凸函数的性质
凸函数的性质与应用
凸函数的性质与应用凸函数是一种特殊的函数，它的图像在任何一点处都是凸的，也就是说，它的图像在任何一点处都是向上凸的。
凸函数的性质和应用非常广泛，它们在数学、统计学、经济学、机器学习等领域都有着重要的应用。
首先，凸函数的性质可以用来求解最优化问题。
最优化问题是指在给定条件下，求解使目标函数取得最大值或最小值的变量值。
凸函数的性质可以用来求解最优化问题，因为它的图像在任何一点处都是向上凸的，所以可以用来求解最优化问题。
其次，凸函数的性质可以用来求解线性规划问题。
线性规划问题是指在给定条件下，求解使目标函数取得最大值或最小值的变量值，而且变量值必须满足一组线性约束条件。
凸函数的性质可以用来求解线性规划问题，因为它的图像在任何一点处都是向上凸的，所以可以用来求解线性规划问题。
此外，凸函数的性质还可以用来求解最小二乘问题。
最小二乘问题是指在给定条件下，求解使目标函数取得最小值的变量值，而且变量值必须满足一组线性约束条件。
凸函数的性质可以用来求解最小二乘问题，因为它的图像在任何一点处都是向上凸的，所以可以用来求解最小二乘问题。
最后，凸函数的性质还可以用来求解机器学习问题。
机器学习是一种人工智能技术，它可以自动从数据中学习规律，并做出预测。
凸函数的性质可以用来求解机器学习问题，因为它的图像在任何一点处都是向上凸的，所以可以用来求解机器学习问题。
总之，凸函数的性质和应用非常广泛，它们在数学、统计学、经济学、机器学习等领域都有着重要的应用。
凸函数的性质可以用来求解最优化问题、线性规划问题、最小二乘问题和机器学习问题，从而为科学研究和实际应用提供了重要的理论支持。
凸集与凸函数
凸集与凸函数在数学中，凸集和凸函数是两个非常重要的概念。
它们在优化、几何、经济学等领域中都有广泛的应用。
本文将介绍凸集和凸函数的定义、性质和应用。
凸集凸集是指在一个向量空间中，如果对于任意两个点x和y，它们的线段上的所有点都在该集合内，那么这个集合就是凸集。
简单来说，凸集就是一个“凸起来”的集合，它的内部没有凹陷的部分。
凸集有很多重要的性质。
其中最重要的是：凸集的交集仍然是凸集。
这个性质在优化问题中非常有用，因为它可以帮助我们证明一些最优化问题的解是凸集。
凸函数凸函数是指在一个实数域上，如果对于任意两个点x和y，它们的线段上的所有点都在函数图像的上方，那么这个函数就是凸函数。
简单来说，凸函数就是一个“凸起来”的函数，它的图像没有凹陷的部分。
凸函数也有很多重要的性质。
其中最重要的是：凸函数的下凸壳是一个凸函数。
这个性质在优化问题中非常有用，因为它可以帮助我们求解一些最优化问题的解。
应用凸集和凸函数在优化、几何、经济学等领域中都有广泛的应用。
其中最常见的应用是在最优化问题中。
凸集和凸函数的性质可以帮助我们证明一些最优化问题的解是凸集或凸函数，从而简化问题的求解过程。
凸集和凸函数还可以用于解决一些几何问题。
例如，我们可以使用凸包算法来求解一个点集的凸包，从而得到一个凸集。
同样地，我们也可以使用凸函数来求解一些几何问题，例如最小二乘法。
在经济学中，凸集和凸函数也有广泛的应用。
例如，在市场经济中，供求关系可以被视为一个凸函数，从而帮助我们预测市场价格的变化。
总结凸集和凸函数是数学中非常重要的概念。
它们在优化、几何、经济学等领域中都有广泛的应用。
凸集和凸函数的性质可以帮助我们证明一些最优化问题的解是凸集或凸函数，从而简化问题的求解过程。
同时，它们也可以用于解决一些几何问题和经济学问题。
凸集与凸函数的性质与应用
凸集与凸函数的性质与应用凸集与凸函数是数学中两个非常重要的概念，它们在各个领域都有广泛的应用。
本文将围绕凸集与凸函数的性质展开讨论，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、凸集的定义及性质1. 凸集的定义在数学中，一个集合称为凸集，如果对于集合中的任意两点，连接这两点的线段上的所有点也在该集合内部。
2. 凸集的性质（1）凸集的交集仍然是凸集。
即若集合A和集合B都是凸集，则它们的交集A∩B也是凸集。
（2）凸集的闭包仍然是凸集。
即若集合A是凸集，则它的闭包A 也是凸集。
（3）凸集的仿射变换仍然是凸集。
即若集合A是凸集，线性变换T将A的元素变换到B，B上的任意两点通过T来自A的元素，B也是凸集。
二、凸函数的定义及性质1. 凸函数的定义在实数域上，如果一个函数的定义域是凸集，并且满足对于任意一对定义域内的点x₁和x₂以及任意的x∈ [0,1]，都有凸函数性质：x(xx₁+(1−x)x₂) ≤ xx(x₁)+(1−x)x(x₂)则该函数被称为凸函数。
2. 凸函数的性质（1）凸函数上的割线位于函数图像的下方或与之切线重合。
（2）凸函数的上、下半级集都是凸集。
即对于凸函数x(x)，有以下性质：- x∈ℝ且x∈ℝ，x(x) ≤ x≤ x(x) 成立，则对于该函数来说，有x(x) ≤ x，其中x∈ [x, x]。
- 若x(x) ≤ x，则x(x) ≤ x，其中x∈ℝ。
三、凸集与凸函数的应用1. 最优化问题凸集与凸函数在最优化问题中有着广泛的应用。
凸函数的性质保证了在一定条件下的最优解存在且唯一。
在优化问题中，我们可以将目标函数设为凸函数，将约束条件设为凸集，从而利用凸函数的性质来求解最优解，简化了问题的求解过程。
2. 经济学凸集与凸函数在经济学中也有重要的应用。
例如，生产函数、效用函数等都是凸函数，它们描述了在一定约束下的最优决策。
同时，凸集与凸函数也被应用在市场均衡理论、优化分配问题等经济学中的重要概念和工具中。
3. 机器学习凸集与凸函数在机器学习中也占据重要地位。
关于凸函数性质的几点注记
整 理为 ：
Ａ 。 ”＋ １ Ａ ） ］ Ａ ：） （一。 ” 一 ” 一
（ 一Ａ ） （ １ ｏ， ） ≥
（ ０ ６ ”＋ １ Ａ ＋ ） ］ Ａ—） （ 一 ０ ”
与定义 ２ 等价 。 证 明 ： 证 定 义 １ 定 义 ２ 假 设 ｆ ） 满 足 先 乍 ， （ 不
华 ）
盟
（ ２ ）
且 口
— — 一
）
盟
，
则 称 ， ） ［ ，］ 的 凸 函数 ， 在 （ ） （ 为 口ｂ 上 若 ２ 中 ， ≠
Ａ ： （一 ｏBiblioteka ｉ］ ｏ ＋ １ Ａ） ” ≥ 且等号始终是成立的， 那么称ｆ ） 口 ｂ 上的线 （ 为［ ， ］
凸 函数 。 ２ 凸 函数 的性 质
线 凸函数 。
构造 函数 Ｆ Ａ ＝ ［ ｘ （ ） ／ Ａ［ （ 一 ） ］ ”＋ １ Ａ 一 ” 一 １ Ａ ｛ ） ） （一 ） ” ，
显然 函数 Ｆ Ｘ 是 连续 函数且 Ｆ ０ （） （ ）＝Ｆ １ ０ （ ）＝ ，
Ｆ（ ‘ ）＜ 。 Ａ ’ Ｏ
因而 Ｆ Ａ 在［ ，］ （ ） ０ １ 上有最小值 Ｍ， Ｍ＜ 。 且 ０
（）则存在 ¨ ∈ＩＡ （，） １， ：， ｉ ，“ ∈ ０１使得 Ａ】 ＋（ — ） ］ Ａ ’（ （ ） （ ’ Ｉ Ａ’ ＜ 厂 Ｊ ＋ ）
收稿 日期 ：０９—０ ２０ ５一ｌ ２
作者简介 ： 陈海峰 （９４一 ）女 ， １７ ， 内蒙古鸟 兰察布市人 ， 师， 讲 主要从事数 学教 学与研 究工作 。
２１ ０ ０年 ６月
包 头 职 业 技 术 学 院 学 报
Ｊ ＲＮＡＬ ＯＦ Ｂ ０Ｕ ＡＯＴ ＯＣ Ｉ ＯＵ Ｖ ＡＴ ＯＮＡＬ ＆ Ｔ ＣＨＮ ＣＡＬ ＣＯ ＥＧ Ｅ Ｉ ＬＬ Ｅ
凸函数及其性质
凸函数及其性质1. 定义1.1 定义⼀如果对任意x1、x2总有f[αx1+(1−α)x2]≥αf(x1)+(1−α)f(x2)，其中0≤α≤1，则称f(x)为上凸函数如果对任意x1、x2且x1≠x2，总有f[αx1+(1−α)x2]>αf(x1)+(1−α)f(x2)，其中0<α<1，则称f(x)为严格上凸函数1.2 定义⼆如果对任意x1、x2总有f[αx1+(1−α)x2]≤αf(x1)+(1−α)f(x2)，其中0≤α≤1，则称f(x)为下凸函数如果对任意x1、x2且x1≠x2，总有f[αx1+(1−α)x2]<αf(x1)+(1−α)f(x2)，其中0<α<1，则称f(x)为严格下凸函数2. 琴⽣（Jenson）不等式对于上凸函数，f(E[X])≥E[f(x)]或q∑k=1λk f(x k)≤f(q∑k=1λk x k)，其中λ1,λ2,⋯,λq为正实数（或⾮负实数，后者去除⽆影响的λi=0的项即为前者，故⼆者等价）且q∑k=1λk=1；对于严格上凸函数，上述等号成⽴当且仅当x1=x2=⋯=x q。
对于下凸函数，f(E[X])≤E[f(x)]或q∑k=1λk f(x k)≥f(q∑k=1λk x k)，其中λ1,λ2,⋯,λq为正实数（或⾮负实数，后者去除⽆影响的λi=0的项即为前者，故⼆者等价）且q∑k=1λk=1；对于严格下凸函数，上述等号成⽴当且仅当x1=x2=⋯=x q。
↓证明过程如下↓2.1 上凸函数证明：因为λi均为正实数，故有 f(q ∑k=1λk x k)=f(λ1x1+q∑k=2λk∑q k=2λk x k∑q k=2λk)≥λ1f(x1)+q∑k=2λk⋅f(∑q k=2λk x k∑q k=2λk) =λ1f(x1)+q∑k=2λk⋅f(λ2∑q k=2λk x2+∑q k=3λk∑q k=2λk⋅∑q k=3λk x k∑q k=3λk) ≥λ1f(x1)+λ2f(x2)+q∑k=3λk⋅f(∑q k=3λk x k∑q k=3λk) ≥⋯≥q∑k=1λk f(x k)2.2 严格上凸函数证明：由定义可知，对于严格上凸函数，f[αx1+(1−α)x2]≥αf(x1)+(1−α)f(x2)等号成⽴时当且仅当x1=x2。
第三节 凸函数
d)f(x)=x12+4x1x2-x22
解 a)
∂f( x ) ∂x
2 1
= 10x 1+
2
x
2
- 5,
∂f( x ) ∂x
2
=
x
1
+ 2x 2+ 4
∂ f( x ) ∂x
2 2 1
= 10,
∂ f( x ) ∂x
2 1
= 1
x
2
∂ f( x ) ∂x
2
= 1,
∂ f( x ) ∂x 2
2
= 2
x
表明▽2f(x)负定，f(x)是严格凹函数。
c）
2 2 f (x) 0 0
0 12 x 2 0
0 0 0
▽2f(x)的一阶主子式分别为2,12x2,0均非 负（x2≥0）；二阶主子式分别为
2 0 0 12 x2 2 4 x 2≥ 0 ， 2 0 0 0 =0， 12 x 2 0 0 0 0
凸函数。
证明：设x，y∈R，且x≠y，λ∈（0 ，1）都有：
f[λx+(1-λ)y]-[λf(x)+(1-λ)f(y)]
=[λx+(1- λ)y-1]2 - λ(x-1)2 - (1- λ)(y-1)2
= -λ(1- λ)(x-y)2＜0
因此f(x)在（-∞，+∞）上是严格凸函数。
例2：试证线性函数是Rn上的凸函数。
f[λx1+(1-λ)x2]= ≤
fα i 1+(1-λ)x2) i (λx
i=1
k
αi [λfi(x1)+(1-λ)f(x2)]
i 1
k
凸函数的几个性质
凸函数的几个性质
1. 凸函数的导数在定义域内单调递增或单调递减；
2. 凸函数的二阶导数在定义域内非负；
3. 凸函数的图像在定义域内是上凸的；
4. 凸函数的极值点只可能是极小值点或极大值点；
5. 凸函数的极值点只可能出现在函数的端点或极值点处；
6. 凸函数的极值点处的导数值为零；
7. 凸函数的极值点处的二阶导数值非负；
8. 凸函数的极值点处的二阶导数值为零时，极值点为拐点；
9. 凸函数的极值点处的二阶导数值为正时，极值点为极小值点；
10. 凸函数的极值点处的二阶导数值为负时，极值点为极大值点。
92. 什么是凸函数？如何判断？
92. 什么是凸函数？如何判断？92、什么是凸函数？如何判断？在数学的广袤世界里，凸函数是一个重要的概念，它在优化理论、经济学、物理学等众多领域都有着广泛的应用。
那么，究竟什么是凸函数呢？又该如何去判断一个函数是否为凸函数呢？简单来说，凸函数是一种具有特殊性质的函数。
想象一下，在函数的图像上，如果连接任意两点的线段都在这两点之间的函数曲线之上，那么这个函数就是凸函数。
更严谨地，对于定义在某个区间上的函数 f(x)，如果对于区间内任意的两个点 x₁和 x₂，以及介于 0 和 1 之间的任意实数λ ，都满足不等式f(λx₁＋（1 λ)x₂) ≤ λf(x₁) ＋（1 λ)f(x₂) ，那么这个函数就是凸函数。
为了更直观地理解凸函数，我们来看几个具体的例子。
比如，最简单的凸函数之一是二次函数 f(x) ＝ x²。
在其图像上，很容易发现任意两点之间的线段都在曲线之上。
再比如，函数 f(x) ＝｜x| 也是凸函数。
那如何判断一个给定的函数是否为凸函数呢？这有多种方法。
一种常见的方法是通过函数的二阶导数来判断。
如果函数 f(x) 的二阶导数 f'＇（x) ≥ 0 在其定义域内恒成立，那么这个函数就是凸函数。
以函数 f(x) ＝ x²为例，它的一阶导数为 f'（x) ＝ 2x ，二阶导数为f'＇（x) ＝ 2 ，因为 2 恒大于 0 ，所以 f(x) ＝ x²是凸函数。
另一种方法是利用定义来直接判断。
对于给定的函数，选取定义域内的任意两点，计算出λx₁＋（1 λ)x₂对应的函数值，并与λf(x₁) ＋（1 λ)f(x₂) 进行比较。
但这种方法在实际操作中往往比较繁琐，特别是对于复杂的函数。
还有一种方法是通过函数的性质来判断。
例如，如果一个函数是由多个凸函数相加组成的，那么这个函数也是凸函数。
凸函数在实际应用中有着重要的价值。
在优化问题中，凸函数的性质使得我们能够更容易地找到最优解。
运用凸函数性质证明不等式
不少不等式的证明，看起来很难，但运用凸函数性质证明，可以少走弯路，使解题更合理些。
凸函数性质：1.如果y=f(x)在[a,b]上是上凸函数，设 ，那么2)()()2(b f a f b a f +≥+ 2.如果y=f(x)在[a,b]上是下凸函数，设2b a c +=，那么2)()()2(b f a f b a f +≤+ 当且仅当f(x)为常数函数时，等号成立结论：上凸函数函数值的平均不大于平均的函数值；下凸函数函数值的平均不小于平均的的函数值。
特别是简单的初等函数，它的上凸与下凸可以直观从图像中看出，当然也可以从二阶导数来判别：)(0)(x f x f ⇒<''为上凸的函数；)(0)(x f x f ⇒>''为下凸的函数。
将上面的性质加以推广1.如果y=f(x)在[a,b]上是上凸的函数，设xi在（a,b ）内，那么n x f x f x f n x x x f n n )()()(2121+⋯++≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋯++ 2.如果y=f(x)在[a,b]上是下凸函数，设xi 在（a,b ）内，那么n x f x f x f n x x x f n n )()()(2121+⋯++≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋯++ 当且仅当，f(x)为常数函数时，等号成立。
（证明从略）凸函数的性质在理论上很重要，它有时是证明不等式的有力工具，仅举几例加以说明。
例1中，求证：323sin sin sin ≤++C B A 证明一：sinA+sinB+sinC令C 为定角:C 为定角，2cos ,4coscc-π为定值，要使2cos 2cos 2cos CB A ++为最大值，只有当A=B 时才成立，由于A.B.C对称，2cos 2cos 2cos CB A ++ 有最大值，当且仅当A=B=C=60°时才能达到3232cos 2cos 2cos≤++∴C B A 2b a c +=运用凸函数性质证明不等式（何仲永 浙江 诸暨轻工技校 311800 ）摘要 ：本文仅从函数图像的凹凸性角度证明一些常见的不等式，在明确函数凹凸性性质的基础上，用具体例子加以例析。
关于凸函数的性质
关于凸函数的性质1999年第1期No.1l999阿坝师范高等专科学校JOURNALOFAlIATEACHERSC0U正GE1999年5月M卿19991卜7关于凸函数的性质马昌威正0f了牛,/弓内容提要:本文进一步讨论了定叉在某区间I上的凸函数经四r,l运算生成新的函数的凸性;并得到凸函数经复合运算和反函数运算生成新的凸函数的充分条件.炫词虬噬荦凋溆定义:设f(x)是定义在区间I上的实值函数,若对V,x2,∈I,∈(0,1)恒有:f(h+(1一)x2)≤(1)+(1一)f(x2)或f(hl+(1一)x2)≥(x1)+(1一)f(xz)则称f(x)为I上的下凸函数或上凸函数.若其中不等式符号为严格不等号,则称f(x)为I上的严格下凸或严格上凸函数.主要结论:(I)设(x)=(-.I,2,…,n)是I上的下凸(或上凸)函数,ki≥o(i:1,2,….n)则∑kj￡(x)是I上的下凸(或上凸)函数.证明:令f(z)=k'(z),￡(x)均为I上的下凸函数,则VX1,xz∈I,∈(0,1)有:F(x1+(1一x)x2=∑k【'(x1+(1一)2)≤l∑k;((xI)+(1一x)fdx2))=笛(x1)+釜(1一)k_fi(xz):kj￡()+(1一)k;5():F(x1)+(1一)F()即F(x):∑ki'(x)为I上的下凸函数.类似可证当'(x)为I上的上凸函数时,_∑ki'(x)为I上的上凸函数.定义易证:推论:若'(x)(i:l,2,…n)为I上的下凸(或上凸)函数,且ki<o(i:l,2,…n)则l∑b' (x)为I上的上凸(或下凸)函数.(Ⅱ)若函数'(x)(i=1,2…n)均为I上的下凸(或上凸)函数,且Vx∈I,有(x)>10,￡(x)(i-1,2…n)为I上的单调递增(或单调递减)函数,则_Ⅱ6(x)为I上的下凸(或上凸)函数.阿坝师范高等专科学校1999证明:不妨设fL(x)≥O,且'(x)(i_1,2,…n)为I上的单调递增下凸函数.下面用数学归纳法证明.当k=2对,Ⅱ(x):5(x)?'(x)VxI,∈I,∈(O,1)f2(hl+(1一)x2)?(x1+(1一)≤[(x1)+(1一a)f2(xz)】?[(x1)+(1一)(x2)]=6()?最(x1)+(1一)(x2)(x2)+(1～(x1)f2(x2)+(1一x)fi(x2)f2(x~)=^(1一^)[(x1)一(xz)]?[f2(~2)一(x1)]+[(x1)(x1)+(1一^)(x2)(x2)]≤(x1)?(x1)+(1一)f2(x2)(x2)即(x)'(x)为I上的下凸函数.并且易证最(x)?(x)仍为单调递增函数设当k:n时,n'(x)为I上的下凸函数,由￡(x)非负单调递增知Ⅱ'(x)仍为非负单调递增.当k=n+1时,Ⅱ'(x)=+l(x)?(x)…(x)?fl(x)由假设''(x)?fn+(x)…?f2(x)?(x)为下凸函数且单调递增,由k=2时的证明知+I (x)?((x)?f^+l(x)…5(x)6(x))仍为I上的非负下凸函数.故Ⅱ'(x)为I上的下凸函数.其它情形可类似证明.(Ⅲ)设f(x)是I上非负单调增加(或单调减少)的下凸(或上凸)函效,g(x)是I上的正值单调递减(或单调增加)的上凸(下凸)函数,则是I上的下凸(上凸)函数.证明:由g(x)在I上正值且单调递减,g(x)为I上的上凸函数易证为I上的正值且单调递增函数,【_为I上的下凸函数.令F(x)=则彗=f(x)_F(x)由(Ⅱ)知f(x)-F(x)为I上的下凸函数.类似可证其它情形.(Ⅳ)设f(x)为区间I上的下凸(或上凸)函数,g(u)为区间Y上的下凸(或上凸)单调递增函数,且f(I)cY,则复合函数f为I上的下凸(或上凸)函数.证明:仅证f(x)为I上的下凸函数,g(u)为Y上的单调递增下凸函数的情形.VI,∈.∈(O,1)有:g.h1+(1一)x2)=g[f(hl+(1一)x2]≤g【xt+(1一)")]≤(f(xI))+(1一)g(f(x2)=.x1)+(1一x)g.")即gof(x)为I上的下凸函数.类似还可以证明:设f(x)为区问I上的下凸(或上凸)函数,g(u)为Y上的单调递减的上凸(或下凸)函效,且f(x)3Y,则f为I上的上凸(下凸)函数.第1期马昌威:关于凸函数的性质为证下述结论,首先设F(x)是由有限个中间函数(x),(x),…,(x)复台而成,简记为:F:.fn一1o.….f2,其中fk(x)分别是集台Ik上的函数,且{fk(x)IxEIk}CIk+1,k: l,2,…,II推论I:若fk(x)分别是IK上的单调递增的上凸(或下凸)函数,则F(x)为I.上的上凸(或下凸)函数.推论2:若fk(x)中当k=l,3,5,7,…2n—l,2n+l时为下凸(或上凸)递减函数,当k:2,4,6,8…,2n时为上凸(或下凸)递减函数,则F(x)为h上的下凸(或上凸)函数.推论3:若fk(x)中当k=l,3,5…2n—l时为下凸(或上凸)递减函数,当k=2,4,6,8,…,2n时为上凸(或下凸)递减函数,则F(x)为上凸(或下凸)函数.为证上述推论,引人下述三则引理:引理…:任意有限个单调增加函数生成的复合函数一定是单调增加函数.引理【2J:若fk(x)中(k=l,2,…,n)有奇数个函数单调减少,则复合函数F(x)在h上单调减少.引理【3]:若(x)中(k=l,2,…,n)有偶数个函数单调减少,则复合函数F(x)在Il上单调增加.下面证明上述推论.证明:(推论1)仅证最(x)为下凸的情形,上凸情形类似可以证明.F(x)=fo.fn一1…一'.f2由(Ⅳ)及引理知:.为I1上的下凸递增函数6￡.为Ii上的下凸递增函数.fn.fn—r….为h上的下凸递增函数.(推论2)仅证fk(x)当k=l,3,5,7…an+l为下凸避酗,k=2,4,6,8,…,2Il时为上凸递减的情形.由条件知,F(x)=f2+.…一f2.由(Ⅳ)及引理有:f2.为Il上的上凸递增函数6f2n为Il上的下凸递增函数f2+l.…?.f2.fl为上的下凸递减函数即F(x)为I.上的下凸函数类似可证另一情形(推论3)仅证fk(x)(k=l,3,5,…,2n—1)为下凸递减的情形由条件知F(x):f2口.f2一1…一f2.由(IV)及引理有:f2.为Il上的上凸递增函数.6.￡?为Il上的下凸递减函数.一1f2fl为I1上的上凸递增函数即F(x)为Il上的上凸函数74阿坝师范高等专科学校1999年类似可以证明另一情形(V)设y=f(x)为区阿I上的严格递减的下凸(或上凸)函数,其值域为区问Y:f(I), 则其反函散x=f'y)为Y上的下凸(或上凸)函数.证明:仅证Y:fix)为I上的严格递减的下凸函数的情形,上凸情形类似可证.Y=f(x)在I上下凸,即Vxi,∈I.∈(0,1)有f(hI+(1一^)x2)≤^f(xI)+(1一^)f(x2)f～(xyI+(I-X)y2)=f..(xI)+(1-x)f(x2))≤f一.[f(xxl+(1一))]:h.xl+(1一)x2=kf(y1)+(1一y)r(y2)即x=f-(y)为Y上的下凸函数类似的还有结论:设y=f(x)在区间I上严格递增,且为下凸(或上凸)函数,且t-(t)为f(x)的值域,则x: f(y)在区间f(I)上严格递增且为f(I)上的上凸(或下凸)函数.上述所有性质将上凸(或下凸)改为严格上凸(或严格下凸),结论均成立.参考文献:[1】周忠群主编:效学分析方法选讲,西南师范大学出版社,1989年[2J剂玉琏,博沛仁主编:教学分析讲义,高等教育出版社,1991年8月(3]吴应斌'关于单调匝效生成的复合函数的单诃性)(阿坝师专)97?2{作者单位:阿坝师专数学系】。
凸函数和非凸函数
凸函数和非凸函数
凸函数和非凸函数是数学中常见的两种函数类型。
凸函数在整个定义域内都满足凸性质，即任意两点之间的连线都在函数图像的上方或重合，而非凸函数则不具备这种性质。
凸函数的凸性质使得它们在优化问题中具有重要的应用。
例如，对于凸优化问题，可以通过求解凸函数的最小值来得到最优解。
此外，凸函数还可以用来描述很多现实问题，如成本函数、效用函数和风险函数等。
非凸函数则更具有挑战性。
由于它们不满足凸性质，因此求解非凸优化问题通常需要使用更加复杂的算法。
此外，非凸函数在描述问题时也更加多样化，如多峰函数、分段函数和非光滑函数等。
总的来说，凸函数和非凸函数都是重要的数学概念，它们在不同的领域中发挥着不同的作用。
对于数学学习者来说，了解它们的性质和应用将有助于更好地理解和应用数学知识。
- 1 -。
凸函数
凸函数是指一类定义在实线性空间上的函数。
注:中国大陆部分数学机构对函数凸性的定义与国外不同。
在中国大陆的一些数学书中，它被称为凸函数。
Concave Function指凸函数。
但在中国大陆涉及经济学的很多书中，凹凸性的提法和其他国家的提法是一致的，也就是和数学教材是反的。
举个例子，同济大学高等数学教材对函数的凹凸性定义与本条目相反，本条目的凹凸性是指其上方图是凹集或凸集，而同济大学高等数学教材则是指其下方图是凹集或凸集，两者定义正好相反。
另外，也有些教材会把凸定义为上凸，凹定义为下凸。
碰到的时候应该以教材中的那些定义为准。
凸函数是一个定义在某个向量空间的凸子集C上的实值函数f，而且对于凸子集C中任意两个向量定义在某个开区间C内的凸函数f在C内连续，且在除可数个点之外的所有点可微。
如果C是闭区间，那么f有可能在C的端点不连续。
一元可微函数在某个区间上是凸的，当且仅当它的导数在该区间上单调不减。
一元连续可微函数在区间上是凸的，当且仅当函数位于所有它的切线的上方：对于区间内的所有x和y，都有f(y) > f(x) + f '(x) (y −x）。
特别地，如果f '(c) = 0，那么c是f(x）的最小值。
一元二阶可微的函数在区间上是凸的，当且仅当它的二阶导数是非负的；这可以用来判断某个函数是不是凸函数。
如果它的二阶导数是正数，那么函数就是严格凸的，但反过来不成立。
例如，f(x) = x4的二阶导数是f "(x) = 12 x2，当x = 0时为零，但x4是严格凸的。
更一般地，多元二次可微的连续函数在凸集上是凸的，当且仅当它的黑塞矩阵在凸集的内部是正定的。
凸函数的任何极小值也是最小值。
严格凸函数最多有一个最小值。
对于凸函数f，水平子集{x | f(x) < a}和{x | f(x) ≤a}（a ∈R）是凸集。
然而，水平子集是凸集的函数不一定是凸函数；这样的函数称为拟凸函数。
凸函数
凸函数一、【知识提纲】1、凸函数的定义一般的，设f(x)是定义在(a,b)内的函数如果对于定义域内的任意两数x 1，x 2都有()()222121x f x f x x f +≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 则称f(x)是(a,b)内的下凸函数，一般说的凸函数，也就是下凸函数，例如y=x 2，从图像上即可看出是下凸函数，也不难证明其满足上述不等式。
如果对于某一函数上述不等式的等号总是不能成立，则称此函数为严格凸函数。
注：凸函数的定义为我们提供了极为方便地证明一个函数为凸函数的方法。
这个方法经常使用。
此外利用二阶求导也可以判断一个函数为凸函数，凸函数的二阶导数是非负数。
2、凸函数具有的常用性质 性质一：对于(a,b)内的凸函数f(x)，有()nx f n x f ni ini i∑∑==≤⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11注：此即常说的琴生不等式性质二：加权的琴生不等式对于(a,b)内的凸函数，若11=∑=ni ia，则()∑∑==≤⎪⎭⎫ ⎝⎛ni i i n i i i x f a x a f 11 注：加权琴生不等式很重要，当na i 1=时，即为原始的琴生不等式。
注：另外，对于上面有关凸函数和琴生不等式的部分，如果将不等号全部反向，则得到的便是凹函数，以及凹函数的琴生不等式。
二、应用例1、证明：对于(a,b)内的凸函数f(x)，有()nx f n x f ni ini i ∑∑==≤⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛11例2、证明：nx x x n x x x nn 2222122221.......+++≥+++例3、在ABC ∆中求证：（1）62sin12sin 12sin 1≥++C B A ；（2）332cot 2cot 2cot ≥⋅⋅CB A ；例3、（变量和为常量型）（1） 设a a n i a ni ii ==∈∑=1,,...,3,2,1),1,0(，求证：a n naa a a a a a nn -≥-++-+-1...112211；（2） 设*∈R c b a ,,,且1111=-+-+-c c b b a a ，求证：23≥++c b a（3） 若c b a ,,为三角形的三边，且s c b a 2=++，求证：12)32(--≥+++++n n n n n s b a c a c b c b a例4、条件为1=abc 的不等式证明问题（1） 若*∈R c b a ,,且1=abc ，求证：1222222≥+++++cc b b a a（2）若*∈R c b a ,,且1=abc ，证明：)(2111222c b a c b a ++≤+++++同步训练的最大值为中，上是凸函数，那么在在区间若函数成都模拟试题C B A ABC x y sin sin sin ),0(sin )02..(1++∆=πA21 B 23C 223D 232、设0>x ，0>y ，证明：()2ln ln ln yx y x y y x x ++≥+3、在ABC ∆中，求证：mm C m B m A 3tan3tan tan tanπ≥++，其中N m ∈且2≥m ．4、已知正实数i a （1=i ，2，…，n ）满足11=∑=ni ia．求证：nni i i n n a a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∏=111．；于中至少有一个小于或等、、内任一点，求证为若︒∠∠∠∆30.6PCA PBC PAB ABC Pnn nn n n i n n x x x x x x n n i x )1()11()11()11(1,2),,2,1(,0.52121+≥++++++=+++≥=> 求证：，，已知答案2、设0>x ，0>y ，证明：()2lnln ln yx y x y y x x ++≥+ 证明：考查函数()x x x f ln =（0>x ），其二阶导数()01>=''xx f ，故其为凸函数．所以()()22y f x f y x f +≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+， 即()y y x x y x y x ln ln 212ln 2+≤++． 4、已知正实数i a （1=i ，2，…，n ）满足11=∑=ni ia．求证：nni i i n n a a ⎪⎭⎫⎝⎛+≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∏=111． 证明：考查函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x x f 1ln ，()1,0∈x ．因()()()[]01252222>+--=''xx x x f ，故该函数为凸函数．而10<<i a （1=i ，2，…，n ），所以⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑∑∑===n n a n n a a a n n i i ni in i i i 1ln ln 1ln 1111．（11=∑=ni i a ） 去掉对数符号立得．．在ABC ∆中求证： （1）62sin12sin 12sin 1≥++C B A ；（2）332cot 2cot 2cot ≥⋅⋅CB A ；证明：（1）考查函数x y sin 1=，其在⎪⎭⎫⎝⎛2,0π上为凸函数；（2）考查函数()2cot ln x x f =，在⎪⎭⎫⎝⎛2,0π上是凸函数．证明如下：即证()()[]⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥+2212121x x f x f x f ．()()2cot ln 2cotln 2121x x x f x f +=+2cot 2cot ln 21xx = ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--++=2cos 2cos 2cos 21ln 212121x x x x x x ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++≥2cos 12cos 21ln 2121x x x x 4cotln 221x x +=⎪⎭⎫⎝⎛+=2221x x f ．证毕．n nnn n n n n n n n nn n n i x x x x x x n n n x x x x x x n n i x )11()11()11(])11()11()11[(1)1()11()11()11(1,2),,2,1(,0.321212121+++≥+++++++≥++++++=+++≥=> 证：求证：，，已知nn x x x x x x x x x x x x x x x n n n nnn n n n 111)1(1)]11()11)(11[(212121121121=+++≤+=+≥+++∴ 又);)(1)]1()1)(1[((1221112211n nn n n n a b a b a b a b a b a b +≥+++利用结论：。
凸函数
凸函数编辑讨论41 上传视频本词条由“科普中国”科学百科词条编写与应用工作项目审核。
凸函数是数学函数的一类特征。
凸函数就是一个定义在某个向量空间的凸子集C（区间）上的实值函数。
中文名凸函数外文名convex function类别数学性质局部最小值即全局最小值定义域实线性空间注意国内外凹凸性定义不同目录1 基本简介2 属性▪性质▪定义3 微积分4 初等运算5 举例子基本简介编辑凸函数是指一类定义在实线性空间上的函数。
[1]注意：中国大陆数学界某些机构关于函数凹凸性定义和国外的定义是相反的。
Convex Function在某些中国大陆的数学书中指凹函数。
Concave Function指凸函数。
但在中国大陆涉及经济学的很多书中，凹凸性的提法和其他国家的提法是一致的，也就是和数学教材是反的。
举个例子，同济大学高等数学教材对函数的凹凸性定义与本条目相反，本条目的凹凸性是指其上方图是凹集或凸集，而同济大学高等数学教材则是指其下方图是凹集或凸集，两者定义正好相反。
另外，也有些教材会把凸定义为上凸，凹定义为下凸。
碰到的时候应该以教材中的那些定义为准。
凸函数是一个定义在某个向量空间的凸子集C上的实值函数f，而且对于凸子集C中任意两个向量、有成立。
于是容易得出对于任意（0,1）中有理数，有如果f连续，那么可以改变成区间（0,1）中的任意实数。
若这里凸集C即某个区间I，那么就是：设f为定义在区间I上的函数，若对I上的任意两点和任意的实数，总有则f称为I上的凸函数，当定义中的“≤”换成“<”也成立时，对应可称函数f为对应子集或区间上的严格凸函数。
[2]判定方法可利用定义法、已知结论法以及函数的二阶导数，对于实数集上的凸函数，一般的判别方法是求它的二阶导数，如果其二阶导数在区间上小于等于零，就称为凸函数。
如果其二阶导数在区间上恒小于0，就称为严格凸函数。
[3]属性编辑性质定义在某个开区间C内的凸函数f在C内连续，且在除可数个点之外的所有点可微。
凸函数的性质
凸函数的性质：（1）设)(),(21x x f f 是凸集nR⊂Ω上的凸函数，则)()(21x x f f +也是Ω上的凸函数； （2）设)(x f 是凸集nR⊂Ω上的凸函数，则对任意常数0>c，函数)(x cf也是凸函数； （3）设)(x f 是凸集nR⊂Ω上的凸函数，则对任意实数c，水平集{}c f ≤Ω∈)(,x x x 是凸集。
（4）设Ω是内部非空的凸集，)(x f是定义在Ω上的凸函数，则)(x f 在Ω的内部连续。
凸函数的判定条件当函数一阶或二阶可微时，除了可以根据定义来判断其是否是凸函数外，更常用的方法是如下的判别条件：定理1-2 定义在凸集nR⊂Ω上的可微函数)(x f 为凸函数的充要条件是：对于任意Ω∈y x ,都有)()()()(x y x x y -∇+≥Tf f f （1-23）定理1-2的几何意义：设)(x f 是一元凸函数，21,x x 是两个不同点，则))(()()(12112x x x f x f x f -'+≥即凸函数的图像上任一点切线上的纵坐标总不大于曲线在该点的纵坐标，见图1-4，反之亦然。
图1-4 凸函数的几何意义只要将定理1-2中（1-23）式的“≥”改为“>”，就可得到严格凸函数的充要条件。
定理1-3（凸函数的二阶充要条件） 设nR⊂Ω为含有内点的凸集，)(x f在Ω上二次可微，则)(x f 为Ω上凸函数的充要条件是：)(x f 的Hesse 矩阵)(2x f ∇在整个Ω上半正定。
特别地，当1=n时，)(x f 的Hesse 矩阵)()(2x f x f ''=∇，则该定理为：若)(x f 具有二阶连续导数，则)(x f 为凸函数的充要条件是：0)(≥''x f，其中),(b a x ∈。
定理1-4（严格凸函数的二阶充分条件） 设nR⊂Ω为非空开凸集，)(x f在Ω上二次可微，若)(x f 的Hesse 矩阵)(2x f ∇在Ω上处处正定，则)(x f 为Ω上的严格凸函数。
关于凸函数性质的总结
两式相加 , 即得 f ( x1 ) + f ( x2 ) \ 2f( f( x2 ) - f( x1 ) + ( x- x1 ), ( x1 < x2 ) x2 - x1 据已知条件 ( 2) g(
x1 + x2 ) 2
( 2) ] ( 1) 过点 ( x1, f ( x1 ) ) 与 ( x2, f( x2 ) ) 的弦为 y= g( x ) = f( x1 )
科技教育
关于凸函数性质的总结
王
=摘 =关键词 >凸函数 连续 可导
华
石家庄理工职业技术学院
下凸 性质 几何意义
河北石家庄
050228
要 >文 [ 1] 归纳并证明了八个凸函数定义及它们之间的等价关系 。 本文继续讨论凸函数的性质 。 单调性
关于凸函数的定义 , 前面己发表论文 ( 下称文 [ 1 ] )中提到常见的有 八个 . 本文在文 [ 1 ]的基础上 就各定义 间的关系、 几何意 义作进一 步思 考 , 得到了有关凸函数的性质 , 以下凸函数为例。先 给出下凸函数 的基 本定义。 称函数 f( x) = x2 是下凸函数 , 其特征是任意两点之间的弧 , 在连接 该两点弦的下方 . 即当设 x1 < x2, 则在 x1, x2, 之间任意一点 x的函 数值 不会大于 x所对应的弦上点的纵坐标。 过点 ( x1 , f( x1 ) ) 与 ( x2 , f( x2 ) ) 的 弦 的 方 程 为 y - f ( x2 ) = f( x1 ) - f( x2 ) f( x1 ) - f( x2 ) ( x- x2 ) 即 y= ( x- x2 ) + f( x2 ), 其中 ( x , y) x1 - x2 x1 - x2 为弦上的流动坐标 . 若是下凸函数 , 定义 f ( x) [ xI ( x1. x2 ) 应有 f( x) [ y , 即得 设函数 f( x)定义于区 I , P x1, x2 I I , xI ( x1, x2 ) 当 f( x1 ) - f( x2 ) ( x- x2 ) + f( x2 ) , , , ( 1), x1 - x2 ( (
凸函数与优化问题
凸函数与优化问题1. 介绍凸函数凸函数是数学中一个重要的概念，它在优化问题中扮演着关键角色。
一个函数f(x)被称为凸函数，当且仅当对于任意的x1和x2以及0<=t<=1，满足以下条件：f(tx1+(1-t)x2)<=t*f(x1)+(1-t)*f(x2)。
简单来说，凸函数的函数图像上的任意两点之间的连线不会超过曲线本身。
2. 凸函数的特性凸函数有一些重要的特性，这些特性在优化问题中发挥着重要作用。
首先，凸函数的二阶导数大于等于零，这意味着凸函数的曲率不会出现负面效果。
其次，凸函数的下确界被称为凹函数，凹函数也具有类似的特性。
此外，凸函数的局部极小值即为全局极小值，这使得优化问题的求解过程更加简化。
3. 凸函数在优化问题中的应用凸函数的性质使其在优化问题中应用广泛。
优化问题是指在一定的约束条件下，求解使得目标函数取得极小值或极大值的问题。
通过将目标函数的表达式转化为凸函数，我们可以简化优化问题的求解过程，并且能够保证所得到的解是全局最优解。
4. 凸优化问题的求解方法针对凸优化问题，有一些有效的求解方法。
其中一种常用的方法是梯度下降法。
梯度下降法基于函数的梯度信息，通过迭代的方式寻找函数极小值点。
另外，凸优化问题还可以通过线性规划、二次规划等方法进行求解。
这些方法在实际应用中被广泛使用，从而解决了很多实际问题。
5. 凸函数与非凸函数的区别与凸函数相对的是非凸函数。
非凸函数是指不满足凸函数定义的函数，即函数图像上的某些连线超过曲线本身。
与凸优化问题不同，非凸优化问题的求解更加困难，因为非凸函数存在多个局部极小值，很难找到全局最优解。
6. 凸函数的应用领域凸函数的应用涉及到多个领域，例如机器学习、统计学、经济学等。
在机器学习中，凸优化问题常用于支持向量机、线性回归等算法。
在统计学中，凸函数被广泛应用于最大似然估计等问题。
同时，凸函数也在经济学的市场均衡分析、资源分配等问题中发挥着重要作用。
凸函数的定义
凸函数的定义
凸函数的定义如下：
对于一元函数f(xf(x)，如果对于任意tϵ［0,1]均满足：
f(tx1+(1−t)x2)≤tf(x1)+(1−t)f(x2)f(tx1+(1−t)x2)≤tf(x1)+(1−t)f(x2)，则称f(x)f(x)为凸函数。
同时如果对于任意tϵ（0,1))均满足：
f(tx1+(1−t)x2)<tf(x1)+(1−t)f(x2)f(tx1+(1−t)x2)<tf(x1)+(1−t)f(x2)，则称f(x)f(x)为严格凸函数。
凸函数的性质：
定义在某个开区间C内的凸函数f在C内连续，且在除可数个点之外的所有点可微。
如果C是闭区间，那么f有可能在C的端点不连续。
一元可微函数在某个区间上是凸的，当且仅当它的导数在该区间上单调不减。
一元连续可微函数在区间上是凸的，当且仅当函数位于所有它的切线的上方：对于区间内的所有x和y，都有f(y)>f(x)+f '(x)(y−x）。
特别地，如果f '(c)= 0，那么c是f（x）的最小值。
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凸函数的性质
【摘自[前苏]克拉斯诺西尔斯基等著《凸函数与奥尔里奇空间》（中译本）】
通常称函数)(x f 在区间),(b a 内是“下(上)凸函数”，若对于),(b a 内任意两点1x 和
2x )(21x x ≠与任意)1,0(∈t ，都满足“琴生(Jesen)不等式”
1212()
[(1)]()(1)()f tx t x tf x t f x >+-<+- (※)
或
()
11221122()()()f t x t x t f x t f x >+<+ (※※)
[其中1t 和2t 为正数且121=+t t ]
它的特别情形(取2
1
=
t )是 ()()()121222f x f x x x f >++⎛⎫
< ⎪⎝⎭
()21x x ≠ (※※※)
在§2-7中曾把它作为下(上)凸函数的定义.。
我们将证明，对于连续函数来说，不等式(※※※)与琴生不等式(※)是等价的。
正因为这样，我们在教科书中就用简单的不等式(※※※)定义了下(上)凸函数（因为我们研究的函数都是连续函数）。
下凸函数简称为凸函数，上凸函数简称为凹函数。
请读者注意．．．．．，这些称呼同国内某些教科书中的称呼是不一致的．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。
但是，我们的上述称呼与新近出版的许多教科书或发表的论文中的称呼是一致的。
因为函数的“上凸”与“下凸”是对偶的，所以，下面只讨论下凸函数的性质。
相信读者一定能够把下面得出的结论，类比到上凸函数上。
（一）琴生不等式的几何意义 我们先解释一下琴生不等式的几何意义。
如图一，
设231x x x <<，则21
21
3112323x x x x x x x x x x x --+--=（根据解析几何中的定比分点公式（*））。
根据琴生不等式(※※)，
)(3x f )()(2121311232x f x x x
x x f x x x x --+--<
[注意1
213212321,x x x x t x x x x t --=--=]
图一
从而，得不等式
3
23212121313)
()()()()()(x x x f x f x x x f x f x x x f x f --<--<--（基本不等式）
它说明(见图一)，弦AC 的斜率小于弦AB 的斜率，而弦AB 的斜率又小于弦CB 的斜率。
（二）凸函数的性质 为简单起见，下面只讨论与我们的问题有关的凸函数的性质。
性质1 若()f x 在区间),(b a 内是下凸函数，则 ⑴ 在每一点),(b a x ∈都有左导数)(x f -'和右导数)(x f +'【因此（*）
，凸函数是连续函数】， 而
且≤'-)(x f ()x f +'；
⑵ 左导数)(x f -'和右导数)(x f +'都是单调增大的函数。
证⑴ 设210h h <<，并且满足不等式(图二)
b h x h x x h x h x a <+<+<<-<-<2112
根据基本不等式，则有
22111122)
()()()()()()()(h x f h x f h x f h x f h h x f x f h h x f x f -+<-+<--<--
考虑函数
h
h x f x f h )
()()(--=
φ （a x h -<<0）
根据上述不等式中最左边的不等式①，当0→h 时，函数)(h φ是单增的且有上界，所以有极限
0lim →h )(h φ=)()
()(lim
0x f h
h x f x f h -→'=-- 类似地，根据最右边的②，函数
h
x f h x f h )
()()(-+=
ϕ （x b h -<<0）
当0→h 时是单减的且有下界，所以有极限
)()
()(lim
)(lim 00x f h
x f h x f h h h +→→'=-+=ϕ
根据中间一个不等式③，)(h φ＜)(h ϕ，再让0→h ，得≤'-)(x f )(x f +'.
证⑵ 为证左、右导数都是单调增大的，譬如证)(x f +'是单调增大的。
设21x x <，并取正数
h 足够小，使
2211x h x h x x <-<+<（图三）
根据基本不等式，
x -h 2 x -h 1 x x +h 1
x +h 2
b
(
a
) ••• x
••
图二
图三
①
② ③
h
h x f x f h x f h x f )
()()()(2211--<
-+ 注意到当0→h 时，左端（关于h ）是单减的，右端是单增的，所以)()(21x f x f -+'<'. 再根据上面已证的结论[)()(22x f x f +-'≤']，就得到)()(21x f x f ++'<'.
假若函数)(x f 在区间),(b a 内可微分，根据教科书中的定理2-3，则
导数)(x f '是增大的⇒函数)(x f 是下凸的。
现在，我们又证明了“函数)(x f 是下凸的⇒导数)(x f '是增大的”[注意，
()()()f x f x f x -+'''==]。
因此，对于可微函数来说，
它是下凸的．．．．．⇔它的导函数是增大的．．．．．．．．．。
根据对偶性，它是上凸的．．．．．⇔它的导函数是减小的．．．．．．．．．。
性质2 若)(x f 是区间),(b a 内的连续函数，则不等式
()()()121222f x f x x x f >++⎛⎫
< ⎪⎝⎭
()21x x ≠ (※※※) 与琴生不等式
()[]211x t tx f -+()
()()()211x f t x tf -+<> ]10,[21<<≠t x x (※)
是等价的。
证 显然，在琴生不等式中取12t =，就是不等式(※※※)。
剩下来就是要证明，从不等式(※※※)也可以推出琴生不等式(※)。
为简单起见，我们只证明其中的情形“＜”。
事实上，(反证法)假若琴生不等式(※)不成立，即至少有一个()1,0∈t 和有1x 与()212x x x ≠，使
)()1()(])1([2121x f t x f t x t x t f -+≥-+
作(连续)函数
)]()1()([])1([)(2121x f t x tf x t tx f t -+--+=φ ),10(21x x t ≠≤≤
并记它的最大值为M ，则0≥M (根据反证法的假设)。
首先假定0>M ，并把函数)(t φ在区间[]1,0上取到最大值M 的最大值点的最小者记为0t ，则100<<t (因为0)1()0(==φφ)。
取正数δ足够小，使]1,0[],[00⊂+-δδt t ，于是对于点
()()20101
1x t x t x δδ+-+-=' 和 ()()201021x t x t x δδ--++=' 则根据不等式(※※※)，即
()()222121
x f x f x x f '+'<
⎪⎭
⎫ ⎝⎛'+' 可得[注意2)(21
x x '+'=2010)1(x t x t -+] ]
)1()[(])1()[(20102010x t x t f x t x t f δδδδ--++++-+-
两端再同时减去)]()1()([2010x f t x f t -+，便得到
000()()
()2
t t M t M φδφδφ-++=<
<
这是不可能的 (M M <)。
其次，若0=M ，根据反证法的假设，则至少有一点)1,0(∈t 使0)(=t φ. 重复上面的作法，则得
02
)
()()(0=≤++-<
=M t t t δφδφφ
这也是不可能的()00<。
因此，对于一切)1,0(∈t 和任意1x 与()212x x x ≠，都有0)(<t φ，即函数)(x f 满足琴生不等式
)()1()(])1([2121x f t x tf x t tx f -+<-+ ],10[21x x t ≠<<
正因为对于连续函数来说，不等式(※※※)与琴生不等式(※)是等价的，所以我们在教科书中就把简单的不等式(※※※)作为下(上)凸函数的定义.。