理论力学竞赛辅导(动力学).
注册工程师基础《理论力学》-动力学
x
a
P1 M
W
ma = P1 − W
P1
=W
+W g
a
答案：B
一、质点动力学
[例 题]
G F
已知：以上抛的小球质量为m，受空气阻力
G = −k v
，则对图示坐标轴Ox，小球的运动微
分方程为：
（A） mx = mg− kx
（B） mx = −mg− kx （C） mx = −mg+ kx （D） mx = mg+ kx
J OO
=
J CC
+
m( l )22 2
=
1 3
ml 22
O
zC
z1
C
d
C
m
l
二、动力学普遍定理
1、物理量
（5）力的功 ● 常力的功
M1
F M2
θv
W = F cosθ S
S
● 变力的功
G MM22
G MM22
∫ ∫ W1122 = F ⋅ dr = F cosθ ds
MM11
MM11
● 重力的功
二、动力学普遍定理
（7）动能定理
T2－T1＝W12
（8）机械能守恒
T +V = E = 常数
2．定理
二、动力学普遍定理
2．定理
质量相同的两均质圆盘，放在光滑水平面 上，在圆盘的不同位置上，各作用一水平力F 和F′，使圆盘由静止开始运动，设F = F′， 试判断那个圆盘动能大？
A F′ B F
三、达朗贝尔原理
x B
maCx = Fx = 0
答案：C
二、动力学普遍定理
2．定理
（4）动量矩定理
理论力学竞赛指导-PPT课件
当 2
2k m
牵连惯性力大于弹簧的弹性恢复力，
物块不能在x´＝0处附近作自由振动，物块在x´＝0处 的平衡是不稳定的。 当
2
2k m
牵连惯性力等于弹簧的弹性恢复力
物块在x´＝0处为随遇的平衡位置。
4、水流以体积流量qV通过内径为d1管
z
ω
北
解：3. 分析加速度
绝对加速度aa －所要求的 未知量；
z´ ae ar
vr
相对加速度ar － ar=vr2/R 方向指向地心；
牵连加速度ae － ae=Rcos2ae 矢量垂直于 Oz´轴，方向指向Oz´； 科氏加速度aC － aC=2vrsin方向沿过P点纬 线的切向，指向西。
aC
k
P O
k
y´
k x´
解： 1. 非惯性参考系－O x´ y´ 动点－物块P 2. 分析相对速度和各种加速 度： 相对速度vr －沿着x´正向
OP kk
P x´
aIC
牵连加速度aen－由大盘 转动引起
vr
aen
科氏加速度aIC －2m vr
y´ k x´ 解： 3. 分析质点(物块)受力： F －弹簧力F＝2k x´ FIC aIC vr aen F FN －槽对物块的约束力 FIC －科氏力 FIen －法向牵连惯性力 FIen＝m 2 x´
1
qv
1
2
2
解：分析以喷嘴的左右截面(1－1 和2－2)为边界所包含的质量流根据 体积流量与速度和管道横截面积的 关系，有
2 2 π d π d q v A v A v 1 v 2 V 1 1 2 2 1 2 4 4
北京航空航天大学_理论力学竞赛辅导4_动力学2
A
B
求解方法： 动静法 列平衡方程（取矩式） 虚位移原理
运动分析： 系统的自由度 确定相关加速度关系 添加惯性力
D
思考题21：定性分析AB杆A处约束力水平分量的方向。
2019/12/1
22
BUAA
动静法（达朗贝尔原理）
思考题22：图示系统由均质杆和均质圆盘组成，各刚体质量均 为m，圆盘半径为R，杆与水平面的夹角为300，圆盘在地面上 纯滚动，轮心初速度为u，杆与地面的摩擦因数为f，求轮心的 加速度和系统停止时A点移动的距离。
BUAA
第四讲 动力学（2）
• 碰撞 • 动静法（达朗贝尔原理） • 28个题（思考题、问题、习题）
2019/12/1
1
BUAA
1、碰撞的特点和分类
特点：速度发生突变； 碰撞力很大。
碰撞前碰撞点的速度 v1, v2
碰撞后碰撞点的速度 u1, u2
压缩冲量（大小）：I1
恢复冲量（大小）：I 2
恢复系数 e I2 u1n u2n
x I
2019/12/1
思考题8：若冲击结束后的瞬时，BD杆
A
的角速度为零，该冲量应作用在什么位
m1
置？
B
思考题9：若冲量作用在铰链B上，求
m2
冲击结束后的瞬时，两个杆的角速度和 冲击过程中铰链A的约束冲量。
D 8
BUAA
碰撞
思考题10： 均质杆AB和BD用铰链连接，静止地放在光滑 的水平面上，若在BD杆的D点上作用一垂直于该杆的水平 冲量I，求冲击结束后，两个杆的角速度和铰链B的速度。
FNA FA A
a
B
FIAB
１、应用动静法求Ａ点的法向 力与轮心加速度的关系。 ２、应用动能定理的微分形式 建立系统的动力学方程。
力学竞赛知识点总结
力学竞赛知识点总结力学是物理学的一个重要分支，研究物体在外力作用下的运动和形变规律。
力学属于理论物理学的范畴，具有非常重要的理论和实际意义。
在力学竞赛中，学生需要掌握一定的力学知识和解题技巧，才能取得优异的成绩。
本文将对力学竞赛中常见的知识点进行总结和详细讲解，希望能够帮助读者更好地理解力学知识点和提高解题能力。
1. 平抛运动平抛运动是力学中的一个重要概念，指物体在水平方向上具有初速度的情况下，受到重力的影响向上做抛体运动的过程。
平抛运动的关键是要理解水平和竖直方向的运动是相互独立的，即水平方向的速度不受竖直方向速度的影响，竖直方向的速度也不受水平方向速度的影响。
在力学竞赛中，平抛运动题目一般包括求抛体的飞行时间、最大高度、最大水平距离等问题，解题时需要根据抛体运动的基本方程进行计算，注意水平和竖直方向的速度、加速度以及运动时间的关系，从而得出正确的结论。
2. 牛顿运动定律牛顿运动定律是力学领域中的基本定律，包括牛顿第一定律、牛顿第二定律和牛顿第三定律。
牛顿第一定律指物体要么静止，要么以恒定速度直线运动，只要不受外力作用，物体就会保持原来的状态。
牛顿第二定律指出力是物体的质量和加速度的乘积，即F=ma。
牛顿第三定律指对于每一个力的作用都有一个等大的相反方向的反作用力。
在力学竞赛中，牛顿运动定律经常出现在题目中，要求学生根据物体的受力情况和运动状态进行分析和计算。
需要掌握牛顿定律的精髓，并且能够灵活应用，解决各种不同情景下的力学问题。
3. 动量和动量守恒动量是力学中另一个重要的物理量，定义为物体的质量乘以速度，即p=mv。
动量守恒定律指在没有外力作用的情况下，系统的总动量保持不变。
在力学竞赛中，动量守恒定律经常出现在碰撞、爆炸等问题中，需要学生根据碰撞前后动量守恒的原理进行计算和分析。
4. 动能和动能定理动能是物体由于运动而具有的能量，是一个基本的物理量。
动能定理指出物体的动能等于其质量乘以速度的平方再乘以1/2，即K=1/2mv^2。
(完整版)理论力学_动力学课件
dpx
/
dt
F (e) x
dp y
/
dt
F (e) y
微 分 形
dpz
/
dt
F (e) z
式
px
p0 x
I
(e) x
py
p0 y
I
(e y
)
积 分 形
pz
p0 z
I
( z
e
)
式
12 动量矩定理 12.1 质点和质点系的动量矩
理论力学 （运动学）
教 材:《理论力学》 陈国平 罗高作 主编 武汉理工大学出版社
参考书: 《建筑力学》 钟光珞 张为民 编著 中国建材工业出版社
《建筑力学》 周国瑾等 编著 同济大学出版社
《理论力学》 范钦珊 主编 清华大学出版社
10 质点动力学
第10章 质点动力学的基本方程
§10-1 动力学的基本定律
画受力图
（2） 研究对象运动分析
（3） 列方程求解求知量
Fx
F
P sin
P g
a
Fy FN P cos 0
y
x
a
F
F
P(sin
a g ), FN
P cos
P
FN
F f FN
f min
a
g cos
tan
11 动量定理 §11-1 动量与冲量
§11-2 动量定理
1. 质点的动量定理
dp d(mv) ma F dt dt
高中物理竞赛辅导习题力学部分
力、物体的平衡补充：杠杆平衡（即力矩平衡），对任意转动点都平衡。
一、力学中常见的三种力 1.重力、重心①重心的定义：++++=g m g m gx m gx m x 212211，当坐标原点移到重心上，则两边的重力矩平衡。
②重心与质心不一定重合。
如很长的、竖直放置的杆，重心和质心不重合。
如将质量均匀的细杆AC （AB =BC =1m ）的BC 部分对折,求重心。
以重心为转轴，两边的重力力矩平衡（不是重力相等）：（0.5-x ）2G =(x +0.25)2G ,得x =0.125m （离B 点）. 或以A 点为转轴：0.5⨯2G +(1+0.5)2G =Gx ', 得x '=0.875m ，离B 点x =1-x '=0.125m.2.巴普斯定理：①质量分布均匀的平面薄板：垂直平面运动扫过的体积等于面积乘平面薄板重心通过的路程。
如质量分布均匀的半圆盘的质心离圆心的距离为x ，绕直径旋转一周，2321234R x R πππ⋅=，得π34R x = ②质量分布均匀的、在同一平面内的曲线：垂直曲线所在平面运动扫过的面积等于曲线长度乘曲线的重心通过路程。
如质量分布均匀的半圆形金属丝的质心离圆心的距离为x ，绕直径旋转一周，R x R πππ⋅=242，得πR x 2= 1. （1）半径R =30cm 的均匀圆板上挖出一个半径r =15cm 的内切圆板，如图a 所示，求剩下部分的重心。
（2）如图b 所示是一个均匀三角形割去一个小三角形AB 'C '，而B 'C '//BC ，且∆AB 'C '的面积为原三角形面积的41，已知BC 边中线长度为L ，求剩下部分BCC 'B '的重心。
[答案：(1) 离圆心的距离6R ；(2)离底边中点的距离92L ] 解(1)分割法:在留下部分的右边对称处再挖去同样的一个圆,则它关于圆心对称,它的重心在圆心上,要求的重心就是这两块板的合重心,设板的面密度为η，重心离圆心的距离为x .有力矩平衡: ),2()2(])2(2[222x R R x R R -=-ηπηπ得6R x ==5cm. 填补法:在没挖去的圆上填上一块受”重力”方向向上的圆,相当于挖去部分的重力被抵消,其重心与挖去后的重心相同,同理可得6R x =. 能量守恒法:原圆板的重力势能等于留下部分的重力势能和挖去部分的重力势能之和,可得6R x =. (2) ∆AB 'C '的面积为原三角形面积的1/4，质量为原三角形质量的41，中线长度应为原三角形中线长度的21。
全国周培源大学生力学竞赛辅导力学竞赛-静力学专题
1
1
2
2
平衡方程的快速练习
如何截断？
§3 空间力系
1. 空间力的投影和分解
O
x
y
F
z
直接投影法
F = Fx+Fy+Fz= Fx i+Fy j+Fz k
y
z
O
x
F
Fxy
二次投影法
F = Fx+Fy+Fz= Fx i+Fy j+Fz k
§3-2 力对点的矩和力对轴的矩
F1
F2
FR
FR
O
F1
F2
FR=F1+ F2
★ 作用在物体上同一点的两个力，可以合成为一个合力。合力的作用点也在该点，合力的大小和方向，由这两个力为边构成的平行四边形的对角线确定。
§1 静力学公理
A
★ 作用在刚体上的两个力，使刚体保持平衡的充要条件是： 这两个力的大小相等，方向相反，且在同一直线上。
1. 力对点的矩
O
A(x,y,z)
B
r
F
h
y
x
z
MO(F)
空间的力对O点之矩取决于：
（1）力矩的大小；
（2）力矩的转向；
（3）力矩作用面方位。
★ 须用一矢量表征
MO(F) =Fh=2△OAB
O
A(x,y,z)
B
r
F
h
y
x
z
MO(F)
MO(F)
定位矢量
2. 力对轴的矩
B
A
F
O
x
y
z
C
B
O
A
F3
周培源力学竞赛辅导安排
(3)掌握点的复合运动的基本概念，掌握并能应用点的速度合成定理和加速度合成定理。
(4)掌握刚体平面运动的概念及其描述，掌握平面运动刚体速度瞬心的概念。能熟练求解平面运动刚体的角速度与角加速度以及刚体上各点的速度和加速度。
讲授周培源力学竞赛关于运动学考题。
陈老师
第9周周二晚上6:30-8:20
黄家湖11110
(三)动力学
(1)掌握建立质点的运动微分方程的方法。了解两类动力学基本问题的求解方法。
(2)掌握刚体转动惯量的计算。了解刚体惯性积和惯性主轴的概念。
(3)能熟练计算质点系与刚体的动量、动量矩和动能；并能熟练计算力的冲量（矩），力的功和势能。
黄家湖11206
材料力学的任务、同相关学科的关系，变形固体的基本假设、截面法和内力、应力、变形、应变。
轴力与轴力图，直杆横截面及斜截面的应力，圣维南原理，应力集中的概念。
材料拉伸及压缩时的力学性能，胡克定律，弹性模量，泊松比，应力-应变曲线。
拉压杆强度条件，安全因数及许用应力的确定。
郑老师
第10周周日上午8:30-11.30
第十一届周培源力学竞赛辅导安排
第十一届周培源力学竞赛5月21日上午在华中科技大学举行。我校竞赛辅导安排如下：
上课时间
教室
内容
教师
第8周周四晚上6:30-8:20
黄家湖11205
(一)静力学
(1)掌握力、力矩和力系的基本概念及其性质。能熟练地计算力的投影、力对点的矩和力对轴的矩。
(2)掌握力偶、力偶矩和力偶系的基本概念及其性质。能熟练地计算力偶矩及其投影。
周培源力学竞赛公式
周培源力学竞赛公式周培源力学竞赛公式是指的周培源力学竞赛所囊括的各种力学公式，这些公式覆盖了力学的各个方面，包括静力学、动力学、功与能等。
在力学竞赛中，运用这些公式可以帮助我们快速计算、分析和推导问题，从而解决相应的力学问题。
下面是一些常见的周培源力学竞赛公式。
一、静力学公式1.牛顿第一定律（惯性定律）：物体在没有外力或合力为零的情况下，保持匀速直线运动或静止。
2. 牛顿第二定律（运动定律）：F=ma，表示物体的运动状态与作用在其上的力的大小和方向成正比。
3.牛顿第三定律（作用-反作用定律）：任何两个物体之间的相互作用力都满足大小相等、方向相反、作用在不同物体上的特点。
二、动力学公式1. 动能（动能定理）：K=(1/2)mv²，表示物体的动能与其质量和速度平方成正比。
2.位移与速度的关系：v=∆s/∆t，表示速度是位移关于时间的导数。
3. 速度与加速度的关系：a=dv/dt，表示加速度是速度关于时间的导数。
4.加速度与位移的关系：a=∆v/∆t=∆(∆s/∆t)/∆t=∆²s/∆t²，表示加速度是位移关于时间的二阶导数。
5. 弹簧力和弹性势能：F=-kx，U=(1/2)kx²，其中F表示弹簧的弹力，k表示弹簧的劲度系数，x表示弹簧的伸长或压缩量，U表示弹簧的弹性势能。
6.圆周运动的加速度：a=v²/r，表示物体在圆周运动中的加速度与速度平方和半径的倒数成正比。
三、功与能公式1.功：W=Fs，表示力对物体所做的功等于力与物体位移方向上的距离的乘积。
2. 功率：P=dW/dt，表示功率等于单位时间内所做的功。
3.机械能守恒定律：E=K+U，表示物体的机械能等于其动能和势能之和，在没有外力做功的情况下保持不变。
4. 转动惯量（转动引力矩）：I=mr²，表示物体的转动惯量与其质量和距离旋转轴的平方成正比。
5.力矩：τ=Fr，表示力矩等于力与力臂的乘积，力臂是力的作用线与旋转轴之间的垂直距离。
理论力学课后答案-谢传峰、王琪-动力学部分
( x 2 R 2 ) 2 xx 3 2 2 R 2 xx 2x x
后，可求得： 将上式消去 2 x
x
2 R4 x
( x 2 R 2 )2
(d)
由上式可知滑块 A 的加速度方向向左，其大小为 取套筒 A 为研究对象，受力如图所示， 根据质点矢量形式的运动微分方程有：
0
a
av cos 2 45 0 av l 2l
v r1
1－15 解：动点：销子 M 动系 1：圆盘 动系 2：OA 杆 动系：机座； 运动分析： 绝对运动：曲线运动 相对运动：直线运动 牵连运动：定轴转动 根据速度合成定理有
ve1
ve2
v r2
x
va1 ve1 v r1 ，
va2 ve2 v r2
y’
va
vr
ve
O
x’
va ve vr
将上式沿绝对速度方向投影可得：
v a v e v r
y’ 因此
vr ve va
v 其中： v a v B , v e R B , A ， RA
由此可得： v r
arn
RB 380 v A vB m/s RA 9
O1 A 2R
根据加速度合成定理有
a a a et a en a r aC
将（b）式在垂直于 O1A 杆的轴上投影得
（b）
aet aen
ar
aa
aC
a a sin 30 0 a et cos 30 0 a en sin 30 0 aC
其中： a a R ， a 2 R
ve
力学竞赛知识点理论力学
由几何关系不难得 q jf jf , q 2jf tgjf 0.1 fs , jf tg10.1 5.71
q 2jf 11.42
以上是考虑临界状态所得结果，稍作分析即可得
当 0 q 2jf 11.42 时能自锁
13
理论力学
力学竞赛知识点介绍
例题5-3
fs tanjf tanq
下面的螺旋千斤顶就利用了自锁的概念。
9
理论力学
力学竞赛知识点介绍
考虑摩擦时物体的平衡问题
考虑有摩擦的平衡问题时，其解法与普通静力学问题基 本一样。但需指出的是，在受力分析和列平衡方程时要将摩 擦力考虑在内，因而除平衡方程外，还需增加补充方程 0 Fs fs FN，因此有摩擦的平衡问题的解通常是一个范围。为 了避免解不等式，往往先考虑临界状态（ Fs = fs FN），求 得结果后再讨论解的平衡范围。应该强调的是摩擦力的方向 在临界状态下不能假设，要根据物体相对运动趋势来判断， 只有摩擦力是待求未知数时，可以假设其方向 。
力学竞赛知识点介绍
例题5-4
2.假设矩形柜不滑动但将绕 B 翻倒。
列平衡方程
F
C
P
A
FA
FB
B
FNA
FNB
MB 0,
a P 2 Fh FNAa 0
柜绕 B 翻倒条件： FNA=0
解得 F Pa 2h
x
使柜翻倒的最小推力为
F
Fmin2
Pa 2b
综上所述使柜发生运动所需的最小推力为
min( Fmin1, Fmin2 )
F大于Fmax时，物体将失去平衡而滑动。即
0 Fs Fmax
(a)
(b)
理论力学课件-动力学精选全文完整版
26
总结 4.求解质点动力学问题的步骤：
（1）根据题意确定研究对象，选择恰当的坐标系； （2）分析研究对象的受力情况，作受力图； （3）分析研究对象的运动情况； （4）列出质点的动力学基本方程，然后求解；如是第二类问题，
（相对地面静止或作匀速直线平动的参考系）
(3)矢量性和瞬时性
二. 质点运动微分方程
F
ma
m
dv dt
m
d2r dt 2
6
利用合矢量投影定理 ,可以在直角坐标系, 自然坐标系及其他坐标系中建立投影方程.
1.质点运动微分方程在直角坐标系上的投影
d2x m dt 2 XFx
m
d2y dt 2
YFy
m
还需根据初始条件确定积分常数。
27
作业
• 9-2 • 9-12
28
例题：电梯以加速度a上升，在电梯地板上，放
有质量为m的重物。求重物对地板的压力。 解：取重物为研究对象
进行受力分析与运动分析。
Fy= m ay
N - mg=m a
mg
N=mg+ma=N'
（静约束力；附加动约束力）
a
讨论：若加速度方向向下 N
b
l
FT
n
r
v
τ
z
mg
m
dv dt
F
t
0
m
v2 r
F
n
FT sin 600
0 F b mg FT cos 600
FT
mg cos 600
19.6N
理论力学竞赛知识点总结
理论力学竞赛知识点总结理论力学是物理学的一个重要分支，涉及了运动学、动力学等内容。
在竞赛中涉及的理论力学知识点非常广泛，有一定的难度和深度。
在竞赛中要想取得好成绩，就需要对理论力学的知识点有一个全面的了解和掌握。
下面我将对理论力学竞赛知识点进行总结，包括运动学、动力学和其他相关内容。
一、运动学知识点1. 位移、速度、加速度的关系：在运动学中，位移、速度、加速度是最基本的概念，它们之间的关系是非常重要的。
根据位移、速度、加速度之间的关系可以推导出很多物理定律和公式，这对于理解和解决问题非常重要。
2. 直线运动和曲线运动：在运动学中，运动可以分为直线运动和曲线运动。
对于直线运动，我们可以利用一些简单的公式进行计算，但需要注意加速度的正负号；而对于曲线运动，就需要考虑曲线的曲率等因素，计算会更加复杂。
3. 相对运动：在理论力学中，相对运动是一个重要的概念。
在许多情况下，运动物体之间的相对运动会影响它们之间的相对速度和加速度，我们需要考虑这些因素来解决问题。
4. 平抛运动和斜抛运动：在竞赛中，平抛运动和斜抛运动是比较常见的问题。
对于这类问题，我们需要根据物体的初速度和角度等信息，利用运动学知识来解决问题。
5. 圆周运动：圆周运动也是运动学中的一个重要内容。
在圆周运动中，需要考虑角速度、角加速度等因素，这对于理解和解决问题非常重要。
二、动力学知识点1. 牛顿运动定律：牛顿运动定律是动力学中的基本定律，它包括了惯性定律、动力定律和作用反作用定律。
了解和掌握牛顿运动定律对于解决动力学问题非常重要。
2. 力的概念与计算：在动力学中，力是一个非常重要的概念。
了解不同类型的力，如重力、弹力、摩擦力等，以及计算它们的大小和方向是解决问题的关键。
3. 动能和动能定理：动能是动力学中的一个重要概念，它与物体的质量和速度有关。
运用动能定理可以推导出一些重要的物理定律，如动量定理等。
4. 动量和冲量：动量和冲量是动力学中非常重要的物理量，它们与物体的质量和速度有关。
十四届周培源力学竞赛题解
十四届周培源力学竞赛题解摘要：一、引言二、周培源力学竞赛简介三、竞赛题目及解题思路1.题目一：静力学问题2.题目二：动力学问题3.题目三：弹性力学问题4.题目四：流体力学问题四、总结与展望正文：【引言】周培源力学竞赛是我国一项具有重要影响力的力学竞赛，旨在选拔优秀的学生，培养他们的力学素养和实际问题解决能力。
本文将针对十四届周培源力学竞赛的题目进行解答和分析，以期为广大力学爱好者提供参考。
【周培源力学竞赛简介】周培源力学竞赛自创办以来，已经成功举办了多次。
该竞赛涵盖了力学的各个领域，包括静力学、动力学、弹性力学和流体力学等。
竞赛题目注重理论联系实际，既有基本的力学知识应用，也有前沿的力学问题。
参加这个竞赛不仅能提高自己的力学水平，还能拓宽视野，了解力学的最新发展动态。
【竞赛题目及解题思路】以下是针对十四届周培源力学竞赛的四道题目的解答和分析。
【题目一：静力学问题】题目描述：一个均匀圆盘静止在水平地面上，圆盘半径为R，质量为M。
在圆盘中心有一个固定不动的垂直轴，轴的质量为m。
轴上有一个滑块，滑块的质量为m1，最大静摩擦力为fmax。
滑块可以在轴上自由滑动。
现用手施加一水平力F使圆盘逆时针旋转，求圆盘转过的角度与水平力F的关系。
解题思路：首先分析系统的受力情况，然后利用静力平衡方程求解。
【题目二：动力学问题】题目描述：一质点在一水平面上做匀加速直线运动，加速度为a。
质点先后与两个静止的相同弹簧相连，弹簧的劲度系数为k。
质点与第一个弹簧相连后，弹簧伸长量为x1；与第二个弹簧相连后，弹簧伸长量为x2。
求质点在两个弹簧串联后的运动方程。
解题思路：根据弹簧的伸长量，利用胡克定律求解弹簧的弹力，然后结合牛顿第二定律求解质点的运动方程。
【题目三：弹性力学问题】题目描述：一长为L的细杆两端固定，杆的弹性模量为E，横截面积为A。
杆的中点受到一个垂直于杆的力F作用，求杆的弯曲形变和弯矩。
解题思路：利用杆的弯曲方程和弯矩公式，结合受力分析求解。
理论力学第10讲动力学
2
d d
1 d
2
2 d
（3）
则式(1)化成
1 d
2 d
g l
sin
M0 at
对上式采用定积分,把初条件作为积分下限，有
从而得
2 d ( )
0
0
(
2g l
sin )d
动力学
质点系动力学
质
点——具有一定质量但可以忽略其尺寸大小的物体。
质点系——一群具有某种联系的质点，刚体可以看成不变形的质点系。 第一章 质点动力学基础
绪论
动 力 学
第一章
质点动力学基础
第一章 质点动力学基础
动
第 一 章
力
学
§1-1 动力学的基本定律
§1-2 质点运动微分方程
质 点 动 力 学 基 础
第一章 质点动力学基础
§1-2 质点运动微分方程
矢量形式 直角坐标形式 自然形式
第一章 质点动力学基础
§1-2 质点运动微分方程
一、矢量形式
z
M
设有可以自由运动的质点 M，质
量是 m，作用力的合力是 F，加速 度是 a 。
m d r dt
2 2
r O x
F a y
F
(1 2)
这就是质点运动微分方程的矢量形式。
第一定律说明了任何物体都具有惯性。
第二定律 力与加速度关系定律 质点因受力作用而产生的加速度,其方向与力相同，其大小与力成正比 而与质量成反比。
F = ma
(1–1)
第二定律说明了物体机械运动状态的改变，不仅决定于作用于物体的
第十二届(2019)周培源力学竞赛理论力学部分全部题按华科教材的动静法套路的解答
2019周培源力学知识竞赛理论力学试题与解答（动静法方法）(个人解答，仅供本课堂学生参考)【思路】按教材如何选动力学分析方法的判据，该题为多个自由度系统，优选动静法。
按教材动静法的范式流程，建立任意k i ω31ωω+=，k j i ε321εεε++=求解结果的表达式，然后应用第（2）（3）问的条件。
只是空间问题，只是刚体上任意2点M 和A 的速度和加速度关系式分别为教材式（6.9）和（6.11）空间矢量形式。
AM A AM A M r ωv v v v ⨯+=+=；t MA n MA A M a a a a ++=；其中)(AM MA n MA r ωωv ωa ⨯⨯=⨯=，MA t MA r αa ⨯=。
下面按教材动静法的范式流程，按部就班走下去即可。
第1问：自由度=7.按教材计算自由度的方法1:对于完整系统，需要7个独立坐标（广义坐标）确定系统的位形，其中球6个+质点1个，独立坐标数就是自由数。
也可按教材方法2:9个独立动力学方程，质点有2个独立的限制位移的约束反力。
若是非完整系统，给定的一个加速度视为一个二阶非完整约束，那么，按非完整系统计算自由度的方法，自由度就是7个广义坐标减去1个非完整约束=6。
但该题是完整系统。
故DOF=7.第2和3问：【解法1：空间动力学直接动静法】二求加速度问题设k i ω31ωω+=（该题第2和第3问具有此通式），k j i ε321εεε++=。
根据题意有i i a j v i r r -=-====r v r n r r OA 2,,（a1)1）按教材动静法流程，惯性力简化后（未给出）。
2）确定至少所需列的动力学方程数目KK=7个自由度-1个已知相对切向（0=t r a ）=6个3）静力学列6个方程的流程：原则：尽量不引入不待求未知力（该题是A 与滑道的作用力）。
具体方法：先整体，再局部。
A ωε1A【整体】空间平衡问题，正好可列6个方程。
因此A O O A M m M m a a a a -=⇒=+0(1)【相当于列了3个方程，还差3个】根据教材静力学空间问题总结的方法，对于空间平衡问题处，一般对轴取矩，不对点取矩，只能对过一点不超过3根轴取矩。
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l m 2
此瞬时系统的质量相对直线对称分布，系统的质心与杆的质心重 合。此时系统的动量是否等于总质量与点的速度乘积 （即 p 3mv 3ml ）？为什么？
x 3
基本概念—动量
计算图示系统的动量
p p1 p2e 同
I
A
T
1 2 Mv c Tr 2
I 5 9I 37 I 2 2 vc1 , J C mL , , T 2m 12 5mL 40m
基本概念—功
a）图中轮子在FT作用下纯滚动S距离； b）图中轮子由细绳缠绕下滑S距离。
求： FT 做的功。
方法1：根据元功的定义 图 a） ： 图b）：
圆轮受力如图
根据 T T 0 两边对t求导 比较系数
Fs mgf
vC r
W
1 1 2 2 J C mv C Fs Fs ( s s' ) 2 2
J C mvC aC FvC Fs (vC r )
J C Fs r m aC F Fs
W FT vAdt
T
A 2vC WF 2FT s
A 0
WFT 0
方法2：根据力系等效，将FT平移至轮心， 附加一力偶
s 图a）： WFT FT s FT r r s 图b）：WFT - FT s FT r 0 r
基本概念—功 圆轮向前滑滚，摩擦力参与做功，此种情况下动能定理与动量 定理、动量矩定理可互换。
I F I p mvb mva 2mvb
注意：I是恒与力F相一致的矢量。
IF （ 2m vb） (G
2
R
v
)2
mv2n mv 1n Fn dt
t1
t2
mv2 mv 对否？ 1 F dt t
1
t2
矢量等式只有向同一坐标轴投影才对！上两式左右两边对应不同的坐标系。
杆 O1 A ： 杆AB： 杆 O2 B ： 系统动量：
l v1 2
v3 v A l px3 mv3 lm
1 l v2 v A 2 2
p x 2 mv 2
l p x1 mv1 m 2
p x p x1 p x 2 p x3 2ml
1 M x FRy OB M gox Fgoy OB FAy AB
1 M y FRx OA M goy FgoxOA FBx AB 1 M x FRy OA M gox Fgoy OA FBy AB
Py P 1P 2 e cos
p
2 2 px py
一惯性参考系计算!
基本概念—冲量 冲量 I F dt
t1 t2
e e m v m v I i 2i i i1 i p2 p1 I R
如图a所示，质量为m的质点做匀速圆锥摆运动，
计算张力F在半周期内的冲量。
基本概念—惯性积、惯性主轴
设有绕固定轴Oz转动的刚体，在任意
瞬时的角速度是ω，角加速度是α 。取如图
所示固定坐标系Oxyz。
x
FR、Mo为主动力系的主矢和主矩， Fgo、 Mgo惯性力系对点O的主矢和主矩。
根据达朗贝尔定理，列出动态平衡方程，有
F F
x
0, FAx FBx FR x Fgox 0
力学竞赛辅导
（动力学部分）
试题范围（基本部分）
(1) 掌握建立质点的运动微分方程的方法。了解两类动力学基本问题的求 解方法。 (2) 掌握刚体转动惯量的计算。了解刚体惯性积和惯性主轴的概念。 (3) 能熟练计算质点系与刚体的动量、动量矩和动能；并能熟练计算力的
冲量（矩），力的功和势能。
(4) 掌握动力学普遍定理(包括动量定理、质心运动定理、对固定点和质心 的动量矩定理、动能定理)及相应的守恒定理，并会综合应用。
y
0, FAy FBy FR y Fgoy 0
F
z
0, FBz FR z 0
M (F ) 0, M x (FAy ) M y (FBy ) M ox M gox 0
x
M (F ) 0, M (F ) 0,
y
z
M y (FAx ) M y (FBx ) M oy M goy 0
(5) 掌握建立刚体平面运动动力学方程的方法。了解其两类动力学基本问
题的求解方法。 (6) 掌握达朗贝尔惯性力的概念，掌握平面运动刚体达朗贝尔惯性力系的 简化。掌握质点系达朗贝尔原理(动静法) ，并会综合应用。了解定轴转动 刚体静平衡与动平衡的概念。
试题范围（专题部分）
(一) 虚位移原理 掌握虚位移、虚功的概念；掌握质点系的自由度、广义坐 标的概念；会应用质点系虚位移原理。
M oz M goz 0
由前五个式子即可求得定轴转动刚体轴承处的反力。该反力由两部分组成： 一部分为主动力系所引起的静反力；另一部分是由转动刚体的惯性力系所 引起的附加反动力。与此对应，轴承所受的压力也可分为静压力和附加动 压力。
1 M y FRxOB M goy FgoxOB 解得 FAx AB
(二) 碰撞问题 (1) 掌握碰撞问题的特征及其简化条件。掌握恢复因数概念 (2) 会求解两物体对心碰撞以及定轴转动刚体和平面运动刚 体的碰撞问题。
基本概念—质心速度
如图11-2所示的四杆机构中，各均质杆质量均为， 杆与杆长度均为。图示瞬时，杆角速度为，且与杆 平行。试求此时系统的动量。(P210)
基本概念—动能
• 柯尼西定理
1 2 T Mv c Tr 2
B
已知长为l,质量为m的匀质杆AB、BC在B点刚性 连接后成直角尺，放置在光滑水平面上。在A端作 用一与AB垂直的水平冲量I后，计算直角杆的动能。
C
动量定理 动量矩定理 柯尼西定理
mvc1 mvc 0 I
Jcc1 Jcc0 Mc ( I e )