函数单调性教学反思

对“函数的单调性”教学设计的改进和反思
215008 苏州市第五中学罗强
高中数学新课程中，函数单调性的起始教学被安排在第二章《函数概念和基本初等函数Ⅰ》“§2.1.3函数简单性质”中，本文所研究的是“函数的单调性”的第一课时．
一、函数的单调性的教学聚集了数学教学的诸多矛盾
从高中数学知识体系的角度，函数单调性是高中阶段刻画函数“变化”的一个最基本的性质，函数单调性的学习和运用将贯穿在高中代数课程的始终，在教学要求上体现出螺旋上升的特征．高中数学课程中对于函数单调性的研究可以分为两个阶段：第一阶段，用运算的性质研究单调性，知其变化趋势；第二阶段，用导数的性质研究单调性，知其变化快慢．高一对函数单调性的学习处于第一个阶段，需要教师把握好教学要求，稳步推进，不能急于求成，超越阶段．
从学生学习的角度，函数的单调性是学生学习了函数概念后研究的函数的第一个性质，也是学生进入高中阶段后接触的第一个用数学符号语言刻画的数学概念，它的学习对学生来说具有一定的挑战性．同时，函数单调性的研究过程具有较好的示范性，可以为学生进一步学习函数的其他性质提供方法范例，对学生提升数学认识具有引领作用．由于函数单调性的学习既有重要价值，又有一定的难度，因此，在教学设计中，就需要教师在把握学生学情的基础上体现数学本质，有效突破教学难点．
从教师教学的角度，“函数的单调性”第一课时既是一节较为抽象的数学概念课，也是一节数学方法课，同时也包含着数学认知策略的教学．教师既需要从数学学科体系的宏观角度进行整体把握，也要从教材编排的中观角度进行单元设计，还要从教学方法的微观角度进行具体的课堂教学设计．可以说，“函数的单调性”这一课时聚集了数学教学的诸多矛盾，它的教学设计和教学过程对每个数学教师都是一个挑战，教师在教学中设定怎样的教学目标，选择怎样的教学策略，设计怎样的问题情境和问题链，可以充分反映教师在数学教学上的关注点，体现教师的教学能力和教学智慧．
二、分析一个职初教师的教学设计
下面给出一位职初教师对“函数的单调性（第一课时）”的教学设计．从这份教学设计看，这位青年教师已掌握教学设计的基本要求，按照这样的教学设计实施教学，基本上可以比较顺利的完成教学任务．但是，细细剖析这份教学设计，还是可以发现一些值得探讨的问题．
【教学目标】
1.知识与技能：理解单调函数、单调区间的概念，并能根据函数的图象指出单调性、
写出单调区间，能运用函数的单调性定义证明简单函数的单调性．
2.过程与方法：通过本节课的教学，渗透数形结合的数学思想，同时对学生进行辩证
唯物主义的教育．
3.情感、态度与价值观：培养学生分析综合能力，理性描述生活中的增长、递减现象．
点评：教学目标是一堂课的灵魂和统帅，明确教学目标是教学设计的第一个环节．本节课设定的教学目标中，知识与技能目标定位比较恰当，但从后面实际的教学设计看，教师对一些定位教学目标的关键词，如“理解”、“简单”等并没有很好的理解，也没有很好地贯彻，制定教学目标这个过程成了无用的文字摆设．同时，过程与方法目标，情感、态度与价值观目标显得空洞无物，存在套用新课程理念，把三维目标当作标签来贴的问题．
【重点难点】
1.教学重点：掌握函数的单调性的概念；
2.教学难点：利用函数单调的定义证明具体函数的单调性．
点评：本节课的教学重点、难点的设定不够准确，缺乏对教学要求的细致分析，缺乏对学生学情的准确把握，比较随意．我觉得本节课的第一个教学重点是理解函数单调性的概念，第二个教学重点是运用函数单调性的定义进行函数单调性严格的推理论证并完成规范的书面表达．函数单调性的定义是一个符号化特征很强的数学概念，这样的概念高一学生是第一次接触，如何让学生理解这种符号化的、抽象的数学语言，参与函数单调性概念的符号化过程是本节课的第一个难点．同时，由于学生第一次接触到代数证明，如何运用函数单调性的定义严格证明函数的单调性并完成规范的书面表达则是本节课的另一难点．
【教学过程】
（一）情境引入
引例1．给出春兰股份某日股价的走势图，观察股价的增减变化．
引例2．右图是某市一天24小时内的气温变化图．气
温θ是关于时间t的函数，记为θ＝f(t)，观察这个气Array温变化图，说明气温在哪些时间段内是逐渐升高的或下
降的？让学生回答气温的变化情况（只要初步描述）．
进一步引导：那么我们用怎样的数学语言来刻画上
述时间段内“随着时间的增大气温逐渐升高或减小”这
一特征呢？
点评：函数单调性是函数性质中的一个重要概念，教师需要创设恰当的情境让学生体会函数单调性概念产生的必要性和价值，并引领后续的教学．但本教学设计在创设情境时重视了情境的生动性而忽视了情境的数学性，存在为情境而情境的不足．引例1的股价走势图可以反映股价的变化，但与高中数学所研究的函数单调性严格来讲有一定的不同，且股价走势情境包含学生所不具备的一些股市专业知识，作为本节课的教学情境不妥．此外，本节课选用两个情境也显多余．
（二）讲授新知
出示课题：§2.1.3 函数的简单性质 1.函数的单调性．
上述描述中的在某个区间内y随x的增大而增大（减小）在数学中我们就称为此函数在这个区间内是增函数（减函数）．
如何来用数学语言来描述？
证明略．通过本例，教师要向学生说明：
1．判断函数单调性的主要方法：
⑴观察法：画出函数图象来观察．
⑵定义法：严格按照定义进行验证．
⑶分解法：对函数进行恰当的变形，使之变成我们所熟悉的且已知其单调性的较简单函数的组合．
2．概括出定义证明函数单调性的一般步骤：取值→作差→变形→定号．
练习：作出函数y＝(x-1)2-1、y=|x-1|-1的图象，写出单调区间．设计意图：单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容，通过本例，要让学生理解判断函数单调性与证明函数单调性的差别，掌握证明函数单调性的程序，并深入理解什么是代数证明，代数证明要做什么事．
四、几点反思
1．教学设计的四个要素是学情分析、目标分析、知识定位与问题设计．如果把教学看作是教师带领学生一起去远足，那么学情分析的目的是要分析学生的认知基础，确定一个合情合理的教学起点；目标分析则是要教师分析预期达到的教学效果，即远足所期望到达的目的地，这是教学的根本指向和核心任务，是教学设计的关键；知识定位则好比是教师要预先分析通往目的地的道路状况，从而决定前进的方法和策略；问题设计则好比是设计行程，设定远足过程中的途经点，恰当的行程安排可以指引师生高效地向着目的地前行．因此，要完成一个优秀的教学设计，教师就一定要在学情分析、目标分析、知识定位与问题设计这四个方面下功夫．
2．根据现代认知心理学关于广义知识分类的研究，知识可以分为三类：陈述性知识、程序性知识和策略性知识．数学中的陈述性知识是关于数学概念、数学关系、数学模式的知识，在本节课中，“什么叫函数的单调性”即陈述性知识．数学中的程序性知识是借助一套符号系统，并依据一定的规则“做”数学的知识，在本节课中，“如何判断函数的单调性”、“如何证明函数的单调性”就需要程序性知识．数学的策略性知识包括解决问题的策略、数学推理的策略以及对自己或他人数学思维过程的反思，策略性知识往往是不能言传的黙会知识，在本节课中，隐含在函数单调性有关概念和原理学习过程中的认知策略和对思维过程的自我反思就是策略性知识．教学设计中的知识定位就是要确定这节课所要教学的知识的类型，并根据知识类型确定相应的教学方法和教学策略，这项工作，许多教师以往注意得不够．3．本节课的第一个教学难点是如何让学生充分参与函数单调性概念的符号化建构过程，这实际上是策略性知识的教学．笛卡儿曾说过：“最有用的知识是关于方法的知识”，函数单调性的定义是对函数图象特征的一种数学描述，它经历了由图象直观感知到自然语言描述，再到数学符号语言描述的进化过程，这个过程充分反映了数学的理性精神，是一个很有价值的数学教育载体，因此，让学生体验数学知识的发生发展过程应该成为这节课的一个重要教学目标．
本节课的第二个教学难点是如何运用函数单调性的定义严格证明函数的单调性，这实际上是程序性知识的教学．程序性知识学习的第一阶段是陈述性的，或者说程序性知识学习的前身是陈述性知识．程序性知识学习的第二阶段是通过应用这一规则的变式练习，使规则由陈述性形式向程序性形式转化．就“如何证明函数的单调性”来说，学生通过教师讲解和意义建构，知道了证明函数的单调性的规则，并能陈述这些规则（陈述性知识），再通过一定的变式练习，能立即根据规则对函数的单调性进行严格的证明．
后一个教学设计通过情境创设和问题链的设计较好的突破了这两个难点．
4．数学有三种形态：学术形态、教育形态、自然形态．张奠宙教授提出：“教师的责任在于把写在教科书上的冰冷的学术形态，恢复为学生易于接受的火热思考的教育形态．”波利亚则说过：“在教一个科学的分支(或一个理论、一个概念)时，我们应该让孩子重蹈人类思想发展中的那种最关键的步子，当然我们不应该让他们重蹈过去的无数个错误，而仅仅是重蹈关键性步子．”我觉得将这两句话结合起来就是——教学设计就是要在数学的自然形态和数学的学术形态两极的中间构建起既反映数学本质又适宜学生学习的数学的教育形态．。