武汉理工大学2011级高数下B卷答案
11-12(下)高数B参考答案及评分标准
高数期末试题B 参考答案及评分标准一、判断题二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）（6） 2 （7）x z y 522=+（8） －1 （9）9122≤+<y x （10）2ln 162（11） 6 （12）yPx Q ∂∂=∂∂ （13） 右手 （14）⎰20)2sin(21πdt t （15） 偶（16）求曲面42222=++z y x 在点(1,1,1)处的切平面方程，并求过原点与该切平面垂直的直线方程。
()())2(112)3(042111)2()2,2,4(|),,(11142),,()1,1,1(222分直的直线方程为：通过原点与该切平面垂分点处的切平面方程为，，曲面在分点处的法向量，，则曲面在解：记 zy x z y x F F F z y x z y x F z y x ===-++∴==-++=（17）设函数),(y x z z =由方程23222320x z y z x y +-+=所确定，求全微分dz 。
)1(43344322)3(4334)3(43222),,(222222223222222223322232分分分则解：记 dy zy z x y yz dx z y z x x xz dz zy z x y yz F F y z zy z x xxz F F x z y x z y z x z y x F z y z x ++-+--=∴++-=-=∂∂+--=-=∂∂+-+=（18）计算Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由0,1z z ==和222x y x +=围成的区域。
)1(9163238cos 38cos 34)1(21)2(21)1(21)2()1)1(D (203223cos 202222221222212222分分分分分：其中解： =⋅=====+=+=≤+-+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--Ωπππθππθθθθρρθθρρd d d d d d dxdy y x zdz dxdy y x y x dz y x z dxdy dv y x z DDDD（19）计算,)536()24(L⎰+++-+dy y x dx y x 其中L 为三角形(3,0)，(3,2),(0,0)的正向边界。
2011年湖北高考数学试题及答案(理科)
轴重合）所在的平面为 ， xOx 45 。
'
（Ⅰ）已知平面 内有一点 P (2 2, 2) ，则点 P 在平面 内的射影 P 的
'
'
2
坐标为
；
'
（Ⅱ）已知平面 内的曲线 C 的方程是 ( x 2) 2 y 2 0 ，则曲线 C 在平面 内的射
' 2 '2
28 145
13．
67 66
14． （2，2） ， ( x 1) y 1
2 2
15．21，43
三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分。 16．本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查基本运算能力。 （满 分 10 分） 解： （Ⅰ） c a b 2ab cos C 1 4 4
3
（Ⅰ）当 0 x 200 时，求函数 v x 的表达式; （Ⅱ）当车流密度 x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每 小时） f x x.v x 可以达到最大，并求出最大值（精确到 1 辆/小时）
18． （本小题满分 12 分） 如图，已知正三棱柱 ABC A1B1C 1 的各棱长都是 4， E 是 BC 的中点，动点 F 在侧棱 CC1 上，且不与点 C 重合． （Ⅰ）当 CF =1 时，求证： EF ⊥ A1C ； （Ⅱ）设二面角 C AF E 的大小为 ，求 tan 的最小值．
1 i 1． i 为虚数单位，则 1 i
A．- i
2011
= C． i D．1
B．-1
2．已知 U y | y log 2 x, x 1 , P y | y
da2011年高考数学试卷答案 湖北理
【参考答案】 【1】．A提示：∵i 2i 2i1)i 1(i 1i 122==-+=-+，∴原式i i i i 3345022011-====+⨯，∴选（A ）. 【2】．A 提示：}0|{}1,log |{2>=>==y y x x y y U,}210|{}2,1|{<<=>==y y x x y y P , ∴1,2U P ⎡⎫=+∞⎪⎢⎣⎭ð ， ∴选（A ）. 【3】．B 提示：)6sin(2)cos 21sin 23(2cos sin 3)(π-=-=-=x x x x x x f , 由1)(≥x f 得，,21)6πsin(≥-x 所以6π5π26π6ππ2+≤-≤+k x k , 所以π2π2ππ()3k x k k +≤≤+∈Z ，故选（B ）. 【4】．C 提示：px y 22=的图像为开口向右的抛物线，过抛物线焦点分别作倾斜角为30,150的两条直线，则这两条直线与抛物线的交点及焦点构成符合条件的两个正三角形.由对称性可知，两直线位置一有改变就不可能构成正三角形，故选（C ）. 【5】．C提示：∵正态曲线关于直线2=x 对称，而已知8.0)4(=<ξP ， ∴6.0)40(,2.0)0()4(=<<=<=>ξξξP P P ， ∴,3.0)40(21)20(=<<=<<ξξP P 故选（C ）. 【6】．B提示：)(x f 为奇函数，)(x g 为偶函数，∴)()(),()(x g x g x f x f =--=-.∴⎪⎩⎪⎨⎧+-=-+-+-=+--，，2)()(2)()(xx x x a a x g x f a a x g x f 即()()2()() 2.x xx x f x g x a a f x g x a a --⎧+=-+⎪⎨-+=-+⎪⎩，①②①+②，得,)2(,2)(a g x g ==由得2=a . ①-②，得x x x x a a x f ---=-=22)(，所以,41522)2(22=-=-f 故选（B ）.【7】．B 提示：将12,,K A A 分别能正常工作记为事件12,,K A A ，则系统正常工作的概率为))(1)(()()())((212121A A P k P A A P k P A A k P -=+⋅=+⋅⨯-⨯=2.01(9.0864.0)2.0=.故选（B ）. 【8】．D提示：由⊥a b 得0⋅a b =，即y x y x z ,,32+=满足不等式1||||≤+y x 所表示的区域为点)1,0(),0,1(),1,0(),0,1(--连结而构成的正方形及其内部，由线性规划知识，z 取最大和最小值时的最优解为)1,0(和)1,0(-，故33≤≤-z ，故选（D ）. 【9】．C提示：由0),(=b a ϕ，得b a b a +=+22，平方得0=ab ，不妨设,0,02≥==a a a b 得则可得a 与b 互补；反之由a 与b 互补，容易得到0),(=b a ϕ，故选（C ）. 【10】．D提示：,2ln 230)(300tM t M --=' 由已知,2ln 102ln 230)30(10-=-='-MM∴6000=M ，∴1502600)60(,2600)(230=⋅=⋅=--M t M t太贝克，∴选（D ）.【11】．17 提示：由23181818181)31(C )31(C rr rr r r r xxx T --+-=-=， 令152318=-r ，得2=r ，得,17)31(C 151522183x x T =-= 所以15x 的系数为17. 【12】．14528提示：所求概率14528C C C C 2302312713=+=P . 【13】．6667提示：自上而下设各节容积分别为9821,,,,a a a a 且公差为d ，则由已知得⎩⎨⎧=++=+++，，439874321a a a a a a a 故⎩⎨⎧=+=+.421336411d a d a ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.66722131d a ，故666766282213415=+=+=d a a .【14】．（2，2），1)1(22=+-y x提示：（I ）过P '作M P '垂直于y 轴且垂足为M ，则PM P '∆为等腰直角三角形，故可得P PM 故,2=点在α内的横坐标为2，而易知P 在α内的纵坐标也为2，故)2,2(P .（II ）设曲线C '上任一点),(y x P '''在α内的射影为),(y x P ，则易知),2(,2,y x P x x y y '='='所以代入方程得，22)22(22=+-y x ，所以曲线C '在α内射影C 的方程为1)1(22=+-y x .【15】．21，43提示：法一：当n =1,2,3,4时符合条件的方案分别为2，3，5，8，由此归纳推测，n =5时有1385=+种方案，n =6时，有8+13=21种方案.法二：为自上而下的6个正方形着色，且黑色正方形互不相邻时，分别着黑色正方形的个数为3，2，1，0，有3个正方形着黑色时，可先将3个白色正方形排好，3个黑色正方形插空共34C 种方案，同理，着2，1，0个黑色正方形分别有071625C ,C ,C 种方案，故一共有21C C C C 07162534=+++种.第二问正好是第一问的对立事件，用两种颜色给6个正方形着色共26种方案，故符合条件的有432126=-种（或以着黑色正方形的个数为标准分类有21C C C C C C C 06162636465666-++++++）.【16】．解：（Ⅰ）22212cos 14444c a b ab C =+-=+-⨯=， ∴2c =∴ABC ∆的周长为122 5.a b c ++=++=（Ⅱ）1cos ,sin 4C C ====∴sin 4sin 2a C A c ===∴.,a c A C <<∴，故A 为锐角，7cos.8A===∴7111cos()cos cos sin sin.848416A C A C A C-=+=⨯+=∴【17】．解：（Ⅰ）由题意：当020x≤≤时，()60v x=；当20200x≤≤时，设()v x ax b=+.再由已知得2000,2060,a ba b+=⎧⎨+=⎩解得1,3200.3ab⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故函数()v x的表达式为60,020,()1(200),20200.3xv xx x≤<⎧⎪=⎨-≤≤⎪⎩（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得60,020,()1(200),20200.3x xf xx x x≤<⎧⎪=⎨-≤≤⎪⎩当020,()x f x≤≤时为增函数，故当20x=时，其最大值为60×20=1200；当20200x≤≤时，211(200)10000()(200).3323x xf x x x+-⎡⎤=-≤=⎢⎥⎣⎦当且仅当200x x=-，即100x=时，取等号.所以，当100x=时，()f x在区间[20，200]上取得最大值10000.3综上，当100x=时，()f x在区间[0，200]上取得最大值1000033333≈.即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时. 【18】．解法1：过E作EN AC⊥于N，连结EF.（I）证明：如图1，连结NF，1AC，由直棱柱的性质知，底面ABC⊥侧面1AC.又平面ABC侧面1AC AC=，且EN⊂底面ABC，所以EN⊥侧面1AC，NF为EF在侧面1AC内的射影，在Rt CNE∆中，cos60CN CE=︒=1，则由114CF CNCC CA==，得1//NF AC，又11,AC AC ⊥故1NF AC ⊥.由三垂线定理知1.EFAC ⊥（II ）解：如图2，连结AF ，过N 作NM AF ⊥于M ，连结ME . 由（I ）知EN ⊥侧面1AC ，根据三垂线定理得,EM AF ⊥ 所以EMN ∠是二面角C AF E --的平面角，即EMN θ∠=. 设,045FACαα∠=︒<≤︒则.在Rt CNE ∆中，sin60NE EC =⋅︒=在Rt ,sin 3sin ,AMN MNAN αα∆=⋅=中故tan NE MN θ== 又045,α︒<≤︒所以0sin α<≤故当sin 2α=即当45α=︒时，tan θ达到最小值，即tan 33θ=，此时F 与1C 重合.解法2：（I ）证明：建立如图3所示的空间直角坐标系，则由已知可得1(0,0,0),(0,4,0),(0,0,4),(0,4,1),A B C A E F于是1(0,4,4),(3,1,1).CA EF =-=-则1(0,4,4)(,1)0440,CA EF ⋅=-⋅=-+=故1.EFAC ⊥（II ）解：设,(04)CF λλ=<≤， 平面AEF 的一个法向量为(,,)x y z =m ， 则由（I ）得F （0，4，λ）.(3,3,0),(0,4,)AE AF λ==，于是由,AE AF ⊥⊥m m ，可得0,30,40.0,AE y y z AF λ⎧⋅=+=⎪⎨+=⎪⋅=⎪⎩⎩即m m取,,4).λ=-m又由直三棱柱的性质可取侧面1AC 的一个法向量为(1,0,0)=n ，于是由θ为锐角可得||cos ||||θ⋅=⋅m n mn θ==，所以tan θ==由04λ<≤，得114λ≥，即tan θ≥= 故当4λ=，即点F 与点1C 重合时，tan θ【19】．解：（I ）由已知1,n n a rS +=可得21n n a rS ++=，两式相减可得2111(),n n n n n a a r S S ra ++++-=-=即21(1).n n a r a ++=+又21,a ra ra ==所以0r =时，数列{}n a 为a ，0，…，0，…； 当0,1r r ≠≠-时，由已知0,a ≠所以0n a ≠（*n ∈N ）， 于是由21(1),n n a r a ++=+可得211()n n a r n a *++=+∈N ， 所以23,,,,n a a a 成等比数列，所以当n ≥2时，2(1).n na r r a -=+综上，数列{}n a 的通项公式为21,(1), 2.nn a n a r r a n -=⎧=⎨+≥⎩， （II ）对于任意的*m ∈N ，且122,,,m m m m a a a ++≥成等差数列，证明如下：当r =0时，由（I ）知，,1,0, 2.n a n a n =⎧=⎨≥⎩∴对于任意的*m ∈N ，且122,,,m m m m a a a ++≥成等差数列， 当0r ≠，1r ≠-时，21211,.k k k k k k k S S a a S S a +++++=++=+若存在*k ∈N ，使得12,,k k k S S S ++成等差数列， 则122k k k S S S +++=，12222,kk k k S a a S ++++=∴即212,k k a a ++=-由（I ）知，23,,,,m a a a 的公比12r +=-，于是对于任意的*m ∈N ，且12,2,m m m a a +≥=-从而24,m m a a +=122,m m m a a a ++∴+=即12,,m m m a a a ++成等差数列，综上，对于任意的*m ∈N ，且122,,,m m m m a a a ++≥成等差数列. 【20】．解：（I ）设动点为M ，其坐标为(,)x y ，当x a ≠±时，由条件可得12222,MA MA y y y k k m x a x a x a ⋅=⋅==-+- 即222()mxy ma x a -=≠±，又12(,0),(,0)A a A a -的坐标满足222,mx y ma -=故依题意，曲线C 的方程为222.mxy ma -=当1m <-时，曲线C 的方程为22221,x y C a ma+=-是焦点在y 轴上的椭圆； 当1m =-时，曲线C 的方程为222xy a +=，C 是圆心在原点的圆；当10m -<<时，曲线C 的方程为22221x y a ma +=-，C 是焦点在x 轴上的椭圆； 当0m >时，曲线C 的方程为22221,x y a ma-=C 是焦点在x 轴上的双曲线. （II ）由（I ）知，当m =-1时，1C 的方程为222;x y a +=当(1,0)(0,)m ∈-+∞时，2C的两个焦点分别为12((F F -对于给定的(1,0)(0,)m ∈-+∞，1C 上存在点000(,)(0)N x y y ≠使得2||S m a =的充要条件是22200020,0,12|||.2x y a y y m a ⎧+=≠⎪⎨⋅=⎪⎩ 由①得00||,y a <≤由②得0||y =当10,0,2a m <≤≤<即或0m <≤时， 存在点N ，使2||Sm a =；1,2a m >即-1<<或m >时， 不存在满足条件的点N ，当150,m ⎫⎛+∈⎪ ⎪ ⎣⎭⎝⎦时， 由100200(1,),(1,)NF a m x y NF a x y =-+--=+-，可得22221200(1),NF NF x m a y ma ⋅=-++=-令112212||,||,NF r NF r F NF θ==∠=，则由22121212cos ,cos ma NF NF r r ma r r θθ⋅==-=-可得， ① ②从而22121sin 1sin tan 22cos 2ma S r r ma θθθθ==-=-， 于是由2||S m a =，可得2212||tan ||,tan .2m ma m a mθθ-==-即 综上可得，当12m ⎡⎫-∈⎪⎢⎪⎣⎭时，在1C 上，存在点N ，使得212||,tan 2;S m a F NF =∠=且当10,2m ⎛+∈ ⎝⎦时，在1C 上，存在点N ，使得212||,tan 2;S m a F NF =∠=-且当15,m ⎛⎛⎫+∈-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，在1C 上，不存在满足条件的点N . 【21】．（I ）解：()f x 的定义域为(0,)+∞，令1()10,f x x'=-=解得 1.x = 当01,()0,()x f x f x '<<>时在（0，1）内是增函数；当1x >时，()0,()(1,)f x f x '<+∞在内是减函数，故函数()1f x x =在处取得最大值(1)0.f =（II ）证明：（1）由（I ）知，当(0,)x ∈+∞时， 有()(1)0,f x f ≤=即ln 1.x x ≤-0k k a b ⋅>，从而有ln 1k k a a ≤-， 得ln (1,2,,)kk k k k b a a b b k n ≤-=，求和得111ln .knn nb kk k k k k k aa b b ===≤-∑∑∑111,ln 0,k n nnb k kkkk k k a b b a===≤∴≤∑∑∑即1212ln()0,n b b bn a b a ≤1212 1.n b b b n a a a ≤∴（2）①先证12121.nb bbn b b b n≥令1(1,2,,),kka k n nb ==则11111,nnnk k k k k k a b b n ======∑∑∑于是由（1）得1212111()()()1n b b b nnb nb nb ≤，即1212121,nnb b b b b b n n n b b b +++≤=所以12121.nb b bn b b b n≥②再证122221212.n b b bn n b b b b b b ≤+++记21,(1,2,,)nkk k k b Sb a k n S====∑令，则211111nn nk k k k k k k a b b b S ======∑∑∑，于是由（1）得1212()()()1nb b b n b b b S SS≤， 即121212,n nb b b b bbn b b b S S +++≤=所以122221212.n b bbn n b b b b b b ≤+++综合①②，（2）得证. 【End 】。
武汉理工大学考试试题
武汉理工大学考试试题（A 卷）课程名称：高等数学A （下） 专业班级：2009级理工科专业题号 一 二 三 四 五 六 七 总分 题分151524161686100备注：学生不得在试题纸上答题（含填空题、选择题等客观题）应按顺序答在答题纸上。
一、单项选择题（35⨯=15分）1. 设线性无关的函数123(),(),()y x y x y x 均是二阶非齐次线性微分方程()()()y p x y q x y f x '''++=的解，12,c c 是任意常数，则该方程的通解是（ ）.A ．1122123(1)y c y c y c c y =++--B ．11223y c y c y y =++C ．1122123(1)y c y c y c c y =+---D ．1122123()y c y c y c c y =+-+ 2. 曲线23,,x t y t z t ===在点(1,1,1)处的法平面方程为（ ）.A ．236x y z +-=B ．236x y z ++=C ．236x y z --=D ．236x y z -+=3.设有三元方程ln 1xz xy z y e -+=，根据隐函数存在定理，存在点()0,1,1的一个邻域，在该邻域内该方程只能确定（ ）.A ．一个具有连续偏导数的隐函数(,)z z x y =B ．两个具有连续偏导数的隐函数(,)x x y z =和(,)z z x y =C ．两个具有连续偏导数的隐函数(,)x x y z =和(,)y y x z =D ．两个具有连续偏导数的隐函数(,)y y x z =和(,)z z x y =4. 设(,)f x y 为连续函数，则二次积分140(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⎰⎰=（ ）.A ．2212(,)x xdx f x y dy -⎰⎰B ．2212(,)x dx f x y dy -⎰⎰C ．2212(,)y dy f x y dx -⎰⎰D ．2212(,)y ydy f x y dx -⎰⎰5. 级数31sin n n n α∞=∑的收敛情况是（ ）. A ．绝对收敛 B ．收敛性与α有关 C ．发散 D ．条件收敛二、填空题（35⨯=15分）1. 设向量2,m a b n ka b =+=+，其中1,2,a b a b ==⊥，则k =时，以,m n 为邻边的平行四边形面积为6。
【数学】2011年高考真题湖北卷(理)解析版
2011年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数 学(理工农医类解析)本试题卷共4页，三大题21小题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上．并将准考证 号条形码粘贴在答题卡上的指定位置，用2B 铅笔将答题卡上试卷类型B 后的方框涂黑。
2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
咎在试题卷、草稿纸上无效。
3填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水箍字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区 域内。
答在试题卷、草稿纸上无效。
4考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共l0小题．每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是满足题目要求的.1.i 为虚数单位，则=⎪⎭⎫⎝⎛-+201111i iA.i -B.1-C.iD.1【答案】A解析：因为()i i i i i =-+=-+221111，所以i i i i i i -====⎪⎭⎫⎝⎛-++⨯3350242011201111，故选A . 2.已知{}1,log 2>==x x y y U ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧>==2,1x x y y P ，则=P C U A. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21 B.⎪⎭⎫⎝⎛21,0 C.()+∞,0 D. ()⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∞-,210,【答案】A解析：由已知()+∞=,0U .⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,0P ，所以⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞=,21P C U ,故选A .3.已知函数()x x x f cos sin 3-=，R x ∈，若()1≥x f ，则x 的取值范围为 A. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,3ππππ B . ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,232ππππ C. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,656ππππ D. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,65262ππππ 【答案】B解析：由条件1cos sin 3≥-x x 得216sin ≥⎪⎭⎫⎝⎛-πx ，则 652662πππππ+≤-≤+k x k ，解得ππππ+≤≤+k x k 232，Z k ∈，所以选B . 4.将两个顶点在抛物线()022>=p px y 上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形的个数记为n ，则A. 0=n B . 1=n C. 2=n D. 3≥n 【答案】C解析：根据抛物线的对称性，正三角形的两个 顶点一定关于x 轴对称，且过焦点的两条直线 倾斜角分别为030和0150，这时过焦点的直线 与抛物线最多只有两个交点，如图所以正三角形 的个数记为n ，2=n ，所以选C.5.已知随机变量ξ服从正态分布()2,2σN ，且()8.04=<ξP ，则()=<<20ξP A. 6.0 B . 4.0 C. 3.0 D. 2.0 【答案】C 解析：如图，正态分布的密度函数示意图所示，函数关于 直线2=x 对称，所以()5.02=<ξP ，并且()()4220<<=<<ξξP P则()()()2420<-<=<<ξξξP P P3.05.08.0=-=所以选C.6.已知定义在R 上的奇函数()x f 和偶函数()x g 满足()()2+-=+-xxaa x g x f()1,0≠>a a 且，若()a g =2，则()=2fA. 2 B . 415 C. 417 D. 2a 【答案】B解析：由条件()()22222+-=+-aa g f ，()()22222+-=-+--a a g f ，即()()22222+-=+--a a g f ，由此解得()22=g ，()222--=a a f ，所以2=a ，()41522222=-=-f ，所以选B . 7.如图，用21A A K 、、三类不同的元件连接成一个系统，K 正常工作且21A A 、至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知21A A K 、、正常工作的概率依次为9.0、8.0、8.0，则系统正常工作的概率为A. 960.0 B . 864.0 C. 720.0 D. 576.0 【答案】B解析：21A A 、至少有一个正常工作的概率为()()211A P A P -()()94.004.018.018.011=-=-⨯--=，系统正常工作概率为()()()()864.096.09.0121=⨯=-A P A P K P ，所以选B .8.已知向量a ()3,z x +=，b ()z y -=,2，且a ⊥b .若y x ,满足不等式1≤+y x ，则z 的取值范围为A. []2,2- B . []3,2- C. []2,3- D. []3,3- 【答案】D解析：因为a ⊥b ，()()032=-++z y z x ， 则y x z 32+=，y x ,满足不等式1≤+y x ，则点()y x ,的可行域如图所示,当y x z 32+=经过点()1,0A 时，y x z 32+=当y x z 32+=经过点()1,0-C 时，y x z 32+=取得最小值-3 所以选D .9.若实数b a ,满足0,0≥≥b a ，且0=ab ，则称a 与b 互补，记()b a b a b a --+=22,ϕ，那么()0,=b a ϕ是a 与b 互补A . 必要而不充分条件B . 充分而不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要的条件 【答案】C解析：若实数b a ,满足0,0≥≥b a ，且0=ab ，则a 与b 至少有一个为0，不妨设0=b ，K A 1A 2则()0,2=-=-=a a a a b a ϕ；反之，若()0,22=--+=b a b a b a ϕ，022≥+=+b a b a两边平方得ab b a b a 22222++=+0=⇔ab ，则a 与b 互补，故选C.10.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象成为衰变，假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M （单位：太贝克）与时间t （单位：年）满足函数关系：()3002tM t M -=，其中0M 为0=t 时铯137的含量，已知30=t 时，铯137的含量的变化率．．．是2ln 10-（太贝克/年），则()=60M A . 5太贝克 B . 2ln 75太贝克 C . 2ln 150太贝克 D . 150太贝克【答案】D解析：因为()300/22ln 301tM t M -⨯-=，则()2ln 1022ln 3013030300/-=⨯-=-M M ，解得6000=M ，所以()302600tt M -⨯=，那么()150416002600603060=⨯=⨯=-M （太贝克），所以选D .二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分11.在1831⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 展开式中含15x 的项的系数为 .（结果用数值表示） 【答案】17【解析】二项式展开式的通项公式为rr r r x x C T ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+3118181rr r r x C ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--31211818，令2152118=⇒=--r r r ，含15x 的项的系数为17312218=⎪⎭⎫ ⎝⎛-C ，故填17.12.在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期.从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过了保质期饮料的概率为 .（结果用最简分数表示） 【答案】14528 解析：从这30瓶饮料中任取2瓶，设至少取到1瓶已过了保质期饮料为事件A ，从这30瓶饮料中任取2瓶，没有取到1瓶已过了保质期饮料为事件B ，则A 与B 是对立事件，因为()291513272302527⨯⨯==C C B P ，所以()()145282915132711=⨯⨯-=-=B P A P ，所以填14528. 12.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升.【答案】6667 解析：设该数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，依题意⎩⎨⎧=++=+++439874321a a a a a a a ，即⎩⎨⎧=+=+421336411d a d a ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+6673471d d a ， 则d d a d a a 374115-+=+=6667662134=-=，所以应该填6667. 14.如图，直角坐标系xOy 所在的平面为α，直角坐标系//Oy x （其中/y 轴与y 轴重合）所在的平面为β，0/45=∠xOx . （Ⅰ）已知平面β内有一点()2,22/P ，则点/P 在平面α内的射影P 的坐标为 ； （Ⅱ）已知平面β内的曲线/C 的方程是()02222/2/=-+-y x，则曲线/C 在平面α内的射影C 的方程是 . 【答案】()2,2,()1122=+-y x解析：（Ⅰ）设点/P 在平面α内的射影P 的坐标为()y x ,，则点P 的纵坐标和()2,22/P 纵坐标相同，所以2=y ，过点/P 作Oy H P ⊥/，垂足为H ，连结PH ，则0/45=∠HP P ，P 横坐标0/45cos H P PH x ==2222245cos 0/=⨯==x ， 所以点/P 在平面α内的射影P 的坐标为()2,2；（Ⅱ）由（Ⅰ）得2245cos /0/⨯==x x x ，y y =/，所以⎪⎩⎪⎨⎧==yy x x //2代入曲线/C 的方程()02222/2/=-+-y x，得()⇒=-+-0222222y x ()1122=+-y x ，所以射影C 的方程填()1122=+-y x .15.给n 个则上而下相连的正方形着黑色或白色.当4≤n 时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻．．．．的着色方案如下图所示：由此推断，当6=n 时，黑色正方形互不相邻．．．．着色方案共有 种，至少有两个黑色正方形相邻．．着色方案共有 种.（结果用数值表示） 【答案】43,21解析：设n 个正方形时黑色正方形互不相邻．．．．的着色方案数为n a ，由图可知， 21=a ，32=a ，213325a a a +=+==， 324538a a a +=+==，由此推断1365435=+=+=a a a ，21138546=+=+=a a a ，故黑色正方形互不相邻．．．．着色方案共有21种；由于给6个正方形着黑色或白色，每一个小正方形有2种方法，所以一共有6422222226==⨯⨯⨯⨯⨯种方法，由于黑色正方形互不相邻．．．．着色方案共有21种，所以至少有两个黑色正方形相邻．．着色方案共有432164=-种着色方案，故分别填43,21.三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分10分） 设ABC ∆的内角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、.已知1=a ，2=b ，41cos =C . （Ⅰ）求ABC ∆的周长； （Ⅱ）求()C A -cos 的值.n=1 n=2n=3n=4本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查基本运算能力 解析：（Ⅰ）∵441441cos 2222=⨯-+=-+=C ab b a c ∴2=c∴ABC ∆的周长为5221=++=++c b a .（Ⅱ）∵41cos =C ，∴415411cos 1sin 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=C C ，∴8152415sin sin ===cC a A ∵c a <，∴C A <,故A 为锐角，∴878151sin 1cos 22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=A A ∴()C A -cos C A C A sin sin cos cos +=16114158154187=⨯+⨯=. 17．（本小题满分12分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20020≤≤x 时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数． （Ⅰ）当2000≤≤x 时，求函数()x v 的表达式；（Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()x v x x f ⋅=可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）本题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力. 解析：（Ⅰ）由题意：当200≤≤x 时，()60=x v ；当20020≤≤x 时，设()b ax x v +=，显然()b ax x v +=在[]200,20是减函数，由已知得⎩⎨⎧=+=+60200200b a b a ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=320031b a故函数()x v 的表达式为()x v =()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤.20020,20031,200,60x x x（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得()=x f ()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤.20020,20031,200,60x x x x x当200≤≤x 时，()x f 为增函数，故当20=x 时，其最大值为12002060=⨯；当20020≤≤x 时，()()()310000220031200312=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+≤-=x x x x x f ， 当且仅当x x -=200，即100=x 时，等号成立．所以，当100=x 时，()x f 在区间[]200,20上取得最大值310000． 综上，当100=x 时，()x f 在区间[]200,0上取得最大值3333310000≈， 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时． 18．（本小题满分12分） 如图，已知正三棱柱111C B A ABC -的各棱长都是4，E 是BC 的中点，动点F 在侧棱1CC 上，且不与点C 重合．（Ⅰ）当1=CF 时，求证C A EF 1⊥；（Ⅱ）设二面角E AF C --的大小为θ，θtan 的最小值． 本题主要考查空间直线与平面的位置关系和二面角等基础 知识，同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解 能力. 解析：ABCEA 1C 1B 119.（本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：1a a =(0)a ≠，n n rS a =+1 (n ∈N *，,1)r R r ∈≠-.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若存在k ∈ N *，使得1+k S ，k S ，2+k S 成等差数列，试判断：对于任意的m ∈N *，且2m ≥，1+m a ，m a ，2+m a 是否成等差数列，并证明你的结论.20. （本小题满分14分）平面内与两定点1(,0)A a -，2(,0)A a (0)a >连续的斜率之积等于非零常数m 的点的轨迹，加上1A 、2A 两点所成的曲线C 可以是圆、椭圆成双曲线. （Ⅰ）求曲线C 的方程，并讨论C 的形状与m 值得关系；（Ⅱ）当1m =-时，对应的曲线为1C ；对给定的(1,0)(0,)m U ∈-+∞，对应的曲线为2C ，设1F 、2F 是2C 的两个焦点。
2011年高考数学试卷 湖北理
2011年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷(理类)【选择题】【1】．i 为虚数单位，则2011i 1i 1⎪⎭⎫⎝⎛-+=（ ）.（A ）-i （B ）-1 （C ）i （D ）1 【2】．已知{}1,log |2>==x x y y U,⎭⎬⎫⎩⎨⎧>==2,1|x x y y P ,则U P =ð( ).(A)⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21 (B) ⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0 (C) ()+∞,0 (D) (]⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞⋃∞-,210,【3】．已知函数()cos ,f x x x x =-∈R .若()1f x ≥，则x 的取值范围为( ).(A) π|π+π+π,3x k x k k ⎧⎫≤≤∈⎨⎬⎩⎭Z (B) π|2π+2π+π,3x k x k k ⎧⎫≤≤∈⎨⎬⎩⎭Z (C) π5π|π+π+,66x k x k k ⎧⎫≤≤∈⎨⎬⎩⎭Z (D) π5π|2π+2π+,66x k x k k ⎧⎫≤≤∈⎨⎬⎩⎭Z 【4】．将两个顶点在抛物线22(0)y px p =>上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则（ ）.（A ）n =0 （B ）n =1 （C ）n =2 （D ）n ≥3【5】．已知随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ，且(4)0.8P ξ<=，则(02)P ξ<<＝( ).(A)0.6 (B)0.4 (C)0.3 (D)0.2 【6】．已知定义在R上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()20,x x f x g x a a a a -+=-+>≠()且.若(2)g a =，则(2)f =（ ）.(A)2 (B)154 (C) 174(D) 2a 【7】．如图，用12,,K A A 三类不同的元件连接成一个系统.当K 正常工作且12,A A 至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知12,,K A A 正常工作的概率依次是0.9，0.8，0.8，则系统正常工作的概率为（ ）.(A)0.960 (B)0.864 (C)0.720 (D)0.576【8】．已知向量(,3)x z =+a ,(2,)y z =-b ,且⊥a b .若x,y 满足不等式1x +y ≤，则z 的取值范围为( ). (A)[]2,2- (B) []2,3- (C) []3,2- (D) []3,3-【9】．若实数,a b 满足0,0a b ≥≥且0ab =，则称a 与b 互补，记(,)a b a b ϕ=-，那么(,)0a b ϕ=是a 与b 互补的（ ）.(A)必要而不充分的条件 (B)充分而不必要的条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要的条件【10】．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变.假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M （单位：太贝克）与时间t （单位：年）满足函数关系：300()2tM t M -=，其中0M 为0t =时铯137的含量.已知30t =时，铯137含量的变化率是10ln 2-（太贝克／年），则(60)M =( ). (A) 5太贝克 (B) 75ln 2太贝克 (C) 150ln 2太贝克 (D) 150太贝克 【填空题】【11】．18x ⎛ ⎝的展开式中含15x 的项的系数为 .(结果用数值表示) 【12】．在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期.从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过保质期的概率为 .（结果用最简分数表示）【13】．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升.【14】．如图，直角坐标系xOy 所在平面为α，直角坐标系x Oy ''（其中y '轴与y 轴重合）所在的平面为β，45xOx '∠=.（Ⅰ）已知平面β内有一点P '，则点P '在平面α内的射影P 的坐标为 ；（Ⅱ）已知平面β内的曲线C '的方程是22(220x y ''+-=，则曲线C '在平面α内的射影C 的方程是 .【15】．给n 个自上而下相连的正方形着黑色或白色.当4n ≤时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相．．．邻．的着色方案如下图所示：由此推断，当6n =时，黑色正方形互不相．．．邻．的着色方案共有 种，至少有两个黑色正方形相．邻．的着色方案共有 种.（结果用数值表示） 【解答题】【16】．设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知11,2,cos 4a b C ===. （Ⅰ）求ABC ∆的周长； （Ⅱ）求cos()A C -的值.【17】．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数. （Ⅰ）当0200x ≤≤时，求函数()v x 的表达式；（Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()f x x v x =⋅可以达到最大，并求最大值.（精确到1辆/小时）【18】．如下图，已知正三棱柱111ABC A B C -的各棱长都是4，E 是BC 的中点，动点F 在侧棱1CC 上，且不与点C 重合.（Ⅰ）当1CF =时，求证：1EFAC ⊥；（Ⅱ）设二面角C AF E --的大小为θ，求tan θ的最小值. 【19】．已知数列{}n a 的前n项和为n S ，且满足：11(0),(,,1)n n a a a a rS n r r *+=≠=∈∈≠-N R .（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若存在k *∈N ，使得12,,k k k S S S ++成等差数列，试判断：对于任意的m *∈N ,且2m ≥，12,,m m m a a a ++是否成等差数列，并证明你的结论.【20】．平面内与两定点12(,0),(,0)(0)A a A a a ->连续的斜率之积等于非零常数m 的点的轨迹，加上12,A A 两点所成的曲线C 可以是圆、椭圆或双曲线. （Ⅰ）求曲线C 的方程，并讨论C 的形状与m 值的关系；（Ⅱ）当1m =-时，对应的曲线为1C ；对给定的(1,0)(0,)m ∈-⋃+∞，对应的曲线为2C .设12,F F 是2C 的两个焦点.试问：在1C 上，是否存在点N ，使得△12F NF 的面积2S m a =.若存在，求12tan F NF ∠的值；若不存在，请说明理由.【21】．（Ⅰ）已知函数()ln 1,(0,)f x x x x =-+∈+∞，求函数()f x 的最大值； （Ⅱ）设,(1,2,k k a b k=…)n 均为正数，证明：（1）若1122a b a b ++…+12n n a b b b ≤++…+n b ，则1212b b a a …1n b n a ≤；（2）若12b b ++…1n b +=,则12121b b b b n≤…2212n b n b b b ≤++…+2n b .。
2011年高考数学(理)真题(Word版)——全国卷(试题+答案解析)
2011年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）理科数学（必修+选修II ）第Ⅰ卷一、选择题1．复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --=A ．2i -B ．i -C ．iD ．2i2．函数2(0)y x x =≥的反函数为A ．2()4x y x R =∈B ．2(0)4x y x =≥C ．24y x =()x R ∈ D ．24(0)y x x =≥3．下面四个条件中，使a b ＞成立的充分而不必要的条件是A ．1a b +＞B ．1a b -＞C ．22a b ＞D ．33a b ＞4．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k =A ．8B ．7C ．6D ．55．设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于A ．13B ．3C ．6D ．96．已知直二面角α− ι−β，点A ∈α，AC ⊥ι，C 为垂足，B ∈β，BD ⊥ι，D 为垂足．若AB=2，AC=BD=1，则D 到平面ABC 的距离等于A ．23B ．33C ．63D ．17．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有 A ．4种 B ．10种 C ．18种 D ．20种 8．曲线y=2xe -+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x 围成的三角形的面积为A ．13 B ．12C ．23D ．19．设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，()f x =2(1)x x -，则5()2f -=A ．-12B ．1 4-C ．14D ．1210．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A ，B 两点．则cos AFB ∠=A ．45B ．35C ．35-D ．45-11．已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成060二面角的平面β截该球面得圆N ．若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为A ．7πB ．9πC ．11πD ．13π12．设向量a ，b ，c 满足a =b =1，a b =12-，,a c b c --=060，则c 的最大值等于A ．2B ．3C ．2D ．1第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上 （注意：在．试卷上作答无效．．．．．．．） 13．（1-x ）20的二项展开式中，x 的系数与x 9的系数之差为: ．2y 214．已知a ∈（2π，π），sinα=55，则tan2α=15．已知F 1、F 2分别为双曲线C : 29x - 227y =1的左、右焦点，点A ∈C ，点M 的坐标为（2，0），AM 为∠F 1AF 2∠的平分线．则|AF 2| = ．16．己知点E 、F 分别在正方体ABCD -A 1B 2C 3D 4的棱BB 1 、CC 1上，且B 1E =2EB, CF=2FC 1，则面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．（本小题满分l0分）（注意：在试题卷上．．．．．作答无效．．．．） △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．己知A —C =90°，a+c=2b ，求C ．18．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0．5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0．3,设各车主购买保险相互独立（I ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l 种的概率；（Ⅱ）X 表示该地的l00位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数。
2011年湖北高考理科数学试卷及答案详解-WORD版-(答案超级详细)
2011年湖北高考理科数学试卷及答案详解-WORD版-(答案超级详细)2011年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学（理工农医类）本试卷共4页，三大题21小题。
满分150分，考试时间120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。
2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。
3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。
4. 考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。
1.i为虚数单位，则201111ii+⎛⎫= ⎪-⎝⎭(A) -1 (B) -i (C) 1 （D) i解析：选B。
()()()()2111121112i ii i iii i i+++++===--+，故2011201111ii ii+⎛⎫==-⎪-⎝⎭2. 已知{}21log ,1,,2U y y x x P y y x x ⎧⎫==>==>⎨⎬⎩⎭，则UP =(A)(]1,0,2⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭(B)10,2⎛⎫⎪⎝⎭ (C) ()0,+∞ (D) 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭解析：选D{}{}2log ,10U y y x x y y ==>=>，11,202P y y x y y x ⎧⎫⎧⎫==>=<<⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，故UP =12y y ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭，即为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭3.已知函数()cos ,f x x x x R =-∈，若()1f x ≥，则x 的取值范围为(A) 22,3P x k x k k Z ππππ⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭(B) 522,66P x k x k k Z ππππ⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭(C),3P x k x k k Z ππππ⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭(D) 5,66P x k x k k Z ππππ⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭解析：选A.()cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令()1f x ≥得：1sin 62x π⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，于是522,666k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，解之即得A 。
武汉理工大学高数B期末试卷B卷及答案
武汉理工大学2008—2009学年第二学期《高等数学B 》期末试卷（B 卷）考生姓名：班级：学号：一、选择题（本题共6小题,每小题4分，满分24分）1、二元函数),(y x f 在点),(00y x 处两个偏导数都存在，是),(y x f 在该点可微的（）． （A ）充分而非必要条件（B ）既非充分又非必要条件 （C ）充分必要条件（D ）必要而非充分条件2、设),(y x f 是连续函数，则0(,)(0)axI dx f x y dy a =>⎰⎰=（）．（A ）00(,)ay dy f x y dx ⎰⎰（B ）0(,)a aydy f x y dx ⎰⎰（C ）(,)ay ady f x y dx ⎰⎰（D ）0(,)a ady f x y dx ⎰⎰3、下列级数条件收敛的是（）．（A ）n n n1)1(1∑∞=-（B ）211)1(n n n∑∞=-（C ）1)1(1+-∑∞=n n n n （D ）)1(1)1(1+-∑∞=n n n n4、若级数∑∞=1n nu收敛，则下列级数中（）收敛。
（A ）)001.0(1+∑∞=n n u （B ）∑∞=1n nu （C ）∑∞=+11000n n u （D ）∑∞=11000n nu 5、以12cos ,sin y x y x ==为特解的二阶线性齐次微分方程是（） （A ）''0y y -=（B ）'''0y y +=（C ）''0y y +=（D ）'''0y y -=6、设{}222:),(ay x y x D ≤+=，则当=a （）时，⎰⎰=--Ddxdy y x a π2222（A ）1（B ）2（C ）33（D ）323二、填空题（本题共5小题,每小题4分，满分20分） 1、 设sin xy ze =，则dz =。
2、 设{}(,):01,1D x y x x y =≤≤≤≤，则=⎰⎰-Dy dxdy e 2。
2011年湖北高考理科数学试卷及答案详解 WORD版 (答案超级详细)
2011年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学（理工农医类）本试卷共4页，三大题21小题。
满分150分，考试时间120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。
2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。
3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。
4. 考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。
1.i 为虚数单位，则201111i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭(A) -1 (B) -i (C) 1 （D) i解析：选B 。
()()()()2111121112i i i i i i i i i +++++===--+，故2011201111i i i i +⎛⎫==- ⎪-⎝⎭2. 已知{}21log ,1,,2U y y x x P y y x x ⎧⎫==>==>⎨⎬⎩⎭，则UP =(A)(]1,0,2⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭(B)10,2⎛⎫⎪⎝⎭ (C) ()0,+∞ (D) 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭解析：选D{}{}2log ,10U y y x x y y ==>=>，11,202P y y x y y x ⎧⎫⎧⎫==>=<<⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，故U P =12y y ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭，即为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭3.已知函数()cos ,f x x x x R =-∈，若()1f x ≥，则x 的取值范围为(A) 22,3P x k x k k Z ππππ⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭(B) 522,66P x k x k k Z ππππ⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭(C),3P x k x k k Z ππππ⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭(D) 5,66P x k x k k Z ππππ⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭解析：选A.()cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令()1f x ≥得：1sin 62x π⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，于是522,666k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，解之即得A 。
2011年湖北高考理科数学试题及答案
2011年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学（理工农医类）本试卷共4页，三大题21小题。
满分150分，考试时间120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。
2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。
3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。
4. 考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。
1.i 为虚数单位，则201111i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭(A) -1 (B) -i (C) 1 （D) i 2. 已知{}21log ,1,,2U y y x x P y y x x ⎧⎫==>==>⎨⎬⎩⎭，则U P =ð (A)(]1,0,2⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭ (B) 10,2⎛⎫⎪⎝⎭ (C) ()0,+∞ (D) 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭3.已知函数()3sin cos ,f x x x x R =-∈，若()1f x ≥，则x 的取值范围为 (A) 22,3P x k x k k Z ππππ⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭(B) 522,66P x k x k k Z ππππ⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭(C),3P x k x k k Z ππππ⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭(D) 5,66P x k x k k Z ππππ⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭4.将两个顶点在抛物线22y px =()0p >上，另一个顶点是抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则(A)0n = (B) 1n = (C) 2n = (D) 3n ≥5.已知随机变量ξ服从正态分布()22,N σ，且()40.8P ξ<=，则()02P ξ<<=(A) 0.2 (B) 0.3 (C) 0.4 (D) 0.6 6.已知定义在R上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()()20,1x x f x g x a a a a -+=-+>≠且，若()2g a =，则()2f = (A)2a (B) 2 (C) 154 (D) 1747.如图，用K 、12A A 、三类不同的原件连接成一个系统，当K 正常工作且12A A 、至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K 、12A A 、正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为(A)0.960 (B) 0.864 (C) 0.720 (D) 0.5768.已知向量()(),3,2,a x z b y z a b =+=-⊥，且，若x ，y 满足不等式1x y +≤，则z的取值范围为：(A) []3,3- (B)[]3,2- (C)[]2,2- (D) []2,3- 9.若实数a ，b 满足0,0,0a b ab ≥≥=且，则称a 与b 互补，记()22,a b a b a b ϕ=+--，那么(),0a b ϕ=是a 与b 互补的(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C) 充要条件 (D)既不充分也不必要条件10.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其它元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变。
2011年湖北高考数学试题及答案(理科)
试卷类型：A2011年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷(理工农医类) (湖北卷)解析本试题卷共4页，三大题21小题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上．并将准考证 号条形码粘贴在答题卡上的指定位置，用2B 铅笔将答题卡上试卷类型B 后的方框涂黑。
2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
咎在试题卷、草稿纸上无效。
3填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水箍字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区 域内。
答在试题卷、草稿纸上无效。
4考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共l0小题．每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是满足题目要求的.1.i 为虚数单位，则=⎪⎭⎫⎝⎛-+201111i iA.i -B.1-C.iD.1 【答案】A解析：因为()i i i i i =-+=-+221111，所以i i i i i i -====⎪⎭⎫⎝⎛-++⨯3350242011201111，故选A . 2.已知{}1,log 2>==x x y y U ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧>==2,1x x y y P ，则=P C U A. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21 B.⎪⎭⎫⎝⎛21,0 C.()+∞,0 D. ()⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∞-,210,【答案】A解析：由已知()+∞=,0U .⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,0P ，所以⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞=,21P C U ,故选A .3.已知函数()x x x f cos sin 3-=，R x ∈，若()1≥x f ，则x 的取值范围为A. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,3ππππ B . ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,232ππππC. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,656ππππ D. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,65262ππππ【答案】B解析：由条件1cos sin 3≥-x x 得216sin ≥⎪⎭⎫⎝⎛-πx ，则 652662πππππ+≤-≤+k x k ，解得ππππ+≤≤+k x k 232，Z k ∈，所以选B . 4.将两个顶点在抛物线()022>=p px y 上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形的个数记为n ，则 A. 0=n B . 1=n C. 2=n D. 3≥n【答案】C解析：根据抛物线的对称性，正三角形的两个 顶点一定关于x 轴对称，且过焦点的两条直线 倾斜角分别为030和0150，这时过焦点的直线 与抛物线最多只有两个交点，如图所以正三角形 的个数记为n ，2=n ，所以选C.5.已知随机变量ξ服从正态分布()2,2σN ，且()8.04=<ξP ，则()=<<20ξPA. 6.0 B . 4.0 C. 3.0 D. 2.0 【答案】C 解析：如图，正态分布的密度函数示意图所示，函数关于 直线2=x 对称，所以()5.02=<ξP ，并且()()4220<<=<<ξξP Pxy O FABC D xyO 4 2则()()()2420<-<=<<ξξξP P P3.05.08.0=-=所以选C.6.已知定义在R 上的奇函数()x f 和偶函数()x g 满足()()2+-=+-x x a a x g x f()1,0≠>a a 且，若()a g =2，则()=2fA. 2 B . 415 C. 417 D. 2a 【答案】B解析：由条件()()22222+-=+-a a g f ，()()22222+-=-+--a a g f ，即()()22222+-=+--a a g f ，由此解得()22=g ，()222--=a a f ，所以2=a ，()41522222=-=-f ，所以选B . 7.如图，用21A A K 、、三类不同的元件连接成一个系统，K 正常工作且21A A 、至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知21A A K 、、正常工作的概率依次为9.0、8.0、8.0，则系统正常工作的概率为A. 960.0 B . 864.0 C. 720.0 D. 576.0 【答案】B解析：21A A 、至少有一个正常工作的概率为()()211A P A P -()()94.004.018.018.011=-=-⨯--=，系统正常工作概率为()()()()864.096.09.0121=⨯=-A P A P K P ，所以选B .8.已知向量a ()3,z x +=，b ()z y -=,2，且a ⊥b .若y x ,满足不等式1≤+y x ，则z 的取值范围为A. []2,2- B . []3,2- C. []2,3- D. []3,3-KA 1A 2【答案】D解析：因为a ⊥b ，()()032=-++z y z x ， 则y x z 32+=，y x ,满足不等式1≤+y x ， 则点()y x ,的可行域如图所示,当y x z 32+=经过点()1,0A 时，y x z 32+=取得最大值3 当y x z 32+=经过点()1,0-C 时，y x z 32+=取得最小值-3 所以选D.9.若实数b a ,满足0,0≥≥b a ，且0=ab ，则称a 与b 互补，记()b a b a b a --+=22,ϕ，那么()0,=b a ϕ是a 与b 互补 A. 必要而不充分条件B . 充分而不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要的条件 【答案】C解析：若实数b a ,满足0,0≥≥b a ，且0=ab ，则a 与b 至少有一个为0，不妨设0=b ，则()0,2=-=-=a a a a b a ϕ；反之，若()0,22=--+=b a b a b a ϕ，022≥+=+b a b a两边平方得ab b a b a 22222++=+0=⇔ab ，则a 与b 互补，故选C.10.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象成为衰变，假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M （单位：太贝克）与时间t （单位：年）满足函数关系：()3002t M t M -=，其中0M 为0=t 时铯137的含量，已知30=t 时，铯137的含量的变化率．．．是2ln 10-（太贝克/年），则()=60M A . 5太贝克 B . 2ln 75太贝克 C . 2ln 150太贝克 D . 150太贝克 【答案】D解析：因为()300/22ln 301tM t M -⨯-=，则()2ln 1022ln 3013030300/-=⨯-=-M M ，解xy OA(0,1) B(1,0)C(0,-1)D(-1,0)l 1l 2得6000=M ，所以()302600tt M -⨯=，那么()150416002600603060=⨯=⨯=-M （太贝克），所以选D .二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分11.在1831⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 展开式中含15x 的项的系数为 .（结果用数值表示）【答案】17【解析】二项式展开式的通项公式为rr r r x x C T ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+3118181rr r r x C ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--31211818，令2152118=⇒=--r r r ，含15x 的项的系数为17312218=⎪⎭⎫ ⎝⎛-C ，故填17.12.在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期.从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过了保质期饮料的概率为 .（结果用最简分数表示） 【答案】14528解析：从这30瓶饮料中任取2瓶，设至少取到1瓶已过了保质期饮料为事件A ，从这30瓶饮料中任取2瓶，没有取到1瓶已过了保质期饮料为事件B ，则A 与B 是对立事件，因为()291513272302527⨯⨯==C C B P ，所以()()145282915132711=⨯⨯-=-=B P A P ，所以填14528. 12.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升. 【答案】6667解析：设该数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，依题意⎩⎨⎧=++=+++439874321a a a a a a a ，即⎩⎨⎧=+=+421336411d a d a ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+6673471d d a ， 则d d a d a a 374115-+=+=6667662134=-=，所以应该填6667. 14.如图，直角坐标系xOy 所在的平面为α，直角坐标系//Oy x （其中/y 轴与y 轴重合）所在的平面为β，0/45=∠xOx .（Ⅰ）已知平面β内有一点()2,22/P ，则点/P 在平面α内的射影P 的坐标为 ； （Ⅱ）已知平面β内的曲线/C 的方程是()02222/2/=-+-y x，则曲线/C 在平面α内的射影C 的方程是 . 【答案】()2,2,()1122=+-y x解析：（Ⅰ）设点/P 在平面α内的射影P 的坐标为()y x ,，则点P 的纵坐标和()2,22/P 纵坐标相同， 所以2=y ，过点/P 作Oy H P ⊥/，垂足为H ， 连结PH ，则0/45=∠HP P ，P 横坐标0/45cos H P PH x ==2222245cos 0/=⨯==x ， 所以点/P 在平面α内的射影P 的坐标为()2,2；（Ⅱ）由（Ⅰ）得2245cos /0/⨯==x x x ，y y =/，所以⎪⎩⎪⎨⎧==yy x x //2代入曲线/C 的方程()02222/2/=-+-y x，得()⇒=-+-0222222y x ()1122=+-y x ，所以射影C的方程填()1122=+-y x .15.给n 个则上而下相连的正方形着黑色或白色.当4≤n 时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻．．．．的着色方案如下图所示： αβxy (y /)C / Ox/•/PH由此推断，当6=n 时，黑色正方形互不相邻．．．．着色方案共有 种，至少有两个黑色正方形相邻．．着色方案共有 种.（结果用数值表示） 【答案】43,21解析：设n 个正方形时黑色正方形互不相邻．．．．的着色方案数为n a ，由图可知， 21=a ，32=a ，213325a a a +=+==， 324538a a a +=+==，由此推断1365435=+=+=a a a ，21138546=+=+=a a a ，故黑色正方形互不相邻．．．．着色方案共有21种；由于给6个正方形着黑色或白色，每一个小正方形有2种方法，所以一共有6422222226==⨯⨯⨯⨯⨯种方法，由于黑色正方形互不相邻．．．．着色方案共有21种，所以至少有两个黑色正方形相邻．．着色方案共有432164=-种着色方案，故分别填43,21. 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分10分）设ABC ∆的内角A 、B 、C 、所对的边分别为a 、b 、c ，已知11. 2.cos .4a b C === （Ⅰ）求ABC ∆的周长 （Ⅱ）求()cos A C -的值本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查基本运算能力。
2011年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学试题 (理科)(解析版)
2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理）试题解析试卷类型：A本试题卷共4页，三大题21小题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★ 注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上．并将准考证 号条形码粘贴在答题卡上的指定位置，用2B 铅笔将答题卡上试卷类型B 后的方框涂黑。
2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
咎在试题卷、草稿纸上无效。
3填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水箍字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区 域内。
答在试题卷、草稿纸上无效。
4考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共l0小题．每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是满足题目要求的.1.i 为虚数单位，则=⎪⎭⎫⎝⎛-+201111i i （ ） A.i - B.1- C.i D.1【答案】A解析：因为()i i i i i =-+=-+221111，所以i i i i i i -====⎪⎭⎫⎝⎛-++⨯3350242011201111，故选A .2.已知{}1,log 2>==x x y y U ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧>==2,1x x y y P ，则=P C U （ ） A. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21 B.⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0 C.()+∞,0 D. ()⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∞-,210,【答案】A解析：由已知()+∞=,0U .⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,0P ，所以⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞=,21P C U ,故选A .3.已知函数()x x x f cos sin 3-=，R x ∈，若()1≥x f ，则x 的取值范围为（ ）A. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,3ππππ B . ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,232ππππC. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,656ππππD. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,65262ππππ【答案】B解析：由条件1cos sin 3≥-x x 得216sin ≥⎪⎭⎫⎝⎛-πx ，则 652662πππππ+≤-≤+k x k ，解得ππππ+≤≤+k x k 232，Z k ∈，所以选B .4.将两个顶点在抛物线()022>=p px y 上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形的个数记为n ，则（ ）A. 0=n B . 1=n C. 2=n D. 3≥n【答案】C解析：根据抛物线的对称性，正三角形的两个 顶点一定关于x 轴对称，且过焦点的两条直线倾斜角分别为030和0150，这时过焦点的直线 与抛物线最多只有两个交点，如图所以正三角形 的个数记为n ，2=n ，所以选C.5.已知随机变量ξ服从正态分布()2,2σN ，且()8.04=<ξP ，则()=<<20ξP （ ）A. 6.0 B . 4.0 C. 3.0 D. 2.0 【答案】C 解析：如图，正态分布的密度函数示意图所示，函数关于 直线2=x 对称，所以()5.02=<ξP ，并且()()4220<<=<<ξξP P则()()()2420<-<=<<ξξξP P P 3.05.08.0=-=所以选C.6.已知定义在R 上的奇函数()x f 和偶函数()x g 满足()()2+-=+-xxaa x g x f()1,0≠>a a 且，若()a g =2，则()=2f （ ）A. 2 B .415 C. 417 D. 2a 【答案】B解析：由条件()()22222+-=+-aa g f ，()()22222+-=-+--a a g f ，即()()22222+-=+--a a g f ，由此解得()22=g ，()222--=a a f ，所以2=a ，()41522222=-=-f ，所以选B .7.如图，用21A A K 、、三类不同的元件连接成一个系统，K 正常工作且21A A 、至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知21A A K 、、正常工作的概率依次为9.0、8.0、8.0，则系统正常工作的概率为（ ）A. 960.0 B . 864.0 C. 720.0 D. 576.0【答案】B解析：21A A 、至少有一个正常工作的概率为()()211A P A P -()()94.004.018.018.011=-=-⨯--=，系统正常工作概率为()()()()864.096.09.0121=⨯=-A P A P K P ，所以选B .8.已知向量a ()3,z x +=，b ()z y -=,2，且a ⊥b .若y x ,满足不等式1≤+y x ，则z 的取值范围为（ ） A. []2,2-B . []3,2- C. []2,3- D. []3,3-K A 1A 2【答案】D解析：因为a ⊥b ，()()032=-++z y z x ， 则y x z 32+=，y x ,满足不等式1≤+y x ， 则点()y x ,的可行域如图所示,当y x z 32+=经过点()1,0A 时，y x z 32+=当y x z 32+=经过点()1,0-C 时，y x z 32+=所以选D.9.若实数b a ,满足0,0≥≥b a ，且0=ab ，则称a 与b 互补，记()b a b a b a --+=22,ϕ，那么()0,=b a ϕ是a 与b 互补（ ）A. 必要而不充分条件 B . 充分而不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要的条件 【答案】C解析：若实数b a ,满足0,0≥≥b a ，且0=ab ，则a 与b 至少有一个为0，不妨设0=b ，则()0,2=-=-=a a a a b a ϕ；反之，若()0,22=--+=b a b a b a ϕ，022≥+=+b a b a两边平方得ab b a b a 22222++=+0=⇔ab ，则a 与b 互补，故选C.10.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象成为衰变，假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M （单位：太贝克）与时间t （单位：年）满足函数关系：()3002t M t M -=，其中0M 为0=t 时铯137的含量，已知30=t 时，铯137的含量的变．化率．．是2ln 10-（太贝克/年），则()=60M （ ） A . 5太贝克 B . 2ln 75太贝克 C . 2ln 150太贝克 D . 150太贝克【答案】D解析：因为()300/22ln 301tM t M -⨯-=，则()2ln 1022ln 3013030300/-=⨯-=-M M ，解得6000=M ，所以()302600tt M -⨯=，那么()150416002600603060=⨯=⨯=-M （太贝克），所以选D .二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分11.在1831⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 展开式中含15x 的项的系数为 .（结果用数值表示）【答案】17【解析】二项式展开式的通项公式为rr r r x x C T ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+3118181rr r r x C ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--31211818，令2152118=⇒=--r r r ，含15x 的项的系数为17312218=⎪⎭⎫ ⎝⎛-C ，故填17.12.在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期.从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过了保质期饮料的概率为 .（结果用最简分数表示） 【答案】14528 解析：从这30瓶饮料中任取2瓶，设至少取到1瓶已过了保质期饮料为事件A ，从这30瓶饮料中任取2瓶，没有取到1瓶已过了保质期饮料为事件B ，则A 与B 是对立事件，因为()291513272302527⨯⨯==C C B P ，所以()()145282915132711=⨯⨯-=-=B P A P ，所以填14528.13.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升. 【答案】6667 解析：设该数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，依题意⎩⎨⎧=++=+++439874321a a a a a a a ，即⎩⎨⎧=+=+421336411d a d a ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+6673471d d a ， 则d d a d a a 374115-+=+=6667662134=-=，所以应该填6667.14.如图，直角坐标系xOy 所在的平面为α，直角坐标系//Oy x （其中/y 轴与y 轴重合）所在的平面为β，0/45=∠xOx .（Ⅰ）已知平面β内有一点()2,22/P ，则点/P 在平面α内的射影P 的坐标为 ； （Ⅱ）已知平面β内的曲线/C 的方程是()02222/2/=-+-y x，则曲线/C 在平面α内的 射影C 的方程是 .【答案】()2,2,()1122=+-y x解析：（Ⅰ）设点/P 在平面α内的射影P 的坐标为()y x ,，则点P 的纵坐标和()2,22/P 纵坐标相同， 所以2=y ，过点/P 作Oy H P ⊥/，垂足为H ，连结PH ，则0/45=∠HP P ，P 横坐标0/45cos H P PH x ==2222245cos 0/=⨯==x ， 所以点/P 在平面α内的射影P 的坐标为()2,2；（Ⅱ）由（Ⅰ）得2245cos //⨯==x x x ，y y =/，所以⎪⎩⎪⎨⎧==yy x x //2代入曲线/C 的方程()02222/2/=-+-y x，得()⇒=-+-0222222y x ()1122=+-y x ，所以射影C 的方程填()1122=+-y x .15.给n 个则上而下相连的正方形着黑色或白色.当4≤n 时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻．．．．的着色方案如下图所示： 由此推断，当6=n 时，黑色正方形互不相邻．．．．着色方案 共有 种，至少有两个黑色正方形相邻．．着色方案 共有 种.（结果用数值表示）【答案】43,21 解析：设n 个正方形时黑色正方形互不相邻．．．．的着色方案数为n a ， 由图可知，21=a ，32=a ，213325a a a +=+==， 324538a a a +=+==，由此推断1365435=+=+=a a a ，21138546=+=+=a a a ，故黑色正方形互不相邻．．．．着色方案共有21种；由于给6个正方形着黑色或白色，每一个小正方形有2种方法，所以一共有6422222226==⨯⨯⨯⨯⨯种方法，由于黑色正方形互不相邻．．．．着色方案共有21种，所以至少有两个黑色正方形相邻．．着色方案共有432164=-种着色方案，故分别填43,21. 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分10分） 设ABC ∆的内角A 、B 、C 、所对的边分别为a 、b 、c ，已知11. 2.cos .4a b C === （Ⅰ）求ABC ∆的周长 （Ⅱ）求()cos A C -的值本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查基本运算能力。
2011年高考真题详解——湖北卷(理科数学)范文
2011年普通高等学校招生全国统一考试【湖北卷】（理科数学）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页．全卷满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：（每小题5分，共60分）【2011⋅湖北理，1】1．i 为虚数单位，则201111i i +⎛⎫ ⎪-⎝⎭= ( )．A ．i -B ．1-C ．iD ．1 【答案】A ．【解析】 因为()i i i i i =-+=-+221111，所以i i i i i i -====⎪⎭⎫⎝⎛-++⨯3350242011201111，故选A ．【2011⋅湖北理，2】2．已知{2|log ,1}U y y x x ==>,1|,2P y y x x ⎧⎫==>⎨⎬⎩⎭，则=U C P ( )．A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()0,+∞D ．(]1,0[,)2-∞+∞ 【答案】A ．【解析】由已知()+∞=,0U .⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,0P ，所以⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞=,21P C U ,故选A ．【2011⋅湖北理，3】3．已知函数()cos f x θθ=-，x R ∈．若()1f x ≥，则x 的取值范围为( )． A ．|,3x k x k k Z πππ⎧⎫+≤≤∈⎨⎬⎩⎭ B ．|22,3x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤∈⎨⎬⎩⎭C ．5|,66x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭ D ．5|22,66x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭【答案】B ．【解析】由条件1cos sin 3≥-x x 得216sin ≥⎪⎭⎫⎝⎛-πx ，则652662πππππ+≤-≤+k x k ， 解得ππππ+≤≤+k x k 232，Z k ∈，所以选B ．【2011⋅湖北理，4】4．将两个顶点在抛物线22y px =()0p >上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则( )．A ．0n =B ．1n =C ．2n =D ．3n ≥ 【答案】C ．【解析】根据抛物线的对称性，正三角形的两个顶点一定关于x 轴对称，且过焦点的两条直线 倾斜角分别为030和0150，这时过焦点的直线 与抛物线最多只有两个交点，如图所以正三角形的个数记为n ，2=n ，所以选C ．【2011⋅湖北理，5】5．已知随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ，且(4)0.8P ξ<=，则(02)P ξ<<= ( )．A ．0.6B ．0.4C ．0.3D ．0.2 【答案】C ．【解析】如图，正态分布的密度函数示意图所示，函数关于直线2=x 对称，所以()5.02=<ξP ，并且()()4220<<=<<ξξP P ， 则()()()2420<-<=<<ξξξP P P3.05.08.0=-=所以选C ．【2011⋅湖北理，6】6．已知定义在R 上的足()()2x x f x g x a a +=-+ (0a >,且1a ≠).若()2g a =，则()2f = ( )．A ．2B ．154C ．174D ．2a 【答案】B ．2011年全国高考【湖北卷】（理科数学）试题 第3页（共15页）【解析】由条件()()22222+-=+-a a g f ，()()22222+-=-+--a a g f ，即()()22222+-=+--a a g f ，由此解得()22=g ，()222--=a a f ，所以2=a ，()41522222=-=-f ，所以选B ． 【2011⋅湖北理，7】7．如图，用K 、1A 、2A 三类不同的元件连接成一个系统．当K 正常工作且1A 、2A 至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K 、1A 、2A 正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为( )．A ．0.960B ．0.864C ．0.720D ．0.576 【答案】B ．【解析】 21A A 、至少有一个正常工作的概率为()()211A P A P -()()110.810.8=--⨯-10.040.94=-=，系统正常工作概率为()()()()864.096.09.0121=⨯=-A P A P K P ，所以选B ．【2011⋅湖北理，8】8．已知向量(),3a x z =+,()2,b y z =-，且a b ⊥.若,x y 满足不等式1x y +≤，则z 的取值范围为( )．A ．[]2,2-B ．[]2,3-C ．[]3,2-D ．[]3,3- 【答案】D ．【解析】 因为a b ⊥，()()032=-++z y z x ， 则y x z 32+=，y x ,满足不等式1≤+y x ， 则点()y x ,的可行域如图所示,当y x z 32+=经过点()1,0A 时，y x z 32+=取得最大值3当y x z 32+=经过点()1,0-C 时，y x z 32+=取得最小值3-．所以选D ．【2011⋅湖北理，9】9．若实数,a b 满足0a ≥，0b ≥且0ab =，则称a 与b 互补，记(),a b a b ϕ=-，那么(),0a b ϕ=是a 与b 互补的( )．A ．必要而不充分的条件B ．充分而不必要的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件 【答案】C ．【解析】 若实数b a ,满足0,0≥≥b a ，且0=ab ，则a 与b 至少有一个为0，不妨设0=b ，则()0,2=-=-=a a a a b a ϕ；反之，若()0,22=--+=b a b a b a ϕ，022≥+=+b a b a ，两边平方得ab b a b a 22222++=+0=⇔ab ，则a 与b 互补，故选C ．【2011⋅湖北理，10】10．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变。
2011年普通高等学校招生全国统一考试高考数学教师精校版含详解湖北理
2011年湖北理一、选择题（共10小题；共50分）1. i为虚数单位，则1+i1−i 2011= A. −iB. −1C. iD. 12. 已知U=y y=log2x,x>1，P= y y=1x,x>2，则∁U P = A. 12,+∞ B. 0,12C. 0,+∞D. −∞,0∪12,+∞3. 已知函数f x=3sin x−cos x,x∈R．若f x≥1，则x的取值范围为 A. x kπ+π3≤x≤kπ+π,k∈ZB. x2kπ+π3≤x≤2kπ+π,k∈ZC. x kπ+π6≤x≤kπ+5π6,k∈ZD. x2kπ+π6≤x≤2kπ+5π6,k∈Z4. 将两个顶点在抛物线y2=2px p>0上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则A. n=0B. n=1C. n=2D. n≥35. 已知随机变量ξ服从正态分布N2,σ2，且Pξ<4=0.8，则P0<ξ<2= A. 0.6B. 0.4C. 0.3D. 0.26. 已知定义在R上的奇函数f x和偶函数g x满足f x+g x=a x−a−x+2 a>0,且a≠1．若g2=a，则f2= A. 2B. 154C. 174D. a27. 如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K、A1、A2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为 A. 0.960B. 0.864C. 0.720D. 0.5768. 已知向量a=x+z,3，b=2,y−z，且a⊥b．若x，y满足不等式x+y ≤1，则z的取值范围为 A. −2,2B. −2,3C. −3,2D. −3,39. 若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab=0，则称a与b互补．记φa,b= a2+b2−a−b，那么φa,b=0是a与b互补的 A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件10. 放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M （单位：太贝克）与时间t （单位：年）满足函数关系：M t =M 02−t 30，其中M 0为t =0时铯137的含量．已知t =30时，铯137含量的变化率是−10ln2（太贝克/年），则M 60 = A. 5太贝克B. 75ln2太贝克C. 150ln2太贝克D. 150太贝克二、填空题（共5小题；共25分） 11. x 3 x 18的展开式中含x 15的项的系数为 （结果用数值表示）．12. 在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期．从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过保质期饮料的概率为 （结果用最简分数表示）．13. 《九章算术》"竹九节"问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升．14. 如图，直角坐标系xOy 所在的平面为α，直角坐标系xʹOyʹ（其中yʹ轴与y 轴重合）所在的平面为β，∠xOxʹ=45∘． （1）已知平面β内有一点Pʹ 2 2,2 ，则点Pʹ在平面α内的射影P 的坐标为 ．（2）已知平面β内的曲线Cʹ的方程是 xʹ− 2 2+2yʹ2−2=0，则曲线Cʹ在平面α内的射影C 的方程是 ．15. 给n 个自上而下相连的正方形着黑色或白色．当n ≤4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如图所示：由此推断，当n =6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有 种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有 种（结果用数值表示）．三、解答题（共6小题；共78分）．16. 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=1，b=2，cos C=14（1）求△ABC的周长；（2）求cos A−C的值．17. 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米 / 小时）是车流密度x（单位：辆 / 千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆 / 千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/ 千米时，车流速度为60千米/ 小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（1）当0≤x≤200时，求函数v x的表达式；（2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆 / 小时）f x=x⋅v x可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆 / 小时）18. 如图，已知正三棱柱ABC−A1B1C1的各棱长都是4，E是BC的中点，动点F在侧棱CC1上，且不与点C重合．（1）当CF=1时，求证：EF⊥A1C；（2）设二面角C−AF−E的大小为θ，求tanθ的最小值．19. 已知数列a n的前n项和为S n，且满足a1=a a≠0，a n+1=rS n n∈N∗,r∈R,r≠−1．（1）求数列a n的通项公式；（2）若存在k∈N∗，使得S k+1，S k，S k+2成等差数列，试判断：对于任意的m∈N∗，且m≥2，a m+1，a m，a m+2是否成等差数列，并证明你的结论．20. 平面内与两定点A1−a,0，A2a,0a>0连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上A1，A2两点所成的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线．（1）求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值的关系；（2）当m=−1时，对应的曲线为C1；对给定的m∈−1,0∪0,+∞，对应的曲线为C2．设F1，F2是C2的两个焦点．试问：在C1上，是否存在点N，使得△F1NF2的面积S=m a2?若存在，求tan∠F1NF2的值；若不存在，请说明理由．21. （1）已知函数f x=ln x−x+1，x∈0,+∞，求函数f x的最大值；（2）设a k,b k k=1,2,⋯,n均为正数，证明：（i）若a1b1+a2b2+⋯+a n b n≤b1+b2+⋯+b n，则a1b1a2b2⋯a n b n≤1；≤b1b1b2b2⋯b n b n≤b12+b22+⋯+b n2．（ii）若b1+b2+⋯+b n=1，则1n答案第一部分1. A 【解析】因为1+i1−i =1+i21−i2=i，所以1+i1−i2011=i2011=i4×502+3=i3=−i.2. A 【解析】因为U=y y>0，P= y0<y<12，所以∁U P=12,+∞ ．3. B 【解析】因为f x=2sin x−π6≥1，所以sin x−π6≥12，可得2kπ+π6≤x−π6≤2kπ+5π6,故2kπ+π3≤x≤2kπ+π,k∈Z．4. C 【解析】如图所示，根据抛物线的对称性，正三角形的两个顶点一定关于x轴对称，过焦点作两条直线倾斜角分别为30∘和150∘，它们和抛物线的交点与抛物线焦点可形成两个正三角形．5. C【解析】因为Pξ≤0=Pξ≥4=1−Pξ<4=0.2，所以P0<ξ<2=0.5−Pξ≤0=0.3.6. B 【解析】由题意得，f−x+g−x=a−x−a x+2，即g x−f x=a−x−a x+2，可得f x=a x−a−x，g x=2，所以g2=a=2，f2=154．7. B 【解析】系统正常工作的概率为0.9×1−0.2×0.2=0.864 .8. D 【解析】因为a⊥b，所以2x+z+3y−z=0，即z=2x+3y，画出约束条件x+y ≤1所表示的平面区域，如下图所示：由图可知当x=0，y=1时，z取最大值3，当x=0，y=−1时，z取最小值−3，故z的取值范围为−3,3．9. C 【解析】充分性：若φ a ,b =0，则 a 2+b 2=a +b ，平方得ab =0．当a =0时， b 2=b ，所以b ≥0；当b =0时，a ≥0，故a 与b 互补； 必要性：若a 与b 互补，易得φ a ,b =0． 10. D【解析】Mʹ t =M 02−t⋅ −130 ln2，因为t =30时，铯137含量的变化率是−10ln2，所以Mʹ 30 =M 02−1⋅ −130 ln2=−10ln2，解得M 0=600，故M 60 =150．第二部分 11. 17【解析】展开式的通项T r +1=C 18r x18−r 3x r=C 18r⋅ −13 rx18−3r ，得18−3r 2=15，所以r =2，故展开式中含x 15的项的系数为C 182⋅ −13 2=17．12. 28145【解析】取到的2瓶饮料都没过保质期的概率是P =C 272C 302=117145，则至少取到1瓶已过保质期的概率是1−117145=28145． 13. 6766【解析】设等差数列的首项为a 1，公差为d ，可得4a 1+6d =3，3a 1+21d =4，所以a 1=1322，d =766，第5节的容积为1322+4×766=6766． 14. 2,2 ， x −1 2+y 2=1【解析】（1）观察图形知P 的坐标为 2,2 ；（2）设Mʹ xʹ,yʹ 是曲线Cʹ上任意一点，Mʹ在平面α内的射影为M x ,y ，观察图形可知xʹ= ，yʹ=y ，代入方程可得曲线Cʹ在平面α内的射影C 的方程为 x −1 2+y 2=1． 15. 21，43【解析】设给n 个正方形按要求着色共有a n 种不同的着色方案，则a 1=2，a 2=3，a 3=5，a 4=8． 有a n =a n−1+a n−2,n ≥3．原因如下：对于n 个按要求着色的正方形，满足要求的a n 种着色方案分成两部分，一部分最下面是白色正方形，与n −1个正方形的着色方案一一对应，共有a n−1个；（即在n −1个正方形最下面加上一个白色正方形）；另一部分最下面是黑色正方形，这时倒数第二块一定是白色正方形，与n −2个正方形的着色方案一一对应，共a n−2个；（即在n −2个正方形下面加上一白一黑两个正方形）． 于是a 5=13，a 6=21．没有任何要求的六块正方形所有的着色方案有26=64种，所以至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有64−21=43种． 第三部分16. （1）根据余弦定理c2=a2+b2−2ab cos C=1+4−4×1=4,解得c=2.所以△ABC的周长为a+b+c=1+2+2=5.（2）由cos C=14，再结合C为三角形内角，所以sin C=1−cos2C=1−1 42=15 4,又根据正弦定理sin A=a sin C=15 4 2=15.因为a<c，可知A<C,故A为锐角，故cos A=1−sin2A=1−15=7 ,综上可得cos A−C=cos A cos C+sin A sin C=7×1+15×15=11 16.17. （1）由题意，当0≤x≤20时，v x=60；当20≤x≤200时，设v x=ax+b，再由已知得200a+b=0,20a+b=60,解得a=−1 ,b=200.故函数v x的表达式为v x=60,0≤x<20, 13200−x,20≤x≤200.（2）依题意并由（1）可得f x=60x,0≤x<20, 13x200−x,20≤x≤200,当0≤x≤20时，f x为增函数，则当x=20时，其最大值为60×20=1200;当20≤x≤200时，f x=1x200−x≤1x+200−x2=10000,当且仅当x=200−x，即x=100时，f x在区间20,200上取得最大值100003．综上，当x=100时，f x在区间0,200上取得最大值100003≈3333，即当车流密度为100辆 / 千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆 / 小时．18. （1）过E作EN⊥AC于N，连接EF．解法一：如图，连接NF，AC1，由正三棱柱的性质知，底面ABC⊥侧面A1C，又底面ABC∩侧面A1C=AC，且EN⊂底面ABC，所以EN⊥侧面A1C，NF为EF在侧面A1C内的射影．在Rt△CNE中，CN=CE cos60∘=1．则由CFCC1=CNCA=14，得NF∥AC1，又AC1⊥A1C，故NF⊥A1C．由三垂线定理知EF⊥A1C．解法二：建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知可得A0,0,0，B 22,0，C0,4,0，A10,0,4，E 3,3,0，F0,4,1，于是CA1=0,−4,4，EF= −3,1,1．则CA1⋅EF=0,−4,4⋅ − 3,1,1=0−4+4=0,故EF⊥A1C．（2）解法一：如图，连接AF，过N作NM⊥AF于M，连接ME．由（1）知EN⊥侧面A1C，根据三垂线定理得EM⊥AF，所以∠EMN是二面角C−AF−E的平面角，即∠EMN=θ．设∠FAC=α，则0∘<α≤45∘．在Rt△CNE中，NE=EC⋅sin60∘=3，在Rt△AMN中，MN=AN⋅sinα=3sinα，故tanθ=NEMN =33sinα．又0∘<α≤45∘，∴0<sinα≤22．故当sinα=22，即α=45∘时，tanθ达到最小值，tanθ=33×2=63，此时F与C1重合．解法二：设CF=λ0<λ≤4，平面AEF的一个法向量为m=x,y,z，则由（1）得F0,4,λ，AE=3,3,0，AF=0,4,λ，于是由m⊥AE，m⊥AF，可得m·AE=0,m·AF=0,即3x+3y=0,4y+λz=0,取m=3λ,−λ,4．又由正三棱柱的性质可取侧面AC1的一个法向量为n=1,0,0，于是由θ为锐角可得cosθ=m⋅n=32 λ2+4sinθ= λ2+16 2 λ2+4所以tanθ= λ2+163λ=1+162.由0<λ≤4，得1λ≥14，即tanθ≥1+1=6,故当λ=4，即点F与点C1重合时，tanθ取得最小值63．19. （1）由已知a n+1=rS n，可得a n+2=rS n+1，两式相减可得a n+2−a n+1=r S n+1−S n=ra n+1,即a n+2=r+1a n+1.又a2=ra1=ra，所以当r=0时，数列a n为a,0,⋯,0,⋯；当r≠0，r≠−1时，由已知a≠0，所以a n≠0n∈N∗．于是由a n+2=r+1a n+1，可得a n+2n+1=r+1n∈N∗,所以a2,a3,⋯,a n,⋯成等比数列，从而当n≥2时，a n=r r+1n−2a.综上，数列a n的通项公式为a n=a,n=1, r r+1n−2a,n≥2.（2）对于任意的m∈N∗，且m≥2，a m+1，a m，a m+2成等差数列．证明如下：当r=0时，由（1）知，a n=a,n=1, 0,n≥2,所以对于任意的m∈N∗，且m≥2，a m+1，a m，a m+2成等差数列；当r≠0，r≠−1时，因为S k+2=S k+a k+1+a k+2,S k+1=S k+a k+1.若存在k∈N∗，使得S k+1，S k，S k+2成等差数列，则S k+1+S k+2=2S k,从而2S k+2a k+1+a k+2=2S k,即a k+2=−2a k+1.由（1）知，a2,a3,⋯,a n,⋯的公比r+1=−2，于是对于任意的m∈N∗，且m≥2，有a m+1=−2a m,从而a m+2=4a m,所以a m+1+a m+2=2a m,即a m+1,a m，a m+2成等差数列．综上，对于任意的m∈N∗，且m≥2，a m+1，a m，a m+2成等差数列．20. （1）设动点M，其坐标为x,y，当x≠±a时，由条件可得k MA1⋅k MA2=y⋅y=y222=m,即mx2−y2=ma2x≠±a,又A1−a,0，A2a,0的坐标满足mx2−y2=ma2,故依题意，曲线C的方程为mx2−y2=ma2.当m<−1时，曲线C的方程为x 2a2+y2−ma2=1，C是焦点在y轴上的椭圆；当m=−1时，曲线C的方程为x2+y2=a2，C是圆心在原点的圆；当−1<m<0时，曲线C的方程为x 2a +y2−ma=1，C是焦点在x轴上的椭圆；当m>0时，曲线C的方程为x 2a2−y2ma2=1，C是焦点在x轴上的双曲线．（2）由（1）知，当m=−1时，C1的方程为x2+y2=a2；当m∈−1,0∪0,+∞时，C2的两个焦点分别为F1 −a1+m,0，F2 a1+m,0．对于给定的m∈−1,0∪0,+∞，C1上存在点N x0,y0y0≠0使得S=m a2的充要条件是x02+y02=a2,y0≠0, ⋯⋯①1⋅2a 1+m y0=m a2. ⋯⋯②由①得0<y0 ≤a，由②得y0=1+m．当0< 1+m ≤a ，即1− 52≤m <0，或0<m ≤1+ 52时， 存在点N ，使S = m a 2； 当 1+m >a ，即−1<m <1− 52，或m >1+ 52时， 不存在满足条件的点N ．当m ∈ 1− 52,0 ∪ 0,1+ 52时， 由NF 1 = −a 1+m −x 0,−y 0 ，NF 2 = a 1+m −x 0,−y 0 ， 可得NF 1 ⋅NF 2 =x 02− 1+m a 2+y 02=−ma 2.令 NF 1 =r 1， NF 2 =r 2，∠F 1NF 2=θ，则由NF 1 ⋅NF 2 =r 1r 2cos θ=−ma 2，可得r 1r 2=−ma 2cos θ， 从而S =1r 1r 2sin θ=−ma 2sin θ=−1ma 2tan θ, 于是由S = m a 2，可得−12ma 2tan θ= m a 2, 即tan θ=−2 m . 综上可得：当m ∈ 1− 52,0 时，在C 1上存在点N ，使得S = m a 2，且tan ∠F 1NF 2=2；当m ∈ 0,1+ 52时，在C 1上存在点N ，使得S = m a 2，且tan ∠F 1NF 2=−2； 当m ∈ −1,1− 52 ∪1+ 52,+∞ 时，在C 1上不存在满足条件的点N ． 21. （1）f x 的定义域为 0,+∞ ，令fʹ x =1x −1=0，解得x =1． 当0<x <1时，fʹ x >0，f x 在 0,1 内是增函数；当x >1时，fʹ x <0，f x 在 1,+∞ 内是减函数；故函数f x 在x =1处取得最大值f 1 =0．（2）（i ）由（1）知，当x ∈ 0,+∞ 时，有f x ≤f 1 =0，即ln x ≤x −1.因为a k ，b k >0，从而有ln a k ≤a k −1，得b k ln a k ≤a k b k −b k k =1,2,⋯,n .求和得ln n k =1a k b k ≤ a k nk =1b k− b k n k =1. 因为 a k n k =1b k ≤ b k n k =1，所以 ln n k =1a k b k ≤0，即ln a 1b 1a 2b 2⋯a n b n ≤0,所以a 1b 1a 2b 2⋯a n b n ≤1.（ii ）①先证b 1b 1b 2b 2⋯b n b n ≥1n ．令a k =1nb k k =1,2,⋯,n ，则a k n k =1b k = 1n k =1=1= b k n k =1, 于是由（i ）得11 b 1 12 b 2⋯ 1nb n ≤1, 即1b 1b 1b 2b 2⋯b n b n ≤n b 1+b 2+⋯+b n =n ,所以b 1b 1b 2b 2⋯b n b n ≥1. ②再证b 1b 1b 2b 2⋯b n b n ≤b 12+b 22+⋯+b n 2．记S = b k 2n k =1，令a k =b k S k =1,2,⋯,n ，则a k n k =1b k =1S b k 2n k =1=1= b k n k =1, 于是由（i ）得b 1 b 1 b 2 b 2⋯ b n b n≤1, 即b 1b 1b 2b 2⋯b n bn ≤S b 1+b 2+⋯+b n =S ,所以b 1b 1b 2b 2⋯b n b n ≤b 12+b 22+⋯+b n 2. 综合①②，（ii ）得证．。
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5．解：取曲线222
:4,
c x y c ε+
+=（取逆时针方向）所围区域记为c D ，记c 与L 所围区域记为D ，
记()22
2
2222224(,),(,)444y x Q P y x P x y Q x y x y x y x y x y -∂∂-==⇒==++∂∂+ …………2分
故222244c L c ydx xdy ydx xdy
I x y x y ++-+-+=
-⇒++⎰⎰蜒 ……………4分
2
2
1
1
02.c
c
D I ydx xdy dxdy πε
ε
+=-
-+=-
=-⎰⎰⎰Ñ ……………8分
6．解：：取曲面12
2
:1
z x y =⎧
∑⎨
+≤⎩上侧，记∑与1∑所围立体区域为Ω，
记Ω在xoy 平面的投影为{
}
22
(,)1D x y x y =+≤，则 1
1
332
223(1)I x dydz y dzdx z dxdy ∑+∑∑=
-++-⇒⎰⎰⎰⎰Ò ……………3分 ()()226663D
I x y z dv dxdy Ω
=-++--⇒⎰⎰⎰⎰⎰ ……………6分
()2
21
12
66323.r I d rdr r
z dz πθππππ-=-++=-+=⎰⎰⎰
……………8分
7．解：令22
2123(21)lim
lim 1121n n n n n n
u n u n x x x x u n +→∞
→∞+=+⇒==<⇒<+时，原幂级数绝对收敛； 在1x >时，原幂级数发散；在1x =时，原级数0
(21)n n ∞
=+∑发散。
……………3分
故原幂级数的收敛域为()1,1-。
……………4分
()
()221
212220
01()()1.11n n n n x x S x x
x x x x ∞
∞
++=='''+⎛⎫⎛⎫====< ⎪
⎪-⎝⎭⎝⎭-∑∑ ……………8分
四、（本题满分7分）
解：令22222(,,,,)(2)(35)L x y z x y x y z x y z λμλμ=+++-+++- …………3分
联立解方程组222220
220
151,51,054301520350
x
y z L x x L y y x x y or y z r L z z z L x y z L x y z λμλμλμλμ⎧'=++=⎪⎪'=++===-⎧⎧⎪⎪⎪⎪
'⇒==-⇒==-+=⎨⎨⎨⎪⎪⎪==⎩⎩'=+-=⎪⎪'=++-=⎪⎩ …………6分 根据实际，最远点和最近点必存在，而驻点恰好有两个，
故
最远的距离为。
………………7分
五、（本题满分7分）
证明：（1）tan 1n 2n
2400111tan (1tan )t (1)
x t n n a a x x dx dt n n n n n π=++=+==⇒+⎰⎰ ……………2分 22111
11
11(1)1n
n k k k k n k k k a a a a S k k k n k ∞
++===++===-⇒=++∑∑∑ ……………3分 （2）n tan 1
1n
n
4
20
00t 1tan t 1+t 1x t
n a xdx dt dt n π
===<=⇒+⎰
⎰⎰Q ……………5分 ()111
1n a n n n n λλλ+<<⇒+Q 级数1
n n a n λ∞
=∑收敛。
……………7分。