TSP问题算法分析
TSP问题算法分析
算法第二次大作业TSP问题算法分析021251班王昱（02125029）-.问题描述“TSP问题”常被称为“旅行商问题”，是指一名推销员要拜访多个地点时，如何找到在拜访每个地点一次后再回到起点的最短路径。
TSP问题在本实验中的具体化：从A城市出发，到达每个城市并且一个城市只允许访问一次，最后又回到原来的城市，寻找一条最短距离的路径。
二.算法描述2.1分支界限法2.1.1算法思想分支限界法常以广度优先或以最小耗费(最大效益)优先的方式搜索问题的解空间树。
在分支限界法中，每一个活结点只有一次机会成为扩展结点。
活结点一旦成为扩展结点，就一次性产生其所有儿子结点。
在这些儿子结点中，导致不可行解或导致非最优解的儿子结点被舍弃，其余儿子结点被加入活结点表中。
此后，从活结点表中取下一结点成为当前扩展结点，并重复上述结点扩展过程。
这个过程一直持续到找到所需的解或活结点表为空时为止。
2.1.2算法设计说明设求解最大化问题，解向量为X=(x1,…,xn)，xi的取值范围为Si，|Si|=ri 。
在使用分支限界搜索问题的解空间树时，先根据限界函数估算目标函数的界［down, up］，然后从根结点出发，扩展根结点的r1个孩子结点，从而构成分量x1的r1种可能的取值方式。
对这r1个孩子结点分别估算可能的目标函数bound(x1)，其含义：以该结点为根的子树所有可能的取值不大于bound(x1)，即：bound(x1) >bound(x1,x2)》bound(x1，…,xn)若某孩子结点的目标函数值超出目标函数的下界，则将该孩子结点丢弃；否则，将该孩子结点保存在待处理结点表PT中。
再取PT表中目标函数极大值结点作为扩展的根结点，重复上述。
直到一个叶子结点时的可行解X=(x1,…,xn),及目标函数值bound(x1,…,xn)。
2.2 A*算法算法思想对于某一已到达的现行状态，如已到达图中的n节点，它是否可能成为最佳路径上的一点的估价,应由估价函数f(n)值来决定。
TSP问题的几种常用求解算法比较共3页
TSP问题的几种常用求解算法比较旅行商问题（Traveling Salesman Problem， TSP）是典型的组合优化问题，很多优化问题都可以直接或间接的转为为TSP问题，而且TSP问题已被证明具有NPC计算复杂性，有很大的求解难度，因此研究TSP问题的求解方法有着很大的实际意义。
本文旨在介绍求解TSP的几种常用解法，并结合实例比较这些算法的性能，为TSP的求解提供一些参考。
1 TSP问题描述TSP问题的数学表述为：一个有穷的城市集合C={C1，C2，…，Cm}，对于每一对城市Ci，Cj∈C有距离d（Ci，Cj）∈R+。
问：经过C中所有城市的旅行路线，记为序列，是否存在最小的正数B，对所有可能的序列都有2 TSP问题几种常用求解方法TSP问题有着很多求解算法，主要有。
2.1 贪婪算法贪婪算法[2]（Greedy algorithm）是求解大规模TSP问题的常用算法之一，是一种求解优化问题的简单、迅速的求解办法。
贪婪法有限考虑当前情况下最优的优化测度，自顶向下，逐步迭代，具有算法简单，耗时短的特点。
但贪婪算法的求解结果往往不是最优的，甚至可能与全局最优解间有不小的差距。
2.2 模拟退火算法模拟退火（Simulated Annealing，SA）算法是求解TSP问题的有效方法之一，容易编程实现，求解速度快。
模拟退火是一种全局优化算法，加入了随机状态模型，使算法以概率选择的方式逼近最优状态，其收敛性可以得到严格的理论证明。
模拟退火算法具有一整套完整的退火搜索计划，包括足够高的初始温度、缓慢的退火速度、大量的迭代次数及足够的概率扰动[3]。
2.3 遗传算法遗传算法（Genetic Algorithm，GA）是一种常用的智能算法，具有全局搜索能力，对TSP问题有良好的效果。
遗传算法是由Michigan大学的J.Holland教授于1975年提出，算法通常由编码、个体适应度评估和遗传运算三部分构成，其中遗传运算包括染色体复制、交叉、变异和倒位等[4]。
tsp问题算法
旅行商问题(traveling saleman problem,简称tsp)：已知n 个城市之间的相互距离，现有一个推销员必须遍访这n 个城市，并且每个城市只能访问一次，最后又必须返回出发城市。
如何安排他对这些城市的访问次序，可使其旅行路线的总长度最短？用图论的术语来说，假设有一个图g=(v,e)，其中v 是顶点集，e 是边集，设d=(dij)是由顶点i 和顶点j 之间的距离所组成的距离矩阵，旅行商问题就是求出一条通过所有顶点且每个顶点只通过一次的具有最短距离的回路。
这个问题可分为对称旅行商问题(dij=dji,,任意i,j=1,2,3，…,n)和非对称旅行商问题(dij ≠dji,,任意i,j=1,2,3，…,n)。
若对于城市v={v1,v2,v3,…,vn}的一个访问顺序为t=(t1,t2,t3,…,ti,…,tn),其中ti∈v(i=1,2,3,…,n)，且记tn+1= t1，则旅行商问题的数学模型为：min l=σ d(t(i),t(i+1)) （i=1,…,n）旅行商问题是一个典型的组合优化问题，并且是一个np 难问题，其可能的路径数目与城市数目n 是成指数型增长的，所以一般很难精确地求出其最优解，本文采用遗传算法求其近似解。
遗传算法：初始化过程：用v1,v2,v3,…,vn 代表所选n 个城市。
定义整数pop-size 作为染色体的个数，并且随机产生pop-size 个初始染色体，每个染色体为1 到18 的整数组成的随机序列。
适应度f 的计算：对种群中的每个染色体vi，计算其适应度，f=σ d(t(i),t(i+1)). 评价函数eval(vi)：用来对种群中的每个染色体vi 设定一个概率，以使该染色体被选中的可能性与其种群中其它染色体的适应性成比例，既通过轮盘赌，适应性强的染色体被选择产生后台的机会要大，设alpha ∈(0,1) ，本文定义基于序的评价函数为eval(vi)=alpha*(1-alpha).^(i-1) 。
TSP问题的近似算法
TSP问题的近似算法近似算法是解决优化问题的一种有效方法，它可以在较短时间内得到一个接近最优解的解，而不是花费大量时间去寻找最优解。
TSP问题（Traveling Salesman Problem）是一个经典的优化问题，它的目标是找到一条经过所有城市的最短路径。
这个问题是一个经典的NP难题，意味着在合理的时间内找到准确的最优解是不可能的，最多只能得到近似解。
因此，近似算法在TSP问题中具有重要的应用价值。
常见的近似算法包括贪心算法、局部搜索算法、动态规划算法等。
下面我们将介绍其中几种经典的算法。
1. 贪心算法贪心算法是一种基于贪心策略的近似算法。
它的基本思想是每次选择当前最优解，直到得到一个接近最优解的解。
在TSP问题中，贪心算法的思路是从起点出发，每次选择距离当前城市最近的城市，直到遍历所有城市。
但是这种贪心策略往往不能得到最优解，因为它可能陷入局部最优解。
2. 局部搜索算法局部搜索算法是一种基于局部优化的近似算法。
它的基本思想是从一个随机的解出发，不断地进行局部搜索，直到得到一个接近最优解的解。
在TSP问题中，局部搜索算法的思路是从一个随机的解出发，通过交换城市的顺序来不断优化当前解，直到达到一定的迭代次数或无法继续优化为止。
这种算法的优点是效率高，缺点是易陷入局部最优解。
3. 动态规划算法动态规划算法是一种基于状态转移的近似算法。
它的基本思想是将一个复杂问题分解成若干个子问题，通过按顺序解决子问题来求解原问题。
在TSP问题中，动态规划算法通过定义状态、状态转移方程和初始状态来求解最短路径。
其时间复杂度为O(n^2*2^n)，因此不适用于大规模的问题。
总结以上是常见的几种近似算法，在实际运用中可以根据问题的特点选择合适的算法。
虽然这些算法不能得到准确的最优解，但它们可以在短时间内得到一个接近最优解的解，具有重要的实际应用价值。
TSP的几种求解方法及其优缺点
TSP的几种求解方法及其优缺点一、什么是TSP问题旅行商问题，简称TSP，即给定n个城市和两两城市之间的距离，要求确定一条经过各城市当且仅当一次的最短路线。
其图论描述为：给定图G=（V，A），其中V为顶点集，A 为各顶点相互连接组成的边集，设D=（dij）是由顶点i和顶点j之间的距离所组成的距离矩阵，要求确定一条长度最短的Hamilton回路，即遍历所有顶点当且仅当一次的最短距离。
旅行商问题可分为如下两类：1）对称旅行商问题（dij=dji，Πi，j=1，2，3，⋯，n）；2）非对称旅行商问题（dij≠dji，ϖi，j=1，2，3，⋯，n）。
非对称旅行商问题较难求解，我们一般是探讨对称旅行商问题的求解。
若对于城市V={v1，v2，v3，⋯，v n}的一个访问顺序为T={t1，t2，t3，⋯，t i，⋯，t n}，其中t i∈V（i=1，2，3，⋯，n），且记t n+1=t1，则旅行商问题的数学模型为：minL=。
TSP是一个典型的组合优化问题，并且是一个NP完全难题，是诸多领域内出现的多种复杂问题的集中概括和简化形式，并且已成为各种启发式的搜索、优化算法的间接比较标准。
因此，快速、有效地解决TSP有着重要的理论价值和极高的实际应用价值。
二、主要求解方法基于TSP的问题特性，构造型算法成为最先开发的求解算法，如最近邻点、最近合并、最近插入、最远插入、最近添加、贪婪插入等。
但是，由于构造型算法优化质量较差，迄今为止已开发了许多性能较好的改进型搜索算法，主要有：1）模拟退火算法2）禁忌搜索算法3）Hopfield神经网络优化算法4）蚁群算法5）遗传算法6）混合优化策略2.1模拟退火算法方法1）编码选择：采用描述TSP解的最常用的一种策略——路径编码。
2）SA状态产生函数的设计：对于基于路径编码的SA状态产生函数操作，可将其设计为：①互换操作（SW AP）；②逆序操作（INV）；③插入操作（INS）。
3）SA状态接受函数的设计：min{1，exp（-△/t）}>random[0，1]准则是作为接受新状态的条件最常用的方案，其中△为新旧状态的目标值差，t为”温度”。
TSP问题算法分析报告
算法第二次大作业TSP问题算法分析021251班王昱（02125029）一．问题描述“TSP问题”常被称为“旅行商问题”，是指一名推销员要拜访多个地点时，如何找到在拜访每个地点一次后再回到起点的最短路径。
TSP问题在本实验中的具体化：从A城市出发，到达每个城市并且一个城市只允许访问一次，最后又回到原来的城市，寻找一条最短距离的路径。
二．算法描述2.1分支界限法2.1.1 算法思想分支限界法常以广度优先或以最小耗费（最大效益）优先的方式搜索问题的解空间树。
在分支限界法中，每一个活结点只有一次机会成为扩展结点。
活结点一旦成为扩展结点，就一次性产生其所有儿子结点。
在这些儿子结点中，导致不可行解或导致非最优解的儿子结点被舍弃，其余儿子结点被加入活结点表中。
此后，从活结点表中取下一结点成为当前扩展结点，并重复上述结点扩展过程。
这个过程一直持续到找到所需的解或活结点表为空时为止。
2.1.2 算法设计说明设求解最大化问题，解向量为X=(x1,…,xn)，xi的取值范围为Si，|Si|=ri。
在使用分支限界搜索问题的解空间树时，先根据限界函数估算目标函数的界[down, up]，然后从根结点出发，扩展根结点的r1个孩子结点，从而构成分量x1的r1种可能的取值方式。
对这r1个孩子结点分别估算可能的目标函数bound(x1)，其含义：以该结点为根的子树所有可能的取值不大于bound(x1)，即：bound(x1)≥bound(x1,x2)≥…≥ bound(x1,…,xn)若某孩子结点的目标函数值超出目标函数的下界，则将该孩子结点丢弃；否则，将该孩子结点保存在待处理结点表PT中。
再取PT表中目标函数极大值结点作为扩展的根结点，重复上述。
直到一个叶子结点时的可行解X=(x1,…,xn)，及目标函数值bound(x1,…,xn)。
2.2 A*算法算法思想对于某一已到达的现行状态, 如已到达图中的n节点, 它是否可能成为最佳路径上的一点的估价, 应由估价函数f(n)值来决定。
Tsp问题的几种算法的分析
摘要本文分析比较了tsp问题的动态计划算法，分支界限法，近似等算法。
分析了旅行商问题的时刻度特点，针对启发式算法求解旅行商问题中存在的一些问题提出了改良算法。
此算法将群体分为假设干小子集，并用启发式交叉算子，以较好利用父代个体的有效信息，达到快速收敛的成效，实验说明此算法能提高寻优速度，解得质量也有所提高。
关键词：旅行商问题 TSPAbstractthis paper analyzed the time complexity of traveling salesman problem,then put forward some imprivement towards the genetic algorithm for solving this problen: divding the population into some small parent individual well.so it can quickly get into convergence, the experimental result indicates the impwoved algorithm can accelerate the apeed of finding solution and improve the precision. Keywords traveling salesman problem; genetic algorithm; subset; henristic crossover operator目录1、摘要--------------------------------------------------------------12、Abstract---------------------------------------------------------13、Tsp问题的提法------------------------------------------------24、回溯法求Tsp问题--------------------------------------------35、分支限界法求Tsp问题--------------------------------------76、近似算法求解Tsp问题-------------------------------------107、动态计划算法解Tsp问题----------------------------------12引言tsp问题刚提出时，很多人都以为很简单。
TSP的几种求解方法及其优缺点
v1.0 可编辑可修改TSP的几种求解方法及其优缺点一、什么是TSP问题旅行商问题，简称TSP，即给定n个城市和两两城市之间的距离，要求确定一条经过各城市当且仅当一次的最短路线。
其图论描述为：给定图G=（V，A），其中V为顶点集，A为各顶点相互连接组成的边集，设D=（dij）是由顶点i和顶点j之间的距离所组成的距离矩阵，要求确定一条长度最短的Hamilton回路，即遍历所有顶点当且仅当一次的最短距离。
旅行商问题可分为如下两类：1）对称旅行商问题（dij=dji，Πi，j=1，2，3，⋯，n）；2）非对称旅行商问题（dij≠dji，ϖi，j=1，2，3，⋯，n）。
非对称旅行商问题较难求解，我们一般是探讨对称旅行商问题的求解。
若对于城市V={v1，v2，v3，⋯，v n}的一个访问顺序为T={t1，t2，t3，⋯，t i，⋯，t n}，其中t i∈V（i=1，2，3，⋯，n），且记t n+1=t1，则旅行商问题的数学模型为：minL=。
TSP是一个典型的组合优化问题，并且是一个NP完全难题，是诸多领域内出现的多种复杂问题的集中概括和简化形式，并且已成为各种启发式的搜索、优化算法的间接比较标准。
因此，快速、有效地解决TSP有着重要的理论价值和极高的实际应用价值。
二、主要求解方法基于TSP的问题特性，构造型算法成为最先开发的求解算法，如最近邻点、最近合并、最近插入、最远插入、最近添加、贪婪插入等。
但是，由于构造型算法优化质量较差，迄今为止已开发了许多性能较好的改进型搜索算法，主要有：1）模拟退火算法2）禁忌搜索算法3）Hopfield神经网络优化算法4）蚁群算法5）遗传算法6）混合优化策略模拟退火算法方法1）编码选择：采用描述TSP解的最常用的一种策略——路径编码。
2）SA状态产生函数的设计：对于基于路径编码的SA状态产生函数操作，可将其设计为：①互换操作（SWAP）；②逆序操作（INV）；③插入操作（INS）。
TSP的几种求解方法及其优缺点
TSP的几种求解方法及其优缺点一、什么是TSP问题旅行商问题，简称TSP，即给定n个城市和两两城市之间的距离，要求确定一条经过各城市当且仅当一次的最短路线。
其图论描述为：给定图G=（V，A），其中V为顶点集，A为各顶点相互连接组成的边集，设D=（dij）是由顶点i和顶点j之间的距离所组成的距离矩阵，要求确定一条长度最短的Hamilton回路，即遍历所有顶点当且仅当一次的最短距离。
旅行商问题可分为如下两类：1）对称旅行商问题（dij=dji，Πi，j=1，2，3，?，n）；2）非对称旅行商问题（dij≠dji，?i，j=1，2，3，?，n）。
非对称旅行商问题较难求解，我们一般是探讨对称旅行商问题的求解。
若对于城市V={v1，v2，v3，?，v n}的一个访问顺序为T={t1，t2，t3，?，t i，?，t n}，其中t i∈V（i=1，2，3，?，n），且记t n+1=t1，则旅行商问题的数学模型为：minL=。
TSP是一个典型的组合优化问题，并且是一个NP完全难题，是诸多领域内出现的多种复杂问题的集中概括和简化形式，并且已成为各种启发式的搜索、优化算法的间接比较标准。
因此，快速、有效地解决TSP有着重要的理论价值和极高的实际应用价值。
二、主要求解方法基于TSP的问题特性，构造型算法成为最先开发的求解算法，如最近邻点、最近合并、最近插入、最远插入、最近添加、贪婪插入等。
但是，由于构造型算法优化质量较差，迄今为止已开发了许多性能较好的改进型搜索算法，主要有：1）模拟退火算法2）禁忌搜索算法3）Hopfield神经网络优化算法4）蚁群算法5）遗传算法6）混合优化策略模拟退火算法方法1）编码选择：采用描述TSP解的最常用的一种策略——路径编码。
2）SA状态产生函数的设计：对于基于路径编码的SA状态产生函数操作，可将其设计为：①互换操作（SWAP）；②逆序操作（INV）；③插入操作（INS）。
3）SA状态接受函数的设计：min{1，exp（-△/t）}>random[0，1]准则是作为接受新状态的条件最常用的方案，其中△为新旧状态的目标值差，t为”温度”。
TSP的几种求解方法及其优缺点
TSP的几种求解方法及其优缺点一、什么是TSP问题旅行商问题，简称TSP，即给定n个城市和两两城市之间的距离，要求确定一条经过各城市当且仅当一次的最短路线。
其图论描述为：给定图G=（V，A），其中V为顶点集，A 为各顶点相互连接组成的边集，设D=（dij）是由顶点i和顶点j之间的距离所组成的距离矩阵，要求确定一条长度最短的Hamilton回路，即遍历所有顶点当且仅当一次的最短距离。
旅行商问题可分为如下两类：1）对称旅行商问题（dij=dji，Πi，j=1，2，3，⋯，n）；2）非对称旅行商问题（dij≠dji，ϖi，j=1，2，3，⋯，n）。
非对称旅行商问题较难求解，我们一般是探讨对称旅行商问题的求解。
若对于城市V={v1，v2，v3，⋯，v n}的一个访问顺序为T={t1，t2，t3，⋯，t i，⋯，t n}，其中t i∈V（i=1，2，3，⋯，n），且记t n+1=t1，则旅行商问题的数学模型为：minL=。
TSP是一个典型的组合优化问题，并且是一个NP完全难题，是诸多领域内出现的多种复杂问题的集中概括和简化形式，并且已成为各种启发式的搜索、优化算法的间接比较标准。
因此，快速、有效地解决TSP有着重要的理论价值和极高的实际应用价值。
二、主要求解方法基于TSP的问题特性，构造型算法成为最先开发的求解算法，如最近邻点、最近合并、最近插入、最远插入、最近添加、贪婪插入等。
但是，由于构造型算法优化质量较差，迄今为止已开发了许多性能较好的改进型搜索算法，主要有：1）模拟退火算法2）禁忌搜索算法3）Hopfield神经网络优化算法4）蚁群算法5）遗传算法6）混合优化策略2.1模拟退火算法方法1）编码选择：采用描述TSP解的最常用的一种策略——路径编码。
2）SA状态产生函数的设计：对于基于路径编码的SA状态产生函数操作，可将其设计为：①互换操作（SW AP）；②逆序操作（INV）；③插入操作（INS）。
3）SA状态接受函数的设计：min{1，exp（-△/t）}>random[0，1]准则是作为接受新状态的条件最常用的方案，其中△为新旧状态的目标值差，t为”温度”。
TSP的几种求解方法及其优缺点
TSP的几种求解方法及其优缺点TSP（Traveling Salesman Problem）是一种NP-hard问题，其目标是找到一条路径，使得旅行商经过所有城市并返回原始城市的总距离最小。
由于TSP在实际应用中具有广泛的应用，很多研究者提出了多种方法来解决TSP问题。
本文将介绍几种常见的TSP求解方法及其优缺点。
1.枚举法枚举法是最简单直观的方法，它遍历所有可能的路径，并选择总距离最小的路径作为最优解。
由于TSP问题的解空间随问题规模呈指数级增长，这种方法只适用于规模较小的问题。
枚举法的优点是保证找到最优解，缺点是耗时较长。
2.最近邻法最近邻法从一个起始城市出发，每次选择与当前城市距离最近的未访问城市作为下一个城市。
直到所有城市都被访问一遍，并返回原始城市。
最近邻法的优点是简单易实现，缺点是容易陷入局部最优解，从而得不到整体最优解。
3.插入法插入法从初始路径开始，将未访问的城市不断插入到已访问城市之间，直到所有城市都被访问一遍。
插入方法有多种，比如最短边插入、最长边插入和最佳位置插入等。
插入法的优点是相对于最近邻法来说，可以得到更好的解。
缺点是算法复杂度较高，计算时间较长。
4.遗传算法遗传算法是一种群体智能算法，模拟生物进化的过程，通过遗传操作寻找优秀的解。
在TSP问题中，遗传算法可以将城市路径看作染色体，并通过选择、交叉和变异等操作进行优化。
遗传算法的优点是能够快速找到次优解，并且对于规模较大的问题也适用。
缺点是需要调节大量参数，算法收敛速度较慢。
5.动态规划动态规划是一种由上而下的分治思想，将原问题分解为若干子问题，通过求解子问题的最优解来求解原问题。
在TSP问题中，可以通过建立状态转移方程来求解最优路径。
动态规划的优点是求解过程中可以剪枝，避免重复计算，能够得到精确解。
缺点是算法时间复杂度较高，不适用于大规模问题。
以上是几种常见的TSP求解方法及其优缺点。
不同的方法适用于不同的问题规模和实际应用场景。
TSP问题的算法研究
TSP问题的算法研究简介旅行商问题（Traveling Salesman Problem，简称TSP）是指在旅行商（salesman）需要依次拜访多个城市，并最终返回起点城市的问题。
TSP是一个著名的NP-hard问题，在实际应用中有着广泛的应用。
本文将对TSP问题的算法研究进行探讨。
问题描述给定n个城市之间的距离矩阵D(n*n)，以及起点城市，要求找到一条最短的路径，使得旅行商能够依次经过每个城市，并最终回到起点城市。
传统方法基于暴力搜索的穷举算法最简单直观的解决TSP问题的方法是穷举法。
即尝试遍历所有可能的路径，计算每条路径的总长度，并找出最短路径。
但这种方法的时间复杂度为O(n!)，随着城市数量的增加，计算量呈指数级增长，不适用于大规模问题。
动态规划算法动态规划算法可以用于求解TSP问题的近似解。
其基本思想是将问题划分为子问题，并利用子问题的最优解求解原问题的最优解。
但是由于TSP问题的子问题形态特殊，采用动态规划算法时需要引入状态压缩技巧，以减小问题规模，提高求解效率。
进化算法遗传算法遗传算法是一种基于进化和遗传机制的优化算法，常用于解决TSP问题。
其基本思想是模拟生物进化中的遗传、突变、选择等过程，通过不断迭代优化求解策略，最终找到最优解。
遗传算法的步骤如下：1.初始化一组随机的路径作为初始种群。
2.计算每个路径的适应度评估值，即路径长度。
3.使用选择操作选取一部分适应度较高的个体作为父代。
4.使用交叉操作生成子代，在子代中引入新的解，并避免陷入局部最优解。
5.使用变异操作对子代进行突变，增加种群的多样性。
6.计算新种群中每个路径的适应度评估值。
7.重复步骤3-6，直到满足停止条件。
蚁群算法蚁群算法是基于蚁群觅食行为的启发式算法，常用于求解TSP问题。
其基本思想是通过模拟蚂蚁在寻找食物过程中的行为，不断更新路径信息素，从而实现解的优化。
蚁群算法的步骤如下：1.初始化一群蚂蚁，每只蚂蚁在一个城市开始。
TSP的几种求解方法及其优缺点
TSP的几种求解方法及其优缺点一、什么是TSP问题旅行商问题，简称TSP，即给定n个城市和两两城市之间的距离，要求确定一条经过各城市当且仅当一次的最短路线。
其图论描述为：给定图G=（V，A），其中V 为顶点集，A为各顶点相互连接组成的边集，设D=（dij）是由顶点i和顶点j之间的距离所组成的距离矩阵，要求确定一条长度最短的Hamilton回路，即遍历所有顶点当且仅当一次的最短距离。
旅行商问题可分为如下两类：1）对称旅行商问题（dij=dji，Πi，j=1，2，3，，n）；2）非对称旅行商问题（dij≠dji，i，j=1，2，3，，n）。
非对称旅行商问题较难求解，我们一般是探讨对称旅行商问题的求解。
若对于城市V={v1，v2，v3，，v n}的一个访问顺序为T={t1，t2，t3，，t i，，t n}，其中t i∈V（i=1，2，3，，n），且记t n+1=t1，则旅行商问题的数学模型为：minL=。
TSP是一个典型的组合优化问题，并且是一个NP完全难题，是诸多领域内出现的多种复杂问题的集中概括和简化形式，并且已成为各种启发式的搜索、优化算法的间接比较标准。
因此，快速、有效地解决TSP有着重要的理论价值和极高的实际应用价值。
二、主要求解方法基于TSP的问题特性，构造型算法成为最先开发的求解算法，如最近邻点、最近合并、最近插入、最远插入、最近添加、贪婪插入等。
但是，由于构造型算法优化质量较差，迄今为止已开发了许多性能较好的改进型搜索算法，主要有：1）模拟退火算法2）禁忌搜索算法3）Hopfield神经网络优化算法4）蚁群算法5）遗传算法6）混合优化策略模拟退火算法方法1）编码选择：采用描述TSP解的最常用的一种策略——路径编码。
2）SA状态产生函数的设计：对于基于路径编码的SA状态产生函数操作，可将其设计为：①互换操作（SWAP）；②逆序操作（INV）；③插入操作（INS）。
3）SA状态接受函数的设计：min{1，exp（-△/t）}>random[0，1]准则是作为接受新状态的条件最常用的方案，其中△为新旧状态的目标值差，t为”温度”。
TSP的几种求解方法及其优缺点
TSP的几种求解方法及其优缺点旅行商问题（Traveling Salesman Problem，TSP）是一种典型的组合优化问题，在计算机科学和运筹学中具有重要的研究意义和应用价值。
TSP常用来描述一个旅行商在给定的一系列城市之间寻找最短路径的问题，即如何选择最短路径经过所有城市并回到起始城市。
针对TSP问题，有多种求解方法可供选择，下面将介绍一些常用的方法及其优缺点。
1.穷举法穷举法是一种非常简单和直观的方法，它会列举出所有可能路径并计算它们的总长度，然后从中选择最短的路径作为最优解。
穷举法的优点是能够保证找到最优解，但当城市数量较多时，计算量呈指数级增长，很难在合理的时间内得到结果。
2.贪婪算法贪婪算法是一种基于局部最优策略的求解方法。
它从一些城市出发，在每一步选择离当前城市最近的未访问过的城市作为下一步访问的城市，直到所有城市都访问过并回到起始城市。
贪婪算法的优点是简单、易于实现，计算速度较快。
然而，贪婪算法并不能保证得到最优解，可能会陷入局部最优解。
3.动态规划动态规划是一种通过将原问题分解为更小的子问题，并利用子问题的解来求解原问题的方法。
对于TSP问题，可以使用动态规划求解。
动态规划的优点是能够在较短的时间内找到最优解，但由于需要存储大量的中间结果，空间复杂度较高。
4.遗传算法遗传算法是一种模拟生物进化过程的求解方法。
它通过对候选解进行遗传操作（交叉、变异等），然后根据适应度函数来评估和选择较好的解进行下一轮进化，直到满足停止条件为止。
遗传算法的优点是适用于大规模问题，能够得到较优解，但其需要调整一些参数，并且收敛速度较慢。
5. Lin-Kernighan启发式算法Lin-Kernighan启发式算法是一种基于局部优化的TSP求解方法。
它采用迭代的方式，在每一步通过反转局部路径来优化当前解，直到达到停止条件。
Lin-Kernighan算法的优点是计算速度较快，对于大规模问题也有较好的效果。
求解TSP问题算法综述
求解TSP问题算法综述一、本文概述本文旨在全面综述求解旅行商问题（Traveling Salesman Problem, TSP）的各种算法。
TSP问题是一个经典的组合优化问题，自提出以来就引起了广泛的关注和研究。
该问题可以描述为：给定一系列城市和每对城市之间的距离，求解一条最短的可能路线，使得一个旅行商从某个城市出发，经过每个城市恰好一次，最后返回出发城市。
本文将首先介绍TSP问题的基本定义、性质及其在实际应用中的重要性。
接着，我们将综述传统的精确算法，如动态规划、分支定界法等，以及它们在求解TSP问题中的优缺点。
然后，我们将重点介绍启发式算法和元启发式算法，包括模拟退火、遗传算法、蚁群算法等，这些算法在求解大规模TSP问题时表现出良好的性能和效率。
本文还将探讨近年来新兴的机器学习算法在TSP问题求解中的应用，如深度学习、强化学习等。
我们将对各类算法进行总结和评价，分析它们在不同场景下的适用性和性能表现。
我们也将展望TSP问题求解算法的未来发展方向，以期为相关领域的研究和实践提供有益的参考和指导。
二、经典算法求解旅行商问题（TSP）的经典算法多种多样，每种算法都有其独特的优缺点和适用场景。
本节将对一些代表性的经典算法进行综述。
暴力穷举法（Brute-Force）：暴力穷举法是最简单直观的TSP求解算法。
其基本思想是生成所有可能的旅行路径，计算每条路径的总距离，然后选择最短的那条。
虽然这种方法在理论上可以找到最优解，但由于其时间复杂度为O(n!)，对于大规模问题来说计算量极大，因此并不实用。
动态规划（Dynamic Programming, DP）：动态规划是一种通过将问题分解为更小的子问题来求解的优化方法。
对于TSP问题，DP算法可以将一个大循环中的多个子问题合并成一个子问题，从而减少重复计算。
然而，TSP的DP算法仍面临“维度灾难”的问题，即当城市数量增多时，所需存储空间和计算时间呈指数级增长。
TSP、MTSP问题遗传算法详细解读及python实现
TSP、MTSP问题遗传算法详细解读及python实现写在前⾯遗传算法是⼀种求解NPC问题的启发式算法，属于仿⽣进化算法族的⼀员。
仿⽣进化算法是受⽣物⾏为启发⽽发明的智能优化算法，往往是⼈们发现某种⽣物的个体虽然⾏为较为简单，但⽣物集群通过某种原理却能表现出智能⾏为。
于是不同的⼈研究不同的⽣物⾏为原理，受到启发⽽发明出新的仿⽣进化算法。
⽐如免疫优化算法，蚁群算法，模拟退⽕算法等，这些算法以后也会简单介绍。
本⽂的主题是遗传算法，该算法也是受到⽣物⾏为启发。
物竞天择，适者⽣存，优胜劣汰，是该优化算法的核⼼思想。
笔者在业务中需要⽤到遗传算法求解TSP问题，但是⽹上能查找到的资料对遗传算法的讲解不够通俗易懂，往往上来就是遗传变异交叉，对于我这样的初学者来说有点不知所云，于是不得不直接看源码，⼀⾏⼀⾏地理解代码的意思，才弄懂了原理。
这种⽅法对于初学者和编程基础薄弱者颇为困难，⽽且费时费⼒，苦不堪⾔。
同时，由于读者可能熟练掌握的是不同的语⾔，因此若代码是某⼀种语⾔编写的，那么掌握其他语⾔的读者很可能难以吸收，浪费了资源。
此外，⽹上关于TSP问题的资料很多，但是关于MTSP问题的资料却凤⽑麟⾓。
因此有了创作本⽂的意图，旨在⽤最通俗详尽的语⾔深⼊浅出地解释遗传算法解TSP、MTSP问题的原理及应⽤遗传算法解TSP问题原理⼀、TSP问题旅⾏商问题，即TSP问题（Traveling Salesman Problem）⼜译为旅⾏推销员问题、货郎担问题，是数学领域中著名问题之⼀。
假设有⼀个旅⾏商⼈要拜访n个城市，他必须选择所要⾛的路径，路径的限制是每个城市只能拜访⼀次，⽽且最后要回到原来出发的城市。
路径的选择⽬标是要求得的路径路程为所有路径之中的最⼩值。
想要求解出TSP问题的最优解，⽬前唯⼀的⽅法是穷举出所有的路径。
然⽽，路径的数量级是n!，也就是⽬标点数量的阶乘。
当n为14时，n!已经⼤于800亿。
当n更⼤，为30，40 时，更是天⽂数字，即使计算机⼀秒钟计算⼀亿次，其求解时间也远⼤于我们的寿命。
TSP的几种求解方法及其优缺点
TSP的几种求解方法及其优缺点旅行商问题（TSP）是一个组合优化问题，目的是找到一条最短的路径，使得旅行商能够访问一系列城市并返回起始点。
TSP由于其复杂性而被广泛研究，已经发展出了许多求解方法。
本文将讨论几种主要的TSP求解方法，包括贪婪算法、局部算法、遗传算法和蚁群算法，并分析它们的优缺点。
1.贪婪算法贪婪算法是一种基于贪心策略的求解方法。
它从一个起始城市开始，每次选择距离当前城市最近的未被访问过的城市作为下一步的目标城市，直到所有的城市都被访问过。
贪婪算法的优点是简单易于理解和实现，并且在处理小规模问题时效果显著。
然而，贪婪算法没有考虑全局最优解，很容易陷入局部最优解，不能保证找到最优解。
2.局部算法局部算法是一类启发式算法，它通过不断优化当前解来逐步接近最优解。
其中最典型的是2-opt算法，它通过交换路径中的两个顶点位置来改进解的质量。
局部算法的优点是可以找到局部最优解，且计算时间较短。
然而，局部算法容易陷入局部最优解，而且计算开销随问题规模增加而增加，且不能保证找到全局最优解。
3.遗传算法遗传算法是一种模拟生物进化的随机算法。
它通过模拟遗传、交叉和变异等基因操作来生成和改进解。
遗传算法的优点是可以处理大规模问题，且不容易陷入局部最优解。
同时，遗传算法能够在空间中探索多个解，提高解的多样性。
然而，遗传算法的计算开销相对较高，需要大量的迭代和种群更新。
此外，遗传算法的性能与参数设置相关，需要进行调整。
4.蚁群算法蚁群算法是一种模拟蚂蚁觅食行为的算法。
它通过模拟蚂蚁在路径上释放信息素的过程，来引导蚂蚁选择路径。
蚁群算法的优点是能够找到较好的解并具有一定的自适应性。
它适用于处理大规模问题，且能够处理问题中的不确定性。
然而，蚁群算法的计算开销较高，并且参数设置对结果影响较大。
综上所述，TSP的求解方法包括贪婪算法、局部算法、遗传算法和蚁群算法等。
每种方法都有自己的优点和缺点。
选择适合问题规模、问题特征和求解时间的方法是关键。
TSP问题报告 算法分析与设计
TSP问题一、问题描述所谓 TSP 问题是指旅行商要去 n 个城市推销商品，其中每个城市到达且仅到达一次，并且要求所走的路程最短（该问题又称货郎担问题、邮递员问题、售货员问题等）。
TSP 问题最容易想到、也肯定能得到最优解的算法是穷举法，即考察所有可能的行走线路，从中选出最佳的一条。
二、解题思路1.基本思路对于图G=(V,E)，从起点出发，其余点作为路径集合，然后列出路径集合中各个点作为子路径起点，其余点作为路径集合的情况，从中选取路径长度最短的情况，再对路径集合迭代计算，直到路径集合为空的时候，这时最短路径的情况即是该点到原点的距离，路径集合是空集{}，此时已触碰临界条件，可以不断回溯之前的迭代，进而解决此问题。
2.最优值函数和边界条件第二行是最优值函数。
从i到集合V'的最优路径是以V’中某一点作为子路径起点，其余点作为路径集合的路径的长度加上从k到i 的距离的最优值。
第一行是边界条件。
当子路径的路径集合是空集时，最优子问题的解，本题来说也就是子路径的最短路径就是从子路径的起点到原来起点的距离。
3.标记函数标记函数同时也是算法的核心函数，完全按照递推公式的思想，使用迭代的方式。
distance是第一个核心函数，主要负责路径的输出；distance1是第二个核心函数，主要负责寻求子集合的最短路径并计算长度。
第一核心函数中调用了第二核心函数，第一核心函数只负路径的输出，在将问题细化深入的过程中，将真正的路径寻找和计算交给第二核心函数。
4.标记函数的解读：(1)distancedouble distance(int a,int b[],int c,double d[][NUM],int start) a:子问题起点b[]:字问题路径集合d[][]:距离矩阵（最开始创建的，所有调用函数过程中，都使用的这个，没有更改，只有读取）start:原问题起点（达到临界条件时，找到路径长度）//边界条件if(c==0){cout<<start;return d[a][start];}//非临界条件时候，构建所有路径集合的，起点和对应的路径集合，在迭代的时候会使用到else{for(i=0;i<c;i++){point[i]=b[i];k=0;for(j=0;j<c;j++){if(i!=j){e[i][k]=b[j]; /*节点方阵，冗余的*/k++;}}}mindistance=distance1(point[k],e[k],c-1,d,start)+d[a][point[k] ];//假定下一层的最短路径就是p[0]以及其对应的路径矩阵e[k]for(i=0;i<c-1;i++) //比较出下一层真正的最短路径if(mindistance>(distance1(point[i+1],e[i+1],c-1,d,start)+d[ a][point[i+1]])){k=i+1;mindistance=distance1(point[k],e[k],c-1,d,start)+d[a][poin t[k]];}cout<<point[k]<<"->";return distance(point[k],e[k],c-1,d,start)+d[a][point[k]]; }(2)distance1double distance1(int a,int b[],int c,double d[][NUM],int start) //边界条件if(c==0){return d[a][start];}//非边界条件else{for(i=0;i<c;i++){point[i]=b[i];k=0;for(j=0;j<c;j++){if(i!=j){e[i][k]=b[j];k++;}}}//拆分该点到达起点所需经过的集合该点的下一点到达起点所需经过的集合mindistance=distance1(point[0],e[0],c-1,d,start)+d[a][point[ 0]];for(i=0;i<c-1;i++)if(mindistance>(distance1(point[i+1],e[i+1],c-1,d,start)+d[ a][point[i+1]]))mindistance=distance1(point[i+1],e[i+1],c-1,d,start)+d[a][ point[i+1]];return mindistance; //求最小值}}5.时间复杂度分析整体的时间复杂度是O （2^n ）。
贪心算法求解TSP(旅行商问题)
•特殊说明： •程序在访问最后一个节点钱 ，所访问的行中至少有1个允许访问的节 点 ，依次访问这些节点找到最小即可： 在访问最后一个节点后 ，再 次访问 ，会返回k=0， 即实现了访问源节点。所以，各个节点都被访 问 ，且访问路径为一简单回路。
•实例演示：
•例题：
•以4个节点为例 ，演示算法运行过程（以100表示无大）： •输入连接矩阵：
•主函数代码：
•程序实现：
•程序实现：
•求最短距离函数代码：
Thank you !
•核心算法说明：
•1） 输入节点数n和连接矩阵a •2） 定义行 、列允许矩阵row[n]= {1, …, 1} 、row[n]= {1, …, 1} •3） 赋初值： s=0, i=0 •4）While row[i]= 1
•5） j=0,m=a[i][0],k=0 •6） 找到第一个允许访问的节点a[i][j] •7） 寻找a[i][j~n- 1]中的最小元素
贪心算法求解(TSP) 旅行商问题
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•问题描述
1 •旅行商问题（Traveling Salesman Problem, TSP） ：
有一个推销员 ，要到n个城市推销商品 ，他要找出一个 包含所有n个城市的具有最短路程的环路。
•例如给定一个城市和城市间的距离集合 ，求经过所有 城市恰好一次的最短回路， •即；给定图G= (V，E，W)，其中V为顶点集合， |V|=n， E为边集合 ，W为边权函数 ，求集合{1,2 ， …n}的一个排 列使得下式最小。
•最优子结构性质(n>=2)：
•设sn是此问题的最优解 ，那么可以把它分解为
sn=s2+sn- 1 ;
•假设存在s ’n-1为n- 1规模是的最优解 ，则
tsp问题总结归纳
tsp问题总结归纳TSP（Traveling Salesman Problem，旅行商问题）是一类经典的组合优化问题，在数学和计算机科学领域具有重要的研究价值和实际应用。
本文将从定义、解决方法和应用三个方面，对TSP问题进行总结归纳。
一、定义TSP问题是指给定一系列城市和城市之间的距离，求解经过每个城市一次且路径最短的旅行路线。
该问题可以用图论中的欧拉图和哈密顿图来描述。
在欧拉图中，一笔画问题要求从图的一个顶点开始，经过每个边一次并回到起点；而哈密顿图中，要求从图的一个顶点开始，经过每个顶点一次而路径最短。
二、解决方法1. 穷举法：穷举法是最简单直接的解决TSP问题的方法，即尝试遍历所有可能的路径，并计算每条路径的总距离，从中选出最短的一条。
然而，由于TSP问题的复杂性，穷举法在实际应用中很少使用，因为其时间复杂度随着城市数量的增加而急剧增加。
2. 动态规划：通过将问题分解为子问题，并利用子问题的最优解构建整体最优解。
动态规划方法可以有效地解决TSP问题，但其时间复杂度仍然较高，在大规模问题中难以实施。
3. 遗传算法：遗传算法是一种基于生物进化原理的搜索算法，通过模拟遗传、突变和选择等操作，逐步优化解的质量。
遗传算法在解决TSP问题中具有良好的性能和适应性，能够处理较大规模的问题，但其结果并不一定是全局最优解。
三、应用TSP问题在实际生活和工程领域中有广泛的应用，如物流配送、路径规划、电路布线等。
通过求解TSP问题，可以帮助优化物流运输路线、节约时间和资源成本，提高效率。
结论TSP问题是一个具有理论研究价值和实际应用的经典问题，其求解方法多种多样。
穷举法虽然简单直接，但在实际问题中难以应用；动态规划方法虽然高效，但对于大规模问题仍有限制；遗传算法具有较好的适应性和性能，可以处理较大规模的问题。
TSP问题在实际应用中可以有效地优化物流和路径规划等方面，提高效率和节约成本。
通过对TSP问题的总结归纳，我们可以更好地理解和应用有关组合优化问题的解决方法，推动其在实践中的发展和应用。
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T S P问题算法分析集团企业公司编码：（LL3698-KKI1269-TM2483-LUI12689-ITT289-算法第二次大作业TSP问题算法分析021251班王昱（02125029）一．问题描述“TSP问题”常被称为“旅行商问题”，是指一名推销员要拜访多个地点时，如何找到在拜访每个地点一次后再回到起点的最短路径。
TSP问题在本实验中的具体化：从A城市出发，到达每个城市并且一个城市只允许访问一次，最后又回到原来的城市，寻找一条最短距离的路径。
二．算法描述2.1分支界限法2.1.1算法思想分支限界法常以广度优先或以最小耗费（最大效益）优先的方式搜索问题的解空间树。
在分支限界法中，每一个活结点只有一次机会成为扩展结点。
活结点一旦成为扩展结点，就一次性产生其所有儿子结点。
在这些儿子结点中，导致不可行解或导致非最优解的儿子结点被舍弃，其余儿子结点被加入活结点表中。
此后，从活结点表中取下一结点成为当前扩展结点，并重复上述结点扩展过程。
这个过程一直持续到找到所需的解或活结点表为空时为止。
2.1.2算法设计说明设求解最大化问题，解向量为X=(x1,…,xn)，xi的取值范围为Si，|Si|=ri。
在使用分支限界搜索问题的解空间树时，先根据限界函数估算目标函数的界[down,up]，然后从根结点出发，扩展根结点的r1个孩子结点，从而构成分量x1的r1种可能的取值方式。
对这r1个孩子结点分别估算可能的目标函数bound(x1)，其含义：以该结点为根的子树所有可能的取值不大于bound(x1)，即：bound(x1)≥bound(x1,x2)≥…≥bound(x1,…,xn)若某孩子结点的目标函数值超出目标函数的下界，则将该孩子结点丢弃；否则，将该孩子结点保存在待处理结点表PT中。
再取PT表中目标函数极大值结点作为扩展的根结点，重复上述。
直到一个叶子结点时的可行解X=(x1,…,xn)，及目标函数值bound(x1,…,xn)。
2.2A*算法算法思想对于某一已到达的现行状态,如已到达图中的n节点,它是否可能成为最佳路径上的一点的估价,应由估价函数f(n)值来决定。
假设g*(n)函数值表示从起始节点s到任意一个节点n的一条最佳路径上的实际耗散值。
h*(n)函数值表示从任意节点n到目标节点ti的最佳路径的实际耗散值。
其中ti是一个可能的目标节点。
f*(n)函数值表示从起始s，通过某一指定的n到达目标节点ti的一条最佳路径的实际耗散值，并有f*(n)=g*(n)+h*(n)。
假设f函数是对f*函数的一种估计,并有f(n)=g(n)+h(n)，其中g函数是对g*的估计，h函数是对h*的一种估计。
f(n)包括两个部分，其中g(n)表示到达n节点时，已付出代价的估计；而h(n)表示从n节点到达目标节点ti将要付出代价的估计。
按f(n)=g*(n)+h*(n)的值来排序ff表的节点，f值小者优先。
通常称这种算法为A算法。
在A算法的基础上，进一步限制h(n)函数，使得搜索图中的每一个节点n，能满足h(n)<=h*(n)、称h函数取h*的下界。
这种算法叫A*算法。
对ff里的每一个节点做评估函数F分为两部分G和H：假设从A城市走到X城市，又走到Y城市，所以G可表示为：G=A到X的距离+X到Y的距离；未走的的城市数=（总城市数+1）-目前城市的层数。
为什得加1，因为最后得走回初始城市，所以总路径的城市数为总城市数+1。
H=未走的城市数×目前的最小距离；F=G+H;计算ff表里每个节点的F值，F值最小的节点作为活路径，把它加到bestpath中。
三．算法代码3.1分支界限法#include<stdio.h>#include<malloc.h>#defineNoEdge1000structMinHeapNode{intlcost;//子树费用的下界intcc;//当前费用intrcost;//x[s:n-1]中顶点最小出边费用和ints;//根节点到当前节点的路径为x[0:s]int*x;//需要进一步搜索的顶点是//x[s+1:n-1] structMinHeapNode*next;};intn;//图G的顶点数int**a;//图G的邻接矩阵//intNoEdge;//图G的无边标记intcc;//当前费用intbestc;//当前最小费用MinHeapNode*head=0;/*堆头*/MinHeapNode*lq=0;/*堆第一个元素*/ MinHeapNode*fq=0;/*堆最后一个元素*/ intDeleteMin(MinHeapNode*&E){MinHeapNode*tmp=NULL;tmp=fq;//w=fq->weight;E=fq;if(E==NULL)return0;head->next=fq->next;/*一定不能丢了链表头*/fq=fq->next;//free(tmp);return0;}intInsert(MinHeapNode*hn){if(head->next==NULL){head->next=hn;//将元素放入链表中fq=lq=head->next;//一定要使元素放到链中}else{MinHeapNode*tmp=NULL;tmp=fq;if(tmp->cc>hn->cc){hn->next=tmp;head->next=hn;fq=head->next;/*链表只有一个元素的情况*/}else{for(;tmp!=NULL;){if(tmp->next!=NULL&&tmp->cc>hn->cc){hn->next=tmp->next; tmp->next=hn;break;}tmp=tmp->next;}}if(tmp==NULL){lq->next=hn;lq=lq->next;}}return0;}intBBTSP(intv[]){//解旅行售货员问题的优先队列式分支限界法/*初始化最优队列的头结点*/head=(MinHeapNode*)malloc(sizeof(MinHeapNode));head->cc=0;head->x=0;head->lcost=0;head->next=NULL;head->rcost=0;head->s=0;int*MinOut=newint[n+1];/*定义定点i的最小出边费用*///计算MinOut[i]=顶点i的最小出边费用intMinSum=0;//最小出边费用总合for(inti=1;i<=n;i++){intMin=NoEdge;/*定义当前最小值*/for(intj=1;j<=n;j++)if(a[i][j]!=NoEdge&&/*当定点i,j之间存在回路时*/(a[i][j]<Min||Min==NoEdge))/*当顶点i,j之间的距离小于Min*/ Min=a[i][j];/*更新当前最小值*/if(Min==NoEdge)returnNoEdge;//无回路MinOut[i]=Min;//printf("%d\n",MinOut[i]);/*顶点i的最小出边费用*/ MinSum+=Min;//printf("%d\n",MinSum);/*最小出边费用的总和*/}MinHeapNode*E=0;E=(MinHeapNode*)malloc(sizeof(MinHeapNode));E->x=newint[n];//E.x=newint[n];for(inti=0;i<n;i++)E->x[i]=i+1;E->s=0;E->cc=0;E->rcost=MinSum;E->next=0;//初始化当前扩展节点intbestc=NoEdge;/*记录当前最小值*///搜索排列空间树while(E->s<n-1){//非叶结点if(E->s==n-2){//当前扩展结点是叶结点的父结点/*首先考虑s=n-2的情形，此时当前扩展结点是排列树中某个叶结点的父结点。
如果该叶结点相应一条可行回路且费用小于当前最小费用，则将该叶结点插入到优先队列中，否则舍去该叶结点*/if(a[E->x[n-2]][E->x[n-1]]!=NoEdge&&/*当前要扩展和叶节点有边存在*/a[E->x[n-1]][1]!=NoEdge&&/*当前页节点有回路*/(E->cc+a[E->x[n-2]][E->x[n-1]]+a[E->x[n-1]][1]<bestc/*该节点相应费用小于最小费用*/||bestc==NoEdge)){bestc=E->cc+a[E->x[n-2]][E->x[n-1]]+a[E->x[n-1]][1];/*更新当前最新费用*/E->cc=bestc;E->lcost=bestc;E->s++;E->next=NULL;Insert(E);/*将该页节点插入到优先队列中*/}elsefree(E->x);//该页节点不满足条件舍弃扩展结点}else{/*产生当前扩展结点的儿子结点当s<n-2时，算法依次产生当前扩展结点的所有儿子结点。
由于当前扩展结点所相应的路径是x[0:s]，其可行儿子结点是从剩余顶点x[s+1:n-1]中选取的顶点x[i]，且(x[s]，x[i])是所给有向图G中的一条边。
对于当前扩展结点的每一个可行儿子结点，计算出其前缀(x[0:s]，x[i])的费用cc和相应的下界lcost。
当lcost<bestc时，将这个可行儿子结点插入到活结点优先队列中。
*/for(inti=E->s+1;i<n;i++)if(a[E->x[E->s]][E->x[i]]!=NoEdge){/*当前扩展节点到其他节点有边存在*///可行儿子结点intcc=E->cc+a[E->x[E->s]][E->x[i]];/*加上节点i后当前节点路径*/ intrcost=E->rcost-MinOut[E->x[E->s]];/*剩余节点的和*/intb=cc+rcost;//下界if(b<bestc||bestc==NoEdge){//子树可能含最优解,结点插入最小堆MinHeapNode*N;N=(MinHeapNode*)malloc(sizeof(MinHeapNode));N->x=newint[n];for(intj=0;j<n;j++)N->x[j]=E->x[j];N->x[E->s+1]=E->x[i];N->x[i]=E->x[E->s+1];/*添加当前路径*/N->cc=cc;/*更新当前路径距离*/N->s=E->s+1;/*更新当前节点*/N->lcost=b;/*更新当前下界*/N->rcost=rcost;N->next=NULL;Insert(N);/*将这个可行儿子结点插入到活结点优先队列中*/ }}free(E->x);}//完成结点扩展DeleteMin(E);//取下一扩展结点if(E==NULL)break;//堆已空}if(bestc==NoEdge)returnNoEdge;//无回路for(inti=0;i<n;i++)v[i+1]=E->x[i];//将最优解复制到v[1:n]while(true){//释放最小堆中所有结点free(E->x);DeleteMin(E);if(E==NULL)break;}returnbestc;}intmain(){n=0;inti=0;//FILE*in,*out;//in=fopen("input.txt","r");//out=fopen("output.txt","w"); //if(in==NULL||out==NULL)//{//printf("没有输入输出文件\n"); //return1;//}//fscanf(in,"%d",&n);n=5;a=(int**)malloc(sizeof(int*)*(n+1)); for(i=1;i<=n;i++){a[i]=(int*)malloc(sizeof(int)*(n+1)); }//for(i=1;i<=n;i++)//for(intj=1;j<=n;j++)////fscanf(in,"%d",&a[i][j]);//a[i][j]=1;a[1][1]=0;a[1][2]=6;a[1][3]=1;a[1][4]=5;a[1][5]=7;a[2][1]=6;a[2][2]=0;a[2][3]=6;a[2][4]=4;a[2][5]=3;a[3][1]=1;a[3][2]=6;a[3][3]=0;a[3][4]=8;a[3][5]=2;a[4][1]=5;a[4][2]=4;a[4][3]=8;a[4][4]=0;a[4][5]=5;a[5][1]=7;a[5][2]=3;a[5][3]=2;a[5][4]=5;a[5][5]=0;//prev=(int*)malloc(sizeof(int)*(n+1));int*v=(int*)malloc(sizeof(int)*(n+1));//MaxLoading(w,c,n); for(i=1;i<=n;i++)v[i]=0;bestc=BBTSP(v);printf("\n");printf("最优路径为");for(i=1;i<=n;i++)fprintf(stdout,"%c\t",v[i]+64);fprintf(stdout,"\n");fprintf(stdout,"总路程为\n",bestc);return0;}3.2A*算法#include"stdio.h"constintmax=9999;constintax=50;intisbest(inti,intbestpath[],intp)//检测改节点是否已经加入bestpath[]中{for(intk=1;k<=p;k++){if(i==bestpath[k])break;}if(k!=p+1)//新测试节点在a[]中return1;elsereturn0;}voidmain(){intmin=max;intminf=max;intnum;//城市数量intmat[ax][ax];//城市间距离intbestpath[ax];//最佳路径intf=0,g=0,h=0;intff[ax];//依次求每个城市的f值intgg[ax];//城市的g值printf("城市个数为：");scanf("%d",&num);printf("城市间的距离为：\n");//输入各城市间距离的矩阵for(inti=0;i<num;i++)for(intj=0;j<num;j++)scanf("%d",&mat[i][j]);bestpath[0]=0;//起点为0，即城市Afor(intp=0;p<num-1;p++)//依次求每个最优节点，每次循环得到一个新的最优城市放到bestpath[]中{for(intkk=0;kk<num;kk++)ff[kk]=max;//便于后面求最小值for(i=1;i<num;i++)//起点A不算，从非起点开始找寻最优城市{if(isbest(i,bestpath,p))//该点已经在bestpath[]中的话，忽略continue;else//计算该点的g值gg[i]=g+mat[bestpath[p]][i];//i点的g值for(intm=0;m<num;m++)//开始计算h值{if(isbest(m,bestpath,p))//该点已经在bestpath[]中的话，忽略continue;for(intt=m+1;t<num;t++){if(isbest(t,bestpath,p))continue;if(m!=0||t!=i||p==num-2)//不是最后一个点的话，不算A点到这个点长度if(mat[m][t]<min)min=mat[m][t];}}h=min*(num-p-1);//h值ff[i]=gg[i]+h;//第i个节点的f值min=max;//重新赋值最大，以便下次循环}for(i=0;i<num;i++)//找寻最优点，即f值最小者{if(ff[i]<minf){minf=ff[i];bestpath[p+1]=i;}}minf=max;//重新赋值最大，以便下次循环g=g+mat[bestpath[p]][bestpath[p+1]];//更新g值}printf("最优路径为:");for(i=0;i<num;i++)printf("%c",bestpath[i]+65);printf("A\n");printf("总路程为:");intsum=0;for(i=0;i<num-1;i++)sum=sum+mat[bestpath[i]][bestpath[i+1]];sum=sum+mat[bestpath[num-1]][0];//总路程最后一个城市要回到A，所以加上其距离printf("%d\n",sum);}四．结果截图4.1分支界限法4.2A*算法。