玻色-爱因斯坦统计

玻色-爱因斯坦统计
玻色-爱因斯坦统计，适用于被称作玻色子的基本粒子的统计类别，它是指光子、介子，以及W和Z粒子。

玻色子拥有整数值的被称为自旋的量子力学特性，并且是“聚集的（gregarious）”，它的意义是能够处于同一状态的玻色子的数量是无限的。

所有传递自然界中的基本力的粒子都是玻色子。

玻色-爱因斯坦统计
在统计力学中，玻色-爱因斯坦统计（更通常的被称为B-E统计）确定了在热平衡下同一的不可分辨的（indistinguishable）玻色子相对于能量状态的统计分布。

费米-狄拉克和玻色-爱因斯坦统计适用于量子效应必须考虑和粒子被看作是“不可分辨的”情况下。

如果粒子的密度N/V n q（n q为量子密度），量子效应就显现出来。

量子密度就是粒子间距等于热德•布罗意波长的时候，即粒子的波函数已经接触但还未重叠时。

量子密度依赖于温度；高温会使大多数系统处于经典的限制中，除非它们有非常高的密度比如白矮星。

费米-狄拉克统计适用于费米子（服从泡利不相容定律的粒子），玻色-爱因斯坦统计适用于玻色子。

在高温或低密度下费米-狄拉克和玻色-爱因斯坦统计都变为麦克斯韦-玻耳兹曼统计。

麦克斯韦-玻耳兹曼统计经常被描述为“可分辨的”经典粒子的统计。

换句话说，处在状态1的粒子A和处在状态2的粒子B的结构相比于粒子B是状态1和粒子A是状态2是不同的。

当沿着这条思路充分展开时，就会导出适当的（玻耳兹曼）对于能量状态的粒子分布，但由于熵也会导出非自然（non-physical）的结果，如吉布斯反论。

当认识到所有的粒子实际上都是不可分辨的，这些问题就消失了。

这些分布在高温和低密度限制下都会趋近于麦克斯韦-玻耳兹曼分布，而不需要任何额外的假设。

麦克斯韦-玻耳兹曼统计对于研究气体非常有用；F-D统计经常用于固体中的电子的研究。

同样的，它们都成为半导体设备和电子学理论的基础。

玻色子，不同于费米子，不受泡利不相容定律的影响：无限数量的粒子可以同时占据相同的状态。

这解释了为什么，在低温下玻色子的表现和费米子非常不同：所有的粒子趋向于聚集在最低的能量状态下，形成所谓的玻色-爱因斯坦凝聚态。

B-E统计由玻色于1920年引入光子中，并由爱因斯坦于1924年推广到原子。

处于一种能量状态i的粒子数的期望值由B-E统计给出：
1
/)(-=-kT i
i i e g n με
其中的με>i ，式中： n i 为粒子在状态i 的数量 g i 状态i 的简并度 εi 为第i 个状态的能量
μ 为化学势（chemical potential ） T 为绝对温度
当能量(με-i )>>kT ，该式就变成M-B 统计。

玻色-爱因斯坦统计的推导
假设我们有许多能级，以i 来标记，每个能级的能量为εi ，包括了全部的n i 个粒子。

假设每个能级包括了g i 个不同的子能级，都有相同的能量，而彼此可分辨。

例如，两个粒子有不同的动量，在这种情况下它们是可分辨的，但是它们仍可能有相同的能量。

和能级i 关联的g i 值称为该能级的“简并度”。

任意数量的玻色子可以占据同一子能级。

令ω(n,g)为n 个粒子在一个能级中的g 个子能级的分布方法数。

对于一个子能级，只有一种分布方法，因此ω(n,1)=1。

容易看出n 个粒子在两个子能级上有n+1种分布方法，我们写成：
!
1!)!
1()2,(n n n +=
ω 稍微思索就可以看出n 个粒子在三个子能级的分布方法数为ω(n,3)= ω(n,2)+ ω(n-1,2)+…+ω(0,2)，所以
∑∑
==+=-+-=-=
n
k n
k n n k n k n k n n 0
!2!)!
2(!1)!()!1()2,()3,(ωω
这里我们用到了下面包含二项式系数的定理：
∑=+++=+n
k a n a n a k a k 0
)!1(!)!1(!!)!( 继续这个过程，我们可以看出ω(n,g)就是一个二项式系数 )!
1(!)!
1(),(--+=g n g n g n ω
可以看出，对于一系列的占据数n i ，方法数为每一个能够填充的单独能级的方法的乘积： ∏∏
∏+≈--+==
i
i
i i
i i i i i i i i i g n g n g n g n g n W )!(!)!
()1(!)!1(),(ω
这里的近似是假设g i >>1。

下面使用和推导麦克斯韦-玻耳兹曼统计同样的方法，我们希望找到在固定粒子数和固定能量的约束下，W 最大化所对应的n i 序列。

W 和ln(W)的最大值都对应一个N i 值，由于数学处理上较为方便，我们将用后者代替前者。

我们用如下形式的拉格朗日乘数法（Lagrange multipliers ）来约束我们的解：
)()()ln()(∑∑-+-
+=i
i i
i n E n N W n f εβα 注1
利用g i >>1的近似，和对阶乘的斯特林近似（x x x x -≈)ln()!ln(），推导出期望的n i 。

设结果为0，解出产生费米-狄拉克填充数的n i ：
1
-=
+i
e
g n i i βεα 注2
可以证明在热力学中kT /1=β，这里k 为玻耳兹曼常数T 为温度。

而kT /μα-=，这里μ为化学势，因此最后变为：
()1
/-=-kT i i i
e g
n με
注意上式有时写为：
1
//-=
z e g n kT i
i i ε
这里的()kT z /ex p μ=为绝对活性（activity ）。

光子的玻色-爱因斯坦统计
对于光子来说，每一个能级εi 对应一个频率νi ，而能级简并度g i 就是光子的模式数（或称光波模式数）。

同时对于光子，μ=0。

由此可以导出，已知某频率的光子模式数g(ν)，和温度T ，在该频率下的光子数为：
1
)
()(/-=kT
h e g n ννν 则分布在每一模式上的平均粒子数为： 1
1)()(/-==
kT h e g n N ννν
上面两式可用于推导普朗克黑体辐射公式。

注1：
对于所有的粒子在所有的能级上的分布方式数 ∏∏
∏+≈--+==
i
i
i
i i i i i i i i i i g n g n g n g n g n W )!(!)!
()1(!)!1(),(ω (1)
两边都取自然对数
()()()()()[]
∑∑∏
--+=+=+=i
i i i i i
i i i i
i
i i i i g n g n g n g n g n g n W !ln !ln !ln !!!ln )!(!)!
(ln (2) 根据斯特林近似 ()()()()()[]∑--++=i
i i i i i i i i
g g n n g n g n
W ln ln ln ln (3)
又有边界条件
⎪⎩
⎪⎨⎧==∑∑i i
i i
i n E n N ε
即
⎪
⎩
⎪⎨⎧=-=-∑∑00i i i i
i n E n N ε (4)
其中N 为系统的总粒子数，E 为系统的总能量，εi 为每个能级的能量。

根据拉格朗日乘数法，可构造出函数 ()⎪⎭
⎫
⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-
+=∑∑i i i i i i n E n N W n f εβαln )( (5) α、β为代定系数。

注2：
要使()W ln 的值最大（也就是W 的值最大），即要找出()W ln 的极值对应的n i ，可以用
)(i n f 的极值来代替，即
()
0ln )(=--∂∂=∂∂∑∑i
i i i i i n W n n f εβα (6)
按照(3)式，有
()()∑∑⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+=⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡--+++++=∂∂i i i i i i i i i i i i i i n g n g n g g n n g n n W 1ln 1ln ln ln
代入(6)得 01ln )
(=--⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=∂∂∑∑∑i i i i i i i i n g n n f εβα 即
01ln =⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+∑i i i i n g βεα 也就是
01ln =--⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛+i i i
n g βεα
解得
1
-=
+i e g n i i βεα。