玻色-爱因斯坦统计

玻色-爱因斯坦统计

玻色-爱因斯坦统计，适用于被称作玻色子的基本粒子的统计类别，它是指光子、介子，以及W和Z粒子。玻色子拥有整数值的被称为自旋的量子力学特性，并且是“聚集的（gregarious）”，它的意义是能够处于同一状态的玻色子的数量是无限的。所有传递自然界中的基本力的粒子都是玻色子。

玻色-爱因斯坦统计

在统计力学中，玻色-爱因斯坦统计（更通常的被称为B-E统计）确定了在热平衡下同一的不可分辨的（indistinguishable）玻色子相对于能量状态的统计分布。

费米-狄拉克和玻色-爱因斯坦统计适用于量子效应必须考虑和粒子被看作是“不可分辨的”情况下。如果粒子的密度N/V n q（n q为量子密度），量子效应就显现出来。量子密度就是粒子间距等于热德•布罗意波长的时候，即粒子的波函数已经接触但还未重叠时。量子密度依赖于温度；高温会使大多数系统处于经典的限制中，除非它们有非常高的密度比如白矮星。费米-狄拉克统计适用于费米子（服从泡利不相容定律的粒子），玻色-爱因斯坦统计适用于玻色子。在高温或低密度下费米-狄拉克和玻色-爱因斯坦统计都变为麦克斯韦-玻耳兹曼统计。

麦克斯韦-玻耳兹曼统计经常被描述为“可分辨的”经典粒子的统计。换句话说，处在状态1的粒子A和处在状态2的粒子B的结构相比于粒子B是状态1和粒子A是状态2是不同的。当沿着这条思路充分展开时，就会导出适当的（玻耳兹曼）对于能量状态的粒子分布，但由于熵也会导出非自然（non-physical）的结果，如吉布斯反论。当认识到所有的粒子实际上都是不可分辨的，这些问题就消失了。这些分布在高温和低密度限制下都会趋近于麦克斯韦-玻耳兹曼分布，而不需要任何额外的假设。麦克斯韦-玻耳兹曼统计对于研究气体非常有用；F-D统计经常用于固体中的电子的研究。同样的，它们都成为半导体设备和电子学理论的基础。

玻色子，不同于费米子，不受泡利不相容定律的影响：无限数量的粒子可以同时占据相同的状态。这解释了为什么，在低温下玻色子的表现和费米子非常不同：所有的粒子趋向于聚集在最低的能量状态下，形成所谓的玻色-爱因斯坦凝聚态。

B-E统计由玻色于1920年引入光子中，并由爱因斯坦于1924年推广到原子。

处于一种能量状态i的粒子数的期望值由B-E统计给出：

1

/)(-=-kT i

i i e g n με

其中的με>i ，式中： n i 为粒子在状态i 的数量 g i 状态i 的简并度 εi 为第i 个状态的能量

μ 为化学势（chemical potential ） T 为绝对温度

当能量(με-i )>>kT ，该式就变成M-B 统计。 玻色-爱因斯坦统计的推导

假设我们有许多能级，以i 来标记，每个能级的能量为εi ，包括了全部的n i 个粒子。假设每个能级包括了g i 个不同的子能级，都有相同的能量，而彼此可分辨。例如，两个粒子有不同的动量，在这种情况下它们是可分辨的，但是它们仍可能有相同的能量。和能级i 关联的g i 值称为该能级的“简并度”。任意数量的玻色子可以占据同一子能级。

令ω(n,g)为n 个粒子在一个能级中的g 个子能级的分布方法数。对于一个子能级，只有一种分布方法，因此ω(n,1)=1。容易看出n 个粒子在两个子能级上有n+1种分布方法，我们写成：

!

1!)!

1()2,(n n n +=

ω 稍微思索就可以看出n 个粒子在三个子能级的分布方法数为ω(n,3)= ω(n,2)+ ω(n-1,2)+…+ω(0,2)，所以

∑∑

==+=-+-=-=

n

k n

k n n k n k n k n n 0

!2!)!

2(!1)!()!1()2,()3,(ωω

这里我们用到了下面包含二项式系数的定理：

∑=+++=+n

k a n a n a k a k 0

)!1(!)!1(!!)!( 继续这个过程，我们可以看出ω(n,g)就是一个二项式系数 )!

1(!)!

1(),(--+=g n g n g n ω

可以看出，对于一系列的占据数n i ，方法数为每一个能够填充的单独能级的方法的乘积： ∏∏

∏+≈--+==

i

i

i i

i i i i i i i i i g n g n g n g n g n W )!(!)!

()1(!)!1(),(ω

这里的近似是假设g i >>1。下面使用和推导麦克斯韦-玻耳兹曼统计同样的方法，我们希望找到在固定粒子数和固定能量的约束下，W 最大化所对应的n i 序列。 W 和ln(W)的最大值都对应一个N i 值，由于数学处理上较为方便，我们将用后者代替前者。我们用如下形式的拉格朗日乘数法（Lagrange multipliers ）来约束我们的解：

)()()ln()(∑∑-+-

+=i

i i

i n E n N W n f εβα 注1

利用g i >>1的近似，和对阶乘的斯特林近似（x x x x -≈)ln()!ln(），推导出期望的n i 。设结果为0，解出产生费米-狄拉克填充数的n i ：

1

-=

+i

e

g n i i βεα 注2

可以证明在热力学中kT /1=β，这里k 为玻耳兹曼常数T 为温度。而kT /μα-=，这里μ为化学势，因此最后变为：

()1

/-=-kT i i i

e g

n με

注意上式有时写为：

1

//-=

z e g n kT i

i i ε

这里的()kT z /ex p μ=为绝对活性（activity ）。 光子的玻色-爱因斯坦统计

对于光子来说，每一个能级εi 对应一个频率νi ，而能级简并度g i 就是光子的模式数（或称光波模式数）。同时对于光子，μ=0。由此可以导出，已知某频率的光子模式数g(ν)，和温度T ，在该频率下的光子数为：

1

)

()(/-=kT

h e g n ννν 则分布在每一模式上的平均粒子数为： 1

1)()(/-==

kT h e g n N ννν