精选中考数学易错题专题复习一元二次方程含详细答案

一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数1y x =-，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数1y x =-的零点．

己知函数2

22(3)y x mx m =--+(m m 为常数)． （1）当m =0时，求该函数的零点；

（2）证明：无论m 取何值，该函数总有两个零点；

（3）设函数的两个零点分别为1x 和2x ，且121114x

x +=-，此时函数图象与x 轴的交点分 别为A 、B(点A 在点B 左侧)，点M 在直线10y x =-上，当MA+MB 最小时，求直线AM 的函数解析式． 【答案】（1）当m =0时，该函数的零点为6和6-．

（2）见解析,

（3）AM 的解析式为112

y x =-

-． 【解析】

【分析】

（1）根据题中给出的函数的零点的定义，将m=0代入y=x 2-2mx-2（m+3），然后令y=0即可解得函数的零点；

（2）令y=0，函数变为一元二次方程，要想证明方程有两个解，只需证明△＞0即可； （3）根据题中条件求出函数解析式进而求得A 、B 两点坐标，个、作点B 关于直线y=x-10的对称点B′，连接AB′，求出点B′的坐标即可求得当MA+MB 最小时，直线AM 的函数解析式

【详解】

（1）当m =0时，该函数的零点为6和6-．

（2）令y=0，得△=

∴无论m 取何值，方程

总有两个不相等的实数根． 即无论m 取何值，该函数总有两个零点．

（3）依题意有

，

由解得．

∴函数的解析式为

． 令y=0，解得

∴A()，B(4,0) 作点B 关于直线10y x =-的对称点B’，连结AB’，

则AB’与直线10y x =-的交点就是满足条件的M 点．

易求得直线10y x =-与x 轴、y 轴的交点分别为C （10,0），D （0,10）．

连结CB’，则∠BCD=45°

∴BC=CB’=6，∠B’CD=∠BCD=45°

∴∠BCB’=90°

即B’（106-，）

设直线AB’的解析式为y kx b =+，则

20{106k b k b -+=+=-，解得112k b =-=-， ∴直线AB’的解析式为112y x =-

-， 即AM 的解析式为112

y x =--．

2．解方程：(x+1)(x ﹣3)=﹣1．

【答案】x 1=1+3，x 2=1﹣3

【解析】

试题分析：根据方程的特点，先化为一般式，然后利用配方法求解即可.

试题解析：整理得：x 2﹣2x=2，配方得：x 2﹣2x+1=3，即（x ﹣1）2=3，

解得：x 1=1+3，x 2=1﹣3．

3．解方程：（2x+1）2=2x+1．

【答案】x=0或x=12

-. 【解析】试题分析：根据因式分解法解一元二次方程的解法，直接先移项，再利用ab=0的关系求解方程即可.

试题解析：∵（2x+1）2﹣（2x+1）=0，

∴（2x+1）（2x+1﹣1）=0，即2x （2x+1）=0，

则x=0或2x+1=0，

解得：x=0或x=﹣12

． 4．将m 看作已知量，分别写出当0m 时，

与之间的函数关系式；

5．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a﹣2＝0有实数根．（1）求a的取值范围；

（2）当a为符合条件的最大整数，求此时方程的解．

【答案】（1）a≤17

4

；（2）x=1或x=2

【解析】

【分析】（1）由一元二次方程有实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于a的不等式，即可求出a的取值范围；

（2）根据（1）确定出a的最大整数值，代入原方程后解方程即可得.

【详解】（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+a﹣2=0有实数根，

∴△≥0，即（﹣3）2﹣4（a﹣2）≥0，解得a≤17

4

；

（2）由（1）可知a≤17

4

，

∴a的最大整数值为4，

此时方程为x2﹣3x+2=0，

解得x=1或x=2．

【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及解一元二次方程，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．

6．某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000米2，施工队在绿化了22000米2后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程．

（1）该项绿化工程原计划每天完成多少米2？

（2）该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？

【答案】(1)2000；(2)2米

【解析】

【分析】

（1）设未知数，根据题目中的的量关系列出方程；

（2）可以通过平移，也可以通过面积法，列出方程

【详解】

解：（1）设该项绿化工程原计划每天完成x米2，

根据题意得：4600022000

x

-

﹣

4600022000

1.5x

-

= 4

解得：x=2000，

经检验，x=2000是原方程的解;

答：该绿化项目原计划每天完成2000平方米；（2）设人行道的宽度为x米，根据题意得，（20﹣3x）（8﹣2x）=56

解得：x=2或x=26

3

（不合题意，舍去）．

答：人行道的宽为2米．

7．解方程：（x2+x）2+（x2+x）＝6．

【答案】x1＝﹣2，x2＝1

【解析】

【分析】

设x2+x＝y，将原方程变形整理为y2+y﹣6＝0，求得y的值，然后再解一元二次方程即可．【详解】

解：设x2+x＝y，则原方程变形为y2+y﹣6＝0，

解得y1＝﹣3，y2＝2．

①当y＝2时，x2+x＝2，即x2+x﹣2＝0，

解得x1＝﹣2，x2＝1；

②当y＝﹣3时，x2+x＝﹣3，即x2+x+3＝0，

∵△＝12﹣4×1×3＝1﹣12＝﹣11＜0，

∴此方程无解；

∴原方程的解为x1＝﹣2，x2＝1．

【点睛】

本题考查了换元法和一元二次方程的解法，设出元化简原方程是解答本题的关键.

8．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当a＞0，b＞0时：

∵

）2=a﹣b≥0

∴a+b

a=b时取等号．

请利用上述结论解决以下问题：

（1）请直接写出答案：当x＞0时，x+1

x

的最小值为．当x＜0时，x+

1

x

的最大值

为；

（2）若y=

2710

1

x x

x

++

+

，（x＞﹣1），求y的最小值；

（3）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为4