大学物理(上册)角动量 角动量守恒定律(3)
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《大学物理AI》作业 No.03 角动量、角动量守恒(参考解答)
答：（a）正确。与轴平行的力，对该轴都不产生力矩。（b）正确。比如当两个力垂直于轴，且力的 作用线通过轴时，每个力对该轴的力矩都为零；当两个力作用线不通过该轴时，这两个力的力矩之和 可以不为零。（c）错误。大小相等、方向相反的两个力作用于刚体上不同位置处，如下图所示，两个 力合力为零，但对 O 点的合力矩不为零。（d）错误，如下图所示情况，两个力对 O 点的合力矩为零， 但合力不为零。
为为零零。；（（bc））不不正正确确； ；角当动参量考还点与不参在考运点动的直选线择上有时关，，质只点要相参对考于点参不考选点在的运位动矢直r 是线在上变，化角动的量，就因可此能角不动
量
L
r
mv
也是会变化的；（d）不正确；作匀速率圆周运动的物体，其合外力指向圆心，属于有心
力，以圆心为参考点，质点的角动量守恒，角动量大小和方向都不改变。
端的水平轴在竖直平面内自由摆动，现将棒由水平位置静止释放，求：
（1）细棒和小球绕 A 端的水平轴的转动惯量，
A
B
（2）当下摆至 角时，细棒的角速度。
m
解：（1） J
J1
J2
ml 2
1 ml 2 3
4 ml 2 3
（2）根据转动定理： M
J
d dt
J
d d
d dt
J
d d
1、理解质点、质点系、定轴转动刚体的角动量的定义及其物理意义； 2、理解转动惯量、力矩的概念，会进行相关计算； 3、熟练掌握刚体定轴转动定律，会计算涉及转动的力学问题； 4、理解角冲量（冲量矩）概念，掌握质点、质点系、定轴转动刚体的角动量定理，熟练进行有关计算； 5、掌握角动量守恒的条件，熟练应用角动量守恒定律求解有关问题。
为为零零。；（（bc））不不正正确确； ；角当动参量考还点与不参在考运点动的直选线择上有时关，，质只点要相参对考于点参不考选点在的运位动矢直r 是线在上变，化角动的量，就因可此能角不动
量
L
r
mv
也是会变化的；（d）不正确；作匀速率圆周运动的物体，其合外力指向圆心，属于有心
力，以圆心为参考点，质点的角动量守恒，角动量大小和方向都不改变。
端的水平轴在竖直平面内自由摆动，现将棒由水平位置静止释放，求：
（1）细棒和小球绕 A 端的水平轴的转动惯量，
A
B
（2）当下摆至 角时，细棒的角速度。
m
解：（1） J
J1
J2
ml 2
1 ml 2 3
4 ml 2 3
（2）根据转动定理： M
J
d dt
J
d d
d dt
J
d d
1、理解质点、质点系、定轴转动刚体的角动量的定义及其物理意义； 2、理解转动惯量、力矩的概念，会进行相关计算； 3、熟练掌握刚体定轴转动定律，会计算涉及转动的力学问题； 4、理解角冲量（冲量矩）概念，掌握质点、质点系、定轴转动刚体的角动量定理，熟练进行有关计算； 5、掌握角动量守恒的条件，熟练应用角动量守恒定律求解有关问题。
力学3动量角动量
0t Mdt Lt L0
（（注21意））或:是ML普遍rr规FP律0,宏恒观矢Fr、量//微F—0，观—均r角适动0用量。守力恒F心定r律F r
（3）有心力：运动质点所受的力总是通过一个固定点。
质点对力心的角动量守恒。 r / / F
（4）质点对某点的角动量守恒, 对另一点不一定守恒.
（5）角动量守恒, 不见得动量守恒. 如:匀速圆周运动.
今用手提起链的一端使之以匀速v 铅直上升。
求: 从一端离地到全链离地，手的拉力的冲量？
F
v
y
பைடு நூலகம்
解: t时刻铁链的动量为：
P0 yv
t+dt时刻铁链的动量为：
P y dyv
l
动量的变化为：
gy
dP P P0 vdy
dt时间内合外力的冲量为：
根据动量定理：
dI F gydt
dI dP F gydt vdy
u
u
v
dv
m
dm u
dt时间内系统动量增量 dP (m dm)(v dv) mv mdv dmv
(
dm)v
'
mv
dmdv dmv
'
地面
mv
m dv vdm v'dm
由动量定理 F合外dt dP F合外
F合 外
d(mv )
dt
v'
dm dt
dP dt
m
dv
dm
P mv dv ?
v gL
P m + dmv dv
dt时间内动量的变化:
dP P P0
m + dmv dv mv
mdv + vdm dmv
No.03角动量、角动量守恒
dL , 如果M L，即是dL L, 只要一个物理量的增量垂直于它本身， 解：根据 M dt
那么这个增量就只改变它的方向，不改变它的大小。 二、选择题: 1．有两个半径相同、质量相等的细圆环 A 和 B。A 环的质量分布均匀，B 环的质量分布 不均匀。它们对通过环心并与环面垂直的轴的转动惯量分别为 J A 和 J B ，则 [ C ] (A) J A > J B (C) J A = J B
©西南交大物理系_2015_02
《大学物理 AI》作业
No.03 角动量 角动量守恒定律
班级 ________ 学号 ________ 姓名 _________ 成绩 _______
一、判断题： （用“T”和“F”表示） [ F ] 1．如果一个刚体所受合外力为零，其合力矩一定为零。 解：合力为零，合力矩不一定为零。反之亦然。 [ F
质点所受对原点的力矩为
6. 一质量为 m 的质点沿着一条空间曲线运动，该曲线在直角坐标系下的定义式为
M r F r ma a cos ti b sin tj ma 2 cos ti mb 2 sin tj
F
5. 有两个力作用在一个有固定转轴的刚体上： (1) 这两个力都平行于轴作用时，它们对轴的合力矩一定是零； (2) 这两个力都垂直于轴作用时，它们对轴的合力矩可能是零； (3) 当这两个力的合力为零时，它们对轴的合力矩也一定是零； (4) 当这两个力对轴的合力矩为零时，它们的合力也一定是零。 在上述说法中： [ B ] (A) 只有(1)、 （3）是正确的。 (B) (1)、(2)正确， (C) (1)、(2)、(3)、(4)都正确。 (D) (1)、(2)、(3)都正确，(4)错误。 解：(1) 对转轴上任一点，力矩为 M r F 。若 F 与轴平行，则 M 一定与轴垂直，即 对轴的力矩 M z 0 ，两个力的合力矩一定为零。正确。 (2) 两个力都垂直于轴时，对轴上任一点的力矩都平行于轴，若二力矩大小相等，方 向相反，则合力矩为零。正确。 (3) 两个力的合力为零，如果是一对力偶，则对轴的合力矩不一定为零。 (4) 两个力对轴的力矩只要大小相等，符号相反，合力矩就为零，但两个力不一定大 小相等，方向相反，即合力不一定为零。
大学物理-角动量定理和角动量守恒定律
当系统所受外力矩为零时，系统内各物体角动量 之和保持不变。
系统内物体之间的相互作用力矩不会改变系统的 总角动量。
角动量守恒的应用举例
天体运动
行星绕太阳公转、卫星绕地球运 行等天体运动中，角动量守恒定
律是重要的理论基础。
陀螺仪
陀螺仪利用角动量守恒原理，通过 高速旋转来保持方向稳定，广泛应 用于导航、制导和控制系统。
机械系统
在机械系统中，如旋转机械、齿轮 传动等，角动量守恒定律用于分析 系统的动态平衡和稳定性。
04 角动量定理与守恒定律的 实际意义
在天文学中的应用
描述行星和卫星的运动
角动量定理和守恒定律在天文学中用于描述行星和卫星围绕中心天体的运动。 这些定律帮助科学家理解天体的旋转和轨道运动，以及它们之间的相互作用。
预测天文现象
通过应用角动量定理和守恒定律，科学家可以预测天文现象，如行星的轨道变 化、卫星的旋转等。这些预测有助于更好地理解宇宙的演化。
在航天工程中的应用
航天器姿态控制
角动量定理和守恒定律在航天工程中用于控制航天器的姿态 。通过合理地布置航天器上的动量轮，可以调整航天器的角 动量，实现姿态的稳定和控制。
L = m × v × r，其中L是 角动量，m是质量，v是 速度，r是转动半径。
角动量单位
在国际单位制中，角动量 的单位是千克·米²/秒 (kg·m²/s)。
角动量定理表述
角动量定理
01
对于一个封闭系统，其总角动量保持不变，即系统内力的力矩
之和为零。
表述形式
02
dL/dt = ΣM = 0，其中dL/dt表示角动量的时间变化率，ΣM表
角动量守恒的应用
角动量守恒定律在许多物理现 象中都有应用，如行星运动、 陀螺仪等。
系统内物体之间的相互作用力矩不会改变系统的 总角动量。
角动量守恒的应用举例
天体运动
行星绕太阳公转、卫星绕地球运 行等天体运动中，角动量守恒定
律是重要的理论基础。
陀螺仪
陀螺仪利用角动量守恒原理，通过 高速旋转来保持方向稳定，广泛应 用于导航、制导和控制系统。
机械系统
在机械系统中，如旋转机械、齿轮 传动等，角动量守恒定律用于分析 系统的动态平衡和稳定性。
04 角动量定理与守恒定律的 实际意义
在天文学中的应用
描述行星和卫星的运动
角动量定理和守恒定律在天文学中用于描述行星和卫星围绕中心天体的运动。 这些定律帮助科学家理解天体的旋转和轨道运动，以及它们之间的相互作用。
预测天文现象
通过应用角动量定理和守恒定律，科学家可以预测天文现象，如行星的轨道变 化、卫星的旋转等。这些预测有助于更好地理解宇宙的演化。
在航天工程中的应用
航天器姿态控制
角动量定理和守恒定律在航天工程中用于控制航天器的姿态 。通过合理地布置航天器上的动量轮，可以调整航天器的角 动量，实现姿态的稳定和控制。
L = m × v × r，其中L是 角动量，m是质量，v是 速度，r是转动半径。
角动量单位
在国际单位制中，角动量 的单位是千克·米²/秒 (kg·m²/s)。
角动量定理表述
角动量定理
01
对于一个封闭系统，其总角动量保持不变，即系统内力的力矩
之和为零。
表述形式
02
dL/dt = ΣM = 0，其中dL/dt表示角动量的时间变化率，ΣM表
角动量守恒的应用
角动量守恒定律在许多物理现 象中都有应用，如行星运动、 陀螺仪等。
大学物理3_3 角动量 角动量守恒定律
将
R 、 h1 、h2 和 v1 各值代入，得
2 6.13公里/ 秒
3 – 3 角动量 角动量守恒定律 第三章 刚体的转动 例3-8 两个转动惯量分别为 J1 和 J2 的圆盘 A和 B. A 是机器上的飞轮, B 是用以改变飞轮转速的离合器 圆盘. 开始时, 他们分别以角速度ω 1 和ω 2 绕水平轴 转动. 然后,两圆盘在沿水平轴方向力的作用下.啮合 为一体, 其角速度为 ω, 求 齿轮啮合后两圆盘的角速度. 解: 系统角动量守恒
( L mR )
2
得
LdL m gR cosd
3 – 3 角动量 角动量守恒定律
第三章 刚体的转动
LdL m gR cosd
2 3
由题设条件积分上式
L
0
LdL m gR
2
32
3
0
cosd
12
L mR (2 g sin )
L mR
2
2g 12 ( sin ) R
3 – 3 角动量 角动量守恒定律
第三章 刚体的转动
力的时间累积效应 力矩的时间累积效应 角动量定理.
一
冲量、动量、动量定理. 冲量矩、角动量、
刚体定轴转动运动状态的描述 L J Ek J 2 2 0, p 0 0, p 0
质点的角动量定理和角动量守恒定律 质点运动状态的描述 p mv Ek mv 2 2
2
航天器调姿
1
3 – 3 角动量 角动量守恒定律 第三章 刚体的转动 例3-6 如图所示，有一质量为 m1 、长度为 l 的均质细 棒，原先静止地平放在水平桌面上，它可绕通过其端点O 且与桌面垂直的固定轴转动，另有一质量为 m2 的水平运动 的小滑块，从棒的侧面沿垂直于棒的方向与棒的另一端A 相碰撞，并被棒反向弹回，设碰撞时间极短。已知小滑块 碰撞前、后的速率分别为 和 u ，桌面与细棒的滑动摩 擦系数为 。求：（1）从碰撞到细棒停止运动所需的时 间；（2）从碰撞到细棒停止运动，细棒转过的圈数。
3 角动量守恒定律(收藏)
dt t 0 t 2 t 0 t
2 m
2m
3.3 刚体的运动
3.3.1 刚体
刚体——是受力时不改变形状和体积的物体， 是理想模型。
特点
(1) 是一个质点组（刚体可以看成由许多质点 组成，每一个质点叫做刚体的一个质元）
(2) 质点组内任意两点间的距离保持不变.
3.3 刚体的运动 3.3.2 平动和转动
dm绕给定轴的转动惯量为
or
m
R 2
dr
dJr2dm
积分得
dm 2rdr
JR r2 d m R r2 2rd 1 rR 4 1 m 2R
0
0
2
2
3.4 刚体的角动量 转动定律 转动惯量
六、转动定律的应用
[例题] 一个质量为M、半径为R的定滑轮（均匀圆盘）上面绕有细绳。绳的一 端固定在滑轮上，另一端系一质量为m的物体。忽略轴处摩擦，求物体m下滑 的加速度a和滑轮转动的角加速度β。
点的联动问题。 4、掌握角动量守恒定律及其适用条件，并能用来分析、计算有关问题。
3.1 质点的角动量 力矩
3.1.1 质点的角动量 一个质量为m的质点以速度 v 运动，其动量为 p ，若其相对于定点O的位置 矢量为r，则其角动量定义为：
Lrp 角动量是矢量，其大小为： L
Lrm vsin 式中 为 r 与 p 的夹角；
注：与牛顿第二定律地位相当
3.4 刚体的角动量 转动定律 转动惯量
三、转动惯量J
1、质点刚体：
J mr2
J的单位：kgm2
2、离散刚体：
n
J miri2
量纲: ML2
i 1
3、质量连续分布的刚体：
J r2dm V
3-2 刚体定轴转动的角动量 角动量定理 角动量守恒定律
第三章 刚体与流体
t2 t1
M
dt
J
J11
3 – 2 刚体定轴转动的角动量 角动量定理 角动量守恒定律
二、刚体定轴转动的角动量守恒定律
t2 t1
M
dt
J2
J1
若M 0 , 则J 常量
如果刚体所受合外力矩等于零，或者不受外力矩的 作用，则刚体的角动量守恒．此即角动量守恒定律．
茹科夫斯基转椅
第三章 刚体与流体
3 – 2 刚体定轴转动的角动量 角动量定理 角动量守恒定律
第三章 刚体与流体
3 – 2 刚体定轴转动的角动量 角动量定理 角动量守恒定律
例4 一根长度为L=0.60m的均匀棒，绕其端点O转
动时的转动惯量为J=0.12kgm2．当棒摆到竖直位置
时，其角速度为0=2.4rad/s．此时棒的下端和一质量
第三章 刚体与流体
3 – 2 刚体定轴转动的角动量 角动量定理 角动量守恒定律
M d L d(J) t2 M d t 2d(J)
dt
dt
t1
1
t2 t1
M
dt
J2
J1
——角动量定理
合外力矩的冲量矩（角冲量）
刚体所受合外力矩的冲量矩等于在这段时间内刚体 角动量的增量．
t1 t2时间内，J1 J2
3 – 2 刚体定轴转动的角动量 角动量定理 角动量守恒定律
3-2 刚体定轴转动的角动量 角动量定理 角动量守恒定律 一、刚体定轴转动的角动量 角动量定理
转动定律 M J J d d(J)
dt dt
令 L J，称为绕定轴转动刚体的角动量，则
M dL dt
刚体绕定轴转动时，作用于刚体的合外力矩 M 等于 刚体绕此轴的角动量 L 随时间的变化率.
t2 t1
M
dt
J
J11
3 – 2 刚体定轴转动的角动量 角动量定理 角动量守恒定律
二、刚体定轴转动的角动量守恒定律
t2 t1
M
dt
J2
J1
若M 0 , 则J 常量
如果刚体所受合外力矩等于零，或者不受外力矩的 作用，则刚体的角动量守恒．此即角动量守恒定律．
茹科夫斯基转椅
第三章 刚体与流体
3 – 2 刚体定轴转动的角动量 角动量定理 角动量守恒定律
第三章 刚体与流体
3 – 2 刚体定轴转动的角动量 角动量定理 角动量守恒定律
例4 一根长度为L=0.60m的均匀棒，绕其端点O转
动时的转动惯量为J=0.12kgm2．当棒摆到竖直位置
时，其角速度为0=2.4rad/s．此时棒的下端和一质量
第三章 刚体与流体
3 – 2 刚体定轴转动的角动量 角动量定理 角动量守恒定律
M d L d(J) t2 M d t 2d(J)
dt
dt
t1
1
t2 t1
M
dt
J2
J1
——角动量定理
合外力矩的冲量矩（角冲量）
刚体所受合外力矩的冲量矩等于在这段时间内刚体 角动量的增量．
t1 t2时间内，J1 J2
3 – 2 刚体定轴转动的角动量 角动量定理 角动量守恒定律
3-2 刚体定轴转动的角动量 角动量定理 角动量守恒定律 一、刚体定轴转动的角动量 角动量定理
转动定律 M J J d d(J)
dt dt
令 L J，称为绕定轴转动刚体的角动量，则
M dL dt
刚体绕定轴转动时，作用于刚体的合外力矩 M 等于 刚体绕此轴的角动量 L 随时间的变化率.
3-(5)、角动量角动量守恒
+
人
m
X
t
0
人 dt
人
M
2m
M
t
0
台dt
M
台
2m
台 (3)
人 台 2 (4)
A
人
m
台
A
台
4m Mm 2M
人
Mm
例3：一木杆长 l 可绕光滑端轴O旋转。设这时 有一质量为m的子弹以水平速度 v 射入杆端并 箝入杆内，求杆偏转的角度。 已知： M , l , m, v 求： ? 解： N N O O
C：开始不旋转的物体，当其一 部分旋转时，必引起另一部分 朝另一反方向旋转。
'
讨 论 子细 弹绳 击质 入量 沙不 袋计
o
v
子 弹 击 入 杆
o
圆 锥 摆
o
T
'
m
v
p
o
v
R
以子弹和沙袋为系统 以子弹和杆为系统 圆锥摆系统 动量守恒； 动量不守恒； 动量不守恒； 角动量守恒； 角动量守恒； 角动量守恒； 机械能不守恒 . 机械能不守恒 . 机械能守恒 .
M
t1
x
dt
dL
Lx 1
x
Lx 2 Lx1
t2
Ly 2 y
M
t1
t2
dt
dL
L y1
Lz 2
y
Ly 2 Ly1
Lz 2 Lz1
M
t1
z
dt
dL
Lz 1
z
角动量定理（积分形式） 作用在质点系的角冲量等于系统角动量的增量。
《大学物理》34刚体定轴转动的角动量定理角动量守恒定律.
矩为零故角动量守恒。
设子弹射入后杆起摆的角速度为ω，则有：
1 m v 0 a ( ML2 ma 2 ) 3
子弹射入后一起摆动的过程只有重力做功，故系统机 械能守恒。
1 1 L 2 2 2 ( ML ma ) mga (1 cos60 ) Mg (1 cos60 ) 2 3 2
1
2.刚体的角动量定理及守恒定律
刚体所受合外力矩与角加速度关系为
d M J J dt
利用角动量表示
dJ dL M dt dt
刚体绕定轴转动时，作用于刚体的合外力矩等于刚 体绕此轴的角动量对时间的变化率。这是刚体角动 量定理的一种形式。
当合外力矩为零时
d J dL M dt dt
如果质点所受合外力矩为零，则质点的角动量保持不变， 这就是质点的角动量守恒定律。
1. 质点角动量定理及守恒定律
例：我国第一颗人造地球卫星沿椭圆轨道绕地球运动，地心为该椭圆 的一个焦点。已知地球半径 R ，卫星的近地点到地面距离 l ，卫星的远 地点到地面距离 l 。若卫星在近地点速率为 v1 ，求它在远地点速率 v2 。
3.4刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律
一、冲量矩 角动量 1.冲量矩
定义：力矩与力矩作用时间的乘积称为冲量矩。
数学表达：
M dt
0
t
2.角动量
整个刚体的角动量就是刚体上每一个质元的角动 量——即每个质元的动量对转轴之矩的和。
2.1质点的角动量
o
r
v
o
L
m
L
r
m
J 恒量
如果物体所受合外力矩为零，或不受外力矩的作用， 物体的角动量保持不变，这就是角动量守恒定律。
设子弹射入后杆起摆的角速度为ω，则有：
1 m v 0 a ( ML2 ma 2 ) 3
子弹射入后一起摆动的过程只有重力做功，故系统机 械能守恒。
1 1 L 2 2 2 ( ML ma ) mga (1 cos60 ) Mg (1 cos60 ) 2 3 2
1
2.刚体的角动量定理及守恒定律
刚体所受合外力矩与角加速度关系为
d M J J dt
利用角动量表示
dJ dL M dt dt
刚体绕定轴转动时，作用于刚体的合外力矩等于刚 体绕此轴的角动量对时间的变化率。这是刚体角动 量定理的一种形式。
当合外力矩为零时
d J dL M dt dt
如果质点所受合外力矩为零，则质点的角动量保持不变， 这就是质点的角动量守恒定律。
1. 质点角动量定理及守恒定律
例：我国第一颗人造地球卫星沿椭圆轨道绕地球运动，地心为该椭圆 的一个焦点。已知地球半径 R ，卫星的近地点到地面距离 l ，卫星的远 地点到地面距离 l 。若卫星在近地点速率为 v1 ，求它在远地点速率 v2 。
3.4刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律
一、冲量矩 角动量 1.冲量矩
定义：力矩与力矩作用时间的乘积称为冲量矩。
数学表达：
M dt
0
t
2.角动量
整个刚体的角动量就是刚体上每一个质元的角动 量——即每个质元的动量对转轴之矩的和。
2.1质点的角动量
o
r
v
o
L
m
L
r
m
J 恒量
如果物体所受合外力矩为零，或不受外力矩的作用， 物体的角动量保持不变，这就是角动量守恒定律。
物理-角动量定理与角动量守恒定律
dt
dt
i
当质点系相对惯性系中某给定参考点的合外力 矩为零时，该质点系对同一参考点的总角动量保持 不变。
——角动量守恒定律
当 M Mi 0，则L Li 恒矢量
Hale Waihona Puke 说明1、同一问题中应 用角动量定理或判断角动量守恒时， M 与 L 必须相对同一参考点计算！
2、如果相对某一特殊参考点，合外力矩为零，系统只 只对这一特殊点角动量守恒，但相对其他参考点的 角动量不一定也守恒；
当 M Mi 0，则L Li 恒矢量
说明
3、关于角动量守恒与动量守恒的条件：
一般地
(ri Fi ) 0 与
Fi 0 彼此独立！
角动量守恒与动量守恒也是相互独立的。
例：行星在绕太阳的公转过程：动量不守恒，
但对太阳的角动量守恒。
MS
rF
0
z LS
LS
r m
恒矢量
S
如直角坐标系中。沿 z 轴分量式为：
当 Mz Miz 0，则Lz Liz 恒量
5. 适用范围：惯性系；
讨论：为什么许多星系是扁盘状旋转结构？
银河系
讨论：为什么许多星系是扁盘状旋转结构？
初始角动量
径向
轴向
引力 收缩
L守恒
引力 收缩
速度增大 离心力增大
引力 收缩
达到平衡
高速旋转的盘形结构
dL L2 (t2 ) L1(t1 )
t1
L1 (t1 )
—— M在时间t t2 t1内的角冲量（冲量矩）
（积分式）
对同一参考点，质点所受合力在某一时间内的 角冲量等于同时间内角动量的增量 。
说明
•直角坐标系中的分量式（如Z轴分量式）：
大学物理 第三章 角动量守恒定律 刚体汇总
求它由此下摆 角时的角加速度和角速度。
解：棒下摆为加速过程，外
力矩为重力对O的力矩。在 O
棒上取质元dm,当棒处在下
摆 角时，棒 的重力矩为：
M l d(mg)
l
设 m
L
L
gl sin(
)dl
1
mgL cos
0
2
2
X dm
dmg
J 1 mL2
3
M
1 mgL cos
2
3g cos
J
1 mL2
整个刚体绕轴的角动量为所有质元角动量之和：
L Li ( miri2 )
i
i
令：J miri2 称为刚体对轴的转动惯量。
i
则刚体对轴的角动量为：L J
力对转轴的力矩
f 在转动平面内 Mz r f
Mz fr sin
Z
Mz
Or
d
P
f
转动平面
方向如图
例题P40：3-3
f 不在转动平面内，有时间可以补讲。
（2）通过棒的中点并与棒垂直的转轴的转动惯量。
解：（1） m
l
dm dx
x dx
x l
J x2dm l x2dx 1l3 1 ml2
0
33
例1、求质量为m、半径为R的均匀圆环的转动 惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。
解: J R2dm R2 dm mR2
OR dm
例2、求质量为m、半径为R、厚为l 的均匀圆 盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。
平行轴定理
若有任一轴与过质心的轴平行，相距
为d，刚体对其转动惯量为J，则有：
l
J＝JC＋md2。
z
刚体的质心： xc
解：棒下摆为加速过程，外
力矩为重力对O的力矩。在 O
棒上取质元dm,当棒处在下
摆 角时，棒 的重力矩为：
M l d(mg)
l
设 m
L
L
gl sin(
)dl
1
mgL cos
0
2
2
X dm
dmg
J 1 mL2
3
M
1 mgL cos
2
3g cos
J
1 mL2
整个刚体绕轴的角动量为所有质元角动量之和：
L Li ( miri2 )
i
i
令：J miri2 称为刚体对轴的转动惯量。
i
则刚体对轴的角动量为：L J
力对转轴的力矩
f 在转动平面内 Mz r f
Mz fr sin
Z
Mz
Or
d
P
f
转动平面
方向如图
例题P40：3-3
f 不在转动平面内，有时间可以补讲。
（2）通过棒的中点并与棒垂直的转轴的转动惯量。
解：（1） m
l
dm dx
x dx
x l
J x2dm l x2dx 1l3 1 ml2
0
33
例1、求质量为m、半径为R的均匀圆环的转动 惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。
解: J R2dm R2 dm mR2
OR dm
例2、求质量为m、半径为R、厚为l 的均匀圆 盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。
平行轴定理
若有任一轴与过质心的轴平行，相距
为d，刚体对其转动惯量为J，则有：
l
J＝JC＋md2。
z
刚体的质心： xc
大学物理-角动量守恒定律
1 dA ( r sin )ds 2
4-3 角动量
角动量守恒定律
dA 1 ds 1 ( r sin ) r sin v dt 2 dt 2 1 1 r sin mv rp 2m 2m 而行星的角动量 r p 大小恒定，所以 dA 常量 dt
一般情形下， r 和 p 都是变化的，所以 L 没 有确定的方向，但任一时刻， L 总垂直于 r 和 p 所确定的平面。在直角坐标系下，L 的三个分量
为：
3
Lx ypz zp y Ly zpx xpz Lz xp y ypx
4-3 角动量
这就是开普勒第二定律。 如果一个力的方向始终指向某一点，这力称 为有心力，这点，称为力心。有心力对力心的力 矩恒为0，因此，在有心力作用下的质点对力心 的角动量守恒。 10
4-3 角动量
角动量守恒定律
质点系角动量变化定理和角动量守恒定律 1. 质点系角动量
L l i ri 量
角动量守恒定律
3. 角动量守恒定律 如果质点系所受合外力矩 M 外 0，则
dL 0 ，L 常矢量 dt
实验表明，对于不受外界影响的粒子系统所 经历的任意过程，包括不能用牛顿力学描述的 过程，都遵守角动量守恒定律。
13
4-3 角动量
角动量守恒定律
【例1.21】光滑水平面上轻弹簧两端各系一小球， 开始弹簧处于自然长度，两小球静止。今同时 打击两个小球，让它们沿垂直于弹簧轴线方向 获得等值反向的初速度v0。如果在以后的运动过 程中弹簧的最大长度为2l0，求初速度v0。 解 系统：弹簧和小球 质心C点固定不动，相对 C点系统的角动量守恒。
必须指明是对哪个点而言的
大学物理第5章角动量守恒定律
1 ml2 3
l
m
m 1.73
z2
o
l 2
G
JZ2
1 ml2 3
RGC G 不是质心
转动惯量的计算
例: 求半径为 R,总质量为 m的均匀圆盘绕垂直于盘面
通过中心轴的转动惯量 如下图:
解:
质量面密度
m R 2
J z r 2dm R r 2ds 0
Z ds
R r 2 2rdr 0
R r 2 m 2rdr
a 法向分量
an
v2 r
r 2
O
匀变速直线运动
匀变速定轴转动
v dS dt
a dv dt
v v0 at
S
v0t
1 2
at 2
v2 v02 2aS
d
dt
d
dt
0 t
0t
1t2
2
2 02 2
5.4 定轴转动刚体的角动量定理
1.刚体对转轴的力矩和角动量
z
角动量守恒
质点系的角动量定理
M J
4g
t
3 4
R
1 2
gt
2
LA
r
p
1 2
mpt3gmvg
mgt 0
orRA r源自（2） 对 O 点的角动量m
mv
r r R
LO r p (R r) p R p R mgt
Rg
LO Rmgt
2. 质点的角动量定理
角动量的时间变化率
dL
d
(r
p)
dr
p
r
dp
r 表示从O到速度矢量 v 的垂直距离, 则有
r sin s rs 2
大学物理——角动量定理和角动量守恒定律
解：把飞船和排出的 废气看作一个系统， 废气质量为m。可以 认为废气质量远小于 飞船的质量，
dm/2
u
Lg
r
L0
u dm/2
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所以原来系统对于飞船中心轴的角动量近似地等 于飞船自身的角动量，即
L0＝J
在喷气过程中，以dm表示dt时间内喷出的气体
， 这 些 气 体 对 中 心 轴 的 角 动 量 为 dm·r(u+v) ， 方 向
量为JB=20kgm2 。开始时A轮的转速为600r/min，B
轮静止。C为摩擦啮合器。求两轮啮合后的转速；在 啮合过程中，两轮的机械能有何变化？
A
B
C
A
B
C
A
上页 下页 返回 退出
解：以飞轮A、B和啮合器C作为一系统来考虑，在
啮合过程中，系统受到轴向的正压力和啮合器间的 切向摩擦力，前者对转轴的力矩为零，后者对转轴 有力矩，但为系统的内力矩。系统没有受到其他外 力矩，所以系统的角动量守恒。按角动量守恒定律 可得
由匀减速直线运动的公式得
0 v2 2as
亦即 v 2 2gs
（3）
（4）
由式（1）、（2）与（4）联合求解，即得
3gl 3 2gs
l
（5）
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当’取正值，则棒向左摆，其条件为
3gl 3 2gs 0
亦即l >6s；当’取负值，则棒向右摆，其条件
上页 下页 返回 退出
数为 。相撞后物体沿地面滑行一距离s而停止。
求相撞后棒的质心C 离地面的最大高度h，并说明
棒在碰撞后将向左摆或向右摆的条件。
解：这个问题可分为三个阶段
第03章守恒定律及其在力学中的应用3(角动量)
对“m1+m2 + 轻绳 + 滑轮”系统：
条件：M 外 0 所以角动量守恒 设两小孩分别以 v1 , v2 速度上升。
外力：m1 g , m2 g , N
N R
0
r L1 m1 Rv1 ∥ ∥ m1 L2 r2 m2 v2 m2 ( R r// ) v2 m2 R v2
i 1
Fi
mi
m1
i 1
第i个质点角动量的时间变化率 dLi mj ri ( Fi f ij ) dt i j ri f ji 质点系角动量的时间变化率 dL fij ) 0 ri Fi (ri rj dt i i j i M 外 M内 M 外 ri Fi M内 ( ri f ij ) 0 i i i j dL M外 M 外 0 时 L Li 常矢量 dt i
M
O
r
r
A
F
大小
M Fr sin Fr
dL 或 M dt
方向：右手螺旋
Mdt dL Mdt冲量矩
质点对某固定点所受的合外力矩等于它对该点角动量的时间变化率
t2
t1
对同一参考点O,质点所受的冲量矩等 Mdt L2 L1 于质点角动量的增量。
O
L
vB
k
L0
B
v0
M A
解: (2) AB, 只有弹力作功,
1 2
机械能守恒
mv0 (m M ) v A
(1) m和M相撞时, 系统的动量守恒
3 角动量 角动量守恒定律(用)
v v dL d v v v dp dr v = ( r × p) = r × + × p dt dt dt dt
v v dp =r× dt
第五章
刚体的转动
6
角动量 角动量守恒定律
作用于质点的合外力对参考点 作用于质点的合外力对参考点 O 的力 角动量随时间的 矩，等于质点对该点 O 的角动量随时间的 变化率. 变化率
恒矢量
当质点所受对参考点Ｏ的合力矩为 零时， 零时，质点对该参考点Ｏ的角动量为一 恒矢量． 恒矢量．——质点的角动量守恒定律 质点的角动量守恒定律
第五章 刚体的转动
8
角动量 角动量守恒定律
二 刚体定轴转动的角动量定理 和角动量守恒定律
1 刚体定轴转动的角动量
r r 2 r 质点 Li = mi ri ω = J iω
v v
θ
v r
v L 的方向符合右手法则
角动量单位： 角动量单位：kgm2s-1
第五章 刚体的转动
4
角动量 角动量守恒定律
质点以ω作半径为 r 的圆周运动，相对圆心 的圆周运动，相对圆心
v L
v p
L = mrv = mr ω = J ω
2
v m o r
r r 2 r L = mr ω = J ω
第五章
刚体的转动
2
角动量 角动量守恒定律
一 质点的角动量定理和角动量守恒定律 v v p = mv 质点运动 质点运动 r 问题： 能否很好地描述刚体的定轴转动？ 问题：p 能否很好地描述刚体的定轴转动？
v ω = 0, ∑ pi = 0
i
v
ω ≠ 0, ∑
i
v
ω
v
v pi = 0
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- 4
，已足以盖过整个银河发光的总和。 ( 10
?
第二篇 实物的运动规律 第五章 角动量 角动量守恒定律
第五章第三讲
本章共3讲
§5.3 角动量守恒定律 一. 角动量守恒定律 研究对象：
dL M外 dt
质点系
由角动量定理： 得：当M 外 0时，L 恒矢量 分量式：
Mx 0 My 0 Mz 0 时 时 时 Lx 恒量 L y 恒量 Lz 恒量
F轴 0 m M系统 p 不守恒; M轴 0 m M系统 对O点角动量守恒 m 2 gh R m M vR
回顾习题（ p84 4 -11）
C B Ny
o
Nx
A
F轴 0
M轴 0
A、B、C系统 p 不守恒；
A、B、C系统对 o 轴角动量守恒
应用广泛，例如：
天体运动
（行星绕恒星、卫星绕行星...） 微观粒子运动 （电子绕核运动；原子核中质子、中子的运动一级 近似；加速器中粒子与靶核散射...）
[例2] 已知：地球 R=6378 km
卫星 近地：h1= 439 km v1=8.1 km.s-1
远地: h2= 2384 km
求： v2=?
严格同步条件
卫星轨道平面与地球赤道平面倾角为零
轨道严格为圆形
运行周期与地球自转周期完全相同 （23小时56分4秒）
地球偏心率，太阳、月球摄动引起同步卫星星下点漂 移，用角动量、动量守恒调节 ~ 定点保持技术
•研究微观粒子相互作用规律
自学教材P108[例4]
第五章
角动量
角动量守恒
习题课
复习提要：三个概念，两条规律
mA mB v1 R mA mB mc vR
练习：已知 m = 20 克，M = 980 克 ,v 0 =400米/秒， 绳不可伸长。求 m 射入M 后共同的 v =? 哪些物理量守恒（总动量、动量分量、角动量）？ 解：m、M系统水平方向动量守恒（F x =0) 竖直方向动量不守恒（绳冲力不能忽略） 对o 点轴角动量守恒（外力矩和为零）
h2 h1
解：建立模型 卫星~质点 m 地球~均匀球体
m
对称性：引力矢量和过地心
对地心力矩为零 卫星 m 对地心 o 角动量守恒
dm
dF1 m
O dF dm' dF2
卫星 m 对地心 o 角动量守恒
v1
mv1 R h1 mv2 R h2
h2
v2
.o
R
h1 m
R h1 6378 439 v2 v1 8.1 6.3km s1 v1 R h2 6378 2384
M
3.人和台相对于地面转过的 角度之间有什么关系？
解： 选地面为参考系，设对转轴
人：J , ; 台：J ´, ´
R
m
M
J mR 2
J 1 MR 2 2
系统对转轴合外力矩为零，角动量守恒。以向上为正：
J J 0
2m M
设人沿转台边缘跑一周的时间为 t ：
一、转动惯量
二、角动量 质点 质点系
J m i ri r 2dm
2 i m
L r mv
L L轨道 L rc mvc ri mi vi 自旋
i
定轴刚体 Lz Jω 三、力矩
M r F ;
芭蕾、花样滑冰、跳水…...
[例1] 一半径为R、质量为 M 的转台，可绕通过其 中心的竖直轴转动, 质量为 m 的人站在转台边缘， 最初人和台都静止。若人沿转台边缘跑一周 (不计 阻力)，相对于地面，人和台各转了多少角度？ 思考：
R
m
1.台为什么转动？向什么方 向转动？ 2.人相对转台跑一周，相对 于地面是否也跑了一周？
mv 0sin300 m M v
或： m
0 0
o
mv0 l sin30 vm M l sin 90
得： v = 4 m.s-1
v0
30
v
M
[例3] 已知：匀质细棒 m , 长 2l ；在光滑水平面内 以 v 0 平动，与固定支点 O 完全非弹性碰撞。
或： m
L2
m1
L 2 0 m m 2 L 2 m1 L2 2 2
2
0 L v0 ;
得：
L v
2
v0 v 9
注意：区分两类冲击摆
（1） 质点 o 质点
柔绳无切向力
v0
m （2） M
l
• 水平方向： Fx =0 ， px 守恒 m v 0= ( m + M ) v • 对 o 点： 0 ，L 守恒 M m v 0l = ( m + M ) v l
L2
解三： m v 0 = (m + m 2 ) v + m 1 • 2v 以上解法对不对？
m1
因为相撞时轴A作用力不能忽略不计， 故系统动量不守恒。 因为重力、轴作用力过轴，对轴力矩为 零，故系统角动量守恒。 由此列出以下方程：
Ny
Nx A
L2
m m2
mv0 L m m2 v L m1 2v L 2 2
f2
m2对o2 轴： R2 fdt J 2 2 J 2 20 ,
2 J 2 1 m2 R2 2
接触点：
1 R1 2 R2
联立各式解得：
m1 R1 10 m2 R2 20 1 m1 m2 R1 m1 R1 10 m2 R2 20 2 m1 m2 R2
Mz r F ;
Mi内 0
i
四、角动量定理
质点
dL M dt
t2
Mdt L
t1
质点系 定轴刚体
M外
dL dt
t2
M 外 dt L
t1
t2
Mz Jβ
M dt L
z t1
z
五、角动量守恒
M外 0 Mz 0
求：碰后瞬间棒绕 O 的
?
m
l/2 B O
解：碰撞前后AB棒对O的角动量守恒 思考：碰撞前棒对O角动量 L=? 碰撞后棒对O角动量 L =？ 撞前：
l/2 c
v0
l
A
(1)
L L轨 L 自旋
L mv0 l 0 2
思考：碰撞后的旋转方向？－－－绕o逆时针旋转。
撞前：（2）各微元运动速度相同，但到O距离不等， 棒上段、下段对轴O角动量方向相反
Fy
Fx
质点
定轴刚体（不能简化为质点）
o
m
l v0
M
轴作用力不能忽略，动量不守 恒，但对 o 轴合力矩为零， 角动量守恒
mv 0 l ml 2 1 Ml 2 3 v l
回顾ch4-2例题（ p84 4 -10 ）
+
m
M
h
M
N
m
h
绳拉紧时冲力很大，轮轴反作用力 N不能忽略 ，
[例2]已知：轻杆，m
1 0
= m , m 撞击 m
2 2
= 4m , 油灰球 m， ，发生完全非弹性碰撞
m 以水平速度v
求：撞后m 2的速率 v ? 解一：m 和 m 2 系统动量守恒
m v 0 = (m + m 2 ) v
解二： m 和 (m1 + m 2 )系统动量守恒
m
A
v0
L2
m2
m v 0 = (m + m 1 + m 2 ) v
脉冲星（左边照片中间白点为变亮的脉冲星，右边 为脉冲星变暗后的照片）
赫威斯(1924～) 英国物理学家 1967年利用射电望远镜 第一次发现了脉冲星。 于1974年获诺贝尔奖。
恒星： 变星：
发光的星体（亮度不一定恒定） 较短时间内，亮度规则或不规则变化
新星：
亮度突然增大几千倍
超新星：不到一天内亮度突然增大几亿倍，10秒内释 放的能量比太阳在全部寿命中释放的总能量大100倍， 其中光能占10
联立1、2、3、4式求解，对不对？
问题：（1）式中各角量是否对同轴而言？ （2）J1 +J2 系统角动量是否守恒？
分别以m1 , m2 为研究对象，受力如图：
f1
R1 R2
F2
( 1 ) o1为 轴 ( 2 ) o2为 轴
o1.
o2
M F2 0 M F1 0
系统角动量不守恒！
F1
f2
M 外 dt 0 ?
彼此独立
不能，后者只能说明初、末态角动量相等，不能保证 过程中每一时刻角动量相同。
角动量守恒现象举例
适用于一切转动问题，大至天体，小至粒子...
茹科夫斯基凳实验 为什么银河系呈旋臂盘形结构？ 为什么直升飞机的尾翼要安装螺旋桨？ 为什么猫从高处落下时总能四脚着地？
体操运动员的“晚旋”
•增加通讯卫星的可利用率
探险者号卫星偏心率高
h1 160.9km
h2 2.03 10 5 km
1
近地
v1 3.38 10 km s
4
远地
v 2 1225 km s 1
t小很快掠过
t大充分利用
•地球同步卫星的定点保持技术
地球同步卫星：相对地球静 止，定点于赤道上空，轨道 半径约36000km，实现全球24 小时通信。
撞后：
2 1 2 l 7 ml 2 L J m2l m 12 2 12 平行轴定理
，已足以盖过整个银河发光的总和。 ( 10
?
第二篇 实物的运动规律 第五章 角动量 角动量守恒定律
第五章第三讲
本章共3讲
§5.3 角动量守恒定律 一. 角动量守恒定律 研究对象：
dL M外 dt
质点系
由角动量定理： 得：当M 外 0时，L 恒矢量 分量式：
Mx 0 My 0 Mz 0 时 时 时 Lx 恒量 L y 恒量 Lz 恒量
F轴 0 m M系统 p 不守恒; M轴 0 m M系统 对O点角动量守恒 m 2 gh R m M vR
回顾习题（ p84 4 -11）
C B Ny
o
Nx
A
F轴 0
M轴 0
A、B、C系统 p 不守恒；
A、B、C系统对 o 轴角动量守恒
应用广泛，例如：
天体运动
（行星绕恒星、卫星绕行星...） 微观粒子运动 （电子绕核运动；原子核中质子、中子的运动一级 近似；加速器中粒子与靶核散射...）
[例2] 已知：地球 R=6378 km
卫星 近地：h1= 439 km v1=8.1 km.s-1
远地: h2= 2384 km
求： v2=?
严格同步条件
卫星轨道平面与地球赤道平面倾角为零
轨道严格为圆形
运行周期与地球自转周期完全相同 （23小时56分4秒）
地球偏心率，太阳、月球摄动引起同步卫星星下点漂 移，用角动量、动量守恒调节 ~ 定点保持技术
•研究微观粒子相互作用规律
自学教材P108[例4]
第五章
角动量
角动量守恒
习题课
复习提要：三个概念，两条规律
mA mB v1 R mA mB mc vR
练习：已知 m = 20 克，M = 980 克 ,v 0 =400米/秒， 绳不可伸长。求 m 射入M 后共同的 v =? 哪些物理量守恒（总动量、动量分量、角动量）？ 解：m、M系统水平方向动量守恒（F x =0) 竖直方向动量不守恒（绳冲力不能忽略） 对o 点轴角动量守恒（外力矩和为零）
h2 h1
解：建立模型 卫星~质点 m 地球~均匀球体
m
对称性：引力矢量和过地心
对地心力矩为零 卫星 m 对地心 o 角动量守恒
dm
dF1 m
O dF dm' dF2
卫星 m 对地心 o 角动量守恒
v1
mv1 R h1 mv2 R h2
h2
v2
.o
R
h1 m
R h1 6378 439 v2 v1 8.1 6.3km s1 v1 R h2 6378 2384
M
3.人和台相对于地面转过的 角度之间有什么关系？
解： 选地面为参考系，设对转轴
人：J , ; 台：J ´, ´
R
m
M
J mR 2
J 1 MR 2 2
系统对转轴合外力矩为零，角动量守恒。以向上为正：
J J 0
2m M
设人沿转台边缘跑一周的时间为 t ：
一、转动惯量
二、角动量 质点 质点系
J m i ri r 2dm
2 i m
L r mv
L L轨道 L rc mvc ri mi vi 自旋
i
定轴刚体 Lz Jω 三、力矩
M r F ;
芭蕾、花样滑冰、跳水…...
[例1] 一半径为R、质量为 M 的转台，可绕通过其 中心的竖直轴转动, 质量为 m 的人站在转台边缘， 最初人和台都静止。若人沿转台边缘跑一周 (不计 阻力)，相对于地面，人和台各转了多少角度？ 思考：
R
m
1.台为什么转动？向什么方 向转动？ 2.人相对转台跑一周，相对 于地面是否也跑了一周？
mv 0sin300 m M v
或： m
0 0
o
mv0 l sin30 vm M l sin 90
得： v = 4 m.s-1
v0
30
v
M
[例3] 已知：匀质细棒 m , 长 2l ；在光滑水平面内 以 v 0 平动，与固定支点 O 完全非弹性碰撞。
或： m
L2
m1
L 2 0 m m 2 L 2 m1 L2 2 2
2
0 L v0 ;
得：
L v
2
v0 v 9
注意：区分两类冲击摆
（1） 质点 o 质点
柔绳无切向力
v0
m （2） M
l
• 水平方向： Fx =0 ， px 守恒 m v 0= ( m + M ) v • 对 o 点： 0 ，L 守恒 M m v 0l = ( m + M ) v l
L2
解三： m v 0 = (m + m 2 ) v + m 1 • 2v 以上解法对不对？
m1
因为相撞时轴A作用力不能忽略不计， 故系统动量不守恒。 因为重力、轴作用力过轴，对轴力矩为 零，故系统角动量守恒。 由此列出以下方程：
Ny
Nx A
L2
m m2
mv0 L m m2 v L m1 2v L 2 2
f2
m2对o2 轴： R2 fdt J 2 2 J 2 20 ,
2 J 2 1 m2 R2 2
接触点：
1 R1 2 R2
联立各式解得：
m1 R1 10 m2 R2 20 1 m1 m2 R1 m1 R1 10 m2 R2 20 2 m1 m2 R2
Mz r F ;
Mi内 0
i
四、角动量定理
质点
dL M dt
t2
Mdt L
t1
质点系 定轴刚体
M外
dL dt
t2
M 外 dt L
t1
t2
Mz Jβ
M dt L
z t1
z
五、角动量守恒
M外 0 Mz 0
求：碰后瞬间棒绕 O 的
?
m
l/2 B O
解：碰撞前后AB棒对O的角动量守恒 思考：碰撞前棒对O角动量 L=? 碰撞后棒对O角动量 L =？ 撞前：
l/2 c
v0
l
A
(1)
L L轨 L 自旋
L mv0 l 0 2
思考：碰撞后的旋转方向？－－－绕o逆时针旋转。
撞前：（2）各微元运动速度相同，但到O距离不等， 棒上段、下段对轴O角动量方向相反
Fy
Fx
质点
定轴刚体（不能简化为质点）
o
m
l v0
M
轴作用力不能忽略，动量不守 恒，但对 o 轴合力矩为零， 角动量守恒
mv 0 l ml 2 1 Ml 2 3 v l
回顾ch4-2例题（ p84 4 -10 ）
+
m
M
h
M
N
m
h
绳拉紧时冲力很大，轮轴反作用力 N不能忽略 ，
[例2]已知：轻杆，m
1 0
= m , m 撞击 m
2 2
= 4m , 油灰球 m， ，发生完全非弹性碰撞
m 以水平速度v
求：撞后m 2的速率 v ? 解一：m 和 m 2 系统动量守恒
m v 0 = (m + m 2 ) v
解二： m 和 (m1 + m 2 )系统动量守恒
m
A
v0
L2
m2
m v 0 = (m + m 1 + m 2 ) v
脉冲星（左边照片中间白点为变亮的脉冲星，右边 为脉冲星变暗后的照片）
赫威斯(1924～) 英国物理学家 1967年利用射电望远镜 第一次发现了脉冲星。 于1974年获诺贝尔奖。
恒星： 变星：
发光的星体（亮度不一定恒定） 较短时间内，亮度规则或不规则变化
新星：
亮度突然增大几千倍
超新星：不到一天内亮度突然增大几亿倍，10秒内释 放的能量比太阳在全部寿命中释放的总能量大100倍， 其中光能占10
联立1、2、3、4式求解，对不对？
问题：（1）式中各角量是否对同轴而言？ （2）J1 +J2 系统角动量是否守恒？
分别以m1 , m2 为研究对象，受力如图：
f1
R1 R2
F2
( 1 ) o1为 轴 ( 2 ) o2为 轴
o1.
o2
M F2 0 M F1 0
系统角动量不守恒！
F1
f2
M 外 dt 0 ?
彼此独立
不能，后者只能说明初、末态角动量相等，不能保证 过程中每一时刻角动量相同。
角动量守恒现象举例
适用于一切转动问题，大至天体，小至粒子...
茹科夫斯基凳实验 为什么银河系呈旋臂盘形结构？ 为什么直升飞机的尾翼要安装螺旋桨？ 为什么猫从高处落下时总能四脚着地？
体操运动员的“晚旋”
•增加通讯卫星的可利用率
探险者号卫星偏心率高
h1 160.9km
h2 2.03 10 5 km
1
近地
v1 3.38 10 km s
4
远地
v 2 1225 km s 1
t小很快掠过
t大充分利用
•地球同步卫星的定点保持技术
地球同步卫星：相对地球静 止，定点于赤道上空，轨道 半径约36000km，实现全球24 小时通信。
撞后：
2 1 2 l 7 ml 2 L J m2l m 12 2 12 平行轴定理