极限存在判定与求法

n n
n
n n 1
n
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例2
求
lim
x0
1
cos x2
x
.
解
2sin2 x
原式 lim
x0
2 x2
1 2
sin2 x
lim
x0
2 (x)2
x
2
1ห้องสมุดไป่ตู้2
sin
lim(
x0
x
2
)2
1. 2
2
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得结论（变量的等价代换）：
x 0时， sin x ~ x,
1
例 求极限lim 1n 2n 3n n。 计算过程 n
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2、单调有界性定理
定理 单调有界数列必有极限。 这个定理只给出了数列极限的存在性，至于极限的计算 一般用极限的四则运算法则进行(进行极限的四则运算条件 是极限必须存在)。
例 数列un 满足n N，un1 2 un，且u1 2，讨
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§2.3 极限存在性的判定与求法
一、极限存在性的判断准则 前面我们学习了计算极限的几种基本方法。但是对于一些
稍微复杂的极限，如三角函数、反三角函数、对数函数、指数 函数等混合式的极限，很难用前面的方法计算。下面介绍两个 极限的存在性的判断定理，这两个定理不仅是微积分的理论基 础，在极限的计算中也有重要作用。
2
2
2
即 1 sin x 1 x
2
2
1 tan x 2
其 中0 x
2
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1 sin x 1 x
2
2
1 tan x 2
即sin x x tan x 其中0
x
2
由sin x x得 sin x 1 x
由x tan x sin x 得 sin x cosx
注：1. 利用这些结果计算极限时，要注意自变量的变化趋势，
例如我们证明过
lim sin x 0 。 x x
2. 利用这个重要极限求极限时，只要o(x) →0，不论x的变化
趋势如何，都有 lim sin o(x) 1
o(x)
例如
由于 lim
1
0
，则 lim n sin 1
lim
sin 1 n
1
。
例3 求极限lim
6 。 计算过程
x 1 2sin x
6
练习
sin2 2x
1.
lim
x0
x
2
cos
x
2. lim tan2 2x x0 1 cos x
3. lim tan x sin x x0 sin3 2x
4.
lim
x0
tan
x x3
sin
x
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利用第二个重要极限解题
f(x)夹在这两个函数之间，则f(x)也无限趋近于A。
注 此定理对其他形式的极限同样适用，如对数列有：
若N 0，使n N， 有
vn un wn
且
lim
n
vn
lim
n
wn
A，
则lim n
un
A
2
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应用夹逼定理求极限，关键是找到g(x)、h(x)，一般地， g(x)、h(x)是根据f(x)进行不等式放缩得到的。具体进行放缩 时，不但要满足不等式g(x) ≤f(x) ≤h(x) ，而且g(x)与h(x) 的 极限要相等，这就要求合理的放缩，不能放缩太过。
论un
的敛散性，若收敛，求lim n
un
。
解题过程
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二、两个重要极限
下面我们利用极限的两个存在性定理来证明两个重要结
果，这两个结果以后经常用到。
1、lim sin x 1 x0 x
证明 如图，在单位圆中，由
D B 1
x
O
A
C
S△OAB< S扇形OAB <S△OAD得
1 OA BC 1 OB x 1 OA AD
c os x
x
cosx sin x 1 其 中0 x
x
2
对 x 0，有0 x ，则cos(x) sin(x) 1
2
2
x
即cosx sin x 1 x
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cosx sin x 1 其 中0 x
x
2
由于lim cosx 1，由夹逼定理得 x0 lim sin x 1 x0 x
例1 求极限lim ln(1 x) 。
x0
x
解
lim
ln(1
解
lim
x sin x
1 sin x
lim
x
1 lim sin x
x0 x
0
x0 x tan x x0 1 tan x 1 lim tan x
x
x0 x
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备忘 lim tan x 1 lim arcsin x 1 lim arctan x 1
x0 x
x0 x
x0 x
在学过两个存在性定理后，再学习两个重要极限，这两个 极限以后会经常用到。
1
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1、夹逼定理
定理
若
0，
使x
U
0
(
x0
)有
g(x) f (x) h(x)
且 lim g(x) lim h(x) A，则lim f (x) A
xx0
xx0
xx0
从图象上看,如果两个函数g(x)、h(x)都无限趋近于A，而
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2、lim 1
1 x
e
x x
下面分三步证明这个结果。
引理 极限 lim 1 1 n 存在。 证明过程
n n
记 lim 1 1 n e，经计算知它是一个无理数。
n n
引理 定理
极 极
限 限
lim 1 1 x x lim 1 1 x
x
为纪念欧拉(Eular)先生而
e 。记为e，其近似值为 证明过程 e=2.718281828459……
e 。 证明过程
x x
lim
1
1
x
e
x x
令t
1，则得
lim
1
1
tt
e
x
t0
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利用第一个重要极限解题
例1. 1). 求极限lim tan x 。 x0 x
解 lim tan x lim sin x lim sin x lim 1 1
x0 x x0 x cos x x0 x x0 cos x
2) 求极限lim arcsinx 。 x0 x
解 令t=arcsinx，即x=sint，则x→0时t→0 ，从而
lim arcsinx lim t 1
x0 x
t0 sin t
3) 求极限lim x sin x 。
x0 x tan x
tan x ~ x,
x2 1 cos x ~
2
若在变化过程中，α ，β 0，α ~ α ,β ~ β ，lim α ,则 β
lim α lim α β α
β
α β β
lim α lim β lim α α β β
lim α β
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sin(x )