机械振动3强迫振动1-4讲解

• 稳态响应特性
() X
1
X 0 (1 2 )2 (2 )2
()
5
4

0
0.1
共振峰
3
0.25
（4）对于有阻尼系统， max 并
2
0.375
不出现在λ =1处，而且稍偏左
1
0.5 1
d 0 d
0
1 2 2
0
1
2

3
1 [(1 2 )2 (2 )2 ]3/2[4(1 2 ) 8 2] 0 2 1 2 2 0
求系统响应。
对应于较小 值， (s) 迅速增大 1
1

若 1

1
,
X X0
F0
.
0 0
1
2
3
2
2 cn
当 0 ()
当 1/ 2 1
结论：共振， 振幅无穷大.
振幅无极值
但共振对于来自阻尼的影响很敏感，在 λ =1 附近的区域内， 增加阻尼使振幅明显下降, 阻尼较强时振幅变化平缓。
第三章 受迫振动
• 在外部持续激励作用下所产生的振动 • 从外界不断获得能量补偿阻尼消耗的能量，
使系统得以维持振动。 • 研究的次序从简到繁：
简谐激励、周期激励、非周期激励
本章内容：
3.1 对简谐激励的响应 3.2 复频率响应 3.3 隔振 3.4 振动测量仪器 3.5 简谐力与阻尼力的功 3.6 等效粘性阻尼 3.7 系统对周期激励的响应·傅里叶级数 3.8 系统对任意激励的响应·卷积积分 3.9 系统对任意激励的响应·傅里叶积分 3.10 用拉普拉斯变换法求系统响应·传递函数 3.11 复频率响应与脉冲响应之间的关系
x2 X sin(t )
X
F0
(k m2 )2 (c)2
分子分母同除以k，并利用
X
F0 / k
(1 2 )2 (2 )2
（3.1.2）
tan

k
c m 2
n
k m
c
2 km
tan

2 1 2
频率比
n
（3.1.7）
0.5 1
1
2

3
• 稳态响应特性
()
5
0
() X
1
4
0.1
X 0 (1 2 )2 (2 )2 3
0.25
（2）当 1( n )
2
0.375 0.5
激振频率远大于系统固有频率 1
1

lim () 0
0
0
1
2
3

结论：响应的振幅可能很小.
先求稳态响应即方程的特解。它也是简谐振动 由方程非齐次项的形式判断，特解也是简谐函数，设为：
x2 X sin(t )
（3.1.2）
其中X为稳态响应的振幅， φ为相位差，是待定常数。
代入方程，得到：
X (k m 2 ) sin(t ) cX cos(t ) F0 sin t
2

max 2
1
1 2
X max
2
X0
1 2
F0
cd

(
)

tg
1
2 1 2
相频特性
() 180
以λ为横坐标画出 ( ) 曲线
（1）当 1( n )
90
相位差 0
响应与激振力近乎同相
（2）当 1( n )
t
重要课题，工程中通常取
O
0.75 1.25
的区间为共振区，
T
共振时振幅增大过程
在共振区内振动会很强烈，会导致机械变形过大，甚至破坏。
例3.1-1 无阻尼质量-弹簧系统，方程和初始条件为：
mx kx F0 sin t
t 0 : x(0) x0, x(0) x0

0
0
1
2
3
相频特性曲线
响应与激振力反相
（3）当 1
n
共振时的相位差为

2
，与阻尼无关
有阻尼单自由度系统几个图形比较
假设系统固有频率： n 1
外部作用力规律：
F (t) F0 cost
从左到右：
0.4, 1.01, 1.6
n n n
F0 sin(t ) F0 sin(t ) cos F0 cos(t ) sin
比较方程等号两边同类项系数，得到：
F0 cos X (k m 2 ), F0 sin cX
X
F0
(k m2 )2 (c)2
tan

k
c m 2
3.1 对简谐激励的响应 立动力学方程： mx cx kx F (t) F0 sin t （3.1.1）
F0 外力幅值
外力的激励频率
k
c
kx
cx
F(t) x
F(t) m
＝ ＋ 非齐次微分方程 通解
齐次微分方程 通解
非齐次微分方程 特解
阻尼自由振动 逐渐衰减 瞬态振动
持续等幅振动 稳态振动 本节内容
X0
() X
1
（3.1.10）
X 0 (1 2 )2 (2 )2
随λ 的增大，β 先由小变大，
后从大变小.
（1）当 1( n )
1 lim () 1 0
响应的振幅与静变形相当.
()
5 4 3 2 1 0
0

0
幅频特性曲线
0.1
0.25 0.375
从特解看出
（1）线性系统对简谐激励的稳态响应是简谐振动，振动频率 等同于激振频率、而相位滞后激振力。
（2）稳态响应的振幅及相位只取决于系统本身的物理性质（ m, k, c）和激励力的大小和频率，而与初始条件无关 .
引入： 得到：
X0

F0 k
常值力F0作用下的静变形
X 放大因子（幅频特性）
在λ 远离1时，
对应于不同 值,曲线较为密集，说明阻尼的影响不显著
结论：在λ远离1时，系统即使按无阻尼情况考虑也是可以的
• 稳态响应特性
()
5
0
() X
1
4
0.1
X 0 (1 2 )2 (2 )2 3
0.25
0.375
（3）当 1 n
2
0.5
无阻尼时，若λ =1 ，强迫振动动力学方程为：
mx kx F0 sin t
特解为：
x2
(t
)


F0t
2m
c
ost
ห้องสมุดไป่ตู้
F0t sin(t )
2m
2
（3.1.18）
无阻尼系统共振时，振幅随时间无限增大；
响应初相位滞后于激励π/2.
x F0t
2m
共振现象是工程中需要研究的