八年级数学下册 异分母分式的加减教案
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第2课时 异分母分式的加减
1.学会确定几个分式的最简公分母并
进行通分;(重点)
2.能正确地运用分式的加、减、乘、除、乘方的运算法则进行混合运算.(重点,难点)
一、情境导入
小学我们学习过异分母分数的加减法,如13+12=1×23×2+1×32×2=56,那么如何计算1x +1-2x -1
呢? 二、合作探究
探究点一:分式的通分 【类型一】 最简公分母
分式
1x 2-3x 与2
x 2-9
的最简公分母是________.
解析:∵x 2-3x =x (x -3),x 2-9=(x +3)(x -3),∴最简公分母为x (x +3)(x -3).
方法总结:最简公分母的确定:最简公分母的系数,取各个分母的系数的最小公倍数;字母及式子取各分母中所有字母和式子的最高次幂.“所有字母和式子的最高次幂”是指“凡出现的字母(或含字母的式子)为底数的幂的因式选取指数最大的”;当分母是多项式时,一般应先因式分解.
【类型二】 分母是单项式分式的通分
通分.
(1)c bd ,ac 2b 2; (2)b 2a 2c ,2a 3bc 2; (3)45y 2z ,310xy 2
,5-2xz 2
. 解析:先确定最简公分母,找到各个分
母应当乘的单项式,分子也相应地乘以这个单项式.
解:(1)最简公分母是2b 2d ,c bd =2bc 2b 2d
,ac 2b 2=acd 2b 2d
; (2)最简公分母是
6a 2bc 2,
b 2a 2
c =3b 2c 6a 2bc 2
,2a 3bc 2=4a 3
6a 2bc 2; (3)最简公分母是10xy 2z 2,4
5y 2z =
8xz 10xy 2z 2,310xy 2=3z 210xy 2z 2,5
-2xz 2=--25y 210xy 2z 2. 方法总结:通分时,先确定最简公分母,然后根据分式的基本性质把各分式的分子、分母同时乘以一个适当的整式,使分母化为最简公分母.
【类型三】 分母是多项式分式的通分
通分.
(1)a 2(a +1),1
a 2-a ; (2)2mn 4m 2-9,3m 4m 2-6m +9
. 解析:先把分母因式分解,再确定最简公分母,然后再通分.
解:(1)最简公分母是2a (a +1)(a -1),
a
2(a +1)=a 2(a -1)2a (a +1)(a -1),
1
a 2-a =2(a +1)2a (a +1)(a -1); (2)最简公分母是(2m +3)(2m -3)2, 2mn
4m 2-9=2mn (2m -3)(2m +3)(2m -3)2
,
3m
4m 2-6m +9=3m (2m +3)(2m +3)(2m -3)2
.
方法总结:①确定最简公分母是通分的关键,通分时,如果分母是多项式,一般应先因式分解,再确定最简公分母;②在确定最简公分母后,还要确定分子、分母应乘的因式,这个因式就是最简公分母除以原分母
的商.
探究点二:异分母分式的加减法
【类型一】 异分母分式的加减法运算
计算: (1)x x 2-4-2x 2+4x +4
; (2)a 2-4a +2+a +2; (3)m m -n -n m +n +2mn m 2-n
2. 解析:依据分式的加减法法则,(1)、(3)中先找出最简公分母分别为(x -2)(x +2)2、(m +n )(m -n ),再通分,然后运用同分母分式加减法法则运算;(2)中把后面的加数a +2看成分母为1的式子进行通分.
解:(1)原式=x
(x +2)(x -2)-
2
(x +2)2
=
x (x +2)(x +2)2(x -2)
-
2(x -2)
(x +2)2(x -2)
=
x (x +2)-2(x -2)(x +2)2(x -2)
=
x 2+4
(x +2)2(x -2)
;
(2)原式=a 2-4+(a +2)2
a +2=
2a (a +2)
a +2
=2a ;
(3)原式=
m (m +n )
(m +n )(m -n )
-
n (m -n )(m +n )(m -n )+
2mn
(m +n )(m -n )=m 2+2mn +n 2(m +n )(m -n )=m +n m -n
. 方法总结:分母是多项式时,应先因式分解,目的是为了找最简公分母以便通分.对于整式与分式的加减运算,可以将整式的每一项的分母看成1,再通分,也可以把整式的分母整体看成1,再进行通分运算.
【类型二】 分式的混合运算
计算:
(1)(x 2-4x +4x 2-4-x x +2)÷x -1x +2;
(2)a -52a -6÷(16a -3
-a -3). 解:(1)原式=[(x -2)2
(x -2)(x +2)-
x x +2]÷x -1x +2
=(x -2x +2-x x +2)÷x -1x +2=-2x +2·x +2x -1=-2x -1
; (2)原式=a -52a -6÷(16a -3-a 2-9
a -3)
=a -52(a -3)÷(5+a )(5-a )a -3 =a -52(a -3)·a -3(5+a )(5-a ) =-1
10+2a
.
方法总结:对于一般的分式混合运算来讲,其运算顺序与整式混合运算一样,是先乘方,再乘除,最后加减,如果遇到括号要先算括号里面的.在此基础上,有时也应该根据具体问题的特点,灵活应变,注意方法.
探究点三:分式运算的化简求值
【类型一】 先化简,再根据所给字母的值求分式的值
先化简,再求值:(1
x -y +
1x +y )÷2x x 2+2xy +y 2
,其中x =1,y =-2. 解析:化简时,先把括号内通分,把除法转化为乘法,把多项式因式分解,再约分,最后代值计算.
解:原式=2x
(x -y )(x +y )·(x +y )22x =x +y x -y
,
当x =1,y =-2时,原式=
1+(-2)
1-(-2)=-13
.
方法总结:分式的化简求值,其关键步骤是分式的化简.要熟悉混合运算的计算顺