力矩分配法的基本原理

力矩分配法为克罗斯(H.Cross)于1930年提出，这一方法对连
续梁和无结点线位移刚架的计算尤为方便。
1.劲度系数、传递系数
1
⑴劲度系数(转动刚度)Sij
A
EI
定义如下：当杆件AB的A端转 MAB 动单位角时，A端(又称近端)的弯 =4i 1
L SAB=MAB=4i
矩MAB称为该杆端的劲度系数，用 SAB表示。它标志着该杆端抵抗转 动能力的大小，故又称为转动刚度
A
MAB
=3i 1
。则劲度系数与杆件的远端支承
EI
SAB=MAB=3i
情况有关，由转角位移方程知 远端固定时： SAB= 4i 远端铰支时： SAB= 3i
A
MAB
=i 1
A
EI
SAB=MAB=i
EI
远端滑动支撑时： SAB= i 远端自由时： SAB= 0
MAB =0
SAB=MAB=0
B
MBA
B
B B MBA
AD= 据表(8—1） qL2 12 =
杆 端 AB A AC AD
BA 分配系数 0.445 0.333 0.222
B -40 固端弯矩 +40 0
－75
+
qL2 12
=
+7.8
-35
分配弯矩 +15.5 +11.7 +7.8
-32.2 最后弯矩 +55.5 +11.7 -67.2
(3)进结行点力A的矩－不的3平分P8L衡配力=和矩传为递
CA 0 0
PL =
C0
(4)计算杆端最后8弯矩并作矩图。
DA
D
-25
-7.8 -32.8
请看： 第十章 矩阵位移法
r11= 4i12+3i13+i14
= S12+S13+S14
= ∑S1j
式中∑S1j代表汇交于结点1的各 杆端劲度系数的总和。
解典型方程得
4Si12
2
2i12 3Si13 1
Z1 1
4
Si14
3 M1图
Z1=
(c)
然后可按叠加法 M= 弯矩。
计算各杆端的最后弯
结点1的各近端弯矩为： M12=
第九章 渐进法
§9—1 引 言 §9—2 力矩分配法的基本原理 §9—3 用力矩分配法计算连续梁
和无侧移刚架 §9－4 无剪力分配法 §9－5 力矩分配法与位移法的联合应用
§9—1 引 言
计算超静定结构，不论采用力法或位移法，均要组成 和解算典型方程，当未知量较多时，其工作量非常大。为 了寻求较简捷的计算方法，自本世纪三十年代以来，又陆 续出现了各种渐进法，如力矩分配法、 无剪力分配法、 迭代法等。
例 9—1 试用力矩分配法作刚架的弯矩图。
解：
30kN/m
(1)计算各杆端分配系数
50kN
60 55.5 67.2 32.2
AB=
AB=0.445 AC=0.333
AC=(2)计A算D=固0.端22弯2 矩
B EI A 2EI D
(a) C
4m 2m 2m
11.7
(b)
32.8
M图 (kN.m)
数的比例传到各远端一样，故称为传递弯矩。
得出上述规律后，便可不必绘 MP 、 图，也不必列出 和求解典 型方程，而直接按以上结论计算各杆端弯矩。其 过程分为两步：
(1)固定结点 即加入刚臂。此时各杆端有固端弯矩，而结点上有不 平衡力矩，它暂时由刚臂承担。
(2)放松结点 即取消刚臂，让结点转动。这相当于在结点上又加入 一个反号的不平衡力矩，于是不平衡力矩被消除而结点获 得平衡。此反号的不平衡力矩将按劲度系数大小的比例分 配给各近端，于是各近端得到分配弯矩，同时各自向其远 端进行传递，各远端弯矩等于固端弯矩加上传递弯矩。
1j=
(9—1)
1j =
(9—1)
显然，同 一结点各杆 端的分配系数之和应等于1，即
∑ 1j =1 。 各远端弯矩如下
MBA=CABMAB
M21=
M31=
各 角式 所右产M边生M42的 的2F11=第 弯M1F32一 矩1M项 ，M1F4 P仍 它图4M是好4F1 固比Z端是1=弯将矩各。近第端2的二i122分项S1配是3S12弯由13 矩结MZS11以点14图41传转递动Z系1
图(a)所示刚架用位移法计算时，只有一个未知量即结点转角
Z1，其典型方程为
r11Z1+R1P=0
绘出MP图（图b), 可求得自由项为
R1P=
R1P是结点固定时附加刚臂上的反力矩，可称为刚臂反力矩，它等
于结点1的杆端固端弯矩的代数和
，即各固端弯矩所不平衡的
差值，称为结点上的不平衡力矩。
绘出结构的 图（见图c)，计算系数为：
渐进法的共同特点是，避免了组成和解算典型方程， 而以逐次渐进的方法来计算杆端弯矩，其结果的精度随计 算轮次的增加而提高，最后收敛于精确解。
这些方法的概念生动形象，每轮计算的程序均相同， 易于掌握，适合手算，并可不经过计算结点位移而直接求 得杆端弯矩。在结构设计中被广泛采用。
§9—2 力矩分配法的基本原理
(2) 传递系数Cij
当近端A转动时，另一端B(远
1
端)也产生一定的弯矩，这好比是近 A
端的弯矩按一定比例传到远端一样
MAB =4i
，故将B端弯矩与A端弯矩之比称
1
为由A端向B端的传递系数，用CAB
A
表示。即
或 MBA=CABMAB
MAB =3i
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由右图或表(8—1)可得
远端固定时： CAB= 0.5 远端铰支时： CAB= 0 远端滑动支撑： CAB=－1
A
MAB =i
EI
L SAB=MAB=4i
EI
SAB=MAB=3i
EI
SAB=MAB=i
B
MBA =2i
B
B
MBA =－i
2. 力矩分配法的基本原理
现以下图所示刚架为例说明力矩分配法的基本原理。
q
P
2
1
4
3
(a)
M
F 21
2
M1F2 M1F4 1
4
M 4F1
3 MP图
(b)
1
M1F2 M1F3
M1F4
M13=
M14=
以上各式右边第一项为荷载产生的弯矩，即固端弯矩。第
二矩项反为号结后M22F1点按M转 劲1F2 动 度1M1F系Z4 1数角4M大4F所1 小产Z1的生=比的例弯分矩配，2i给1这22 近S相13S端当12 ，于1 因把ZS114此不41 称平为衡分力
配弯矩，12 3、M1P3图、 14等称为分配系数，其3 M计1图算公式为