金融市场布朗运动研究的发展与状况
经济学布朗运动名词解释
经济学布朗运动名词解释
经济学布朗运动是一种随机过程的概念，在经济学领域中被用来描述资产价格的变动。
布朗运动最早由物理学家罗伯特·布朗研究，后来经济学家将其应用于金融市场与资产价格的变动分析。
布朗运动是一种连续的、随机的变动过程，具有以下特点：1. 随机性：布朗运动的变动是由随机因素驱动的，不受特定预测因素的制约。
2. 连续性：布朗运动是一个连续变动的过程，就像一条不断波动的曲线。
3. 具有独立增量性：布朗运动的任意两个时刻之间的变动是独立的，当前时刻的价格变动与过去时刻的价格变动无关。
布朗运动在经济学中的应用主要体现在金融市场的资产价格变动分析中。
例如，在股票市场中，布朗运动可以用来描述股票价格的波动情况。
根据布朗运动的特点，投资者可以通过对价格随机变动的规律进行预测，制定相应的投资策略。
带泊松跳跃的几何布朗运动经济模型的开题报告
带泊松跳跃的几何布朗运动经济模型的开题报告一、研究背景和意义几何布朗运动 (GBM) 是金融领域最常用的随机过程模型之一，其可以用于股价、汇率等金融市场参数的建模与预测。
然而，在实际市场中，股价等价格参数的变化经常会出现极端的“跳跃”情况，传统的 GBM 难以很好地描述这种情况。
为解决此问题，学者们提出了各种带泊松跳跃的随机过程模型，如 Merton 模型、 Kou 模型等，这些模型广泛地应用于股票、债券、期权等金融市场领域。
二、研究内容和目标本研究的主要内容是基于带泊松跳跃的 GBM 模型，建立一个能够较为准确地描述实际股票价格的数学模型。
在构建这个模型的过程中，我们将主要考虑以下几个方面的因素：概率的分步性、随机波动性、跳跃率等。
我们将通过数学方法，尝试求出该模型的解析解，并与实际的股价走势进行比较，以验证模型的适用性。
三、研究方法和技术路线本研究将采用数学建模的方法，首先，我们将建立带泊松跳跃的GBM 数学模型，考虑随机过程的概率分布，随机波动性等因素，对模型进行分析和求解，得到模型的解析解。
接下来，我们将收集实际股票价格的历史数据，与模型预测的股价走势进行对比和验证模型的可行性和准确性。
最后，我们将对模型进行扩展研究，考虑影响股价波动的其他因素，探究更多实际问题。
四、研究预期成果及其应用价值预期在本研究中，我们将建立一个具有较高准确性的股票价格预测模型，加深人们对股票市场的认识和理解，提高人们的决策质量。
本研究的应用价值主要表现在金融市场预测、资产配置等方面。
同时，本研究也将对金融理论的发展和完善有所促进。
金融经济学现状及发展研究
金融经济学现状及发展研究一、引言通常认为,现代金融学的研究范围包括公司财务管理、家庭财务管理、金融中介、资本市场和微观投资理论,以及许多其他不确定性经济学。
从它对公共财政、产业组织和货币理论等经济学分支学科的影响来看,现代金融学领域的边界具有渗透性和灵活性,这与其他学科类似。
现代金融学,称“标准金融”,主要是以金融经济学为主要的理论基础,它是建立在以现代资产组合理论和资本资产定价理论基石,并在有效市场假说的基础上,重点研究理性假设条件下的价格机制和金融市场效率问题。
现代金融经济学是人们从20世纪80年代后期开始,不断地运用经济学理论探索、研究金融学中的均衡与套利、单期风险配置以及多时期风险配置、最优投资组合、均值-方差分析、最优消费与投资、证券估值与定价等等,逐渐形成并发展起来的一门崭新的经济学与金融学交叉性的学科。
金融经济学是金融学的经济学理论基础,是一门建立在经济学和数学基础上专门解决不确定性和动态性问题的经济学。
从科学史的研究发现,每门真正可以称之为科学的学科,其成长过程都要经历三个阶段:描述型阶段,分析型阶段,工程化阶段。
金融科学由于所研究问题的复杂性,单纯的描述型方法已不适应现代金融科学发展的需要。
现代金融学已从单纯的描述型学科转变成分析型学科,并正在向工程化阶段转变。
二、现代金融学理论的产生和发展概况无企业税的MM模型———华尔街第一次革命1958年6月美国学者Modigliani和Miller发表了著名论文“资本成本、公司财务与投资理论”。
通过深入考察企业资本结构与企业价值的关系,提出了在完善的资本市场条件下,企业资本结构与企业的市场价值无关;换言之,企业选择什么样的资本结构均不会影响企业的市场价值。
这一论断简明、深刻,在理论界引起很大的影响,并被后人命名为MM定理,该定理目前已经成为公司财务理论的基础。
无企业税的MM模型的假设条件有:企业的经营风险用息税前利润的标准差来表示,若企业的经营风险程度相同,则认为企业的风险等级也相同,据此可将企业分组。
布朗运动在金融中的应用
布朗运动在金融中的应用布朗运动是指颗粒在液体或气体中由于分子热运动而发生的随机运动。
这种随机性使得布朗运动在金融领域中具有重要的应用意义。
布朗运动的特点是无规律性和不可预测性，这与金融市场的波动和变化具有一定的相似性。
因此，布朗运动在金融中的应用涉及到风险管理、金融建模、衍生品定价等多个方面。
布朗运动在金融领域中被广泛运用于风险管理。
金融市场的波动性是不可避免的，而布朗运动的随机性特点使得它成为描述金融资产价格波动的有效工具。
通过对布朗运动进行建模，可以帮助投资者评估不同金融资产的风险水平，从而制定相应的风险管理策略。
在投资组合管理中，基于布朗运动的风险模型可以帮助投资者优化资产配置，实现风险和收益的平衡。
布朗运动在金融建模中也扮演着重要的角色。
金融市场的复杂性和不确定性使得金融建模变得极为复杂，而布朗运动的随机性特点使得它成为模拟金融市场行为的有效工具。
通过对布朗运动进行数学建模，可以模拟金融市场的价格变动、波动率、相关性等重要特征，为金融决策提供参考依据。
例如，基于布朗运动的随机模型可以用来预测股票价格的未来走势，为投资者提供决策支持。
布朗运动在金融衍生品定价中也有着重要的应用。
金融衍生品的价格受到多种因素的影响，其中最重要的是标的资产价格的波动性。
布朗运动作为描述资产价格波动的有效工具，被广泛应用于期权定价、波动率表面建模等领域。
通过对布朗运动的模拟和分析，可以为衍生品的定价提供理论依据，帮助投资者合理评估衍生品的风险和收益。
总的来说，布朗运动在金融领域中的应用涉及到风险管理、金融建模、衍生品定价等多个方面，为金融市场的参与者提供了重要的工具和方法。
通过对布朗运动的深入研究和应用，可以更好地理解和把握金融市场的特点和规律，为投资决策和风险管理提供有效支持。
在未来的金融领域中，布朗运动的应用将继续发挥重要作用，为金融市场的稳定和发展做出贡献。
对于标准布朗运动,协方差函数c(s,t)的公式
标准布朗运动是一种经典的随机过程，被广泛运用于金融领域、物理学和生物学等领域的建模和研究中。
在标准布朗运动模型中，协方差函数c(s,t)扮演着非常重要的角色，它描述了在不同时刻s和t，随机变量的协方差情况。
下面我们将围绕着这一主题进行详细的介绍和讨论。
1. 标准布朗运动的概念标准布朗运动是一种连续时间的马尔可夫过程，其最显著的特征是随机变量的独立增量和高斯分布。
在数学上，标准布朗运动通常可以用随机微分方程来描述，它是一种随机过程，在任意时刻的位置都是不确定的，符合正态分布。
这使得标准布朗运动成为了描述随机变动的理想模型。
2. 协方差函数c(s,t)的作用协方差函数c(s,t)是标准布朗运动中非常重要的一部分，它描述了在不同时刻s和t，随机变量的协方差情况。
在数学上，协方差函数不仅可以帮助我们理解随机变量之间的关系，还能够在金融衍生品定价、风险管理、以及物理学中的粒子运动模拟等领域发挥重要作用。
3. 协方差函数c(s,t)的公式协方差函数c(s,t)的公式在标准布朗运动中扮演着关键的角色。
一般来说，协方差函数c(s,t)的公式可以用布朗运动的性质来推导得出，其具体形式和参数取值与具体的应用背景密切相关。
在不同的情境下，协方差函数的公式也会有所不同，需要根据具体问题进行建模和求解。
4. 我对协方差函数c(s,t)的个人观点和理解对于协方差函数c(s,t)，我认为它是标准布朗运动中非常重要的一部分，它不仅可以帮助我们理解随机变量之间的关系，还能够在实际应用中发挥重要作用。
在金融领域中，我们可以利用协方差函数来对衍生品进行定价，进行风险管理和投资组合优化。
在物理学中，协方差函数可以帮助我们更好地理解微尺度粒子的运动规律，为物质科学研究提供重要参考。
总结回顾通过对标准布朗运动和协方差函数c(s,t)的介绍和讨论，我们可以看到，它们在现代数学、金融学和物理学等领域中发挥着重要的作用。
它们不仅是理论研究的基础，还是实际问题求解的重要工具。
布朗运动及其在金融领域中的应用研究
布朗运动及其在金融领域中的应用研究布朗运动，也称为随机游动，是一种自然界中常见的现象。
在物理学中，布朗运动是指在液体或气体中悬浮的微观粒子受到撞击和碰撞而发生的无规则运动。
这种运动的特点是无规律、无方向、无目的性，表现为随机游走，即每一步的运动方向和距离都是无规则的。
然而，尽管其运动是无规则的，布朗运动的轨迹却呈现出规律性，这一点在金融领域中有着广泛的应用研究。
布朗运动是随机过程的一种，是概率论中研究的重要对象。
它最早由英国植物学家罗伯特·布朗在1827 年发现，并用以解释花粉在水中的运动。
之后，布朗运动在统计物理学、金融学、生物学等领域的发展历程中扮演着至关重要的角色。
布朗运动的最大特点是无规则，它的每一步都完全是随机的。
由此带来的问题是，怎样描述它的运动规律呢？事实上，布朗运动的轨迹通常呈现出一种“波动”状，即随机游走。
这种运动模式可以用小波分析等方法加以描述，把它从数学严格意义上加以定义。
这种解释方法对于预测布朗运动的走向和波动趋势非常有用。
这种预测方法也被广泛运用于金融市场的预测中，成为了现代金融研究中的重要手段之一。
金融市场中的布朗运动有着广泛的应用。
布朗运动的无规律性使之成为了金融市场中价格波动的一个重要来源。
股票、大宗商品、汇率等金融工具的价格都受到布朗运动的影响，它们的价格涨落波动也呈现出一种布朗运动的特点。
这种特点使得布朗运动的模型成为了金融市场价格预测的一个重要工具，可以用来预测金融市场价格的涨落趋势，以及下一步价格变动的概率。
布朗运动的标准模型是随机游走模型，也称为韦恩过程。
它具有均匀的波动性，随着时间的推移，价格的涨跌幅度会越来越大，但是价格变动的方向和时间并无关联。
这种模型在金融市场中得到了广泛的应用，也被叫做布朗运动模型。
这种模型可以用来描述股票、货币、贵金属等基本资产的价格变动情况，以及衍生品的价格变动情况。
这种模型的应用范围非常广泛，经过多年的验证和实践，证明了其预测金融市场价格的可靠性。
布朗运动(论文)
浅谈布朗运动冯涛青海民族学院 电子工程与信息科学系 810007摘 要：布朗运动作为具有连续时间参数和连续状态空间的一个随机过程,是一个最基本、最简单同时又是最重要的随机过程。
关键词： 布朗运动、马尔科夫随机函数；性质及推导；应用On the Brownian motion Abstract ：Brownian motion as a continuous time parameter and the continuous state space of a random process, is a most basic, simple at the same time is the most important stochastic process.Keywords ：Brownian motion, Markov random function; the nature and derivation; Application一、关于布朗运动的性质及推导。
标准布朗运动的定义是一个随机函数()()X t t T ∈，它是维纳随机函数。
它有如下的一些重要性质。
（1）、它是高斯随机函数。
（2）、它是马尔科夫随机函数。
它的转移概率密度是：{}(,)()()f t s y x P X t y X s x y ∂--=≤=∂21/222()2()exp 2()y x t s t s πσσ-⎡⎤-⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦-⎣⎦可以看出它对空间和时间都是均匀的。
（3）、如()(0)X t t ≤是标准布朗运动，则下列各个随机函数也是标准布朗运动。
1）、21()(/)X t cX t c = （c ＞0为常数，t ≥0）2）、2()()()X t X t h X h =+- （h ＞0为常数，t ≥0）3）、13()(0)()0(0)tX t t X t t -⎧>=⎨=⎩ （4）、标准布朗运动的协方差函数2(,)min(,)C s t s t σ=。
布朗运动原理金融
布朗运动原理金融
布朗运动原理在金融领域的应用
布朗运动原理是一种描述微粒在液体或气体中随机运动的物理模型。
这一原理不仅在物理学中有重要应用，而且在金融领域也发挥着重要的作用。
本文将从金融的角度讨论布朗运动原理的应用。
布朗运动原理在金融市场中被广泛应用于股票价格的模拟和预测。
根据布朗运动原理，股票价格的变化是随机的，没有明确的趋势。
因此，基于布朗运动原理的股票价格模型能够更准确地反映市场的真实情况。
通过对股票价格的模拟和预测，投资者可以更好地制定投资策略，降低风险，获得更好的投资回报。
布朗运动原理在金融衍生品定价中也起着重要的作用。
金融衍生品是一种通过衍生出来的合约来进行交易的金融工具，如期权、期货等。
布朗运动原理提供了一种有效的方法来对金融衍生品进行定价。
通过建立基于布朗运动原理的模型，可以计算出衍生品的合理价格，从而为投资者提供更好的交易决策依据。
布朗运动原理还可以用于风险管理和投资组合优化。
在金融市场中，风险管理是非常重要的。
通过基于布朗运动原理的模型，可以对投资组合的风险进行评估和控制，从而降低投资风险。
同时，布朗运动原理还可以用于优化投资组合，通过对不同资产的随机运动进行模拟和分析，找到最优的投资组合配置，提高投资回报。
布朗运动原理在金融领域中有着广泛的应用。
它不仅可以用于股票价格的模拟和预测，还可以用于金融衍生品的定价，以及风险管理和投资组合优化。
通过应用布朗运动原理，投资者可以更好地理解金融市场的运动规律，制定更科学的投资策略，降低风险，获得更好的投资回报。
布朗运动及其应用
随机过程在金融领域的作用1240410114王颖浅谈布朗运动在金融领域的应用悬浮微粒永不停息地做无规则运动的现象叫做布朗运动例如，在显微镜下观察悬浮在水中的藤黄粉、花粉微粒，或在无风情形观察空气中的烟粒、尘埃时都会看到这种运动。
温度越高，运动越激烈。
它是1827年植物学家R.布朗首先发现的。
作布朗运动的粒子非常微小，直径约1~10微米，在周围液体或气体分子的碰撞下，产生一种涨落不定的净作用力，导致微粒的布朗运动。
如果布朗粒子相互碰撞的机会很少，可以看成是巨大分子组成的理想气体，则在重力场中达到热平衡后，其数密度按高度的分布应遵循玻耳兹曼分布。
J.B.佩兰的实验证实了这一点，并由此相当精确地测定了阿伏伽德罗常量及一系列与微粒有关的数据。
1905年A.爱因斯坦根据扩散方程建立了布朗运动的统计理论。
布朗运动的发现、实验研究和理论分析间接地证实了分子的无规则热运动，对于气体动理论的建立以及确认物质结构的原子性具有重要意义，并且推动统计物理学特别是涨落理论的发展。
由于布朗运动代表一种随机涨落现象，它的理论对于仪表测量精度限制的研究以及高倍放大电讯电路中背景噪声的研究等有广泛应用。
这是1826年英国植物学家布朗（1773-1858）用显微镜观察悬浮在水中的花粉时发现的。
后来把悬浮微粒的这种运动叫做布朗运动。
不只是花粉和小炭粒，对于液体中各种不同的悬浮微粒，都可以观察到布朗运动。
布朗的发现是一个新奇的现象，它的原因是什么？人们是迷惑不解的。
在布朗之后，这一问题一再被提出，为此有许多学者进行过长期的研究。
一些早期的研究者简单地把它归结为热或电等外界因素引起的。
最早隐约指向合理解释的是维纳(1826——1896)，1863年他提出布朗运动起源于分子的振动，他还公布了首次对微粒速度与粒度关系的观察结果。
不过他的分子模型还不是现代的模型，他看到的实际上是微粒的位移，并不是振动。
到了70——80年代，一些学者明确地把布朗运动归结为液体分子撞击微粒的结果，这些学者有卡蓬内尔、德尔索和梯瑞昂，还有耐格里。
金融衍生品定价的随机分析模型研究
金融衍生品定价的随机分析模型研究在金融市场中，衍生品的定价一直是重要的问题之一。
衍生品的价值依赖于衍生品标的资产的价格，但是价格并不是随机变化的，因此需要使用随机过程来建模资产价格的随机性。
在建立随机过程模型之前，需要考虑以下几个因素：1.标的资产的价格是否跟随几何布朗运动，即是否符合对数正态分布。
2.资产价格是否有波动率的漂移和随机波动，即是否存在风险溢价。
3.资产价格是否存在长期的均值回归现象。
基于以上几个因素，可以建立不同的随机过程模型，下面简要介绍几种常见的随机过程模型。
1.布朗运动模型（GBM）布朗运动是一种连续时间的随机过程，也是建立衍生品定价模型的常见工具。
GBM模型假设标的资产价格满足几何布朗运动，即对数价格的变化符合正态分布。
在GBM模型中，资产价格的波动率是一个恒定的参数，在实际应用中有时不太符合实际情况。
2.随机波动模型（Hull-White模型）Hull-White模型是一种考虑到波动率漂移的衍生品定价模型，可以更准确地描述市场中的随机性。
该模型认为资产价格的波动率是一个随机过程，具有随机性。
Hull-White模型中，波动率的随机漂移是通过设置随机过程的参数来实现的。
3.跳跃模型（GARCH-Jump模型）跳跃模型将跳跃过程纳入到随机过程中，认为标的资产的价格随机跳跃，而不是仅仅波动。
跳跃过程是一种离散时间的随机过程，可以用泊松过程来模拟。
GARCH-Jump模型结合了GARCH及跳跃过程两个方面，是一种在金融市场中广泛使用的衍生品定价模型。
总结随机化分析模型作为衍生品定价的重要工具，需要根据市场的实际情况选择适合的随机过程模型。
不同的随机过程模型可以反映出不同的市场特征，对于实际的金融应用具有重要意义。
需要注意的是，随机过程模型只是用来描述资产价格的随机性，其所包含的参数需要尽可能地符合市场实际情况。
定价模型的合理性不仅体现在理论上，更需要在实践中得到验证。
布朗运动及其应用
布朗运动及其应用【摘要】：布朗运动作为一个简单的、连续的随过程，其发展随着物理和金融模型随机行为的发展在不停地进行着。
这种随机行为的典型例子是气体分子的随机运动和资产定价的波动。
布朗运动的应用很广泛，例如，图像中的噪声建模，分形生成，晶体生长和股票市场的模拟。
本文开始对布朗运动包括其发现和之后的发展进行了概括性的介绍并探索了布朗运动和正态过程的关系以及布朗运动的一些性质，布朗运动有许多有意思的性质，其中包括连续性和轨道几乎处处不可微的性质。
并且无论对这种性质理解得多么透彻，这个性质看上去仍然很像布朗运动的性质，最后会对布朗运动在金融领域某些方面的应用进行探索。
【关键字】：布朗运动；正态运程；连续；可微【Abstract】：Brownian motion (Wiener Process) is a simple continuous stochastic process that is widely used in physics and finance modeling random behavior that evolves over time. Examples of such behavior are the random movements of a molecule of gas or fluctuations in an asset’s price. Brownian motion has a wide range of applications, including modeling noise in images, generating fractals, growth of crystals and stock market simulation. This article will first concentrate on introducing Brownian motion including its discovery and development generally. It also studies the relationship between Brownian motion and Normal process as well as its properties. Brownian motion has a number of other interesting properties. One is that realizations, while continuous, are differentiable nowhere with probability 1. Realizations are fractals. No matter how much you magnify a portion of graph of a realization, the result still looks like a realization of a Brownian motion. Finally the article will look into some applications of Brown motion in the financial world.【keywords】：Brownian motion；Normal process；continuous；differentiable；目录第1章引言 (3)第2章关于布朗运动的概念和定义 (3)2.1 基础概率知识 (3)2.2 随机过程基础概念 (4)第3章随机游动与布朗运动 (6)3.1简单随机俳佪的数学表达及分布 (6)3.2简单随机过程逼近布朗运动 (7)3.2.1由Chapman-Kolmogorov方程逼近 (7)3.2.2中心极限定理的方法： (8)第4章布朗运动概率密度及其性质 (9)4.1有限维布朗运动的联合概率密度函数 (9)4.1.1两个随机向量的概率密度转换公式 (9)4.1.2有限维布朗运动的联合概率密度函数: (9)4.2 布朗运动的性质 (11)4.2.1 布朗运动的正向马尔可夫性 (11)4.2.2轨道性质：布朗运动的几乎所有轨道都不是有界变差 (12)4.3 布朗运动与正态过程 (13)第5章布朗运动的应用 (15)5.1布朗运动在金融市场的应用 (15)5.2首中时与最大值 (16)5.3带有漂移的布朗运动 (16)5.4几何布朗运动 (22)结语 (23)第1章 引言布朗运动（Brownian motion ）最初是由英国生物学家布朗（R.Brown ）于1827年根据观察花粉微粒在液面上作“无规则运动”的物理现象而提出的，在布朗之后，这一问题一再被告提出，为此有许多学者进行过长期的研究。
布朗运动的观察与分析
布朗运动的观察与分析布朗运动是指微粒在液体或气体中因碰撞引起的随机运动。
这种运动由英国植物学家罗伯特·布朗于1827年首次观察到，并被爱因斯坦于1905年用统计物理学的方法进行了解释。
布朗运动不仅在物理学中具有重要的理论意义，也被广泛应用于其他学科领域，例如化学、生物学和金融市场分析。
布朗运动的观察与分析可以通过实验来进行。
以下将以布朗运动的实验为例，详细介绍从定律到实验准备、实验过程以及实验的应用和其他专业性角度。
布朗运动的统计物理模型主要是基于爱因斯坦的扩散理论，扩散理论揭示了微粒随机运动的规律性。
根据扩散理论，微粒在液体或气体中的位移平方与时间的关系呈现出线性增加的特点。
首先，为了观察和分析布朗运动，我们需要准备以下实验材料和设备：1. 显微镜：用于放大微粒的运动轨迹，通常选择高倍率显微镜以获得更清晰的观测效果；2. 透明背景：为了更好地观察微粒的运动，可以使用透明背景或幻灯片作为显微镜底部；3. 液体溶液：溶液的选择应根据待观察的微粒特性而定，一般选择水或酒精等适当的溶剂；4. 微粒：可以使用多种微粒，比如细胞、颗粒等。
在准备好实验材料和设备后，下面是观察和分析布朗运动的实验过程：1. 将液体溶液倒入浅底容器中，并放置在显微镜下方的透明背景上；2. 将待观察的微粒放入溶液中，微粒的浓度可以根据需要进行调整；3. 打开显微镜，调整焦距和放大倍率，确保能够清晰地观察到微粒；4. 使用适当的光源照射样品，通过显微镜目镜观察微粒的运动；5. 使用摄像设备记录微粒的运动轨迹，并保存数据以供后续分析。
布朗运动的实验观察到的微粒运动轨迹呈现出随机、无规律的特点，这与微粒与溶剂分子的碰撞有关。
微粒受到溶剂分子无数次的碰撞，从而使微粒在液体中呈现出无规律运动的现象。
布朗运动的观察和分析在许多领域中具有广泛的应用和意义。
以下从其他专业性的角度对它进行分析。
在物理学中，布朗运动可以用来验证扩散理论和统计物理学模型。
布朗运动及其随机性
布朗运动及其随机性布朗运动是一种自然界中普遍存在的现象，也被称为布朗颗粒运动。
它是由英国植物学家罗伯特·布朗于1827年发现的。
布朗颗粒运动的本质是微粒在液体或气体中的无规则运动。
布朗运动的随机性是其最显著的特征之一。
在观察布朗运动时，我们会发现微粒不断地做无规则的运动，随意地改变运动的方向和速度。
跟踪一个微粒的运动轨迹几乎是不可能的，因为它的运动是完全随机的。
随机性是布朗运动的内在属性，它使得布朗运动具有一些有趣的性质。
首先，随机性使得布朗颗粒的运动路径呈现出一种分形结构。
分形是一种表现自相似特征的几何形状，即无论放大多少倍，都能看到相似的形态。
布朗运动的分形路径表明其中存在着某种隐藏的规律，尽管我们无法准确捕捉它。
这使得布朗运动成为了许多科学研究领域的热点话题。
不仅如此，布朗运动的随机性也使其在金融市场、人口统计学、物理学等领域具有广泛的应用。
在金融市场中，布朗运动常被用于描述股价、货币汇率等的变动。
这是因为布朗运动能够模拟市场的随机性，其路径无法预测，因此可用于衡量风险和利润。
在人口统计学中，布朗运动被用于模拟人口数量的随机变化，以评估人口扩张和资源分配的趋势。
而在物理学领域，布朗运动常被用作分子运动和粒子扩散的数学模型。
要理解布朗运动的随机性，我们需要从微观层面来考察。
在液体或气体中，微粒不仅受到周围分子的撞击，还受到热运动的影响。
这些微小的撞击和热运动造成了微粒的无规则运动。
这是由于液体中分子的热运动是无规则的，而微粒又处于不断受到分子撞击的状态。
因此，布朗运动的随机性可以看作是分子热运动的直接结果。
尽管布朗运动的随机性使得其路径不可预测，但可以通过统计方法来研究其性质。
例如，我们可以通过测量微粒的位移来获得其运动的平均速度和扩散系数。
这些统计量可以帮助我们更好地理解布朗运动的行为。
布朗运动及其随机性的研究不仅对科学领域有重要意义，还对社会生活有一定的启示。
布朗运动的随机性告诉我们，世界上许多事物都是无法完全预测和控制的。
随机过程的布朗运动与布朗桥
随机过程的布朗运动与布朗桥随机过程是概率论中的一个重要概念，用于描述随机变量在时间上的演化规律。
而布朗运动和布朗桥是随机过程中的两个经典模型。
本文将介绍布朗运动和布朗桥的定义、性质以及在实际应用中的重要性。
一、布朗运动布朗运动是一种连续时间随机过程，其关键特征是随机性和连续性。
在数学上，布朗运动通常用W(t)表示，其中t表示时间。
布朗运动具有以下特点：1. 均值为0：布朗运动的均值恒为0，即E[W(t)] = 0，其中E表示期望。
2. 独立增量：对于任意的s < t < u < v，W(t) - W(s) 和 W(v) - W(u)是独立的。
3. 正态分布：对于任意的t，W(t)的分布是正态分布N(0, t)，其中N 表示正态分布。
4. 连续性：布朗运动在任意时间点t处都是连续的，且几乎处处可微。
布朗运动的这些性质使其成为金融学、物理学、生物学等领域中广泛使用的模型。
例如，在金融学中，布朗运动被用来模拟股票价格的变动，其中随机性和连续性反映了市场的不确定性和持续性。
二、布朗桥布朗桥是布朗运动的一个变种，其主要特点是在特定时间段内布朗运动均值为0。
布朗桥通常用B(t)表示，其中0 ≤ t ≤ T，T为固定的时间段。
布朗桥具有以下性质：1. 独立增量：对于任意的0 ≤ s < t < u < v ≤ T，B(t) - B(s) 和 B(v) - B(u) 是独立的。
2. 均值为0：对于任意的0 ≤ t ≤ T，E[B(t)] = 0。
3. 高斯过程：对于任意的0 ≤ t ≤ T，B(t)的分布是正态分布N(0, t)。
布朗桥常用于统计学中的随机游走模型，其具有良好的性质和可解释性。
在金融学中，布朗桥也被广泛应用于期权定价和风险管理等领域。
三、布朗运动与布朗桥的关系布朗运动是布朗桥的一种特殊情况，即当T趋于无穷大时，布朗桥就演化成布朗运动。
布朗运动与布朗桥具有相似的性质，但在时间段内的均值为0是布朗桥的独特特征。
分数布朗运动下的亚式期权定价研究的开题报告
分数布朗运动下的亚式期权定价研究的开题报告1. 研究背景和意义：亚式期权是金融衍生品中常见的一种，其标的资产价格的基准是一段时间内的平均值，因此相对于欧式期权，其更加适用于价格变动的波动较为平稳的市场。
而分数布朗运动则是经典布朗运动的推广，它可以更准确地描述资产价格在长期时间内的行为。
因此，研究基于分数布朗运动的亚式期权定价模型，不仅可以为市场提供更加精准的金融工具，还能够深入探究金融市场中资产价格长期行为的特征。
2. 研究内容和思路：本文将从以下几个方面展开研究：(1)亚式期权的基本模型和定价公式：本部分将介绍亚式期权的基本特征、类型以及在传统布朗运动下的定价公式，并且说明其存在的局限性。
(2)分数布朗运动的基本理论：该部分将详细介绍分数布朗运动的基础知识，包括分数布朗运动的定义、性质、随机微分方程等。
(3)分数布朗运动下亚式期权定价模型的建立：本部分将基于分数布朗运动建立亚式期权定价模型，并且分析分数阶导数参数对模型的影响。
(4)模型实证分析：本部分将基于实际市场数据，检验分数布朗运动下的亚式期权定价模型的有效性和精度。
3. 预期研究成果：(1)建立适用于分数布朗运动下亚式期权定价的数学模型，并且得到其定价公式。
(2)分析分数阶导数参数对亚式期权定价的影响，并且对市场进行实证分析。
(3)为金融市场提供更加精准的金融工具，深入探究资产价格长期行为的特征。
4. 研究方法：本文主要采用数理统计方法和金融衍生品定价理论研究方法。
在建立数学模型前，将进行广泛的文献调研，收集整理相关数据。
在模型的构建阶段，将运用随机微积分、蒙特卡洛方法等数学工具实现对分数布朗运动下亚式期权定价的建模。
在实际数据分析阶段，将结合R语言编程，通过数量和质量的分析手段，对分数布朗运动下亚式期权定价模型的有效性和精度进行评估。
5. 参考文献：[1]Schneider Christian, Weron Rafal. Ito and Stratonovich interpretation of fractional Brownian motion[J]. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 2006, 362(2): 225-236.[2]Hosking Jonathan R M. Fractional differencing[J]. Biometrika, 1981, 68(1): 165-176.[3]李胜利, 李军. 基于GARCH模型的亚式期权定价研究[J]. 数学的实践与认识, 2018, 48(5): 143-153.[4]张丽, 王林. 基于分数布朗运动的亚式期权定价方法研究[J]. 统计研究, 2016, 33(3): 1-12.。
分数布朗运动
分数布朗运动金融市场的布朗运动和分数布朗运动 (马金龙 )1 布朗运动及其在金融市场的应用1.1 布朗运动与EMH布朗运动指的是一种无相关性的随机行走，满足统计自相似性,即具有随机分形的特征。
其轨迹处处没有切线；粒子移动互不相关。
原始意义的布朗运动 (Brownian motion，BM)是Robert Brown于1827年提出，系指液体中悬浮微粒的无规则运动, 直至1877年才由J. 德耳索作出了正确的定性分析：布朗粒子的运动，实际上是由于受到周围液体分子的不平衡碰撞所引起的。
1905年，A. 爱因斯坦对这种“无规则运动”作了物理分析，成为布朗运动的动力论的先驱，并首次提出了布朗运动的数学模型。
1908年，P. 朗之万在研究布朗运动的涨落现象时, 给出了物理学中第一个随机微分方程。
1923年，诺伯特‧维纳 (Norbert Wiener)提出了在布朗运动空间上定义测度与积分，从而形成了Wiener 空间的概念，并对布朗运动作出了严格的数学定义，根据这一定义，布朗运动是一种独立增量过程，是一个具有连续时间参数和连续状态空间的随机过程(Stochastic Process)。
维纳过程是马尔科夫过程(Markov process)的一种特殊形式，而马尔科夫过程又是一种特殊类型的随机过程。
数学界也常把布朗运动称为维纳过程(Wiener Process)。
如稳定的Levy分布。
如今布朗运动在理论上与应用上已与帕松过程 (Poisson process) 构成了两种最基本的随机过程。
1.2 布朗运动在金融市场的应用将布朗运动与股票价格行为联系在一起，进而建立起维纳过程的数学模型是本世纪的一项具有重要意义的里程碑，在现代金融数学中占有重要地位。
迄今，普遍的观点仍认为，股票市场大部分力量是随机波动的，随机波动是股票市场最根本的特性和最大的力量，是股票市场的常态。
1900年法国的巴施利叶（Louis Bachelier）在博士论文《投机理论》中将股票价格的涨跌也看作是一种随机运动，所得到的方程与描述布朗粒子运动的方程非常相似。
金融数学研究的最新进展以及面临的问题和前景
金融数学研究的最新进展以及面临的问题和前景摘要：金融数学是一门新兴学科，是“金融高技术”的重要组成部分。
金融数学的研究目标是利用数学在某些方面的优势，围绕金融市场存在的问题，通过建立模型模拟为实际金融部门提供较深入的技术分析咨询，从而解决金融行业实际运行中存在的问题。
随着社会经济的发展，特别是金融在经济中的地位越来越重要，金融数学相关理论也得到突飞猛进的发展。
而随着金融数学的发展，金融数学研究所面临的问题和前景，也日益受到关注。
本文将就金融数学研究的最新发展以及面临的问题和前景进行论述。
关键词：金融数学、最新进展、前景1、金融数学的定义金融数学或数学金融学亦或数理金融学都是由mathematicalfinance翻译而来，可以理解为是以数学为工具解决金融问题的学科。
金融数学是通过建立适合金融行业具体实情的数学模型，编写一定的计算机软件，对理论研究结果进行仿真计算，对实际数据进行计量经济分析研究的一门应用学科。
金融数学的最大特点是大量应用现代数学工具，特别是伴随着控制理论和随机过程的研究成果在金融领域中的创造性应用，金融数学——一门新兴的边缘学科应运而生，国际上也称数理金融(Mathe--matical Finance)。
金融数学起源于金融问题的研究。
随着金融市场的发展，金融学越来越与数学紧密相连，取得了突飞猛进的发展。
广义来说，金融数学是指应用数学理论和方法，研究金融经济运行规律的一门新兴学科，狭义的来讲，金融数学的主要研究内容是关于在不确定多期条件下的证券组合选择和资产定价理论，而套利、最优和均衡则是这一理论中最重要的三个概念。
金融数学从一些金融或者经济假设出发，用抽象的数学方法，建立金融机理的数学模型。
金融数学的范围包括数学概念和方法(或者其他自然科学方法)在金融学、特别是在金融理论中的各种应用，应用的目的是用数学的语言来表达、推理和论证金融学原理。
金融数学是金融学的一个分支，因此金融数学首先以金融理论为背景和基础，这倒并不意味着从事金融数学一定要受过金融方面的正规的学术性训练(这确实大有益处)。
金融数学研究进展与展望
解，得到了资本市场线。马科维茨指出在资本市
场线上，投资者必定会选择一个适合他的投资理
念和资金实力的点来决定他的投资组合。证券组 合理论不但否定了古典经济学中投资者单纯追求 期望收益率最大化的假设，而且又证明了投资多 个证券比投资单个证券的风险小，即分散投资降 低风险，这一理念一直作为投资风险的指导思想。 马科维茨提出的证券投资组合理论对金融资产的 收益和风险之间的关系进行论述，此理论奠定了 微观金融学的基础，可以说这是数学在金融学的
有不小的距离，在连续时间的金融市场模型围绕
等价概率鞅测度的资产定价模型始终是核心。鞅
理论自从产生以来，广泛应用于解决金融市场不 完备条件下衍生证券的定价问题研究，也使现代
一３１— 万方数据
金融理论取得了突破性的进展。 （二）随机最优控制理论 ２０世纪６０年代随机最优控制理论产生，它利 用测度理论和泛函分析方法解决随机问题。由于 金融市场的显著特征就是具有不确定性，随机最 优控制理论主要应用于金融学中大量的不确定性 的系统建模、分析和最优控制等不确定问题的决 策。默顿（Ｍｅｒｔｏｎ）在１９６９年和１９７１年的两篇论
华大学出版社，１９９９． ［２］郑振龙．金融工程［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１１． ［３］张友兰，丁爱民．金融数学的研究与进展［Ｊ］．高等数学研 究，２００４，７（４）：５３—５５． ［４］ 郭文旌，胡奇英．随机市场系数的Ｍ—Ｖ最优投资组合选择：
的一种投资策略，微分对策理论在解决证券投资 决策问题的方法已成为金融数学领域研究的新方
随机过程在金融数学中具有深远的意义，此后鞅 理论成为未定权益定价和对冲的主要思想方法。
价格的变化并考虑期权的定价问题，但得到的期 权定价公式只有方法论上的意义，最终没有被肯
金融市场风险预测模型综述
金融市场风险预测模型综述随着金融市场的复杂性和不确定性不断增加，金融风险管理成为各个金融机构和投资者必须关注的重要问题。
风险预测模型成为金融市场中预测未来风险的重要工具。
本文将综述几种常见的金融市场风险预测模型，并探讨它们的应用优势和局限性。
1. 随机过程模型随机过程模型是金融市场风险预测中常见的一种方法。
根据随机过程的不同特点和假设，包括布朗运动、几何布朗运动和跳跃扩散过程等模型。
其中，布朗运动模型广泛应用于股票和期权市场的风险预测，而跳跃扩散过程模型则被用于描述金融市场中的极端事件。
2. 基于统计模型的方法基于统计模型的方法是金融市场风险预测中常用的一种方法。
在这种方法中，历史数据被用来拟合一个概率分布模型，并根据该模型来预测未来的风险水平。
常见的统计模型包括正态分布、t 分布、广义自回归条件异方差(GARCH)模型等。
这些模型能够提供出色的预测性能，但也存在着对历史数据的强依赖和对假设的敏感性等局限性。
3. 基于机器学习模型的方法随着机器学习技术的发展，一些基于机器学习模型的方法在金融市场风险预测中也得到了广泛应用。
这些模型能够自动从数据中学习并建立预测模型，而无需依赖于预先设定的假设。
其中，支持向量机(SVM)、人工神经网络(ANN)和随机森林(RF)是常用的机器学习方法。
它们具有较好的非线性拟合能力和适应性，可以在大规模数据集上进行高效的预测。
4. 基于深度学习模型的方法深度学习是机器学习领域的一种前沿技术，近年来在金融市场风险预测中也开始发挥重要作用。
深度学习模型，如深度神经网络(DNN)和长短期记忆(LSTM)网络，具有强大的非线性拟合能力和模式识别能力。
这些模型能够从大量的金融时间序列数据中提取关键特征，并准确预测未来的风险。
然而，金融市场风险预测模型也存在一些共同的限制。
首先，市场行为的复杂性和不确定性使得金融时间序列数据具有高度的非线性和非稳定性。
其次，金融市场中的极端事件往往无法被模型所准确预测。
随机过程及其在金融领域中的应用
一、引言随机过程是随机变量的集合，它描述了随机变量随时间或空间的变化规律。
随机过程在金融领域中有着重要的应用，比如在金融风险管理、金融工程、股票价格预测等方面起着关键作用。
二、随机过程基本概念1. 随机过程的定义随机过程是一组随机变量{X(t), t ∈ T}的集合，其中t代表时间或空间的参数。
随机过程可以分为离散时间随机过程和连续时间随机过程两种。
2. 随机过程的分类根据随机过程的参数空间的不同，随机过程可以分为离散参数空间随机过程和连续参数空间随机过程。
离散参数空间随机过程的参数集合是离散的，通常是整数集合；连续参数空间随机过程的参数集合是连续的，通常是实数集合。
3. 随机过程的性质随机过程具有随机性、不可预测性和不确定性等特点。
它的状态在每一个时间点都是随机的，因此需要用概率分布来描述。
1. 金融风险管理随机过程在金融风险管理中扮演着重要的角色。
金融市场的波动和变化是不确定的，而随机过程正是用来描述这种不确定性的工具。
通过对金融资产价格的随机过程建模，可以更好地理解和管理金融市场中的风险。
2. 金融工程在金融工程领域，随机过程被广泛应用于期权定价、投资组合管理、风险对冲等方面。
Black-Scholes模型是基于随机过程的期权定价模型，它的提出标志着随机过程在金融工程中的重要地位。
3. 股票价格预测股票价格的变化是随机的，而随机过程能够很好地描述股票价格的随机波动。
通过构建股票价格的随机过程模型，可以对股票未来价格的变化趋势进行预测，为投资决策提供参考依据。
四、随机过程在金融领域的具体应用案例1. 布朗运动在金融市场中的应用布朗运动是最基本的连续时间随机过程模型之一，它在金融市场中有着广泛的应用。
布朗运动被用来描述金融市场中资产价格的随机波动，从而实现对金融市场风险的度量和管理。
2. 随机波动率模型在期权定价中的应用随机波动率模型是一种基于随机过程的期权定价模型，它考虑了金融市场中波动率的随机性。
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金融市场布朗运动研究的发展与状况马金龙1,2马非特2（1．中国科学院广州地球化学研究所，广东广州，510640,2. 长沙非线性特别动力工作室，湖南长沙，410013）摘要：布朗运动的理论构筑了主流金融经济学（数理金融学）的完整体系；分数布朗运动为在复杂系统科学体系下揭示金融市场价格波动的规律创造了契机；而基于复杂系统科学的有限尺度布朗运动进行金融市场交易价格波动投机指明了方向。
关键词：金融市场，布朗运动，分形，分数布朗运动，有限尺度布朗运动1 布朗运动及其在金融市场的应用1.1 布朗运动布朗运动指的是一种无相关性的随机行走，满足统计自相似性,即具有随机分形的特征，但其时间函数(运动轨迹)却是自仿射的。
具有以下主要特性：粒子的运动由平移及其转移所构成，显得非常没规则而且其轨迹几乎是处处没有切线；粒子之移动显然互不相关，甚至于当粒子互相接近至比其直径小的距离时也是如此；粒子越小或液体粘性越低或温度越高时，粒子的运动越活泼；粒子的成分及密度对其运动没有影响；粒子的运动永不停止。
原始意义的布朗运动 (Brownian motion，BM)是Robert Brown于1827年提出，系指液体中悬浮微粒的无规则运动, 直至1877年才由J. 德耳索作出了正确的定性分析：布朗粒子的运动，实际上是由于受到周围液体分子的不平衡碰撞所引起的。
1905年，A. 爱因斯坦对这种“无规则运动”作了物理分析，成为布朗运动的动力论的先驱，并首次提出了布朗运动的数学模型。
1908年，P. 朗之万在研究布朗运动的涨落现象时, 给出了物理学中第一个随机微分方程。
1923年，诺伯特丒维纳 (Norbert Wiener)提出了在布朗运动空间上定义测度与积分，从而形成了Wiener空间的概念，并对布朗运动作出了严格的数学定义，根据这一定义，布朗运动是一种独立增量过程，是一个具有连续时间参数和连续状态空间的随机过程(Stochastic Process)。
它是这样的随机过程中最简单，最重要的特例。
因而维纳过程是马尔科夫过程(Markov process)的一种特殊形式，而马尔科夫过程又是一种特殊类型的随机过程。
数学界也常把布朗运动称为维纳过程(Wiener Process)。
不久，Paul Levy及后来的研究者将布朗运动发展成目前的巨构，如稳定的Levy分布。
20世纪40年代，日本数学家伊藤清(Ito Kiyosi)发展了维纳的研究成果，建立了带有布朗运动干扰项B(t)的随机微分方程。
1990年,彭实戈－E. 巴赫杜(Pardoux)进一步提出了一大类可解的倒向随机微分方程，并给出方程解的一般形式，它可看成是Black-Scholes公式的一般化。
总之，如今布朗运动在理论上与应用上已与帕松过程 (Poisson process) 构成了两种最基本的随机过程。
1.2 布朗运动在金融市场的应用将布朗运动与股票价格行为联系在一起，进而建立起维纳过程的数学模型是本世纪的一项具有重要意义的金融创新，在现代金融数学中占有重要地位。
迄今，普遍的观点仍认为，股票市场是随机波动的，随机波动是股票市场最根本的特性，是股票市场的常态。
1900年法国的巴施利叶（Louis Bachelier）在博士论文《投机理论》中将股票价格的涨跌也看作是一种随机运动，所得到的方程与描述布朗粒子运动的方程非常相似。
第一次给予布朗运动以严格的数学描述。
但由此得到的股票价格可能取负值，显然与实际不符。
遗憾的是，他的工作在当时并未引起重视，直到半个世纪后人们才发现其工作的重要性，从而开创了理论金融经济学新时代。
Markowiz(1952)发表投资组合选择理论； Arrow和Denreu(1954)提出一般经济均衡存在定理；Roberts和Osborne(1959)把随机数游走和布朗运动的概念带入股市研究；以及稍后的Sharpe(1964)和Linther(1965)、Mossin(1966)等的资本资产定价模型(CAPM)；Samuelson和Fama(1970)的有效市场理论(EMH)；Fischer Black 和Scholes(1973)和Merton(1973,1992)的期权定价理论（Black-Scholes模型）；Ross (1976)的套利定价理论(APT)。
至此，源于布朗运动的理论金融经济学（数理金融学）的大厦（体系）就完全成形。
布朗运动假设是现代资本市场理论的核心假设。
现代资本市场理论认为证券期货价格具有随机性特征。
这里的所谓随机性，是指数据的无记忆性，即过去数据不构成对未来数据的预测基础。
同时不会出现惊人相似的反复。
随机现象的数学定义是：在个别试验中其结果呈现出不确定性；在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象。
描述股价行为模型之一的布朗运动之维纳过程是马尔科夫随机过程的一种特殊形式；而马尔科夫过程是一种特殊类型的随机过程。
随机过程是建立在概率空间上的概率模型，被认为是概率论的动力学，即它的研究对象是随时间演变的随机现象。
所以随机行为是一种具有统计规律性的行为。
股价行为模型通常用著名的维纳过程来表达。
假定股票价格遵循一般化的维纳过程是很具诱惑力的，也就是说，它具有不变的期望漂移率和方差率。
维纳过程说明只有变量的当前值与未来的预测有关，变量过去的历史和变量从过去到现在的演变方式则与未来的预测不相关。
股价的马尔科夫性质与弱型市场有效性(the weak form of market efficiency)相一致，也就是说，一种股票的现价已经包含了所有信息，当然包括了所有过去的价格记录。
但是当人们开始采用分形理论研究金融市场时，发现它的运行并不遵循布朗运动，而是服从更为一般的分数布朗运动[1]。
分数布朗运动与分形资本市场2.1 分数布朗运动世界是非线性的，宇宙万物绝大部分不是有序的、线性的、稳定的和平衡的，而是混沌的、非线性的、非稳定和涨落不定的沸腾世界。
也就是说，宇宙充满了分形。
在股票市场的价格波动、心率及脑波的波动、电子元器件中的噪声、自然地貌等大量的自然现象和社会现象中存在着一类随机过程，它们具有如下特性：在时域或空域上有自相似性和长时相关性；在频域上，其功率谱密度在一定频率范围内基本符合1/f γ的多项式衰减规律。
因此被称为1/f 族随机过程。
在为此类过程建模时，由于通常采用的ARMA 方法只适合于相关结构按指数规律衰减的过程，其效果不好[2]，因此人们不断地寻找各种模型来模拟此类随机过程。
其中由Benoit Mandelbrot 和Van Ness [3]提出的分数布朗运动(fractional Brownian motion ，FBM)模型是使用最广泛的一种，它具有自相似性、非平稳性两个重要性质，是许多自然现象和社会现象的内在特性。
在不同的文献中，分数布朗运动被赋予不同的名称，如分形布朗运动、有偏的随机游走(Biased Random walk)、分形时间序列(Fractional time serial)、分形维纳过程等。
其定义如下：设0<H <1，Hurst 参数为H 的分数布朗运动为一连续Gaussian 过程}),({R t t B H ∈，0)0(=H B 且0)]([=t B E H ，协方差为}){2/1(),(222H H H H s t s ts t C −−+=。
H =1/2时，)(t B H 即为标准布朗运动)(t B 。
分数布朗运动特征是时间相关函数C(t)≠0,即有持久性或反持久性,或者说有“长程相关性”,不失一般性，可以给出一维情形的布朗运动及分数布朗运动的定义。
分数布朗运动既不是马尔科夫过程，又不是半鞅，所以不能用通常的随机来分析。
分数布朗运动与布朗运动之间的主要区别为：分数布朗运动中的增量是不独立的，而布朗运动中的增量是独立的；分数布朗运动的深层次上和布朗运动的层次上它们的分维值是不同的[4]，分数布朗运动（分形噪声）的分维值等于H D H −=2，H 为Hurst 指数，而布朗运动（白噪声）的分维值都是2。
Hurst 在一系列的实证研究中发现，自然现象都遵循“有偏随机游走”，即一个趋势加上噪声，并由此提出了重标极差分析法(Rescaled Range Analysis ，R/S 分析)[5]。
设R/S 表示重标极差，N 表示观察次数，a 是固定常数，H 表示赫斯特指数，在长达40多年的研究中，通过大量的实证研究，赫斯特建立了以下关系: H aN S R )(/= （1）通过对(1)式取对数，可得：)log (log )/log(a N H S R += （2）只要找出R/S 关于N 的log/log 图的斜率,就可以来估计H 的值。
Hurst 指数H 用来度量序列相关性和趋势强度：当H=0.5时，标准布朗运动，时间序列服从随机漫步；当H ≠0.5时,C(t)≠0，且与时间无关，正是分数布朗运动的特征。
当0.5<H<1时，序列是趋势增强的，遵循有偏随机游走过程；当0<H<0.5时，序列是反持续性的。
可以看出，Hurst 指数能够很好地刻画证券市场的波动特征，将R/S分析应用于金融市场，可以判断收益率序列是否具有记忆性，记忆性是持续性的还是反持续性的。
所以，分数布朗运动是复杂系统科学体系下的数理金融学的一个合适的工具，作为对描述金融市场价格波动行为模型的维纳过程的一般化、深刻化具有重要的理论与现实意义。
2.1 分形资本市场自然界不是一个重复模式的序列，它的特点是局部的随机性和全局的秩序。
每一个存在于实际生活中的分形都是在细节上不同而在整体概念上类似的。
现实世界中的分形与全局由统计结构所控制，同时又保持局部的随机性。
而实际上，大多数人在接到信息时并不马上做出决策，他们会等着确认信息，且不等到趋势已经十分明显就不做出反应。
这样，因证实一个趋势所需的确认信息的时间不同，对于学习的不均等的消化可能会导致一个有偏的随机游动。
曼德勃罗特称这种随机游动为分数布朗运动。
这也就是说，金融市场服从分数布朗运动，有效市场理论所言仅仅是分形分布的一种特殊情形。
分数布朗运动是对具有分形特征的自然现象的高阶逼真，而金融市场的价格波动行为正是具备分形特征的现象，如自相似性，无特征长度，有精细结构，或局部以某种方式与整体相似。
所以将两者联系起来会使我们进入一个全新的领域。
Edgar E・Peters(1996)提出了分形市场假说（Fractal Market Hypothesis , FMH）。
分形市场假说强调了流动性的影响以及基于投资者行为之上的投资起点，其目的是给予一个符合我们观察的投资者行为和市场价格运动的模型。
Peters应用R/S分析法分析了不同资本市场（如股市收益率、汇率），都发现了分形结构和非周期循环(Nonpelriodic cycles)，证明资本市场是非线性系统。