您的位置：360文档中心› 专题一 培优点2 基本不等式的综合问题(解析版)

专题一 培优点2 基本不等式的综合问题(解析版)

合集下载

基本不等式(解析版)

基本不等式(解析版)

3.2 基本不等式【知识点梳理】 知识点一：基本不等式 1．对公式222a b ab +≥及2a bab +≥ （1）成立的条件是不同的：前者只要求,a b 都是实数，而后者要求,a b 都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当a b =时取等号”． 2．由公式222a b ab +≥和2a bab +≥ ①2b aa b+≥（,a b 同号）； ②2b aa b +≤-（,a b 异号）； ③222(0,0)1122a b a b ab a b a b++≤≤>>+或222()(0,0)22a b a b ab a b ++≤≤>> 知识点诠释： 222a b ab +≥可以变形为：222a b ab +≤，2a bab +可以变形为：2()2a b ab +≤． 2a bab +的证明 方法一：几何面积法如图，在正方形ABCD 中有四个全等的直角三角形．设直角三角形的两条直角边长为a 、b 22a b +．这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形ABCD 的面积为22a b +．由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：222a b ab +≥．当直角三角形变为等腰直角三角形，即a b =时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=．得到结论：如果+,R a b ∈，那么222a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号“=”） 特别的，如果0a >，0b >a b a 、b ，可得： 如果0a >，0b >，则2a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号“=”）．通常我们把上式写作：如果0a >，0b >，2a bab +，（当且仅当a b =时取等号“=”） 方法二：代数法∵2222()0a b ab a b +-=-≥， 当a b ≠时，2()0a b ->； 当a b =时，2()0a b -=．所以22()2a b ab +≥，（当且仅当a b =时取等号“=”）． 知识点诠释：特别的，如果0a >，0b >a b a 、b ，可得： 如果0a >，0b >，则2a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号“=”）． 通常我们把上式写作： 如果0a >，0b >2a bab +≤，（当且仅当a b =时取等号“=”）． 2a bab +的几何意义 如图，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC a =，BC b =，过点C 作DC AB ⊥交圆于点D ，连接AD 、BD ．易证~Rt ACD Rt DCB ∆∆，那么2CD CA CB =⋅，即CD ab =． 这个圆的半径为2a b +，它大于或等于CD ，即2a bab +≥C 与圆心重合，即a b =时，等号成立．知识点诠释： 1．在数学中，我们称2a b+为,a b ab ,a b 的几何平均数．因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．2．如果把2a b+看作是正数,a b ab ,a b 的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．2a bab +求最大（小）值 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等．① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值． 知识点诠释：1．两个不等式：222a b ab +≥与2a bab +≥a ，b 都是实数，后者要求a ，b 都是正数．2．两个不等式：222a b ab +≥与2a bab +≥对于“当且仅当……时，取“=”号这句话的含义要有正确的理解．3．基本不等式的功能在于“和积互化”．若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值．4．利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件： ①各项都是正数； ②和（或积）为定值； ③各项能取得相等的值．5．基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行： ①先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； ②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； ③在定义域内，求出函数的最大或最小值； ④写出正确答案． 【题型归纳目录】题型一：对基本不等式的理解及简单应用 题型二：利用基本不等式比较大小 题型三：利用基本不等式证明不等式 题型四：利用基本不等式求最值 （1）直接法求最值 （2）常规凑配法求最值 （3）消参法求最值 （4）换元求最值 （5）“1”的代换求最值 （6）∆法（7）条件等式求最值题型五：利用基本不等式求解恒成立问题题型六：基本不等式在实际问题中的应用【典型例题】题型一：对基本不等式的理解及简单应用例1．（2022·江苏·高一）给出下面三个推导过程：①∵a、b为正实数，∴ba＋abb aa b≥⋅2；②∵a∈R，a≠0，∴4a＋a4aa≥⋅＝4；③∵x、y∈R，xy＜0，∴xy＋yx＝－()()⎡⎤-+-⎢⎥⎣⎦x yy x2()()x yy x≤--- 2.其中正确的推导为（）A．①②B．①③C．②③D．①②③【答案】B【解析】①，根据基本不等式的知识可知①正确.②，当0a<时，4aa+<，所以②错误.③，根据基本不等式的知识可知③正确.所以正确的为①③.故选：B【方法技巧与总结】应用基本不等式时的三个关注点（1）一正数：指式子中的a，b均为正数．（2）二定值：只有ab为定值时才能应用基本不等式，因此有时需要构造定值．（3）三相等：即“=”必须成立，求出的定值才是要求的最值．例2．（2022·全国·高一课时练习）《九章算术》中有“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步．问：勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）．将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为a b+，宽为内接正方形的边长d．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3，设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形对角线AE，过点A作AF BC⊥于点F，则下列推理正确的是（）A ．由图1和图2面积相等得2abd a b=+B ．由AE AF ≥2222a b a b++C ．由AD AE ≥222112a b a b ++D ．由AD AF ≥可得222a b ab +>【答案】C【解析】对于A ，由图1和图2面积相等得()ab a b d =+⨯，所以abd a b=+，故A 错误； 对于B ，因为AF BC ⊥，所以221122a b a b AF ⨯⨯=+，所以22AF a b =+，22ab AE d ==，因为AE AF ≥，所以222ab a b a b++2222a b a b ++≥，故B 错误；对于C ，因为D 为斜边BC 的中点，所以22a b AD +=因为AD AE ≥，222a b ab +，222112a b a b++，故C 正确； 对于D ，因为AD AF ≥2222a b a b +≥+，整理得222a b ab +≥，故D 错误．故选：C ．例3．（2022·江苏·高一专题练习）下列运用基本不等式求最值，使用正确的个数是（ ）①已知0ab ≠，求a b b a +的最小值；解答过程：2a b a bb a b a+≥⨯；②求函数224y x =+的最小值；解答过程：可化得22424y x x =+≥+；③设1x >，求21y x x =+-的最小值；解答过程：22211xy x x x =+≥--当且仅当21x x =-即2x =时等号成立，把2x =代入221x x -4． A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【解析】对①：基本不等式适用于两个正数，当0ab <，a bb a与均为负值，此时22a b a b a b b a b a b a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--+-≤--⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当且仅当a bb a=，即0a b =<时等号成立，故①的用法有误，故①错误； 对②：22424y x x =+≥+，2244x x ++241x +=时取等号，242x +，则等号取不到，故②的用法有误； 对③：1x >，10x ->，221122111y x x x x =+=-++≥--， 当且仅当12x -=21x =时取等号，故③的用法有误； 故使用正确的个数是0个， 故选：A .例4．（2022·四川·成都外国语学校高一阶段练习（理））下列不等式一定成立的是（ ）． A ．()2104x x x +>> B ．()1sin 2π,sin x x k k x+≥≠∈Z C ．()212x x x +≥∈RD ．()2111x x ≥∈+R 【答案】C 【解析】A ：当12x =时，有214x x +=，故不等式不一定成立，故A 错误； B ：当sin 1x =-，即()322x k k Z ππ=+∈时，有1sin 22sin x x +=-<，故不等式不一定成立，故B 错误；C ：2212(||1)0x x x +-=-≥恒成立，故C 正确；D ：当1x =时，有211112x =<+，故不等式不一定成立，故D 错误； 故选：C例5．（2022·江苏·高一专题练习）设有三个推断：①110,2,x x x x x≠∴+≥∴+的最小值为2；②212(1x x x +≥=时取等号2)1x ∴+的最小值为2；③()()2244442x x x x x x ⎡⎤+--=-≤=⎢⎥⎣⎦，24x x ∴-的最大值为4.以上三个推断中正确的个数A ．1B ．2C ．3D ．0【答案】A【解析】0x ≠，当0x >时112x x x x+≥⋅当且仅当1x x =即1x =时取等号，当0x <时()11122x x x x x x ⎛⎫+=--+≤--⋅- ⎪--⎝⎭当且仅当1x x-=-即1x =-时取等号，故①错误； 212+≥x x ，（1x =时取等号），但是211x +≥，0x =时取等号，故②错误； ③由2()2a b ab +≤可知推断：22(4)4(4)42x x x x x x +-⎡⎤-=-≤=⎢⎥⎣⎦，当且仅当4x x =-，即2x =时取等号，24x x ∴-的最大值为4，故③正确． 综上，以上三个推断中正确的为③，共1个． 故选：A ．例6．（多选题）（2022·全国·高一课时练习）下列推导过程，正确的是（ ） A ．因为a ，b 为正实数，所以22b a b aa b a b+≥⋅= B ．因为3a >，所以444a a a a+≥⋅=C ．因为0a <，所以4424a a a a+≥⋅D ．因为x ，R y ∈，0xy <，所以x y x y y x y x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦22x y y x ⎛⎫⎛⎫≤--⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当x y =-时，等号成立 【答案】AD【解析】对A ，因为a ，b 为正实数，所以b a ，a b 均大于零，所以22b a b aa b a b+≥⋅=，当且仅当a b =时等号成立，故A 正确；对B ，4424a a a a+≥⋅，当且仅当2a =时等号成立，不符合3a >，故B 错误；对C ，当0a <时，40a a+<，故C 错误；对D ，由基本不等式推导过程知D 正确； 故选：AD题型二：利用基本不等式比较大小例7．（2022·广东深圳·高一期末）下列不等式恒成立的是（ ）A ．2b aa b +≥B ．22a b ab +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭C ．2a b ab +≥D ．222a b ab +≥-【答案】D【解析】对于A ：若1a =、1b =-时2b aa b+=-，故A 错误；对于B ：因为()20a b -≥，所以222a b ab +≥，所以2224a b ab ab ++≥，即22a b ab +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时取等号，故B 错误；对于C ：若1a =-、1b =-时，222a b ab +=-<=，故C 错误；对于D ：因为()20a b +≥，所以2220a b ab ++≥，即222a b ab +≥-，当且仅当a b =时取等号，故D 正确； 故选：D【方法技巧与总结】 利用基本不等式比较大小在利用基本不等式比较大小时，应创设应用基本不等式的使用条件，合理地拆项、配凑或变形．在拆项、配凑或变形的过程中，首先要考虑基本不等式使用的条件，其次要明确基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或者将“积式”转化为“和式”的放缩功能．例8．（多选题）（2022·全国·高一课时练习）2022年1月，在世界田联公布的2022赛季首期各项世界排名中，我国一运动员以1325分排名男子100米世界第八名，极大地激励了学生对百米赛跑的热爱．甲、乙、丙三名学生同时参加了一次百米赛跑，所用时间（单位：秒）分别为1T ，2T ，3T ．甲有一半的时间以速度（单位：米/秒）1V 奔跑，另一半的时间以速度2V 12VV 1V 奔跑，另一半的路程以速度2V 奔跑．其中10V >，20V >．则下列结论中一定成立的是（ ） A ．123T T T ≤≤B ．123T T T ≥≥C ．2132T T T =D ．132111T T T += 【答案】AC【解析】由题意11121110022TV TV +=，所以1121002T V V =+，212T VV =312121*********T VV V V V V =+=+， 根据基本不等式可知12121212202V V VV VV V V +≥>+，故123T T T ≤≤，当且仅当12V V =时等号全部成立，故A 选项正确，B 选项错误；221321212121210010010022TT T V V VV VV V V =⨯==++，故C 选项正确；1212121213221112100100VV V V VV V V T T T +++=+≠=，故D 选项错误． 故选：AC ．例9．（多选题）（2022·全国·高一课时练习）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a ，b ，R c ∈，则下列命题正确的是（ ） A ．若0a b >>，则11a b< B ．若,,a b R ∈，则22323a b ab +≥ C ．若0a b >>，0c >，则0ac bc -> D ．若a b <，则a b <【答案】ABC【解析】对于A ，因为0a b >>，所以110b aa b ab--=<，故A 正确； 对于B ，()2223330a b ab a b+-=-≥，故B 正确；对于C ，若0a b >>，0c >，则ac bc >，即0ac bc ->，故C 正确； 对于D ，当2a =-，1b =时，满足a b <，但a b >，故D 不正确． 故选：ABC ．例10．（多选题）（2022·全国·高一课时练习）若10a b -<<<，则（ ） A ．222a b ab +> B ．11a b< C ．2a b ab +>D ．11a b a b+>+ 【答案】AD【解析】A ：由重要不等式知：222a b ab +≥，而10a b -<<<，故222a b ab +>，正确；B ：由10a b -<<<，则110b aa b ab --=>，故11a b>，错误； C ：由10a b -<<<，则02a b ab +<<D ：11111()()()()0b a ab a b a b a b a b a b a b ab ab --+-+=-+-=-+=->，故11a b a b +>+，正确. 故选：AD题型三：利用基本不等式证明不等式 例11．（2022·湖南·高一课时练习）证明不等式：(1)若a ，b ，c ，d 都是正数，求证：()()4ab cd ac bd abcd ++≥；(2)若a ，b ，c 是非负实数，则()()()2222226a b c b c a c a b abc +++++≥；(3)若a ，b 是非负实数，则22a b a b ++≥；(4)若a ，R b ∈，则22222a b a b ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭．【解析】(1)由a ，b ，c ，d 都是正数，利用基本不等式可知， ab cd abcd +≥ab cd =时，等号成立； ac bd acbd +≥ac bd =时，等号成立；所以()()24ab cd ac bd abcd acbd abcd ++≥即有()()4ab cd ac bd abcd ++≥，当且仅当,a d b c ==时，等号成立. (2)由a ，b ，c ，d 都是正数，利用基本不等式可知，222b c bc +≥，当且仅当b c =时，等号成立； 222c a ac +≥，当且仅当a c =时，等号成立；222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立；所以()()()2222226222a bc b a b c b c a c a b ab a c ab c c ⋅+⋅+⋅=+++++≥当且仅当a b c ==时，等号成立.(3)2(1)(1)2)a b a b a b a b ++=+++≥ 当且仅当1a b ==时，等号成立.(4)()222222222222220224444a b a b a b a b a b a b ab ab -+++++⎛⎫--≥ ⎪⎝⎭+-=== 当且仅当a b =时，等号成立.【方法技巧与总结】利用基本不等式证明不等式时应注意的问题 （1）注意基本不等式成立的条件；（2）多次使用基本不等式，要注意等号能否成立；（3）对不能直接使用基本不等式证明的可重新组合，形成基本不等式模型，再使用． 例12．（2022·全国·高一课时练习）已知a ，b ，c 均为正实数. (1)求证：a b c ab bc ac ++≥ (2)若1a b +=，求证：11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.【解析】（1）因为a ，b ，c 都是正数，所以()()()(1122222++=+++++≥⎡⎤⎣⎦a b c a b b c a c ab bc ac ab bc ac =，当且仅当a b c ==时，等号成立， 所以a b c ab bc ac ++≥（2）211111122211111119142a b a b a b ab ab ab ab a b +⎛⎫⎛⎫++=+++=++=+≥+=+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+⎛⎫⎪⎝⎭， 当且仅当12a b ==时等号成立. ∴11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 例13．（2022·全国·高一单元测试）若0a >，0b >，求证：221122ab a b ++≥． 【解析】因为0a >，0b >，所以2222121112a b a b ab， 当且仅当2211a b=，即a b =时，等号成立． 又222ab ab +≥，当且仅当22ab ab =时等号成立， 所以22112222ab aba b ab ++≥+≥， 当且仅当22a b ab ab =⎧⎪⎨=⎪⎩，即2a b ==题型四：利用基本不等式求最值 （1）直接法求最值例14．（2022·全国·高一课时练习）当02x <<时，(2)x x -的最大值为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．4【答案】B【解析】02x <<，20x ∴->，又(2)2x x +-=[]2(2)(2)14x x x x +-∴-≤=，当且仅当2x x =-，即1x =时等号成立，所以(2)x x -的最大值为1 故选：B例15．（2022·全国·高一专题练习）当0x >时，234xx +的最大值为 __． 【答案】34【解析】当0x >时，2333=44442x x x x x x=++⋅，当且仅当x 4x=，即x ＝2时等号成立. 即234xx +的最大值为34． 故答案为：34．例16．（2022·全国·高一课时练习）若实数,x y 满足：,0,310x y xy x y >---=，则xy 的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】A【解析】因为310xy x y ---=，所以31xy x y -=+， 由基本不等式可得312xy x y xy -=+≥，故3210xy xy -≥1xy ≥13xy -（舍），即1xy ≥当且仅当1x y ==时等号成立， 故xy 的最小值为1， 故选：A.例17．（2022·全国·高一课时练习）若0x <，则124x x+-有（ ） A ．最小值1- B ．最小值3- C ．最大值1- D ．最大值3-【答案】D【解析】因为0x <，所以11122223444x x x x x x ⎛⎫+-=--+-≤--⋅=- ⎪--⎝⎭，当且仅当14x x-=-，即12x =-时等号成立，故124x x +-有最大值3-． 故选：D.例18．（2022·全国·高一专题练习）已知正数x y ，满足 4x y +=，则xy 的最大值（ ） A ． 2 B ．4 C ． 6 D ．8【答案】B【解析】因为正数x y ，满足 4x y +=，所以有4224x y xy xy xy =+≥⇒≤，当且仅当2x y ==时取等号， 故选：B例19．（2022·河南南阳·高一阶段练习）已知0a >，0b >且2510a b +=，则ab 的最大值为（ ） A ．2B ．5C ．32D ．52【答案】D【解析】因为2510225a b a b +=≥⋅52ab ≤，当且仅当5,12a b ==时，等号成立. 所以ab 的最大值为52.故选：D例20．（2022·全国·高一课时练习）若0a >、0b >，且411a b+=，则ab 的最小值为（ ）．A ．16B ．4C ．116 D ．14【答案】A【解析】因为0a >、0b >，所以414114+≥⨯a b a b ab114≥ab 4ab ≥，即16ab ≥，当仅当41a b=，即82a b ==，时，等号成立. 故选：A.例21．（2022·内蒙古巴彦淖尔·高一期末）若0a >，0b >，且3327ab a b =++，则ab 的最小值为（ ） A ．9 B ．16 C ．49 D ．81【答案】D【解析】由题意得3327627ab a b ab =++≥，得)()627930ab ab ab ab -=≥，9ab ，即81ab ≥，当且仅当9a b ==时，等号成立． 故选：D（2）常规凑配法求最值例22．（2022·吉林油田高级中学高一开学考试）已知1x >，则41x x +-的最小值为（ ） A ．6 B ．4 C ．5 D ．9【答案】C 【解析】44(1)1241511x x x x +=-++≥=--． 当且仅当411x x -=-，即x ＝3时，“＝”成立．故选:C ．例23．（2022·全国·高一专题练习）已知12x >，3y >，且27x y +=，则14213x y +--的最小值为 __． 【答案】3【解析】因为12x >，3y >，且27x y +=， 所以()()2133x y -+-=， 则()()141142132133213x y x y x y ⎛⎫⎡⎤+=+-+- ⎪⎣⎦----⎝⎭13841384552332133213y x y x x y x y ⎛⎛⎫----=++≥+⋅= ⎪ ----⎝⎭⎝， 当且仅当384213y x x y --=--且27x y +=，即32x =，4y =时取等号，此时14213x y +--取得最小值3．故答案为：3．例24．（2022·湖北黄石·高一期中）若1x >，则函数221x y x x +=+-的最小值为（ ） A ．4 B ．5 C ．7 D ．9【答案】C【解析】因为1x >，所以10x ->， 所以()2142211x x y x x x x -++=+=+--()()4442132137111x x x x x x =++=-++≥-⋅=---， 当且仅当()411x x -=-，即3x =时取等号， 所以函数221x y x x +=+-的最小值为7； 故选：C例25．（2022·全国·高一课时练习）若2a >，3b >，则2223a b a b +--的最小值是（ ） A ．16 B ．18 C ．20 D ．22【答案】C【解析】因为2a >，3b >，所以22224499492310232323a b a b a b a b a b a b -+-++=+=-++-++------ ()()492223102023a b a b ≥-⋅-+=--(当且仅当4,6a b ==时，等号成立)，所以2223a b a b +--的最小值是20. 故选：C例26．（2022·四川省绵阳南山中学高一阶段练习）已知a b >，且18ab =，则221a b a b+--的最小值是（ ） A ．11 B ．9 C ．8 D ．6【答案】A【解析】()()222361112ab a b a b a b a b a b a b-+-=-=-++----，因为a b >，所以0a b ->，故()()3636121=11a b a b a ba b ⎛⎫-+-≥-⋅⎪--⎝⎭，当且仅当36=333,333a b a b a b-⇒=+=-时，等号成立. 故选：A例27．（2022·全国·高一课时练习）当0x >时，函数231x x y x++=+的最小值为（ ）A ．3B ．231C ．31D ．4【答案】B【解析】因为0x >，所以()()23333112112311111x x y x x x x x x x ++==+=++-≥⋅+=++++，当且仅当311x x=++ ，即31x =时，等号成立． 故选：B ．例28．（2022·全国·高一课时练习）若41x -<<，则当22222x x x -+-取最大值时x 的值为（ ）A ．3-B ．2-C ．1-D ．0【答案】D【解析】变形，可得()()()()222112221111222121221x x x x x x x x x x -+-+-++-===+----，41x -<<，510x ∴-<-<，原式()()()11111121221221221x x x x x x ⎡⎤---=+=-+≤-⋅=-⎢⎥---⎣⎦， 当且仅当()11221x x -=-，即0x =时取等号，因此，22222x x x -+-取最大值时0x =. 故选D.（3）消参法求最值例29．（2022·安徽·泾县中学高一阶段练习）设正实数x 、y 、z 满足22430x xy y z -+-=，则xyz的最大值为（ ） A ．0 B ．2 C ．1 D ．3【答案】C【解析】因为正实数x 、y 、z 满足22430x xy y z -+-=，则2243z x xy y =-+，则22114434323xy xy x y z x xy y x y y x y x ==≤=-++-⋅-，当且仅当20y x =>时取等号. 故xyz的最大值为1. 故选：C.例30．（2022·贵州遵义·高一期末）负实数x 、y 满足2x y +=-，则1x y的最小值为（ ） A ．0 B ．1-C ．2-D ．3【答案】A【解析】因为负实数x 、y 满足2x y +=-，则20x y =--<，可得20y -<<， 由基本不等式可得1112220x yyyyy，当且仅当()10y y y-=-<时，即当1y =-时，等号成立. 故1xy的最小值为0. 故选：A.例31．（2022·全国·高一课时练习）已知正实数a ，b 满足12a b+=，则12ab a+的最小值是（ ）A ．52B ．3C ．92D ．221【答案】A【解析】因为12a b+=，所以12>0a b=-，所以02b << ， 所以()122221+212112b b b b b a a b b b ⎛⎫-+=- ⎪-+-⎝⎭=， 令21b t -=，则+12t b =，且13t -<< ，所以+11111522+2++22+2222122t t t t t t ab a t =≥⋅=+=，当且仅当122t t =，即12t =，32,43b a ==时，取等号， 所以12ab a+的最小值是52.故选：A.例32．（多选题）（2022·全国·高一单元测试）已知0x >，0y >，且30x y xy ++-=，则（ ） A ．xy 的取值范围是[]1,9 B ．x y +的取值范围是[)2,3 C ．4x y +的最小值是3 D ．2x y +的最小值是423 【答案】BD【解析】对于A ，因为0x >，0y >，所以2x y xy +≥x y =时取等号， 即32xy xy -≥01xy <≤，即01xy <≤，A 错误；对于B, 由0x >，0y >,()232x y x y xy +⎛⎫-+=≤ ⎪⎝⎭，当且仅当x y =时取等号， 得()()24120x y x y +++-≥，所以2x y +≥, 又()03x y xy -+=>，所以3x y +<，B 正确； 对于C, 由0x >，0y >，30x y xy ++-=，得34111y x y y -+==-+++， 则()4441441511x y y y y y +=-++=++-++ ()4241531y y ≥⋅+=+， 当且仅当()4411y y =++，即0y =时等号成立,但0y >， 所以43x y +>．（等号取不到）,故C 错误； 对于D ，由C 的分析知：0x >，0y >,411x y =-++, ()442122132311x y y y y y +=-++=++-≥++， 当且仅当()4211y y =++，即21y =时等号成立，D 正确， 故选：BD（4）换元求最值例33．（2022·全国·高三专题练习）求下列函数的最小值（1）21(0)x x y x x++=>； （2）226(1)1x x y x x ++=>-. 【解析】（1）2111x x y x x x++==++ ∵110,22x x x x x>∴+≥⋅（当且仅当1x x =，即x =1时取等号）∴21(0)x x y x x++=>的最小值为3；（2）令1(0)t x t =->，则1x t =+，22226(1)2(1)64999=424101x x t t t t y t t x t t t t++++++++∴===++≥⋅=-当且仅当9t t=即t =3时取等号 ∴y 的最小值为10例34．（2020·上海·高一专题练习）求下列函数的最小值 （1）21(0)x x y x x++=>； （2）22)4y x R x =∈+；（3）226(1)1x x y x x ++=>-. 【解析】（1）211=13x x y x x x++=++≥ ∵1102x x x x x>+≥⨯，∴（当且仅当1=x x ，即x =1时取“=”）即21(0)x x y x x++=>的最小值为3； （2）令)242t x t +≥，则()12y t t t=+≥在[)2+∞，是单增， ∴当t =2时，y 取最小值min 15222y =+=； 即y 的最小值为52（3）令()10t x t =->，则226(1)1x x y x x ++=>-可化为：9942410y t t t t=++≥⨯=当且仅当t =3时取“=” 即y 的最小值为10例35．（2022·全国·高一单元测试）若正数a ，b 满足21a b +=，则222a ba b+--的最小值是__． 2212【解析】设22,2u a v b =-=-，则2,22ua b v -==-，可得3(,0)u v u v +=>， 所以11212311232()()222232u a b v u v a b u v u v u v --+=+=+-=++--- 123123223221(3)(32)1323222v u v u u v u v =++-≥+⋅-==， 当且仅当632,323v u =-=时，等号成立，取得最小值． 故答案为：2132-． 例36．（2022·全国·高一课时练习）已知正实数a ，b ，满足6a b +=，则2211a ba b +++的最大值为___． 110+【解析】因为正实数a ，b ，满足6a b +=，则222222222226(1)6(1)6(1)11(1)(1)()1()237(1)36a b ab a b a b ab ab ab a b a b ab a b ab ab ab +++++++====+++++++-+-+， 因为6a b +=，0a >，0b >， 所以20()92a b ab +<=，当且仅当3a b ==时取等号， 令1=-t ab ，18t -<， 则原式26(2)36t t +=+ 26(2)611040(2)4(2)4040242(2)422t t t t t t t ++==+-++++-+⋅-++当且仅当4022t t +=+，即2102t =110+，110+ 例37．（2022·全国·高一专题练习）若*a b R ∈，，1a b +=1122a b ++. 【解析】设1122s a t b =+=+，221122a s b t =-=-，，由1a b += 222s t ∴+=221222s t s t s t ++∴≤⇒+≤11222a b ++.故答案为：2（5）“1”的代换求最值例38．（2022·全国·高一）已知0x >，0y >，1x y +=，则311y x x y++的最小值为__． 【答案】6 【解析】311y x x y++3y x y x y x x y ++=++311y yx x x y =++++ 42y x x y =++422y x x y≥⋅=6，当且仅当析23x =，13y =时，等号成立. 故答案为：6例39．（2022·全国·高一专题练习）若正数,a b 满足a b ab +=，则2+a b 的最小值为（ ） A ．6 B ．42C ．322+D ．222+【答案】C【解析】因为正数,a b 满足a b ab +=， 所以111a b+=，所以112(2)a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭23a b b a=++ 2332a b b a≥+⋅=+ 当且仅当2a b b a =，即2221,a b +== 故选：C例40．（2022·江苏·盐城市田家炳中学高一期中）若正数a ，b ，满足21a b +=． (1)求ab 的最大值；(2)求411a b++的最小值． 【解析】（1）因为222a b ab +≥122ab ≥2a b =时等号成立， 所以当12a =，14b =时，()max 18ab =． （2）41142181(12)632121221b a a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫+=+++=++≥+ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭当且仅当811b a a b+=+时等号成立， ∴当322a =-21b =时，min41321a b ⎛⎫+=+⎪+⎝⎭ 例41．（2022·吉林油田高级中学高一开学考试）已知0x >，0y >，且44x y += ． (1)求xy 的最大值； (2)求12x y+的最小值．【解析】（1）因为0x >，0y >，所以44244x y xy xy =+≥= 当且仅当x =4y 且44x y +=即x =2，12y =时取等号， 解得1xy ≤， 故xy 的最大值为1．（2）因为0x >，0y >．且44x y +=,所以()121121421429424992444y x y x x y x y x y x y x y ⎛⎛⎫⎛⎫++=++=++≥+⋅= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝ 当且仅当2x =且44x y +=, 即()42217x =，(2427y =时取等号．所以12x y +942+例42．（2022·青海青海·高一期末）已知x ，y 都是正数，若2x y +=，则14x y+的最小值为（ ）A ．74B ．92C ．134D ．1【答案】B【解析】因为2x y +=，所以1414141422x y y x x y x y x y ⎛⎫⎛⎫++=+⋅=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．因为x ，y 都是正数，由基本不等式有：4424y x y x x y x y+≥⋅， 所以141491422y x x y x y ⎛⎫+=+++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当2,? 2,y x x y =⎧⎨+=⎩ 即2,343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时取“＝”．故A ，C ，D 错误.故选：B ．例43．（2022·全国·高一课时练习）已知,a b 为正实数且2a b +=，则2b a b +的最小值为（ ）A ．32B 21C ．52D ．3【答案】D【解析】因为,a b 为正实数且2a b +=， 所以2b a =-，所以，2221212211b a b a b a b a a b ⎛⎫+=+=+-=+- ⎪⎭-⎝ 因为()22111122224b a a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当1a b ==时等号成立；所以2222213b a b a b a a b++=+--=≥，当且仅当1a b ==时等号成立； 故选：D（6）∆法例44．（2022·全国·高三专题练习）已知0,0a b >>，满足222232390,a b a b --+=则32b a a b+的最小值是（ ） A ．26B ．43C ．46D ．63【答案】D 【解析】 由题意，设2232(0)23b at t a b tab a b+=>⇒+=，代入方程得：22390a b tab -+=， 所以212903t t ∆=-⨯≥⇒≥32b aa b+的最小值为：63 故选：D .（7）条件等式求最值例45．（2022·山东潍坊·二模）已知正实数a ，b 满足22246a ab b ++=，则2+a b 的最大值为（ ）A ．25B ．22C 5D ．2【答案】B 【解析】因为22222022a b a b ab +-⎛⎫⎛⎫-=≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以 2222a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，当且仅当2a b =时等号成立，因为22246a ab b ++=，所以()2226a b ab +-=，即()2262a b ab +-=，所以()222262a b a b +⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭，即()228a b +≤，因为,a b 为正实数，所以20a b +>，因此0222a b <+≤2+a b 的最大值为2222a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩故选：B .【方法技巧与总结】利用基本不等式求代数式的最值（1）利用基本不等式求代数式的最值，要通过恒等变形以及配凑，使“和”或“积”为定值，从而求得代数式的最大值或最小值．（2）若是求和式的最小值，通常化（或利用）积为定值；若是求积的最大值，通常化（或利用）和为定值，解答技巧都是恰当变形、合理拆分项或配凑因式．例46．（2022·全国·高一课时练习）若正实数a ，b 满足2a b ab ++=，则2a b +-的最小值为______；3711a b +--的最小值是______. 【答案】 23 27【解析】由2a b ab ++=，得201b a b +=>-，所以1b >，同理可得1a >，所以10b ->，10a ->. 因为2a b ab ++=，所以()()113a b --=， 所以()()()()21121123a b a b a b +-=-+-≥--=当且仅当11a b -=-，即13a b ==时取等号. 又311b a -=-，所以()377712171111b b a b b b +=-+≥-⋅=----711b b -=-，即71b =，737a +=.故答案为：2327例47．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））已知00，x y >>，满足2210x xy +-=，则32x y +的最小值是（ ）A 2B 3C ．3D ．2【答案】D 【解析】由2210x xy +-=，得212x y x-=，而0,0x y >>，则有01x <<，因此，21113232222x x y x x x x x x -+=+=+≥⋅12x x =，即2x =“=”，所以32x y +的最小值为2. 故选：D例48．（2022·山东泰安·模拟预测）已知42244921x x y y ++=，则2253x y +的最小值是（ ）A ．2B ．127 C ．52D ．3【答案】A 【解析】由42244921x x y y ++=，得()()222222222222425342122x y x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫++++++=≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()222453x y ≤+，所以22532x y +≥，当且仅当222242x y x y +=+，即22337y x ==时，等号成立，所以2253x y +的最小值是2.故选：A .题型五：利用基本不等式求解恒成立问题例49．（2022·全国·高一课时练习）已知正数x 、y 满足()()212x y --=，若不等式2x y m +>恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()8,+∞ B ．()4,+∞ C ．(),8∞- D ．(),4-∞【答案】C【解析】因为0x >，0y >，则()()()21222x y xy x y --=-++=，2x y xy ∴+=， 所以，211x y+=，所以()2144224428y x y xx y x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭， 当且仅当4y xx y=时，即4x =，2y =时等号成立． 又2x y m +>恒成立，所以8m <． 故选：C.【方法技巧与总结】利用基本不等式求解恒成立问题，通常通过分离参数转化为利用基本不等式求最值 例50．（2022·全国·高一单元测试）已知 0,0x y >>且141x y+=，若28x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ． 1|2x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭B ．{}|3x x ≤-}C ．{}|1x x ≥D ．{}|91x x -<<【答案】D【解析】∵0,0x y >>，且141x y+=，∴1444()()5259y x y xx y x y x y x y x y+=++=++≥⋅=， 当且仅当3,6x y ==时取等号，∴min ()9x y +=，由28x y m m +>+恒成立可得2min 8()9m m x y +<+=，解得：91m -<<， 故选：D.例51．（2022·全国·高一课时练习）已知(),0,x y ∈+∞，且1x y +=，若不等式2221124x y xy m m ++>+恒成立，则实数m 的取值范围______． 【答案】3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】因为(),0,x y ∈+∞，且1x y +=，所以()222231124x y x y xy x y xy xy +⎛⎫++=+-=-≥-= ⎪⎝⎭，当且仅当12x y ==时等号成立， 又不等式2221124x y xy m m ++>+恒成立，所以2311424m m >+，即2230m m +-<，解得312m -<<． 故答案为：3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭.例52．（2022·全国·高一课时练习）已知不等式()116a x y x y⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥对任意正实数 x ，y 恒成立，则正实数 a 的最小值为______． 【答案】9【解析】因为()111212a y ax y axx y a a a a x y x y x y ⎛⎫++=+++≥++⋅++ ⎪⎝⎭ 当且仅当y axx y=，0x >，0y >时取等号， 所以1216a a ++≥，整理得)530a a ≥，解得9a ≥，故正实数 a 的最小值为9． 故答案为：9.例53．（2022·吉林油田高级中学高一开学考试）若“()0,x ∀∈+∞，不等式1a x x<+恒成立”为真命题，则实数a 的取值范围是______． 【答案】(),2∞-【解析】由基本不等式可知()0,x ∀∈+∞，1122x x x x+≥⋅=（当且仅当x ＝1时取“＝”）， 因为“()0,x ∀∈+∞，不等式1a x x<+恒成立”，故2a <, 故答案为：(),2∞-题型六：基本不等式在实际问题中的应用例54．（2022·贵州·遵义航天高级中学高一阶段练习）某厂家拟在2021年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量（即该产品的年产量）x （单位：万件）与年促销费用()0m m ≥（单位：万元）满足31x km =-+（ k 为常数），如果不举行促销活动，该产品的年销售量是1万件．已知2021年生产该产品的固定投入为8万，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）.(1)将2021年该产品的利润y （单位：万元）表示为年促销费用m 的函数； (2)该厂家2021年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？(3)若该厂家2021年的促销费用不高于2万元，则当促销费用为多少万元时，该厂家的利润最大？【解析】(1)由题意可知：当0m =时，1x =（万件），13k ∴=-，解得：2k =，231x m ∴=-+，又每件产品的销售价格为8161.5x x+⨯， 2021∴年利润()81621.5816484831x y x x m x m m x m +⎛⎫⎛⎫=⨯-++=+-=+-- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭ ()281016m m m =--+≥； (2)因为()()161628129011y m m m m m ⎡⎤=--=-+++≥⎢⎥++⎣⎦， 当0m ≥时，()16181m m ++≥+（当且仅当1611m m =++，即3m =时取等号）， 此时年利润max 21y =（万元）；∴该厂家2021年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元.(3)因为()()161628129011y m m m m m ⎡⎤=--=-+++≥⎢⎥++⎣⎦， 当02m ≤≤时函数为增函数，故当2m =时，max 623y =（万元）， 故当促销费用为2万元时，该厂家的利润最大.【方法技巧与总结】利用基本不等式解决实际问题的步骤解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识（函数及不等式性质等）解决问题．用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：（1）先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数． （2）建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题． （3）在定义域内，求出函数的最大值或最小值． （4）正确写出答案．例55．（2022·上海市杨浦高级中学高一期中）如图，某学校准备利用一面长度20米的旧墙建造一间体育活动室，活动室为占地224平方米的矩形.工程费用情况如下:①翻修1米旧墙的费用为25元; ②建造1米新墙的费用为100元;③拆去1米旧墙，然后用所得的材料修建1米新墙的费用为50元.记利用旧墙的一条矩形边长为x 米((0,20])x ∈，建造活动室围墙的总费用为y 元.请问如何利用旧墙，能使得建造活动室围墙的总费用最低并求出最低费用.【解析】由题设，一边为x 米，矩形另一边长为224x米， 则要建新墙为448x x+米，要翻修旧墙为x 米，要拆旧墙为20x -米，且(0,20]x ∈， 所以()44844800448002510050201751000217510004600y x x x x x x x x ⎛⎫=++--=+-≥⋅= ⎪⎝⎭， 当且仅当16(0,20]x =∈时等号成立；综上，保留16米旧墙翻新，拆除4米旧墙修新墙能使建造活动室围墙的总费用最低，为4600元.例56．（2022·全国·高一专题练习）首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，采取了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似的表示为21200800002y x x =-+ ，且处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元. (1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？【解析】（1）由题意知，平均每吨二氧化碳的处理成本为180000180000200220020022y x x x x x =+-≥⋅=； 当且仅当1800002x x=，即400x = 时等号成立， 故该当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低为200元. （2）不获利，设该单位每个月获利为S 元，则2211100100200800003008000022S x y x x x x x ⎛⎫=-=--+=-+- ⎪⎝⎭()21300350002x =---，因为[]400,600x ∈，则[]80000,40000S ∈--，故该当单位每月不获利，需要国家每个月至少补贴40000元才能不亏损.【同步练习】一、单选题1．（2022·湖南·株洲二中高一开学考试）某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买10g 黄金，售货员先将5g 的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将5g 的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（ ） A ．大于10gB ．小于10gC ．等于10gD ．以上都有可能【解析】由于天平两边臂不相等，故可设天平左臂长为a ，右臂长为b （不妨设a b >），第一次称出的黄金重为g x ，第二次称出的黄金重为g y 由杠杠平衡原理可得，5,5a xb ya b ==，所以5555,,1010a b a b a bx y x y b a b a b a==+=+>⨯，这样可知称出的黄金大于10g . 故选:A2．（2022·全国·高一课时练习）某大型广场计划进行升级改造．改造的重点工程之一是新建一个矩形音乐喷泉综合体1111D C B A ，该项目由矩形核心喷泉区ABCD （阴影部分）和四周的绿化带组成．规划核心喷泉区ABCD 的面积为10002m ，绿化带的宽分别为2m 和5m （如图所示）．当整个项目1111D C B A 占地面积最小时，核心喷泉区的边BC 的长度为（ ）A ．20mB ．50mC ．1010D ．100m【答案】B【解析】设m BC x =，则1000m CD x=， 所以()111110001000010000104104041040241440A B C D S x x x x x x ⎛⎫=++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭矩形， 当且仅当100004x x=，即50x =时，等号成立， 所以当BC 的长度为50m 时，整个项目1111D C B A 占地面积最小． 故选：B ．3．（2022·全国·高一课时练习）若0x >，则241xx +的最大值为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】A【解析】当0x >时，24421112x x x x x x =≤=++⋅， 当且仅当1x x=，即1x =时等号成立.。

基本不等式常见题型(解析版)

基本不等式常见题型(解析版)

基本不等式常见题型（解析版）题型一：由基本不等式比较大小1．（多选）若10a b -<<<，则（ ） A ．222a b ab +> B ．11a b< C．a b +>D ．11a b a b+>+2．（多选）设0a >，0b >，则下列不等式中成立．．的是（ ） A ．()114a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭B ．3322a b ab +≥C ．22222a b a b ++≥+ D3．（多选）已知实数0a >，0b >，1a b +=．则下列不等式正确的是（ ）A ．22a b +≥ BC ．112216a b ⎛⎫⎛⎫++≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭D ．222a b a b b a +≤++题型二：有基本不等式证明不等式1．（多选）以下结论正确的是（ ）A ．函数1y x x =+的最小值是2； B ．若,R a b ∈且0ab >，则2b a a b+≥； C ．y =2； D ．函数12(0)y x x x =++<的最大值为0．2．已知a ，b ，c 均为正实数.(1)求证：a b c ++≥若1a b +=，求证：11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.1．当0x >时，234xx +的最大值为 __．2．实数,a b 满足2221a b +=，则ab 的最大值为___________.3．（1）已知1x >，求1411x x ++-的最小值；（2）已知01x <<，求()43x x -的最大值．1．已知,a b 为正实数且2a b +=，则2b a b +的最小值为（ ）A ．32B 1C ．52D ．32．已知m ，R n ∈，且12nm +=，则93m n +的最小值为（ ） A ．4 B ．6C ．8D ．93．已知42244924x x y y ++=，则2253x y +的最小值是（ ）A ．2B ．127 C ．52D ．41．当0x >时，函数231x x y x++=+的最小值为（ ）A ．B ．1C ．1D ．42．已知a b >，且8ab =，则222a b a b+--的最小值是（ ）A ．6B ．8C ．14D ．163．函数25(2)x x y x +-=> 的最小值为______．1．若实数,x y 满足：,0,310x y xy x y >---=，则xy 的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4故xy 的最小值为1，故选：A.2．已知0x >，0y >，且44x y += ． (1)求xy 的最大值；(2)求12x y+的最小值．1．已知0,0a b >>，若不等式313m a b a b +≥+恒成立，则m 的最大值为________．2．若“()0,x ∀∈+∞，不等式1a x <+恒成立”为真命题，则实数a 的取值范围是______．1．某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买10g 黄金，售货员先将5g 的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将5g 的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（ ） A ．大于10gB ．小于10gC ．等于10gD ．以上都有可能【详解】由于天平两边臂不相等，故可设天平左臂长为a ，右臂长为b （不妨设a b >），第一次称出的黄金2．某大型广场计划进行升级改造．改造的重点工程之一是新建一个矩形音乐喷泉综合体1111D C B A ，该项目由矩形核心喷泉区ABCD （阴影部分）和四周的绿化带组成．规划核心喷泉区ABCD 的面积为10002m ，绿化带的宽分别为2m 和5m （如图所示）．当整个项目1111D C B A 占地面积最小时，核心喷泉区的边BC 的长度为（ ）A ．20mB ．50mC ．1010D ．100m【详解】设m BC x =，则1000m CD x=， 所以()111110001000010000104104041040241440A B C D S x x x x x x ⎛⎫=++=++≥+⋅=⎪⎝⎭矩形， 当且仅当100004x x=，即50x =时，等号成立， 所以当BC 的长度为50m 时，整个项目1111D C B A 占地面积最小．故选：B ．。

2.2 基本不等式(精练)(解析版)-人教版高中数学精讲精练(必修一)

2.2 基本不等式(精练)(解析版)-人教版高中数学精讲精练(必修一)

3．（2022·广东·深圳市高级中学高一期末）设正实数 x, y 满足 2x y 1，则 xy 的最大值为（
）
A．
1 2
【答案】C
B． 1 4
C． 1 8
D． 1 16
【解析】由基本不等式可得 2x y 2 2xy ，即 2 2xy 1，解得 xy 1 ， 8
当且仅当 2x y ，即 x 1 ， y 1 时，取等号，故选：C.
4
2
4．（2022·浙江杭州·高一期末）若 a,b 为正实数，且 ab 1 ，则 a 2b 的最小值为（
）
A． 2 【答案】D
B． 3 2
C．3
D． 2 2
【解析】因为 a,b 为正实数， ab 1，所以 a 2b 2 2ab 2 2 ， 当且仅当 a 2b ，即 a 2 ， b 2 时取等号.所以 a 2b 的最小值为 2 2 .故选：D
）
A．2 【答案】A
B． 12 7
C． 5 2
D．3
【解析】由 4x4 9x2 y2 2y4 1，得 4x2 y2
x2 2y2
1
4x2
y2
2
x2
2y2
2
5x2
2
3y2
2 ，
即 4 5x2 3y2 2 ，所以 5x2 3y2 2 ，当且仅当 4x2 y2 x2 2y2 ，即 y2 3x2 3 时，等号成立，所以 7
5x2 3y2 的最小值是 2.故选：A.
6．（2022·甘肃·永昌县）（多选）已知 a＞0，b＞0，a＋b＝2，则对于 1 4 ，下列说法准确的是（
）
ab
A．取得最小值时
a＝
2 3
B．最小值是 5
C．取得最小值时

基本不等式知识点汇总与例题讲解(题型超全)

基本不等式知识点汇总与例题讲解(题型超全)

基本不等式知识点总结与例题讲解一、本节知识点 （1）基本不等式.（2）利用基本不等式求最值.（3）基本不等式的拓展——三个正数的基本不等式. 二、本节题型（1）利用基本不等式求最值. （2）利用基本不等式证明不等式. （3）基本不等式的实际应用. （4）与基本不等式有关的恒成立问题. 三、知识点讲解知识点 基本不等式（均值不等式） 一般地,∈∀b a ,R ,有22b a +≥ab 2.当且仅当b a =时,等号成立.特别地,当0,0>>b a 时,分别用b a ,代替上式中的b a ,,可得2ba +≥ab . 当且仅当b a =时,等号成立. 通常称不等式2b a +≥ab 为基本不等式（也叫均值不等式）,其中2ba +叫做正数b a ,的算术平均数,ab 叫做正数b a ,的几何平均数.基本不等式表明: 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.注意 重要不等式22b a +≥ab 2与基本不等式2ba +≥ab 成立的条件是不一样的.前者b a ,为任意实数,后者b a ,只能是正数.但两个不等式中等号成立的条件都是b a =.基本不等式的变形（1）b a +≥ab 2,ab ≤22⎪⎭⎫⎝⎛+b a .其中∈b a ,R +,当且仅当b a =时,等号成立.（2）当0>a 时,a a 1+≥2,当且仅当a a 1=,即1=a 时,等号成立; 当0<a 时,aa 1+≤2-,当且仅当1-=a 时,等号成立.实际上,当0<a 时,()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--=+a a a a 11. ∵()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-a a 1≥2,∴()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--a a 1≤2-,即a a 1+≤2-.当且仅当a a 1-=-,即1-=a （0<a ）时,等号成立. （3）当b a ,同号时,b a a b +≥2,当且仅当b a =时,等号成立;当b a ,异号时,baa b +≤2-,当且仅当b a -=时,等号成立.（4）不等式链: ba 112+≤ab ≤2ba +≤222b a +（0,0>>b a ,当且仅当b a =时,等号成立.）其中,ba 112+,ab ,2b a +,222b a +分别叫做正数b a ,的调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数. 知识点 利用基本不等式求最值设0,0>>y x ,则有（1）若S y x =+（和为定值）,则当y x =时,积xy 取得最大值42S ;（∵∈∀y x , R +,有xy ≤22Sy x =+,∴xy ≤42S .） 和定积最大.（2）若P xy =（积为定值）,则当y x =时,和y x +取得最小值P 2. （∵∈∀y x , R +,有y x +≥xy 2,∴y x +≥P 2.）积定和最小.说明 上述结论可简记为: 和定积最大,积定和最小.即两个正数的和为定值时,可求出其积的最大值;两个正数的积为定值时,可求出其和的最小值.利用基本不等式求最值时,必须满足三个条件,即:一正、二定、三相等. 一正: 各项都必须为正数;二定: 和或积为定值.当和为定值时,积有最大值,当积为定值时,和有最小值; 三相等: 等号能取到,即取得最值的条件能满足.（1）对于函数()x x x f 4+=,当0>x 时,xx 4+≥44242==⋅x x ,即()x f ≥4,当x x 4=,即2=x 时,等号成立;当0<x 时,()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--=+x x x x 44≤4-,()x f ≤4-,当2-=x 时,等号成立.由此可见,对于函数()xx x f 4+=,0>x 和0<x 的最值情况是不一样的. （2）当230<<x 时,求()x x 23-的最大值时,x 23-与x 的和不是定值,无法利用基本不等式求最值,此时可对原式进行等价变形,变形为()()x x x x 2232123⋅-=-,即可求出其最大值.∵()()x x x x 2232123⋅-=-≤89232122232122=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⨯x x∴()x x 23-的最大值为89,当且仅当x x 223=-,即43=x 时,取得最大值.（3）求21222+++x x 的最小值时,虽然22+x 与212+x 都是正数,且乘积为定值1,但是当=+22x 212+x 时,有122=+x ,显然是不成立的,所以此时不能用基本不等式求其最小值.知识点 基本不等式的拓展——三个正数的基本不等式一般地,∈∀c b a ,,R +,有3cb a ++≥3abc . 当且仅当c b a ==时,等号成立.上面的不等式表明:三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.设0,0,0>>>z y x ,则有（1）若M xyz =,则当z y x ==时,和z y x ++取得最小值为33M ;（2）若N z y x =++,则当z y x ==时,积xyz 取得最大值273N .关于三个正数的不等式链若c b a ,,均为正数,则有cb a 1113++≤3abc ≤3c b a ++≤3222c b a ++.当且仅当c b a ==时,等号成立.n 个正数的基本不等式对于n 个正数n a a a a ,,,,321 ,则有na a a a n++++ 321≥n n a a a a 321.当且仅当n a a a a ==== 321时,等号成立.上面的不等式表明: 对于n 个正数（n ≥2）的算术平均数不小于它们的几何平均数.四、例题讲解例1. 若0,0>>b a ,证明: ba 112+≤ab ≤2b a +≤222b a +.分析: 本题即要求证明两个正数的不等式链. 证明: ∵0,0>>b a∴()ab b a b a 22-+=-≥0∴b a +≥ab 2 ∴ab ≤2ba +（当且仅当b a =时,等号成立） ∴211b a +≥abab b a 1111==⋅∴ba 112+≤ab （当且仅当b a =时,等号成立）.∵22b a +≥ab 2∴2222b a b a +++≥ab 222b a ++ ∴()222b a +≥()2b a +∴()2224⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+b a b a ≤()2422222b a b a +=+,即22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a ≤222b a +. ∴根据正数可开方性得:22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a ≤222b a +. ∴2ba +≤222b a +（当且仅当b a =时,等号成立）.综上所述,ba 112+≤ab ≤2ba +≤222b a +.例2. 函数xx y 41+-=（0>x ）的最小值为_________,此时=x _________. 解: ∵0>x∴1441-+=+-=xx x x y ≥3142142=-=-⋅x x ,即y ≥3.当且仅当xx 4=,即2=x 时,取等号. ∴当2=x 时,函数x x y 41+-=（0>x ）取得最小值3.例3. 已知3>a ,求34-+a a 的最小值.分析: 当利用基本不等式求最值时,若两项的乘积为定值（常数）,可求出两项和的最小值.当然,某些式子需要进行适当的变形,但要注意三个必须满足的条件:一正、二定、三相等.解: ∵3>a ,∴03>-a .∴334334+-+-=-+a a a a ≥()733432=+-⋅-a a ,当且仅当343-=-a a ,即5=a 时,等号成立. ∴34-+a a 的最小值为7. 例4. 已知1>x ,且1=-y x ,则yx 1+的最小值是_________. 解: ∵1=-y x ,∴1+=y x .∵1>x ,∴01>+y ,∴0>y . ∴11111++=++=+y y y y y x ≥3112=+⋅yy . 当且仅当yy 1=,即1=y 时,等号成立. ∴yx 1+的最小值是3. 另解: ∵1=-y x ,∴1-=x y .∵1>x ,∴01>-=x y ∴1111111+-+-=-+=+x x x x y x ≥()311112=+-⋅-x x . 当且仅当111-=-x x ,即2=x 时,等号成立. ∴yx 1+的最小值是3. 例5. 已知0,0>>y x ,且12=+y x ,求yx 11+的最小值. 解: ∵12=+y x ,0,0>>y x∴y x x y y y x x y x y x ++=+++=+232211≥223223+=⋅+yx x y . 当且仅当yxx y =2,且12=+y x ,即221,12-=-=y x 时,等号成立.∴yx11+的最小值为223+.点评 本题若由()y x y x y x 21111+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+≥2422112=⋅⋅xy yx ,得y x 11+的最小值为24,则结论是错误的,错因是连续使用基本不等式时,忽视了等号成立的条件一致性.所以有下面的警示.易错警示 连续两次（多次）使用基本不等式时,应注意保证等号成立的条件是否相同. 例6. 已知0,0>>y x ,且191=+yx ,求y x +的最小值. 解: ∵0,0>>y x ,191=+yx ∴()x y y x x y y x y x y x y x ++=+++=⎪⎭⎫⎝⎛++=+91099191≥169210=⋅+x y y x . 当且仅当x y y x =9,且191=+yx ,即12,4==y x 时,等号成立. ∴y x +的最小值为16.另解（消元法）: ∵191=+yx ,∴9-=y yx∵0,0>>y x ,∴09>-y y,∴9>y . ∴999919999+-+-+=+-+-=+-=+y y y y y y y y y x 99910-+-+=y y ≥()16999210=-⋅-+y y . 当且仅当999-=-y y ,且9-=y y x ,即12,4==y x 时,等号成立. ∴y x +的最小值为16.例7. 若正数y x ,满足xy y x 53=+,则y x 43+的最小值是 【 】（A ）524 （B ）528 （C ）5 （D ）6解: ∵xy y x 53=+,∴15351=+xy . ∵y x ,均为正数∴()x y y x x y y x x y y x y x 5125351351254595353514343++=+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+ ≥5562513512532513=⨯+=⋅+x y y x . 当且仅当x y y x 51253=,且xy y x 53=+,即21,1==y x 时,等号成立. ∴y x 43+的最小值是5. ∴选择答案【 C 】.例8.（1）已知45>x ,求代数式54124-+-x x 的最小值; （2）已知45<x ,求代数式54124-+-x x 的最大值.分析: 本题考查利用基本不等式求代数式的最值.注意三个必须满足的条件:一正、二定、三相等.解:（1）∵45>x ,∴054>-x . ∴35415454124+-+-=-+-x x x x ≥()53541542=+-⋅-x x . 当且仅当54154-=-x x ,即23=x 时,等号成立. ∴代数式54124-+-x x 的最小值为5;（2）∵45<x ,∴054<-x .∴34514535415454124+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--=+-+-=-+-x x x x x x ≤()1323451452=+-=+-⋅--xx 当且仅当x x 45145-=-,即1=x 时,等号成立,54124-+-x x 取得最大值1.例9. 已知实数0,0>>b a ,且11111=+++b a ,则b a 2+的最小值是【 】 （A ）23 （B ）22 （C ）3 （D ）2解: ∵11111=+++b a ∴()()11111=+++++b a a b ,整理得:1=ab .∵0,0>>b a∴b a 2+≥221222222=⨯==⋅ab b a . 当且仅当b a 2=,即22,2==b a 时,等号成立. ∴b a 2+的最小值是22. ∴选择答案【 B 】.另解: ()()31212-+++=+b a b a .∵0,0>>b a ,11111=+++b a ∴()()[]()132112111111131212⨯-+++++++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-+++=+a b b a b a b a b a ()11211+++++=a b b a ≥()22112112=++⋅++a b b a . 当且仅当()11211++=++a b b a ,且11111=+++b a ,即22,2==b a 时,等号成立. ∴b a 2+的最小值是22.例10. 设0,0>>y x ,且53=+y x ,则yx 311++的最小值为 【 】 （A ）23（B ）2 （C ）32 （D ）3 解: ∵53=+y x∴()813=++y x ,∴()18813=++yx .∵0,0>>y x ∴()()()8318819833118813311+++++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=++x y y x y x y x y x ()()4318819++++=x y y x ≥()()234383243188192=+⨯=++⋅+x y y x . 当且仅当()()18819+=+x y y x ,且53=+y x ,即4,31==y x 时,等号成立. ∴y x 311++的最小值为23. ∴选择答案【 A 】.另解: ∵53=+y x ,∴x y 35-=.∵0,0>>y x ,∴⎩⎨⎧>->0350x x ,解之得:350<<x .∴x 的取值范围为⎪⎭⎫⎝⎛35,0.()()52383518353113112++-=-+=-++=++x x x x x x y x . 设()31631352322+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=++-=x x x x f ∵⎪⎭⎫ ⎝⎛∈35,0x ,∴()⎥⎦⎤⎝⎛∈316,0x f . ∴当31=x 时,233168311min ==⎪⎭⎫⎝⎛++y x . ∴选择答案【 A 】.例11. 代数式11072+++x x x （1->x ）的最小值为 【 】（A ）2 （B ）7 （C ）9 （D ）10分析: 形如edx c bx ax +++2的式子可化为()()t x f n x mf ++的形式. 解: 可设()()n x m x x x ++++=++1110722. ∴()1071222++=+++++x x n m x m x∴⎩⎨⎧=++=+10172n m m ,解之得:⎩⎨⎧==45n m . ∴()()415110722++++=++x x x x . ∴()()514114151110722++++=+++++=+++x x x x x x x x ∵1->x ,∴01>+x ∴5141++++x x ≥()951412=++⋅+x x . 当且仅当141+=+x x ,即1=x 时,等号成立. ∴代数式11072+++x x x （1->x ）的最小值为9. ∴选择答案【 C 】.另解: ()()()[]()[]1411115211072+++++=+++=+++x x x x x x x x x ()()5141141512++++=+++++=x x x x x . ∵1->x ,∴01>+x∴5141++++x x ≥()951412=++⋅+x x . 当且仅当141+=+x x ,即1=x 时,等号成立,91107min2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++x x x . ∴选择答案【 C 】.例12. 求函数222163x x y ++=的最小值. 解: ∵022>+x∴()62162321632222-+++=++=xx x x y ≥()638621623222-=-+⋅+x x . 当且仅当()2221623x x +=+,即2334-±=x 时,等号成立.638min -=y . 例13. 已知函数()xa x x f +=4（0,0>>a x ）在3=x 时取得最小值,则=a ______. 解: ∵0,0>>a x ∴()xa x x f +=4≥a x a x 442=⋅. 当且仅当x a x =4,即2a x =时,等号成立,函数()x f 取得最小值a 4. ∴32=a ,解之得:36=a . 实际上,函数()⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=x a x x a x x f 444（0,0>>a x ）,当24a a x ==时,函数()x f 取得最小值.所以32=a ,从而求得36=a . 例14. 设正实数y x ,满足xy y x =+2,若y x m m 222+<+恒成立,则实数m 的取值范围是_____________.分析: 利用基本不等式可求出y x 2+的最小值.要使y x m m 222+<+恒成立,只需()min 222y x m m +<+即可.解: ∵y x ,为正实数,xy y x =+2∴1212=+=+x y xy y x ∴()y x x y y x x y y x y x y x ++=+++=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+442422122≥8424=⋅+y x x y 当且仅当yx x y =4,即2,4==y x 时,等号成立.∴()82min =+y x .∵y x m m 222+<+恒成立∴只需()min 222y x m m +<+即可∴822<+m m ,解之得:24<<-m .∴实数m 的取值范围是()2,4-.例15. 已知()()x x x f 22-=（10<<x ）,求()x f 的最大值.分析: 当两个正数的和为定值S 时,这两个正数的乘积在两个正数相等时取得最大值,简称为：和定积最大.本题中,观察到()2222=-+x x 为定值,故考虑用基本不等式求函数()x f 的最大值,但要对原解析式解析等价变形.解: ∵10<<x ,∴022>-x∴()()()x x x x x f 2222122-⋅=-=≤211212222212=⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯x x . 当且仅当x x 222-=,即21=x 时,等号成立. ∴()x f 的最大值为21. 另解: ∵10<<x ,∴022>-x∴()()()x x x x x f -⋅=-=1222≤2121221222=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯x x . 当且仅当x x -=1,即21=x 时,等号成立. ∴()x f 的最大值为21. 例16. 求代数式12-x x （1<x ）的最大值. 分析: 形如edx c bx ax +++2的式子可化为()()t x f n x mf ++的形式. 解: ∵1<x ,∴01>-x .∴()()21111111*********+-+-=-++=-+-+=-+-=-x x x x x x x x x x x ()2111+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--=x x ≤()02221112=+-=+-⋅--x x 当且仅当xx -=-111,即0=x 时,等号成立. ∴代数式12-x x （1<x ）的最大值为0. 注意 使用基本不等式法求最值时,一定要满足三个条件:一定、二正、三相等. 例17. 已知210<<x ,求()x x y 2121-=的最大值. 解: ∵210<<x ,∴021>-x . ∴()()x x x x y 212412121-⋅=-=≤161214122124122=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯x x . 当且仅当x x 212-=,即41=x 时,等号成立. ∴161max =y . 例18. 设210<<m ,若m m 2121-+≥k 恒成立,则k 的最大值为_________. 分析: 只需min2121⎪⎭⎫ ⎝⎛-+m m ≥k 即可,这样问题就转化为求m m 2121-+的最小值的问题.解: ()()m m m m m m m m 211212212121-=-+-=-+. ∵210<<m ,∴021>-m ∴()()m m m m 212211211-⋅=-≥84121122122112=⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯m m . 当且仅当m m 212-=,即41=m 时,等号成立.（注意,当210<<m 时,()0212>-m m ） ∴mm 2121-+的最小值为8.∵mm 2121-+≥k 恒成立 ∴k ≤8,k 的最大值为8. 另解: ∵210<<m ,∴021>-m ∴()[]221214221212122121+-+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+=-+m m m m m m m m m m m m m m 212144-+-+=≥82121424=-⋅-+m m m m . 当且仅当m m m m 21214-=-,即41=m 时,等号成立. ∴mm 2121-+的最小值为8. ∵mm 2121-+≥k 恒成立 ∴k ≤8,k 的最大值为8.例19. 若对任意0>x ,132++x x x ≤a 恒成立,则实数a 的取值范围是_________. 解: ∵0>x ∴311132++=++x x x x x ≤513213121=+=+⋅xx 当且仅当xx 1=,即1=x 时,等号成立. ∴5113max 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x . ∵对任意0>x ,132++x x x ≤a 恒成立 ∴a ≥max213⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x . ∴a ≥51,即实数a 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,51. 例20. 已知0,0>>y x ,y x xy 2+=,若xy ≥2-m 恒成立,则实数m 的最大值是__________.分析: 可求出m 的取值范围,根据范围确定其最大值.这种方法叫做不等分析法.解: ∵y x xy 2+= ∴1122=+=+yx xy y x . ∵0,0>>y x ∴xyy x 22122=⋅≤112=+y x ∴xy8≤1,∴xy ≥8. 当且仅当y x 12=,即2,4==y x 时,等号成立.()8min =xy . ∵xy ≥2-m 恒成立∴2-m ≤()min xy ,即2-m ≤8,解之得:m ≤10.∴实数m 的最大值是10.例21. 若不等式xa x 29+≥1+a （常数0>a ）对一切正实数x 恒成立,求实数a 的取值范围.解: ∵0>x ,0>a ∴xa x 29+≥a x a x 6922=⋅. 当且仅当x a x 29=,即3a x =时,等号成立. ∴a x a x 69min 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+. ∵xa x 29+≥1+a 对一切正实数x 恒成立 ∴只需min 29⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a x ≥1+a 即可 ∴a 6≥1+a ,解之得:a ≥51.∴实数a 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,51. 方法总结 解决与不等式恒成立有关的问题,把参数从不等式中分离出来,使不等式的一端是含有参数的代数式,另一端是一个具体的函数,这样就把问题转化为只有一端是参数的不等式的形式,便于问题的解决.例22. 已知b a ,是正实数,且032=-+ab b a ,则ab 的最小值是_________,b a +的最小值是_________.解: ∵032=-+ab b a∴ab b a 32=+,∴13132=+ba . ∵b a ,是正实数 ∴()b a a b b a a b b a b a b a 332131332323132++=+++=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+ ≥322133221+=⋅+b a a b . 当且仅当ba ab 332=,即312,322+=+=b a 时,等号成立. ∴b a +的最小值为3221+. ∵b a ,是正实数,13132=+b a ∴ab b a 92231322=⋅≤13132=+ba ∴ab ≥98. 当且仅当b a 3132=,即32,34==b a 时,等号成立. ∴ab 的最小值是98. 例23. 已知0,0>>y x ,且32=+y x ,则xy 的最大值是_________,xy y x +3的最小值是_________.解: ∵0,0>>y x ,32=+y x ∴xy y x 2222=⋅≤32=+y x∴xy ≤89,当且仅当y x 2=,即43,23==y x 时,等号成立. ∴xy 的最大值是89. ∵32=+y x ,∴1323=+y x . ∴37322323131323313++=+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+x y y x x y y x y x y x y x xy y x ≥37623732237322+=+=+⋅x y y x . 当且仅当xy y x 32=,即106318,5363-=-=y x 时取等号. ∴xyy x +3的最小值是3762+. 例24. 要制作一个容积为4 m 3,高为1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是，平方米10元,则该容器的最低总造价是 【 】（A ）80元 （B ）120元 （C ）160元 （D ）240元 解: 由题意可知:该容器的底面积为4 m 2,设底面长为x m,则底面宽为x 4m,容器的总造价为y 元.则有804204102420+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⨯+⨯=x x x x y ≥160804220=+⋅⨯x x （元） 当且仅当xx 4=,即2=x 时,等号成立. ∴该容器的最低总造价是160元.∴选择答案【 C 】.例25. 设0,0>>y x ,52=+y x ,则()()xy y x 121++的最小值为_________.解: ∵52=+y x∴()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+=+++=++xy xy xy xy xy xy xyy x xy xy y x 326262122121. ≥34322=⋅⨯xy xy . 当且仅当xy xy 3=,且52=+y x ,即1,3==y x 或23,2==y x 时,等号成立. ∴()()xy y x 121++的最小值为34.注意 注意与下面的例25做比较.例26. 设0,>b a ,且1=+b a ,则abab 1+的最小值为_________. 分析: 利用基本不等式求最值时,一定要满足三个条件:一定、二正、三相等. ∵0,>b a ,∴ab ab 1+≥212=⋅ab ab . 当且仅当ab ab 1=时,等号成立,此时⎪⎩⎪⎨⎧=+=11b a ab ab 无实数解. ∴上面的等号是取不到的,即abab 1+的最小值不是2. 解: ∵0,>b a ,且1=+b a ∴ab ≤212=+b a ,∴ab <0≤41. 设t ab =,则⎥⎦⎤ ⎝⎛∈41,0t . ∵t t y 1+=在⎥⎦⎤ ⎝⎛∈41,0t 上单调递减 ∴4174414114141min =+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛=f y . ∴ab ab 1+的最小值为417. 例27. 设20<<x ,求代数式224x x -的最大值.解: ∵20<<x∴02>-x ∴()()x x x x x x -⋅=-=-2222242≤2222=-+⨯x x 当且仅当x x -=2,即1=x 时,等号成立.∴代数式224x x -的最大值2.例28. 已知0,0,0>>>z y x ,求证:⎪⎭⎫⎝⎛+x z x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛+y z y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+z y z x ≥8. 证明: ∵0,0,0>>>z y x ∴x z x y +≥02>x yz ,y z y x +≥02>yxz ,z y z x +≥02>z xy . 当且仅当z y x ==时,上面三个等号同时成立.∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+x z x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛+y z y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+z y z x ≥888==⋅⋅xyzxyz xyz xy xz yz . 当且仅当z y x ==时,等号成立.例29. 已知0,0,0>>>c b a ,且1=++c b a .求证:cb a 111++≥9. 证明: ∵0,0,0>>>c b a ,1=++c b a ∴cc b a b c b a a c b a c b a ++++++++=++111 ⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++=c b b c c a a c b a a b 3 ≥922232223=+++=⋅+⋅+⋅+cb bc c a a c b a a b 当且仅当c b a ==时,等号成立.例30. 已知正数b a ,满足4=+b a ,求3111+++b a 的最小值. 解: ∵4=+b a ∴()()831=+++b a .∵b a ,均为正数∴()()[]31813111+++=+++b a b a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++113311813111a b b a b a ⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++=13318141a b b a ≥21133128141=++⋅++⨯+a b b a . 当且仅当1331++=++a b b a ,即1,3==b a 时,等号成立. ∴3111+++b a 的最小值为21. 例31. 若实数2,1>>b a ,且满足062=-+b a ,则2211-+-b a 的最小值为______. 解: ∵062=-+b a∴()()2212=-+-b a .∵2,1>>b a ,∴02,01>->-b a . ∴()()[]212212211-+-=-+-b a b a ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-2211b a()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+--+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+--+=12214212212214221a b b a a b b a≥()4122142212=--⋅--⨯+a b b a . 当且仅当()12214--=--a b b a ,即3,23==b a 时,等号成立. ∴2211-+-b a 的最小值为4. 例32. 已知0,0>>y x ,且21131=++y x ,则y x +的最小值为 【 】 （A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8 （参见例9）解: ()33-++=+y x y x .∵0,0>>y x ,且21131=++y x∴()⎪⎭⎫⎝⎛++=-++=+y x y x y x 131233()[]33-++y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++=y x x yy x x y 3321313312≥533221=+⋅+⨯+yx x y . 当且仅当yx x y 33+=+,即4,1==y x 时,等号成立. ∴y x +的最小值为5. ∴选择答案【 A 】.另解: ∵21131=++y x ,∴31211+-=x y . 整理得:()()2141412132++=+++=++=x x x x x y . ∵0,0>>y x ∴1141214++++=+++=+x x x x y x ≥()511412=++⋅+x x . 当且仅当141+=+x x ,即1=x （此时4=y ）时,等号成立. ∴y x +的最小值为5. ∴选择答案【 A 】.点评 在利用基本不等式求最值时,根据需要有时要对关键条件进行变形,或对要求最值的代数式进行变形,以使和为定值或积为定值. 例33. 已知0>>y x ,求()y x y x -+42的最小值.分析: 注意到()x y x y =-+,所以()y x y -<0≤()4222x y x y =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+,这样就消去了字母y ,因此()y x y x -+42≥2216x x +≥4.当且仅当2216,xx y x y =-=时,等号成立.解: ∵0>>y x∴()y x y -<0≤()4222x y x y =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+（当且仅当y x y -=时,等号成立） ∴()[]42maxx y x y =-,()22min16444x x y x y ==⎥⎦⎤⎢⎣⎡-. ∴()y x y x -+42≥2216xx +≥816222=⋅x x .当且仅当2216x x =,y x y -=,即1,2==y x 时,等号成立. ∴()y x y x -+42的最小值是8.另解: ∵0>>y x ,∴()0>-y x y .∵()[]22y x y x -+=≥()y x y -4（这里,ab ≤22⎪⎭⎫⎝⎛+b a ）（当且仅当y x y -=时,等号成立） ∴()y x y x -+42≥()()y x y y x y -+-44≥()()8442=-⋅-y x y y x y .（当且仅当()()y x y y x y -=-44,即()1=-y x y 时,等号成立）当且仅当()1,=--=y x y y x y ,即1,2==y x 时,等号成立. ∴()y x y x -+42的最小值是8.例34. 若b a >,且2=ab ,求证:ba b a -+22≥4.证明: ∵b a >,∴0>-b a .∵2=ab∴()ba b a b a ab b a b a b a -+-=-+-=-+42222≥()442=-⋅-b a b a .当且仅当ba b a -=-4,即13,13-=+=b a 或13,13--=+-=b a 时,等号成立.∴ba b a -+22≥4.例35. 已知b a ,为正数,求证:b a 41+≥()ba ++21222. 证明: ∵b a ,为正数,∴02>+b a .∴()b a a b b a a b b a b a 86482241++=+++=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+ ≥()()21222232246826+=+=+=⋅+baa b . 当且仅当baa b 8=,即a b 22=时,等号成立. ∴b a 41+≥()ba ++21222.（这里,02>+b a ） ★例36. 若10<<x ,0,0>>b a .求证:xb x a -+122≥()2b a +. 分析: 注意到()11=-+x x 这一隐含条件. 证明: ∵10<<x ,∴01>-x .∴()[]()2222222211111b x x a x x b a x b x a x x x b x a +-+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+=-+ ≥()()22222222112b a ab b a xx a x x b b a +=++=-⋅-++. 当且仅当()x x a x x b -=-1122,即b a ax +=时,等号成立. ∴xb x a -+122≥()2b a +. 例37. 已知c b a ,,均为正数.求证:ccb a b bc a a a c b 33222332-++-++-+≥3. 证明: ∵c b a ,,均为正数∴ccb a b bc a a a c b 33222332-++-++-+ 33223332213231232132-⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-++-++-+=c b b c c a a c b a a b cb c a b c b a a c a b≥336332232332222=-=-⋅+⋅+⋅cb bc c a a c b a a b . 当且仅当cbb c c a a c b a a b 3223,33,22===,即c b a 32==时,等号成立. ∴c c b a b b c a a a c b 33222332-++-++-+≥3. 例38. 已知0,0>>y x ,y yx x -=-812,则y x +2的最小值为 【 】 （A ）2 （B ）22 （C ）23 （D ）4分析: 注意到02>+y x ,根据题目所给条件的特点可先求出()[]min22y x +,然后开方即可得到()min 2y x +,而()()⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+y x y x y x 81222.解: ∵y yx x -=-812,∴y x y x 812+=+.∵0,0>>y x ,∴02>+y x .∴()()y x y x +=+222⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x 81x y y x x y y x ++=+++=16108162 ≥1816210=⋅+xyy x . 当且仅当xyy x =16,即22,22==y x （x y 4=）时,等号成立. ∴()22y x +的最小值为18. ∴y x +2的最小值为2318=. ∴选择答案【 C 】.例39. 已知0,0>>b a ,且8=+b a ,则ba ab43+的最大值是_________. 解: ∵0,0>>b a ,8=+b a∴()a b b a a b b a b a b a b a ab b a b a ab 452414424148131434343++=+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+=+=+ ≤38924452442524==+=⋅+abb a . 当且仅当a b b a 4=,即38,316==b a 时,等号成立. ∴b a ab 43+的最大值是38. 例40. 已知93,0,0=++>>xy y x y x ,则y x 3+的最小值为_________. 解: ∵93=++xy y x ,∴39+-=x xy . ∵0,0>>y x ∴()()633633336336333933-+++=-++=+++-+=+-+=+x x x x x x x x x x y x ≥()6612633632=-=-+⋅+x x . 当且仅当3363+=+x x ,即1,3==y x 时,等号成立. ∴y x 3+的最小值为 6. 点评: 上面的方法为消去元y 后,利用基本不等式求得最值.例41. 已知x 为正实数,且1222=+y x ,求21y x +的最大值. 解: ∵x 为正实数∴()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+22122212112222222y x y x y x y x≤423221122221222=+⨯=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯y x .当且仅当22122y x +=,即22,23±==y x 时,等号成立. ∴21y x +的最大值为423. 另解: ∵1222=+y x ,∴2222=+y x .∵x 为正实数∴()()()22222221222122111y x y x y x y x +=+⋅=+=+ ≤()4232122221222212222222=+⨯=++⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⨯y x y x . 当且仅当2212y x +=,即22,23±==y x 时,等号成立. ∴21y x +的最大值为423. 例42. 求函数131-++-=x x x y 的最大值.解: 设1-=x t ,则t ≥0,∴12+=t x . ∴41312++=-++-=t t tx x x y .当0=t ,即1=x 时,0=y ; 当0>t ,即1>x 时,141++=t t y ≤511421=+⋅tt . 当且仅当tt 4=,即5,2==x t 时,取等号. ∴当1>x 时,函数131-++-=x x x y 的最大值为51.综上所述,函数131-++-=x x x y 的最大值为51.例43. 设正实数z y x ,,满足04322=-+-z y xy x ,则当zxy取得最大值时,代数式zy x 212-+的最大值为 【 】 （A ）0 （B ）1 （C ）49（D ）3 解: ∵04322=-+-z y xy x ,∴2243y xy x z +-=.∵z y x ,,为正实数 ∴341431432222-+=+-=+-=x y y x xy y xy x y xy x xy z xy ≤13421=-⋅xy y x .当且仅当xyy x 4=,即y x 2=时,等号成立,此时22y z =. ∴1112122122212222+⎪⎭⎫⎝⎛--=+-=-+=-+y y y y y y z y x ≤1 ∴当1=y 时,zy x 212-+的最大值为1. ∴选择答案【 B 】.例44. 若正数y x ,满足3039422=++xy y x ,则xy 的最大值是 【 】（A ）34 （B ）35 （C ）2 （D ）45解: ∵xy y x 39422++≥xy xy xy xy y x 153123322=+=+⋅⋅∴xy 15≤30,∴xy ≤2. ∴xy 的最大值是2. ∴选择答案【 C 】.例45. 设0,0>>b a ,且ba kb a +++11≥0恒成立,则实数k 的最小值等于 【 】 （A ）0 （B ）4 （C ）4- （D ）2-解: ∵ba kb a +++11≥0恒成立∴k ≥()abb a 2+-恒成立.（这里,注意0>+b a ）只需k ≥()max2⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ab b a 即可,此时()ab b a 2+取得最小值. ∵0,0>>b a ∴()abb a 2+≥()4422==ababab ab ,当且仅当b a =时,等号成立. ∴()abb a 2+-≤4-,∴()4max2-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ab b a ∴k ≥4-,即k 的最小值为4-. ∴选择答案【 C 】.例46. 设c b a >>,且c b b a -+-11≥ca m-恒成立,求m 的取值范围; 解: ∵c b a >>,∴0,0,0>->->-c a c b b a .∵c b b a -+-11≥ca m-恒成立 ∴c b ca b a c a --+--≥m 恒成立,只需m ≤min⎪⎭⎫ ⎝⎛--+--c b c a b a c a 即可.∵cb ba b a c b c b c b b a b a c b b a c b c a b a c a --+--+=--+-+--+-=--+--2 ≥422=--⋅--+cb ba b a c b ∴当且仅当b c a 2=+时,等号成立,4min=⎪⎭⎫⎝⎛--+--c b c a b a c a . ∴m ≤4.∴m 的取值范围是(]4,∞-.例47. 对于任意∈x R ,不等式031222>++-x a x 恒成立,求实数a 的取值范围. 解: ∵031222>++-x a x 恒成立∴13222++<x x a 恒成立,只需<a min 22132⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x 即可.()⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=+++=+++=++12112111*********2222222x x x x x x x x . 设t x =+12,则[)+∞∈,1t ,⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++t t x x 21213222. ∵[)+∞∈,1t ,且()⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t t t f 212在⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,22上单调递增 ∴()()321121min=⎪⎭⎫ ⎝⎛+==f t f ,即3132min22=⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x . ∴3<a ,即实数a 的取值范围是()3,∞-.注意 本题不能用基本不等式求最值.当111222+=+x x 时,方程无解.例48. 设0,0>>b a ,5=+b a ,则31+++b a 的最大值为_________. 解: ∵()()()()()31293124312+++=+++++=+++b a b a b a b a≤()()18319=++++a a . 当且仅当31+=+b a ,即23,27==b a 时,取等号. ∴()231+++b a 的最大值为18.∵031>+++b a∴31+++b a 的最大值为2318=.例49. 已知3,2>>y x ,()()432=--y x ,则y x +的最小值是 【 】（A ）7 （B ）9 （C ）5 （D ）11解: ∵3,2>>y x ,∴03,02>->-y x .∵()()432=--y x ∴()()232-+-y x ≥()()2432==--y x∴25-+y x ≥2,∴y x +≥9. ∴y x +的最小值是9.∴选择答案【 B 】.另解: ∵3,2>>y x ,∴03,02>->-y x .∵()()432=--y x∴()()532+-+-=+y x y x ≥()()95425322=+⨯=+--y x .∴y x +的最小值是9.∴选择答案【 B 】. 例50. 若关于x 的不等式ax x -+4≥5在()+∞∈,a x 上恒成立,则实数a 的最小值为_________.解: ∵()+∞∈,a x ,∴0>-a x .∵ax x -+4≥5恒成立 ∴只需min 4⎪⎭⎫ ⎝⎛-+a x x ≥5即可. ∵a ax a x a x x +-+-=-+44≥()a a a x a x +=+-⋅-442 当且仅当ax a x -=-4,即2+=a x 时,等号成立. ∴a a x x +=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+44min ∴a +4≥5,解之得:a ≥1.∴实数a 的最小值为1.例51. 已知0,0>>y x ,且121=+yx ,则y x xy ++的最小值为_________. 解: ∵121=+yx ∴xy y x =+2∴y x y x y x y x xy 232+=+++=++.∵0,0>>y x ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+y x y x 2123()y xx y y x x yy x 627462323++=+++=+≥3476227+=⋅+y xx y. 当且仅当y x x y 62=,即23,3323+=+=y x 时,等号成立.∴y x 23+,即y x xy ++的最小值为347+.例52. 已知0,0>>y x ,且053=+-+xy y x ,求xy 的最小值.解: ∵053=+-+xy y x∴xy y x 35=++.∵0,0>>y x∴5++y x ≥52+xy ,即xy 3≥52+xy ∴523--xy xy ≥0 ∴()()531-+xy xy ≥0解之得:xy ≥35.∴xy ≥925,当且仅当35==y x 时,等号成立.∴xy 的最小值为925.例53. 已知z y x ,,为正数,则222z y x yzxy +++的最大值为【 】 （A ）1 （B ）2 （C ）22（D ）2解: ∵z y x ,,为正数 ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+++222222222z y y x yz xy z y x yz xy ≤yz xy yz xy 222222⨯+⨯+ ()22212==++=yz xy yzxy . 当且仅当y z x 22==时,等号成立. ∴222z y x yz xy +++的最大值为22. ∴选择答案【 C 】.例54. 设0>>b a ,则()b a a ab a -++112的最小值是 【 】 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4解: ∵0>>b a ,∴0>-b a .∴()()()()ab ab b a a b a a b a a ab ab ab a b a a ab a 11111122++-+-=-+++-=-++ ≥()()41212=⋅+-⋅-abab b a a b a a . 当且仅当()()abab b a a b a a 1,1=-=-,即22,2==b a 时,等号成立. ∴()b a a ab a -++112的最小值是4. ∴选择答案【 D 】.例55. 设y x ,都是正数,且()1=+-y x xy .（1）求xy 的最小值;（2）求y x +的最小值.分析: 关于（1）的解决,参见例52.解:（1）∵()1=+-y x xy ∴xy y x =++1. ∵y x ,都是正数 ∴y x ++1≥xy 21+,即xy ≥xy 21+. ∴12--xy xy ≥0. 解之得:xy ≥21+. ∴xy ≥()223212+=+. 当且仅当21+==y x 时,等号成立. ∴xy 的最小值为223+;（2）由（1）知:xy y x =++1. ∵y x ,都是正数∴xy ≤()4222y x y x +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+. （当且仅当21+==y x 时取等号） ∴()42y x +≥y x ++1,()()142-+-+y x y x ≥0. ∴()()442-+-+y x y x ≥0. 解之得:y x +≥222+. 当且仅当21+==y x 时,等号成立. ∴y x +的最小值为222+.。

2024年新高一数学初升高衔接《基本不等式》含答案解析

2024年新高一数学初升高衔接《基本不等式》含答案解析

第07讲 基本不等式模块一 思维导图串知识模块二 基础知识全梳理（吃透教材）模块三 核心考点举一反三模块四 小试牛刀过关测1．了解基本不等式的证明过程；2．能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小；3．熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题；4．会用基本不等式求解实际应用题.知识点 1 基本不等式1、重要不等式（1）公式：对于任意的实数,a b ，有222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立．【说明】22222()0202a b a b ab a b ab -≥⇔+-≥⇔+≥，当且仅当a b =时，等号成立．（2）常见变形：2222()()a b a b +≥+、222a b ab +≤、2242ab a b ab ≤++．2、基本不等式（1）公式：如果0a >，0b >2a b+≤，当且仅当a b =时，等号成立．【说明】2ba +叫做正数,ab 的算术平均数，ab 叫做正数,a b 的几何平均数．因此基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．（2）常见变形：a b +≥；2.2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭（3）常用结论：①2b aa b+≥（,a b 同号），当且仅当a b =时取等号；2b aa b+≤-（,a b 异号），当且仅当a b =-时取等号．②12a a+≥（0a >），当且仅当1a =时取等号；12a a+≤-（0a <），当且仅当1a =-时取等号；知识点 2 最值定理1、最值定理：已知,x y 都是正数，（1）若x ＋y ＝s (和s 为定值)，则当x=y 时，积xy 有最大值，且这个值为s 24．（2）若xy ＝p (积p 为定值)，则当x=y 时，和x ＋y 有最小值，且这个值为2p ．最值定理简记为：积定和最小，和定积最大．2、在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等．①一正：各项均为正数；②二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变数的各项均相等，取得最值．知识点 3 基本不等式的变式与拓展1、基本不等式链20,0)112a b a b a b +≤≤≤>>+或222()(0,0)22a b a b ab a b ++≤≤>>．当且仅当a b =时等号成立．其中，2211aba b a b=++为,a b 的调和平均值，222a b +为,a b 的平方平均值2、基本不等式的拓展（1）三元基本不等式：3a b c ++≥,,a b c 均为正实数），当且仅当a b c ==时等号成立．（2）n元基本不等式：12n a a a n+++ 12,,n a a a 均为正实数），当且仅当12n a a a === 时等号成立．考点一：对基本不等式的理解例1．（22-23高一上·河北邯郸·月考）不等式（x -2y ）+12x y-≥2成立的前提条件为（ ）A ．x ≥2yB ．x >2yC ．x ≤2yD ．x <2y【变式1-1】（23-24高一上·西藏林芝·期中）下列命题中正确的是（ ）A ．若0,0a b >>，且16a b +=，则64ab ≤B ．若0a ≠，则44a a +≥=C ．若,R a b ∈，则2()2a b ab +≥D ．对任意,R a b ∈，222,a b ab a b +≥+≥.【变式1-2】（23-24高一上·山西运城·月考）（多选）已知,a b ∈R ，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是（ ）A．2a b+≥B ．()()2222a b a b +≥+C ．2b a a b +≥D ．114a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【变式1-3】（23-24高一上·新疆巴音郭楞·期末）（多选）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，C 为线段AB 上的点，且AC a =，BC b =，O 为AB 的中点，以AB 为直径作半圆，过点C 作AB 的垂线交半圆于D ，连接OD 、AD 、BD ，过点C 作OD 的垂线，垂足为E .则该图形可以完成的所有的无字证明为（ ）A．)0,02a ba b +≥>>B ．()2230,0a b ab a b +>>>C()20,011a b a b≥>>+D ．()220,022a b a ba b ++≥>>考点二：利用基本不等式比较大小例2. （23-24高一上·甘肃会宁·期中）设n mA m n=+（m 、n 为互不相等的正实数），242B x x =-+-，则A 与B 的大小关系是（ ）A ．A B>B ．A B≥C ．A B<D ．A B≤【变式2-1】（23-24高一上·江苏淮安·期中）已知实数a ，b ，c 满足22c b a a-=+-，2222c b a a a+=++，且0a >，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．b c a>>B ．c b a>>C ．a c b>>D ．c a b>>【变式2-2】（23-24高一上·福建莆田·期末）（多选）若170,139a b <<<<，则,a b +22,2a b +中不可能是最大值的是（ ）A ．222a b +B．C．D ．a b+【变式2-3】（23-24高一上·全国·专题练习）（多选）若0a b >>，则下列不等式成立的是（ ）A．2a b+>B ．22ab a ba b +<+C ．22ab a ba b +>+D 2aba b>+考点三：利用基本不等式求最值例3. （23-24高一下·贵州贵阳·月考）已知02x <<，则()32x x -的最大值是（ ）A ．3-B ．3C ．1D ．6【变式3-1】（23-24高一上·广东韶关·月考）已知100x >>，则2的最小值为（ ）A ．3-B ．2-C ．1-D ．0【变式3-2】（23-24高一下·河南周口·月考）已知正数,a b 满足1ab =，则22(1)(1)T a b =+++的最小值为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．16【变式3-3】（23-24高一下·陕西榆林·月考）若正数x ，y 满足44x y +=，则11x y+的最小值为（ ）A ．2B ．94C ．3D ．83【变式3-4】（23-24高一下·广西·开学考试）已知0a >，0b >，且a b ab +=，则27ab a b -+的最小值是（ ）A ．6B ．9C ．16D ．19考点四：利用基本不等式证明不等式例4. （23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知0,0,1a b a b >>+=，求证:(1)114a b+≥;(2)12118a b ⎛⎫⎛⎫++≥+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.【变式4-1】（23-24高一上·四川雅安·期中）已知0a >，0b >，且1a b +=，证明：(1)22221a b +≥；(2)1916a b+≥．【变式4-2】（23-24高一上·全国·专题练习）设a ，b ，c 均为正数，求证：()11192a b c a b b c a c ⎛⎫++++≥⎪+++⎝⎭．【变式4-3】（23-24高一上·安徽淮南·期中）已知,,a b c 是正实数.(1)证明：a b c ++≥(2)若2a b c ++=，证明：11192a b c ++≥.(3)已知,a b 是正数，且1a b +=，求证：()()ax by bx ay xy ++≥．考点五：基本不等式恒成立问题例5. （23-24高一上·贵州安顺·≥数m 的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．9【变式5-1】（23-24高一上·吉林延边·月考）已知0x >，0y >，且2x y +=．若410x mxy +-≥恒成立，则实数m 的最大值是（）A ．4B ．8C ．3D ．6【变式5-2】（23-24高一上·广东揭阳·期中）已知0x >，0y >，且9x y xy +=，若不等式a x y ≤+恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．(],6-∞B ．(],16-∞C ．(],8∞-D ．(],9-∞【变式5-3】（23-24高一下·湖南株洲·开学考试）（多选）若对于任意0x >，231xax x ≤++恒成立，则实数a 的取值可以是（ ）A ．15B ．110C ．12D ．13考点六：基本不等式在实际中的应用例6. （23-24高一下·浙江·月考）如图，某灯光设计公司生产一种长方形线路板，长方形()ABCD AB AD >的周长为4，沿AC 折叠使点B 到点B '位置，AB '交DC 于点P ．研究发现当ADP △的面积最大时用电最少，则用电最少时，AB 的长度为（ ）A ．54B C ．32D 【变式6-1】（23-24高一上·江苏连云港·月考）某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为48003m ，深度为3m ．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价为多少元？【变式6-2】（23-24高一上·广东佛山·月考）某工厂拟造一座平面图（如图）为长方形且面积为2150m 的三级污水处理池．由于地形限制，该处理池的长、宽都不能超过16 m ，且高度一定．如果四周池壁的造价为400元/2m ，中间两道隔墙的造价为248元/2m ，池底造价为80元/2m ，那么如何设计该处理池的长和宽，才能使总造价最低？（池壁的厚度忽略不计）【变式6-3】（23-24高一上·四川乐山·期中）用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为2的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底AD ，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成60︒，当等腰梯形的腰长为多少时，所用篱笆的长度最小？并求出所用篱笆长度的最小值．一、单选题1．（23-24高一上·陕西宝鸡·期中）221x x +取最小值时x 的取值为（ ）A ．1B ．1±C ．2D ．2±2．（23-24高一上·湖南娄底·期末）若0x >，0y >，且1x y +=，则xy 的最大值是（ ）A ．116B ．14C ．12D ．13．（22-23高一上·江苏宿迁·月考）若0x >，则22y x x=+的最小值是（ ）A ．B ．C ．4D ．24．（23-24高一下·云南丽江·开学考试）已知a ，b 为正数，41a b +=，则114a b+的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．85．（23-24高一上·湖南娄底·期末）已知0x >，则24-+x x x 的最小值为（ ）A ．5B ．3C ．5-D ．5-或36．（23-24高一上·山东济南·期末）如图所示，线段AB 为半圆的直径，O 为圆心，,C F 为半圆弧上不与,A B 重合的点，OF AB ⊥.作CD AB ⊥于,D DE OC ⊥于E ，设,AD a BD b ==，则下列不等式中可以直接表示CE DF ≤的是（ ）A ．2aba b≤+B 2a b +≤C ．2a b +≤D ．2ab a b ≤+二、多选题7．（23-24高一下·云南昆明·期中）下列说法正确的是（ ）A ．1x x+的最小值为2B ．(2)x x -的最大值为2C ．22x x -+的最小值为2D ．2272x x ++最小值为28．（23-24高一上·全国·单元测试）已知,R a b ∈，且0ab ≠，则下列四个不等式中，恒成立的为（ ）A ．222a b ab +≥B ．2b a a b+≥C ．2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭2D ．22222a b a b ++⎛⎫≤⎪⎝⎭三、填空题9．（23-24高一上·广西百色·期末）若1x >，则2161x x x -+-的最小值为.10．（23-24高一上·北京·期中）某快递公司为提高效率，引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本．已知购买x 台机器人的总成本为21()150600P x x x =++（单位：万元）．若要使每台机器人的平均成本最低，则应买机器人 台.11．（23-24高一上·吉林延边·月考）若x a ∀>，关于x 的不等式225x x a+≥-恒成立，则实数a 的取值范围是.四、解答题12．（23-24高一上·山东菏泽·月考）（1）已知01x <<，则(43)x x -取得最大值时x 的值为？（2）函数22(1)1x y x x +=>- 的最小值为？（3）已知x ，y 是正实数，且4x y +=，求13x y+的最小值．13．（23-24高一上·安徽马鞍山·月考）如图，我国古代的“弦图”是由四个全等的直角三角形围成的.设直角三角形ABC 的直角边长为,a b ，且直角三角形ABC 的周长为2.（已知正实数,x y2x y +≤x y =时等号成立）(1)求直角三角形ABC 面积的最大值；(2)求正方形ABDE 面积的最小值.第07讲 基本不等式模块一 思维导图串知识模块二 基础知识全梳理（吃透教材）模块三 核心考点举一反三模块四 小试牛刀过关测1．了解基本不等式的证明过程；2．能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小；3．熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题；4．会用基本不等式求解实际应用题.知识点 1 基本不等式1、重要不等式（1）公式：对于任意的实数,a b ，有222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立．【说明】22222()0202a b a b ab a b ab -≥⇔+-≥⇔+≥，当且仅当a b =时，等号成立．（2）常见变形：2222()()a b a b +≥+、222a b ab +≤、2242ab a b ab ≤++．2、基本不等式（1）公式：如果0a >，0b >2a b+≤，当且仅当a b =时，等号成立．【说明】2ba +叫做正数,ab 的算术平均数，ab 叫做正数,a b 的几何平均数．因此基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．（2）常见变形：a b +≥；2.2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭（3）常用结论：①2b aa b+≥（,a b 同号），当且仅当a b =时取等号；2b aa b+≤-（,a b 异号），当且仅当a b =-时取等号．②12a a+≥（0a >），当且仅当1a =时取等号；12a a+≤-（0a <），当且仅当1a =-时取等号；知识点 2 最值定理1、最值定理：已知,x y 都是正数，（1）若x ＋y ＝s (和s 为定值)，则当x=y 时，积xy 有最大值，且这个值为s 24．（2）若xy ＝p (积p 为定值)，则当x=y 时，和x ＋y 有最小值，且这个值为2p ．最值定理简记为：积定和最小，和定积最大．2、在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等．①一正：各项均为正数；②二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变数的各项均相等，取得最值．知识点 3 基本不等式的变式与拓展1、基本不等式链20,0)112a b a b a b +≤≤≤>>+或222()(0,0)22a b a b ab a b ++≤≤>>．当且仅当a b =时等号成立．其中，2211aba b a b=++为,a b 的调和平均值，222a b +为,a b 的平方平均值2、基本不等式的拓展（1）三元基本不等式：3a b c ++≥,,a b c 均为正实数），当且仅当a b c ==时等号成立．（2）n元基本不等式：12n a a a n+++ 12,,n a a a 均为正实数），当且仅当12n a a a === 时等号成立．考点一：对基本不等式的理解例1．（22-23高一上·河北邯郸·月考）不等式（x -2y ）+12x y-≥2成立的前提条件为（ ）A ．x ≥2yB ．x >2yC ．x ≤2yD ．x <2y【答案】B【解析】由均值不等式的条件“一正、二定，三相等”，即均值不等式成立的前提条件是各项均为正数，所以不等式()1222x y x y-+≥-成立的前提条件为20x y ->，即2x y >.故选：B.【变式1-1】（23-24高一上·西藏林芝·期中）下列命题中正确的是（ ）A ．若0,0a b >>，且16a b +=，则64ab ≤B ．若0a ≠，则44a a +≥=C ．若,R a b ∈，则2()2a b ab +≥D ．对任意,R a b ∈，222,a b ab a b +≥+≥.【答案】A【解析】A 选项，2642a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当8a b ==时等号成立，A 选项正确.B 选项，当a<0时，40a a+<，所以B 选项错误.C 选项，当0,0a b ><时，()20,02a b ab +<≥，所以C 选项错误.D 选项，当0,0a b <<时，0a b +<，a b +≥不成立，所以D 选项错误. 故选：A【变式1-2】（23-24高一上·山西运城·月考）（多选）已知,a b ∈R ，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是（ ）A ．2a b+≥B ．()()2222a b a b +≥+C ．2b a a b +≥D ．114a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【答案】BCD【解析】对于A ，当,a b 为负数时不成立，故A 错误，对于B ，()()22222()0a b a b a b +-+=-≥，则()()2222a b a b +≥+，故B 正确，对于C ，0ab >，则,b aa b 都为正数，2b a a b +≥，当且仅当b a ab=，即a b =时等号成立，故C 正确，对于D ，111224b a a b ab a b ab a b ⎛⎫⎛⎫++=+++≥+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当1ab ab =和b aa b=同时成立，即1a b ==±时等号成立，故D 正确，故选：BCD 【变式1-3】（23-24高一上·新疆巴音郭楞·期末）（多选）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，C 为线段AB 上的点，且AC a =，BC b =，O 为AB 的中点，以AB 为直径作半圆，过点C 作AB 的垂线交半圆于D ，连接OD 、AD 、BD ，过点C 作OD 的垂线，垂足为E .则该图形可以完成的所有的无字证明为（ ）A．)0,02a ba b +≥>>B ．()2230,0a b ab a b +>>>C()20,011a b a b≥>>+D ．()220,022a b a ba b ++≥>>【答案】AC【解析】由题意可知AB AC BC a b =+=+，2a bOA OB OD +===，因为90CBD CAD ADC ∠=-∠=∠ ，90ACD DCB ∠=∠= ，则Rt Rt ACD DCB ∽ ，所以，CD ACBC CD= ，即2CD AC BC ab =⋅=，所以CD =在Rt OCD △中，OD CD >，即)0,02a ba b +>>当OD AB ⊥时，O 、C 点重合，a b =，此时)0,02a ba b +=>>，则)0,02a ba b +≥>>，所以A 正确；对于C 选项，在Rt OCD △中，CE OD ⊥，则90DCE CDE DOC ∠=-∠=∠ ，又因为90DEC DCO ∠=∠= ，所以，Rt Rt DEC DCO ∽ ，可得CD DE DO CD=，即2CD DE OD =⋅，所以222112CD ab ab DE a b OD a b a b====+++，由于CD DE >111a b >+，当a b =时，CD DE =111a b=+，()20,011a ba b>>+，所以C正确；由于22a b+在该图中没有相应的线段与之对应，故BD中的不等式无法通过这种几何方法来证明，故选：AC.考点二：利用基本不等式比较大小例2. （23-24高一上·甘肃会宁·期中）设n mAm n=+（m、n为互不相等的正实数），242B x x=-+-，则A与B的大小关系是（）A．A B>B．A B≥C．A B<D．A B≤【答案】A【解析】m、n为互不相等的正实数，则m nn m≠，所以2n mAm n=+>=，2242(2)22B x x x=-+-=--+≤，=2x时，max2B=，所以A B>．故选：A．【变式2-1】（23-24高一上·江苏淮安·期中）已知实数a，b，c满足22c b aa-=+-，2222c b a aa+=++，且0a>，则a，b，c的大小关系是（）A．b c a>>B．c b a>>C．a c b>>D．c a b>>【答案】B【解析】因为0a>，由基本不等式得22220c b aa-=+-≥=>，故c b>，因为2222c b a aa+=++，22c b aa-=+-，两式相减得，2222222222a a a aabaa++-=-+++=，故2112a ab+=+，所以220141151216ab aa a⎛⎫-⎪-+-+⎝=⎭=>，故b a>，所以c b a>>.故选：B【变式2-2】（23-24高一上·福建莆田·期末）（多选）若170,139a b <<<<，则,a b +22,2a b +中不可能是最大值的是（ ）A ．222a b +B ．C ．D ．a b+【答案】ABC【解析】由于170,139a b <<<<，则a b ¹，故a b +>222a b +>，则不可能是最大值，B ，C 符合题意；由于22221132)2()()428(a b a b a b ++=--+--，当170,139a b <<<<时，221112()2(0448a -<-=，22111()(1224b -<-=，故221131132((0428848a b -+--<+-=，即222a b a b +<+，故222a b +不可能是最大值，A 符合题意，故选：ABC【变式2-3】（23-24高一上·全国·专题练习）（多选）若0a b >>，则下列不等式成立的是（ ）A ．2a b+>B ．22ab a ba b +<+C ．22ab a ba b +>+D 2aba b>+【答案】ABD【解析】对于选项A ，因为0a b >>，则20>，所以2a b+A 正确；因为0a b >>，所以0a b +>，0ab >，又2a b +>，得到01<<故22ab a ba b +<<+，所以选项B 和D 正确，对于选项C ，取2,1a b ==，满足0a b >>，但243322ab a ba b +=<=+，所以C 错误，故选：ABD.考点三：利用基本不等式求最值例3. （23-24高一下·贵州贵阳·月考）已知02x <<，则()32x x -的最大值是（ ）A ．3-B ．3C ．1D ．6【答案】B【解析】()32x x -()213234x x ⎡⎤≤⨯+-=⎣⎦，当且仅当2x x =-，即1x =取得等号，满足题意.故选：B.【变式3-1】（23-24高一上·广东韶关·月考）已知100x >>，则2的最小值为（ ）A ．3-B ．2-C ．1-D ．0【答案】A【解析】因为100x >>，故()10x x +-≥5，当且仅当5x =时，等号成立，所以2253≥-=-.故选：A.【变式3-2】（23-24高一下·河南周口·月考）已知正数,a b 满足1ab =，则22(1)(1)T a b =+++的最小值为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．16【答案】C【解析】因为()2222228T a b a b ab =++++≥++=，当且仅当1a b ==时取等号，所以T 的最小值为8.故选：C.【变式3-3】（23-24高一下·陕西榆林·月考）若正数x ，y 满足44x y +=，则11x y+的最小值为（ ）A ．2B ．94C ．3D ．83【答案】B【解析】由正数x ，y 满足44x y +=，得111111419(4)()(5)5)4444y x x y x y x y x y +=++=++≥=，当且仅当4y x x y =，即23x =，43y =时取等号，所以11x y +的最小值为94．故选：B【变式3-4】（23-24高一下·广西·开学考试）已知0a >，0b >，且a b ab +=，则27ab a b -+的最小值是（ ）A ．6B ．9C ．16D ．19【答案】C【解析】因为a b ab +=且0a >，0b >，所以111a b+=，则()1192722799101016b a ab a b a a b b a b a b a b a b ⎛⎫-+=-++=+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当9111b aa ba b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩时，即当4a =，43b =时，等号成立.因此，27ab a b -+的最小值是16.故选：C.考点四：利用基本不等式证明不等式例4. （23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知0,0,1a b a b >>+=，求证:(1)114a b+≥;(2)12118a b ⎛⎫⎛⎫++≥+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】（1）0,0,1a b a b >>+= ，()1111224b a a b a b a b a b ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当ba a b=，即12a b ==时等号成立.（2）0,0,1a b a b >>+= ，12212212()1111a b a b b a ab b a ab +⎛⎫⎛⎫∴++=+++=+++⎪⎪⎝⎭⎝⎭21223434111()a b b a a b a b a b ⎛⎫=++++=++=+++ ⎪⎝⎭3434134888b a b a a b a b =++++=++≥+=+当且仅当34b a ba =时，即3,4ab ==-时等号成立.【变式4-1】（23-24高一上·四川雅安·期中）已知0a >，0b >，且1a b +=，证明：(1)22221a b +≥；(2)1916a b+≥．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】（1）因为1a b +=，所以()222212a b a b ab ab +=+-=-，因为0a >，0b >，所以2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时，等号成立，所以11121242ab -≥-⨯=，即2212a b +≥，故22221a b +≥；（2）因为1a b +=，所以()1919910b aa b a b a b a b ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，因为0a >，0b >，所以0b a>，90a b >，所以96b a a b +≥，当且仅当9b a a b =，即334b a ==时，等号成立，则91016b aa b ++≥，即1916a b+≥．【变式4-2】（23-24高一上·全国·专题练习）设a ，b ，c 均为正数，求证：()11192a b c a b b c a c ⎛⎫++++≥⎪+++⎝⎭．【答案】证明见解析【解析】∵a ，b ，c 均为正数，∴()()()0a b b c c a +++++≥>，当且仅当a b b c a c +=+=+，即a b c ==时，等号成立．1110a b b c a c ++≥>+++，当且仅当111a b b c a c==+++，即a b c ==时，等号成立．∴()11129a b c a b b c a c ⎛⎫++++≥= ⎪+++⎝⎭，故()11192a b c a b b c a c ⎛⎫++++≥ ⎪+++⎝⎭，当且仅当a b c ==时，等号成立．【变式4-3】（23-24高一上·安徽淮南·期中）已知,,a b c 是正实数.(1)证明：a b c ++≥(2)若2a b c ++=，证明：11192a b c ++≥.(3)已知,a b 是正数，且1a b +=，求证：()()ax by bx ay xy ++≥．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析.【解析】（1）由222()()()a b c a b b c a c ++=+++++≥++，当且仅当a b c ==时等号成立，即a b c ++≥.（2）由11111()(3)22a b c a b c a b c b c a c a ba b c a b c a a b b c c++++++++=⋅++=⋅++++++119(3(3222)222≥++=⋅+++=，当且仅当23a b c ===时等号成立，则11192a b c ++≥，得证.（3）由222222()()()()(2)()ax by bx ay ab x y xy a b ab xy xy a b ++=+++≥++2()xy a b xy =+=，当且仅当x y =时等号成立，不等式得证.考点五：基本不等式恒成立问题例5. （23-24高一上·贵州安顺·≥数m 的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．9【答案】Dm ≥恒成立，即5m +≥恒成立.又559≥+=，当且仅当a b =时取等号.故实数m 的最大值为9.故选：D【变式5-1】（23-24高一上·吉林延边·月考）已知0x >，0y >，且2x y +=．若410x mxy +-≥恒成立，则实数m 的最大值是（）A ．4B ．8C ．3D ．6【答案】A【解析】由410x mxy +-≥，则41828912222x x x x y m xy xy xy y x++++≤===+()9111991542222222221x y x y y x y x ⎛⎛⎫⎛⎫++==+++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当922x y y x =，即12x =，32y =时，等号成立.故选：A.【变式5-2】（23-24高一上·广东揭阳·期中）已知0x >，0y >，且9x y xy +=，若不等式a x y ≤+恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．(],6-∞B ．(],16-∞C ．(],8∞-D ．(],9-∞【答案】B【解析】9x y xy +=，故911x y +=，()91910x yx y x y x y y x ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，0x >，0y >，故96x y y x +≥=，当且仅当9x y y x=，即12,4x y ==时取等号，故10616x y +≥+=，x y +最小值是16，由不等式a x y ≤+恒成立可得16a ≤.a 的取值范围是(],16-∞，故选：B.【变式5-3】（23-24高一下·湖南株洲·开学考试）（多选）若对于任意0x >，231xax x ≤++恒成立，则实数a 的取值可以是（ ）A ．15B ．110C ．12D ．13【答案】ACD【解析】因为0x >，所以21113153x x x x x =≤=++++，当且仅当1x x=，即1x =时等号成立，由任意0x >，231xa x x ≤++恒成立， 所以15a ≥，符合条件有15，12，13，故A 、C 、D 对；11015<，故B 错；故选：ACD考点六：基本不等式在实际中的应用例6. （23-24高一下·浙江·月考）如图，某灯光设计公司生产一种长方形线路板，长方形()ABCD AB AD >的周长为4，沿AC 折叠使点B 到点B '位置，AB '交DC 于点P ．研究发现当ADP △的面积最大时用电最少，则用电最少时，AB 的长度为（ ）A ．54B C ．32D 【答案】B【解析】如图，设AB x =，由矩形()ABCD AB AD >的周长为4，可知(2)AD x =-．设PC a =，则()DP x a =-．,90,APD CPB ADP CB P AD CB '''∠=∠∠=∠=︒= ，,Rt ADP Rt CB P AP PC a '∴∴== ≌．在Rt ADP 中，由勾股定理得222AD DP AP +=，即222(2)()x x a a -+-=，解得222x x a x-+=，所以22x DP x a x-=-=．所以ADP △的面积11222(2)322x S AD DP x x x x -⎛⎫=⋅=-⋅=-+ ⎪⎝⎭．所以33S ≤-=-2x x =时，即当x =时，ADP △的面积最大，面积的最大值为3-B ．【变式6-1】（23-24高一上·江苏连云港·月考）某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为48003m ，深度为3m ．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价为多少元？【答案】当水池设计成底面边长为40m 的正方形时，总造价最低，为198400元．【解析】设池底的一边长为()m 0x x >，则另一边长为48001600m=m 3x x，总造价为y 元，则1600160016001003280160000480y x x x x ⎛⎫⎛⎫=⨯++⨯⨯⨯=+⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭160000480198400≥+⨯=，当且仅当1600x x=，即40x =时，等号成立，所以当水池设计成底面边长为40m 的正方形时，总造价最低，最低为198400元．【变式6-2】（23-24高一上·广东佛山·月考）某工厂拟造一座平面图（如图）为长方形且面积为2150m 的三级污水处理池．由于地形限制，该处理池的长、宽都不能超过16 m ，且高度一定．如果四周池壁的造价为400元/2m ，中间两道隔墙的造价为248元/2m ，池底造价为80元/2m ，那么如何设计该处理池的长和宽，才能使总造价最低？（池壁的厚度忽略不计）【答案】长为时总造价最低．【解析】设处理池的长和宽分别为x ，y ，高为h ，总造价为z ，则150xy =，(016,016)x y <≤<≤，(22)400224815080(8001296)120001200012000z x y h yh x y h =+⨯+⨯+⨯=++≥+=+，当且仅当8001296x y =，又150xy =，即16x =<，16y 时取到等号，故长为时总造价最低．【变式6-3】（23-24高一上·四川乐山·期中）用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为2的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底AD ，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成60︒，当等腰梯形的腰长为多少时，所用篱笆的长度最小？并求出所用篱笆长度的最小值．【答案】当等腰梯形的腰长为10m 时，所用篱笆长度最小，其最小值为30m ．【解析】设()()m 0AB a a =>，上底()()m 0BC b b =>，分别过点,B C 作下底的垂线，垂足分别为,E F ，则BE ，2a AE DF ==，则下底22a aAD b a b =++=+，该等腰梯形的面积())22b a b S a b a ++==+=所以()2300a b a +=，则30022a b a =-，所用篱笆长为2l a b =+300222a a a =+-300322a a =+≥30=，当且仅当300322aa =，即()10m a =，()10mb =时取等号．所以，当等腰梯形的腰长为10m 时，所用篱笆长度最小，其最小值为30m ．一、单选题1．（23-24高一上·陕西宝鸡·期中）221x x+取最小值时x 的取值为（ ）A ．1B ．1±C ．2D ．2±【答案】B【解析】由题意可知，20x >，∴2212x x +≥=，当且仅当221x x =，即1x =±时，等号成立，即221x x+取最小值时x 的取值为1±．故选：B ．2．（23-24高一上·湖南娄底·期末）若0x >，0y >，且1x y +=，则xy 的最大值是（ ）A ．116B ．14C ．12D ．1【答案】B【解析】由题意1x y +=≥，解得14≤xy ，等号成立当且仅当12x y ==.故选：B.3．（22-23高一上·江苏宿迁·月考）若0x >，则22y x x=+的最小值是（ ）A ．B ．C ．4D ．2【答案】C【解析】因为0x >，所以224y x x =+=≥，当且仅当22x x=，即1x =时等号成立，所以22y x x=+的最小值是4.故选：C.4．（23-24高一下·云南丽江·开学考试）已知a ，b 为正数，41a b +=，则114a b+的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】C【解析】正数a ，b 满足41a b +=，则11114()2244444)(b a a b a b a a b b +=+=≥++++，当且仅当44b aa b =，即142a b ==时取等号，所以当11,82a b ==时，114a b +取得最小值4.故选：C5．（23-24高一上·湖南娄底·期末）已知0x >，则24-+x x x 的最小值为（ ）A ．5B ．3C ．5-D ．5-或3【答案】B【解析】由0x >，得244113x x x x x -+=+-≥=，当且仅当4x x =，即2x =时等号成立，所以24-+x x x的最小值为3．故选：B.6．（23-24高一上·山东济南·期末）如图所示，线段AB 为半圆的直径，O 为圆心，,C F 为半圆弧上不与,A B 重合的点，OF AB ⊥.作CD AB ⊥于,D DE OC ⊥于E ，设,AD a BD b ==，则下列不等式中可以直接表示CE DF ≤的是（ ）A ．2aba b≤+B 2a b +≤C ．2a b +≤D ．2ab a b ≤+【答案】D【解析】因为,AD a BD b ==，所以,22a b a b OF OC OD +-===，在Rt DOF △中，DF ==又CD AB ⊥，所以CD ===在Rt CDO △中，DE OC ⊥，故ED OC OD DC ⋅=⋅，得到22a bOD DC ED a b OC -⋅===+所以2abCE a b===+，所以CE DF ≤，即2ab a b +，故选：D.二、多选题7．（23-24高一下·云南昆明·期中）下列说法正确的是（ ）A ．1x x+的最小值为2B ．(2)x x -的最大值为2C ．22x x -+的最小值为2D ．2272x x ++最小值为2【答案】CD【解析】对于选项A ，当=1x -时，12x x+=-，故A 错误；对于选项B ，()()222211x x x x x -=-+=--+，所以()2x x -的最大值为1，故B错误；对于选项C，122222x x x x -+=+≥=，当且仅当122xx=，即0x =时，等号成立，故C 正确.对于选项D ，222277222222x x x x ++=+-≥=-++，当且仅当22722x x+=+，即22x =时，等号成立，故D 正确.故选：CD.8．（23-24高一上·全国·单元测试）已知,R a b ∈，且0ab ≠，则下列四个不等式中，恒成立的为（ ）A ．222a b ab +≥B ．2b a a b+≥C ．2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭2D ．22222a b a b ++⎛⎫≤⎪⎝⎭【答案】ACD【解析】由,R a b ∈，则222a b ab +≥，得222a b ab +≥，A 正确；由,R a b ∈，取1,2a b =-=，则1202b a a b +=--<，故B 错误；由于,R a b ∈，则22()024a b a b ab +-⎛⎫-=-≤ ⎪⎝⎭，则2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，故C 正确；由于2222()0224a b a ba b ++-⎛⎫-=-≤ ⎪⎝⎭，故D 正确，故选：ACD ．三、填空题9．（23-24高一上·广西百色·期末）若1x >，则2161x x x -+-的最小值为.【答案】9【解析】由1x >，得10x ->，于是21616161119111x x x x x x x -+=+=-++≥=---，当且仅当1611x x -=-，即5x =时取等号，所以2161x x x -+-的最小值为9.故答案为：910．（23-24高一上·北京·期中）某快递公司为提高效率，引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本．已知购买x 台机器人的总成本为21()150600P x x x =++（单位：万元）．若要使每台机器人的平均成本最低，则应买机器人 台.【答案】300【解析】购买x 台机器人的总成本为21()150600P x x x =++，则平均成本()150112600P x x x x =++≥+=，当且仅当150600x x=，即300x =时，平均成本最低为2万元.故答案为：300.11．（23-24高一上·吉林延边·月考）若x a ∀>，关于x 的不等式225x x a+≥-恒成立，则实数a 的取值范围是 .【答案】1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】若关于x 的不等式225x x a +≥-恒成立，则min 2(2)5x x a+≥-，因为x a >，故2222()2242x x a a a a x a x a +=-++≥=+--，当且仅当1x a =+时取等，故得425a +≥，解得12a ≥.故答案为：1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭四、解答题12．（23-24高一上·山东菏泽·月考）（1）已知01x <<，则(43)x x -取得最大值时x 的值为？（2）函数22(1)1x y x x +=>- 的最小值为？（3）已知x ，y 是正实数，且4x y +=，求13x y +的最小值．【答案】（1）23；（2）2 ；（3）1+【解析】（1）2113434(43)(3)(43)[3323x x x x x x +--=⨯⨯-≤⨯=，当且仅当343x x =-，即2(0,1)3x =∈时取等号．故(43)x x -取得最大值43时，x 的值为23．（2）2222122311x x x x y x x +-++-+==--2(1)2(1)31x x x -+-+=-3(1)221x x =-++≥+-．（1x >）当且仅当311x x -=-，即1(1,)x =∈+∞时取等号．故函数的最小值为2．（3）x ，R y +∈，()1311313112144y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当y =，即)21x =，(23y =时取等号．∴13x y +的最小值为113．（23-24高一上·安徽马鞍山·月考）如图，我国古代的“弦图”是由四个全等的直角三角形围成的.设直角三角形ABC 的直角边长为,a b ，且直角三角形ABC 的周长为2.（已知正实数数学31,x y2x y +≤x y =时等号成立）(1)求直角三角形ABC 面积的最大值；(2)求正方形ABDE 面积的最小值.【答案】(1)3-；(2)(43-【解析】（1）由题意得：(22a b =+=2≤=6ab ≤-所以132S ab =≤-a b =时，等号成立，所以直角三角形ABC面积的最大值为3-；（2）因为a b +≤所以21a b =+≤)21≥=，所以(2243S a b =+≥-，当且仅当a b =时，等号成立，所以正方形ABDE 面积的最小值为(43-.。

基本不等式方法培优专题(精校版word)

基本不等式方法培优专题(精校版word)

基本不等式培优专题目录：培优点一：常规配凑法 培优点二：常量代换 培优点三：换元法培优点四：和、积、平方和三量减元 培优点五：轮换对称和万能k 法培优点六：消元法（必要构造函数求导） 培优点七：不等式算两次 培优点八：齐次化培优点九：待定与技巧性强的配凑 培优点十：多元变量的不等式最值问题 培优点十一：不等式综合问题一、常规配凑法1.已知242(,)aba b R +=∈，则2a b +的最大值为__________,02.已知实数,x y ,满足22116y x +=，则__________,943.已知不等式11()()9x my x y++≥对任意正实数,x y 恒成立，则正实数m 的最小值______,44.已知实数,x y ,满足1x ≠，则11x y y x ++-+的最小值为__________,15.已知实数0,0x y >>,满足23x y+=xy 的最小值为__________,6.已知实数0x y >>,满足1x y +=，则412x y y+-的最小值为__________,97.已知实数0,0x y >>,满足11111x y +=++，则2x y +的最小值为__________, 二、“1”的代换8.已知实数0,0>>y x ,满足1x y +=，则1y x y+的最小值为__________3,此时_____x =129.已知实数0x y >>,满足121x y +=，则2y x+的最小值为__________，9 10.已知实数0x y >>,满足2x y +=，则413x y x y ++-的最小值为__________,9411.记max{,,}x y z 表示,,x y z 中的最大数，若0,0x y >>，则13max{,,}x y x y+的最小值为______,212.已知实数0x y >>,满足2x y +=，则22221x y x y ++-+的最小值为13.已知正实数,x y ,满足121(2)(2)x y y x y x+=++，则xy 的最大值为__________,2三、换元法14.已知实数0x y >>,满足1x y +=，则11112x y+++的最小值为15.已知22log (2)log (1)1a b -+-≥，则2a b +取到最小值时________ab =916.已知实数20x y >>,满足11122x y x y+=-+，则x y +的最小值为17.已知实数0x y >>,满足1x y +=，则11x y x y +++的最大值为__________,2318.已知实数0,0x y >>,满足22x y +=，则224122x y y x +++的最小值为__________,4519.已知实数0,0x y >>,满足111x y +=，则1911x y +--的最小值为__________,6 20.已知实数,x y ,满足3x y xy +=-，且1x >，则(8)y x +的最小值为__________,2521.已知实数0,0x y >>,满足111x y +=，则4911x y x y +--的最小值为__________,2522.已知实数,x y ，满足491xy+=，则1123x y +++的取值范围为__________,23.已知实数,x y ，满足114422x y x y +++=+，则22xyS =+的取值范围为__________,(2,4] 四、和、积、平方和三量减元24.已知实数,x y ,满足4x y +=，则xy 的最大值为__________4,22(1)(1)x y ++的最小值为__________,1625.已知实数0,0x y >>,满足()4xy x y +=，则xy 的最大值为_,2x y +的最小值为__________,226.已知实数,x y ,满足2x y +=，则221111x y +++的最大值为27.已知正实数,x y ,满足22421x y x y +++=，则xy 的最大值为28.已知实数,x y ,满足412x y y x xy +=-，则221xyx y +-的最大值为__________,13+ 29.已知非负实数,x y ,满足222244432x y xy x y +++=，则2x y +的最小值为2)2x y xy ++的最大值为__________,16 30.已知正实数,x y ,满足42y x xy ++=，则221217xy x y xy +++的取值范围为______,13(,]172531.已知正实数,x y ,满足2342x y xy ++=，则54xy x y ++的最小值为__________,55 32.已知正实数,x y ,满足2(2)16x y xy +=+，则21xy x y ++的最大值为__________,16五、轮换对称与万能k 法33.已知实数,x y ,满足2241x y xy ++=，则2x y +的最大值为__________,534.已知正实数,x y ,满足22x y +=，则x __________,8535.已知正实数,x y ,满足2291x y +=，则3xyx y+的最大值为__________,1236.已知实数,,x y z ,满足0x y z ++=，2221x y z ++=则x 的最大值为__________,337.已知实数,x y ,满足229461x y xy ++=，则96x y +的最大值为__________,六、消元法（必要构造函数求导） 38.若存在正实数y ,使得154xy y x x y =-+，则x 的最大值为__________,1539.已知正实数,x y ,满足23x y +=，则12x y +的最小值为_________3_,2212x y+的最小值为_________3,40. 已知正实数,x y ,满足1x y +=，则222x yx y x y+++的最大值为1+ 41. 已知正实数,x y ,满足240x y -+≤，则23x y u x y +=+有最_小__值为________,14542. 已知正实数,x y ,满足113x y +=，则xy 的最小值为_________49_,1y xy +的最大值为__________,4七、不等式算两次43.已知实数0x y >>，则21()x y x y +-的最小值为__________,444.已知实数20x y >>，则29()(2)x y y x y -+-的最小值为__________,1245.已知实数0x y >>，则4441x y xy++的最小值为__________,446.已知实数0,0x y >>，则2211()()22x y y x+++的最小值为__________,4 47.已知正实数,,x y z ，则2222()52x y z yz xz++++的最小值为__________,448.已知实数0x y >>，则322x x y x y+++-的最小值为__________,49.已知实数2,0,0>>>z y x ，且2x y +=，则2xz z z y xy +-的最小值为_______,+八、齐次化50.若不等式222()x y cx y x -≤-对满足0x y >>的任意实数,x y 恒成立，则实数c 的最大值为____________.451.已知正实数,x y ,满足23x y +=，则23x y xy+的最小值为__________,152.已知正实数,x y ,若23x y +=，则2222629xy xyy x y x+++的最大值为53.已知实数,x y ,满足22222x xy y -+=，则222x y +的最小值为__________,73九、待定和技巧性强的配凑54.已知正实数,,x y z ，满足3456x y z ++=，则1422y z y z x z ++++的最小值为_______,7355.已知正实数,x y ,满足111x y+=，则2210x xy y -+的最小值为__________,-3656.已知正实数,x y ,满足1xy ≤，则11112x y+++的最小值为__________,2 57.已知实数,,x y z ，满足222144x y z ++=，则22xy yz xz ++的取值范围为_____,[2,4]-58.已知正实数,,x y z ，满足2221x y z ++=，则3xy yz +的最大值为__________,259.已知实数,,x y z ，满足2224x y z ++=+的最大值为__________,十、多元变量的不等式最值问题60.已知正实数,,,a b c d ，满足1a b +=，1c d +=则11abc d+的最小值为__________,961.已知实数,,x y z ，满足222215xy z x y z +=⎧⎨++=⎩，则xyz 的最小值为____32______,此时___z =262.已知正实数,,x y z ，满足()x x y z yz ++=，则xy z+的最大值为__________,1263.已知实数,,x y z ，满足0,x y z x y z ++=>>，则的取值范围为______,(55-64.已知实数,,x y z ，满足2221x y z ++=，则xy z +的最小值为__________,-165.已知实数,,x y z ，满足222231x y z ++=，则2x y +的最大值为66.已知正实数,,x y z ，满足2xy x y =+，2xyz x y z =++则z 的最大值为__________,8767.已知正实数,,x y z ，满足x y z +≥，则y x x y z ++的最小值为1268.已知正实数,,x y z ，满足111x y +=，111x y z +=+，则z 的取值范围为__________,4(1,]369.已知正实数,,x y z ，满足2221x y z xy yz ++--=，则z 的最大值为70.已知非负实数,,x y z ，满足1x y z ++=，则()()z x z y --的取值范围为___,1[,1]8- 十一、不等式综合应用71.已知正实数,x y ,满足4146x y x y ++=+，则41x y+的最小值为__________,8 72.已知正实数,x y ,满足148x y x y+=++，则x y +的最小值为__________,9 73.已知正实数,x y ,满足111924x y x y +++=，则3716x y -的最小值为__________,14- 74.已知实数,,(0,1)a b c ∈，设212121,,,111a b b c c a+++---这三个数的最大值为M ，则M 的最小值为_______3+75.已知实数,x y ，满足1,0x y >>，且114111x y x y +++=-则111x y+-的最大值为__,976.已知正实数,x y ，满足2(1)(32)(2)xy y y -=+-，则1x y+的最大值为______,1 77.已知正实数,x y ，满足2811x y+=，则x y +的最小值为__________,6。

基本不等式及其应用（优秀经典专题及答案详解）

基本不等式及其应用（优秀经典专题及答案详解）

(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b .知识点二几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R)；(5)2ab a ＋b ≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)．知识点三算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．知识点四利用基本不等式求最值问题已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)．(2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)．【特别提醒】1.此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立.2.连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立. 考点一利用基本不等式求最值【典例1】（江西临川一中2019届模拟）已知x ＜54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为_______ 【答案】1【解析】因为x ＜54，所以5－4x ＞0， 则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝⎛⎭⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，取等号． 故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1. 【方法技巧】【方法技巧】1.通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键．2.通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；(4)利用基本不等式求解最值．利用基本不等式求解最值．【变式1】（山东潍坊一中2019届模拟）已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．【答案】6【解析】由已知得x ＋3y ＝9－xy ，因为x ＞0，y ＞0，所以x ＋3y ≥23xy ，所以3xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号，即(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0. 令x ＋3y ＝t ，则t ＞0且t 2＋12t －108≥0，得t ≥6，即x ＋3y 的最小值为6.【方法技巧】通过消元法利用基本不等式求最值的策略【方法技巧】通过消元法利用基本不等式求最值的策略当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值．，最后利用基本不等式求最值．考点二 利用基本不等式解决实际问题【典例2】【2019年高考北京卷理数】年高考北京卷理数】李明自主创业，李明自主创业，李明自主创业，在网上经营一家水果店，在网上经营一家水果店，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．【答案】①130 ；②15.【解析】（1）x=10，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付60+80-10=130元.（2）设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元，120y <元时，李明得到的金额为80%y ⨯，符合要求.120y ≥元时，有()80%70%y x y -⨯≥⨯恒成立，即()87,8yy x y x -≥≤，即min 158y x ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭元，所以x 的最大值为15。

基本不等式难题及解析

基本不等式难题及解析

基本不等式难题及解析1. 设实数a，b，c满足a>b>c，证明：(a-b)(a-c)>0，并给出解析。

解析：我们可以将不等式(a-b)(a-c)>0进行展开：a^2 - ab - ac + bc >0由于a>b>c，所以a-b>0，a-c>0，bc>0因此，我们可以得到：a^2 - ab - ac + bc >0再进行因式分解可得：a^2 - ab - ac + bc = (a-c)(a-b) > 0由于a-c>0，a-b>0，所以(a-c)(a-b)>0成立。

因此，原不等式：(a-b)(a-c)>0 成立。

2. 当x为实数时，证明：x^4 + 2x - 1 > 0，并给出解析。

解析：我们可以考虑将左边的不等式进行因式分解：x^4 + 2x - 1 = (x^4 + x^2) + (x^2 + 2x) - 1再进行加减法得：(x^4 + x^2) + (x^2 + 2x) - 1 = x^2(x^2 + 1) +x(x + 2) - 1可以发现，x^2(x^2 + 1) + x(x + 2) - 1 是一个二次函数的形式。

我们考虑二次函数对应的抛物线的开口方向与函数的系数a有关。

其中，a为二次项的系数。

对于二次函数y=ax^2+bx+c，如果a>0，则抛物线开口向上；如果a<0，则抛物线开口向下。

在本例中，我们可以将二次函数进行标准化：y=x^2+2x-1可以发现，二次项的系数a=1>0因此，该二次函数对应的抛物线开口向上。

当抛物线开口向上时，抛物线与x轴交点的纵坐标小于0，所以抛物线图像位于x轴下方。

因此，x^2(x^2 + 1) + x(x + 2) - 1 > 0 对于所有实数x成立。

即，不等式x^4 + 2x - 1 > 0 对于所有实数x成立。

3. 当x为正数时，证明：2x^3 + 3x^2 + x > 6，并给出解析。

(完整)基本不等式经典例题(含知识点和例题详细解析)(1)-推荐文档

(完整)基本不等式经典例题(含知识点和例题详细解析)(1)-推荐文档

产品辅助运营方案范文一、背景介绍随着互联网的迅速发展和普及，越来越多的企业开始将线下业务转移到线上。

产品辅助运营是指通过产品功能、内容或服务，辅助企业进行线上运营和推广活动，以达到提高用户粘性、提升用户体验、增加用户转化率和增加业务收入等目标。

在这个信息爆炸的时代，如何通过产品辅助运营来提升企业的竞争力，成为了每一个企业都需要深入思考和解决的问题。

二、产品辅助运营的重要性1. 提高用户粘性：产品辅助运营可以通过不断优化产品功能和内容，提高用户使用的频率和时长，从而增加用户的粘性，使得用户固定在企业的产品上，提升用户的忠诚度。

2. 提升用户体验：良好的用户体验可以增加用户对产品的好感，降低用户的流失率，促进用户的留存和转化，提升用户的满意度，从而带来更多的口碑宣传和用户增长。

3. 增加用户转化率：通过产品辅助运营，可以提高用户的转化率，使得更多的用户成为企业的付费用户或忠实用户，从而增加企业的业务收入。

4. 扩大品牌影响力：通过产品辅助运营，可以提升企业的品牌影响力，提高企业的知名度和美誉度，增加用户对企业的信任感和好感度，为企业带来更多的商业机会和用户增长。

三、产品辅助运营的关键要素1. 产品功能优化：产品功能是用户使用产品的核心，通过不断优化产品功能，可以提高用户的体验和满意度，增加用户的粘性和转化率。

产品功能优化需要根据用户的需求和反馈，进行定期的调研和改进，保持产品的前沿性和竞争力。

2. 内容创新：内容是用户获取信息和享受服务的重要途径，通过不断创新内容，可以提高用户的体验和忠诚度，增加用户对产品的依赖和使用频率。

内容创新需要根据用户的兴趣和偏好，进行个性化推荐和推送，满足用户的多样化需求。

3. 服务优化：服务是企业与用户之间的桥梁，通过提供优质的服务，可以增加用户的满意度和黏性，促进用户的转化和留存。

服务优化需要建立健全的客户服务体系，提供个性化的服务方案，引导用户参与互动，增加用户的参与感和忠诚度。

专题2.2 基本不等式(解析版)

专题2.2 基本不等式(解析版)

专题2.2基本不等式知识点①基本不等式1．基本不等式：ab ≤a ＋b22．基本不等式成立的条件：a >0，b >0.3．等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时，等号成立．4．其中a ＋b2叫做正数a ，b 的算术平均数，ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．知识点②几个重要的不等式1．a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．2．b a ＋ab≥2(a ，b 同号)．3．ab ≤22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a (a ，b ∈R )．4．a 2＋b 22≥22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a (a ，b ∈R )．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b .知识点③利用基本不等式求最值1．已知x ，y 都是正数，如果积xy 等于定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P .2．已知x ，y 都是正数，如果和x ＋y 等于定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值14S 2.注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．题型一解法突破：两种常数处理方法(),ka a a b b a a=+-=.例1求12x x +-的最小值（2x >）.解：()1112222222x x x x x x ⎛⎫+=-++=-++ ⎪---⎝⎭因为2,20x x >->所以()122242x x ⎛⎫-++≥+=⎪-⎝⎭令122x x -=-解得3,1x x ==（舍）例2求1142x x +-的最小值（2x >）.解：()()111111112242422422x x x x x x ⎛⎫+=-++=-++ ⎪---⎝⎭因为2,20x x >->所以()11113242222x x ⎛⎫-++≥+= ⎪-⎝⎭令11(2)42x x -=-解得4,0x x ==（舍）1.以分式分母为主进行配凑使其定积2．注意变量范围，是否满足一正和三相等题型二解法突破:“1”的代换例1已知0,0x y >>，21x y +=求12xy+的最小值解：()1212122212149y xx y xy x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=+=++=+++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭例2已知0,0,1x y x y >>+=求1412x y +++的最小值解：()()1124,x y x y +=∴+++=，()()141411212124x y x y x y ⎛⎫+=++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++++⎝⎭()41129144124x y x y +⎛⎫+=+++≥ ⎪++⎝⎭【审题要津和评注】此类题型主要核心是“1”的等价代换，以及以分式分母为依据构造倒数形式，注意例5，例6两个题目题型三消元法解法突破：此类题目特点是有多个变量，且变量间满足等式关系例1已知0,0,39x y x y xy >>++=求3x y +的最小解：()939,39,3x x y xy y x x y x -++=+=-=+，931233333x x x y x x x x -+-+=+=-++1212313910233x x x x =-+=++-≥++题型四换元法:一般求谁最值换谁为t例1已知0,0,39x y x y xy >>++=求3x y +的最小解：()23312x y x y xy ++≥≤()()223333,931212x y x y x y xy x y x y ++∴++≤++≤++令3x y t +=则29,612t t t +≥≥或18t ≤-（舍）即3x y +的最小是6【审题要津和评注】1.题型二的例三和题型三题型四比较类似注意区分2.若一个题目在连用多个基本不等式时需注意取等时自变量取值是否相同题型五基本不等式的使用条件解法突破：使用基本不等式前要注意验证使用条件是否满足例1已知5,4x <求14245x x -+-的最大值解：11424534545x x x x -+=-++--54504x x <∴-<,11453543,4554x x x x ⎛⎫-++=--++ ⎪--⎝⎭1540,54254x x x ->-+≥-1543154x x ⎛⎫--++≤ ⎪-⎝⎭一、单选题1．下列说法正确的为（）A ．12x x+≥B ．函数22243x y x +=+4C ．若0,x >则(2)x x -最大值为1D ．已知3a >时，44233+≥⋅--a a a a 43=-a a 即4a =时，43+-a a 取得最小值8【答案】C【解析】对于选项A ,只有当0x >时，才满足基本不等式的使用条件，则A 不正确；对于选项B ,22243x y x +=+2222231333x x x x ++=++++(233x t t +=≥，即(223y t t t =+≥在)3,⎡+∞⎣上单调递增，则最小值为min 2832333y =,则B 不正确；对于选项C ,()()22(2)211111x x x x x -=--++=--+≤，则C 正确；对于选项D ,当3a >时，()44433337333a a a a a a +=-++≥-⋅+=---，当且仅当433a a -=-时，即5a =，等号成立，则D 不正确.故选：C .2．函数2455())22x x f x x x -+=≥-有（）A ．最大值52B ．最小值52C ．最大值2D ．最小值2【答案】D 【解析】（方法1）52x ，20x ∴->，则2245(2)11(2)222(2)x x x x x x x -+-+==-+--- ，当且仅当122x x -=-，即3x =时，等号成立.（方法2）令2x t -=，52x ，12t ∴ ，2x t ∴=+.将其代入，原函数可化为22(2)4(2)5112t t t y t t t t +-+++===+= ，当且仅当1t t =，即1t =时等号成立，此时3x =.故选：D3．已知1x >，则41x x +-的最小值是()A ．5B ．4C ．8D ．6【答案】A【解析】∵1x >，∴10x ->，∴()44111511x x x x +=-+≥=--，当且仅当411x x -=-，即3x =时等号成立，∴41x x +-的最小值是5．故选：A ．4．已知a b >，且8ab =，则222a b a b+--的最小值是（）A ．6B ．8C ．14D ．16【答案】A【解析】因为8ab =，所以()222216a b ab a b a b a b a b a b-++==-+---.因为a b >，所以0a b ->，所以168a b a b -+≥=-，即28a b a b +≥-，当且仅当4a b -=时，等号成立，故222a b a b+--的最小值是6.故选：A5．设0a >，0b >，且1a b +=，则4aba b+的最大值为（）．A ．110B ．19C ．227D ．15【答案】B【解析】∵1a b +=，1414ab a b a b=++，()41414559a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当23a =，13b =时取等号，∴149ab a b ≤+．故选：B ．6．下列不等式恒成立的是（）A ．2b a a b+≥B ．22a b ab +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭C ．a b +≥D ．222a b ab+≥-【答案】D【解析】：对于A ：若1a =、1b =-时2b aa b+=-，故A 错误；对于B ：因为()20a b -≥，所以222a b ab +≥，所以2224a b ab ab ++≥，即22a b ab +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时取等号，故B 错误；对于C ：若1a =-、1b =-时，22a b +=-<=，故C 错误；对于D ：因为()20a b +≥，所以2220a b ab ++≥，即222a b ab +≥-，当且仅当a b =时取等号，故D 正确；故选：D7．已知正实数a 、b 满足4a b +=，则11a b b a ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为（）A ．2B ．4C ．254D ．1+【答案】B【解析】∵正实数a 、b 满足4a b +=，∴111224a b ab b a ab ⎛⎫⎛⎫++=++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭≥，当且仅当1ab ab=，即1,4ab a b =+=时，取等号，故选：B.8．已知x ，y ＞0，当x +y ＝2时，求41x y+的最小值（）A ．52B ．72C ．92D ．112【答案】C【解析】由题，()411411419552222y x x y x y x y x y ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当4y x x y =，即2x y =，即42,33x y ==时取等号故选：C9．已知,a b 为正实数，且196a b a b+=++，则a b +的最小值为（）A ．6B ．8C ．9D ．12【答案】B【解析】由题意，可得()()()()21996610616b a a b a b a b a b a b a b ⎛⎫+=+++=++++≥++ ⎪⎝⎭，则有()()26160a b a b +-+-≥，解得8a b +≥，当且仅当2a =，6b =取到最小值8.故选：B.10．已知x ，y 都是正数，若2x y +=，则14x y+的最小值为（）A ．74B ．92C ．134D ．1【答案】B【解析】因为2x y +=，所以1414141422x y y x x y x y x y ⎛⎫⎛⎫++=+⋅=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．因为x ，y都是正数，由基本不等式有：44y x x y +≥=，所以141491422y x x y x y ⎛⎫+=+++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当2, 2,y x x y =⎧⎨+=⎩即2,343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时取“＝”．故A ，C ，D 错误.故选：B ．11．已知0x >，0y >，且2x y xy +=，则2x y +的最小值为（）A ．8B．C ．9D．【答案】C【解析】因为2x y xy +=，0x >，0y >，所以211y x+=，∴()1222221459y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当3x y ==取得等号，则2x y +的最小值为9.故选：C12．已知正实数a 、b 满足11m a b +=，若11a b b a ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为4，则实数m 的取值范围是（）A ．{}2B ．[)2,+∞C ．(]0,2D ．()0,∞+【答案】B【解析】：因为,a b 为正实数，11a b b a ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=12ab ab ++24³=，当1ab ab =，即1ab =时等号成立，此时有1b a=，又因为11m a b +=，所以1a m a+=，由基本不等式可知12a a+≥（1a =时等号成立），所以2m ≥.故选：B.13．若0,0a b >>，且24a b +=，则下列不等式中成立的是（）A ．2ab <B ．2244b a +≥C ．22log log 1a b +<D ．9318a b +≥【答案】D【解析】0,0a b >>，24a b ∴+=≥，解得2ab ≤，当且仅当1,2a b ==时取等号，故选项A 错误；()()22222142282a b a b a b +=+≥+=，2224b a ∴+≥，当且仅当1,2a b ==时取等号，故选项B 错误；由A 可得2ab ≤，222log log log 1a b ab ∴+=≤，当且仅当1,2a b ==时取等号，故选项C 错误；2393318a b b a +≥==+，当且仅当1,2a b ==时取等号，故选项D 正确；故选：D14．已知实数,1x y >）A ．1BC ．2D．【答案】C【解析】因为,1x y >，所以10,10x y ->->，222++=222+≥x y =时取等号，=2≥=，2x y ==时取等号，2，故选：C15．已知a ，b 为正实数，且21a b +=，则22aa b+的最小值为（）A ．1B ．6C ．7D．【答案】B【解析】由已知条件得，2422446222a a b a b a a b a b a b +⎛⎫+=+=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当22b a a b =，即25a =，15b =时取等号，∴22aa b+的最小值为6；故选：B.16．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =，BC b =，则该图形可以完成的无字证明为（）A ．0,0)2a ba b +>>B ．220,0)a b a b +≥>>C ．20,0)aba b a b≤>>+D ．0,0)2a b a b +≤>>【解析】【分析】设,AC a BC b ==，可得圆O 的半径为122a br OF AB +===，又由22a b a bOC OB BC b +-=-=-=，在直角OCF △中，可得2222222()()222a b a b a b FC OC OF -++=+=+=，因为FO FC ≤，所以2a b +≤，当且仅当a b =时取等号．故选：D.17．若2a >，3b >，则2223a b a b +--的最小值是（）A ．16B ．18C ．20D ．22【答案】C【解析】因为2a >，3b >，所以22224499492310232323a b a b a b a b a b a b -+-++=+=-++-++------1020≥+=(当且仅当4,6a b ==时，等号成立)，所以2223a b a b +--的最小值是20.故选：C18．已知实数x ，y 满足()212x x y y +=+，则227x y -的最小值为（）A ．103+B ．103-CD【答案】A【解析】：实数x ，y 满足()212x x y y+=+化为：()()21x y x y +-=令2x y m +=，x y n -=，则1mn =解得：23m n x +=，3m n y -=则：()()2222222222233162730916273091276309130910737m n m n m n mn m n m m x y +-=⎛⎫⎛⎫-⨯- ⎪=⨯++=⨯ ⎪++⎛⎫=⨯++ ⎪⎝⎭⎛⎫≥⨯ ⎪ ⎪⎝=⎭⎭⎝⎭⎝当且仅当22276m m =，即2m =所以227x y -故选：A.19．若对任意实数0,0x y >>，不等式()x a x y ≤+恒成立，则实数a 的最小值为（）AB1C1D【答案】D【解析】由题意可得，a ≥0,0x y >>1y x +(0)t t =>2111t t x +=++，再设1(1)t m m +=>，则22111(1)1t m y t m x+===++-+212222m m m m m =-++-12≤==，当且仅当21m m ==时取得“=”.所以212a ≥，即实数a 的最小值为12.故选：D.20．已知实数0,1a b >>满足5a b +＝，则211a b +-的最小值为（）A ．34+B ．34+C ．36+D ．36+【答案】A【解析】：因为0,1a b >>满足5a b +＝，则()21211(1114a b a b a b +=++-⨯⎡⎤⎣⎦--()21113(3414b a a b -⎡⎤=++≥+⎢⎥-⎣⎦，当且仅当()211b aa b -=-时取等号，故选：A ．。

新高考 核心考点与题型 不等式 第2节 基本不等式及其应用 - 解析

新高考 核心考点与题型 不等式 第2节 基本不等式及其应用 - 解析

第2节 基本不等式及其应用1.重要不等式及几何意义重要不等式：如果,R a b ∈，那么222a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号“=”）.基本不等式：如果,a b是正数，那么2a b+≥a b =时取等号“=”） 要点诠释：222a b ab +≥和2a b+≥ （1）成立的条件是不同的：前者只要求,a b 都是实数，而后者要求,a b 都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当a b =时取等号”。

（3）222a b ab +≥可以变形为：222a b ab +≤，2a b+≥2()2a b ab +≤. 2.如图，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC a =,BC b =，过点C 作DC AB ⊥交圆于点D ，连接AD 、BD .易证~Rt ACD Rt DCB ∆∆，那么2CD CA CB =⋅，即CD =这个圆的半径为2ba +，它大于或等于CD ，即ab ba ≥+2，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a b = 时，等号成立. 3.2211222b a b a ab ba +≤+≤≤+，即平方平均数算数平均数几何平均数调和平均数≤≤≤，（均为正、b a ），可变形如下24)()2(2222b a b a ab b a ab +≤+≤≤+，即上式的平方形式，其中调和不常用。

4.利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”（1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法 （2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量，例如：当0>x 求xx y 32+= 的最小值。

此时若直接使用均值不等式，则xx y 32+= x 42≥右侧依然含有x ，则无法找到最值 （3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点：① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此① 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围。

专题2.2 基本不等式(解析版).

专题2.2 基本不等式(解析版).

专题2.2基本不等式知识点一基本不等式1．基本不等式：如果0,2a ba b +>>≤，当且仅当a b =时，等号成立．其中2ab叫做正数a ，b 叫做正数a ，b 的几何平均数．2．变形：ab ≤2ab ⎛⎫⎪⎝⎭2，a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．a ＋b ≥2，a ，b 都是正数，当且仅当a ＝b 时，等号成立．知识点二用基本不等式求最值用基本不等式2xy求最值应注意：(1)x ，y 是正数．(2)①如果xy 等于定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值；②如果x ＋y 等于定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值14S 2.(3)讨论等号成立的条件是否满足．知识点三基本不等式的两个变形1.22222a b a b ab ++⎛⎫≥≥ ⎪⎝⎭(,a b ∈R ，当且仅当a b =时取等号)；2.2112a ba b+≥≥+(0,0a b>>，当且仅当a b=时取等号).利用基本不等式求最值(1)拼凑法，拼凑法求解最值，其实质就是先通过代数式变形拼凑出和或积为常数的两项，然后利用基本不等式求解最值．利用基本不等式求解最值时，要注意“一正、二定、三相等”，尤其是要注意验证等号成立的条件．(2)常数代换法，常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值．应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商．【例1】4(1)y x xx=+ 的最小值为()A．2B．3C．4D．5【解答】解：由已知函数4y xx=+，1x ，∴40x>，∴44xx+=，当且仅当4xx=，即2x=时等号成立，∴当2x=时，函数4y xx=+有最小值是4，故选：C．【变式训练1】函数20()5(0)f x x xx=+>的最小值为()A．10B．15C．20D．25【解答】解：由题意20()520f x xx=+=，当且仅当205xx=，即2x=时取等号，此时取得最小值为20，故选：C．【变式训练2】若0x >，则函数1()2f x x x=+的最小值是()A B ．2C ．D ．【解答】解：由0x >，得1()2f x x x =+= ，当且仅当12x x =，即2x =时等号成立，所以1()2f x x x=+的最小值为故选：C ．【变式训练3】已知0x >，则2x x+的最小值为()AB ．2C ．D ．4【解答】解：由0x >，2x x +=当且仅当2x x=，即x =时，取得等号，故2x x+的最小值为故选：C ．【例2】函数16(2)2y x x x =+>-+取最小值时x 的值为()A ．6B ．2C D 【解答】解：2x >-，20x ∴+>，函数1616(2)22622y x x x x =+=++-=++ ，当且仅当1622x x +=+，即2x =时取等号．故选：B ．【变式训练1】若1a >，则11a a +-有()A ．最小值为3B ．最大值为3C ．最小值为1-D ．最大值为1-【解答】解：因为1a >，所以10a ->，所以11111311a a a a +=-++=-- ，当且仅当111a a -=-，即2a =时，等号成立，所以11a a +-有最小值故选：A ．【变式训练2】函数1(2)2y x x x =+>-+的最小值为()A ．3B ．2C ．1D ．0【解答】解：由2x >-，得20x +>，102x >+，所以11222022y x x x x =+=++-=++ ，当且仅当122x x +=+，即1x =-时，等号成立．所以12y x x =++的最小值为故选：D ．【变式训练3】函数413(313y x x x =+>-的最小值为()A ．8B ．7C ．6D ．5【解答】解：由13x >，得310x ->，所以443311153131y x x x x =+=-+++=-- ，当且仅当43131x x -=-，即1x =时等号成立，所以4331y x x =+-的最小值为故选：D ．【例3】若a ，b 是两正实数，341b a+=，则a b +的最小值是()A ．B ．C ．7+D ．7+【解答】解：因为a ，b 是两正实数，341b a+=，则4343()(777b a a b a b a b a b +=++=+++=+当且仅当43b a a b =且341b a+=，即4a =+，3b =+故选：C ．【变式训练1】若0x >，0y >，且131x y+=，则3x y +的最小值为()A ．12B ．6C ．14D ．16【解答】解：因为0x >，0y >，且131x y+=，则1393(3)()6612y x x y x y x y x y +=++=+++ ，当且仅当9y x x y =且131x y +=，即2x =，6y =时取等号．故选：A ．【变式训练2】已知x ，y 都是正数，若2x y +=，则14x y+的最小值为()A ．74B ．92C ．134D ．1【解答】解：已知x ，y 都是正数，且2x y +=，则141141419()()(5)2222y x x y x y x y x y +=++=+++= ，当且仅当23x =，43y =时等号成立，所以14x y +的最小值为：92．故选：B ．【变式训练3】若0x >，0y >，且131x y+=，则3x y +的最小值为()A ．6B ．12C ．14D ．16【解答】解：因为1393(3)()666612y x x y x y x y x y +=++=++++= ，当且仅当9y xx y=，即2x =，6y =时取得最小值为12，故选：B ．【例4】已知x ，0y >且2x y xy +=，则x y +的最小值为()A ．3+B ．C ．D ．6【解答】解：0x >，0y >，且2x y xy +=，∴121y x+=，122()()333y x x y x y y x x y ∴+=++=++++当且仅当2y x x y =且121y x+=，即1y =+2x =+时取等号，故选：A ．【变式训练1】已知正实数x ，y 满足2x y xy +=，则2x y +的最小值为()A ．8B ．9C ．5D ．7【解答】解：2x y xy +=可得121x y+=，12222(2)()559y x x y x y x y x y ∴+=++=+++ ，当且仅当x y =时，取得最小值9故选：B ．【变式训练2】已知0x >，0y >，且4x y xy +=，则16x y +的最小值为()A ．64B ．81C ．100D ．121【解答】解：由4(0,0)x y xy x y +=>>，可得411y x+=，则4141616(16)()16465651681x y x y x y y x y x +=++=+++++= ，当且仅当416x y y x =且411y x+=，即9x =，92y =时取等号，此时取得最小值81故选：B ．【变式训练3】若正数a ，b 满足a b ab +=，则2a b +的最小值为()A ．6B ．C ．3+D ．2+【解答】解：因为正数a ，b 满足a b ab +=，所以111b a+=，则1122(2)(33b aa b a b a b a b+=++=+++ ，当且仅当2b a a b =且111a b+=，即1a =12b =+时取等号，所以2a b +的最小值为3+．故选：C ．基本不等式与恒成立(1)分离参数，转化为求代数式的最值问题．(2)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围．【例5】设0a >，0b >，191a b+=，若不等式a b m + 恒成立，则实数m 的取值范围是()A ．(-∞，8]B ．(-∞，16]C ．(-∞，7]D ．[16，)+∞【解答】解：0a >，0b >，191a b+=，则199()()191016a b a b a b a b b a +=++=++++= ，当且仅当3b a =，4a =，12b =，上式取得等号，由不等式a b m + 恒成立，可得()16min m a b += ，故选：B ．【变式训练1】设0a >，0b >，142a b+=，则使得a b m + 恒成立，求m 的取值范围是()A ．(,9)-∞B ．(0，1]C ．9(,]2-∞D ．(-∞，8]【解答】解：因为0a >，0b >，142a b+=，所以1141419()()(5)(52222b a a b a b a b a b +=++=+++= ，当且仅当322b a ==时取“=”，若使得a b m + 恒成立，则m 的取值范围是92m ，即(-∞，9]2．故选：C ．【变式训练2】已知x ，y R +∈且4x y +=，则使不等式14m x y+ 恒成立的实数m 的取值范围为()A ．(2,)+∞B ．(-∞，74C ．(3,)+∞D ．(-∞，94【解答】解：由题意知两个正数x ，y 满足4x y +=，则141141419()()(14)(54444y x x y x y x y x y +=++=++++= ，当且仅当43x =，83y =时取等号，94m ∴，故选：D ．【变式训练3】若0x >，0y >，且211x y+=，227x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是()A ．81m -<<B ．8m <-或1m >C ．1m <-或8m >D ．18m -<<【解答】解：根据题意，0x >，0y >，且211x y+=，则2142(2)()448y x x y x y x y x y +=++=+++ ，当且仅当24x y ==时等号成立，即2x y +的最小值为8，若227x y m m +>+恒成立，必有278m m +<，解可得81m -<<．即m 的取值范围为(8,1)-．故选：A ．基本不等式综合【例6】已知0x >，0y >且3210x y +=，则下列结论正确的是()A ．05y <<B +C ．22x y +的最小值为10013D ．xy 的最大值为625【解答】解：0x >，0y >，3210x y +=，31020x y ∴=->，故05y <<，故选项A 正确；22(32)x y + ，即220 ，∴+，当且仅当32x y =，即53x =，52y =时，等号成立，的最大值为，故选项B 正确；3210x y +=，1032xy -∴=，故2222103(2x x y x -+=+21315254x x =-+，由二次函数的性质知，当3013x =时取得最小值2133030100(152********⨯-⨯+=，故选项C 正确；0x >，0y >，3210x y +=，32x y ∴+，即10，5，故256xy，当且仅当32x y =，即53x =，52y =时，等号成立，故xy 的最大值为256，故选项D 错误；故选：ABC ．【变式训练1】已知0a >，0b >，2a b ab +=，则下列结论正确的是()A ．a b +的最小值为3+B ．22a b +的最小值为16C +D ．lga lgb +的最小值为32lg 【解答】解：因为0a >，0b >，2a b ab +=，即211b a+=，所以122()(33b a a b a b a b a b +=++=+++ ，当且仅当2b a a b =且211b a +=，即1a =+，2b =+此时a b +取得最小值3+，A 正确；因为1242(2)()448b a ab a b a b a b a b =+=++=+++= ，当且仅当4b aa b =且2a b ab +=，即2a =，4b =时取等号，此时ab 取最小值8，所以Lga lgb lgab =+=取得最小值832lg lg =，D 正确；因为222a b ab + （当且仅当a b =时取等号），8ab （当且仅当2a =，4b =时取等号），所以2216a b +>，B 错误；212112a b =+++=，当且仅当1212a b ==，即2a =，4b =时取等号，此+取得最大值C 正确．故选：ACD ．【变式训练2】设正实数a ，b 满足1a b +=，则下列结论正确的是()A ．11a b+有最小值4B 12CD ．22a b +有最小值12【解答】解：因为正实数a ，b 满足1a b +=，所以11224a b a b b a a b a b a b +++=+=+++= ，当且仅当a b b a =且1a b +=，即12a b ==时取等号，a b +取得最小值4，A 正确，122a b +=，当且仅当12a b ==12，B 正确，212a b +=+++，当且仅当12a b ==+取的最大值C 正确，22211()2121242a b a b ab ab +=+-=--⨯= ，当且仅当12a b ==时取等号，22a b +取得最小值12．D 正确，故选：ABCD ．【变式训练3】设正实数m ，n 满足2m n +=，则下列说法正确的是()A ．11m n+上的最小值为2B ．mn 的最大值为1C 的最大值为4D ．22m n +的最小值为54【解答】解：因为正实数m ，n 满足2m n +=，所以1111((2)222m n m n n m m n m n m n +++=+=++ ，当且1n =时取等号，A 正确；2(12m n mn += ，当且仅当1m n ==时取等号，B 正确；2224mn =+ ，当且仅当1m n ==时取等号，22 ，C 错误；222()2422m n m n mn mn +=+-=- ，当且仅当1m n ==时取等号，D 错误．故选：AB ．不等式的证明(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．(2)注意事项：①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用．【例7】已知a ，b ，c 均为正数，且1abc =，求证：111a b c+++．【解答】证明：由a ，b ，c 为正数，根据平均值不等式，得11a b +11b c +，11c a +当且仅当a b c ==时等号成立，将此三式相加，得1112()a b c ++，即111a b c ++．由1abc =1=．所以，111a b c ++=【变式训练1】已知a ，b R +∈，设x =y =，求证：（1）xy ab ；（2）x y a b ++ ．【解答】证明：（1）a ，b R +∈，x =y =，xy ab ∴=，当且仅当a b =时取等号．（2）a ，b R +∈，x y +=，则222222()()()()(22a b a b a b x y a b ab +++-+=+-++=-，而4422()()8()a b a b ab a b +--=+，4224()8()()a b ab a b a b ∴+-+=-，2()a b ∴+ ，22()()0a b x y ∴+-+ ，a b x y ∴++ ．【变式训练2】已知0a >，0b >，且1a b +=，求证：11(19a b++ ．【解答】解：0a >，0b >，且1a b +=∴11(1)(1)a b a ba b a b ++++=++22(2)(24b a a b b a a b b a a b =++=+++⨯2255549b a a b =+++=+= 当且仅当22b a a b =，即12a b ==时取“=”号．故原题得证．【变式训练3】解答下列各题．（1）设0a >，0b >，1a b +=，求证：1118a b ab++ ；（2）设a b c >>且11ma b b c a c+---恒成立，求实数m 的取值范围．【解答】解：（1）证明：0a >，0b >，1a b +=，∴11112a b a b ab ab ab ab +++=+=，21(24a b ab += ，104ab ∴<，（当且仅当12a b ==时取等号）故28ab，即1118a b ab++ ．（2）a c >，0a c ∴->，11ma b b c a c +---恒成立，a c a cm a b b c--∴+--恒成立，即2a c a c a b b c a b b c b c a bm a b b c a b b c a b b c---+--+---+=+=++------，又a b c >>，0a b ∴->，0b c ->，则224b c a b a b b c --+++=-- ．当且仅当b c a b -=-，即2a c b +=时上式等号成立．4m ∴ ，m ∴的取值范围是：(-∞，4]．基本不等式的实际应用应用基本不等式解决实际问题的步骤(1)认真审题，恰当选择变量(x 或y)，并求其取值范围；(2)用x 或y 表示要求最大(小)值的量z ；(3)利用基本不等式，求出z 的最大(小)值；(4)回到实际问题中去，写出实际问题的答案．【例8】如图，计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为x ，宽为y ．（1）若菜园面积为72，则x ，y 为何值时，可使所用篱笆总长最小？（2）若使用的篱笆总长度为30，求12x y+的最小值．【解答】解：（1）由题意知：72xy =，篱笆总长为2x y +．又224x y += ，当且仅当2x y =，即12x =，6y =时等号成立．∴当12x =，6y =时，可使所用篱笆总长最小；（2）由题意得：230x y +=，又1222()(2)559y x x y x y x y ++=+++ ，∴12310x y + ，当且仅当x y =，即10x =，10y =时等号成立．∴12x y+的最小值是310．【变式训练1】经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y （千辆/小时）与汽车的平均速度υ（千米/小时）之间的函数关系为：2920(0)31600y υυυυ=>++．（1）在该时段内，当汽车的平均速度υ为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（保留分数形式）（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？【解答】解：（1）依题意，2920920920160031600833()y v vυυυ==++++ ，当且仅当1600v v=，即40v =时，上式等号成立，92083max y ∴=（千辆/时）．当40/v km h =时，车流量最大，最大车流量约为92083千辆/时；（2）由条件得29201031600υυυ>++，整理得28916000v v -+<，即(25)(64)0v v --<，解得2564v <<，所以，如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于25/km h 且小于64/km h ．【变式训练2】某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出*()x x N ∈名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为310()500xa -万元(0)a >，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2%x ．（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余与员工创造的年总利润，则a 的取值范围是多少？【解答】解：（1）由题意得：10(1000)(10.2%)101000x x -+⨯ ，即25000x x - ，又0x >，所以0500x < ．即最多调整500名员工从事第三产业．（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为310(500xa x -万元，从事原来产业的员工的年总利润为110(1000)(1)500x x -+万元，则310()10(1000)(10.2%)500xa x x x --+ 所以223110002500500x ax x x x -+-- ，所以221000500x ax x ++ ，即210001500x a x ++ 恒成立，因为210004500x x += ，当且仅当21000500x x=，即500x =时等号成立．所以5a ，又0a >，所以05a < ，即a 的取值范围为(0，5]．【变式训练3】2018年10月19日，由中国工信部、江西省政府联合主办的世界VR （虚拟现实）产业大会在南昌开幕，南昌在红谷滩新区建立VR 特色小镇项目．现某厂商抓住商机在去年用450万元购进一批VR 设备，经调试后今年投入使用，计划第一年维修、保养费用22万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为180万元，设使用x 年后设备的盈利额为y 万元．（1）写出y 与x 之间的函数关系式；（2）使用若干年后，当年平均盈利额达到最大值时，求该厂商的盈利额．【解答】解：（1）依题得：2*(1)180[224]4502160450()2x x y x x x x x N -=-+⨯-=-+-∈-----（6分）（2）4504502160160(2)160100y x x x x x =-+-=-+-= ，当且仅当4502x x=时，即15x =时等号成立．∴使用15年后平均盈利额达到最大值，该厂商盈利额为1500万元．--------------（12分）1．4(1)?y x x x=+ 的最小值为()A ．2B ．3C ．4D ．5【解答】解：由已知函数4y x x=+，1x ，∴40?x>，∴44?x x += ，当且仅当4?x x=，即2?x =时等号成立，?∴当2?x =时，函数4?y x x=+有最小值是4，故选：C ．2．函数20()5(0)f x x x x=+>的最小值为()A ．10B ．15C ．20D ．25【解答】解：由题意20()520f x x x =+= ，当且仅当205x x=，即2x =时取等号，此时取得最小值为20，故选：C ．3．若0x >，则函数1()2f x x x=+的最小值是()A B ．2C ．D ．【解答】解：由0x >，得1()2f x x x =+= ，当且仅当12x x =，即x =时等号成立，所以1()2f x x x=+的最小值为故选：C ．4．已知0x >，则2x x+的最小值为()A B ．2C ．D ．4【解答】解：由0x >，2x x +=当且仅当2x x=，即x =时，取得等号，故2x x+的最小值为故选：C ．5．函数16(2)2y x x x =+>-+取最小值时x 的值为()A ．6B ．2C D【解答】解：2x >-，20x ∴+>，函数1616(2)22622y x x x x =+=++-=++ ，当且仅当1622x x +=+，即2x =时取等号．故选：B ．6．若1a >，则11a a +-有()A ．最小值为3B ．最大值为3C ．最小值为1-D ．最大值为1-【解答】解：因为1a >，所以10a ->，所以11111311a a a a +=-++=-- ，当且仅当111a a -=-，即2a =时，等号成立，所以11a a +-有最小值3．故选：A ．7．函数1(2)2y x x x =+>-+的最小值为()A ．3B ．2C ．1D ．0【解答】解：由2x >-，得20x +>，102x >+，所以11222022y x x x x =+=++-=++ ，当且仅当122x x +=+，即1x =-时，等号成立．所以12y x x =++的最小值为0．故选：D ．8．函数413()313y x x x =+>-的最小值为()A ．8B ．7C ．6D ．5【解答】解：由13x >，得310x ->，所以443311153131y x x x x =+=-+++=-- ，当且仅当43131x x -=-，即1x =时等号成立，所以4331y x x =+-的最小值为5．故选：D ．9．若a ，b 是两正实数，341b a+=，则a b +的最小值是()A ．B ．C ．7+D ．7+【解答】解：因为a ，b 是两正实数，341b a+=，则4343()(777b a a b a b a b a b +=++=+++=+当且仅当43b a a b =且341b a+=，即4a =+，3b =+故选：C ．10．若0x >，0y >，且131x y+=，则3x y +的最小值为()A ．12B ．6C ．14D ．16【解答】解：因为0x >，0y >，且131x y+=，则1393(3)()6612y x x y x y x y x y +=++=+++ ，当且仅当9y x x y =且131x y +=，即2x =，6y =时取等号．故选：A ．11．已知x ，y 都是正数，若2x y +=，则14x y+的最小值为()A ．74B ．92C ．134D ．1【解答】解：已知x ，y 都是正数，且2x y +=，则141141419()()(5)2222y x x y x y x y x y +=++=+++= ，当且仅当23x =，43y =时等号成立，所以14x y+的最小值为：92．故选：B ．12．若0x >，0y >，且131x y+=，则3x y +的最小值为()A ．6B ．12C ．14D ．16【解答】解：因为1393(3)()666612y x x y x y x y x y +=++=++++= ，当且仅当9y xx y=，即2x =，6y =时取得最小值为12，故选：B ．13．已知x ，0y >且2x y xy +=，则x y +的最小值为()A ．3+B ．C ．D ．6【解答】解：0x >，0y >，且2x y xy +=，∴121y x+=，122()()333y x x y x y y x x y ∴+=++=++++当且仅当2y x x y =且121y x+=，即1y =+2x =+时取等号，故选：A ．14．已知正实数x ，y 满足2x y xy +=，则2x y +的最小值为()A ．8B ．9C ．5D ．7【解答】解：2x y xy +=可得121x y+=，12222(2)()559y x x y x y x y x y ∴+=++=+++ ，当且仅当x y =时，取得最小值9．故选：B ．15．已知0x >，0y >，且4x y xy +=，则16x y +的最小值为()A ．64B ．81C ．100D ．121【解答】解：由4(0,0)x y xy x y +=>>，可得411y x+=，则4141616(16)()16465651681x y x y x y y x y x +=++=+++++= ，当且仅当416x y y x =且411y x+=，即9x =，92y =时取等号，此时取得最小值81．故选：B ．16．若正数a ，b 满足a b ab +=，则2a b +的最小值为()A ．6B ．C ．3+D ．2+【解答】解：因为正数a ，b 满足a b ab +=，所以111b a+=，则1122(2)(33b aa b a b a b a b+=++=+++ ，当且仅当2b a a b =且111a b+=，即1a =12b =+时取等号，所以2a b +的最小值为3+．故选：C ．17．设0a >，0b >，191a b+=，若不等式a b m + 恒成立，则实数m 的取值范围是()A ．(-∞，8]B ．(-∞，16]C ．(-∞，7]D ．[16，)+∞【解答】解：0a >，0b >，191a b+=，则199()()191016a b a b a b a b b a +=++=++++= ，当且仅当3b a =，4a =，12b =，上式取得等号，由不等式a b m + 恒成立，可得()16min m a b += ，故选：B ．18．设0a >，0b >，142a b+=，则使得a b m + 恒成立，求m 的取值范围是()A ．(,9)-∞B ．(0，1]C ．9(,]2-∞D ．(-∞，8]【解答】解：因为0a >，0b >，142a b+=，所以1141419()()(5)(52222b a a b a b a b a b +=++=+++= ，当且仅当322b a ==时取“=”，若使得a b m + 恒成立，则m 的取值范围是92m ，即(-∞，9]2．故选：C ．19．已知x ，y R +∈且4x y +=，则使不等式14m x y+ 恒成立的实数m 的取值范围为()A ．(2,)+∞B ．(-∞，74C ．(3,)+∞D ．(-∞，94【解答】解：由题意知两个正数x ，y 满足4x y +=，则141141419()()(14)(54444y x x y x y x y x y +=++=++++= ，当且仅当43x =，83y =时取等号，94m ∴，故选：D ．20．若0x >，0y >，且211x y+=，227x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是()A ．81m -<<B ．8m <-或1m >C ．1m <-或8m >D ．18m -<<【解答】解：根据题意，0x >，0y >，且211x y+=，则2142(2)()448y x x y x y x y x y +=++=+++ ，当且仅当24x y ==时等号成立，即2x y +的最小值为8，若227x y m m +>+恒成立，必有278m m +<，解可得81m -<<．即m 的取值范围为(8,1)-．故选：A ．21．已知0x >，0y >且3210x y +=，则下列结论正确的是()A ．05y <<B +C ．22x y +的最小值为10013D ．xy 的最大值为625【解答】解：0x >，0y >，3210x y +=，31020x y ∴=->，故05y <<，故选项A 正确；22(32)x y + ，即220 ，∴+，当且仅当32x y =，即53x =，52y =时，等号成立，的最大值为，故选项B 正确；3210x y +=，1032xy -∴=，故2222103(2x x y x -+=+21315254x x =-+，由二次函数的性质知，当3013x =时取得最小值2133030100(152********⨯-⨯+=，故选项C 正确；0x >，0y >，3210x y +=，32x y ∴+，即10，5，故256xy，当且仅当32x y =，即53x =，52y =时，等号成立，故xy 的最大值为256，故选项D 错误；故选：ABC ．22．已知0a >，0b >，2a b ab +=，则下列结论正确的是()A ．a b +的最小值为3+B ．22a b +的最小值为16C +D ．lga lgb +的最小值为32lg 【解答】解：因为0a >，0b >，2a b ab +=，即211b a+=，所以122()(33b a a b a b a b a b +=++=+++ ，当且仅当2b a a b =且211b a +=，即1a =+，2b =+此时a b +取得最小值3+，A 正确；因为1242(2)()448b a ab a b a b a b a b =+=++=+++= ，当且仅当4b aa b =且2a b ab +=，即2a =，4b =时取等号，此时ab 取最小值8，所以Lga lgb lgab =+=取得最小值832lg lg =，D 正确；因为222a b ab + （当且仅当a b =时取等号），8ab （当且仅当2a =，4b =时取等号），所以2216a b +>，B 错误；212112a b =+++=，当且仅当1212a b ==，即2a =，4b =时取等号，此+取得最大值C 正确．故选：ACD ．23．设正实数a ，b 满足1a b +=，则下列结论正确的是()A ．11a b+有最小值4B 12C D ．22a b +有最小值12【解答】解：因为正实数a ，b 满足1a b +=，所以11224a b a b b a a b a b a b +++=+=+++= ，当且仅当a b b a =且1a b +=，即12a b ==时取等号，a b +取得最小值4，A 正确，122a b +=，当且仅当12a b ==12，B 正确，212a b +=+++，当且仅当12a b ==+取的最大值C 正确，22211()2121242a b a b ab ab +=+-=--⨯= ，当且仅当12a b ==时取等号，22a b +取得最小值12．D 正确，故选：ABCD ．24．设正实数m ，n 满足2m n +=，则下列说法正确的是()A ．11m n+上的最小值为2B ．mn 的最大值为1C 的最大值为4D ．22m n +的最小值为54【解答】解：因为正实数m ，n 满足2m n +=，所以1111((2)222m n m n n m m n m n m n +++=+=++ ，当且1n =时取等号，A 正确；2(12m n mn += ，当且仅当1m n ==时取等号，B 正确；2224mn =+ ，当且仅当1m n ==时取等号，22 ，C 错误；222()2422m n m n mn mn +=+-=- ，当且仅当1m n ==时取等号，D 错误．故选：AB ．25．如图，计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为x ，宽为y ．（1）若菜园面积为72，则x ，y 为何值时，可使所用篱笆总长最小？（2）若使用的篱笆总长度为30，求12x y+的最小值．【解答】解：（1）由题意知：72xy =，篱笆总长为2x y +．又224x y += ，当且仅当2x y =，即12x =，6y =时等号成立．∴当12x =，6y =时，可使所用篱笆总长最小；（2）由题意得：230x y +=，又1222()(2)559y x x y x y x y ++=+++ ，∴12310x y + ，当且仅当x y =，即10x =，10y =时等号成立．∴12x y+的最小值是310．26．经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y （千辆/小时）与汽车的平均速度υ（千米/小时）之间的函数关系为：2920(0)31600y υυυυ=>++．（1）在该时段内，当汽车的平均速度υ为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（保留分数形式）（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？【解答】解：（1）依题意，2920920920160031600833()y v vυυυ==++++ ，当且仅当1600v v=，即40v =时，上式等号成立，92083max y ∴=（千辆/时）．当40/v km h =时，车流量最大，最大车流量约为92083千辆/时；（2）由条件得29201031600υυυ>++，整理得28916000v v -+<，即(25)(64)0v v --<，解得2564v <<，所以，如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于25/km h 且小于64/km h ．27．某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出*()x x N ∈名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为310(500xa -万元(0)a >，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2%x ．（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余与员工创造的年总利润，则a 的取值范围是多少？【解答】解：（1）由题意得：10(1000)(10.2%)101000x x -+⨯ ，即25000x x - ，又0x >，所以0500x < ．即最多调整500名员工从事第三产业．（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为310(500xa x -万元，从事原来产业的员工的年总利润为110(1000)(1)500x x -+万元，则310()10(1000)(10.2%)500xa x x x --+ 所以223110002500500x ax x x x -+-- ，所以221000500x ax x ++ ，即210001500x a x ++ 恒成立，因为210004500x x += ，当且仅当21000500x x=，即500x =时等号成立．所以5a ，又0a >，所以05a < ，即a 的取值范围为(0，5]．28．2018年10月19日，由中国工信部、江西省政府联合主办的世界VR （虚拟现实）产业大会在南昌开幕，南昌在红谷滩新区建立VR 特色小镇项目．现某厂商抓住商机在去年用450万元购进一批VR 设备，经调试后今年投入使用，计划第一年维修、保养费用22万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为180万元，设使用x 年后设备的盈利额为y 万元．（1）写出y 与x 之间的函数关系式；（2）使用若干年后，当年平均盈利额达到最大值时，求该厂商的盈利额．【解答】解：（1）依题得：2*(1)180[224]4502160450()2x x y x x x x x N -=-+⨯-=-+-∈.（2）4504502160160(2)160100y x x x x x =-+-=-+-= ，当且仅当4502x x=时，即15x =时等号成立．∴使用15年后平均盈利额达到最大值，该厂商盈利额为1500万元．。

基本不等式30题解析

基本不等式30题解析

基本不等式30题解析一、多选题1．（23-24高一下·山东济宁·阶段练习）已知正实数,x y 满足2x y xy +=，则（）A ．16xy ≥B ．29x y +≥C ．6x y +>D ．1831x y+≥-2．（21-22高一下·全国·开学考试）下列不等式一定成立的是（）A ．()21lg lg 04x x x ⎛⎫+≥> ⎝⎭B ．()lgeln 21lg x x x+>>C ．()21012x x x ≥>+D ．()1121x x <∈+R 【答案】AD【分析】结合对数函数的单调性利用基本不等式判断A ，举反例判断BC ，根据指数函数的有界性判断D.3．（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）已知,a b 均为实数，则()222a b a b ab+++的可能值为（）A ．43B ．34C ．1D ．24．（22-23高一下·陕西西安·阶段练习）若62,63a b ==，则下列不等关系正确的有（）A2B ．114a b+>C ．2212a b +>D ．14ab <【答案】BCD【分析】根据题意分析可知()1,,0,1a b a b +=∈，结合不等式性质以及基本不等式逐项5．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知位于第一象限的点(),a b 在曲线1x y+=上，则（）A ．()()111a b --=-B ．4ab ≥C ．49a b +≤D ．221223a b +≥6．（23-24高一下·云南·阶段练习）已知p q ､为函数()lg f x x t =-的两个不相同的零点，则下列式子一定正确的是（）A ．222p q +<B ．228p q +>C ．33log log 0p q ⋅<D ．1pq =由图可知，当0t >时，直线设p q <，则01p q <<<，由由()lg 0f q q t =-=，可得lg 对于A 选项，222p q pq +>=对于B 选项，2222p q p ++>对于C 选项，33log log 1p <=对于D 选项，由上可知1pq =故选：CD.7．（2024高三·全国·专题练习）已知x ≥1，则下列函数的最小值为2的有（）A ．22x y x =+B ．2y =C ．13y x x=-D ．411y x x =-++【答案】ACD 【详解】因为x ≥1，所以＋≥2(当且仅当x ＝2时取等号)；y ＝＝＋＞2，等号取不到；因为函数y ＝3x －在[1，＋∞)上单调递增，所以3x －≥2；因为x ≥1，所以y ＝x －1＋＝x ＋1＋－2≥4－2＝2(当且仅当x ＝1时取等号).故选ACD.8．（2024高三·全国·专题练习）(多选)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若b ＝1，且a 2－c 2＝2，则下列结论正确的是（）A ．a ＜32B ．tan A ＋3tanC ＝0C ．角B 的最大值为3πD ．△ABC 的外接圆面积的最小值为π9．（23-24高一下·重庆·阶段练习）如图所示，在ABC 中,4BC =，且M 点为BC 边的中点，则下列结论正确的有（）A ．设G 是AM 的中点，则0GA GB GC ++=B ．sin sin BAM ACCAM AB∠=∠C ．若π3BAC ∠=，则AM的最小值为D ．若π6BAM ∠=，则AC 边的最小值为2【详解】对于B ，分别在ABM 和ACM △中由正弦定理可得sin sin sin sin AMB BAMAC CM AMC CAM ⎧=⎪⎪∠∠⎨⎪=⎪∠∠⎩，因为2πBM CM AMB AMC ==⎧⎨∠+∠=⎩，则sinsin AB CAMAC BAM ∠=∠，正确；对于C ，在ABC 中，由余弦定理可得2216b c bc +-=，所以22162b c bc bc +=+≥，则16bc ≤，当且仅当4bc ==时取等，又2AB AC AM +=，所以AM AM ===，当且仅当4b c ==时取等，故AM 最大值为对于D ，在ABM 中，由正弦定理可得242πsin 6R==，故ABM 的外接圆圆O 的半径为2R =，则点A 在优弧 BM上运动，则AC 的最小值为2OC R R -=-=-，正确.故选：BD10．（2024·贵州毕节·二模）已知252100a b ==，则下列式子中正确的有（）A ．211a b+=B ．121a b+=C ．8ab >D ．29a b +>【答案】BCD 【分析】由指对互化得到25log 100a =，2log 100b =，进而结合对数运算性质和基本不等式的应用即可求解.【详解】11．（2024·江苏·一模）已知,x y ∈R ，且123x =，124y =，则()A ．y x >B ．1x y +>C ．14xy <D <【答案】ACD 【分析】用对数表示x ，y ，利用对数函数的性质、对数的计算、基本不等式等即可逐项计算得到答案．【详解】12．（23-24高一下·安徽宿州·开学考试）若正实数,a b 满足1a b +=，则下列选项中正确的是（）A ．ab 有最大值14B ．122a b->C ．14a b+的最小值是10D【答案】AB 【分析】利用均值不等式和“1”的妙用判断ACD ，由12a b b -=-讨论b 的范围判断B 即可.【详解】选项A ：因为,a b 为正实数，所以2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时等号成立，所以ab 有最大值14，A 说法正确；选项B ：由1a b +=可得12a b b -=-，因为,a b 为正实数，所以01b <<，1121b -<-<，所以1212222a b b --<=<，B 说法正确；选项C ：由题意可得()14144559a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4a bb a =，即13a =，23b =时等号成立，所以14a b +的最小值是9，C 说法错误；选项D ：由A 得212a b =++=+≤，当且仅当12a b ==，不存在最小值，D 说法错误；故选：AB13．（23-24高一上·江苏连云港·期末）下列各函数中，最小值为2的是（）A ．2610y x x =-+B ．3y x =-+C ．1y xx=+D ．2y =14．（23-24高三下·广东·阶段练习）若0a >，0b >，8a b +=，则下列不等式恒成立的是（）A 4≤B 4+≥C ．2232a b +≥D ．1498a b +≥【详解】15．（23-24高一下·河南信阳·阶段练习）已知0x >，0y >，且24x y +=，则（）A ．ln ln ln2x y +≤B ．248x y +<C ．1294x y +≥D ．324e e x x y-≥16．（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）下列函数中，最小值是4的有（）A ．()134x f x x=++B ．()f x =C ．()()31011f x x x x=+<<D ．()f x =17．（23-24高三下·重庆大足·阶段练习）设正实数0x >，0y >，且满足3x y xy ++=，则（）A ．413x y +≥B ．9xy ≤C ．2218x y +≤D ．1123x y +≥18．（2024·贵州贵阳·一模）已知0,0a b >>，且2a b +=，则（）A ．22a b+≥B ．112a b+≥C ．22log log 1a b +≤D ．222a b +≥【答案】ABCD【分析】首先结合选项变形，再根据基本不等式，即可判断选项.19．（2024·河南信阳·一模）已知正数,m n 满足322m n+=，则（）A ．12mn ≥B ．222m n +≥C ．32m n +≥D ．2,(0,),()2m n m n mn mn-∃∈+∞≥20．（23-24高一上·广东茂名·期中）下面命题正确的是（）A ．“1a >”是“11a<”的充分不必要条件B ．命题“x ∃∈R ，使20x ax a ++<”是假命题，则实数a 的取值范围为04a ≤≤C ．不等式21x>的解集是(),2-∞D ．设a +∈R ，则24a a+的最小值为4.21．（23-24高三上·湖南常德·期末）已知0a b >>，则下列不等式一定成立的是（）A ．11a ba b >++B ．2ab a b +C ．()ln 2a b ab ++>D ．111ln 1ln a b<22．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）已知0a b >>，则下列不等式可能成立，也可能不成立的是（）A ．22()(1)a b b +>+B ．11b b a a ->-2223．（23-24高一上·浙江·期末）设正实数,a b满足2a b+=，则（）A．11a b+的最小值为2B．1122a b a b+++的最大值为23C2D．3ab b-的最大值为1424．（23-24高三下·河北·阶段练习）已知正数,a b 满足()()111a b --=，则下列选项正确的是（）A ．111a b+=B ．25ab b+³C ．4a b +≥D ．228a b +≥25．（22-23高一上·江苏宿迁·期中）已知3824a b ==，则a ，b 满足的关系是（）A ．111a b+=B ．112a b+=C ．()()22112a b -+-<D ．()()22112a b -+->26．（23-24高一上·河北石家庄·期末）下列说法正确的是（）A ．若a b >，则22a b >B ．44ππcos sin 882-=27．（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）若,m n 均为正数，且满足22m n +=，则（）A ．mn的最大值为12B ．11m n+的最小值为3+C ．24m n +的最小值为4D ．2mm n+的最小值为1+28．（23-24高三下·云南昆明·阶段练习）已知0a b >>，下列说法正确的是（）A ．11a b b a+>+B ．2b a a b+>C ．若0c >，则b b ca a c+<+D ．若c d >，则a c b d->-【答案】ABC29．（23-24高三上·海南·期末）已知0,0a b >>，且4a b ab +-=，则（）A ．3a b +≥B ．104ab <≤或94ab ≥C ．221(1)(1)2a b -+-≤D ．11413a b <+≤或114a b+≥试卷第21页，共21页30．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知0,0a b >>，且1a b +=，则（）A ．41ab >B ．2728a b +≥C ．41912a b +≥D 2≤。

专题1 培优点2 基本不等式的综合问题(教师版)

专题1 培优点2 基本不等式的综合问题(教师版)

培优点2 基本不等式的综合问题【要点提炼】利用基本不等式求最值时，要坚持“一正、二定、三相等”原则，解题时可以对条件灵活变形，满足求最值的条件要求．【典例】1 (1)已知x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是_________________________．(2)设x ≥0，y ≥0，x 2＋y 22＝1，则x ·1＋y 2的最大值为________． (3)已知x>0，y>0，1x ＋2y ＋1＝2，则2x ＋y 的最小值为________． 【答案】 (1)233 (2)324(3)3 【解析】 (1)由(x ＋y)2＝xy ＋1，得(x ＋y)2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＋1， 则x ＋y ≤233(当且仅当x ＝y ＝33时取等号)， 故x ＋y 的最大值为233. (2)x ·1＋y 2＝2x ·1＋y 22≤2·x 2＋1＋y 222＝2·x 2＋y 22＋122 ＝324⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当x ＝32，y ＝22时取等号，故x ·1＋y 2的最大值为324. (3)∵2x ＋(y ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y ＋1[2x ＋(y ＋1)] ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋y ＋1x ＋4x y ＋1＋2≥4， ∴2x ＋y ＝2x ＋(y ＋1)－1≥3(当且仅当x ＝1，y ＝1时取等号)，故2x ＋y 的最小值为3.【典例】2 记max{a ，b}为a ，b 两数的最大值，则当正数x ，y(x>y)变化时，t ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 2，25y x －y 的最小值为________． 【答案】 10【解析】 方法一 由题意知t ≥x 2，t ≥25y x －y， ∴2t ≥x 2＋25yx －y ， 又∵x 2＋25y x －y ≥x 2＋25⎣⎢⎡⎦⎥⎤y ＋x －y 22＝x 2＋100x 2 ≥20，∴2t ≥20，即t ≥10.∴当正数x ，y(x>y)变化时，t ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 2，25y x －y 的最小值为10. 方法二 由题意知t ≥x 2>0，t ≥25yx －y >0， ∴t 2≥x 2·25y x －y ， 又∵x 2·25y x －y ≥x 2·25⎣⎢⎡⎦⎥⎤y ＋x －y 22＝x 2·100x 2 ＝100，∴t 2≥100，即t ≥10.∴当正数x ，y(x>y)变化时，t ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 2，25y x －y 的最小值为10. 【方法总结】 (1)运用基本不等式求最值时，可通过配凑变量的系数或加减常数项出现定值，满足基本不等式求最值的条件．(2)将目标函数式中的常数用已知式进行等量代换，或者将目标函数式与已知代数式相乘，然后通过化简变形，求得目标函数的最值．【拓展训练】1．若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则1a －1＋9b －1的最小值是( ) A ．1 B ．6 C ．9 D ．16【答案】 B【解析】 ∵正数a ，b 满足1a ＋1b＝1， ∴b ＝a a －1>0，解得a>1.同理可得b>1， ∴1a －1＋9b －1＝1a －1＋9a a －1－1 ＝1a －1＋9(a －1)≥21a －1·9a －1＝6，当且仅当1a －1＝9(a －1)，即a ＝43时等号成立， ∴所求最小值为6.2．(2020·厦门模拟)函数y ＝2x －1＋5－2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<x<52 的最大值是________．【答案】 2 2 【解析】 y 2＝(2x －1＋5－2x)2＝4＋22x －15－2x ≤4＋(2x －1)＋(5－2x)＝8，又y>0，所以0<y ≤22，当且仅当2x －1＝5－2x ，即x ＝32时取等号．故函数的最大值是2 2. 3．(2020·天津)已知a>0，b>0，且ab ＝1，则12a ＋12b ＋8a ＋b的最小值为________． 【答案】 4【解析】 因为a>0，b>0，ab ＝1，所以原式＝ab 2a ＋ab 2b ＋8a ＋b ＝a ＋b 2＋8a ＋b ≥2a ＋b 2·8a ＋b ＝4， 当且仅当a ＋b 2＝8a ＋b， 即a ＋b ＝4时，等号成立．故12a ＋12b ＋8a ＋b的最小值为4. 4．设a ＋b ＝2，b>0，则当a ＝________时，12|a|＋|a|b取得最小值． 【答案】 －2【解析】12|a|＋|a|b ＝a ＋b 4|a|＋|a|b ＝a 4|a|＋b 4|a|＋|a|b ≥－14＋2b 4|a|·|a|b ＝34，当且仅当b 4|a|＝|a|b 且a<0，即a ＝－2，b ＝4时取等号．故当a ＝－2时，12|a|＋|a|b取得最小值．。

2.2 基本不等式(原卷版附答案).pdf

2.2 基本不等式(原卷版附答案).pdf

2.2 基本不等式考点1：利用基本不等式比较大小1．重要不等式如果a ,b ∈R,那么a 2＋b 2≥2ab (当且仅当a ＝b 时取“＝”)．2．基本不等式：≤ab a ＋b 2（1）基本不等式成立的条件：a ,b 均为正实数；（2）等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．3．算术平均数与几何平均数（1）设a >0,b >0,则a ,b 的算术平均数为,几何平均数为；a ＋b 2ab （2）基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．【例1】　已知0<a <1,0<b <1,则a ＋b ,2,a 2＋b 2,2ab 中哪一个最大？ab 【方法技巧】（1）在使用基本不等式≤(a ≥0,b ≥0)时,要注意不等式的双向性．ab a ＋b 2①从左到右：常使用基本不等式的变形公式ab ≤；22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a ②从右到左：常使用a ＋b ≥2.ab （2）运用基本不等式比较大小应注意等号成立的条件．（3）特殊值法是解决不等式的一个有效方法, 但要使特殊值具有一般性．【针对训练】1. 下列不等式中,正确的个数是( )①若a ,b ∈R,则≥；②若x ∈R,则x 2＋2＋≥2；a ＋b2ab 1x2＋2③若x ∈R,则x 2＋1＋≥2；④若a ,b 为正实数,则≥.1x2＋1a ＋b2ab A ．0 B ．1 C ．2 D ．32．已知m ＝a ＋(a >2),n ＝22－b 2(b ≠0),则m ,n 之间的大小关系是________．1a －2考点2：利用基本不等式证明不等式【例2】　已知a ,b ,c 为不全相等的正实数．求证：a ＋b ＋c >＋＋.ab bc ca 【方法技巧】1．所证不等式一端出现“和式”,而另一端出现“积式”,这便是应用基本不等式的“题眼”,可尝试用基本不等式证明．2．利用基本不等式证明不等式的注意点（1）多次使用基本不等式时,要注意等号能否成立；（2）累加法是不等式证明中的一种常用方法,证明不等式时注意使用；（3）对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合,形成基本不等式模型,再使用．【针对训练】3．已知a ,b ,c 为正实数,且a ＋b ＋c ＝1,求证：8111111≥⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-c b a 考点3：基本不等式的实际应用【例3】　如图,动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间,一面可利用原有的墙,其他各面用钢筋网围成．（1）现有可围36 m 长网的材料,每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使每间虎笼面积最大？（2）要使每间虎笼面积为24 m 2,则每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？【变式练习】某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为400平方米的三级污水处理池,平面图如图所示．池外圈建造单价为每米200元,中间两条隔墙建造单价为每米250元,池底建造单价为每平方米80元(池壁的厚度忽略不计,且池无盖)．试设计污水池的长和宽,使总造价最低,并求出最低造价．考点4：利用基本不等式求最值1．用基本不等式求最值的结论（1）设x ,y 为正实数,若x ＋y ＝s (和s 为定值),则当x ＝y ＝时,积xy 有最大值为．s 2s24（2）设x ,y 为正实数,若xy ＝p (积p 为定值),则当x ＝y ＝时,和x ＋y 有最小值为2．p p 2．基本不等式求最值的条件（1）x ,y 必须是正数．（2）求积xy 的最大值时,应看和x ＋y 是否为定值；求和x ＋y 的最小值时,应看积xy 是否为定值．（3）等号成立的条件是否满足．思考：利用基本不等式求最值时应注意哪几个条件？若求和(积)的最值时,一般要确定哪个量为定值？[提示]　三个条件是：一正,二定,三相等．求和的最小值,要确定积为定值；求积的最大值,要确定和为定值．【例4】　设x ,y ,z 均是正数,x －2y ＋3z ＝0,则的最小值为________．y2xz 【方法技巧】1．本题解题的关键是根据已知条件消掉目标函数中的y ,通过对目标函数的变形,转化为考生所熟悉的使用基本不等式求最值的问题．2．使用基本不等式求最值,必须同时满足三个条件：①各项均为正数；②其和或积为定值；③等号必须成立,即“一正、二定、三相等”．在具体问题中,“定值”条件决定着基本不等式应用的可行性,决定着成败的关键．【针对训练】4．已知x >0,y >0,且＋＝1,试求x ＋y 的最小值．1x 9y考点过关1．下列不等式中,正确的是( )A ．a ＋≥4B ．a 2＋b 2≥4ab 4a C.≥ D ．x 2＋≥2ab a ＋b 23x232．a ,b ∈R ,则a 2＋b 2与2|ab |的大小关系是( )A ．a 2＋b 2≥2|ab |B ．a 2＋b 2＝2|ab |C ．a 2＋b 2≤2|ab |D ．a 2＋b 2>2|ab |3．已知a ≥0,b ≥0,且a ＋b ＝2,则( )A ．ab ≤ B ．ab ≥1212C ．a 2＋b 2≥2 D ．a 2＋b 2≤34．若a >0,b >0,a ＋2b ＝5,则ab 的最大值为( )A ．25 B.252C. D.2542585．已知x ＞0,函数的最小值是（ ）9y x x =+A ．2B ．4C ．6D ．87．设a ,b 为正数,且a ＋b ≤4,则下列各式中正确的一个是( )A.＋<1B.＋≥11a 1b 1a 1b C.＋<2 D.＋≥21a 1b 1a 1b 8．设a ,b 为正数,且a ＋b ≤4,则下列各式中正确的一个是( )A ．＋<1B ．＋≥11a 1b 1a 1b C ．＋<2D ．＋≥21a 1b 1a 1b 9．若x >0,y >0,且＋＝1,则xy 有( )2x 8y A ．最大值64B ．最小值164C ．最小值D ．最小值641210．已知x >0,y >0,且x ＋y ＝8,则(1＋x )(1＋y )的最大值为( )A ．16B ．25C ．9D ．36二、填空题11．若a >0,b >0,且＋＝,则a 3＋b 3的最小值为________．1a 1b ab 12．已知0<x <1,则x (3－3x )取得最大值时x 的值为________．13．若实数x 、y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1,则x ＋y 的最大值是________．14．建造一个容积为8 m 3,深为2 m 的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价分别为120元/m 2,80元/m 2,那么水池的最低总造价为________元．三、解答题15．设a ,b ,c 都是正数,试证明不等式：＋＋≥6.b ＋c a c ＋a b a ＋b c 16. 设 求证：0,0,1a b a b >>+=1118a b ab ++≥17．某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动,经调查,该产品的年销售量(即该产品的年产量)x (单位：万件)与年促销费用m (m ≥0)(单位：万元)满足x ＝3－km ＋1(k 为常数),如果不举行促销活动,该产品的年销售量是1万件．已知2020年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金,不包括促销费用)．（1）将2020年该产品的利润y (单位：万元)表示为年促销费用m 的函数；（2）该厂家2020年的促销费用为多少万元时,厂家的利润最大？2.2 基本不等式考点1：利用基本不等式比较大小1．重要不等式如果a ,b ∈R,那么a 2＋b 2≥2ab (当且仅当a ＝b 时取“＝”)．2．基本不等式：≤ab a ＋b2（1）基本不等式成立的条件：a ,b 均为正实数；（2）等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．3．算术平均数与几何平均数（1）设a >0,b >0,则a ,b 的算术平均数为,几何平均数为；a ＋b2ab （2）基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．【例1】　已知0<a <1,0<b <1,则a ＋b ,2,a 2＋b 2,2ab 中哪一个最大？ab [解]　法一：因为a >0,b >0,所以a ＋b ≥2,a 2＋b 2≥2ab ,ab 所以四个数中最大的数应为a ＋b 或a 2＋b 2.又因为0<a <1,0<b <1,所以a 2＋b 2－(a ＋b )＝a 2－a ＋b 2－b ＝a (a －1)＋b (b －1)<0,所以a 2＋b 2<a ＋b ,所以a ＋b 最大．法二：令a ＝b ＝,12则a ＋b ＝1,2＝1,a 2＋b 2＝,2ab ＝2××＝,ab 12121212再令a ＝,b ＝,a ＋b ＝＋＝,12181218582＝2＝,ab 12×1812所以a ＋b 最大．【方法技巧】（1）在使用基本不等式≤(a ≥0,b ≥0)时,要注意不等式的双向性．ab a ＋b2①从左到右：常使用基本不等式的变形公式ab ≤；22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a ②从右到左：常使用a ＋b ≥2.ab （2）运用基本不等式比较大小应注意等号成立的条件．（3）特殊值法是解决不等式的一个有效方法, 但要使特殊值具有一般性．【针对训练】2. 下列不等式中,正确的个数是( )①若a ,b ∈R,则≥；②若x ∈R,则x 2＋2＋≥2；a ＋b2ab 1x2＋2③若x ∈R,则x 2＋1＋≥2；④若a ,b 为正实数,则≥.1x2＋1a ＋b2ab A ．0 B ．1 C ．2 D ．3C [显然①不正确；③正确；对于②,虽然x 2＋2＝无解,但x 2＋2＋＞2成立,故②正确；1x2＋21x2＋2④不正确,如a ＝1,b ＝4.]2．已知m ＝a ＋(a >2),n ＝22－b 2(b ≠0),则m ,n 之间的大小关系是________．1a －2m >n [因为a >2,所以a －2>0,又因为m ＝a ＋＝(a －2)＋＋2,所以m ≥2＋2＝4,由b ≠0,得b 2≠0,1a －21a －2（a －2）·1a －2所以2－b 2<2,n ＝22－b 2<4,综上可知m >n .考点2：利用基本不等式证明不等式【例2】　已知a ,b ,c 为不全相等的正实数．求证：a ＋b ＋c >＋＋.ab bc ca 思路探究：构造基本不等式的条件→运用基本不等式证明→判断等号成立的条件→得出结论[解]　∵a >0,b >0,c >0,∴a ＋b ≥2>0,ab b ＋c ≥2>0,bc c ＋a ≥2>0,ca∴2(a ＋b ＋c )≥2(＋＋),ab bc ca 即a ＋b ＋c ≥＋＋.ab bc ca 由于a ,b ,c 为不全相等的正实数,故等号不成立．∴a ＋b ＋c >＋＋.ab bc ca 【方法技巧】1．所证不等式一端出现“和式”,而另一端出现“积式”,这便是应用基本不等式的“题眼”,可尝试用基本不等式证明．2．利用基本不等式证明不等式的注意点（1）多次使用基本不等式时,要注意等号能否成立；（2）累加法是不等式证明中的一种常用方法,证明不等式时注意使用；（3）对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合,形成基本不等式模型,再使用．【针对训练】3．已知a ,b ,c 为正实数,且a ＋b ＋c ＝1,求证：8111111≥⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-c b a [证明]　因为a ,b ,c 为正实数,且a ＋b ＋c ＝1,所以－1＝＝≥.1a 1－a a b ＋c a 2bca 同理,－1≥,－1≥.1b 2ac b 1c 2abc 上述三个不等式两边均为正,相乘得≥··＝8,当且仅当a ＝b ＝c ＝时,取等号．⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-111111c b a 2bc a 2ac b 2ab c 13考点3：基本不等式的实际应用【例3】　如图,动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间,一面可利用原有的墙,其他各面用钢筋网围成．（1）现有可围36 m 长网的材料,每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使每间虎笼面积最大？（2）要使每间虎笼面积为24 m 2,则每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？思路探究：(1)已知a ＋b 为定值,如何求ab 的最大值？(2)已知ab 为定值,如何求a ＋b 的最小值？[解]　设每间虎笼长x m,宽y m,则由条件知：4x ＋6y ＝36,即2x ＋3y ＝18.设每间虎笼面积为S ,则S ＝xy .法一：由于2x ＋3y ≥2＝2,2x·3y 6xy ∴2≤18,得xy ≤,6xy 272即S ≤,当且仅当2x ＝3y 时,等号成立．272由解得{2x ＋3y ＝182x ＝3y ){x ＝4.5y ＝3.)故每间虎笼长4.5 m,宽3 m 时,可使面积最大．法二：由2x ＋3y ＝18,得x ＝9－y .32∵x >0,∴9－y >0,∴0<y <6,32S ＝xy ＝y ＝(6－y )·y .⎪⎭⎫ ⎝⎛-y 23932∵0<y <6,∴6－y >0,∴S ≤·＝.32()226⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-y y 272当且仅当6－y ＝y ,即y ＝3时,等号成立,此时x ＝4.5.故每间虎笼长4.5 m,宽3 m 时,可使面积最大．(2)由条件知S ＝xy ＝24.设钢筋网总长为l ,则l ＝4x ＋6y .法一：∵2x ＋3y ≥2＝2＝24,2x·3y 6xy ∴l ＝4x ＋6y ＝2(2x ＋3y )≥48.当且仅当2x ＝3y 时,等号成立．由,解得{2x ＝3y xy ＝24){x ＝6y ＝4.)故每间虎笼长6 m,宽4 m 时,可使钢筋网总长最小．法二：由xy ＝24,得x ＝.24y∴l ＝4x ＋6y ＝＋6y ＝6≥6×2＝48.96y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+y y 1616y·y 当且仅当＝y ,即y ＝4时,等号成立,此时x ＝6.16y 故每间虎笼长6 m,宽4 m 时,可使钢筋网总长最小．【变式练习】某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为400平方米的三级污水处理池,平面图如图所示．池外圈建造单价为每米200元,中间两条隔墙建造单价为每米250元,池底建造单价为每平方米80元(池壁的厚度忽略不计,且池无盖)．试设计污水池的长和宽,使总造价最低,并求出最低造价．[解]　设污水池的长为x 米,则宽为米,总造价y ＝(2x ＋2·)·200＋2×250·＋80×400＝400＋32 000≥400×2＋32 000＝56 000(元),当且仅当x 400x 400x 400x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 900x·900x＝,即x ＝30时取等号．900x 故污水池的长为30米、宽为米时,最低造价为56 000元．403考点4：利用基本不等式求最值1．用基本不等式求最值的结论（1）设x ,y 为正实数,若x ＋y ＝s (和s 为定值),则当x ＝y ＝时,积xy 有最大值为．s 2s24（2）设x ,y 为正实数,若xy ＝p (积p 为定值),则当x ＝y ＝时,和x ＋y 有最小值为2．p p 2．基本不等式求最值的条件（1）x ,y 必须是正数．（2）求积xy 的最大值时,应看和x ＋y 是否为定值；求和x ＋y 的最小值时,应看积xy 是否为定值．（3）等号成立的条件是否满足．思考：利用基本不等式求最值时应注意哪几个条件？若求和(积)的最值时,一般要确定哪个量为定值？[提示]　三个条件是：一正,二定,三相等．求和的最小值,要确定积为定值；求积的最大值,要确定和为定值．【例4】　设x ,y ,z 均是正数,x －2y ＋3z ＝0,则的最小值为________．y2xz [点拨]　由条件表示y ,代入到中,变形为能运用基本不等式求最值的形式,求出最小值,但要注意等号取到的条件．y2xz[解]　由x －2y ＋3z ＝0,得y ＝,x ＋3z 2∴＝＝≥＝3.y2xz x2＋9z2＋6xz 4xz 14⎪⎭⎫ ⎝⎛++69x z z x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅69241x z z x 当且仅当x ＝y ＝3z 时,取得最小值3.y2xz【方法技巧】1．本题解题的关键是根据已知条件消掉目标函数中的y ,通过对目标函数的变形,转化为考生所熟悉的使用基本不等式求最值的问题．2．使用基本不等式求最值,必须同时满足三个条件：①各项均为正数；②其和或积为定值；③等号必须成立,即“一正、二定、三相等”．在具体问题中,“定值”条件决定着基本不等式应用的可行性,决定着成败的关键．【针对训练】4．已知x >0,y >0,且＋＝1,试求x ＋y 的最小值．1x 9y[解]　∵x >0,y >0,且＋＝1,1x 9y∴x ＋y ＝(x ＋y )＝＋＋10≥2＋10＝16.(1x ＋9y )y x 9x y y x ·9x y 当且仅当＝,即y ＝3x 时等号成立．y x 9x y又＋＝1,∴当x ＝4,y ＝12时,(x ＋y )min ＝16.1x 9y考点过1．下列不等式中,正确的是( )A ．a ＋≥4B ．a 2＋b 2≥4ab4a C.≥ D ．x 2＋≥2ab a ＋b23x23解析：选D.a ＜0,则a ＋≥4不成立,故A 错；a ＝1,b ＝1,a 2＋b 2＜4ab ,故B 错,a ＝4,b ＝16,则＜,故C 错；由基本不等式可知D 项正确．4a ab a ＋b22．a ,b ∈R ,则a 2＋b 2与2|ab |的大小关系是( )A ．a 2＋b 2≥2|ab |B ．a 2＋b 2＝2|ab |C ．a 2＋b 2≤2|ab |D ．a 2＋b 2>2|ab |解析：∵a 2＋b 2－2|ab |＝(|a |－|b |)2≥0,∴a 2＋b 2≥2|ab |(当且仅当|a |＝|b |时,等号成立)．3．已知a ≥0,b ≥0,且a ＋b ＝2,则( )A ．ab ≤B ．ab ≥1212C ．a 2＋b 2≥2D ．a 2＋b 2≤3解析：∵a ＋b ＝2,∴a 2＋b 2＝a 2＋(2－a )2＝2a 2－4a ＋4＝2(a －1)2＋2,又由题意知0≤a ≤2,则2≤a 2＋b 2≤4,故选C.4．若a >0,b >0,a ＋2b ＝5,则ab 的最大值为( )A ．25 B.252C. D.254258解析：选D.a >0,b >0,a ＋2b ＝5,则ab ＝a ·2b ≤×＝,当且仅当a ＝,b ＝时取等号,故选D.1212(a ＋2b 2)2 25852545．已知x ＞0,函数的最小值是（ ）9y x x =+A ．2B ．4C ．6D ．8解析：∵x ＞0,∴函数,当且仅当x=3时取等号,96y x x =+≥=∴y 的最小值是6．故选：C ．7．设a ,b 为正数,且a ＋b ≤4,则下列各式中正确的一个是( )A.＋<1B.＋≥11a 1b 1a 1b C.＋<2 D.＋≥21a 1b 1a 1b 解析：因为ab ≤2≤2＝4,所以＋≥2≥2＝1.(a ＋b 2)(42)1a 1b 1ab 148．设a ,b 为正数,且a ＋b ≤4,则下列各式中正确的一个是( )A ．＋<1B ．＋≥11a 1b 1a 1b C ．＋<2D ．＋≥21a 1b 1a 1b 解析：　[因为ab ≤≤＝4,所以＋≥2≥2＝1.] 故选B(a ＋b 2)2(42)2 1a 1b 1ab 149．若x >0,y >0,且＋＝1,则xy 有( )2x 8y A ．最大值64B ．最小值164C ．最小值D ．最小值6412解析：D [由题意xy ＝xy ＝2y ＋8x ≥2＝8,∴≥8,即xy 有最小值64,等号成立的条件是x ＝4,y ＝16.](2x ＋8y )2y·8x xy xy 10．已知x >0,y >0,且x ＋y ＝8,则(1＋x )(1＋y )的最大值为( )A ．16B ．25C ．9D ．36解析：B [(1＋x )(1＋y )≤＝＝＝25,因此当且仅当1＋x ＝1＋y ,即x ＝y ＝4时,(1＋x )(1＋y )取最大值25,故选B .][（1＋x ）＋（1＋y ）2]2 [2＋（x ＋y）2]2(2＋82)2二、填空题11．若a >0,b >0,且＋＝,则a 3＋b 3的最小值为________．1a 1b ab 4　[∵a >0,b >0,∴＝＋≥2,即ab ≥2,当且仅当a ＝b ＝时取等号,∴a 3＋b 3≥2≥2＝4,当且仅当a ＝b ＝时取等号,则a 3＋b 3的最小值为4.]2ab 1a 1b 1ab 2（ab ）32322212．已知0<x <1,则x (3－3x )取得最大值时x 的值为________．　[由x (3－3x )＝×3x (3－3x )≤×＝,当且仅当3x ＝3－3x ,即x ＝时等号成立．]121313(3x ＋3－3x 2)2 341213．若实数x 、y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1,则x ＋y 的最大值是________．　[∵x 2＋y 2＋xy ＝1,∴(x ＋y )2＝1＋xy .233∵xy ≤,∴(x ＋y )2－1≤,（x ＋y ）24（x ＋y ）24整理求得－≤x ＋y ≤,233233∴x ＋y 的最大值是.]23314．建造一个容积为8 m 3,深为2 m 的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价分别为120元/m 2,80元/m 2,那么水池的最低总造价为________元．1 760　[设池底一边长为x m,总造价为y 元．则y ＝4×120＋2×80＝320＋480(x >0)．(2x ＋2×4x )(x ＋4x )因为x ＋≥2＝4,4x x·4x当且仅当x ＝即x ＝2时取等号,4x 所以y min ＝480＋320×4＝1 760(元)．]三、解答题15．设a ,b ,c 都是正数,试证明不等式：＋＋≥6.b ＋c a c ＋a b a ＋b c 证明：因为a >0,b >0,c >0,所以＋≥2,＋≥2,＋≥2,b a a bc a a c b c c b 所以＋＋＝＋＋≥6,当且仅当＝,＝,＝,即a ＝b ＝c 时,等号成立．b ＋c a c ＋a b a ＋b c (b a ＋a b )(c a ＋a c )(b c ＋c b )b a a b c a a c c b b c 所以＋＋≥6.b ＋c a c ＋a b a ＋b c 16. 设 求证： 0,0,1a b a b >>+=1118a b ab ++≥【解析】证明[法一]：0,0,1a b a b >>+=1111a b a b ab ab ab +∴++=+22112228122ab ab ab a b =+=≥==+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当,取“=”号。

2.2 基本不等式(精炼)(解析版)

2.2 基本不等式(精炼)(解析版)

2.2 基本不等式【题组一 公式直接运用】1．（2020·全国高一课时练习）已知3x <，求()43f x x x =+-的最大值 . 【答案】1- 【解析】3x <，则30x ->，由基本不等式可得()()4433333133f x x x x x ⎡⎤=+-+=-+-+≤-=-⎢⎥--⎣⎦， 当且仅当433x x=--时，即当1x =时，等号成立， 因此，当3x <时，求()43f x x x =+-的最大值为1-. 2．（2020·广西兴宁.南宁三中高一期末）已知0a >，0b >，1ab =，且1m b a =+，1n a b=+，则m n +的最小值是（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】由1ab =知，12m b b a =+=，12n a a b=+=，∴()24m n a b +=+≥=， 当且仅当1a b ==时取等号.故m n +的最小值为4故选：B4．（2020·浙江省平阳中学高三一模）若0a b +≠，则()2221a b a b +++的最小值为________.【解析】由题意，222222222()()2()222≥a b a b a b ab a b a b +++++++==，当且仅当a b =时等号成立，所以222221()1()2()≥≥a b a b a b a b ++++=++当且仅当22()12()a b a b +=+时取等号，所以当342a b -==时，2221()a b a b +++．5．（2020·全国高一课时练习）（1）已知0x >，求()123f x x x=+的最小值； （2）已知3x <，求()43f x x x =+-的最大值.【答案】（1）12；（2）1-. 【解析】（1）0x ，()12312f x x x ∴=+≥=， 当且仅当1232x x x=⇒=时取等号； 所以()f x 的最小值为12； （2）330x x <⇒->，()4433333133f x x x x x ⎛⎫=+-+=-+-+≤-=- ⎪--⎝⎭， 当且仅当4313x x x=-⇒=-时取等号，所以()f x 的最大值为1-. 5．（2020·全国高三课时练习（理））设0,0,25x y x y >>+=______.【答案】【解析】xy =0,0,25,0,x y x y xy >>+=>∴≥=当且仅当3xy =，即3,1x y ==时成立，故所求的最小值为 【题组二 条件型】1．（2019·云南弥勒市一中高一期末）若0,0a b >>，且1a b +=，则11a b+的最小值为( ) A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】C【解析】因为1a b +=，所以()11112b aa b a b a b a b⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭. 因为0,0a b >>，所以0b a >，0ab>.所以2b a a b a b +=≥，当且仅当b a a b =，即12a b ==时等号成立. 所以11222=4b a a b a b +=+++≥，即11a b+的最小值为4. 2．（2020·上海高一开学考试）正实数,x y 满足：21x y +=，则21x y+的最小值为_____. 【答案】9【解析】()21212225559y x x y xy x y x y +=++=++⎛⎫≥+≥+ ⎝⎭=⎪，当且仅当13x y == 时取等号．故答案为：9．3．（2020·全国高一）已知不等式(x +my)(1x +1y )≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数m 的最小值是( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【答案】B【解析】不等式(x +my)(1x +1y )≥9对任意的正实数x ，y 恒成立， 则xy +my x +1+m ≥9对任意的正实数x ，y 恒成立，又x y +my x≥2√m ，∴2√m +1+m ≥9，解得√m ≥2或√m ≤−4(不合题意，舍去)，∴m ≥4，即正实数m 的最小值是4．故选：B ． 4．（2020·全国高三课时练习（理））已知0,0a b >>，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为_________．【答案】4 【解析】0,0,0a b a b >>∴+>，1ab =,11882222ab ab a b a b a b a b∴++=++++842a b a b +=+≥=+，当且仅当a b +=4时取等号，结合1ab =,解得22a b =-=+，或22a b =+=. 故答案为：45．（2020·甘肃城关.兰州一中高三二模（文））设m ，n 为正数，且2m n +=，则1312n m n ++++的最小值为__________. 【答案】95【解析】令1,2a m b n =+=+，则5a b +=，且13a <<，24b <<， 又1311112n m n a b++=++++， 而()()114222551151115b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++≥+= ⎪⎛⎫+=⨯+⎝⨯ ⎪⎝⎭⎭， 当且仅当52a b ==时等号成立， 故1312n m n ++++的最小值为95. 故答案为：95.【题组三 配凑型】1．（2019·湖南高新技术产业园区 衡阳市一中高二开学考试）已知x≥52，则f （x ）＝24524x x x -+-有（ ）A ．最小值1B ．最大值54C ．最小值54D ．最大值1【答案】A【解析】()()()2221451111212422222x x x f x x x x x -+-+⎡⎤==⨯=-+≥⨯=⎢⎥---⎣⎦，当且仅当122x x -=-即3x =时等号成立2．（2020·天津和平.高三三模（理））已知0x >，1y >-，且1x y +=，则2231x y x y +++最小值为__________．【答案】2【解析】22331111x y x y x y x y ⎛⎫+⎛⎫+=++-+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 结合1x y +=可知原式311x y =++，且()()13131311411221x y y x x y x y x y +++⎡⎤⎛⎫+=+⨯=++⎢⎥ ⎪+++⎝⎭⎣⎦1422⎡≥+=⎢⎢⎣当且仅当32x y ==-+.即2231x y x y+++最小值为2+. 3．（2020·上海高一开学考试）函数()2436x x f x x ++=-的值域为__________．【答案】(),161667,⎡-∞-++∞⎣【解析】设21663636,6,()16t t x t x t g t t t t++-==+==++，当0t >时，()16g t ≥，当且仅当6t x ==时等号成立； 同理当0t <时，()16g t≤-，当且仅当6t x =-=-时等号成立； 所以函数的值域为(),161667,⎡-∞-++∞⎣. 故答案为: (),161667,⎡-∞-++∞⎣. 4（2019·江苏东海.高二期中）函数()()2411x x f x x x -+=>-的最小值为______.【答案】5【解析】()()()()221144411111x x x x f x x x x x -+-+-+===-++---. 1x >，10x ∴->，()4141x x ∴-+≥=-（当且仅当411x x -=-，即3x =时取等号），()min 415f x ∴=+=.故答案为：5. 【题组四 换元法】1．（2020·荆州市北门中学高一期末）若实数,x y 满足0xy >，则的最大值为（ ）A．2B．2+C．4+D．4-【答案】D【解析】由实数,x y 满足0xy >，，设{2m x y n x y=+=+，解得2{x m ny n m =-=-，则2222224()424222x y m n n m n m n mx y x y m n m n m n--+=+=-+≤-⋅=-++，当且仅当2n m m n =，及2n m =时等号成立，所以的最大值为422-，故选D.2．（2020·浙江高三月考）已知x 、y 为正实数，满足427x y xy ++=，则2x y +的最小值为______. 【答案】3【解析】由427x y xy ++=可得出()92217492212121x x y x x x -+-===-+++， 由于x 、y 为正实数，则074021x xy x >⎧⎪-⎨=>⎪+⎩，可得704x <<， ()99222213332121x y x x x x ∴+=+-=++-≥=++， 当且仅当92121x x +=+时，即当1x =时，等号成立， 因此，2x y +的最小值为3. 故答案为：3.3．（2019·浙江衢州.高二期中）若正实数x ，y 满足2210y xy +-=，则2x y +的最小值为______.【解析】由2210y xy +-=可得212y x y-=21111322222222y y y y y y y y x y -+=-+=+≥==+当且仅当3y =时，等号成立.则2x y +【题组五 求参数】1．（2019·山东济宁.高一月考）设()11,,x y R x y a x y +⎛⎫∈++≥⎪⎝⎭恒成立，则实数a 的最大值为（ ） A ．2 B ．4 C ．8D ．16【答案】B【解析】由于()11224x y x y x y y x ⎛⎫++=++≥+=⎪⎝⎭，当且仅当1x y ==时等号成立，而()11,,x y R x y a x y +⎛⎫∈++≥ ⎪⎝⎭恒成立，故4a ≤，也即a 的最大值为4.故选B.2．（2020·全国高一）已知0,0a b >>，若不等式212na b a b+≥+恒成立，则n 的最大值为（ ） A ．9 B ．12C ．16D ．20【答案】A 【解析】因为0,0a b >>，所以20a b +>，22121((2))a b n n a b a b a b+≥⇒++≥+，2212()552)(9b a b b a a a b +=++≥+=+（当且仅当a b =时，取等号），要想不等式212n a b a b+≥+恒成立，只需9n ≤，即n 的最大值为9，故本题选A. 3（2020·黑龙江建华.齐齐哈尔市实验中学高一期中）若两个正实数,x y 满足211x y+=,且222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()[),24,-∞-+∞ B ．()[),42,-∞-+∞ C ．()2,4- D ．()4,2-【答案】D【解析】由基本不等式得()21422448y x x y x y x y x y⎛⎫+=++=++≥=⎪⎝⎭，当且仅当4y xx y=，由于0x >，0y >，即当2x y =时，等号成立， 所以，2x y +的最小值为8，由题意可得228m m +<，即2280m m +-<， 解得42m -<<，因此，实数m 的取值范围是()4,2-，故选D. 4．（2020·全国高三课时练习（理））已知关于x 的不等式227x x a+≥-在(,)x a ∈+∞上恒成立，则实数a 的最小值为 （ ） A ．1 B ．52C ．2D ．32【答案】D【解析】设2()2f x x x a=+-，,0x a x a >∴->，227x x a+≥-在(,)x a ∈+∞上恒成立，需min ()7f x ≥， 22()22()222242f x x x a a a a x a x a=+=-++≥⨯+=+--， 当且仅当11x a x a -==-，即1x a =+时等号成立， 3427,2a a ∴+≥≥. 故选：D.5．（2020·全国高三课时练习（理））设a 、b 、c 都是正实数，且a 、b 满足191a b+=，则使a b c +≥恒成立的c 的范围是（ ） A ．(0，8] B ．(0，10] C ．(0，12]D ．(0，16]【答案】D【解析】∵a 、b 为正实数，191a b+=，∴199()1010b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++≥+ ⎪+⎭=⎝+，当且仅当9b aa b=，即4,12a b ==时等号成立， ∴min 6()1a b =+，要使c a b ≤+恒成立， ∵c 为正实数， ∴016c <≤ . 故选：D.【题组六 实际应用题】1．（2020·全国高一课时练习）（1）用篱笆围一个面积为2100m 的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？（2）用一段长为36m 的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？【答案】（1）当这个矩形菜园是边长为10m 的正方形时，最短篱笆的长度为40m ；（2）当这个矩形菜园是边长为9m 的正方形时，最大面积是281m .【解析】设矩形菜园的相邻两条边的长分别为xm 、ym ，篱笆的长度为()2x y m +.（1）由已知得100xy =，由2x y+≥，可得20x y +≥=，所以()240x y +≥， 当且仅当10x y ==时，上式等号成立.因此，当这个矩形菜园是边长为10m 的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为40m ；（2）由已知得()236x y +=，则18x y +=，矩形菜园的面积为2xym .18922x y +≤==，可得81xy ≤， 当且仅当9x y ==时，上式等号成立.因此，当这个矩形菜园是边长为9m 的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是281m .2．（2019·南昌.江西师大附中高一期中）为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2019年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用t(t≥0)万元满足421kx t =-+(k 为常数)．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2019年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分)．(1)将该厂家2019年该产品的利润y 万元表示为年促销费用t 万元的函数； (2)该厂家2019年的年促销费用投入多少万元时厂家利润最大？【答案】（1）()1827021y t t =-≥+；（2）2019年的年促销费用投入2.5万元时，该厂家利润最大 【解析】（1）由题意有141k=-，得3k =故34.21x t =-+∴18912727.5[()]27.521.512122y t t t t =--=-++≤-=++()1827021t t t =--≥+（2）由（1）知：18912727527521512122y t t t t ⎡⎤⎢⎥⎛⎫=--=⋅-++≤⋅-⋅⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥+⎣⎦当且仅当91,122t t =++即25t =⋅时，y 有最大值. 答: 2019年的年促销费用投入2.5万元时，该厂家利润最大.3．（2020·淄博市临淄中学高二期末（文））某工厂修建一个长方体无盖蓄水池，其容积为6400立方米，深度为4米．池底每平方米的造价为120元，池壁每平方米的造价为100元．设池底长方形的长为x 米． （Ⅰ）求底面积，并用含x 的表达式表示池壁面积； （Ⅰ）怎样设计水池能使总造价最低?最低造价是多少?【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅰ）池底设计为边长40米的正方形时，总造价最低，其值为256000元. 【解析】（Ⅰ）设水池的底面积为S 1，池壁面积为S 2， 则有S 1=64004=1600 (平方米)．池底长方形宽为1600x米，则S 2＝8x ＋8×1600x＝8(x ＋1600x)．（Ⅰ）设总造价为y ，则y ＝120×1 600＋100×8(x ＋1600x )≥192000＋64000＝256000．当且仅当x ＝1600x ，即x ＝40时取等号．所以x ＝40时，总造价最低为256000元．答：当池底设计为边长40米的正方形时，总造价最低，其值为256000元．4．（2020·全国高一课时练习）用篱笆围一个面积为2100m 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？【答案】矩形的长、宽都为10m 时，所用篱笆最短，最短篱笆为40m .【解析】设矩形菜园的长为m x ，宽为m y ，则100xy =，篱笆的长为()2x y m +.由基本不等式可得()2240x y +≥⨯=，当且仅当10x y ==时，等号成立，因此，这个矩形的长、宽都为10m 时，所用篱笆最短，最短篱笆为40m .5．（2020·山东济宁.高一月考）经观测，某公路段在某时段内的车流量y (千辆/小时)与汽车的平均速度v (千米/小时)之间有函数关系：()2920031600=>++v y v v v ． (1)在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时车流量y 最大？最大车流量为多少？(精确到0.01) (2)为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？【答案】（1）平均速度40v =时，y 最大为11.08； （2）平均速度应控制在25/km h 到64/km h 范围内.【解析】（1）292031600v y v v =++92016003v v=++，160080v v +≥=，92092011.0816008033y v v∴=≤≈+++ 当且仅当1600v v=，即40v =时，等号成立， ∴平均速度40v =时，y 最大，最大为11.08．（2）由29201031600v v v ≥++，28916000v v ∴-+≤，()()64250v v ∴--≤． 2564v ∴≤≤，∴平均速度应控制在25/km h 到64/km h 范围内．。

基本不等式(解析版)

基本不等式(解析版)
【详解】
根据基本不等式，可知要使得 a 2 b 1 2 a 2 b 1 ，
试卷第 5页，总 7页
则满足
a b
20 1 0
，解得
a
2,
b
1
，
当且仅当 a 2 b 1 时，即 a b 1 时等号成立.
故答案为：（1） a 2 且 b 1 （2） a b 1 .
15．若 loga (a 1) loga (2 a ) 0 ，则实数 a 的取值范围是__________．
D．ac2＜bc2
【详解】
取 a 1, b 1, c 0 代入验证可知，A、D 选项错误；取 a 1, b 2 代入验证可知，B 选项错误.对于 C
选项，由于 a ¹ b ，所以 a b2 0 ，即 a2 b2 2ab 0, a2 b2 2ab 成立.
故选：C
试卷第 3页，总 7页
D，因为
x
0,
2
，所以
sin
x
0,1
，所以
y
sin
x
1 sin
x
2
，当且仅当
sin
x
1 sin
x
，即
x
2
时，等号成立，而
x
0,
2
，所以不正确.
故选：C.
二、填空题 13．若不等式 a < x + 4对∀x ∈ (0, + ∞)恒成立，则实数 a 的取值范围是__________．
x
【答案】（ − ∞，4）
，
故 D 正确．
试卷第 4页，总 7页
12．在下列函数中，最小值为 2 的是（
A． y x 5 （ x R 且 x 0 ） 5x
）

2.2.1基本不等式【解析版】

2.2.1基本不等式【解析版】

2.2.1基本不等式【解析版】2.2.1基本不等式1．下列不等式中，正确的是( ) A ．a ＋4a ≥4 B ．a 2＋b 2≥4ab C.ab ≥a ＋b2D ．x 2＋3x 2≥23解析：选D.a ＜0，则a ＋4a ≥4不成立，故A 错；a ＝1，b ＝1，a 2＋b 2＜4ab ，故B 错，a ＝4，b ＝16，则ab ＜a ＋b2，故C 错；由基本不等式可知D 项正确． 2．a ，b ∈R ，则a 2＋b 2与2|ab |的大小关系是( ) A ．a 2＋b 2≥2|ab | B ．a 2＋b 2＝2|ab | C ．a 2＋b 2≤2|ab |D ．a 2＋b 2>2|ab |解析：∵a 2＋b 2－2|ab |＝(|a |－|b |)2≥0，∴a 2＋b 2≥2|ab |(当且仅当|a |＝|b |时，等号成立)． 3．已知a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则( ) A ．ab ≤12 B ．ab ≥12 C ．a 2＋b 2≥2D ．a 2＋b 2≤3解析：∵a ＋b ＝2，∴a 2＋b 2＝a 2＋(2－a )2＝2a 2－4a ＋4＝2(a －1)2＋2，又由题意知0≤a ≤2，则2≤a 2＋b 2≤4，故选C.4．若a >0，b >0，a ＋2b ＝5，则ab 的最大值为( ) A ．25 B.252 C.254D.258解析：选D.a >0，b >0，a ＋2b ＝5，则ab ＝12a ·2b ≤12×?a ＋2b 22＝258，当且仅当a ＝52，b ＝54时取等号，故选D.5．已知x ＞0，函数9y x x=+的最小值是（） A ．2B ．4C ．6D ．8解析：∵x ＞0，∴函数96y x x =+≥=，当且仅当x=3时取等号，∴y 的最小值是6．故选：C ．6.（3－a ）（a ＋6）(－6≤a ≤3)的最大值为( ) A ．9B.92 C ．3D.322解析：选B.因为－6≤a ≤3，所以3－a ≥0，a ＋6≥0，所以（3－a ）（a ＋6）≤（3－a ）＋（a ＋6）2＝92.即（3－a ）（a ＋6）(－6≤a ≤3)的最大值为92.7．设a ，b 为正数，且a ＋b ≤4，则下列各式中正确的一个是( ) A.1a ＋1b <1 B.1a ＋1b ≥1 C.1a ＋1b <2D.1a ＋1b ≥2解析：因为ab ≤?a ＋b 22≤? ????422＝4，所以1a ＋1b ≥21ab ≥214＝1.8.设x >0，则y ＝3－3x －1x 的最大值是( )A ．3B ．3－22C ．3－2 3D ．－1解析：选C.y ＝3－3x －1x ＝3－? ?3x ＋1x ≤3－23x ·1x ＝3－23，当且仅当3x ＝1x ，即x ＝33时取等号．9．已知a ，b ∈R ，且ab ≠0，则在①a 2＋b 22≥ab ；②b a ＋ab ≥2；③ab ≤?a ＋b 22；④? ??a ＋b 22≤a 2＋b 22这四个不等式中，恒成立的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：①由a ，b ∈R ，得a 2＋b 22≥ab ；②由a ，b ∈R ，得b a 与ab 不一定是正数，不等式不一定成立；③ab －?a ＋b 22＝－a －b 24≤0；④?a ＋b 22－a 2＋b22＝－a －b24≤0，故①③④恒成立，故选C.10.《几何原本》第二卷中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，并称之为无字证明．现有如图所示的图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB .设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为( )A.a＋b2≥ab(a>0，b>0) B．a2＋b2≥2ab(a>0，b>0)C.2aba＋b≤ab(a>0，b>0) D.a＋b2≤a2＋b22(a>0，b>0)解析：由图形可知OF＝12A A B＝a＋b2，OC＝a－b2.在Rt△OCF中，由勾股定理可得CF＝a＋b 22＋a－b22＝a2＋b22.∵CF≥OF，∴a＋b2≤a2＋b22(a>0，b>0)．11．已知x＞0，y＞0，2x＋3y＝6，则xy的最大值为________．解析：因为x＞0，y＞0，2x＋3y＝6，所以xy＝16(2x·3y)≤16·?2x＋3y22＝16·?622＝32.当且仅当2x＝3y，即x＝3，y＝1时，xy取到最大值32.12．不等式a2＋4≥4a中，等号成立的条件为A A A A A A A A A A.解析：令a2＋4＝4a，则a2－4a＋4＝0，∴a＝2.13．若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是A A A A A A A A.解析：∵a>0，b>0，∴ab＝a＋b＋3≥2ab＋3，即ab－2ab－3≥0，解得ab≥3，即ab≥9.14．给出下面三个推导过程：①∵a，b为正实数，∴ba＋ab≥2ba·ab＝2；②∵a∈R，a≠0，∴4a＋a≥4a·a＝4；③∵x ，y ∈R ，xy <0，∴x y ＋y x ＝－－x y ＋? ????－y x ≤－2－x y ? ??－y x ＝－2. 其中正确的推导过程为 .解析：①∵a ，b 为正实数，∴b a ，ab 为正实数，符合基本不等式的条件，故①的推导过程正确；②a ∈R ，a ≠0，不符合基本不等式的条件，∴②的推导过程错误；③由xy <0，得x y ，yx 均为负数，∴? ????－x y ，? ????－y x 均为正数，符合基本不等式的条件，故③的推导过程正确．故选①③.15．给出下列不等式：①x ＋1x ≥2；②x ＋1x ≥2；③x 2＋y 2xy ≥2；④x 2＋y 22>xy ；⑤|x ＋y |2≥|xy |.其中正确的是________(写出序号即可)．解析：当x >0时，x ＋1x ≥2；当x <0时，x ＋1x ≤－2，①不正确；因为x 与1x 同号，所以x ＋1x ＝|x |＋1|x |≥2，②正确；当x ，y 异号时，③不正确；当x ＝y 时，x 2＋y 22＝xy ，④不正确；当x ＝1，y ＝－1时，⑤不正确．答案：②16．设a ，b ，c 都是正数，试证明不等式：b ＋c a ＋c ＋a b ＋a ＋bc ≥6.证明：因为a >0，b >0，c >0，所以b a ＋a b ≥2，c a ＋a c ≥2，b c ＋cb ≥2，所以b ＋c a ＋c ＋a b ＋a ＋b c ＝? ????b a ＋a b ＋? ????c a ＋a c ＋? ????b c ＋c b ≥6，当且仅当b a ＝a b ，c a ＝a c ，c b ＝bc ，即a＝b ＝c 时，等号成立．所以b ＋c a ＋c ＋a b ＋a ＋b c ≥6. 17．设a ，b ，c ∈R ＋.求证：(1)ab (a ＋b )＋bc (b ＋c )＋ca (c ＋a )≥6abc ； (2)(a ＋b ＋c )? ????1a ＋1b ＋c ≥4. 证明：(1)∵a ，b ，c ∈R ＋，∴左边＝a 2b ＋ab 2＋b 2c ＋bc 2＋c 2a ＋ca 2 ＝(a 2b ＋bc 2)＋(b 2c ＋ca 2)＋(c 2a ＋ab 2)≥2a 2b 2c 2＋2a 2b 2c 2＋2a 2b 2c 2＝6abc ＝右边，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．(2)∵a ，b ，c ∈R ＋，∴左边＝[a ＋(b ＋c )]? ????1a ＋1b ＋c ≥2a b ＋c ·21ab ＋c＝4＝右边，当且仅当a ＝b ＋c 时，等号成立．18. 设0,0,1a b a b >>+= 求证：1118a b ab++≥【解析】证明[法一]：0,0,1a b a b >>+=1111a b a b ab ab ab+∴++=+22112228122ab ab ab a b =+=≥==+???? ? ?????当且仅当1==2a b ，取“=”号。

专题2.2 基本不等式【九大题型】(解析版)

专题2.2 基本不等式【九大题型】(解析版)
vQ
2+2
2
g 1 +
&
>
+
2
2+2
%
2
2
Qe
2+2
2
2
> 1+
>
+
%
2
+
Q
2
2
Q
!"#u(1 + %)(1 + %) < 1 +
vQ 1 +
2+2
%
2

C.
3
+,
2
> 1+
+
%
2
2
+
%
2
2
Q
> (1 + %)(1 + %).
>?@ 1 AB!"#
1. AB!"#
!"#
CD
" 7834
EF!"#
a2+b2≥2ab(a,bGR)
HIJH“a=b”
KL“=”

!"#
a＋b
HIJH“a=b”
2
KL“=”
abM
(a>0,b>0)
a＋b
2

NOP aQb $RSTU Q abNOP aQb $VWTU X
!"#Y.
ABP $RSTU !*Z[\$VWTU X
2+5
1
Z BQ 2 +2 > 0Qv2 +2 + 2+2 ≥ 2 (2 + 2) ⋅
" !78Q B !
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

培优点2 基本不等式的综合问题
【要点提炼】
利用基本不等式求最值时，要坚持“一正、二定、三相等”原则，解题时可以对条件灵活变形，满足求最值的条件要求．
【典例】1 (1)已知x 2＋y 2
＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是_________________________．
(2)设x ≥0，y ≥0，x 2＋y 22＝1，则x ·1＋y 2的最大值为________． (3)已知x>0，y>0，1x ＋2y ＋1
＝2，则2x ＋y 的最小值为________． 【答案】 (1)233 (2)324
(3)3 【解析】 (1)由(x ＋y)2
＝xy ＋1， 得(x ＋y)2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＋1， 则x ＋y ≤233(当且仅当x ＝y ＝33
时取等号)， 故x ＋y 的最大值为233
. (2)x ·1＋y 2＝2x ·1＋y 22
≤2·x 2＋1＋y 222＝2·x 2＋y 22＋122 ＝324⎝ ⎛⎭
⎪⎫当且仅当x ＝32，y ＝22时取等号， 故x ·1＋y 2的最大值为324
. (3)∵2x ＋(y ＋1)＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x ＋2y ＋1[2x ＋(y ＋1)]
＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋y ＋1x ＋4x y ＋1＋2≥4， ∴2x ＋y ＝2x ＋(y ＋1)－1≥3(当且仅当x ＝1，y ＝1时取等号)，故2x ＋y 的最小值为3.
【典例】2 记max{a ，b}为a ，b 两数的最大值，则当正数x ，y(x>y)变化时，t ＝max ⎩
⎨⎧⎭⎬⎫x 2，25y x －y 的最小值为________．
【答案】 10
【解析】 方法一 由题意知t ≥x 2，t ≥25y
x －y ， ∴2t ≥x 2
＋25y x －y ， 又∵x 2＋25y x －y ≥x 2＋25⎣⎢⎡⎦
⎥⎤y ＋x －y 22＝x 2＋100x 2 ≥20，∴2t ≥20，即t ≥10.
∴当正数x ，y(x>y)变化时，t ＝max ⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x 2，25y x －y 的最小值为10. 方法二 由题意知t ≥x 2>0，t ≥25y
x －y >0， ∴t 2≥x 2
·25y x －y ， 又∵x 2·25y x －y ≥x 2·25⎣⎢⎡⎦
⎥⎤y ＋x －y 22＝x 2·100x 2 ＝100，∴t 2
≥100，即t ≥10.
∴当正数x ，y(x>y)变化时，t ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 2，25y x －y 的最小值为10. 【方法总结】
(1)运用基本不等式求最值时，可通过配凑变量的系数或加减常数项出现定值，满足基本不等式求最值的条件．
(2)将目标函数式中的常数用已知式进行等量代换，或者将目标函数式与已知代数式相乘，然后通过化简变形，
求得目标函数的最值．
【拓展训练】
1．若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则1a －1＋9b －1的最小值是( ) A ．1 B ．6 C ．9 D ．16
【答案】 B
【解析】 ∵正数a ，b 满足1a ＋1b
＝1， ∴b ＝a a －1
>0，解得a>1.同理可得b>1， ∴1a －1＋9b －1＝1a －1＋9a a －1
－1 ＝1a －1＋9(a －1)≥21a －1·9a －1＝6，
当且仅当1a －1＝9(a －1)，即a ＝43
时等号成立， ∴所求最小值为6.
2．(2020·厦门模拟)函数y ＝2x －1＋5－2x ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12<x<52 的最大值是________．
【答案】 2 2
【解析】 y 2＝(2x －1＋5－2x)2
＝4＋22x －15－2x ≤4＋(2x －1)＋(5－2x)＝8，
又y>0，所以0<y ≤22，当且仅当2x －1＝5－2x ，即x ＝32
时取等号．故函数的最大值是2 2. 3．(2020·天津)已知a>0，b>0，且ab ＝1，则12a ＋12b ＋8a ＋b
的最小值为________．
【答案】 4
【解析】 因为a>0，b>0，ab ＝1，
所以原式＝ab 2a ＋ab 2b ＋8a ＋b
＝
a ＋
b 2＋8a ＋b ≥2a ＋b 2·8a ＋b ＝4， 当且仅当a ＋b 2＝8a ＋b
， 即a ＋b ＝4时，等号成立．
故
12a ＋12b ＋8a ＋b 的最小值为4. 4．设a ＋b ＝2，b>0，则当a ＝________时，12|a|＋|a|b
取得最小值． 【答案】 －2
【解析】
12|a|＋|a|b ＝a ＋b 4|a|＋|a|b ＝a 4|a|＋b 4|a|＋|a|b ≥－14＋2b 4|a|·|a|b ＝34，当且仅当b 4|a|＝|a|b 且a<0，即a ＝－2，b ＝4时取等号．故当a ＝－2时，12|a|＋|a|b
取得最小值．。

相关文档
最新文档