最新高考数学中的内切球和外接球问题
高考数学中的内切球和外接球问题(附习题)-精选.pdf
一、 有关外接球的问题
如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上， 那么称这个多面
体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球 . 有关多面体外接
球的问题， 是立体几何的一个重点， 也是高考考查的一个热点 . 考查
学生的空间想象能力以及化归能力 .研究多面体的外接球问题，既要
学习 .
五 .确定球心位置法
例 5 在矩形 ABCD 中， AB 4, BC 3，沿 AC 将矩形 ABCD 折成一
个直二面角 B AC D ，则四面体 ABCD 的外接球的体积为
125
A. 12
125
B. 9
125
C. 6
125
D. 3
D
A
O
C
图4 B
解 设矩形对角线的交点为 O ，则由矩形对角线互相平分，可知
例 2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的
表面积为 24 ，则该球的体积为 ______________.4 3 . 2、求长方体的外接球的有关问题
例 3 一个长方体的各顶点均在同一球面上， 且一个顶点上的三条
棱长分别为 1,2,3 ，则此球的表面积为
.14 .
例 4、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4，
只是希望能有个人，在我说没事的时候，知道我不是真的没事；能有个人，在我强颜欢笑的时候，知道我不是真的开心。 ——张小娴
OA OB OC OD .∴点 O 到四面体的四个顶点 A、B、C、D 的距离相
等，即点 O 为四面体的外接球的球心，如图 2 所示 .∴外接球的半径
5 R OA
V 球 4 R3 125
2 .故
3
6 .选 C.
2024年高考数学二轮专题06 一网打尽外接球与内切球问题(精讲精练)(解析版)
专题06 一网打尽外接球与内切球问题【命题规律】纵观近几年高考对于组合体的考查，与球相关的外接与内切问题是高考命题的热点之一．高考命题小题综合化倾向尤为明显，要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力，才能顺利解答．从近几年全国高考命题来看，这部分内容以选择题、填空题为主，大题很少见，此部分是重点也是一个难点，属于中等难度．【核心考点目录】核心考点一：正方体、长方体外接球核心考点二：正四面体外接球核心考点三：对棱相等的三棱锥外接球核心考点四：直棱柱外接球核心考点五：直棱锥外接球核心考点六：正棱锥与侧棱相等模型核心考点七：侧棱为外接球直径模型核心考点八：共斜边拼接模型核心考点九：垂面模型核心考点十：二面角模型核心考点十一：坐标法核心考点十二：圆锥圆柱圆台模型核心考点十三：锥体内切球核心考点十四：棱切球【真题回归】1．（2022·全国·高考真题（文））已知球O 的半径为1，四棱锥的顶点为O ，底面的四个顶点均在球O 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）A ．13B ．12C D 【答案】C【解析】[方法一]：【最优解】基本不等式设该四棱锥底面为四边形ABCD ，四边形ABCD 所在小圆半径为r ，设四边形ABCD 对角线夹角为α，则2111sin 222222ABCD S AC BD AC BD r r r α=⋅⋅⋅≤⋅⋅≤⋅⋅=（当且仅当四边形ABCD 为正方形时等号成立）即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为22r 又设四棱锥的高为h，则22r h1+=，2123O ABCDV r h-=⋅⋅=≤=当且仅当222r h=即h.故选：C[方法二]：统一变量＋基本不等式由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为a，底面所在圆的半径为r，则r=，所以该四棱锥的高h，13V a===(当且仅当22142a a=-，即243a=时，等号成立)所以该四棱锥的体积最大时，其高h===故选：C．[方法三]：利用导数求最值由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为a，底面所在圆的半径为r，则r=，所以该四棱锥的高h，13V a=，令2(02)a t t=<<，V=()322t tft=-，则()2322tf t t-'=，43t<<，()0f t'>，单调递增，423t<<，()0f t'<，单调递减，所以当43t=时，V最大，此时h=故选：C.【整体点评】方法一：思维严谨，利用基本不等式求最值，模型熟悉，是该题的最优解；方法二：消元，实现变量统一，再利用基本不等式求最值；方法三：消元，实现变量统一，利用导数求最值，是最值问题的常用解法，操作简便，是通性通法．2．（2021·全国·高考真题（理））已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且,1AC BC AC BC⊥==，则三棱锥O ABC-的体积为（）A B C D 【答案】A【解析】,1AC BC AC BC ⊥== ，ABC ∴ 为等腰直角三角形，AB ∴=，则ABC 1，设O 到平面ABC 的距离为d ，则d ==所以11111332O ABC ABC V S d -=⋅=⨯⨯⨯=故选：A.3．（2022·全国·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为面上，则该球的表面积为（ ）A ．100πB ．128πC ．144πD ．192π【答案】A【解析】设正三棱台上下底面所在圆面的半径12,r r ，所以1222r r ==123,4r r ==，设球心到上下底面的距离分别为12,d d ，球的半径为R ，所以1d =2d =，故121d d -=或121d d +=1=，解得225R =符合题意，所以球的表面积为24π100πS R ==．故选：A ．4．（2022·全国·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36π，且3l ≤≤，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）A ．8118,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2781,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2764,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[18,27]【答案】C【解析】∵球的体积为36π，所以球的半径3R =,[方法一]：导数法设正四棱锥的底面边长为2a ，高为h ，则2222l a h =+，22232(3)a h =+-,所以26h l =，2222a l h =-所以正四棱锥的体积42622411214()=333366936l l l V Sh a h l l ⎛⎫==⨯⨯=⨯-⨯- ⎪⎝⎭，所以5233112449696l l V l l ⎛⎫⎛⎫-'=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当3l ≤≤0V '>，当l <≤时，0V '<，所以当l =时，正四棱锥的体积V 取最大值，最大值为643，又3l =时，274V =，l =814V =,所以正四棱锥的体积V 的最小值为274，所以该正四棱锥体积的取值范围是276443⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.故选：C.[方法二]：基本不等式法由方法一故所以()()()3221224211646122(333333h h h V a h h h h h h h ⎡⎤-++==-=-⨯⨯=⎢⎥⎣⎦…当且仅当4h =取到)，当32h =时，得a 22min 11327;3324V a h ==⨯=当l =39322h =+=，a ⇒，正四棱锥体积221119816433243V a h ==⨯=<，故该正四棱锥体积的取值范围是2764[,].435．（2020·全国·高考真题（理））已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC 的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为（ ）A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π【答案】A【解析】设圆1O 半径为r ，球的半径为R ，依题意，得24,2r r ππ=∴=， ABC 为等边三角形，由正弦定理可得2sin 60AB r =︒=，1OO AB ∴==，根据球的截面性质1OO ⊥平面ABC ，11,4OO O A R OA ∴⊥====，∴球O 的表面积2464S R ππ==.故选：A6．（2020·全国·高考真题（理））已知△ABC O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（ ）AB ．32C ．1D 【答案】C 【解析】设球O 的半径为R ，则2416R ππ=，解得：2R =.设ABC 外接圆半径为r ，边长为a ，ABC212a ∴，解得：3a =，2233r ∴===∴球心O 到平面ABC 的距离1d ===.故选：C.【方法技巧与总结】1、补成长方体（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示．（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示．（3）正四面体-P ABC 可以补形为正方体且正方体的棱长=a ，如图3所示．（4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示图1 图2 图3 图4【核心考点】核心考点一：正方体、长方体外接球【规律方法】1、正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．2、长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．【典型例题】例1．（2023·全国·高三专题练习）已知正方体外接球的体积是323π，那么正方体的体对角线等于（ ）A B ．4C D 【答案】B【解析】正方体外接球的直径即为正方体的体对角线，设外接球的半径为R ，则343233V R ππ==，解得2R =，所以正方体的体对角线等于24R =；故选：B例2．（2022·陕西西安·模拟预测（文））长方体的过一个顶点的三条棱长分别是2，4，4，则该长方体外接球的表面积为（ ）A ．9πB ．18πC ．36πD ．48π【答案】C【解析】长方体外接球直径263R R ===⇒=，所以该长方体外接球的表面积2244336S R πππ==⋅=故选：C.例3．（2022·贵州黔南·高三开学考试（理））自2015年以来，贵阳市着力建设“千园之城”，构建贴近生活、服务群众的生态公园体系，着力将“城市中的公园”升级为“公园中的城市”．截至目前，贵阳市公园数量累计达到1025个．下图为贵阳市某公园供游人休息的石凳，它可以看做是一个正方体截去八个一样的四面体得到的，如果被截正方体的的棱长为，则石凳所对应几何体的外接球的表面积为________2cm ．【答案】1600π【解析】设正方体的中心为O ，E 为棱的中点，连接1111,,,A D B C A C B D ，则O 为矩形11A DCB 的对角线的交点，则1112022OE B C ==⨯=，同理，O 到其余各棱的中点的距离也为20，故石凳所对应几何体的外接球的半径为20，其表面积为224π201m 600πc ⋅=，故答案为：1600π核心考点二：正四面体外接球【规律方法】如图，设正四面体ABCD 的的棱长为a ，显然正四面体和正方体有相同的外接球．正方体外接球半径为==R ，即正四面体外接球半径为=R ．【典型例题】例4．（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（理））已知正四面体P ABC -外接球O 表面积为54π，则该正四面体棱长为______；若M 为平面ABC 内一动点，且PM = ，则AM 最小值为______．【答案】 6 -【解析】设该正四面体棱长为a ，过点P 作PD ⊥面ABC ，则点D 为ABC 的重心，则AD =，PD =，又正四面体P ABC -外接球O 表面积为54π，则2454R ππ= ，则R =，即PO AO = 又222AO AD OD =+，则222)=+，解得：6a =；又M 为平面ABC 内一动点，且PM =，则DM ===，即点M 的轨迹为以D 为圆心，又AD =则由点与圆的位置关系可得AM最小值为：-故答案为：6；例5．（2022·江苏南京·高三开学考试）已知一个正四面体的棱长为2，则其外接球与以其一个顶点为球心，1为半径的球面所形成的交线的长度为___________.【解析】设外接球半径为r ，外接球球心到底面的距离为h ，则2243h r r h +==+，所以r =两球相交形成形成的图形为圆，如图，在PDO △中，cos DPO ∠==sin DPO ∠=在1PDO △中，1sin DO PD DOP =∠=所以交线长度为2π=例6．（2022·福建·福州三中模拟预测）表面积为）A．B．12πC．8πD．【答案】B【解析】设正四面体的棱长为a24⨯=a=该正四面体的外接球与棱长为2的正方体的外接球的半径相等，2412Sππ=⨯=.故选：B.核心考点三：对棱相等的三棱锥外接球【规律方法】四面体ABCD中，==AB CD m，==AC BD n，==AD BC t，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题．如图，设长方体的长、宽、高分别为,,a b c，则222222222⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩b c ma c na b t，三式相加可得222++=a b c222,2++m n t 而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为R，则22224+=+a b c R，所以=R．【典型例题】例7．（2022·全国·高三专题练习）在四面体ABCD中，2==AC BD，AD BC==AB CD==其外接球的表面积为___________.【答案】8π【解析】如图所示，将该四面体补成长方体，设该长方体的长､宽､高分别为a，b，c，则2,===解得2222224,5,7,a b b c c a ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩所以2228a b c ++==，，其外接球的表面积为248ππ⨯=.故答案为：8π．例8．（2022·全国·高三专题练习）已知四面体ABCD中，AB CD ==BC AD ==AC BD =，若该四面体的各个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为（ ）A ．42πB ．43πC ．14πD ．16π【答案】C设长方体的长、宽、高分为,,,x y z 所以2222225,10,13,x y x z z y ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩∴∴，∴此球的表面积为144144ππ⋅=．故选：C ．例9．（2020·全国·模拟预测（文））在三棱锥A BCD -中，若2AB CD ==，3AD BC ==，4AC BD ==，其外接球的表面积为（ ）A ．27πB ．29πC ．294πD ．292π【答案】D【解析】三棱锥A BCD -中，∵2AB CD ==，3AD BC ==，4AC BD ==，显然这六条棱长恰为长方体的六个面的面对角线的长，设此长方体的长、宽、高依次为a 、b 、c ，其对角线的长恰为外接球的直径，如图所示．则有2222224916a b b c a c ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，则222292a b c ++=，易知长方体的体对角线长为2R =22942S R ππ==球面积．故选:D核心考点四：直棱柱外接球【规律方法】如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）图1图2图3第一步：确定球心O 1是∆ABC 的外心，则1⊥OO 平面ABC ；第二步：算出小圆1O 的半径1=AO r ，111122==OO AA h （1=AA h 也是圆柱的高）；第三步：勾股定理：22211=+OA O A O O ⇒222(2=+hR r ⇒=R R【典型例题】例10．（2022·河南新乡·一模（理））已知正三棱柱的侧棱长为l ，底面边长为a ，若该正三棱柱的外接球体积为32π3，当la +最大时，该正三棱柱的体积为（ ）A B C D 【答案】B【解析】因为正三棱柱外接球的体积为3432ππ33R =，所以2R =，设球心为O ，底面外接圆圆心为O '，由正三棱锥可得12OO l '=，底面外接圆半径r =，图3-1图3-2图3-3所以由勾股定理得22443l a +=，设l a m +=，当直线l a m +=与曲线22443l a +=相切时，m 最大，联立方程组22443l a m l a +=⎧⎪⎨+=⎪⎩得22763480a ma m -+-=，由Δ0=，得m =或-（舍去），此时a =l所以正三棱柱的体积2V l ==故选：B例11．（2022·湖南岳阳·高三阶段练习）已知直三棱柱111ABC A B C -中，12,AB AA BC ===，当该三棱柱体积最大时，其外接球的体积为（ ）AB ．323πCD【答案】C【解析】因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，所以，1AA ⊥平面ABC所以，要使三棱柱的体积最大，则ABC 面积最大，因为1sin 2ABC S BC AC ACB =⋅⋅∠△，令AC x=因为BC =，所以2sin ABC S x ACB ⋅∠ ，在ABC中，222cos 2AC BC AB ACB AC BC +-∠==⋅所以，224224416(1)43216sin 11212x x x ACB x x --+-∠=-=，所以，()22422424123384()sin 34434ABCx x x Sx ACB --+-+-=⋅∠=⋅=≤ ，所以，当24x =，即2AC =时，2()ABC S 取得最大值3，所以，当2AC =时，ABC SABC为等腰三角形，2,AB AC BC ===所以，()22244121cos ,0,22222AB AC BC BAC BAC AB AC π+-+-∠===-∠∈⋅⨯⨯，所以23BAC π∠=，所以，由正弦定理得ABC 外接圆的半径r42r==，即2r =，所以，直三棱柱111ABC A B C -外接球的半径222152AA R r ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，即R =所以，直三棱柱111ABC A B C -外接球的体积为343R π=.故选：C例12．（2021·四川泸州·二模（文））直六棱柱的底面是正六边形，其体积是，则该六棱柱的外接球的表面积的最小值是（ ）A ．4πB ．8πC ．12πD ．24π【答案】C【解析】设正六边形的边长为a，则底面面积为226S ==，设(0)AC x x =>，则正六棱柱的体积为2V Sh x =⨯=解得24xa =，即24a x=，又由该六棱柱的外接球的直径为2BC r ==所以该六棱柱的外接球的表面积为：2222164(4)(),(0)S r x a x x xπππ'==+=+>，令()216(0)f x x x x =+>，则()2162f x x x'=-，令()0f x '=，解得2x =，当02x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减；当2x >时，()0f x '<，()f x 单调递增，所以当2x =时，()f x 取得最小值12，所以该六棱柱的外接球的表面积的最小值为12π.故选：C.核心考点五：直棱锥外接球【规律方法】如图，⊥PA 平面ABC ，求外接球半径．解题步骤：第一步：将∆ABC A 为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD ，连接PD ，则PD 必过球心O ；第二步：1O 为∆ABC 的外心，所以1⊥OO 平面ABC ，算出小圆1O 的半径1=O D r (三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得2sin sin sin ===a b c r A B C )，112=OO PA ；第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①222(2)(2)=+R PA r⇔2=R ②2221=+R r OO⇔=R ．【典型例题】例13．（2022·内蒙古鄂尔多斯·高三期中（文））三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，ABC 为直角三角形，AB BC ⊥，1AB BC ==，2PA =，则三棱锥-P ABC 的外接球的表面积为（ ）A ．2πB ．3πC ．4πD ．6π【答案】D【解析】由于三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，1AB BC ==，2PA =故将该三棱锥置于一个长方体中，如下图所示：则体对角线PC 即为外接球的直径，所以2=故三棱锥-P ABC 的外接球表面积为246S R ππ==．故选：D例14．（2022·福建·宁德市民族中学高三期中）已知三棱锥P -ABC 中，PA ⊥底面ABC ，PA ＝AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝120°，则三棱锥P -ABC 的外接球的表面积为（ ）A ．12πB ．16πC ．20πD ．24π【答案】C【解析】将三棱锥还原成直三棱柱，则三棱柱的外接球即为球O ，,D D '为上下底面的外心，O 为DD '的中点，AD 为底面外接圆的半径，由余弦定理得BC ==由正弦定理得24AD ==，由1,2OD AD ==，得AO =所以球O 的表面积为2420S r ππ==．故选：C例15．（2021·四川成都·高三开学考试（文））已知在三棱锥-P ABC 中，侧棱PA ⊥平面ABC ，3PA =，1AB =，BC =，2AC =，则三棱锥-P ABC 外接球的表面积为（ ）A ．13πB ．12πC ．9πD ．8π【答案】A【解析】因为PA ⊥平面ABC ，,AC BC ⊂平面ABC ，故,PA AC PA BC ⊥⊥，而1AB =，BC =，2AC =，则222AB BC AC +=，所以AB BC ⊥,又PA AB A = ，,PA AB ⊂平面PAB ,故BC ⊥平面PAB ,PB ⊂平面PAB ,所以BC PB ⊥,所以,PAC PBC △△都是以PC 为斜边的直角三角形，故取PC 中点O ，连接OA,OB ,则OA OB OP OC ===,即O 为三棱锥-P ABC外接球的球心，3,2,PA AC PC ==∴= ,故三棱锥-P ABC故三棱锥-P ABC外接球的表面积为24π13π⨯=，故选：A核心考点六：正棱锥与侧棱相等模型【规律方法】1、正棱锥外接球半径：=R ．2、侧棱相等模型：如图，P 的射影是∆ABC 的外心⇔三棱锥-P ABC 的三条侧棱相等⇔三棱锥-P ABC 的底面∆ABC 在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶点．解题步骤：第一步：确定球心O 的位置，取∆ABC 的外心1O ，则1,,P O O 三点共线；第二步：先算出小圆1O 的半径1=AO r ，再算出棱锥的高1=PO h （也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：22211=+OA O A O O ⇒222()=-+R h R r ，解出222+=r h R h．【典型例题】例16．（2022·江西·金溪一中高三阶段练习（文））在正三棱锥S －ABC 中，23ASB BSC π∠+∠=，△ABC 的边长为2，则该正三棱锥外接球的表面积为______．【答案】6π【解析】2π3ASB BSC ∠+∠=，正三棱锥中ASB BSC ∠=∠，所以π3ASB BSC ∠=∠=，侧面是正三角形，则正三棱锥S ABC -为正四面体．将正四面体补成正方体（正四面体的四个顶点S ，A ，B ，C 均为正方体的顶点），，则其外接球的半径R =，所以该正三棱锥外接球的表面积为24π6πS R ==．故答案为：6π．例17．（2022·全国·高三专题练习）已知正三棱锥S ABC -，其外接球球O 的半径为R ，则该正三棱锥S ABC -的体积的最大值为__________．3【解析】如图，设正三棱锥S ABC -的高=SH h ，则由射影定理可得2=⋅HA SH HM ，2(2)∴=-HA h R h ，图5-12(2)∴==-△ABC S AB R h，21(2)3-∴=⋅=-△S ABC ABC V S h Rh (2)22=⋅⋅-≤h h Rh 33(2)223⎡⎤++-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦h h R h ，当(2)2=-h R h ，即43h R =时，()3max-=S ABC V .例18．（2022·全国·高三专题练习）已知正三棱锥S ABC -的棱长为6．则该正三棱锥外接球的表面积为_______．【答案】2432π【解析】如图，∵正三棱锥S ABC -中，顶点S 在底面的射影为D ，该正三棱锥外接球的球心设为O ，因为底面边长为6，所以23AD ==∴高SD ===．由球心O 到四个顶点的距离相等，在直角三角形AOD 中，AO R =，DO SD OS R =-=，由222AO AD OD =+，得2212)R R =+，R =，∴外接球的表面积为：224342R ππ⋅⋅=．故答案为：2432π．例19．（2022·全国·高三专题练习）三棱锥-P ABC 且,1,PA PB PC AB AC BC =====则三棱锥外接球的表面积为____________．【答案】254π【解析】三棱锥-P ABC 中，取BC 中点D ，连PD ，连AD 并延长至O 1，使DO 1=AD ，连接BO 1，CO 1，PO 1，如图：于是得四边形1ABO C 为平行四边形，而1AB AC ==，1ABO C 是菱形，在ABC 中，BC =2221cos 22AB AC BC BAC AB AC +-∠==-⋅，即120BAC ∠= ，则160ABO ∠= ，1ABO △是正三角形，1111O A O B O C ===，于是得O 1是ABC 外接圆圆心，因PA PB PC ==，D 为BC 中点，则PD ⊥BC ，又AO 1⊥BC ，1PD AO D ⋂=，1,PD AO ⊂平面1PAO ，从而有BC ⊥平面1PAO ，1PO BC ⊥，同理1PO AC ⊥，而AC BC C = ，从而得1PO ⊥平面ABC ，由球的截面小圆性质知，三棱锥-P ABC 外接球球心O 在直线1PO 上，又1sin1202ABC S AB AC =⋅= 113P ABC ABC V PO S -=⋅= 12PO =，设球O 的半径为R ，则OB OP R ==，1|2|OO R =-，1Rt OO B △中，22211O B O O OB +=，即221(2)R R +-=，解得54R =，则球O 的表面积为22544S R ππ==，所以三棱锥外接球的表面积为254π.故答案为：254π例20．（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥-P ABC 中，1====PA PC AB AC ，=PB BC ，则三棱锥-P ABC 的外接球的表面积为___________.【答案】73π【解析】在ABC 中，1AB AC ==，BC =所以222AB AC BC +=，所以AB AC ⊥，在PAB 中，1AB PA ==，PB =所以222AB PA PB +=，所以AB PA ⊥.又PA AC A = ，PA ，AC ⊂平面PAC ，所以AB ⊥平面PAC ，在PAC △中，1PA PC AC ===，所以PAC △的外接圆半径为112sin 3π⋅=不妨设PAC △的外接圆圆心为Q ，三棱锥-P ABC 的外接球球心为O连接,,OA OB OQ ，由于OA OB =，故O 在线段AB 的垂直平分线上，即1122OQ AB ==故三棱锥-P ABC 的外接球半径R OA ===外接球的表面积为2743R ππ=.故答案为：73π核心考点七：侧棱为外接球直径模型【规律方法】找球心，然后作底面的垂线，构造直角三角形．【典型例题】例21．（2022·河南河南·一模（文））三棱锥D ABC -的外接球的表面积为8,BD π是该球的直径，,22AC BC AB BC ⊥==，则三棱锥 D ABC -的体积为_____.【解析】如图，设球的半径为r ，由已知得248r ππ=，解得r =BD =，又由AC BC ⊥，所以，取AB 中点H ，H 为ABC 所在外接圆的圆心，故OH ⊥平面ABC ，又因为12OH AD ，所以，AD ⊥平面ABC ，得到AD AB ⊥，在ABD △中，2AD ==由22AB BC ==，AC BC ⊥，得到AC ==所以，12ABC S AC BC =⋅=△，所以，13D ABC ABC V AD S -=⋅=△例22．（2022·河南·一模（理））三棱锥D ABC -的外接球的表面积为20π，AD 是该球的直径，ABC 是边长为D ABC -的体积为______．【答案】【解析】设三棱锥D ABC -的外接球的球心为O ,半径为R ，则24π20πR =，解得R =设ABC 的外接圆圆心为1O ，半径为r ，则122sin BC r BAC ==∠，连接11,O A O O ，∵22211O A O O OA +=，即1=，则点D 到平面ABC 的距离为2，∴三棱锥D ABC -的体积11232V =⨯⨯=故答案为：例23．（2021·全国·高三专题练习（文））已知三棱锥P ﹣ABC 中，AB BC ==AC =2，PA 为其外接球___________．【答案】16π【解析】由题意可得ABC 为等腰直角三角形，AB BC ⊥，同时PA 为其外接球的一条直径，则,PBA PCA ∠∠都是直角，设球心为O ，取AC 的中点为M ，则OM ⊥平面ABC ，因为//OM PC ，则PC ⊥平面ABC ，则1132V =⨯⨯2PC =PC =，由勾股定理得4PA =，则外接球的半径为2，表面积为16.π故答案为：16π核心考点八：共斜边拼接模型【规律方法】如图，在四面体ABCD 中，⊥AB AD ，⊥CB CD ，此四面体可以看成是由两个共斜边的直角三角形拼接而形成的，BD 为公共的斜边，故以“共斜边拼接模型”命名之．设点O 为公共斜边BD 的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知，===OA OC OB OD ，即点O 到A ，B ，C ，D 四点的距离相等，故点O 就是四面体ABCD 外接球的球心，公共的斜边BD 就是外接球的一条直径．【典型例题】例24．在矩形ABCD 中，==4,3AB BC ，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角--B AC D ，则四面体ABCD 的外接球的体积为（）A ．π12512B ．π1259C ．π1256D ．π1253【答案】C【解析】设矩形对角线的交点为O ，则由矩形对角线互相平分，可知===OA OB OC OD ．∴点O 到四面体的四个顶点、、、A B C D 的距离相等，即点O 为四面体的外接球的球心，如图2所示．∴外接球的半径==52R OA ．故ππ==球3412536V R ．选C ．例25．三棱锥-P ABC 中，平面⊥PAC 平面ABC ， =2AC ，⊥PA PC ，⊥AB BC ，则三棱锥-P ABC 的外接球的半径为图 2A【答案】1【解析】AC 是公共的斜边，AC 的中点是球心O ，球半径为=1R ．例26．在平行四边形ABCD 中，满足2AB AD AB = ，2224AB BD =- ，若将其沿BD 折成直二面角A BD C --，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为( )A ．16πB ．8πC ．4πD ．2π【答案】C【解析】平行四边形ABCD 中，2AB AD AB = ，∴0AB BD = ，AB BD ∴⊥，沿BD 折成直二面角A BD C --，平面ABD ⊥平面BDC三棱锥A BCD -的外接球的直径为AC ，22222224AC AB BD CD AB BD ∴=++=+=∴外接球的半径为1，故表面积是4π．故选：C ．核心考点九：垂面模型【规律方法】如图1所示为四面体-P ABC ，已知平面⊥PAB 平面ABC ，其外接球问题的步骤如下：（1）找出△PAB 和△ABC 的外接圆圆心，分别记为1O 和2O ．（2）分别过1O 和2O 作平面PAB 和平面ABC 的垂线，其交点为球心，记为O ．（3）过1O 作AB 的垂线，垂足记为D ，连接2O D ，则2⊥O D AB ．（4）在四棱锥12-A DO OO 中，AD 垂直于平面12DO OO ，如图2所示，底面四边形12DO OO 的四个顶点共圆且OD 为该圆的直径．图1图2【典型例题】例27．（2022·全国·高三专题练习）三棱锥-P ABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ， 2AC =，PA PC ⊥，AB BC ⊥，则三棱锥-P ABC 的外接球的半径为______【答案】1【解析】因为PA PC ⊥，AB BC ⊥，故AC 是公共的斜边，AC 的中点是球心O ，球半径为12AC R ==．故答案为：1例28．（2022·安徽马鞍山·一模（文））三棱锥-P ABC 中，PAC △与ABC 均为边长为平面PAC ⊥平面ABC ，则该三棱锥的外接球的表面积为________．【答案】20π【解析】等边三角形PAC 、等边三角形ABC 的高为πsin 33⨯==，等边三角形PAC 、等边三角形ABC 的外接圆半径为2323⨯=，设12,O O 分别是等边三角形PAC 、等边三角形ABC 的中心，设O 是三棱锥-P ABC 的外接球的球心，R 是外接球的半径，则2222215R OA ==+=，所以外接球的表面积为24π20πR =.故答案为：20π例29．（2022·全国·高三专题练习）三棱锥-P ABC 中，PAC △是边长为2AB BC ==，平面PAC ⊥平面ABC ，则该三棱锥的外接球的体积为______【解析】等边三角形PAC 的高为πsin 33⨯==，等边三角形PAC 的外接圆半径为222sin 6π=三角形ABC 2=，设12,O O 分别是等边三角形PAC 、等边三角形ABC 的中心，设O 是三棱锥-P ABC 的外接球的球心，R 是外接球的半径，则2222215R OA R ==+=⇒=，所以外接球的体积为34π3R =例30．（2021·全国·高三专题练习）已知在三棱锥-P ABC 中， 90,4,30BAC AB AC APC ︒︒∠===∠=，平面PAC ⊥平面ABC ，则三棱锥-P ABC 外接球的表面积为__________．【答案】80π【解析】如图12,O O 分别为,ABC PAC 的外心.由90BAC ∠=︒，即1O 为BC 中点，取AC 的中点,H 则1O H AC ⊥，又面PAC ⊥面ABC ，面PAC 面ABC AC =，1O H ⊂面ABC ，即1O H ⊥面,PAC 设球心为O ，则2OO ⊥平面,PAC ∴12//O H OO ，又2O H AC ⊥，2O H ⊂面PAC ，面PAC 面ABC AC =，面PAC ⊥面ABC ，∴2O H ⊥平面ABC ，又1OO ⊥平面ABC .∴12//OO O H ，即四边形12OO HO 为矩形. 由正弦定理知：228sin AC O P APC==∠，即24O P =，∴若外接球半径为R ，则2222216420R O P OO =+=+=，∴2480S R ππ==.故答案为：80π.核心考点十：二面角模型【规律方法】如图1所示为四面体-P ABC ，已知二面角--P AB C 大小为α，其外接球问题的步骤如下：（1）找出△PAB 和△ABC 的外接圆圆心，分别记为1O 和2O ．（2）分别过1O 和2O 作平面PAB 和平面ABC 的垂线，其交点为球心，记为O ．（3）过1O 作AB 的垂线，垂足记为D ，连接2O D ，则2⊥O D AB ．（4）在四棱锥12-A DO OO 中，AD 垂直于平面12DO OO ，如图2所示，底面四边形12DO OO 的四个顶点共圆且OD 为该圆的直径．【典型例题】例31．（2022·贵州·模拟预测（理））如图，在三棱锥A BCD -中，ABC 是边长为AD CD ==D AC B --的余弦值为23，则三棱锥A BCD -外接球的表面积为______.【答案】84π5【解析】如图1，取AC 中点E ，连接BE ，DE ，ABC 与ACD 为等边三角形，则,BE AC DE AC ⊥⊥,,,BE DE E BE DE =⊂ 平面BDE ,故AC ⊥平面BDE ,故二面角D AC B --的平面角为DEB ∠，又AC ⊂平面ABC ,所以平面BDE ⊥平面ABC ，平面BDE ⋂平面ABC BE =，过D 作DH BE ⊥于H ，DH ⊂平面BDE ,所以DH ⊥平面ABC ，由题意得2cos 3DEB ∠=，3DE BE ===，∴2323EH =⨯=，则DH ==，设ABC 外接圆圆心为2O ，则2O 在BE 上，半径为2BO ，过2O 作平面ABC 的垂线l ，则三棱锥A BCD -外接球的球心一定在直线l 上.∵21122sin 2AC BO B =⨯==，∴221,1EO O H =∴=，过D 作BE 的平行线交l 于点F ，则21FD O H ==，∵D ，B 在球面上，外接球球心可能在三棱锥内也可能在三棱锥外，取截面如图2,3，设外接球球心O ，半径R ，令2OO x =，则2FO FO x =±，2FO DH ==∴22222222FO FD R OO BO R⎧+=⎪⎨+=⎪⎩,当2FO FO x =+时，化简得64,x +==当2FO FO x =-时，化简得64,x -==得2215R =，∴284π4π5S R ==,故答案为：84π5.例32．（2022·江西赣州·高三阶段练习（文））已知菱形ABCD 的边长为2，且60DAB ∠=︒，沿BD 把ABD △折起，得到三棱锥A BCD '-，且二面角A BD C '--的平面角为120︒，则三棱锥A BCD '-的外接球的表面积为___________.【答案】283π【解析】取BD 的中点H ，连接A H '，CH ，因为ABCD 为菱形，所以A H BD '⊥，CH BD ⊥，故A HC '∠为二面角A BD C '--的平面角，则120A HC '∠=︒，由题意可知A BD '△，BCD △为正三角形，则外接球球心位于过A BD '△，BCD △的中心且和它们所在面垂直的直线上，故分别取A BD '△，BCD △的重心为1G ，2G ，过点1G ，2G 分别作两个平面的垂线，交于点O ，点O 即为三棱锥的外接球的球心，由题意可知A BD BCD '≅△△，球心到面A BD '和面BCD 的距离相等，即12OG OG =，连接OD ，OH ，则1260OHG OHG ∠=∠=︒，菱形ABCD 的边长为2，∴1123HG ==，1cos 60HG OH ===︒，∴2222713OD OH HD =+=+=，即三棱锥A BCD '-的外接球的半径273=，所以其外接球的表面积为27284433R πππ=⨯=.故答案为：283π例33．（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高三阶段练习）在三棱锥A BCD -中，△BCD 是边长为3的正三角形，且AD =，AB =A BD C --的大小为3π，则此三棱锥外接球的体积为________．【解析】根据题意，222AD BD AB +=，所以AD BD ⊥，取BD 中点为E ，AB 中点M ，则//ME AD ，12ME AD ==ME DB ⊥，BCD 是正三角形，CE DB ⊥，MEC ∠是二面角A ﹣BD ﹣C 的平面角，60MEC ∠=︒，90ADB ∠=︒，M 是ADB 的外心，设N 是DBC 的外心，设过M 与平面ABD 垂直的直线与过N 垂直于平面BCD 的直线交于点O ，则O 是三棱锥A DBC -外接球球心，3CN BN ===，EN =，又EM ，由于平面MNO 与MEO 同时垂直于BD ，所以M E N O 、、、共面，在四边形MENO 中，由60MEC ∠=︒，EN =ME 090OME ONE ∠=∠= ，可得：12ON =，外接球半径为r OB ====体积为343V π=⨯=．例34．（2022·广东汕头·高三阶段练习）在边长为2的菱形ABCD 中，BD =将菱形ABCD 沿对角线AC 对折，使二面角B AC D --的余弦值为13，则所得三棱锥A BCD -的外接球的表面积为___________.【答案】6π【解析】依题意在边长为2的菱形ABCD 中，BD =60ABC ADC ︒∠=∠=，如下图所示，易知ABC 和ACD 都是等边三角形，取AC 的中点N ，则DN AC ⊥，BN AC ⊥．DN BN N = ，,DN BN ⊂平面BND ，所以AC ⊥平面BND ，所以BND ∠是二面角B AC D --的平面角，过点B 作BO DN ⊥交DN 于点O ，由AC ⊥平面BND ，BO ⊂平面BND ，所以AC BO ⊥，DN AC N = ，,DN AC ⊂平面ACD ，所以BO ⊥平面ACD ．因为在 BDN 中，BN DN ==所以22212cos 332343BD BN DN BN DN BND =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯=，则2BD =．故三棱锥A BCD -为正四面体，由BO ⊥平面ACD ，所以O 为底面ACD 的重心，所以23OD DN ==13ON DN ==则BO ==设外接球的半径为R ，则()222R OD BO R =+-，解得R =．因此，三棱锥A BCD -的外接球的表面积为22446R πππ=⨯=．故答案为：6π．核心考点十一：坐标法【规律方法】对于一般多面体的外接球，可以建立空间直角坐标系，设球心坐标为(,,)O x y z ，利用球心到各顶点的距离相等建立方程组，解出球心坐标，从而得到球的半径长．坐标的引入，使外接球问题的求解从繁琐的定理推论中解脱出来，转化为向量的计算，大大降低了解题的难度．【典型例题】例35．（2022·黑龙江·大庆实验中学模拟预测）直角ABC 中2,1AB BC ==，D 是斜边AC 上的一动点，沿BD 将ABD △翻折到A BD 'V ，使二面角A BD C '--为直二面角，当线段A C '的长度最小时，四面体A BCD'的外接球的表面积为（ ）A ．134πB ．215πC ．133πD ．143π【答案】D【解析】解：根据题意，图1的直角三角形沿BD 将ABD △翻折到A BD 'V 使二面角A BD C '--为直二面角，所以，过点'A 作A H BD '⊥交BD 延长线于H ，过点C 作CM BD ⊥交BD 于M ，再作//,//NH CM CN MH ，使得CN 与HN 交于点N ，所以，由二面角A BD C '--为直二面角可得'CM A H ⊥，设ABD θ∠=，即B A D θ'∠=，则2CBD πθ∠=-，因为2,1AB BC ==，所以'2,1A B BC ==，所以，在'Rt A BH 中，'2sin 2cos A H BH θ,θ==，在Rt BCM △中，cos sin sin cos 22BM CM ππθθ,θθ⎛⎫⎛⎫=-==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2cos sin MH BH BM θθ=-=-，所以A C '==≥当且仅当22=πθ，即4πθ=时等号成立，此时，'A H BH ==BM CM ==MH =，在图1中，由于4πθ=，即BD 为角B 的角平分线，所以2AD AB DC BC ==，即AD =，所以'A D =，所以，DH =，由题知，',,HA HB HN 两两垂直，故以H 为坐标原点，以',,HB HN HA的方向为正方向建立空间直角坐标系，则()',,,A BC D ⎫⎫⎪⎪⎪⎪⎭⎭，所以，设四面体A BCD '的外接球的球心为(),,O x y z ，则',,AOOB OB OC OC OD ===，。
高考数学 核心考点 外接球与内切球的计算
A微专题 与球相关的外接与内切问题知识梳理1、若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体， 这个球是这个多面体的外接球，计算外接球的两大方法：构造法、球心定位法。
2、若一个多面体的各面都与内部的一个球相切，那么这个球叫做这个多面体的内切球。
3、球的性质：球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面圆的半径r 的关系：222dr R +=题型归纳方法一 构造法（补形法）处理外接球问题事实：正方体或长方体的外接球的球心是其体对角线的中点. 类型一：三棱相互垂直型【例1】如图所示，设A ，B ，C ，D 为球O 上四点，AB ，AC ，AD 两两垂直，且AB ＝AC ＝3， 若AD ＝R(R 为球O 的半径)，则球O 的表面积为( )A ．πB ．2πC ．4πD ．8π【解析】因为AB ，AC ，AD 两两垂直，所以以AB ，AC ，AD 为棱构建一个长方体，如图所示，则长方体的各顶点均在球面上，AB ＝AC ＝3，所以AE ＝6，AD ＝R ，DE ＝2R ，则有R 2＋6＝(2R)2，解得R ＝2，所以球的表面积S ＝4πR 2＝8π.故选D 。
【点评】当一三棱锥的三侧棱a 、b 、c 两两垂直时，可将三棱锥补成一个长方体，将问题转化为长方体（正方体）来解，长方体的外接球即为该三棱锥的外接球，满足2222)2(c b a R ++=关系式。
变式1：如图所示，已知三棱锥A-BCD 的四个顶点A ，B ，C ，D 都在球O 的表面上，AC ⊥平面BCD ， BC ⊥CD ，且AC ＝3，BC ＝2，CD ＝5，则球O 的表面积为( )A ．12πB ．7πC ．9πD ．8π【解析】由AC ⊥平面BCD ，BC ⊥CD 知三棱锥A-BCD 可以补成以AC ，BC ，CD 为三条棱的长方体，设球O 的半径为R ，则有(2R)2＝AC 2＋BC 2＋CD 2＝3＋4＋5＝12，所以S 球＝4πR 2＝12π.故选A 。
2025高考数学必刷题 第50讲、外接球、内切球、棱切球(学生版)
第50讲外接球、内切球、棱切球知识梳理知识点一：正方体、长方体外接球1、正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．2、长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．3、补成长方体（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示．（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示．（3）正四面体-P ABC 可以补形为正方体且正方体的棱长=a ，如图3所示．（4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示图1图2图3图4知识点二：正四面体外接球如图，设正四面体ABCD 的的棱长为a ，将其放入正方体中，则正方体的棱长为2a ，显然正四面体和正方体有相同的外接球．正方体外接球半径为22==R a ，即正四面体外接球半径为=R ．知识点三：对棱相等的三棱锥外接球四面体ABCD 中，==AB CD m ，==AC BD n ，==AD BC t ，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题．如图，设长方体的长、宽、高分别为,,a b c ，则222222222⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩b c m a c n a b t ，三式相加可得222++=a b c 222,2++m n t 而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为R ，则22224+=+a b c R，所以=R．知识点四：直棱柱外接球如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）图1图2图3第一步：确定球心O 的位置，1O 是∆ABC 的外心，则1⊥OO 平面ABC ；第二步：算出小圆1O 的半径1=AO r ，111122==OO AA h （1=AA h 也是圆柱的高）；第三步：勾股定理：22211=+OA O A O O ⇒222()2=+hR r⇒=R R知识点五：直棱锥外接球如图，⊥PA 平面ABC ，求外接球半径．解题步骤：第一步：将∆ABC 画在小圆面上，A 为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD ，连接PD ，则PD 必过球心O ；第二步：1O 为∆ABC 的外心，所以1⊥OO 平面ABC ，算出小圆1O 的半径1=O D r (三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得2sin sin sin ===a b c r A B C )，112=OO PA ；第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①222(2)(2)=+R PA r ⇔2=R②2221=+R r OO ⇔=R ．知识点六：正棱锥与侧棱相等模型1、正棱锥外接球半径：222+=r h R h．2、侧棱相等模型：如图，P 的射影是∆ABC 的外心⇔三棱锥-P ABC 的三条侧棱相等⇔三棱锥-P ABC 的底面∆ABC 在圆锥的底上，顶点P 点也是圆锥的顶点．解题步骤：第一步：确定球心O 的位置，取∆ABC 的外心1O ，则1,,P O O 三点共线；第二步：先算出小圆1O 的半径1=AO r ，再算出棱锥的高1=PO h （也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：22211=+OA O A O O ⇒222()=-+R h R r ，解出222+=r h R h．知识点七：侧棱为外接球直径模型方法：找球心，然后作底面的垂线，构造直角三角形．知识点八：共斜边拼接模型如图，在四面体ABCD 中，⊥AB AD ，⊥CB CD ，此四面体可以看成是由两个共斜边的直角三角形拼接而形成的，BD 为公共的斜边，故以“共斜边拼接模型”命名之．设点O 为公共斜边BD 的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知，===OA OC OB OD ，即点O 到A ，B ，C ，D 四点的距离相等，故点O 就是四面体ABCD外接球的球心，公共的斜边BD 就是外接球的一条直径．知识点九：垂面模型如图1所示为四面体-P ABC ，已知平面⊥PAB 平面ABC ，其外接球问题的步骤如下：（1）找出△PAB 和△ABC 的外接圆圆心，分别记为1O 和2O ．（2）分别过1O 和2O 作平面PAB 和平面ABC 的垂线，其交点为球心，记为O ．（3）过1O 作AB 的垂线，垂足记为D ，连接2O D ，则2⊥O D AB ．（4）在四棱锥12-A DO OO 中，AD 垂直于平面12DO OO ，如图2所示，底面四边形12DO OO 的四个顶点共圆且OD 为该圆的直径．图1图2知识点十：最值模型这类问题是综合性问题，方法较多，常见方法有：导数法，基本不等式法，观察法等知识点十一：二面角模型如图1所示为四面体-P ABC ，已知二面角--P AB C 大小为α，其外接球问题的步骤如下：（1）找出△PAB 和△ABC 的外接圆圆心，分别记为1O 和2O ．（2）分别过1O 和2O 作平面PAB 和平面ABC 的垂线，其交点为球心，记为O ．（3）过1O 作AB 的垂线，垂足记为D ，连接2O D ，则2⊥O D AB ．（4）在四棱锥12-A DO OO 中，AD 垂直于平面12DO OO ，如图2所示，底面四边形12DO OO 的四个顶点共圆且OD 为该圆的直径．知识点十二：坐标法对于一般多面体的外接球，可以建立空间直角坐标系，设球心坐标为(,,)O x y z ，利用球心到各顶点的距离相等建立方程组，解出球心坐标，从而得到球的半径长．坐标的引入，使外接球问题的求解从繁琐的定理推论中解脱出来，转化为向量的计算，大大降低了解题的难度．知识点十三：圆锥圆柱圆台模型1、球内接圆锥如图1，设圆锥的高为h ，底面圆半径为r ，球的半径为R ．通常在△OCB 中，由勾股定理建立方程来计算R ．如图2，当>PC CB 时，球心在圆锥内部；如图3，当<PC CB 时，球心在圆锥外部．和本专题前面的内接正四棱锥问题情形相同，图2和图3两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断．由图2、图3可知，=-OC h R 或-R h ，故222()-+=h R r R ，所以222+=h r R h．2、球内接圆柱如图，圆柱的底面圆半径为r ，高为h ，其外接球的半径为R ，三者之间满足22(2+=hr R ．3、球内接圆台2222222122⎛⎫--=+ ⎪⎝⎭r r h R r h ，其中12,,r r h 分别为圆台的上底面、下底面、高．知识点十四：锥体内切球方法：等体积法，即3体积表面积=V R S知识点十五：棱切球方法：找切点，找球心，构造直角三角形必考题型全归纳题型一：外接球之正方体、长方体模型例1．（2024·云南昆明·高一校考期末）正方体的表面积为96，则正方体外接球的表面积为例2．（2024·吉林·则球的表面积为．例3．（2024·全国·高一专题练习）已知长方体的顶点都在球O 表面上，长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为2，3，4则球O 的表面积是变式1．（2024·湖南长沙·高一长郡中学校考期中）长方体1111ABCD A B C D -的外接球的表面积为25π，AB =AD 1111ABCD A B C D -的体积为.变式2．（2024·天津静海·高一校考期中）在长方体1111ABCD A B C D -中，6AB =，BC =，14BB =，则长方体外接球的表面积为．题型二：外接球之正四面体模型例4．（2024·湖北宜昌·宜昌市夷陵中学校考模拟预测）已知正四面体ABCD 的表面积为且A ，B ，C ，D 四点都在球O 的球面上，则球O 的体积为．例5．（2024·浙江·高二校联考期中）正四面体的所有顶点都在同一个表面积是36π的球面上，则该正四面体的棱长是．例6．（2024·全国·的正四面体的外接球体积为.变式3．（2024·全国·高一假期作业）正四面体P BDE -和边长为1的正方体1111ABCD A B C D -有公共顶点B ，D ，则该正四面体P BDE -的外接球的体积为.变式4．（2024·安徽池州·高二池州市第一中学校考期中）正四面体-P ABC 中，其侧面积与底面积之差为，则该正四面体外接球的体积为.题型三：外接球之对棱相等的三棱锥模型例7．（2024·高一单元测试）在四面体ABCD 中，若AB CD ==，2==AC BD ，AD BC =ABCD 的外接球的表面积为（）A ．2πB ．4πC ．6πD ．8π例8．（2024·河南·开封高中校考模拟预测）已知四面体ABCD 中，AB CD ==AC BD =，AD BC =，则四面体ABCD 外接球的体积为（）A ．45πBC D ．例9．（2024·广东揭阳·高二校联考期中）在三棱锥S ABC -中，5SA BC ==，SB AC ==，SC AB ==）A ．50πB ．100πC ．150πD ．200π变式5．（2024·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥-P ABC 中，PA BC ==2PB AC ==，PC AB ==-P ABC 外接球的体积为（）AB C D ．6π题型四：外接球之直棱柱模型例10．（2024·陕西安康·统考三模）已知矩形ABCD 的周长为36，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为．例11．（2024·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔市第八中学校校考阶段练习）设直三棱柱111ABC A B C -的所有顶点都在一个表面积是40π的球面上，且1,120AB AC AA BAC ∠=== ，则此直三棱柱的表面积是（）A ．16+B ．8+C ．8+D ．16+例12．（2024·全国·高三专题练习）在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC 为等腰直角三角形，若三棱柱111ABC A B C -的体积为32，则该三棱柱外接球表面积的最小值为（）A ．12πB ．24πC ．48πD ．96π变式6．（2024·湖北咸宁·高二鄂南高中校考阶段练习）已知正三棱柱111ABC A B C -的体积为）A ．12πB ．6πC ．16πD ．8π变式7．（2024·全国·高三专题练习）在三棱柱111ABC A B C -中，已知11,90BC AB BCC ==∠= ，AB ⊥侧面11BB C C ，且直线1C B 与底面ABC 则此三棱柱的外接球的表面积为（）A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π变式8．（2024·新疆昌吉·高三校考期末）已知正三棱柱111ABC A B C -所有棱长都为6，则此三棱柱外接球的表面积为（）A ．48πB ．60πC ．64πD ．84π题型五：外接球之直棱锥模型例13．（2024·安徽宣城·高一统考期末）在三棱锥-P ABC 中，△ABC 是边长为3的等边三角形，侧棱PA ⊥平面ABC ，且4PA =，则三棱锥-P ABC 的外接球表面积为．例14．（2024·江苏南京·高二统考期末）在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥面ABC ，ABC 为等边三角形，且PA AB ==-P ABC 的外接球的表面积为．例15．（2024·四川成都·高一成都七中校考阶段练习）已知三棱锥-P ABC ，其中PA ⊥平面,120,2ABC BAC PA AB AC ∠=︒===，则三棱锥-P ABC 外接球的表面积为.变式9．（2024·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）在三棱锥D ABC -中，ABC 为等边三角形，DC ⊥平面ABC ，若6AC CD +=，则三棱锥D ABC -外接球的表面积的最小值为.变式10．（2024·陕西榆林·高二校考阶段练习）已知三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，2AB BC CA ===，异面直线SC 与AB 所成角的余弦值为4，则三棱锥S ABC -的外接球的表面积为．变式11．（2024·江苏镇江·高三江苏省镇江中学校考阶段练习）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PD ⊥底面ABCD ，O 为对角线AC 与BD 的交点，若3PD =，π3APD BAD ∠=∠=，则三棱锥P AOD -的外接球的体积为.变式12．（2024·四川绵阳·绵阳中学校考二模）在四棱锥A BCDE -中，AB ⊥平面BCDE ，BC CD ⊥，BE DE ⊥，120CBE ∠=︒，且2AB BC BE ===，则该四棱锥的外接球的表面积为.变式13．（2024·广东韶关·高二统考期末）三棱锥-P ABC 中,PA ⊥平面ABC ,4PA =,π3BAC ∠=,BC =,则三棱锥-P ABC 外接球的体积是．题型六：外接球之正棱锥、正棱台模型例16．（2024·山东滨州·高一校考期中）已知正四棱锥P ABCD -的底面边长为侧棱长为6，则该四棱锥的外接球的体积为．例17．（2024·福建福州·高一福建省福州屏东中学校考期末）已知正三棱锥PABC ﹣的顶点都在球O 的球面上，其侧棱与底面所成角为π3，且PA =O 的表面积为例18．（2024·河南商丘·高一商丘市第一高级中学校联考期末）在正三棱锥-P ABC 中，点D 在棱PA 上，且满足2PD DA =，CD PB ⊥，若AB =P BCD -外接球的表面积为.变式14．（2024·云南保山·高一统考期末）已知正三棱锥-P ABC 的侧棱与底面所成的角为60︒，高为，则该三棱锥外接球的表面积为.变式15．（2024·广东佛山·高一佛山市南海区第一中学校考阶段练习）已知正三棱锥-P ABC中，1PA =，AB =，该三棱锥的外接球体积为．变式16．（2024·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）如图，在正三棱台111ABC A B C -中，AB =116A B =，1AA =111ABC A B C -的外接球表面积为（）A ．64B ．64πC ．256π3D ．64π3变式17．（2024·辽宁·高三校联考期末）正四棱台高为2，上下底边长分别为2和4，所有顶点在同一球面上，则球的表面积为（）A ．32πB ．33πC ．34πD ．35π变式18．（2024·贵州六盘水·高一校考阶段练习）已知正四棱锥P ABCD -的底面边长为6，侧棱长为，则该四棱锥外接球的表面积为．变式19．（2024·山西晋中·高三祁县中学校考阶段练习）在正四棱锥P ABCD -中，=，若四棱锥P ABCD -的体积为2563，则该四棱锥外接球的体积为．变式20．（2024·湖北·高三统考阶段练习）在正四棱台1111ABCD A B C D -中，112AB A B =，1AA =）A ．332πB ．33πC ．572πD ．57π题型七：外接球之侧棱相等的棱锥模型例19．（2024·安徽安庆·校联考模拟预测）三棱锥-P ABC 中，PA PB PC ===，26AB AC ==，π3BAC ∠=，则该三棱锥外接球的表面积为．例20．（2024·江苏常州·高三华罗庚中学校考阶段练习）在三棱锥S ABC -中，2SA SB CA CB AB =====，二面角S AB C --的大小为60︒，则三棱锥S ABC -的外接球的表面积为．例21．（2024·河北承德·高一校联考阶段练习）已知三棱锥-P ABC 的各侧棱长均为且3,AB BC AC ===-P ABC 的外接球的表面积为.变式21．（2024·吉林长春·高一长春市解放大路学校校考期末）已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，△ABC E ，F 分别是PA ，AB 的中点，90CEF ∠= ，则球O 的体积为.变式22．（2024·全国·高三专题练习）已知在三棱锥S ABC -中，2SA SB SC AB ====，AC BC ⊥，则该三棱锥外接球的体积为A ．27B ．9C ．323πD ．163π变式23．（2024·全国·高一专题练习）如图，在三棱锥A BCD -中，2AB BC AC CD ====，120BCD ∠=︒，二面角A BC D --的大小为120︒，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为（）A ．823πB ．803πC ．27πD ．2449π变式24．（2024·全国·高三专题练习）在四面体ABCD 中，2AB AC BC BD CD =====，AD =ABCD 的外接球的表面积为（）A ．163πB ．5πC ．20πsD ．203π题型八：外接球之圆锥、圆柱、圆台模型例22．（2024·浙江台州·高二校联考期末）已知圆锥的底面半径为1，母线长为2，则该圆锥的外接球的体积为.例23．（2024·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知某圆锥的轴截面为正三角形，侧面积为8π，该圆锥内接于球O ，则球O 的表面积为.例24．（2024·河北石家庄·高二校考阶段练习）一个圆柱的底面直径与高都等于一个球的直径，则圆柱的表面积与球的表面积之比为.变式25．（2024·重庆·统考模拟预测）如图所示，已知一个球内接圆台，圆台上、下底面的半径分别为3和4，球的体积为500π3，则该圆台的侧面积为（）A ．60πB ．75πC ．35πD ．变式26．（2024·云南·高三校联考开学考试）已知圆台的上下底面圆的半径分别为3，4，母线长为O 的球面上，则球O 的体积为（）A ．250π3B ．500π3C ．100π3D ．125π3变式27．（2024·陕西西安·高一校考期中）如图所示，一个球内接圆台，已知圆台上､下底面的半径分别为3和4，球的表面积为100π，则该圆台的体积为（）A ．175π3B ．75πC ．238π3D ．259π3题型九：外接球之垂面模型例25．（2024·江西九江·高一校考期末）如图，三棱锥A BCD -中，平面ACD ⊥平面BCD ，ACD 是边长为2的等边三角形，BD CD =，120BDC ∠=︒.若A ，B ，C ，D 四点在某个球面上，则该球体的表面积为.例26．（2024·四川乐山·高二期末）已知正ABC 边长为1，将ABC 绕BC 旋转至DBC △，使得平面ABC ⊥平面BCD ，则三棱锥D ABC -的外接球表面积为．例27．（2024·河南平顶山·高一统考期末）在三棱锥-P ABC 中，平面ABC ⊥平面,PAB AC BC ⊥，点D 是AB 的中点，,2PD PB PB PD ⊥==，则三棱锥-P ABC 的外接球的表面积为.变式28．（2024·江苏·高一专题练习）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA AB BC ==．设D 为1A C 的中点，三棱锥D ABC -的体积为94，平面1A BC ⊥平面11ABB A ，则三棱柱111ABC A B C -外接球的表面积为．变式29．（2024·河南开封·开封高中校考模拟预测）如图,在三棱锥-P ABC 中,平面PAB ⊥平面ABC ,6AB =,4BC =,AB BC ⊥,PAB 为等边三角形,则三棱锥-P ABC 外接球的表面积为．变式30．（2024·湖北十堰·高一统考期末）如图，在平面四边形ABCD 中，π,42ADB ABC BD BC ∠=∠===，沿对角线BD 将ABD △折起，使平面ADB ⊥平面BDC ，连接AC ，得到三棱锥A BCD -，则三棱锥A BCD -外接球表面积的最小值为.变式31．（2024·河南安阳·高一统考期末）在三棱锥-P ABC 中，平面PAB ⊥平面ABC ，PA PB ⊥，且PA PB ==ABC 是等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为．变式32．（2024·云南临沧·高二校考期中）如图，已知矩形ABCD 中，483AB BC ==，现沿AC 折起，使得平面ABC ⊥平面ADC ，连接BD ，得到三棱锥B ACD -，则其外接球的体积为．变式33．（2024·全国·高三校联考开学考试）在三棱锥-P ABC 中，平面PAB ⊥平面ABC ，底面ABC 是边长为3的正三角形，若该三棱锥外接球的表面积为15π，则该三棱锥体积的最大值为.变式34．（2024·四川乐山·统考三模）在三棱锥-P ABC 中，2PA PC BA BC ====，平面PAC ⊥平面ABC ，则三棱锥-P ABC 的外接球表面积的最小值为．变式35．（2024·湖南衡阳·校联考模拟预测）在平面四边形ABCD 中，90,90,2ADB ABC BD BC ∠∠==== ，沿对角线BD 将ABD △折起，使平面ADB ⊥平面BDC ，得到三棱锥A BCD -，则三棱锥A BCD -外接球表面积的最小值为.题型十：外接球之二面角模型例28．（2024·广东阳江·高三统考开学考试）在三棱锥D ABC -中，2AB BC ==，90ADC ∠= ，二面角D AC B --的平面角为30 ，则三棱锥D ABC -外接球表面积的最小值为（）A ．()161πB ．()163π-C ．()161πD ．()163π例29．（2024·浙江丽水·高二统考期末）在四面体PABC 中，PA PB ⊥，ABC 是边长为2的等边三角形，若二面角P AB C --的大小为120︒，则四面体PABC 的外接球的表面积为（）A ．13π9B ．26π9C ．52π9D ．104π9例30．（2024·广东·校联考模拟预测）已知四棱锥,S ABCD SA -⊥平面,,4ABCD AD DC SA BC ⊥==，二面角S BC A --的大小为π3.若点,,,,S A B C D 均在球O 的表面上，则该球O 的表面积为（）A ．152π3B ．52πC ．160π3D ．54π变式36．（2024·福建·高一福建师大附中校考期末）在四面体ABCD 中，ABC 与BCD △都是边长为6的等边三角形，且二面角A BC D --的大小为60︒，则四面体ABCD 外接球的表面积是（）A ．52πB ．54πC ．56πD ．60π变式37．（2024·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）图1为两块大小不同的等腰直角三角形纸板组成的平面四边形ABCD ，其中小三角形纸板的斜边AC 与大三角形纸板的一条直角边长度相等，小三角形纸板的直角边长为a ，现将小三角形纸板ACD 沿着AC 边折起，使得点D 到达点M 的位置，得到三棱锥M ABC -，如图2．若二面角M AC B --的大小为23π，则所得三棱锥M －ABC 的外接球的表面积为（）A ．273a πB ．24a πC ．2143a πD ．227a 变式38．（2024·全国·高三专题练习）如图1，在PBC 中，PA BC ⊥，AM PB ⊥，6BC =，4PA =，沿PA 将PAB 折起，使得二面角B PA C --为60°，得到三棱锥-P ABC ，如图2，若AM PC ⊥，则三棱锥-P ABC 的外接球的表面积为（）A ．32πB ．36πC ．64πD ．80π变式39．（2024·湖南岳阳·统考三模）已知三棱锥D ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，30AD BD AC BC DAB CBA ∠∠⊥⊥== ,,，二面角D AB C --的大小为60 ，若球O 的表面积等于36π，则三棱锥D ABC -的体积等于（）AB ．8C D变式40．（2024·全国·高一专题练习）在三棱锥A BCD -中，,,224AB BC BC CD CD AB BC ⊥⊥===，二面角A BC D --为60︒，则三棱锥A BCD -外接球的表面积为（）A ．16πB ．24πC ．18πD ．20π题型十一：外接球之侧棱为球的直径模型例31．（2024·贵州黔东南·高二凯里一中校考期中）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径.若平面SCA ⊥平面SCB ，SA AC =，SB BC =，三棱锥S ABC-的体积为83，则球O 的体积为（）A ．4πB ．203πC ．6πD ．323π例32．（2024·四川巴中·高三统考期末）已知三棱锥S ABC -的体积为12，1AC BC ==，120ACB ∠=︒，若SC 是其外接球的直径，则球的表面积为（）A ．4πB ．6πC ．8πD ．16π例33．（2024·重庆九龙坡·高二重庆市育才中学校考期中）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上,SA 为球的直径,ABC ∆是边长为2的等边三角形,三棱锥S ABC -的体积为3,则球的表面积为()A ．8πBC ．16πD ．1283π变式41．（2024·重庆·校联考一模）已知三棱锥S ABC -各顶点均在球O 上，SB 为球O 的直径，若2AB BC ==，23ABC π∠=，三棱锥S ABC -的体积为4，则球O 的表面积为A ．120πB ．64πC ．32πD ．16π变式42．（2024·河北唐山·统考三模）三棱锥S ABC -的四个顶点都在球面上，SA 是球的直径，AC AB ⊥，2BC SB SC ===，则该球的表面积为()A ．4πB ．6πC ．9πD ．12π变式43．（2024·河南南阳·统考模拟预测）已知三棱锥-P ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，PC 是球O 的直径.若平面PCA ⊥平面PCB ，PA AC =，PB BC =，三棱锥-P ABC 的体积为a ，则球O 的体积为A ．2a πB ．4a πC ．23a πD ．43a π变式44．（2024·福建莆田·高三统考期中）三棱锥S ABC -的各顶点均在球O 上，SC 为该球的直径，1,120AC BC ACB ︒==∠=，三棱锥S ABC -的体积为12，则球的表面积为A ．4πB ．6πC ．8πD ．16π变式45．（2024·全国·高三专题练习）已知三棱锥-P ABC 的四个顶点均在某球面上，PC 为该球的直径，ABC 是边长为4的等边三角形，三棱锥-P ABC 的体积为163，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A ．163πB ．403πC ．643πD ．803π变式46．（2024·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知SC 是球O 的直径，,A B 是球O球面上的两点，且1,CA CB AB ===S ABC -的体积为1，则球O 的表面积为A ．4πB ．13πC ．16πD ．52π题型十二：外接球之共斜边拼接模型例34．（2022·江西·高二阶段练习（理））如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面是菱形，PB ⊥底面ABCD ，O 是对角线AC 与BD 的交点，若1PB =，3APB π∠=，则三棱锥P BOC -的外接球的体积为（）A ．23πB ．43πC ．53πD ．2π例35．（2022·安徽·芜湖一中高二期中）已知三棱锥P ABC -中，1PA =，3PB =，PC =，AB =2CA CB ==，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A ．143πB ．283πC ．9πD ．12π例36．（2022·江西赣州·高二期中（理））在三棱锥A SBC -中，10,,,4AB ASC BSC AC AS BC BS π=∠=∠===若该三棱锥的体积为153，则三棱锥A SBC -外球的体积为（）A ．πB ．3πC ．5πD ．43π变式47．在矩形A B C D 中，==4,3A B B C ，沿A C 将矩形A B C D 折成一个直二面角--B A C D ，则四面体A B C D 的外接球的体积为（）A ．π12512B ．π1259C ．π1256D ．π1253变式48．三棱锥-P A B C 中，平面⊥P A C 平面A B C ，=2A C ，⊥P A P C ，⊥A B B C ，则三棱锥-P A B C 的外接球的半径为题型十三：外接球之坐标法模型例37．（2024·浙江·高二校联考阶段练习）空间直角坐标系O xyz -中，(2,0,0),(0,3,0),(0,0,5),(2,3,5),A B C D 则四面体ABCD 外接球体积是（）A ．25πB ．36πC ．1083πD ．288π例38．（2024·贵州·统考模拟预测）如图，某环保组织设计一款苗木培植箱，其外形由棱长为2（单位：m ）的正方体截去四个相同的三棱锥（截面为等腰三角形）后得到.若将该培植箱置于一球形环境中，则该球表面积的最小值为2m 例39．（2024·河南开封·开封高中校考一模）如图，在三棱锥A BCD -中，,2,AD AB AB AD ACD ⊥== 为等边三角形，三棱锥A BCD -的体积为23，则三棱锥A BCD -外接球的表面积为.变式49．（2024·全国·高三专题练习）如图①，在Rt ABC 中，2C π=，2AC BC ==，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，将ADE V 沿DE 折起到1A DE △的位置，使1A D CD ⊥，如图②.若F 是1A B 的中点，则四面体FCDE 的外接球体积是（）A ．2πBC ．6D ．12变式50．（2024·湖北武汉·高一武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）期末）如图，已知四棱锥E ABCD -，底面ABCD 是边长为3的正方形，⊥AE 面ABCD ，2EQ QD = ，2EP PB = ，12ER RC = ，若RP RQ ==，则四棱锥E ABCD -外接球表面积为（）A ．44πB ．54πC ．176πD ．216π变式51．（2024·河南郑州·模拟预测）在长方体中1111ABCD A B C D -中，11AB AA ==，AD ＝2，M 是棱11B C 的中点，过点B ，M ，1D 的平面α交棱AD 于点N ，点P 为线段1D N 上一动点，则三棱锥1P BB M -外接球表面积的最小值为．变式52．（2024·湖南郴州·高二统考期末）如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱11A D ､1AA 的中点，G 为面对角线1B C 上一个动点，则三棱锥1A EFG -的外接球表面积的最小值为.变式53．（2024·广东阳江·高三阳春市第一中学阶段练习）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 是线段11B D 上的动点，则三棱锥-P ABC 的外接球半径的取值范围为．题型十四：外接球之空间多面体例40．（2024·全国·高三专题练习）自2015年以来，贵阳市着力建设“千园之城”，构建贴近生活、服务群众的生态公园体系，着力将“城市中的公园”升级为“公园中的城市”．截至目前，贵阳市公园数量累计达到1025个．下图为贵阳市某公园供游人休息的石凳，它可以看做是一个正方体截去八个一样的四面体得到的，如果被截正方体的的棱长为，则石凳所对应几何体的外接球的表面积为2cm ．例41．（2024·山东青岛·高一山东省青岛第五十八中学校考阶段练习）截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体.如图所示，将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为1的截角四面体，则该截角四面体的外接球表面积为.例42．（2024·宁夏银川·银川二中校考一模）把一个棱长都是6的正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面的射影是正方形的中心）每条棱三等分，沿与正四棱锥顶点相邻的三等分点做截面，将正四棱锥截去四个小正四面体和一个小正四棱锥（如图所示），则剩下的几何体的外接球的表面积等于．变式54．（2024·山东济南·高一山东省济南市莱芜第一中学校考阶段练习）取两个相互平行且全等的正n边形，将其中一个旋转一定角度，连接这两个多边形的顶点，使得侧面均为等边三角形，我们把这种多面体称作“n角反棱柱”.当n=4时，得到如图所示棱长均为2的“四角反棱柱”，则该“四角反棱柱”外接球的表面积等于（）A ．11πB ．(8π+C ．(8π+D 题型十五：与球有关的最值问题例43．（2024·江西抚州·统考模拟预测）如图，直三棱柱ABC A B C '''-中，,4AC BC AC BC ⊥==，棱柱的侧棱足够长，点P 在棱BB '上，点1C 在CC '上，且1PA PC ⊥，则当△1APC 的面积取最小值时，三棱锥-P ABC 的外接球的体积为.例44．（2024·全国·学军中学校联考二模）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，3π,24BCA AC BC ∠===，点P 在棱1BB 上，且1PA PC ⊥，当1APC 的面积取最小值时，三棱锥-P ABC 的外接球的表面积为.例45．（2024·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E ∈平面11AA B B ，点F 是线段1AA 的中点，若1D E CF ⊥，则当EBC 的面积取得最小值时，三棱锥1E BCC -外接球的体积为.变式55．（2024·广东深圳·高三深圳中学校考开学考试）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AC⊥BC ，AC =3BC =，点P 在棱1BB 上，且1PA PC ⊥，当1APC 的面积取最小值时，三棱锥-P ABC 的外接球的表面积为．变式56．（2024·黑龙江齐齐哈尔·高一校联考期末）已知三棱锥-P ABC 的四个顶点均在同一个球面上，底面ABC 为等腰直角三角形且4BA BC ==，若该三棱锥体积的最大值为323，则其外接球的表面积为.变式57．（2024·四川泸州·高三四川省泸县第一中学校考阶段练习）已知四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，侧面SAB 为等边三角形，AB ＝3，则当四棱锥的体积取得最大值时，其外接球的表面积为．变式58．（2024·湖南长沙·高三宁乡一中校考阶段练习）在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥底面ABC ，2PA =，2AB AC BC m ===，M 为AC 的中点，若三棱锥P ABM -的顶点均在球O 的球面上，D 是球O 上一点，且三棱锥-D PAC O 的体积为.变式59．（2024·江西南昌·南昌十中校考模拟预测）点A ，B ，C ，D 在同一个球的球面上，AB BC AC ===，若四面体ABCD，则这个球的表面积为.题型十六：内切球之正方体、正棱柱模型例46．（2024·广东肇庆·高一校考阶段练习）棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的内切球的球心为O ，则球O 的体积为（）A ．23πB ．43πC ．2πD ．83π例47．（2024·河北邯郸·高一大名县第一中学校考阶段练习）已知直三棱柱111ABC A B C -存在内切球，若3,4,AB BC AB BC ==⊥，则该三棱柱外接球的表面积为（）A ．26πB ．27πC ．28πD ．29π例48．（2024·山西太原·高一校考阶段练习）已知正方体的内切球(球与正方体的六个面都相切)的体积是32π3，则该正方体的体积为（）A ．4B ．16C ．8D ．64变式60．（2024·全国·高一专题练习）若一个正三棱柱存在外接球与内切球，则它的外接球与内切球体积之比为（）A ．B ．5:1C ．:1D ．6:1变式61．（2024·辽宁·高二沈阳二中校联考开学考试）在正三棱柱ABC A B C '''-中，D 是侧棱BB '上一点，E 是侧棱CC '上一点，若线段AD DE EA '++的最小值是在一个内切球（与该棱柱的所有面均相切），则该棱柱的外接球表面积为（）A ．4πB ．5πC ．6πD ．8π变式62．（2024·全国·高一专题练习）若一个正六棱柱既有外接球又有内切球，则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为（）A ．2:1B ．3:2C ．7:3D ．7:4变式63．（2024·全国·高三专题练习）已知点O 到直三棱柱111ABC A B C -各面的距离都相等，。
高考数学一轮复习第六章专题六几何体的外接球与内切球问题课件
)
A.4 3π
B.8π
C.12π
D.20π
解析：在底面△ABC 中，由正弦定理得底面△ABC 外接圆的
半径为
r＝2sin B∠CBAC＝2sin2
3π＝ 4
2.
直三棱柱 ABC-A1B1C1 的外接球的半径 R＝ ( 2)2＋12＝ 3，
r2＋A2A12＝
则直三棱柱 ABC-A1B1C1 的外接球的体积为43πR3＝4 3π.
当
λ＝12时，cos〈E→B，E→G〉＝2
3
2 .
∴cos〈E→B，E→G〉的最大值为2
3
2 .
∵A→C＝(－1，1，0)，A→F＝(0，1，1)， ∴E→B·A→C＝E→B·A→F＝0. ∴EB⊥AC，EB⊥AF. ∵AC∩AF＝A，∴EB⊥平面 AFC. ∵E→B·E→G>0，∴cos〈E→B，E→G〉即为 EG 与平面 AFC 所成角
如图 6-7 所示，把四面体 S-ABC 补全为长方体 ABCD-SPMN， 其中 SA，AB，BC 为长方体中首尾相连且两两相互垂直的三条棱， 点 H 为 PM 中点.
图 6-7
∵GH∥AP，∴G，H 两点到平面 AEF 的距离相等.
设点 H 到平面 AEF 的距离为 d.
∵△APF 是边长为 2 2的等边三角形，
[例 1]已知一个圆锥底面半径为 1，母线长为 3，则该圆锥内
切球的表面积为( )
A.π
B.32π
C.2π
D.3π
解析：依题意，作出圆锥与球的轴截面，如图
6-1 所示.设球的半径为 r，易知轴截面三角形边 AB
上的高为 2 2，因为△SOD∽△SBE，所以SSOB＝OBED，
即2 32－r＝1r，解得 r＝ 22.所以圆锥内切球的表面
高考数学立体几何体的外接球与内切球常见题型
高考数学立体几何体的外接球与内切球常见题型介绍在高考数学中，立体几何是一个重要的考点。
其中，经常涉及到求解立体几何体的外接球和内切球的问题。
本文将介绍几种常见的题型以及解题方法，帮助考生更好地理解和应对这类题目。
以下是具体内容。
外接球的题型题型1：求立体几何体的外接球的半径或直径这类题型要求求解一个给定立体几何体的外接球的半径或直径。
解题的关键是找到立体几何体的特性和几何关系。
解题步骤：1. 确定给定立体几何体的特性，如边长、角度等。
2. 根据立体几何体的几何关系，得出外接球与立体几何体的关系。
3. 利用几何关系，建立方程。
4. 求解方程，得到外接球的半径或直径。
题型2：求多个立体几何体的共同外接球的半径或直径这类题型要求求解多个给定立体几何体的共同外接球的半径或直径。
解题的关键是找到多个立体几何体之间的共同特性和几何关系。
解题步骤：1. 确定给定立体几何体的特性，如边长、角度等。
2. 找到多个立体几何体之间的共同特性和几何关系。
3. 根据几何关系，建立方程。
4. 求解方程，得到共同外接球的半径或直径。
内切球的题型题型1：求立体几何体的内切球的半径或直径这类题型要求求解一个给定立体几何体的内切球的半径或直径。
解题的关键是找到立体几何体的特性和几何关系。
解题步骤：1. 确定给定立体几何体的特性，如边长、角度等。
2. 根据立体几何体的几何关系，得出内切球与立体几何体的关系。
3. 利用几何关系，建立方程。
4. 求解方程，得到内切球的半径或直径。
题型2：求多个立体几何体的共同内切球的半径或直径这类题型要求求解多个给定立体几何体的共同内切球的半径或直径。
解题的关键是找到多个立体几何体之间的共同特性和几何关系。
解题步骤：1. 确定给定立体几何体的特性，如边长、角度等。
2. 找到多个立体几何体之间的共同特性和几何关系。
3. 根据几何关系，建立方程。
4. 求解方程，得到共同内切球的半径或直径。
总结本文介绍了高考数学立体几何体的外接球和内切球常见题型，并给出了解题的步骤和方法。
2023届高三数学一轮复习专题 空间几何体的外接球与内切球问题 讲义 (解析版)
空间几何体的外接球与内切球问题高考分析： 球与几何体的切接问题是近几年高考的高频考点，常以选择题和填空题的形式出现，以中档题和偏难题为主. 一、几种常见几何体的外接与内切球 1.长方体的外接球 (1)球心：体对角线的交点；(2)半径：R ＝a 2＋b 2＋c 22(a ，b ，c 为长方体的长、宽、高)．2.正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球 (1)外接球：球心是正方体的中心；半径R ＝32a(a 为正方体的棱长)； (2)内切球：球心是正方体的中心；半径r ＝2a(a 为正方体的棱长)；(3)与各条棱都相切的球：球心是正方体的中心；半径=2r a (a 为正方体的棱长)． 3.正四面体的外接球与内切球(1)外接球：球心是正四面体的中心；半径R (a 为正四面体的棱长)；(2)内切球：球心是正四面体的中心；半径r (a 为正四面体的棱长)．求外接球问题常用方法：1.补体法。
将几何体补形成长方体正方体等常见模型去求解2.外接球的球心都在过底面外接圆圆心的垂线上（注意球体可以滚动所以可以选择较为方便计算的那一面作为底面）3.利用外接球球心到几何体各顶点距离都等于半径4.球心与截面圆圆心的连线垂直于截面圆求外接球的关键是确定球心位置，进而计算出外接球半径。
题型一：柱体的外接球1.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为_________．2.已知三棱柱111ABC A B C －的底面是边长为6的正三角形，侧棱垂直于底面，且该三棱柱的外接球的表面积为12 ，则该三棱柱的体积为_________．3.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )A ．16πB ．20πC ．24πD ．32π4.已知圆柱的底面半径为12，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A.πB.3π4 C.π2 D.π4题型二：锥体的外接球5.求棱长为1的正四面体外接球的体积为_________．6.已知正四棱锥P －ABCD 内接于一个半径为R 的球，则正四棱锥P －ABCD 体积的最大值是( )A.16R 381B.32R 381C.64R 381 D ．R 3 7.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PB ⊥底面ABCD ，O 为对角线AC 与BD 的交点，若PB ＝1，∠APB ＝∠BAD ＝π3，则三棱锥P －AOB 的外接球的体积是_________．8.已知△ABC 是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（ ） A.B.C. 1D.9.已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC 的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为（ ）A. 64πB. 48πC. 36πD. 32π10.《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．将一堑堵沿其一顶点与相对的棱切开，得到一个阳马(底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥)和一个鳖臑(四个面均是直角三角形的四面体)．在如图所示的堑堵ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AC ＝5，AB ＝3，BC ＝4，则阳马C 1－ABB 1A 1的外接球的表面积是( )A ．25πB ．50πC ．100πD ．200π11.已知三棱锥P −ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为 A ．68πB ．64πC ．62πD ．6π12.已知正三棱锥的所有顶点都在球O 的球面上，其底面边长为3，E,F ,G 分别为为侧棱AB,AC,AD 的中点.若O 在三棱锥A -BCD 内，且三棱锥A -BCD 的体积是三棱锥O -BCD 体积的3倍，则平面EFG 截球O 所得截面的面积为微专题 球与几何体的切接问题——内切球1.半径为R 的球的外切圆柱(球与圆柱的侧面、两底面都相切)的表面积为_________，体积为_________．2.若正四面体的棱长为a ，则其内切球的半径为_________．3.已知正三棱锥的高为6，内切球(与四个面都相切)的表面积为16π，则其底面边长为( ) A ．18 B ．12 C ．6 3 D ．434.将半径为3，圆心角为2π3的扇形围成一个圆锥(接缝处忽略不计)，则该圆锥的内切球的体积为( )A.2π3 B.3π3 C.4π3D ．2π 5.如图，已知球O 是棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的内切球，则平面ACD 1截球O 的截面面积为( )A.66π B.π3 C.π6 D.33π题型三 最值问题6.已知底面是正六边形的六棱锥P －ABCDEF 的七个顶点均在球O 的表面上，底面正六边形的边长为1，若该六棱锥体积的最大值为3，则球O 的表面积为_________．7.四棱锥S －ABCD 的所有顶点都在同一球面上，底面ABCD 是正方形且和球心O 在同一平面内，当此四棱锥的体积取得最大值时，其表面积等于8＋83，则球O 的体积等于( )A.32π3B.322π3 C ．16π D.162π38.已知SAB 是边上为2的等边三角形，045ACB ∠=，则三棱锥体积最大时，CA = ;其外接球的表面积为。
高中数学立体几何中的外接球与内切球问题
高中数学立体几何中的外接球与内切球问题
在高中数学的立体几何中，外接球与内切球问题是一个重要的探讨点。
这个问
题涉及到如何在一个给定的立体图形中，找到一个外切于该图形的球和一个内切于该图形的球。
首先，让我们来看外接球问题。
在立体几何中，给定一个多面体，如正方体或
正四面体，我们想找到一个球，使得该球恰好外接于该多面体的每一个面上。
所谓外接，即球与每一个面都有且只有一个公共点，这个点是每个面的外接圆心。
以正方体为例，我们可以观察到正方体的每一个面都是正方形，而正方形的外
接圆心恰好位于该正方形的中心点。
因此，我们可以得出结论：正方体的外接球的圆心与该正方体的每个面的外接圆心重合。
接下来，让我们来看内切球问题。
在立体几何中，给定一个多面体，如正方体
或正四面体，我们想找到一个球，使得该球恰好内切于该多面体的每一个面上。
所谓内切，即球与每一个面都有且只有一个公共点，这个点是每个面的内切圆心。
以正方体为例，我们可以观察到正方体的每一个面都是正方形，而正方形的内
切圆心恰好位于该正方形的中心点。
因此，我们可以得出结论：正方体的内切球的圆心与该正方体的每个面的内切圆心重合。
总结起来，对于任何一个给定的多面体，我们可以找到一个外接球和一个内切球。
外接球的圆心与每个面的外接圆心重合，而内切球的圆心与每个面的内切圆心重合。
这个问题在高中数学的立体几何中十分重要，理解了外接球和内切球的性质，可以帮助我们更好地理解和解决相关的几何问题。
高考数学中的内切球和外接球问题 (1)
高考数学中的内切球和外接球问题一、 有关外接球的问题 一、直接法(公式法)1、求正方体的外接球的有关问题例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ .例2一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为______________.2、求长方体的外接球的有关问题例3一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为 .例4已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ ）.A. 16πB. 20πC. 24πD. 32π3.求多面体的外接球的有关问题例5一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为89，底面周长为3，则这个球的体积为 .解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有⎪⎩⎪⎨⎧⨯==h x x 24368936⎪⎩⎪⎨⎧==213x h∴正六棱柱的底面圆的半径21=r ，球心到底面的距离23=d .∴外接球的半径22d r R +=. 体积：334R V π=. 小结 本题是运用公式222d r R +=求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.二、构造法(补形法) 1、构造正方体例5 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是_______________.例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 .故其外接球的表面积ππ942==r S .小结：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为c b a ,,，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ，则有2222c b a R ++=. 出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。
【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,，则体对角线长为222c b a l ++=，几何体的外接球直径为R 2体对角线长l 即2222c b a R ++=练习：在四面体ABCD 中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为 3,6,1，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。
高考数学专题突破：外接球和内切球问题【解析版】
高考数学专题突破：外接球模型模板一：222)2(r h R += 即422r h R +=一、题型描述几何体的外接球问题：题目中涉及几何体外接球体，或者球内接几何体，再或者说成球面上有几个点围成几何体，这类题型称之为几何体的外接球问题。
二、模法讲解以下这幅图，大家应该都能看明白吧！一个底面半径为，高为的圆柱，求它的外接球半径。
那么问题来了？422r h R +=这个式子怎么来的。
那么这个式子有何妙用？1、如果我们对圆柱上下底面对应位置处，取相同数量的点，比如都取三个点，如图所示：我们可以得到（直）三棱柱，它的外接球其实就是这个圆柱的外接球，所以说直棱柱的外接球求半径符合这个模型。
在这里棱柱的高就是公式中h 的，而棱柱底面外接圆的半径则是公式中的r （至于怎么求外接圆半径可以用正弦定理。
2、我们再继续进行，如果我把刚刚那个三棱柱上面的两点去掉，我将得到三棱锥，如图：这个三棱锥的特点是AA1⊥底面ABC，即有一根侧棱⊥底面的锥体，依然符合这个模型。
那条竖直棱AA1就是公式中的h，而底面ABC的外接圆半径是公式中的r。
3、题目还喜欢这么干：面PAD垂直面ABCD。
它非常符合圆柱外接球模型！我们知道，这里的r为PAD的外接圆半径，h为AB或者CD为的长。
接着看，当我对第二幅图中的三棱柱 ABC-A1B1C1只去掉C1这个点，会得到什么呢？没错！这就是刚刚那个四棱锥放倒了！它的特点是：底面A1B1AB⊥CAB侧面，出题的时候则不会这么仁慈，就会像上一幅图那样，有一个侧面⊥矩形底面的四棱锥！圆柱外接球模型——适用于：①圆柱-------r,h自带②直棱柱-------r:底面外接圆半径；h:直棱柱的高③一根侧棱⊥底面的锥体-------r:底面外接圆半径；h:垂直于底面的那条侧棱④一个侧面⊥矩形底面的四棱锥-------r:垂直底面的侧面的外接圆半径；h:垂直于那个侧面的底边长那么接下来第二步就是找到，求出，而又怎么求呢？用正弦定理。
高考数学中的内切球和外接球问题
高考数学中的内切球和外接球问题一、 有关外接球的问题一、直接法(公式法)1、求正方体的外接球的有关问题例 1 若棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为.例 2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24 ，则该球的体积为.2、求长方体的外接球的有关问题例 3 一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1, 2, 3 ，则此球的表面积为. 例 4 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4， 体积为 16，则这个球的表面积为（ ）.A. 16B. 20C. 24D. 323.求多面体的外接球的有关问题例 5 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9，底面8 周长为3 ，则这个球的体积为.解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有⎧6x = 3 ⎪ ⎧h = 3⎪ ⎨9 = 6 ⨯ 3 x 2h ⎨x = 1 ⎪⎩8 ⎩⎪ 2a 2 +b 2 +c 2 ∴正六棱柱的底面圆的半径r = 1 ，球心到底面的距离d =2 3 .∴2外接球的半径R = . 体积：V = 4R 3 . 3小结 本题是运用公式R 2 = r 2 + d 2 求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.二、构造法(补形法)1、构造正方体例 5 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为 3 ，则其外接球的表面积是.例 3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为 3 ，则其外接球的表面积是 .故其外接球的表面积S = 4r 2 = 9.小结：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a , b , c ，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体 的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ，则有2R = 长方体。
. 出现“墙角”结构利用补形知识，联系【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为a , b , c ，则体对角线长为l = ，几何体的外接球直径为2R 体对角线长l 即R =2r 2 + d 2a 2 +b 2 +c 2 a 2 + b 2 + c 2AO练习：在四面体 ABCD 中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为1, 6,3 ，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。
高考数学中的内切球和外接球问题(附习题)
高考数学中的内切球和外接球问题一、有关外接球的问题如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.考查学生的空间想象能力以及化归能力•研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.一、直接法（公式法）1、求正方体的外接球的有关问题例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_________________ 27—例2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为_________________ 3届.2、求长方体的外接球的有关问题例3一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为 _________ .14.例4、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16，则这个球的表面积为（）.CA. 16兀B. 20兀C. 24兀D. 32兀3•求多面体的外接球的有关问题例5. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知 8，底面周长为3，则这个球的体积为的半径的常用公式.二、构造法（补形法） 1、构造正方体例5若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为 ' 3，则其外 接球的表面积是 __________________ 护.例3若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3,则其外 接球的表面积是 ________ .2故其外接球的表面积S=4「：R =9二.小结：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分 别为a 、b 、c,则就可以将这个三棱锥补成一个长方体， 于是长方体的 体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径•设其外接球的半径为R ,该六棱柱的顶点都在同一个球面上, 且该六棱柱的体积为 解 设正六棱柱的底面边长为x ，咼为h，则有6x =3, 9 3 2U 6 x h,841 x ,2_ h = . 3.二正六棱柱的底面圆的半径 接球的半径R ^-：r 2d 2.体积:小结本题是运用公式R 2 1r = 2 ,球心到底面的距离4兀3VR 3. 3d 2求球的半径的，该公式是求球则有 2R 二、•. a 2 b 2 c 2 .出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。
2024高考数学专项立体几何系统班7、外接球与内切球
第7讲外接球与内切球知识与方法1.外接球与内切球是全国高考常考题型，模型杂、方法多，但归纳起来不外乎两大类处理方法.（1）补形：将几何体补全成长方体、正方体、直棱柱等常见几何体，计算外接球半径.（2）构建平面截球模型：寻找截面圆心以及球心到截面的距离，通过222R r d =+计算外接球半径.2.设球的半径为R ，有5个常用计算公式.（1）正方体外接球半径：R =，其中a 为正方体棱长，如图1.（2）长方体外接球半径：R =a ，b ，c 分别为长方体的长、宽、高，如图2.（3）正四面体外接球半径，4R a =，其中a 为正四面体棱长，如图3.（4）直三棱柱外接球半径：R =，其中r 为底面外接圆半径，h 为直三棱柱的高，如图4.（5）圆柱外接球半径：R =，其中r 为底面圆半径，h 为圆柱的母线长，如图5.提醒：①上面列出了一些简单模型的外接球半径计算公式，需结合图形将其记住，还有一些其他模型可以通过补形的方法转化为上述模型处理；②一些不能通过简单补形求解的模型，如球内接正棱锥，球内接圆锥等，可以通过分析几何关系，转化为平面截球模型计算外接球的半径.题组一1.（★★）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上.若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为_______.【解析】设正方体的棱长为a ，则2618a =，故a =3322R a ==，其体积34932V R ππ==.【答案】92π2024高考数学专项立体几何系统班7、外接球与内切球【提炼】正方体棱长a 与其外接球半径R 之间的关系为32R =.2.（★★★）如图，在等腰梯形ABCD 中，22AB DC ==，60DAB ∠=︒，E 为AB 中点，将ADE 与BEC 分别沿ED ，EC 向上折起，使点A ，B 重合于点P ，则三棱锥P DCE -的外接球的体积为（）【解析】由题意，可将平面图形等腰梯形ABCD 补全为正三角形FAB ，如图，那么在完成题干所描述的翻折后，还可将CDF △沿着CD 翻折，使得点F 也与点P 重合，显然此时得到的是一个棱长为1的正四面体，即三棱锥P DCE -是棱长为1的正四面体，其外接球半径R =343V R π==.【答案】C【提炼】正四面体的棱长为a ，则其外接球半径为64a ，内切球半径为612a ，证明方法可参考附赠的小册子《高考数学常用二级结论》.3.（★★）长方体的长，宽，高分别为3，2，1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为______.【解析】长方体的外接球半径R =，其中a ，b ，c 分别为长、宽、高，故R =O 的表面积2414S R ππ==.【答案】14π【提炼】设长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，则其外接球半径2R =4.（★★）已知底面边长为1的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（）A.323π B.4π C.2π D.43π【解析】首先得知道什么是正四棱柱，它指的是底面为正方形、侧棱与底面垂直的四棱柱，也是一种特殊的长方体，高考这种名词都是直接给，必须清楚其结构特征.外接球半径1R ==，故该球的体积34433V R ππ==.【答案】D5.（★★）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A.16πB.20πC.24πD.32π【解析】设正四棱柱底面边长为a ，则2416a =，即2a =，其外接球的半径2242R ==，故所求球的表面积2424S R ππ==.【答案】C 6.（★★★）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2的球面上，如果正四棱柱的底面边长为1cm ，那么该棱柱的表面积为______cm 2.【解析】设正四棱柱的高为h cm ，则1112=，故h =，即该棱柱的表面积(2S =+cm 2.【答案】2+题组二7.（★★★）已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若3AB =，4AC =，AB AC ⊥，112AA =，则球O 的半径为（）B. C.132D.【解析】这道题可能不少同学会有这么一个困惑，就是题干没给出三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，是不是题干有问题呢？当然不是，事实上，斜棱柱是没有外接球的，所以题干的说法本身就隐含了三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱这一条件.本题的直三棱柱可通过补形为长方体来计算外接球半径，如图，三棱柱111ABC A B C -与长方体有相同的外接球，该球的半径为34121322R ==.【答案】C 8.（★★★）3______.【解析】本模型一般称为墙角三棱锥，可补形为正方体（或长方体）来处理．如图，将三棱锥B ACD -补全为正方体，并放到了球体之中，可以看到二者有相同的外接球，正方体棱332R =，故外接球表面积249S R ππ==.【答案】9π【提炼】三条侧棱两两垂直的三棱锥（墙角三棱锥）可补形为长方体或正方体来计算外接球半径.题组三9.（★★★）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A.2a π B.273a π C.2113a π D.25a π【解析】如图，设G 为ABC △的中心，ABC △外接圆半径233323r AG ==⨯=，1122a OG AA ==，球的半径22712R r OG a =+，故球的表面积22743S R a ππ==.【答案】B【提炼】①设直三棱柱底面外接圆半径为r ，高为h ，则其外接球半径222h R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；②关键是计算底面三角形外接圆半径，对于直角三角形，外接圆半径等于斜边长的一半，若是倍，等于高的23倍；若是普通的三角形，则可利用正弦定理计算外接圆半径.10.（★★★）直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA -==，120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于______.【解析】如图，在ABC △中，由余弦定理得222122222122BC ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，解得BC =.由正弦定理得42sin BC r BAC ==∠，解得2r =，故1112OG AA ==，所以球的半径R ==，故球的表面积2420S R ππ==.【答案】20π题组四11.（★★★）设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC △为等边三角形且其面积为，则三棱锥D ABC -体积的最大值为（）A. B. C. D.【解析】如图，先计算ABC △外接圆的半径r ，设ABC △边长为a .则2122a ⋅⋅=，解得6a =，所以62sin 60r =︒，解得r =，所以2OG ==，当D 点位于GO 延长线上时，三棱锥D ABC -的高最大，底面积不变，此时体积最大，最大值为()1243V =⨯+=【答案】B【提炼】本题三棱锥D ABC -的体积最大时，D ABC -是正三棱锥，正三棱锥外接球的计算问题，解题的关键是构建AOG △，在这个三角形中，满足222OA AG OG =+，即222R r d =+，其实这就是前一小节的平面截球模型，只要是正棱锥，都可以采用这个办法处理.12.（★★★）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A.814πB.16πC.9πD.274π【解析】如图，由题意，得14PO =，1AO =设外接球的半径为R ，则OA OP R ==，故14OO R =-.在1OO A △中，22211AO OO AO +=，即()2224R R +-=，解得94R =，故该球的表面积28144S R ππ==.【答案】A【提炼】正四棱锥外接球的有关计算，关键是构建1AOO ，在这个三角形中，利用22211OA AO OO =+建立等量关系，其实就是平面截球模型的处理方法.13.（★★★）正四棱锥S ABCD -点S ，A ，B ，C ，D 都在同一个球面上，则该球的体积为_____.【解析】解法1：如图1，设正方形ABCD 的中心为1O ，由题意，11AO =，11SO =.设正四棱锥外接球球心为O ，半径为R ，则OA R =，11OO R =-，在1AOO 中，22211OO AO AO +=，故()2211R R -+=，解得1R =，即外接球体积为34433V R ππ==.解法2：设正方形ABCD 的中心为1O ，由题意，11AO =，11SO ==，因为11SO AO =，所以1O 即为球心，球的半径为1，体积34433V R ππ==，本题实际的图形是图2.【答案】43π14.（2021·全国甲卷·理·11·★★★）已知A ，B ，C 是半径为1的球O 的球面上的三个点，且AC BC ⊥，1AC BC ==，则三棱锥O ABC -的体积为（）A.212B.312C.24D.34【解析】如图，由题意，2AB =，设D 为ABC △的外心，则1222AD AB ==，2222OD OA AD =-=，所以1112211332212O ABC ABC V S OD -=⋅=⨯⨯⨯⨯ .【答案】A题组五15.（★★）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A.πB.34πC.2π D.4π【解析】如图，由题意得1OA =，112OO =，故132O A =，圆柱体积233124V ππ⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭.【答案】B【提炼】圆柱外接球半径222h R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中r 为底面圆半径，h 为圆柱的高.16.（★★★★）如图，半径为R 的球O 中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是______.【解析】设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则2224h r R rh +=≥，当且仅当2h r =时等号成立，故圆柱的侧面积2S rh π=的最大值为22R π，此时球的表面积与圆柱的侧面积之差为222422R R R πππ-=.【答案】22R π题组六17.（★★）正方体的内切球与其外接球的体积之比为（）A. B.1:3C.1:D.1:9【解析】设正方体的棱长为a ，则其内切球、外接球的半径分别为12aR =，2R =，故正方体的内切球与其外接球的体积之比3113224343R V V R ππ==.【答案】C【提炼】设正方体的棱长为a ，则其内切球的半径2a R =.18.（★★）如图，圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱12O O 的体积为1V ，球O 的体积为2V ，则12V V 的值是______.【解析】如图，设球的半径为R ，则213223423V R R V R ππ⋅==.【答案】3219.（2020·新课标Ⅲ卷·理·15·★★★）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_______.【解析】如图，该圆锥内半径最大的球即圆锥的内切球，设其半径为R ，则OB OG R ==，1AB AG ==.由题意得PG =OP R =-，2PB PA AB =-=.在POB 中，222OB PB OP =+，故()224R R +=，解得22R =，即球的体积3433V R π==.【答案】2320.（★★★★）在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球.若AB BC ⊥，6AB =，8BC =，13AA =，则V 的最大值是（）A.4π B.92π C.6π D.323π【解析】要解决这道题，得先搞清楚一件事，那就是最大的球到底是和棱柱的侧面相切，还是与底面相切？如图，可求得底面直角三角形的斜边10AC =，将底面Rt ABC △单独拿出来分析其内切圆半径r ，图中BP NQ r ==，故8PC r =-，即8CM PC r ==-，PN BQ r ==，故6AQ r =-，即6AM AQ r ==-，所以8614210AC CM AM r r r =+=-+-=-=，解得2r =，由123r AA >=知最大球的半径为32，体积3439322V ππ⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭.【答案】B题组七21.（★★★）已知A，B是球O的球面上两点，90AOB∠=︒，C为该球面上的动点.若三棱锥O ABC-体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A.36πB.64πC.144πD.256π【解析】设球O的半径为R，当点C位于如图所示位置（OC⊥平面AOB）时，三棱锥O ABC-的体积最大，最大值为321136326RR R⨯⨯==，即6R=，故球O的表面积24144S Rππ==.【答案】C22.（★★★）已知三棱锥S ABC-的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径.若平面SCA⊥平面SCB，SA AC=，SB BC=，三棱锥S ABC-的体积为9，则球O的表面积为________.【解析】如图，由题意知，SAC△，SBC△都是以SC为斜边的等腰直角三角形，设球O的半径为R，故31129323S ABCRV R R R-=⋅⋅⋅⋅==，即3R=，故球O的表面积2436S Rππ==.【答案】36π第8讲经典模型之对棱相等知识与方法四面体ABCD 中，AB CD m ==，AC BD n ==，AD BC t ==，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类四面体的外接球问题.如图，设长方体的长宽高分别为a 、b 、c ，则222222222a b t b c n a c m ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，三式相加可得2222222m n t a b c ++++=，而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为R ，则22224a b c R ++=，所以R =.典型例题【例题】四面体ABCD中，AB CD ==AC BD ==，5AD BC ==，则该四面体外接球的体积为_______.【解析】由题意，四面体ABCD是对棱相等模型3464233R V R π⇒===.【答案】3变式1三棱锥A BCD -中，6AB CD ==，5AC BD AD BC ====，则该三棱锥外接球表面积为（）C.432π D.43π【解析】由题意，四面体ABCD是对棱相等模型24432R S R ππ⇒====.【答案】D 变式2A 、B 、C 、D四点在半径为2的球面上，且5AC BD ==，AD BC ==，AB CD =，则四面体ABCD 的体积为______.【解析】由题意，四面体ABCD 是对棱相等模型，设AB CD x ==，则R x ==ABCD补全为如图所示的长方体，设长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，则222222413425a b b c a c ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，解得：453a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以四面体ABCD 的体积1134543452032V =⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=.【答案】20强化训练1.（★★★）四面体ABCD中，AB CD ==AC BD ==，AD BC ==，则四面体ABCD 外接球的表面积为（）A.25πB.45πC.50πD.100π【解析】由题意，四面体ABCD是对棱相等模型，2524502R S R ππ====.【答案】C2.（★★★）半径为1的球面上有不共面的A 、B 、C 、D 四点，且AB CD x ==，BC AD y ==，AC BD z ==，则222x y z ++=（）A.16B.8C.4D.2【解析】由题意，四面体ABCD是对棱相等模型，22218R x y z =⇒++=【答案】B3.（★★★）四面体ABCD 中，5AB CD ==，AC BD ==，AD BC ==接球的半径为（）A.2B. C.132 D.13【解析】由题意，四面体ABCD是对棱相等模型，132R =【答案】C4.（★★★）在四面体ABCD 中，2AB CD ==，AC BD AD BC ====接球的表面积为_______.【解析】由题意，四面体ABCD是对棱相等模型，2144R S R ππ==⇒==【答案】4π5.（★★★★）在三棱锥P ABC -中，2PA BC ==，PB AC =，PC AB =，且4PB PC ⋅=，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积的最小值为________.【解析】设PB AC x ==，PC AB y ==，则4xy =，所以三棱锥P ABC -的外接球半径62R =≥，当且仅当2x y ==时取等号，所以三棱锥P ABC -的外接球的表面积的最小值为246ππ⨯=⎝⎭.【答案】6π6.（★★★★）四面体ABCD 的顶点都在球O 的表面上，4AB BC CD DA ====，AC BD ==，E 为AC 中点，过点E 作球O 的截面，则截面面积的最大值与最小值之比为（）A.5:42D.5:2【解析】四面体ABCD是对棱相等模型，所以R =，将四面体ABCD 放入长方体如图，截面面积的最大值为215S R ππ==，当截面面积最小时，截面与OE 垂直，其中O 为球心，设FA a =，FB b =，FC c =，则222222216182216a a b a c b OE b r c b c =⎧⎧+=⎪⎪+=⇒=⇒=⇒=⎨⎨⎪⎪=+=⎩⎩，即截面面积的最小值为222S r ππ==，故12:5:2S S =.【答案】D。
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高考数学中的内切球和外接球问题一、有关外接球的问题如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.一、直接法(公式法)1、求正方体的外接球的有关问题例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________.例2一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为______________.2、求长方体的外接球的有关问题例3一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为.例4已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（）.A.16πB.20πC.24πD.32π3.求多面体的外接球的有关问题例5一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为89，底面周长为3，则这个球的体积为.解设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有⎪⎩⎪⎨⎧⨯==h x x 24368936⎪⎩⎪⎨⎧==213x h ∴正六棱柱的底面圆的半径21=r ，球心到底面的距离23=d .∴外接球的半径22d r R +=.体积：334R V π=.小结本题是运用公式222d r R +=求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.二、构造法(补形法)1、构造正方体例5若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是_______________.例3若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是.故其外接球的表面积ππ942==r S .小结：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为c b a ,,，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ，则有2222c b a R ++=.出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。
【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,，则体对角线长为222c b a l ++=，几何体的外接球直径为R 2体对角线长l 即2222c b a R ++=练习：在四面体ABCD 中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为3,6,1，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。
球的表面积为ππ1642==R S 例6一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A.π3 B.π4 C.π33 D.π6例7已知球O 的面上四点A、B、C、D，ABC DA 平面⊥，BC AB ⊥，3===BC AB DA ，则球O 的体积等于.解析：本题同样用一般方法时，需要找出球心，求出球的半径.而利用长方体模型很快便可找到球的直径，由于ABC DA 平面⊥，BC AB ⊥，联想长方体中的相应线段关系，构造如图4所示的长方体，又因为3===BC AB DA ，则此长方体为正方体，所以CD 长即为外接球的直径，利用直角三角形解出3=CD .故球O 的体积等于π29.（如图4）图4C图52、例8（2008年安徽高考题）已知点A、B、C、D 在同一个球面上，BCD AB 平面⊥，BC DC ⊥，若8132,6===AD AC AB ，则球的体积是解析：首先可联想到例7，构造下面的长方体，于是AD 为球的直径，O 为球心，4==OC OB 为半径，要求B、C 两点间的球面距离，只要求出BOC ∠即可，在ABC Rt ∆中，求出4=BC ，所以 60=∠BOC ，故B、C 两点间的球面距离是π34.（如图5）本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。
三.多面体几何性质法例.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是A.π16 B.π20 C.π24 D.π32.小结:本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.四.寻求轴截面圆半径法例正四棱锥ABCD S -的底面边长和各侧棱长都为2，点D C B A S ,,,,都在同一球面上，则此球的体积为解:设正四棱锥的底面中心为1O ，外接球的球心为O ，如图1所示.∴由球的截面的性质，可得ABCD OO 平面⊥1.又ABCD SO 平面⊥1，∴球心O 必在1SO 所在的直线上.∴ASC ∆的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.在ASC ∆中，由222,2,2AC SC SA AC SC SA =+===得，CDA BSO 1图3∴为斜边的直角三角形是以AC ASC ∆.∴12=AC 是外接圆的半径，也是外接球的半径.故π34=球V .小结:根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.五.确定球心位置法例5在矩形ABCD 中，3,4==BC AB ，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角D AC B --，则四面体ABCD 的外接球的体积为A.π12125 B.π9125C.π6125D.π3125解:设矩形对角线的交点为O ，则由矩形对角线互相平分，可知OD OC OB OA ===.∴点O 到四面体的四个顶点D C B A ,,,的距离相等，即点O 为四面体的外接球的球心，如图2所示.∴外接球的半径25==OA R .故ππ6125343==R V 球.出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。
【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。
球心为直角三角形斜边中点。
CAO D B 图4【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球O 的球面上，BC AB ⊥且1051,5,7====AC PC PB PA 求球O 的体积。
解：BC AB ⊥且10,51,5,7====AC PC PB PA 因为22210)51(7=+所以知:222PC PA AC =+所以PC AP ⊥所以可得图形为：在ABC Rt ∆中斜边为AC 在APC Rt ∆中斜边为AC 取斜边的中点，在ABC Rt ∆中OC OB OA ==在APC Rt ∆中OCOB OP ==所以在几何体中OA OC OB OP ===，即为该四面体的外接球的球心52==AC R 所以该外接球的体积为ππ3500343==R V 球【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。
1.（陕西理•6）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（）A．433B．33C．43D．123答案B2.直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===,120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于。
解:在ABC ∆中2AB AC ==,120BAC ∠=︒,可得BC =,由正弦定理,可得ABC∆外接圆半径r=2,设此圆圆心为O '，球心为O ，在RT OBO '∆中，易得球半径R =2420R ππ=.3．正三棱柱111ABC A B C -内接于半径为2的球，若,A B 两点的球面距离为π，则正三棱柱的体积为．答案84.表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为A．23πB．13πC．23πD．223答案A【解析】此正八面体是每个面的边长均为a 的正三角形，所以由284⨯=知，1a=，故选A。
5.已知正方体外接球的体积是π332，那么正方体的棱长等于（）A.22B.332 C.324D.334答案D6.（2006山东卷）正方体的内切球与其外接球的体积之比为()A.1∶3B.1∶3C.1∶33D.1∶9答案C7.（2008海南、宁夏理科）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为3，则这个球的体积为．答案34π8.（2007天津理•12）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为．答案14π9.（2007全国Ⅱ理•15）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上。
如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为cm 2.答案2+10.（2006辽宁）如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P ABCDEF -，则此正六棱锥的侧面积是________．答案11.（辽宁省抚顺一中2009届高三数学上学期第一次月考）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是.答案12.（2009枣庄一模）一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为（）A．π3B．π2C．316πD．以上都不对答案C13.设正方体的棱长为233，则它的外接球的表面积为（）A．π38B．2πC．4πD．π34答案C。