多个样本均数比较的方差分析(2)
研-统计7完全随机设计资料多个样本均数比较及多重比较
例：某研究者欲研究甲状腺功能低下婴儿血清中甲 状腺含量（nmol/L),按病情严重程度分为三个水平： 轻度组、中度组、重度组，各组中随机选取10名婴 儿，请分析不同严重程度的婴儿血清甲状腺素水平 是否不同？实验前研究者关心重度组与中度组婴儿 血清甲状腺水平是否有不同？ （ANOVA 1)
不同严重程度的婴儿血清甲状腺素水平（nmol/L) (n=10)
1、变量设置 （1）数据格式 1个分类变量，标记为1，2，3，……Group=组别 1=轻度，2=中度，3=中度 2、前提条件的假设检验 1个因变量（反应变量） X=甲状腺素含量 AnalyzeDescriptive Statistics Explore Dependent List：X Factor List： Group Plots: Boxplots(箱式图） Normality plots with tests（正态性检验） Spread vs. Level with Levene Test：none
Post Hoc 多重比较 Post Hoc Tests for:group SNK Options Display Means for :group Descriptive statistics
当实验的处理是由两个或两个以上的因素，每个因 素至少有两个水平的全面组合时，称之为析因实验。
轻度 34.0 45.0 49.0 55.0 58.0 59.0 60.0 72.0 80.0 86.0 中度 8.0 25.0 35.0 36.0 40.0 42.0 53.0 65.0 55.0 74.0 重度 5.0 8.0 18.0 32.0 45.0 47.0 65.0 20.0 31.0 40.0
2.4577 4.7390
统计-完全随机设计资料的方差分析(多个样本均数间的两两比较)
单因素多个均数比较的方差分析（完全随机设计资料的方差分析）方差分析的基本思想是：将全部观察值的总变异按影响实验结果的诸因素分解为若干部分变异，构造出反映各部分变异作用的统计量，之后构造假设检验统计量F,实现对总体均数的判断。
方差分析的应用条件：各样本相互独立，且均来自总体方差具有齐性的正态分布。
完全随机设计是一种将研究对象随机地分配到处理因素各水平组的单因素设计方法。
其研究目的是推断处理因素不同水平下的试验结果的差异有否统计学意义，即该处理因素是否对试验结果有本质影响。
下面以一个实例来说明完全随机设计方差分析的基本思想和假设检验步骤。
例：为研究烫伤后不同时期切痂对肝脏ATP(u/L)含量的影响，将30只大鼠随机分3组，每组10只，分别接受不同的处理，试根据下表资料说明大鼠烫伤后不同时期切痂对其肝脏的ATP(u/L)含量是否有影响？大鼠烫伤后不同时期切痂肝脏ATP含量(u/L)烫伤对照组24h切痂组96h切痂组合计7.76 11.14 10.857.71 11.60 8.588.43 11.42 7.198.47 13.85 9.3610.30 13.53 9.596.67 14.16 8.8111.73 6.94 8.225.78 13.01 9.956.61 14.18 11.266.97 17.728.68合计（∑X）80.43 127.55 92.49 300.47（∑∑X ij）例数（n）10 10 10 30（N）均数（X）8.04 12.76 9.25 10.02平方和（∑X2）676.32 1696.96 868.93 3242.21(∑∑X ij2)1.建立检验假设，确定检验水准：H0：u1=u2=u3,3个总体均数全相等,即3组大鼠肝脏的ATP含量值无差别；H1：u1,u2,u3，3个总体均数不相等.即3组大鼠肝脏的ATP含量值有差别；a=0.052.计算检验统计量并列出方差分析表：①.计算离均数差平方和SS：首先计算每一组的合计、均数、平方和，再计算综合计数（∑X ij2），由表得：∑∑X ij=300.47 ∑X ij2=3242.21 N=30总的离均数差平方和SS总=∑X ij2 － (∑X ij)2n= 3242.21－300.47230=232.8026SS组间=∑ (∑X ij)2n i－(∑X ij)2n=80.43210+127.55210+92.49210－300.47230=119.8314SS组内=SS总－SS组间= 232.8026－119.8314=112.9712 ②.计算均方MS：MS组间= SS组间k-1(k为组数) =119.83143-1= 59.916MS组内= SS组内N-k(N为总例数) =112.971230-3= 4.184③.求F值F = MS组间MS组内=59.9164.184= 14.32将上述计算结果列成方差分析表，如下：变异来源平方和SS 自由度v 均方MS F值总变异232.8026 29组间变异119.8314 2 59.916 14.32 组内变异（误差) 112.9712 27 4.184（注：自由度：v总= N－1 = 30－1= 29；v组间= k－1 = 3－1 = 2; v组内=N －k = 30－3= 27）利用SPSS作方差分析时，会得到类似于以下的方差分析表：DescriptivesTest of Homogeneity of VariancesANOVA3.查表确定P值，并作出统计推断：V组间= 2，v组内=27, 得界限值Fα（2,27）为F0.05（2,27）= 3.35, 则F= 14.32> F0.05（2,27），则P<0.05，按0.05水准，拒绝H0，可以认为3个总体均数不全相同，即3组大鼠肝脏的ATP含量值有差别。
方差分析
第三节 随机区组设计资料的方差分析
一、随机区组设计
1。随机区组设计
随机区组设计又称配伍组设计，是配对设计的扩展。 首先从总体中随机抽样，然后将样本中的所有受试对 象，按条件相同或相近配成若干组（随机区组或配伍 组），再将每组中的几个受试对象随机分配到不同的 处理组中去，这种设计的方法称随机区组设计。
变异程度。计算公式如下：
SS总
2
Xij X
X
2 ij
C
其中：
C X 2 N
用离均差平方和表示总变异大小受样本容量
的影响，样本容量越大，SS越大，所以必须扣 除n的影响，严格的讲是扣除ν的影响。
总变异的自由度：ν 总=N-1
SS总总 称为总变异的均方，用MS总表示。
2。完全随机设计资料的分析方法
完全随机设计资料在进行统计分析时，需根 据数据的分布特征选择方法，对于正态分布且方 差齐的资料，常采用完全随机设计的单因素方差
分析（one-way ANOVA）或两样本t检验（g=2）；
对于非正态或方差不齐的资料，可进行数据变换 或采用秩和检验。
二、完全随机设计方差分析
SS区组 区组
MS区组 MS误差
误差 SS总 SS处理 SS区组 (g 1)(n 1) SS误差 误差
其中：C ( X )2 N
例4-4 某研究者采用随机区组设计进行实验，比较三 种抗癌药物对小白鼠肉瘤抑瘤效果，先将15只染有肉瘤 小白鼠按体重大小配成5个区组，每个区组内3只小白鼠 随机接受三种抗癌药物（具体分配结果见例4-3），以 肉瘤的重量为指标，试验结果见表4-9。问三种不同的 药物的抑瘤效果有无差别？
第三章多组均数间比较的方差分析详解演示文稿
第三章多组均数间比较的方差分析详解演示文稿一、引言方差分析是统计学中一种重要的分析方法，用于比较两个或多个样本均数之间的差异。
在实际应用中，我们常常需要比较多组数据的均数，这时就需要运用多组均数间比较的方差分析方法。
本文将详细介绍多组均数间比较的方差分析方法及其应用。
二、方差分析的基本原理方差分析的基本原理是通过比较因素（例如不同的处理组）对应的样本均数的差异来判断这些因素是否具有统计学上的显著性差异。
方差分析的核心概念是组内变异和组间变异。
组内变异是指同一处理组内观测值之间的差异，反映了同一处理组内个体间的差异。
组间变异是指不同处理组之间的观测值之间的差异，反映了不同处理组之间的差异。
方差分析的目标是确定组间变异相对于组内变异的大小，以便评估处理组间的差异是否具有统计学上的显著性。
三、多组均数间比较的方差分析步骤多组均数间比较的方差分析步骤如下：1.明确研究目的：确定需要比较的多个处理组以及需要比较的指标。
2.样本数据收集：收集每个处理组的样本数据。
3.建立假设：建立零假设（处理组均数之间没有显著差异）和备择假设（处理组均数之间存在显著差异）。
4.计算总变异度：计算总平方和（总变异度），表示总的数据变异情况。
5.计算组间变异度：计算组间平方和（组间变异度），表示不同处理组之间的差异情况。
6.计算组内变异度：计算组内平方和（组内变异度），表示同一处理组内个体间的差异情况。
7.计算F值：计算F值，用于检验处理组均数之间的差异是否具有统计学上的显著性。
8.判断显著性：根据计算得到的F值和相应的显著性水平，判断处理组均数之间的差异是否显著。
9.进行多重比较：如果处理组均数之间的差异显著，进一步进行多重比较。
四、方差分析的应用方差分析广泛应用于各个领域，例如医学、生物学、经济学等。
在医学领域，方差分析可以用于比较不同药物对疾病治疗效果的影响；在生物学领域，方差分析可以用于比较不同肥料对植物生长的影响；在经济学领域，方差分析可以用于比较不同市场策略对销售额的影响等。
统计学系列讲座第5讲多组样本均数比较的方差分析
３
随机单位组设计资料的方差分析（ｒａｎｄｏｍｉｚｅｄ ｂｌｏｃｋ ｄｅｓ ｉｇｎ）
第６期
安胜利 ． 统计学系列讲座
第５讲
多组样本均数比较的方差分析
９５
又称随机区组设计、 配伍组设计 。 这 种 设 计 相 当 于 配 对 设计的扩大。具体做法是将受试对象按性质（ 如性别、 体质 量、 年龄及病情等对试验结果有影响的非实验因素） 相同或 相 近者组成 ｂ 个单位组 ， 每个单位组中有 ｋ 个 受 试 对 象 ， 分 别随机地分配到 ｋ 个处理组。这种设计使得各处理组内受试 对象数量相同 ， 生物学特点也较为均衡。由于减少了误差 ， 试 验效率提高了。 例 ２ 为研究注射不同剂量雌激素对大白鼠子宫质量的 影响 ， 取 ４ 窝不同种系的大白鼠 （ ｂ＝４ ） ， 每窝 ３ 只 ， 随机地分配 到 ３ 个 组 内 （ ｋ＝３ ） 接 受 不 同 剂 量 的 雌 激 素 的 注 射 ， 然 后 测 定 其子宫质量 ， 见表 ５ ， 问注射不同剂量的雌激素对大白鼠子宫 质量是否不同 ？ 表５
分析： 本例多处数据标准差是均数的 ２ 倍以上， 基本上 可以认为此资料不服从正态分布 ， 而且 各 指 标 内 不 同 组 间 标 准差相差悬殊 ， 也不满足方差齐性条件 ， 所以不宜用 ｔ 检验和 方差分析。这两个条件具体可通过正态性检验和方差齐性检 验证实 （ 此略 ） 。另外 ， 本资料分为 ３ 组 ， 而原作者反复用 ｔ 检 验进行各两组间的比较也是错误的， ｔ 检验不能用于分析多 组资料间的两两比较。此例可考虑用无前提条件要求的非参 数检验（ 将在以后的讲座中介绍） ， 如果有统计学意义， 接着 用非参数检验中相应的两两比较方法。
ＳＳ ＳＳ 处 理 ＳＳ 单 位
ＣＥＡ ＣＡ１９－ ９ （μ ｇ／Ｌ） （１０３Ｕ／Ｌ） 术前 ５８ ３４．０± ７９．０ ２０９．０± ７３９．０ 术后 ３０ ２．０± １．２＊ １１．０± １０．９＊ 转移复发 １９ ８８．０± １０７．０ ２１２．０± ５２９．０ 与术前组比较 ： ＊Ｐ＜０．０５，＊＊Ｐ＜０．０１ ｎ
质量资格辅导资料：多个样本均数的两两比较
经过⽅差分析若拒绝了检验假设，只能说明多个样本总体均数不相等或不全相等。
若要得到各组均数间更详细的信息，应在⽅差分析的基础上进⾏多个样本均数的两两⽐较。
1.多个样本均数间两两⽐较
多个样本均数间两两⽐较常⽤q检验的⽅法，即 Newman-kueuls法，其基本步骤为：
建⽴检验假设——>样本均数排序——>计算q值——>查q界值表判断结果。
2.多个实验组与⼀个对照组均数间两两⽐较
多个实验组与⼀个对照组均数间两两⽐较，若⽬的是减⼩第II类错误，选⽤最⼩显著差法（LSD法）；若⽬的是减⼩第I类错误，选⽤新复极差法，前者查t界值表，后者查q‘界值表。
方差分析
第一节
方差分析的基本思想和应用条件
一、方差分析的基本思想
根据实验设计的类型，把总的变异分成
两个或多个部分，每个部分都可以由某个因
素的作用（或某几个因素的交互作用）加以
解释，然后通过比较推断各种研究因素对实
验结果有无影响。
例4-2
某医生为了研究一种降血脂新药的临床疗
效，按统一纳入标准选择 120名高血脂患者，采用 完全随机设计方法将患者等分为 4组，进行双盲试
二、完全随机设计方差分析
完全随机设计方差分析将总的变 异分解成两部分：组间变异和组内 变异。
变异来源
SS
2 X C
ν
N 1
MS
F
总
组间 组内
i 1
g
( X ij )2
j 1
ni
ni
C
g 1 SS组间 组间
N g SS 组内 组内
MS组间 MS组内
SS总 SS组间
表4-9 区组 1 2 3 4 5
不同药物作用后小白鼠肉瘤重量（g） A药 0.82 0.73 0.43 0.41 0.68 B药 0.65 0.54 0.34 0.21 0.43 C药 0.51 0.23 0.28 0.31 0.24
1、建立假设并确定检验水准
H0：三种不同药物作用后小白鼠肉瘤重量的总体均
2.72
81.46
233.00
2.70
80.94
225.54
1.97
58.99
132.13
第i个处理组的第j个测量值
表4-1 g个处理组的试验结果
分组 测量值 统计量 第1组 X11 X12 … X1j … 第2组 X21 X22 . . . . . . . . . … X2j . . . . . .
第四章多个样本均数比较的方差分析
第四章多个样本均数比较的方差分析方差分析的基本思想是通过比较各组或处理的均值差异与各组内的个体间差异来判断是否存在显著差异。
在进行方差分析之前，需要满足一些前提条件，如对总体的抽样是简单随机抽样、各样本之间是独立的等。
这些前提条件的满足保证了方差分析的可靠性。
多个样本的方差分析是通过计算组间离差平方和（SSTr）、组内离差平方和（SSE）和总离差平方和（SST）来比较各组或处理之间的差异。
计算公式为：SSTr = Σni(x̄i - x̄)²SSE = ΣΣ(xij - x̄i)²SST=SSTr+SSE其中，n是每组或处理的样本个数，ni是第i组或处理的样本个数，x̄i是第i组或处理的样本均值，x̄是全部样本的均值，xij是第i组或处理的第j个样本值。
通过计算SSTr和SSE，可以得到均方值（MS）：MStr = SSTr / (r - 1)MSE=SSE/(N-r)其中，r是组或处理的个数，N是总样本个数。
接下来，需要计算F值，用于判断各组或处理均值是否有显著差异：F = MStr / MSE根据F值和自由度，可以查找F表来确定是否存在显著差异。
如果F 计算值大于F临界值，则拒绝原假设，表示均值之间存在显著差异。
方差分析还可以进行多重比较，用于确定具体哪些组或处理之间存在显著差异。
常用的多重比较方法有Tukey的HSD（最大均值差异）和Bonferroni方法。
方差分析的优点是可以同时比较多个样本的均值差异，具有较好的统计效应。
然而，方差分析也存在一些限制，如对正态性和方差齐性的要求较高。
总之，多个样本均数比较的方差分析是一种常用的统计方法，在科学研究和实验设计中得到广泛应用。
它可以帮助研究人员确定不同处理或组之间的差异，为决策提供支持。
多组均数间比较的方差分析
方差分析的适用条件
条件
方差分析要求数据满足正态分布、独立性和方差齐性。如 果数据不满足这些条件，可能需要采用其他统计方法。
正态分布
各组数据应来自正态分布的总体，这是方差分析的前提假 设。
独立性
各组数据应相互独立，即不同组的观测值之间没有关联性 。
方差齐性
各组内部的变异应相似，即各组的方差应无显著差异。
目的和意义
目的
确定多个独立样本的均数是否存在显 著差异，从而判断不同处理或分组对 结果的影响。
意义
为科学研究提供了一种有效的统计分 析方法，有助于揭示不同处理或分组 间的差异，为进一步的研究提供依据 。
02
方差分析的基本概念
方差分析的定义
定义
方差分析（ANOVA）是一种统计分析方法，用于比较两个或多个组均数的差异，同时考虑各组内部的变异。
数据分组
根据实验分组情况，将数据整理成 各个组别的表格或图表，以便后续 分析。
方差分析过程与结果解读
方差分析的前提条
件
满足独立性、正态性和方差齐性 等前提条件，以保证分析结果的 准确性和可靠性。
方差分析过程
使用统计软件进行方差分析，包 括计算自由度、F值、P值等，并 判断各组间是否存在显著差异。
结果解读
方差齐性检验方法
采用Levene检验、Bartlett检验等方法对数据 进行方差齐性检验。
方差齐性检验结果解读
根据检验结果判断数据是否满足方差分析的前提条件。
方差分析的统计方法
方差分析的基本思想
通过比较不同组数据的均值差异，判断各因素对实验结果的影响 程度。
方差分析的常用统计量
包括自由度、离均差的平方和、均方等。
03
7医学统计--方差分析2(重复测量)课件
统计量
组数
q 界值
q
a
0.05
0.01
5.42
3
3.58
4.64
0.96
2
2.95
4.02
4.46
2
2.95
4.02
P值
<0.01 >0.05 <0.01
按照=0.05水准，甲厂与乙厂、乙厂与丙厂比较时均 拒绝H0，接受H1，可认为灭蚊效果上，甲厂、丙厂均 低于乙厂，但不能认为甲厂与丙厂间有差别。
二、 LSD-t 检验
总
n 1
处理组间 区组间 误差
MS处理组间
SS处理组间
处理组间
MS误差
SS误差
误差
MS区组间
SS区组间
区组间
随机区组设计方差分析的计算公式
变异来 源
SS
df
MS
F
处理组
k-1
区组 误差
b-1
N-k-b+1或 (k-1)(b-1)
总
N-1
➢处理组间变异（处理因素的影响） 用MS处理表示
➢区组间变异（配伍因素的影响） 用MS区组表示
第四节 多个样本均数间的多重比较
2020/4/5
医学统计学
24
• 多个总体均数不全相同，即多个总体均 数中至少有两个不同。
• 要了解哪些组均数间有差别，哪些组均 数间没有差别，需进一步作两两比较。
• t检验多次利用，会增大犯Ⅰ类错误的概 率。
• 探索性研究:在研究设计阶段未预料到多个 总体不全相等时,常用SNK-q检验，它用于 多个样本均数间的任两组比较。
表 7.3 甲厂
3.34 3.63 3.70 4.29 5.07 2.51 3.03 5.12 4.69 5.18 4.54 11 4.10 0.91
04 多个样本均数比较的方差分析.
方差分析(ANOVA)多个均数比较不能用t 检验!!!若用t 检验进行多个均数的比较，将会加大犯Ⅰ类错误（把本无差别的两个总体均数判为有差别）的概率。
例如，有4个样本均数，两两组合数为 ，若用t 检验做6次比较，且每次比较的检验水准选为，则每次比较不犯Ⅰ类错误的概率为（1－0.05），6次均不犯Ⅰ类错误的概率为: 此时，总的检验水准变为 26.0)05.01(16=--246C =0.05α=6)05.01(-第一节方差分析的基本思想将所研究的对象分为多个处理组,施加不同的干预，施加的干预称为处理因素（factor），处理因素至少有两个水平(level)。
用这类资料的样本信息来推断各处理组间多个总体均数是否存在差别，常采用方差分析(analysis of variance, ANOVA)。
该方法由RA. Fisher首先提出，并由GW. Snedecor完善，为纪念Fisher，检验统计量以F命名，故方差分析又称F 检验（F test）。
)实例说明(P73例4-2 某医生为研究一种降血脂新药的临床疗效，按统一纳入标准选择了120名高血脂患者，采用完全随机设计方法将患者分为4组，进行双盲试验。
6周后测得低密度脂蛋白（见表4－3）。
问4个处理组患者的低密度脂蛋白含量总体均数有无差别？i=1,2…gj=1,2…n iin (1)i =()2i =()3i =()4i =ij X i j 表示第组第个观察值试验数据有三种不同的变异•总变异（Total variation ）全部测量值X ij 与总均数 间的差别；•组间变异（ variation among groups ） 各组的均数 与总均数 间的差异； •组内变异（ variation within groups )每组的30个观察值与该组均数 的差异。
(一）变异的分割i X X X iX 下面用离均差平方和(sum of squares ，SS )表示变异的大小1. 总变异(total variation) ()()2g g g 221111112222();1i i i n n n ij ij ij i j i j i j SS X X X X n X X n X CC X n ν======⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭=-=-=-∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑总总其中 ＝n 反映了所有测量值之间总的变异程度. SS 总=各测量值X ij 与总均数 差值的平方和XSS 组间反映了各组均数 间的变异程度.组间变异是由于①随机误差+②处理因素效应? 产生。
多个样本均数比较的方差分析
多个样本均数比较的方差分析多个样本均数比较的方差分析指的是一种统计方法，用于对多个样本的均数进行比较。
它可以帮助我们确定是否有显著的差异存在于不同样本的均数之间。
在进行方差分析时，我们通常将样本分为不同的组，然后通过比较组均数的差异来确定它们之间是否存在显著差异。
方差分析是基于方差的假设检验方法。
通过方差分析，我们可以计算组内和组间的方差，然后通过比较这些方差之间的差异来判断它们之间是否有显著差异。
如果方差之间的差异足够大，则可以得出结论：不同样本的均数之间存在显著差异。
在进行方差分析时，需要满足以下假设：1.观察数据是独立且来自正态分布的。
2.不同样本的方差相等。
方差分析可以通过计算F统计量来进行。
F统计量是组间均方与组内均方的比值。
组间均方是由组间方差得出的，而组内均方是由组内方差得出的。
F统计量越大，表示组间差异越大，也就意味着不同样本的均数之间存在显著差异的可能性越大。
进行方差分析之前，我们首先需要进行方差齐性检验。
这可以通过Levene检验或Bartlett检验来完成。
方差齐性检验的目的是验证不同样本的方差是否相等。
如果方差齐性假设未被满足，则意味着方差之间的差异不可忽略，我们需要使用更为复杂的方法来处理比较。
一旦我们确认了方差齐性假设，我们就可以进行方差分析了。
在方差分析中，可以使用ANOVA（Analysis of Variance）表，它可以帮助我们计算组间平方和、组内平方和、总平方和和相应的均方值。
随后，我们可以使用F分布表或统计软件来确定F统计量所对应的显著性水平。
如果F统计量非常小，那么我们可以得出结论：不同样本的均数之间不存在显著差异。
而如果F统计量超过了给定的临界值，那么我们可以得出结论：不同样本的均数之间存在显著差异。
需要注意的是，方差分析只能告诉我们是否存在显著差异，却不能告诉我们哪些均数之间具体存在差异。
如果方差分析的结果是显著的，我们需要进一步使用事后多重比较方法（如Tukey's HSD test）来确定具体存在差异的样本均数对。
方差分析(二)
M 误 = 4 1 4, X24h =12.76, X0 = 8 04, n h = n =10 S 差 . 8 . 24 0
1 1 SXi −Xj = M 误 ( + ) = S 差 ni nj
LSDLSD- t =
1 1 41 ( + ) = 09 5 . 84 . 1 1 0 10
泸州医学院流行病与卫生统计教研室
一、SNK－q检验 SNK－
SNK（Student-Newman-Keuls）检验，亦称q检验
Xi − Xj SXi−X j
M误 1 1 S 差 ， ν= ν 误 差 ， SX −X = + i j 2 n nj i
q=
Xi ， ni 和 Xj ， nj 为两对比组的样本均数和样本例数。
泸州医学院流行病与卫生统计教研室
例 4 -3 续例 4 -1 试比较三个组两两之间的差别。 解：1 . 建立假设并确定检验水准 α ； 2. 计算 q 值 H0 ： µi = µj H ： µi ≠ µj ； α = 0.05 1 将三个样本均数从小到大排列，并赋予秩次 均数 8.04 9.25 12.76 组别 A 组 C 组 B 组 SXi −Xj = 4.184( 1 + 1 ) = 0.647 2 10 10 秩次 1 2 3 表 4-7 多个均数两两比较 q 值表 比较组秩次 （1 ） 1 , 2 1 , 3 2 , 3
①建立假设并确定检验水准 α ；
H0 ： µ24h = µ96h ； H ： µ24h ≠ µ96h ； α = 0.05 1
LSD②求 LSD- t 值
M 误 = 4.184, X24h =12.76, X96h = 9.25, n24h = n =10 S 差 96
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SS组间
组间
SS组内
组内
MS组间 MS组内
23
例4-2 某医生为了研究一种降血脂新药的
临床疗效，按统一纳入标准选择120名高血 脂患者，采用完全随机设计方法将患者等 分为4组（具体分组方法见例4-1），进行双 盲试验。6周后测得低密度脂蛋白作为试验 结果，见表4-3。问4个处理组患者的低密度 脂蛋白含量总体均数有无差别?
24
表4-3 4个处理组低密度脂蛋白测量值(mmol/L)
分组
测量值
n
3.53 4.59 4.34 2.66 3.59 3.13 2.64 2.56 3.50 3.25 安慰剂组 3.30 4.04 3.53 3.56 3.85 4.07 3.52 3.93 4.19 2.96 30
1.37 3.93 2.33 2.98 4.00 3.55 2.96 4.3 4.16 2.59 降血脂新药
10
计算公式为
ni
g
g (
X )2 ij
SS组间 ni ( Xi X )2
i1
i1
j 1
ni
C
组间 g 1
11
3．组内变异： 在同一处理组中，虽然
每个受试对象接受的处理相同，但测量值 仍各不相同，这种变异称为组内变异（误 差）。组内变异可用组内各测量值Xij与其 所在组的均数的差值的平方和表示，记为 SS组内, 表示随机误差的影响。
例4-3 如何按随机区组设计，分配5个区组的
15只小白鼠接受甲、乙、丙三种抗癌药物？
分组方法：先将小白鼠按体重编号，体重相
近的3只小白鼠配成一个区组，见表4-6。在随机数 字表中任选一行一列开始的2位数作为1个随机数， 如从第8行第3列开始纪录，见表4-6；在每个区组内 将随机数按大小排序；各区组中内序号为1的配结果见表4-6。
876.42
32.16
组间 4 1 3
SS组内 82.10 32.16 49.94 ， 组内 120 4 116
MS组间
32.16 3
10.72
， MS组内
49.94 116
0.43
，
F 10.72 24.93 0.43
27
列方差分析表
表4-5 完全随机设计方差分析表
变异来源 总变异 组间 组内
统计量
Xi X
X2
3.43 102.91 367.85
2.72 81.46 233.00
2.70 80.94 225.54
1.97 58.99 132.13 25
三、分析步骤
1. 建立检验假设，确定检验水准: H0：
1
2
3
4 ，即 4 个试验组的总体均数相等
H1：4 个试验组的总体均数不全相等
自由度
119 3
116
SS 82.10 32.16 49.94
MS
10.72 0.43
F 24.93
P <0.01
28
3. 确定P值，作出推断结论： 按 0.0水5 准，拒绝H0，接受H1，认为4个
试验组ldl-c总体均数不相等，即不同剂量药物 对血脂中ldl-c降低影响有差别。
29
注意：
方差分析的结果拒绝H0，接受H1，不能 说明各组总体均数间两两都有差别。如果 要分析哪些两组间有差别，可进行多个均 数间的多重比较（见本章第六节）。当g=2 时，完全随机设计方差分析与成组设计资
2
第一节 方差分析的基本思想
及其应用条件
3
目的：推断多个总体均数是否有差别。
也可用于两个
方法：方差分析，即多个样本均数比较 的F检验。
基本思想：根据资料设计的类型及研究 目的，可将总变异分解为两个或多个部 分，每个部分的变异可由某因素的作用 来解释。通过比较可能由某因素所至的 变异与随机误差，即可了解该因素对测 定结果有无影响。
X
2 ij
367.85
233.00
225.54
132.13
958.52
C (324.30)2 /120 876.42
SS总 958.52 876.42=82.10 ，总 =120－1=119
SS组间
(102.91)2 30
(81.46)2 30
(80.94)2 30
(58.99)2 30
2.4g 组
2.42 3.36 4.32 2.34 2.68 2.95 1.56 3.11 1.81 1.77 30
1.98 2.63 2.86 2.93 2.17 2.72 2.65 2.22 2.90 2.97
2.36 2.56 2.52 2.27 2.98 3.72 2.80 3.57 4.02 2.31
总变异SS总反映了所有测量值之间总的变 异程度。
8
计算公式为
g ni
SS总
X ij X
2
g ni
X ij 2
C
i 1 j 1
i1 j1
N
X
2 ij
C 总 ,
N
1
i, j
其中：
g
(
ni
X
ij
)
2
N
( Xij )2
C i1 j1
i,j
N
N
9
2．组间变异： 各处理组由于接受处理
的水平不同，各组的样本均数 (i＝1， 2，…，g)也大小不等，这种变异称为组间 变异。 其大小可用各组均数与总均数的离均差平 方和表示，记为SS组间 。
第四章 多个样本均数比较 的方差分析
Analysis of Variance, ANOVA
1
Content
• 1. Basal ideal and application conditions • 2. ANOVA of completely random designed data • 3. ANOVA of randomized block designed data • 4. ANOVA of latin square designed data • 5. ANOVA of cross-over designed data • 6. Multiple comparison of sample means • 7. Bartlett test and Levene test
处理分组
测量值
统计量
1 水平 2 水平
… g 水平
合计
X11 X12 … X1j … X1n1 X21 X22 … X2j … X 2n2
…………… …
n1
X1
S1
n2 X 2
S2
………
Xg1 Xg2 … Xgj … X gng
ng X g
Sg
X ij
N XS
X ij :第i个处理组第j个观察结果
6
12
SS组内
g
ni
( Xij
Xi
)2
i1 j1
组内 N g
13
三种变异的关系：
SS总 SS组间 SS组内
总 组间 组内
14
均方差，均方(mean square，MS)。
MS组间
SS组间
组间
MS组内
SS组内
组内
15
检验统计量：
F MS组间 , MS组内
1 组间, 2 组内
32
（2）随机区组设计的特点
随机分配的次数要重复多次，每次随机分 配都对同一个区组内的受试对象进行，且各个 处理组受试对象数量相同。区组内均衡。
在进行统计分析时，将区组变异离均差平方 和从完全随机设计的组内离均差平和中分离出 来，从而减小组内离均差平方和（误差平方 和），提高了统计检验效率。
33
4.8g 组
2.86 2.28 2.39 2.28 2.48 2.28 3.21 2.23 2.32 2.68 2.66 2.32 2.61 3.64 2.58 3.65 2.66 3.68 2.65 3.02 30 3.48 2.42 2.41 2.66 3.29 2.70 3.04 2.81 1.97 1.68
7.2g 组
0.89 1.06 1.08 1.27 1.63 1.89 1.19 2.17 2.28 1.72 1.98 1.74 2.16 3.37 2.97 1.69 0.94 2.11 2.81 2.52 30 1.31 2.51 1.88 1.41 3.19 1.92 2.47 1.02 2.10 3.71
随机数 260 873 373 204 056 930 160 905 886 958 … 220 634
序 号 24 106 39 15 3 114 13 109 108 117 … 16 75
分组结果 甲 丁 乙 甲 甲 丁 甲 丁 丁 丁 … 甲 丙
21
（2）统计分析方法选择：
1. 对于正态分布且方差齐同的资料，常采用 完 全 随 机 设 计 的 单 因 素 方 差 分 析 (one-way ANOVA)或成组资料的 t 检验（g=2）；
35
（3）统计方法选择：
1. 正态分布且方差齐同的资料，应采用两因 素（处理、配伍）方差分析(two-way ANOVA) 或配对t检验（g=2）；
20
3. 编序号：将全部随机数字从小到大 (数据相同则按先 后顺序）编序号，见表4-2第3行。 4. 事先规定：序号1-30为甲组，序号31-60为乙组，序号 61-90为丙组，序号91-120为丁组，见表4-2第四行。
表 4-2 完全随机设计分组结果 编 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … 119 120
H ： 即4个试验组总体均数相等 0.05 0 1 2 3 4 按表 4-4 中的公式计算各离均差平方和 SS、自由度 、均