机械振动3强迫振动1-4讲解
强迫振动现象分析资料讲解
蒋留杰
机械加工过程中 ,在工件和刀具之间常产 生振动 。 产生振动时 ,工艺系 统的正常 切削 过程便受到干扰和破坏 ,从而零件 加工表面出现振纹 ,降低了 零件的加工 精度和表面质量 。机械加工过程中 产生 的振动 ,按其产生的原因来分 ,可分为自 由 振动 、强迫振动 和 自 激振动 三大 类 。 自由振动往往是由于切削力的突然 变化或其他外力的冲击等原因所引 起的 。 这种振动一般可以迅速衰减 ,因此对机械 加工过程中 的影响较小 。 而强迫振动 和自激振动都是不能自 然衰减而且危害 较大的振动 。
(2) 隔振 :即在振动的路线中安放具有弹性性 能的隔振装置 ,使振源所产生的大部分振动由 隔振装置来吸收 ,以减小振源对加工过程中 的干扰 。 如将机床安置在防振地基上及在振 源与刀具和工件之间设置弹簧或橡皮垫片等 。
(3) 提高工艺系统的刚度及增大阻尼 ,其目 的是使强迫振动的频率远离系统的固有频率 。 如使其避开共振区 ,使在λ≤0 (干扰力的频 率与系统固有频率的比值) 或λ ≥0 的情况 下加工 ,采用刮研接触面来提高部件的刚度 。
Байду номын сангаас
1 . 4 外部振源
由邻近设备 (如冲压设备 、龙门 刨等) 工作时的强烈振动通过地基传来 ,使工艺 系统产生相同 (或整倍数) 频率的强迫振 动。
3
减小强迫振动的措施和途径
(1) 减少或消除振源的激振力 :例如精确平衡 各回转零件、部件 ,对电动机的转子和砂轮不 但要进行静平衡 ,而且要进行动平衡。 轴承 的制造精度以及装配和调试质量常常对减小强 迫振动有较大的影响 。
1 .2 机床传动系统中的误差
机床传动系统中的齿轮 ,由于制造和装配误 差而产生周期性的激振力 。此外 ,皮带接 缝 ,轴承滚动体尺寸差和液压传动中油液脉 动等各种因素均可能引起工艺系统强迫振 动。
机械振动3强迫振动1-4讲解
求系统响应。
解：方程的通解为
x
C1
cosnt
C2
sin
nt
k
F0
m
2
sin
t
将初始条件代上式：
x(0)
C1
x0
,
x(0)
C2n
k
F0 m2
x0
得：
C1
x0
,
C2
x0
n
F0 ( / n ) k m 2
方程的解（系统的响应）为
x
x0
cosnt
arc
2
tan 1
2
其中
n
,
n
k M
机械的振动为 x X sin(t ) me2
k 机器的振幅可改为：
X me 2 H ()
k
sin(t ) (1 2 )2 (2 )2
180
me ( )2
1
M n (1 2 )2 (2 )2
x(t)
e nt
( x0
c osd t
x0
n x0 d
sin dt)
初始条件响应
X 0ent [sin
c osd t
n d
(
s in
cos) sin dt]
X0
sin(t
)
自由伴随振动，也是衰减的
强迫振动
n
k m
c
响应 x 也为复变量，其实部和虚部分别表示系统对余弦 激励和正弦激励的响应。
初中物理机械振动知识点详解
初中物理机械振动知识点详解1. 什么是机械振动机械振动指的是物体在受到外力作用后产生的周期性运动。
在机械振动中，物体会围绕某个平衡位置做往复运动。
2. 机械振动的基本特征机械振动具有以下基本特征：- 振动的物体有一个平衡位置，即物体在没有外力作用时所处的位置。
- 振动的物体围绕平衡位置做往复运动，即在两个极端位置之间来回运动。
- 振动是周期性的，即在一定的时间内重复发生。
- 振动的物体有一个振动的幅度，即离开平衡位置的最大距离。
3. 机械振动的分类机械振动可以分为以下几类：- 自由振动：物体在没有外力作用下的振动，例如摆钟。
- 强迫振动：物体在外力的作用下进行的振动，例如摩擦力使得弹簧振子振动。
- 受迫振动：物体在外力周期性作用下的振动，例如风吹树木摆动。
4. 机械振动的重要参数在机械振动中，有几个重要的参数需要了解：- 振动周期（T）：振动完成一个往复运动所需的时间。
- 振动频率（f）：振动完成一个往复运动所需的次数。
- 振动幅度（A）：物体离开平衡位置的最大距离。
- 振动角频率（ω）：振动频率与2π的乘积。
- 振动频率与周期的关系：f = 1 / T，频率和周期是倒数关系。
5. 机械振动的过程机械振动的过程包括以下几个阶段：- 起始阶段：物体受到外力的作用，开始从平衡位置偏离。
- 最大位移阶段：物体离开平衡位置，达到最大偏离距离。
- 回复阶段：物体开始回到平衡位置，速度逐渐减小。
- 平衡阶段：物体回到平衡位置，速度为零。
6. 机械振动的影响因素机械振动受以下几个因素影响：- 物体的质量：质量越大，振动的惯性越大。
- 物体的弹性恢复力：恢复力越大，振动的频率越高。
- 外力的大小和方向：外力的大小和方向会改变振动的幅度和方向。
- 空气阻尼：空气的阻力会减弱振动的幅度和周期。
7. 机械振动的应用机械振动在生活中有着广泛的应用，例如：- 摇篮摇晃：通过摇篮的周期性摆动，帮助婴儿入睡。
- 震动筛分：将颗粒品进行分离，根据颗粒的大小进行筛选。
大学物理课件-阻尼、强迫振动
B）阻尼振動週期
T 2 2 2
02 2 0
1（52）–8 多（0 普大勒阻尼效）应
第十五章 机械波
其解： x et (C1e1t C2e1t )
12 2 02
x C1、C2為由初始條件決定的常數。
0
（3） （0 臨介阻尼）
t
x et (C1 C2t )
0
C1、C2為由初始條件決定的常數。
v0 )2
arctg( v0 x0 ) x0
15 – 8 多普勒效应 x 阻尼振動第位十移五時章間机曲械線波
x A0et cos(t ) A
02 2
O
A0e t
A0e t cos t
t
T A
( 0)
討論:A) 當阻力不大時,質點在平衡位置振動.但振幅
A A0et 隨時間變化。
二 掌握描述簡諧運動的旋轉向量法，並會用 於簡諧運動規律的討論和分析.正確理解諧振動系統 能量的特點。
三 理解同方向、同頻率簡諧運動的合成規律， 會求合成振動方程；熟練掌握合成加強與減弱的條 件；瞭解拍合成的特點.
四 定性瞭解阻尼振動、受迫振動和共振的發 生條件及規律.
A
共振頻率
A要最大：
d dt
[(02
p2
)2
4
2
p2
]
0
小阻尼
阻尼 0
解得：p pr 02 2 2
Ar
2m
F0
2 0
2
這時振幅最大。
大阻尼
o
0
P
125、–速8度共多振普--勒共振效時应速度最大
第十五章 机械波
v dx Ap sin( pt )
dt
Ap
机械振动学基础知识强迫振动的共振现象分析
机械振动学基础知识强迫振动的共振现象分析机械振动学是研究物体在受到外力作用下产生振动的学科，强迫振动是指物体在外力作用下产生振动，其中一个重要的现象就是共振。
共振是指在一定条件下，外力的频率与物体的固有频率相同或相近时，物体的振动幅度会出现显著增强的现象。
本文将从振动的基本概念入手，详细分析强迫振动的共振现象。
1. 振动的基本概念振动是指物体围绕静态平衡位置做周期性的往复运动。
在机械系统中，振动通常由质点系统、连续弹性系统或混合系统引起。
质点系统振动时，其动力学模型可用简谐振动方程描述；连续弹性系统则需要运用弹性力学理论和波动理论。
振动的主要参数包括振动的频率、振幅、相位和周期。
2. 强迫振动的特点当物体受到外力作用时，如果外力的频率与物体的固有频率相同或相近，就会出现强迫振动。
外力会引起系统振动，并在系统中储存和释放能量。
强迫振动的特点是振幅可随时间周期性变化，当外力频率接近系统的固有频率时，振幅达到极大值。
3. 共振现象的分析共振是强迫振动的一个重要现象，当外力频率等于系统固有频率时，共振现象最为显著。
共振会导致系统振幅呈指数级增长，可能引起系统失稳和破坏。
共振现象在实际工程中需要引起重视，设计中需考虑控制外力频率或调整系统固有频率以避免共振。
4. 共振现象的应用虽然共振现象可能带来负面影响，但在某些情况下也可以利用共振来实现特定的功能。
例如，共振现象在音响设备、机械传动系统和通信系统中有广泛应用。
利用共振可提高系统性能和效率，但需注意共振可能带来的危险性。
结语：机械振动学中的强迫振动和共振现象是一门重要的研究领域，对于了解和应用振动学知识具有重要意义。
了解振动的基本概念、强迫振动的特点以及共振现象的分析可以帮助工程师和科研人员更好地设计和优化机械系统，提高系统的效率和稳定性。
在实际工程应用中，需要谨慎对待共振现象，合理设计系统参数以避免共振带来的危害，同时可以利用共振现象来优化系统性能。
愿本文对读者对机械振动学基础知识和强迫振动的共振现象有所帮助。
机械振动的分类
机械振动的分类机械振动是指机械系统中由于外界或内部因素引起的物体运动，它在机械工程中具有广泛的应用。
机械振动可以分为自由振动、强迫振动和阻尼振动等多种类型。
本文将对机械振动的分类进行详细介绍。
一、自由振动自由振动是指机械系统在没有外界干扰的情况下发生的振荡运动。
它是由于物体受到某种力的作用而偏离平衡位置后，又受到弹性力的作用而回到平衡位置，然后再次偏离平衡位置并回到平衡位置，如此反复进行。
自由振动不需要外部能量输入，其频率和幅值只与系统本身的特性有关。
二、强迫振动强迫振动是指机械系统在外界施加周期性力或随时间变化的力作用下发生的周期性运动。
它需要外部能量输入才能维持运动状态，并且其频率与施加力的频率相同或者是其倍数。
强迫振动可以通过改变施加力的频率和幅值来改变系统响应。
三、阻尼振动阻尼振动是指机械系统在运动过程中由于摩擦、空气阻力等因素的存在而逐渐减弱振幅，最终停止运动的一种振动。
阻尼振动可以分为过阻尼、临界阻尼和欠阻尼三种类型。
1. 过阻尼过阻尼是指机械系统在受到外界干扰后，由于摩擦、空气阻力等因素的作用，使得系统无法回到平衡位置，最终停止运动。
此时系统没有任何周期性运动。
2. 临界阻尼临界阻尼是指机械系统在受到外界干扰后，由于摩擦、空气阻力等因素的作用，使得系统回到平衡位置的速度最快。
此时系统不会发生周期性运动。
3. 欠阻尼欠阻尼是指机械系统在受到外界干扰后，由于摩擦、空气阻力等因素的作用，使得系统逐渐减弱振幅并最终停止运动。
此时系统会发生周期性运动，但其振幅会逐渐减小。
四、弹性振动弹性振动是指机械系统在受到外界干扰后，由于弹性力的作用而发生的振动。
弹性振动可以分为简谐振动和复合振动两种类型。
1. 简谐振动简谐振动是指机械系统在受到外界干扰后，由于弹性力的作用而发生的周期性运动。
简谐振动具有固定的频率和幅值，其运动状态可以用正弦函数或余弦函数来描述。
2. 复合振动复合振动是指机械系统在受到多个外界干扰作用下发生的非周期性运动。
补充：机械加工过程中的振动
机械加工过程中产生的振动，是一种十 分有害的现象，这是因为：
1）刀具相对于工件振动会使加工表面 产生波纹，这将严重影响零件的使用性能。
2）刀具相对于工件振动，切削截面、 切削角度等将随之发生周期性变化，工艺系 统将承受动态载荷的作用，刀具易于磨损 （有时甚至崩刃），机床的连接特性会受到 破坏，严重时甚至使切削加工无法进行。
再生型切削颤振：这种由于切削厚度变化效 应（简称再生效应）而引起的自激振动称为再 生型切削颤振。
图4-49 再生型颤振的产生过程
切削过程一般都是部分地或完全地在有 振纹（波纹）的表面上进行的，车削、铣削、 刨削、钻削、磨削等均不例外，由振纹再生 效应引发的再生型切削颤振是机床切削的主 要形态。
产生再生型颤振的条件:
3）为了避免发生振动或减小振动，有 时不得不降低切削用量，致使机床、刀具的 工作性能得不到充分发挥，限制了生产效率 的提高。
综上分析可知，机械加工中的振动对于 加工质量和生产效率都有很大影响，须采取 措施控制振动。
一、机械加工过程中的强迫振动 强迫振动：机械加工过程中的强迫振动
是指在外界周期性于扰力的持续作用下，振 动系统受迫产生的振动。
机械加工过程中的强迫振动与一般机械 振动中的强迫振动没有本质上的区别。机械 加工过程中的强迫振动的频率与干扰力的频 率相同或是其整数倍；当干扰力的频率接近 或等于工艺系统某一薄弱环节固有频率时， 系统将产生共振。
强迫振动的振源有来自于机床内部的机 内振源和来自机床外部的机外振源。
机外振源甚多，但它们都是通过地基传给 机床的，可以通过加设隔振地基来隔离外部 振源，消除其影响。
2．增大工艺系统的阻尼 增大工艺系统中的阻尼，可通过多种方 法实现。例如，使用高内阻材料制造零件， 增加运动件的相对摩擦，在床身、立柱的封 闭内腔中充填型砂，在主振方向安装阻振器 等。 （三）采用减振装置 常用的减振装置有动力式减振器、摩擦 式减振器和冲击式减振器等三种类型。
机械振动单自由度系统的简谐讲义强迫振动1
机械振动单自由度系统的 简谐强迫振动1
§2.4 单自由度系统的简谐强迫振动
简谐强迫振动指激励是时间简谐函数，它在工程结构 的振动中经常发生，它通常是由旋转机械失衡造成的。 简谐强迫振动的理论是分析周期激励以及非周期激励 下系统响应的基础。通过分析系统所受的简谐激励与 系统响应的关系，可以估计测定系统的振动参数，从 而确定系统的振动特性（系统识别）。
图2—16
H ()
1
[1(/n)2]2(2/ n)2
H ()
1
[1(/n)2]2(2/ n)2
图2—16
H ()
1
[1(/n)2]2(2/ n)2
图2—16
2.4.3 能量关系与等效阻尼
图 2—17
说明： 无阻尼系统受简谐激励时，如果激励频率等于系统固有频率，由
于系统无阻尼，因此外力对系统做的功全部转成系统的机械能即振动 的能量。外力持续给系统输入能量，使系统的振动能量直线上升，振 幅逐渐增大。
利用可以产生简谐激励的激振器激励被测结构以分析 其振动特性的方法，即所谓正弦激励方法，是测试系 统振动特性最常用的方法之一。
2.4.1 系统在简谐激励下的响应
典型的受简谐激励的单自由度系统示于图2-13。
图 2—13
图 2—14
从波形图可以看出：
2.4.2 复频率响应 幅频特性与相频特性
由此可知，即使是无阻尼系统共振时，也需要一定的时间来积 累振动能量。这在实际中很重要，有些机械结构在起动或停机时无法 避免通过共振区，为避免在共振区给结构造成损坏，可以采用迅速通
过共振区的办法来解决。
The end
观感 看谢
稳态响应的幅值和相角是激励频率的非线性函数，在理论分析和 实际工作中常引进复频率响应来描述激励频率对响应的影响。
高中物理机械振动机械波知识点总结课件新人教版选修3-4
实验器材选择和搭建过程指导
实验器材：振动源（如音叉、振动片 等）、示波器、传感器、支架、弹簧
等。
搭建过程指导
1. 将振动源固定在支架上，并调整其 振动频率和幅度；
2. 将传感器与示波器连接，并将传感 器放置在振动源附近，以测量其振动 信号；
3. 调整示波器的参数，使其能够清晰 地显示振动信号；
4. 根据实验需求，可选择不同的传感 器和测量方式，如加速度传感器、位 移传感器等。
VS
能量转换
在某些情况下，波动的能量会发生转换。 例如，在机械振动中，振动的能量可以转 换为热能或电能等其他形式的能量。这种 能量转换遵循能量守恒定律。
04
典型案例分析：弹簧振子和单摆 模型
弹簧振子模型建立及运动规律探究
01
02
03
弹簧振子模型
由一根不计质量的弹簧连 接一个有质量的小球构成 ，忽略摩擦力和空气阻力 ，是一个理想化模型。
03
波动特性及其描述方法
周期性、重复性特点分析
周期性
机械振动和机械波都是周期性的运动 形式，即它们的状态会随着时间的推 移而重复出现。这种周期性使得波动 现象具有可预测性和规律性。
重复性
波动在传播过程中，其形状和特性会 在空间上重复出现。这种重复性使得 波动现象能够被有效地描述和分析。
振幅、相位等参数意义解读
非线性振动定义
指振动系统恢复力与位移之间不满足线性关系的 振动现象。
非线性振动特点
振幅依赖性、频率变化、波形畸变、跳跃现象等 。
与线性振动的区别
线性振动遵循叠加原理，而非线性振动则不满足 叠加原理，表现出更为复杂的动力学行为。
孤立波产生条件和传播特性概述
孤立波定义
36机械振动专题第三十六讲 机械振动-强迫振动
专题一机械振动基础1. 单自由度系统无阻尼自由振动2. 求系统固有频率的方法3. 单自由度系统的有阻尼自由振动4. 单自由度系统的无阻尼强迫振动5. 单自由度系统的有阻尼强迫振动4. 单自由度系统的无阻尼强迫振动4.1 强迫振动的概念4.2 无阻尼强迫振动微分方程及其解4.3 稳态强迫振动的主要特性4. 单自由度系统的无阻尼强迫振动4.1 强迫振动的概念4.2 无阻尼强迫振动微分方程及其解4.3 稳态强迫振动的主要特性)sin(ϕω+=t H F 强迫振动：在外加激振力作用下的振动。
简谐激振力：φ—激振力的初相位H —力幅ω—激振力的圆频率4.1 强迫振动的概念无阻尼强迫振动微分方程的标准形式，二阶常系数非齐次线性微分方程。
)sin(ϕω++−=t H kx x m 则令 , 2m Hh m k n ==ω)sin(2ϕωω+=+t h x x n 4.2 无阻尼强迫振动微分方程及其解全解为：稳态强迫振动21x x x +=)sin(1θω+=t A x n )sin(2ϕω+=t b x 为对应齐次方程的通解为特解)sin(22222ϕωωωωω+−=−=t h x h b n n ,)sin()sin(22ϕωωωθω+−++=t h t A x n n(3) 强迫振动的振幅大小与运动初始条件无关，而与振动系统的固有频率、激振力的频率及激振力的力幅有关。
(1) 在简谐激振力下，单自由度系统强迫振动亦为简谐振动。
(2) 强迫振动的频率等于简谐激振力的频率，与振动系统的质量及刚度系数无关。
4.3 稳态强迫振动的主要特性)sin(222ϕωωω+−=t h x n 稳态响应(1) ω=0时(2) 时，振幅b 随ω增大而增大；当时，n ωω<(3)时，振动相位与激振力相位反相，相差。
n ωω>b 随ω增大而减小；kHh b n ==20ωn ωω →∞→b rad π22ωω−=n hb β：振幅比或动力系数λ：频率比β−λ曲线：幅频响应曲线（幅频特性曲线）10 ; , 20→∞→==b b b n 时时ωωω)sin(222ϕωωω+−=t hx n(4)共振现象，这种现象称为共振，无稳态解。
第四节机械加工过程中的振动
假定切削过程受到一个瞬时的偶然性 扰动，刀具与工件便发生相对振动（自由 振动），振动的幅值将因有阻尼存在而逐 渐衰减。但此时会在加工表面上留下一段 振纹，如图4-31b所示。当工件转过一转后， 刀具要在留有振纹的表面上进行切削（图 4-31c），切削厚度将发生波动，这就有交 变的动态切削力产生。如果切削过程中各 种条件的匹配是促进振动的，那么将会进 一步发展到图4-31d那样的颤振状态。通常， 将这种由于切削厚度变化效应引起的自激 振动，称为再生型颤振。
二、产生自激振动的条件
1．自激振动实例
2．产生自激振动的条件
在振出过程中，切削力凡对振动系统 作功，振动系统则从切削过程中吸收一部 分能量（W振出=W12345），贮存在振动系统 中。
刀架的振入运动则是在弹性恢复力F弹 作用下产生的，振入运动与切削力方向相 反，振动系统对切削过程作功，即振动系 统要消耗能量（W振入=W54621）。
5）若干扰力频率与工艺系统某一固有 频率相同，系统将产生共振。如工艺系统 阻尼较小，则共振振幅将十分大。
二、机械加工中的自激振动 （颤振）
（一）概述
机械加工过程中，在没有周期性外力 （相对于切削过程而言）作用下，由系统 内部激发反馈产生的周期性振动，称为自 激振动，简称为颤振。
自激振动产生的原理
若W振出=W振入，则ΔW<0，即振动系统 每振动一次，系统便会损失一部分能量。 因此，系统也不会有自激振动产生，加工 系统仍是稳定的。
当W振出>W振入时，加工系统将有持续 的自激振动产生，加工系统处于不稳定状 态。根据W振出与W振入的差值大小又可 分为以下三种情况：
高中物理第一章机械振动第4节阻尼振动受迫振动课件教科版选修3_4
(
)
D．大钟虽停止振动，但空气仍在振动 解析：停止对大钟的撞击后，大钟的振动不会立即消失，因
为振动能量不会凭空消失，再振动一段时间后，由于阻尼的 作用振动才逐渐消失，B 选项正确。 答案：B
2．如图 1－4－5 所示是一个弹簧振子做阻尼振动的振动图像，曲 线上 A、B 两点连线与横轴平行，下列说法正确的是 ( )
答案：C
受 迫 振 动
[自读教材· 抓基础]
1．持续振动的获得 实际的振动由于阻尼作用最终要停下来，要维持系统的持 续振动， 办法是使 周期性 的外力作用于振动系统， 外力对系统 做功，补偿系统的 能量损耗 。 2．驱动力 作用于振动系统的 周期性 的外力。
3．受迫振动 振动系统在 驱动力 作用下的振动。 4．受迫振动的频率 做受迫振动的系统振动稳定后， 其振动周期(频率)等于
答案：AD
[探规寻律]
(1)振动的振幅逐渐减小，则振动系统的能量 (机械能)逐 渐减小，而振动系统的动能和势能如何变化，还要看振子是 远离平衡位置还是向平衡位置振动。 (2)振动系统的能量不断减少，但其阻尼振动的频率是不 变的，其频率为固有频率，由系统本身决定。
[跟踪演练] 一单摆做阻尼振动，则在振动过程中
知识点一
理解·教材新知
知识点二 知识点三
第 一 章
第 4 节
把握·命题热点
命题点一 命题点二
应用·落实体验
课堂双基落实 课下综合检测
第4节
阻尼振动 受迫振动
1.系统的固有频率是指系统自由振动的频 率，由系统本身的特征决定。物体做阻 尼振动时，振幅逐渐减小，但振动频率 不变。 2.物体做受迫振动的频率一定等于周期性 驱动力的频率，与系统的固有频率无关。 3.当驱动力的频率与系统的固有频率相等 时，发生共振，振幅最大。 4.物体做受迫振动时， 驱动力的频率与固有 频率越接近，振幅越大，两频率差别越 大，振幅越小。
高二物理机械振动知识点
高二物理的机械振动知识点包括：
1 振动的定义和分类：振动是指物体在一定的周期内不断地来回运
动的现象，分为自由振动和强迫振动。
2 单摆的自由振动：单摆是一种物体只能沿着一条直线运动的简单
振动系统，可以用来研究物体的自由振动。
3 弹簧-质量系统的自由振动：弹簧-质量系统是指一个物体由弹簧
和质量构成的振动系统，可以用来研究物体的自由振动。
4 强迫振动：强迫振动是指物体受到外力的周期性作用而产生的振
动。
5 振动的线性化：在某些条件下，物体的振动可以视为线性振动，
这样就可以使用线性方程来研究振动。
6 振动的谐振：谐振是指物体在外力的周期作用下，其自身振动的
周期与外力周期相同时产生的现象。
7振动的幅值衰减：振动的幅值会随着时间的推移而衰减，这种现象称为振动的幅值衰减。
振动理论-第3章 单自由度系统的强迫振动
x0 0
、
x0
n
F0 k
1
r r
2
则初始条件为：
x0 0
x0
n
F0 k
r 1 r2
讨论：
x(t
)
C1
cos
nt
C2
sin
nt
F0
m(n2
2
)
cos
t
x(0) x0
C1
x0
F0 k
1
1 r
2
x(0) x0
C2
x0
n
故全解：
x(t)
x0
cos nt
x0
n
sin
nt
F0 k
1
1 r
2
cos nt
a
复数的三角函数表示：Z Z cos i sin
复数的指数函数表示：Z Z ei
对于复数域内复函数 H () a() ib() A() iB()
可表示为 H () H () ei ()
H ()
a2 b2 A2 B2
() arctan Im[H ()] Re[H ()]
二. 激励力引起的强迫振动
n
2
2
2
n
2
激励与响应的相位角
arctan
2
n
1
n
2
或写为：
X st
1
1 r 2 2 2 r 2
arctan
2 r
1 r2
st
F0 k
r n
系统的最大静位移 频率比
所以，强迫振动的稳态解为：
x2
F0 k
1
sin(t )
1 r 2 2 2 r 2
3-单自由度强迫振动解析
前面已经得出方程
x
的全解为：
2wnx
x
wn2 x
F0 m
sin wt
x
exwnt
x0
xwn wd
x0
sin wd t
x0
cos wd t
X
exwnt
0
xwn
sin
wd
w
cos
sin
wd t
sin
cos
wd t
X0 sin(w t )
第3章 单自由度系统强迫振动
3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动
Rmax＝
2x
1
1x2
而r＝1时
R＝ 1
2x
由此看出：当r＝1，x很小时的R和Rmax相 差很小，所以在工程中仍认为当w＝wn 时发
生共振。
第3章 单自由度系统强迫振动
3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动
28
3. 相频特性曲线（P37）
以x为参 数,画出f－ r 曲线即 f
相频特性曲 线,表明了阻 尼和激振频 率对相位差 的影响。
1 r2
分别取 z*式的实部和虚部就是对应于
余弦和正弦激励的稳态响应。
第3章 单自由度系统强迫振动
3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动
21
稳态响应分析(P34-39)
1. 稳态响应xp=X0sin(wt－f)的性质（P34）
（1）在谐和激振条件下，响应也是谐和的， 其频率与激振频率相同； （2）谐和激励强迫振动的振幅X0和相位角φ 决定于系统本身的物理性质和激振力的大小 和频率，与初始条件无关；
• r →∞时,f→p,系统平稳运行。
第3章 单自由度系统强迫振动
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在λ 远离1时，
对应于不同 值,曲线较为密集，说明阻尼的影响不显著
结论：在λ远离1时，系统即使按无阻尼情况考虑也是可以的
• 稳态响应特性
()
5
0
() X
1
4
0.1
X 0 (1 2 )2 (2 )2 3
0.25
0.375
（3）当 1 n
2
0.5
第三章 受迫振动
• 在外部持续激励作用下所产生的振动 • 从外界不断获得能量补偿阻尼消耗的能量，
使系统得以维持振动。 • 研究的次序从简到繁：
简谐激励、周期激励、非周期激励
本章内容：
3.1 对简谐激励的响应 3.2 复频率响应 3.3 隔振 3.4 振动测量仪器 3.5 简谐力与阻尼力的功 3.6 等效粘性阻尼 3.7 系统对周期激励的响应·傅里叶级数 3.8 系统对任意激励的响应·卷积积分 3.9 系统对任意激励的响应·傅里叶积分 3.10 用拉普拉斯变换法求系统响应·传递函数 3.11 复频率响应与脉冲响应之间的关系
从特解看出
（1）线性系统对简谐激励的稳态响应是简谐振动，振动频率 等同于激振频率、而相位滞后激振力。
（2）稳态响应的振幅及相位只取决于系统本身的物理性质（ m, k, c）和激励力的大小和频率，而与初始条件无关 .
引入： 得到：
X0
F0 k
常值力F0作用下的静变形
X 放大因子（幅频特性）
对应于较小 值， (s) 迅速增大 1
1
若 1
1
,
X X0
F0
.
0 0
1
2
3
2
2 cn
当 0 ()
当 1/ 2 1
结论：共振， 振幅无穷大.
振幅无极值
但共振对于来自阻尼的影响很敏感，在 λ =1 附近的区域内， 增加阻尼使振幅明显下降, 阻尼较强时振幅变化平缓。
• 稳态响应特性
() X
1
X 0 (1 2 )2 (2 )2
()
5
4
0
0.1
共振峰
3
0.25
（4）对于有阻尼系统， max 并
2
0.375
不出现在λ =1处，而且稍偏左
1
0.5 1
d 0 d
0
1 2 2
0
1
2
3
1 [(1 2 )2 (2 )2 ]3/2[4(1 2 ) 8 2] 0 2 1 2 2 0
X0
() X
1
（3.1.10）
X 0 (1 2 )2 (2 )2
随λ 的增大，β 先由小变大，
后从大变小.
（1）当 1( n )
1 lim () 1 0
响应的振幅与静变形相当.
()
5 4 3 2 1 0
0
0
幅频特性曲线
0.1
0.25 0.375
x2 X sin(t )
X
F0
(k m2 )2 (c)2
分子分母同除以k，并利用
X
F0 / k
(1 2 )2 (2 )2
（3.1.2）
tan
k
c m 2
n
k m
c
2 km
tan
2 1 2
频率比
n
（3.1.7）
t
重要课题，工程中通常取
O
0.75 1.25
的区间为共振区，
T
共振时振幅增大过程
在共振区内振动会很强烈，会导致机械变形过大，甚至破坏。
例3.1-1 无阻尼质量-弹簧系统，方程和初始条件为：
mx kx F0 sin t
t 0 : x(0) x0, x(0) x0
2
max 2
1
1 2
X max
2
X0
1 2
F0
cd
(
)
tg
1
2 1 2
相频特性
() 180
以λ为横坐标画出 ( ) 曲线
（1）当 1( n )
90
相位差 0
响应与激振力近乎同相
（2）当 1( n )
3.1 对简谐激励的响应 立动力学方程： mx cx kx F (t) F0 sin t （3.1.1）
F0 外力幅值
外力的激励频率
k
c
kx
cx
F(t) x
F(t) m
＝ ＋ 非齐次微分方程 通解
齐次微分方程 通解
非齐次微分方程 特解
阻尼自由振动 逐渐衰减 瞬态振动
持续等幅振动 稳态振动 本节内容
无阻尼时，若λ =1 ，强迫振动动力学方程为：
mx kx F0 sin t
特解为：
x2
(t
)
F0t
2m
cost F0Fra bibliotek sin(t )
2m
2
（3.1.18）
无阻尼系统共振时，振幅随时间无限增大；
响应初相位滞后于激励π/2.
x F0t
2m
共振现象是工程中需要研究的
先求稳态响应即方程的特解。它也是简谐振动 由方程非齐次项的形式判断，特解也是简谐函数，设为：
x2 X sin(t )
（3.1.2）
其中X为稳态响应的振幅， φ为相位差，是待定常数。
代入方程，得到：
X (k m 2 ) sin(t ) cX cos(t ) F0 sin t
F0 sin(t ) F0 sin(t ) cos F0 cos(t ) sin
比较方程等号两边同类项系数，得到：
F0 cos X (k m 2 ), F0 sin cX
X
F0
(k m2 )2 (c)2
tan
k
c m 2
0.5 1
1
2
3
• 稳态响应特性
()
5
0
() X
1
4
0.1
X 0 (1 2 )2 (2 )2 3
0.25
（2）当 1( n )
2
0.375 0.5
激振频率远大于系统固有频率 1
1
lim () 0
0
0
1
2
3
结论：响应的振幅可能很小.
0
0
1
2
3
相频特性曲线
响应与激振力反相
（3）当 1
n
共振时的相位差为
2
，与阻尼无关
有阻尼单自由度系统几个图形比较
假设系统固有频率： n 1
外部作用力规律：
F (t) F0 cost
从左到右：
0.4, 1.01, 1.6
n n n
求系统响应。