2019秋八年级数学上册第12章分式和分式方程12.1分式课件新版冀教版
冀教版数学八年级上册精品课件12.1 分式
④
3x 2k
⑤ z2
x
⑥ 1 ab 2 ac ⑦ x
23
2
【解析】判断一个代数式是否是分式，看分母中是否含有字
母，若分母含有字母是分式；若分母不含有字母则不是分
2 2x
3x
式． 3x, 5x y , 2k
z2
,x
中分母含有字母是分式， x
2
和
1 2
ab
2 3
ac
1
是整式，2
不是分式，因为π不是字母，而是常数．
b）b2）（a
b
0）
这一过程由左到右是怎样变形的?根据的是什么?(小组讨论 回答) 我们把以上两式由右到左的变形过程叫分式的约分. (1)中的3b与(2)中的(a+b)分别是分子与分母的公因式. 利用分式的基本性质,把分式中分子与分母的公因式约去, 叫做分式的约分.
3ac
2a2 a b 是最简分式.这种说法对吗?为什么?
x 2, x 3 ,5x2, x 3 , ab , 1 , 2
5
3x 2 x y 4 x
思考：1.含有分母的式子就是分式吗？ 2.分式和整式相除有什么关系？
解:
x 2, x 3 ,5x2, 1
5
4
都是整式;
因为
x 3 , ab , 2 3x 2 x y x
的分母中都含有字母,所以它们都是分式.
12.1 分式（第2课时）
问题思考
下面的等式中右式是怎样从左式得到的?这种变换的理论
根据是什么?
(1)
6a2b3 8a3b2
3b ; 4a
(2) x2 xy x . x2 y2 x y
冀教版数学八年级上：第十二章 分式和分式方程 第十二章 分式和分式方程
第十二章分式和分式方程1.了解分式的概念,掌握分式的基本性质,并能用其进行约分和通分.2.理解和掌握分式加、减、乘、除的运算法则,会进行简单的分式的加、减、乘、除的运算.3.了解分式方程的概念,会解一些简单的可化为一元一次方程的分式方程,懂得解分式方程可能产生增根,理解检验的必要性,并会进行检验.4.通过与分数的类比,学习分式的性质及其运算;能建立分式方程模型解决有关的实际问题.1.在判断分式的过程中,让学生会区分整式和分式.2.在了解分式的基本性质的基础上,掌握分式的约分和通分法则.3.能按照分式的四则运算法则进行分式的加、减、乘、除及混合运算,掌握计算的方法和技巧,会解分式方程并进行检验.1.在认识分式的过程中,让学生体验知识之间的必然联系,体会类比思想的运用,激发学生爱数学、学数学的兴趣.2.培养学生养成认真仔细计算的良好习惯,认识数学是解决实际问题和进行交流的重要工具.3.结合分析和解决实际问题,讨论可以化为一元一次方程的分式方程,掌握这种方程的解法,体会解方程中的化归思想.本章主要内容是通过现实情境建立分式的概念,探索分式的基本性质,进行分式的加、减、乘、除运算,建立分式方程并解分式方程.分式的运算实质是转化为整式的运算来进行的,分式的通分与约分一般需要分解因式,因此,分式的运算是整式的运算及多项式因式分解的综合运用和进一步发展,也是学习分式方程、函数等内容的重要基础.本章内容呈现方式及特点:(1)突出了模型的建立过程.教材通过用代数式表示现实问题中的数量关系,并对代数式进行分类、比较,建立起分式的概念;在与已学过的方程进行比较的过程中,抓住了知识的“生长点”,建立了分式方程的概念.本章突出了模型思想和建立模型的过程,降低了概念过分形式化的要求.(2)突出了“类比”过程,类比是合情推理的重要方式之一,是“发现”和“创新”的重要手段,也是解决问题的常用方法.本章让学生充分经历了与分数类比、提出猜想、获得分式的基本性质和运算法则的过程.(3)突出了“转化”过程,转化是解决问题常用的思想方法,教材在异分母分式的加减运算和解分式方程中都突出了转化的过程,进一步使学生感悟数学思想,积累解决问题的经验.【重点】1.能用分式的基本性质进行约分和通分,会进行分式的混合运算.2.能解可化为一元一次方程的分式方程.3.能用分式方程解决一般的实际问题.【难点】1.对分式概念及其基本性质的理解.2.能进行分式的约分、通分,体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型.1.让学生充分经历概念的形成过程,学生获得知识必须建立在数学思考的基础上,因此,对于分式、分式方程和分式方程的增根等概念,要创设情境,向学生提供充足的素材,促进数学思考的发展.教学中,还可以补充一些更具有现实性和挑战性的问题.2.分式的通分、约分和运算的教学,实际上是分式基本性质、运算法则的运用,应通过适当的运算让学生进一步理解运算的意义,掌握算法,在理解算理的基础上选择适当的算法,不要追求训练的数量和技巧,不要增加繁难的计算题.3.解分式方程时,要理解去分母的目的和由此产生增根的原因,从而体会去分母的意义和对根进行检验的必要性.能解可化为一元一次方程的分式方程即可,不必增加难度和进行大量的训练.总之,本章的知识是传统的代数基本知识,但在知识的呈现方式上作了较大的改进,在教学要求上也有所不同.在教学过程中,不要认为知识太简单而不留给学生探索与思考的时间和空间,“一讲到底”.对每一个新知识的教学,要有与学生一起思考的活动,要有与学生一起探索的过程,要有与学生一起分享成功的喜悦.本教材内容严格按照课程标准的要求,切实改变繁难偏旧的状况,教学时要把握教材的要求,不要随意增加例题和习题的难度,不要随意拔高要求,以免增加学生不必要的负担.12.1分式1.了解分式的概念,明确分式中分母不能为0是分式成立的条件.2.了解分式的基本性质,掌握分式的约分法则.经历与分数类比学习分式的过程,学会与他人合作,并获得代数学习的一些常用方法:类比转化、合情推理、抽象概括等.1.认识和体会特殊与一般的辩证关系,提高数学运用能力.2.通过类比分数、分数的基本性质及分数的约分,推测出分式、分式的基本性质及分式的约分,在学生已有数学经验的基础上,提高学生学数学的乐趣.【重点】分式的意义、分式的基本性质、最简分式和约分.【难点】分式的特点及要求;分子、分母是多项式的分式约分.第课时1.使学生了解分式的概念,明确整式和分式的区别,能用分式表示现实情境中的数量关系.2.明确分式中分母不能为0是分式成立的条件.3.使学生能求出分式有意义的条件.4.使学生初步掌握分式的基本性质,并能用它进行分式的约分.启发学生学会观察、分析、寻找解题的途径,提高分析问题、解决问题的能力.1.通过丰富的数学活动,获得成功的经验,体验数学活动充满着探索和创新,体会分式的模型思想.2.通过分数与分式的比较,培养学生良好的类比习惯和思想方法,并培养学生严谨的科学态度.【重点】1.分式的概念,分式有意义的条件.2.分式的基本性质.【难点】分式有意义的条件,分式的值为0的条件及分式的基本性质.【教师准备】相关课件.【学生准备】复习小学学过的分数和初中学习过的整式.导入一:某种商品,原来每盒售价为p元,现在每盒的售价降低了2元.用500元钱购买这种商品,现在比原来可多买多少盒?怎样用代数式表示现在比原来可多买多少盒?盒.[设计意图]通过教材章前图,引导学生列出分式,感知分式的特点,为学习本课时做认知准备.导入二:如果在一条公路上,同向行驶且前后相邻的两辆车的车头与车头之间的平均距离为d(米/辆),车辆的平均速度为v(m/s),那么(辆/秒)叫做这条公路的同向行驶的车流量.问题:如果知道中两个字母所代表的数量,你能求出此时的车流量吗?[设计意图]通过教材中习题的车流量的情境,帮助学生感受用“分式”表示生活中数量关系的方便性和准确性.导入三:面对日益严重的土地沙化问题,某县决定分期分批固沙造林,一期工程计划在一定期限内固沙造林2400公顷,实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷,结果提前4个月完成原计划任务.原计划每月固沙造林多少公顷?如果设原计划每月固沙造林x公顷,那么原计划完成一期工程需要个月,实际完成一期工程用了个月.让学生讨论并填空:生:原计划完成一期工程需要个月,实际完成一期工程用了个月.[设计意图]通过土地沙化问题,进一步丰富问题的实际背景,激发学生的求知欲望,让学生探索问题中的数量关系,并且体会保护人类生存环境的重要性.活动一:做一做——感知分式(一)出示教材第2页做一做1.一项工程,甲施工队5天可以完成.甲施工队每天完成的工程量是多少?3天完成的工程量又是多少?如果乙施工队a天可以完成这项工程,那么乙施工队每天完成的工程量是多少?b(b<a)天完成的工程量又是多少?2.已知甲、乙两地之间的路程为m km.如果A车的速度为n km/h,B车比A车每小时多行20 km,那么从甲地到乙地,A车和B车所用的时间各为多少?(二)尝试对所列代数式分类师:同学们能列出这两个问题中的相关代数式吗?生:(列代数式、老师随时板书),;,;,.师:刚才同学们列出的代数式有什么共同特点?你能把它们分成两类吗?预设:生1:都是分数.生2:按照分母是否含有字母分两类.生3:按照分子是否含有字母分两类.[设计意图]通过分类活动,让学生积极参与到课堂思考活动当中,在分类中发现分母含有字母这个重要特征,为总结和理解分式的概念奠定基础.活动二:大家谈谈——总结分式定义思路一问题:1.以上代数式中哪些是整式?哪些不是整式?2.不是整式的代数式有哪些共同特征?教师向学生指出,类比和归纳是探索新概念的重要方法.在学生观察、归纳的基础上,教师板书分式定义:一般地,把形如的代数式叫做分式,其中,A,B都是整式,且B含有字母.A叫做分式的分子,B叫做分式的分母.类比分数剖析分式概念:形式:与分数一样,分式也是由分子、分母和分数线组成.内容:分数的分子、分母都是整数,分式的分子、分母都是整式.要求:分式的分母中必须含字母;分子中可以含字母,也可以不含字母.思路二师:下面请同学们看一下这四个式子,看它们有什么相同点和不同点?,,,.学生根据自己的观察,说出:,是分数,是整式.师:而另两个式子,看它们有什么特点?请同学们自己总结一下.学生思考后说:分母中有字母.引导学生归纳:一般地,把形如的代数式叫做分式,其中,A,B都是整式,且B含有字母.A叫做分式的分子,B叫做分式的分母.活动三:例题讲解——深化对分式的认识指出下列各式中,哪些是整式,哪些是分式.x-2,,5x2,,,,.思考:1.含有分母的式子就是分式吗?(不是,分式的分母中必须含有字母)2.分式和整式有什么关系?(分式可以看成两个整式相除的商,除式中要含有字母)学生分析,得出结论.解:x-2,,5x2,都是整式;因为,,的分母中都含有字母,所以它们都是分式.[设计意图]通过观察、归纳、总结出整式与分式的异同,类比分数,合理联想,获得分式概念,通过问题分析加深学生对分式概念的理解,从而揭示分式概念的本质.活动四:大家谈谈——分式的字母可以任意取值吗在什么情况下,下列各分式无意义?,,.问题:1.分数在什么情况下无意义?2.分式中分母的字母可以任意取值吗?3.在什么情况下上面的三个分式无意义?[处理方式]学生交流、老师总结强调.(1)分式有意义,需要分母不为0,需要解一个带“≠”的不等式;反之,当分式无意义时,则分母为0.(2)分式的值为0,既要分子等于0,也要分母不为0.可以用方程和不等式组成条件组表示上述条件.[设计意图]由学生自己发现问题、解决问题并找出关键所在,既能激发学生的求知欲望,又能有效深化知识.同时通过形象比喻“分数线是路面,分母是陷阱”使学生品味数学的趣味性.(补充例题)当x取什么值时,下列分式有意义?(1);(2);(3)-.〔解析〕只有当分母不为零时,分式才有意义.解:(1)要使有意义,必须使4x+1≠0,即x≠-.所以当x≠-时,有意义.(2)要使有意义,必须使1-≠0,即x≠±1,所以当x≠±1时,有意义.(3)要使-有意义,必须使x+3≠0且x-2≠0,即x≠-3且x≠2.所以当x≠-3且x≠2时,-有意义.强调:在解答分式有意义、无意义、值为零的题型时,一定要紧扣分式的概念.如分式有意义时,必须满足B≠0;无意义时,必须满足B=0;值为零时,必须满足A=0且B≠0.其中值为零已经隐含了分式有意义,只是值为零而已,注意区别.[知识拓展]对于分式的定义和成立的条件要注意以下几点:1.分式的形式与分数类似,但它们是有区别的,分数是整式,不是分式,分式是两个整式相除的商式,其根本区别如下表:2.分式与分数是相互联系的,由于分式中的字母可以表示不同的数,所以分式比分数更具有一般性;分数是分式中字母取特殊值后的特殊情况.3.注意分母含π的代数式容易判断错误,如:不是分式,因为π不是字母,而是常数.4.注意分式的值为0时,容易忽略分母不为0的条件.活动五:分式的基本性质你觉得,和三个数下面我们来看看分式是否具有类似的性质?1.请看下面的问题:填空:学生独立思考,根据分数的基本性质,的分子、分母同乘2,可得,的分子、分母同除以10,得.思考:分式的分子和分母同乘(或除以)一个不等于0的整式,分式的值会怎样?归纳:分式的分子和分母同乘(或除以)一个不等于0的整式,分式的值不变.用式子表示为:,(M是不等于0的整式).【注意】因为0不能作除数,所以分式的分子、分母同乘(或除以)的这个整式不能等于0.2.“做一做”.分式与相等吗?还有与它们相等的分式吗?如果有,请你写出两个这样的分式.引导学生得到:把的分子、分母同除以(a-b)得到;把的分子、分母同除以b得到,所以两个分式相等.学生举出具有同样特点的两个分式.[知识拓展]理解分式的基本性质应注意以下几点:分式的基本性质与分数的基本性质类似,要特别注意“不等于0”“同乘(或除以)”这些关键词.“同乘(或除以)”说明分子与分母都乘或都除以,并且分子与分母乘或除以的整式是相同的;“不等于0”是对分子与分母乘或除以的整式的限制条件.若原分式的分子(或分母)是多项式,运用分式的基本性质时,要先把分式的分子(或分母)用括号括上,再乘(或除以)非零整式.把形如1.如果分式有意义,那么x的取值范围是()A.任意数B.x=1C.x≠1D.x=0解析:分式有意义,分母x-1≠0,据此可以求得x的取值范围是x≠1.故选C.2.若将分式(a,b均为正数)中的字母a,b的值分别扩大为原来的2倍,则分式的值()A.扩大为原来的2倍B.缩小为原来的C.不改变D.缩小为原来的解析:分式中的字母分别扩大为原来的2倍,分式的分子扩大为原来的2倍,分式的分母扩大为原来的4倍,所以分式的值缩小为原来的.故选B.3.下列代数式是分式的有.(填序号);;;;;ab-ac;.解析:判断一个代数式是不是分式,看分母中是否含有字母,若分母含有字母,则是分式;若分母不含有字母,则不是分式.,,,中分母都含有字母,是分式,ab-ac和是整式,不是分式,因为π不是字母,而是常数.故填②③④⑤.4.已知分式,当x=时,分式无意义.解析:根据分式无意义,分母等于0列式计算即可得解.根据题意,得x+3=0,解得x=-3.故填-3.5.判断下列从左到右的变形是否正确.(1).()(2).()(3).()(4).()解析:此类题主要考查分式的基本性质.对于,条件中隐含a≠0,分子、分母同时乘a,可得成立,因此(1)正确;分子、分母加上c,只有当c=0时一定成立,其余条件下不一定成立,因此(2)错误;当c=0时,不成立,因此(3)错误;在中,隐含c≠0,分子、分母同时除以c,式子成立,因此(4)正确.答案:(1)(2)×(3)×(4)6.已知分式,当x=-3时,该分式没有意义;当x=-4时,该分式的值为0,求(m+n的值.解析:分式没有意义时,分母为0;分式的值为0时,分子为0,分母不为0.解:根据分式没有意义的条件,有x+m=0,则x=-m,当x=-3时,m=3,再根据分式的值为0的条件,可求得n 的值为-4,所以(m+n)2019=(3-4)2019=1.7.不改变分式的值,把式子的分子与分母的系数化为整数.解析:利用分式的基本性质,分子与分母同时乘6即可.解:.(答案不唯一)第1课时活动一:做一做——感知分式活动二:大家谈谈——总结分式定义分式定义活动三:例题讲解——深化对分式的认识例1活动四:大家谈谈——分式的字母可以任意取值吗?例2活动五:分式的基本性质,(M是不等于0的整式)一、教材作业【必做题】1.教材第3页练习第1题.2.教材第4页习题第1,2题.【选做题】教材第4页习题第3题.二、课后作业【基础巩固】1.代数式的家中来了几位客人:,,,,,+y,其中属于分式家族成员的有()A.1个B.2个C.3个D.4个2.当分式没有意义时,x的值是()A.2B.1C.0D.-23.下列关于分式的判断,正确的是()A.当x=2时,的值为零B.当x≠3时,有意义C.无论x为何值,不可能得整数值D.无论x为何值,的值总为正数【能力提升】4.若是一个整数,则x的最大的整数值为()A.8B.13C.16D.185.当x=3时,分式的值是.6.当m=时,分式的值为零.7.某工厂计划a天生产60件产品,则平均每天生产该产品件.8.观察下列式子:4=4-,5=5-,6=6-,设n表示正整数(n≥4),用含n的等式表示这个规律是.9.下列各式中,哪些是整式?哪些不是整式?两者有什么区别?a,2x+y,,,,3a,5.【拓展探究】10.在学习中小明和小丽都遇到了“当x取何值时,有意义”?小明的做法是:先化简,要使有意义,必须x-2≠0,即x≠2;小丽的做法是:要使有意义,必须x2-4≠0,即x2≠4,所以x1≠-2,x2≠2.如果你与小明和小丽在同一个学习小组,请你发表一下自己的意见.【答案与解析】1.C(解析:分式与整式的区别主要在于分母中是否含有未知数.,,这3个式子分母中含有字母,因此是分式.其他式子分母中均不含有字母,是整式,而不是分式.故选C.)2.A(解析:分式无意义的条件:分母为零.)3.D(解析:根据分式的值为0的条件,以及分式有意义的条件即可求解.当x=2时,无意义,故A错误;当x≠0时,有意义,故B错误;当x=2时,得整数值,故C错误;分母x2+1大于0,分子大于0,故无论x为何值,的值总为正数,故D正确.)4.A(解析:如果是一个整数,那么x-3是5的约数,则x-3=±1或±5.即x=4或2或8或-2,所以x的最大整数值是8.)5.1(解析:将x=3代入分式,即可求得分式的值.)6.3(解析:由(m-1)(m-3)=0,m2-3m+2≠0,解得m=3.故填3.)7.(解析:工作效率=工作总量÷工作时间,把相关数值代入即可.)8.n=n-(解析:观察等式可得等号左边的第一个因数与第二个因数的分子、等号右边的被减数、等号右边减数的分子相同;等号左右两边的分母均为前面所得的数加1.)9.解:整式:a,2x+y,,3a,5;不是整式:,.它们的区别在于分母中是否含有字母,若含有字母,则不是整式,若不含有字母,则是整式.10.解:要使有意义,必须x2-4≠0,即x2≠4,所以x1≠-2,x2≠2.故小丽的做法正确,小明的做法使原来的分式中字母x的取值范围扩大了,从而出错.从相等分数的变形依据,分数的基本性质作为复习引入,类比到相等分式的变形依据,归纳概括出分式的基本性质.对分数的基本性质和分式的基本性质做了对比研究,实现了从“数”到“式”的提升.1.在教学过程中,对于学生的指导还有些不够到位的地方,如:对分式有意义、无意义和值为零类解答题的解答过程示范不够到位.2.让部分因式分解不熟练的学生没有积极投入到分式基本性质的学习中来.1.注意加深整式和分式的区别,加强解答题目过程的示范,进一步关注数学与生活的紧密联系.2.在例题选配上,还需要进一步突破应用分式的基本性质对分式进行变形这一难点,增设判断从左到右的变形是否正确这一类例题.练习(教材第3页)1.解:(1)x≠1. (2)x≠-.2.解:(1)正确. (2)不正确. (3)正确. (4)正确.习题(教材第4页)1.解:当v=20 m/s,d=10米/辆时,=2(辆/秒).2.解:要使分式有意义,则必有x+1≠0,所以x≠-1,所以当x≠-1时,分式有意义.要使分式的值为0,则必有所以x=0,所以当x=0时,分式的值为0.3.解:(1)是分子、分母同时乘x2得到的. (2)是分子、分母同时除以x得到的. (3)是分子、分母同时乘5得到的. (4)是分子、分母同时除以x-2得到的.4.解:答案不唯一.如,等.重难点突破建议分式是在学生学过分数、整式的基础上对代数式的进一步研究.分式与分数类似,但又有所不同,分数是分式的具体化,分式是分数的一般形式,这种一般与特殊以及“数式相通”的类比思想学生还是比较欠缺的.但是八年级的学生具有一定独立思考、概括归纳的能力,也有很强的合作意识.本课时的重点为分式的概念,难点为理解并掌握分式有意义和值为零的条件.为了能突破这一重、难点,为后续的学习奠定坚实的基础,所以本节的设计中,突出了学生观察、猜想、分析、思考、归纳等过程,让学生真正地参与到学习中去,提高他们的学习兴趣.当x 时,分式的值为负数.〔解析〕分子x2+4>0,分子与分母异号时,分式的值为负数,即x-2<0,x<2.学生小组合作,并交流解析过程.故填<2.[设计意图]尽管有一定的难度,但学生通过小组合作交流,没有畏惧感,发挥了学生解决问题的主动性,使每个学生在探究中有所收获.下列各式中,哪些是整式?哪些是分式?,,-,-,,x2+y,〔解析〕区分整式与分式的标准就是看分母,分母中不含字母的是整式,分母中含有字母的是分式.解:整式有:,,x2+y.分式有:,-,-.[解题策略]注意辨析一些特殊的代数式,如中π是常数,故是整式;-容易看出是分式,是整式,类比“一个整数减去一个分数结果是分数”得出-是分式.x取什么值时,分式有意义?解:x≠-1且x≠-2时,分式有意义.[解题策略]要使分式有意义,应使分式的分母不为零,对(x+1)(x+2)≠0来说,欲使其成立,必须x≠-1,同时x≠-2,即x≠-1且x≠-2.[方法提示]只要分式中的分母不等于0,分式就有意义.第课时1.类比分数的约分,理解分式约分的意义.2.会用分式的基本性质进行约分,掌握分式约分的方法与步骤.通过类比分数的约分,探索分式的约分法则,学会运用类比转化的思想研究数学问题.1.通过研究解决问题的过程,培养学生合作交流的意识与探究精神.2.通过对分式约分的探究,让学生充分参与到数学学习的过程中来,使他们体验到成功的乐趣.【重点】运用分式的基本性质正确地进行分式的约分.【难点】约分时,最简公因式的确定.【教师准备】课件1~11.【学生准备】复习分数的约分和分式的基本性质.导入一:【课件1】怎样把分数,约分?你做这些题目的依据是什么?与相等吗?为什么?学生将,约分后,仿照分数约分的方法,根据分式的基本性质,约去分式的分子与分母的公因式2mn,得到.【教师点拨】分式化为,这样的分式变形过程就是分式的约分.导入二:【课件2】下面的等式中右式是怎样从左式得到的?这种变换的理论根据是什么?(1);(2).解:(1)式中的左边,分式的分子与分母都除以2a2b2,得到右式,这里a≠0,b≠0. (2)式中的左边,分式的分子与分母都除以(x+y),得到右式,这里(x+y)≠0.这种变换的根据是分式的基本性质:分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变.【课件3】化简:(1),(2),并说出这是什么运算?运算的依据是什么?解:(1). (2).这种运算是分数的约分,运算的依据是分数的基本性质.师:什么是分数的约分?约分的方法是什么?约分的目的是什么?生:把一个分数化为与它相等,但是分子、分母都比较小的分数,这种运算叫做分数的约分.对于一个分数进行约分的方法是:把分子、分母都除以它们的公约数(1除外).约分的目的是把一个分数化为最简分数.师:分式的约分和分数的约分类似,下面讨论分式的约分.导入三:同学们,想一想,对分数怎样化简?【课件4】思考:下列分式是怎样从左边变形到右边的?(1)(y≠0);(2);(3).反过来,把一个分式的分子、分母都除以公因式之后,就完成了约分.下面我们先来看看分式的约分.(板书课题)[设计意图]按由特殊到一般的思路让学生回忆有关内容,为学习新知识做好铺垫.在这个活动中,首先激活学生原有的知识,体现了学习是在原有知识的基础上自我生成的过程.活动一:分式的约分和最简分式思路一1.分式的约分分式能不能化简?如果能,那么化简的依据是什么?化简的结果又是什么?教师指导学生将分式的分子和分母先因式分解,然后再约分.展示【课件5】。
新冀教版八年级数学上册第12章 分式和分式方程 12.1.1 分式及其基本性质【创新课件】
3x 2 x y 4 x
解： x 2, x 3 , 5x2 , 1 都是整式；
5
4
因为 x 3 , ab , 2 的分母都含有字母，所以
3x 2 x y x
它们都是分式.
总结
知1－讲
分式只注重形式而不注重结果，判断一个式 子是不是分式的方法：首先要具有 A 的形式，其
B 次A，B是整式，最后看B是不是含有字母．分母
含有字母是判断分式的关键条件．
知1－练
1 下列各式：－3a2，x 2 , 2x , a 2b , 3, 2x 中， 2 x π+2 x y
哪些是分式？哪些是整式？ 解：分式有，2x , 2x ；
x x y 整式有－3a2，x 2 , a 2b ，3.
2 π+2
知1－练
2
设A，B都是整式，若
a
么？分式
2x 3 x2
中的字母x呢？
结论 在分数中，分母不能等于0.同样，在分式中，分
母也不能等于0，即当分式的分母等于0时，分
式没有意义.如
1 x
5
分式，当x－5≠0，即x≠5
时,它有意义；当x－5=0,即x=5时,它没有意义.
知2－讲
1．在分式中，当分母的值不为0时，分式有意义； 当分母的值为0时，分式无意义．
知3－导
分数的分子和分母同乘(或除以)一个不等于0的数， 其值不变.如
2 2 2 , 10 10 10 . 3 3 2 100 100 10 类比分数的这种性质，思考：分式的分子和分母 同乘(或除以)一个不等 于0的整式，分式的值会怎样？
归纳
知3－导
分式的分子和分母同乘(或除以)一个不等于0的 整式，分式的值不变.
【冀教版】八年级上册数学12.1 第1课时 分式及其基本性质PPT课件
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17
y 5.若把分式 的 x和 y 都扩大两倍,则分式的值( B ) x y
A．扩大两倍 B．不变
C．缩小两倍
D．缩小四倍
xy 6.若把分式 中的 x和 y都扩大3倍,那么分式的值( A ). x y
A．扩大3倍 C．扩大4倍 B．扩大9倍 D．不变
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18
课堂小结
1.第2个分式在什么情况下无意义？ 2.这三个分式在什么情况下有意义？ 3.这三个分式在什么情况下值为零？
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10
A . 对于分式 B
B=0 （1） 分式无意义的条件是_____________. （2）分式有意义的条件是 B≠0 . . （3）分式的值为零的条件是 B≠0且A=0
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被除式 被除式÷除式 = （商式） 除式 整式 整式 分式
x x y
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7
分式的概念
用A、B表示两个整式，A÷B就可以
A 表示成 形式.如果B中含有字母，式 B
子 就叫做分式.其中，A叫做分式的 分子，B叫做分式的分母.
分式的特点
分式的特征是: ①分子、分母 都是 整式
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；
8
分式的概念 ①分子分母都是整式；
②分母中必含有字母.
分母中字母的取值不能使分母值为零，否则分式无意义. 当分子为零且分母不为零时，分式值为零. 分式的基本性质
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第十二章 分式和分式方程
12.1 分式 第1课时 分式及其基本性质
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1
学习目标
1.理解分式的概念，能正确区分整式和分式. 2.掌握分式有意义、无意义及分式值为零的条件.（难点）
冀教版八年级数学上册第十二章《分式和分式方程》PPT课件
(3) a b ( ab
a2+ab a2b
).
y
5.若把分式 x y 的 x和 y 都扩大两倍,则分式的值( B )
A．扩大两倍 C．缩小两倍
B．不变 D．缩小四倍
xy
6.若把分式
中的 x和 y都扩大3倍,那么分式的值( A).
x y
A．扩大3倍 C．扩大4倍
B．扩大9倍 D．不变
课堂小结
典例精析
例1
计算：
6x 5y
10 y2 3x3
.
解：
6x 10y2
5y 3x3
6x (10y2 5y 3x3
)
4y x2
.
提示 计算分式的乘法，要按照分式的乘法法则进行运算， 注意约去分子、分母中的公因式，同时还要注意分解因 式和约分，计算的结果一定要化成最简形式.
例2
计算：
a2 a2
4a 2a
4 1
a a2
1 4
.
解： a2 4a 4 a 1 a2 2a 1 a2 4
(a 2)2 a 1 (a 1)2 (a 2)(a 2)
a2 1 (a 1) (a 2)
a2 a2 a
2
.
二 分式的乘方
问题 类比： (ab)n=anbn，那么 ( a )n ? b
分式的乘方法则
分式的特点 分式的特征是: ①分子、分母 都是 整式 ；
②分母中含有 字母 .
二 分式有（无）意义及分式值为0
观察与思考
探究 求下列分式的值：
x … -2 -1
0
1
2…
x x-2 …
1 2
1 3
0
无 -1 意 …
义
冀教版八年级数学上册课件ppt《12.1分式》
观察思考
（1）分式
18 3x
与
18x 3x2
的分子，分母间有怎样的关系？对于同一个x的值，
这两个分式的值又有怎样的关系？分式
18 3x
与
6 x
之间情况又怎样呢？
（2）由此你发现分式具有怎样的性质？
类比分数的基本性质，得到： 分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘（或除以）同一个不等 于0的整式 ，分式的值不变． 用公式表示为： A A M , A A M . 其中M是不等于0的整式．
2、已知甲、乙两地之间的路程为m km ．如果A车速度为n km/h，B车
m
每小时比甲车多行驶20km，那么从甲地到乙地A所用的时间为___n__h，
m
B车从甲地到乙地所用的时间为_n__2_0__h．
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大家谈谈
1、上面的代数式那些是整式?那些不是?
整式： 1，
5
53．
第十二章· 分式和分式方程
12.1 分式
河北教育出版社 八年级 | 上册
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情境导入
1、一项工程，甲施工队5天可以完成．甲施工队每天完成的工程量是
1
3
__5_，3天完成的工程量是__5_，如果乙施工队a天可以完成这项工程，那
1
b
么乙施工队每天完成的工程量是__a _，b(b<a)天完成的工程量是___a __．
（3） 4m m2 ．
m2 8m 16
解：（1）
35a2b2 15a3b
＝
7b 3a
5a 5a
2b 2b
＝
7b 3a
；
（2） x2 y2 (x y)(x y) x y ；
冀教版数学八年级上册12.1分式 课件(共25张ppt)
都扩大3倍，
那么分式的值( A ).
A．扩大3倍
B．扩大9倍
C．扩大4倍
D．不变
分数是如何约分的？
1、约分： 约去分子与分母的最大公约数，化为最简分数.
15 = 35 5
21
37 7
观察下列化简过程，你能发现什么？
a 2bc a2bc ab c
ab
ab ab
这一过程实际上是将分式中分子与分母的公因式约去. 把分式分子、分母的公因式约去，这种变形叫分式的 约分.分子和分母没有公因式的分式叫做最简分式. 分式约分的依据是什么？
分式
1.一项工程,甲施工队5天可以完成.甲施工队每天完 成的工作量是多少？3天完成的工作量又是多少？如 果乙施工队a天可以完成这项工程，那么乙施工队每 天完成的工作量是多少？b(b<a)天完成的工作量又 是多少？
解：设这项工程的总工作量为1.
则甲施工队5天完成时的工作量是 1 .
3天完成的工作量是 3 .
144 (96) 144 (192) 64
= 240 400
3 5
做一做 当p=12，q=-8时，请分别用直接代入求值和化
p2 pq
简后代入求值两种方法求分式 p2 2 pq q2 的值，
并比较那种方法较简单.
解：先化简后代入求值：
p2 pq p2 2 pq q2
p( p q) ( p q)2
5
5 如果乙施工队a天完成，则乙队每天完成工作量为
1
.
b
a
b天完成的工作量为 a .
2.已知甲、乙两地之间的路程为m km.如果
A车的速度为n km/h，B车比A车每小时多行
20km，那么从甲地到乙地，A车和B车所用
八年级数学上册(冀教版)课件：第十二章 分式和分式方
先算乘除，再算加减；如果有括号先算括号内的.
分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 解分式方程的步骤 （1）去分母，在方程的两边同时乘以最简公分母，把分式 方法转化为整式方程； （2）解这个整式方程； （3）检验，把一元一次方程的根代入所乘的最简公分母中， 看结果是否为0； （4）写出是原分式方程的解. 分式方程的增根 在去分母,将分式方程转化为整式方程的过程中出现的不适 合于原方程的根.
2a (a 1) a2 1. a 1
2a(a 1) (a 1)(a 1) a2 1原式=来自a 1a1 a1
2a2 2a (a2 1) (a2 1)
a 1
2a(a 1)
2a.
a 1
x x6 1
12.当
x
=
200
时，求
x3
x2
3x
x
的值.
解:
x
x
3
x x2
6 3x
1 x
x2 x 6 x 3 x(x 3) x(x 3) x(x 3)
x2 9 (x 3)(x 3) x 3 .
x(x 3) x(x 3)
x
当 x = 200 时,原式=
200 3 200
同分母分式相加（减） ，分母不变,把分子相加（减）.
通分
AC AC. BB B
把几个异分母分式分别化成与它们相等的同分母分式，叫做
分式的通分，这个相同的分母叫做这几个分式的公分母.
异分母分式的加减 异分母分式相加减 ，先通分,变为同分母的分式,再加减.
a c ad bc ad bc ; a c ad bc ad bc . b d bd bd bd b d bd bd bd
【冀教版】八年级数学上册：12.1《分式(第2课时)》ppt课件
2019/8/24
方法归纳：
(1)如果分式的分子、分母都是单项式, 那么直接约去分子与分母的公因式; (2)如果分式的分子、分母是多项式,那 么能因式分解的先因式分解,由此找出 公因式,再进行约分.(3)约分后,分子与 分母(除1外)不能再有公因式.
做一做 【拓展延伸】 约分 32a2b3c ，
基本性质.
活动一:分式的约分和最简分式
学习新知
1.分式的约分
想一想：分式
ab ac bd cd
能不能化简？
若能,化简的依据是什么,化简的结果又是什么？
归纳: (1)分式约分的依据是根据分式的基本性质. (2)约分:依据分式的基本性质,把分式的分子与分母的公 因式约去,叫做分式的约分.
思考:若分子、分母都是单项式时,如何找公因式?当分 子、分母都是多项式时,又如何找公因式?
解：(答案不唯一)选x2+4xy+4y2作分子,x24y2作分母,则：
x2 4xy 4y2 x2 -4y2
x 2y2
x 2yx 2y
x 2y . x 2y
2019/8/24
2019/8/24
2019/8/24
2019/8/24
2019/8/24
解：（1）150aa23bb3cc2
2a b2c
.
（2）32baaabb
2a . 3b
（3）
a x
x a
2 3
x a2 x a3
1. xa
(2)式中的左边,分式的分子与分母都除以(x+y),得到右式,这里(x+y)≠0.这种
变换的根据是分式的基本性质:分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等
冀教版八年级数学上册_分式方程PPT课件
分母中含未知数的 方程叫做分式方程.
分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
分式方程的特征 （1）是等式； （2）方程中含有分母； （3）分母中含有未知数.
练一练
下列方程中，哪些是分式方程？哪些整式方程.
(1) x 2 x ; 23
2 4 3 7;
xy
整式方程
(3) 1 3 ; x2 x
解这个方程, 得: x = 3.
检验:将 x = 3 代入原方程,得: 左边 = 1 = 右边.
所以:x=3是原方程的根.
2.解方程：
x x5
5 . 5 x
解
方程两边都乘以 x 5 ,得：
：
解这个方程，得：x 5 .
检验：将 x = 5 代入原方程，方程的分母为零. 所以，x = 5 是方程的增根，原方程无实根 .
(4) x x1 1. 23
讲授新课
一 分式方程的相关概念
问题 一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时,它沿江 以 最大航速顺流航行100千米所用时间,与以最大航速逆流航行 60千米所用时间相等,江水的流速为多少?
解：设江水的流速为 v 千米/时，根据题意，得
100 60 . 20 v 20v
3.当m为何值时，方程 x 2 m 会产生增根. x3 x3
解 方程两边同乘以最简公分母（x-3）， 得
：
x-2(x-3)=m，
x-2x+6=m， 解方程，得 x=6-m.
因为原分式方程有增根，所以x=3.
得 6-m=3，即 m=3.
课堂小结
分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 解分式方程的步骤 （1）去分母，在方程的两边同时乘以最简公分母，把分式 方法转化为整式方程； （2）解这个整式方程； （3）检验，把一元一次方程的根代入所乘的最简公分母中， 看结果是否为0； （4）写出是原分式方程的解. 分式方程的增根 在去分母,将分式方程转化为整式方程的过程中出现的不适 合于原方程的根.
冀教版八年级数学上册12.1《分式》课件
， =
B B × M B B ÷M
（其中M为≠0的整式）其中A,B,M是整式.
探究新知
学生活动一 【观察与思考】
分式
ab＋ac
能不能化简？如果能，那么化简的依据是什么，
bd＋cd
化简的结果又是什么？
探究新知
化简过程：
原分式
化简后分式
探究新知
定义1：像上面这样，把分式中分子和分母的公因式约去，
第2课时 分式的约分
学习目标
1.理解和掌握分式的约分、最简分式的概念。
2.会用分式的基本性质进行分式的约分。
3.通过对分式约分的探索，体会类比思想，感受
知识建构的过程。
回顾复习
思考：分式的基本性质是什么？
分式的分子与分母乘以（或除以）同一个不等于0的整式，
分式的值不变.
A A × M A A ÷M
巩固练习
【例】约分：
x2 y2
35a2b2
4m−m2
（1）
；（2）
；（3） 2
.
15a3b
m −8m＋16
a（x＋y）
探究新知
学生活动二 【做一做】
当p＝12，q＝－8时，请分别用直接代入求值和化简后代入求
值两种方法求分式
p 2 pq
p 2 2 pq q 2
先化简再求值.
的值，并比较哪种方法较简单.
当分母的值为0时，分式无意义．
2．分式的值为零的条件：分子为零，分母不为零．
巩固练习
在什么情况下，下列各分式无意义？
2
x−3
ab
，
，
.
x
x
−
y
3x＋2