高中数学中对称性问题总结.doc

对称性与周期性

函数对称性、周期性的判断

1. 函数()y f x =有()()f a x f b x +=-（若等式两端的两自变量相加为常数，如

()()a x b x a b ++-=+），则()f x 的图像关于2

a b

x +=

轴对称；当a b =时，若()() (()(2))f a x f a x f x f a x +=-=-或，则()f x 关于x a =轴对称；

2. 函数()y f x =有()()f x a f x b +=-（若等式两端的两自变量相减为常数，如

()()x a x b a b +--=+），则()f x 是周期函数，其周期T a b =+；当a b =时，若()()f x a f x a +=-，则()f x 是周期函数，其周期2T a =；

3. 函数()y f x =的图像关于点(,)P a b 对称⇔()(2)2 (()=2(2))f x f a x b f x b f a x +-=--或；函数()y f x =的图像关于点(,0)P a 对称⇔ ()=(2) f x f a x --( ()=())f a x f a x +--或；

4. 奇函数()y f x =的图像关于点(,0)P a 对称⇔()y f x =是周期函数，且2T a =是函数的一个周期；偶函数()y f x =的图像关于点(,0)P a 对称⇔()y f x =是周期函数，且4T a =是函数的一个周期；

5. 奇函数()y f x =的图像关于直线x a =对称⇔()y f x =是周期函数，且4T a =是函数的一个周期；偶函数()y f x =的图像关于直线x a =对称⇔()y f x =是周期函数，且2T a =是函数的一个周期；

6. 函数()y f x =的图像关于点(,0)M a 和点(,0)N b 对称⇔函数()y f x =是周期函数，且

2()T a b =-是函数的一个周期；

7. 函数()y f x =的图像关于直线x a =和直线x b =对称⇔函数()y f x =是周期函数，且

2()T a b =-是函数的一个周期。

关系

图像特征 ()()f x f x =- 关于y 轴对称 ()()f x f x =-- 关于原点对称 ()()f a x f x a -=-

关于y 轴对称 ()()f a x f a x +=-，或()(2)f x f a x =-

关于直线x a =对称

()()f x f a x =- 关于直线2a

x =轴对称 ()()f a x f b x +=- 关于直线2

a b

x +=对称

()()f x f x a =+

周期函数，周期为a

(,)P a b :0l Ax By C ++= :(,)0C f x y = 原点（0，0）

(,)a b --

()()0A x B y C -+-+= (,)0f x y --= 00(,)M x y

00(2,2)x a y b -- 00(2)(2)0A x x B y y C -+-+=

00(2,2)0f x x y y --=

x 轴

(,)a b - ()0Ax B y C +-+= (,)0f x y -= y 轴 (,)a b - ()0A x By C -++= (,)0f x y -= 直线x y = (,)b a 0Bx Ay C ++= (,)0f x y = 直线x y =- (,)b a -- ()()0B x A y C -+-+= (,)0f y x --= 0x y m ++= (,)b m a m ---- ()()0A y m B x m C --+--+= (,)0f y m x m ----= 0x y m -+= (,)b m a m --

()()0A y m B x m C -+-+=

(,)0f y m x m --=

⎧⎧⎪⎪⎨⎪

⎪⎪

⎪⎩

⎨⎧⎪

⎪⎪⎨⎪

⎪⎪⎩⎩

于的中心（）直于的曲于的于直的（）

直于直的曲于直的点关点对称

对称问题点对称问题线关点对称线关点对称对称问题点关线对称轴对称问题线对称问题线关线对称线关线对称

一、 点对称

(1) 点关于点的对称点问题

若点A 11(,)x y , B 22(,)x y , 则线段AB 中点M 的坐标是(

1212

,22

x x y y ++)；据此可以解求点与点的点 、

直 线 对 称

点 ( 直 线 ) 对

称 轴 ( 对 称 中 )

心

中心对称，即求点M 00(,)x y 关于点P (,)a b 的对称点'M 的坐标(,)x y ，利用中点坐标公式可得

00, 22

x x y y

a b ++=

=，解算的'M 的坐标为00(2, 2)a x b y --。

例如点M(6,-3)关于点P(1,-2)的对称点'

M 的坐标是(4,1)--.

① 点M 00(,)x y 关于点P (,)a b 的对称点'M 的坐标00(2, 2)

a x

b y --;

② 点M 00(,)x y 关于原点的对称点'

M 的坐标0000(2, 2)=(, ) a x b y x y ----.

(2) 直线关于点对称

① 直线L ：0Ax By C ++=关于原点的对称直线

设所求直线上一点为(,)M x y ，则它关于原点的对称点为'

(,)M x y --，因为'M 点在直线L 上，故有()()0A x B y C -+-+=，即0Ax By C +-=；

② 直线1l ：0Ax By C ++=关于某一点(,)P a b 的对称直线2l 它的求法分两种情况：

1)、当(,)P a b 在1l 上时，它的对称直线为过P 点的任一条直线。

2)、当P 点不在1l 上时，对称直线的求法为： 解法（一）：在直线2l 上任取一点(,)M x y ，则它关于

P 的对称点为'(2,2)M a x b y --，因为'M 点在1l 上，把'M 点坐标代入直线在1l 中，便得到2l 的方程即为

(2)(2)0A a x B b y C -+-+=，简化为：220Ax By C aA bB +---=.

解法（二）：在1l 上取一点11(,)M x y ，求出M 关于P 点的对称点'11(2,2)M a x b y --的坐标。再