换底公式

(3)
loga
M N
log a M log a N;
例3：科学家以里氏震级来度量地震的强度。若设 I为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震 级r可定义为r=0.6lgI，试比较6.9级和7.8级地震 的相对能量程度。
解：设6.9级和7.8级地震的相对能量程度
分别为I1和I2，由题意得
6.9 0.6 lg I1 ,
是原来的一半（结果保留1个有效数字）.
解：设最初的质量是1，经过x年，剩留量是y,则
经过1年，剩留量是y=0.84;
经过2年，剩留量是y=0.842; ……
经过x年，剩留量是y=0.84x;
x
log0.84 0.5
ln 0.5 ln 0.84
3.98
即约经过4年，该物质剩留量是原来的一半.
1.利用换底公式证明：
7.8 0.6 lg I2
因此0.6(lg I2
所以I2
lg I1 )
0.9，即lg I2
I1
101.5 32
1.5
I1
因此，7.8级地震的相对能量程度约为6.9级地震的相对能
量程度的32倍。
1.求下列等式中的x的值。
(1) logx 81 2 x 9 (2)10x lg2 2000 x 3
2.求下列各式的值。
N b
(a,
b
0, a,
b
1,
N
0)
换底公式不难记， 一数等于两数比。 相对位置不改变， 新的底数可随意。
一个对数可以用 同底数的两个对数 的商来表示.
（非1正数）
知识探究
思考1: loga b 与 logb a 有什么关系？
互为倒数
思考2: logan N 与 loga N 有什么关系？
1 logan N n loga N 思考3: (loga M) (loga N) 可变形为什么？
思考1:假设
log2 5 log2 3
x ,则
log2
5
x log2
3
log 2
3x
从而有 3x 5 .进一步可得到什么结论？
x
log
3
5,
即
log log
2 2
5 3
log3 5
思考2:你能用lg2和lg3表示log23吗？
能.log2 3
lg 3 lg 2
思考3:一般地，如果a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0，
loga b logb c logc a 1.(a 0, b 0,c 0,a 1, b 1,c 1)
证明：
loga b logb c logc a
lg b lg c lg a 1 lg a lg b lg c
2.利用换底公式求值。
(1) log2 25 log3 4 log5 9 ___8____
5
(2)log2
1 125
log3
1 32
log5
1 3
3log2
5
(5 log3
2)
(பைடு நூலகம்
log5
3)
3 lg 5 (5) lg 2 (1) lg 3 15 lg 2 lg 3 lg 5
知识应用
例2 一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留
的质量约是原来的84%,估计约经过多少年，该物质的剩留量
(2)(log4 3 log8 3)(log3 2 log9 2) __4_
通过本节学习
1. 大家应掌握对数的换底公式
log
a
N
log c N log C a
(N
0,
a
0,
a
1, c
0, c
1)
2.记住换底公式的两个重要推论
设a,b>0且均不为1,则
(1) loga b logb a 1
2.三个结论：
(1)负数和零没有对数
(2) loga 1 0, loga a 1
(3)aloga N N
复习旧知
积、商、幂对数的运算法则
如果a>0,a≠1,M>0,N>0 ,则：
(1) log a (MN) log a M log a N;
(2) log a Mn n log a M(n R).
3 (1)log6 216 2
(2) log0.5 1 log0.5 4 2
3.用lgx,lgy,lgz表示下列各式。
(1) lg(x2 yz 3) 2 lg x lg y 3 lg z
(2) lg
x y3z
1 lg x 3 lg y lg z 2
问题1: 使用对数的运算法则运算的前提条件是“同底”， 如果底不同怎么办？ 问题2: 我们知道科学计算器通常只能对常用对数或自然 对数进行计算，要计算log215，必须将它换成常用对数 或自然对数，如何转换？
4.2 换底公式
1.对数的定义：
一般地，如果a(a>0 , a≠1)的b次幂等于N，
即：ab N
那么就把b叫做以a为底N的对数，
记作：loga N b
底数 真数
注：底数a的取值范围：(a 0且a 1)
真数N的取值范围: (N 0)
两种常用的对数：
(1)常用对数： 我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。
lg 9 lg 32 lg 8 lg 27
2 lg 3 5lg 2 10 ; 3lg 2 3lg 3 9
巩固练习
计算：
(1)log9 8 log32 27
(2)log
2
1 125
log3
1 32
log5
1 3
解:
lg 8 lg 27 (1) log9 8 log32 27 lg 9 lg 32
3lg 2 3lg 3 9 2 lg 3 5lg 2 10
logN M
知识深化
两个推论:
设 a,b>0且均不为1,则
(1) loga b logb a 1
(2)
logam
bn
n m
loga
b
知识应用
例1.计算：
(1) log9 27
(2) log8 9 log27 32
解:
(1) log9 27
log3 27 log3 9
3; 2
(2) log8 9 log27 32
为了简便,N的常用对数 log10 N 简记作lgN。 例如：log10 5 简记作lg5；log10 3.5 简记作lg3.5.
(2)自然对数： 在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828……
为底的对数，以e为底的对数叫自然对数。
为了简便，N的自然对数 loge N 简记作lnN。
例如：loge 3 简记作ln3 ; loge 10 简记作ln10
那么 logc b 与哪个对数相等？如何证明这个结论？ logc a
结论 : logc b logc a
loga b
证明 : 令 logc b logc a
logc b
x logc b
logc ax
x logc a
b ax
x loga b
logc b logc a
loga b
换底公式
logb
N
loga loga