判断三角形形状的常用方法

判断三角形形状的常用方法

判定三角形的形状，在数学竞赛中经常出现，这类试题灵活多变，解决这类问题，要根据题目的特点，选用恰当的方法，它往往将代数、几何、三角等知识之间的联系，用到的数学思想方法较多，具有一定的技巧，本文结合近几年的各类数学竞赛题，介绍判定三角形形状的一些常用技法，供读者参考。

一、配方法

例 1. （2001年初二“希望杯”第二试）若∆ABC 的三边长是a 、b 、c ，且满足

a b c b c b c a c a c a b a b 444224442244422=+-=+-=+-，，，则∆ABC 是（ ）

A. 钝角三角形

B. 直角三角形

C. 等腰直角三角形

D. 等边三角形

解：由条件a b c b c b c a c a c a b a b 444224442244422=+-=+-=+-，，，三式相加得

a b c a b b c c a 4442222220++---=

配方得：

12

022*******[()()()]a b b c c a -+-+-= 因为a 、b 、c 是三角形的边长，所以 a b b c c a 222222000-=-=-=，，

得a b c BC ==，∆A 为等边三角形，故选D 。

例 2. （2002年河南省初二数学竞赛）∆ABC 的三边为a 、b 、c ，且满足a b c

a b c 222325215++=⨯+..，则∆ABC 是（ ） A. 直角三角形

B. 等腰三角形

C. 等边三角形

D. 以上答案都不对

解析：初看本题很难入手，先化简条件等式，即去分母化简整理得：

44138120222a b c ac bc ++--=

到此思路已经明朗，配方得

423022()()a c b c -+-=

所以a c -=0且230b c -=

得c a b a ==，32

所以∆ABC 是等腰三角形，故选B 。

二、因式分解

例 3. （2002年太原市初中数学竞赛）已知a 、b 、c 为三角形的三边，且满足a ab ac bc b bc ba ca 2200+--=+--=，，则∆ABC 是（ ）

A. 等腰三角形

B. 直角三角形

C. 等边三角形

D. 等腰三角形或直角三角形

解：把两个条件等式各自因式分解得

()()()()a b a c b c b a +-=+-=0

因为a b c >>>000，，

所以a b b c +>+>00，

所以a c -=0且b a -=0

即a b c ==，故∆ABC 是等边三角形，选C

三、利用解方程组

例 4. （2001年初二希望杯第一试）已知∆ABC 中，∠=︒B 60，∠>∠C A ，且()()()∠=∠+∠C A B 222，则∆ABC 的形状是_________。

解：因为∠=︒B 60

所以∠+∠=︒-∠=︒A C B 180120

又()()()∠=∠+∠C A B 222

所以()()()∠+∠∠-∠=∠=︒C A C A B 23600

所以∠-∠=︒C A 30

所以∠=︒∠=︒C A 7545，

因此∆ABC 是锐角三角形

四、放缩法

例5. （2001年武汉市初三数学竞赛）∆ABC 的三边BC 、CA 、AB 的长分别为a 、b 、c ，这三边上的高依次为h h h a b c 、、，若a h b h a b ≤≤，，则这个三角形为（ ）

A. 等边三角形

B. 等腰非直角三角形

C. 直角非等腰三角形

D. 等腰直角三角形

解：因为

1212

ah S bh a b ==∆ 即ah bh a b =

又a h b h a b ≤≤， 所以a ah bh h a b b 22≤=≤，得a h b ≤

显然a h b ≥

所以a h b =，且∠=∠C Rt

所以b a ≤

同理b h a b c =≥，

因此a b =且∠=∠c Rt

即∆ABC 是等腰直角三角形，故选D

五、质数分析法

例6. （杭州市第三届“求是杯”数学竞赛）锐角三角形中，三个内角的度数都是质数，则这样的三角形（ ）

A. 只有一个，且为等腰三角形

B. 至少有两个，且为等腰三角形

C. 只有一个，但不是等腰三角形

D. 至少有两个，其中有非等腰三角形

解：设三角形三个内角的度数分别为αβγ︒︒︒、、

所以αβγ++=︒180

又αβγ、、都是小于90的质数，αβγ、、中必有一个是偶质数2，不妨设α=︒2，则βγ+=︒178，这两个的度数必为89︒，否则假设一个内角为小于89︒的质数，则另一个角的度数将大于90︒，与锐角三角形的条件矛盾，故三角度数为28989︒︒︒，，，选A 。

六、利用二次方程的判别式、韦达定理

例7. （1987年“缙云杯”数学邀请赛试题）已知∆A B C 的三边a 、b 、c 满足b c bc a a +==-+812522，，试确定∆ABC 的形状。

解：因为b c bc a a +==-+812522，

所以b 、c 是方程x x a a 22812520-+-+=()的两个根

所以∆=-⨯-+≥841252022()a a

即()a -≤602

显然()a -≥602

所以a -=60，即a =6

此时方程两根相等b c ==--⨯=821

4 所以∆ABC 是等腰三角形

例8. （中学生数学2002年第9期初三课外训练题）

已知关于x 的方程x px p p 22212

0-+-+=的两根是s i n s i n A B 、，其中∠∠A B 、是∆ABC 的内角，试判断∆ABC 的形状。

解：因为方程有两个实根sinA 、sinB

所以∆=--+

≥2412

022p p p () 即()p -≤102

所以p -=10，即p =1

此时方程两根相等且 s i n s i n A B p ==-

-⨯=22122

所以A B ==︒45，因此C BC =︒90，∆A 为等腰直角三角形。