高中数学 2.4.1《函数的零点》同步练习新人教B版必修1

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数学人教B全国通用版必修一学案：第2章 2.4 2.4.1 函数的零点 Word版含答案

2.4函数与方程2.4.1函数的零点学习目标：1.理解函数零点的概念．(重点)2.会求一次函数、二次函数的零点．(重点)3.初步了解函数的零点、方程的根、函数图象与x轴交点的横坐标之间的关系．(重点、难点)[自主预习·探新知]函数的零点1．定义如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即f(α)＝0，则α叫做这个函数的零点．2．性质(1)当函数图象通过零点且穿过x轴时，函数值变号．(2)两个零点把x轴分为三个区间，在每个区间上所有函数值保持同号．思考：怎样判断函数零点的个数？[提示](1)转化为解方程，有几个根就有几个零点．(2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，进而判定零点的个数．(3)结合单调性，利用f(a)·f(b)<0，可判定y＝f(x)在(a，b)上至少有一个零点．(4)转化为两个函数图象的交点个数问题．[基础自测]1．思考辨析(1)所有的函数都有零点．()(2)若方程f(x)＝0有两个不等实根x1，x2，则函数y＝f(x)的零点为(x1,0)，(x2,0)．()(3)f (x )＝x －1x 只有一个零点．( )[解析] (1)× 例如y ＝x －2这个函数不存在零点．(2)× 由函数零点的定义可知，函数y ＝f (x )的零点为x 1，x 2，它是实数，不是点．(3)× 由f (x )＝0得x －1x ＝0，解得x 1＝1或x 2＝－1，所以函数f (x )＝x －1x 有两个零点．[答案] (1)× (2)× (3)×2．函数f (x )＝x 2－3x －4的零点是( )A ．1，－4B ．4，－1C ．1,3D ．不存在B [令x 2－3x －4＝0，解得x ＝4或－1，∴零点为4，－1，故选B.]3．函数y ＝2x －1的图象与x 轴交点坐标及零点分别是( )A ．12，12B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12C ．－12，－12D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，－12 B [令y ＝2x －1＝0，∴x ＝12，∴与x 轴的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，零点为12，故选B.]4．已知函数f (x )＝ax 2－bx ＋1的零点为－12，13，则a ＝________，b ＝________. －6 1 [由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ －12＋13＝b a ，－12×13＝1a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6b ＝1.] [合作探究·攻重难](1)f (x )＝ax ＋1(a ∈R )；(2)f (x )＝x 2－x －6；(3)f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≥0，x －1，x <0. [解] (1)令f (x )＝0，即ax ＋1＝0. 当a ＝0时，1＝0不成立，故方程无实根，即函数无零点；当a ≠0时，方程有唯一根x ＝－1a ，故函数有唯一零点x ＝－1a .(2)法一：(代数法)令f (x )＝0，即x 2－x －6＝0，∵Δ＝(－1)2－4×1×(－6)＝25>0，∴方程x 2－x －6＝0有两个不相等的实数根x 1＝－2，x 2＝3，∴函数f (x )＝x 2－x －6的零点是x 1＝－2，x 2＝3.法二：(代数法)由x 2－x －6＝(x －3)(x ＋2)＝0，得x 1＝－2，x 2＝3，∴函数f (x )的零点是x 1＝－2，x 2＝3.(3)法一：(代数法)由x ＋1＝0知x ＝－1，但－1∉[0，＋∞)，故当x ≥0时，函数f (x )无零点；由x －1＝0知x ＝1，但1∉(－∞，0)．故当x <0时，函数f (x )无零点．综上，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1，x ≥0，x －1，x <0没有零点．法二：(几何法)画出函数y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，x －1，x <0的图象，如图所示．∵函数图象与x 轴没有交点，∴函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，x －1，x <0没有零点． [规律方法] 求函数零点的两种方法(1)代数法：求方程f (x )＝0的实数根．(2)几何法：对于不易求根的方程f (x )＝0，可以将它与函数y ＝f (x )的图象联系起来，图象与x 轴的交点的横坐标即为函数的零点．[跟踪训练]1．函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是________.0，－12 [∵函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，∴2a ＋b ＝0，即b ＝－2a ，∴g (x )＝bx 2－ax ＝－2ax 2－ax ＝－ax (2x ＋1)，∵－ax (2x ＋1)＝0，即x ＝0或x ＝－12，∴函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是0，－12.](1)f (x )＝x 2－7x ＋12；(2)f (x )＝x 2－1x .[思路探究] (1)中f (x )为一元二次函数，解答本题可判断对应的一元二次方程的根的个数；(2)中函数零点可用解方程法转化为两个熟知的基本初等函数求图象交点个数．[解](1)由f(x)＝0，即x2－7x＋12＝0，得Δ＝49－4×12＝1>0，∴方程x2－7x＋12＝0有两个不相等的实数根3,4.∴函数f(x)有两个零点．(2)法一：(几何法)由x2－1x＝0，得x2＝1x.令h(x)＝x2(x≠0)，g(x)＝1 x.在同一坐标系中画出h(x)和g(x)的图象，如图所示，两函数图象只有一个交点，故函数f(x)＝x2－1x只有一个零点．法二：(代数法)令f(x)＝0，即x2－1x＝0.∵x≠0，∴x3－1＝0.∴(x－1)(x2＋x＋1)＝0.∴x＝1或x2＋x＋1＝0.∵方程x2＋x＋1＝0的根的判别式Δ＝12－4＝－3<0，∴方程x2＋x＋1＝0无实数根．∴函数f(x)只有一个零点．[规律方法]判断函数零点个数的三种方法(1)利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点．(2)画出y＝f(x)的图象，判断它与x轴交点的个数，从而判断零点的个数．(3)转化为两个函数图象交点问题．例如，函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点个数就是方程f(x)＝g(x)的实数根的个数，也就是函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象交点的个数．[跟踪训练]2．判断函数y＝x3－3x2－2x＋6的零点个数．[解]y＝x3－3x2－2x＋6＝x2(x－3)－2(x－3)＝(x2－2)(x－3)，令y＝0，则x＝±2或x＝3，显然有三个零点．[探究问题]1．设F(x)＝f(x)－g(x)，则F(x)的零点与函数y＝f(x)与y＝g(x)有何关系？提示：F(x)的零点是函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象的交点的横坐标．2．若函数f(x)＝x2－2x＋a有零点，则实数a的取值范围是什么？提示：若函数f(x)＝x2－2x＋a有零点，则方程x2－2x＋a＝0有根．故Δ＝(－2)2－4a≥0，故a≤1.已知函数f(x)＝|x2－2x－3|－a，求实数a取何值时函数f(x)＝|x2－2x－3|－a，(1)有两个零点；(2)有三个零点．[解]令h(x)＝|x2－2x－3|和g(x)＝a，分别作出这两个函数的图象如图所示，它们交点的个数即函数f(x)＝|x2－2x－3|－a的零点个数．(1)若函数有两个零点，则a＝0或a>4.(2)若函数有三个零点，则a＝4.[规律方法]已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.[跟踪训练]3．若函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1,1)上存在一个零点，则a 的取值范围是( )A ．a >15B ．a >15或a <－1C ．－1<a <15D ．a <－1B [根据函数零点的性质，f (1)，f (－1)一正一负，f (1)＝a ＋1，f (－1)＝－5a ＋1所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1>0－5a ＋1<0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋－5a ＋1>0，解得a >15或a <－1.][当堂达标·固双基]1．函数y ＝2x －4的零点是( )A ．2B ．(2,0)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0D ．12 A [由2x －4＝0，得x ＝2，即函数y ＝2x －4的零点是2.]2．函数f (x )＝x 2＋x ＋3的零点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3A [因为Δ＝12－4×3＝－11<0，二次函数图象与x 轴不相交，因此没有零点．]3．已知函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，其零点为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＝________.0 [由奇函数的对称性知：若f (x 1)＝0，则f (－x 1)＝0，即零点关于原点对称，且f (0)＝0，故x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＝0.]4．若函数f (x )＝ax 2－x －1只有一个零点，则实数a ＝________.0或－14 [(1)当a ＝0时，函数为y ＝－x －1，显然该函数的图象与x 轴只有一个交点，即函数只有一个零点．(2)当a ≠0时，函数y ＝ax 2－x －1是二次函数．因为y ＝ax 2－x －1只有一个零点，所以关于x 的方程ax 2－x －1＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝0，即1＋4a ＝0，解得a ＝－14.]5．若方程x 2＋(k －2)x ＋2k －1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求k 的取值范围．[解] 设f (x )＝x 2＋(k －2)x ＋2k －1.∵方程f (x )＝0的两根中，一根在(0,1)内，一根在(1,2)内，∴⎩⎨⎧ f (0)f (1)f (2)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2k －1＋k －2＋2k －4＋2k －4＋2k －1>0∴12<k <23.。

数学新学案同步必修一人教B版全国通用版讲义：第2章函数2.4.1 Word版含答案

§2.4函数与方程2.4.1函数的零点学习目标 1.理解函数零点的概念.2.会求一次函数、二次函数的零点.3.初步了解函数的零点、方程的根、函数图象与x轴交点的横坐标之间的关系．知识点函数零点的概念思考1函数的“零点”是一个点吗？答案不是，函数的“零点”是一个数，一个使f(x)＝0的实数x.实际上是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．思考2函数一定都有零点吗？答案不一定．只有函数的图象与x轴有公共点时，才有零点．梳理 1.函数的零点如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即f(α)＝0，则α叫做这个函数的零点．2．方程、函数、图象之间的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．3．二次函数的零点与相应一元二次方程根的关系1．f (x )＝x 2的零点是0.( √ ) 2．函数的零点是一个点．( × )类型一求函数的零点例1 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． (1)f (x )＝－8x 2＋7x ＋1；(2)f (x )＝x 2＋4x －12x －2.解 (1)存在．因为f (x )＝－8x 2＋7x ＋1 ＝(8x ＋1)(－x ＋1)，所以方程－8x 2＋7x ＋1＝0有两个实根－18和1，即函数f (x )＝－8x 2＋7x ＋1的零点是－18和1.(2)存在．令f (x )＝0，即x 2＋4x －12x －2＝0，解方程得x ＝－6(x ＝2舍去)，所以函数f (x )＝x 2＋4x －12x －2的零点是－6.反思与感悟求函数零点的两种方法 (1)代数法：求方程f (x )＝0的实数根．(2)几何法：对于不易求根的方程f (x )＝0，可以将它与函数y ＝f (x )的图象联系起来，图象与x 轴的交点的横坐标即为函数的零点．跟踪训练1 求下列函数的零点． (1)f (x )＝x 2－1x ；(2)y ＝(ax －1)(x ＋2)．解 (1)∵f (x )＝x 2－1x ，∴x ≠0.令f (x )＝0，即x 3－1＝0，∴x ＝1， ∴f (x )＝x 2－1x的零点为1.(2)①当a ＝0时，令y ＝0得x ＝－2. ②当a ≠0时，令y ＝0得x ＝1a 或x ＝－2.(ⅰ)当a ＝－12时，函数的零点为－2；(ⅱ)当a ≠－12时，函数的零点为1a ，－2.综上所述：当a ＝0或－12时，零点为－2；当a ≠0且a ≠－12时，零点为1a ，－2.类型二函数零点个数的判断例2 已知函数f (x )＝|x 2－2x －3|－a ，求实数a 取何值时函数f (x )＝|x 2－2x －3|－a ，(1)有两个零点；(2)有三个零点．解令h (x )＝|x 2－2x －3|和g (x )＝a ，分别作出这两个函数的图象如图所示，它们交点的个数即函数f (x )＝|x 2－2x －3|－a 的零点个数． (1)若函数有两个零点，则a ＝0或a ＞4. (2)若函数有三个零点，则a ＝4.引申探究若f (x )＝x 2－2|x |＋a －1有四个不同的零点，求a 的取值范围．解令f (x )＝0，得a －1＝2|x |－x 2. 令y 1＝a －1，y 2＝2|x |－x 2.∵f (x )＝x 2－2|x |＋a －1有四个不同的零点，∴y 1＝a －1，y 2＝2|x |－x 2的图象有四个不同的交点．画出函数y＝2|x|－x2的图象，如图所示．观察图象可知，0＜a－1＜1，所以1＜a＜2.反思与感悟判断函数零点个数的三种方法(1)利用方程的根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点．(2)利用函数的图象．画出y＝f(x)的图象，判断它与x轴交点的个数，从而判断零点的个数．(3)转化为两个函数图象交点问题．例如，函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点个数就是方程f(x)＝g(x)的实数根的个数，也就是函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象交点的个数．跟踪训练2已知a∈R，讨论关于x的方程|x2－6x＋8|＝a的实数解的个数．解令f(x)＝|x2－6x＋8|，在平面直角坐标系中画出f(x)的图象，如图所示，下面对a进行分类讨论，由图象得，当a<0时，原方程无实数解；当a＝1时，原方程实数解的个数为3；当0<a<1时，原方程实数解的个数为4；当a>1或a＝0时，原方程实数解的个数为2.类型三函数零点性质的应用例3已知关于x的二次方程ax2－2(a＋1)x＋a－1＝0有两个根，且一个根大于2，另一个根小于2，试求实数a的取值范围．解令f(x)＝ax2－2(a＋1)x＋a－1，依题意知，函数f(x)有两个零点，且一个零点大于2，一个零点小于2.∴f(x)的大致图象如图所示：则a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，f (2)＜0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，f (2)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，4a －4(a ＋1)＋a －1＜0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，4a －4(a ＋1)＋a －1＞0，解得0＜a ＜5， ∴a 的取值范围为(0,5)．反思与感悟解决函数零点性质的应用问题可设出方程对应的函数，根据函数的零点所在的区间分析区间端点函数值的符号，建立不等式，使问题得解．当函数解析式中含有参数时，要注意分类讨论．跟踪训练3 已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0.若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的取值范围．解由已知抛物线f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1的图象与x 轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，画出示意图，得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝2m ＋1＜0，f (－1)＝2＞0，f (1)＝4m ＋2＜0，f (2)＝6m ＋5＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＜－12，m ∈R ，m ＜－12，m ＞－56，∴－56＜m ＜－12，故m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－56，－12.1．下列各图象表示的函数中没有零点的是()答案 D2．函数y ＝x 2－4的图象与x 轴的交点坐标及其函数的零点分别是( ) A ．(0，±2)；±2 B ．(±2,0)；±2 C ．(0，－2)；－2 D ．(－2,0)；2答案 B解析令x 2－4＝0，得x ＝±2，故交点坐标为(±2,0)，所以函数的零点为±2. 3．如果二次函数y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点，则m 的取值范围是( ) A ．(－2,6) B ．[－2,6]C ．(－∞，－2)∪(6，＋∞)D ．{－2,6} 答案 C解析由题意，得Δ＝m 2－4(m ＋3)＞0，即m 2－4m －12＞0，由二次函数的图象(图略)知m＞6或m ＜－2.4．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的零点是2和－4，则a ＝________，b ＝________. 答案 2 －8解析 ∵2，－4是函数f (x )的零点， ∴f (2)＝0，f (－4)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝－4，－4a ＋b ＝－16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－8.5．若f (x )＝ax －b (b ≠0)有一个零点是3，则函数g (x )＝bx 2＋3ax 的零点是________．答案 0，－1解析 ∵3是f (x )＝ax －b 的一个零点， ∴3a －b ＝0，即b ＝3a .∴g (x )＝bx 2＋3ax ＝3ax 2＋3ax ＝3ax (x ＋1)， ∴g (x )的零点是0，－1.1．函数的零点实质上是函数图象与x 轴交点的横坐标，方程f (x )＝g (x )的根是函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象交点的横坐标，也是函数y ＝f (x )－g (x )的零点．2．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础．一、选择题1．下列图象表示的函数中没有零点的是( )答案 A解析 B ，C ，D 的图象均与x 轴有交点，故函数均有零点，A 的图象与x 轴没有交点，故函数没有零点．2．函数y ＝x 2－bx ＋1有一个零点，则b 的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．3答案 C解析因为函数有一个零点，所以Δ＝b 2－4＝0，所以b ＝±2.3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ＋4)，x ＜0，x (x －4)，x ≥0，则函数f (x )的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C解析当x ＜0时，x (x ＋4)＝0的解为x ＝－4；当x ≥0时，x (x －4)＝0的解为x ＝0或x ＝4.故f (x )有3个零点．4．下列说法中正确的个数是( ) ①f (x )＝x ＋1，x ∈[－2,0]的零点为(－1,0)； ②f (x )＝x ＋1，x ∈[－2,0]的零点为－1；③y ＝f (x )的零点，即y ＝f (x )的图象与x 轴的交点； ④y ＝f (x )的零点，即y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析根据函数零点的定义，f (x )＝x ＋1，x ∈[－2,0]的零点为－1，也就是函数y ＝f (x )的零点，即y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标．因此，只有说法②④正确，故选B. 5．若函数f (x )＝x ＋ax (a ∈R )在区间(1,2)上有零点，则a 的值可能是( )A ．－2B ．－1C ．0D ．3 答案 A解析 f (x )＝x ＋a x 在(1,2)上有零点，即方程x ＋ax ＝0，亦即x 2＝－a 在(1,2)上有根．∴－4＜a＜－1，故选A.6．若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (1)＝0，且a >b >c ，则该函数的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．0 D ．不能确定答案 B解析由f (1)＝0，得a ＋b ＋c ＝0，又a >b >c ，∴a >0，c <0，∴Δ＝b 2－4ac >0.故方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个实数根，所以函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 有两个零点．二、填空题7．函数f (x )＝(x －1)(x 2＋3x －10)的零点有________个．答案 3解析 ∵f (x )＝(x －1)(x 2＋3x －10) ＝(x －1)(x ＋5)(x －2)，∴由f (x )＝0得x ＝－5或x ＝1或x ＝2.8．若函数f (x )＝2x 2－ax ＋3有一个零点为32，则f (1)＝________.答案 0解析因为函数f (x )＝2x 2－ax ＋3有一个零点为32，所以32是方程2x 2－ax ＋3＝0的一个根，则2×94－32a ＋3＝0，解得a ＝5，所以f (x )＝2x 2－5x ＋3，则f (1)＝2－5＋3＝0. 9．若f (x )＝x ＋b 的零点在区间(0,1)内，则b 的取值范围为________．答案 (－1,0)解析 ∵f (x )＝x ＋b 是增函数，又f (x )＝x ＋b 的零点在区间(0,1)内，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)＜0，f (1)＞0.∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＜0，1＋b ＞0.∴－1＜b ＜0. 10．二次函数y ＝x 2－2ax ＋a －1有一个零点大于1，一个零点小于1，则实数a 的取值范围是________．答案 (0，＋∞)解析由于二次函数图象开口向上，则只需f (1)＜0，即－a ＜0，∴a ＞0. 三、解答题11．已知函数f (x )＝x 2－bx ＋3. (1)若f (0)＝f (4)，求函数f (x )的零点；(2)若函数f (x )一个零点大于1，另一个零点小于1，求b 的取值范围．解 (1)由f (0)＝f (4)得3＝16－4b ＋3，即b ＝4，所以f (x )＝x 2－4x ＋3，令f (x )＝0，即x 2－4x ＋3＝0得x 1＝3，x 2＝1. 所以f (x )的零点是1和3.(2)因为f (x )的零点一个大于1，另一个小于1，如图．需f (1)＜0，即1－b ＋3＜0，所以b ＞4. 故b 的取值范围为(4，＋∞)．12．已知关于x 的函数y ＝(m ＋6)x 2＋2(m －1)x ＋m ＋1恒有零点． (1)求m 的范围；(2)若函数有两个不同零点，且其倒数之和为－4，求m 的值．解 (1)当m ＋6＝0，即m ＝－6时，函数为y ＝－14x －5显然有零点；当m ＋6≠0，即m ≠－6时，由Δ＝4(m －1)2－4(m ＋6)(m ＋1) ＝－36m －20≥0，得m ≤－59.∴当m ≤－59且m ≠－6时，二次函数有零点．综上，m ≤－59.故m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－59. (2)设x 1，x 2是函数的两个零点，则有 x 1＋x 2＝－2(m －1)m ＋6，x 1x 2＝m ＋1m ＋6.∵1x 1＋1x 2＝－4，即x 1＋x 2x 1x 2＝－4， ∴－2(m －1)m ＋1＝－4，解得m ＝－3.且当m ＝－3时，m ＋6≠0，Δ＞0符合题意，∴m 的值为－3.13．关于x 的方程x 2－2x ＋a ＝0.求a 为何值时：(1)方程一根大于1，一根小于1；(2)方程一个根在(－1,1)内，另一个根在(2,3)内；(3)方程的两个根都大于零？解 (1)结合图象知，当方程一根大于1，一根小于1时，f (1)<0.由f (1)<0，得1－2＋a <0，所以a <1.(2)由方程一个根在区间(－1,1)内，另一个根在区间(2,3)内，得⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)>0，f (1)<0，f (2)<0，f (3)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋a >0，1－2＋a <0，4－4＋a <0，9－6＋a >0，解得－3<a <0. (3)由方程的两个根都大于零，得⎩⎨⎧ Δ＝4－4a >0，－－22>0，f (0)>0，解得0<a <1. 四、探究与拓展 14．函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B 解析函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数⇔方程|log 0.5x |＝12x ＝⎝⎛⎭⎫12x 的根的个数⇔函数y 1＝|log 0.5x |与y 2＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象的交点个数．作出两个函数的图象如图所示，由图可知两个函数图象有两个交点，故选B.15．已知函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在[－1,1]上存在零点x 0，且x 0≠±1，求实数a 的取值范围．解当a ＝0时，函数f (x )＝1，不合题意；当a ≠0时，函数f (x )的图象是一条直线．依题意，有f (1)·f (－1)＜0⇔(a ＋1)(－5a ＋1)＜0⇔(a ＋1)(5a －1)＞0⇔a ＜－1或a ＞15. 综上可知，实数a 的取值范围为(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫15，＋∞.。

高中数学 2.4.1 函数的零点活页练习新人教B版必修1

【创新设计】-高中数学 2.4.1 函数的零点活页练习新人教B 版必修1双基达标限时20分钟 1．函数f (x )＝2x 2－3x ＋1的零点是( )．A ．－12，－1B.12，1C.12，－1 D ．－12，1解析方程2x 2－3x ＋1＝0的根为x 1＝1，x 2＝12.答案 B2．函数f (x )＝x 3－2x 2＋2x 的零点个数为 ( )．A ．0B ．1C ．2D ．3解析令f (x )＝0即x 3－2x 2＋2x ＝0，得x (x 2－2x ＋2)＝0 ∵x 2－2x ＋2＝0无解， ∴x ＝0，零点为0. 答案 B3．函数y ＝x 2－bx ＋1有一个零点，则b 的值为 ( )．A ．2B ．－2C ．±2D ．不存在解析由Δ＝b 2－4＝0得b ＝±2. 答案 C4．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的零点是2和－4，则a ＝________，b ＝________. 解析 2和－4是方程x 2＋ax ＋b ＝0的根， ∴a ＝2，b ＝－8. 答案 2 －85．已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有________个零点，这几个零点的和等于________．解析由题意知f (－2)＝0，∴f (2)＝0，又f (x )是奇函数，∴f (0)＝0. 又f (x )在(0，＋∞)上是增函数， ∴零点有三个分别为－2,0,2.答案 3 06．已知函数f (x )＝2(m －1)x 2－4mx ＋2m －1. (1)m 为何值时，函数的图象与x 轴有两个交点； (2)如果函数的一个零点在原点，求m 的值．解 (1)函数图象与x 轴有两个交点，则：⎩⎪⎨⎪⎧m －1≠0Δ＝4m2－4×2m －12m －1>0，解得：m >13且m ≠1.(2)0是函数的一个零点，∴f (0)＝0， ∴2m －1＝0，∴m ＝12.综合提高限时25分钟7．若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)满足f (1)＝0，且a >b >c ，则该函数的零点个数为( )．A ．1B ．2C ．0D ．不能确定解析 f (1)＝a ＋b ＋c ＝0，又a >b >c ， ∴a >0，c <0， ∴Δ＝b 2－4ac >0，即函数的零点有2个．答案 B8．若函数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)有一个零点为2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( )．A ．0，－12B ．0，12C ．0,2D ．2，－12解析由f (2)＝0，即2a ＋b ＝0，得b ＝－2a ， ∴g (x )＝－2ax 2－ax ＝－ax (2x ＋1)，令g (x )＝0，得x 1＝0，x 2＝－12.答案 A9．二次函数y ＝x 2－2ax ＋a －1有一个零点大于1，一个零点小于1，则实数a 的取值范围是________．解析由于二次函数图象开口向上，则只需f (1)<0. 即－a <0，∴a >0. 答案 (0，＋∞)10．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0－2＋x 2，x >0的零点为________．解析令x 2＋2x －3＝0，得：x 1＝1，x 2＝－3，又x ≤0，∴x ＝－3是函数的一个零点，由－2＋x 2＝0得x ＝± 2.又x >0，∴x ＝2为函数的零点．答案－3， 211．已知关于x 的函数y ＝(m ＋6)x 2＋2(m －1)x ＋m ＋1恒有零点． (1)求m 的范围；(2)若函数有两个不同零点，且其倒数之和为－4，求m 的值．解 (1)当m ＋6＝0时，函数为y ＝－14x －5显然有零点；当m ＋6≠0时，由Δ＝4(m －1)2－4(m ＋6)(m ＋1) ＝－36m －20≥0，得m ≤－59.∴当m ≤－59且m ≠－6时，二次函数有零点．综上，m ≤－59.(2)设x 1、x 2是函数的两个零点，则有x 1＋x 2＝－2m －1m ＋6，x 1x 2＝m ＋1m ＋6.∵1x 1＋1x 2＝－4，即x 1＋x 2x 1x 2＝－4， ∴－2m －1m ＋1＝－4，解得m ＝－3.且当m ＝－3时，m ＋6≠0，Δ>0符合题意，∴m 的值为－3.12．(创新拓展)已知函数f (x )＝x 3－4x ，(1)求函数的零点并画出函数的草图； (2)解不等式xf (x )<0.解 (1)因为x 3－4x ＝x (x －2)(x ＋2)，所以所给函数的零点为0，－2,2， 3个零点把x 轴分成4个区间：(－∞，－2]，(－2,0]，(0,2]，(2，＋∞)，由于f (－3)＝－15，f (－1)＝3，f (1)＝－3，f (3)＝15.相邻两个零点之间的所有函数值保持同号，函数的草图如图所示．(2)不等式xf (x )<0同解于⎩⎪⎨⎪⎧x >0f x <0或⎩⎪⎨⎪⎧x <0f x >0，结合函数图象得不等式的解集为(0,2)∪(－2,0)．。

高中数学 2.4.1函数的零点基础过关训练新人教B版必修

§2.4 函数与方程2．4.1 函数的零点一、基础过关1．函数f (x )＝x －4x 的零点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．无数个2．若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法正确的是( )A ．若f (a )f (b )>0，不存在实数c ∈(a ，b )使得f (c )＝0B ．若f (a )f (b )<0，存在且只存在一个实数c ∈(a ，b )使得f (c )＝0C ．若f (a )f (b )>0，有可能存在实数c ∈(a ，b )使得f (c )＝0D ．若f (a )f (b )<0，有可能不存在实数c ∈(a ，b )使得f (c )＝03．若函数f (x )＝mx 2＋8mx ＋21，当f (x )<0时，－7<x <－1，则实数m 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 4．已知f (x )是定义域为R 的奇函数，且在(0，＋∞)内的零点有1 003个，则f (x )的零点个数为( )A ．1 003B ．1 004C ．2 006D ．2 007 5．若函数y ＝mx 2－6x ＋2的图象与x 轴只有一个公共点，则m ＝________.6．已知一次函数f (x )＝2mx ＋4，若在[－2,0]上存在x 0使f (x 0)＝0，则实数m 的取值范围是________．7．证明：方程x 4－4x －2＝0在区间[－1,2]内至少有两个实数解．8．关于x 的方程mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m 的取值范围．二、能力提升9．若函数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)有一个零点为2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是 ( )A.0，－12 B ．0，12C ．0,2D ．2，－1210．若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (1)＝0，且a >b >c ，则该函数的零点个数为( )A ．1B ．2C ．0D ．不能确定 11．已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有______个零点，这几个零点的和等于______．12．已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x.(1)写出函数y＝f(x)的解析式；(2)若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，求a的取值范围．三、探究与拓展13．若方程x2＋(k－2)x＋2k－1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求k的取值范围．答案1．C 2.C 3．C 4．D5．0或926．m ≥17．证明设f (x )＝x 4－4x －2，其图象是连续曲线．因为f (－1)＝3>0，f (0)＝－2<0，f (2)＝6>0.所以在(－1,0)，(0,2)内都有实数解．从而证明该方程在给定的区间内至少有两个实数解．8．解令f (x )＝mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ m >0f 4<0或⎩⎪⎨⎪⎧m <0f 4>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ m >026m ＋38<0或⎩⎪⎨⎪⎧ m <026m ＋38>0，解得－1913<m <0.9．A 10．B11．3 012．解 (1)当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)，∵y ＝f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－2(－x )]＝－x 2－2x ，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x ， x ≥0－x 2－2x ， x <0.(2)当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，最小值为－1； ∴当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝－x 2－2x ＝1－(x ＋1)2，最大值为1. ∴据此可作出函数y ＝f (x )的图象，如图所示，根据图象得，若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，则a 的取值范围是(－1,1)．13．解设f (x )＝x 2＋(k －2)x ＋2k －1.∵方程f (x )＝0的两根中，一根在(0,1)内，一根在(1,2)内，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f 0>0f 1<0f 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2k －1>01＋k －2＋2k －1<04＋2k －4＋2k －1>0∴12<k <23.。

高中数学 2.4.1函数的零点同步测试新人教B版必修1

第二章 2.4 2.4.1函数的零点一、选择题1．函数f (x )＝2x ＋7的零点为( ) A ．7 B ．72 C ．－72D ．－7[答案] C[解析] 令f (x )＝2x ＋7＝0，得x ＝－72，∴函数f (x )＝2x ＋7的零点为－72.2．函数f (x )＝x 2＋x ＋3的零点的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[答案] A[解析] 令x 2＋x ＋3＝0，Δ＝1－12＝－11<0， ∴方程无实数根，故函数f (x )＝x 2＋x ＋3无零点．3．已知x ＝－1是函数f (x )＝a x＋b (a ≠0)的一个零点，则函数g (x )＝ax 2－bx 的零点是( )A ．－1或1B ．0或－1C ．1或0D ．2或1[答案] C[解析] ∵x ＝－1是函数f (x )＝a x＋b (a ≠0)的一个零点，∴－a ＋b ＝0，∴a ＝b . ∴g (x )＝ax 2－ax ＝ax (x －1)(a ≠0)，令g (x )＝0，得x ＝0或x ＝1，故选C ．4．(2019·湖北文，9)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x .则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( )A ．{1,3}B ．{－3，－1,1,3}C ．{2－7，1,3}D ．{－2－7，1,3}[答案] D[解析] 令x <0，则－x >0，∴f (－x )＝(－x )2－3(－x )＝x 2＋3x ，又∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴－f (x )＝x 2＋3x ，∴f (x )＝－x 2－3x (x <0)，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x x ≥0－x 2－3x x <0.∴g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3x ≥0－x 2－4x ＋3x <0.当x ≥0时，由x 2－4x ＋3＝0，得x ＝1或x ＝3. 当x <0时，由－x 2－4x ＋3＝0，得x ＝－2－7， ∴函数g (x )的零点的集合为{－2－7，1,3}． 5．下列图象对应的函数中没有零点的是( )[答案] A[解析] 因为函数的零点即函数图象与x 轴交点的横坐标，因此，若函数图象与x 轴没有交点，则函数没有零点．观察四个图象，可知A 中的图象对应的函数没有零点．6．函数f (x )＝x －4x的零点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个[答案] C[解析] 令f (x )＝0，即x －4x＝0，∴x ＝±2.故f (x )的零点有2个．二、填空题7．函数f (x )＝2(m ＋1)x 2＋4mx ＋2m －1的一个零点在原点，则m 的值为________． [答案] 12[解析] 由题意，得2m －1＝0，∴m ＝12.8．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的零点分别为－2、3，且f (－6)＝36，则二次函数f (x )的解析式为______________．[答案] f (x )＝x 2－x －6[解析] 由题设二次函数可化为y ＝a (x ＋2)(x －3)，又f (－6)＝36，∴36＝a (－6＋2)(－6－3)∴a ＝1，∴f (x )＝(x ＋2)(x －3)，即f (x )＝x 2－x －6. 三、解答题9．求下列函数的零点： (1)f (x )＝－7x 2＋6x ＋1； (2)f (x )＝4x 2＋12x ＋9.[解析] (1)f (x )＝－7x 2＋6x ＋1＝－(7x ＋1)(x －1)，令f (x )＝0，即－(7x ＋1)(x －1)＝0，解得x ＝－17或x ＝1.∴f (x )＝－7x 2＋6x ＋1的零点是－17，1.(2)f (x )＝4x 2＋12x ＋9＝(2x ＋3)2，令f (x )＝0，即(2x ＋3)2＝0，解得x 1＝x 2＝－32.∴f (x )＝4x 2＋12x ＋9的零点是－32.10．已知二次函数f (x )的图象过点(0,3)，它的图象的对称轴为x ＝2，且函数f (x )的两个零点的平方和为10，求f (x )的解析式．[解析] 设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的两个零点分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－b a，x 1x 2＝c a.∵f (0)＝3，∴c ＝3. 又∵－b 2a ＝2，∴－ba ＝4.∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝(－b a)2－2c a＝16－6a＝10，∴a ＝1，b ＝－4. ∴f (x )＝x 2－4x ＋3.一、选择题1．若函数f (x )在定义域{x |x ≠0}上是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，f (2)＝0，则函数f (x )的零点有( )A ．一个B ．两个C ．至少两个D ．无法判断[答案] B[解析] ∵函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，f (2)＝0， ∴f (x )在(0，＋∞)上的图象与x 轴只有一个交点，又∵f (x )在定义域{x |x ≠0}上是偶函数，∴f (x )在(－∞，0)上的图象与x 轴也只有一个交点，即f (－2)＝0，故选B ．2．若关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个实根1、2，则实数f (x )＝cx 2＋bx ＋a 的零点为( )A ．1,2B ．－1，－2C ．1，12D ．－1，－12[答案] C[解析] 本题主要考查函数零点与方程根的关系，同时考查一元二次方程根与系数的关系．方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个实根1,2，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝－ba1×2＝ca，∴ba ＝－3，c a＝2，于是f (x )＝cx 2＋bx ＋a ＝a (c ax 2＋b ax ＋1)＝a (2x 2－3x ＋1)＝a (x －1)(2x －1)，所以该函数的零点是1、12，故选C ．3．若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内[答案] A[解析] 本题考查函数的零点的判断问题．因为a <b <c ，所以f (a )＝(a －b )(a －c )>0，f (b )＝(b －c )(b －a )<0，f (c )＝(c －a )(c －b )>0，由零点存在性定理知，选A ．4．方程mx 2＋2(m ＋1)x ＋m ＋3＝0仅有一个负根，则m 的取值范围是( ) A ．(－3,0) B ．[－3,0) C ．[－3,0]D ．[－1,0][答案] C[解析] 当m ＝0时，x ＝－32<0成立，排除选项A 、B ，当m ＝－3时，原方程变为－3x2－4x ＝0，两根为x 1＝0，x 2＝－43，也符合题设．二、填空题5．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )的部分对应值如下表，则使ax 2＋bx ＋c >0成立的x 的取值范围是______.[答案] [解析] 由表中给出的数据可以得到f (－2)＝0，f (3)＝0，因此函数的两个零点是－2和3，这两个零点将x 轴分成三个区间(－∞，－2)、(－2,3)、(3，＋∞)，在(－∞，－2)中取特殊值－3，由表中数据知f (－3)＝6>0，因此根据连续函数零点的性质知当x ∈(－∞，－2)时都有f (x )>0，同理可得当x ∈(3，＋∞)时也有f (x )>0，故使ax 2＋bx ＋c >0的自变量x 的取值范围是(－∞，－2)∪(3，＋∞)．6．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a 、b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的方程f (x )＝c (c ∈R )有两个实根m 、m ＋6，则实数c 的值为________．[答案] 9[解析] f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝(x ＋a2)2＋b －a 24，∵函数f (x )的值域为[0，＋∞)， ∴b －a 24＝0，∴f (x )＝(x ＋a2)2.又∵关于x 的方程f (x )＝c ，有两个实根m ，m ＋6， ∴f (m )＝c ，f (m ＋6)＝c ，∴f (m )＝f (m ＋6)， ∴(m ＋a 2)2＝(m ＋a 2＋6)2， ∴(m ＋a2)2＝(m ＋a2)2＋12(m ＋a2)＋36， ∴m ＋a2＝－3. 又∵c ＝f (m )＝(m ＋a2)2，∴c ＝9.三、解答题7．若函数y ＝(a －1)x 2＋x ＋2只有一个零点，求实数a 的取值集合．[解析] ①当a －1＝0，即a ＝1时，函数为y ＝x ＋2，显然该函数的图象与x 轴只有一个交点，即函数只有一个零点．②当a －1≠0，即a ≠1时，函数y ＝(a －1)x 2＋x ＋2是二次函数． ∵函数y ＝(a －1)x 2＋x ＋2只有一个零点，∴关于x 的方程为(a －1)x 2＋x ＋2＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝1－8(a －1)＝0，解得a ＝98.综上所述，实数a 的取值集合是{a |a ＝1或a ＝98}．8．已知关于x 的函数y ＝(m ＋6)x 2＋2(m －1)x ＋m ＋1恒有零点． (1)求m 的取值范围；(2)若函数有两个不同的零点，且其倒数之和为－4，求m 的值．[解析] (1)∵关于x 的函数y ＝(m ＋6)x 2＋2(m －1)x ＋m ＋1恒有零点，则m ＋6＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋6≠0Δ＝4m －12－4m ＋6m ＋1≥0，解得m ＝－6或m ≤－59且m ≠－6，∴m 的取值范围为m ≤－59.(2)若函数有两个不同零点x 1，x 2，则1x 1＋1x 2＝－4，即x 1＋x 2＝－4x 1x 2，∴－2m －1m ＋6＝－4m ＋1m ＋6，解得m ＝－3，经验证m ＝－3符合题意．。

人教版数学高一必修一同步训练函数的零点

§2.4 函数与方程2．4.1 函数的零点一、基础过关1．函数f (x )＝x －4x 的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．无数个2．若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法正确的是( ) A ．若f (a )f (b )>0，不存在实数c ∈(a ，b )使得f (c )＝0B ．若f (a )f (b )<0，存在且只存在一个实数c ∈(a ，b )使得f (c )＝0C ．若f (a )f (b )>0，有可能存在实数c ∈(a ，b )使得f (c )＝0D ．若f (a )f (b )<0，有可能不存在实数c ∈(a ，b )使得f (c )＝03．若函数f (x )＝mx 2＋8mx ＋21，当f (x )<0时，－7<x <－1，则实数m 的值为 ( )A ．1B ．2C ．3D ．44．已知f (x )是定义域为R 的奇函数，且在(0，＋∞)内的零点有1 003个，则f (x )的零点个数为( )A ．1 003B ．1 004C ．2 006D ．2 0075．若函数y ＝mx 2－6x ＋2的图象与x 轴只有一个公共点，则m ＝________.6．已知一次函数f (x )＝2mx ＋4，若在[－2,0]上存在x 0使f (x 0)＝0，则实数m 的取值范围是________．7．证明：方程x 4－4x －2＝0在区间[－1,2]内至少有两个实数解．8．关于x 的方程mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m 的取值范围．二、能力提升9．若函数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)有一个零点为2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( )A.0，－12 B ．0，12C ．0,2D ．2，－1210．若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (1)＝0，且a >b >c ，则该函数的零点个数为 ( )A ．1B ．2C ．0D ．不能确定11．已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有______个零点，这几个零点的和等于______．12．已知y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x 2－2x .(1)写出函数y ＝f (x )的解析式；(2)若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，求a的取值范围．三、探究与拓展13．若方程x2＋(k－2)x＋2k－1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求k的取值范围．答案1．C 2.C 3．C 4．D5．0或926．m ≥17．证明设f (x )＝x 4－4x －2，其图象是连续曲线．因为f (－1)＝3>0，f (0)＝－2<0，f (2)＝6>0. 所以在(－1,0)，(0,2)内都有实数解．从而证明该方程在给定的区间内至少有两个实数解． 8．解令f (x )＝mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14.依题意得⎩⎨⎧ m >0f (4)<0或⎩⎨⎧m <0f (4)>0，即⎩⎨⎧ m >026m ＋38<0或⎩⎨⎧m <026m ＋38>0，解得－1913<m <0.9．A 10．B 11．3 012．解 (1)当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)， ∵y ＝f (x )是奇函数， ∴f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－2(－x )]＝－x 2－2x ，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ， x ≥0－x 2－2x ， x <0.(2)当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，最小值为－1； ∴当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝－x 2－2x ＝1－(x ＋1)2，最大值为1. ∴据此可作出函数y ＝f (x )的图象，如图所示，根据图象得，若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，则a 的取值范围是(－1,1)． 13．解设f (x )＝x 2＋(k －2)x ＋2k －1.∵方程f (x )＝0的两根中，一根在(0,1)内，一根在(1,2)内，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (0)>0f (1)<0f (2)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧2k －1>01＋k －2＋2k －1<04＋2k －4＋2k －1>0∴12<k <23.。

高中数学第二章函数2.4.1函数的零点学案新人教B版必修108012133

高中数学第二章函数2.4.1函数的零点学案新人教B 版必修1080121331．理解函数零点的概念．(重点)2．会求一次函数、二次函数的零点．(重点)3．初步了解函数的零点、方程的根、函数图象与x 轴交点的横坐标之间的关系．(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 函数的零点阅读教材P 70～P 71“例”以上部分内容，完成下列问题． 1．定义如果函数y ＝f (x )在实数α处的值等于零，即f (α)＝0，则α叫做这个函数的零点． 2．性质(1)当函数图象通过零点且穿过x 轴时，函数值变号．(2)两个零点把x 轴分为三个区间，在每个区间上所有函数值保持同号．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)所有的函数都有零点．( )(2)若方程f (x )＝0有两个不等实根x 1，x 2，则函数y ＝f (x )的零点为(x 1,0)，(x 2,0)．( )(3)f (x )＝x －1x只有一个零点．( )【答案】 (1)× (2)× (3)×教材整理2 二次函数零点与一元二次方程实根个数的关系阅读教材P 70“倒数第2行”～P 71“例”以上的内容，完成下列问题．判别式ΔΔ>0 Δ＝0 Δ<0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根有两相异实根x 1，x 2(x 1<x 2)有两相等实根x 1＝x 2＝－b 2a没有实根二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的零点有两个零点x 1，x 2有一个二重零点x 1＝x 2没有零点已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a 的图象全部在x 轴的上方，则实数a 的取值范围是________.【导学号：97512030】【解析】函数f (x )的图象是开口向上的抛物线，所以Δ＝4－4a <0，a >1. 【答案】 (1，＋∞)[小组合作型]求函数的零点(1)函数y ＝1＋1x的零点是( ) A ．(－1,0) B ．x ＝－1 C ．x ＝1D ．x ＝0(2)求下列函数的零点． ①f (x )＝－x 2－2x ＋3； ②f (x )＝x 4－1.【精彩点拨】求函数对应方程的根，即为函数的零点．【自主解答】 (1)令1＋1x＝0，解得x ＝－1，故选B.(2)①由于f (x )＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋3)(x －1)，所以方程－x 2－2x ＋3＝0的两根是－3,1. 故函数的零点是－3,1.②由于f (x )＝x 4－1＝(x 2＋1)(x ＋1)(x －1)，所以方程x 4－1＝0的实数根是－1,1.故函数的零点是－1,1.【答案】 (1)B (2)①－3,1 ②－1,1求函数的零点时，通常转化为解方程f x ＝0，若方程f x ＝0有实数根，则函数f x 存在零点，该方程的根就是函数f x 的零点；否则，函数f x 不存在零点.[再练一题]1．函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是________.【导学号：60210059】【解析】 ∵函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，∴2a ＋b ＝0，即b ＝－2a ， ∴g (x )＝bx 2－ax ＝－2ax 2－ax ＝－ax (2x ＋1)， ∵－ax (2x ＋1)＝0，即x ＝0，x ＝－12，∴函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是0，－12.【答案】 0，－12函数零点个数的判断判断下列函数零点的个数． (1)f (x )＝x 2－7x ＋12；(2)f (x )＝x 2－1x .【精彩点拨】 (1)中f (x )为一元二次函数，解答本题可判断对应的一元二次方程的根的个数；(2)中函数零点可用解方程法转化为两个熟知的基本初等函数求图象交点个数．【自主解答】 (1)由f (x )＝0，即x 2－7x ＋12＝0，得Δ＝49－4×12＝1>0， ∴方程x 2－7x ＋12＝0有两个不相等的实数根3,4.∴函数f (x )有两个零点． (2)法一由x 2－1x ＝0，得x 2＝1x.令h (x )＝x 2(x ≠0)，g (x )＝1x.在同一坐标系中画出h (x )和g (x )的图象，如图所示，两函数图象只有一个交点，故函数f (x )＝x 2－1x只有一个零点．法二令f(x)＝0，即x2－1x＝0.∵x≠0，∴x3－1＝0.∴(x－1)(x2＋x＋1)＝0.∴x＝1或x2＋x＋1＝0.∵方程x2＋x＋1＝0的根的判别式Δ＝12－4＝－3<0，∴方程x2＋x＋1＝0无实数根．∴函数f(x)只有一个零点．确定函数零点个数的方法1．一元n次方程根的个数的问题，一般采用分解因式法来解决．2．一元二次方程通常用判别式来判断根的个数．3．指数函数和对数函数等超越函数零点个数的问题，一般用图象法来解决．4．利用函数的单调性判断函数零点的个数．[再练一题]2．判断函数y＝x3－3x2－2x＋6的零点个数．【解】y＝x3－3x2－2x＋6＝x2(x－3)－2(x－3)＝(x2－2)(x－3)，令y＝0，则x＝±2或x＝3，显然有三个零点．[探究共研型]函数零点的应用探究1 设F(x)＝f(x)－g(x)，则F(x)的零点与函数y＝f(x)与y＝g(x)有何关系？【提示】F(x)的零点是函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象的交点的横坐标．探究2 若函数f(x)＝x2－2x＋a有零点，则实数a的取值范围是什么？【提示】若函数f(x)＝x2－2x＋a有零点，则方程x2－2x＋a＝0有根．故Δ＝(－2)2－4a≥0，故a≤1.若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．【精彩点拨】把问题转化为方程|2x－2|＝b有根问题，进而应用数形结合的思想转化为y ＝|2x －2|与y ＝b 图象的交点问题．【自主解答】由f (x )＝|2x－2|－b ＝0，得|2x－2|＝b .在同一平面直角坐标系中画出y ＝|2x－2|与y ＝b 的图象，如图所示，则当0<b <2时，两函数图象有两个交点，从而函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点．【答案】 (0,2)已知函数有零点方程有根求参数取值范围常用的方法：1直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围.2分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决.3数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.[再练一题]3.若函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1,1)上存在一个零点，则a 的取值范围是( ) A ．a >15B ．a >15或a <－1C ．－1<a <15D ．a <－1【解析】根据函数零点的性质，f (1)，f (－1)一正一负，f (1)＝a ＋1，f (－1)＝－5a ＋1所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>0－5a ＋1<0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<0－5a ＋1>0，解得a >15或a <－1.【答案】 B1．下列四个函数图象，在区间(－∞，0)内，函数f i (x )(i ＝1,2,3,4)中有零点的是( )A ．B ．C ． D.【解析】由函数图象可知，f 2(x )在(－∞，0)上与x 轴有交点，故f 2(x )在(－∞，0)上有零点．【答案】 B2．函数y ＝2x －4的零点是( ) A ．2B ．(2,0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 D.12【解析】由2x －4＝0，得x ＝2，即函数y ＝2x －4的零点是2.【答案】 A3．已知函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，其零点为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＝________.【解析】由奇函数的对称性知：若f (x 1)＝0，则f (－x 1)＝0，即零点关于原点对称，且f (0)＝0，故x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＝0. 【答案】 04．若函数f (x )＝ax 2－x －1只有一个零点，则实数a ＝________.【解析】 (1)当a ＝0时，函数为y ＝－x －1，显然该函数的图象与x 轴只有一个交点，即函数只有一个零点．(2)当a ≠0时，函数y ＝ax 2－x －1是二次函数．因为y ＝ax 2－x －1只有一个零点，所以关于x 的方程ax 2－x －1＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝0，即1＋4a ＝0，解得a ＝－14.【答案】 0或－145．已知关于x 的二次方程ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1＝0有两个根，且一个根大于2，另一个根小于2，试求实数a 的取值范围．【解】令f (x )＝ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1，依题意知，函数f (x )有两个零点，且一个零点大于2，一个零点小于2.∴f (x )的大致图象如图所示：则a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧a >0，f 2<0，或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，f 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，4a －4a ＋1＋a －1<0，或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，4a －4a ＋1＋a －1>0，解得0<a <5，∴a 的取值范围为(0,5)．。

2021-2022年高中数学 2.4.1《函数的零点》同步练习新人教B版必修1

2021-2022年高中数学 2.4.1《函数的零点》同步练习新人教B版必修1一、选择题１．函数ｆ（ｘ）＝ｘ－的零点是（）Ａ．０Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．无数个２．函数ｆ（ｘ）＝的零点是（）Ａ．１，２，３Ｂ．－１，１，２Ｃ．０，１，２Ｄ．－１，１，－２３．若函数ｆ（Ｘ）在［０，４］上的图像是连续的，且方程ｆ（ｘ）＝０在（０，４）内仅有一个实数根，则发ｆ（０）ｆ（４）的值（）Ａ．大于０Ｂ．小于０Ｃ．等于０Ｄ．无法判断４．若函数ｆ（ｘ）＝ｍ＋８ｍｘ＋２１，当ｆ（ｘ）＜０时－７＜ｘ＜－１，则实数ｍ的值为（）Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４５．ｆ（ｘ）＝，方程ｆ（４ｘ）＝ｘ的根是（）Ａ．－２Ｂ．２Ｃ．－０．５Ｄ．０．５6．设函数)f(x)= 在[-1,1]上为增函数,且,则方程f(x)在[-1,1]内A .可能有3个实数根B .可能有2个实数根C. 有唯一的实数根 D .没有实数根7．设f(x) = ，则在下列区间中，使函数f(x)有零点的区间是（）A．[0，1] B．[1，2] C．[－2，－1] D．[－1，0]8．给出下列三个函数的图象；07徐州三练） 3．方程2x+x-4=O的解所在区间为 A．(-1，0) B．(0，1) C．(1，2) D．(2，3)9.已知函数y=f(x)在定义域内是单调函数,则方程f(x)=c(c为常数)的解的情况( )A.有且只有一个解B.至少有一个解C.至多有一个解D.可能无解,可能有一个或多个解二、填空题：10．关于ｘ的方程２ｋ－２ｘ－３ｋ＝０的两根一个大于１，一个小于１，则实数的取值范围．11．若函数ｆ（ｘ）＝－ａｘ－ｂ的两个零点时２和３，则函数ｇ（ｘ）＝ｂ－ａｘ－１的零点．三、解答题12．已知函数ｆ（ｘ）＝２（ｍ－１）－４ｍｘ＋２ｍ－１（１）ｍ为何值时，函数图像与ｘ轴有一个公共点．（２）如果函数的一个零点为２，求ｍ的值．13．已知二次函数f（x）=a+bx（ａ，ｂ是常数且ａ０）满足条件：ｆ（２）＝０．方程有等根（１）求f（x）的解析式；（２）问：是否存在实数ｍ，ｎ使得ｆ（ｘ）定义域和值域分别为［ｍ，ｎ］和［２ｍ，２ｎ］，如存在，求出ｍ，ｎ的值；如不存在，说明理由．参考答案：一、选择题1．Ｃ２．Ｂ３．Ｄ４．Ｃ５．Ｄ6． C7． A8． C9． C二、填空题：10．ｋ＞０或ｋ＜－４12．三、解答题13．解：（１）由条件知；Δ＝－８（ｍ－１）（２ｍ－１）又Δ＞０即ｍ＞所以函数与ｘ轴有两个交点（２）函数一个零点在原点即ｘ＝０为其方程的一个根，有２（ｍ－１）－４ｍ＋２ｍ－１＝０ｍ＝０．５14．（１）由ｆ（２）＝０得：４ａ＋２ｂ＝０，方程ｆ（ｘ）＝ｘ即a+（b －１）x ＝０．有等根Δ＝＝０，解方程组，得⎪⎩⎪⎨⎧=-=121b a ，ｆ（ｘ）＝－＋ｘ（２）ｆ（ｘ）＝－＋ｘ＝－２ｎ，ｎ函数ｆ（ｘ）在［ｍ，ｎ］上是增函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-==+-=n n n f m m m f n m 2221)(,221)(2，解得ｍ＝２，ｎ＝０23542 5BF6 寶30964 78F4 磴; Srl(33196 81AC 膬27392 6B00 欀m40255 9D3F 鴿 33281 8201 舁z。

2019—2020年最新人教B版高中数学必修12.4.1函数的零点同步试题.doc

第二章 2.4 2.4.1函数的零点一、选择题1．函数f(x)＝2x＋7的零点为( )A．7 B．7 2C．－72D．－7[答案] C[解析] 令f(x)＝2x＋7＝0，得x＝－7 2，∴函数f(x)＝2x＋7的零点为－7 2 .2．函数f(x)＝x2＋x＋3的零点的个数是( ) A．0 B．1C．2 D．3[答案] A[解析] 令x2＋x＋3＝0，Δ＝1－12＝－11<0，∴方程无实数根，故函数f(x)＝x2＋x＋3无零点．3．已知x＝－1是函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的一个零点，则函数g(x)＝ax2－bx的零点是( ) A．－1或1 B．0或－1C．1或0 D．2或1[答案] C[解析] ∵x＝－1是函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的一个零点，∴－a＋b＝0，∴a＝b.∴g(x)＝ax2－ax＝ax(x－1)(a≠0)，令g(x)＝0，得x＝0或x＝1，故选C．4．(2014·湖北文，9)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x.则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为( )A．{1,3} B．{－3，－1,1,3}C ．{2－7，1,3}D ．{－2－7，1,3}[答案] D[解析] 令x<0，则－x>0， ∴f(－x)＝(－x)2－3(－x)＝x 2＋3x ，又∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， ∴－f(x)＝x 2＋3x ，∴f(x)＝－x 2－3x(x<0)，∴f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x x ≥0－x 2－3x x<0.∴g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3x ≥0－x 2－4x ＋3x<0.当x ≥0时，由x 2－4x ＋3＝0，得x ＝1或x ＝3. 当x<0时，由－x 2－4x ＋3＝0，得x ＝－2－7，∴函数g(x)的零点的集合为{－2－7，1,3}．5．下列图象对应的函数中没有零点的是( )[答案] A[解析] 因为函数的零点即函数图象与x轴交点的横坐标，因此，若函数图象与x轴没有交点，则函数没有零点．观察四个图象，可知A中的图象对应的函数没有零点．6．函数f(x)＝x－4x的零点有( )A．0个B．1个C．2个D．无数个[答案] C[解析] 令f(x)＝0，即x－4x＝0，∴x＝±2.故f(x)的零点有2个．二、填空题7．函数f(x)＝2(m＋1)x2＋4mx＋2m－1的一个零点在原点，则m的值为________．[答案] 1 2[解析] 由题意，得2m －1＝0，∴m ＝12.8．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的零点分别为－2、3，且f(－6)＝36，则二次函数f(x)的解析式为______________．[答案] f(x)＝x 2－x －6[解析] 由题设二次函数可化为y ＝a(x ＋2)(x －3)，又f(－6)＝36，∴36＝a(－6＋2)(－6－3)∴a ＝1，∴f(x)＝(x ＋2)(x －3)，即f(x)＝x 2－x －6. 三、解答题9．求下列函数的零点： (1)f(x)＝－7x 2＋6x ＋1； (2)f(x)＝4x 2＋12x ＋9.[解析] (1)f(x)＝－7x 2＋6x ＋1＝－(7x ＋1)(x －1)，令f(x)＝0，即－(7x ＋1)(x －1)＝0，解得x ＝－17或x ＝1.∴f(x)＝－7x2＋6x＋1的零点是－17，1.(2)f(x)＝4x2＋12x＋9＝(2x＋3)2，令f(x)＝0，即(2x＋3)2＝0，解得x1＝x2＝－3 2 .∴f(x)＝4x2＋12x＋9的零点是－3 2 .10．已知二次函数f(x)的图象过点(0,3)，它的图象的对称轴为x＝2，且函数f(x)的两个零点的平方和为10，求f(x)的解析式．[解析] 设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的两个零点分别为x1，x2，则x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca.∵f(0)＝3，∴c＝3.又∵－b2a＝2，∴－ba＝4.∴x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(－ba)2－2ca＝16－6a＝10，∴a＝1，b＝－4.∴f(x)＝x2－4x＋3.一、选择题1．若函数f(x)在定义域{x|x≠0}上是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，f(2)＝0，则函数f(x)的零点有( ) A．一个B．两个C．至少两个D．无法判断[答案] B[解析] ∵函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，f(2)＝0，∴f(x)在(0，＋∞)上的图象与x轴只有一个交点，又∵f(x)在定义域{x|x≠0}上是偶函数，∴f(x)在(－∞，0)上的图象与x轴也只有一个交点，即f(－2)＝0，故选B．2．若关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实根1、2，则实数f(x)＝cx 2＋bx ＋a 的零点为( )A ．1,2B ．－1，－2C ．1，12D ．－1，－12[答案] C[解析] 本题主要考查函数零点与方程根的关系，同时考查一元二次方程根与系数的关系．方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)有两个实根1,2，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝－b a1×2＝ca ，∴ba ＝－3，ca＝2，于是f(x)＝cx 2＋bx ＋a ＝a(ca x 2＋ba x ＋1)＝a(2x 2－3x ＋1)＝a(x －1)(2x －1)，所以该函数的零点是1、12，故选C ．3．若a<b<c ，则函数f(x)＝(x －a)(x －b)＋(x －b)(x －c)＋(x －c)(x －a)的两个零点分别位于区间( )A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内[答案] A[解析]本题考查函数的零点的判断问题．因为a<b<c，所以f(a)＝(a－b)(a－c)>0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0，由零点存在性定理知，选A．4．方程mx2＋2(m＋1)x＋m＋3＝0仅有一个负根，则m的取值范围是( )A．(－3,0) B．[－3,0)C．[－3,0] D．[－1,0][答案] C[解析] 当m＝0时，x＝－32<0成立，排除选项A、B，当m＝－3时，原方程变为－3x2－4x＝0，两根为x1＝0，x2＝－43，也符合题设．二、填空题5．二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表，则使ax2＋bx＋c>0成立的x的取值范围是______.[答案] (－∞，－2)∪(3，＋∞)[解析] 由表中给出的数据可以得到f(－2)＝0，f(3)＝0，因此函数的两个零点是－2和3，这两个零点将x轴分成三个区间(－∞，－2)、(－2,3)、(3，＋∞)，在(－∞，－2)中取特殊值－3，由表中数据知f(－3)＝6>0，因此根据连续函数零点的性质知当x∈(－∞，－2)时都有f(x)>0，同理可得当x∈(3，＋∞)时也有f(x)>0，故使ax2＋bx＋c>0的自变量x的取值范围是(－∞，－2)∪(3，＋∞)．6．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a、b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的方程f(x)＝c(c∈R)有两个实根m、m＋6，则实数c的值为________．[答案] 9[解析] f(x)＝x2＋ax＋b＝(x＋a2)2＋b－a24，∵函数f(x)的值域为[0，＋∞)，∴b－a24＝0，∴f(x)＝(x＋a2)2.又∵关于x的方程f(x)＝c，有两个实根m，m＋6，∴f(m)＝c，f(m＋6)＝c，∴f(m)＝f(m＋6)，∴(m＋a2)2＝(m＋a2＋6)2，∴(m＋a2)2＝(m＋a2)2＋12(m＋a2)＋36，∴m＋a2＝－3.又∵c＝f(m)＝(m＋a2)2，∴c＝9.三、解答题7．若函数y＝(a－1)x2＋x＋2只有一个零点，求实数a 的取值集合．[解析] ①当a－1＝0，即a＝1时，函数为y＝x＋2，显然该函数的图象与x轴只有一个交点，即函数只有一个零点．②当a－1≠0，即a≠1时，函数y＝(a－1)x2＋x＋2是二次函数．∵函数y＝(a－1)x2＋x＋2只有一个零点，∴关于x的方程为(a－1)x2＋x＋2＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝1－8(a－1)＝0，解得a＝9 8 .综上所述，实数a的取值集合是{a|a＝1或a＝98 }．8．已知关于x的函数y＝(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1恒有零点．(1)求m的取值范围；(2)若函数有两个不同的零点，且其倒数之和为－4，求m的值．[解析] (1)∵关于x 的函数y ＝(m ＋6)x 2＋2(m －1)x ＋m ＋1恒有零点，则m ＋6＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋6≠0Δ＝4m －12－4m ＋6m ＋10，解得m ＝－6或m ≤－59且m ≠－6， ∴m 的取值范围为m ≤－59. (2)若函数有两个不同零点x 1，x 2，则1x 1＋1x 2＝－4，即x 1＋x 2＝－4x 1x 2， ∴－2m －1m ＋6＝－4m ＋1m ＋6，解得m ＝－3，经验证m ＝－3符合题意．。

人教B版数学高一版必修1练习2.4.1函数的零点

2.4 函数与方程 2．4.1 函数的零点知识点一：函数零点的概念1．函数y ＝x 2－5x ＋6的零点是A ．2,3B ．－2，－3C ．1,6D ．－1，－6 2．观察下面的四个函数图象，则在(－∞，0)内，函数y ＝f i (x)(i ＝1,2,3,4)有零点的是A ．①B ．①②C ．①②③D ．②④3．函数f(x)＝x ＋4x 的零点有A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个4．已知函数y ＝x 2＋ax ＋3有一个零点为2，则a 的值为__________．5．若函数f(x)＝ax －b 有一个零点是3，那么g(x)＝bx 2＋3ax 的零点是__________．知识点二：函数零点的性质6．函数f(x)＝x 3－9x 的零点所在的大致区间是A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(0,1)D ．(5,6)7．二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c ，若f(1)>0，f(2)<0，则f(x)在(1,2)上的零点 A ．有两个 B ．有一个或两个 C ．有且仅有一个 D ．一个也没有8．对于函数f(x)＝x 2＋mx ＋n ，若f(a)>0，f(b)>0，则函数f(x)在区间(a ，b)内 A ．一定有零点 B ．一定没有零点 C ．可能有两个零点 D ．至多有一个零点9．已知函数f(x)为偶函数，其图象与x 轴有4个交点，则该函数的所有零点之和等于 A ．4 B ．2 C ．1 D ．010．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x∈[0，＋∞，x 2－4，x∈－∞，0，又g(x)＝f(x)－1，则函数g(x)的零点是__________．11．若函数f(x)＝ax 2－x －1仅有一个零点，求实数a 的取值范围．能力点一：求函数的零点12．函数f(x)＝－2x 2＋22x －1的零点个数为A ．0B ．1C ．2D ．313．若函数f(x)＝x 2＋2x ＋a 没有零点，则实数a 的取值范围是A ．a<1B ．a>1C ．a≤1D ．a≥114．已知函数f(x)是定义域为R 的奇函数，5是它的一个零点，且f(x)在(－∞，0)上是增函数，则该函数有__________个零点，这几个零点的和为__________．15．求函数y ＝x 3－4x 的零点，并画出它的图象．16.判断函数f(x)＝32x －2×3x＋1是否存在零点，若存在，则求出零点．能力点二：函数零点的综合应用17．若函数f(x)的图象是连续不断的，且f(0)>0，f(1)·f(2)·f(4)<0，则下列说法正确的为A ．函数f(x)在区间(0,1)内有零点B ．函数f(x)在(1,2)内有零点C ．函数f(x)在区间(0,2)内有零点D ．函数f(x)在区间(0,4)内有零点18．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，a·c<0，则函数的零点个数是A ．1B ．2C ．0D ．无法确定19．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的零点分别为－2,3，若x∈(－2,3)时，f(x)<0且f(－6)＝36，则二次函数f(x)的解析式为__________．202则使ax 2＋bx ＋c>0成立的自变量x 的取值范围是__________．21．函数y ＝x 2＋(m －2)x ＋5－m 的两个零点都在x 轴上点(2,0)的右方，求m 的取值范围．22．对于函数f(x)，若存在x 0∈R ，使f(x 0)＝x 0成立，则称x 0为f(x)的不动点．已知函数f(x)＝ax 2＋(b ＋1)x ＋(b －1)(a≠0)，当a ＝1，b ＝－2时，求函数f(x)的不动点．23．已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c.(1)若a>b>c ，且f(1)＝0，试证明f(x)必有两个零点；(2)设x 1，x 2∈R ，x 1<x 2，且f(x 1)≠f(x 2)，若方程f(x)＝12[f(x 1)＋f(x 2)]有两个不等实根，试证明必有一个实根属于区间(x 1，x 2)．答案与解析基础巩固1．A 2.B 3.A4．－72 ∵x＝2是方程x 2＋ax ＋3＝0的根，∴4＋2a ＋3＝0.∴a＝－72.5．0，－1 由题意，知f(3)＝3a －b ＝0，∴b＝3a.∴g(x)＝bx 2＋3ax ＝bx 2＋bx ＝bx(x ＋1)．令g(x)＝0，得x ＝0或－1.6．A ∵f(1)＝－8<0，f(2)＝23－92>0，∴选A.7．C 8.C9．D 偶函数图象关于y 轴对称，故4个交点形成的零点之和为0.10．1，－ 5 当x≥0时，g(x)＝f(x)－1＝2x －2，令g(x)＝0，得x ＝1；当x<0时，g(x)＝x 2－4－1＝x 2－5，令g(x)＝0，得x ＝±5(正值舍去)， ∴g(x)的零点为1和－ 5.11．解：(1)若a ＝0，则f(x)＝－x －1为一次函数，易知函数仅有一个零点；(2)若a≠0，则函数f(x)为二次函数，若其只有一个零点，则方程ax 2－x －1＝0有两个相等的实根，故判别式Δ＝1＋4a ＝0，得a ＝－14.综上，当a ＝0或－14时，函数仅有一个零点．能力提升12．B13．B f(x)没有零点， ∴方程f(x)＝0无实根．故Δ＝4－4a<0.∴a>1.14．3 0 ∵函数f(x)是定义在R 上的奇函数， ∴f(0)＝0.又∵f(－x)＝－f(x)， ∴－f(5)＝f(－5)＝0. ∴f(－5)＝0.∴－5也是函数的零点．∴函数有3个零点：5，－5,0，其和为0.15．解：∵x 3－4x ＝x(x 2－4)＝x(x －2)(x ＋2)，∴函数y ＝x 3－4x 的零点为0，－2，2，这三个零点把x 轴分成4个区间：(－∞，－2]，(－2,0]，(0,2]，(2，＋∞)，在这四个区间内，取x 的一些值(包括零点)．在直角坐标系中描点作图，图象如图所示．16．解：∵f(x)＝32x－2×3x＋1＝(3x－1)2， ∴令f(x)＝0，得3x－1＝0，解得x ＝0. ∴f(x)有零点，零点为x ＝0. 17．D ∵f(1)·f(2)·f(4)<0，∴f(1)，f(2)，f(4)三者中两正一负．但具体哪个正，哪个负并不能确定．又∵函数连续且f(0)>0，∴函数f(x)在区间(0,4)内有零点．18．B 令y ＝0，得ax 2＋bx ＋c ＝0， ∵ac<0，∴方程的判别式b 2－4ac>0. ∴函数有两个零点．19．f(x)＝x 2－x －620．(－∞，－2)∪(3，＋∞) 21．解：如下图所示，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m －22－45－m >0，－m －22>2，f 2>0.解得⎩⎪⎨⎪⎧m<－4或m>4m<－2m>－5－5<m<－4. ∴－5<m<－4.22．解：当a ＝1，b ＝－2时，f(x)＝x 2－x －3.由题意可知，f(x)的不动点满足x ＝x 2－x －3，得x 1＝－1，x 2＝3. 故当a ＝1，b ＝－2时，f(x)的两个不动点为－1,3.拓展探究23．证明：(1)∵f(1)＝0， ∴a＋b ＋c ＝0.又∵a>b>c，∴a>0，c<0，即ac<0.又∵Δ＝b 2－4ac≥－4ac>0，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0必有两个不等实根． ∴f(x)必有两个零点．(2)令g(x)＝f(x)－12[f(x 1)＋f(x 2)]，则g(x 1)＝f(x 1)－12[f(x 1)＋f(x 2)]＝12[f(x 1)－f(x 2)]，g(x 2)＝f(x 2)－12[f(x 1)＋f(x 2)]＝12[f(x 2)－f(x 1)]．∵g(x 1)·g(x 2)＝－14[f(x 1)－f(x 2)]2，且f(x 1)≠f(x 2)，∴g(x 1)g(x 2)<0.∴g(x)＝0在(x 1，x 2)内必有一实根，即方程f(x)＝12[f(x 1)＋f(x 2)]必有一实根属于区间(x 1，x 2).。

高中数学第二章函数2.4函数与方程2.4.1函数的零点同步训练新人教B版必修120171026441

2.4.1 函数的零点5分钟训练1.观察下面的四个函数图象,则在(-∞,0)内,函数y=f i(x)(i=1,2,3,4)有零点的是( )A.①B.①②C.①②③D.②④答案：B解析：在区间(-∞,0)内,函数f1(x)、f2(x)的图象与x轴有交点.2.函数y=2x2-4x-3的零点个数是( )A.0B.1C.2D.不能确定答案：C解析：∵Δ=(-4)2-4×2×(-3)=40>0,∴方程2x2-4x-3=0有两个不相等的实根,即函数y=2x2-4x-3有2个零点.3.函数f(x)=x3-x2-x+1在［0,2］上( )A.有三个零点B.有两个零点C.有一个零点D.没有零点答案：C解析：由于f(x)=x3-x2-x+1=(x-1)2(x+1)，令f(x)=0得x=±1，因此函数在［0,2］上有一个零点.4.若函数f(x)的图象是连续不间断的,根据下面的表格,可以断定f(x)的零点所在的区间为______________.(只填序号)①(-∞,1］;②［1,2］;③［2,3］;④［3,4］;⑤［4,5］;⑥［5,6］;⑦［6,+∞).x 1 2 3 4 5 6f(x) 136.123 15.542 -3.930 10.678 -50.667 -305.678答案：③④⑤10分钟训练1.已知函数f（x）=2ax+4，若在区间［-2，1］上存在x0，使f（x0）=0，则实数a的取值范围是( )A.（-∞，-2］∪［1，+∞）B.［-1，2］C.［-1，4］D.［-2，1］答案：A解析：f（-2）f（1）≤0（-4a+4）（2a+4）≤0a≤-2或a≥1.2.函数f(x)=x3-2x2+3x-6在区间［-2,4］上的零点必定在内.( )1A.［-2,1］B.［答案：D5 2,4］C.［1, 7 4］D.［7 4 , 5 2］2 4 f 1 45解析：由于 f(-2)＜0，f(4)＞0， f () =f(1)＜0， ( ) f ( ) 2 2 251 2 f ( ) ＜0，27 5∴零点介于［］内.故选 D., 4 23.函数 y=-x 2+8x-16在区间［3,5］上( )A.没有零点B.有一个零点C.有两个零点D.有无数个零点答案：B解析：函数 y=-(x-4)2有一个二重零点 4, 故在区间［3,5］上有一个零点.＞0，4.若函数 f(x)=ax+b 有一个零点是 2,那么函数 g(x)=bx 2-ax 的零点是()1 2 A.0,2 B.0,1 C.0,D.2,2答案：C解析：∵2a+b=0,b=-2a,∴g(x)=-2ax 2-ax=-a(2x 2+x)=-ax(2x+1). 1 21 ∴函数 g(x)的零点是0,. 25.已知 y=x 2+ax+3有一个零点为 2,则 a 的值是_____________.7答案：27解析：由题意可知 x=2是方程 x 2+ax+3=0的一个根,代入可得 a=. 26.判定方程(x-2)(x-5)=1有两个相异的实数解,且一个大于 5,一个小于 2. 解：考虑函数 f(x)=(x-2)(x-5)-1,有 f(5)=(5-2)(5-5)-1=-1, f(2)=(2-2)(2-5)-1=-1.又因为 f(x)的图象是开口向上的抛物线(如图),所以抛物线与横轴在(5,+∞)内有一个交点,在(-∞,2)内也有一个交点.所以方程(x-2)(x-5)=1有两个相异的实数解,且一个大于5,一个小于2.30分钟训练1.已知方程（m-1）x2+3x-1=0的两根都是正数，则m的取值范围是( )25 5 A.＜m ＜1 B.≤m ＜1 4 455C.＜m≤1 D.m≤或 m ＞1 44答案：B解析：利用方程根与系数的关系求解. 2.已知 f （x ）=（x-a ）（x-b ）-2，并且 α、β 是方程 f （x ）=0的两根，则实数 a 、b 、α 、β 的大小关系可能是( ) A.α＜a ＜b ＜β B.a ＜α＜β＜b C.a ＜α＜b ＜β D.α＜a ＜β＜b 答案：A 解析：f （a ）=-2，f （b ）=-2,f （α）=f （β）=0，f （x ）的开口向上，所以 a 、b 在 α、β 之间.3.已知函数 f(x)是定义在 (-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数 ,在 (0,+∞)上单调递减 ,且f( 1 2)>0>f(-3),则函数 y=f(x)的零点的个数为( )A.0B.1C.2D.3答案：C解析：由于函数是偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,因此在(-∞,0)上递增. 1又因为 f()>0>f(3 )=f( 3 ), 211所以函数 f(x)在(, 3 )上与 x 轴有一个交点,必在(3,)上也有一个交点,故函数 22y=f(x)的零点的个数为 2.4.二次函数 y=ax 2+bx+c(x∈R )的部分对应值如下表： x-3-2-1123 4y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6 则不等式 ax 2+bx+c ＞0的解集是________________. 答案：(-∞,-2)∪(3,+∞)解析：由于 y=ax 2+bx+c 是二次函数，由图表联想到二次函数的有关性质，不难获得答案，函数的零点就是此函数的分水岭，所以找出函数的零点-2、3是解决本题的关键.5.(创新题 )若函数 f(x)=x 2-ax-b 的两个零点是 2和 3,则函数 g(x)=bx 2-ax-1的零点是 __________. 1答案：,21 3 解析：由题意可得 a=2+3=5,b=-6. 11所以 g(x)=-6x 2-5x-1=-(2x+1)(3x+1),零点为, . 2 36.奇函数 f(x)的定义域为 R ,在(0,+∞)上,f(x)为增函数,若-3是 f(x)的一个零点,则 f(x)另外的零点是______________.答案：0,3解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数,有f(0)=0.因为f(-3)=-f(3)=0,所以f(3)=0.所以f(x)另外的零点是0,3.37.已知m∈R时，函数f(x)=m(x2-1)+x-a恒有零点，则实数a的取值范围是______________. 答案：-1≤a≤1解析：（1）当m=0时，f(x)=x-a=0，得x=a恒有解，此时x∈R.（2）当m≠0时，f(x)=0,即mx2+x-m-a=0恒有解，∴Δ1=1-4m(-m-a)≥0恒成立，即4m2+4am+1≥0恒成立.∴Δ2=16a2-16≤0，解得-1≤a≤1.因此对m∈R，函数恒有零点，有-1≤a≤1.8.若关于x的方程3x2-5x+a=0的一个根在(-2,0)内,另一个根在(1,3)内,求a的取值范围. 解：设f(x)=3x2-5x+a,则f(x)为开口向上的抛物线(如图所示).∵f(x)=0的两根分别在区间(-2,0),(1,3)内,∴ffff(2)(0)(1)(3)0,0,0,0,32(2)5(2)a 0,即35a 0,3953a0.解得-12<a<0. a 0,所求a的取值范围是-12<a<0.x 19.(探究题)试找出一个长度为1的区间,在这个区间上函数y=3x 2x 122解：函数f(x)= 的定义域为(-∞,)∪(,+∞).3x 23313取区间［, ］.2211112至少有一个零点.∵f()= <0, 23722f( 32)=329212113>0,413∴在区间［, ］内函数f(x)至少有一个零点.2 213∴［, ］就是符合条件的一个区间.2210.求函数f(x)=x3-x的零点,并画出它的图象.解：因为x3-x=x(x2-1)=x(x-1)(x+1),令f(x)=0,即x(x-1)(x+1)=0.解得已知函数的零点为-1,0,1,这三个零点把x轴分成4个区间:(-∞,-1］,(-1,0］,(0,1］,(1,+∞),在这四个区间内,取x的一些值(包括零点),列出这个函数的对应值表：x …-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 …y …-1.875 0 0.375 0 -0.375 0 1.875 …在直线坐标系内描点作图,这个函数的图象如下:5。

2018-2019学年高中数学人教B版必修一练习2.4.1 函数的零点 Word版含解析

函数与方程
函数的零点
【选题明细表】
.下列函数不存在零点的是( )
()
()
()
()
解析:令,得选项和中的函数零点都为和;选项中函数的零点为; 只有选项中函数不存在零点.故选.
.函数()的零点个数是( )
()个()个()个()个
解析:法一<时,令,得;
>时,令,得.
所以函数有两个零点,
故选.
法二画函数的大致图象如图,从图象易得函数有两个零点.
故选.
.若函数()的零点与()的零点相同,则()可以是( )
()() ()()()
()() ()()
解析:令(),得,
所以()的零点为.
由题意知方程()的根只有.
只有选项中函数()()满足.故选.
.函数()有一零点为,则().
解析:因为是()的零点,
所以××,
所以,所以(),
所以().
答案
.已知函数()是上的奇函数,其零点为,则.。

高中数学 1(函数的零点) 同步练习新人教B版必修1 试题

心尺引州丑巴孔市中潭学校函数的零点测试题一、选择题１．函数ｆ〔ｘ〕＝ｘ－x 4的零点是〔〕Ａ．０Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．无数个２．函数ｆ〔ｘ〕＝3222x x x --+的零点是〔〕Ａ．１，２，３Ｂ．－１，１，２Ｃ．０，１，２Ｄ．－１，１，－２３．假设函数ｆ〔Ｘ〕在［０，４］上的图像是连续的，且方程ｆ〔ｘ〕＝０在〔０，４〕内仅有一个实数根，那么发ｆ〔０〕•ｆ〔４〕的值〔〕Ａ．大于０Ｂ．小于０Ｃ．等于０Ｄ．无法判断４．假设函数ｆ〔ｘ〕＝ｍ2x ＋８ｍｘ＋２１，当ｆ〔ｘ〕＜０时－７＜ｘ＜－１，那么实数ｍ的值为〔〕Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４５．ｆ〔ｘ〕＝x x 1-，方程ｆ〔４ｘ〕＝ｘ的根是〔〕Ａ．－２Ｂ．２Ｃ．－０．５Ｄ．０．５6．设函数)f(x)= c bx x 3++在[-1,1]上为增函数,且0)21(f ).21(f <-,那么方程f(x)在[-1,1]内 A .可能有3个实数根 B .可能有2个实数根C. 有唯一的实数根 D .没有实数根7．设f (x ) = 12x 5x-3++，那么在以下区间中，使函数f (x )有零点的区间是〔〕 A ．[0，1] B ．[1，2] C ．[－2，－1] D ．[－1，0]8．给出以下三个函数的图象；07三练〕 3．方程2x +x-4=O 的解所在区间为A ．(-1，0)B ．(0，1)C ．(1，2)D ．(2，3)9.函数y=f(x)在定义域内是单调函数,那么方程f(x)=c(c 为常数)的解的情况( )A.有且只有一个解B.至少有一个解C.至多有一个解D.可能无解,可能有一个或多个解二、填空题：x－２ｘ－３ｋ＝０的两根一个大于１，一个小于１，那么实数的取值范10．关于ｘ的方程２ｋ2围．x－ａｘ－ｂ的两个零点时２和３，那么函数ｇ〔ｘ〕＝ｂ2x－ａｘ－１的零11．假设函数ｆ〔ｘ〕＝2点．三、解答题x－４ｍｘ＋２ｍ－１12．函数ｆ〔ｘ〕＝２〔ｍ－１〕2〔１〕ｍ为何值时，函数图像与ｘ轴有一个公共点．〔２〕如果函数的一个零点为２，求ｍ的值．x+bx〔ａ，ｂ是常数且ａ０〕满足条件：ｆ〔２〕＝０．方程有等根13．二次函数f〔x〕=a2〔１〕求f〔x〕的解析式；〔２〕问：是否存在实数ｍ，ｎ使得ｆ〔ｘ〕定义域和值域分别为［ｍ，ｎ］和［２ｍ，２ｎ］，如存在，求出ｍ，ｎ的值；如不存在，说明理由．参考答案：一、选择题1．Ｃ２．Ｂ３．Ｄ４．Ｃ５．Ｄ6． C7． A8． C9． C二、填空题：10．ｋ＞０或ｋ＜－４12．31,21-- 三、解答题13．解：〔１〕由条件知；Δ＝24m -－８〔ｍ－１〕〔２ｍ－１〕又Δ＞０即ｍ＞31 所以函数与ｘ轴有两个交点〔２〕函数一个零点在原点即ｘ＝０为其方程的一个根，∴有２〔ｍ－１〕⨯20－４ｍ0⋅＋２ｍ－１＝０∴ｍ＝０．５14．〔１〕由ｆ〔２〕＝０得：４ａ＋２ｂ＝０，方程ｆ〔ｘ〕＝ｘ即a x 2+〔b －１〕x ＝０．有等根∴Δ＝)1(2-b ＝０，解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+-0024)1(2b b a ，得⎪⎩⎪⎨⎧=-=121b a ，∴ｆ〔ｘ〕＝－x 221＋ｘ〔２〕ｆ〔ｘ〕＝－x 221＋ｘ＝－212121)1(2≤+-x ∴２ｎ21≤ ，∴ ｎ41≤∴函数ｆ〔ｘ〕在［ｍ，ｎ］上是增函数 ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-==+-=n n n f m m m f n m 2221)(,221)(2，解得ｍ＝２，ｎ＝０。

人教B版高中数学必修1同步章节训练题及答案全册汇编

人B版高中数学必修1同步习题目录1.1 集合与集合的表示方法1.2-集合与集合的运算第1章《集合》测试2.1.1《函数》测试题(1)(新人教B必修1)2.1.2《函数表示法》测试题(2)(新人教B必修1)2.1.3《函数的单调性》测试题(新人教B必修1)2.1.4《函数的奇偶性》测试题(新人教B必修1)2.2.1《一次函数的性质与图象》测试题2.2.2《二次函数综合题》测试2.2.3《待定系数法》同步测试2.3《函数的应用(Ⅰ)》同步测试2.4.1《函数的零点》同步测试2.4.2《求函数零点近似解的一种计算方法?二分法》同步测试第2章《函数》测试3.1.1《实数指数幂及其运算》同步测试3.1.2《指数函数》同步测试3.2.1《对数及其运算》同步测试3.2.2《对数函数》同步测试3.3《幂函数》同步测试3.4《函数的应用》测试第3章《基本初等函数1》测试1.1 集合与集合的表示方法1.下面四个命题正确的是 ( )A.10以内的质数集合是0,3,5,7B.“个子较高的人”不能构成集合C.方程的解集是1,1D.1是集合N中最小的数2.下面的结论正确的是 ( )A.若,则B.若,则自然数C.的解集是-1,1D.所有的正偶数组成的集合是有限集3.已知集合S中的三个元素可构成ABC的三条边长,那么ABC一定不是 ( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形4.下面四个关系式中,正确的是A.∈0B.aaC.a∈a,bD.a∈a,b5.下列语句:(1)0与0表示同一个集合;(2)由1,2,3组成的集合可表示为1,2,3或3,2,1;(3)方程(x-1)2x-220的所有解的集合可表示为1,1,2;(4)不等式的解集是有限集,正确的是 ()A.只有(1)和(4)B.只有(2)和(3)C.只有(2)D.以上语句都不对6.下列六个关系式①0 ②0 ③④ 0 ⑤0 ⑥其中正确的个数( )A.3B.4C.5D.67.若方程的解集中有且只有一个元素,则的取值集合是( )A.{1}B.{-1}C.{0,1}D.{-1,0,1}8.A面积为1的矩形,B{面积为1的正三角形},则( )A. A,B都是有限集B. A,B都是无限集C. A是有限集,B是无限集D. A是无限集,B是有限集9.若,则实数的值为( )A.-1B.0C.-1或0D.-1或0或-210.若方程和的解为元素的集合是M,则M中元素的个数( )A.1B.2C.3D.411.如果方程的解集是M, 方程的解集是N, 3∈M且3∈N,那么等于14B. 2 C. 11D. 712.方程组解集为 ( )A.0B.1C.1,0 D.(0,1)13.用数对的集合表示方程的一切正整数解为 .14.实数集中的元素应该满足的条件是 .15.已知数集 Aa+2,a+12,a2+3a+3, 且 1∈A, 求实数 a 的值1.1 集合与集合的表示方法1.1.1 集合的概念题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 B C D D C B D D C C A D13. ;1415.解: 若a+daq 解之得q1 a+2daq2当q1时,有aaqaq2与元素的互异性矛盾。

人教版高中数学B版必修1《2.4.1 函数的零点》课后习题(Word版含答案)

2.4.1 函数的零点1．下列函数中有2个零点的是 ( )(A) lg y x = (B) 2x y = (C) 2y x = (D) 1y x =-2．若函数()f x 在区间[],a b 上为减函数，则()f x 在[],a b 上 ( )(A)至少有一个零点 (B)只有一个零点(C)没有零点 (D)至多有一个零点3．函数1211lg ,2,,,x y x y y y y x x x =====的零点个数分别为___________． 4．已知函数()f x 为定义域是R 的奇函数，且()f x 在()0,+∞上有一个零点．则()f x 的零点个数为___________．5．求函数()lg 27f x x x =+-的零点个数．6．若函数()f x 在[],a b 上连续，且有()()0f a f b >．则函数()f x 在[],a b 上( )(A)一定没有零点 (B)至少有一个零点(C)只有一个零点 (D)零点情况不确定7．若()y f x =的最小值为1，则()1y f x =-的零点个数为 ( )(A)0 (B)1 (C)0或l (D)不确定8．用二分法求方程在精确度ε下的近似解时，通过逐步取中点法，若取到区间(),a b 且()()0f a f b <，此时不满足a b ε-<，通过再次取中点2a b c +=．有()()0f a f c <，此时a c ε-<，而,,a b c 在精确度ε下的近似值分别为123,,x x x (互不相等)．则()f x 在精确度ε下的近似值为 ( )(A) 1x (B)．2x (C) 3x (D) ε9．若函数()f x 在[],a b 上连续，且同时满足()()0f a f b <，()02a b f a f +⎛⎫>⎪⎝⎭．则 ( )(A) ()f x 在,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有零点 (B) ()f x 在,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有零点 (C) ()f x 在,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦上无零点 (D) ()f x 在,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦上无零点 10．已知()()32log 19f x x x =+≤≤，判断函数()()()22g x f x f x =+有无零点?并说明理由．11．方程22lg x x -=的实数根的个数是 ( )(A)1 (B)(2) (C)3 (D)无数个 12．已知12,x x 是二次方程()f x 的两个不同实根，34,x x 是二次方程()0g x =的两个不同实根，若()()120g x g x <，则 ( )(A) 1x ，2x 介于3x 和4x 之间(B) 3x ，4x 介于1x 和2x 之间 (C) 1x 与2x 相邻，3x 与4x 相邻 (D) 1x ，2x 与3x ，4x 相间相列13．若关于x 的方程268x x a -+=恰有两个不等实根，则实数以的取值范围为________．14．已知函数()()14,4x f x e g x x -=-=，两函数图象是否有公共点?若有，有多少个?并求出其公共点的横坐标．若没有。

人教B版数学高一版必修1课后导练2.4.1函数的零点

课后导练基础达标1.函数y=x 2-5x+6的零点是（）A.2,3B.-2,-3C.1,6D.-1,-6答案：A2.若函数f(x)唯一的零点在区间(1,3)、(1,4)、(1,5)内，那么下列命题中错误的是（）A.函数f(x)在(1,2)或［2,3)内有零点B.函数f(x)在(3,5)内无零点C.函数f(x)在(2,5)内有零点D.函数f(x)在(2,4)内不一定有零点答案：C3.若二次方程2(kx-4)x-x 2+6=0无实根，则k 的最小整数值是（）A.-1B.2C.3D.4解析：(2k-1)x 2-8x+6=0,由⎩⎨⎧<--=∆≠-,0)12(2464,012k k 得k>611.∴k min =2. 答案：B4.右图是二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，A 、B 是两零点对应的点，则|OA|•|OB|等于（）A.a cB.ac - C.±a c D.无法确定解析：令f(x)=ax 2+bx+c,A(x 1,0)、B(x 2,0),则⎩⎨⎧><0,f(0)0,a ∴⎩⎨⎧><0.c 0,a ∴|OA|·|OB|=|x 1x 2|=|a c |=a c -. 答案：B5.函数f(x)=x 2+bx+c 的两个零点关于x=1对称，则（）A.f(-1)<f(0)<f(4)B.f(-1)<f(4)<f(0)C.f(0)<f(-1)<f(4)D.f(0)<f(4)<f(-1)解析：依题意知二次函数f(x)图象的对称轴为x=1,并且开口向上,结合图象知f(0)<f(-1)<f(4). 故选C.答案：C6.二次函数y=ax 2+bx+c 中，a •c<0，则函数的零点个数是（）A.1B.2C.0D.无法确定解析：∵a·c<0,∴Δ=b 2-4ac>0.∴ax 2+bx+c=0有两个不等根.答案：B7.若方程2ax 2-x-1=0在(0,1)内恰有一解,则a 的取值范围是( )A.a<-1B.a>1C.-1<a<1D.0≤a<1解析：令f(x)=2ax 2-x-1,∵f(0)=-1<0,∴要使2ax 2-x-1=0在(0,1)内恰好有一解,必须f(1)>0.∴f(1)=2a-1-1=2a-2>0.∴a>1.∴选B.答案：B8.函数f(x)=3ax-2a+1在［-1,1］上存在一个零点,则a 的取值范围是( ) A.a≥51 B.a≤-1 C.-1≤a≤51 D.a≥51或a≤-1 解析：由f(1)f(-1)≤0,知(a+1)(1-5a)≤0. 解之,得a≥51或a≤-1. 答案：D9.m ∈R ,x 1、x 2是函数f(x)=x 2-2mx+1-m 2的两个零点，则x 12+x 22的最小值是（）A.-2B.0C.1D.2解析：由Δ=4m 2-4(1-m 2)≥0,得m 2≥21.∴m≥22或m≤22-. ∴x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=4m 2-2(1-m 2)=6m 2-2≥6×21-2=1. 答案：C10.已知函数f(x)为偶函数,其图象与x 轴有四个交点,则该函数的所有零点之和为( )A.0B.2C.1D.4答案：A综合运用11.函数f(x)=x 2+(m-2)x+5-m 的两个零点都大于2,则实数m 的取值范围是_______.解析：由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+-+=>--≥---=∆,05)2(24)2(,222,0)5(4)2(2m m f m m m 解得-5<m≤-4.答案：(-5,-4］12.函数f(x)=-x 3-3x+5的零点所在长度为1的一个区间为________.解析：取特殊值验证,f(1)=1>0,f(2)=-9<0,∴满足条件的区间为(1,2).答案不唯一.答案：(1,2)答案不唯一13.关于x 的方程(k-2)x 2-(3k+6)x+6k=0有两个负根,则k 的取值范围为________.解析：设两根为x 1、x 2, 则由条件知⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-+=+>-=≥--+=∆.0263,026,0)2(24)63(21212k k x x k k x x k k k 解之,得-52≤k<0. 答案：［-52,0) 14.二次函数f(x)=x 2+px+q 的零点为1和m,且-1<m<0,则p 、q 满足的条件是( )A.p>0且q>0B.p>0且q<0C.p<0且q>0D.p<0且q<0解析：由韦达定理知⎩⎨⎧=•-=+,1,1q m p m 又-1<m<0,∴1+m>0.∴q<0,p<0.答案：D15.关于x 的实系数方程3x 2+(m-5)x+1-m=0的两根x 1、x 2满足-1<x 1<0<x 2<2,求m 的取值范围. 解析：令f(x)=3x 2+(m-5)x+1-m,则⎪⎩⎪⎨⎧><>-0)2(0)0(0)1(f f f⇔⎪⎩⎪⎨⎧>-+-+<->-+--.01)5(212,01,01)5(3m m m m m 解之,得1<m<29. 故m 的取值范围为(1,29). 拓展探究16.(1)已知函数f(x)=ax 2+bx+c.若f(1)=0且a>b>c,求证:f(x)必有两个零点.(2)若三正数a 、b 、c 满足a+c<b,求证:方程ax 2-bx+c=0有两根且它们分别在区间(0,1)和(1,+∞)内.证明:(1)∵f(1)=0,∴a+b+c=0,即b=-(a+c).∴Δ=b 2-4ac=(a+c)2-4ac=(a-c)2.又∵a>c,∴a-c≠0.∴Δ=(a -c)2>0.故f(x)=ax 2+bx+c 必有两个零点.(2)Δ=b 2-4ac,∵a 、b 、c 均为正数,且b>a+c,∴b 2>(a+c)2.∴Δ=b 2-4ac>(a+c)2-4ac=(a-c)2≥0,即Δ>0.故ax2-bx+c=0有两实根.又令f(x)=ax2-bx+c,则f(0)=c>0,f(1)=a+c-b<0.因此,这两根分别在(0,1)和(1,+∞)内.。

高中数学第二章函数2.4.1函数的零点练习新人教B版必修1

2.4.1 函数的零点【选题明细表】1.下列函数不存在零点的是( D )(A)y=x-(B)y=(C)y=(D)y=解析:令y=0,得选项A和C中的函数零点都为1和-1;选项B中函数的零点为-,1; 只有选项D中函数不存在零点.故选D.2.函数f(x)=的零点个数是( C )(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个解析:法一x<0时,令x+2=0,得x=-2;x>0时,令x2-1=0,得x=1.所以函数有两个零点,故选C.法二画函数的大致图象如图,从图象易得函数有两个零点.故选C.3.若函数f(x)的零点与g(x)=2x-2的零点相同,则f(x)可以是( B )(A)f(x)=4x-1 (B)f(x)=(x-1)2(C)f(x)=x2+4x-5 (D)f(x)=x2-1解析:令g(x)=2x-2=0,得x=1,所以g(x)的零点为1.由题意知方程f(x)=0的根只有x=1.只有选项B中函数f(x)=(x-1)2满足.故选B.4.函数f(x)=2x2-ax+3有一零点为,则f(1)= .解析:因为是f(x)=2x2-ax+3的零点,所以2×-a×+3=0,所以a=5,所以f(x)=2x2-5x+3,所以f(1)=0.答案:05.已知函数y=f(x)是R上的奇函数,其零点为x1,x2,x3,x4,x5,则x1+x2+x3+x4+x5= .解析:由奇函数的对称性知,若f(x1)=0,则f(-x1)=0,即零点关于原点对称,且f(0)=0,故x1+x2+x3+x4+x5=0.答案:06.函数f(x)=2|x|-ax-1仅有一个负零点,则a的取值范围是( B )(A)(2,+∞) (B)[2,+∞)(C)(0,2) (D)(-∞,2]解析:问题可以转化为y=2|x|与y=ax+1的图象仅有一个公共点,如图,y=2|x|是一条关于y 轴对称的折线,y=ax+1是恒过(0,1)的一条直线,由图可知a的范围是不小于2的实数,故选B.7.若方程x2-x-k=0在(-1,1)上有实数根,则k的取值范围是( C )(A)[-,-) (B)[-,)(C)[-,) (D)[-,+∞)解析:方程x2-x-k=0在(-1,1)上有实数根,即方程x2-x=k在(-1,1)上有实数根.设f(x)=x2-x.因为f(x)=x2-x=(x-)2-,所以f(x)min=f()=-,f(x)max=f(-1)=.所以k∈[-,), 故选C.8.若一元二次方程ax2+2x+1=0(a≠0)有一个正根和一个负根,则有( A )(A)a<0 (B)a>0 (C)a<-1 (D)a>1解析:法一令f(x)=ax2+2x+1(a≠0),因为其图象经过(0,1)点,所以欲使方程有一正根和一负根(即f(x)图象与x轴交点一个在y轴左边,一个在y轴右边),需满足a<0.法二设方程两根为x1,x2,由题意得所以所以a<0.故选A.9.若函数y=ax2-x-1只有一个零点,则a的值为.解析:当a=0时,函数为y=-x-1,此时函数只有一个零点,当a≠0时,函数y=ax2-x-1只有一个零点,即方程ax2-x-1=0只有一个实数根,所以Δ=1+4a=0,解得a=-.答案:0或-10.(2018·广东海珠联考)已知函数f(x)=ax2+mx+m-1(a≠0).(1)若f(-1)=0,判断函数f(x)的零点个数;(2)若对任意实数m,函数f(x)恒有两个相异的零点,求实数a的取值范围.解:(1)因为f(-1)=0,所以a-m+m-1=0,所以a=1,所以f(x)=x2+mx+m-1.Δ=m2-4(m-1)=(m-2)2.当m=2时,Δ=0,函数f(x)有一个零点;当m≠2时,Δ>0,函数f(x)有两个零点.(2)已知a≠0,则Δ=m2-4a(m-1)>0对于m∈R恒成立,即m2-4am+4a>0恒成立,所以Δ′=16a2-16a<0,从而解得0<a<1.即实数a的取值范围为(0,1).11.(2018·江苏南京玄武期中)已知二次函数f(x)=ax2+bx-2(a≠0)图象的对称轴为x=,且f(2)=0.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若方程f(x)=m(x+1)的一个根在区间(0,1)上,另一个根在区间(1,2)上,求实数m的取值范围.解:(1)由题意知,解得故函数f(x)的解析式为f(x)=7x2-13x-2.(2)设g(x)=7x2-13x-2-m(x+1)=7x2-(13+m)x-(m+2),由题意知,函数g(x)在(0,1)内有一个零点,在(1,2)内有一个零点,所以即解得解得-4<m<-2,所以实数m的取值范围为(-4,-2).12.对于函数f(x),若存在x0∈R,使f(x0)-x0=0成立,则称x0为f(x)的不动点.已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+(b-1)(a≠0).(1)当a=1,b=-2时,求函数f(x)的不动点;(2)对任意实数b,函数f(x)恒有两个相异的不动点,求a的取值范围.解:(1)当a=1,b=-2时,f(x)=x2-x-3.因为x0是f(x)的不动点,所以-x0-3-x0=0,即-2x0-3=0,解得x0=-1或x0=3.所以-1和3是f(x)=x2-x-3的不动点.(2)因为f(x)恒有两个相异的不动点, 所以方程f(x)-x=0恒有两个不同的解. 即f(x)=ax2+(b+1)x+(b-1)-x=0,ax2+bx+(b-1)=0有两个不相等的实根, 所以b2-4a(b-1)>0恒成立,即对于任意b∈R,b2-4ab+4a>0恒成立, 所以(-4a)2-4·4a<0得a2-a<0.所以0<a<1.。