最新数学专升本考试试题
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高等数学（二）命题预测试卷（二）
一、选择题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分。在每个小题给出的选
项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内） 1．下列函数中，当1→x 时，与无穷小量)1(x -相比是高阶无穷小的是（ ）
A ．)3ln(x -
B ．x x x +-232
C ．)1cos(-x
D ．12-x 2．曲线x
x y 1
33+
-=在),1(+∞内是（ ） A ．处处单调减小 B ．处处单调增加 C ．具有最大值 D ．具有最小值 3．设)(x f 是可导函数，且1)
()2(lim
000
=-+→h
x f h x f x ，则)(0x f '为（ ）
A ．1
B ．0
C ．2
D ．
2
1 4．若1
)1(+=x x
x f ，则⎰10)(dx x f 为（ ）
A ．2
1
B ．2ln 1-
C ．1
D ．2ln 5．设x
u
xy u z ∂∂=,
等于（ ） A ．z zxy B ．1-z xy C ．1-z y D ．z y
二、填空题：本大题共10个小题，10个空，每空4分，共40分，把答案填在
题中横线上。 6．设2yx e z xy +=，则
)
2,1(y
z ∂∂= ．
7．设x e x f x ln )(+='，则='')3(f ． 8．x x x f -=
1)(，则=)1
(x
f ．
9．设二重积分的积分区域D 是4122≤+≤y x ，则⎰⎰=D
dxdy ．
10．x
x x
)211(lim -
∞→= ．
11．函数)(21
)(x x e e x f -+=的极小值点为 ．
12．若31
4
lim
21=+++-→x ax x x ，则=a ． 13．曲线x y arctan =在横坐标为1点处的切线方程为 ． 14．函数⎰=2
sin x tdt y 在2
π=
x 处的导数值为 ．
15．=+⎰-1
122cos 1sin dx x
x
x ． 三、解答题：本大题共13小题，共90分，解答应写出推理、演算步骤。 16．（本题满分6分）
求函数⎪⎩⎪
⎨⎧
=≠==0 00 1arctan )(x x x
x f 的间断点．
17．（本题满分6分）
计算1
21lim 2
--++∞
→x x x x ．
18．（本题满分6分）
计算⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++→x
x x x 10
)1(arcsin ln lim ．
19．（本题满分6分）
设函数⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+>=-01
)1ln(0 )(1
x x x xe x f x ，求)(x f '．
20．（本题满分6分）
求函数)sin(y x y +=的二阶导数．
21．（本题满分6分）
求曲线342)(x x x f -=的极值点．
22．（本题满分6分）
计算⎰+dx x x 1
2
3
．
23．（本题满分6分）
若)(x f 的一个原函数为x x ln ，求⎰⋅dx x f x )(．
24．（本题满分6分）
已知⎰∞-=
+0
22
1
1dx x k ，求常数k 的值．
25．（本题满分6分）
求函数5126),(23+-+-=y x x y y x f 的极值．
26．（本题满分10分）
求⎰⎰+D
dxdy y x )(2，其中D 是由曲线2x y =与2y x =所围成的平面区域．
27．（本题满分10分）
设⎰-=a
dx x f x x f 02
)()(，且常数1-≠a ，求证：)
1(3)(3
+=⎰
a a dx x f a
．
28．（本题满分10分）
求函数x
x
y ln =
的单调区间、极值、此函数曲线的凹凸区间、拐点以及渐近线并作出函数的图形．
参考答案
一、选择题
1．B 2．B 3．D 4．D 5．D 二、填空题
6．122+e 7．3
1
3+e
8．11-x 9．π3
10．2
1-e
11．0=x
12．5 13．)1(2
1
4
-=
-x y π
14．4
sin 2
ππ 15．0
三、解答题
16．解 这是一个分段函数，)(x f 在点0=x 的左极限和右极限都存在．
2
1arctan lim )(lim 00π
-==-→-→x x f x x
21arctan lim )(lim 00π
==+→+→x x f x x
)(lim )(lim 00x f x f x x +
→-
→≠
故当0→x 时，)(x f 的极限不存在，点0=x 是)(x f 的第一类间断点．
17．解 原式=222
1121
11lim
1
21lim
2
2
2
==--+=--++∞
→+∞
→x
x
x x x x x x ． 18．解 设x
x x x f 1
)1(arcsin )(++=．
由于0=x 是初等函数)(ln x f 的可去间断点，
故 []
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡++==→→→x x x x x x x f x f 1
00)1(arcsin lim ln )(lim ln )(ln lim
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++=→→x
x x x x 1
00)1(lim arcsin lim ln
1ln )0ln(==+=e e ．