构造向量解代数及几何问题
向量法解决代数问题和几何问题
例3.设抛物线y2 2 px p 0的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点
点C在抛物线的准线上，且BC P x轴. 求证：直线AC经过原点.
例3.设抛物线y2 2 px p 0的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点
点C在抛物线的准线上，且BC P x轴. 求证：直线AC经过原点.
系转化成代数关系，利用向量的坐标运算，使 得最后计算的就是向量的加减数乘的线性运算， 这比找几何关系更简单直接，往往又从平行垂 直夹角等切入，数量积又作为重点高频使用公 式，此类问题的难度就在于转化思想的运用， 多积累，从量变到质变，数学还是一定要做题， 从做题中认识真正的数学思想方法。
rr r r r r r r 例1.证明:对任意的向量a,b,都有 a b a b a b
rr
r r r rr r r
证明:若向量a,b中有一个为0,则有 a b a b a b
r r r r uuur r uuur r uuur r r
若向量a 0,b 0,则作OA a, AB b,则OB a b
向量法解决代数问题和几何问 题的作用及优点
向量具有丰富的物理背景。它既是几何的研
究对象，又是代数的研究对象，是沟通代数、几 何的桥梁。通过向量法使代数问题几何化、使几 何问题代数化；使代数问题和几何问题相互转化， 从而体现向量法在解决中学代数问题和几何问题 的一些作用和优点。
1、向量法使代数问题几何化
rr 当a,b不共线时，如图1所示
rr
B
uur uuur uuur uur uuur
ab
r
OA AB OB OA AB
b
r r rr r r 即 a b ab a b
O
r
高中数学：构造向量法，解决数学问题的一个重要工具
高中数学：构造向量法，解决数学问题的一个重要工具
由于向量具有代数和几何的双重性，所以向量是解决数学问题的一个重要工具。好多数学问题的结构特征，数值特征中都隐含向量பைடு நூலகம்属性，如果我们能认真观察细心分析，就能挖掘出问题的向量背景，构造向量，利用向量的运算和性质获得简捷新颖的解法叫构造向量法。
高等数学 向量代数与空间解析几何题【精选文档】
第五章向量代数与空间解析几何5。
1。
1 向量的概念例1 在平行四边形中，设＝a，＝b.试用a和b表示向量、、和,这里是平行四边形对角线的交点（图5－8）解由于平行四边形的对角线互相平行，所以a＋b＝＝2即－(a＋b）＝2于是＝（a＋b)。
因为＝－，所以（a＋b）。
图5－8又因－a＋b＝＝2，所以＝（b－a）.由于＝－，＝（a－b）.例2 设液体流过平面S上面积为A的一个区域,液体在这区域上各点处的速度均为（常向量）v.设n为垂直于S的单位向量(图5－11（a)）,计算单位时间内经过这区域流向n 所指向一侧的液体的质量P（液体得密度为）。
（a）（b）图5－11解该斜柱体的斜高｜v |，斜高与地面垂线的夹角为v与n的夹角，所以这柱体的高为｜v｜cos，体积为A｜v｜cos=A v·n。
从而，单位时间内经过这区域流向n所指向一侧的液体的质量为P= A v·n.例3 设的三条边分别是a、b、c(图5－15)，试用向量运算证明正弦定理证明注意到CB=CA+AB，故有CBCA=(CA+AB) CA=CACA+ABCA=ABCA=AB(CB+BA） =ABCB图5－15于是得到CBCA=ABCA =ABCB从而 |CBCA|=|ABCA| =｜ABCB|即ab sin C＝cb sin A＝ca sin B所以5。
2 点的坐标与向量的坐标例1 已知点A(4，1，7）、B(-3，5,0）,在y轴上求一点M，使得|MA｜=|MB｜。
解因为点在y轴上,故设其坐标为，则由两点间的距离公式,有解得，故所求点为例2 求证以三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.解因为所以，即△为等腰三角形。
5.2。
2 向量运算的坐标表示例3 设有点，，求向量的坐标表示式.解由于，而，,于是即例4 已知两点A(4，0,5）和B（7，1，3)，求与方向相同的单位向量e。
解因为＝–＝（7，1,3）－（4，0，5）＝（3，1，–2），所以＝，于是 e.例5 求解以向量为未知元的线性方程组其中a＝(2，1，2），b=(—1，1，-2).解解此方程组得x=2a–3b , y =3a–5b以a，b代入，即得x=2(2,1,2)–3(–1,1，–2）=（7,–1,10)y=3(2，1,2)–5（–1,1,–2)=(11,–2,16)。
向量代数与空间解析几何习题详解
坐标平面所围成； （ 3 ） z = 0, z = a(a > 0) , y = x,x 2 + y 2 = 1 及 x
z x 2 y 2 , z 8 x 2 y2 所围 .
0 在 第 一 卦 限 所 围 成 ；（ 4 ）
解：（1 ）平面 3x 4 y 2z 12 0 与三个坐标平面围成一个在第一卦限的四面体；
，化为 y
1
3 cos t (0 t 2 ) ；
2
99
z 3 sin t
x 1 3 cos
（ 2） y 3 sin
(0
z0
2 ).
x a cos 6、 求螺旋线 y a sin 在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程 .
zb
x2 y2 解：
z0
a2
z y a sin
z x a cos
；
b；
b.
x0
y0
第六章 向量代数与空间解析几何
习 题 6—3
1、 已知 A(1,2,3) ， B(2, 1,4) ，求线段 AB 的垂直平分面的方程 .
解 ：设 M ( x, y, z) 是所求平面上任一点，据题意有 | MA | | MB |,
x 12 y 2 2 z 32
x 2 2 y 12 z 4 2,
化简得所求方程 2x 6 y 2 z 7 0 .这就是所求平面上的点的坐标所满足的方程
6、 设平面过原点及点 (1,1,1) ，且与平面 x y z 8 垂直，求此平面方程 .
解： 设所求平面为 Ax By Cz D 0, 由平面过点 (1,1,1) 知平 A B C D 0, 由
r 平面过原点知 D 0 ， Q n {1, 1,1},
A B C 0 A C, B 0 ，所求平面方程为
高等数学第七章向量代数与空间解析几何习题
解 ∵ a + b = AC = 2MC = −2MA ,
D
C
b
M
b − a = BD = 2MD = −2MB ,
∴
MA
=
−
1 2
(a
+
b),
MB
=
−
1 2
(b
−
A a ),
a
B
图 7.2
MC
=
1 2
(a
+
b),
MD
=
1 2
(b
−
a ).
10. 用向量的方法证明: 连接三角形两边中点的线段(中位线)平行且等于第三
而
a⋅b =
a
⋅
b
⋅
cos(a,
b)
=
10
×
cos
π 3
=5,
所以
r 2 = 100 − 60 + 36 = 76 ,
故 r = 76 .
3. 已知 a + b + c = 0 , 求证 a × b = b × c = c × a
证 法1
∵a + b + c = 0 ,
所以
c = −(a + b) ,
解 因 a = m − 2n + 3 p = (8i + 5 j + 8k) − 2(2i − 4 j + 7k) + 3(i + j − k) = 7i + 16 j − 9k ,
故沿 x 轴方向的分向量为 axi = 7i ; 沿 y 轴方向的分向量为 ay j = 16 j .
16. 若线段 AB 被点 C(2, 0, 2)和D(5, −2, 0) 三等分, 试求向量 AB 、点 A 及点 B 的
构造向量法解题
中围分类号：Ｇ６４２
文献标识码：Ａ
文章编号；１００９—５１２８（２００５）ｓ２一０１０９一０２
向量是研究关于位置的几何的主要数学工具之一，也是沟通数形结合的桥梁，有着广泛的应用。向量 在高职数学教材中的引入，不仅提供了一种新的研究数学的方法，而且在用向量处理数学问题中，也能充 分体现数形结合，构造模型、化归转换、平移变换等各种数学思想。向量的学习与应用有利于发展思维能力 和激活创新思维。
筒评：（４１ ６ｌ＋４：ｂ１）２即为两向量数量积的平方，故设。一（口。，ｎ：），ｂ一（６１。岛）．
’｛ｌＩ＿＾’…－一＿。ｌ－
俄《瑷辉条约》、《天津条约》、《北京条约》，中美、中英、中法《天津条约》和中英、中法《北京条约》，中国丧失 了更多的领土和主权，外国侵略势力扩大刭中国沿海各省并深入内地，中国的半殖民地化进一步加深，接 着中外反动势力勾结，共同镇压太平天国运动（第一次：清朝失败，清政府被迫签订《中英南京条约》，中国 开始沦为半殖民地半封建社会）。这样，学生不仅掌握了“第二次鸦片战争是第一次鸦片战争的继续和扩 大”的基础知识，对。继续和扩大”的古义有了更深地体会，而且使比较思维得到了训练。
ｙ２＋一一９／４，解得ｔ一未，所以，方程组存在雎一一组解，且为＜ｙ一９／２６ ．
ｏ‘
【ｚ一一１ｓ／１３
筒评ｔ通过给出的方程组可构造两个空同向量，通过向量的坐标运算和数性积讨论两向量的位置关系
来获得两向量的坐标间的关系，进而探究方程组解的存在性。
例４在棱长为４的正方体ＡＢｃＤ—Ａ。占。ｃ。Ｄ。中，ｏ是正方形Ａ。Ｂ。ｃ。Ｄｌ的中心，点．Ｐ在棱ｃｃ－上，边
下载时间：2010年8月10日
２００５年增刊（增总第１４期）
渭南师范学院学报
ＶｏＩ．２０ Ｓ２
例谈构造平面向量解决代数问题
数中一些 等量关系的问题.
2 利用平面向量的数量积的一般情况, 构造平
·24·
面向量G解G题G G a b =| a | | b | cosθ,又 1≤cosθ≤1, 因此, GG G G
我们可以得到| a b |≤| a | | b |, 即 G G GG G G | a | | b |≤a b ≤| a | | b | .
个‘ 路标’.因为有了运算 ,向量的力量无穷”.
向 量 是 解 决问 题 的 有效 的 思 想 方法 , 要 突出
向 量 的 应 用意 识 . 下面 举 例 谈谈 如 何 构 造平
面向 量,解决某些代数问 题.
1 利用平面向量的数量积的特殊情况, 构造平
面 向量解题
GG G
G 由向量的数量积定义G 可G知, a b = | a |
题. 平面向量作为一种工具,在中学数学中有
着 重要的 作用.普 通高中 数学课 程标准 (实验 )
指出 :“向量是近代数学最 重要和最基本的概
念之 一,是沟通几何、代 数、三角等内容的桥
梁, 它具有丰富的实际背 景和广泛的应用.”普
通高中课程标准实验教科书(人教社 A 版)在
平面 向量一章指出“如果 没有运算,向量是一
例 3 求函数 f (x) = 5 x 1 + 10 x 的
最 大值.
分析 函数 f ( x) 是和的形式, x 1与
10 x 的平方和为常数,可以考虑构造为平
面向量的模G的平方. G
解 设 a ＝(5,1), b ＝( x 1, 10 x ),
G
G
| a |= 26,| b |= 3 .则
向量法在中学数学解题中
向量在中学数学中的应用向量是中学数学的主要内容之一,巧妙地构造向量,利用向量的运算及性质,可以解决证明有关恒等式，不等式、求某些函数极值和有关几何问题。
1.在代数解题中的应用(1)求函数的最值(值域) 利用向量的模的不等式a b a b a b →→→→→→-≤+≤+, a b a b →→→→⋅≤,可以十分简单地求一些较为复杂的、运用常规方法又比较麻烦的最值(值域)问题．例1、求函数()32f x x =++分析：观察其结构特征，由3x +令(3,4),(p q x →→==，则()2f x p q →→=⋅+，且5,2p q →→==．故()212f x p q →→≤+=，当且仅当p →与q →同向，即30x =>时取等号，从而问题得到解决．(2)证明条件等式和不等式 条件等式和不等式的证明，常常要用一些特殊的变形技巧，不易证明．若利用向量来证 明条件等式和不等式，则思路清晰，易于操作，且解法简捷．例2、设22222()()()a b m n am bn ++=+，其中0mn ≠．求证:m a =nb ． 分析：观察已知等式的结构特征，联想到向量的模及向量的数量积，令(,),p a b →= (,)q m n →=，则易知p →与q →的夹角为0或π，所以p →∥q →，0an bm -=，问题得证．(3)解方程(或方程组)有些方程(方程组)用常规方法求解，很难凑效，若用向量去解，思路巧妙，过程简洁． 例3、求实数,,x y z 使得它们同时满足方程： 2313x y z ++=和22249215382x y z x y z ++-++=．分析：将两方程相加并配方得222(2)(33)(2)108x y z ++++=，由此联想到向量模，令(2,33,2),(1,1,1)a x y z b →→=++=，则a b →→==(2)1(33)1a b x y →→⋅=⋅++⋅ (2)118z ++⋅=，又因为18a b a b →→→→⋅≤=，其中等式成立的条件即为方程组的解，即当且仅当12x =133+y =12+z 0>时等式成立，问题解决． (4)解复数问题因为复数可以用向量表示，所以复数问题都可以用向量来研究解决．例4、已知复平面内正方形ABCD 的两对角顶点A 和C 所对应的复数分别为23i +和 44i -，求另外两顶点B 和D 所对应的复数．分析：先求D ，为此得求OD --→．因OD O A A D -→-→-→=+，而AD --→是AC --→依逆时针方向旋转4π，同时将AC --→倍，因此先求AC --→．而AC OC OA --→--→--→=-，故AC --→对应的复数是 44(23)27i i i --+=-，于是AD --→对应的复数是95(27)cos sin4422i i ππ⎫-+=-⎪⎭ 又OD OA AD --→--→--→=+，所以OD --→可求．同理可求OB --→，问题解决．(5)求参变数的范围求参变数的范围是代数中的一个难点，常常要进行讨论，若用向量去解，会收到意想不到的效果.例5、设,,,a b c d R ∈，且22222(0),3k a b c d k k a b c d +++=>+++=，试讨论 ,,,a b c d 的范围．分析：由2222a b c d +++联想到向量的模，令(,,),(1,1,1)p a b c q →→==，则p q a b c k d →→⋅=++=-，p q →→==.由p q p q →→→→⋅≤得k d -≤102d ≤≤，由,,,a b c d 对称性便可得,,,a b c d 的范围． 2.在三角解题中的应用向量的数量积的定义，将向量与三角函数融为一体，体现了向量的模与三角函数之间的关系，为运用向量解决三角函数问题创造了有利的条件．(1)求值例6、已知3cos cos cos()2αβαβ+-+=，求锐角,αβ的值． 分析：由已知得3(1cos )cos sin sin cos 2βαβαβ-+=-，观察其结构特征,联想到向量的数量积，令(1cos ,sin ),(cos ,sin )a b ββαα→→=-=，则3cos 2a b β→→⋅=-，a b →→=．由a b a b →→→→⋅≤得3cos 2β-≤，所以1cos 2β=， 即3πβ=，代入已知等式便可求得α的值．(2)证明恒等式例7、求证：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+分析：由等式右边联想到向量的数量积，令(cos ,sin ),(cos ,sin )a b ααββ→→==， 则1,1a b →→==，且易知a →与b →的夹角为βα-，则cos()a b a b βα→→→→⋅=-cos()βα=-， 又cos cos sin sin a b αβαβ→→⋅=+，则问题得证．3.在平面几何解题中的应用利用向量加法、减法、数乘和内积的几何意义，可以巧妙而简捷地进行几何证明和解决几何中有关夹角的问题．例8、试证明以三角形的三中线为边可以作成一个三角形.分析：如图，,,AD BE CF 分别为ABC ∆三边上的中线，若要证明,,AD BE CF 能作成一个三角形，只须证明AD BE CF --→--→--→++=0→．证明：设AB --→=c →, BC --→=a →, CA --→=b →,则0a b c →→→→++=，而AD AB BD --→--→--→=+ 12c a →→=+，BE BC CE --→--→--→=+12a b →→=+, 所以 CF CA AF --→--→--→=+12b c →→=+． 于是 AD BE CF --→--→--→++=1()02a b c a b c →→→→→→→+++++=，即以,,AD BE CF 为边可构成一个三角形．4.向量在解析几何中的应用平面向量作为一种有向线段，本身就是线段的一段，其坐标用起点和终点坐标表示，因此向量与平面解析几何有着密切联系．在解析几何中，它可使过去许多形式逻辑的证明转化为数值的计算，化复杂为简单，成为解决问题的一种重要手段和方法.例9、已知一个圆的直径两端点为1122(,),(,)A x y B x y ，求此圆方程.解：设(,)P x y 为圆上异于,A B 的点，由圆周角定理得AP --→⊥BP --→，若(,)P x y 是与点A 或B 重合的点，则AP --→=0→或BP --→=0→，故都有AP --→⋅BP --→=0成立，从而 1122()()()()0x x y y x x y y --+--=，此即为所求圆方程．例10、求过圆22(5)(6)10x y -+-=上的点(6,9)M 的切线方程．解：如图,设(,)N x y 是所求切线上的任意一点，则MN --→(6,9)x y =--， (1,3)O M --→'=,因为MN --→⊥O M --→'，所以MN --→⋅O M --→'=0，即(6)3(9)0x y -+-=，此即为所求切线的方程(即使是,N M 重合时，仍有MN --→⋅O M --→'=0，因为此时MN --→=0→)．5.在立体几何解题中的应用直线与平面所成的角、最小角定理，异面直线所成的角，二面角及其平面角概念、求法，两平面垂直的判定及性质定理，点面、直线与平行面、两平行面、异面直线等四种距离的概念及求法以及用向量解决有关直线、平面的垂直、平行、共面以及夹角与距离问题.例11、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是棱1111,A D A B 的中点，求BC 和面EFBD 所成的角． 解：如图，建立空间直角坐标系D xyz -，设正方体棱长为2，则坐标为：(2,2,0),(0,0,0),B D 1(1,0,2),(2,1,2),(0,2,2)E F C ， (2,2,0),(1,0D B DE --→--→∴== y1(2,0,2)BC --→=-．设n →(,,)x y z =是平面EFBD 的法向量，n →DB --→⋅0=，n →⋅DE --→0=， 得1,2y x z x =-=-，令2x =-，得(2,2,1)n →=-，设θ为1BC 和面EFBD 所成的角，则111sin cos ,6BC n BC n BC nθ⋅=<>==⋅arcsin 6θ= 综上所述，向量是一种有效的工具，在众多数学问题中有十分广泛的应用．因此，我们应该有意识地运用向量分析问题，借助向量的知识来解决问题．。
利用向量解几何问题如何利用向量解决几何问题
利用向量解几何问题如何利用向量解决几何问题在数学中，向量是一种重要的数学工具，能够用来描述和解决许多与几何相关的问题。
利用向量解决几何问题是一种简洁、直观且有效的方法。
本文将介绍如何利用向量解决几何问题，并提供一些例子来说明。
一、向量及其运算在开始讨论如何利用向量解决几何问题之前，先对向量及其运算进行简要介绍。
向量由大小和方向两个要素构成，通常用箭头表示。
向量的运算包括加法、减法、数量乘法和点乘。
向量的加法：将两个向量的对应分量相加，得到一个新的向量。
向量的减法：将第二个向量取负，再进行向量的加法。
数量乘法：将向量的每个分量乘以一个实数，得到一个新的向量。
点乘：将两个向量的对应分量相乘，并将乘积相加，得到一个实数。
二、向量解决几何问题的基本方法1. 向量共线与相关问题向量a、b共线的充要条件是它们与一个非零向量c的关系式ka+lb=c成立，其中k、l为实数。
利用这一性质，可以判断两个向量是否共线，并求解系数k、l。
例题1：已知向量a=(2,3)和向量b=(4,6)，判断两个向量是否共线，并求解k、l的值。
解答：由向量共线的性质可知，两个向量共线时，它们满足ka+lb=c。
代入已知向量，得到2k+4l=2×2+4×3=16。
解这个方程组，可以得到k=2，l=3。
因此，向量a和b共线，并且k=2，l=3。
2. 向量的模和单位向量向量的模表示向量的长度，用数值表示，记作|a|。
单位向量是指模为1的向量，可以通过向量除以模得到。
例题2：已知向量a=(3,4)，求向量a的模和单位向量。
解答：向量a的模可以通过求解平方和再开平方的方式得到，即|a|=√(3^2+4^2)=5。
单位向量可以通过将向量a除以模得到，即a/|a|=(3/5,4/5)。
3. 向量的投影和垂直向量的投影是指一个向量在另一个向量上的投影，可以通过向量的点乘计算得到。
两个向量垂直时，它们的点乘为零。
例题3：已知向量a=(3,4)和向量b=(4,3)，求向量a在向量b上的投影和判断两个向量是否垂直。
第4章向量代数与空间解析几何练习题_3
3．母线平行于轴, 准线为的柱面的方程是
_____________________．
4．顶点在原点且经过圆的圆锥面的方程是
________________________．
5．经过, 且与曲面相切的平面的方程是____________．
三、计算题与证明题
1．一动点到定点的距离是它到的距离的两倍, 程．
复习题四
一、选择题
1．将下列列向量的起点移到同一点,
终点构成一个球面的是
()
（A）平行于同一平面的单位向量；（B）平行于同一直线的单位
向量；
（C）平行于同一平面的向量； （D）空间中的所有单位向 量．
2．下列叙述中不是两个向量与平行的充分条件的是
(
)
（A）； （B）与的内积等于零；
（C）对任意向量有混合积； （D）与的坐标对应成比例．
3．设向量的坐标为, 则下列叙述中错误的是( )
（A）向量的终点坐标为； （B）若为原点,且, 则点的坐标为；
（C）向量的模长为；（D） 向量与平行．
4．行列式的值为( )
（A） 0 ； （B） 1 ； （C） 18 ； （D） ．
5．对任意向量与, 下列表达式中错误的是( )
（A）与； （B） 与；
（C）与； （D） 与．
5．原点到平面的距离是( )
（A） ； （B） ； （C） ； （D） 1．
二、填空题
1．垂直于向量且到点的距离为5的平面的方程是 ______________________或者__________________________．
2．经过原点与且平行于向量的平面的方程是_________________． 3．平面与三坐标轴分别交于点（A）、（B）、（C），则Δ（A） （B）（C）的面积为_________________． 4．一动点移动时与及坐标平面等距离，则该点的轨迹方程为 ________________． 5．通过轴和点的平面的方程是________________________．
高中数学的解析如何运用向量进行空间几何的求解
高中数学的解析如何运用向量进行空间几何的求解空间几何是高中数学中的重要知识点之一，而向量是空间几何中常用的工具。
本文将介绍高中数学中，如何运用向量进行空间几何的求解。
首先，我们将从基本概念开始，逐步深入，帮助读者全面理解和掌握这一内容。
1.基本概念在空间几何中，向量是指有大小和方向的量。
向量通常用箭头或加粗字母来表示。
在直角坐标系中，向量可以表示为一个有序数对。
例如，向量AB可用表示为$\vec{AB}=(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1)$，其中A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)是向量的起点和终点。
2.向量的运算在空间几何中，向量可以进行加法和数乘运算。
向量的加法可以用向量的起点和终点连接起来，得到一条新的向量。
向量的数乘运算是将向量的长度进行扩大或缩小。
通过向量的运算，我们可以得到一些性质和定理，例如向量的共线性、向量的线性组合等。
3.向量的点乘和叉乘在向量运算中，除了加法和数乘运算外，还有两个重要的运算：向量的点乘和向量的叉乘。
向量的点乘可以得到两个向量之间的夹角余弦值，从而判断它们的夹角大小和关系。
向量的叉乘可以得到一个新的向量，该向量与原来的两个向量垂直，并且符合右手法则。
4.向量在空间几何中的应用在空间几何中，向量可以用来求解空间中的点、线、面等问题。
通过将点的坐标表示为向量形式，可以方便地计算两点之间的距离、线段的中点坐标等。
通过将线段表示为向量差，可以方便地计算线段的长度、中点坐标等。
同样，通过将平面表示为向量共线组的形式，可以方便地计算平面的法向量、平面的方程等。
5.向量的运用举例举例来说，假设有一个三角形ABC，其中A(1, 2, 3)、B(4, 5, 6)、C(7, 8, 9)。
我们可以通过向量求解来计算三角形的周长、面积等问题。
首先，我们可以求出向量AB、BC、CA，并计算出三边的长度。
接着，通过向量的叉乘可以得到三角形的面积。
此外，我们还可以利用向量的点乘来判断三角形是否为直角三角形，以及计算其余弦值从而求出夹角大小。
向量代数与空间解析几何相关概念和例题
空间解析几何与向量代数向量及其运算目的：理解向量的概念及其表示；掌握向量的运算，了解两个向量垂直、平行的条件；掌握空间直角坐标系的概念，能利用坐标作向量的线性运算；重点与难点重点：向量的概念及向量的运算。
难点：运算法则的掌握过程：一、向量既有大小又有方向的量称作向量通常用一条有向线段来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小.有向线段的方向表示向量的方向•向量的表示方法有两种：a、AB向量的模：向量的大小叫做向量的模，向量a、AB的模分别记为|a'|、|AB| .单位向量：模等于1的向量叫做单位向量.零向量：模等于0的向量叫做零向量.记作0规定：0方向可以看作是任意的，相等向量：方向相同大小相等的向量称为相等向量平行向量(亦称共线向量)：两个非零向量如果它们的方向相同或相反.就称这两个向量平行记作a // b规定：零向量与任何向量都平行，二、向量运算向量的加法向量的加法：设有两个向量a与b.平移向量使b的起点与a的终点重合.此时从a 的起点到b的终点的向量c称为向量a与b的和.记作a+b .即c=a+b .当向量a与b不平行时.平移向量使a与b的起点重合.以a、b为邻边作一平行四边形从公共起点到对角的向量等于向量a与b的和a b向量的减法：设有两个向量a与b .平移向量使b的起点与a的起点重合.此时连接两向量终点且指向被减数的向量就是差向量。
T T T T TAB =AO OB =0B -CA .2、向量与数的乘法向量与数的乘法的定义：向量a与实数，的乘积记作 a .规定■ a是一个向量.它的模它的方向当■ >0时与a相同.当■ <0时与a相反，(1) 结合律，(七)=±a)=C；L)a ；(2) 分配律(kj a = 'a；'(a b) =■ a …b例1在平行四边形ABCD中.设AB =a . AD二b试用a和b表示向量MA’、MB’、MC‘、MD .其中M是平行四边形对角线的交点----- ■> ----- i ---- i A解：a 〜b = AC = 2 AM 于是MA = （a 亠b）,因为MC —MA” .所以MC =1（a b）.又因 T b = BD =2 MD .所以MD =2（b_a）.由于MB =—MD“ .所以MB‘=2（a—b）.定理1设向量a式0.那么.向量b平行于a的充分必要条件是：存在唯一的实数，.使b二，a,三、空间直角坐标系过空间一个点O,作三条互相垂直的数轴，它们都以O为原点。
构造几何图形巧解代数问题
构造几何图形巧解代数问题
今天，越来越多的学生通过构造几何图形来解决代数问题。
几何图形的构造是一种灵活的数学技术，它可以帮助我们解决各种复杂的数学问题，特别是平面几何中的许多代数问题。
本文将讨论使用几何图形构造解决代数问题的优势和局限性，以及构造几何图形以解决代数问题的一般方法。
使用几何图形解决代数问题的优势很明显。
最重要的是，它有助于我们更好地理解和记住代数问题的解决过程。
求解代数问题时，学生可以藉由几何图形的构造来更好地理解每步操作。
另外，利用图形构建办法，学生可以更轻松地发现问题解决的可能性，以求得最终结果。
尽管构造几何图形解决代数问题有很多优势，但也存在一些局限性。
首先，学生必须掌握几何图形的构建方法，以使用几何图形解决数学问题。
其次，学生必须熟悉数学基础知识，有能力熟练使用数学符号和概念，才能够有效地利用几何图形来解决代数问题。
构造几何图形以解决代数问题有一般的方法，包括以下步骤。
首先，学生应了解问题的背景并熟悉和分析问题中所涉及的数学概念。
接下来，学生定义必要的几何图形，根据代数表达式在图形中构成特定的点。
随后，学生应该绘制数学表达式中出现的所有元素，如直线、圆等，以构建几何图形。
最后，学生利用几何图形来解决给定的问题，并可以得出结果。
总的来说，使用几何图形来解决代数问题是一种有效的方法，可
以更好地帮助学生掌握数学概念，促进学生对数学问题的解决理解。
因此，老师可以把构造几何图形来解决代数问题纳入学生的学习计划，以帮助学生更好地掌握数学知识，提升数学技能。
向量代数与空间解析几何知识题详解
第六章 向量代数与空间解析几何习 题 6—31、已知)3,2,1(A ，)4,1,2(-B ，求线段AB 的垂直平分面的方程. 解：设),,(z y x M 是所求平面上任一点，据题意有|,|||MB MA =()()()222321-+-+-z y x ()()(),412222-+++-=z y x化简得所求方程26270x y z -+-=.这就是所求平面上的点的坐标所满足的方程, 而不在此平面上的点的坐标都不满足这个方程，所以这个方程就是所求平面的方程.2、 一动点移动时，与)0,0,4(A 及xOy 平面等距离，求该动点的轨迹方程.解：设在给定的坐标系下，动点),,(z y x M ，所求的轨迹为C ，则(,,)M x y z C MA z ∈⇔= 亦即z z y x =++-222)4( 0)4(22=+-∴y x 从而所求的轨迹方程为0)4(22=+-y x .3、 求下列各球面的方程：（1）圆心)3,1,2(-，半径为6=R ； （2）圆心在原点，且经过点)3,2,6(-； （3）一条直径的两端点是)3,1,4()5,32(--与；（4）通过原点与)4,0,0(),0,3,1(),0,0,4(- 解：（1）所求的球面方程为：36)3()1()2(222=-+++-z y x（2）由已知，半径73)2(6222=+-+=R ，所以球面方程为49222=++z y x（3）由已知，球面的球心坐标1235,1213,3242=-=-=+-==+=c b a ， 球的半径21)35()31()24(21222=++++-=R ，所以球面方程为： 21)1()1()3(222=-+++-z y x（4）设所求的球面方程为：0222222=++++++l kz hy gx z y x因该球面经过点)4,0,0(),0,3,1(),0,0,4(),0,0,0(-，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=++=+=08160621008160k h g g l 解之得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-==2210k g h l∴所求的球面方程为0424222=+--++z y x z y x .4、将yOz 坐标面上的抛物线22y z =绕z 旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程． 解：222x y z +=(旋转抛物面) .5、将zOx 坐标面上的双曲线12222=-cz a x 分别绕x 轴和z 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程．解： 绕x 轴旋转得122222=+-c z y a x 绕z 轴旋转得122222=-+cz a y x . 6、指出下列曲面的名称，并作图：（1）22149x z +=；（2）22y z =；（3）221x z += ；（4）22220x y z x ++-=； （5）222y x z +=；（6）22441x y z -+=；（7）221916x y z ++=； （8）222149x y z -+=-；（9）1334222=++z y x ；（10）2223122z y x +=+.解： (1)椭圆柱面；(2) 抛物柱面；(3) 圆柱面；(4)球面；（5）圆锥面；（6）双曲抛物面；（7）椭圆抛物面；（8）双叶双曲面；（9）为旋转椭球面；（10）单叶双曲面. 7、指出下列方程在平面解析几何和空间解析几何中分别表示什么图形？ （1）1+=x y；（2）422=+yx ；（3）122=-y x ；（4）22x y =.解：（1）1+=x y 在平面解析几何中表示直线，在空间解析几何中表示平面；（2）422=+y x 在平面解析几何中表示圆周，在空间解析几何中表示圆柱面； （3）122=-y x 在平面解析几何中表示双曲线，在空间解析几何中表示双曲柱面；（4）y x22=在平面解析几何中表示抛物线，在空间解析几何中表示抛物柱面.8、 说明下列旋转曲面是怎样形成的？（1）1994222=++z y x ；（2）14222=+-z y x （3）1222=--z y x ；（4）222)(y x a z +=- 解：（1）xOy 平面上椭圆19422=+y x 绕x 轴旋转而成；或者 xOz 平面上椭圆22149+=x z 绕x 轴旋转而成（2）xOy 平面上的双曲线1422=-y x 绕y 轴旋转而成；或者 yOz 平面上的双曲线2214-=y z 绕y 轴旋转而成（3）xOy 平面上的双曲线122=-y x 绕x 轴旋转而成；或者 xOz 平面上的双曲线221x z -=绕x 轴旋转而成（4）yOz 平面上的直线a y z +=绕z 轴旋转而成或者 xOz 平面上的直线z x a =+绕z 轴旋转而成.9、 画出下列各曲面所围立体的图形：（1）012243=-++z y x 与三个坐标平面所围成；（2）42,42=+-=y x x z 及三坐标平面所围成；（3）22=0,(0)=1z z =a a >,y =x,x +y 及0x =在第一卦限所围成；（4）2222,8z x y z x y =+=--所围.解：（1）平面012243=-++z y x 与三个坐标平面围成一个在第一卦限的四面体； （2）抛物柱面24z x =-与平面24x y +=及三坐标平面所围成；（3）坐标面=0z 、0x =及平面(0)z =a a >、y=x 和圆柱面22=1x +y 在第一卦限所围成；（4）开口向上的旋转抛物面22z x y =+与开口向下的抛物面228z x y =--所围.作图略.习 题 6—41、画出下列曲线在第一卦限内的图形（1）⎩⎨⎧==21y x ；（2）⎪⎩⎪⎨⎧=---=0422y x y x z ；（3）⎪⎩⎪⎨⎧=+=+222222a z x ay x解：（1）是平面1x =与2y =相交所得的一条直线； （2）上半球面z 0x y -=的交线为14圆弧； （3）圆柱面222x y a +=与222x z a +=的交线.图形略.2、分别求母线平行于x 轴及y 轴而且通过曲线⎪⎩⎪⎨⎧=-+=++0162222222y z x z y x 的柱面方程.解：消去x 坐标得16322=-z y ，为母线平行于x 轴的柱面；消去y 坐标得：162322=+z x ，为母线平行于y 轴的柱面.3、求在yOz 平面内以坐标原点为圆心的单位圆的方程（任写出三种不同形式的方程）.解：⎩⎨⎧==+0122x z y ；⎩⎨⎧==++01222x z y x ； ⎪⎩⎪⎨⎧=+=++1122222z y z y x .4、试求平面20x -=与椭球面222116124x y z ++=相交所得椭圆的半轴与顶点.解：将椭圆方程22211612420x y z x ⎧++=⎪⎨⎪-=⎩化简为：221932y z x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，可知其为平面2=x 上的椭圆，半轴分别为3,3，顶点分别为)3,0,2(),3,0,2(),0,3,2(),0,3,2(--.5 、将下面曲线的一般方程化为参数方程 （1）2229x y z y x ⎧++=⎨=⎩；（2）⎩⎨⎧==+++-04)1()1(22z z y x解：（1）原曲线方程即：⎪⎩⎪⎨⎧=+=199222z x xy ，化为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≤≤==tz t t y t x sin 3)20(cos 23cos 23π；（2）)20(0sin 3cos 31πθθθ≤≤⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=z y x .6、求螺旋线⎪⎩⎪⎨⎧===θθθb z a y a x sin cos 在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程.解：⎩⎨⎧==+0222z a y x ；⎪⎩⎪⎨⎧==0sin x b z a y ；⎪⎩⎪⎨⎧==0cosy b z a x .7、指出下列方程所表示的曲线（1）222253⎧++=⎨=⎩x y z x （2）⎩⎨⎧==++13094222z z y x ；（3）⎩⎨⎧-==+-3254222x z y x ； （4）⎩⎨⎧==+-+408422y x z y ； （5）⎪⎩⎪⎨⎧=-=-0214922x z y . 解：（1）圆； （2）椭圆； （3）双曲线； （4）抛物线； （5）双曲线.8、 求曲线⎩⎨⎧==-+30222z x z y 在xOy 面上的投影曲线方程，并指出原曲线是何种曲线.解：原曲线即：⎩⎨⎧=-=3922z x y ，是位于平面3=z 上的抛物线，在xOy 面上的投影曲线为⎩⎨⎧=-=0922z x y9、 求曲线 ⎪⎩⎪⎨⎧==++211222z z y x 在坐标面上的投影. 解：（1）消去变量z 后得,4322=+y x 在xOy 面上的投影为,04322⎪⎩⎪⎨⎧==+z y x 它是中心在原点，半径为23的圆周. （2）因为曲线在平面21=z 上，所以在xOz 面上的投影为线段.;23||,21≤⎪⎩⎪⎨⎧==x y z（3）同理在yOz 面上的投影也为线段..23||,21≤⎪⎩⎪⎨⎧==y x z10、 求抛物面x z y =+22与平面 02=-+z y x 的交线在三个坐标面上的投影曲线方程.解： 交线方程为⎩⎨⎧=-+=+0222z y x x z y ，（1）消去z 得投影,04522⎩⎨⎧==-++z x xy y x（2）消去y 得投影2252400x z xz x y ⎧+--=⎨=⎩，（3）消去x 得投影2220y z y z x ⎧++-=⎨=⎩.习 题 6—51、写出过点()3,2,10M 且以{}1,2,2=n 为法向量的平面方程. 解：平面的点法式方程为()()()032212=-+-+-z y x .2、求过三点()()()01,0,0,1,0,0,0,1C B A 的平面方程.解：设所求平面方程为0=+++d cz by ax ,将C B A ,,的坐标代入方程，可得d c b a -===，故所求平面方程为1=++z y x .3、求过点()1,0,0且与平面1243=++z y x 平行的平面方程. 解：依题意可取所求平面的法向量为}2,4,3{=n ,从而其方程为()()()0120403=-+-+-z y x 即 2243=++z y x .4、求通过x 轴和点(4, -3, -1)的平面的方程.解：平面通过x 轴, 一方面表明它的法线向量垂直于x 轴,即A =0; 另一方面表明它必通过原点, 即D =0. 因此可设这平面的方程为By +Cz =0.又因为这平面通过点(4, -3,-1), 所以有-3B -C =0, 或C =-3B . 将其代入所设方程并除以B (B ≠0), 便得所求的平面方程为y -3z =0.5、求过点)1,1,1(，且垂直于平面7=+-z y x 和051223=+-+z y x 的平面方程. 解：},1,1,1{1-=n }12,2,3{2-=n 取法向量},5,15,10{21=⨯=n n n所求平面方程为化简得: .0632=-++z y x6、设平面过原点及点)1,1,1(，且与平面8x y z -+=垂直，求此平面方程.解： 设所求平面为,0=+++D Cz By Ax 由平面过点)1,1,1(知平0,A B C D +++=由平面过原点知0D =，{1,1,1},n ⊥- 0A B C ∴-+=,0A C B ⇒=-=，所求平面方程为0.x z -=7、写出下列平面方程：（1）xOy 平面；（2）过z 轴的平面；（3）平行于zOx 的平面；（4）在x ，y ，z 轴上的截距相等的平面.解：（1）0=z ,（2）0=+by ax （b a ,为不等于零的常数）, 、（3）c y = (c 为常数), （4） a z y x =++ (0)a ≠.习 题 6—61、求下列各直线的方程：（1）通过点)1,0,3(-A 和点)1,5,2(-B 的直线； （2） 过点()1,1,1且与直线433221-=-=-z y x 平行的直线. （3）通过点)3,51(-M 且与z y x ,,三轴分别成︒︒︒120,45,60的直线； （4）一直线过点(2,3,4)-A ，且和y 轴垂直相交，求其方程.（5）通过点)2,0,1(-M 且与两直线11111-+==-z y x 和01111+=--=z y x 垂直的直线； （6）通过点)5,3,2(--M 且与平面02536=+--z y x 垂直的直线. 解：（1）所求的直线方程为：015323-=-=++z y x 即：01553-=-=+z y x ，亦即01113-=-=+z y x . （2）依题意，可取L 的方向向量为{}4,3,2=s ，则直线L 的方程为413121-=-=-z y x . （3）所求直线的方向向量为：{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=︒︒︒21,22,21120cos ,45cos ,60cos ，故直线方程为： 132511--=+=-z y x . （4）因为直线和y 轴垂直相交,所以交点为),0,3,0(-B 取{2,0,4},BA s −−→==所求直线方程.440322-=+=-z y x （5）所求直线的方向向量为：{}{}{}2,1,10,1,11,1,1---=-⨯-，所以，直线方程为：22111+==-z y x . （6）所求直线的方向向量为：{}5,3,6--，所以直线方程为： 235635x y z -++==--.2、求直线1,234x y z x y z ++=-⎧⎨-+=-⎩的点向式方程与参数方程.解 在直线上任取一点),,(000z y x ,取10=x ,063020000⎩⎨⎧=--=++⇒z y z y 解2,000-==z y .所求点的坐标为)2,0,1(-,取直线的方向向量{}{}3,1,21,1,1-⨯=s k j i kj i 34312111--=-=,所以直线的点向式方程为：,321041-+=--=-z y x 令102,413x y z t --+===--则所求参数方程: .3241⎪⎩⎪⎨⎧--=-=+=tz t y tx3、判别下列各对直线的相互位置，如果是相交的或平行的直线求出它们所在的平面，如果相交时请求出夹角的余弦.（1）⎩⎨⎧=-+=+-0623022y x z y x 与⎩⎨⎧=-+=--+01420112z x z y x ；（2）⎪⎩⎪⎨⎧--=+==212t z t y tx 与142475x y z --+==-. 解：（1）将所给的直线方程化为标准式为：4343223z y x =-=--43227-=--=-z y x 234234-==-- ∴二直线平行.又点)0,43,23(与点（7，2，0）在二直线上，∴向量⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧--0,45,2110,432,237平行于二直线所确定的平面，该平面的法向量为：{}{}19,22,50,45,2114,3,2--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯-，从而平面方程为：0)0(19)2(22)7(5=-+---z y x ，即 0919225=++-z y x .（2）因为121475-≠≠-，所以两直线不平行，又因为0574121031=--=∆，所以两直线相交，二直线所决定的平面的法向量为{}{}{}1,1,35,7,412,1--=-⨯-，∴二直线所决定的平面的方程为：330x y z -++=.设两直线的夹角为ϕ，则cos ϕ==4、判别下列直线与平面的相关位置： （1）37423z y x =-+=--与3224=--z y x ；（2）723zy x =-=与8723=+-z y x ； （3）⎩⎨⎧=---=-+-01205235z y x z y x 与07734=-+-z y x ；（4）⎪⎩⎪⎨⎧-=+-==4992t z t y t x 与010743=-+-z y x .解（1） 0)2(3)2()7(4)2(=-⨯+-⨯-+⨯-，而017302)4(234≠=-⨯--⨯-⨯，所以，直线与平面平行.（2） 0717)2(233≠⨯+-⨯-⨯,所以，直线与平面相交，且因为772233=--=，∴直线与平面垂直.（3）直线的方向向量为：{}{}{}1,9,51,1,22,3,5=--⨯-， 0179354=⨯+⨯-⨯，所以直线与平面平行或者直线在平面上；取直线上的点)0,5,2(--M ，显然点在)0,5,2(--M 也在平面上（因为4(2)3(5)70⨯--⨯--=），所以，直线在平面上.（4）直线的方向向量为{}9,2,1-， 097)2(413≠⨯+-⨯-⨯∴直线与平面相交但不垂直.复习题A一 、判断正误:1、 若c b b a ⋅=⋅且≠0b ，则c a =； ( ⨯ ) 解析 c b b a ⋅-⋅=)(c a b -⋅=0时，不能判定=b 0或c a =．例如i a =，j b =，k c =，有⋅=⋅=0a b b c ，但c a ≠．2、 若c b b a ⨯=⨯且≠0b ，则c a =； ( ⨯ ) 解析 此结论不一定成立．例如i a =，j b =，)(j i c +-=，则k j i b a =⨯=⨯，k j i j c b =+-⨯=⨯)]([，c b b a ⨯=⨯，但c a ≠．3 、若0=⋅c a ，则=0a 或=0c ； ( ⨯ )解析 两个相互垂直的非零向量点积也为零．4、 a b b a ⨯-=⨯． ( √ ) 解析 这是叉积运算规律中的反交换律．二、选择题:1 、 当a 与b 满足（ D ）时，有b a b a +=+；(A)⊥a b ； (B)λ=a b (λ为常数)； (C)a ∥b ； (D)⋅=a b a b ．解析 只有当a 与b 方向相同时，才有a +b =a +b ．(A)中a ，b 夹角不为0，(B)，(C)中a ，b 方向可以相同，也可以相反．2、下列平面方程中，方程( C )过y 轴；(A) 1=++z y x ； (B) 0=++z y x ； (C) 0=+z x ； (D) 1=+z x ． 解析 平面方程0=+++D Cz By Ax 若过y 轴，则0==D B ，故选C ．3 、在空间直角坐标系中，方程2221y x z --=所表示的曲面是( B )；(A) 椭球面； (B) 椭圆抛物面； (C) 椭圆柱面； (D) 单叶双曲面． 解析 对于曲面2221y x z --=，垂直于z 轴的平面截曲面是椭圆，垂直于x 轴或y 轴的平面截曲面是开口向下的抛物线，根据曲面的截痕法，可以判断曲面是椭圆抛物面．4、空间曲线⎩⎨⎧=-+=5,222z y x z 在xOy 面上的投影方程为( C )；(A)722=+y x ； (B)⎩⎨⎧==+5722z y x ； (C)⎩⎨⎧==+0722z y x ；(D)⎩⎨⎧=-+=0222z y x z 解析 曲线⎩⎨⎧==+5722z y x 与xOy 平面平行，在xOy 面上的投影方程为⎩⎨⎧==+0722z y x ．5 、直线11121-+==-z y x 与平面1=+-z y x 的位置关系是( B )． (A) 垂直； (B) 平行； (C) 夹角为π4； (D) 夹角为π4-．解析 直线的方向向量s ={2，1，-1}，平面的法向量n ={1，-1，1}，n s ⋅=2-1-1=0，所以，s ⊥n ，直线与平面平行．三、填空题:1、若2=b a ，π()2=a,b ，则=⨯b a 2 ，=⋅b a 0 ； 解 =⨯b a b a sin()a,b π22=2，=⋅b a b a cos()a,b π22=0．2、与平面062=-+-z y x 垂直的单位向量为 }2,1,1{66-±； 解 平面的法向量 n ={1，-1，2}与平面垂直，其单位向量为0n =411++=6，所以，与平面垂直的单位向量为}2,1,1{66-±．3、过点)2,1,3(--和)5,0,3(且平行于x 轴的平面方程为 057=-+z y ；解 已知平面平行于x 轴，则平面方程可设为 0=++D Cz By ，将点 (-3，1，-2)和(3，0，5)代入方程，有{20,50,B C D C D -+=+= ⇒ 7,51,5B D C D ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩得 05157=+--D Dz Dy ，即 057=-+z y ．4、过原点且垂直于平面022=+-z y 的直线为z yx -==20； 解 直线与平面垂直，则与平面的法向量 n ={0，2，-1}平行，取直线方向向量s =n ={0，2，-1}，由于直线过原点，所以直线方程为z yx -==20 ．5、曲线⎩⎨⎧=+=1,222z y x z 在xOy 平面上的投影曲线方程为⎩⎨⎧==+.0,1222z y x 解: 投影柱面为 1222=+y x ，故 ⎩⎨⎧==+0,1222z y x 为空间曲线在xOy 平面上的投影曲线方程．四、解答题:1、 已知}1,2,1{-=a ，}2,1,1{=b ，计算(a) b a ⨯； (b) ()()-⋅+2a b a b ； (c)2b a -；解: (a) b a ⨯=211121-kj i 1,3}5,{--=. (b) {2,4,2}{1,1,2}{1,5,0}2a b -=--=-，1,3}{2,{1,1,2}2,1}{1,-=+-=+b a ， 所以()()-⋅+2a b a b 7}3,1,2{}0,5,1{=-⋅-=．(c) 1}3,{0,{1,1,2}2,1}{1,--=--=-b a ，所以2b a -10)19(2=+=．2、已知向量21P P 的始点为)5,2,2(1-P ，终点为)7,4,1(2-P ，试求：(1)向量21P P 的坐标表示； (2)向量21P P 的模；(3)向量21P P 的方向余弦； (4)与向量21P P 方向一致的单位向量．解:(1)}2,6,3{}57),2(4,21{21-=-----=P P ；74926)3(222==++-=；(3)21P P 在z y x ,,三个坐标轴上的方向余弦分别为362cos ,cos ,cos 777αβγ=-==；(4)k j i k j i 7276737263)(21++-=++-==P P． 3、设向量{}1,1,1=-a ，{}1,1,1=-b ，求与a 和b 都垂直的单位向量.解： 令{}1110,2,2111=⨯=-=-ij kc a b，01⎧==⎨⎩c cc ，故与a、b 都垂直的单位向量为0⎧±=±⎨⎩c .4、向量d垂直于向量]1,3,2[-=a和]3,2,1[-=b，且与]1,1,2[-=c的数量积为6-，求向量d解： d 垂直于a 与b，故d 平行于b a ⨯，存在数λ使()b a d⨯=λ⨯-=]1,3,2[λ]3,2,1[-]7,7,7[λλλ--=因6-=⋅c d，故6)7(1)7()1(72-=-⨯+-⨯-+⨯λλλ， 73-=λ]3,3,3[-=∴d .5、求满足下列条件的平面方程：(1)过三点)2,1,0(1P ，)1,2,1(2P 和)4,0,3(3P ；(2)过x 轴且与平面025=++z y x 的夹角为π3． 解 (1)解1： 用三点式．所求平面的方程为0241003211201210=---------z y x ，即01345=+--z y x ．解2： }1,1,1{-=}2,1,3{-=，由题设知，所求平面的法向量为k j i kj in 452131113121--=--=⨯=P P P P ， 又因为平面过点)2,1,0(1P ，所以所求平面方程为0)2(4)1(5)0(=-----z y x ，即01345=+--z y x ．解3： 用下面的方法求出所求平面的法向量},,{C B A =n ，再根据点法式公式写出平面方程也可．因为3121,P P P P ⊥⊥n n ，所以{0,320,A B C A B C +-=-+=解得A C A B 4,5-=-=，于是所求平面方程为0)2(4)1(5)0(=-----z A y A x A ，即 01345=+--z y x ．（2）因所求平面过x 轴，故该平面的法向量},,{C B A =n 垂直于x 轴，n 在x 轴上的投影0=A ，又平面过原点，所以可设它的方程为0=+Cz By ，由题设可知0≠B （因为0=B 时，所求平面方程为0=Cz 又0≠C ，即0=z ．这样它与已知平面025=++z y x 所夹锐角的余弦为π1cos32=≠=，所以0≠B），令CBC'=，则有0='+zCy，由题设得22222212)5(112153cos++'++⨯'+⨯+⨯=πCC，解得3='C或13C'=-，于是所求平面方程为03=+zy或03=-zy．6、一平面过直线⎩⎨⎧=+-=++4,05zxzyx且与平面01284=+--zyx垂直，求该平面方程；解法1：直线⎩⎨⎧=+-=++4,05zxzyx在平面上，令x=0，得54-=y，z=4，则（0，-54，4）为平面上的点．设所求平面的法向量为n=},,{CBA，相交得到直线的两平面方程的法向量分别为1n={1，5，1}，2n={1，0，-1}，则直线的方向向量s=1n⨯2n=11151-kji={-5，2，-5}，由于所求平面经过直线，故平面的法向量与直线的方向向量垂直，即⋅ns={-5，2，-5}•},,{CBA=CBA525-+-=0，因为所求平面与平面01284=+--zyx垂直，则}8,4,1{},,{--⋅CBA=CBA84--=0，解方程组{5250,480,A B CA B C-+=--=⇒2,5,2A CB C=-⎧⎪⎨=-⎪⎩所求平面方程为0)4()54(25)0(2=-++---zCyCxC，即012254=+-+zyx．解法2：用平面束（略）7、求既与两平面1:43x zπ-=和2:251x y zπ--=的交线平行，又过点(3,2,5)-的直线方程.解法1：{}11,0,4=-n ，{}22,1,5=--n ，{}124,3,1s =⨯=---n n ，从而根据点向式方程，所求直线方程为325431x y z +--==---，即325431x y z +--==. 解法2：设{},,s m n p =，因为1⊥s n ，所以40m p -=；又2⊥s n ，则250m n p --=，可解4,3m p n p ==，从而0p ≠．根据点向式方程，所求直线方程为32543x y z p p p +--==，即325431x y z +--==. 解法3：设平面3π过点(3,2,5)-，且平行于平面1π，则{}311,0,4==-n n 为3π的法向量，从而3π的方程为1(3)0(2)4(5)0x y z ⋅++⋅--⋅-=，即4230x z -+=．同理，过已知点且平行于平面2π的平面4π的方程为25330x y z --+=．故所求直线的方程为423025330x z x y z -+=⎧⎨--+=⎩．8、 一直线通过点)1,2,1(A ，且垂直于直线11231:+==-z y x L ，又和直线z y x ==相交，求该直线方程；解： 设所求直线的方向向量为{,,}m n p =s ，因垂直于L ，所以320m n p ++=；又因为直线过点)1,2,1(A ，则所求直线方程为pz n y m x 121-=-=-，联立121,①,②320,③x y z m n p x y z m n p ---⎧==⎪⎨==⎪++=⎩由①，令λ=-=-=-p z n y m x 121，则有⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=,1,2,1p z n y m x λλλ代入方程②有{12,11,m n m p λλλλ+=++=+ 可得p m =，代入③解得p n 2-=， 因此，所求直线方程为112211-=--=-z y x ．9、 指出下列方程表示的图形名称：(a) 14222=++z y x ；(b) z y x 222=+；(c) 22y x z +=；(d) 022=-y x ；(e) 122=-y x ； (f) ⎩⎨⎧=+=222z y x z ．解： (a) 绕y 轴旋转的旋转椭球面．(b) 绕z 轴旋转的旋转抛物面． (c) 绕z 轴旋转的锥面．(d) 母线平行于z 轴的两垂直平面：y x =，y x -=． (e) 母线平行于z 轴的双曲柱面． (f) 旋转抛物面被平行于XOY 面的平面所截得到的圆，半径为2，圆心在（0，0，2）处．10、求曲面22z x y =+与222()z x y =-+所围立体在xOy 平面上的投影并作其图形． 解： 将所给曲面方程联立消去z ，就得到两曲面交线C 的投影柱面的方程122=+y x ，所以柱面与xOy 平面的交线⎩⎨⎧==+'01:22z y x C 所围成的区域221+≤x y 即为曲面22z x y =+与222()z x y =-+所围立体在xOy 平面上的投影(图略)．。
构造几何图形解代数问题
构造几何图形解代数问题
代数是一门重要的数学学科，它可以帮助我们解决复杂的数学问题。
构造几何图形来解决代数问题是一种有效的方法。
通过构造几何图形，我们可以更容易地理解和解决代数问题。
构造几何图形解决代数问题的基本原理是，将数学问题表示为几何图形的形式，然后利用几何图形的形状和特征来解决问题。
例如，当我们要求解一个二次方程时，可以将其构造成一个函数图形，这样就可以比较容易地找到它的根。
使用构造几何图形来解决代数问题还可以帮助我们更好地理解问题，因为几何图形可以提供直观的视觉知识，使我们更容易理解数学问题。
例如，当我们要求解一个二元一次方程组时，我们可以将它表示成一个平行四边形，这样就可以比较容易地找到它的解。
另外，构造几何图形还可以帮助我们更快地解决代数问题。
因为几何图形可以提供我们一些重要的信息，帮助我们快速找到代数问题的解。
例如，当我们要求解一个三次方程时，可以将其构造成一个函数图形，然后利用图形上的特征来快速求解它的根。
总之，构造几何图形来解决代数问题是一种有效的方法，它可以帮助我们更容易地理解和解决数学问题，并且可以帮助我们更快地找到问题的解。
利用向量解决几何问题的技巧
利用向量解决几何问题的技巧在数学中，几何问题是一种常见的难题，许多学生常常感到困惑。
然而，利用向量解决几何问题可以为我们提供新的思路和方法，使解题过程更加简洁和直观。
本文将介绍一些利用向量解决几何问题的技巧，并举例说明其应用。
一、向量的表示与计算在开始介绍向量解决几何问题的技巧之前，我们需要先了解向量的表示与基本计算方法。
在几何问题中，向量通常用字母加上箭头来表示，例如向量AB用→AB表示。
向量的计算包括加法、减法、数量乘法和点积运算。
向量的加法和减法可以通过将向量的坐标分量进行相应的运算得到。
数量乘法是指将一个向量的每个分量与一个实数相乘，得到一个新的向量。
点积运算可以用来计算两个向量之间的夹角或者两个向量之间的投影关系。
二、向量的长度和方向在几何问题中，我们常常需要求解向量的长度和方向。
向量的长度可以通过向量的坐标分量计算得到，即利用勾股定理求解向量的模。
向量的方向可以通过计算向量相对于坐标轴的夹角得到。
利用这些计算方法，我们可以更准确地描述问题中所涉及的向量。
三、向量的平移和旋转向量的平移和旋转是几何问题中常用的操作。
平移是指将一个向量沿着另一个向量的方向移动一定的距离，而保持其大小和方向不变。
旋转是指将一个向量绕着某个点或者轴旋转一定的角度，而保持其长度和方向不变。
利用向量解决几何问题时，我们可以利用平移和旋转来简化问题的表达和求解过程。
通过将问题中的向量进行平移或者旋转，我们可以将问题转化为更简单和直观的形式，从而更容易求解。
四、向量的投影和垂直性向量的投影和垂直性是几何问题中常用的概念。
向量的投影是指一个向量在另一个向量上的投影长度，可以利用向量的点积运算来计算。
向量的垂直性是指两个向量之间的夹角为90度，可以利用向量的点积运算来判断。
利用向量的投影和垂直性，我们可以解决一些几何问题，如求解点到直线或者平面的距离，判断两个直线或者平面是否垂直等。
这些概念和方法为我们提供了一种新的思路和工具，使解题过程更加简单和直观。
利用向量解决几何问题
利用向量解决几何问题几何学是数学中的一个重要分支，研究空间中的形状、大小、位姿以及相互关系等几何性质。
在解决几何问题时，向量是一种常见的工具和方法。
本文将通过几个具体的例子，介绍利用向量解决几何问题的方法和技巧。
1. 向量的定义和基本性质在几何学中，向量是有方向和大小的量，用箭头表示，箭头的长度代表向量的大小，箭头的方向代表向量的方向。
向量的定义包括起点和终点，可以表示为AB，也可以用字母加上箭头表示，如→AB。
向量的性质包括相等关系、相反关系、数量乘法和加法等。
在向量的加法中，可以使用三角形法则或平行四边形法则。
2. 向量的坐标表示向量的坐标表示是利用坐标系来表示向量的方法。
在平面几何中，我们可以使用笛卡尔坐标系，将向量表示为(x, y)。
在空间几何中，我们可以使用三维笛卡尔坐标系，将向量表示为(x, y, z)。
通过坐标表示，可以方便地进行向量的计算和运算。
3. 向量的线性运算向量的线性运算包括数量乘法和向量加法。
数量乘法是指将向量的大小与一个标量相乘，可以改变向量的大小。
向量加法是指将两个向量按照平行四边形法则相加，得到一个新的向量。
向量的线性运算在解决几何问题中非常有用，例如计算两点之间的距离、判断向量的共线关系等。
4. 向量的点积和叉积向量的点积和叉积是两种重要的向量运算。
向量的点积表示为A·B，结果是一个标量，它等于两个向量的模乘积与两个向量之间的夹角的余弦值的乘积。
向量的点积可以用来计算两个向量之间的夹角、判断两个向量的正交关系等。
向量的叉积表示为A×B，结果是一个向量，它垂直于原来的两个向量，并且模等于两个向量构成的平行四边形的面积。
向量的叉积可以用来计算平面或空间中的面积或体积等。
5. 利用向量解决几何问题的例子（1）平面几何问题：如计算两条直线的距离、判断线段是否相交等。
（2）三角形问题：如计算三角形的面积、判断三角形是否为等边三角形等。
（3）多边形问题：如判断多边形是否为凸多边形、计算多边形的面积等。
浅谈构造向量解代数问题
浅谈构造向量解代数问题作者：张胜利来源：《新课程·中学》2013年第07期摘要：代数中的好多求值域问题、不等式证明问题利用代数的知识解决很困难、很麻烦，但如果能把它和向量的知识结合起来，那解决起来就很简单了，通过一些例子介绍向量在代数中的应用。
关键词：向量；值域；最值；不等式向量是近代数学中最重要和最基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种重要工具，有着极其丰富的实际应用背景.向量有大小和方向，大小反映了“数”的特征，方向反映了“形”的特征，因此，向量是集数形于一身的数学概念，是数学中数形结合思想的体现，掌握好向量的知识，有意识地运用向量工具去解决相关问题，不仅能优化解题思路，而且能培养学生思维的发散性和创新精神.下面通过例题谈一谈在代数中的应用.一、运用向量中的不等式【例1】求函数y=+的最小值？分析：所给函数为根式的和，因此需要将根号下的式子配方，将根式转化为向量的模，利用【例2】求函数y=-的值域.分析：所给函数为根式的差的形式，因此需将根号下的式子配方，将根式转化为向量的模，利用二、利用向量数量积的运算性质【例3】求函数y=2+的最大值.分析：所给的函数式可以看成两个数积的和的形式，因此，可联想两个向量数量积的坐标运算构造向量，利用【例4】已知a+b+c=1，求式子++的最大值.分析：本题是三个数的和的形式，因此可以构造空间向量，利用向量的数量积三、利用向量中的不等关系还可证明不等式，关键是把不等号两边的式子能和向量的运算形式联系起来，再运用向量的性质进行放缩使不等式得证【例5】已知a，b，c，d∈R，求证：ac+bd≤·。
分析：本题如果用代数的知识不好做，但如果能和向量联系起来，构造两个向量=（a，b），=（c，d），利用性质一般的，涉及两数积的和的形式可利用公式求其最值.也可利用它们证明一些不等式.必须说明的是，在运用构造法时也有其局限性，不是对每一类函数都可以运用该种方法，运用比较多的是在含有根号中求最值的情况.另外，像例1，在将根号里转化为向量的模的过程中，由于是利用，所以必须使得+的坐标与变量x无关.如若在结果中还出现变量，则肯定是错误的.同时，还应注意等号成立的条件.（作者单位陕西省西安市临潼区华清中学）。
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6.期刊论文 段绍光 实时空中的多重向量代数在集对分析中的应用 -重庆大学学报（自然科学版）2004,27(11)
联系数是赵克勤先生在其专著<集对分析及其初步应用>中所提出的一个重要的数学工具,属于系统论和方法论的范畴,旨在统一处理由于模糊、随机 、中介和信息不完全所导致的不确定性度量.试图将Venzo de Sabbata教授所采用的与Dirac代数同构的实时空中的多重向量代数应用于集对分析中的联 系数,从而相应地推广了联系数的范畴.
及已知条件可知ｃ∞８＝ｌ，即肼、Ⅳ的夹角为Ｏ或
托．由向量共线的充要条件即可得到结论．
１．３构造向量解无理方程
通过构造向量，有时也能简化无理方程的求解
过程．
例６解方程：
√算２—２ｚ＋ｌｏ＋√直２—４ｘ＋８＝√互石．
解：将原方程变形为
承Ｊ一１）２＋３２＋、』：ｚ一２）２＋２２＝√菰．
收稿日期：２００２—０８一１６ 作者简介：郭套平（１９６５～），女，河南驻马店人，讲师
√ｘ２＋ｙ２一１６Ｊ一６ｙ＋７３＋
构造向量ｍ＝０—８，ｙ一３）及ｎ＝竹一２，ｙ＋５）
贝４
ｍ一尼＝（—６，一８），
Ｉ肼Ｉ＋Ｉ矗ｌ≥ｌ Ｊ＿一露ｌ，
将ｍ，ｎ代入，即可得到结论．
例４已知：口２＋铲＋，＝ｌ，，＋，＋≯＝ｌ， 求证：“＋衄—也≤ｌ
证明：构造向量肘＝０，６，ｃ）及Ⅳ＝０，ｙ，ｚ），
则Ｍ－』ｖ＝“＋毋也由于肘·Ⅳ≤ｌｊＩｆ｜｜Ⅳｌ，则
A是有限域κ上的有限维遗传代数,利用根范畴及其上的Lie代数,解释了辫子群对Exceptional序列的作用在Lie代数下的含义.在Lie代数意义下,利用 A-模的Exceptional序列及辫子群对Exceptional序列的作用,提供了计算根向量的算法.另外,仅依赖于A的Auslander-Reiten quiver的结构,给出了将根 向量分解成Lie代数生成元u<,i>的Lie运算表达式的算法.
特 点构造向量往往可以为解决问题带来方便．
例ｌ若ｄ，６∈Ｒ，求证：
√４２＋６２＋√（１一日）２＋６２＋√ｄ２＋（１—６）２＋ √（１—４）２＋（１—６）２≥２压．
证明：设ｍ＝０，６），一＝（１一ｄ，功，ｐ＝（ｄ， ｌ而），口＝（１１，ｌ山），则
ｍ＋ｎ＋ｐ＋鼋＝（２，２）， ｌｍｌ＋Ｉ再Ｉ＋ｌｐｌ＋Ｉ窖Ｉ≥Ｉｍ＋一＋ｐ＋口ｌ， 将ｍ，＾，ｐ，口代入，即可得到结论． 例２若口１，４２，…，嘞及机，如，…，“均 为实数，求证：
甜＋毋．ｈｚ≤√ｄ２＋６２＋ｃ２．√Ｊ２＋ｙ２＋ｚ２＝１．
１．２构造向量证明等式
例５设ｘ，ｙ，ｚ，ｄ，占，ｃＥＲ，且８厶ｃ≠０，
ｐ＋，＋≯）０２＋铲＋西＝（“＋缈也）２．求证：
工一ｙ—ｚ
４６
ｃ
证明：构造向量ＪＩｆ＝０，６，０及Ⅳ＝“，ｙ，ｚ），
则肼·Ⅳ＝甜＋细恤．由ＪＩｆ·Ⅳ＝Ｉ肼ｌｌⅣＩ ｃｏｓ８，
数免疫度与非线性度 -计算机工程与科学2009,31(8)
本文讨论了向量值函数代数免疫度的定义,给出了向量值函数的代数免疫度与其非线性度之间的关系,研究了布尔函数的重量与其代数免疫度之间的 关系,利用该关系,给出了达到最大代数免疫度的平衡布尔函数个数的一个下界.
2.学位论文 周立娜 有限次对角代数的漂移向量及其乘子和保一秩线性映射 2006
中圈分类号：０１５１．２４
文献标识码：Ｂ
用向量解决代数问题和几何问题，常常能使一 些复杂的问题简单化．以下就向鼍在代数及几何中 的应用进行讨论．
文章螬号：１００６—５２６ｌ（２００３）０２—００９３—０２
厅巧ｃ石丽，９． ６ｉ万丽＋再ｊ再丽，９ 证明：原不等式配方得
１ 向量在代数中的应用
１．１构造向量证明不等式 不等式的证明往往是比较困难的，根据问题的
Ａ’（４，０，Ⅱ），，忙一Ｊ，日，０），Ｃ’（０，Ⅱ，Ⅱ），脚，Ｊ，Ｏ），
Ａ７Ｆ＝（一ｘ，ｎ，一口），Ｃ’Ｅ＝（Ⅱ，ｘ一Ⅱ，一ｎ）．
因为＾乍·ｃｔ＝—讧ｒ＋口。一口）＋口２＝０，所以
硝ＦＬＣＥ． 例ｌＯ平行六面体Ａ口Ｃ班“ｌＢｌＣｌ Ｄ１，其底面
ＡＢｃＤ是菱形，且￡ｃｌｃ日＝￡ｃｌｃＤ＝￡占ｃＤ＝６００．
3.期刊论文 吐尔孙江·阿不都热西提 向量在初等代数中的应用 -喀什师范学院学报2005,26(z1)
在初等代数中,利用传统方法来解决一些问题很容易造成错误.但应用向量将数量转化为向量,再利用向量知识求解时,计算量很少.为此,通过举例初 步探讨了如何利用向量解决初等代数中的一些问题.
4.学位论文 吴谋福 Lie代数的根向量和遗传代数的Exceptional模 1999
ＪＰＦ２＝（√５一ｘ，一ｙ）．因为￡ＦｌＰ＆为钝角，所以有
两．两＜ｏ，即，一５＋ｙ２＜ｏ，与椭圆方程联立可
得ｚ的取值范围为
一堑。，。堑．
５
５
例８一个圆的一条直径的两个端点分别是
Ａ血】，ｙ１）、Ｂ％，ｙ２），证明圆的方程是
０一ｚ１）０一娩）＋（）＇一ｙｔ）（），一№）＝Ｏ．
证明：设尸０，ｙ）为圆上的任意一点，则向量
解：①取向量动、蕴、磁为空闯的一个基
底，由于肋＝ｃＤ一∞，所以
吗‘丑Ｄ＝ｃｃＩ‘ｃＤ—ｃｃＩ’∞＝０， 即ｃＩｃ上肋．证毕． ②令ｃＤ＝ｃ８＝４，设∞＝圮Ｄ＝知时，直 线Ａｌｃ上平面ｃｔ肋．由于
＾ｌｃ＝一∞＋ｃＤ＋ｃｃｌ），
８Ｄ＝ＣＤ—ＣＢ．
ｃｐ＝ｃＤ—ｃｃｌ， 所以
Ａｃ‘肋＝一（∞＋∞＋Ｃｃｌ）’（ｃＤ一∞）
算子代数理论产生于20世纪30年代，随着这一理论的蓬勃发展，现在这一理论已成为现代数学中的一个热门分支，它与量子力学，非交换几何，线 性系统和控制理论，甚至数论以及其他一些重要数学分支都有着很多联系和相互渗透.它是非交换数学的基础.为了进一步探讨算子代数的结构，近年来 ，国内外诸多学者对算子代数上的线性映射进行了深入研究，并不断提出新的思路.
ＡＰ＝（ｘ一而，ｙ—ｙ１），口Ｐ＝（工一ｚ２，ｙ—ｙ２）．由于ＡＰ
上卯，因此０一工１）Ｏ一抱）＋（），一姐）（），一弛）＝０．
２．２构造向量解立体几何问题． 例９如图ｌ所示，在一个棱长为口的正方体
ＤＡＢｃ＿Ｄ，Ａ俘ｃ’中，Ｅ、，分别是棱Ａ口、Ｂｃ上的 动点，且ＡＥ＝Ｂ，．求证：Ａ’，上ｃ它．
凰１
Ｃ 阳２
舍去），Ａｌｃ上平面ｃ】肋．
［膏任螭辑张继盒］
万方数据
构造向量解代数及几何问题
作者： 作者单位： 刊名：
英文刊名： 年，卷(期)： 被引用次数：
郭会平 驻马店高中,河南,驻马店,463000
天中学刊 JOURNAL OF TIANZHONG 2003，18(2) 0次
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1.期刊论文 董德帅.屈龙江.付绍静.李超.DONG De-shuai.QU Long-jiang.FU Shao-jing.LI Chao 向量值函数的代
①求证：ｃｌｃ上肋ｌ；②当ｃＤ与ｃｃｌ的比值为多少 时，直线Ａｌｃ垂直于平面ｃ１肋？
２．１构造向量求解解析几何问题．
，２
，，２
例７设椭圆！｝＋÷＝ｌ的焦点为，ｌ、，２，点
，
珥
尸是其上的动点．当￡，ｌＰＲ为钝角时，求点Ｐ的
横坐标的取值范围．
解：由题设可知Ｅ（一√５，ｏ），Ｂ（√５，ｏ）．设动
点的坐标为Ｐ０，ｙ），构造向量嘲＝（一√５一』，一ｙ），
＝ｃＢ‘ｃＢ—ｃＤ’ｃＤ＋ＣＢ‘ＣＣｌ—ｃＤ。Ｃｃｌ
＝口２一日２＋知２ｃｏｓ６００一缸２ｃｏｓ６０。
＝０．
Ａｃ。ｃＩＤ＝一（Ｃ８＋ｃＤ＋Ｃｃｌ）‘（ｃＤ—Ｃｃｌ）
＝ＣＢ’ＣＣ～一ＣＢ’ＣＤ＋ｃｃｔ’Ｃｃｌ—ｃＤ·ＣＤ
＝扭２（Ａｃｏｓ６０。一ｃｏｓ６００＋矛一１）２
ｔ
＝去口２（２舻＋Ａ一３）． Ｚ
由此可知，当Ａ＝ｌ时，（Ａ＝＿３，２与题设矛盾，
扣？＋４；＋¨·＋ｎ：＋√砰＋酲＋ｔ·＋砖 ≥√（口ｌ＋６１）２＋（ｄ２＋６２）２＋…＋（ｎＨ＋６ｎ）２．
证明：构造向量ｍ＝∞ｌ，ｄ２，…，ａ．）及向量 ｎ＝（抚，６２，…，“），则
ｍ＋肘＝０ｌ＋扔，ｄ２＋占２，…，％＋“）， Ｉ拼Ｉ＋ＩＨ Ｉ≥ｌ肼＋尼Ｉ， 将ｍ，ｎ代人，即可得到结论． 例３设Ｊ，ｙ∈Ｒ，求证：
算子理论中vonNeumann代数有着很好的发展.次对角代数是Arveson为了研究算子代数的解析构造引入的一般vonNeumann代数的非交换解析模型，他 在研究有限次对角代数的因子分解时又引进漂移向量的概念，漂移向量在研究算子代数的解析性尤其是在解析算子代数的不变子空间研究中起着十分重 要的作用.
第１８卷第２期 ２００３年４月
天中学刊 ＪｏｕｍａＩ ｏｆ Ｔｉ柚ｚｈｏｎｇ
Ｖ０１．１８ Ｎｏ．２ Ａｐｒ．２００３
构造向量解代数及几何问题
郭会平
（驻马店高中，河南驻马店４６３０００）
摘要：以例题的形式，介绍了通过构造向量求解数学问题的方法，涉厦不等式证明、无理方程求解、解
析几何、立体几何等方面．