判断三角形形状的常用方法
判断三角形形状
判断三⾓形形状前⾔判断依据主要是正、余弦定理的⾓的形式或者边的形式，其次还可能⽤到诱导公式，两⾓和与差的公式和⼆倍⾓公式等，变形思路①⾓化边，利⽤sinA =a2R等，转化为只有边的形式，然后通过因式分解、配⽅、提取公因式等，解代数⽅程得到边的相应关系，从⽽判断形状；②边化⾓，利⽤a =2RsinA 等，转化为只有⾓的形式，然后通过三⾓恒等变换，解三⾓⽅程得到，得到内⾓的关系，从⽽判断形状；此时要注意由于sinA >0恒成⽴，故⽅程两端出现sin A 可以放⼼约掉；但若出现cosA 时不能约分，需要移项提取公因式。
注意：由sinAcosB =sinA ，只能得到cosB =1，从⽽得到B =π2，即直⾓三⾓形；由cosAsinB =cosAsinC ，应该得到cosA =0或sinB =sinC ，从⽽得到A =π2或B =C ，即直⾓三⾓形或等腰三⾓形；重要结论sinA =sinB ⇒A =B ，等腰三⾓形；sin 2A =sin 2B ⇒A =B 或A +B =π2，等腰或直⾓三⾓形；cosA =cosB ⇒A =B ，等腰三⾓形；cos 2A =cos 2B ⇒A =B ，等腰三⾓形sin (A −B )=0⇒A =B ，等腰三⾓形；cos (A −B )=1⇒A =B ，等腰三⾓形相关拓展三⾓形内⾓和定理A +B +C =π，A +B 2=π2−C 2三⾓形中的三⾓函数关系sin (A +B )=sinC ，cos (A +B )=−cosC ，sin A +B2=cos C 2，cos A +B 2=sin C 2，三⾓形中的射影定理a =b ⋅cosC +c ⋅cosB ，b =a ⋅cosC +c ⋅cosA ，c =b ⋅cosA +a ⋅cosB ，典例剖析№1设ΔABC 的内⾓A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bcosC +ccosB =asinA ，则ΔABC 的形状为【】A .锐⾓三⾓形B .直⾓三⾓形C .钝⾓三⾓形D .不确定分析：⽤正弦定理的边的形式，边化⾓，得到sinBcosC +sinCcosB =sinAsinA ，即sin (B +C )=sinA =sinAsinA ，由于sinA ≠0，故sinA =1，故A =π2，故为直⾓三⾓形。
判定三角形形状的十种常用方法
判定三角形形状的十种常用方法三角形是数学和几何学中非常基础且重要的概念。
根据三角形的边长和角度，我们可以将其划分为不同的形状。
本文将介绍十种常用的判定三角形形状的方法。
边长比较法：对于任意三角形ABC，若a² + b² = c²（其中a、b、c分别代表三边长度），则三角形ABC为直角三角形，c为斜边。
角度测量法：如果一个三角形中有一个角是90度，那么这个三角形就是直角三角形。
此外，如果三个角都是60度，那么它是等边三角形；如果两个角是45度，那么它是等腰直角三角形。
边长比例法：对于三角形ABC，如果三边长度满足a:b:c = 1:√3:2，那么它是一个30-60-90度的特殊三角形。
中线长度法：在任意三角形ABC中，如果一条中线（连接一个顶点和对边中点的线段）等于该三角形的一半，则这个三角形是直角三角形。
角平分线法：如果一个三角形的角平分线、中线和高重合，那么这个三角形是等腰三角形。
余弦定理法：利用余弦定理，可以通过三角形的三边长度来计算其角度，从而判断其形状。
正弦定理法：正弦定理可以用来计算三角形的边长，通过边长关系可以进一步判断三角形的形状。
面积法：对于直角三角形，其面积等于两直角边乘积的一半；对于等边三角形，其面积等于边长的平方乘以√3再除以4。
向量法：在向量表示中，如果两个向量的点积为零，则这两个向量垂直。
因此，如果三角形两边的向量点积为零，则这个三角形是直角三角形。
代数法：通过代数运算，如求解二次方程等，可以判断三角形的形状。
例如，在三角形ABC 中，如果a² + b² - c² = 0，则三角形ABC是直角三角形。
这十种方法各有其特点和应用场景，可以灵活选择和使用。
在解决实际问题时，可以根据已知条件和需求选择合适的方法来判断三角形的形状。
判定三角形形状的十种方法
判定三角形形状的十种方法三角形是几何学中最基本的图形之一，将一个平面分割成三条边长不为零且不平行的线段后所形成的图形。
在几何学中，我们可以通过不同的方法来判定三角形的形状。
本文将介绍十种常用的方法。
方法一：根据三条边的长度关系首先，我们可以通过三条边的长度关系来判断三角形的形状。
如果三条边的长度满足以下条件之一，则可以确定三角形的形状：1. 如果三条边的长度都相等，则这个三角形是等边三角形。
2. 如果有两条边的长度相等，但与第三条边不相等，则这个三角形是等腰三角形。
3. 如果三条边的长度都不相等，则这个三角形是一般三角形。
方法二：根据三个角的度数关系除了边长关系，我们还可以通过三个角的度数关系来判断三角形的形状。
1. 如果一个角是90度，则这个三角形是直角三角形。
2. 如果一个角大于90度，则这个三角形是钝角三角形。
3. 如果三个角的度数之和等于180度，则这个三角形是锐角三角形。
方法三：根据角度关系判断除了上述的度数关系，我们还可以根据各个角的大小关系来判断三角形的形状。
1. 如果有一个角是锐角，则这个三角形是锐角三角形。
2. 如果有一个角是直角，则这个三角形是直角三角形。
3. 如果有一个角是钝角，则这个三角形是钝角三角形。
方法四：根据角度和边长关系判断接下来，我们来看一些综合考虑角度和边长关系的判断方法。
1. 如果一个角是90度，且边长满足勾股定理的条件，则这个三角形是直角三角形。
2. 如果一个角是60度，且三个边长相等，则这个三角形是等边三角形。
3. 如果一个角是30度，且两边的边长相等，则这个三角形是等腰三角形。
方法五：根据角的相等关系判断三角形中的角也可以根据相等关系来判断形状。
1. 如果两个角是相等的，则这个三角形是等腰三角形。
2. 如果三个角都是相等的，则这个三角形是等边三角形。
方法六：根据边的比例关系判断我们可以通过三个边的比例关系来判断三角形的形状。
1. 如果三个边的比例都相等，则这个三角形是全等三角形。
相似三角形的五种判定
相似三角形的五种判定
三角形是基本图形之一，也是数学中研究最为深入的形状，因此判断相似三角形之间有什么不同成为许多学者研究的课题。
经过时间的考验，目前已经推出了五种判定相似三角形的方法。
首先，边比较法是一种最常用的判定方法，即三角形的两个边之比若相等，而第三边之比不相等，则它们便是相似三角形。
换言之，它们的两个边长按照一定的比例进行缩放就可以构成另一个三角形。
其次，锐角比较法是判定相似三角形最直接的方法，即两个三角形的锐角一定是完全一致的，而直角和钝角则可以是正交也可以是非正交。
第三，调和平均数比较法是另外一种常用的判定相似三角形的方法，即若两个三角形的调和平均值相等，则可以断定它们之间存在相似关系。
同时，调和平均值也可以应用在更为复杂的图形上，比如四边形和椭圆等。
第四，三角隐积法则是根据三角形内部坐标之间的隐积关系，判断它们之间存在相似关系的方法。
在计算机中，把这种关系表达为两个数字就可以，即三角形在外武器空间中的向量变换，这一点有助于更快速判断出两个三角形之间的相似关系。
最后，两个三角形的邻边角可以用于判断它们的相似性，如果两个三角形的邻边角相互一致，则可以判断它们之间存在相似关系。
同时，由于这种方法既便于推理又易于实现，比如在计算机应用中，它也是一种十分流行的判定相似三角形的方法。
通过上述介绍，我们可以发现，判定相似三角形有多种方法。
其中，比较两个三角形的边长、锐角、调和平均值、三角隐积法则以及邻边角等都是最基本也是最实用的方法，在不同语境下都可以使用，十分灵活。
这些方法在解决相似三角形的问题上给出的结论是可靠的，也吸引了许多学者的关注。
勾股定理判断三角形形状的问题
勾股定理判断三角形形状的问题1. 勾股定理的基本概念大家好，今天咱们聊聊一个数学里的经典小道理——勾股定理。
哎，这可是一个非常重要的概念，尤其是在三角形的世界里。
你可能会问，勾股定理到底是什么呢？简单来说，它告诉我们在一个直角三角形里，直角对面的边（我们叫它“斜边”）的平方，等于其他两条边（“直角边”）的平方和。
听起来是不是有点复杂？其实没那么难，咱们举个简单的例子：如果一个三角形的两条直角边分别是3和4，那斜边就得是5，为什么呢？因为3的平方加4的平方等于5的平方。
也就是说，3² + 4² = 5²，嘿，这就是勾股定理的魅力所在了！1.1 勾股定理的实际应用勾股定理不仅仅是数学课上的一纸空文，它在我们的生活中可是无处不在。
比如说，你要给家里挂画，想要找到完美的挂画高度。
只需用量尺测量，找出画的边缘和地面的直角边，然后就能利用勾股定理算出斜挂的距离了。
这样一来，保证你家的艺术品不会挂得歪歪扭扭，谁不想当个“家居艺术家”呢？1.2 判断三角形的形状接下来，我们聊聊怎么用勾股定理来判断三角形的形状。
我们知道，三角形主要分为三种：锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
这里，勾股定理就是我们的“秘密武器”。
如果你测量了三条边的长度，能用勾股定理判断出来这三条边构成的是哪种三角形。
比如说，如果你有三条边分别是3、4、5，按照勾股定理算，发现3² + 4² = 5²，这样就能确认它是一个直角三角形。
如果你发现3² + 4² < 5²，那它就是钝角三角形；相反，如果3² + 4² > 5²，那就是锐角三角形。
是不是听起来很简单，几乎就像玩数字游戏一样？2. 形状与性质的关系那么，三角形的形状跟它的性质又有什么关系呢？这就涉及到一个非常有趣的现象了。
比如，直角三角形在我们生活中特别常见，几乎到处都能碰到。
判断三角形的形状
一、判定三角形的形状例1 根据下列条件判断三角形ABC 的形状：(1)若a 2tanB=b 2tanA ；解：由已知及正弦定理得 (2RsinA)2 B cos B sin = (2RsinB)2 ⇒Acos A sin 2sinAcosA=2sinBcosB ⇒sin2A=sin2B ⇒ 2cos(A + B)sin(A – B)=0∴ A + B=90o或 A – B=0所以△ABC 是等腰三角形或直角三角形.(2)b 2sin 2C + c 2sin 2B=2bccosBcosC;解: 由正弦定理得sin 2Bsin 2C=sinBsinCcosBcosC∵ sinBsinC ≠0, ∴ sinBsinC=cosBcosC,即 cos(B + C)=0, ∴ B + C=90o , A=90o ,故△ABC 是直角三角形. 3．12 判断三角形的形状1．三角形形状的判定方法：①化边为角；②化角为边.2．通过正弦、余弦定理实施边角转换.3．通过三角变换探索角的关系，符号规律.【典型例题】例1．在ΔABC 中，满足⎪⎩⎪⎨⎧=++=++2cot cot cot 2sin sin sin 222222C B A C B A 试判断ΔABC 的形状. 例2．在ΔABC 中，已知)sin(sin )cos(tan B C A B C B -+-=，试判断ΔABC 的形状. 例3．在ΔABC 中，B C C A tan 2tan 2tan 2tan 3==且，求证：ΔABC 是锐角三角形. 例4．在ΔABC 中，满足.2tan ba b a B A +-=- （1）试判断ΔABC 的形状. （2）当a = 10，c =10时，求2tanA 的值. 【基础训练】1．在ΔABC 中，sin 2A + sin 2B = sin 2C ，则ΔABC 是____________.2．在ΔABC 中，a 4+b 4+c 4－a 2b 2－b 2c 2－a 2c 2 = 0，则ΔABC 是_____________.3．在ΔABC 中，cos(A －B )cos(B －C )cos(C －A ) = 1，则ΔABC 是_____________.4．在ΔABC 中，tan A tan B > 1，则ΔABC 是_____________.5．在ΔABC 中，sin 2A + sin 2B + sin 2C = 2，则ΔABC 是_____________.【拓展练习】1．已知tan A + tan B + tan C > 0，则ΔABC 是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．任意三角形 2．在ΔABC 中，BA b a tan tan 22=，则ΔABC 是 （ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰或直角三角形 3．在ΔABC 中，已知1312cos sin =+A A ，则ΔABC 的形状是___________. 4．在ΔABC 中，已知cos B cos C = 2cos 1A -，则ΔABC 的形状是___________. 5．在ΔABC 中，已知a cos A = b cos B ，则ΔABC 的形状是___________.6．在ΔABC 中，已知sin A sin B+sin A cos B +cos A sin B +cos A cos B =2,则ΔABC 的形状是_________.7．在ΔABC 中，已知Cc B b A a cos cos cos ==，则ΔABC 的形状是___________. 8．在ΔABC 中，已知B A B A C cos cos sin sin sin ++=，则ΔABC 的形状是___________. 9．在ΔABC 中，分别根据下列条件，判断三角形的形状.（1）2lg sin lg lg lg -==-B c a (B 为锐角).（2）sin A = 2cos C sin B .（4）a cos B + b cos C + c cos A = b cos A + c cos B + a cos C .（5）.43sin sin ,2333==-+-+B A c c b a c b a 且（6）).sin()()sin()(2222B A b a B A b a +-=-+。
运用因式分解判定三角形的形状
运用因式分解判定三角形的形状1、 已知c b a ..是△ABC 的三边，且bc b ac a +=+22，试判断三角形的形状。
2、 已知c b a ..是△ABC 的三边，且bc ac ab c b a ++=++222，试判断三角形的形状。
3、 已知c b a ..是△ABC 的三边，且338262410222-++=++c b a c b a ，试判断三角形的形状。
4、 已知c b a ..是△ABC 的三边，且cb ac b a +-=+-1111，试判断三角形的形状。
5、 已知c b a ..是△ABC 的三边，且224224c b b c a a -=-，试判断三角形的形状。
6、 已知c b a ..是△ABC 的三边，且222233bc ac ab b a b a +-+--=0，试判断三角形的形状。
2222221[()()()]2a b c ab bc ca a b b c c a ++---=-+-+-的应用 1、 已知20021999,20011999,20001999+=+=+=x c x b x a ，求bc ac ab c b a ---++222的值。
2、 如右上图，立方体的每个面上都写着一个自然数，并且相对两个面所写两数之和相等，若10的对面写的是质数a ，12的对面写的是质数b ，15的对面写的是质数c ，求bc ac ab c b a ---++222的值。
3、 知c b a ..是△ABC 的三边，且224442244422444,,b a b a c c a a c b c b c b a -+=-+=-+=，试判断三角形的形状。
4、 当c b a <<时，ac c b b a -+-+-111为（ ） （A ）正数 （B ）负数 （C ）0 （D ）无法确定 5、设c b a ..是不全相等的任意实数，若ab c z ca b y bc a x -=-=-=222,,，则zy x ..（ ）（A ）都不等于零 （B ）都不大于零 （C ）至少有一个小于零 （D ）至少有一个大于零6、解方程组7、已知x-y=a, z-y=10, 求代数式x 2+y 2+z 2-xy-yz-xz 的最小值。
判定三角形形状的常用方法
专题17 判定三角形形状的十种常用方法【专题综述】三角形既可以按边分类也可以按角分类，当我们得到了它们的边（或角）之间的关系或最大角的度数时，就能据此判定三角形的形状．这也是考试中的常考题型，本文就判定三角形形状的常用方法归纳介绍如下，供参考.【方法解读】一、利用因式分解例1 在△A BC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且a2＋2ab＝c2＋2bc，试判定△ABC的形状。
解：∵a2＋2ab＝c2＋2bc，a2－c2＋2ab－2bc＝0，即（a－c）（a＋c)＋2b(a－c)＝0，∴（a－c）（a＋c＋2b）＝0．∵a＋c＋2b≠0，，∴a－c＝0，即a＝c，故△ABC是等腰三角形．【解读】已知等式左边分解因式后，利用两数相乘积为0两因式中至少有一个为0得到a=c，即可确定出三角形形状，此题考查了三角形边的牲与因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键。
【举一反三】（2017秋•分宜县校级月考）已知a，b，c是△ABC的三边，且满足a2﹣b2+ac﹣bc=0，判断三角形的形状．【分析】已知等式左边分解因式后，利用两数相乘积为0两因式中至少有一个为0得到a=b，即可确定出三角形形状．二、利用配方法例2 已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a4＋b4＋c4＝a2b2＋b2c2＋c2a2，试判定三角形的形状．解：将a4＋b4＋c4＝a2b2＋b2c2＋c2a2变形为：2a4＋2b4＋2c4－2a2b2－2b2C2－2c2a2＝0．配方，得(a2－b2)2＋(b2－c2)2＋(c2－a2)2＝0，a2－b2＝b2－c2＝c2－a2＝0．即a2＝b2＝c2．又∵a，b，c均为正数，∴a＝b＝c．故三角形为等边三角形，【解读】本题考查了配方法的运用，非负数的性质，等边三角形的判断．关键是将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题.【举一反三】（2015春•六合区期末）已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac=0，请你根据此条件判断这个三角形的形状，并说明理由．【分析】将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题．【举一反三】（2016春•雁塔区校级期末）已知△ABC的三条边a、b、c满足关系|a2﹣b2﹣c2|+=0，那么△ABC的形状为．【分析】根据非负数的性质可得a2﹣b2﹣c2=0，b﹣c=0，进而可得a2﹣b2=c2，b=c，从而可得三角形的形状．8.（2016秋•简阳市期中）已知a、b、c是△ABC的三边的长，且满足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）=0，试判断此三角形的形状．【分析】把所给的等式能进行因式分解的要因式分解，整理为非负数相加得0的形式，求出三角形三边的关系，进而判断三角形的形状．9.（2017春•惠民县校级月考）已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判定△ABC的形状．【分析】首先把等式的左右两边分解因式，再考虑等式成立的条件，从而判断△ABC的形状．解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，∴a4﹣b4﹣a2c2+b2c2=0，∴（a4﹣b4）﹣（a2c2﹣b2c2）=0，∴（a2+b2）（a2﹣b2）﹣c2（a2﹣b2）=0，∴（a2+b2﹣c2）（a2﹣b2）=0得：a2+b2=c2或a=b，或者a2+b2=c2且a=b，即△ABC为直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．学#科*网。
全等三角形五大判定方法(两篇)
引言概述：三角形是几何学中最基本的形状之一。
在三角形中，全等三角形是指具有相等的三个角度和相等的三条边的三角形。
全等三角形的判定是几何学中的重要内容之一，它具有广泛的应用。
本文将介绍全等三角形的五大判定方法——边边边（SSS）、角边角（ASA）、边角边（SAS）、角角边（AAS）和直角边（HL）。
正文内容：一、边边边（SSS）判定方法：1.说明边边边（SSS）判定方法是三边相等的三角形判定方法。
2.介绍边边边（SSS）判定方法的步骤和要点。
3.详细解释如何利用边边边（SSS）判定方法来判断两个三角形是否全等。
4.举例说明边边边（SSS）判定方法的应用场景。
5.总结边边边（SSS）判定方法的特点和注意事项。
二、角边角（ASA）判定方法：1.介绍角边角（ASA）判定方法是角度和边相等的三角形判定方法。
2.说明角边角（ASA）判定方法的步骤和要点。
3.详细解释如何利用角边角（ASA）判定方法来判断两个三角形是否全等。
4.举例说明角边角（ASA）判定方法的实际应用。
5.总结角边角（ASA）判定方法的特点和适用条件。
三、边角边（SAS）判定方法：1.说明边角边（SAS）判定方法是一边、一角和另一边相等的三角形判定方法。
2.介绍边角边（SAS）判定方法的具体步骤和要点。
3.详细解释如何利用边角边（SAS）判定方法来判断两个三角形是否全等。
4.引用实际问题，说明边角边（SAS）判定方法的应用场景。
5.总结边角边（SAS）判定方法的特点和限制条件。
四、角角边（AAS）判定方法：1.介绍角角边（AAS）判定方法是两个角和一边相等的三角形判定方法。
2.说明角角边（AAS）判定方法的步骤和要点。
3.详细解释如何利用角角边（AAS）判定方法来判断两个三角形是否全等。
4.举例说明角角边（AAS）判定方法在实际问题中的应用。
5.总结角角边（AAS）判定方法的特点和使用条件。
五、直角边（HL）判定方法：1.介绍直角边（HL）判定方法是直角边和斜边相等的三角形判定方法。
判断三角形形状的程序
判断三角形形状的程序
判断三角形形状的程序可以根据三个边长来判断。
首先，可以使用三角形的性质：任意两边之和大于第三边，来判断这三个边长是否可以组成一个三角形。
如果不能满足这个条件，则不是三角形。
接下来，可以根据三个边长的相等情况来判断三角形的形状：
1. 如果三个边长都相等，则是等边三角形。
2. 如果有两个边长相等，则是等腰三角形。
3. 如果三个边长都不相等，则是一般三角形。
下面是一个示例的Python代码实现：
```python
# 输入三个边长
a = float(input("请输入第一条边的长度: "))
b = float(input("请输入第二条边的长度: "))
c = float(input("请输入第三条边的长度: "))
# 判断是否是三角形
if a + b > c and a + c > b and b + c > a:
# 判断三角形的形状
if a == b and b == c:
print("这是一个等边三角形")
elif a == b or b == c or a == c:
print("这是一个等腰三角形")
else:
print("这是一个一般三角形")
else:
print("这不是一个三角形")
```
这个程序会提示用户输入三个边长，然后根据输入的边长判断三角形的形状，并输出结果。
正弦定理判断三角形形状
正弦定理判断三角形形状正弦定理是高中数学中重要的一个定理，它可以帮助我们计算三角形的各种属性。
在这篇文档中，我们将探讨正弦定理如何判断三角形的形状。
正弦定理的表达式如下：a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)其中a、b、c为三角形的边长，A、B、C为它们所对应的角度。
这个定理告诉我们，当我们知道了三角形的任意三个元素时（边、角度、角的正弦值），我们就可以求出这个三角形的所有属性。
在判断三角形的形状时，我们需要考虑三边之间的关系。
根据正弦定理，当我们知道第一个角的正弦值和边长时，就可以求出三角形的其他属性。
下面我们给出一些例子：1. 等边三角形等边三角形的三条边的长度相等，每个角的度数为60度。
因此，sin(60)相等于根号三除以二。
我们应用正弦定理，可以得出：a/sin(60) = b/sin(60) = c/sin(60)由于三个边相等，因此可以得到a=b=c。
因此，等边三角形与正三角形是等价的。
2. 直角三角形直角三角形的两个角的正弦值都可以通过特殊三角函数求出。
例如一个直角三角形，它的直角边长为4，所在角的正弦为1/2。
应用正弦定理，我们可以求出另外两条边的长度：a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)我们可以将B视为直角。
因为sin(B)等于1，我们可以将sin(A)左右同时乘以a，得到：a = c*sin(A)应用余弦定理，我们可以将cos(A)表示为：cos(A) = (b^2 + c^2 - a^2) / 2bc由于a等于直角边，因此cos(A)等于0。
因此，我们可以得到b^2 + c^2 = a^2。
因此这个三角形是一个直角三角形。
3. 等腰三角形在等腰三角形中，两条腰的长度相等。
因此，我们可以将正弦定理中的a和c替换为相同的值，得到：b/sin(B) = 2a/sin(A)由于B和A对应的边长都相同，我们可以将它们视为同一条边。
因此，sin(B)等于1。
边边边判定三角形的依据
边边边判定三角形的依据边边边判定三角形是一种简单而有效的方法，用于确定一个三角形的类型。
在几何学中，三角形是一种基本的形状，具有许多重要的性质和特征。
通过观察三角形的三条边的长短关系，我们可以轻松地判断这个三角形是什么类型的。
下面就让我们来看看如何通过边边边判定三角形。
我们来看看什么是边边边判定三角形。
边边边判定三角形是指通过观察一个三角形的三条边的长度来确定这个三角形的类型。
根据三角形的三条边的关系，我们可以将三角形分为不同的类型，如等边三角形、等腰三角形和普通三角形等。
让我们来看看如何判断一个三角形是等边三角形。
等边三角形是指三条边的长度都相等的三角形。
当我们发现一个三角形的三条边长度都相等时，我们就可以确定这个三角形是等边三角形。
等边三角形具有特殊的性质，如内角都是60度，对角线相等等。
接下来，我们来看看如何判断一个三角形是等腰三角形。
等腰三角形是指两条边的长度相等的三角形。
当我们发现一个三角形的两条边长度相等时，我们就可以确定这个三角形是等腰三角形。
等腰三角形也具有特殊的性质，如顶角和底角相等，底边上的角平分线也是高等。
让我们来看看如何判断一个三角形是普通三角形。
普通三角形是指三条边的长度都不相等的三角形。
当我们发现一个三角形的三条边长度都不相等时，我们就可以确定这个三角形是普通三角形。
普通三角形是最常见的三角形类型，具有丰富的性质和特征。
通过边边边判定三角形，我们可以轻松地确定一个三角形的类型，从而更好地理解和应用三角形的性质。
三角形作为几何学中的基本形状，具有广泛的应用和重要性。
掌握边边边判定三角形的方法，有助于我们更好地理解和掌握三角形的性质，提高数学学习的效率和质量。
希望通过本文的介绍，读者能够更加深入地了解和掌握边边边判定三角形的方法，从而在数学学习中取得更好的成绩。
如何正确判断三角形的形状
如何正确判断三角形的形状正(余)弦定理是三角函数知识的重要组成部分,它揭示了三角形的边、角关系,是高考的热点之一。
利用正、余弦定理判断三角形的形状,是正、余弦定理应用的重要方面。
1 利用正弦定理判断三角形的形状1.1 在△ABC中,若a2tanB=b2tanA,判断△ABC的形状。
分析:正确使用正弦定理,将已知条件中的边化角后判断△ABC的形状。
解:在△ABC中,有正弦定理:===2Ra=2RsinA,b=2RsinB,∵a2tanB=b2tanA∴(2RsinA)2· =(2RsinB)2· 2sinA2cosA=2sinBcosBsin2A=sin2B,因为A、B为三角形的内角,∴2A=2B或2A=π-2BA=B或A+B=,所以△ABC为等腰三角形或直角三角形。
点评:本题利用正弦定理将已知条件转化成角的关系,利用诱导公式对条件进行化简、整理判断三角形的形状,同时注意角的关系有两种情况。
1.2 已知△ABC中,设=,=,=,则·=·=·判断△ABC的形状。
分析:要判断△ABC的形状,只需确定△ABC的三边或三角即可,此题解题的关键是建立向量的数量积与△ABC的边角关系。
解:如图所示:·=·得∵| |·||·cos(π-C)=| |·| |·cos(π-A), ∴| |·cosC=| |·cosA由正弦定理:a:c=sinA:sinC得sinAcosC=sinCcosA∴sin(A-C)=0,又∵-π<A-C<π ∴A-C=0即A=C,同理由·=·可得B=C,∴A=B=C即△ABC为正三角形。
点评:由===2Ra:b:c=sinA:sinB:sinC可以看出在题目中出现边的齐次式之比时,可以利用正弦定理将相应的边化为角。
2 利用余弦定理判断三角形的形状2.1 在△ABC中,若cos2=,试判断△ABC的形状。
判定三角形形状的十种常用方法
判定三角形形状的十种常用方法三角形既可以按边分类也可以按角分类，当我们得到了它们的边（或角）之间的关系或最大角的度数时，就能据此判定三s角形的形状．本文就判定三角形形状的常用方法归纳介绍如下，供参考．一、利用因式分解例1 在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且a2＋2ab＝c2＋2bc，试判定△ABC的形状，解∵a2＋2ab＝c2＋2bc，a2－c2＋2ab－2bc＝0，即（a－c）（a＋c)＋2b(a－c)＝0，∴（a－c）（a＋c＋2b）＝0．∵a＋c＋2b≠0，，∴a－c＝0，即a＝c，故△ABC是等腰三角形．二、利用配方法例2 已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a4＋b4＋c4＝a2b2＋b2c2＋c2a2，试判定三角形的形状．解将a4＋b4＋c4＝a2b2＋b2c2＋c2a2变形为：2a4＋2b4＋2c4－2a2b2－2b2C2－2c2a2＝0．配方，得(a2－b2)2＋(b2－c2)2＋(c2－a2)2＝0，a2－b2＝b2－c2＝c2－a2＝0．即a2＝b2＝c2．又∵a，b，c均为正数，∴a＝b＝c．故三角形为等边三角形，三、利用根的判别式例3 已知a、b、c是△ABC的三边，且方程(a2＋b2＋c2)x2－(a＋b＋c)x＋34＝0有实根，试判定△ABC的形状．解据题意，有△＝[－(a＋b＋c)]2－4（a2＋b2＋c2）×3 4＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac－3a2－3b2－3c2＝－[(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2]≥0，∴（a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≤0．又∵（a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≥0，∴（a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2＝0．∴a＝b，b＝c，a＝c，从而a＝b＝c，故△ABC是等边三角形．四、利用构造方程例4 已知k>1，b＝2k，a＋c＝2k2，ac＝k4－1，试判定以a、b、c为边的三角形形状，解由a＋c＝2k2，ac＝k4－1，可知a、c是方程x2－2k2x＋k4－1＝0的两个根．解得x1＝k2＋1，x2＝k2－1，∴a＝k2＋1，c＝k2－1，或a＝k2－1，c＝k2＋1．∵（k2－1)2＋(2k)2＝(k2＋1)2，∴b2＋c2＝a2，或a2＋b2＝c2，所以△ABC是直角三角形．五、利用公共根例5 设a、b、c是△ABC的三边长，方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有一个相同的根，求证：△ABC是直角三角形证明设两个方程的相同根（公共根）为a，则a2＋2aα＋b2＝0①，α2＋2cα－b2＝0②．①－②，得2(a－c) α＝－2b2，即(c－a) α＝b2．当a＝c时，b＝0不合题意，舍去；当a ≠c 时，α＝2bc a ．将其代入①、②，得2222b ba c a c a ＋b 2＝0．化简，得b 2＋c 2＝a 2，所以△ABC 是以∠A 为直角的直角三角形．六、利用韦达定理例6 如果方程x 2－xbcos A ＋acosB ＝0的两根之积等于两根之和，a 、b 、c 为三角形的三边，试判定△ABC 的形状．解在△ABC 中，作CD ⊥AB 于D ，在△ADC 中，AD ＝bcos A ，在△CDB 中，BD ＝acosB ，由韦达定理，得x 1＋x 2＝bcos A ，x 1·x 2＝acos B ．∴bcos A ＝acosB ，即AD ＝BD ．又∵CD ⊥AB ，∴△ABC 为等腰三角形，七、利用三角形面积公式例7 已知△ABC 中，若h a ＋h b ＋h c ＝9r ，其中h a 、h b 、h c 为三边上的高，r 为三角形内切圆的半径，试判定△ABC 的形状．解设△ABC 面积为Ｓ，由三角形面积公式可得。
判断三角形全等判定方法
判断三角形全等判定方法全等是指两个或多个物体的形状、大小和位置都完全相同。
在几何学中，判断三角形是否全等是一种常见的问题。
判断三角形全等的方法有多种，包括SSS、SAS、ASA和AAS。
下面将逐一介绍这些方法。
一、SSS方法（边边边）：SSS方法是指通过比较三角形的三条边的长度来判断是否全等。
当两个三角形的三条边的长度分别相等时，它们就可以被判断为全等三角形。
这是因为三角形的边长确定后，它的形状也就确定了。
二、SAS方法（边角边）：SAS方法是指通过比较三角形的两条边和它们夹角的大小来判断是否全等。
当两个三角形的一对对应边的长度相等，并且它们的夹角也相等时，这两个三角形就可以被判断为全等三角形。
这是因为两个边和夹角确定了一个三角形的形状。
三、ASA方法（角边角）：ASA方法是指通过比较三角形的两个角和它们夹边的长度来判断是否全等。
当两个三角形的一对对应角的大小相等，并且它们夹边的长度也相等时，这两个三角形就可以被判断为全等三角形。
这是因为两个角和夹边确定了一个三角形的形状。
四、AAS方法（角角边）：AAS方法是指通过比较三角形的两个角和它们对应的边的长度来判断是否全等。
当两个三角形的两个角的大小相等，并且它们对应的边的长度也相等时，这两个三角形就可以被判断为全等三角形。
这是因为两个角和对应边确定了一个三角形的形状。
通过SSS、SAS、ASA和AAS这四种方法，我们可以判断三角形是否全等。
在实际应用中，我们可以根据题目给出的条件来选择合适的方法进行判断。
需要注意的是，判断三角形全等时，应该按照给定的次序进行比较，即边边边、边角边、角边角、角角边。
如果两个三角形在某一种判定方法下不全等，那么它们也绝对不可能在其他方法下全等。
在解题时，我们也可以利用一些性质来简化判断的过程。
例如，对于等腰三角形来说，我们只需要比较两个等腰三角形的底边和等腰边的长度。
对于直角三角形来说，我们只需要比较两个直角三角形的斜边和直角边的长度。
判定三角形形状的十种方法
判定三角形形状的十种方法数学考试和数学竞赛中，常有判断三角形形状的题目，这类题目涉及的知识面广，综合性强，它沟通了代数、几何、三角等方面的知识联系。
解题思路不外是从边与边、边与角之间的关系考虑，从而达到解题的目的。
1、若有a=b或(a-b）(b-c）(c-a)=0，则△ABC为等腰三角形。
2、若有(a-b)2+（b—c)2+(c—a)2=0，则△ABC为等边三角形.3、若有a2+b2＞c2，则△ABC为锐角三角形；若有a2+b2＝c2，则△ABC为直角三角形;若有a2+b2＜c2，则△ABC为钝角三角形。
4、若有（a2-b2）( a2+b2—c2）=0,则△ABC为等腰三角形或直角三角形.5、若有a=b且a2+b2=c2，则△ABC为等腰直角三角形.以上是从三角形的边与边之间的关系考虑的。
6、若有sin2A+sin2B=sin2C或sinA=sinB,则△ABC为直角三角形或等腰三角形。
7、若有cosA＞0，或tanA＞0,（其中∠A为△ABC 中的最大角) 则△ABC为锐角三角形。
8、若有cosA＜0，或tanA＜0，(其中∠A为△ABC中的最大角), 则△ABC为钝角三角形.9、若有两个(或三个）同名三角函数值相等(如tanA=tanB），则△ABC为等腰三角形(或等边三角形）.10、若有特殊的三角函数值，则按特殊角来判断,如cosA=,b=c，则△ABC为等边三角形。
以下就一些具体实例进行分析解答：一、利用方程根的性质:例1：若方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx—b2=0有一个相同的根,且a、b、c为一个三角形的三条边，则此三角形为（）（A)锐角三角形；(B）钝角三角形;（C）以c为斜边的直角三角形；（D）以a为斜边的直角三角形；(“缙云杯”初中数学邀请赛）解:将两个方程相减,得：2ax—2cx+2b2=0，显然a≠c，否则b=0，与题设矛盾,故x= ，将两个方程相加，得2ax+2cx+2b2=0，∵x≠0，否则b=0，与题设矛盾，∴x=—（a+c)，∵两个方程有一个相同的根，∴ =—（a+c),即b2+c2=a2,故△ABC是以a为斜边的直角三角形，故应选（D）二、利用根的判别式例2:已知a、b、c是△ABC的三边，且方程b（x2—1）—2ax+c(x2+1)=0没有实数根，试判断△ABC的形状。
判定三角形形状的十种方法
判定三角形形状的十种方法判断三角形形状是几何学中的一个基本问题，目的是确定给定三个边长的三角形是等边、等腰、直角、锐角、钝角还是不规则三角形等。
下面将介绍十种常见的方法来判定三角形的形状。
1.边长判断法：通过比较三个边长的大小关系，可以快速判断三角形的形状。
-若三个边长相等，则为等边三角形。
-若任意两个边长相等，则为等腰三角形。
-若三个边长均不相等，则为不规则三角形。
2.角度判断法：通过测量三个角的大小，可以判断三角形的形状。
-若三个角均为90度，则为直角三角形。
-若三个角均小于90度，则为锐角三角形。
-若三个角中有一个大于90度，则为钝角三角形。
3.角边关系法：通过边长和角度的关系，可以判断三角形的形状。
-若一个角为90度，且其他两个角中的一个为45度，则为45-45-90直角三角形。
-若一个角为90度，且其他两个角相等，则为30-60-90直角三角形。
4.海伦公式法：海伦公式可以判断给定三个边长的三角形面积，并进一步判断其形状。
-若三角形的面积计算结果为零，则三个点共线，为退化三角形。
-若三角形的面积计算结果大于零，则为常规三角形。
5.直角判断法：判断三角形是否为直角三角形，可以通过勾股定理或余弦定理来判断。
-若满足勾股定理（c²=a²+b²），则为直角三角形。
6.等腰判断法：判断三角形是否为等腰三角形，可以通过边长关系和角度关系来判断。
-若两边边长相等，则两边对应的两个角也相等。
若两个角相等，则为等腰三角形。
7.等边判断法：判断三角形是否为等边三角形，可以通过边长关系来判断。
-若三个边长相等，则为等边三角形。
8.角平分线法：判断三角形是否为等腰三角形，可以通过角平分线的性质来判断。
-若一个角的角平分线与对边相等，则为等腰三角形。
9.角度和法：若三个角相加等于180度，说明是一个三角形。
通过角度和可以进一步判断其形状。
-若三个角不相等，且和为180度，则为不规则三角形。
判断三角形的形状
判断三角形的形状一般有两种思路：其一是化边为角，求出三个角之间的关系式；其二是化角为边，求出三条边之间的关系式。
实施转化的主要策略是运用三角函数的关系式、向量和正（余）弦定理等。
一、运用三角函数的关系直接判断例1：给出下列4个命题：① 若sin 2sin 2A B =，则ABC ∆是等腰三角形。
（引申sin sin A B =呢？）② 若cos cos cos A B C ⋅⋅<0，则ABC ∆是钝角三角形。
③ 若cos()cos()cos()1A B B C C A -⋅-⋅-=，则ABC ∆是等边三角形。
④在ABC ∆，若cos 2sin sin 1C A B =-，则ABC ∆形状一定是等腰三角形；⑤ ABC ∆中，若sin sin cos cos A B A B <，则ABC ∆的形状为钝角三角形；⑥ABC ∆中，a 边最长，且22sin sin 1B C +=，则ABC ∆是直角三角形。
以上命题正确的是（ ）二、运用正（余）弦定理判断例2：在ABC ∆中，如果lg a lg c -=lgsin B =-且角B 为锐角，判断此三角形的形状。
巩固练习：在ABC ∆中，若22tan :tan :,A B a b =试判断ABC ∆的形状。
[拓展思考]在ABC ∆中，三个内角,,A B C 的对边分别是a b c 、、，其中c o s 410,c o s 3A b cB a ===且（1）求证：ABC ∆是直角三角形； （2）设圆O 过,,A B C 三点，点P 位于劣弧 AC 上，PAB ∠=60 。
求四边形ABCP 的面积。
三、由向量运算性质来判断例3：向量,,OA OB OC 满足条件0OA OB OC ++= ，OA OB OC == =1，试判断ABC ∆的形状。
1. 在△ABC 中，有AB BC AB →→+→=·20，则△ABC 为_________三角形。
中考数学复习指导：判定三角形形状的十种常用方法
判定三角形形状的十种常用方法三角形既可以按边分类也可以按角分类，当我们得到了它们的边（或角）之间的关系或最大角的度数时，就能据此判定三s角形的形状．本文就判定三角形形状的常用方法归纳介绍如下，供参考．一、利用因式分解例1 在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且a2＋2ab＝c2＋2bc，试判定△ABC的形状，解∵a2＋2ab＝c2＋2bc，a2－c2＋2ab－2bc＝0，即（a－c）（a＋c)＋2b(a－c)＝0，∴（a－c）（a＋c＋2b）＝0．∵a＋c＋2b≠0，，∴a－c＝0，即a＝c，故△ABC是等腰三角形．二、利用配方法例2 已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a4＋b4＋c4＝a2b2＋b2c2＋c2a2，试判定三角形的形状．解将a4＋b4＋c4＝a2b2＋b2c2＋c2a2变形为：2a4＋2b4＋2c4－2a2b2－2b2C2－2c2a2＝0．配方，得(a2－b2)2＋(b2－c2)2＋(c2－a2)2＝0，a2－b2＝b2－c2＝c2－a2＝0．即a2＝b2＝c2．又∵a，b，c均为正数，∴a＝b＝c．故三角形为等边三角形，三、利用根的判别式例3 已知a、b、c是△ABC的三边，且方程(a2＋b2＋c2)x2－(a＋b＋c)x＋34＝0有实根，试判定△ABC的形状．解据题意，有△＝[－(a＋b＋c)]2－4（a2＋b2＋c2）×3 4＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac－3a2－3b2－3c2＝－[(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2]≥0，∴（a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≤0．又∵（a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≥0，∴（a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2＝0．∴a＝b，b＝c，a＝c，从而a＝b＝c，故△ABC是等边三角形．四、利用构造方程例4 已知k>1，b＝2k，a＋c＝2k2，ac＝k4－1，试判定以a、b、c为边的三角形形状，解由a＋c＝2k2，ac＝k4－1，可知a、c是方程x2－2k2x＋k4－1＝0的两个根．解得x1＝k2＋1，x2＝k2－1，∴a＝k2＋1，c＝k2－1，或a＝k2－1，c＝k2＋1．∵（k2－1)2＋(2k)2＝(k2＋1)2，∴b2＋c2＝a2，或a2＋b2＝c2，所以△ABC是直角三角形．五、利用公共根例5 设a、b、c是△ABC的三边长，方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有一个相同的根，求证：△ABC是直角三角形证明设两个方程的相同根（公共根）为a，则a2＋2aα＋b2＝0①，α2＋2cα－b2＝0②．①－②，得2(a－c) α＝－2b2，即(c－a) α＝b2．当a＝c时，b＝0不合题意，舍去；当a ≠c 时，α＝2bc a ．将其代入①、②，得2222b ba c a c a ＋b 2＝0．化简，得b 2＋c 2＝a 2，所以△ABC 是以∠A 为直角的直角三角形．六、利用韦达定理例6 如果方程x 2－xbcos A ＋acosB ＝0的两根之积等于两根之和，a 、b 、c 为三角形的三边，试判定△ABC 的形状．解在△ABC 中，作CD ⊥AB 于D ，在△ADC 中，AD ＝bcos A ，在△CDB 中，BD ＝acosB ，由韦达定理，得x 1＋x 2＝bcos A ，x 1·x 2＝acos B ．∴bcos A ＝acosB ，即AD ＝BD ．又∵CD ⊥AB ，∴△ABC 为等腰三角形，七、利用三角形面积公式例7 已知△ABC 中，若h a ＋h b ＋h c ＝9r ，其中h a 、h b 、h c 为三边上的高，r 为三角形内切圆的半径，试判定△ABC 的形状．解设△ABC 面积为Ｓ，由三角形面积公式可得。
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判断三角形形状的常用方法
判定三角形的形状，在数学竞赛中经常出现，这类试题灵活多变，解决这类问题，要根据题目的特点，选用恰当的方法，它往往将代数、几何、三角等知识之间的联系，用到的数学思想方法较多，具有一定的技巧，本文结合近几年的各类数学竞赛题，介绍判定三角形形状的一些常用技法，供读者参考。
一、配方法
例 1. （2001年初二“希望杯”第二试）若∆ABC 的三边长是a 、b 、c ，且满足
a b c b c b c a c a c a b a b 444224442244422=+-=+-=+-，，，则∆ABC 是（ ）
A. 钝角三角形
B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形
D. 等边三角形
解：由条件a b c b c b c a c a c a b a b 444224442244422=+-=+-=+-，，，三式相加得
a b c a b b c c a 4442222220++---=
配方得：
12
022*******[()()()]a b b c c a -+-+-= 因为a 、b 、c 是三角形的边长，所以 a b b c c a 222222000-=-=-=，，
得a b c BC ==，∆A 为等边三角形，故选D 。
例 2. （2002年河南省初二数学竞赛）∆ABC 的三边为a 、b 、c ，且满足a b c
a b c 222325215++=⨯+..，则∆ABC 是（ ） A. 直角三角形
B. 等腰三角形
C. 等边三角形
D. 以上答案都不对
解析：初看本题很难入手，先化简条件等式，即去分母化简整理得：
44138120222a b c ac bc ++--=
到此思路已经明朗，配方得
423022()()a c b c -+-=
所以a c -=0且230b c -=
得c a b a ==，32
所以∆ABC 是等腰三角形，故选B 。
二、因式分解
例 3. （2002年太原市初中数学竞赛）已知a 、b 、c 为三角形的三边，且满足a ab ac bc b bc ba ca 2200+--=+--=，，则∆ABC 是（ ）
A. 等腰三角形
B. 直角三角形
C. 等边三角形
D. 等腰三角形或直角三角形
解：把两个条件等式各自因式分解得
()()()()a b a c b c b a +-=+-=0
因为a b c >>>000，，
所以a b b c +>+>00，
所以a c -=0且b a -=0
即a b c ==，故∆ABC 是等边三角形，选C
三、利用解方程组
例 4. （2001年初二希望杯第一试）已知∆ABC 中，∠=︒B 60，∠>∠C A ，且()()()∠=∠+∠C A B 222，则∆ABC 的形状是_________。
解：因为∠=︒B 60
所以∠+∠=︒-∠=︒A C B 180120
又()()()∠=∠+∠C A B 222
所以()()()∠+∠∠-∠=∠=︒C A C A B 23600
所以∠-∠=︒C A 30
所以∠=︒∠=︒C A 7545，
因此∆ABC 是锐角三角形
四、放缩法
例5. （2001年武汉市初三数学竞赛）∆ABC 的三边BC 、CA 、AB 的长分别为a 、b 、c ，这三边上的高依次为h h h a b c 、、，若a h b h a b ≤≤，，则这个三角形为（ ）
A. 等边三角形
B. 等腰非直角三角形
C. 直角非等腰三角形
D. 等腰直角三角形
解：因为
1212
ah S bh a b ==∆ 即ah bh a b =
又a h b h a b ≤≤， 所以a ah bh h a b b 22≤=≤，得a h b ≤
显然a h b ≥
所以a h b =，且∠=∠C Rt
所以b a ≤
同理b h a b c =≥，
因此a b =且∠=∠c Rt
即∆ABC 是等腰直角三角形，故选D
五、质数分析法
例6. （杭州市第三届“求是杯”数学竞赛）锐角三角形中，三个内角的度数都是质数，则这样的三角形（ ）
A. 只有一个，且为等腰三角形
B. 至少有两个，且为等腰三角形
C. 只有一个，但不是等腰三角形
D. 至少有两个，其中有非等腰三角形
解：设三角形三个内角的度数分别为αβγ︒︒︒、、
所以αβγ++=︒180
又αβγ、、都是小于90的质数，αβγ、、中必有一个是偶质数2，不妨设α=︒2，则βγ+=︒178，这两个的度数必为89︒，否则假设一个内角为小于89︒的质数，则另一个角的度数将大于90︒，与锐角三角形的条件矛盾，故三角度数为28989︒︒︒，，，选A 。
六、利用二次方程的判别式、韦达定理
例7. （1987年“缙云杯”数学邀请赛试题）已知∆A B C 的三边a 、b 、c 满足b c bc a a +==-+812522，，试确定∆ABC 的形状。
解：因为b c bc a a +==-+812522，
所以b 、c 是方程x x a a 22812520-+-+=()的两个根
所以∆=-⨯-+≥841252022()a a
即()a -≤602
显然()a -≥602
所以a -=60，即a =6
此时方程两根相等b c ==--⨯=821
4 所以∆ABC 是等腰三角形
例8. （中学生数学2002年第9期初三课外训练题）
已知关于x 的方程x px p p 22212
0-+-+=的两根是s i n s i n A B 、，其中∠∠A B 、是∆ABC 的内角，试判断∆ABC 的形状。
解：因为方程有两个实根sinA 、sinB
所以∆=--+
≥2412
022p p p () 即()p -≤102
所以p -=10，即p =1
此时方程两根相等且 s i n s i n A B p ==-
-⨯=22122
所以A B ==︒45，因此C BC =︒90，∆A 为等腰直角三角形。