第一讲 培优竞赛一元二次方程的解法辅导
一元二次方程培优专题讲义
欢迎阅读数学培优专题讲义：一元二次方程一.知识的拓广延伸及相关史料1． 一元二次方程几种解法之间的关系 解一元二次方程有下列几种常用方法: （1） 配方法:如2670x x ++=，经配方得2(3)2x +=，再直接用开平方法；（2） 公式法； （3） 因式分解法。
这三种方法并不是孤立的，直接开平方法，226x x +2． 步(算法》这个问题同样可以类似求解.3. 掌握数学思想方法，以不变应万变。
本章内容蕴涵了丰富的数学方法，主要有转化思想、类比思想、降次法、配方法等。
（1）转化思想我们知道，解方程的过程就是不断地通过变形把原方程转化为与它等价的最简单方程的过程。
因此，转化思想就是解方程过程中思维活动的主导思想。
在本章，转化无所不在，无处不有，可以说这是本章的精髓和特色之一，其表现主要有以下方面：① 未知转化为已知，这是解方程的基本思路:② 一元二次方程转化为一元一次方程，这是通过将原方程降次达到的:③ 特殊转化为一般，一般转化为特殊。
例如，通过用配方法解数字系数的一元二次方程2670x x ++=归纳出用配方法解一般形式的一元二次方程20ax bx c ++=的方法，进而得出一元二次方程的求根公式，而用公式法又可以解各种具体的一元二次方程，推导出一元二次方程根与系数的关系。
又如，通过设未知数，找出等量关系，列方程，把实际问题转化为解方程问题，等等。
;,在,可2242x x x+--例2． 解方程组712x y xy +=⎧⎨=⎩4． 配方法的妙用所谓配方，就是把一个多项式经过适当变形配成完全平方式。
配方法除一元二次方程求根公式推导这一典型应用外，在因式分解、化简二次根式、证明恒等式、解方程、求代数式最值等问题中都有广泛应用，是一种很重要、很基本的数学方法。
例1． 分解因式21203456x x -+ 例2．例3． 解方程421510240x x x -++= 例4． 求2242415x y y x +--+的最小值 5． 怎样巧用韦达定理解“看错数”问题 小红和小明一起做作业，在解一道一元二次方程时，小明在化简过程中写错了常数项，因而得方程的两个根是8和2；小红在化简过程中写9和－6x 2ax1,2x x 例（1）2x （3）2 1（1（2根，求（3） 若方程23520x x --=有一个根是a ,则2610a a -的值是多少?（4） 已知方程2(0)ax bx c a ++≠的一个根是1，那么a b c ++的值是多少?2. 解方程（1）222(3)3(3)2y y y y -=-- (2) 22(1)(2)4t t t t +-++=3．已知m 、n 是二次方程2199970x x ++=的两个根，求22(19996)(20008)m m n n ++++的值。
一元二次方程的四种解法一对一辅导讲义
1、认识一元二次方程2、掌握一元二次方程常见解法；3、经历一元二次方程解法的发现过程，体验归纳、类比的思想方法。
第一课时 一元二次方程的四种解法知识梳理1．已知x=1是一元二次方程2210mx x -+=的一个解，则m 的值是多少？2．已知关于x 的一元二次方程222320()x m mx ++-=-的一个根是0，求m 的值。
3.已知x=1是方程210x mx -+=的根，化简226912m m m m -+--+；4.已知实数a 满足2280a a+-=，求)3)(1(12)1)(1(31a 12+++-⨯+-+-+a a a a a a a 的值。
新课标第一网5.已知m ，n 是有理数，方程20x mx n ++=有一个根是52-，求m+n 的值。
课前检测一、直接开方法：（利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解） 形式：2()x a b +=举例：解方程：29(1)25x +=解：方程两边除以9，得：225(1)9x += 1251352581,13333x x x ∴+=±∴=-==--=-二、配方法：（理论依据：根据完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=±，将原方程配成2()x a b +=的形式，再用直接开方法求解.）举例：解方程：24830x x -+= 配方法解一元二次方程20ax bx c ++= (0a ≠)的步骤：解： 23204x x -+= ①、二次项系数化为1. (两边都除以二次项系数.)2324x x -=- ②、移项.(把常数项移到=号右边.) 22232114x x -+=-+ ③、配方.(两边都加上一次项系数绝对值一半的 21(1)4x -= 平方，把原方程化成2()x a b +=的形式) ∴112x -=± ④、求解.(用直接开方法求出方程的解.) 113111,212222x x ∴=+==-+=三、公式法：（求根公式：242b b ac x a-±-=） 举例：解方程：2273x x -= 公式法解一元二次方程的步骤：解： 22730x x --= ①、把一元二次方程化为一般形式：20ax bx c ++=(0a ≠)2,7,3a b c ∴==-=- ②、确定,,a b c 的值.知识梳理60x ∴-=或10x +=216,1x x ∴==-【4】其它常见类型举例：①、解方程：(1)(3)8x x ++= ②、解方程：222x +x-1=x +x（换元法） 解：原方程可变形为： 解：令2x +x y =，原方程可化为：21y y-=， 即：220y y --= 2450x x +-= ∴(2)(1)0y y -+= ∴20y -=或10y +=(5)(1)0x x +-= ∴122,1y y ==-50x ∴+=或10x -= ∴22x x +=，即220x x +-=215,1x x ∴=-= (2)(1)0x x +-=，212,1x x ∴=-=或21x x +=-，即210x x ++=1,1,1a b c ∴=== 224141130b ac ∴-=-⨯⨯=-<∴方程210x x ++=无解。
一元二次方程竞赛解题方法
一元二次方程竞赛解题方法一元二次方程是初中教材的重点内容，也是竞赛题的特点。
除了掌握常规解法外，注意一些特殊或灵活的解法，往往能事半功倍。
以下是一些解题方法：一、换元法例如，考虑方程$x^2-2x-5|x-1|+7=0$的所有根的和。
我们可以令$y=|x-1|$，则原方程变为$y^2-2y-5y+7=0$，化简后得到$y=1$或$y=-5$，即$|x-1|=1$或$|x-1|=5$。
进一步解得$x=-1.0.2.6$，因此所有根的和为$7$，选项C。
二、降次法例如，考虑已知$\alpha。
\beta$是方程$x^2-x-1=0$的两个实数根，求$a^4+3\beta$的值。
我们可以利用方程$x^2-x-1=0$的性质，即$x^2=x+1$，将$a^4+3\beta$表示为$a^2(a^2+3\beta)$，再用$\alpha^2=\alpha+1$和$\beta^2=\beta+1$代入，得到$a^2(a^2+3\beta)=a^2(\alpha+1)(\alpha^2+3\beta^2)=a^2(\alpha+ 1)(4\alpha+3)$，因此$a^4+3\beta=4a^3+4a^2+a^2(\alpha+1)(4\alpha+3)=4a^3+4a^2+3 a^2+4a^3+3a^2=8a^3+6a^2$，选项B。
三、整体代入法例如，考虑二次方程$ax^2+bx+c=0$的两根为$x_1.x_2$，记$S_1=x_1+1993x_2.S_2=x_1^2+1993x_2^2.\dots。
S_n=x_1^n+1993x_2^n$，求证$aS_{1993}+bS_{1992}+cS_{1991}=0$。
我们可以将$x_1.x_2$表示为$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$和$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，然后利用数列求和公式，得到$S_1=-\frac{b}{a}+1993\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$S_2=\frac{b^2-2ac}{a^2}+1993\frac{b^2-2ac+2b\sqrt{b^2-4ac}}{4a^2}$，$S_3=-\frac{b^3-3abc+2a\sqrt{b^2-4ac}(b^2-ac)}{a^3}+\dots$。
培优专题01 一元二次方程的解法-解析版
培优专题01 一元二次方程的解法◎方法一直接开平方法（1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。
一般地，.对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=a,x2=a（2）直接开平方法适用于解形如x2 = p或(mx+a)2 = p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。
（3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
（4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。
1．（2022·浙江绍兴·八年级期末）一元二次方程x2 -1＝0的根是（）A．x1＝x2＝1B．x1＝1，x2＝-1C．x1＝x2＝-1D．x1＝1，x2＝0【答案】B【分析】先移项，再两边开平方即可．【详解】解：∵x2-1=0，∴x2=1，∴x=±1，即x1=-1，x2=1．故选：B．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．2．（2022·安徽滁州·八年级期末）如果关于x 的方程2(9)4x m -=+可以用直接开平方法求解，那么m 的取值范围是（ ）A ．3m >B ．3m ³C ．4m >-D ．4m ³-【答案】D【分析】根据直接开平方法求解可得．【详解】解：∵2(9)4x m -=+，且方程2(9)4x m -=+可以用直接开平方法求解，∴40m +³，∴4m ³-．故选：D ．【点睛】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，正确化简方程是解题关键．3．（2022·全国·九年级课时练习）关于x 的方程2x p =．（1）当0p >时，方程有__________的实数根；（2）当0p =时，方程有__________的实数根；（3）当0p <时，方程__________．4．（2022·安徽合肥·八年级期末）方程290x -=的解为______．5．（2022·全国·九年级单元测试）将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成a cb d ，定义a cad bcb d=-，上述记号就叫做2阶行列式．(1)若21493xx=，求x的值．(2)若11611x xx x+-=-+，求x的值．◎方法二 配方法1、配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开；2、把常数项移到等号的右边；3、方程两边都除以二次项系数；4、方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；5、若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。
初中数学培优教材
初中数学培优教材第一讲 一元二次方程【学习目标】1、学会根据具体问题列出一元二次方程，培养把文字表达的问题转换成数学语言的能力。
2、了解一元二次方程的解或近似解。
3、增进对方程解的认识，开展估算意识和能力。
【知识要点】1、一元二次方程的定义：只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为02=++c bx ax 〔a 、b 、c 、为常数，0a ≠〕的形式，这样的方程叫做一元二次方程。
〔1〕定义解释：①一元二次方程是一个整式方程；②只含有一个未知数；③并且未知数的最高次数是2。
这三个条件必须同时满足，缺一不可。
〔2〕02=++c bx ax 〔a 、b 、c 、为常数，0a ≠〕叫一元二次方程的一般形式，也叫标准形式。
〔3〕在02=++c bx ax 〔0a ≠〕中，a ，b ，c 通常表示数。
2、一元二次方程的解：当某一x 的取值使得这个方程中的c bx ax ++2的值为0，x 的值即是一元二次方程02=++c bx ax 的解。
3、一元二次方程解的估算：当某一x 的取值使得这个方程中的c bx ax ++2的值无限接近0时，x 的值即可看做一元二次方程02=++c bx ax 的解。
【经典例题】例1、以下方程中，是一元二次方程的是 ①042=-y y ； ②0322=--x x ； ③312=x ； ④bx ax =2；⑤x x 322+=； ⑥043=+-x x ； ⑦22=t ； ⑧0332=-+xx x ；⑨22=-x x ；⑩)0(2≠=a bx ax 例2、〔1〕关于x 的方程(m －4)x 2+(m+4)x+2m+3=0，当m__________时，是一元二次方程，当m__________时，是一元一次方程.〔2〕如果方程ax 2+5=(x+2)(x －1)是关于x 的一元二次方程，那么a__________.〔3〕关于x 的方程135)32(12=+-++x x m m m 是一元二次方程吗?为什么？例3、把以下方程先化为一般式，再指出以下方程的二次项系数，一次项系数及常数项。
第一讲培优竞赛一元二次方程的解法辅导
第⼀讲培优竞赛⼀元⼆次⽅程的解法辅导第⼀讲⼀元⼆次⽅程的定义及解法培优竞赛辅导【基础知识回顾】知识点⼀、⼀元⼆次⽅程的定义：1、⼀元⼆次⽅程：含有个未知数，并且未知数最⾼次数是2的⽅程2、⼀元⼆次⽅程的⼀般形式：,其中⼆次项是,⼀次项是，是常数项。
3 、⼀元⼀次⽅程的解:常⽤的两个结论是：①a ＋b ＋c=0,则⽅程ax 2＋bx ＋c=0﹙a ≠0﹚必有⼀根为1；②a －b ＋c=0,则⽅程ax 2＋bx ＋c=0﹙a ≠0﹚必有⼀根为－1;若c=0呢?题型⼀：⼀元⼆次⽅程的概念例1.下列⽅程中是关于x 的⼀元⼆次⽅程的是（）A 02=++c bx axB 02112=-+x xC 1222+=+x x xD ()()12132+=+x x 变:（1)当k 时，关于x 的⽅程3222+=+x x kx 是⼀元⼆次⽅程。
(2)⽅程()0132=+++mx x m m 是关于x 的⼀元⼆次⽅程，则m 的值为。
题型⼆：⼀元⼆次⽅程的解例2.关于x 的⼀元⼆次⽅程()04222=-++-a x x a 的⼀个根为0，则a 的值为变:（1）已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为(2)若n ﹙n ≠0﹚是关于x 的⽅程x 2＋mx ＋2n ＝0的根，则m ＋n 的值。
(3)设设a 是⽅程x 2－2005x ＋1＝0的⼀个根，则a 2－2004a ＋＝ (4)已知关于x 的⼀元⼆次⽅程()002≠=++a c bx ax 的系数满⾜b c a =+，则此⽅程必有⼀根为。
知识点⼆、⼀元⼆次⽅程的常⽤解法：1、直接开平⽅法：如果2ax b =( )，则2x = ，1x = ，2x = 。
2、因式分解法：⼀元⼆次⽅程化为⼀般形式后，如果左边能分解因式，即产⽣0A B = 的形式，则可将原⽅程化为两个⽅程，即、从⽽得⽅程的两根.3、配⽅法：解法步骤：①化⼆次项系数为即⽅程两边都⼆次项系数；②移项：把项移到⽅程的边；③配⽅：⽅程两边都加上把左边配成完全平⽅的形式；④解⽅程：若⽅程右边是⾮负数，则可⽤直接开平⽅法解⽅程。
一元二次方程培优专题讲义(最新整理)
数学培优专题讲义：一元二次方程一.知识的拓广延伸及相关史料1．一元二次方程几种解法之间的关系解一元二次方程有下列几种常用方法:（1）配方法:如，经配方得2670x x ++=，再直接用开平方法；2(3)2x +=（2）公式法；（3）因式分解法。
这三种方法并不是孤立的，直接开平方法，实际也是因式分解法，解方程，只2670x x ++=要变形为即可，或原方程22(3)0x +-=经配方化为，再求解时，2670x x ++=2(3)2x +=还是归到用平方差公式的因式分解法，所以配方法归为用因式分解法的手段。
公式法在推导公式过程中用的是配方法和直接开平方法，因此，它还是归到因式分解法，所不同的是，公式法用一元二次方程的系数来表示根，因而可以作为公式。
由此可见，对因式分解法应予以足够的重视。
因式分解法还可推广到高次方程。
2．我国古代的一元二次方程提起代数，人们自然就把它和方程联系起来。
事实上，过去代数的中心问题就是对方程的研究。
我国古代对代数的研究，特别是对方程解法的研究有着优良的传统，并取得了重要成果。
下面是我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题:”直田积（矩形面积）八百六十四步(平方步),只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步）,问阔及长各几步？”答:”阔二十四步,长三十六步.”这里,我们不谈杨辉的解法,只用已学过的知识解决上面的问题.上面的问题选自杨辉所著的《田亩比类乘除算法》。
原题另一个提法是:“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步?”这个问题同样可以类似求解.3. 掌握数学思想方法，以不变应万变。
本章内容蕴涵了丰富的数学方法，主要有转化思想、类比思想、降次法、配方法等。
（1）转化思想我们知道，解方程的过程就是不断地通过变形把原方程转化为与它等价的最简单方程的过程。
因此，转化思想就是解方程过程中思维活动的主导思想。
在本章，转化无所不在，无处不有，可以说这是本章的精髓和特色之一，其表现主要有以下方面：①未知转化为已知，这是解方程的基本思路:②一元二次方程转化为一元一次方程，这是通过将原方程降次达到的:③特殊转化为一般，一般转化为特殊。
(完整版)二元一次方程(组)补习、培优、竞赛经典归类讲解、练习及答案(最新整理)
二元一次方程（组）补习、培优、竞赛归类讲解及练习答案知识点：1、二元一次方程：（1）方程的两边都是整式，（2）含有两个未知数，（3）未知数的最高次数是一次。
2、二元一次方程的一个解：使二元一次方程左右两边相等的两个未知数的值叫二元一次方程的一个解。
3、二元一次方程组：含有两个未知数的两个二元一次方程所组成的方程组。
4、二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解。
（使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值）无论是二元一次方程还是二元一次方程组的解都应该写成 的形式。
⎩⎨⎧==y x 5、二元一次方程组的解法：基本思路是消元。
（1）代入消元法：将一个方程变形，用一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程，把二元消去一元，再求解一元一次方程。
主要步骤：变形——用一个未知数的代数式表示另一个未知数。
代入——消去一个元。
求解——分别求出两个未知数的值。
写解——写出方程组的解。
（2）加减消元法：适用于相同未知数的系数有相等或互为相反数的特点的方程组，首先观察出两个未知数的系数各自的特点，判断如何运用加减消去一个未知数；含分母、小数、括号等的方程组都应先化为最简形式后再用这两种方法去解。
变形——同一个未知数的系数相同或互为相反数。
加减——消去一个元。
求解——分别求出两个未知数的值。
写解——写出方程组的解。
（3）列方程解应用题的一般步骤是：关键是找出题目中的两个相等关系，列出方程组。
列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即：①审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数。
②找：找出能够表示题意两个相等关系。
③列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组。
④解：解这个方程组，求出两个未知数的值。
⑤ 答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案。
6、二元一次方程组的解的情况有以下三种：⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a ①当时，方程组有无数多解。
《一元二次方程》培优竞赛
《一元二次方程》培优【知识要点】：1、一元二次方程的解法 （1） 法；（2） 法；（3） 法；（4） 法2、一元二次方程的根的判别式一元二次方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0）的根的判别式为△= ，当△>0时方程有两个不相等的实根x 1= 和x 2= ；当△=0时有两个相等的实根x 1=x 2= ； 当△<0时根据平方根的意义，负数没有平方根，所以一元二次方程ax 2＋bx ＋c = 0没有实数解．3、一元二次方程的根与系数的关系若一元二次方程方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为 即x 1=，x 2那么：12x x += ，12x x = ，此结论称为”韦达定理”，其成立的前提是0∆≥．3．特别地， 以两个数根x 1和x 2为根的一元二次方程是x 2＋( x 1+x 2 )x ＋x 1.x 2 = 0．【精选题型】：1、已知关于x 的一元二次方程2320x x k -+=，根据下列条件，分别求出k 的范围：（1）方程有两个不相等的实数根； （2）方程有两个相等的实数根 （3）方程有实数根； （4）方程无实数根．2 、若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值： (1) 2212x x +； (2)1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．3、已知关于x 的方程22(2)04m x m x ---=．（1）求证：无论m 取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；（2）若这个方程的两个实数根x 1，x 2满足x 2＝x 1＋2，求m 的值及相应的x 1，x 2．4、已知关于x 的方程mx 2—(2m+1)x+2=0．（1）求证：无论m 取何实数时，原方程总有实数根；（2）若原方程有两个实数根x 1和x 2，当52221=+x x 时求m 的值（3）若原方程有两个实数根，能否存在一个根大于2，另一个根小于2 ？若存在，请求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【拓展练习】:1．若12,x x 是方程22630x x -+=的两个根，则1211x x +的值为( )A ．2 B ．2-C ．12 D ．922．若t 是一元二次方程20 ax bx c ++=的根，则判别式24b ac ∆=-和完全平方式2(2)M at b =+的关系是( )A ．M ∆=B ．M ∆>C ．M ∆<D ．大小关系不能确定3．若关于x 的方程mx 2＋ (2m ＋1)x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 （ ）A ． m ＜14 B 。
八年级数学竞赛培优 一元二次方程的解法 含解析
一元二次方程的解法【思维入门】1．若关于x 的一元二次方程的两根为x 1＝1，x 2＝2，则这个方程是 ( )A ．x 2＋3x －2＝0B ．x 2－3x ＋2＝0C ．x 2－2x ＋3＝0D ．x 2＋3x ＋2＝02．用配方法解一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，此方程可变形为 ( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＝b 2－4ac 4a 2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＝4ac －b 24a 2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －b 2a 2＝b 2－4ac 4a 2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －b 2a 2＝4ac －b 24a 2 3．一元二次方程2x 2－3x ＋1＝0的解为____．4．已知关于x 的一元二次方程2x 2－3kx ＋4＝0的一个根是1，则k ＝____．5．一元二次方程(a ＋1)x 2－ax ＋a 2－1＝0的一个根为0，则a ＝____．6. 先化简，再求值：(x －1)÷⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1－1，其中x 为方程x 2＋3x ＋2＝0的根．【思维拓展】7．若关于x 的方程m (x ＋h )2＋k ＝0(m ，h ，k 均为常数，m ≠0)的解是x 1＝－3，x 2＝2，则方程m (x ＋h －3)2＋k ＝0的解为( ) A ．x 1＝－6，x 2＝－1B ．x 1＝0，x 2＝5C ．x 1＝－3，x 2＝5D ．x 1＝－6，x 2＝28．定义运算“★”：对于任意实数a ，b ，都有a ★b ＝a 2－3a ＋b ，如：3★5＝32－3×3＋5.若x ★2＝6，则实数x 的值是____．9．关于x 的一元二次方程为(m －1)x 2－2mx ＋m ＋1＝0.(1)求出方程的根；(2)m 为何整数时，此方程的两个根都为正整数？10．某文献对分式方程验根的归纳如下：“解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原分式的分母为0，因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解．”请你根据对这段话的理解，解决下面问题：已知关于x的方程m－1x－1－xx－1＝0无解，方程x2＋kx＋6＝0的一个根是m.(1)求m和k的值；(2)求方程x2＋kx＋6＝0的另一个根．【思维升华】11．若关于x的一元二次方程(m－2)x2＋3x＋m2－5m＋6＝0的常数项为0，则m的值是()A．2 B．3C．2或3 D．012．若n(n≠0)是关于x的方程x2＋mx＋3n＝0的根，则m＋n的值是____．13．已知n为正整数，且n4＋2n3＋6n2＋12n＋25为完全平方数，则n＝____．14．若x2－||2x－1－4＝0，则满足该方程的所有根之和为____．15．若x＝－1是关于x的方程a2x2＋2 015ax－2 016＝0的一个根，则a的值为______．一元二次方程的解法【思维入门】1．若关于x 的一元二次方程的两根为x 1＝1，x 2＝2，则这个方程是 ( B )A ．x 2＋3x －2＝0B ．x 2－3x ＋2＝0C ．x 2－2x ＋3＝0D ．x 2＋3x ＋2＝02．用配方法解一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，此方程可变形为 ( A )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＝b 2－4ac 4a 2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＝4ac －b 24a 2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －b 2a 2＝b 2－4ac 4a 2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －b 2a 2＝4ac －b 24a 2 3．一元二次方程2x 2－3x ＋1＝0的解为__x 1＝1，x 2＝12__．4．已知关于x 的一元二次方程2x 2－3kx ＋4＝0的一个根是1，则k ＝__2__．5．一元二次方程(a ＋1)x 2－ax ＋a 2－1＝0的一个根为0，则a ＝__1__．【解析】 ∵一元二次方程(a ＋1)x 2－ax ＋a 2－1＝0的一个根为0，∴a ＋1≠0且a 2－1＝0，∴a ＝1.6. 先化简，再求值：(x －1)÷⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1－1，其中x 为方程x 2＋3x ＋2＝0的根． 解：原式＝(x －1)÷⎝ ⎛⎭⎪⎫2－x －1x ＋1＝(x －1)·x ＋1－x ＋1＝－x －1. 由x 2＋3x ＋2＝0，得x 1＝－1，x 2＝－2.当x 1＝－1时，原式无意义，所以x 1＝－1舍去．当x 2＝－2时，原式＝1.【思维拓展】7．若关于x 的方程m (x ＋h )2＋k ＝0(m ，h ，k 均为常数，m ≠0)的解是x 1＝－3，x 2＝2，则方程m (x ＋h －3)2＋k ＝0的解为( B ) A ．x 1＝－6，x 2＝－1 B ．x 1＝0，x 2＝5C．x1＝－3，x2＝5 D．x1＝－6，x2＝28．定义运算“★”：对于任意实数a，b，都有a★b＝a2－3a＋b，如：3★5＝32－3×3＋5.若x★2＝6，则实数x的值是__－1或4__．9．关于x的一元二次方程为(m－1)x2－2mx＋m＋1＝0.(1)求出方程的根；(2)m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？解：(1)根据题意得m≠1，Δ＝(－2m)2－4(m－1)(m＋1)＝4，∴x1＝2m＋22()m－1＝m＋1m－1，x2＝2m－22()m－1＝1.(2)由(1)知x1＝m＋1m－1＝1＋2m－1，∵方程的两个根都是正整数，∴2m－1是正整数，∴m－1＝1或2.∴m＝2或3.10．某文献对分式方程验根的归纳如下：“解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原分式的分母为0，因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解．”请你根据对这段话的理解，解决下面问题：已知关于x的方程m－1x－1－xx－1＝0无解，方程x2＋kx＋6＝0的一个根是m.(1)求m和k的值；(2)求方程x2＋kx＋6＝0的另一个根．解：(1)∵将分式方程m－1x－1－xx－1＝0去分母化成整式方程得(m－1)－x＝0，解得x＝m－1.又∵关于x的方程无解，∴x＝m－1是增根．∴m－1－1＝0，解得m＝2.∵方程x2＋kx＋6＝0的一个根是m，即x＝2.∴22＋2k＋6＝0.解得k＝－5.(2)x2－5x＋6＝0，解得x1＝2，x2＝3.【思维升华】11．若关于x的一元二次方程(m－2)x2＋3x＋m2－5m＋6＝0的常数项为0，则m的值是(B)A．2 B．3C．2或3 D．012．若n(n≠0)是关于x的方程x2＋mx＋3n＝0的根，则m＋n的值是__－3__．13．已知n为正整数，且n4＋2n3＋6n2＋12n＋25为完全平方数，则n＝__8__．【解析】易知n＝1，n＝2均不符合题意，所以n≥3，此时一定有(n2＋n＋2)2＝n4＋2n3＋5n2＋4n＋4＜n4＋2n3＋6n2＋12n＋25，(n2＋n＋4)2＝n4＋2n3＋9n2＋8n＋16≥n4＋2n3＋6n2＋12n＋25，而n4＋2n3＋6n2＋12n＋25为完全平方数，所以一定有n4＋2n3＋6n2＋12n＋25＝(n2＋n＋3)2，整理得n2－6n－16＝0，解得n＝8(负根n＝－2舍去)．2x－1－4＝0，则满足该方程的所有根之和为．14．若x2－||15．若x＝－1是关于x的方程a2x2＋2 015ax－2 016＝0的一个根，则a的值为__2__016或－1__．【解析】∵x＝－1是关于x的方程a2x2＋2 015ax－2 016＝0的一个根，∴将x＝－1代入方程得a2－2 015a－2 016＝0，因式分解得(a－2 016)(a＋1)＝0，可化为a－2 016＝0或a＋1＝0，解得a1＝2 016，a2＝－1，则a的值为2 016或－1.。
2021-2022学年人教版九年级寒假培优辅导(教案)第1讲一元二次方程的概念和解法
1.教学重点
-核心内容一：一元二次方程的定义及其标准形式。讲解时要强调a、b、c的取值范围，尤其是a≠0这一条件。
-举例：方程3x²-4x+1=0是一元二次方程，而方程2x+3=0不是。
-核心内容二：一元二次方程的四种基本解法。需详细讲解并举例每一种方法的应用。
-举例：直接开平方法适用于解形如x²=p（p≥0）的一元二次方程；配方法适用于解形如ax²+bx+c=0的一元二次方程；公式法适用于所有一元二次方程；因式分解法适用于可分解的一元二次方程。
-难点四：对解的性质的理解。学生对一元二次方程解的性质（如根与系数的关系）可能理解不够。
-采取措施：通过具体例题，讲解一元二次方程的解与系数之间的关系，如韦达定理，让学生通过计算验证，加深理解。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《一元二次方程的概念和解法》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要解决两个未知数之间关系的难题？”（如面积和边长的关系）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索一元二次方程的奥秘。
解法的教学上，我尝试了不同的教学方法，比如通过动画演示配方法的过程，让学生们更直Байду номын сангаас地理解这一方法。但从学生的反馈来看，配方法仍然是他们觉得比较难以掌握的部分。我考虑在下一节课中，增加一些配方法的变式练习，让学生们有更多的机会去实践和巩固。
实践活动和小组讨论的环节，我发现学生们参与度很高，能够积极思考并提出自己的观点。但在讨论的过程中，我也注意到有些学生还是比较依赖同伴，自己的独立思考能力有待提高。因此，我打算在接下来的课程中，更多地设置一些个人思考的任务，鼓励学生们独立解决问题。
一元二次方程培优讲义
一元二次方程培优讲义1、一元二次方程的一般式：20 (0)++=≠，a为二次项系数，bax bx c a为一次项系数，c为常数项。
2、一元二次方程的解法（1）直接开平方法（也可以使用因式分解法）①2(0)=±=≥解为：x ax a a②2+=±+=≥解为：x a b()(0)x a b b③2+=±+=≥解为：ax b c()(0)ax b c c④22()()()+=+≠解为：()ax b cx d a c+=±+ax b cx d（2）因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法如：20(,0)()0+=≠⇔+=此类方程适合用提供因此，而ax bx a b x ax b且其中一个根为0290(3)(3)0-=⇔-=x x x xx x x-=⇔+-=230(3)0---=⇔--=3(21)5(21)0(35)(21)0x x x x x注意：提取整个因式的方法非常常见，解题的过程中一定要认真观察。
22x x x-+=⇔-=41290(23)0694(3)4x x x-+=⇔-=2224120(6)(2)0x x x x+-=⇔-+=25120(23)(4)0 x x x x--=⇔-+=2十字相乘法非常实用，注意在解题的过程中多考虑。
（3）配方法①二次项的系数为“1”的时候：直接将一次项的系数除于2进行配方，如下所示：2220()()022P P x Px q x q ++=⇔+-+= 示例：22233310()()1022x x x -+=⇔--+=②二次项的系数不为“1”的时候：先提取二次项的系数，之后的方法同上：22220 (0)()0 ()()022b b b ax bx c a a x x c a x a c a a a++=≠++=⇒-⇒++=g 222224()()2424b b b b ac a x c x a a a a-⇒+=-⇒+= 示例： 22221111210(4)10(2)2102222x x x x x --=⇔--=⇔--⨯-=备注：实际在解方程的过程中，一般也只是针对1a =±且b 为偶数时，才使用配方法，否则可以考虑使用公式法来更加简单。
数学九年级培优第1讲《一元二次方程及其解法》
第21章 一元二次方程 第1讲 一元二次方程及其解法知识导航一元二次方程的基本概念； 一元二次方程的基本解法； 可化为一元二次方程的解法.【板块一】一元二次方程的概念方法技巧判断一个方程是不是一元二次方程，先化成一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0),注意三点：含一个未知数，未知数的最高次数是2，并且为整式方程. 题型一 一元二次方程的概念 【例1】m 为何值时，方程27(3)(3)40m m xm x --+++=，⑴是一元一次方程；⑵是一元二次方程.【解析】⑴m ＝3，，±； ⑵m ＝－3题型二 一元二次方程的一般形式【例2】将下列关于x 的方程化为一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项.①2(21)(34)x x x +=+；②)3x x x =- 【解析】：①210x +=；二次项系数1、一次项系数0和常数项1. ②2150x x +-=；二次项系数1、一次项系数1和常数项－15.题型三 一元二次方程的根【例3】（襄阳中考）若正数a 是一元二次方程250x x m -+=的一个根，－a 是一元二次方程250x x m +-=的一个根，则a 的值是 .【解析】∵a 是一元二次方程250x x m -+=的一个根，－a 是一元二次方程250x x m +-=的一个根，∴250a a m -+=①，250a a m --=②，①＋②，得()2250a a -=，∴a 1＝5，a 2＝0， 又∵a ＞0，∴a ＝5，故答案为5.【例4】已知a 是方程2310x x -+=的根，求代数式543226213a a a a a-+--的值．【解析】∵a 是方程2310x x -+=的根，那么2310a a -+=，∴231a a -=，213a a +=， 原式＝()()233223213133a a a a a aaa-+-+-==--. 【点评】利用方程根的定义，运用整体思想降次，分子可以转化为()()233223213a a a a a a -+-+=-．针对练习11．若方程||(2)310m m x mx +++=是关于x 的一元二次方程，则（ B ）A ．m ＝ ±2B ．m ＝ 2C ．m ＝ －2D ． m ≠±22.化方程()2413x +=+一般式为：______2(830x x +-+=______；其二次项系数是 1 ， 一次项系数是___8-，常数项是 3 .3.已知关于x 的一元二次方程的一个根是0，则a 的值为（ A ）A BCD4.已知关于x 的一元二次方程20x ax b ++=有一个非零实数根－b ，则a －b 的值为（ A ）A ． 1B ． －1C ． 0D ． －25.已知m 是方程2310x x +-=的一个根，求32423m m m +++的值．【解析】∵m 是方程2310x x +-=的一个根，所以231m m +=，213m m =-．又3m ＝ 2m m g ， ∴原式＝()221342333134m m m m m m -+++=++=+=.6.已知a ，b 是方程240x x +-=的两个实数根，求32510a b -+的值．【解析】∵a ，b 是方程240x x +-=的两个实数根，∴1a b +=-，24a a =-，24b b =-， ∴32510a b -+＝()()()4541051419a a b a b ---+=+-=-.【板块二】一元二次方程的基本解法方法技巧一元二次方程的基本解法有直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.因式分解法解一元二次方程除了提公因式法，公式法(完全平方公式，平方差公式），还有十字相乘法. 题型一 十字相乘法（二次项系数为1） 【例1】用因式分解法解方程：（1） x 2＋6x －7＝0； （2）x 2＋7x ＋10＝0；（3）y 2－2y －8＝0； 【解析】 （1）(x ＋7)( x －1)＝0，x 1＝－7，x 2＝1． （2） x 1＝－2，x 2＝－5； （3）y 1＝－2，y 2＝4；题型二 十字相乘法（二次项系数不为1）【例2】解方程：（1）6x 2－23x ＋10＝0；（2）－3x 2＋22x －24＝0；（3）4x 2－31x －45＝0. 【解析】（1）(2x －1)(3x －10)＝0，2x －1＝0或3x －10＝0，解得x 1＝12，x 2＝103． （2）(x －6)(3x －4)＝0，x 1＝6，x 2＝43． （3）(x －9)(4x ＋5)＝0，x 1＝9，x 2＝－54；【点评】因式分解法解一元二次方程的步骤可简记为：“右化零，左分解，两因式，各求解”.题型三 灵活运用因式分解法解方程【例3】解方程：（1）x 2＋x ＝3 （2） (2x 2－1)x －6＝0．【解析】（1）移项得，x 2＋x 1)＝0，十字相乘法得，(x x 1)＝0．解得，x 1x 2＝1；（2）方程两边同乘以2x 2－2(1x －6(2＝0，十字相乘法分解得，))131x x ⎡⎤⎡⎤+-⎣⎦⎣⎦＝0．所以x 1＝1，x 2＝3．题型四 绝对值方程【例4】 阅读下面的例题：解方程x 2－|x |－2＝0解：(1)当x ≥0时，原方程化为x 2－ x －2＝0，解得：x 1＝2，x 2＝－ 1(不合题意，舍去). (2)当x ＜0时，原方程化为x 2＋x －2＝0，解得：x 1＝1，(不合题意，舍去)，x 2＝－2， ∴原方程的根是x 1＝2，x 2＝－2. 请参照例题解方程x 2－|x －1|－1＝0【解析】当x ≥1时，同x 2－x ＝0，x 1＝0(舍去)，x 2＝1当x ＜1时，则x 2＋x －2＝0，x 1＝1(舍去)，x 2＝－2， ∴x 1＝1，x 2＝－2.题型五 含参数的一元二次方程【例5】（17年武汉中考题改编）已知关于x 的一元二次方程ax 2＋(a 2－1)x －a ＝0的的一个根为m ．若2＜m ＜3，求a 的取值范围.【解析】分解得，（ax －1)(x ＋a )＝0，解得x ＝－a 或1x a=. 当m ＝－a 时，－3＜a ＜－2； 当m ＝1a 时，1132a <<.【点评】解含参数的一元二次方程首先尝试因式分解法，若不能，就用公式法.针对练习21.给出一种运算：对于函数n y x =，规定1n y nx -'=.例如：若函数4y x =，则有34y x '=.已知函数3y x =，则方程12y '=的解是 12x =，22x =- . 2.用适当的方法解方程（1） (4)28x x x -=-； ⑵x 2－4x －3＝0； ⑶x 2＋5x ＋3＝0； ⑷12-x 2＋x ＋2＝0；（5）x 2－8x ＋15＝0； （6）3y 2＋10y －8＝0； （722+＝0． 解：（1） 解：x 1＝2＋2√2 x 2＝2−2√2（2）x 1＝2+x 2＝2；（3）x 1，x 2；（4）x 1＝1，x 2＝1- （5）x 1＝3，x 2＝5；（6）(y ＋4)(3y －2)＝0，y 1＝－4，y 2＝23；（7）x 1，x 23.解方程：（1）x 2－3x －4＝0； (2)x 2－6x －3x -＋3＝0．【解析】解法1：显然x ≠0．当x ＞0时，x 2－3x －4＝0，所以x 1＝4，x 2＝－1(舍去)．x ＜0时，x 2＋3x －4＝0，所以x 1＝－4，x 2＝1(舍去)．所以原方程的根为x ＝4，x ＝－4．（2）将原方程化为3x -2－3x -－6＝0，因式分解得 (3x -－3)(3x -＋2)＝0，所以3x -－3＝0，解得x 1＝0，x 2＝6．4.解下列关于x 的方程：（1）x 2－(k ＋2)x ＋2k ＝0； (2)－x 2－（2t ＋1）x －t 2－t ＋2＝0； 【解析】（1）x 1＝k ,x 2＝2； （2）122,1x t x t =--=-+5.（1）已知方程x 2－ax ＋(a －1)＝0的一根α，且3≤α＜4，则a 的取值范围是 ； （2）已知关于x 的方程x 2－(2m －1)x ＋m 2－m －2＝0的一根大于2，另一根小于1，求m 的取值范围. 【解析】（1）4≤a ＜5；（2）解得x ＝m ＋1或m －2，∵m ＋1＞m －2，∴m ＋1＞2且m －2＜1,∴1＜m ＜3.【板块三】可化为一元二次方程的解法方法技巧利用换元法，整体思想来解方程 题型一 某些特殊的高次方程 【例1】（1）解方程：()()222540x xx x +-++=；（2）已知实数a ，b 满足()222223()100a ba b +-+-=，试求22a b +的值.【解析】（1）设2y x x =+，则2540y y -+=，整理，得()()140y y --=，解得11y =，24y =.当21x x +=即210x x +-=时，解得：1,212x -±=；当24x x +=即240x x +-=时，解得：3,412x -±=. （2）设22x a b =+，则23100x x --=，整理，得()()520x x -+=， 解得15x =，22x =-（舍去），故225a b +=.【点评】利用换元法，可以将某些特殊的高次方程转化为一元二次方程.题型二 某些特殊的分式方程 【例2】已知实数x 满足2211x x x x +++＝0，求1x x+的值． 【解析】原方程化为211x x x x ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭－2＝0，令1x x +＝t ，则t 2＋t －2＝0，解得t 1＝－2，t 2＝1．当t 2＝1时，1x x +＝1，方程没有实数根，舍去．所以1x x+的值为－2． 【例3】解方程：； 【解析】设223,4x x y x x +=+-则原方程可化为11112312y y +=，解得1241,32y y ==， 可求x 1＝－1,x 2＝－4,3,4x =.121193482232222=+-++-++xx x x x x x x【点评】利用倒数型换元.【针对练习3】1.设a ，b 是一个直角三角形两条直角边的长，且()()1212222=+++b ab a ，则这个直角三角形的斜边长2．若，则的值为 ．【解析】 令， 则851y y +=+，解得，y 1＝1,y 2＝3，所以＝0或2. 3．解下列方程：（1）(x 2－3x )2－2(x 2－3x )－8＝0； (2)；（3）.【解析】（1）设x 2－3x ＝y ，则y 2－2y －8＝0，解得y 1＝－2，y 2＝4．由y ＝－2，求出x 值为2或1；由y＝4，求出x 值为4或－1． （2）x 1＝－6，x 2＝1 （3） x 1＝12，x 2＝2【板块四】配方法的应用方法技巧将一个式子或一个式子的某一部分通过改写化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种解题方法称为配方法.这种方法常常被用到式子的恒等变形中，其作用在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的利器，其实质在于改变式子的原有结构，是变形求解的有力手段之一．应用配方法解题的关键在于配凑成完全平方式，拆项与添项是常用的技巧. 常用公式有：（1）()2222+a ab b a b ??；（2）()2222+222a b c ab bc ac a b c ++++=++；（3）()()()2222221+[]2a b c ab bc ac a b b c c a +北????；（4）2224+24bac b ax bx c a x aa骣-琪+=++琪桫；（5）当0a >时，22,a a b =+=-.题型一 判定代数式的正负【例1】（1）对于任何实数x ，均有：2x 2＋4x ＋3＞0；（2）求证：不论x 为何值，代数式－4x 2＋8x －9的值总小于0； 【解析】(1)2x 2＋4x ＋3＝2(x ＋1)2＋1＞0； （2）－4x 2＋8x －9＝－4（x －1)2－5＜0.题型二 求代数式的最值【例2】已知实数x ，y 满足2330x x y ++-=，求x ＋y 的最大值.【解析】将233y x x =--+代入x ＋y ，得x ＋y ()222314x x x =--+=-++，∴x ＋y 的最大值为4.0515285222=-+-+-x x x x 1522--x x y x x =-5221522--x x 120)4)(3)(2)(1(=++++x x x x 1)1(3)1(222=+-+x x x x【例3】设a ，b 为实数，求代数式225+5432410a b ab a b ---+的最小值.【解析】将原式配方为()()()222244258a b a b -+-+--，当a ＝4，b ＝2时，原式有最小值58-．题型三 求代数式的值【例4】已知1111,2,3201520152015a xb xc x =-=+=+，求222+a b c ab bc ac +---的值． 【解析】222+a b c ab bc ac +---＝()()()2221[]2a b b c c a -+-+-，由已知条件得a －b ＝－3，b －c ＝－1，c －a ＝4，代入上式，得出该式子的值为13.题型四 判定三角形的形状【例5】已知a ，b ，c 为△ABC 的三边长，若a 2＋b 2＋c 2＝ab ＋bc ＋ca ，试判断△ABC 的形状，并证明． 【解析】a 2＋b 2＋c 2＝ab ＋bc ＋ca ＝()()()2221[]2a b b c c a -+-+-＝0，故a ＝b ＝c ,所以△ABC 是等边三角形.题型五 证明两数的关系【例6】已知实数a ，b ，c 满足a ＝6－b ，29c ab ＝－，求证：a ＝b ．【解析】由条件知a ＋b ＝6，ab ＝2c ＋9，于是a ，b 是方程()22690x x c －＋＋＝的两根， 由a ，b 是实数，所以△≥0，即2364360c －－≥，2c ≤0，从而2c ＝0，△＝0，所以a ＝b ．针对练习41．一元二次方程210x px -+=配方后为2()15x q -=，那么一元二次方程210x px --=配方为（ D ）A ．2(4)17x -=B ．2(4)15x +=C ．2(4)17x +=D ．2(4)17x -=或2(4)17x +=2．已知221078M a b a =+-+，2251N a b a =+++，则M N -的值（ B ）A .一定是负数B .一定是正数C .一定不是负数D . 一定不是正数3．已知实数m ，n 21m n -=，则代数式22241m n m ++-的最小值等于___4____． 4．设0m n >>，224m n mn +=，求22m n mn-的值．解：由224m n mn +=配方，得2()6m n mn +=，2()2m n mn -=，因为0m n >>，所以m n +=，m n -，则22()()m n m n m n mn mn -+-=5．若实数a ，b 满足2310b b a -++=，求满足条件的a 的最大整数值． 解：∵2235531244a b b b ⎛⎫=-+-=--+ ⎪⎝⎭≤，∴a 的最大整数值为1．6．（1）如果22810410x y x y +-++=成立，求2018()x y +的值； （2）已知2210x y xy x y +++-+=，求22x y -的值．解：（1）配方得22(4)(5)0x y -++=，∴40x -=，50y +=，∴4x =，5y =-，所以2018()1x y +=； （2）由2210x y xy x y +++-+=得2221()(1)(1)02x y x y ⎡⎤++++-=⎣⎦，再由非负性可得1x =-，1y =，∴220x y -=．7.已知a ，b ，c 是整数，且24a b -=，210ab c +-=，求a b c ++的值. 解：将a ＝2b ＋4代入ab ＋c 2一1＝0，配方得2（b ＋1）2＋c 2＝3.∵a ，b ，c 是整数，∴2(1)1b +=且21c =．∴0b =或2-，1c =±而a b c ++的值为3，3-，5，1-．8.若实数x ，y ，z 满足4x y =-，24z xy =-，求证：x y =． 解：仿例6.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一讲 一元二次方程的定义及解法培优竞赛辅导【基础知识回顾】知识点一、一元二次方程的定义：1、一元二次方程：含有个未知数，并且未知数最高次数是2的方程2、一元二次方程的一般形式：,其中二次项是,一次项是，是常数项。
3 、一元一次方程的解:常用的两个结论是：①a ＋b ＋c=0,则方程ax 2＋bx ＋c=0﹙a ≠0﹚必有一根为1；②a －b ＋c=0,则方程ax 2＋bx ＋c=0﹙a ≠0﹚必有一根为－1;若c=0呢?题型一：一元二次方程的概念例1.下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A 02=++c bx axB 02112=-+x xC 1222+=+x x xD ()()12132+=+x x 变:（1)当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。
(2)方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为。
题型二：一元二次方程的解例2.关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为变:（1）已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为(2)若n ﹙n ≠0﹚是关于x 的方程x 2＋mx ＋2n ＝0的根，则m ＋n 的值。
(3)设设a 是方程x 2－2005x ＋1＝0的一个根，则a 2－2004a ＋＝ (4)已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为。
知识点二、一元二次方程的常用解法：1、直接开平方法：如果2ax b =( )，则2x = ，1x = ，2x = 。
2、因式分解法：一元二次方程化为一般形式后，如果左边能分解因式，即产生0A B = 的形式，则可将原方程化为两个方程，即、从而得方程的两根.3、配方法：解法步骤：①化二次项系数为即方程两边都二次项系数；②移项：把项移到方程的边；③配方：方程两边都加上把左边配成完全平方的形式；④解方程：若方程右边是非负数，则可用直接开平方法解方程。
4、公式法：如果方程()200ax bx c a ++=≠满足，则方程的求根公式为 例3用适当的方法解下列方程：⑴ 4 22)32()2(+=-x x ⑵x 2－2x －1 ＝0 ⑶ 2x 2－7x ＋6＝0 120052+a变式训练：解方程 1.(x －1)2－4(x －1)－21＝0． 2. (2x －1)(x －1)＝1．※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。
例4.试用配方法说明322+-x x 的值恒大于0，47102-+-x x 的值恒小于0。
变:（1）不论x 、y 为什么实数，代数式x 2+y 2+2x-4y+7的值（ ）A ．总不小于2B ．总不小于7C ．可为任何实数D ．可能为负数（2）已知，x、y y x y x 0136422=+-++为实数，则 y x 的值为_____。
（3）已知y x ,实数满足0332=-++y x x ，则y x +的最大值为_____。
（4）已知c b a 、、，满足722=+b a ，122-=-c b ， 1762-=-a c ，则c b a ++的值等于_____。
基础巩固一、填空题1、 设方程22(1)(1)30m x m x --++=，当m 时，是一元一次方程；当m 时，是一元二次方程。
2、已知,αβ是一元二次2230x x --=的解，则222221()()αβαβ-+--=_______;3、 已知n 是正整数，方程22(1)0x n x n ++-=，当2n =时，两根为2a 、2b ；当3n =时，两根为3a 、3b …；当100n =时，两根为100a 、100b ，则代数式2233100100111(1)(1)(1)(1)(1)(1)a b a b a b +++------ 的值等于。
4、 若1x =是方程20ax bx c ++=的一个根，则a b c ++=。
5、 若方程22(1)230m x x m m -+++-=有一个根为0，则m =。
6、已知x =，则2421x x x ++的值是。
7、如果对于任意两个实数a 、b ，定义*2a b a b =+，解方程：2*(2)2*10x x +=，可得x =。
8、如果关于x 的方程210px x ++=的一个实数根的倒数恰是它本身，那么p 的值是 （）A ．1 B. ±1 C. 2 D. ±29、配方法解方程3x 2－6x ＋1＝0，则方程可变形为﹙﹚A. ﹙x －3﹚2＝ B .3﹙x －1﹚2＝ C . ﹙3x －1﹚2＝1 D.﹙x －1﹚2＝10、下列方程中，无论a 取何值，总是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ．20bx c ax ++= B. 221x x ax +=-C ．2221(1)0()a x a x +--= D. 213a x x =-+二、解答题11.解关于x 的方程2(1)2(2)0.m x m x m --++=12.若方程210x bx ++=与方程20x x b --=至少有一个相同的实数根，求实数b 的值。
313132培优竞赛例题精讲例1：（培优竞赛）解方程：x 2－|x |－2＝0变: 解方程2(21)32120.x x ---+=解方程22140.x x ---=例2：已知首项系数不相等的两个关于x 的二次方程222(1)(2)(2)0a x a x a a --+++=222(1)(2)(2)0b x b x b b --+++=（,a b 是正整数）有一个公共根，求2bb aa b a b --++的值。
培优竞赛同步检测1. 若(m －1)x 2＋x m ＝4是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。
．2. 解方程210x x --=，则x =。
3. 已知(x 2＋y 2)(x 2－1＋y 2)－12＝0．求x 2＋y 2的值。
4. 已知13x x+=，则432316317x x x x +-+-=。
5. 已知b 、c 为方程20x bx c ++=的两个根，且0,0c b ≠≠，则b =，c =。
6. 是方程20x ax b ++=的一个根，其中a 、b 为有理数，则ab =。
7. 若m 是方程20(0)ax bx a a ++=≠的一个根，则这个方程的另一个根是。
8.已知α、β是方程2240x x --=的两个实数根，则386αβ++的值为。
9.若关于x 的一元二次方程﹙m －1﹚x 2＋5x ＋m 2－3m ＋2＝0的常数项为0，则m 的值为﹙﹚A . 1B . 2C . 1或2 D. 010.已知方程x 2＋bx ＋a ＝0有一根是－a ﹙a ≠0﹚,则下列代数式的值恒为常数的是﹙﹚A . abB .C . a ＋b D.a －b 11.已知方程2191500x x --=的一个正根为a ，求+++12. 阅读理解题．阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程化为①解得，当时，，，当时，，， 原方程的解为，，解答问题：（1）填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用法达到了降次的目的，体现了 的数学思想． （2）解方程．培优竞赛学力测试1、﹙培优·广东竞赛﹚已知x 2＋y 2－2x ＋4y ＋5=0,则2x ＋y 的值是﹙﹚ba 222(1)5(1)40x x ---+=21x -21x y -=222(1)x y -=2540y y -+=11y =24y =1y =211x -=22x ∴=x =∴4y =214x -=25x =∴x =∴∴1x =2x =3x =4x =4260x x --=A . 0B . 2C . 4 D. 52、﹙全国初中数学竞赛﹚已知关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c=0,bx 2＋cx ＋a=0,cx 2＋ax ＋b=0恰有一个公共实数根，则＋＋的值﹙﹚ A . 0 B . 1 C . 2 D. 33、﹙培优·广东竞赛﹚若关于x 的方程x 2＋px ＋q=0与x 2＋qx ＋p=0只有一个公共根，则﹙p ＋q ﹚1999=.4、﹙培优﹚已知设a,b 是整数，方程x 2＋ax ＋b=0有一个根是，则a ＋b=.5、﹙培优﹚已知关于x 的方程22(1)2(1)10a x a x --++=恰有一个实根，则a 应取值为。
6、﹙培优·江苏竞赛﹚已知－|a|=1，那么代数式＋|a|的值是﹙﹚ A . B . － C . － D.7、﹙五羊杯竞赛题﹚方程x |x|－3|x|＋2＝0的实根的个数为﹙﹚A . 1个B . 2个C . 3个 D. 4个8、﹙全国初中数学竞赛﹚已知a,b 都是负实数，且常数项＋－1a b -＝0，那么的值﹙﹚ A . B . C . D.9、方程﹙x 2＋x －1﹚x+3＝1的所有整数解的个数是﹙﹚A . 2B . 3C . 4 D. 5解答题10、﹙第九届邀请赛试题﹚已知1ab ≠，且2578764315070;a a ++= 2778764315050,b b ++=求a b的值。
bc a 2ac b 2abc 2347-a 1a1252555a 1b 1ab 251-251+251+-251--。