法向量的夹角与二面角平面角的关系四

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用法向量确定二面角大小的三个基本关系

用法向量确定二面角大小的三个基本关系作者：程映军来源：《甘肃教育》2012年第23期〔关键词〕数学教学；法向量；二面角；符号；方向；相关关系〔中图分类号〕 G633.65 〔文献标识码〕 A〔文章编号〕 1004—0463（2012）23—0082—02求二面角平面角的问题在传统立体几何中解决的方法较多，这也是高考的一个重要内容，但新教材对此问题有所淡化，只要求学生能用平面法向量求出二面角平面角的大小.而两个法向量的夹角与二面角的平面角到底何时相等？何时互补？教材中处理得比较含糊，要求借助于图形直观解决，实际上此法可操作性并不大，因此，到了这个部分便常常出现“老师想讲讲不清，学生能学学不透”的尴尬局面.那么，如何在判断方法上兼顾理论依据的正确性和事件操作的可行性、简捷性呢？笔者认为，只要认识清楚以下三个基本关系，我们并不需要借助其他理论工具，就能快速解决这一问题.一、空间向量坐标的符号与向量方向的关系一个向量的坐标并不是刻画这个向量在空间直角坐标系O-xyz中的具体位置，而是刻画向量相对于标准正交基[i][➝]=（1，0，0），[j][➝]=（0，1，0），[k][➝]=（0，0，1）的“分解程度”.如，将向量[m][➝]=（x，y，z）分解，则此向量在x轴、y轴、z轴上的分向量依次是=（x，0，0）=x[i][➝]，=（0，y，0）=y[j][➝]，=（0，0，z）=z[k][➝]，从而x，y，z的正负直接反映这三个分向量与对应的基底是同向还是反向，如下表：二、平面法向量的横、纵、竖之间的相关关系平面α的法向量的坐标之间构成正比例关系.证明：设A0（x0，y0，z0），A1（x1，y1，z1），A2（x2，y2，z2）是平面α上任意三个不共线的点，[m][➝]=（x，y，z）是平面α的法向量，则[m][➝]⊥[m][➝]⊥⇒[m][➝]·=0[m][➝]·=0⇒x（x1-x0）+y（y1-y0）+z（z1-z0）=0x（x2-x0）+y（y2-y0）+z（z2-z0）=0 ，解得y=-x，z=-xy1-y0 z1-z0y2-y0 z2-z0 ≠0. 记λ1=-，μ1=-，则[m][➝]=（x，λ1x，μ1x）=x（1，λ1，μ1）；同理，λ2=-，μ2=-x1-x0 z1-z0x2-x0 z2-z0 ≠0，则[m][➝]=（λ2y，y，μ2y）=y（λ2，1，μ2）；令λ3=-，μ3=-x1-x0 y1-y0x2-x0 y2-y0 ≠0，则[m][➝]=（λ3z，μ3z，z）=z（λ3，μ3，1）.这说明，由A0，A1，A2三点唯一确定的平面α，其法向量可以由x（或y，z）唯一确定.三、二面角的大小与两个法向量相对指向的关系定义1：以l为棱的两个半平面α，β把空间分成两部分，其中使二面角α-l-β的平面角θ∈（0，π）的部分称为二面角的内部，另一部分则称为二面角的外部.定义2：以平面α上任意一个不属于棱的点为起点作该平面的法向量，如果这个法向量的终点总是落在二面角α-l-β的外部，则称该法向量指向二面角α-l-β的外部，反之，称该法向量指向二面角α-l-β的内部.有以下事实：①当α，β的法向量[m][➝]，[n][➝]同时指向二面角α-l-β的内部（或外部）时，角与二面角α-l-β互为补角（图1）.②当α，β的法向量[m][➝]，[n][➝]一个指向二面角α-l-β的内部，另一个指向二面角α-l-β的外部时，角与二面角α-l-β大小相等（图2）.对于以上三个基本关系的阐述和证明，我们可以看到，要解决提出的问题，关键是要判断两个法向量的相对方向.而由于平面法向量的方向可以通过点坐标的行列式运算化归为一元线性表达式，所以我们只需要判断出平面法向量的任意一个坐标的符号，就可以确定法向量的相对方向，从而判断出两个法向量夹角与二面角的大小关系，实现整个问题的求解.以下举例说明该方法的具体实施过程.例1：如图3，已知平面A1B1C1平行于三棱锥V-ABC的底面ABC，等边△AB1C所在的平面与底面ABC垂直，且∠ACB=90°，设AC=2a，BC=a.（1）求证直线B1C1是异面直线AB1与A1C1的公垂线；（2）求点A到平面VBC的距离；（3）求二面角A-VB-C的大小.解析：（1）（2）略.（3）取AC中点O，连接B1O，易知OB1⊥底面ABC，过O作直线OE∥BC交AB于E.取O为空间直角坐标系的原点，以OE，OC，OB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图4所示的空间直角坐标系.则A（0，-a，0），B（a，a，0），C（0，a，0），B1（0，0，a）.设平面VBC的一个法向量[n][➝]=（x1，y1，z1），由[n][➝]⊥[n][➝]⊥得-ax1=0-ay1+az1=0，取z1=1，得[n][➝]=（0，，1），此时法向量[n][➝]指向二面角A-VB-C的外侧.同理可得平面VAB的一个法向量[m][➝]=（2，-，1），此时，法向量[m][➝]指向二面角A-VB-C的内侧.∴cos==-.所以，二面角A-VB-C的大小为arccos-.例2：在正方体中，二面角的大小为 .解：如图5，A1C1⊥面BB1D1，A1D⊥面BAD1，所以直线A1C，A1D的方向向量分别为BB1D1和BAD1的法向量，分别令[n1][➝]=，[n2][➝]=，设正方形的边长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则A1（0，1，1）， C1（-1，0，1），D1（-1，-1，0）.∴ =（-1，-1，0）， ||= ， =（-1，-2，-1），||=， ·=3.∴cos==.即向量，的夹角为30°，由于，的指向都是向着二面角外，所以二面角A-BD1-B1与向量，的夹角互补，所以二面角A-BD1-B1的大小为150°.。

两个面法向量的夹角与二面角的关系

两个面法向量的夹角与二面角的关系示例文章篇一：作为一名小学生，这题目对我来说可太难啦！不过我还是想试着说一说。

啥是面法向量呀？这就好像我们在操场上跑步，有个规定的方向，这个方向就是法向量。

那二面角呢，就像是打开的两扇门之间的那个夹角。

咱们想想，如果两个面法向量的夹角是锐角，那二面角会不会也是锐角呢？哎呀，这可不一定哟！比如说，两个面就像两个小朋友在面对面吵架，他们的姿势（法向量）可能看着很凶（锐角），但真正他们之间的那个空间（二面角）可能是钝角呢！那要是两个面法向量的夹角是钝角，二面角是不是也一定是钝角呢？哈哈，也不一定呀！就好像两个小伙伴，一个看起来很生气背对着（钝角），但其实他们之间的距离和角度（二面角）可能很小，是锐角呢！那到底两个面法向量的夹角和二面角有啥关系呢？其实啊，它们有时候一样，有时候又不一样。

这就像我们猜谜语，得好好琢磨琢磨才能找到答案。

所以说，不能简单地认为两个面法向量的夹角就是二面角，得仔细分析，认真思考，才能搞清楚它们之间真正的关系。

你们说是不是呀？示例文章篇二：哎呀，这“两个面法向量的夹角与二面角的关系”可真是个让人头疼的问题呢！就好像是走在一条弯弯绕绕的小路上，一不小心就会迷路。

咱先来说说啥是面的法向量。

法向量就像是每个面的“小保镖”，直直地站在面的正上方，守护着这个面。

那两个面的法向量呢，它们之间就会有个夹角。

这时候就有人要问啦，那这个夹角和二面角又有啥关系呢？这就好比是两个小伙伴在玩躲猫猫，法向量的夹角像是我们看到的表面现象，而二面角才是真正藏起来的那个“神秘宝贝”。

有时候，两个面法向量的夹角就直接等于二面角，这多简单直接呀！可有时候呢，它们又像是两个闹别扭的小朋友，法向量的夹角和二面角还得加上或者减去180 度才行。

你想想看，如果我们不搞清楚它们的关系，那在解题的时候不就像没头的苍蝇到处乱撞吗？所以说，弄明白这两者的关系可太重要啦！在学习的过程中，我就常常被它们绕得晕头转向。

二面角法向量求法

空间角的大小与两条直线的方向有关，与直线的长度无关。
二面角的表示方法
二面角是由两个半平面所组成的图形，其大小由两个半平面
的夹角决定。
二面角可以用角度制或弧度制来表示，与平面角和空间角类
似。
二面角的大小与两个半平面的方向有关，与半平面的大小无关。
在求解二面角的大小时，通常需要先找到两个半平面的法向量，然后计算两个法向量之间的夹角即可得到二面角的大小。
二面角法向量求法
汇报人：XX 2024-01-23
• 引言 • 二面角的表示方法 • 法向量的求解方法 • 二面角法向量的性质 • 二面角法向量的应用 • 总结与展望
01
引言
二面角的定义
二面角是由两个半平面所组成的图形，其大小由这两个半平面的
夹角决定。
二面角的大小范围在0°到180°之间，当两个半平面重合时，二面角为0°；当两个半平面形成一条
面积射影定理
根据面积射影定理，二面角的余弦值等于两个半平面在棱上的投影面积之比。因此，可以通过求出两个半平面在棱上的投影面积，然后利用面积射影定理求出二面角的大小。
三垂线定理及其逆定理法
利用三垂线定理或其逆定理，可以构造出与二面角的棱垂直的线段，进而通过解三角形求出二面角的大小。
空间向量夹角公式
03
法向量的求解方法
平面法向量的求解方法
直接法
如果平面上的一个向量已知，则该向量即为平面的法向量。
待定系数法
设平面的法向量为 n=(x,y,z)，根据平面的方程可以列出关于x,y,z 的方程组，通过求解方程组得到法向量。
向量积法
如果平面上有两个不共线的向量a和b，则平面的法向量n可以通过计算向量a和b的向量积得到，即n=a×b。

直线与法向量的夹角与线面角之间的关系

直线与法向量的夹角与线面角之间的关系1. 引言1.1 概述本文研究的主题是直线与法向量之间的夹角和线面角的关系。

在几何学中，直线和法向量是常见的概念，在各种应用领域中都有广泛的运用。

夹角作为两个向量之间的关系度量方式，对于理解直线和法向量之间的关联至关重要。

而线面角则描述了一条直线与一个平面之间的夹角，它与法向量也有着密切的联系。

通过探究这些数学概念之间的关系，我们可以更好地理解它们在几何学和实际应用中的意义及作用。

1.2 研究背景直线和法向量是几何学中基础而重要的概念，在计算机图形学、力学、物理等领域都有广泛应用。

在计算机图形学中，直线和法向量常被用来描述三维空间中物体的位置、方向和表面属性。

在力学和物理学中，直线代表了力或位移方向，而法向量指示了所研究对象所处位置或表面性质。

然而，在许多实际问题中，人们通常需要考虑到夹角和线面角这两个概念。

在解决问题中，正确理解和应用这些关系可以帮助我们更准确地分析和计算结果。

1.3 目的本文的目的是研究直线与法向量之间的夹角，并探讨夹角与线面角之间的关系。

通过数学推导和实例分析，我们将阐述直线与法向量夹角的定义、计算方法以及它们在实际问题中的应用。

同时，我们还将探讨线面角的定义、特性以及它与法向量之间的联系。

最后，本文将总结结论并展望未来可能的研究方向，为读者提供思考和启示。

通过本文对直线与法向量夹角和线面角之间关系的深入讨论，读者可以更全面地理解这些重要概念，在解决实际问题时能够灵活运用，并为进一步研究提供有益参考。

2. 直线与法向量的夹角：2.1 直线的定义及性质：直线是平面几何中的基本概念，它由无限多个点组成，并且在平面上没有宽度和厚度。

直线可以用一种简单而明确的方式表示，即通过两个不同的点。

两个不同点确定了唯一的一条直线。

在数学中，直线有着许多重要性质。

首先，任意两点都可以确定一条直线。

其次，直线上的任意两个点与第三个不在这条直线上的点构成一个三角形，而这个三角形将呈现出一些特殊性质。

用法向量求二面角的大小及其角度关系的确定

用法向量求二面角的大小及其角度关系的确定我们都知道，向量知识在数学学科里有其非常广泛的应用，尤其是在立体几何求角和距离时，若利用向量知识求解会得到事半功倍的效果，也正体现了向量知识的工具性和灵活性。

而在应用向量知识求解二面角的大小时，不是所有的二面角的两个半平面的法向量的夹角都和二面角相等，有时是互补，那么，什么时候相等，什么时候互补，如何确定其“角度之间的大小关系”一直以来是困扰很多教师和学生的一个难题。

向量有其自身的独特性质—自由性，当一个向量在空间的某一位置时，可以自由移动，只要满足其方向不变，其无论移动到任何位置，向量都是相等的。

根据这一性质，当我们把二面角的某个半平面的法向量求出后，把它的起点放到坐标原点，然后确定其向量的方向的指向，从而确定其法向量的夹角和二面角的大小的关系，在确定了法向量的夹角与二面角的关系后，再利用向量的数量积求出二面角的大小，下面就来具体阐述一下这一做法。

一．规定法向量的指向方向1.当法向量的方向指向二面角的内部时称之为向里指，如：图1中的向量。

1n 2.当法向量的方向指向二面角的外部时称之为向外指，如：图1中的向量。

2n 二．法向量的夹角和二面角大小的关系1.设分别为平面的法向量，二面角的大小为，向量21,n n βα,βα--l θ的夹角为，当两个法向量的方向都向里或都向外指时，则有21,n n ϕ（图2）；πϕθ=+2.当两个法向量的方向一个向里指一个向外指时（图3）ϕθ=图2图3三、在坐标系中做出法向量，从而确定法向量的方向指向1.已知二面角，若平面的法向量，由向量的相等条βα--l α)3,4,4(=n 件知，坐标是（4，4，3）的向量有无数多个，根据向量的自由性，我们只需n 做出由原点出发的一个向量便可，如图4所示，从而，我们很容易的判断出平面法向量的方向的指向，是指向二面角的里面。

α2.若平面法向量，同理可做出从原点出发的法向量，如图5α)1,3,4(--=n 所示，显然，方向是指向二面角的外面。

利用法向量求二面角

转转转
2
课前热身
在正方体ABCD A1B1C1D1中，求锐二面角A1 DB A的余弦值。
解：作DB的中点O, 连结AO 1 , AO 在正方体中A1D AB, AD AB AO BD, AO BD 1
AOA 为二面角A1 DB A的平面角 1 A1 不妨设AA 2，则AO 2，
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课后练习
在三棱锥P-ABC中，AB=AC，D为BC的中点，PO ⊥面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC=8， PO=4，AO=3，OD=2. 在线段AP上是否存在点M，使得二面角A-MC-B为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由。
P
A O Bห้องสมุดไป่ตู้D
C
课堂总结
思想方法
1.利用空间向量求空间角，避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦，使空间点、线、面的位置关系的判定和计算程序化、简单化.主要是建系、设点、计算向量的坐标、利用数量积的夹角公式计算. 2.合理建立空间直角坐标系 (1)使用空间向量解决立体几何问题的关键环节之一就是建立空间直角坐标系，建系方法的不同可能导致解题的简繁程度不同. (2)一般来说，如果已知的空间几何体中含有两两垂直且交于一点的三条直线时，就以这三条直线为坐标轴建立空间直角坐标系；如果不存在这样的三条直线，则应尽可能找两条垂直相交的直线，以其为两条坐标轴建立空间直角坐标系，即坐标系建立时以其中的垂直相交直线为基本出发点. (3)建系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系，在没有现成的垂直关系时要通过其他已知条件得到垂直关系，在此基础上选择一个合理的位置建立空间直角坐标系.
课题：利用法向量求二面角
——小越中学章惠芳
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复习回顾

二面角和向量夹角的关系

§3. 2 二面角与向量夹角的关系异面直线所成的角、线面角、二面角与向量夹角的关系．重点：异面直线所成的角、线面角、二面角与向量夹角的关系．难点：如何用直线的方向向量和平面的法向量来表达线面角和二面角一、复习回顾：二面角及其平面角的定义，求法二、基础自测1．直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，∠ACB ＝90°，D 1，E 1分别为A 1B 1，A 1C 1的中点，若BC ＝CA ＝CC 1，则BD 1与AE 1所成角的余弦值为( )A ．12B ．3015C ．3010D ．5102．已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝4，CC 1＝2，则直线BC 1和平面DBB 1D 1所成角的正弦值为( )A ．32 B ．52 C ．105D ．1010三、知识梳理：提出问题：怎样用平面的法向量来表示二面角的大小？平面α与β相交于直线l ，平面α的法向量为n1，平面β的法向量为n2，<n1，n2>＝θ，则二面角α－l －β为θ或π－θ．设二面角大小为φ，则|cos φ|＝__________＝__________注：由于两条直线所成的角，线面角都不大于直角，因此可直接通过绝对值来表达，故可直接求出，而二面角的范围是__________ ，有时比较难判断二面角是锐角还是钝角，因为不能仅仅由法向量夹角余弦的正负来判断，故这是求二面角的难点．四、达标训练例1、正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直， △ABE 是等腰直角三角形，AB ＝AE ，FA ＝FE ，∠AEF ＝45° (1)求证：EF ⊥平面BCE ；(2)设线段CD 的中点为P ，在直线AE 上是否存在一点M ，使得PM ∥平面BCE ？若存在，请指出点M的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由； (3)求二面角F －BD －A 的余弦值。

高中数学必修二最新版-二面角求法及经典题型归纳

αβa O A B 立体几何二面角求法一：知识准备1、二面角的概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面.2、二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角。

3、二面角的大小范围：[0°，180°]4、三垂线定理：平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它就和这条斜线垂直5、平面的法向量：直线L 垂直平面α，取直线L 的方向向量，则这个方向向量叫做平面α的法向量。

（显然，一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量）6、二面角做法：做二面角的平面角主要有3种方法：（1）、定义法：在棱上取一点，在两个半平面内作垂直于棱的2 条射线，这2条所夹的角；（2）、垂面法：做垂直于棱的一个平面，这个平面与2个半平面分别有一条交线，这2条交线所成的角；（3）、三垂线法：过一个半平面内一点（记为A ）做另一个半平面的一条垂线，过这个垂足（记为B ）再做棱的垂线，记垂足为C ，连接AC ，则∠ACB 即为该二面角的平面角。

7、两个平面的法向量的夹角与这两个平面所成的二面角的平面角有怎样的关系？二：二面角的基本求法及练习1、定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。

本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。

如例1中从二面角S —AM—B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）；在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。

二面角的平面角与其面的法向量夹角的关系判定

≥ [1 + 2 + L + ( n −1)]2
空间向量引入后 ,用空间向量解决立体几何中的垂直、平行、共面、角、距离等问题 ,可以减少辅助线 ,避开复杂的空间想象 ,降低了解题的难度,求二面角 α − l − β 的大小问题可以转化为二面角两个面所对应的法向量与法向量夹角的问题 , 避免了寻找二面角的平面角的麻烦,一般步骤如下: uv v (1)求平面 α ,平面 β 的法向量 m, n . uv v (2)求< m, n >的大小. (3)利用二面角 α − l − β 与其法向量夹角 uv v 关系 , 得出二面角 α − l − β 的大小为 < m, n > uv v 或 π − < m, n > . uv v 其中 < m, n >的大小可以计算得出 ,但二 uv v uv 面角 α − l − β 的大小是< m, n >还是 π − < m, v n > 却不易确定,解题时往往结合图形观察作出判断,此法不科学,也容易产生误判. 本文给出一种可行的判断方法,以供借鉴. 定理若 M 、 N 分别为二面角 α − l − β uv v 的两个半平面上二点 , 且 M ∉ l , N ∉ l , m , n 分
从高考题谈解题的情景转换
福建莆田第一中学林炳宗黄天华
匈牙利数学家路莎・彼得曾经说过:“数学家们往往不是对问题进行正面攻击 ,而是不断地将它变形 ,直到把它转化为能够得到解决的问题”.这就是说运用转化方法把新问题归结为已经解决的问题 ,是数学家们处理问题时惯用的思维方式 ,我们应该学习掌握这种思维方式去解决问题. 在数学解题中 ,有时会出现问题的情境比较陌生、复杂或模糊 , 从而导致解题思路不清或受阻中断的情形 . 这时 ,不要死钻牛角尖 ,而应灵活运用所学的知识和方法 ,通过适当,巧妙的转换处理,把问题的情境转换为熟悉、简单、清晰的情景,再进行具体求解 ,本文以历年高考题为例 ,说明相关的情境转换策略. 1 类比转换类比转换就是 ,通过对两个或两类对象进行比较 ,找出它们之间在某关系或性质上的相同点或相似点 ,以此为依据. 推测它们在另外的关系或性质上 , 也有相同或相似的结论 ,数学学习中常见的有: 特征类比 ,结构类比等. 例 1 设函数 f ( x) 的定义域为 R ,对任意 x, y ∈ R 都有 f ( x + y) + f ( x − y) = 2 f ( x) f ( y) , c 且存在 c ∈ R+ ,使 f ( ) = 0 ,试问 f ( x) 是不是 2 周期函数?如果是 ,求出它的一个周期 ;如果不是,说明理由. 分析乍看本题 ,情境新颖陌生 ,但仔细联想,就会发现本题情境与学生熟识的“余弦函数 f ( x) 的全部条件” ,于是推测在另外的性质 f ( x) 与 cos x 也类似,因此猜想 f ( x) 是周期函数,它的一个周期可能是 2c. 下面给以证明:

立体几何中的向量方法及二面角的平面角求法总结

讲义：立体几何中的向量方法及二面角的平面角求法总结一、几种角的范围1、 _________________________________ 二面角平面角的范围：2、 _________________________________ 线面角的范围：3、 _________________________________ 直线倾斜角范围：4、异面直线夹角范围：_______________5、向量夹角范围：_________________二、立体几何中的向量方法1.三个重要向量(1)直线的方向向量：直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的向量，一条直线的方向向量有 ______ .(2)平面的法向量：直线I丄平面a取直线I的方向向量，则这个向量叫做平面a的法向量.显然一个平面的法向量有 ____ ，它们是共线向量.(3)直线的正法向量：直线L:Ax+By+C=O的正法向量为n=(A,B).2.直线的方向向量与平面的法向量在确定直线和平面位置关系中的应用(1)直线l i的方向向量为u 1= (a i, b i, c i),直线l2的方向向量为比=(a2, b2, C2).女口果丨1 //丨2,那么U1 // U2? 5=右2? _____________________________ ；女口果丨1丄l2, 那么U1丄U2? U1 U2= 0? ________________⑵直线I的方向向量为u= (a1, b1, C1),平面a的法向量为n= (a2, b2, C2).若I // a 贝U u 丄n? u n = 0? _________________若I 丄a 贝U u // n? u = k n? _____________________(3)平面a的法向量为U1 = (a1, b1, C1)，平面B的法向量为u2= (a2, b2, C2).若all B U1 / U2? U1 = k u2? (a1, b1, G)=_________ ；若a丄B 贝y U1 丄U2? U1 U2= 0? ____________________3.利用空间向量求空间角(1)求两条异面直线所成的角：设a, b分别是两异面直线I1, I2的方向向量，则(2) 求直线与平面所成的角：设直线I 的方向向量为a ,平面a 的法向量为n ,直线I 与平面a 所成的角为 0,则 si nA |cos 〈 a , n > |=(3) 求二面角的大小：(I )若 AB , CD 分别是二面角a — I — B 的两个半平面内与棱I 垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量AB , CD 的夹角(如图①所示).(H )设n i , n 2分别是二面角a — I — B 的两个半平面a, B 的法向量，贝U 向量n i 与n 2的夹角(或其补角)的大小就是二面角的大小(如图②③).4. 求点面距：平面a 外一点P 到平面a 的距离为:其中n 为平面a 的法向量，PQ 为平面a 的斜线，Q 为斜足 5. 平面法向量的求法设出平面的一个法向量n = (x , y , z),利用其与该平面内的两个不共线向量垂直，即数量积为 0, 列出方程组，两个方程，三个未知数，此时给其中一个变量恰当赋值，求出该方程组的一个非零解,即得到这个法向量的坐标.注意，赋值不同得到法向量的坐标也不同，法向量的坐标不唯一. 6. 射影面积公式：二面角的平面角为 a ,则cos a=7. 利用空间向量求角要注意的问题(1)异面直线所成的角、直线和平面所成的角、二面角都可以转化成空间向量的夹角来求.⑵空间向量的夹角与所求角的范围不一定相同，如两向量的夹角范围是[0, n,两异面直线所成的角的范围是o , n . (3)用平面的法向量求二面角时，二面角的大小与两平面法向量的夹角有相等和互补两种情况 .三、二面角的平面角的求法1、定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线d=② ③所成的角的大小就是二面角的平面角。

2019年高中数学湘教版选修2-1讲义+精练：第3章3.6直线与平面、平面与平面所成的角含答案

3．6直线与平面、平面与平面所成的角[读教材·填要点]1．直线与平面所成的角(1)定义：如果直线l 与平面α垂直，l 与平面α所成的角θ为直角，θ＝π2.如果直线l 与平面α不垂直，则l 在α内的射影是一条直线l ′，将l 与l ′所成的角θ定义为l 与平面α所成的角．(2)范围：θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. (3)计算：作直线l 的方向向量v 和平面α的法向量n ，并且可选v 与n 所成的角θ1∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则l 与平面α所成的角 θ＝π2－θ1，sin θ＝cos_θ1＝|v ·n ||v |·|n |.2．二面角(1)定义：从一条直线l 出发的两个半平面α，β组成的图形叫作二面角，记作α-l -β. (2)二面角的平面角过二面角α-l -β的棱l 上任意一点O 作垂直于棱l 的平面，分别与两个面α，β相交得到两条射线OA ，OB ，则∠AOB 称为二面角α-l -β的平面角．(3)二面角的范围二面角的平面角的度数在0°～180°范围内，特别当二面角α-l -β是90°时称它为直二面角，此时称两个面α，β相互垂直．3．两个平面所成的角两个相交平面，以交线为棱可以构成四个二面角，其中最小的一个二面角称为这两个平面所成的角，取值范围是⎝⎛⎭⎫0，π2.两个平行平面所成的角为0°. [小问题·大思维]1．当一条直线l 与一个平面α的夹角为0时，这条直线一定在平面内吗？提示：不一定，这条直线可能与平面平行．2．设直线l 与平面α所成的角为θ，l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，如何用a 和n 求角θ？提示：sin θ＝|cos 〈a ，n 〉|＝|a ·n ||a |·|n |.3．二面角的法向量的夹角与二面角的平面角的大小有什么关系？提示：相等或互补．求直线与平面所成的角如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面为直角梯形，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD ＝AB ＝2BC ，M ，N 分别为PC ，PB 的中点．求BD与平面ADMN 所成的角θ.[自主解答] 如图所示，建立空间直角坐标系，设BC ＝1，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2)，则N (1,0,1)，∴BD ―→＝(－2,2,0)，AD ―→＝(0,2,0)，AN ―→＝(1,0,1)．设平面ADMN 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AD ―→＝0，n ·AN ―→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x ＋z ＝0，取x ＝1，则z ＝－1， ∴n ＝(1,0，－1)．∵cos 〈BD ―→，n 〉＝BD ―→·n |BD ―→|·|n |＝－28·2＝－12，∴sin θ＝|cos 〈BD ―→，n 〉|＝12.又0°≤θ≤90°，∴θ＝30°.利用向量法求直线与平面所成角的步骤为： (1)确定直线的方向向量和平面的法向量； (2)求两个向量夹角的余弦值； (3)确定向量夹角的范围；(4)确定线面角与向量夹角的关系：向量夹角为锐角时，线面角与这个夹角互余；向量夹角为钝角时，线面角等于这个夹角减去90°.1.如图，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠BAC ＝90°，D ，E ，F 分别是棱AB ，BC ，CP 的中点，AB ＝AC ＝1，PA ＝2.求直线PA 与平面DEF 所成角的正弦值．解：如图，以点A 为原点，AB ，AC ，AP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系A -xyz .由AB ＝AC ＝1，PA ＝2，得A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (0,1,0)，P (0,0,2)，D ⎝⎛⎭⎫12，0，0，E ⎝⎛⎭⎫12，12，0，F ⎝⎛⎭⎫0，12，1. ∴PA ―→＝(0,0，－2)，DE ―→＝⎝⎛⎭⎫0，12，0，DF ―→＝⎝⎛⎭⎫－12，12，1. 设平面DEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DE ―→＝0，n ·DF ―→＝0，即⎩⎨⎧(x ，y ，z )·⎝⎛⎭⎫0，12，0＝0，(x ，y ，z )·⎝⎛⎭⎫－12，12，1＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2z ，y ＝0.取z ＝1，则平面DEF 的一个法向量为n ＝(2,0,1)．设PA 与平面DEF 所成的角为θ，则 sin θ＝|cos 〈PA ―→，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪PA ―→·n | PA ―→|·|n |＝55，故直线PA 与平面DEF 所成角的正弦值为55.求二面角如图，四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等，AC ∩BD ＝O ，A 1C 1∩B 1D 1＝O 1，四边形ACC 1A 1和四边形BDD 1B 1均为矩形．(1)证明：O 1O ⊥底面ABCD .(2)若∠CBA ＝60°，求二面角C 1-OB 1-D 的余弦值．[自主解答] (1)证明：因为四边形ACC 1A 1和四边形BDD 1B 1均为矩形，所以CC 1⊥AC ，DD 1⊥BD ，又CC 1∥DD 1∥OO 1，所以OO 1⊥AC ，OO 1⊥BD ，因为AC ∩BD ＝O ，所以O 1O ⊥底面ABCD .(2)因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形ABCD 为菱形，AC ⊥BD .又O 1O ⊥底面ABCD ，所以OB ，OC ，OO 1两两垂直．如图，以O 为原点，OB ，OC ，OO 1所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．设棱长为2，因为∠CBA ＝60°，所以OB ＝3，OC ＝1，所以O (0,0,0)，B 1(3，0,2)，C 1(0,1,2)，平面BDD 1B 1的一个法向量为n ＝(0,1,0)，设平面OC 1B 1的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则由m ⊥OB 1―→，m ⊥OC 1―→，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2z ＝0，y ＋2z ＝0.取z ＝－3，则x ＝2，y ＝23，所以m ＝(2,23，－3)，所以cos 〈m ，n 〉＝m·n |m ||n |＝2319＝25719.由图形可知二面角C 1-OB 1-D 的大小为锐角，所以二面角C 1-OB 1-D 的余弦值为25719.利用法向量求二面角的步骤为： (1)确定两平面的法向量； (2)求两法向量的夹角的余弦值； (3)确定二面角的范围；(4)确定二面角与面面角的关系：二面角范围的确定要通过图形观察，法向量一般不能体现出来．2．(2016·全国卷Ⅰ)如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF ＝2FD ，∠AFD ＝90°，且二面角D -AF -E 与二面角C -BE -F 都是60°.(1)证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； (2)求二面角E -BC -A 的余弦值．解：(1)证明：由已知可得AF ⊥DF ，AF ⊥FE ，所以AF ⊥平面EFDC . 又AF ⊂平面ABEF ，故平面ABEF ⊥平面EFDC .(2)过D 作DG ⊥EF ，垂足为G .由(1)知DG ⊥平面ABEF .以G 为坐标原点，GF ―→的方向为x 轴正方向，|GF ―→|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系G -xyz .由(1)知∠DFE 为二面角D -AF -E 的平面角，故∠DFE ＝60°，则DF ＝2，DG ＝3，可得A (1,4,0)，B (－3,4,0)，E (－3,0,0)，D (0,0，3)．由已知得AB ∥EF ，所以AB ∥平面EFDC . 又平面ABCD ∩平面EFDC ＝CD ，故AB ∥CD ，CD ∥EF .由BE ∥AF ，可得BE ⊥平面EFDC ，所以∠CEF 为二面角C -BE -F 的平面角，∠CEF ＝60°. 从而可得C (－2,0，3)．所以EC ―→＝(1,0，3)，EB ―→＝(0,4,0)，AC ―→＝(－3，－4，3)，AB ―→＝(－4,0,0)．设n ＝(x ，y ，z )是平面BCE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·EC ―→＝0，n ·EB ―→＝0，即⎩⎨⎧x ＋3z ＝0，4y ＝0，所以可取n ＝(3,0，－3)．设m 是平面ABCD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AC ―→＝0，m ·AB ―→＝0，同理可取m ＝(0，3，4)．则cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝－21919. 由图知，二面角E -BC -A 为钝角，故二面角E -BC -A 的余弦值为－21919.解题高手多解题条条大路通罗马，换一个思路试一试已知PA ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，PA ＝AC ＝1，BC ＝2，求二面角A -PB -C 的余弦值． [解] 法一：如图所示，取PB 的中点D ，连接CD . ∵PC ＝BC ＝2， ∴CD ⊥PB .∴作AE ⊥PB 于E ，那么二面角A -PB -C 的大小就等于异面直线DC 与EA 所成的角θ的大小．∵PD ＝1，PE ＝PA 2PB ＝12，∴DE ＝PD －PE ＝12.又∵AE ＝AP ·AB PB ＝32，CD ＝1，AC ＝1，AC ―→＝AE ―→＋ED ―→＋DC ―→，且AE ―→⊥ED ―→，ED ―→⊥DC ―→，∴|AC ―→|2＝|AE ―→|2＋|ED ―→|2＋|DC ―→|2＋2|AE ―→|·|DC ―→|cos(π－θ)，即1＝34＋14＋1－2·32·1·cos θ，解得cos θ＝33. 故二面角A -PB -C 的余弦值为33. 法二：由法一可知，向量DC ―→与EA ―→的夹角的大小就是二面角A -PB -C 的大小，如图，建立空间直角坐标系Cxyz ，则A (1,0,0)，B (0，2，0)，C (0,0,0)，P (1,0,1)，D 为PB 的中点，D ⎝⎛⎭⎫12，22，12. 又PE EB ＝AP 2AB 2＝13，即E 分PB ―→的比为13.∴E ⎝⎛⎭⎫34，24，34，EA ―→＝⎝⎛⎭⎫14，－24，－34，DC ―→＝⎝⎛⎭⎫－12，－22，－12，|EA ―→|＝32，|DC ―→|＝1，EA ―→·DC ―→＝14×⎝⎛⎭⎫－12＋⎝⎛⎭⎫－24×⎝⎛⎭⎫－22＋⎝⎛⎭⎫－34×⎝⎛⎭⎫－12＝12. ∴cos 〈EA ―→，DC ―→〉＝EA ―→·DC ―→| EA ―→|·|DC ―→|＝33.故二面角A -PB -C 的余弦值为33. 法三：如图所示建立空间直角坐标系，则A (0，0,0)，B (2，1,0)，C (0,1,0)，P (0,0,1)，AP ―→＝(0,0,1)，AB ―→＝(2，1,0)，CB ―→＝(2，0,0)， CP ―→＝(0，－1,1)，设平面PAB 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AP ―→＝0，m ·AB ―→＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ (x ，y ，z )·(0，0，1)＝0，(x ，y ，z )·(2，1，0)＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ，z ＝0.令x ＝1，则m ＝(1，－2，0)．设平面PBC 的法向量为n ＝(x ′，y ′，z ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CB ―→＝0，n ·CP ―→＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ (x ′，y ′，z ′)·(2，0，0)＝0，(x ′，y ′，z ′)·(0，－1，1)＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝0，y ′＝z ′. 令y ′＝－1，则n ＝(0，－1，－1)， ∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝33.∴二面角A -PB -C 的余弦值为33.1．若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l 与平面α所成的角等于( )A ．120°B ．60°C ．30°D ．以上均错解析：设直线l 与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos 120°|＝12，又∵0＜θ≤90°，∴θ＝30°. 答案：C2．若正三棱锥的侧面都是直角三角形，则侧面与底面所成的二面角的余弦值为( ) A.63B.33C.23 D.13解析：设正三棱锥P -ABC ，PA ，PB ，PC 两两互相垂直，设PA ＝PB＝PC ＝a .取AB 的中点D ，连接PD ，CD ，易知∠PDC 为侧面PAB 与底面ABC 所成的角．易求PD ＝22a ，CD ＝62a ，故cos ∠PDC ＝PD DC ＝33.答案：B3．在边长为a 的正△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，沿AD 折成二面角B -AD -C 后，BC ＝12a ，这时二面角B -AD -C 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：由定义知，∠BDC 为所求二面角的平面角，又BC ＝BD ＝DC ＝12a ，∴△BDC 为等边三角形，∴∠BDC ＝60°. 答案：C4．若一个二面角的两个面的法向量分别为m ＝(0,0,3)，n ＝(8,9,2)，则这个锐二面角的余弦值为________．解析：cos 〈m ，n 〉＝(0，0，3)·(8，9，2)382＋92＋22＝2149＝2149149.答案：21491495．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 所成的角的正弦值是________．解析：如图，以DA ，DC ，DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，取正方体的棱长为1，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C 1(0,1,1)，易证AC 1―→是平面A 1BD 的一个法向量．又AC 1―→＝(－1,1,1)， BC 1―→＝(－1,0,1)．所以cos 〈AC 1―→，BC 1―→〉＝1＋13×2＝63.所以BC 1与平面A 1BD 所成角的正弦值为63. 答案：636．(2017·江苏高考)如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥平面ABCD ，且AB ＝AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝120°.(1)求异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值； (2)求二面角B -A 1D -A 的正弦值．解：在平面ABCD 内，过点A 作AE ⊥AD ，交BC 于点E . 因为AA 1⊥平面ABCD ，所以AA 1⊥AE ，AA 1⊥AD .如图，以{AE ―→，AD ―→，AA 1―→}为正交基底，建立空间直角坐标系A -xyz . 因为AB ＝AD ＝2， AA 1＝3，∠BAD ＝120°，则A (0,0,0)，B (3，－1,0)，D (0,2,0)，E (3，0,0)，A 1(0，0，3)，C 1(3，1，3)． (1)A 1B ―→＝(3，－1，－3)，AC 1―→＝(3，1，3)．则cos 〈A 1B ―→，AC 1―→〉＝A 1B ―→·AC 1―→|A 1B ―→||AC 1―→|＝3－1－37×7＝－17. 因此异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值为17.(2)可知平面A 1DA 的一个法向量为AE ―→＝(3，0,0)．设m ＝(x ，y ，z )为平面BA 1D 的一个法向量，又A 1B ―→＝(3，－1，－3)，BD ―→＝(－3，3,0)，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·A 1B ―→＝0，m ·BD ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －3z ＝0，－3x ＋3y ＝0.不妨取x ＝3，则y ＝3，z ＝2，所以m ＝(3，3，2)为平面BA 1D 的一个法向量，从而cos 〈AE ―→，m 〉＝AE ―→·m | AE ―→||m |＝333×4＝34. 设二面角B -A 1D -A 的大小为θ，则|cos θ|＝34.因为θ∈[0，π]，所以sin θ＝1－cos 2θ＝74. 因此二面角B -A 1D -A 的正弦值为74.一、选择题1．若平面α的一个法向量n ＝(2,1,1)，直线l 的一个方向向量为a ＝(1,2,3)，则l 与α所成角的正弦值为( )A.176B.216 C ．－216D.213解析：∵cos 〈a ，n 〉＝a ·n|a |·|n |＝(1，2，3)·(2，1，1)1＋4＋9·22＋1＋1＝2＋2＋314×6＝216.∴l 与α所成角的正弦值为216. 答案：B2.如图，过边长为1的正方形ABCD 的顶点A 作线段EA ⊥平面AC ，若EA＝1，则平面ADE 与平面BCE 所成的二面角的大小是( )A ．120°B ．45°C ．135°D ．60°解析：以A 为原点，分别以AB ，AD ，AE 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，则E (0,0,1)，B (1,0,0)，C (1,1,0)，EB ―→＝(1,0，－1)，EC ―→＝(1,1，－1)．设平面BCE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧x －z ＝0，x ＋y －z ＝0，可取n ＝(1,0,1)，又平面EAD 的法向量为AB ―→＝(1,0,0)，所以cos 〈n ，AB ―→〉＝12×1＝22，故平面ADE 与平面BCE 所成的二面角为45°.答案：B3．在直角坐标系中，已知A (2,3)，B (－2，－3)，沿x 轴把直角坐标系折成平面角为θ的二面角A -Ox -B ，使∠AOB ＝90°，则cos θ为( )A ．－19B.19C.49D ．－49解析：过A ，B 分别作x 轴垂线，垂足分别为A ′，B ′.则AA ′＝3，BB ′＝3，A ′B ′＝4，OA ＝OB ＝13，折后，∠AOB ＝90°，∴AB ＝OA 2＋OB 2＝26.由AB ―→＝AA ′―→＋A ′B ′―→＋B ′B ―→，得|AB ―→|2＝|AA ′―→|2＋|A ′B ′―→|2＋|B ′B ―→|2＋2|AA ′―→|·|B ′B ―→|·cos(π－θ)． ∴26＝9＋16＋9＋2×3×3×cos(π－θ)， ∴cos θ＝49.答案：C4.已知平面α内有一个以AB 为直径的圆，PA ⊥α，点C 在圆周上(异于点A ，B )，点D ，E 分别是点A 在PC ，PB 上的射影，则( )A ．∠ADE 是二面角A -PC -B 的平面角 B ．∠AED 是二面角A -PB -C 的平面角 C ．∠DAE 是二面角B -PA -C 的平面角D ．∠ACB 是二面角A -PC -B 的平面角解析：选项A 错误，若DE ⊥PC ，则PC ⊥平面ADE ，所以PC ⊥AE ，又AE ⊥PB ，所以AE ⊥平面PBC ，同理可证：AD ⊥平面PBC ，这是不可能的．选项B 正确，因为PA ⊥BC ，AC ⊥BC ，所以BC ⊥平面PAC ，所以AD ⊥BC ，又AD ⊥PC ，且PC ∩BC ＝C ，所以AD ⊥平面PBC ，又因为AE ⊥PB ，所以DE ⊥PB ，所以∠AED 为二面角A -PB -C 的平面角．选项C 错误，因为PA ⊥平面α，所以PA ⊥AC 且PA ⊥AB ，所以∠CAB 为二面角B -PA -C 的平面角，因此，∠DAE 不是二面角B -PA -C 的平面角．选项D 错误，在△PAC 中，∠PAC ＝90°，所以AC 与PC 不垂直，因此，∠ACB 不是二面角A -PC -B 的平面角．答案：B 二、填空题5．如图所示，已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的所有棱长都相等，D 是A 1C 1的中点，则直线AD 与平面B 1DC 夹角的正弦值为________．解析：不妨设正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A (3，－1,0)，B 1(3，1,2)，D⎝⎛⎭⎫32，－12，2，则CD ―→＝⎝⎛⎭⎫32，－12，2， CB 1―→＝(3，1,2)，设平面B 1DC 的法向量为 n ＝(x ，y,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·CD ―→＝0，n ·CB 1―→＝0，解得n ＝(－3，1,1)．又∵DA ―→＝⎝⎛⎭⎫32，－12，－2， ∴sin θ＝|cos 〈DA ―→，n 〉|＝45.答案：456．正△ABC 与正△BCD 所在平面垂直，则二面角A -BD -C 的正弦值为________．解析：取BC 中点O ，连接AO ，DO .建立如图所示空间直角坐标系，设BC＝1，则A ⎝⎛⎭⎫0，0，32，B ⎝⎛⎭⎫0，－12，0， D⎝⎛⎭⎫32，0，0.∴OA ―→＝⎝⎛⎭⎫0，0，32，BA ―→＝⎝⎛⎭⎫0，12，32，BD ―→＝⎝⎛⎭⎫32，12，0.由于OA ―→＝⎝⎛⎭⎫0，0，32为平面BCD 的法向量，可进一步求出平面ABD 的一个法向量n ＝()1，－3，1，∴cos 〈n ，OA ―→〉＝55，sin 〈n ，OA ―→〉＝255.∴二面角A -BD -C 的正弦值为255. 答案：2557．已知三棱锥S -ABC 中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，SA ＝3，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为________．解析：建立如图所示空间直角坐标系，则S (0,0,3)，A (0,0,0)，B (3，1,0)，C (0,2,0)．∴AB ―→＝(3，1,0)， SB ―→＝(3，1，－3)，SC ―→＝(0,2，－3)．设平面SBC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．则⎩⎪⎨⎪⎧n ·SB ―→＝3x ＋y －3z ＝0，n ·SC ―→＝2y －3z ＝0.令y ＝3，则z ＝2，x ＝3，∴n ＝(3，3,2)．设AB 与平面SBC 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，AB ―→〉|＝|n ·AB ―→||n |·|AB ―→|＝3＋34×2＝34.答案：348．在体积为1的直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝1，求直线A 1B 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为________．解析：由题意，可得体积V ＝CC 1·S △ABC ＝CC 1·12·AC ·BC ＝12CC 1＝1，∴CC 1＝2.A 1(1，0，2).建立如图所示空间直角坐标系，得点B (0,1,0)，则A 1B ―→＝(－1,1，－2)，又平面BB 1C 1C 的法向量为n ＝(1,0,0)．设直线A 1B 与平面BB 1C 1C 所成的角为θ，A 1B ―→与n 的夹角为φ，则cos φ＝A 1B ―→·n |A 1B ―→|·|n |＝－66，∴sin θ＝|cos φ|＝66，即直线A 1B 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为66. 答案：66三、解答题9.如图，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝16，BC ＝10，AA 1＝8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E ＝D 1F ＝4.过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求直线AF 与平面α所成角的正弦值．解：(1)交线围成的正方形EHGF 如图所示． (2)作EM ⊥AB ，垂足为M ，则AM ＝A 1E ＝4，EM ＝AA 1＝8. 因为四边形EHGF 为正方形，所以EH ＝EF ＝BC ＝10. 于是MH ＝EH 2－EM 2＝6，所以AH ＝10.以D 为坐标原点，DA ―→的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ，则A (10,0,0)，H (10,10,0)，E (10,4,8)，F (0,4,8)， FE ―→＝(10,0,0)， HE ―→＝(0，－6，8)．设n ＝(x ，y ，z )是平面EHGF 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·FE ―→＝0，n ·HE ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧10x ＝0，－6y ＋8z ＝0，所以可取n ＝(0,4,3)．又AF ―→＝(－10,4,8)，故|cos 〈n ，AF ―→〉|＝|n ·AF ―→||n ||AF ―→|＝4515.所以AF 与平面EHGF 所成角的正弦值为4515.10．(2017·全国卷Ⅱ)如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB ＝BC ＝12AD ，∠BAD ＝∠ABC ＝90°，E 是PD 的中点．(1)证明：直线CE ∥平面PAB ；(2)点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为45°，求二面角M -AB -D 的余弦值．解：(1)证明：取PA 的中点F ，连接EF ，BF . 因为E 是PD 的中点，所以EF ∥AD ，EF ＝12AD .由∠BAD ＝∠ABC ＝90°，得BC ∥AD ，又BC ＝12AD ，所以EF 綊BC ，所以四边形BCEF 是平行四边形，CE ∥BF ，又BF ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ，故CE ∥平面PAB .(2)由已知得BA ⊥AD ，以A 为坐标原点，AB ―→的方向为x 轴正方向，|AB ―→|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，则A (0,0,0)，B (1，0,0)，C (1,1,0)，P (0，1，3)，PC ―→＝(1,0，－3)，AB ―→＝(1,0,0)．设M (x ，y ，z )(0<x <1)，则BM ―→＝(x －1，y ，z )，PM ―→＝(x ，y －1，z －3)．因为BM 与底面ABCD 所成的角为45°，而n ＝(0,0,1)是底面ABCD 的法向量，所以|cos 〈BM ―→，n 〉|＝sin 45°，|z |(x －1)2＋y 2＋z 2＝22，即(x －1)2＋y 2－z 2＝0. ① 又M 在棱PC 上，设PM ―→＝λPC ―→，则x ＝λ，y ＝1，z ＝3－3λ. ②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋22，y ＝1，z ＝－62(舍去)，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22，y ＝1，z ＝62，所以M ⎝⎛⎭⎫1－22，1，62，从而AM ―→＝⎝⎛⎭⎫1－22，1，62. 设m ＝(x 0，y 0，z 0)是平面ABM 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AM ―→＝0，m ·AB ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧(2－2)x 0＋2y 0＋6z 0＝0，x 0＝0，所以可取m ＝(0，－6，2)．于是cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝105.由图知二面角M -AB -D 为锐角，因此二面角M -AB -D 的余弦值为105.。

二平面法向量的夹角一定等于二面角吗

二平面法向量的夹角一定等于二面角吗关键词：平面法向量二面角摘要：二平面法向量的夹角与二面角的关系用向量法求二面角的方法向量是数形结合的典范，具有几何与代数的二重性，是一个解决问题的重要的数学工具。

在中学数学中向量最重要的应用领域就是用它解决立体几何的问题，这样就把抽象的空间思维转化为较机械的代数运算，为解决立体几何中的夹角与距离问题提供了极大的方便．但是在运用向量法求角时，一定要注意所取向量的夹角与所求的犄角之间的关系，否则常会导致误解．下面我们先看一个误解的例子：在《未来导报〃高考周刊》2005——2006学年度第32期(总第111期)中，利用空间向量求二面角一文中的例1：图1 在四棱锥V—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD，求面VAD与面VDB所成二面角的大小。

解：建立如图1所示的空间直角坐标系，并设正方形边长为1．依据题意，得=(o，1，o)是面VAD的法向量，设=(1，y，z)是面VDB的法向量，则⎩⎨⎧=⋅=⋅0VB n 0VD n ⇒ ⎩⎨⎧-=-=1y 33z ⇒ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=33,1,1721n AB ,cos -=>=<∴ . 所以面VAD 与面VDB 所成的二面角的大小为：721arccos-π . 误解分析：如图2 ，在二面角βια--中，点P 为平面α、β外一点，点A 、B 分别在平面α、β内，且P ⊥α，PB ⊥β，AC 、BC 分别为平面PAB与平面α、β的交线．显然有ACB ∠为二面角βια--的平面角；π=∠+∠ACB APB (圆的内接四边形的对角互补)。

则ACB PB ,PA BP ,AB ∠->=>=<<πACB APB BP ,PA PB ,AP ∠=∠->=>=<<π结论：1、当所取平面的法向量的方向，同时指向二面角内或二面角外时，平面法向量的夹角与二面角互补；2、当所取平面法向量的方向一个指向二面角内另一个指向二面角外时，法向量的夹角与二面角相等。

必修2二面角与法向量

必修二——二面角与法向量一．二面角1．二面角的定义：从一条直线l 出发的两个半平面α、β所组成的图形，叫二面角。

记作l αβ--α、β叫二面角的面。

l 叫二面角的棱。

2．二面角的平面角定义：在l αβ--的棱l 上取一点O ，过O 在α、β内分别作垂线O A 、O B 。

A OB ∠就是二面角l αβ--的平面角。

3．性质：A O B ∠=l αβ--二．法向量1．定义：向量n 所在直线垂直于平面α，则有n α⊥ ，n 叫做平面α的法向量。

2．法向量的取法：①尽可能通过已知条件建立空间直角坐标系； ②找平面中已知的点或相交的直线建立向量；③设一向量(,,)n n n n x y z 与上一步向量分别乘积=0，求出,,n n n x y z 的关系；④根据,,n n n x y z 的关系取一组数。

三．求二面角（六种方法）1．定义法；2．三垂线法；3．垂面法；αβ、αγ、βγ的交线分别为a 、b 、c 。

αγ⊥，βγ⊥，则a αβ--=,bc <>4．面积比法；cos S l S αβ--=射影5．法向量法；6．垂线法；练习题1．已知正方体1111ABC D A B C D -的棱长为1，求：①1A D C 的法向量②计算11B BCC 的二面角2．如图，三菱锥V A B C -中，2VA VB AC BC ====，23AB =， 1V C =，①求二面角V AB C --。

②求三菱锥V A B C -的体积。

3．如图，在三菱锥V A B C -中，90VAB VAC ABC ∠=∠=∠=︒判断V B A 与V B C 的关系，并说明理由。

求二面角的方法

解题宝典空间角主要包括异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角.二面角是指从一条直线出发的两个半平面所组成的图形.求二面角的大小是一类常见的问题.本文重点介绍求二面角大小的四种方法:定义法、向量法、面积投影法、三垂线定理法.一、定义法过二面角棱上的任一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角.一般地，要求得二面角的大小只需要求出二面角的平面角的大小即可.在求二面角的大小时，我们可以根据二面角的平面角的定义来求解.首先在二面角的棱上选取一点，在两个面内作棱的垂线，则两条垂线的夹角，即为二面角的平面角，求得平面角的大小即可得到二面角的大小.例题：如图1，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1．（1）证明：BE⊥EB1C1；（2）若AE=A1E，求二面角B-EC-C1正弦值．图1图2解：（1）略；（2）由（1）知∠BEB1=90°．由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以∠AEB=45°，故AE=AB，AA1=2AB．如图2所示，在平面BCE内过B点作BM⊥CE于点M，取棱CC1的中点N，连结MN,EN.因为EC1=EC，所以EN⊥CC1，所以ΔCEN为直角三角形.因为BC⊥BE，所以ΔCEB为直角三角形.令AB=1，则BC=NC=1,BE=EN=2,CE=3，所以RtΔBEC≌RtΔNEC，所以MN⊥EC，则∠BMN即为二面角B-EC-C1的平面角.在RtΔBEC中，sin∠BCE=BE CE=BM BC，所以BM=，MN.在ΔBMN中，cos∠BMN=BM2+MN2-BN22BM∙MN=-12，则sin∠BMN=，故二面角B-EC-C1正弦值.利用定义法求二面角的大小的关键是作出二面角的平面角.在作图的过程中要充分利用题目条件中隐含的垂直关系，如等腰三角形三线合一的性质、菱形或正方形的对角线相互垂直、直角三角形中勾股定理及其逆定理等.另外在构造二面角的平面角时，常用的方法还有垂面法，即经过两个面的垂线的平面与两个平面的交线所夹的角即为二面角的平面角.二、三垂线法三垂线法是指利用三垂线定理求作二面角的平面角，求得二面角大小的方法.在求作二面角的平面角时，需过其中一个面内的一点作另一个面的垂线，再经过垂足作棱的垂线，连接该点与棱上的垂足，进而构造出与二面角的平面角相关的角，再结合图形中的垂直关系求得二面角的大小.以上述例题为例.解：如图3，连接BD,AC，交点为O，过点O作CE的垂线，垂足为P，连接BP.由三垂线定理可知BP垂直于CE，所以∠BPO即为所求二面角平面角的补角.设AB=1，由（1）可知AE=1，所以BE=2，CE=3.因为BC⊥BE，所以ΔBCE为直角三角形，所以RtΔBCP∽RtΔBCE.陈秀林图342解题宝典所以BP.在Rt△BOP 中，sin ∠BPO =BC BP=，即所求二面角正弦值为.此法与定义法的不同之处是将所求二面角的相关角置于直角三角形中，从而使解题的过程更加简洁.三、向量法向量法是通过空间向量的坐标运算，将所求的二面角转化为两个平面的法向量的夹角的方法.解题的思路是通过建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，根据向量的数量积公式求出夹角，再利用法向量的夹角与二面角的关系来确定二面角的大小.值得说明的是，二面角的平面角与法向量的夹角的关系是相等或互补.以上述例题为例.解：（2）由（1）知∠BEB 1=90°.由题设知Rt△ABE ≌Rt△A 1B 1E ，所以∠AEB =45°，故AE =AB ，AA 1=2AB ．以D 为坐标原点，建立如图4所示的空间直角坐标系D -xyz ，则C (0,1,0),B (1,1,0),C 1(0,1,2),E (1,0,1)，所以 CB =(1,0,0)，CE =(1,-1,1)，CC 1=(0,0,2)．设平面BCE 的法向量为n =(x ,y ,z )，则ìíî CB ∙n =0,CE ∙n =0,即{x =0,x -y +z =0,令y =-1,得n =(0,-1,-1).设平面ECC 1的法向量为m =(x ,y ,z )，则ìíî CC 1∙m =0,CE ∙m =0,即{2z =0,x -y +z =0,令x =1得m=(1,1,0)．于是cos m,n =m ∙n |m |∙|n |=-12.所以二面角B -EC-C 1平面角正弦值为．向量的引入降低了立体几何问题的难度，但对同学们的运算能力提出了更高的要求.求法向量的原则是先找后求，即如果存在一条已知的直线与二面角的某一个平面垂直，则该直线的方向向量即可视为此平面的法向量.四、投影法投影法，即为构造出二面角的两个平面中的一个平面在另外一个平面内的投影，从而利用此平面与其投影的夹角θ来判断所求二面角的大小的方法.若该平面与其投影的面积分别为S 1,S 2，则cos θ=S 1S 2.θ与所求二面角的关系有两种，即相等或互补.以上述例题为例.解：如图5，连接BD 交AC 于点O ，连接EO .因为四边形ABCD 为正方形，所以BD ⊥AC ，所以点B 在面C 1CE 内的投影，三角形EOC 为ECB 的投影.设棱AB =1，由（1）可知AE =1，则AC =BE =2，EC =3，所以三角形OCE 的面积为S 1=12∙OC ∙AE =12，三角形BCE 的面积为S 2=12BC ∙BE =12×1×2.所以S 2S 1=42=12.所以面BCE 与面ECC 1所成锐二面角的余弦值为12，故二面角的正弦值为.在本题中，三角形ECB 与其在面ECC 1上的投影EOC 的夹角即为所求二面角的补角，而两角互补，则其正弦值相等，所以可直接利用投影法来求解.一般地，求二面角的问题主要有两类，即求有棱二面角的大小和无棱二面角的大小，虽然图形有所不同，但解题的方法基本上一致.同学们在解题的过程中要注意仔细审题，择优而用.（作者单位：江苏省大丰高级中学）图5图443。

选2-13.2立体几何中的向量方法(夹角问题)

∴AE⊥平面DBC，
∴∠ADE即为AD与平面CBD所成的角。
E
∵AB＝BD，∠CBA=∠DBC，EB＝EB
∴∠ABE＝∠DBE
∴△DBE≌△ABE
∴DE⊥CB且DE＝AE
∴∠ADB＝45°
∴AD与平面CBD所成的角为45°
（2）由（1）知CB⊥平面ADE ∴AD⊥BC即AD与BC所成的角为90°
所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°. (2)证明由AM (1 ,1, 1),CE (1,0,1), AD (0,2,0),
22
可得CE AM 0，CE AD 0.因此CE AM,CE AD. 又AM∩AD=A，故CE⊥平面AMD.而CE 平面
CDE，所以平面AMD⊥平面CDE.
求法向量坐标
求两法向量夹角
定值
例5 如图5，在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD
中，AD//BC，∠ABC=900，SA⊥面ABCD，
SA 1 , AB=BC=1， AD 1 .
2
2
求侧面SCD与面SBA所成的二面角的余弦。
z S
A
By
D
x
C
图5
解：以A为原点如图建立空间直角坐标系，
则
S
例3 如图,在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，
侧棱PA⊥底面ABCD，PA=AB=1,AD= 3，在线段BC
上是否存在一点E,使PA与平面PDE所成角的大小为450? 若存在，确定点E的位置；若不存在说明理由。
P
Az By
E
D
C
x
设BE=m，则 A(0, 0, 0), P(0, 0,1), D( 3, 0, 0), E(m,1, 0),

利用法向量求二面角5则

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关于利用法向量求二面角的问题（一）关于利用法向量求二面角的问题我们知道法向量是解决立体几何问题的有力工具，但是在利用法向量在求二面角的时候，求出的两个法向量的夹角是与所求二面角相等还是互补，却没有认真思考过，这个还得从两个向量的外积说起.两个向量外积的定义：两个向量a与b的外积（也称向量积）是一个向量，即为a b，它的长度（模）为| |=||||，它的方向与和都垂直，并且按,, 的顺序构成右手标架（如下图所示）若是，则所得向量长度与相等，但是方向却刚好相反，所以向量外积不满足交换律.我们可以根据这个定义来确定平面法向量的方向.设平面内有三个点A(x1y1,z1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3)，则(x2 x1,y2 y1，z2 z1)， (x3 x1,y3 y1,z3 z1)，所以y2 y1y3 y1z2 z1z3 z1z2 z1z3 z1x2 x1x3 x1x2 x1x3 x1y2 y1y3 y1(，，），很明显，向量可以为平面的法向量.此时的方向应该是垂直平面并且向上.我们利用这个结论来求二面的大小. 说明：行列式abcdad b c，上面有关内容请参考高等代数的相关内容.如图所示，设平面与平面所成的二面角为，法向量分别为,，显然与所成的角为，且，即此时与所成的角就是平面与平面所成的二面角为，从这里我们可以看出，只要平面与平面的法向量,方向一个朝向二面角的里面，一个朝向二面角的外面，求出的法向量的夹角即为所求二面角.那怎样做到这一点呢？那就要用到我们前面所讲到的右手标架.如图，我们来求平面与平面所成的二面角，设 (x1,y1,z1)，AC (x2,y2,z2)，x1y1z1x1y1z1，且设z若x1y1x2y2，yz1x1z2x2，xy1z1y2z2x2y2z2x2y2z2则平面的一个法向量 (x,y,z)，根据右手标架应该是竖直向上，即朝向这个二面角的外面，此时我们求平面的法向量方向应该是朝向二面角的里面.设 (x3,y3,z3)， (x4,y4,z4),要使平面的法向量方向朝向二面角的里面，根据右手标架，我们计算应该是，若x4y4z4x4y4z4x3y3z3x3y3z3，并且设cx4y4x3y3b ，x4y4x3y3，ay4z4y3z3，则平面的一个法向量 (a,b,c)根据右手标架，此时n的方向就是朝向二面角的外面.那么m与n的夹角即为所求二面角.cosxa y b z cx y z a b c22222当然，这里需要注意的是，我们这里建立的空间直角坐标系一定要是右手直角坐标系.利用向量求二面角大小的又一方法（二）利用向量求二面角大小的又一方法福建南安国光中学黄耿跃文[1]给出一种判定“二面角的平面角与其面的法向量夹角的关系”,读完这篇文章后,获益匪浅.笔者通过研究给出另一种利用向量求二面角大小的可行性方法,此法可以避免产生二面角的平面角与其面的法向量夹角的关系误判,而且思路更直观、清晰.定理1如下左图已知二面角αLβ的平面角为θ,A∈α且AL,B∈β且BL,AM⊥L于MJJJ,BNGJJJ⊥L于N,则cosθ=|JJJJGMANBMA||JJJJNBG|.由二面角的平面角的定义易证定理1.定理2如上右图,空间任意一条直线L,A,B是直线L上的两个点,M是空间任意一点,MN⊥L于N,则JJJJNMG=JJJJAMGJJJJAGJJJG|JJJJMABJJJGABG|2AB.证明∵向量JJJGAN为JJJJAMG在JJJABG影向量,设GJJJ方向上的投e=JJJJJABGJJJGJJJJG|ABG|为AB方向的单位向量,JJJJ∴JJJGAN=AMJJJABGGAMGJJJABGJJJ|JJJJABG|e=ABG,|JJJJJABG2∴JJJJNMG=JJJJAMGJJJGJJJJ|GJJJGAN=JJJJAMGAMABJJJG|JJJJJAB.ABG|2例1(2004湖南理19)如图,在底面是菱形的四棱锥PABCD 中,∠ABC=60°,PA=AC=a,PB=PD=2a,点E在PD上,且PE:ED=2:1.(I)证明:PA⊥平面ABCD;(II)求以AC为棱,EAC与DAC为面的二面角θ的大小;(III)在棱PC上是否存在一点F,使BF//平面AEC？证明你的结论.解(I)略;(II)以A为坐标原点,直线AD、AP分别为y轴、z轴,过点A垂直平面PAD的直线为x轴,建立空间直角坐标系如右图.则A(0,0,0),c(32a,12a,0),JDJG=(0,a,0),E(0,2JJJ3a,13a),于是AEG=(0,23a,13a),JJJGAC=(31JJJG2a,2a,0),AD=(0,a,0).作EM⊥AC于M,DN⊥AC于N,则由定理1JJJJ得MEG:与JJJGND所成的角的大小为EAC与DAC为面的二面角θ的大小.由定理2可得JJJJMEG=JJJAEGJJJJAMG=JJJAEGJJJAEGJJJG|JJJACGACJJJG|2AC121a2=(0,a,a)3333a2(12a,2a,0)=(36a,12a,13a).JJJGND=JJJGADJJJGAN=JJJGJJJADADGJJJG |JJJACGACJJJG|2AC12=(0,a,0)2aa2(32a,12a,0)=(34a,34a,0),JJJJG∴cosθ=MEJJJNDG|JJJMEJG||JJJGND|293a2+3a2=248342=2.6a34a∴以AC为棱,EAC与DAC为面的二面角θ的大小为30°.例2(2004浙江)如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=2,AF=1,M是线段EF的中点.(I)求证AM⊥平面BDF;(II)求二面角ADFB的大小.解(I)略.(II)如图建立空间直角坐标Cxyz,∵A(2,2,0),B(0,2,0),D(2,0,0),F(2,∴JJJG2,1).DF=JJJDBGJJJDA=G(0,2,1),(0,2,0),JJJG=(2,2,0),DF=(0,2,1).作AM⊥DF于M,BN⊥DF的延长线于N,JJJG则由定理1得:MA与JJJNBG所成的解θ的大小为二面角ADFB的大小.由定理2可得:JJJGMA=JJJDAGJJJJDMG=JJJDAGJJJDAGJJJG DFJJJG|JJJGDF|2DF=(0,2,0)23(0,2,1)=(0,2,2),JJJNBG=JJJGDBJJJJDNGJJJG 3JJJG3=JJJDBGDBDFJJJG|JJJGDF|2DF=(2,2,0)2(0,2,1)/3=(2,JJJG2JJJ/3,2/3),cosθ=MANBG|JJJGMA||JJJNBG|6=91(6/3)(24/3)=2.∴二面角ADFB的大小为60°.例3(2005福建)如图,直二面角30DABE中,四边形ABCD是边长为2的正方形,AE=EB,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE.(I)求证:AE⊥平面BCE;(II)求二面角BACE的大小;(III)求点D到平面ACE的距离.解(I)略;(Ⅱ)如图所示,以线段AB的中点原点O,OE所在的直线为x 轴,AB所在的直线为y轴,过O作平行于AD的直线为z轴,建立空间直角坐标系Oxyz,则A(0,1,0),E(1,0,0),C(0,1,2)B(0,1,0)JJJG=JJJ(0,2,2),JJJAEG,AC=(1,1,0),ABG=(0,2,0).作BM⊥AC于M,EN⊥AC理1得,JJJ于NEGN,则由定与JJJGMB所成的角θ的大小为二面角BACE的大小由定理JJJ2得NEG=JJJAEGJJJG=JJJAEGJJJANAEGJJJG|JJJACGACJJJ|2ACG=(1,1,0)2(0,2,2)=11JJJG2),MB=JJJ8(0,2,ABGJJJJGJJJAGMJJJG=JJJABGAB|JJJACJJJGACG|2AC=(0,2,0)4(0,2,2)=(0,1,1)JJJGJJJG8,cosθ=NEMB13|JJJNEG||JJJGMB|=3=3,22∴二面角BACE的大小为arccos33.参考文献[1]郑剑晖,郑毓青.二面角的平面角与其面的法向量夹角的关系判定.2005.1.利用空间向量求二面角的判定方法（三）利用空间向量求二面角的判定方法法一：若点A、B分别为二面角α−l−β的两个半平面α与β上的任两点，且A∉l,B∉l，n1、n2分别为平面α、β的法向量，则（1）当（ABn1）（ABn2）>0 时，二面角α−l−β的大小与两个法向量夹角相等；（2）当（ABn1）（ABn2）互补；l法二：若点P为二面角α−l−β的棱l上的任一点，Q 为两个二面角α−l−β内的任一点, n1、n2分别为平面α、β的法向量，则（1）当（PQn1）（PQn2）相等；（1）当（PQn1）（PQn2）>0 时，二面角α−l−β的大小与两个法向量夹角互补；l利用法向量求二面角的正负（四）利用法向量求二面角的平面角授课教师：陈诚班级：高二（14）班时间：2010-01-14 【教学目标】1、让学生初步理解二面角的平面角与半平面法向量的关系，并能解决与之有关的简单问题。

2019年高中数学第3章空间向量与立体几何3.6直线与平面、平面与平面所成的角讲义(含解析)湘教版

3．6直线与平面、平面与平面所成的角[读教材·填要点]1．直线与平面所成的角(1)定义：如果直线l 与平面α垂直，l 与平面α所成的角θ为直角，θ＝π2.如果直线l 与平面α不垂直，则l 在α内的射影是一条直线l ′，将l 与l ′所成的角θ定义为l 与平面α所成的角．(2)范围：θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(3)计算：作直线l 的方向向量v 和平面α的法向量n ，并且可选v 与n 所成的角θ1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则l 与平面α所成的角 θ＝π2－θ1，sin θ＝cos_θ1＝|v ·n ||v |·|n |.2．二面角(1)定义：从一条直线l 出发的两个半平面α，β组成的图形叫作二面角，记作αl β. (2)二面角的平面角过二面角αl β的棱l 上任意一点O 作垂直于棱l 的平面，分别与两个面α，β相交得到两条射线OA ，OB ，则∠AOB 称为二面角αl β的平面角．(3)二面角的范围二面角的平面角的度数在0°～180°范围内，特别当二面角αl β是90°时称它为直二面角，此时称两个面α，β相互垂直．3．两个平面所成的角两个相交平面，以交线为棱可以构成四个二面角，其中最小的一个二面角称为这两个平面所成的角，取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.两个平行平面所成的角为0°.[小问题·大思维]1．当一条直线l 与一个平面α的夹角为0时，这条直线一定在平面内吗？提示：不一定，这条直线可能与平面平行．2．设直线l 与平面α所成的角为θ，l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，如何用a 和n 求角θ？提示：sin θ＝|cos 〈a ，n 〉|＝|a ·n ||a |·|n |.3．二面角的法向量的夹角与二面角的平面角的大小有什么关系？提示：相等或互补．如图，在四棱锥P ABCD 中，底面为直角梯形，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD ＝AB ＝2BC ，M ，N 分别为PC ，PB 的中点．求BD与平面ADMN 所成的角θ.[自主解答] 如图所示，建立空间直角坐标系，设BC ＝1，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2)，则N (1,0,1)，∴BD ―→＝(－2,2,0)，AD ―→＝(0,2,0)，AN ―→＝(1,0,1)．设平面ADMN 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AD ―→＝0，n ·AN ―→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x ＋z ＝0，取x ＝1，则z ＝－1， ∴n ＝(1,0，－1)．∵cos 〈BD ―→，n 〉＝BD ―→·n |BD ―→|·|n |＝－28·2＝－12，∴sin θ＝|cos 〈BD ―→，n 〉|＝12.又0°≤θ≤90°，∴θ＝30°.利用向量法求直线与平面所成角的步骤为： (1)确定直线的方向向量和平面的法向量； (2)求两个向量夹角的余弦值； (3)确定向量夹角的范围；(4)确定线面角与向量夹角的关系：向量夹角为锐角时，线面角与这个夹角互余；向量夹角为钝角时，线面角等于这个夹角减去90°.1.如图，在三棱锥P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠BAC ＝90°，D ，E ，F分别是棱AB ，BC ，CP 的中点，AB ＝AC ＝1，PA ＝2.求直线PA 与平面DEF 所成角的正弦值．解：如图，以点A 为原点，AB ，AC ，AP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系A xyz .由AB ＝AC ＝1，PA ＝2，得A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (0,1,0)，P (0,0,2)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，E ⎝⎛⎭⎪⎫12，12，0，F ⎝⎛⎭⎪⎫0，12，1.∴PA ―→＝(0,0，－2)，DE ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，DF ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，1.设平面DEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DE ―→＝0，n ·DF ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ，y ，z ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0＝0，x ，y ，z⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，1＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2z ，y ＝0.取z ＝1，则平面DEF 的一个法向量为n ＝(2,0,1)．设PA 与平面DEF 所成的角为θ，则 sin θ＝|cos 〈PA ―→，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪PA ―→·n | PA ―→|·|n |＝55，故直线PA 与平面DEF 所成角的正弦值为55.如图，四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等，AC ∩BD ＝O ，A 1C 1∩B 1D 1＝O 1，四边形ACC 1A 1和四边形BDD 1B 1均为矩形．(1)证明：O 1O ⊥底面ABCD .(2)若∠CBA ＝60°，求二面角C 1OB 1D 的余弦值．[自主解答] (1)证明：因为四边形ACC 1A 1和四边形BDD 1B 1均为矩形，所以CC 1⊥AC ，DD 1⊥BD ，又CC 1∥DD 1∥OO 1，所以OO 1⊥AC ，OO 1⊥BD ，因为AC ∩BD ＝O ，所以O 1O ⊥底面ABCD .(2)因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形ABCD 为菱形，AC⊥BD .又O 1O ⊥底面ABCD ，所以OB ，OC ，OO 1两两垂直．如图，以O 为原点，OB ，OC ，OO 1所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．设棱长为2，因为∠CBA ＝60°，所以OB ＝3，OC ＝1，所以O (0,0,0)，B 1(3，0,2)，C 1(0,1,2)，平面BDD 1B 1的一个法向量为n ＝(0,1,0)，设平面OC 1B 1的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则由m ⊥OB 1―→，m ⊥OC 1―→，所以⎩⎨⎧3x ＋2z ＝0，y ＋2z ＝0.取z ＝－3，则x ＝2，y ＝23，所以m ＝(2,23，－3)，所以cos 〈m ，n 〉＝m·n |m ||n |＝2319＝25719.由图形可知二面角C 1OB 1D 的大小为锐角，所以二面角C 1OB 1D 的余弦值为25719.利用法向量求二面角的步骤为： (1)确定两平面的法向量； (2)求两法向量的夹角的余弦值； (3)确定二面角的范围；(4)确定二面角与面面角的关系：二面角范围的确定要通过图形观察，法向量一般不能体现出来．2．(2016·全国卷Ⅰ)如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF ＝2FD ，∠AFD ＝90°，且二面角D AF E 与二面角C BE F 都是60°.(1)证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； (2)求二面角E BC A 的余弦值．解：(1)证明：由已知可得AF ⊥DF ，AF ⊥FE ，所以AF ⊥平面EFDC . 又AF ⊂平面ABEF ，故平面ABEF ⊥平面EFDC .(2)过D 作DG ⊥EF ，垂足为G .由(1)知DG ⊥平面ABEF .以G 为坐标原点，GF ―→的方向为x 轴正方向，|GF ―→|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系G xyz .由(1)知∠DFE 为二面角D AF E 的平面角，故∠DFE ＝60°，则DF ＝2，DG ＝3，可得A (1,4,0)，B (－3,4,0)，E (－3,0,0)，D (0,0，3)．由已知得AB ∥EF ，所以AB ∥平面EFDC . 又平面ABCD ∩平面EFDC ＝CD ，故AB ∥CD ，CD ∥EF .由BE ∥AF ，可得BE ⊥平面EFDC ，所以∠CEF 为二面角C BE F 的平面角，∠CEF ＝60°. 从而可得C (－2,0，3)．所以EC ―→＝(1,0，3)，EB ―→＝(0,4,0)，AC ―→＝(－3，－4，3)，AB ―→＝(－4,0,0)．设n ＝(x ，y ，z )是平面BCE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·EC ―→＝0，n ·EB ―→＝0，即⎩⎨⎧x ＋3z ＝0，4y ＝0，所以可取n ＝(3,0，－3)．设m 是平面ABCD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AC ―→＝0，m ·AB ―→＝0，同理可取m ＝(0，3，4)．则cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝－21919.由图知，二面角E BC A 为钝角，故二面角E BC A 的余弦值为－21919.解题高手多解题条条大路通罗马，换一个思路试一试已知PA ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，PA ＝AC ＝1，BC ＝2，求二面角A PB C 的余弦值． [解] 法一：如图所示，取PB 的中点D ，连接CD .∵PC ＝BC ＝2， ∴CD ⊥PB .∴作AE ⊥PB 于E ，那么二面角A PB C 的大小就等于异面直线DC 与EA 所成的角θ的大小．∵PD ＝1，PE ＝PA 2PB ＝12，∴DE ＝PD －PE ＝12.又∵AE ＝AP ·AB PB ＝32，CD ＝1，AC ＝1， AC ―→＝AE ―→＋ED ―→＋DC ―→，且AE ―→⊥ED ―→，ED ―→⊥DC ―→，∴|AC ―→|2＝|AE ―→|2＋|ED ―→|2＋|DC ―→|2＋2|AE ―→|·|DC ―→|cos(π－θ)，即1＝34＋14＋1－2·32·1·cos θ，解得cos θ＝33. 故二面角A PB C 的余弦值为33. 法二：由法一可知，向量DC ―→与EA ―→的夹角的大小就是二面角A PB C 的大小，如图，建立空间直角坐标系Cxyz ，则A (1,0,0)，B (0，2，0)，C (0,0,0)，P (1,0,1)，D 为PB 的中点，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，12.又PE EB ＝AP 2AB 2＝13，即E 分PB ―→的比为13. ∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，24，34，EA ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－24，－34，DC ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－22，－12，|EA ―→|＝32，|DC ―→|＝1，EA ―→·DC ―→＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－24×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝12.∴cos 〈EA ―→，DC ―→〉＝EA ―→·DC ―→| EA ―→|·|DC ―→|＝33.故二面角A PB C 的余弦值为33. 法三：如图所示建立空间直角坐标系，则A (0，0,0)，B (2，1,0)，C (0,1,0)，P (0,0,1)，AP ―→＝(0,0,1)，AB ―→＝(2，1,0)，CB ―→＝(2，0,0)， CP ―→＝(0，－1,1)，设平面PAB 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AP ―→＝0，m ·AB ―→＝0⇒⎩⎨⎧x ，y ，z，0，＝0，x ，y ，z2，1，＝0⇒⎩⎨⎧y ＝－2x ，z ＝0.令x ＝1，则m ＝(1，－2，0)．设平面PBC 的法向量为n ＝(x ′，y ′，z ′)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·CB ―→＝0，n ·CP ―→＝0⇒⎩⎨⎧x ′，y ′，z2，0，＝0，x ′，y ′，z，－1，＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝0，y ′＝z ′.令y ′＝－1，则n ＝(0，－1，－1)，∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝33.∴二面角A PB C 的余弦值为33.1．若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l 与平面α所成的角等于( )A ．120°B ．60°C ．30°D ．以上均错解析：设直线l 与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos 120°|＝12，又∵0＜θ≤90°，∴θ＝30°. 答案：C2．若正三棱锥的侧面都是直角三角形，则侧面与底面所成的二面角的余弦值为( ) A.63B.33C.23 D.13解析：设正三棱锥P ABC ，PA ，PB ，PC 两两互相垂直，设PA ＝PB ＝PC ＝a .取AB 的中点D ，连接PD ，CD ，易知∠PDC 为侧面PAB 与底面ABC 所成的角．易求PD ＝22a ，CD ＝62a ，故cos ∠PDC ＝PDDC ＝33. 答案：B3．在边长为a 的正△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，沿AD 折成二面角B AD C 后，BC ＝12a ，这时二面角B AD C 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：由定义知，∠BDC 为所求二面角的平面角，又BC ＝BD ＝DC ＝12a ，∴△BDC 为等边三角形，∴∠BDC ＝60°. 答案：C4．若一个二面角的两个面的法向量分别为m ＝(0,0,3)，n ＝(8,9,2)，则这个锐二面角的余弦值为________．解析：cos 〈m ，n 〉＝，0，，9，382＋92＋22＝2149＝2149149.答案：21491495．正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 所成的角的正弦值是________．解析：如图，以DA ，DC ，DD1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，取正方体的棱长为1，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C 1(0,1,1)，易证AC 1―→是平面A 1BD 的一个法向量．又AC 1―→＝(－1,1,1)， BC 1―→＝(－1,0,1)．所以cos 〈AC 1―→，BC 1―→〉＝1＋13×2＝63.所以BC 1与平面A 1BD 所成角的正弦值为63. 答案：636．(2017·江苏高考)如图，在平行六面体ABCD A1B 1C 1D 1中，AA 1⊥平面ABCD ，且AB ＝AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝120°.(1)求异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值； (2)求二面角B A 1D A 的正弦值．解：在平面ABCD 内，过点A 作AE ⊥AD ，交BC 于点E . 因为AA 1⊥平面ABCD ，所以AA 1⊥AE ，AA 1⊥AD .如图，以{AE ―→，AD ―→，AA 1―→}为正交基底，建立空间直角坐标系A xyz . 因为AB ＝AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝120°，则A (0,0,0)，B (3，－1,0)，D (0,2,0)，E (3，0,0)，A 1(0，0，3)，C 1(3，1，3)． (1)A 1B ―→＝(3，－1，－3)，AC 1―→＝(3，1，3)．则cos 〈A 1B ―→，AC 1―→〉＝A 1B ―→·AC 1―→|A 1B ―→||AC 1―→|＝3－1－37×7＝－17.因此异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值为17.(2)可知平面A 1DA 的一个法向量为AE ―→＝(3，0,0)．设m ＝(x ，y ，z )为平面BA 1D 的一个法向量，又A 1B ―→＝(3，－1，－3)，BD ―→＝(－3，3,0)，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·A 1B ―→＝0，m ·BD ―→＝0，即⎩⎨⎧3x －y －3z ＝0，－3x ＋3y ＝0.不妨取x ＝3，则y ＝3，z ＝2，所以m ＝(3，3，2)为平面BA 1D 的一个法向量，从而cos 〈AE ―→，m 〉＝AE ―→·m | AE ―→||m |＝333×4＝34.设二面角B A 1D A 的大小为θ，则|cos θ|＝34.因为θ∈[0，π]，所以sin θ＝1－cos 2θ＝74. 因此二面角B A 1D A 的正弦值为74.一、选择题1．若平面α的一个法向量n ＝(2,1,1)，直线l 的一个方向向量为a ＝(1,2,3)，则l 与α所成角的正弦值为( )A.176 B.216 C ．－216D.213解析：∵cos 〈a ，n 〉＝a ·n|a |·|n |＝，2，，1，1＋4＋9·22＋1＋1＝2＋2＋314×6＝216.∴l 与α所成角的正弦值为216. 答案：B2.如图，过边长为1的正方形ABCD 的顶点A 作线段EA ⊥平面AC ，若EA ＝1，则平面ADE 与平面BCE 所成的二面角的大小是( )A ．120°B ．45°C ．135°D ．60°解析：以A 为原点，分别以AB ，AD ，AE 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz ，则E (0,0,1)，B (1,0,0)，C (1,1,0)，EB ―→＝(1,0，－1)，EC ―→＝(1,1，－1)．设平面BCE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧x －z ＝0，x ＋y －z ＝0，可取n＝(1,0,1)，又平面EAD 的法向量为AB ―→＝(1,0,0)，所以cos 〈n ，AB ―→〉＝12×1＝22，故平面ADE 与平面BCE 所成的二面角为45°.答案：B3．在直角坐标系中，已知A (2,3)，B (－2，－3)，沿x 轴把直角坐标系折成平面角为θ的二面角A Ox B ，使∠AOB ＝90°，则cos θ为( )A ．－19B.19C.49D ．－49解析：过A ，B 分别作x 轴垂线，垂足分别为A ′，B ′.则AA ′＝3，BB ′＝3，A ′B ′＝4，OA ＝OB ＝13，折后，∠AOB ＝90°，∴AB ＝OA 2＋OB 2＝26.由AB ―→＝AA ′―→＋A ′B ′―→＋B ′B ―→，得|AB ―→|2＝|AA ′―→|2＋|A ′B ′―→|2＋|B ′B ―→|2＋2|AA ′―→|·|B ′B ―→|·cos(π－θ)． ∴26＝9＋16＋9＋2×3×3×cos(π－θ)， ∴cos θ＝49.答案：C4.已知平面α内有一个以AB 为直径的圆，PA ⊥α，点C 在圆周上(异于点A ，B )，点D ，E 分别是点A 在PC ，PB 上的射影，则( )A ．∠ADE 是二面角A PC B 的平面角 B ．∠AED 是二面角A PB C 的平面角 C ．∠DAE 是二面角B PA C 的平面角D ．∠ACB 是二面角A PC B 的平面角解析：选项A 错误，若DE ⊥PC ，则PC ⊥平面ADE ，所以PC ⊥AE ，又AE ⊥PB ，所以AE ⊥平面PBC ，同理可证：AD ⊥平面PBC ，这是不可能的．选项B 正确，因为PA ⊥BC ，AC ⊥BC ，所以BC ⊥平面PAC ，所以AD ⊥BC ，又AD ⊥PC ，且PC ∩BC ＝C ，所以AD ⊥平面PBC ，又因为AE ⊥PB ，所以DE ⊥PB ，所以∠AED 为二面角A PB C的平面角．选项C 错误，因为PA ⊥平面α，所以PA ⊥AC 且PA ⊥AB ，所以∠CAB 为二面角B PA C 的平面角，因此，∠DAE 不是二面角B PA C 的平面角．选项D 错误，在△PAC 中，∠PAC ＝90°，所以AC 与PC 不垂直，因此，∠ACB 不是二面角A PC B 的平面角．答案：B 二、填空题5．如图所示，已知正三棱柱ABC A 1B 1C 1的所有棱长都相等，D 是A 1C 1的中点，则直线AD 与平面B 1DC 夹角的正弦值为________．解析：不妨设正三棱柱ABC A 1B 1C 1的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A (3，－1,0)，B1(3，1,2)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，2，则CD ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，2， CB 1―→＝(3，1,2)，设平面B 1DC 的法向量为 n ＝(x ，y,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·CD ―→＝0，n ·CB 1―→＝0，解得n ＝(－3，1,1)．又∵DA ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，－2，∴sin θ＝|cos 〈DA ―→，n 〉|＝45.答案：456．正△ABC 与正△BCD 所在平面垂直，则二面角A BD C 的正弦值为________．解析：取BC 中点O ，连接AO ，DO .建立如图所示空间直角坐标系，设BC ＝1，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，32，B ⎝⎛⎭⎪⎫0，－12，0，D ⎝⎛⎭⎪⎫32，0，0. ∴OA ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，32，BA ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，32，BD ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0.由于OA ―→＝⎝⎛⎭⎪⎫0，0，32为平面BCD 的法向量，可进一步求出平面ABD 的一个法向量n ＝()1，－3，1，∴cos 〈n ，OA ―→〉＝55，sin 〈n ，OA ―→〉＝255.∴二面角A BD C 的正弦值为255.答案：2557．已知三棱锥S ABC 中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，SA ＝3，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为________．解析：建立如图所示空间直角坐标系，则S (0,0,3)，A (0,0,0)，B (3，1,0)，C (0,2,0)．∴AB ―→＝(3，1,0)， SB ―→＝(3，1，－3)，SC ―→＝(0,2，－3)．设平面SBC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．则⎩⎪⎨⎪⎧n ·SB ―→＝3x ＋y －3z ＝0，n ·SC ―→＝2y －3z ＝0.令y ＝3，则z ＝2，x ＝3，∴n ＝(3，3,2)．设AB 与平面SBC 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，AB ―→〉|＝|n ·AB ―→||n |·|AB ―→|＝3＋34×2＝34.答案：348．在体积为1的直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝1，求直线A 1B 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为________．解析：由题意，可得体积V ＝CC 1·S △ABC ＝CC 1·12·AC ·BC ＝12CC 1＝1，∴CC 1＝2.建立如图所示空间直角坐标系，得点B (0,1,0)，错误!.则A 1B ―→＝(－1,1，－2)，又平面BB 1C 1C 的法向量为n ＝(1,0,0)．设直线A 1B 与平面BB 1C 1C 所成的角为θ，A 1B ―→与n 的夹角为φ，则cos φ＝A 1B ―→·n |A 1B ―→|·|n |＝－66，∴sin θ＝|cos φ|＝66，即直线A 1B 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为66.答案：66三、解答题9.如图，长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝16，BC ＝10，AA 1＝8，点E ，F分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E ＝D 1F ＝4.过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求直线AF 与平面α所成角的正弦值．解：(1)交线围成的正方形EHGF 如图所示． (2)作EM ⊥AB ，垂足为M ，则AM ＝A 1E ＝4，EM ＝AA 1＝8. 因为四边形EHGF 为正方形，所以EH ＝EF ＝BC ＝10.于是MH ＝EH 2－EM 2＝6，所以AH ＝10.以D 为坐标原点，DA ―→的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz ，则A (10,0,0)，H (10,10,0)，E (10,4,8)，F (0,4,8)， FE ―→＝(10,0,0)， HE ―→＝(0，－6，8)．设n ＝(x ，y ，z )是平面EHGF 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·FE ―→＝0，n ·HE ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧10x ＝0，－6y ＋8z ＝0，所以可取n ＝(0,4,3)．又AF ―→＝(－10,4,8)，故|cos 〈n ，AF ―→〉|＝|n ·AF ―→||n ||AF ―→|＝4515.所以AF 与平面EHGF 所成角的正弦值为4515.10．(2017·全国卷Ⅱ)如图，四棱锥P ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB ＝BC ＝12AD ，∠BAD ＝∠ABC ＝90°，E 是PD 的中点．(1)证明：直线CE ∥平面PAB ；(2)点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为45°，求二面角M AB D 的余弦值．解：(1)证明：取PA 的中点F ，连接EF ，BF . 因为E 是PD 的中点，所以EF ∥AD ，EF ＝12AD .由∠BAD ＝∠ABC ＝90°，得BC ∥AD ，又BC ＝12AD ，所以EF 綊BC ，所以四边形BCEF 是平行四边形，CE ∥BF ，又BF ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ，故CE ∥平面PAB .(2)由已知得BA ⊥AD ，以A 为坐标原点，AB ―→的方向为x 轴正方向，|AB ―→|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz ，则A (0,0,0)，B (1，0,0)，C (1,1,0)，P (0，1，3)，PC ―→＝(1,0，－3)，AB ―→＝(1,0,0)．设M (x ，y ，z )(0<x <1)，则BM ―→＝(x －1，y ，z )，PM ―→＝(x ，y －1，z －3)．因为BM 与底面ABCD 所成的角为45°，而n ＝(0,0,1)是底面ABCD 的法向量，所以|cos 〈BM ―→，n 〉|＝sin 45°，|z |x －2＋y 2＋z2＝22，即(x －1)2＋y 2－z 2＝0. ① 又M 在棱PC 上，设PM ―→＝λPC ―→，则x ＝λ，y ＝1，z ＝3－3λ. ②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋22，y ＝1，z ＝－62(舍去)，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22，y ＝1，z ＝62，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，1，62，从而AM ―→＝⎝⎛⎭⎪⎫1－22，1，62. 设m ＝(x 0，y 0，z 0)是平面ABM 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AM ―→＝0，m ·AB ―→＝0，即⎩⎨⎧－2x 0＋2y 0＋6z 0＝0，x 0＝0，所以可取m ＝(0，－6，2)．于是cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝105.由图知二面角M AB D 为锐角，因此二面角M AB D 的余弦值为105.。

空间平面向量方向判定的两种方法

空间平面向量方向判定的两种方法
作者：魏天保
来源：《中学教学参考·中旬》 2013年第10期
内蒙古阿拉善盟第一中学（750300）魏天保
二面角的平面角是高考的一个重点内容，也是热点内容，怎样利用平面的法向量求二面角的平面角呢？我们知道二面角的大小与法向量的夹角的关系“同内同外是互补，一内一外是相等”，关键是判定两个平面的法向量相对于二面角的面的方向，当平面与空间坐标系中的三个平面平行或重合时，平面的法向量很容易判定.下面介绍除此之外的平面的法向量的方向的两种判定方法.
方法1:坐标法.在空间直角坐标系内，坐标平面把空间分为八个卦限，在每个卦限内，点的坐标的符号是不变的，可以利用始点在原点的向量和空间内的点之间的一一对应关系，判定平面的法向量相对于某个平面的方向.
方法2:参照向量法.二面角法向量方向的判定可以取一个向量作为参照向量.如图1.设平面α的法向量为n，在二面角α-l-β内的一个参照向量为n0，当n·n0＞0时，显然n与n0的夹角为锐角，我们称法向量的方向指向二面角的内部；如图2，当n·n0＜0时，显然n与n0的夹角为钝角，我们称法向量的方向指向二面角的外部.（一般情况下，参照向量的始点和终点分别取在两个半平面内，判定哪个平面的法向量的方向，参照向量的始点取在哪个平面）
【例】（2005，全国）如图3，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD.
(1)证明：AB⊥平面VAD，
（2）求平面VAD与平面VBD所成的二面角的大小.。

向量和平面的夹角范围

向量和平面的夹角范围向量和平面是线性代数中的重要概念，它们之间的夹角范围具有一定的特点和规律。

本文将从不同角度探讨向量和平面的夹角范围，并对其进行详细解析。

一、向量和平面的基本概念在线性代数中，向量是指具有大小和方向的量，用箭头表示。

向量可以用坐标表示，也可以用矩阵表示。

平面是三维空间中的一个二维子空间，可以由平面上的一个点和法向量唯一确定。

二、向量和平面的夹角定义向量和平面的夹角定义为向量与平面法向量之间的夹角。

夹角的范围是0到180度之间，可以取到0度或180度。

当夹角为0度时，向量与平面平行；当夹角为180度时，向量与平面垂直。

三、向量和平面夹角的计算方法1. 向量和平面夹角的计算方法一：利用向量和法向量的内积向量v与平面的法向量n的内积等于v和n的模长乘积再乘以cos 夹角的值。

即cosθ = v·n / |v||n|，其中θ表示向量v与平面的夹角。

2. 向量和平面夹角的计算方法二：利用向量在平面上的投影向量v在平面上的投影等于v与平面法向量n的内积除以法向量n 的模长。

投影向量p = (v·n / |n|²) * n，夹角θ = arccos(|p| / |v|)。

四、向量和平面夹角的特点和规律1. 平行向量的夹角为0度如果两个向量的方向相同或相反，则它们为平行向量，夹角为0度。

此时，向量与平面的夹角也为0度，即向量与平面平行。

2. 垂直向量的夹角为90度如果两个向量的内积为0，则它们为垂直向量，夹角为90度。

同理，向量与平面的夹角也为90度，即向量与平面垂直。

3. 夹角范围在0度到90度之间除了平行向量和垂直向量之外，向量和平面的夹角一般在0度到90度之间。

当夹角为0度时，向量与平面平行；当夹角为90度时，向量与平面垂直。

夹角越大，向量越远离平面。

4. 夹角范围在90度到180度之间在特殊情况下，向量和平面的夹角可以超过90度，但不会超过180度。

当夹角为180度时，向量与平面垂直但方向相反。