浅谈线性空间与欧式空间.
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线性空间与欧洲空间第六章线性空间和欧氏空间的定义(1线性空间及其同构-线性空间)设V为非空集，K为数域。
集合V的元素之间定义了一个代数运算，称为加法；也就是说，给定一个规则，对于V中任何两个元素的和，V中只有一个元素对应于它们，并且成为和的和，它被记录为。
在数字域k和集合v的元素之间还定义了一个运算，称为数字乘法。
也就是说，对于任何数字k和数字域k中的任何元素v，在v 中只有一个元素对应于它们，这被称为k和的数乘积。
注意，如果加法和数乘法满足以下规则，则v被称为数域k上的线性空间。
加法满足以下四个规则:1)；交换法2)；束缚定律3)在V中有一个元素0，在V中有一个元素(具有这个性质的元素0称为V的零元素)；有零元素4)对于V中的每个元素，都有V中的元素，构成(称为的负元素)。
存在满足以下两个规则的负元素数乘法:5)；有一张1元的。
数的乘法和加法的结合律满足以下两条规则:7)；数字8)的分布规律。
上述规则中元素的分布规律是指数字字段中的任何数字；和类似物代表集合中的任何元素。
这些元素属于数字域K的矩阵。
根据矩阵的加法和矩阵的和数的乘法，在数字域K上形成线性空间，其被记录为。
例2。
所有实函数(连续实函数)通过将函数相加并将数乘以函数的个数而在实数域中形成一个线性空间。
例3。
维度向量空间是线性空间。
例4。
向量空间中的线性映射集是线性空间。
2.简单自然1。
零元素是唯一的。
2.消极因素是独特的。
3.4.如果是，那么或者。
三.同构映射的定义:让它成为数域上的线性空间。
这是一个线性映射。
如果它是一对一的映射，它被称为线性空间的同构映射，简称同构。
线性空间和线性空间称为同构。
定理数域p上两个有限维线性空间同构的充要条件是它们具有相同的维数。
同构映射的逆映射和两个同构映射的乘积是同构映射。
2线性子空间之和和和直和子空间之和:如果它是线性空间的子空间，那么集合也是线性子空间，称为和，表示为。
两个线性子空间的和是包含两个线性子空间的最小子空间。
线性空间和欧式空间
第六章 线性空间和欧式空间§1 线性空间及其同构一 线性空间的定义设V 是一个非空集合，K 是一个数域，在集合V 的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法；这就是说，给出了一个法则，对于V 中任意两个元素α和β，在V 中都有唯一的一个元素γ与他们对应，成为α与β的和，记为βαγ+=。
在数域K 与集合V 的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法，即对于数域K 中任一数k 与V 中任一元素α，在V 中都有唯一的一个元素δ与他们对应，称为k 与α的数量乘积，记为αδk =，如果加法与数量乘法满足下述规则，那么V 称为数域K 上的线性空间。
加法满足下面四条规则：1）αββα+=+；交换律2）)()(γβαγβα++=++；结合律3）在V 中有一个元素0，对于V 中任一元素α都有αα=+0（具有这个性质的元素0称为V 的零元素）； 存在零元4）对于V 中每一个元素α，都有V 中的元素，使得0=+βα（β称为α的负元素）.存在负元数量乘法满足下面两条规则：5）αα=1； 存在1元6）αα)()(kl l k =. 数的结合律数量乘法与加法满足下面两条规则：7）αααl k l k +=+)(； 数的分配律8）βαβαk k k +=+)(. 元的分配律在以上规则中，l k ,表示数域中的任意数；γβα,,等表示集合V 中任意元素。
例1． 元素属于数域K 的n m ⨯矩阵，按矩阵的加法和矩阵的与数的数量乘法，构成数域K 上的一个线性空间，记为,()m n M K 。
例2． 全体实函数（连续实函数），按函数的加法和数与函数的数量乘法，构成一个实数域上的线性空间。
例3． n 维向量空间n K 是线性空间。
例4． 向量空间的线性映射的集合(,)m n K Hom K K 是线性空间。
二．简单性质1．零元素是唯一的。
2．负元素唯一。
3．00=α，00=k ，αα-=-)1(。
4．若0=αk ，则0=k 或者0=α。
欧式空间
欧氏空间(Euler space )一、 内积与欧氏空间1.设V 是实数域R 上的线性空间,在V 上定义一个二元实函数,称为内积,记为),(βα,它具有以下性质: )3(,)2(),,(),)(1( αββα= 这样的线性空间V 称为欧几里的空间,简称欧氏空间.2.设V 是数域P 上的线性空间,如果V 中的任意两个向量βα,都按某一法则对应P 内唯一确定的数,记为),(βαf ,且),(),(),(,,,,)1(221122112121βαβαβααβααk f k k k f V P k k +=+∈∈∀有;),(),(),(,,,,)2(221122112121βαβαββαββαl f l l l f V P l l +=+∈∈∀有 则称),(βαf 是V 上的一个双线性函数.3.内积是双线性函数.4.设V 是n 维欧氏空间,n e e e ,,,21 为V 的一组基,V ∈βα,,若n n e x e x e x +++= 2211α; n n e y e y e y +++= 2211β则j i n j ni j i j i n j n i j i y x a y x e e ∑∑∑∑====∆=1111),(),(βα,5.称 )),(()(j i ij e e a A ==为基n e e e ,,,21 的度量矩阵.6. 设n e e e ,,,21 是n 维欧氏空间V 的一组基,,A 是基n e e e ,,,21 下的度量矩阵,则任意V ∈βα,,有AY X '=),(βα.7.度量矩阵必为正定矩阵,且不同基下的度量矩阵是合同的.二、 长度与夹角1。
欧氏空间V 中向量长度 ),(||ααα=；单位化：当||0||0αααα=≠时， 2．欧氏空间中的重要不等式：① Cauchy-Буняковский不等式：对任意向量V ∈βα,有线性相关时等式成立。
，当且仅当βαβαβα|,||||),(|≤。
线性空间与欧氏空间
a,b V ,a b abV , k R,k a ak V .
运算封闭.
运算规律：
(1) a b ab ba b a (2) (a b) c (ab) c (ab)c a(bc) a (b c)
非齐次线性方程组Ax=b(b 0)的解向量集合 不构成线性空间.(对向量的加法与数乘不封闭； 没有零向量) 例4 定义在闭区间[a, b]上的全体实连续函数, 按照普通函数的加法及数与函数的乘法构成一 个实线性空间. 记为C[a, b].
例5 全体正实数的集合记为V，在其中定义 加法及数乘运算为：
定理 设V是线性空间, V的非空子集L成为V的 子空间的充分必要条件是L对于V中定义的加法 与数乘两种运算都是封闭的.
例3中齐次线性方程组Ax=0的解向量空间Sn 是n维向量空间的子空间.
定义 设L是数域K上的线性空间V的非空子集, 且L对于V中定义的加法与数乘运算也构成一个 线性空间, 则称L是V的一个子空间.
例 若V是线性空间, 则V本身也是子空间. 只含 有单个零元素的集合也是子空间, 称为V的零 (故 V 对于所定义的运算构成线性空间. 线性空间的性质
1. V中零元素是唯一的; 2. V中任意元素的负元素唯一; 3. 0·a=0; ( 1)·a= a; k ·0=0; 4. k·a=0 k=0或a=0.
在学习特殊矩阵时, 所有数域K上的n n阶 上三角矩阵是全体n阶矩阵的子集. 而上三角矩 阵对矩阵的加法与数乘是封闭的, 可以验证满 足运算规律, 这样所有数域K上的n n阶上三 角矩阵构成一个线性空间, 称为线性空间Mnn 的子空间.
2. 加法与数乘运算是一种符号运算, 不是通常 意义下的加法与数乘.
高等代数 第7章欧式空间 7.1 欧氏空间的定义及性质
x, y
x y
例 求向量 1,2,2,3与 3,1,5,1的夹角.
18 2 解 cos 3 261. 非负性 当 x 0时, x 0;当 x 0时, x 0; 2. 齐次性 x x ; 3. 三角不等式 x y x y .
单位向量及n维向量间的夹角
1 当 x 1时, 称 x 为单位向量 .
2 当 x 0, y 0时, arccos
(4)[ x , x ] 0, 且当x 0时有[ x , x ] 0.
则称V（R）关于这个数积构成一个欧氏空间。这里 x,y为任意向量，k为任意实数。
数积的性质： （1）（x ,ky)=k(x , y) (2) (x , y+z )=(x , y)+( x , z ) (3) (x , )=0
欧氏空间的定义及性质
定义：设V（R）是实数域R上的线性空间，
在V（R）中定义了一个叫做数积的运算，即 有一定的法则，按照这个法则，对V（R）中 的任意两个向量x,y,都能确定R中唯一一个实 数，称之为x与y的数积，记作（x,y),如果这个 运算具有性质：
(1) ( 2) ( 3)
x, y y, x ; x, y x, y; x y, z x, z y, z ;
n (4) k i i 1
, l
i j 1 i
n
n,m ki l j ( i i 1, j 1
,
i
j
)
向量的长度及性质
定义2 令
x
x, x
2 2 2 x1 x2 xn ,
称 x 为n 维向量 x的长度 或 范数 .
论文写作 论线性空间与欧式空间的对比
目录1 绪论 (3)1.1 研究目的与研究意义 (3)1.2 研究现状 (3)1.3 研究内容 (3)2 欧式空间简介 (4)2.1 提出背景 (4)2.2 定义与基本性质 (5)2.3 度量矩阵 (8)2.4 标准正交基 (9)2.5 同构 (12)2.6 正交变换 (16)2.7对称变换 (19)3 线性空间简介 (21)3.1 线性空间的概念 (22)3.2 线性变换的定义 (22)3.3 线性变换的性质和运算 (23)3.4 线性变换的矩阵 (24)4 线性空间与欧式空间的对比 (28)4.1 基础域的对比讨论 (28)4.2 运算的对比讨论 (29)4.3 基的对比讨论 (29)4.4 向量坐标的对比讨论 (29)4.5 线性变换的对比讨论 (29)4.6同构的对比讨论 (30)参考文献 (31)致谢 (32)论线性空间与欧式空间的对比摘要线性空间与欧式空间是《高等代数》的两部分重要内容，两者之间既有区别又有联系，简要描述他们的定义、概念、特征，并从它们的基础域、运算、基、向量的坐标、线性变换、同构几个方面进行对比讨论。
【关键词】欧式空间线性空间对比On the comparison of linear space and Euclidean spaceAbstractLinear space and Euclidean space is "Higher Algebra" is the two important parts, they are different and contact, a brief description of the definition, concept and characteristics of them, and from their basic domains, operation, matrix, vector coordinate, linear transformation of several aspects of the discussion than.【Key words】Euclidean space linear space contrast1 绪论1.1 研究目的与研究意义线性空间与欧式空间是《高等代数》中两部分重要内容，两者既有区别又有联系。
欧式空间
欧氏空间(Euler space ) 一、 内积与欧氏空间1.设V 是实数域R 上的线性空间,在V 上定义一个二元实函数,称为内积,记为),(βα,它具有以下性质: )3(,)2(),,(),)(1( αββα= 这样的线性空间V 称为欧几里的空间,简称欧氏空间.2.设V 是数域P 上的线性空间,如果V 中的任意两个向量βα,都按某一法则对应P 内唯一确定的数,记为),(βαf ,且),(),(),(,,,,)1(221122112121βαβαβααβααk f k k k f V P k k +=+∈∈∀有;),(),(),(,,,,)2(221122112121βαβαββαββαl f l l l f V P l l +=+∈∈∀有则称),(βαf 是V 上的一个双线性函数. 3.内积是双线性函数.4.设V 是n 维欧氏空间,n e e e ,,,21 为V 的一组基,V ∈βα,,若n n e x e x e x +++= 2211α; n n e y e y e y +++= 2211β则j i n j ni j i j i n j n i j i y x a y x e e ∑∑∑∑====∆=1111),(),(βα,5.称 )),(()(j i ije e aA ==为基n e e e ,,,21 的度量矩阵.6. 设n e e e ,,,21 是n 维欧氏空间V 的一组基,,A 是基n e e e ,,,21 下的度量矩阵,则任意V ∈βα,,有AYX '=),(βα.7.度量矩阵必为正定矩阵,且不同基下的度量矩阵是合同的. 二、 长度与夹角 1。
欧氏空间V 中向量长度 ),(||ααα=；单位化：当||0||0αααα=≠时，2．欧氏空间中的重要不等式：① Cauchy-Буняковский不等式：对任意向量V ∈βα,有线性相关时等式成立。
，当且仅当βαβαβα|,||||),(|≤。
第五章 线性空间与欧式空间
有
k1 k 2 , k1 E11 k 2 E12 k 3 E 21 k 4 E 22 k3 k 4
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线性代数与空间解析几何
有 A a11 E11 a12 E12 a 21 E 21 a 22 E 22
因此
E11 , E12 , E 21 , E 22 为V的一组基.
（ 3 ） V1 , k F ,恒有f ( k ) kf ( ).
如果两个线性空间V1与V2之间能够建立一个同构映 射，那么就称V1与V2同构.
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线性代数与空间解析几何
例10： n维线性空间 Vn x11 x2 2 xn n x1 , x2 ,, xn R
( 2)设
( x1 , x2 ,, xn )T ( y1 , y2 ,, yn )T
( x1 , x 2 ,, x n ) ( y1 , y2 ,, yn )
T T
则有
( x1 , x2 ,, xn )
同构具有下列简单的性质：
T
(1) 自反性：V1与V1同构；
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线性代数与空间解析几何
例8：在线性空间 R [ x ]n中, 取一组基
1 1, 2 ( x a ), 3 ( x a ) ,, n ( x a )
则由泰勒公式知
2
n 1
f ' ' (a ) 2 f ( x ) f (a ) f ' (a )( x a ) ( x a) 2! ( n 1) (a ) f n 1 ( x a) ( n 1)! 因此 f ( x )在基 1 , 2 , 3 , , n 下的坐标是 (a ) f ''(a ) f ( f (a ), f '(a ), , , ) . 2! ( n 1)!
常见线性空间与欧式空间的基于标准正交基的求法
常见线性空间与欧式空间的基于标准正交基的求法邹雨情沈阳师范大学摘要：高等代数中的线性空间概念是重要的一个属性，欧式空间的深入理解是认识高等数学的一个重要信息，而且线性空间与欧式空间的维数与正交基的标准是认识空间的基础。
因此，本文在对数域中对线性空间的与欧式空间的方面进行说明，数域P 所起的作用，探讨维数的基于标准正交基的方法与步骤。
关键词：线性空间；欧式空间；正交基；标准；求法一、线性空间与欧式空间（一）线性空间。
线性空间是一个给出法则，在一个设V 的集合中，任意的两个元素且是在非空的几何中V 中有数域P 中的运算，定义是一种加法的运算，与他们对应，同时，对于数域K 任意元素还有一个是乘法的元算，称之为乘积的数量，记为K ，V 就是数域的线性空间，满足交换律、结合律、数的分配律与元的分配律规则。
（二）欧式空间。
线性空间主要运算是加法和数量的乘法的运算，几何问题的空间推广，就要涉及到度量的引入，例如长度、夹角等几何向量性质的特殊的位置，丰富线性空间的内容和方法，内积的广泛为正交的变换概念的性质与对应的特殊矩阵的对称变换正交补空间的某个子空间，实数域上的正交等的结构特征，准确把握施密特的正交组基德基本性质与好处，利用标准的正交基的特性。
二、数域P 的线性空间的作用与角色（一）对空间V 的变换在线性判别的影响。
V 的线性空间的变换主要是加法与数量乘积的运算，如果称A 是同构的映射，线性空间的V 就是同构的空间，在线性空间这一概念上一个线性映射的简单性质的集合，充分必要条件是数域P 的有限线性同构映射的乘积的逆映射，和与只和子空间的最小子空间，交换律以及结合律的包含线性向量组，被扩充以及推广到维数和的基，得到推论，维数之和大于N ，具有非零的公共向量，一定存在等号的成立一个V 的线性子空间U ，相互等价，一个是直和，一个是二元函数的有限线性空间的内积，满足了对称性以及线性空间的R 定义内积，对同一线性空间的连续函数的有实连接构成一个欧几里的空间，显然，这样的长度是向量的长度是零，长度是单位向量，实现了向量的转换在夹角与定义欧式空间的合理性。
线性空间和欧式空间
第六章线性空间和欧式空间§ 1线性空间及其同构线性空间的定义设V是一个非空集合，K是一个数域，在集合V的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法；这就是说，给出了一个法则，对于V中任意两个元素和，在V中都有唯一的一个元素与他们对应，成为与的和，记为。
在数域K与集合V的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法，即对于数域K中任一数k与V中任一元素，在V中都有唯一的一个元素与他们对应，称为k与的数量乘积，记为k ，如果加法与数量乘法满足下述规则，那么V称为数域K上的线性空间。
加法满足下面四条规则：1)；交换律2)( ) ( )；结合律3)在V中有一个元素0，对于V中任一元素都有0 (具有这个性质的元素0称为V的零元素)；存在零元4)对于V中每一个元素，都有V中的元素，使得0( 称为的负元素)•存在负元数量乘法满足下面两条规则：5) 1 ；存在1元6)k(l ) (kl). 数的结合律数量乘法与加法满足下面两条规则：7)(k l) k l ；数的分配律8)k( ) k k .元的分配律在以上规则中，k,l表示数域中的任意数；，，等表示集合V中任意元素。
例1. 元素属于数域K的m n矩阵，按矩阵的加法和矩阵的与数的数量乘法，构成数域K上的一个线性空间，记为M m,n(K)。
例2. 全体实函数(连续实函数)，按函数的加法和数与函数的数量乘法，构成一个实数域上的线性空间。
例3. n维向量空间K n是线性空间。
例4. 向量空间的线性映射的集合Hom K(K m, K n)是线性空间。
二.简单性质1.零元素是唯一的。
2.负元素唯一。
3. 0 0, k0 0 , ( 1) 。
4.若k 0，则k 0或者0。
三•同构映射定义：设V,V是数域K上的线性空间• A Hom K(V,V )是一个线性映射•如果A是一- 映射，则称A是线性空间的同构映射，简称同构。
线性空间V与V'称为同构的线性空间。
定理数域P上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是他们有相同的维数。
第八讲 欧式空间
2、内积的性质 、 α V 是欧氏空间， , β , γ , α i , βi ∈ V , k , ki , li ∈ R ，则 是欧氏空间， （1） α , k β = k α , β ; ） （2） α , β + γ = α , β + α , γ ; ） （3） α , o = o, β = 0; ） （4） ）
1 1 2 2 n n
－－对于实矩阵 （2） R m×n －－对于实矩阵 A = ( aij )m×n , B = ( bij )m×n ） 内积为
A, B = ∑∑ aij bij
i =1 j =1
m
n
－－对于 （3）C [ 0,1] －－对于[ 0,1] 上实连续函数 f ( x ) , g ( x ) ， ） 内积为 b f ( x ) , g ( x ) = ∫ f ( t )g ( t ) dt
一、内积的构造、判定与证明 内积的构造、 1、欧氏空间的概念 、 是实数域R上的线性空间 上的线性空间。 设V 是实数域 上的线性空间。如果对V 中任意两个 与它们对应， 向量 α , β 有一个确定的实数 α , β 与它们对应，且满足 （1） α , β = β , α ; ） （2） kα , β = k α , β , k ∈ R; ） （3） α + β , γ = α , γ + β , γ , γ ∈ V ; ） （4） α , α ≥ 0, 当且仅当 α = o 时 α , α = 0. ） 的内积， 则称 α , β 为 α 与 β 的内积，定义了内积的线性空间V 称为欧氏空间。 称为欧氏空间。 一些常见的欧氏空间 （1） R n －－对于实向量 α = ( a1 , a2 ,L , an ) , β = ( b1 , b2 ,L , bn ) ） －－对于实向量 内积为 α , β = a b + a b + L + a b = αβ T
欧式空间的定义
欧式空间的定义欧几里德空间编辑欧式空间一般指欧几里德空间欧氏空间是一个特别的度量空间，它使得我们能够对其的拓扑性质，在包含了欧氏几何和非欧几何的流形的定义上发挥了作用。
简介编辑约在公元前300年，古希腊数学家欧几里得建立了角和空间中距离之间联系的法则，现称为欧几里得几何。
欧几里得首先开发了处理平面上二维物体的“平面几何”，他接着分析三维物体的“立体几何”，所有欧几里得的公理已被编排到叫做二维或三维欧几里得空间的抽象数学空间中。
这些数学空间可以被扩展来应用于任何有限维度，而这种空间叫做 n 维欧几里得空间(甚至简称 n维空间)或有限维实内积空间。
这些数学空间还可被扩展到任意维的情形，称为实内积空间(不一定完备)，希尔伯特空间在高等代数教科书中也被称为欧几里得空间。
为了开发更高维的欧几里得空间，空间的性质必须严密地表达并被扩展到任意维度。
尽管这样做的结果导致数学非常抽象，但却捕获了我们熟悉的欧几里得空间的根本本质，即平面性。
还另存在其他种类的空间，例如球面则非欧几里得空间，相对论所描述的四维时空在重力出现的时候也不是欧几里得空间。
有一种方法论把欧几里得平面看作满足可依据距离和角表达的特定联系的点所成的集合。
其一是平移，它意味着移动这个平面就使得所有点都以相同方向移动相同距离。
其二是关于在这个平面中固定点的旋转，其中在平面上的所有点关于这个固定点旋转相同的角度。
欧几里得几何的一个基本原则是，如果通过一序列的平移和旋转可以把一个图形变换成另一个图形，平面的两个图形(也就是子集)应被认为是等价的(全等)。
(参见欧几里得群)。
欧几里得空间的最后问题是它在技术上不是向量空间，而是向量空间作用于其上仿射空间。
直觉上，区别在于对于原点应当位于这个空间的什么地方没有标准选择，因为它可以到处移动。
这种技术本文中很大程度上被忽略了。
欧几里德空间(Euclidean Space)，简称为欧氏空间(也可以称为平直空间)，在数学中是对欧几里德所研究的2维和3维空间的一般化。
第九章 欧式空间(第一讲)
2
( , )
2
( , )
2
2
,
即
( , )
2
2
2
.
开方便得
( , )
.
综合ⅰ，ⅱ便知定理成立. 基于定理1.1的结果，又可以给出欧氏空间中两向量夹 角的定义.
定义1.3 对于欧氏空间中两个非零向量α, β ，定义α与 β的夹角为
累次应用以上两条及欧氏空间定义中的条件2）3）即可得 到3）式.
性质2 对于欧氏空间中任意向量α ，总有（α ，0）= （0，α）=0. 证明 由
( , 0) ( , 0 0) ( , 0) ( , 0)
即得（α ，0）=0.再由内积的交换律又知（0，α）= （α ，0）=0 . 特别，有（0，0）=0 .再结合欧氏空间定义中的第4） 条规定，便得如下结论：内积空间中向量α为零向量的充 分必要条件是（α ，α ）=0 ，也就是说，零向量是内积空 间中与自身的内积为0的唯一向量.
即对欧氏空间中任一组向量我们看到殴氏空间在向量的长度夹角正交等方面与我们已熟知的普通几何空间确有许多相像之处
线性代数
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结束
第九章
欧氏空间*
通过上两章的学习，我们对线性空间有了比较深入的 了解.线性空间是涉及一个集合、一个数域、两种运算、 八个条件的一个整体概念.它包含着丰富的内容，有着广 泛的应用.在这一章里将讨论一类特殊发线性空间—欧氏 空间.我们还将发现，欧氏空间与人们熟悉的几何空间有 许多相似的结果.通常的实向量内积、长度、夹角、距离 等概念都可以平行地在欧氏空间上建立起来，并得到类似 的相应结果.
线性代数第三章 线性空间和线性变换3.3 欧几里得空间简介
向量个数不会超过n个。（因为线性无关的非零
向量个数不会超过n个） 其几何意义就是：在平
面上找不到3个两两垂直的非零向量，在空间中找
不到4个两两垂直的非零向量。
定义3.17 在n维欧氏空间V中，由n个向量组成的正交向量 组称为V的一个正交基；由单位向量组成的正交基称为标 准正交基。
注1：对一组正交基进行单位化就得到一组标准正交基
2：若1，2，L ，n是欧氏空间V的一组标准正交基，则有
1 当i j
(i , j ) 0 当i j
定理3.11 设1， 2，L ， n是n维欧氏空间V的一组标准正交基，对于
V，设在基1， 2，L
， n下的坐标维X＝（x1，x2，L
定义3.18 设 是n维欧氏空间V的一个线性变换，如果 在一组标准 正交基下的矩阵是正交矩阵，则称 是正交变换。
正交变换的性质：
设 是欧氏空间V的一个正交变换，则 1、 保持向量的内积不变，即对， V，( ( ), ( )) (, ); 2、 保持向量的长度不变，即对 V， ( ) 3、如果1，2，L ，n是V的一组标准正交基，则 (1)， (2 )，L ， ( n
任意向量，，有 （，）
当且仅当与 线性相关时等号成立。
由定理3.9，对任意非零向量，，总有 －1 (, ) 1
这样就可以对欧氏空间中的向量引入夹角的概念了
定义3.14 在欧氏空间V中，对任意非零向量，， 规定与的夹角由下式确定：
cos (, ) , 0
，x n
)
,
则
xi ( ,i ), (i 1, 2,L , n)
设，
第二节 欧式空间的基本概念
|| 2 =
1 (1,0,1)T= ( 1 ,0,
2
2
1 | 3
||3=
1 (1,2,1)T = ( 1 ,
6
6
2, 6
1 )T . 6
2、 正交向量组的性质
定理2 正交向量组必是线性无关向量组.
证明
设 α1,…, αm 是一个正交向量组 , 则
i ,
j
=
|| i
||2
α=<α, α1>α1+…+ <α, αn>αn ; (2) <α,β> = x1y1+…+xn yn ; (3) ||α|| = x12 L xn2 ; (4) d (α,β) = ( x1 y1)2 L ( xn yn )2
证明 (1) 用 αi 与 α=x1α1+…+xnαn 两端作内积, 得 <α, αi >= <x1α1+…+xnαn ,αi > = xi<αi,αi > = xi ,
( i=1,2, …,n ) 所以 α=<α ,α1>α1+…+<α ,αn>αn .
α=x1α1+…+xnαn , β=y1α1+…+ynαn , (1) xi =<α, αi > (i=1,2, …,n) , α=<α, αi >α1+…+<α, αn>αn ,
n
n
nn
(2) <α,β>= xii , y j j =
两个向量 α 和 β 都指定了一个实数与之对应, 这个 实数记作 <α,β>， 且满足以下条件： (1)对称性： <α,β>=<β,α>; (2)齐次性： <kα,β>=k<α,β>; (3) 加性： <α+β,γ>=<α,γ>+<β,γ>; (4)非负性： <α,α> 0, 等号成立的充分必要条件是
欧氏空间与线性空间
欧氏空间与线性空间欧氏空间和线性空间是数学中两个重要的概念，它们在不同的领域和应用中发挥着重要的作用。
本文将从定义、性质和应用等方面来探讨欧氏空间和线性空间的相关内容。
一、欧氏空间欧氏空间是指具有内积的实数向量空间。
在欧氏空间中，可以定义向量的长度和向量之间的夹角。
具体而言，对于n维欧氏空间R^n 中的向量x=(x1, x2, ..., xn)和y=(y1, y2, ..., yn)，其内积定义为：<x, y> = x1y1 + x2y2 + ... + xnyn而向量的长度定义为：||x|| = sqrt(<x, x>) = sqrt(x1^2 + x2^2 + ... + xn^2)欧氏空间具有一些重要的性质。
例如，欧氏空间中的向量满足三角不等式，即对于任意的向量x和y，有：||x + y|| <= ||x|| + ||y||此外，欧氏空间还满足正交性质，即对于任意的向量x和y，如果它们的内积为零，则称向量x和y是正交的。
欧氏空间的概念在几何学、物理学、统计学等领域中有广泛的应用。
在几何学中，欧氏空间可以用来描述点、线、面等几何对象之间的关系。
在物理学中，欧氏空间可以用来描述空间中的力、速度等物理量。
在统计学中，欧氏空间可以用来度量数据样本之间的相似性。
二、线性空间线性空间是指具有加法和数乘运算的向量空间。
在线性空间中，向量之间的加法满足交换律和结合律，数乘满足分配律和结合律。
具体而言，对于n维线性空间V中的向量x，y和标量a，其加法和数乘定义为：x + y = y + x (交换律)(a + b)x = ax + by (分配律)a(bx) = (ab)x (结合律)线性空间的概念在代数学、数学物理学、计算机科学等领域中有广泛的应用。
在代数学中，线性空间可以用来研究向量和矩阵的性质。
在数学物理学中，线性空间可以用来描述复杂的物理系统。
在计算机科学中，线性空间可以用来处理图像、音频等数据。
欧式空间的定义
欧式空间的定义欧式空间的定义简介编辑编辑欧式空间一般指欧几里德空间欧氏空间是一个特别的度量空间，它使得我们能够对其的拓扑性质，在包含了欧氏几何和非欧几何的流形的定义上发挥了作用。
约在公元前300年，古希腊数学家欧几里得建立了角和空间中距离之间联系的法则，现称为欧几里得几何。
欧几里得首先开发了处理平面上二维物体的“平面几何”，他接着分析三维物体的“立体几何”，所有欧几里得的公理已被编排到叫做二维或三维欧几里得空间的抽象数学空间中。
这些数学空间可以被扩展来应用于任何有限维度，而这种空间叫做 n 维欧几里得空间（甚至简称 n 维空间）或有限维实内积空间。
这些数学空间还可被扩展到任意维的情形，称为实内积空间（不一定完备），希尔伯特空间在高等代数教科书中也被称为欧几里得空间。
为了开发更高维的欧几里得空间，空间的性质必须严密地表达并被扩展到任意维度。
尽管这样做的结果导致数学非常抽象，但却捕获了我们熟悉的欧几里得空间的根本本质，即平面性。
还另存在其他种类的空间，例如球面则非欧几里得空间，相对论所描述的四维时空在重力出现的时候也不是欧几里得空间。
有一种方法论把欧几里得平面看作满足可依据距离和角表达的特定联系的点所成的集合。
其一是平移，它意味着移动这个平面就使得所有点都以相同方向移动相同距离。
其二是关于在这个平面中固定点的旋转，其中在平面上的所有点关于这个固定点旋转相同的角度。
欧几里得几何的一个基本原则是，如果通过一序列的平移和旋转可以把一个图形变换成另一个图形，平面的两个图形（也就是子集）应被认为是等价的（全等）。
（参见欧几里得群）。
欧几里得空间的最后问题是它在技术上不是向量空间，而是向量空间作用于其上仿射空间。
直觉上，区别在于对于原点应当位于这个空间的什么地方没有标准选择，因为它可以到处移动。
这种技术本文中很大程度上被忽略了。
欧几里德空间(Euclidean Space)，简称为欧氏空间(也可以称为平直空间) ，在数学中是对欧几里德所研究的2维和3维空间的一般化。
再谈线性空间到欧氏空间的映射与线性映射
, !∈V , (
,
2
, …,
r
为 V 的一个极大无关组, 则由定理 4 的证明知 , ∀ 1 , ∀ 2, …, % ∈L ( ∀ V) , 有 , 于是
r
为 ∀V 的一个极大无关组。若 V 为 W 的子空间 , 则 L ( V ) = V 。于是 % = k 1∀ 1 + k 2∀ 2 + … + k r ∀ r 。 而 % ′ = k1
0) 不是极值点。 ( 2) 在 P 2( 0, 1, 0) 的某去心邻域内
x ( x - 0) + f ′ y ( y - 1) + f ′ z ( z - 0) = 2x ( x + z + 1) + f′ 2 2 2
2y ( y 2 + z 2 - 1) ( y - 1) + 2z 2( x 2 + y 2 + 2z 2 ) = 2x 2( x 2 + z 2 + 1) + 2y ( y 2 - 1) ( y - 1) + 2z 2 ( y 2 - y ) + 2z 2y 2 + 2z 2( x 2 + 2z 2) = 2x 2( x 2 + z 2 + 1) + 2y ( y + 1) ( y - 1) 2 + 2z 2 ( x 2 + 2z 2) + z 2( y - 1) 2 + z 2( 3y 2 - 1) 由上式可知, 一定存在点 P 2 ( 0, 1, 0) 的一去心邻域, 在此去心邻域内任一点处 , f ′ x ( x - 0) + f ′ 43; k r
∈L ( V ) = V , 从而存在 ∈V 使 % ′ = (% , ∀ i) = ( ∀ , ∀ i) = ( , i )
用线性变换的观点来看待欧氏空间的导数
科技视界Science &Technology VisionScience &Technology Vision 科技视界在高等数学课程中,我们学习过一元函数的导数,多元函数的偏导数和Jacobi 矩阵等概念,本文用线性变换的观点来揭示这些概念之间的联系。
定义1设E 是R n 中的一个开集,f :E →R m 是一个函数,x ∈E ,如果存在一个线性变换A :R n →R m 使得lim h →0‖f (x+h )-f (x )-Ah ‖‖h ‖=0(1)成立,则称f 在点x 可微,记f′(x )=A ,称线性变换A 为函数f 在点x 的(全)导数。
如果f 在E 中处处可微,则称f 在E 上可微。
注:‖•‖表示欧氏空间中任何一种范数,由于欧氏空间中所有范数都是等价的,所以通常可以把‖•‖看成欧氏空间的距离函数。
设{x 1,…,x n }和{y 1,…,y m }分别是向量空间X 和Y 的的两组基。
A ∈L (X ,Y ),其中L (X ,Y )是从X 到Y 的所有线性变换的集合,则Ax j =mi =1∑a ij y i (1≤j ≤n )。
可以用一个m×n 矩阵[A ]表示上述数值关系[A ]=a 11a 12…a 1n a 21a 22…a 2n┇┇┇┇a m 1a m 2…amn ⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥向量Ax j 的坐标出现在矩阵[A ]的第j 列,如果x=∑c j x j ,则Ax =mi =1∑(n j =1∑a ij c j )y i ,所以向量Ax 坐标的第i 个分量为nj =1∑a ij c j 。
在基确定的情况下,所有m×n 实矩阵所构成的集合和L (X ,Y )之间构成一一对应关系。
定义2对所有A ∈L (R n ,R m ),定义A 的范数‖A ‖=sup{‖Ax ‖:‖x ‖≤1}。
现在考虑f 是一个从R n 中的开集E 映到R m 的函数,设{e 1,e 2,…,e n }和{u 1,u 2,…,u m }分别是R n 和R m 的标准正交基。
线性空间和欧氏空间
1 2 1 1 例3. 设A = [A1, A2, A3, A4] = 0 1 1 1 ,
1 0 1 1
求L(A1, A2, A3, A4)的一组基和维数.
第四章 线性空间和欧氏空间
§4.1 向量空间 Rn及其子空间
12 解: 0 1
1 0
1 1 1
1 1 1
初等 行变换
1 0 0
2 1 0
1 1 0
L(1, 2, …, s)的基可以取为1, 2, …, s
的任一极大无关组.
第四章 线性空间和欧氏空间
§4.1 向量空间 Rn及其子空间
因而dim(L(1, 2, …, s)) = 秩{1, 2, …, s}.
特别地, 设矩阵ARns, A1, A2, …, As依次为A s个列向量. 则称L(A1, A2, …, As)为矩阵A的列 空间. dim(L(A1, A2, …, As)) = 秩(A).
线性无关向量组, 并且V中任一向量都能由
, , …, 是向量空间V的一组基. , Rn, k1, k2 R,
1 2 r 则Imf = {Ax | x Rn} = L(A1, A2, …, An),
f( ) = A ,
Rn.
第四章 线性空间和欧氏空间
r称为V的维数. 设Q为n阶实方阵, 则Q是正交矩阵
即 L(1, 2, …, s)
= {k11+k22+…+kss | k1, k2, …, ksR}
则L(1, 2, …, s)是 (包含{1, 2, …, s}的
向量空间中最小的) 一个向量空间, 我们称
之为由1, 2, …, s生成的子空间. 而1, 2, …, s称为L(1, 2, …, s)生成元.
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2014年三会一课会议记录示例1月10日支部委员会内容：1、传达镇党委工作会议精神。
2、临近春节，讨论摸排村内不稳定因素，及时解决村民反映的突出问题。
3、总结2012年各项工作……..，讨论2013年重点工作，制定2013年初步工作计划………，下一步及时召开党员大会进行讨论。
4、讨论村内环境卫生整治工作，杜绝垃圾乱倒现象，积极营造优美居住环境。
2月3日支部委员会内容：1、讨论如何进一步优化村内环境，清扫大街，欢度春节。
2、传达镇党委政府春节安全工作会议精神，进一步强调社会平安稳定工作。
3、安排发放计生明白纸。
4、春节前走访困难群众，座谈了解群众的实际困难和问题，及时加以解决。
3月1日党员大会内容：商议村内重大建设项目及工作计划一、（支书姓名）介绍我村今年的工作计划。
二、（支部书记）介绍当前重点惠民项目情况今天我们商议的事是：（修路、修大街、挖沟渠、打机井、整平生产路、修建办公室、购置器械、整理农田、修理自来水等。
再详细介绍一下项目内容、投资情况）。
如修村内大街，长米，宽米，需建设资金万元，经村两委讨论决定，建设资金为村集体收入资金（或群众共同出资，每人元）。
三、党员讨论结果经村党员大会讨论举手表决：同意通过。
参加会议人，同意人，不同意人，弃权人。
党员纷纷表示，会积极向群众宣传本次会议精神，配合村里的工作。
四、（支书姓名）总结。
同志们考虑的很全面，提出的意见很中肯，我们村两委成员，一定会按照同志们的想法，认真修改初步制定的计划，制定最终方案，做好惠民项目的建设。
3月1日上党课内容:（一般召开一次党员大会，就跟着上一次党课，这样符合实际情况，检查的时候也可信）一、（支书姓名）主持会议今天，镇领导…（填写联系本村的副科级领导）到我村来为大家上党课，让我们用热烈的掌声欢迎领导讲话。
二、镇领导讲话一是传达今年以来，市委抓基层党建工作的重要精神，强调加强村两委班子和党员队伍建设的重要性和紧迫性。
二是根据市委的要求，通报今年以来我镇在加强基层党组织建设方面出台的一系列措施及有关要求。
三是如何发挥党员先锋模范作用。
我们村党组织和全体党员都要积极投身活动，实现组织和党员全覆盖。
本着有利于党组织开展活动、有利于党员参加、有利于创先争优活动取得实效的原则，巩固和拓展学习实践科学发展观活动成果结合起来，精心设计特色鲜明、务实管用的载体，精心组织实施好创先争优活动。
提几点要求。
一是要提高思想认识，结合实际开展大讨论活动；二是要认识到创先争优的核心是发展，要结合我村实际，发展村域经济；三是要处理好社会发展与经济发展的关系；四是重点要加强党员干部作风建设，要加强窗口建设，努力提高服务意识和水平。
三、（支书姓名）总结结合工作实际，就基层党建工作的重大意义、新时期发挥党员先锋模范作用、党员“五带头”的标准尺度等问题，进行了精辟的阐述，给我们上了一堂既有理论性、又有实践性的党课。
党的先进性需要通过党员的具体先锋模范行动来体现，就基层党员来说，日常工作、生活中都能展示党员先锋模范作用的舞台。
课后，希望大家结合这次党课上所讲的内容，围绕如何发挥党员先锋模范作用这个主题，进行认真的讨论，进一步领会领导讲课的内容，切实推进我村的工作。
3月10日支部委员会1、（支部书记）传达镇党委政府关于春季植树造林会议精神。
大力开展植树造林动活，对于保护和改善生态环境，增加农民收入。
2、讨论安排挖沟渠、清扫大街工作。
4月10日支部委员会1、传达落实镇党委政府关于营造计划生育宣传氛围的精神。
2、加强春季林木管护、涂白工作。
5月10日支部委员会1、安排部署美国白蛾防治工作。
2、按照镇党委安排部署，积极做好计生宣传工作。
3、当前的几项重点工作（依次罗列安排，需讨论的讨论）。
6月10日支部委员会1、研究做好防汛准备工作。
2、研究安排小麦、玉米、棉花保险费的征收工作。
3、抓住麦收期间这一有利时机，做好计生工作。
7月1日党员大会内容：纪念“七一”建党**周年座谈会一、由（支部书记）带领广大党员重温入党誓词，带领大家学习《党章》。
二、党员展开讨论生活发生的深刻变化和走过的光辉历程。
尤其是看到我市、我镇这几年发生的巨大变化，对我们的党、国家的未来充满信心。
希望以后能充分发挥党员的先锋模范作用，为本村、本镇的发展贡献一份力量。
三、（支书）做总结讲话我们村正处于发展的有利时机，广大党员要带头，起到先锋模范作用，在做好防汛、防洪、计生等工作的同时，自觉爱护我们现在已有的环境，争取做到爱护环境，人人有责，希望各个方面都能走在全镇前列，各项事业都能取得新成绩。
四、党员向党支部交纳党费。
7月10日支部委员会内容：1、排摸村内不稳定因素，分析群众思想状况，讨论村民反映强烈的问题2、研究部署美国白蛾防治工作。
8月1日：党课一、新形势下村干部的主要工作职责是什么？在农业和农村经济发展的新阶段，村干部主要职责总结起来就是四个字，即传、带、稳、育。
1、传，既传达、贯彻、落实党的政策2、带，既带头并带领群众发展经济3、稳，既协助地方党委、政府做好农村各项工作，维护农村稳定。
4、育，既提高村民的素质，培育新型农民。
二、新形势下村干部应该具备哪些素质？总的来说，一个受人爱戴的村班子必须要具备三个基本的特征：第一，要有强烈的发展意识。
不甘落后，锐意进取，自强不息，艰苦创业，有市场意识、产业意识、项目意识、品牌意识、亲商意识。
第二，要有切实可行的发展路子。
在某种程度上，思路就是出路，没有思路的班子绝对不是好班子。
第三，要有实实在在的发展业绩。
要会干事、能干事、干成事，仅有思路不落实，只说不干，只讲客观不讲主观，任职多年，村上面貌依旧，一事无成的班子也不是好班子。
要具备以上三个基本特征，就要求村干部必须具备以下四个方面的能力。
一是带民致富的能力。
二是依法办事的能力。
三是科技示范能力。
四是服务群众的能力。
8月10日支部委员会1、研究部署美国白蛾防治、防汛等工作。
2、讨论村内重点项目（从中选择1-2项：整修大街、挖沟渠、打机井、整平生产路、修建办公室、购置器械等）。
9月10日支部委员会内容：1、排摸村内不稳定因素，分析群众思想状况，讨论村民反映强烈的问题。
2、研究部署美国白蛾防治、防汛等工作。
10月1日党员大会（仅是示例，发展党员的党员大会请按实际时间做会议记录）内容：分为两种情况，各村结合自己实际从中选择一种。
第一种情况：年有党员发展对象（发展预备党员或党员转正）的村按下面的要求写：一、（支部书记）传达会议精神。
………二、由（党员发展对象姓名）入党介绍人介绍主要情况介绍人一：同志在考察期间，能够认真学习理论知识，注重自身修养，在政治上保持清醒的头脑，在思想上保持高尚的境界，将理论知识运用到实际生活中，坚持不懈，持之以恒，实事求是，脚踏实地，处处起表率作用，树立良好的党员形象，认真对待自己的缺点和不足，并及时地进行改正。
总之，该同志能够不断提高自身党性修养和综合素质，充分发挥共产党员的先锋模范和用，我们认为***同志基本具备一名预备党员（或正式党员）的条件，我同意同志加入党组织。
（或我同意***同志按期转正）介绍人二：………….三、支部报告对党员发展对象的政治审查情况本支部通过采取查阅本人档案材料、派人处调、函调、与本人谈话、征求有关监督部门意见、召开党内外群众座谈会以及公示等方法对***同志进行了政治审查及考核，认为该同志本人政治历史清楚，在重大政治斗争中旗帜鲜明，能够与党中央保持一致，其家庭主要成员和社会关系清楚。
四、党员无记名投票表决经村党员大会讨论无记名投票表决：通过了****同志转发展为中共预备党员（或按期转正）的决议。
参加会议人，同意人，不同意人，弃权人。
第二种情况：2013年无党员发展对象的村，入党积极分子“双推”按以下要求写：（注意：入党积极分子“双推”前应有一次支委会讨论入党积极分子的会议记录，一句话即可）一、（支部书记）传达会议精神。
……..二、由（入党积极分子姓名）培养联系人介绍主要情况培养人一：***同志自2009年1月提出入党申请以来，认真学习党的基本知识，积极向党组织靠拢，主动汇报思想，积极参加村、党组织的政治活动，优点是：学习认真、乐于助人、尊老爱幼，是我们村公认的积极模范分子。
缺点是：理论学习不够深入。
培养人二：………………….三、党员和群众代表无记名投票表决经村党员大会讨论投票表决：通过了确定***同志为入党积极分子并重点培养的决议。
党员参加会议人，同意人，不同意人，弃权人。
群众代表参加会议人，同意人，不同意人，弃权人。
10月1日党课：一、（支部书记）领学《党章》的主要内容主要学习了党的性质，中国共产党是中国工人阶级的先锋队，同时是中国人民和中华民族的先锋队，是中国特色社会主义事业的领导核心，代表中国先进生产力的发展要求，代表中国先进文化的前过方向，代表中国最广大人民的根本利益。
党的最高理想和最终目标是实现共产主义。
学习党的宗旨和指导思想、思想路线。
党的宗旨就是全心全意为人民服务，中国共产党以马列主义、毛泽东思想、邓小平理论和“三个代表”重要思想作为自己的行动指南，一切从实际出发，理论联系实际，实事求是，在实践中检验真理和发展真理。
二、党员讨论发言大家纷纷表示，通过对《党章》的再学习，提高了党员的先锋模范意识，增强了党员发挥作用的自觉性和主动性。
10月10支部委员会内容：1、安排部署计划生育工作。
2、安排部署农业结构调整事宜。
11月1党员大会内容：一、（支部书记）传达村两委会议精神，对大街进行综合整治，改善村民居住环境。
一是从今天开始全村开展大街整治。
二是村两委成员包一条大街。
三是大街整治内容：对大街两旁的杂草、粪便、麦秸等杂物全部清理干净，先由户清理成堆，村再组织人员清理走。
二、党员讨论发言（党员）：村内大街整治非常有必要，我支持（党员）：我支持村两委的工作，积极参与大街整治（党员）：这个活动搞得很好，我们村整理一下，搞好了环境卫生，和在城里住没啥区别，大力支持。
（党员）：我全力支持，一定尽全力，支持村两委工作11月1日党课共产党员如何发挥先锋模范作用？一、做有理想的模范二、做有道德的模范三、做努力工作、好学上进、促进先进社会生产力的模范四、做不尚空谈、多干实事的模范五、做深化改革，勇于创新的模范六、做遵纪守法，同不正之风，腐败现象和违法犯罪行为作斗争的模范11月10日支部委员会内容：1、积极采取措施抓紧进行覆盖地膜保温，增强保温抗寒能力。
2、安排冬季联户联防工作，确保冬季社会平安。
3、讨论开展星级文明户评选活动相关事宜。
12月10日。