6第六章 鸽笼原理和Ramsey定理

例 随意地给正十边形的10个顶点编上号码1, 2, ,10， 求证：必有一个顶点，该顶点及与之相邻的两个顶点 的号码之和不小于17.
§2 Ramsey定理
完全图的边着色
定义 用r ( r 2)种颜色去图K n的边，每条边涂一种颜色， 所得的每条边都涂了颜色的K n 称为r 着色K n .
j 1
i
Ai { s | s i mod n, 0 i n 1}
例 设数列a1 , a2 , , an1各项之和为2n，且每项均是正整数， 求证：必有正整数k 和l (1 k l n 1)，使得 ai n.
i k 1 l
令 bk ai ( k 1, 2, , n 1),
定理 2 着色K 6必含有一个单色三角形
推论 任意6个人中必有3个人，他们彼此握过手或者 彼此没有握过手.
推论 当n 6时， 着色K n中必有一个单色三角形. 2
Ramsey定理
R am sey定理 对任意给定的两个正整数a和b，如果存在最小的 正整数r (a , b), 使得当n r (a , b)时，对K n 任意进行 2- 着色，则必有单色的K a 或K b，称r (a , b )为R am sey数.
第六章
鸽笼原理和Ramsey定理
§1 鸽笼定理 Pigeonhole principle
鸽笼原理的简单形式
定理 设A是有限集，Ai A( i 1, 2, , n), 且 Ai A,
i 1 n
则 | A | | Ai |.
i 1
n
定理（鸽笼原理的简单形式） 设 A是有限集，A | n 1, Ai A( i 1, 2, , n), | 且 Ai A, 则必有正整数k (1 k n , ）使得 | Ak | 2.
i 1
k
Ai {b | b i mod n, 0 i n 1}
例 某棋手参加一次为期11周共77天的集训，已知 他每天至少下一盘棋，而每周至多下12盘，证明在 集训期间必有连续的若干天，在这几天里该棋手共 下21盘棋。
鸽笼原理的一般形式
定理（鸽笼原理的一般形式） 设 A是m ( m 2)元集，Ai A( i 1, 2, , n)且 Ai A，
i 1 n
m 1 则必有正整数k (1 k n)，使得 | Ak | 1. n
例 证明 : 从任意给出的5个整数中必能选出3个数， 他们的和能被3整除.
Ai {a | a i mod 3, 0 i 2}
例 证明：任一个项数为mn 1的实数列必有一个 项数为m 1的递增子数列，或者有一个项数为 n 1的递减子数列.
i 1 n
推论 设A是有限集，A | ( m 1)n 1, Ai A( i 1, 2, , n) | 且 Ai A，则必有正整数k (1 k n)，A | m . |
i 1 n
推论 设q1 , q2 , , qn 都是正整数，如果 q1 q2 qn ( m 1)n 1, 则必有正整数k (1 k n), 使得 | Ak | m , 即qk m .
定理（鸽笼原理的加强形式） 设A是有限集，q1 , q2 , , qn 都是正整数，如果 | A | q1 q2 qn n 1, Ai A( i 1, 2, , n) 且 Ai A, 则必有正整数k (1 k n), 使得 | Ak | qk .
i 1 n
例 证明：如果在一个边长为1的等边三角形内任 取5个点，则必有2个点，他们的距离不大于1/2.
1 2 3 4
例 证明：在1, 2, , 2n中任取n 1个不同的数，则n 1 个数中必有两个数，其中一个数是另一个数的倍数 .
s 2 , 其中 非负， 是奇数，且 2n 1
例 分别将大小两个圆盘分成200个全等的扇形，任选 100个大扇形，将其余100个大扇形涂成蓝色，把200个 小扇形中的每一个任意地涂成红色和蓝色，然பைடு நூலகம்将小圆 盘放在大圆盘上面，使得两个圆盘的中心重合，证明： 必可适当地转动小圆盘，使得至少有100个小扇形都 落在同样颜色的大扇形内.
鸽笼原理的加强形式
部分Ramsey数
R(a,b)
2
3
4
5
6
7
8
9
2 3 4 5 6 7 8 9
2 3 4 5 6 7 8 9
3 6 9 14 18 23 28 36
4 9 18 25
5 14 25
6 18
7 23
8 28
9 36
作业
• 1，2，5，9，14，18
Ai { s | s A, s (2i 1)2 , 是非负整数}
例 设a1 , a2 , , an 是n个正整数，求证：必存在整数 k 和（ k l n)，使得ak 1 ak 2 al 能被n整除. l0
令 si a j ( i 1, 2, , n),