋6＝－2.
∴切线的斜率
探究 2 求曲线 y＝f(x)＝e
＋
2x＋1
1 在点－2，1处的切线方程.
－ －4
6 ＝－6(2x－1) ＝－ 4. （2x－1）
－4
(3)函数 y＝5log2(1－x)可看作函数 y＝5log2u 和 u＝1－x 的复合函数， －5 5 ∴y′x＝y′u·u′x＝(5log2u)′·(1－x)′＝uln 2＝ . （x－1）ln 2 (4)函数 y＝sin3x 可看作函数 y＝u3 和 u＝sin x 的复合函数，函数 y＝sin 3x 可看作函数 y＝sin v 和 v＝3x 的复合函数. ∴y′x＝(u3)′·(sin x)′＋(sin v)′·(3x)′ ＝3u2·cos x＋3cos v ＝3sin2x cos x＋3cos 3x.
北师大版高中数学选修2-2第二学期高二数学理科选修2-2模块检测试题.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作第二学期高二数学理科选修2-2模块检测试题第Ⅰ卷（选择题，共60分）命题人：班级 姓名说明：本试卷共二卷，一卷客观题答在答题卡上，共计80分，二卷解答题共六道大题，记70分，必须写明运算过程，只有答案无过程不得分。
第一卷一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分)1．一个物体的位移s (米)和与时间t (秒)的关系为242s t t =-+，则该物体在4秒末的瞬时速度是 A ．12米/秒 B ．8米/秒 C ．6米/秒 D ．8米/秒 2．由曲线2y x =，3y x =围成的封闭图形面积为为 A ．112 B ． 14 C ． 13D ．712 3．给出下列四个命题：（1）若z C ∈，则20z ≥；（2）2i 1-虚部是2i ；（3）若,i i a b a b >+>+则；(4）若12,z z ，且12z z >，则12,z z 为实数；其中正确命题．．．．的个数为 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个4．在复平面内复数(1i)(2i)b ++（i 是虚数单位，b 是实数）表示的点在第四象限，则b 的取值范围是A.b <12-B.b >12-C.12-< b < 2 D.b < 2 5．下面几种推理中是演绎推理．．．．的为A ．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电；B ．猜想数列111,,,122334⋅⋅⋅⨯⨯⨯的通项公式为1(1)n a n n =+()n N +∈； C ．半径为r 圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=；D ．由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-= ．6．已知()()32213af x x a x=+-+,若()18f '-=,则()1f -= A ．4 B ．5 C ．2- D ．3- 7．若函数()ln f x x ax =-在点()1,P b 处的切线与320x y +-=垂直,则2a b +等于 A ．2 B ．0 C ． 1- D ．2- 8．()22sin cos d x x x ππ-+⎰的值为A ．0B ．4πC ．2D ．4 9．设()f x 是一个多项式函数,在[],a b 上下列说法正确的是A ．()f x 的极值点一定是最值点B ．()f x 的最值点一定是极值点C ．()f x 在[],a b 上可能没有极值点D ．()f x 在[],a b 上可能没有最值点10．函数()f x 的定义域为(),a b ，导函数()f x '在(),a b 内的图像如图所示，则函数()f x 在(),a b 内有极小值点A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．已知111,n n a a a +=>且()()211210n n n n a a a a ++--++=,计算23,a a ,猜想n a 等于A ．nB ．2nC ．3n D ．3n n +-12．已知可导函数()f x ()x ÎR 满足()()f x f x ¢>，则当0a >时，()f a 和e (0)a f 大小关系为 A. ()<e (0)a f a f B. ()>e (0)a f a f C. ()=e (0)a f a f D. ()e (0)a f a f ≤二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)13.若复数(2)3i z a =-+ (a R Î)是纯虚数，则i1ia a ++= . 14．111()1()23f n n n+=+++鬃??N 经计算的27)32(,3)16(,25)8(,2)4(,23)2(>>>>=f f f f f ，推测当2n ≥时，有__________________________.15．若数列{}n a 的通项公式21()(1)n a n n +=?+N ，记)1()1)(1()(21n a a a n f -⋅⋅⋅--=，试通过计算)3(),2(),1(f f f 的值，推测出.________________)(=n f16．半径为r 的圆的面积2()s r r π=，周长()2C r r π=，若将r 看作(0，＋∞)上的变量，则2()'2r r ππ=①，①式用语言可以叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R的球，若将R 看作(0,)+?上的变量，请写出类比①的等式：____________________．上式用语言可以叙述为_________________________．第二卷三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.（本小题满分10分）抛物线21y x =-，直线2,0x y ==所围成的图形的面积18.(本小题满分12分) 已知,a b c >> 求证：114.a b b c a c+≥---19.（本小题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足：2222n n n na a S a -+=，且0,.n a n +>∈N（1）求123,,;a a a（2）猜想}{n a 的通项公式，并用数学归纳法证明20．（本小题满分12分）甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付的情况下，乙方的年利润x （元）与年产量t （吨）满足函数关系 2000x t =．若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s 元（以下称s 为赔付价格）．（1）将乙方的年利润w （元）表示为年产量t （吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量； （2）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额20.002y t =（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s 是多少？21．（本小题满分12分）设函数()()e 0kx f x x k =≠（1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程．（2）若函数()f x 在区间()1,1-内单调递增，求k 的取值范围．22．（本小题满分12分）已知函数2()ln f x a x x =+（a 为实常数）．（1）若2a =-，求证：函数()f x 在(1,)+?上是增函数； （2）求函数()f x 在[1,e]上的最小值及相应的x 值；参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CAAACADCCＡBB12.提示：令()e ()x g x f x -=，则()e [()()]0x g x f x f x -ⅱ=->． 所以()g x 在(,)-??上为增函数，()(0)g a g >．0()(0)a e f a e f ->，即()>e (0)a f a f ，故选B ．二、填空题13．43i 5- 14．2(2)2nn f +> 15．2()22n f n n +=+ 222111()(1)(1)[1]23(1)f n n =--⋅⋅⋅-+ 111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)2233111324322 (223341122)n n n n n n n n =-+-+⋅⋅⋅-+++++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=+++16．324()'43R R ππ=；球的体积函数的导数等于球的表面积函数三、解答题17.解 由210x -=，得抛物线与轴的交点坐标是(1,0)-和(1,0)，所求图形分成两块，分别用定积分表示面积1211|1|d S x x -=-⎰，2221(1)d S x x =-⎰.故面积12221211|1|d (1)d S S S x x x x -=+=-+-⎰⎰=122211(1)d (1)d x x x x --+-⎰⎰=331211()()33x x x x --+-=11818112(1)33333-+-+---=. 18.证明： ∵a c a c ab bc a b b ca b b c a b b c---+--+-+=+---- 2224b c a b b c a ba b b c a b b c----=+++?----≥，（a b c >>） ∴4a c a c a b b c --+--≥ 得114a b b c a c +---≥. 19.（1）1111112a a S a ==+-，所以，113a =-?，又 ∵0n a >，所以131a =-.221221=12a S a a a +=+-， 所以 253a =-, 3312331=12a S a a a a ++=+- 所以375a =-. （2）猜想2121n a n n =+--．证明： 1o 当1n =时，由（1）知131a =-成立．2o 假设()n k k +=?N 时，2121k a k k =+--成立1+11111=(1)(1)22k k k k k k ka a a S S a a +++-=+--+- 111212k k a k a ++=+-+．所以21122120k k a k a ++++-=12(1)12(1)1k a k k +=++-+- 所以当1n k =+时猜想也成立．综上可知，猜想对一切n +ÎN 都成立．20解：（1）因为赔付价值为s 元/吨，所以乙方的实际年利润为：)0(2000≥-=t st t w .因为,1000)1000(200022ss t s st t w +--=-=所以当w st ,)1000(2时=取得最大值． 所以乙方取得最大年利润的年产量2)1000(st =吨. （2）设甲方净收入为v 元，则2002.0t st v -=. 将2)1000(st =代入上式，得到甲方净收入v 与赔付价格之间的函数关系式： 234100021000v s s ´=-． 432100021000s s v ⨯-=又22232551000810001000(8000)s v s s s创-¢=-+=． 令0='v ，得20s =.当20s <时，0v ¢>；当20s >时，0v ¢<．所以20s =时， v 取得最大值．因此甲方向乙方要求赔付价格20s =（元/吨）时，获最大净收入． 21．解：（1）()=e e kx kx f x kx ¢+，(0)1f ¢=，(0)0f = ∴()y f x =在（0,0）处的切线方程为y x =．（2）法一 ()=e e (1)e 0kx kx kx f x kx kx ¢+=+= ，得 1x k=-（0k ¹） 若0k >，则当1(,)x k??时，()0f x ¢<，()f x 单调递减， 当1(,)x k?+?时，()0f x ¢>，()f x 单调递增． 若0k <，则当1(,)x k??，()0f x ¢>，()f x 单调递增. 当1(,)x k?+?时，()0f x ¢<，()f x 单调递减. 若()f x 在区间(1,1)-内单调递增， 当0k >时，11k --≤，即1k ≤. 当0k <时，11k-≥，即1k -≥.故()f x 在区间(1,1)-内单调递增时k 的取值范围是[1,0)(0,1]-U法二 ∵()f x 在区间(1,1)-内单调递增,∴()0f x ¢≥在区间(1,1)-上恒成立. e e 0kx kx kx +≥，∵e 0kx >，∴10kx +≥. 即10kx +≥在区间(1,1)-上恒成立. 令()1g x kx =+，∴(1)0(1)0g g ì-ïïíïïî≥≥ 解得11k -≤≤. 当0k =时，()1f x =.故k 的取值范围是[1,0)(0,1]-U .22．解：（1）当2-=a 时，x x x f ln 2)(2-=，(1,)x ??，22(1)()0x f x x-¢=>.故函数()f x 在(1,)+?上是增函数． （2）22()0x af x x+¢=>.当[1,e]x Î，222[2,2e ]x a aa +?+.若2a -≥，()f x ¢在[1,e]上非负（仅当2a =-，1x =时，()0f x ¢=），故函数()f x 在[1,e]上是增函数. 此时，min [()](1)1f x f ==． 若22e 2a -<<-， 当2ax =-时，()0f x ¢=． 当12ax -≤≤时，()0f x ¢<，此时，()f x 是减函数． 当e 2ax -≤≤时，()0f x ¢<，此时，()f x 是增函数.故min [()]()ln()2222a a a a f x f =-=--． 若22e a -≤，()f x ¢在[1,e]上非正（仅当时22e a =-，e x =时，()0f x ¢=） 故函数()f x 在[1,e]上是减函数， 此时2min [()](e)e f x f a ==+．综上可知，当2a -≥时，()f x 的最小值为1，相应的x 的值为1；当22e 2a -<<-时，()f x 的最小值为ln()222a a a--．相应的x 值为2a ；当22e a ?时，)(x f 的最小值为2+e a ，相应的x 值为e ．。
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第2模块 第2节[知能演练]一、选择题1．已知函数f (x )＝x 2－4x ，x ∈[1,5]，则函数f (x )的值域是( )A ．[－4，＋∞)B ．[－3,5]C ．[－4,5]D ．(－4,5]解析：∵函数f (x )＝x 2－4x 的对称轴的方程为x ＝2，∴函数f (x )＝x 2－4x ，x ∈[1,5]的最小值为f (2)＝－4，最大值为f (5)＝5，∴其值域为[－4,5]．答案：C2．函数y ＝3x 2＋2(a －1)x ＋b 在区间(－∞，1)上是减函数，那么()A ．a ∈(－∞，－1)B ．a ＝2C ．a ≤－2D ．a ≥2解析：∵函数y ＝3x 2＋2(a －1)x ＋b 为二次函数且开口向上，其对称轴方程为x ＝－2(a －1)6＝1－a 3.若使y ＝3x 2＋2(a －1)x ＋b 在(－∞，1)上是减函数，则1－a3≥1，解得a ≤－2.答案：C3．已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f (|1x|)<f (1)的实数x 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：∵f (x )在R 上为减函数且f (|1x |)<f (1)，∴|1x |>1，即|x |<1且x ≠0，得－1<x <0或0<x <1. 答案：C4．若函数f (x )＝(a 2－2a －3)x 2＋(a －3)x ＋1的定义域和值域都为R ，则a 的取值范围是( )A ．a ＝－1或3B ．a ＝－1C ．a >3或a <－1D ．－1<a <3解析：若a 2－2a －3≠0，则f (x )为二次函数，定义域和值域都为R 是不可能的． 若a 2－2a －3＝0，即a ＝－1或3； 当a ＝3时，f (x )＝1不合题意； 当a ＝－1时，f (x )＝－4x ＋1符合题意． 答案：B 二、填空题5．y ＝1－x 1＋x 的递减区间是________，y ＝1－x1＋x的递减区间是________． 解析：y ＝1－x 1＋x ＝－1＋2x ＋1，定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，∴该函数的递减区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)． 对于函数y ＝1－x1＋x，其定义域为－1<x ≤1. 由复合函数的单调性知它的递减区间为(－1,1]． 答案：(－∞，－1)和(－1，＋∞) (－1,1]6．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3a －1)x ＋4a (x <1)log a x (x ≥1)是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是________．解析：∵当x ≥1时，y ＝log a x 单调递减； ∴0<a <1；而当x <1时，f (x )＝(3a －1)x ＋4a 单调递减， ∴a <13；又函数在其定义域内单调递减，故当x ＝1时，(3a －1)x ＋4a ≥log a x ，得a ≥17，综上可知，17≤a <13.答案：17≤a <13三、解答题7．判断f (x )＝1＋x x 在(0,1]上的单调性．解：f (x )＝1＋xx 在(0,1]上为减函数．证明如下：证法一：设x 1，x 2∈(0,1]，且x 1<x 2. 则f (x 1)－f (x 2)＝1＋x 1x 1－1＋x 2x 2＝x 2＋x 1x 2－x 1－x 2x 1x 1·x 2＝x 2－x 1＋x 1x 2(x 1－x 2)x 1·x 2＝(x 2－x 1)(1－x 1x 2)x 1x 2.∵x 1，x 2∈(0,1]且x 1<x 2，∴x 2－x 1>0,1－x 1x 2>0， ∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 所以f (x )＝1＋xx在(0,1]上是减函数．证法二：∵f (x )＝1＋x x ＝1x ＋x ＝x －12＋x 12，∴f ′(x )＝－12x －32＋12x －12＝－12x 3＋12x ＝x －12x 3. 又∵0<x ≤1，∴x －12x 3≤0(当且仅当x ＝1时取等号)，∴f (x )在(0,1]上为减函数．8．函数f (x )对任意的实数m 、n 有f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )，且当x >0时有f (x )>0. (1)求证：f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数； (2)若f (1)＝1，解不等式f [log 2(x 2－x －2)]<2. (1)证明：设x 2>x 1，则x 2－x 1>0. ∵f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1＋x 1)－f (x 1) ＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－f (x 1) ＝f (x 2－x 1)>0，∴f (x 2)>f (x 1)，f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数． (2)解：∵f (1)＝1，∴2＝1＋1＝f (1)＋f (1)＝f (2)， 又f [log 2(x 2－x －2)]<2， ∴f [log 2(x 2－x －2)]<f (2)，∴log 2(x 2－x －2)<2，于是⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，x 2－x －6<0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >2，－2<x <3，即－2<x <－1或2<x <3. ∴原不等式的解集为{x |－2<x <－1或2<x <3}．[高考·模拟·预测]1．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)单调增加，则满足f (2x －1)<f (13)的x 的取值范围是( )A ．(13，23)B ．[13，23)C ．(12，23)D ．[12，23)解析：f (x )是偶函数，其图象关于y 轴对称，又f (x )在[0，＋∞)上递增，∴f (2x －1)<f (13)⇔|2x －1|<13⇔13<x <23.故选A.答案：A2．用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值．设f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：由画图可知f (x )＝ ⎩⎪⎨⎪⎧2x(0≤x ≤2)，x ＋2(2<x <4)，10－x (x ≥4)，∴f (x )的最大值为f (4)＝6.故选C.答案：C3．若函数f (x )＝⎩⎨⎧1x，x <0，(13)x，x ≥0，则不等式|f (x )|≥13的解集为________．解析：依题可得⎩⎪⎨⎪⎧ x <0，⎪⎪⎪⎪1x ≥13或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x ≥13， 解之得－3≤x <0或0≤x ≤1， ∴不等式|f (x )|≥13的解集为[－3,1]．答案：[－3,1]4．已知函数f (x )＝log 2[2x 2＋(m ＋3)x ＋2m ]，若f (x )的定义域是R ，则实数m 的取值集合为A ；若f (x )的值域是R ，则实数m 的取值集合为B ，那么A 、B 满足关系________．解析：由f (x )的定义域为R 得 Δ＝(m ＋3)2－4×2×2m <0，① 由值域为R 得Δ＝(m ＋3)2－4×2×2m ≥0，② 解不等式①②取并集易得A ∪B ＝R . 答案：A ∪B ＝R5．设a 为实数，函数f (x )＝2x 2＋(x －a )·|x －a |. (1)若f (0)≥1，求a 的取值范围； (2)求f (x )的最小值；(3)设函数h (x )＝f (x )，x ∈(a ，＋∞)，直接写出．．．．(不需给出演算步骤)不等式h (x )≥1的解集．解：(1)因为f (0)＝－a |－a |≥1，所以－a >0，即a <0.由a 2≥1知a ≤－1. 因此，a 的取值范围为(－∞，－1]． (2)记f (x )的最小值为g (a )．我们有 f (x )＝2x 2＋(x －a )|x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧3(x －a 3)2＋2a 23，x >a ，①(x ＋a )2－2a 2，x ≤a ，②Ⅰ.当a ≥0时，f (－a )＝－2a 2，由①②知f (x )≥－2a 2，此时g (a )＝－2a 2. Ⅱ.当a <0时，f (a 3)＝23a 2.若x >a ，则由①知f (x )≥23a 2；若x ≤a ，则x ＋a ≤2a <0，由②知f (x )≥2a 2>23a 2.此时g (a )＝23a 2.综上得g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a 2，a ≥0，2a 23，a <0.(3)Ⅰ.当a ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－62∪⎣⎡⎭⎫22，＋∞时，解集为(a ，＋∞)；Ⅱ.当a ∈⎣⎡⎭⎫－22，22时，解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫a ＋3－2a 23，＋∞； Ⅲ.当a ∈⎝⎛⎭⎫－62，－22时，解集为 ⎝ ⎛⎦⎥⎤a ，a －3－2a 23∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫a ＋3－2a 23，＋∞.[备选精题]6．已知函数f (x )自变量取值区间A ，若其值域区间也为A ，则称区间A 为f (x )的保值区间．(1)求函数f (x )＝x 2形如[n ，＋∞)(n ∈R )的保值区间； (2)g (x )＝x －ln(x ＋m )的保值区间是[2，＋∞)，求m 的取值． 解：(1)若n <0，则n ＝f (0)＝0，矛盾． 若n ≥0，则n ＝f (n )＝n 2，解得n ＝0或1， 所以f (x )的保值区间为[0，＋∞)或[1，＋∞)． (2)因为g (x )＝x －ln(x ＋m )的保值区间是[2，＋∞)， 所以2＋m >0，即m >－2，令g ′(x )＝1－1x ＋m >0，得x >1－m ，所以g (x )在(1－m ，＋∞)上为增函数， 同理可得g (x )在(－m,1－m )上为减函数．若2≤1－m 即m ≤－1时，则g (1－m )＝2得m ＝－1满足题意． 若m >－1时，则g (2)＝2，得m ＝－1，矛盾． 所以满足条件的m 值为－1.。