大学物理(上册)角动量 角动量守恒定律(3)
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- 4
，已足以盖过整个银河发光的总和。 ( 10
?
第二篇 实物的运动规律 第五章 角动量 角动量守恒定律
第五章第三讲
本章共3讲
§5.3 角动量守恒定律 一. 角动量守恒定律 研究对象：
dL M外 dt
质点系
由角动量定理： 得：当M 外 0时，L 恒矢量 分量式：
Mx 0 My 0 Mz 0 时 时 时 Lx 恒量 L y 恒量 Lz 恒量
F轴 0 m M系统 p 不守恒; M轴 0 m M系统 对O点角动量守恒 m 2 gh R m M vR
回顾习题（ p84 4 -11）
C B Ny
o
Nx
A
F轴 0
M轴 0
A、B、C系统 p 不守恒；
A、B、C系统对 o 轴角动量守恒
应用广泛，例如：
天体运动
（行星绕恒星、卫星绕行星...） 微观粒子运动 （电子绕核运动；原子核中质子、中子的运动一级 近似；加速器中粒子与靶核散射...）
[例2] 已知：地球 R=6378 km
卫星 近地：h1= 439 km v1=8.1 km.s-1
远地: h2= 2384 km
求： v2=?
严格同步条件
卫星轨道平面与地球赤道平面倾角为零
轨道严格为圆形
运行周期与地球自转周期完全相同 （23小时56分4秒）
地球偏心率，太阳、月球摄动引起同步卫星星下点漂 移，用角动量、动量守恒调节 ~ 定点保持技术
•研究微观粒子相互作用规律
自学教材P108[例4]
第五章
角动量
角动量守恒
习题课
复习提要：三个概念，两条规律
mA mB v1 R mA mB mc vR
练习：已知 m = 20 克，M = 980 克 ,v 0 =400米/秒， 绳不可伸长。求 m 射入M 后共同的 v =? 哪些物理量守恒（总动量、动量分量、角动量）？ 解：m、M系统水平方向动量守恒（F x =0) 竖直方向动量不守恒（绳冲力不能忽略） 对o 点轴角动量守恒（外力矩和为零）
h2 h1
解：建立模型 卫星~质点 m 地球~均匀球体
m
对称性：引力矢量和过地心
对地心力矩为零 卫星 m 对地心 o 角动量守恒
dm
dF1 m
O dF dm' dF2
卫星 m 对地心 o 角动量守恒
v1
mv1 R h1 mv2 R h2
h2
v2
.o
R
h1 m
R h1 6378 439 v2 v1 8.1 6.3km s1 v1 R h2 6378 2384
M
3.人和台相对于地面转过的 角度之间有什么关系？
解： 选地面为参考系，设对转轴
人：J , ; 台：J ´, ´
R
m
M
J mR 2
J 1 MR 2 2
系统对转轴合外力矩为零，角动量守恒。以向上为正：
J J 0
2m M
设人沿转台边缘跑一周的时间为 t ：
一、转动惯量
二、角动量 质点 质点系
J m i ri r 2dm
2 i m
L r mv
L L轨道 L rc mvc ri mi vi 自旋
i
定轴刚体 Lz Jω 三、力矩
M r F ;
芭蕾、花样滑冰、跳水…...
[例1] 一半径为R、质量为 M 的转台，可绕通过其 中心的竖直轴转动, 质量为 m 的人站在转台边缘， 最初人和台都静止。若人沿转台边缘跑一周 (不计 阻力)，相对于地面，人和台各转了多少角度？ 思考：
R
m
1.台为什么转动？向什么方 向转动？ 2.人相对转台跑一周，相对 于地面是否也跑了一周？
mv 0sin300 m M v
或： m
0 0
o
mv0 l sin30 vm M l sin 90
得： v = 4 m.s-1
v0
30
v
M
[例3] 已知：匀质细棒 m , 长 2l ；在光滑水平面内 以 v 0 平动，与固定支点 O 完全非弹性碰撞。
或： m
L2
m1
L 2 0 m m 2 L 2 m1 L2 2 2
2
0 L v0 ;
得：
L v
2
v0 v 9
注意：区分两类冲击摆
（1） 质点 o 质点
柔绳无切向力
v0
m （2） M
l
• 水平方向： Fx =0 ， px 守恒 m v 0= ( m + M ) v • 对 o 点： 0 ，L 守恒 M m v 0l = ( m + M ) v l
L2
解三： m v 0 = (m + m 2 ) v + m 1 • 2v 以上解法对不对？
m1
因为相撞时轴A作用力不能忽略不计， 故系统动量不守恒。 因为重力、轴作用力过轴，对轴力矩为 零，故系统角动量守恒。 由此列出以下方程：
Ny
Nx A
L2
m m2
mv0 L m m2 v L m1 2v L 2 2
f2
m2对o2 轴： R2 fdt J 2 2 J 2 20 ,
2 J 2 1 m2 R2 2
接触点：
1 R1 2 R2
联立各式解得：
m1 R1 10 m2 R2 20 1 m1 m2 R1 m1 R1 10 m2 R2 20 2 m1 m2 R2
Mz r F ;
Mi内 0
i
四、角动量定理
质点
dL M dt
t2
Mdt L
t1
质点系 定轴刚体
M外
dL dt
t2
M 外 dt L
t1
t2
Mz Jβ
M dt L
z t1
z
五、角动量守恒
M外 0 Mz 0
求：碰后瞬间棒绕 O 的
?
m
l/2 B O
解：碰撞前后AB棒对O的角动量守恒 思考：碰撞前棒对O角动量 L=? 碰撞后棒对O角动量 L =？ 撞前：
l/2 c
v0
l
A
(1)
L L轨 L 自旋
L mv0 l 0 2
思考：碰撞后的旋转方向？－－－绕o逆时针旋转。
撞前：（2）各微元运动速度相同，但到O距离不等， 棒上段、下段对轴O角动量方向相反
Fy
Fx
质点
定轴刚体（不能简化为质点）
o
m
l v0
M
轴作用力不能忽略，动量不守 恒，但对 o 轴合力矩为零， 角动量守恒
mv 0 l ml 2 1 Ml 2 3 v l
回顾ch4-2例题（ p84 4 -10 ）
+
m
M
h
M
N
m
h
绳拉紧时冲力很大，轮轴反作用力 N不能忽略 ，
[例2]已知：轻杆，m
1 0
= m , m 撞击 m
2 2
= 4m , 油灰球 m， ，发生完全非弹性碰撞
m 以水平速度v
求：撞后m 2的速率 v ? 解一：m 和 m 2 系统动量守恒
m v 0 = (m + m 2 ) v
解二： m 和 (m1 + m 2 )系统动量守恒
m
A
v0
L2
m2
m v 0 = (m + m 1 + m 2 ) v
脉冲星（左边照片中间白点为变亮的脉冲星，右边 为脉冲星变暗后的照片）
赫威斯(1924～) 英国物理学家 1967年利用射电望远镜 第一次发现了脉冲星。 于1974年获诺贝尔奖。
恒星： 变星：
发光的星体（亮度不一定恒定） 较短时间内，亮度规则或不规则变化
新星：
亮度突然增大几千倍
超新星：不到一天内亮度突然增大几亿倍，10秒内释 放的能量比太阳在全部寿命中释放的总能量大100倍， 其中光能占10
联立1、2、3、4式求解，对不对？
问题：（1）式中各角量是否对同轴而言？ （2）J1 +J2 系统角动量是否守恒？
分别以m1 , m2 为研究对象，受力如图：
f1
R1 R2
F2
( 1 ) o1为 轴 ( 2 ) o2为 轴
o1.
o2
M F2 0 M F1 0
系统角动量不守恒！
F1
f2
M 外 dt 0 ?
彼此独立
不能，后者只能说明初、末态角动量相等，不能保证 过程中每一时刻角动量相同。
角动量守恒现象举例
适用于一切转动问题，大至天体，小至粒子...
茹科夫斯基凳实验 为什么银河系呈旋臂盘形结构？ 为什么直升飞机的尾翼要安装螺旋桨？ 为什么猫从高处落下时总能四脚着地？
体操运动员的“晚旋”
•增加通讯卫星的可利用率
探险者号卫星偏心率高
h1 160.9km
h2 2.03 10 5 km
1
近地
v1 3.38 10 km s
4
远地
v 2 1225 km s 1
t小很快掠过
t大充分利用
•地球同步卫星的定点保持技术
地球同步卫星：相对地球静 止，定点于赤道上空，轨道 半径约36000km，实现全球24 小时通信。
撞后：
2 1 2 l 7 ml 2 L J m2l m 12 2 12 平行轴定理
m
O
-l/2 B
令： L L
c
1 7 mv0 l ml 2 2 12
A /2
x
6v 0 得： 7l
[例 4]
有的恒星在其核燃料燃尽，达到生命末期时， 会发生所谓超新星爆发，这时星体中有大量物质 喷射到星际空间，同时该星的内核向内收缩，坍 缩成体积很小、异常致密的中子星。由于中子星 的致密性和极快的自转角速度，在星体周围形成 极强的磁场并发射出很强的电磁波。当中子星的 辐射束扫过地球时，地面上就测得脉冲信号。因 此，中子星又称为脉冲星。目前，我们探测到的 脉冲星已超过550个。设某恒星绕自转轴每45天转 一周，它的内核半径 R0 约为 2 107 m ，坍缩为 半径仅为6000m的中子星，将星体内核当作质量 不变的匀质圆球，计算中子星的角速度。
L 恒矢量 Lz 恒量
[例1]已知：两平行圆柱在水平面内转动，
m1 , R1
, 10 ; m2 , R2
, 20
求：接触且无相对滑动时
1 ? 2 ?
10
R1 m1 .o1 R2 .o2
20
1
o1.
2
o2.
m2
请自行列式。
解一：因摩擦力为内力，外力过轴 ，外力矩为零，
则：J1 + J2 系统角动量守恒
为正方向：
，以顺时针方向旋转
J110 J 2 20 J11 J 2 2 1
接触点无相对滑动：
1
2
R1 R2
1 R1 2 R2
又： J 1
2
3
4
o1.
. o2
1 m1 R12 2 1 2 J 2 m2 R2 2
对定轴转动刚体：当 M 轴 0 时， L轴 恒量
角动量守恒定律：
当质点系所受外力对某参考点（或轴）的力矩的矢量和 为零时，质点系对该参考点（或轴）的角动量守恒。
注意：
1.与动量守恒定律对比： 当 F外 0 时， p 恒矢量 L 恒矢量 当 M外 0 时， 2.守恒条件： M外 0 ( M 轴 0) 能否为
此解法不对。
解二：分别对m1 , m2 用角动量定理列方程
分别以m1 , m2 为研究对象，受力如图：
设：f1 = f2 = f ，
1
f1
R1
2
R2
F2
以顺时针方向为正 m1对o1 轴：
R1 fdt J 1 1 J 1 10 , J 1 1 m1 R12 2
o1.
o2
F1
dt dt 2
0 0
t
t
人相对地面转过的角度：
dt
0 t
R
m
2 M 2m M
M
台相对地面转过的角度：
4 m dt 2m M 0
t
二.物体在有心力场中的运动
力的作用线始终通过某定点的力
力心 有心力对力心的力矩为零，只受有心力作用的物体 对力心的角动量守恒。
-l/2 O c dm
m
B
线密度： m 2l
取质元： dm dx mdx
2l
质元角动量：
v0
A
3l/2 x
mv 0 dL dm v 0 x xd x 2l
设垂直向外为正方向，总角动量：
3l 2 0
L
0
mv 0 mv 0 xdx xdx 1 mv 0 l 2l 2l 2 l 2
，已足以盖过整个银河发光的总和。 ( 10
?
第二篇 实物的运动规律 第五章 角动量 角动量守恒定律
第五章第三讲
本章共3讲
§5.3 角动量守恒定律 一. 角动量守恒定律 研究对象：
dL M外 dt
质点系
由角动量定理： 得：当M 外 0时，L 恒矢量 分量式：
Mx 0 My 0 Mz 0 时 时 时 Lx 恒量 L y 恒量 Lz 恒量
F轴 0 m M系统 p 不守恒; M轴 0 m M系统 对O点角动量守恒 m 2 gh R m M vR
回顾习题（ p84 4 -11）
C B Ny
o
Nx
A
F轴 0
M轴 0
A、B、C系统 p 不守恒；
A、B、C系统对 o 轴角动量守恒
应用广泛，例如：
天体运动
（行星绕恒星、卫星绕行星...） 微观粒子运动 （电子绕核运动；原子核中质子、中子的运动一级 近似；加速器中粒子与靶核散射...）
[例2] 已知：地球 R=6378 km
卫星 近地：h1= 439 km v1=8.1 km.s-1
远地: h2= 2384 km
求： v2=?
严格同步条件
卫星轨道平面与地球赤道平面倾角为零
轨道严格为圆形
运行周期与地球自转周期完全相同 （23小时56分4秒）
地球偏心率，太阳、月球摄动引起同步卫星星下点漂 移，用角动量、动量守恒调节 ~ 定点保持技术
•研究微观粒子相互作用规律
自学教材P108[例4]
第五章
角动量
角动量守恒
习题课
复习提要：三个概念，两条规律
mA mB v1 R mA mB mc vR
练习：已知 m = 20 克，M = 980 克 ,v 0 =400米/秒， 绳不可伸长。求 m 射入M 后共同的 v =? 哪些物理量守恒（总动量、动量分量、角动量）？ 解：m、M系统水平方向动量守恒（F x =0) 竖直方向动量不守恒（绳冲力不能忽略） 对o 点轴角动量守恒（外力矩和为零）
h2 h1
解：建立模型 卫星~质点 m 地球~均匀球体
m
对称性：引力矢量和过地心
对地心力矩为零 卫星 m 对地心 o 角动量守恒
dm
dF1 m
O dF dm' dF2
卫星 m 对地心 o 角动量守恒
v1
mv1 R h1 mv2 R h2
h2
v2
.o
R
h1 m
R h1 6378 439 v2 v1 8.1 6.3km s1 v1 R h2 6378 2384
M
3.人和台相对于地面转过的 角度之间有什么关系？
解： 选地面为参考系，设对转轴
人：J , ; 台：J ´, ´
R
m
M
J mR 2
J 1 MR 2 2
系统对转轴合外力矩为零，角动量守恒。以向上为正：
J J 0
2m M
设人沿转台边缘跑一周的时间为 t ：
一、转动惯量
二、角动量 质点 质点系
J m i ri r 2dm
2 i m
L r mv
L L轨道 L rc mvc ri mi vi 自旋
i
定轴刚体 Lz Jω 三、力矩
M r F ;
芭蕾、花样滑冰、跳水…...
[例1] 一半径为R、质量为 M 的转台，可绕通过其 中心的竖直轴转动, 质量为 m 的人站在转台边缘， 最初人和台都静止。若人沿转台边缘跑一周 (不计 阻力)，相对于地面，人和台各转了多少角度？ 思考：
R
m
1.台为什么转动？向什么方 向转动？ 2.人相对转台跑一周，相对 于地面是否也跑了一周？
mv 0sin300 m M v
或： m
0 0
o
mv0 l sin30 vm M l sin 90
得： v = 4 m.s-1
v0
30
v
M
[例3] 已知：匀质细棒 m , 长 2l ；在光滑水平面内 以 v 0 平动，与固定支点 O 完全非弹性碰撞。
或： m
L2
m1
L 2 0 m m 2 L 2 m1 L2 2 2
2
0 L v0 ;
得：
L v
2
v0 v 9
注意：区分两类冲击摆
（1） 质点 o 质点
柔绳无切向力
v0
m （2） M
l
• 水平方向： Fx =0 ， px 守恒 m v 0= ( m + M ) v • 对 o 点： 0 ，L 守恒 M m v 0l = ( m + M ) v l
L2
解三： m v 0 = (m + m 2 ) v + m 1 • 2v 以上解法对不对？
m1
因为相撞时轴A作用力不能忽略不计， 故系统动量不守恒。 因为重力、轴作用力过轴，对轴力矩为 零，故系统角动量守恒。 由此列出以下方程：
Ny
Nx A
L2
m m2
mv0 L m m2 v L m1 2v L 2 2
f2
m2对o2 轴： R2 fdt J 2 2 J 2 20 ,
2 J 2 1 m2 R2 2
接触点：
1 R1 2 R2
联立各式解得：
m1 R1 10 m2 R2 20 1 m1 m2 R1 m1 R1 10 m2 R2 20 2 m1 m2 R2
Mz r F ;
Mi内 0
i
四、角动量定理
质点
dL M dt
t2
Mdt L
t1
质点系 定轴刚体
M外
dL dt
t2
M 外 dt L
t1
t2
Mz Jβ
M dt L
z t1
z
五、角动量守恒
M外 0 Mz 0
求：碰后瞬间棒绕 O 的
?
m
l/2 B O
解：碰撞前后AB棒对O的角动量守恒 思考：碰撞前棒对O角动量 L=? 碰撞后棒对O角动量 L =？ 撞前：
l/2 c
v0
l
A
(1)
L L轨 L 自旋
L mv0 l 0 2
思考：碰撞后的旋转方向？－－－绕o逆时针旋转。
撞前：（2）各微元运动速度相同，但到O距离不等， 棒上段、下段对轴O角动量方向相反
Fy
Fx
质点
定轴刚体（不能简化为质点）
o
m
l v0
M
轴作用力不能忽略，动量不守 恒，但对 o 轴合力矩为零， 角动量守恒
mv 0 l ml 2 1 Ml 2 3 v l
回顾ch4-2例题（ p84 4 -10 ）
+
m
M
h
M
N
m
h
绳拉紧时冲力很大，轮轴反作用力 N不能忽略 ，
[例2]已知：轻杆，m
1 0
= m , m 撞击 m
2 2
= 4m , 油灰球 m， ，发生完全非弹性碰撞
m 以水平速度v
求：撞后m 2的速率 v ? 解一：m 和 m 2 系统动量守恒
m v 0 = (m + m 2 ) v
解二： m 和 (m1 + m 2 )系统动量守恒
m
A
v0
L2
m2
m v 0 = (m + m 1 + m 2 ) v
脉冲星（左边照片中间白点为变亮的脉冲星，右边 为脉冲星变暗后的照片）
赫威斯(1924～) 英国物理学家 1967年利用射电望远镜 第一次发现了脉冲星。 于1974年获诺贝尔奖。
恒星： 变星：
发光的星体（亮度不一定恒定） 较短时间内，亮度规则或不规则变化
新星：
亮度突然增大几千倍
超新星：不到一天内亮度突然增大几亿倍，10秒内释 放的能量比太阳在全部寿命中释放的总能量大100倍， 其中光能占10
联立1、2、3、4式求解，对不对？
问题：（1）式中各角量是否对同轴而言？ （2）J1 +J2 系统角动量是否守恒？
分别以m1 , m2 为研究对象，受力如图：
f1
R1 R2
F2
( 1 ) o1为 轴 ( 2 ) o2为 轴
o1.
o2
M F2 0 M F1 0
系统角动量不守恒！
F1
f2
M 外 dt 0 ?
彼此独立
不能，后者只能说明初、末态角动量相等，不能保证 过程中每一时刻角动量相同。
角动量守恒现象举例
适用于一切转动问题，大至天体，小至粒子...
茹科夫斯基凳实验 为什么银河系呈旋臂盘形结构？ 为什么直升飞机的尾翼要安装螺旋桨？ 为什么猫从高处落下时总能四脚着地？
体操运动员的“晚旋”
•增加通讯卫星的可利用率
探险者号卫星偏心率高
h1 160.9km
h2 2.03 10 5 km
1
近地
v1 3.38 10 km s
4
远地
v 2 1225 km s 1
t小很快掠过
t大充分利用
•地球同步卫星的定点保持技术
地球同步卫星：相对地球静 止，定点于赤道上空，轨道 半径约36000km，实现全球24 小时通信。
撞后：
2 1 2 l 7 ml 2 L J m2l m 12 2 12 平行轴定理
m
O
-l/2 B
令： L L
c
1 7 mv0 l ml 2 2 12
A /2
x
6v 0 得： 7l
[例 4]
有的恒星在其核燃料燃尽，达到生命末期时， 会发生所谓超新星爆发，这时星体中有大量物质 喷射到星际空间，同时该星的内核向内收缩，坍 缩成体积很小、异常致密的中子星。由于中子星 的致密性和极快的自转角速度，在星体周围形成 极强的磁场并发射出很强的电磁波。当中子星的 辐射束扫过地球时，地面上就测得脉冲信号。因 此，中子星又称为脉冲星。目前，我们探测到的 脉冲星已超过550个。设某恒星绕自转轴每45天转 一周，它的内核半径 R0 约为 2 107 m ，坍缩为 半径仅为6000m的中子星，将星体内核当作质量 不变的匀质圆球，计算中子星的角速度。
L 恒矢量 Lz 恒量
[例1]已知：两平行圆柱在水平面内转动，
m1 , R1
, 10 ; m2 , R2
, 20
求：接触且无相对滑动时
1 ? 2 ?
10
R1 m1 .o1 R2 .o2
20
1
o1.
2
o2.
m2
请自行列式。
解一：因摩擦力为内力，外力过轴 ，外力矩为零，
则：J1 + J2 系统角动量守恒
为正方向：
，以顺时针方向旋转
J110 J 2 20 J11 J 2 2 1
接触点无相对滑动：
1
2
R1 R2
1 R1 2 R2
又： J 1
2
3
4
o1.
. o2
1 m1 R12 2 1 2 J 2 m2 R2 2
对定轴转动刚体：当 M 轴 0 时， L轴 恒量
角动量守恒定律：
当质点系所受外力对某参考点（或轴）的力矩的矢量和 为零时，质点系对该参考点（或轴）的角动量守恒。
注意：
1.与动量守恒定律对比： 当 F外 0 时， p 恒矢量 L 恒矢量 当 M外 0 时， 2.守恒条件： M外 0 ( M 轴 0) 能否为
此解法不对。
解二：分别对m1 , m2 用角动量定理列方程
分别以m1 , m2 为研究对象，受力如图：
设：f1 = f2 = f ，
1
f1
R1
2
R2
F2
以顺时针方向为正 m1对o1 轴：
R1 fdt J 1 1 J 1 10 , J 1 1 m1 R12 2
o1.
o2
F1
dt dt 2
0 0
t
t
人相对地面转过的角度：
dt
0 t
R
m
2 M 2m M
M
台相对地面转过的角度：
4 m dt 2m M 0
t
二.物体在有心力场中的运动
力的作用线始终通过某定点的力
力心 有心力对力心的力矩为零，只受有心力作用的物体 对力心的角动量守恒。
-l/2 O c dm
m
B
线密度： m 2l
取质元： dm dx mdx
2l
质元角动量：
v0
A
3l/2 x
mv 0 dL dm v 0 x xd x 2l
设垂直向外为正方向，总角动量：
3l 2 0
L
0
mv 0 mv 0 xdx xdx 1 mv 0 l 2l 2l 2 l 2