三维大地电磁测：数据空间法

三维大地电磁反演：数据空间法摘要目前，一种三维大地电磁最小模型反演算法已经提出，这种算法是奥卡姆反演方法的变种，其主要是思想是基于数据空间的反演算法。

由于模型空间矩阵的计算时间相对较长，使得基于模型空间的奥卡姆法三维大地电磁反演并不实用。

这些困难能够用基于数据空间的奥卡姆反演算法来解决，在这种方法中，矩阵维数依赖于数据空间的大小，而不是模型空间的取值。

通过将模型空间转换到数据空间，从而使得奥卡姆方法能够在PC机上进行反演计算。

为了减小计算时间，一种宽松的集中规则被用于计算灵敏度矩阵的迭代正演模型标准。

这种规则使得计算时间压缩了70%，且不影响反演结果。

通过模拟数据的数值计算试验表明通过少量的迭代次数中就能够得到满意的结果，在之后的迭代中需要取消不必要的结构并找到最小标准的地电模型。

关键词大地电磁；数据空间法；三维反演；奥卡姆反演1引言进行三维大地电磁反演的常规运算是对大地电磁方法的未来发展的需求，由于二维解释常常并不能解释复杂的地质区域中场数据集呈现的重要特征。

近年来一些人在发展三维大地电磁反演算法做出努力，使用了合理的大范围趋近方法（例如：Mackie 和Madden在1993年,Newman和Alumbaugh在2000年，Farquharon等在2002年）。

这些方法已经能够去合理的恢复电导率变化，至少在理论数据的案例测试中得到验证。

然而，三维大地电磁反演问题还远没有解决。

高配置终端工作站或者并行计算机的需求依然阻碍三维程序运行的应用，计算机问题与实际数据的真实性影响着所有的设想方法。

所以，提高实施三维反演算法的效率受到了高度的关注。

基于快速相似模型的规则有望提高效率，比如你拟线性或拟解析相似模型（Torress-Verdin和Habashy在1994年，Zhdanov和方在1996上半年，Tseng等在2003年）。

因为这些相似性模型响应是正比于修改的电导率张量拟线性函数，是可能1 序言第 - 2 - 页 （共 16 页）的简化反演方法（有如：Zhdanov 和方在1996下半年，Zhdanov 等在2000下半年）。

依据被使用的简化程度，像这样的方法能够快速对地球结构成像。

但是，这些相似性方法也有各自的局限性，比如，当电导率相对较小时效果最好，而且一般反演方法的真实性和准确性对所有问题都比较通用。

尽管这些快速反演规则没有问题的求解，但这些基于电磁感应方程的所有解答方法依然有诸多用途。

在大部分的三维大地电磁反演方法采用了更多经典的反演接近方式中；有的是将函数和数据的误差与粗糙模型链接起来（像Parker 在1994年），有的是将被用于计算的惩罚函数梯度最小化，适应模型规则，并用满足模型的趋近方式数字法解解决相关的正演问题。

例如，Mackie(2002年在个性化交流中)已经将非线性共轭梯度方法向三维扩展（NLCG,Rodi 和Mackie 在2001年），在PC 机组的信息通行界面（MPI ）的辅助下，Newman 和Alumbaugh(2000年)就向三维反演使用了类似的技术，不过在大量平行系统的帮助下，Sasaki(2001年)和Farquharson 等人（2002年）就根据高斯-牛顿（GN ）发展了三维反演方法。

所有的这些规则能够成成模型空间反演，并于此研究优化M 维模型空间电导率的形成。

用模型空间方法，方程的数量和可使用内存（RAM ）都强烈的依赖于模型组M 的大小。

特别地，在模型空间中最直接最小接近惩罚函数（比如高斯-牛顿法）时要生成并解决M M ⨯组的常规线性方程。

对于三维反演，M 的变大在关系到计算时间和特别的是可写入内存使得计算机不可能运行。

关于解决这个困难的一种近似方法（即，Sssaki 在2001年，Newman 和Alumbaugh 在2000年）是使用一种电导率变化的粗糙或原始方案，使得M 依然较小。

但是正演的结果却强烈的依赖于模型方案的选择，除非地球结构有非常强的优先限制，否则这样的计算结果可能会误导我们。

对于经过迭代的反演方法，比如共轭梯度（CG,Mackie 和Madden 在1993年）或者非线性共轭梯度（Newman 和Alumbaugh 在2000年）避免了过于严格的形式并为常规方程储存M M ⨯阶系数矩阵，而且这种方法能够容许更多一般的地质真实模型规则。

这种一般的迭代趋近方法在只有为已有规则的最小三维反演结构的基础上实际计算规则而且M 较大时逐渐引起重视。

这篇文章里，我们引出一种新兴的数据空间三维大地电磁反演算法，并将惩罚函数的最小值在N 维数据空间中形成。

并用数据空间方法趋近原始空间（即：部分范围空间在数据中没有影响）在输出时被取消，同时M M ⨯组常规方程被N N ⨯组方程三维大地电磁反演：数据空间法第 - 3 - 页 （共 16 页）取代。

这样一来，所有计算的数量和需要的数组首要的依赖于独立数据N 的大小，这对三维地质仿真模型将远远小于M 。

实际上数据空间方法被广泛的应用于反演地质问题（即：Parker 在1994年）和其他的物理场（Egbert 等在1994，Chua 和bennett 在2001年）。

如果没有特殊的限制，数据空间趋近法不考虑共轭梯度法而考虑反演算法。

我们准确认为这类趋近方法是在奥卡姆准则上的数据空间转化。

原始的奥卡姆反演（Constable 等于1987年，deGroot-Hedlin 和Constable 于1990年）方法是在模型空间列出方程。

现在，我们重新列出在数据空间的奥卡姆方程等式就像在Siripunraraporn 和Egbert(2000)中解决的二维大地电磁反演问题。

如同在Siripunvaraporn 和Egbert(2000),数据空间算法利用减小的基本接近更加有效。

在这里，我们只考虑大部分直接在奥卡姆准则下的数据空间转化执行情况，并作为数据空间趋近中实际意义的一个实例。

2 奥卡姆反演奥卡姆反演寻找最平滑或者最小的标准模型满足数据（Constable 于1987）。

在数学上，只要能找到常规泛函数(,)U m λ:{}1112*00(,)()()([])([])T T m d U m m m m m d F m d F m C C X λλ---=--+--- (1)这里m 是电阻率模型, 0m 是初始模型，m C 是模型的协方差矩阵定义的模型标准，d 是已经观测的数据，[]F m 是模型响应，d C 是数据响应矩阵，X *是期望误差，1λ-是拉格朗日系数。

假设数据协方差特别的准确，X *应该是理论上的1（Constable 等于1987），同时我们在模拟数据实验上使用这个值。

对于真实数据*X 在一般情况下必须设置一个高一点的值。

为了找到方程（1）中的驻点，为了不直接求解（1），我们对求惩罚函数()W m λ。

当λ固定时，U 和W λ都有同样的驻点。

{}11100()()()([])([])T T m d W m m m m m d F m d F m C C λλ---=--+-- (2)用一系列λ使W λ最小，则能够得到U 的驻点值。

（例如，找到λ使得数据误差是2*X ）。

2.1 模型空间方法由于是大地电磁反演非线性问题，需要采取迭代法逼近，考虑到线性函数[]F m 是11[][][]()k k k k k k F m F m m F m j m m ++=+∆=+- (3)2 奥卡姆反演第 - 4 - 页 （共 16 页）这里下标决定迭代次数，同时(/)k k J F m =∂∂是在计算k m 时的N M ⨯维灵敏度矩阵。

将（3）代入（2）得到驻点。

同时，得到一系列相似方法的迭代形式：11110()[]T m k m k d k k m X m C J C λλ---+=++Γ (4)这里0[]()k k k X d F m J m m =-+-，模型空间垂直生成矩阵1T m k k d k J C J -=Γ是M M⨯维正定半定义的对称矩阵。

为了得到最终（1）的驻点的目标，尝试用一系列的λ值到（4）中的迭代使其标准解答的误差最小。

每次迭代的目标（图1）是为了得到到目标2*X 更小的误差。

一旦迭代后的误差达到了期望水平，就开始同样误差水平进行下一次迭代过程，同时改变λ的值寻找最小实现目标误差标准的模型（图二）。

由于各种原因总是不能到达目标误差水平。

即使如此，不断迭代次数的增加也能使误差水平提高。

2.2 数据空间方法就像Parker(1994)年展示并于附录A 中总结的那样，第k 次迭代的解决方法能够像原始平滑的灵敏度矩阵T m C J 的多行线性方程结合。

比如：110T k k m k m m C J β++-= （5）其中1k β+是一个基本函数（T m k C J ）的待求扩展系数向量，将（5）代入（2）中的线性形式中，同时解出其驻点，此过程中，又得到了一系列迭代答案11[]n k d kk C X βλ-+=+Γ （6） 其中nT k k m k J C J Γ=是N N ⨯组数据空间对称并正定半限定的垂直结果矩阵，像标准模型空间的奥卡姆反演类似，可以从（6）中得到1k β+，同时更新模型，得到计算误差。

就像在模型空间趋近方法一样，所有的计算都是在图一和图二中不断变化的λ情况下完成的。

从两种趋近方法中得到的结果是：如果使用同样水平的规则在（4）中应用模型空间方法和在（5）（6）中应用数据空间方法在理论上都应该是较为显著的。

（4）和（6）中主要的差别是待求方程组的维数有显著的减小：从模型空间的M M ⨯组到数据空间方法的N N ⨯组。

在实际情形中，尤其是现在考虑的三维大地电磁范围问题中的N 远小于M 。

这种减小量意味着在内存和CPU 时间上都节省着计算时间。

在数据空间方法中需要的模型协方差矩阵m C 是两种方法的另一个区别，而其逆矩阵需要应用在模型空间方法里。

模型空间方法里，模型协方差的逆矩阵1m C -影响效三维大地电磁反演：数据空间法第 - 5 - 页 （共 16 页）率，因此经常作为系数模型运行的过程程序（Constable 等于1987；deGroot-Hedlin 和Constable 于1990），实际上特殊粗糙模型因子m C 由于其大小的因素的逆矩阵难以确定并总是满秩，在转换中，模型协方差矩阵m C 对数据空间计算有很大的影响（比如，Siripunvaraporn 于2000）由于尺寸和病态等原因并不能转换。

而用具有同一模型的协方差矩阵即使是小的模型网格去直接的比较模型和数据空间计算也显得不太现实。

考虑到如断层和海洋初始信息已经包含在了模型协方差因子m C ，因此也是数据空间方法的另一大优势。

了解更多的关于模型和数据空间的奥卡姆反演方法请看Parker(1994),Siripunvaraporn 和Egbert(2000),Constable 等（1987），以及deGroot-Hedlin 和Constable(1990)。