理论力学试题 第16套-参考答案

一．填空题（共10分，每空2分） (1)

29

ωml L =；(2) 20406αω+=ml F R ；0212αml M o =； (3) 2

406

αω+=ml F R ；02

9

αml M c =；

二．简答题（共10分）

1. 答：在光滑的冰面上，运动员的动量矩守恒，当运动员张开手臂时，运动员的转动惯量增加，则运动员转的慢，即运动员绕铅垂轴角速度的变小；收回手臂时，运动员的转动惯量减小，则运动员转的快，即运动员绕铅垂轴角速度的变大。（5分）

2. 答：（1）动能

ωωω⋅==J J T 21

212，其中ωJ L =是恒定的，因此，当两手臂收缩回来时，从而使旋转加快，即角速度增加，所以动能增加。（2）旋转时两手臂收缩过程中，身体要向下蹲，即重心向下，因此重力做正功，使得动能增加。（5分）

三．电动机的定子和机壳的质量为m 1，转子质量为m 2，电动机未用螺栓固定，

放置在水平地面上，设定子的质心位于转轴的中心O 1，但由于制造误差，转子的质心O 2到O 1的距离为e 。各处摩擦不计，初始时电动机静止，求转子以匀角速度ω转动时电动机外壳的运动。（20分）

解：电动机在水平方向没有受到外力，且初始为静止，因此系统质心的坐标x c 保持不变。

坐标轴如图。转子在静止时转子的质心O 2在最低点，设1C x a =。当转子转过角度ϕ 时，定子应向左移动，设移动距离为s ，则质心坐标为

12212

()(sin )

C m a s m a e s x m m ϕ-++-=

+

因为水平方向质心守恒，所以有12C C x x =，解得

2

12

sin m s e m m ϕ=

+

电机在水平面上往复运动。

四．起重机卷筒半径r ，卷筒对转轴的转动惯量J ，如图所示。被提升重物的质量m 。设卷筒受到的主动转矩M 。试求重物上升的加速度和绳索的拉力。（20分） 解：（1）系统对O 轴的动量矩：v mr r

J

mvr J L o )(+=+=ω 系统外力对O 轴的力矩: mgr M M o -=

由动量矩定理∑=)(i o o

F M dt dL 可得: mgr M dt

dv mr r J -=+)( 即: 2

2)/()(mr J mgr Mr mr r J mgr M a +-=+-=

（2）假想将绳子剪断，以重物为研究对象，受力如图，由牛顿第二定律得：

g m F a m 22-=

解得2

22mr J MrJmg

mg mr J mgr Mr m mg ma F +=++-=+=

五．沿斜面纯滚动的圆柱体和绕O 转动的鼓轮，二者质量均匀分布且均为m ，

半径均为R 。作用在鼓轮上的力偶矩为M ，斜面的倾角为θ。设绳的质量和各处摩擦均忽略不计，求：鼓轮的角加速度。（20分） 解：圆柱体和鼓轮组成质点系。任意瞬时质点系的动能为

222222)(2

1

21)(212121ωωωωR m mR R m mR T =⋅⋅++⋅⋅=

外力所做元功为

ϕθθϕδd R mg M ds mg d M W ⋅⋅-=⋅-⋅=)sin (sin

由功率方程dt W

dt dT δ=

dt

d R mg M dt d mR ϕθωω)sin (22⋅-=⋅

⋅ a

2g

a

F

因dt d ϕω=

，

αω

=dt

d ，所以鼓轮的角加速度由上式得 2

2sin mR R

mg M ⋅-=θα

六．匀质长方形板ABDE 的质量是m ，边长各为b 和2b ，用两根等长的细绳AO 1

和BO 2吊在水平固定板上。已知该板对过其质心C 并垂直于板面的轴的转动惯量212

5

mb J C =

。如果系统在静止状态时突然细绳BO 2，求此时长方形板质心C 的加速度以及绳AO 1的拉力。（提示：可以应用动静法求解）（20分） 解：绳BC 被剪断的瞬时, 受力分析如图

惯性力大小为：cx Iy ma F =，cy Iy ma F =，αC IC J M = 列平衡方程得： 00

=--=∑T F mg F

Ix x

（1）

()()00

=-+=∑b mg F J M Ix C A

αF （2）

绳子刚被剪断瞬时，板初线速度和初角速度均为零，所以

0=n A a ，则：τA A a a =

以A 为基点，则质心C 的加速度可表示为n CA CA A C a a a a ++=τ 即：n CA

CA A Cy Cx a a a a a ++=+τ 上式中，ατ⋅==AC a a CA n CA ,0

将加速度矢量向x 轴投影得

ααθτb AD b

AD a a CA Cx =⋅⋅=

=22cos （3） 将式（3）代入式（1）和式（2）整理解得： mg T g a C 17

5

,1712==