第一讲 培优竞赛一元二次方程的解法辅导

第一讲 一元二次方程的定义及解法培优竞赛辅导

【基础知识回顾】

知识点一、一元二次方程的定义：

1、一元二次方程：含有个未知数，并且未知数最高次数是2的方程

2、一元二次方程的一般形式：,其中二次项是,一次项是，是常数项。

3 、一元一次方程的解:常用的两个结论是：

①a ＋b ＋c=0,则方程ax 2＋bx ＋c=0﹙a ≠0﹚必有一根为1；

②a －b ＋c=0,则方程ax 2＋bx ＋c=0﹙a ≠0﹚必有一根为－1;若c=0呢?

题型一：一元二次方程的概念

例1.下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）

A 02=++c bx ax

B 02112=-+x x

C 1222+=+x x x

D ()()12132+=+x x 变:（1)当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。

(2)方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为。

题型二：一元二次方程的解

例2.关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为

变:（1）已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为

(2)若n ﹙n ≠0﹚是关于x 的方程x 2＋mx ＋2n ＝0的根，则m ＋n 的值。

(3)设设a 是方程x 2－2005x ＋1＝0的一个根，则a 2－2004a ＋＝ (4)已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为。

知识点二、一元二次方程的常用解法：

1、直接开平方法：如果2ax b =( )，则2x = ，1x = ，2x = 。

2、因式分解法：一元二次方程化为一般形式后，如果左边能分解因式，即产生0A B = 的形式，则可将原方程化为两个方程，即、从而得方程的两根.

3、配方法：解法步骤：

①化二次项系数为即方程两边都二次项系数；

②移项：把项移到方程的边；

③配方：方程两边都加上把左边配成完全平方的形式；

④解方程：若方程右边是非负数，则可用直接开平方法解方程。

4、公式法：如果方程()2

00ax bx c a ++=≠满足，则方程的求根公式为 例3用适当的方法解下列方程：

⑴ 4 2

2)32()2(+=-x x ⑵x 2－2x －1 ＝0 ⑶ 2x 2－7x ＋6＝0 1

20052+a

变式训练：解方程 1.(x －1)2－4(x －1)－21＝0． 2. (2x －1)(x －1)＝1．

※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。 例4.试用配方法说明322+-x x 的值恒大于0，47102-+-x x 的值恒小于0。

变:（1）不论x 、y 为什么实数，代数式x 2+y 2+2x-4y+7的值（ ）

A ．总不小于2

B ．总不小于7

C ．可为任何实数

D ．可能为负数

（2）已知，x、y y x y x 0136422=+-++为实数，则 y x 的值为_____。

（3）已知y x ,实数满足0332=-++y x x ，则y x +的最大值为_____。

（4）已知c b a 、、，满足722=+b a ，122-=-c b ， 1762-=-a c ，则c b a ++的值等于_____。

基础巩固

一、填空题

1、 设方程22(1)(1)30m x m x --++=，当m 时，是一元一次方程；

当m 时，是一元二次方程。

2、已知,αβ是一元二次2230x x --=的解，则222221()()αβαβ-+--=_______;

3、 已知n 是正整数，方程22(1)0x n x n ++-=，当2n =时，两根为2a 、

2b ；当3n =时，两根为3a 、3b …；当100n =时，两根为100a 、100b ，则代数式

2233100100111(1)(1)(1)(1)(1)(1)

a b a b a b +++------ 的值等于。

4、 若1x =是方程20ax bx c ++=的一个根，则a b c ++=。

5、 若方程22(1)230m x x m m -+++-=有一个根为0，则m =。

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、已知x =，则2421x x x ++的值是。 7、如果对于任意两个实数a 、b ，定义*2a b a b =+，解方程：2*(2)2*10x x +=，可得x =。

8、如果关于x 的方程210px x ++=的一个实数根的倒数恰是它本身，那么p 的值是 （

）

A ．1 B. ±1 C. 2 D. ±2

9、配方法解方程3x 2－6x ＋1＝0，则方程可变形为﹙﹚

A. ﹙x －3﹚2＝ B .3﹙x －1﹚2＝ C . ﹙3x －1﹚2＝1 D.﹙x －1﹚2＝

10、下列方程中，无论a 取何值，总是关于x 的一元二次方程的是（ ）

A ．20bx c ax ++= B. 221x x ax +=-

C ．2221(1)0()a x a x +--= D. 21

3a x x =-+

二、解答题

11.解关于x 的方程2(1)2(2)0.m x m x m --++=

12.若方程210x bx ++=与方程20x x b --=至少有一个相同的实数根，求实数b 的值。

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