代数学基本定理

代数学基本定理：任何复系数一元n次多项式方程在复数域上至少有一根(n≥1)，由此推出，n次复系数多项式方程在复数域内有且只有n个根（重根按重数计算）.代数基本定理在代数乃至整个数学中起着基础作用。据说，关于代数学基本定理的证明，现有200多种证法。

代数学基本定理说明，任何复系数一元n次多项式方程在复数域上至少有一根。

由此推出,n次复系数多项式方程在复数域内有且只有n个根（重根按重数计算）。

有时这个定理表述为：任何一个非零的一元n次复系数多项式，都正好有n个复数根。这似乎是一个更强的命题，但实际上是“至少有一个根”的直接结果，因为不断把多项式除以它的线性因子，即可从有一个根推出有n个根。

尽管这个定理被命名为“代数基本定理”，但它还没有纯粹的代数证明，许多数学家都相信这种证明不存在[1] 。另外，它也不是最基本的代数定理；因为在那个时候，代数基本上就是关于解实系数或复系数多项式方程，所以才被命名为代数基本定理。

2证明历史

代数基本定理在代数乃至整个数学中起着基础作用。据说，关于代数学基本定理的证明，现有200多种证法。迄今为止，该定理尚无纯代数方法的证明。大数学家J.P. 塞尔曾经指出：代数基本定理的所有证明本质上都是拓扑的。美国数学家John Willard Milnor在数学名著《从微分观点看拓扑》一书中给了一个几何直观的证明，但是其中用到了和临界点测度有关的sard定理。复变函数论中，对代数基本定理的证明是相当优美的，其中用到了很多经典的复变函数的理论结果。

该定理的第一个证明是法国数学家达朗贝尔给出的，但证明不完整。接着，欧拉也给出了一个证明，但也有缺陷，拉格朗日于1772年又重新证明了该定理，后经高斯分析，证明仍然很不严格的。

代数基本定理的第一个严格证明通常认为是高斯给出的(1799年在哥廷根大学的博士论文)，基本思想如下：

设为n次实系数多项式，记，考虑方根：

即与

这里与分别表示oxy坐标平面上的两条曲线C1、C2，于是通过对曲线作定性的研究，他证明了这两条曲线必有一个交点，从而得出，即，因此z0便是方程的一个根，这个论证具有高度的创造性，但从现代的标准看依然是不严格的，因为他依靠了曲线的图形，证明它们必然相交，而这些图形是比较复杂，正中隐含了很多需要验证的拓扑结论等等。

高斯后来又给出了另外三个证法，其中第四个证法是他71岁公布的，并且在这个证明中他允许多项式的系数是复数。

3证明方法

所有的证明都包含了一些数学分析，至少是实数或复数函数的连续性概念。有些证明也用到了可微函数，甚至是解析函数。

定理的某些证明仅仅证明了任何实系数多项式都有复数根。这足以推出定理的一般形式，这是因为，给定复系数多项式p(z)，以下的多项式

就是一个实系数多项式，如果z是q(z)的根，那么z或它的共轭复数就是p(z)的根。

许多非代数证明都用到了“增长引理”：当|z|足够大时，首系数为1的n次多项式函数p(z)的表现如同z。一个更确切的表述是：存在某个正实数R，使得当|z| > R时，就有：

复分析证明

证明一

寻找一个中心为原点，半径为r的闭圆盘D，使得当|z| ≥r时，就有|p(z)| > |p(0)|。因此，|p(z)|在D内的最小值（一定存在，因为D是紧致的），是在D的内部的某个点z0取得，但不能在边界上取得。于是，根据最小模原理，p(z0) = 0。也就是说，z0是p(z)的一个零点（根）。证明二

由于在D之外，有|p(z)| > |p(0)|，因此在整个复平面上，|p(z)|的最小值在z0取得。如果|p(z0)| > 0，那么1/p在整个复平面上是有界的全纯函数，这是因为对于每一个复数z，都有|1/p(z)| ≤|1/p(z0)|。利用刘维尔定理（有界的整函数一定是常数），可知1/p是常数，因此p是常数。于是得出矛盾，所以p(z0) = 0。

证明三

这个证明用到了辐角原理。设R为足够大的正实数，使得p(z)的每一个根的绝对值都小于R；这个数一定存在，因为n次多项式函数最多有n个根。对于每一个r > R，考虑以下的数：其中c(r)是中心为0，半径为r的逆时针方向的圆；于是辐角原理表明，这个数是p(z)在中心为0、半径为r的开圆盘内的零点的数目N，由于r > R，所以它也是p(z)的零点的总数目。另一方面，n/z沿着c(r)的积分除以2πi，等于n。但这两个数的差为：

被积分的有理表达式中的分子，次数最多是n 1，而分母的次数是n + 1。因此，当r趋于+∞时，以上的数趋于0。但这个数也等于N n，因此有N = n。

证明四

这个证明结合了线性代数和柯西积分定理。为了证明每一个n > 0次复系数多项式都有一个根，只需证明每一个方块矩阵都有一个复数特征值。证明用到了反证法。

设A为大小n > 0的方块矩阵，并设In为相同大小的单位矩阵。假设A没有特征值。考虑预解函数

它在复平面上是亚纯函数，它的值位于矩阵的向量空间内。A的特征值正好是R(z)的极点。根据假设，A没有特征值，因此函数R(z)是整函数，根据柯西积分定理可知：

另一方面，把R(z)展开为几何级数，可得：

这个公式在半径为||A||的闭圆盘的外部（A的算子范数）成立。设r > ||A||。那么：

（仅当k = 0时，积分才不等于零）。于是得出矛盾，因此A一定有一个特征值。

拓扑学证明

设z0 ∈C为使|p(z)|在z0取得最小值的数; 从用到刘维尔定理的证明中，可以看到这样一个数一定存在。我们可以把p(z)写成z z0的多项式：存在某个自然数k和一些复数，使得，以及：

可推出如果a是的一个k重根，且t是足够小的正数，那么|p(z0 + ta)| < |p(z0)|，这是不可能的，因为|p(z0)|是|p|在D内的最小值。

对于另外一个用到反证法的拓扑学证明，假设p(z)没有根。选择一个足够大的正数R，使得对于|z| = R，p(z)的第一项z大于所有其它的项的和；也就是说，|z| > |an 1z + ···+ a0|。当z依逆时针方向绕过方程为|z| = R的圆一次时，p(z)，像z那样，依逆时针方向绕过零n

次。在另外一个极端，|z| = 0时，“曲线”p(z)仅仅是一个（非零的）点p(0)，它的卷绕数显然是0。如果z所经过的回路在这两个极端中被连续变形，那么p(z)的路径也连续变形。我们可以把这个变形记为，其中t大于或等于0，而小于或等于1。如果我们把变量t视为时间，那么在时间为零时，曲线为p(z)，时间为1时，曲线为p(0)。显然在每一个点t，根据原先的假设p(z)都不能是零，因此在变形的过程中，曲线一直都没有经过零。因此曲线关于0的绕数应该不变。然而，由于绕数在一开始是n，结束时是0，因此得出矛盾。所以，p(z)至少有一个根。

代数证明

这个证明需要依赖实数集的如下事实：正实数R在上有实平方根，以及任何奇次多项式在上有一个根（这可以用介值定理证明）。

首先。经过简单的计算可以证明在开平方运算下是封闭的（利用事实1）。结合。得出不存在二阶扩张。

由于，于是任何的扩张都是可分的，从而任何的代数扩张都可以被包含在一个伽罗瓦扩张内。假设是一个伽罗瓦扩张。考虑伽罗瓦群的西罗2-子群H。那么是奇数。由本原元定理得出，K存在本原元，它的极小多项式是奇次的。但是利用实数集的事实2，任何奇次数多项式在实数上有一个根，于是不存在奇次的且次数>1的不可约多项式。于是是2的幂次。

假设并且r>0，再次利用西罗定理，G存在一个阶为2的子群N。这时。这和先前不存在二阶扩张矛盾。因此的任何代数扩张都是本身，代数基本定理得证。

现代代数基础复习资料

1 设a ，b 为群G 的元素，设a 为5阶元，且33 a b ba =，证明ab ba =。证明：因为33a b ba =，所以133b a b a -=，所以1326()b a b a -=，即166 b a b a -=。又a 为5阶元，所以5a e =，所以1 b ab a -=，即ab ba =。 2 证明对群G 的非空子集H ，若对所有,x y H ∈，1 xy -也属于H ，证明H 是一个子群。证明：因对,x y H ∈，1xy H -∈，所以11 ,,x H e xx H x xe H --?∈=∈=∈， 1 111 ,,()y H y e y H x y x y H ----?∈=∈=∈，所以H 是G 的子群。 3 证明在任意群G 中，对其任意两个元素a ，b ，ab 与ba 的阶相等。证明：因为()1 ab a ba a -=，故ab 与ba 共轭。设ab n =，若()m ba e =，则1[()]m a ba a e -=，即()|m ab e n m =? 所以||||ab ba n ==。 4 置换群4S 中有多少个2阶元？解：由置换群中每个元素都可表示为不相交的轮换之积，而k 轮换的阶为k 。两不相交轮换的阶为k 轮换的最小公倍数。故二阶元有9个，为：（1 2），（1 3），(1 4), (2 3), （2 4），（3 4），（1 2）（3 4），(1 3)(2 4),（1 4）（2 3）。 5证明群G 的自同构的集合以映射的合成为乘法构成一个群。证明：:AutG G =群的所有自同构的集合，恒等映射,id AutG AutG ∈≠?故由G 上的所有双射显然构成一个群，关于映射的乘法，下证AutG 为其子群（1）AutG 对于映射的合成封闭： ,(),()A u t G a b G a b G στττ?∈?∈?∈，，故()(())(()())(())(())()()ab ab a b a b a b στστσττστστστστ==== 故AutG στ∈。（2）下证1 AutG AutG σσ -?∈?∈ '''''1'1,,,,(),()(),()AutG a b G a b G a a b b a a b b σσσσσ--∈?∈?∈====使即则1 1 ' ' 1 '' 1 '' '' 1 1 ()(()())(())()()()ab a b a b a b a b a b σσσσσσσσσσ------===== 所以1AutG σ -∈。故AutG 关于映射合成的乘法构成一个群。 6 设G 是一个群。证明由()n x x φ=定义的映射:G G φ→是G 到自身的同态。

8.3 基本事实与定理

8.3 基本事实与定理 ●教学目标（一）教学知识点 1. 定理的概念 2. 公理的概念 3.了解数学史. （二）能力训练要求 1.能够用基本事实、定理证明一些命题. 2.通过对欧几里得《原本》的介绍，感受几何的演绎体系对数学发展和人类文明的价值. （三）情感与价值观要求通过了解数学知识，拓展学生的视野，从而激发学生学习的兴趣. ●教学重点用基本事实、定理进行证明. ●教学难点用基本事实、定理进行证明. ●教学过程回顾［师］每个命题都有条件（condition）和结论（conclusion）两部分组成. 条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项. 一般地，命题都可以写成“如果……，那么……”的形式.其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论. 新授［师］一个正确的命题如何证实呢？大家来想一想：［生甲］用我们以前学过的观察、实验、验证特例等方法. ［生乙］这些方法往往并不可靠. ［生丙］能不能根据已经知道的真命题证实呢？［生丁］那已经知道的真命题又是如何证实的？［生戊］哦……那可怎么办呢？ …… ［师］其实，在数学发展史上，数学家们也遇到过类似的问题，公元前3世纪，人们已经积累了大量的数学知识，在此基础上，古希腊数学家欧几里得（Euclid,公元前300前后）编写了一本书，书名叫《原本》（Elements），为了说明每一结论的正确性，他在编写这本书时进行了大胆创造：挑选了一部分数学名词和一部分公认的真命题作为证实其他命题的起始依据.其中的数学名词称为原名，公认的真命题称为公理（axiom）.除了公理外，其他真命题的正确性都通过推理的方法证实.推理的过程称为证明（proof）.经过证明的真命题称为定理（theorem）,而证明所需的定义、公理和其他定理都编写在要证明的这个定理的前面. 《原本》问世之前，世界上还没有一本数学书籍像《原本》这样编排.因此，《原本》是一部具有划时代意义的著作. ［生］老师，我知道了，除公理、定义外，其他的真命题必须通过证明才能证实. ［师］对，我们这套教材选用九条基本事实作为证明的出发点和依据，我们已经认识了其中的八条，它们是：

代数基本定理

[科目] 数学 [关键词] 代数/基本定理/复数/根 [文件] sxbj110.doc [标题] 代数基本定理 [内容] 代数基本定理代数基本定理﹝Fundamental Theorem of Algebra﹞是指：对于复数域，每个次数不少于1的复系数多项式在复数域中至少有一根。由此推出，一个n次复系数多项式在复数域内有且只有n个根，重根按重数计算。这个定理的最原始思想是印度数学家婆什迦罗﹝1114-1185？﹞在1150年提出的。他提出了一元二次方程的求根公式，发现了负数作为方程根的可能性，并开始触及方程根的个数，即一元二次方程有两个根。婆什迦罗把此想法称为《丽罗娃提》﹝Lilavati﹞，这个词原意是“美丽”，也是他女儿的名字。 1629年荷兰数学家吉拉尔在《代数新发现》中提出他的猜测，并断言n次多项式方程有n个根，但是没有给出证明。 1637年笛卡儿﹝1596-1650﹞在他的《几何学》的第三卷中提出：一个多少次的方程便有多少个根，包括他不承认的虚根与负根。欧拉在1742年12月15日在给朋友的一封信中明确地提出：任意次数的实系数多项式都能够分解成一次和二次因式的乘积。达朗贝尔、拉格朗日和欧拉都曾试过证明此定理，可惜证明并不完全。高斯在1799年给出了第一个实质证明，但仍欠严格。后来他又给出另外三个证明﹝1814-1815，1816，1848-1850﹞，而“代数基本定理”一名亦被认为是高斯提出的。高斯研究代数基本定理的方法开创了探讨数学中存在性问题的新途径。20世纪以前，代数学所研究的对象都是建立在实数域或复数域之上，因此代数基本定理在当时曾起到核心的作用。

近世代数基础练习题

1.证明：在环R 到环R 的一个同态满射φ之下,R 的一个子环S 的象S 是R 的一个子环。证明: S 为R 的一个子环, ∴0∈S , 而0=(0)φ∈S , 故S 非空。对,a b ?∈S ,?,a b ∈S ,使得a =()a φ,b =()b φ 由于S 是环R 的子环，故a b S -∈,ab S ∈ ∴ a b -=()a φ-()b φ=()a b φ-S ∈ a b = ()a φ()b φ=()ab φS ∈ 故S 是R 的一个子环。 2. 证明：在环R 到环R 的一个同态满射φ之下, R 的一个子环S 的逆象S 是R 的一个子环。证明: S 为R 的子环, ∴0∈S , 而0=(0)φ∈S , ∴0∈S ,故S 非空。对?,a b ∈S ，?,a b ∈S ,使得 a =()a φ,b =()b φ, 由于S 是环R 的子环，故 a b -=()a φ-()b φ=()a b φ-S ∈ a b =()a φ()b φ=()ab φS ∈ ∴a b S -∈,ab S ∈ 故S 是R 的一个子环。 3.证明：在环R 到环R 的一个同态满射φ之下，R 的一个理想A 的象A 是R 的一个理想。证明: A 为R 的理想,∴ 0A ∈,,而0=(0)φ∈A ,故A 非空。对,a b A ?∈,r R ?∈, ?,a b ∈A ,r R ∈ 使得 ()a a φ=,()b b φ=,()r r φ= 由于A 是环R 的一个理想，故 a b A -∈,ra A ∈，ar A ∈

∴ a b -=()a φ-()b φ=()a b φ-A ∈ ra =()r φ()a φ=()ra A φ∈, ar =()a φ()r φ=()ar A φ∈ 故 A 是环R 的一个理想。 4.证明：在环R 到环R 的一个同态满射φ之下，R 的一个理想A 的逆象A 是R 的一个理想。证明: A 为环R 的理想,∴0∈A , 而0=φ(0)∈A , ∴0∈A, 故A 非空。对于?,a b ∈A ，?r R ∈，?,a b ∈A ,r R ∈ 使得 ()a a φ=,()b b φ=,()r r φ= 由于A 是环R 的理想，故 a -b ∈A ，ar A ∈，ra A ∈。 a -b =()a φ-()b φ=()a b φ-A ∈ r a =()r φ()a φ=()ra φ∈A ， ar =()a φ()r φ=()ar φA ∈ ∴a b A -∈,ra A ∈，ar A ∈, 故 A 是R 的一个理想。

近世代数的基础知识

近世代数的基础知识初等代数、高等代数与线性代数都称为经典代数(Classical algebra),它的研究对象主要就是代数方程与线性方程组)。近世代数(modern algebra)又称为抽象代数(abstract algebra),它的研究对象就是代数系,所谓代数系,就是由一个集合与定义在这个集合中的一种或若干种运算所构成的一个系统。近世代数主要包括:群论、环论与域论等几个方面的理论,其中群论就是基础。下面,我们首先简要回顾一下集合、映射与整数等方面的基础知识,然后介绍本文需要用到的近世代数的相关知识。 3.1 集合、映射、二元运算与整数 3.1.1 集合集合就是指一些对象的总体,这些对象称为集合的元或元素。“元素a 就是集合A 的元”记作“A x ∈”,反之,“A a ?”表示“x 不就是集合A 的元”。设有两个集合A 与B,若对A 中的任意一个元素a (记作A a ∈?)均有B a ∈,则称A 就是B 的子集,记作B A ?。若B A ?且A B ?,即A 与B 有完全相同的元素,则称它们相等,记作B A =。若B A ?,但B A ≠,则称A 就是B 的真子集,或称B 真包含A,记作B A ?。不含任何元素的集合叫空集,空集就是任何一个集合的子集。集合的表示方法通常有两种:一种就是直接列出所有的元素,另一种就是规定元素所具有的性质。例如: {}c b a A ,,=; {})(x p x S =,其中)(x p 表示元素x 具有的性质。本文中常用的集合及记号有: 整数集合{}Λ,3,2,1,0±±±=Z ; 非零整数集合{}{}Λ,3,2,10\±±±==* Z Z ; 正整数(自然数)集合{}Λ,3,2,1=+Z ; 有理数集合Q,实数集合R,复数集合C 等。一个集合A 的元素个数用A 表示。当A 中有有限个元素时,称为有限集,否则称为无限集。用∞=A 表示A 就是无限集,∞