高二上学期数学期末考试试题
2022-2023学年河南省信阳市信阳高级中学高二上学期期末考试数学试题(解析版)
2022-2023学年河南省信阳市信阳高级中学高二上学期期末考试数学试题一、单选题1．双曲线22132x y -=的渐近线方程是（ ）A ．23y x =± B ．32y x =±C ．y =D ．y = 【答案】D【分析】根据焦点在横轴上双曲线的渐近线方程直接求解即可.【详解】由题得双曲线的方程为22132x y -=，所以a b =，所以渐近线方程为b y x a =±=． 故选：D2．若平面α的法向量为μ，直线l 的方向向量为v ，直线l 与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是（ ） A ．cos ||||v v μθμ⋅=B ．||cos ||||v v μθμ⋅=C ．sin |||vv μθμ⋅=∣D ．||sin ||||v v μθμ⋅=【答案】D【分析】由线面角的向量求法判断 【详解】由题意得||sin ||||v v μθμ⋅=， 故选：D3．若抛物线C ：22x py =的焦点坐标为()0,1，则抛物线C 的方程为（ ） A ．22x y =- B ．22x y =C ．24x y =-D ．24x y =【答案】D【分析】由已知条件可得12p=，求出p ，从而可求出抛物线的方程. 【详解】因为抛物线C ：22x py =的焦点坐标为()0,1，所以12p=，得2p =， 所以抛物线方程为24x y =， 故选：D4．函数()f x 的定义域为R ，导函数()f x '的图象如图所示，则函数()f x （ ）A ．无极大值点、有四个极小值点B ．有三个极大值点、一个极小值点C ．有两个极大值点、两个极小值点D ．有四个极大值点、无极小值点 【答案】C【分析】设()f x '的图象与x 轴的4个交点的横坐标从左至右依次为1234,,,x x x x ，根据导函数的图象写出函数的单调区间，再根据极值点的定义即可得出答案.【详解】解：设()f x '的图象与x 轴的4个交点的横坐标从左至右依次为1234,,,x x x x ， 当1x x <或23x x x <<或4x x >时，0fx，当12x x x <<或34x x x <<时，()0f x '<，所以函数()f x 在()1,x -∞，()23,x x 和()4,x +∞上递增， 在()12,x x 和()34,x x 上递减，所以函数()f x 的极小值点为24,x x ，极大值点为13,x x ， 所以函数()f x 有两个极大值点、两个极小值点. 故选：C ．5．已知点1,0A ，直线l ：30x y -+=，则点A 到直线l 的距离为（ ）A ．1B ．2C D ．【答案】D【分析】利用点到直线的距离公式计算即可.【详解】已知点(1,0)A ，直线:30l x y -+=，则点A 到直线l =故选：D .6．已知A ，B ，C ，D ，E 是空间中的五个点，其中点A ，B ，C 不共线，则“存在实数x ，y ，使得DE x AB y AC =+是“//DE 平面ABC ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】利用存在实数x ，y ，使得DE xAB y AC =+⇔//DE 平面ABC 或DE ⊂平面ABC ，结合充分必要条件的定义即可求解.【详解】若//DE 平面ABC ，则,,DE AB AC 共面，故存在实数x ，y ，使得DE x AB y AC =+，所以必要性成立；若存在实数x ，y ，使得DE x AB y AC =+，则,,DE AB AC 共面，则//DE 平面ABC 或DE ⊂平面ABC ，所以充分性不成立；所以 “存在实数x ，y ，使得DE x AB y AC =+是“//DE 平面ABC ”的必要不充分条件， 故选：B【点睛】关键点点睛：本题考查空间向量共面的问题，理清存在实数x ，y ，使得DE xAB y AC =+⇔//DE 平面ABC 或DE ⊂平面ABC 是解题的关键，属于基础题.7．已知双曲线22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0）与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为（ ）A ．（1B ．（1C ．∞）D ．，＋∞）【答案】C【分析】根据渐近线的斜率的范围可求离心率的范围. 【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为by x a=，由题意得2b a >，所以双曲线的离心率c e a ==故选：C.8．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x >时，()()0xf x f x '-<，且()20f -=，则不等式()0f x x>的解集是（ ）． A ．()()2,00,2-⋃ B ．()(),22,∞∞--⋃+ C ．()()2,02,-+∞ D ．()(),20,2-∞-【答案】D 【分析】记()()(),0f x g x x x=≠.判断出()g x 的奇偶性和单调性，即可解不等式. 【详解】记()()(),0f x g x x x=≠.因为()f x 是定义在R 上的偶函数，所以()()f x f x -= 因为()()()()f x f x g x g x x x --==-=--，所以()g x 为奇函数，所以()()()()222222f fg g --==-=--. 因为()20f -=，所以()()220g g -==. 当0x >时，()()()20xf x f x g x x'-'=<，所以()g x 在()0,∞+上单减.因为()g x 为奇函数，图像关于原点对称，所以()g x 在(),0∞-上单减. 不等式()0f x x>即为()0g x >.当0x >时， ()g x 在()0,∞+上单减，且()20g =，所以()0g x >的解集为()0,2； 当0x <时， ()g x 在(),0∞-上单减，且()20g -=，所以()0g x >的解集为(),2-∞-. 综上所述：()0f x x>的解集为()(),20,2-∞-.故选：D二、多选题9．下列导数运算正确的有（ ）A ．211x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()(1)x x xe x e '=+C ．()222x x e e '=D ．()2ln 2x x'=【答案】BC【分析】根据导数的运算法则逐项运算排除可得答案.【详解】对于A ，()12211x x x x --'⎛⎫'==-=- ⎪⎝⎭，故错误；对于B ， ()()(1)x x x x xe x e x e x e '''==++，故正确； 对于C ， ()()22222x x x e x e e ''==，故正确； 对于D ， ()()''11ln 222x x x x==，故错误. 故选：BC.10．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，其公差1d >，且7916+=a a ，则（ ）． A ．88a = B ．15120S = C ．11a < D ．22a >【答案】ABC【分析】利用等差数列基本量代换，对四个选项一一验证.【详解】对于A ：因为7916+=a a ，所以978216a a a +==，解得：88a =.故A 正确； 对于B ：()1158151521581512022a a a S +⨯⨯===⨯=.故B 正确；对于C ：因为88a =，所以178a d +=，所以187a d =-. 因为1d >，所以11a <.故C 正确；对于D ：因为88a =，所以268a d +=，所以286a d =-. 因为1d >，所以22a <.故D 错误. 故选：ABC11．已知曲线1C ：函数()nx m f x x m+=-的图像，曲线()()2222:12C x y r -+-=，若1C 的所有对称轴平分2C ，且1C 与2C 有公共点，则r 的值可以等于（ ）．ABCD ．3【答案】BD【分析】先将()f x 整理成()nm mf x n x m+=+-可得()f x 的所有对称轴都经过(),m n ，故可求得1,2m n ==，再计算()f x 上的点到圆心()1,2M 的最短距离即可求得答案【详解】因为()nx m nm mf x n x m x m++==+--，且()f x 是由nm m y x +=向右平移m 个单位长度，向上平移n 个单位长度得到，nm my x+=的所有对称轴都经过()0,0， 所以()nx m nm mf x n x m x m++==+--的所有对称轴都经过(),m n ， 因为1C 的所有对称轴平分2C ，所以1C 的所有对称轴经过2C 的圆心()1,2M ， 所以1,2m n ==，所以()321f x x =+-， 设函数()f x 图象上的动点3,21P x x ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，则()()2233121611MP x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+≥-= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，当且仅当311x x -=-时，取等号， 所以()f x 上的点到圆心()1,2M 的最短距离为6， 若1C 与2C 有公共点，则6r ≥ 故选：BD12．我国知名品牌小米公司今年启用了具备“超椭圆”数学之美的全新Logo ．新Logo 将原本方正的边框换成了圆角边框（如图），这种由方到圆的弧度变化，为小米融入了东方哲学的思想，赋予了品牌生命的律动感．设计师的灵感来源于数学中的曲线:1nnC x y +=，则下列有关曲线C 的说法中正．确．的是（ ）．A ．对任意的n ∈R ，曲线C 总关于原点成中心对称B ．当0n >时，曲线C 上总过四个整点（横、纵坐标都为整数的点） C ．当01n <<时，曲线C 围成的图形面积可以为2D ．当1n =-时，曲线C 上的点到原点最近距离为22【答案】ABD【分析】对于A ：利用代数法验证；对于B ：直接求出曲线C 过四个整点()()()()1,0,1,0,0,1,0,1--，即可判断；对于C ：先判断出||||1x y +=与坐标轴围成的面积为2，再判断出1n nx y +=在||||1x y +=内部,即可判断；对于D ：表示出距离222221x d x y x x ⎛⎫=+=+ ⎪-⎝⎭.令()11x t t -=>-,利用基本不等式求出最小值.【详解】对于A ：在曲线:1nnC x y +=中,以x -替换x ,以y -替换y ,方程不变,则曲线C 关于原点成中心对称.故A 正确；对于B,当0n >时,令0x =,得1y =±；令0y =,得1x =±.曲线C 总过四个整点()()()()1,0,1,0,0,1,0,1--.故B 正确；对于C ：当01n <<时,由1n nx y +=,得:1,1x y ≤≤,且等号不同时成立. ∴||||||||1n n x y x y +>+=.又||||1x y +=与坐标轴围成的面积为2222⨯=，且1n nx y +=在||||1x y +=内部,则曲线C 围成图形的面积小于2.故C 错误.对于D ：当1n =-时,曲线C 的方程为：11||||1x y --+=.不妨令,x y 均大于0,曲线化为111x y +=，即1x y x =-，则222221x d x y x x ⎛⎫=+=+ ⎪-⎝⎭. 令()11x t t -=>-,则2222222112(1)2228t t d t t t t t t ++=++=++++≥=，当且仅当221t t =且22t t=,即1t =时等号成立.结合对称性可知,曲线C上点到原点距离的最小值为故D 正确.故选：ABD.三、填空题13．已知{}n a 是公比为2的等比数列，则1234a a a a ++的值为______． 【答案】14##0.25【分析】利用等比数列的通项公式计算即可. 【详解】{}n a 是公比为2的等比数列，121113411123148124a a a a a a a a a a ++∴===++ 故答案为：14.14．设点P是曲线32y x =+上的任意一点，P 点处切线倾斜角为α，则角α的取值范围是______.【答案】20,,23πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭【分析】求出23'=y xtan α≥α的范围可得答案. 【详解】∵23y x '=≥∴tan α≥ 又∵0απ≤≤， ∴02πα≤<或23a ππ≤< 则角α的取值范围是20,,23πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭.故答案为：20,,23πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭.15．已知数列{}n a 满足()21n a n m n =--，若满足123456a a a a a a <<<<<且对任意[)9,n ∈+∞，都有1n n a a +>，则实数m 的取值范围是______．【答案】1016,1117⎛⎫⎪⎝⎭【分析】由123456a a a a a a <<<<<解出1111m -<，由对任意[)9,n ∈+∞，都有1n n a a +>，解出1117m ->，即可求出实数m 的取值范围. 【详解】因为()21n a n m n =--，若满足123456a a a a a a <<<<<，所以()()()()()()222222111212313414515616m m m m m m --⨯<--⨯<--⨯<--⨯<--⨯<--⨯，解得：1111m -<. 因为对任意[)9,n ∈+∞，都有1n n a a +>，由二次函数的性质可得：()()101910212m m ⎧--<⎪+⎨-<⎪--⎩，解得：1117m ->. 所以1111711m <-<，解得：10161117m <<. 所以实数m 的取值范围为1016,1117⎛⎫⎪⎝⎭.故答案为：1016,1117⎛⎫⎪⎝⎭16．若方程2l e n 1x x ax x -=--存在唯一实根，则实数a 的取值范围是_____.【答案】(]1,01e ⎧⎫-∞+⎨⎬⎩⎭【分析】方程2l en 1xx ax x -=--存在唯一实根，则2ln 1e x x a x x-++=存在唯一实根，则函数y a =与函数()()2ln 1ln 10e ,e x x f x x x x x x x x-+++==+>有唯一的交点，利用导数分析()f x 的单调性，并在同一坐标系中做出y a =与函数()e ln 1x f x xx x +=+的图象，即可求解【详解】方程2l e n 1x x ax x -=--存在唯一实根， 则2ln 1e x x a x x-++=存在唯一实根，令()()2ln 10e ,x x x x xf x -++=>，则()()2221e n e e 2l 1x x x x x x x x x x f x ---⎛⎫-+⋅- +⎪⎭+⎝'= ()222231l e l e n e n x x x x x x x x xx x ----+==-⋅-- 令()()()2211ln e e ln xxx x h x x x x x --⋅=-++⋅=，注意到()10h =，则()10f '=，且当()0,1x ∈时，210,ln 0,0,e 0x x x x >-<><， 所以()()22110,n e el 0x xx x x x x ⋅⋅--<+<，即()0h x <； 当()1,x ∈+∞时，210,ln 0,0,e 0x x x x >->>>， 所以()()22110,n e el 0x xx x x x x ⋅⋅-->+>，即()0h x >； 所以当()0,1x ∈时，0fx，()f x 单调递增；当()1,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减； 又()()2ln 1ln 10e ,e x x f x x x x x x x x-+++==+>， 当()1,x ∈+∞时，()0f x >恒成立； 当0x →时，()f x →-∞；所以()()2ln 1ln 10e ,e x x f x x x x x x x x-+++==+>的大致图象为：由2ln 1e xx a x x-++=存在唯一实根，则函数y a =与函数()()2ln 1ln 10e ,e x x f x x x x x x x x-+++==+>有唯一的交点，由图象可知0a ≤或11ea =+时满足条件，所以方程2l e n 1x x ax x -=--存在唯一实根时， 实数a 的取值范围是(]1,01e a ⎧⎫∈-∞⋃+⎨⎬⎩⎭故答案为：(]1,01e ⎧⎫-∞⋃+⎨⎬⎩⎭四、解答题17．已知函数321()213f x x x =-++.（1）求()f x 的单调区间；（2）求函数()f x 在区间[]1,2-上的最大值与最小值.【答案】（1）单调递增区间为[]0,4；单调减区间为(),0∞-和()4,+∞；（2）()min 1f x =；()max 193f x =. 【解析】（1）求出导函数，令0fx，求出单调递增区间；令()0f x '<，求出单调递减区间.（2）求出函数的单调区间，利用函数的单调性即可求解. 【详解】(1)函数()f x 的定义域是R ， 2()4f x x x '=-+，令()0f x '≥，解得04x ≤≤ 令()0f x '<，解得>4x 或0x <， 所以()f x 的单调递增区间为[]0,4， 单调减区间为(),0∞-和()4,+∞； (2)由()()1f x 在[)1,0-单调递减，在[]0,2单调递增，所以()()min 01f x f ==，而()81928133f =-++=，()11012133f -=++=， 故最大值是()9231f =. 18．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的准线与x 轴交于点()1,0M -．（1）求抛物线C 的方程；（2）若过点M 的直线l 与抛物线C 相切，求直线l 的方程．【答案】（1）24y x =；（2）10x y -+=或10x y ++=【解析】（1）利用准线方程2p x =-求解 （2）设出直线方程，与抛物线方程联立，利用0∆=求解.【详解】（1）2:2(0)C y px p =>的准线2p x =-过()1,0M - 故12p -=-，则2p = 抛物线方程为24y x =（2）设切线方程为1x my =-与抛物线方程联立有2440y my -+=()24160m ∆=-=故1m =±故直线l 的方程为：10x y -+=或10x y ++=【点睛】求抛物线的切线方程的方法：方法一：将抛物线转化为二次函数，然后利用导数求解切线方程，这在开口朝上的抛物线中经常用到。
2022-2023学年北京市第十二中学高二上学期期末数学试题(解析版)
2022-2023学年北京市第十二中学高二上学期期末数学试题一、单选题1．一个袋中装有大小、质地相同的3个红球和3个黑球，从中随机摸出3个球，设事件A =“至少有2个黑球”，下列事件中，与事件A 互斥而不互为对立的是（ ） A ．都是黑球 B ．恰好有1个黑球 C ．恰好有1个红球 D ．至少有2个红球【答案】B【分析】利用对立事件、互斥事件的定义直接求解即可．【详解】解：从装有大小和质地完全相同的3个红球和3个黑球的口袋内任取3个球， 在A 中，至少有2个黑球和都是黑球能同时发生，不是互斥事件，故A 错误，在B 中，至少有2个黑球和恰有1个黑球不能同时发生，是互斥而不对立事件，故B 正确， 在C 中，至少有2个黑球和恰有1个红球能同时发生，不是互斥事件，故C 错误， 在D 中，至少有2个黑球和至少有2个红球事件不能同时发生，是对立事件，故D 错误． 故选：B ．2．若向量(1,1,),(1,2,1),(1,1,1)a b c λ=-=-=，满足条件()1c a b -⋅=-，则λ=（ ） A ．1- B ．2- C ．1 D ．2【答案】B【分析】首先通过向量的减法的坐标运算可得()(0,2,1)c a λ-=-，再通过数量积运算即可得解. 【详解】根据向量的运算可得： ()(0,2,1)c a λ-=-，所以()012(2)(1)1c a b λ-⋅=⨯+⨯-+-⨯4131λλ=-+-=--=-，所以2λ=-， 故选：B3．椭圆2221x y +=的焦点坐标为（ ） A ．12(1,0),(1,0)F F - B ．12(0,1),(0,1)F F -C ．12,F F ⎛⎫⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭D ．120,,F F ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭【答案】D【分析】根据题意可得22112x y +=，故该椭圆焦点在y 轴上，2211,2a b ==，求得22212c a b =-=即可得解.【详解】由2221x y +=可得22112x y +=，故该椭圆焦点在y 轴上，2211,2a b ==， 所以22212c a b =-=，22c =， 故焦点坐标为12220,,0,22F F ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：D4．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ） A ．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6% B ．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10% C ．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D ．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 【答案】C【分析】根据直方图的意义直接计算相应范围内的频率，即可判定ABD,以各组的中间值作为代表乘以相应的频率，然后求和即得到样本的平均数的估计值，也就是总体平均值的估计值，计算后即可判定C.【详解】因为频率直方图中的组距为1，所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为0.020.040.066%+==,故A 正确； 该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为0.040.0230.1010%+⨯==,故B 正确； 该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为0.100.140.2020.6464%50%++⨯==>,故D 正确；该地农户家庭年收入的平均值的估计值为30.0240.0450.1060.1470.2080.2090.10100.10110.04120.02130.02140.027.6⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(万元)，超过6.5万元，故C 错误. 综上，给出结论中不正确的是C. 故选：C.【点睛】本题考查利用样本频率直方图估计总体频率和平均值，属基础题，样本的频率可作为总体的频率的估计值，样本的平均值的估计值是各组的中间值乘以其相应频率然后求和所得值，可以作为总体的平均值的估计值.注意各组的频率等于⨯频率组距组距. 5．已知12,F F 是双曲线22146x y-=的两个焦点，点P 在双曲线上，若15PF =，则2PF =（ ）A ．1或9B ．3或7C ．9D ．7【答案】C【分析】由题知点P 在双曲线左支上，进而根据双曲线的定义求解即可；【详解】解：由题知，2,a b c ===因为P 在双曲线上，且152PF a c =<+=所以，点P 在双曲线左支上，由双曲线定义知2124PF PF a -==，故29PF =； 所以，29PF = 故选：C6．在空间直角坐标系中，已知三点(0,0,0),(1,2,1),(1,1,0)O A B -，若点C 在平面OAB 内，则点C 的坐标可能是（ ） A ．(1,1,3)-- B ．(3,0,1)C ．(1,1,2)D ．(1,1,2)-【答案】B【分析】根据向量的运算可得(1,2,1)OA =，(1,1,0)OB =-，由OA ，OB 不共线，结合向量基本定理可得(,2,)OC OA OB λμλμλμλ=+=+-，求得C 点坐标为(,2,)λμλμλ+-，代入验算即可得解. 【详解】由(1,2,1)OA =，(1,1,0)OB =-，显然OA ，OB 不共线，根据向量基本定理可得(,2,)OC OA OB λμλμλμλ=+=+-， 故C 点坐标为(,2,)λμλμλ+-， 经验算只有B 选项符合条件， 此时1,2λμ==， 故选：B7．2||12x y y -=-表示的曲线为（ ） A ．两个半圆 B ．一个圆 C ．半个圆 D ．两个圆【答案】A【分析】去方程中的绝对值符号，平方整理，再分类讨论方程表示的曲线即可得解. 【详解】依题意，||10x -≥，则有1x ≤-或1x ≥，当1x ≤-时，2222||1211(1)(1)(1)1x y y x y x y -=-⇔--=--⇔++-=， 此时方程表示以点O 2(-1，1)为圆心，1为半径的圆在直线x =-1及左侧的半圆， 当1x ≥时，2222||1211(1)(1)(1)1x y y x y x y -=-⇔-=--⇔-+-=， 此时方程表示以点O 1(1，1)为圆心，1为半径的圆在直线x =1及右侧的半圆， 如图，2||12x y y -=-.故选：A8．已知点A ，B 是椭圆2222:1(0)x y W a b a b+=>>长轴上的两个顶点，点P 在椭圆上（异于A ，B 两点），若直线,PA PB 斜率之积为43a ca -，则椭圆的离心率为（ ） A ．13B ．14C ．23D ．34【答案】C【分析】根据题意可设P 点坐标为(,)m n ，则22221m n a b +=，即22222a n m a b-=-，由(,0),(,0)A a B a -，则2222243PA PBn n n b a ck k m a m a m a a a-⋅=⋅==-=+--，整理解方程即可. 【详解】设P 点坐标为(,)m n ，则22221m n a b +=，22222a n m a b-=-，不妨设(,0),(,0)A a B a -， 则22222222243PA PBn n n n b a ck k a n m a m a m a a a b-⋅=⋅===-=+---， 整理可得223440c ac a +-=，即23e 4e 40+-=，23e =或2e =-（舍）， 故选：C9．已知圆22:(7)(1)2C x y -+-=和两点(0,),(0,)(0)A a B a a ->，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则a 的最大值为（ ）A．B．C．D．【答案】C【分析】以AB 为直径的圆与圆C 有公共点，进而根据圆与圆的位置关系求解即可. 【详解】解：因为圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=， 所以，以AB 为直径的圆与圆C 有公共点，因为以AB 为直径的圆的方程为222:O x y a +=，圆心为()0,0O ，r a = 因为圆C 的圆心为()7,1C，半径为R =所以r R OC r R -≤=+，即r R r R -≤+，所以，R r R ≤≤，即a ≤≤所以，a的最大值为故选：C10．如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是11D C 的中点，F 是侧面11ADD A 的中心，则F 到平面1EB C 的距离为（ ）A 26B 10C ．32D 3【答案】A【分析】连接1A D ，证明1//A D 平面1CEB ，进而将其转化为D 到平面1EB C 的距离，再根据等体积法求解即可.【详解】解：连接1A D ，因为F 是侧面11ADD A 的中心， 所以1F A D ∈，因为，由正方体的性质知1111//,A B CD A B CD =， 所以，11A B CD 是平行四边形， 所以11//A D CB ，因为1A D ⊄平面1CEB ，1CB ⊂平面1CEB 所以1//A D 平面1CEB ，所以，F 到平面1EB C 的距离与D 到平面1EB C 的距离相等， 设D 到平面1EB C 的距离为h1CEB 中，115,22EB CE BC ==11225262CEB S =⨯-△ 因为111111133D EB C B E CEB C CED D V V S h S B C --==⋅⋅=△△，1136111423323CED S B C ⨯⨯===⋅△，解得266h =所以，F 到平面1EB C 26故选：A11．已知椭圆22:14x E y +=，直线l 与两个坐标轴分别交于点M ，N ．且与椭圆E 有且只有个公共点，O 是坐标原点，则OMN 面积的最小值是（ ） A ．2B ．4C ．2D ．2【答案】D【分析】根据题意首先设直线l 方程为y kx b =+，和椭圆方程联立结合韦达定理求得参数k 和b 之间的关系，利用面积公式结合基本不等式求最值即可得解. 【详解】若要直线l 与两个坐标轴分别交于点M ，N ， 则直线l 的斜率存在，故设直线l 方程为y kx b =+， 代入到椭圆方程2214x y +=可得222(41)8440k x kbx b +++-=，根据提意可得222222644(41)(44)6416160k b k b k b ∆=-+-=-+=， 所以2241k b +=，根据题意对方程y kx b =+，0,0k b ≠≠， 所以令0x =得y b =，令0y =得bx k=-，所以2211114111422222OMNb b k SOM ON b k k k k k+=⋅=⋅-===+ 111(4)422k k k k=+⋅=， 当且仅当14k k=时取等，所以OMN 面积的最小值是2. 故选：D12．设圆22:2O x y +=，直线:40l x y +-=，P 为l 上的动点．过点P 作圆O 的两条切线,PA PB ，切点为,A B ，给出下列四个结论：①当四边形OAPB 为正方形时，点P 的坐标为(2,2)②||PA 的取值范围为)+∞③当PAB 为等边三角形时，点P 坐标为(1,3) ④直线AB 恒过定点11,22⎛⎫⎪⎝⎭其中正确结论的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【分析】对于①，当四边形OAPB 为正方形时，利用||||||||OA OB AP BP ===，求出||2PO =，再设00(,)P x y ，利用004y x =-，解方程||2PO =，可知①不正确；对于②，设00(,)P x y ，利用004y x =-， ||AP ==||AP ≥②正确对于③，根据PAB 为等边三角形，可得30APO BPO ∠=∠=，||OP =P 的坐标，利用||OP =对于④，设出点P 的坐标，求出以||PO 为直径的圆的方程，利用两圆的方程相减得到公共弦AB 的方程，将12x y ==代入直线AB 的方程恒成立，可得答案. 【详解】对于①，当四边形OAPB 为正方形时，||||||||OA OB AP BP ===，又圆22:2O x y +=的圆心(0,0)O ，半径r =所以||2PO ==， 设点00(,)P x y ，则004y x =-，所以||PO ===2=，化简得200460x x -+=，该方程的判别式16240∆=-<，该方程无解，所以不存在点P 使得四边形OAPB 为正方形，故①不正确；对于②，由①可知，||AP ==≥PA 的取值范围为)+∞，故②正确； 对于③，设点00(,)P x y ，则004y x =-， 当PAB 为等边三角形时，可知60APB ∠=，又OP 平分APB ∠，所以30APO BPO ∠=∠=，在直角三角形PAO 中，由于||OA =所以||sin ||OA APO OP ∠=，即2sin30||OP =，所以||OP =又点00(,4)P x x -=化简得20(2)0x -=，解得02x =，所以0042y x =-=，则(2,2)P ，故③不正确；对于④，设点00(,)P x y ，则004y x =-，00(,4)P x x -，以||PO 为直径的圆的圆心为004(,)22x x -，半径为||2PO =所以以||PO 为直径的圆的方程为222200004(4)()()224x x x x x y -+--+-=， 化简得2200(4)0x y x x x y +---=，联立220022(4)02x y x x x y x y ⎧+---=⎨+=⎩，得00(4)2x x x y +-=， 所以直线AB 的方程为：00(4)2x x x y +-=，将12x y ==代入直线AB 的方程恒成立， 故直线AB 恒过定点11,22⎛⎫⎪⎝⎭，故④正确.所以正确的答案有2个， 故选：B.二、填空题13．一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，4，x ，7，8（其中7x ≠），若该组数据的中位数是众数的54倍，则该组数据的第60百分位数是__________.【答案】6【分析】先求出众数，进而求得中位数，解出6x =，再由百分位数的求法求解即可. 【详解】由题意知，众数是4，则中位数为5454⨯=，则452x+=，解得6x =，又660% 3.6⨯=，则第60百分位数是6. 故答案为：6.14．过椭圆22143x y +=的焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得线段的长度为________．【答案】3【分析】根据题意即求通径大小，先求1c =，令1x =代入椭圆方程求得32y =±即可得解.【详解】由2221c a b =-=，故1c =， 不妨令1x =，代入22143x y +=可得294y =， 所以32y =±，故弦长为3.故答案为：315．已知直线12:210,:(1)10l x my l m x y --=--+=，若12l l //，则m =________． 【答案】2【分析】由题知()210m m -+-=，进而解方程并检验即可得答案. 【详解】解：因为直线12:210,:(1)10l x my l m x y --=--+=平行， 所以，()210m m -+-=，即220m m --=，解得：1m =-或2m = 当1m =-时，12:210,:210l x y l x y +-=--+=，显然重合，舍； 当2m =时，121:0,:102l x y l x y --=-+=，满足12l l //. 所以，2m = 故答案为：2 16．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>经过点P ⎫⎪⎝⎭，双曲线C 的离心率为53，则双曲线C 的焦点到其渐近线的距离为_______． 【答案】4【分析】利用已知条件先求出双曲线的标准方程，找出一个焦点和一条渐近线， 利用点到直线距离公式求解即可.【详解】由双曲线经过点P ⎫⎪⎝⎭，则222221a b ⎝⎭-=，① 双曲线离心率为：53c e a ==，②又222+=a b c ，③联立①②③解得：2229,16,25a b c ===， 所以双曲线标准方程为：221916x y -= 所以双曲线的一个焦点为()5,0， 一条渐近线为430x y -=，所以双曲线C 的焦点到其渐近线的距离为：4d ==，故答案为：4.17．已知椭圆22195x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆上的一点，且1260F PF ︒∠=，则21PF F 的面积是________． 【解析】根据椭圆的定义，得到12PF PF +的值，再由1260F PF ︒∠=，在21PF F 中，用余弦定理，求出12PF PF ，根据三角形面积公式，即可得出结果.【详解】根据椭圆定义，可得1226PF PF a +==，且椭圆的焦距为124F F ==，又1260F PF ︒∠=，在21PF F 中，由余弦定理，可得222121212121cos 22PF PF F F F PF PF PF +-∠==， 所以()22221121212122PF PF PF PF F F PF PF +--=， 即211236162122PF PF PF PF --=，所以21203PF PF =， 因此21PFF的面积是1221211120sin 223PF F S PF PF F PF =∠=⨯=. . 18．如图，在直三棱柱111ABC A BC 中，11AB BB ==，BC =90ABC ∠=︒，CH xCB =，1(01,01)CP yCB x y =<≤≤≤．记(,)f x y AH HP =+，给出下列四个结论：①对于任意点H ，都存在点P ，使得平面AHP ⊥平面11A B P ； ②(,)f x y 的最小值为3；③满足(,)3f x y =的点P 有无数个；④当(,)f x y 取最小时，过点A ，H ，P 作三棱柱的截面，则截面面积为154．其中所有正确结论的序号是________．【答案】①②③④【分析】过点H 作01HP B C ⊥，根据线面垂直判定定理，面面垂直判定定理证明平面0AHP ⊥平面110A B P ，由此判断①；作展开图，利用平面几何结论判断②，③；确定过点A ，H ，P 作三棱柱的截面，解三角形计算截面面积，判断命题④.【详解】因为三棱锥111ABC A B C 为直三棱锥，所以1BB ⊥平面111A B C ，又11A B ⊂平面111A B C ，所以111BB A B ⊥，又90ABC ∠=︒，所以11190A B C ∠=︒，所以1111A B B C ⊥， 1111BB B C B =，111,BB B C ⊂平面11BB C C ，所以11A B ⊥平面11BB C C ，对于任意点H ，过点H 作01HP B C ⊥，垂足为0P ，因为11A B ⊥平面11BB C C ，0HP ⊂平面11BB C C ，所以110A B HP ⊥，又1111B CA B B =，111,B C A B ⊂平面110A B P ，所以0HP ⊥平面110A B P ，又0HP ⊂平面0AHP ，所以平面0AHP ⊥平面110A B P ； 所以对于任意点H ，都存在点P ，使得平面AHP ⊥平面11A B P ；命题①正确；将ABC 绕BC 翻折到平面1BB C 内，则AH HP +的最小值为点A 到直线1B C 的距离，又11AB BB ==，3BC =，90ABC ∠=︒，190B BC ∠=，所以112AC CB AB ===，所以点A 到直线1B C 的距离为3，所以(,)f x y 的最小值为3；②正确；当(,)f x y 取最小时，P 为1B C 的中点，因为1AB C 为等边三角形，点B 为线段1AB 的中点，所以H 为1AB C 的重心，故13BH BC =，在平面11BCC B 中，延长HP 交11B C 于点M ，因为1PC PB =，11,PB M PCH B PM HPC ∠=∠∠=∠，所以1PB M PCH ≅，故123B M CH ==，取1B M 的中点Q ，N 为11A C 的中点，则1//MN AQ ，因为1//BH B Q ，1=BH B Q ，所以四边形1BB QH 为平行四边形，所以11//,HQ BB HQ BB =，又1111,//AA BB AA BB =，所以1//A Q AH ，所以//MN AH ，故过点A ，H ，P 的三棱柱的截面为梯形AHMN ，又2323133AH ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭，11323MN A Q ==， 22233MH MQ HQ =+=， 22112AN AA A N =+=，在下图中过点M 作MG AH ⊥，设,HG x AG y ==， 因为222MH HG AG =+，()222AN AG MN NG =-+， 所以22243x y MH +==，22323x y ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭， 所以36x =，52y =， 所以四边形AHNM 的面积35152224MN AH S AG +=⋅=⨯=， 故过点A ，H ，P 的截面面积为154．命题④正确；当52HB ≥时，32AH ≥，则12AH HP AH HB AH +≤+≤，在下图中过点H 作HR BC ⊥，垂足为R ，则AH HP AH HR +≥+， 又2AH HR AH HC +<+<，23AH ≥，故对于任意的点H ，当52HB ≥时，都存在对应的点P ，满足3AH HP +=，故满足(,)3f x y =的点P 有无数个；命题③正确；故答案为：①②③④.【点睛】对于求空间中的线段和的距离最小值的问题，一般通过转化为平面图形中的线段和问题加以解决.三、解答题19．为贯彻十九大报告中“要提供更多优质生态产品以满足人民日益增长的优美生态环境需要”的要求，某生物小组通过抽样检测植物高度的方法来检测培育的某种植物的生长情况，现分别从,,A B C 三块试验田中各随机抽取7株植物测量高度，数据如下表（单位：厘米）：假设所有植株的生产情况相互独立．从,,A B C 三组各随机选1株，A 组选出的植株记为甲，B 组选出的植株记为乙，C 组选出的植株记为丙． (1)求丙的高度小于15厘米的概率； (2)求甲的高度大于乙的高度的概率；(3)表格中所有数据的平均数记0μ．从,,A B C 三块试验田中分别再随机抽取1株该种植物，它们的高度依次14，16，15（单位：厘米）．这3个新数据与表格中的所有数据构成的新样本的平均数记为1μ，试比较0μ和1μ的大小．（结论不要求证明） 【答案】(1)27(2)1049(3)01μμ<【分析】（1）设事件i A 为“甲是A 组的第i 株植物”，事件i B 为“乙是B 组的第i 株植物”， 事件i C 为“甲是C 组的第i 株植物”，其中1,2,3,,7i =，设事件D 为“丙的高度小于15厘米”，利用互斥事件求出概率即可；（2）由（1）中的事件分析直接求出“甲的高度大于乙的高度” 的概率， （3）依题意分别计算出0μ和1μ比较即可.【详解】（1）设事件i A 为“甲是A 组的第i 株植物”，事件i B 为“乙是B 组的第i 株植物”，事件i C 为“甲是C 组的第i 株植物”，其中1,2,3,,7i =，由题意得：1()()(),1,2,3,,77i i i P A P B P C i ====，设事件D 为“丙的高度小于15厘米”， 由题知12D C C =⋃，且12,C C 互斥， 所以丙的高度小于15厘米的概率为： ()()()()1212112777P D P C C P C P C ==+=+=. （2）设事件E 为“甲的高度大于乙的高度”， 所以甲的高度大于乙的高度的概率为：()()()()()()()415161115262P E P A B P A B P A B P A B P A B P A B =+++++ ()()()()72637374P A B P A B P A B P A B ++++11111111117777777777=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 11111111117777777777+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 1110107749=⨯⨯=.（3）由题意得：01(1011121314151612131421μ=⨯+++++++++ 1516171813141516171819)14.67+++++++++++≈，11(1011121314151612131421μ=⨯+++++++++ 1516171813141516171819141615)14.71++++++++++++++≈，所以01μμ<.20．已知圆C 的圆心在直线30x y -=上，且经过点(1,3),(1,5)A B -． (1)求圆C 的标准方程；(2)过点(2,1)P 的直线l 与圆C 相交于,M N 两点，且||MN =l 的方程． 【答案】(1)()()22134x y -+-= (2)34100x y +-=或2x =【分析】（1）由已知设出圆心的坐标(),3a a ，再求出AB 的中点M ，利用AB CM ⊥求出a的值，进而可以求出圆心和半径，即可解决问题；（2）先判断直线的斜率是否存在，存在的话根据点斜式方程设出直线方程，求出圆心到直线的距离，然后利用2222MN R d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭求出直线的斜率即可解决问题.【详解】（1）因为圆C 的圆心在直线30x y -=上， 所以设圆C 的圆心为：(),3a a ， 由(1,3),(1,5)A B -， 所以AB 的中点()0,4M ， 由题知：AB CM ⊥， 所以1AB CM k k ⋅=-， 即()53341110a a --⋅=----，解得1a =，所以圆心为()1,3C ，半径2R AC ===所以圆C 的标准方程为：()()22134x y -+-=.（2）①当直线l 的斜率不存在时，因为直线l 过点(2,1)P ， 所以方程为：2x =，代入()()22134x y -+-=中解得：3y =±(()||33MN =-=满足题意；②当直线l 的斜率存在时，设直线l 方程为：1(2)210y k x kx y k -=-⇔--+=， 由圆心()1,3C 到直线l 的距离为：d ==由2222MN R d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以2222=+⎝⎭，解得：34k =-，所以直线l 的方程为：34100x y +-=， 综上，直线l 的方程为：34100x y +-=或2x =.21．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，60BCD ∠=︒，2PA PD ==，E 为BC 的中点，点Q 在侧棱PC 上.（1）求证：AD PB ⊥；.（2）若Q 是PC 的中点，求二面角E DQ C --的余弦值； （3）若PQPCλ=，当//PA 平面DEQ 时，求λ的值.【答案】（1）见解析；（221；（3）23λ=.【详解】分析：（1）先利用等腰三角形的“三线合一”和面面垂直的性质得到线面垂直，再利用菱形的对角线垂直得到线线垂直，进而建立空间直角坐标系，利用两直线的方向向量数量积为0进行求解；（2）先求出两平面的法向量，再利用法向量的夹角公式进行证明；（3）利用三点共线设出Q 的坐标，分别求出平面的法向量和直线的方向向量，利用两向量数量积为0进行求解. 详解：（1）取AD 的中点O ，连结OP ，OB ，BD ， ∵ PA PD =， ∴ PO AD ⊥，∵ 侧面PAD ⊥底面ABCD ， 平面PAD ⋂平面ABCD AD =， ∴ PO ⊥底面ABCD ，∵ 底面ABCD 是菱形，60BCD ∠=︒， ∴ BA BD =，BO AD ⊥，以O 为原点，分别以OA ，OB ，OP 方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系O xyz -， 由题意可得()0,0,0O ，()1,0,0A ，()3,0B ，()3,0C -，()1,0,0D -，()3,0E -，()0,0,1P ，()2,0,0AD =-，()0,3,1PB -，∵ ·0AD PB =，∴ AD PB ⊥.（2）由题意，12Q ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 设平面DQC 的一个法向量()1,,n x y z =，()DC =-，12DQ ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，由11·0·0n DC n DQ ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即0102x z ⎧-=+=，令x =1y =，z =(13,1,n =，又平面EDQ 的一个法向量()21,0,0n =， 由121212·21cos ,7n n n n nn ==⋅， 右图可知，二面角E DQ C --. （3）∵ PQ PC λ=，01λ<<， 易得()2,1Q λλ--，设平面DEQ 的一个法向量()3,,n xy z =， ()0,DE =，()2,1DQ λλ=-+-，由33·0·0n DE n DQ ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即()()02110x y z λλ⎧=⎪⎨-++-=⎪⎩，取21z λ=-，得()31,0,21n λλ=--， 又()1,0,1PA =-，∵ //PA 平面DEQ ，∴ 3·0PAn =， 即()()()11210λλ-+--=，得23λ=， 所以当23λ=时，//PA 平面DEQ . 点睛：本题考查空间中垂直的转化、空间向量在立体几何中的应用等知识，意在考查学生的空间想象能力和基本计算能力.22．已知椭圆W 以坐标轴为对称轴，且经过两点3(2,0),1,2A B ⎛⎫⎪⎝⎭．(1)求椭圆W 的方程；(2)设过点(2,1)P 的直线l 交椭圆W 于C D 、两点，过点D 作垂直于x 轴的直线，与线段AB 交于点M ，与AC 交于点E ，再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知．求||||MD ME 的值． 条件①：直线l 的斜率为1；条件②：直线l 过点B 关于y 轴的对称点； 条件③：直线l 过坐标原点O ． 【答案】(1)22143x y += (2)1【分析】（1）由题设()221,0,mx ny m o n m n +=>>≠，进而待定系数求解即可；（2）条件①：由题知直线l 的方程为1y x =-，进而联立方程221143y x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，设()()1122,,,C x y D x y 得121288,77x x x x +==-，再根据AB 方程为()322y x =--，AC 方程为()1122y y x x =--得()223,22M x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，()12212,2y x E x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，再计算2852x MD -=，()()()12158222x x ME x --=-，再结合韦达定理求比值即可；条件②：由题知，点B 关于y 轴的对称点为31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线l 的方程为1463y x =-+，进而结合①的方法求解即可；条件③：由题知直线l 的方程为12y x =，进而联立方程2212143y x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得,D C ⎛⎭⎝⎭，再求得3M ⎫⎪⎭，E ，再求距离，比值即可. 【详解】（1）解：因为椭圆W 以坐标轴为对称轴，且经过两点3(2,0),1,2A B ⎛⎫⎪⎝⎭所以，设椭圆W 的方程为()2210,0,mx ny m n m n +=>>≠，所以41914m m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得11,43m n == 所以，椭圆W 的方程为22143x y += （2）解：条件①：直线l 的斜率为1；因为过点(2,1)P 的直线l 交椭圆W 于C D 、两点，所以，直线l 的方程为12y x -=-，即1y x =-， 联立方程221143y x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得27880x x --=，设()()1122,,,C x y D x y 所以121288,77x x x x +==-， 因为AB 方程为()322y x =--，AC 方程为()1122y y x x =-- 所以()223,22M x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，()12212,2y x E x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭所以()2222853524222x MD x y x -=---=-+=， ()()()()()12122112582322222y x x x ME x x x ---=+-=--， 所以()()()()()()()221112212121212185852816510258251081658222x x x MD x x x x ME x x x x x x x x x -----+===----+---()()221212212122228888165228165277718885102162510162777x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⨯--⨯-+-+ ⎪+--+⎝⎭====-+++⎛⎫-+⨯--⨯++ ⎪⎝⎭所以1MDME =条件②：直线l 过点B 关于y 轴的对称点；由题知，点B 关于y 轴的对称点为31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以直线l 的方程为()11421663y x x =--+=-+， 所以联立方程221463143y x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得274110x x --=，设()()1122,,,C x y D x y 所以1212411,77x x x x +==-， 因为AB 方程为()322y x =--，AC 方程为()1122y y x x =-- 所以()223,22M x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，()12212,2y x E x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭所以()()2222233144522226333MD x y x x x =---=--+-=-+， ()()()()()()()1212212211114222810336322222262x x y x x x ME x x x x x ⎛⎫-+- ⎪---⎝⎭=+-=+-=---， 所以()()()212121221211451016820338101620281062x MD x x x x ME x x x x x x x -++--==--+---()()221221212122224111210682061068207771121148166206816610777x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⨯+-⨯--- ⎪++--⎝⎭====-+++⎛⎫-⨯--⨯++ ⎪⎝⎭所以1MDME =条件③：直线l 过坐标原点O ．由题知直线l 的方程为12y x =， 所以联立方程2212143y x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得23x =，解得x=所以，交点坐标为,⎛ ⎭⎝⎭因为过点D 作垂直于x 轴的直线，与线段AB 交于点M ，与AC交于点E ，所以,D C ⎛ ⎭⎝⎭因为AB 方程为()322y x =--，AC方程为))22y x x -=-所以3M ⎫⎪⎭，)2E ⎫=⎪⎪⎭所以33MD ==-，633ME ==-，所以1MDME =23．对于集合A ，定义函数1,()1,A x A f x x A ∉⎧=⎨-∈⎩，对于两个集合A ，B ，定义运算A *B ＝{x |fA (x )fB (x )＝﹣1}．(1)若A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4,5}，写出fA (1)与fB (1)的值，并求出A *B ；(2)证明：*运算具有交换律和结合律，即A *B ＝B *A ，(A *B )*C ＝A *(B *C )．【答案】(1)fA (1)＝﹣1，fB (1)＝1，A *B ＝{1,4,5}；(2)证明见详解.【分析】（1）由新定义的元素即可求出fA (1)与fB (1)的值，再分情况求出A *B ；（2）先证明fA *B (x )＝fA (x )fB (x )即可证明出*运算具有交换律和结合律．【详解】（1）∵A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4,5}，∴fA (1)＝﹣1，fB (1)＝1，由运算定义知：只需保证元素属于集合A ∪B ，不属于集合A ∩B ，即有A *B ＝{1,4,5}；（2）先证明fA *B (x )＝fA (x )fB (x )：①当x ∈A 且x ∈B 时，fA (x )＝fB (x )＝﹣1，所以x ∉A *B ．所以fA *B (x )＝1，所以fA *B (x )＝fA (x )fB (x )，②当x ∈A 且x ∉B 时，fA (x )＝﹣1，fB (x )＝1，所以x ∈A *B ．所以fA *B (x )＝﹣1，所以fA *B (x )＝fA (x )fB (x )，③当x ∉A 且x ∈B 时，fA (x )＝1，fB (x )＝﹣1．所以x ∈A *B ．所以fA *B (x )＝﹣1．所以fA *B (x )＝fA (x )fB (x )．④当x ∉A 且x ∉B 时，fA (x )＝fB (x )＝1．所以x ∉A *B ．所以fA *B (x )＝1．所以fA *B (x )＝fA (x )fB (x )．从而可得fA *B (x )＝fA (x )fB (x )；因为A *B ＝{x |fA (x )fB (x )＝﹣1}，B *A ＝{x |fB (x )fA (x )＝﹣1}＝{x |fA (x )fB (x )＝﹣1}，所以A*B＝B*A．因为(A*B)*C＝{x|fA*B(x)fC(x)＝﹣1}＝{x|fA(x)fB(x)fC(x)＝﹣1}，A*(B*C)＝{x|fA(x)fB*C(x)＝﹣1}＝{x|fA(x)fB(x)fC(x)＝﹣1}，所以(A*B)*C＝A*(B*C)．。
2022-2023学年贵州省贵阳市普通中学高二上学期期末监测考试数学试题(解析版)
2022-2023学年贵州省贵阳市普通中学高二上学期期末监测考试数学试题一、单选题1．已知两个空间向量(),4,2a m =-，()1,2,1b =-，且a b ，则实数m 的值为（ ）A ．2B ．12C ．12-D ．2-【答案】D【分析】根据空间向量平行的坐标运算得出答案. 【详解】a b ∥，(),4,2a m =-，()1,2,1b =-， 42121m -∴==-，解得2m =-， 故选：D.2．在等比数列{}n a 中，24a =，42a =，则6a =（ ）A ．1-B ．1C ．1或1-D 【答案】B【分析】根据等比数列基本量的计算即可求解.【详解】设公比为,q 则由24a =，42a =得222421422a a q q q ===⇒=，故226421a a q q ===， 故选：B3．已知直线l ：0Ax By C ++=，如果0AC <，0BC <，那么直线l 不经过的象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】C【分析】根据题意，求出直线在坐标轴上的截距，即可求解. 【详解】当0x =时，Cy B =-，由0BC <得0C B->， 即点(0,)CB -在y 轴的正半轴；当0y =时，Cx A =-，由0AC <得0C A->， 即点(,0)CA-在x 轴的正半轴， 又直线l 过点(0,)C B -和点(,0)CA -，所以直线l 不经过第三象限.4．以下四个命题，正确的是（ ）A ．若直线l 的斜率为1，则其倾斜角为45°或135°B ．经过()()101,3A B -，，两点的直线的倾斜角为锐角 C ．若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应 D ．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应 【答案】D【分析】根据直线的倾斜角和斜率的概念依次判断选项即可. 【详解】A ：直线的斜率为1，则直线的倾斜角为45︒，故A 错误； B ：过点A 、B 的直线的斜率为3030112k -==-<--， 即3tan 02α=-<(α为直线的倾斜角)，则α为钝角，故B 错误；C ：当直线的倾斜角为90︒时，该直线的斜率不存在，故C 错误；D ：若直线的斜率存在，则必存在对应的倾斜角，故D 正确. 故选：D.5．如图，在三棱柱111ABC A B C 中，M ，N 分别是1BB 和11A C 的中点，且1MN xAB y AC z AA =++，则实数x ，y ，z 的值分别为（ ）A ．111,,22-B ．111,,22--C ．111,,22---D ．111,,22-【答案】A【分析】根据题意用空间基底向量表示向量，结合空间向量的线性运算求解. 【详解】由题意可得：()11111111112222MN MB B C C N AA AC AB AC AB AC AA =++=+--=-++， 故111,,22x y z =-==.故选：A.6．等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，且510S =，1050S =，则15S =（ ） A ．70B ．90C ．100D ．120【分析】根据等差数列前n 项和的性质可得51051510,,S S S S S --成等差数列，即可求得15S 的值. 【详解】在等差数列{}n a 中，51051510,,S S S S S --成等差数列，所以()051051512S S S S S -=-+，则()152********S ⨯-=+-，即15120S =. 故选：D.7．设1F ，2F 分别是双曲线C ：2212y x -=的左､右焦点，P 为C 上一点且在第一象限若122PF PF =，则点P 的纵坐标为（ ） A ．1 B ．3C ．2D ．23【答案】C【分析】根据双曲线的定义可得124,2PF PF ==，进而根据长度关系判断212PF F F ⊥，代入3x =即可求解.【详解】根据题意可知：1,2,3a b c === ，由122PF PF =以及1222PF PF a -==可得124,2PF PF ==，又12223F F c ==，由于2221212PF PF F F =+,故212PF F F ⊥，即三角形12PF F 为直角三角形，将3x =代入2212y x -=得2y =，由于P 为C 在第一象限，故点P 的纵坐标为2， 故选：C8．已知直线l ：210x y --=是圆C ：22610()x y x ay a +-++=∈R 的对称轴，过点()4,P a -作圆的一条切线，切点为A ，则PA =（ ） A ．10 B ．7 C ．3D ．2【答案】B【分析】根据题意分析可得直线l 过圆心C ，可求得2a =-，再根据圆的切线长公式运算求解. 【详解】由题意可知：直线l ：210x y --=过圆心3,2a C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则32102a ⎛⎫-⨯--= ⎪⎝⎭，解得2a =-，故圆C ：226210x y x y +--+=的圆心为()3,1C ，半径3r =，且点()4,2P --， ∵()()22432158PC =--+--=，∴227PA PC r =-=.故选：B.二、多选题9．斐波那刻螺旋线被骨为自然界最完美的“黄金螺旋”，自然界存在很多斐波那契螺旋线的图案，例如向日葵，鹦鹉螺等.如图，小正方形的边长分别为斐波那契数1，1，2，3，5，8....，从内到外依次连接通过小正方形的14圆弧，就得到了一条被称为“斐波那契螺旋”的弧线，现将每一段“斐波那契螺旋”弧线所在的正方形边长设为(N )n a n *∈，数列{}n a 满足11a =，21a =，21(N )n n n a a a n *++=+∈，每一段“斐波那契螺旋”弧线与其所在的正方形围成的扇形面积设为(N )n b n *∈，则下列说法正确的有（ ）A ．13578a a a a α+++=B ．62984a a a a a +++=C ．()54364πb b a a -=D ．()67544b b b +=【答案】AC【分析】由题意可得{}n a 的前9项分别为1,1,2,3,5,8,13,21,34，根据运算即可判断AB,根据2π4n n b a =，利用平方差公式以及12n n n a a a --=+即可判断选项C,代入计算即可判断D.【详解】根据11a =，21a =，21(N )n n n a a a n *++=+∈得数列的前9项分别为1,1,2,3,5,8,13,21,34，所以135781251321a a a a α=+++=+++=，629841382133a a a a a =+++=+++≠，故A 正确，B 错误，由题意可得2π4n n b a =，即24πn n b a =，所以2254545454364()π()π()()πb b a a a a a a a a -=-=-+=，故C 正确， ()222256564()π()π5889πb b a a =+=+=+，22774ππ13169πb a ==⨯=，所以()67544b b b +≠，故D 错误， 故选：AC.10．如图，在正方线ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H ，K ，L 分别是AB ，BB 1，B 1C 1，C 1D 1，D 1D 1，DA 各棱的中点，则下列选项正确的有（ ）A ．向量EA ，EK ，EF 共面B ．A 1C ⊥平面EFGHKL C ．BC 与平面EFGHKL 3D ．∠KEF =90°【答案】BCD【分析】建系，利用空间向量判断向量共面和线、面关系以及求线面夹角. 【详解】如图，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，设2AD =， 则()()()()()()()()12,0,0,2,2,0,0,2,0,2,0,2,2,1,0,2,2,1,0,0,1,0,2,1A B C A E F K H ，可得()()()()()()10,1,0,2,1,1,0,1,1,2,2,2,2,0,0,0,1,1EA EK EF A C BC KH =-=--==--=-=， 对A ：若向量EA ，EK ，EF 共面，则存在实数,λμ，使得EA EK EF λμ=+成立，∵()()0,1,0,2,,EA EK EF λμλλμλμ=-+=+-+，可得2010λλμλμ=⎧⎪+=-⎨⎪-+=⎩，无解，∴不存在实数,λμ，使得EA EK EF λμ=+成立， 故向量EA ，EK ，EF 不共面，A 错误； 对B ：由题意可得：EF KH =，则EF KH ，同理可得：ELGH ，KL GF ，故,,,,,E F G H K L 六点共面，∵()()()1122212102021210AC EK ACEF ⎧⋅=-⨯+⨯+-⨯-=⎪⎨⋅=-⨯+⨯+-⨯=⎪⎩，则11,A C EK A C EF ⊥⊥， EKEF E =，,EK EF ⊂平面EFGHKL ，∴1A C ⊥平面EFGHKL ，B 正确；对C ：由B 可得()12,2,2AC =--是平面EFGHKL 的法向量， ∵11143cos ,3223BC A C BC A C BC A C⋅===⨯，∴BC 与平面EFGHKL 所成角的正弦值为33，C 正确； 对D ：∵()2011110EK EF ⋅=⨯+⨯+-⨯=，则EK EF ⊥， ∴90KEF ∠=︒，D 正确. 故选：BCD.【点睛】方法点睛：利用空间向量处理立体几何问题的一般步骤：（1）建立恰当的空间直角坐标系；（2）求出相关点的坐标，写出相关向量的坐标； （3）结合公式进行论证、计算； （4）转化为几何结论．三、填空题11．直线l 1：10x y +-=与直线l 2：30x y ++=间的距离是___________. 【答案】2【分析】根据两平行线间距离公式运算求解.【详解】由题意可得：直线l 1：10x y +-=与直线l 2：30x y ++=间的距离22132211d --=+.故答案为：22.12．已知空间向量(1,2,2)a =-，()1,0,1b =，则2a ab -⋅=___________. 【答案】6【分析】利用空间向量数量积运算法则计算即可.【详解】()()()21441,2,21,0,19126a a b -⋅=++--⋅=-+=. 故答案为：613．已知a ，b ，c 成等比数列，则二次函数22y ax bx c =++的图像与x 轴的交点个数是___________. 【答案】1【分析】根据题意有2b ac =，再借助二次函数的判别式判断交点个数 【详解】a ，b ，c 成等比数列,则2b ac =， ()224440b ac ac ac ∆=-=-=，则二次函数的图像与x 轴有1个交点， 故答案为：1.14．已知抛物线2:4C y x =的准线是直线l ，M 为C 上一点，MN l ⊥，垂足为N ，点P 的坐标是()0,2，则PM MN +的最小值为___________. 【答案】5【分析】由抛物线的定义可得出MN MF =，当M 为线段PF 与抛物线C 的交点时，PM MN +取最小值可得结果.【详解】抛物线C 的焦点为()1,0F ，准线为:1l x =-，如图所示：由抛物线的定义可得MN MF =，所以，()()2201205PM MN PM MF PF +=+≥=-+-= 当且仅当M 为线段PF 与抛物线C 的交点时，等号成立，因此，PM MN +的最小值为5. 故答案为：5.15．若直线y x b =+与曲线214x y y =+-有公共点，则b 的取值范围是___________.【答案】122,3⎡⎤-⎣⎦【分析】由题意可得：该曲线为以()1,2为圆心，半径2r =的右半圆，根据图象结合直线与圆的位置关系运算求解.【详解】∵2141x y y =+-≥，整理得()()()221241x y x -+-=≥， ∴该曲线为以()1,2为圆心，半径2r =的右半圆， 直线y x b =+的斜率1k =，如图所示： 当直线0x y b -+=与圆相切时，则()2212211b -+=+-，解得122b =-或122b =+（舍去）；当直线y x b =+过点()1,4A 时，则41b =+，解得3b =； 综上所述：b 的取值范围是122,3⎡⎤-⎣⎦. 故答案为：122,3⎡⎤-⎣⎦.【点睛】方法点睛：直线与圆位置关系问题的求解思路：研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半径的比较实现，结合图象分析相应的性质与关系，列式求解．四、解答题16．如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，1AA ⊥底面ABCD ，AB =BD =2，13AA =，E ，F 分别是棱BB 1，DD 1上的动点（不含端点），且1BE D F =.(1)求四棱锥A BEFD -的体积；(2)当BE =1时，求平面AEF 与平面11BB D D 夹角的余弦值. 【答案】(1)3 (2)64【分析】（1）作出辅助线，得到AO 是四棱锥A BEFD -的高，求出各边的长，利用锥体体积公式求出答案；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解两平面的夹角的余弦值.【详解】（1）如图，连接AC 交BD 于点O ，因为底面ABCD 是菱形，所以AO BD ⊥，因为点E ，F 分别在1BB ，1DD 上， 所以1AA //BE //DF ， 又1AA ⊥底面ABCD ，AO ⊂底面ABCD ，BD ⊂底面ABCD ，所以BE ⊥BD ，BE ⊥AO ，所以四边形BEFD 是直角梯形， 且因为13AA =，1BE D F =，所以3BE DF +=， 又因为BD BE B ⋂=，,BD BE ⊂平面BEFD ，所以AO ⊥平面BEFD ，即AO 是四棱锥A BEFD -的高， 因为AB =BD =2，底面ABCD 是菱形，所以ABD △是等边三角形，故1OB =，33AO OB ==， 所以()1332A BEFD BE DF BDV AO -+⋅=⋅=，所以四棱锥A BEFD -的体积为3（2）以O 为原点，分别以OA ，OB 所在直线为x 轴，y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则()3,0,0A，()0,1,1E ，()0,1,2F -，所以()3,1,1AE =-，()3,1,2AF =--. 设(),,n x y z =是平面AEF 的法向量，则()()()(),,3,1,130,,3,1,2320n AE x y z x y z n AF x y z x y z ⎧⋅=⋅=++=⎪⎨⋅=⋅--=--+=⎪⎩， 取1y =，则3x =2z =. 所以，()3,1,2n =是平面AEF 的一个法向量，由（1）可知，OA ⊥平面BEFD ，即OA ⊥平面11BB D D ， 所以()3,0,0OA =是平面11BB D D 的一个法向量，而(3,1,23,0,06cos ,3143n OA n OA n OA⋅⋅<>===++⨯ 所以平面AEF 与平面11BB D D 617．设直线()2R x my m =+∈与抛物线22(0)y px p =>相交于,A B 两点，且OA OB ⊥. (1)求抛物线方程；(2)求AOB 面积的最小值. 【答案】(1)22y x = (2)4【分析】（1）联立直线与抛物线方程，消元得出韦达定理，将OA OB ⊥表示为坐标形式，列方程化简计算，可得抛物线方程；（2）利用三角形的面积公式，结合韦达定理，根据m 的取值，得出面积的最小值． 【详解】（1）设直线与抛物线交于点()()1122,,,A x y B x y ，联立222(0)x my y px p =+⎧⎨=>⎩得2240y pmy p --=，显然0∆>，所以121224y y pm y y p +=⎧⎨=-⎩，因为OA OB ⊥，所以12120x x y y +=，即()()1212220my my y y +++=，化简得()()212121240m y y m y y ++++=，代入得()2241440p m pm -+++=解得1p =，所以抛物线方程为22y x =（2）因为直线2x my =+过定点()2,0， 所以12121242AOBSy y y y =⨯⨯-=-==，当且仅当0m =时，AOB 的面积取得最小值为418．已知圆O ：224x y +=，过定点()1,1A 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，且1l 交圆O 于()()111333,,,P x y P x y 两点，2l 交圆O 于()()222444,,,P x y P x y 两点. (1)若13PP =1l 的方程；(2)求证：1234x x x x +++为定值. 【答案】(1)20x y +-= (2)证明见解析【分析】（1）根据题意分析可得()0,0O 到直线1l 的距离为d =点到直线的距离运算求解；（2）讨论直线是否与坐标轴垂直，结合韦达定理证明结论. 【详解】（1）由题设可知圆O 的圆心为()0,0O ，半径为2r =，由13PP =()0,0O 到直线1l 的距离为d == 因为直线1l 经过点()1,1A ，则有：当直线1l 的斜率不存在时，则1:1l x =，此时()0,0O 到直线1l 的距离为1d =，不合题意； 当直线1l 的斜率存在时，设直线1l 的方程为()11y k x -=-，即10kx y k --+=，=1k =-，所以直线1l 的方程为()11y x -=--，即20x y +-=.（2）∵2OA r ==<，即定点()1,1A 在圆O 内， ∴直线12,l l 与圆O 均相交，当直线1l 与x 轴垂直时，直线2l 与x 轴平行，此时132x x +=，240x x +=， 所以12342x x x x +++=；当直线2l 与x 轴垂直时，直线1l 与x 轴平行，此时130x x +=，242x x +=， 所以12342x x x x +++=；当直线1l 与不坐标轴垂直时，设直线1l 的方程为()()110y k x k =-+≠， 则直线2l 的方程为()()1110y x k k=--+≠， 联立方程()22114y k x x y ⎧=-+⎨+=⎩，消去y 得()()2222122230k x k k x k k ++-+--=， 所以2132221k kx x k-+=+， 同理可得242221kx x k ++=+， 所以12342x x x x +++=，综上所述：1234x x x x +++为定值2. 19．设数列{}n a 满足()123212n a a n a n +++-=.(1)求1a ，2a ，3a ，试猜想{}n a 的通项公式，并证明；(2)求数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.【答案】(1)12a =，223a =，325a =，221n a n =-，证明见解析 (2)()3223nn +-【分析】（1）根据已知求出1a ，2a ，3a ，猜想数列{}n a 的通项公式为221n a n =-，当2n ≥时，()()12132321n a a n a n -+++-=-，结合已知式子两式相减即可得出当2n ≥时，221n a n =-，再验证1n =成立即可；（2）结合第一问结论得出数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项，利用错位相减法得出答案.【详解】（1）因为()123212n a a n a n+++-=①，当1n =时，12a =当2n =时，1234a a +=，可得223a =， 当3n =时，123356a a a ++=，可得325a =， 所以猜想数列{}n a 的通项公式为221n a n =-，证明如下： 由题意，当2n ≥时，()()12132321n a a n a n -+++-=-②，-①②，得()212n n a -=，所以221n a n =-， 当1n =时，上式为12a =，这就是说，当1n =时，上式也成立. 因此，数列{}n a 的通项公式为221n a n =-； （2）由（1）知()12221n n n n a -=-，记2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则()0112123221n n S n -=⨯+⨯++-③，故()()12122123223221n n n S n n -=⨯+⨯++-+-④，-④③，得()()12122222211n n n S n -=-++++--，()()()121222211322312n nnn n --=-⨯+--=+--，所以数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为()3223nn +-.20．阅读材料：（一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线G ：22220Ax Cy Dx Ey F ++++=，则称点P (0x ，0y )和直线l ：()()00000Ax x Cy y D x x E y y F ++++++=是圆锥曲线G 的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以0x x 替换2x ，以02x x+替换x (另一变量y 也是如此)，即可得到点P (0x ，0y )对应的极线方程.特别地，对于椭圆22221x y a b+=，与点P (0x ，0y )对应的极线方程为00221x x y y a b +=；对于双曲线22221x y b b-=，与点P (0x ，0y )对应的极线方程为00221x x y y a b -=；对于抛物线22y px =，与点P (0x ，0y )对应的极线方程为()00y y p x x =+.即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系. （二）极点与极线的基本性质､定理①当P 在圆锥曲线G 上时，其极线l 是曲线G 在点P 处的切线；②当P 在G 外时，其极线l 是曲线G 从点P 所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）； ③当P 在G 内时，其极线l 是曲线G 过点P 的割线两端点处的切线交点的轨迹. 结合阅读材料回答下面的问题：(1)已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>经过点P (4，0)C 的方程并写出与点P对应的极线方程；(2)已知Q 是直线l ：142y x =-+上的一个动点，过点Q 向（1）中椭圆C 引两条切线，切点分别为M ，N ，是否存在定点T 恒在直线MN 上，若存在，当MT TN =时，求直线MN 的方程；若不存在，请说明理由.【答案】(1)221164x y +=，40x -= (2)存在，240x y +-=【分析】(1)根据题意和离心率求出a 、b ，即可求解；(2)利用代数法证明点Q 在椭圆C 外，则点Q 和直线MN 是椭圆C 的一对极点和极线.根据题意中的概念求出点Q 对应的极线MN 方程，可得该直线恒过定点T （2,1），利用点差法求出直线的斜率，即可求解.【详解】（1）因为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>过点P (4,0)，则2222140a b +=，得4a =，又c e a ==，所以c =，所以2224b a c =-=， 所以椭圆C 的方程为221164x y +=. 根据阅读材料，与点P 对应的极线方程为401164x y ⨯+=，即40x -=； （2）由题意，设点Q 的坐标为(0x ,0y )，因为点Q 在直线142y x =-+上运动，所以00142y x =-+，联立221164142x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，得28240x x -+=，Δ64424320=-⨯=-<，该方程无实数根，所以直线142y x =-+与椭圆C 相离，即点Q 在椭圆C 外，又QM ，QN 都与椭圆C 相切，所以点Q 和直线MN 是椭圆C 的一对极点和极线.对于椭圆221164x y +=，与点Q (0x ,0y )对应的极线方程为001164x x y y +=， 将00142y x =-+代入001164x x y y +=，整理得()0216160x x y y -+-=，又因为定点T 的坐标与0x 的取值无关，所以2016160x y y -=⎧⎨-=⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩，所以存在定点T (2,1)恒在直线MN 上. 当MT TN =时，T 是线段MN 的中点，设()()1122,,M x y N x y ，，直线MN 的斜率为k ，则2211222211641164x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减，整理得21122112442211616212y y x x x x y y -+⨯=-⋅=-⋅=--+⨯，即12k =-， 所以当MT TN =时，直线MN 的方程为()1122y x -=--，即240x y +-=.。
2022-2023学年河南省焦作市温县第一高级中学高二上学期期末数学试题(解析版)
2022-2023学年河南省焦作市温县第一高级中学高二上学期期末数学试题一、单选题1．若复数()1i 1i z -=+，则z =（ ）A B ．1 C D ．2【答案】B【分析】由复数的除法运算求出复数z ，然后根据复数模长公式即可求解. 【详解】解：因为复数()1i 1i z -=+，所以()21i 1i 2i i 1i 22z ++====-， 所以1z =， 故选：B.2．已知函数()422y x x x =+>-，则此函数的最小值等于（ ）AB C ．4 D ．6【答案】D【分析】将函数配凑为4222y x x =-++-，利用基本不等式可求得结果. 【详解】2x >，20x ∴->，44222622y x x x x ∴=+=-++≥=--（当且仅当422x x -=-，即4x =时取等号），()422y x x x ∴=+>-的最小值为6. 故选：D.3．要得到函数sin 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin4y x =的图象（ ）A ．向左平移12π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C ．向左平移3π个单位长度D ．向右平移12π个单位长度 【答案】D【分析】由三角函数图象变换判断．【详解】sin 4sin 4()312y x x ππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，因此将函数sin4y x =的图象向右平移12π个单位．故选：D ．4．从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同工作，则选派方案共有 A ．180种 B ．360种 C ．15种 D ．30种【答案】B【详解】试题分析：从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四种不同工作，利用排列的意义可得：选派方案有46A ．详解：从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四种不同工作，则选派方案有46A =360种． 故选B ．点睛：解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手．(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；(3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．5．若3262020C C x x ++=，则正整数x 的值是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．2或3【答案】D【分析】直接根据组合数的性质求解即可.【详解】3262020C C x x ++=,326x x ∴+=+或者32620x x +++=，解得2x =或3x =， 经检验，都成立， 故选：D6．已知()212nx n N x *⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭的展开式中各项的二项式系数之和为64，则其展开式中3x 的系数为（ ）A ．160B ．160-C ．60D ．60-【答案】B【分析】由二项式系数的性质求出n ，写出二项展开式的通项公式，令x 的指数为3，即可得出答案. 【详解】由展开式中各项的二项式系数之和为64，得264n =，得6n =．∵6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()626123166r 1C 2(1)C 2(1)rr r r rr r r T x x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 令1233r -=，则3r =，所以其展开式中3x 的系数为()333621160C -=-．故选：B.7．甲，乙两人独立地破解同一个谜题，破解出谜题的概率分别为1223，，则谜题没被破解的概率为（ ）A ．16B ．13C ．56D ．1【答案】A【分析】根据相互独立事件的乘法公式即可得解.【详解】解：设“甲独立地破解出谜题”为事件A ，“乙独立地破解出谜题”为事件B ，()()12,23P A P B ==，故()()12,23P A P B ==，所以()111236P AB =⨯=，即谜题没被破解的概率为16.故选：A.8．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如表：根据如表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的b 为7．根据此模型预测广告费用为10万元时销售额为（ ）万元A ．63.6 B ．75.5 C ．73.5 D ．72.0【答案】C【分析】线性回归方程．根据回归方程必过样本中心点，求出回归系数，再将10x =代入，即可得到预报销售额．【详解】解：由题意，3456 4.54x +++==，25304045354y +++==， 由回归方程ˆˆˆybx a =+中的b 为7可得，ˆ357 4.5a =⨯+，解得ˆ 3.5a =， 所以，回归方程为7 3.5ˆyx =+， 所以10x =时，710 3.5 3.ˆ75y=⨯+=元． 故选：C ．9．圆22:(1)(1)2C x y -+-=关于直线:1l y x =-对称后的圆的方程为（ ） A ．22(2)2x y -+= B ．22(2)2x y ++= C ．22(2)2x y +-= D ．22(2)2x y ++=【答案】A【分析】由题可得圆心关于直线的对称点，半径不变，进而即得.【详解】圆22:(1)(1)2C x y -+-=的圆心(1,1)，由:1l y x =-得1l k =， 设圆心关于直线对称点的坐标为(,)m n ，则 111111022n m m n -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪--=⎪⎩，解得20m n =⎧⎨=⎩, 所以对称圆的方程为22(2)2x y -+=. 故选：A.10．设随机变量X ，Y 满足：31Y X =-，12,3X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，则()D Y =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A【分析】二项分布与n 次独立重复试验的模型．先利用二项分布的数学期望公式求出()D X ，再利用方差的性质求解即可． 【详解】解：因为12,3XB ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()11421339D X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭，又31Y X =-，所以()()()224313349D Y D X D X =-==⨯=．故选：A ．11．2022年北京冬奥会的顺利召开，引起大家对冰雪运动的关注．若A ，B ，C 三人在自由式滑雪、花样滑冰、冰壶和跳台滑雪这四项运动中任选一项进行体验，则不同的选法共有（ ） A ．12种 B ．16种 C ．64种 D ．81种【答案】C【分析】按照分步乘法计数原理计算可得；【详解】解：每个人都可在四项运动中选一项，即每人都有四种选法，可分三步完成， 根据分步乘法计数原理，不同的选法共有44464⨯⨯=种． 故选：C12．某市新冠疫情封闭管理期间，为了更好的保障社区居民的日常生活，选派6名志愿者到甲、乙、丙三个社区进行服务，每人只能去一个地方，每地至少派一人，则不同的选派方案共有（ ） A ．540种 B ．180种 C ．360种 D ．630种【答案】A【分析】首先将6名志愿者分成3组，再分配到3个社区.【详解】首先将6名志愿者分成3组，再分配到3个社区，可分为3种情况，第一类：6名志愿者分成123++，共有12336533C C C A 360=（种）选派方案，第二类：6名志愿者分成114++，共有1143654322C C C A 90A =（种）选派方案， 第三类：6名志愿者分成222++，共有2223642333C C C A 90A =（种）选派方案， 所以共3609090540++=（种）选派方案， 故选：A.二、填空题13．已知()523450123451x a a x a x a x a x a x -=+++++，则0a =______．【答案】－1【分析】由二项式定理，结合二项式展开式的系数的求法求解即可． 【详解】令0x =，则()50011a =-=-， 故答案为：－1．14．在空间直角坐标系中，已知()2,1,3OA =，()5,1,1OB =-，则AB =_______． 【答案】5【分析】根据题意，求得AB ，再根据空间向量的模的计算公式，即可求得结果. 【详解】因为()2,1,3OA =，()5,1,1OB =-，故可得()3,0,4AB OB OA =-=-， 故235AB ==. 故答案为：5.15．重庆八中某次数学考试中，学生成绩X 服从正态分布()2105,δ.若()1901202P X =，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，至少有2名学生的成绩高于120的概率是__________. 【答案】532##0.15625 【分析】结合正态分布特点先求出()120P X >，再由独立重复试验的概率公式即可求解. 【详解】因学生成绩符合正态分布()2105,N δ，故()()190120112024P X P X ->==，故任意选取3名学生，至少有2名学生的成绩高于120的概率为23231315C 44432P ⎛⎫⎛⎫=⋅+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：53216．设1F ，2F 分别是椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 与A ，B 两点，123AF AF =，2AF x ⊥轴，则椭圆的离心率为___________.【分析】根据椭圆的定义结合123AF AF =，求得21,AF AF ，再利用勾股定理构造齐次式即可得解. 【详解】解：由123AF AF =， 得12242a AF AF AF +==，所以213,22A a F aF A ==， 因为2AF x ⊥轴，所以2222121AF F F AF +=，即2229444a a c +=，所以c a =三、解答题17．甲袋中有2个黑球，4个白球，乙袋中有3个黑球，3个白球，从两袋中各取一球． (1)求“两球颜色相同”的概率；(2)设ξ表示所取白球的个数，求ξ的概率分布列． 【答案】(1)12 (2)分布列答案见解析【分析】（1）利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率；（2）分析可知随机变量ξ的可能取值有0、1、2，计算出随机变量ξ在不同取值下的概率，可得出随机变量ξ的分布列.【详解】（1）解：从甲中取出黑球的概率为13，取出白球的概率为23，从乙中取出黑球的概率为12，取出白球的概率为12，故“两球颜色相同”的概率1211232213P ⨯+⨯==．（2）解：由题意可得，ξ所有可能取值为0、1、2，()1110326P ξ==⨯=，()11211132322P ξ==⨯+⨯=，()2112323P ξ==⨯=，故ξ的分布列如下表所示：ξ0 12P 16121318．某校所在省市高考采用新高考模式，学生按“3+1+2”模式选科参加高考：“3”为全国统一高考的语文､数学､外语3门必考科目；“1”由考生在物理､历史2门中选考1门科目；“2”由考生在思想政治､地理､化学､生物学4门中选考2门科目，(1)为摸清该校本届考生的选科意愿，从本届750名学生中随机抽样调查了100名学生，得到如下部分数据分布：请在答题卡的本题表格中填好上表中余下的5个空，并判断是否有99.9%的把握认为该校“学生选科的方向”与“学生的性别”有关；(2)已选物理方向的甲､乙两名同学，在“4选2”的选科中，求他们恰有一门选择相同学科的概率.附：22(),n ad bcK n a b c d-==+++.【答案】(1)填表答案见解析，有99.9%的把握认为该校“学生选科的方向”与“学生的性别”有关(2)2 3【分析】（1）根据题意完善列联表，计算2K，即可得出结论.（2）先求出已选物理方向的甲､乙两名同学，在“4选2”的选科中，所有的基本事件的总数，再求出在“4选2”的选科中，他们恰有一门选择相同学科的事件总数，由古典概率的公式代入即可得出答案. 【详解】（1）根据题意可得，列联表如下：由于2K 的观测值2100(30402010)5016.66710.828406050503k ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，所以有99.9%的把握认为该校“学生选科的方向”与“学生的性别”有关.（2）已选物理方向的甲､乙两名同学，在“4选2”的选科中，所有的基本事件（记为事件Ω）列举如下：（政，地；政，地），（政，地；政，化），（政，地；政，生），（政，地；化，地），（政，地；生，地），（政，地；生，化），（政，化；政，地），（政，化；政，化），（政，化；政，生），（政，化；化，地），（政，化；生，地），（政，化；生，化），（政，生；政，地），（政，生；政，化），（政，生；政，生），（政，生；化，地），（政，生；生，地），（政，生；生，化），（地，化；政，地），（地，化；政，化），（地，化；政，生），（地，化；化，地），（地，化；生，地），（地，化；生，化），（地，生；政，地），（地，生；政，化），（地，生；政，生），（地，生；化，地），（地，生；生，地），（地，生；生，化），（化，生；政，地），（化，生；政，化），（化，生；政，生），（化，生；化，地），（化，生；生，地），（化，生；生，化），共36种，设事件{A =在“4选2”的选科中，他们恰有一门选择相同学科}，有24种， 则()242()(Ω)363n A P A n ===.19．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c sin cos C c c A =+． （1）求角A 的大小；（2）若a =ABC ∆ABC ∆的周长．【答案】(1) 3A π=(2) 【详解】试题分析：（1）由正弦定理，将边长转化为正弦，由内角的范围和特殊三角函数值，求出角A ；（2）由余弦定理以及三角形面积公式求出b c +的值，再求出周长．试题解析：（1sin sin sin cos A C C C A =+()0,C π∈，sin 0C ∴≠，1cos A A =+；1sin 62A π⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭；5,666A πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，663A A πππ∴-=⇒= （2）()22222cos 312a b c bc A b c bc =+-⇒+-=；1sin 342ABC S bc A bc ∆==⇒=；26b c ∴+=；∴ ABC ∆的周长为2326+20．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，124AA AB ==，点E 在上且．（Ⅰ）证明：1A C ⊥平面BED ； （Ⅱ）求二面角1A DE B --的余弦值． 【答案】（Ⅰ）证明见解析． （Ⅱ）1442【详解】试题分析：（1）以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系．可得各点坐标，从而可得各向量坐标，根据向量数量积为0则两向量垂直，可得，根据线面垂直的判定定理可证得平面．（2）根据向量垂直数量积等于0可求得平面的一个法向量，由数量积公式可求得两法向量所成角的二面角．两法向量所成的角与二面角的平面角相等或互补，所以观察图像可得所求二面角的平面角为锐角，所以所求二面角的平面角的余弦值等于两法向量余弦值的绝对值． 试题解析：以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系．依题设，．11(0,2,1),(2,2,0),(2,2,4),(2,0,4)DE DB AC DA ===--= . （1）1122220(4)0,0(2)221(4)0AC DB AC DE ⋅=-⨯+⨯+⨯-=⋅=⨯-+⨯+⨯-= ，11,AC DB AC DE ⊥⊥，即又BD DE D ⋂=，平面． （2）由（1）知1(2,2,4)AC =--为面的一个法向量． 设向量(,,)n x y z =是平面的法向量，则1,n DE n DA ⊥⊥，． 令，则，． 所以1112421(4)(2)14cos ,42||||44161614AC n AC n AC n ⋅-⨯+⨯+-⨯-<>===⋅++⨯++ 观察可知二面角的平面角为锐角，∴二面角的余弦值为．【解析】1线面垂直；2用空间向量法解决立体几何问题．【方法点晴】本题主要考查的是线线垂直、线面垂直、空间直角坐标系和空间向量在立体几何中的应用，属于中档题．用空间向量法解题时一定要注意二面角的余弦值等于两法向量夹角的余弦值或其绝对值，否则很容易出现错误．证明线面垂直的关键是证明线线垂直，证明线线垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三线合一”和菱形、正方形的对角线．21．已知圆221:4C x y +=，圆()222:31C x y -+=，直线l 过点()1,2M ．(1)若直线l 被圆1C 所截得的弦长为l 的方程；(2)若直线l 与圆2C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的中点P 的轨迹方程.【答案】(1)1x =或3450x y -+=(2)224230x y x y +--+=x y <<<<⎝⎭【分析】（1）根据题意，由直线与圆的位置关系可得圆心1C 到直线l 的距离d ，进而分直线l 的斜率存在与否两种情况讨论，求出直线的方程，综合即可得答案； （2）根据题意，设P 的坐标为(,)x y ，分析可得2C P MP ⊥，则P 在以2C M 为直径上为圆上，据此分析可得答案．【详解】（1）解：根据题意，圆221:4C x y +=，圆心为(0,0)，半径2r =，若直线l 被圆1C 所截得的弦长为1C 到直线l 的距离1d ==， 分2种情况讨论：()i 当直线的斜率不存在时，1x =，显然满足题意，()ii 当直线的斜率存在时，可设直线方程2(1)y k x -=-即20kx y k -+-=，则圆心(0,0)到直线20kx y k -+-=的距离d1=，解得34k =，此时直线方程为3450x y -+=， 综上可得满足题意的直线1x =或3450x y -+=，（2）解：根据题意，设P 的坐标为(,)x y ，P 为线段AB 的中点，则有2C P MP ⊥，则P 在以2C M 为直径的圆上，又由圆222:(3)1C x y -+=，其圆心2C 的坐标为(3,0)且(1,2)M ，因为()23,C P x y =-，()1,2MP x y =--，所以2(3)(1)(2)0C P MP x x y y ⋅=--+-=，变形可得224230x y x y +--+=；故P 的轨迹方程为224230x y x y +--+=，显然点P 位于圆2C 内部，由224230x y x y +--+=且22(3)1x y -+=，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以P 的轨迹方程为224230x y x y +--+=x y <<<<⎝⎭． 22．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>3122⎛⎫ ⎪⎝⎭，． (1)求椭圆C 的方程．(2)过点()02P ，的直线交椭圆C 于A 、B 两点，求AOB 为原点)面积的最大值． 【答案】(1)2213x y +=【分析】（1）由题意可得2222291144c e a a b a b c ⎧==⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得a ，b ，即可得出答案． （2）由题意可知直线l 的斜率存在，设直线:2l y kx =+，1(A x ,1)y ，2(B x ,2)y ，联立直线l 与椭圆的方程，结合韦达定理可得12x x +，12x x ，由弦长公式可得||AB ，点到直线的距离公式可得点O 到直线l 的距离d ，再计算AOB 的面积，利用基本不等式，即可得出答案．【详解】（1）解：由题意可得2222291144c e a a b a b c ⎧==⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得1a b ==，所以椭圆C 的标准方程为2213x y +=． （2）解：由题意可知直线l 的斜率存在，设直线:2l y kx =+，1(A x ,1)y ，2(B x ,2)y ，联立22213y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(31)1290k x kx +++=， 222Δ14436(31)36(1)0k k k =-+=->， 所以21k >，即1k >或1k <-， 则121222129,3131k x x x x k k +=-=++， 故2222212226(1)(1)12911()43131k k k AB k x x k k k +-+-+--⨯=++， 点O 到直线l 的距离21d k =+所以AOB 的面积21612k S AB d -=⋅= 设210t k ->，则221k t =+， 故2666343(1)12123t S t t t ===+++23t =时，等号成立， 所以AOB 3。
安徽省滁州市滁州中学2023-2024学年高二上学期期末数学试题
5．若函数
f
(
x)
=
a
ln
x
+
b x
+
c x2
(a
¹
0)
既有极大值也有极小值，则（
）．
A． bc > 0
B． ab > 0
C． b2 + 8ac > 0
D． ac < 0
三、填空题
6．设椭圆 C1
:
x2 a2
+
y2
= 1(a
> 1) ， C2
:
x2 4
+
y2
= 1 的离心率分别为 e1, e2
．若 e2
（1）当 a = e 时，求曲线 y = f ( x) 在点(1, f (1)) 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面
积；
（2）若不等式 f ( x) ³ 1 恒成立，求 a 的取值范围．
20．已知椭圆 C 的方程为
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a
>b
> 0) ，右焦点为 F(
2,0) ，且离心率为
6． 3
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16．已知数列 {an }
满足
a1
=
1
，
an+1
=
ìíîaann
+1, n为奇数, + 2, n为偶数.
（1）记 bn = a2n ，写出 b1 ， b2 ，并求数列{bn} 的通项公式；
（2）求{an} 的前 20 项和.
17．记
Sn
为数列 {an }
的前
n
项和，已知
a1
北京市高二上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．在等比数列中，，，则等于（ ） {}n a 11a =84a =234567a a a a a a A ．32 B ．64 C ．128 D ．256【答案】B【分析】根据等比数列下标和性质计算可得. 【详解】解：在等比数列中，，， {}n a 11a =84a =则，273645184a a a a a a a a ====所以.7323456464a a a a a a ==故选：B2．双曲线上的点到左焦点的距离为9，则点到右焦点的距离为（ ）22:1916x y C -=P P A ．3 B ．15 C ．15或3 D ．10【答案】C【分析】由双曲线的定义求解即可.【详解】设双曲线的左焦点为，右焦点为，1F 2F因为双曲线方程为，所以，，，22:1916x y C -=3a =4b =5c ==由双曲线的定义得，则， 122PF PF a -=126PF PF -=126PF PF -=±又因为，所以或，19PF =215PF =3由双曲线的性质可知，到焦点距离的最小值为， P 5323c a -=-=<故选：C3．设函数在点处的切线方程为，则（ ）()f x (1,(1))f 43y x =-()()11lim x f x f x∆→+∆-=∆A ． B ．C ．D ．4213-【答案】A【分析】根据导数的几何意义可知，再根据导数值的定义即可选出答案. (1)f '【详解】由导数值的定义，，根据导数的几何意义，，即()()11lim(1)x f x f f x∆→+∆-'=∆(1)4f '=.()()11lim4x f x f x∆→+∆-=∆故选：A4．数列满足，，则（ ） {}n a 111n na a +=-13a =2023a =A ．3B ．C ．D ．12-5223【答案】A【分析】根据递推公式求得数列中的前几项，从而得到数列的周期，由此即可求得的值. 2023a 【详解】因为，， 111n na a +=-13a =所以，1132111111111111111111111n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a +++++++------=======---------所以数列是以3为周期的周期数列， {}n a 故. 20231367413a a a +⨯===故选：A.5．已知抛物线，直线l 过定点P （0，1），与C 仅有一个公共点的直线l 有（ ）条 2:4C y x =-A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【分析】过抛物线外一定点的直线恰好与该抛物线只有一个交点，则分两种情况分别讨论，(0,1)P 一是直线与抛物线的对称轴平行，二是直线与抛物线相切，根据这两种情况进而求解.【详解】过点的直线与抛物线仅有一个公共点，则该直线可能与抛物线的对称(0,1)P l 2:4C y x =-l 轴平行，也可能与抛物线相切，下面分两种情况讨论：当直线与抛物线的对称轴平行时，则直线的方程为：，满足条件；l l 1y =当直线与抛物线相切时，由于点在轴上方，且在抛物线外，则存在两条直线与抛物线相l (0,1)P x 切，易知：是其中一条，0x =不妨设另一条直线的方程为，联立直线与抛物线方程可得：，则l 1y kx =+l 22(24)10k x k x +++=有，解得：，22(24)40k k ∆=+-=1k =-所以过点的直线的方程为：或或， (0,1)P l 1y =0x =1y x =-+故选：.C 6．已知，，则数列的通项公式是（ ）12a =()1+=-n n n a n a a {}n a n a =A ．n B ． C ．2nD ．1n +1nn n +⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【分析】根据题意可得，再利用累乘法计算可得； 11n n a n a n++=【详解】解：由，得， ()1+=-n n n a n a a ()11n n n a na ++=即， 11n n a n a n++=则，，，…，，11n n a n a n -=-1212n n a n a n ---=-2323n n a n a n ---=-2121a a =由累乘法可得，因为，所以，1na n a =12a =2n a n =故选：C ．7．我国古代数学典籍《四元玉鉴》中有如下一段话：“河有汛，预差夫一千八百八十人筑堤，只云初日差六十五人，次日转多七人，今有三日连差三百人，问已差人几天，差人几何？”其大意为“官府陆续派遣1880人前往修筑堤坝，第一天派出65人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人.已知最后三天一共派出了300人，则目前一共派出了多少天，派出了多少人？”（ ） A ．6天 495人 B ．7天 602人 C ．8天 716人 D ．9天 795人【答案】B【分析】根据题意，设每天派出的人数组成数列，可得数列是首项，公差数7的等差数{}n a 165a =列，解方程可得所求值．【详解】解：设第天派出的人数为，则是以65为首项、7为公差的等差数列，且n n a {}n a ，，123216a a a =++21300n n n a a a --++=∴，， 13002161723n a a ++==107n a =∴天 1177n a a n -=+=则目前派出的人数为人，()17776022a a S +==故选：B ．8．已知圆和两点，若圆上存在点，使得()()22:5121C x y -+-=(0,),(0,)(0)A m B m m ->C P ，则的最小值为（ ）90APB ∠= m A ．14 B ．13 C ．12 D ．11【答案】C【分析】将问题转化为以为直径的圆与圆有公共点的问题来列不等式，解不等式求得的AB O C m 取值范围，由此求得的最小值.m【详解】解：以为直径的圆的方程为，圆心为原点，半径为.圆AB O 222x y m +=1r m =的圆心为，半径为.()()22:5121C x y -+-=()5,12C 21r =要使圆上存在点，使得，则圆与圆有公共点， C P 90APB ∠=︒O C所以，即，1212r r OC r r -≤≤+1m +所以， 11313113113113113m m m m m ⎧-≤-≤-≤⎧⎪⇒⎨⎨+≥+≤-+≥⎪⎩⎩或⇒12141212m m m -≤≤⎧⎨≤-≥⎩或又，所以，所以的最小值为. 0m >1214m ≤≤m 12故选：C二、多选题9．已知等差数列则（ ） 10,7,4,, A ．该数列的通项公式为 313n a n =-+B ．是该数列的第13项 25-C ．该数列的前5项和最大D ．设该数列为，则 {}n a 1238||||||||48a a a a ++++= 【答案】AD【分析】根据首项和公差求出和，利用和计算可得答案.n a n S n a n S 【详解】依题意，所以，故A 正确； 110,3a d ==-1(1)103(1)313n a a n d n n =+-=--=-+由，得，故B 不正确； 31325n a n =-+=-38133n =≠由，得，由，得，所以该数列的前4项和最大，故C 不3130n a n =-+≥4n ≤3130n a n =-+<5n ≥正确；，(1)10(3)2n n n S n -=+⨯-23232n n-+= 123812345678||||||||()a a a a a a a a a a a a ++++=+++-+++ 482S S =-，故D 正确. 223423438238222-⨯+⨯-⨯+⨯=⨯-48=故选：AD10．已知圆，则下列说法正确的是（ ）22230M x y x +--=：A ．点（2，0）在圆M 内B ．圆M 关于对称10x y +-=CD ．直线与圆M 的相交所得弦长为10x +=【答案】ABD【分析】根据点的坐标与圆的方程的关系判断A ，判断点与直线的位置关系，判断M 10x y +-=B ；配方后得到圆的半径，判断C ；利用弦长公式求弦长判断D. 【详解】整理得：，22230x y x +--=()2214x y -+=因为，时，∴点在圆M 内，A 正确； 2x =0y =222330x y x +--=-<()2,0因为圆心在直线上，所以圆M 关于对称，B 正确； ()1,0M 10x y +-=10x y +-=因为圆M 半径为2，故C 错误；∵圆心到直线的距离为，()1,0M 10x +=1d ==所以直线与圆M 的相交所得弦长为，D 正确. 10x +==故选：ABD.11．已知数列满足，其中，Sn 为数列{}的前n 项{}n a ()12321n a a n a n +++-= ()21nn a b n =+n b和，则下列四个结论中，正确的是（ ） A ．B ．数列{}的通项公式为： 11a =n a 121n a n =+C ．数列{}为递减数列 D ．若对于任意的都有，则 n a *N n ∈n S λ<12λ≥【答案】ACD【分析】令可求；利用已知求的方法求数列通项公式；根据递减数列的定义判断1n =1a n S n a {}n a 数列的单调性，利用裂项相消法求数列的前n 项和，由条件求的范围. {}n b λ【详解】因为，()12321n a a n a n +++-= 所以当时，， 2n ≥()1213231n a a n a n -+++-=- 两式相减得，所以， ()211n n a -=121n a n =-又因为当时，满足上式，1n =11a =所以数列的通项公式为：，故A 正确，B 错误， {}n a 121n a n =-因为，，所以， 121n a n =-N n *∈()()1112021212121n n a a n n n n +-=-=-<+-+-所以，所以数列为递减数列，故C 正确；1n n a a +<{}n a ，()()()111121212122121n n a b n n n n n ⎛⎫===- ⎪+-+-+⎝⎭所以 12n n S b b b =+++ ， 11111111111232352212124221n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 因为对于任意的都有，所以，其中，*N n ∈n S λ<max 21n n λ⎛⎫< ⎪+⎝⎭*N n ∈又，所以，故D 正确. 1121221n n n =<++12λ≥故选：ACD.12．已知、分别为双曲线的左、右焦点，点在直线l 上，过点1F 2F 222:1(0)4x yC b b-=>(4,0)M -2F 的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点，下列说法正确的是（ ）A ．若直线l 与双曲线左右两支各一个交点，则直线l 的斜率范围为）(,)22b b-B ．点2F C ．若直线AB垂直于x 轴，且△ABM 为锐角三角形，则双曲线的离心率取值范围为 D ．记的内切圆的半径为r 1，的内切圆的半径为，若，则12AF F △1I 12BF F △2I 2r 124r r =b =【答案】ACD【分析】设出直线的方程，与双曲线方程联立，根据题意，两交点的横坐标异号，利用韦达定理l 即可求解，判断选项；求出右焦点到渐近线的距离为，进而判断选项；要使为锐角三A bB ABM :角形，则，所以，进行等量代换求出离心率的取值即可判断选项；根据三245AMF ∠<︒24b c a +>C 角形内切圆的特点先求出两圆的内心在上，然后利用三角形相似求出的值，进而求出，即x a =c b 可判断选项.D 【详解】对于，由题意知：直线的斜率存在，设直线的方程为：， A l l (4)y k x =+设直线与双曲线左右两支的交点分别为，，l 11(,)P x y 22(,)Q x y 联立方程组，整理可得：，22214(4)x y b y k x ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩222222(4)326440b k x k x k b ----=则，也即，解得：，故选项正确； 22122264404k b x x b k --⋅=<-2240b k ->22b b k -<<A 对于，设右焦点为，双曲线的渐近线方程为：，由点到直线的距离公式可得：B 2(,0)F c 0bx ay ±=点到双曲线渐近线的距离错误；2F d b ==≠B 对于，若直线AB 垂直于x 轴，则直线的方程为：，设点，，要使C AB x c =2(,)bA c a2(,b B c a-为锐角三角形，由双曲线的对称性可知：，ABM :245AMF ∠<︒则，即，所以，22F M AF >24b c a+>24b ac a <+又因为，则，也即，整理可得：，则2a =2242b ac a ac a <+=+2222c a ac a -<+2230c ac a --<， 230e e --<e <1e >所以，故选项正确； e ∈C 对于，过分别作的垂线，垂足为，D 1I 1212,,AF AF F F ,,DE F则，因为，1122,,AD AE F D F F F F F E ===122AF AF a -=则，又因，1212()()2AD DF AE EF F F F F a +-+=-=12122F F F F F F c =+=则，所以，即在直线上，同理也在直线上，所以11FF OF OF a c =+=+OF a =1I x a =2I x a =轴，12I I x ⊥因为，1212122221,I F A I F F I F B I F F ∠=∠∠=∠则，所以， 1221212121222I F I F I F F I F F F I A B I ∠∠∠∠∠++==22190I F I ∠=︒由可知：，则，也即，1222I FF F FI :::1222I F F F F FI F=2212IF I F FF ⋅=212()r r c a ⋅=-因为，，所以，，故选项正确，2a =124r r =4c =b ==D故选：.ACD三、填空题13．已知直线l 1，若，则实数a =______. ()210130x ay l a x y +-=+++=：，：12l l ⊥【答案】##12-0.5-【分析】根据若，则，运算求解. 12l l ⊥12120A A B B +=【详解】若，则，解得.12l l ⊥()1110a a ⨯++⨯=12a =-故答案为：.12-14．已知函数，则=______. 2()ln 31f x x x x =+-1f '（）【答案】7【分析】求出的导数，再将代入，即可得答案. ()f x ()f x '1x =【详解】解：因为， 2()ln 31f x x x x =+-所以，1()ln 6ln 61f x x x x x x x'=+⋅+=++所以. (1)ln16117f '=+⋅+=故答案为：715．设椭圆的左、右焦点分别为、，点M 、N 在C 上（M 位于第一象2222:1(0)x y C a b a b+=>>1F 2F 限），且点M 、N 关于原点O 对称，若，则C 的离心率为______.12290,2||||MF N MF NF ︒∠==【分析】根据几何分析确定四边形为矩形，根据勾股定理构造齐次式即可求出离心率. 12MF NF 【详解】依题意，作图如下，因为点关于原点对称，所以为的中点，,M N O O MN且为的中点，，所以四边形为矩形，O 12F F 190N MF ︒∠=12MF NF 由，设 222MF NF =21,2,MF x MF x ==由椭圆的定义知，解得： 212,MF MF a +=2124,,33a a MF MF ==所以()22224233a a c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭整理得：，因为， 259e =01e <<所以 e =四、双空题16．已知数列满足，，则______；高斯是德国著名的数学家，近代数学{}n a 11a =12n n a a n ++=3a =奠基者之一，享有“数学王子”的称号，设，用表示不超过的最大整数，称为x ∈R []x x ()[]f x x =高斯函数.设，且数列的前项和为，则______. []1g n n b a ={}n b n n T 2022T =【答案】34956【分析】根据递推公式一一计算即可求出，再归纳出的通项，最后结合高斯函数的定义并项3a {}n a 求和计算可得.【详解】解：因为，， 11a =12n n a a n ++=当时，则， 1n =122a a +=21a =当时，则， 2n =324a a +=33a =当时，则， 3n =346a a +=43a =当时，则，4n =548a a +=55a =，由此可归纳得，当为奇数时，当为偶数时，n n a n =n 1n a n =-显然当时成立，假设当（为奇数）时成立，即，则，即1n =11a =n k =k k a k =12k k a a k ++=也成立，1k a k +=假设当（为偶数）时成立，即，则，即也成立，故归纳成n k =k 1k a k =-12k k a a k ++=11k a k +=+立；因为，[]1g n n b a =当时，则， 110n ≤≤19n a ≤≤[]1g 0n n b a ==当时，则， 11100n ≤≤1199n a ≤≤[]1g 1n n b a ==当时，则， 1011000n ≤≤101999n a ≤≤[]1g 2n n b a ==当时，则，10012022n ≤≤10012021n a ≤≤[]1g 3n n b a ==()232320220101(1010)2(1010)3202210T ∴=⨯+⨯-+⨯-+⨯- 190290031022=⨯+⨯+⨯．4956=故答案为：，．34956五、解答题17．在数列{}中，n a ()*11534N n n a a a n +==-∈，(1)求证：是等比数列： {}2n a -(2)求数列{}的前n 项和. n a n S 【答案】(1)证明过程见详解(2)3(31)22n n S n -=+【分析】(1)根据递推公式和等比数列的定义即可使问题得证； (2)利用等比数列的求和公式，分组求和即可求解.【详解】（1）由题意知：，所以， 134n n a a +=-12362(2)n n n a a a +-=-=-即，又， 1222n n a a +-=-1230a -=≠所以数列是以3为首项，以3为公比的等比数列.{}2n a -（2）由（1）可知：，所以，23n n a -=23nn a =+所以1221n n n S a a a a a -=+++++1231(2+2+2++2+2)(33333)n n -=++++++ 3(13)213n n -=+-. 3(31)22n n -=+18．如图，正方体ABCD —的棱长为2，P 、Q 分别为BD 、的中点.1111D C B A 1CD(1)证明：PQ 平面；:11BCC B (2)求直线与平面所成角的大小. 1CD 11ABC D 【答案】(1)证明见详解 (2) π6【分析】（1）建系，利用空间向量证明线面平行；（2）先求平面的法向量，再利用空间向量求线面夹角. 11ABC D 【详解】（1）如图，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，则，()()()()()()12,0,0,2,2,0,0,2,0,,1,1,0,0,1,10,0,2A B C D P Q 可得，平面的法向量，()1,0,1PQ =-u u u r11BCC B ()0,1,0n = ∵，且平面，1001100PQ n ⋅=-⨯+⨯+⨯=u u u r rPQ ⊄11BCC B ∴PQ 平面.:11BCC B （2）由（1）可得：， ()()()110,2,0,2,0,2,0,2,2AB AD CD ==-=-设平面的法向量为，则， 11ABC D (),,m x y z = 120220m AB y m AD x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩令，则，故，1x =0,1y z ==()1,0,1m =∵，1111cos ,2m CD m CD m CD ⋅===u r u u u ru r u u u ru r u u u r 故直线与平面所成角的正弦值为，则其大小为. 1CD 11ABC D 12π619．已知抛物线上一点到抛物线焦点的距离为，()2202C y px p =<<：1P p ⎛ ⎝32(1)求抛物线的方程：C (2)若直线（为参数）与抛物线C 交于两点，且，求直线的方程 :l y x m =+m ,A B OA OB ⊥l 【答案】(1) 22y x =(2) 2y x =-【分析】（1）利用抛物线的定义，列方程求出即可；p （2）联立直线和抛物线方程，设出，，然后用韦达定1122(,),(,)A x y B x y 12120OA OB x x y y ⊥⇔+=理求解.【详解】（1）根据抛物线的定义，到焦点的距离等于到准线的距离，即，结合题干条P 3122pp =+件，解得，故抛物线方程为：02p <<1p =22y x =（2）设，依题意：1122(,),(,)A x y B x y ()()112212120,,00OA OB OA OB x y x y x x y y ⊥⇔⋅=⇔⋅=⇔+=，联立直线和抛物线：，得到，，解得，由韦达定22y x y x m⎧=⎨=+⎩2220y y m -+=480m ∆=->12m <理：，在抛物线上，故，于是，于是122y y m =1122(,),(,)A x y B x y 21122222y x y x ⎧=⎨=⎩22212124y y x x m ==，解得或，但时，其中一点和重合，不符题意，时，220m m +=0m =2m =-0m =,A B O 2m =-符合判别式条件.综上可知，，此时直线方程为：2m =-2y x =-20．已知数列的前n 项和为，且，______.请在①：②{}n a n S 11n n n S S a +=++*()N n ∈3914a a +=，，成等比数列：③，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问2a 5a 11a 844S =题.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. (1)求数列的通项公式； {}n a (2)若，设数列{}的前n 项和，求证： 2nn n a b =n b n T 13n T ≤<*()N n ∈【答案】(1) 1n a n =+(2)证明见解析【分析】（1）先根据推出数列为等差数列，公差.若选①，根据等差中项11n n n S S a +=++{}n a 1d =求出，再求出，根据和可得通项公式；若选②，根据等比中项列式求出，可得；若6a 1a 1a d 1a n a 选③，根据等差数列求和公式列式求出，可得. 1a n a （2）利用错位相减法求出，根据为正数，得，根据为递增数列，可得. n T 32n n +3nT <n T 11n T T =≥【详解】（1）由，得，得， 11n n n S S a +=++11n n n S S a +-=+11n n a a +-=所以数列为等差数列，公差.{}n a 1d =若选①，因为，所以，， 3914a a +=6214a =67a =所以，， 6157a a d =+=12a =所以，1(1)211n a a n d n n =+-=+-=+若选②，因为，，成等比数列，所以，2a 5a 11a 25211a a a =所以，所以，2111(4)()(10)a d a d a d +=++2111(4)(1)(10)a a a +=++所以，所以. 12a =1(1)211n a a n d n n =+-=+-=+若选③，因为，所以， 81878442S a ⨯=+=12a =所以， 1(1)211n a a n d n n =+-=+-=+（2）由（1）知，，则， 1n a n =+12n nn b +=则， 12323412222n nn T +=++++ ， 23411234122222n n n T ++=++++ 所以，23411111111222222n n n n n T T ++-=+++++- 所以， 1111(1)1142112212n n n n T -+-+=+--所以，因为为正数，所以， 332n n n T +=-32nn +3n T <因为， 11433322n n n nn n T T ++++-=--+112642022n n n n n +++--+==>所以，所以数列为递增数列， 1n n T T +>{}n T 所以， 14312n T T ≥=-=综上所述：.13n T ≤<*()N n ∈21．在平面五边形中（如图1），是梯形，，，ABCDE ABCD //AD BC 22AD BC ==AB =，是等边三角形.现将沿折起，连接，得四棱锥90ABC ∠=ADE V ADE V ADEB EC E ABCD-（如图2）且EC =(1)求证：平面平面； EAD ⊥ABCD (2)在棱上有点，满足，求二面角的余弦值. EB F 13EF EB=E AD F --【答案】(1)证明见解析【详解】（1）在图1中，取的中点，连，依题意得，，如图：AD O ,OC OE OC OA ⊥OE OA ⊥则 OC AB ==2OE ==折叠后，在图2中，，如图：OE AD ⊥在中，，所以， COE :OC =OE =EC 222EC OC OE =+OE OC ⊥由，，，平面，平面， OE AD ⊥OE OC ⊥OC AD O = OC ⊂ABCD AD ⊂ABCD 得平面，又平面， OE ⊥ABCD OE ⊂EAD 所以平面平面。
2024北京西城区高二上学期期末数学试题及答案
2024北京西城高二（上）期末数 学2024.1本试卷共5页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分（选择题共40分）一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.直线3410x y −+=不经过（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.抛物线26x y =的焦点到其准线的距离等于（ ） A.32B.3C.6D.8 3.在空间直角坐标系O xyz −中，点()4,2,8A −到平面xOz 的距离与其到平面yOz 的距离的比值等于（ ） A.14 B.12C.2D.4 4.在312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，x 的系数为（ ） A.3 B.6 C.9 D.125.在正四面体ABCD 中，棱AB 与底面BCD 所成角的正弦值为（ ）C.13D.36.已知直线,a b 和平面α，且b α⊂，则“直线a ∥直线b ”是“直线a ∥平面α”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.设,A B 为双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b−=>>的左､右顶点，M 为双曲线E 上一点，且AMB 为等腰三角形，顶角为120，则双曲线E 的一条渐近线方程是（ ）A.y x =B.2y x =C.y =D.y =8.在正方体的8个顶点中任选3个，则这3个顶点恰好不在同一个表面正方形中的选法有（ ）A.12种B.24种C.32种D.36种9.如图，在长方体1111ABCD A B C D −中，13,4,AB BC CC E ===为棱11B C 的中点，P 为四边形11BCC B 内（含边界）的一个动点.且DP BE ⊥，则动点P 的轨迹长度为（ ）A.5B.10.在直角坐标系xOy 内，圆22:(2)(2)1C x y −+−=，若直线:0l x y m ++=绕原点O 顺时针旋转90后与圆C 存在公共点，则实数m 的取值范围是（ ）A.⎡⎣B.44⎡−−⎣C.22⎡−−−⎣D.22⎡−+⎣第二部分（非选择题共110分）二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.过点()2,3A −且与直线30x y ++=平行的直线方程为__________.12.在4(21)x +的展开式中，所有项的系数和等于__________.（用数字作答）13.两个顶点朝下竖直放置的圆锥形容器盛有体积相同的同种液体（示意图如图所示），液体表面圆的半径分别为3，6，则窄口容器与宽口容器的液体高度的比值等于__________.14.若方程22124x y m m+=+−m 的取值范围是__________；若此方程表示的曲线为椭圆，则实数m 的取值范围是__________.15.如图，在正方体1111ABCD A B C D −中，2,AB E =为棱1BB 的中点，F 为棱1CC （含端点）上的一个动点.给出下列四个结论：①存在符合条件的点F ，使得1B F ∥平面1A ED ；②不存在符合条件的点F ，使得BF DE ⊥；③异面直线1A D 与1EC 所成角的余弦值为5； ④三棱锥1F A DE −的体积的取值范围是2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 其中所有正确结论的序号是__________.三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.（本小题10分）从6男4女共10名志愿者中，选出3人参加社会实践活动.（1）共有多少种不同的选择方法？（2）若要求选出的3名志愿者中有2男1女，且他们分别从事经济､文化和民生方面的问卷调查工作，求共有多少种不同的选派方法？17.（本小题15分）如图，在直三棱柱111ABC A B C −中，1,3,4BA BC BC AB AA ⊥===.（1）证明：直线1AB ⊥平面1A BC ；（2）求二面角1B CA A −−的余弦值.18.（本小题15分）已知C 经过点()1,3A 和()5,1B ，且圆心C 在直线10x y −+=上.（1）求C 的方程； （2）设动直线l 与C 相切于点M ，点()8,0N .若点P 在直线l 上，且PM PN =，求动点P 的轨迹方程.19.（本小题15分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为)，四个顶点构成的四边形面积等于12.设圆22(1)25x y −+=的圆心为,M P 为此圆上一点.（1）求椭圆C 的离心率； （2）记线段MP 与椭圆C 的交点为Q ，求PQ 的取值范围.20.（本小题15分）如图，在四棱锥P ABCD −中，AD ⊥平面,PAB AB ∥,DC E 为棱PB 的中点，平面DCE 与棱PA 相交于点F ，且22PA AB AD CD ====，再从下列两个条件中选择一个作为已知.条件①：PB BD =；条件②：PA BC ⊥.（1）求证：AB ∥EF ；（2）求点P 到平面DCEF 的距离；（3）已知点M 在棱PC 上，直线BM 与平面DCEF 所成角的正弦值为23，求PM PC的值. 21.（本小题15分） 设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>左､右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与椭圆C 相交于,A B 两点.已知椭圆C 的离心率为21,2ABF 的周长为8. （1）求椭圆C 的方程；（2）判断x 轴上是否存在一点M ，对于任一条与两坐标轴都不垂直的弦AB ，使得1MF 为AMB 的一条内角平分线？若存在，求点M 的坐标；若不存在，说明理由.参考答案一､选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分1.D2.B3.B4.D5.B6.D7.A8.C9.B 10.A二､填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11.10x y ++= 12.81 13.414.()(),24,∞∞−−⋃+；()()2,11,4−⋃ 15.①②④注：第14题第一问3分，第二问2分；第15题全部选对得5分，有两个选对且无错选得3分，有一个选对且无错选得2分，其他得0分.三､解答题：本大题共6小题，共85分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 16.（本小题10分）解：（1）从6男4女共10名志愿者中，选出3人参加社会实践活动，选择方法数为310C 120=种.（2）从10名志愿者中选2男1女，选择方法数共有2164C C 60=种，故从10名志愿者中选2男1女，且分别从事经济､文化和民生方面的问卷调查工作的选派方法数为213643C C A 360=种.17.（本小题15分）解：（1）在直三棱柱111ABC A B C −中，因为1AA ⊥.平面,ABC BC ⊂平面ABC ，所以1AA BC ⊥.又因为1,BA BC BA AA A ⊥⋂=，所以BC ⊥平面11AA B B ，所以1BC AB ⊥.由14AB AA ==，得四边形11AA B B 为正方形.所以11AB A B ⊥.又因为1BC A B B ⋂=，所以1AB ⊥平面1A BC .（2）因为1BB ⊥平面,ABC BA BC ⊥，所以1,,BA BC BB 两两互相垂直，故以B 为原点，1,,BA BC BB 的方向分别为x 轴､y .轴､z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则()()()()114,0,0,0,3,0,4,0,4,0,0,4A C A B .所以()()14,3,0,0,0,4AC AA =−=.设平面1A AC 的法向量为(),,m x y z =，则10,0,m AC m AA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即430,40.x y z −+=⎧⎨=⎩令3x =，则4,0y z ==.于是()3,4,0m =.由（1）可知：()14,0,4AB =−是平面1A BC 的一个法向量.因为11112cos ,1042||AB m AB m AB m ⋅−===−⨯， 由图可知二面角1B CA A −−的平面角为锐角，所以二面角1B CA A −−的余弦值为10. 18.（本小题15分）解：（1）由题意，设C 的圆心(),1C a a +，半径为r ，则222222(1)(31),(5)(11).a a r a a r ⎧−+−−=⎨−+−−=⎩ 解得：5,5.a r =⎧⎨=⎩ 所以C 的方程为22(5)(6)25x y −+−=.（2）由平面几何，知PMC 为直角三角形，且PM MC ⊥，所以222||||||PM MC PC +=.由PM PN =，得222||||||PN MC PC +=.设(),P x y ，则2222(8)25(5)(6)x y x y −++=−+−.即36140x y −−=，经检验符合题意.所以动点P 的轨迹方程为36140x y −−=.19.（本小题15分）解：（1）由题意，得222212,c ab a b c ===+，所以3,2a b ==，所以椭圆C的离心率3c e a ==. （2）由题意，得5PQ MP MQ MQ =−=−.设()11,Q x y ，则2211194x y +=. 所以MQ ===. 因为[]13,3x ∈−，所以当195x=时，min ||MQ =；当13x =−时，max ||4MQ =.所以PQ 的取值范围为1,55⎡−⎢⎣⎦. 20.（本小题15分）解：选择条件①：（1）因为AB ∥,DC AB ⊄平面,DCEF DC ⊂平面DCEF ，所以AB ∥平面DCEF .又因为AB ⊂平面PAB ，平面PAB ⋂平面DCEF EF =，所以AB ∥EF .（2）因为AD ⊥平面PAB ，所以,AD PA AD AB ⊥⊥.又因为,22PB BD PA AB AD CD =====，所以PAB DAB ≅.因此90PAB DAB ∠∠==，即,,AB AD AP 两两垂直.如图，以A 为原点，,,AB AD AP 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立空间直角坐标系，所以()()()()0,2,0,1,2,0,0,0,2,2,0,0D C P B .由（1），得AB ∥EF ，且E 为棱PB 的中点，所以点F 为棱PA 的中点.()()1,0,1,0,0,1E F ，故()()()0,0,1,0,2,1,1,0,0FP DF CD ==−=−.设平面DCEF 的一个法向量为(),,n x y z =，则20,0,DF n y z CD n x ⎧⋅=−+=⎪⎨⋅=−=⎪⎩取1y =，则0,2x z ==，即()0,1,2n =.所以点P 到平面DCEF 的距离255FP nd n ⋅==. （3）设[],0,1PM PCλλ=∈， 则()()1,2,2,2,2PM PC λλλλλ==−=−.所以()2,2,22BM BP PM λλλ=+=−−.设直线BM 与平面DCEF 所成角为θ，所以||sin |cos ,|||||BM n BM n BM n θ⋅=<>== 23=. 化简，得29610λλ−+=，解得13λ=， 即13PM PC =. 选择条件②：（1）与上述解法相同，略.（2）因为AD ⊥平面PAB ，所以,AD PA AD AB ⊥⊥，又因为,PA BC BC ⊥与AD 相交，所以PA ⊥平面ABCD . 所以PA AB ⊥.即,,AB AD AP 两两垂直.以下与上述解法相同，略.21.（本小题15分）解：（1）由题意，得22248,1,2,a c a abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩ 解得2,1.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）假设x 轴上存在一点()0,0M x 符合题意.由题意，设直线()()()()1122:10,,,,AB y k x k A x y B x y =+≠.联立方程()221,1,43y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y ， 得()22223484120k x k x k +++−=. 所以221212228412,3434k k x x x x k k−+=−=++. 由题意，知直线AM 的斜率存在，且为()11101010AMk x y k x x x x +−==−−， 同理，直线BM 的斜率为()22202010BM k x y k x x x x +−==−−. 所以()()12102011AM BM k x k x k k x x x x +++=+−−()()()()12120120102022k x x x x x x x x x x x x ⎡⎤++−+−⎣⎦=−−. 因为1MF 为AMB 的一条内角平分线，所以0AM BM k k +=.所以()()12120120220k x x x x x x x x ⎡⎤++−+−=⎣⎦.因为上式要对任意非零的实数k 都成立， 所以2220022241288220343434k k k x x k k k−⨯−+⨯−=+++， 解得04x =−.故x 轴上存在一点()4,0M −，对于任一条与两坐标轴都不垂直的弦AB ，使得1MF 为AMB 的一条内角平分线.。
河北省石家庄市2023-2024学年高二上学期期末考试 数学(含答案)
石家庄市2023~2024学年度第一学期期末教学质量检测高二数学（答案在最后）（时间120分钟，满分150）注意事项：本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上.第I 卷（选择题，共60分）一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.直线10+-=的倾斜角为（）A.30°B.60°C.120°D.150°2.空间直角坐标系O xyz -中，平行四边形ABCD 的,,A B C 三点坐标分别为()1,2,3A ，()2,1,0B -，()1,2,0C -，则D 的坐标为（）A.()0,1,3-- B.()2,5,3- C.()4,1,3- D.()3,2,0-3.若圆心坐标为(2,2)的圆被直线0x y +=截得的弦长为，则该圆的一般方程为()A.224480x y x y +---=B.224480x y x y +++-=C.2244160x y x y +---= D.224440x y x y ++++=4.设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（）A.12B.24C.30D.325.将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，将第一次向上的点数记为m ，第二次向上的点数记为n ，则2n m n <≤的概率等于（）A.56B.16C.34D.146.若抛物线22(0)y px p =>上的点(0A x 到其焦点的距离是A 到y 轴距离的3倍，则p 等于A.12B.1C.32D.27.斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用.斐波那契数列{}n a 满足：121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，则35720211a a a a ++++⋅⋅⋅+是斐波那契数列{}n a 中的第（）项A.2020B.2021C.2022D.20238.在三棱锥A BCD -中，3AB AC BD CD ====，4AD BC ==，E 是BC 的中点，F 满足14AF AD =，则异面直线AE ，CF 所成角的余弦值为（）A.15B.265C.7010D.3010二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.）9.袋子中有六个大小质地相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从中随机摸出两个球，设事件A 为摸出的小球编号都为奇数，事件B 为摸出的小球编号之和为偶数，事件C 为摸出的小球编号恰好只有一个奇数，则下列说法全部正确的是（）A.事件A 与B 是互斥事件B.事件A 与C 是互斥事件C.事件B 与C 是对立事件D.事件A 与B 相互独立10.已知椭圆C ：22162x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆C 上的动点，点()1,1A ，则下列结论正确的是（）A.12PF PF +=B.12PF F △面积的最大值是C.椭圆C 的离心率为63D.1PF PA +最小值为-11.已知向量()1,2,2a = ，(2,1,1)b =-，则下列说法不正确的是（）A.向量(2,4,4)--与向量,a b共面B.向量b 在向量a上的投影向量为244,,999⎛⎫⎪⎝⎭C.若两个不同的平面,αβ的法向量分别是,a b，则αβ⊥D.若平面α的法向量是a ，直线l 的方向向量是b，则直线l 与平面α所成角的余弦值为1312.在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第()*n n ∈N次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2；…记1212n k a x x x =+++++ ，数列{}n a 的前n 项为n S ，则（）A.12nk += B.133n n a a +=- C.()2332n a n n =+ D.()133234n n S n +=+-第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB a =，AD b =，1AA c = ，点M 是11A D 的中点，点N 是1CA 上的点，且115CN CA = ，若MN xa yb zc =++，则x y z ++=___________.14.天气预报预测在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%.现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率，用1，2，3，4，5，6表示下雨，7，8，9，0表示不下雨.用计算机产生了10组随机数为180，792，454，417，165，809，798，386，196，206.据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为____________.15.等差数列{}{},n n a b的前项和分别为n S 和n T ，若2132n n S n T n +=+，则31119715a a ab b ++=+_____.16.已知过点()1,1P 的直线l 与双曲线C ：()222211,0x y a b a b-=≥>交于A 、B 两点，若点P 是线段AB 的中点，则双曲线C 的离心率取值范围是____________.四、解答题（本大题共6道小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.已知直线l 经过点()3,4P .（1）若向量()1,2a =-是直线l 的一个方向向量，求直线l 的方程；（2）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程.18.已知圆C ：()22222320x x y y λλλ+-+++-=.（1）当2λ=时，求直线y x =被圆C 截得的弦长；（2）若直线y x =与圆C 没有公共点，求λ的取值范围.19.已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==.(I)求数列{a n }通项公式；(II){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .20.如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥平面,2,33ABCD PB AC AD PA BC =====.（1）证明：平面PAC ⊥平面PBC .（2）若AD AB ⊥，求平面PBC 与平面PAD 夹角的余弦值.21.甲，乙两人进行围棋比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四周结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为12，负的概率为13，且每局比赛之间的胜负相互独立．（1）求第三局结束时乙获胜的概率；（2）求甲获胜的概率．22.已知(2,0)A -是椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左顶点，过点(1,0)D 的直线l 与椭圆C 交于P Q ，两点（异于点A ），当直线l 的斜率不存在时，3PQ =．（1）求椭圆C 的方程；（2）求APQ △面积的取值范围．石家庄市2023~2024学年度第一学期期末教学质量检测高二数学（时间120分钟，满分150）注意事项：本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上.第I 卷（选择题，共60分）一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.直线10+-=的倾斜角为（）A.30°B.60°C.120°D.150°【答案】C 【解析】【分析】化成斜截式方程得斜率为k =.【详解】将直线一般式方程化为斜截式方程得：y =+，所以直线的斜率为k =，所以根据直线倾斜角与斜率的关系得直线的倾斜角为120︒.故选：C2.空间直角坐标系O xyz -中，平行四边形ABCD 的,,A B C 三点坐标分别为()1,2,3A ，()2,1,0B -，()1,2,0C -，则D 的坐标为（）A.()0,1,3-- B.()2,5,3- C.()4,1,3- D.()3,2,0-【答案】B 【解析】【分析】利用在平行四边形ABCD 中有AB DC =，计算即可.【详解】结合题意：设D 的坐标为(),,x y z ，因为()1,2,3A ，()2,1,0B -，()1,2,0C -，所以()1,3,3AB =--,()1,2,DC x y z =---- ，因为在平行四边形ABCD 中有AB DC =，所以11323x y z =--⎧⎪-=-⎨⎪-=-⎩，解得253x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以D 的坐标为()2,5,3-.故选：B.3.若圆心坐标为(2,2)的圆被直线0x y +=截得的弦长为)A.224480x y x y +---=B.224480x y x y +++-=C.2244160x y x y +---=D.224440x y x y ++++=【答案】A 【解析】【分析】根据题意，设圆的半径为r ，求出圆心到直线0x y +=的距离，由直线与圆的位置关系可得r 的值，即可得圆的标准方程，变形可得答案.【详解】根据题意，设圆的半径为r ，圆心坐标为()2,2，到直线0x y +=的距离d ==，该圆被直线0x y +=截得的弦长为22216r =+=，则圆的方程为22221)6()(x y -+-=，变形可得224480x y x y +---=，故选：A.4.设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（）A.12 B.24 C.30D.32【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件求得q 的值，再由()5678123a a a qa a a ++=++可求得结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则()2123111a a a a q q++=++=，()232234111112a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==，因此，()5675256781111132a a a a q a q a q a q q q q++=++=++==.故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．5.将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，将第一次向上的点数记为m ，第二次向上的点数记为n ，则2n m n <≤的概率等于（）A.56B.16C.34D.14【答案】D 【解析】【分析】根据题意，利用列举法求得所求事件中所包含的基本事件的个数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.【详解】由题意，将一颗骰子先后抛掷2次，第一次所得点数m ,第二次所得点数n ,记为(),m n .1,2,3,4,5,6m =，1,2,3,4,5,6n =，共有6636⨯=种结果，其中满足2n m n <≤的有：(2,1),(3,2),(4,2),(4,3),(5,3),(5,4)(6,3),(6,4),(6,5)，，共有9种结果，由古典概型的概率计算公式，可得满足2n m n <≤的概率为91364P ==.故选：D.6.若抛物线22(0)y px p =>上的点(0A x 到其焦点的距离是A 到y 轴距离的3倍，则p 等于A.12B.1C.32D.2【答案】D 【解析】【分析】根据抛物线的定义及题意可知3x 0=x 0+2p,得出x 0求得p ，即可得答案．【详解】由题意，3x 0=x 0+2p ，∴x 0=4p ∴222p =∵p ＞0，∴p=2.故选D ．【点睛】本题主要考查了抛物线的定义和性质．考查了考生对抛物线定义的掌握和灵活应用，属于基础题．7.斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用.斐波那契数列{}n a 满足：121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，则35720211a a a a ++++⋅⋅⋅+是斐波那契数列{}n a 中的第（）项A.2020 B.2021C.2022D.2023【答案】C 【解析】【分析】根据题意，结合121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，利用累加法，即可求解.【详解】由斐波那契数列{}n a 满足：121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，则2231375720520211a a a a a a a a a =+++++++++⋅⋅⋅+ 45720216792021a a a a a a a a =++++=++++ 8920212022a a a a =+++== .故选：C.8.在三棱锥A BCD -中，3AB AC BD CD ====，4AD BC ==，E 是BC 的中点，F 满足14AF AD =，则异面直线AE ，CF 所成角的余弦值为（）A.15B.5C.10D.10【答案】D 【解析】【分析】根据三棱锥A BCD -的对棱相等可以补成长方体AGBI HCJD -，计算长方体的长宽高，建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算即可求得异面直线AE ，CF 所成角的余弦值.【详解】解：三棱锥A BCD -中，由于3AB AC BD CD ====，4AD BC ==，则三棱锥A BCD -可以补在长方体AGBI HCJD -，则设长方体的长宽高分别为,,AG a AI b AH c ===，则2222222229,9,16a c AC a b AB b c AD +==+==+==，解得1,a b c ===，如图以C 为原点，,,CH CJ CG 分别为,,x y z轴建立空间直角坐标系，则((()()(1,0,,0,,0,0,0,1,,0,A B C D E ，所以(110,0,,4422AF AD ⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭，则(AE =-，(1,0,0,,1,,2222CF CA AF ⎛⎫⎛⎫=+=+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以cos ,10AE CF AE CF AE CF⋅===-⋅，则异面直线AE ，CF所成角的余弦值为10.故选：D .二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.）9.袋子中有六个大小质地相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从中随机摸出两个球，设事件A 为摸出的小球编号都为奇数，事件B 为摸出的小球编号之和为偶数，事件C 为摸出的小球编号恰好只有一个奇数，则下列说法全部正确的是（）A.事件A 与B 是互斥事件B.事件A 与C 是互斥事件C.事件B 与C 是对立事件D.事件A 与B 相互独立【答案】BC 【解析】【分析】由题意可知摸出的两球的编号可能都是奇数或都是偶数或恰好一个奇数一个偶数，共三种情况，由此可判断,,A B C 之间的互斥或对立的关系，再由古典概型求出(),(),()P AB P A P B 判断是否相互独立可得答案.【详解】由题意知，事件A 为摸出的小球编号都为奇数，事件B 为摸出的小球编号之和为偶数，即摸出的小球编号都为奇数或都为偶数，故事件A ，B 不互斥，故A 错误；事件C 为摸出的小球编号恰好只有一个奇数，即摸出的两球编号为一个奇数和一个偶数，其反面为摸出的小球编号都为奇数或都为偶数，故B ，C 是对立事件，故C 正确；事件A ，C 不会同时发生，故A ，C 是互斥事件，故B 正确；每次摸出两个小球，所有基本事件为：()()()()()()()()1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,()()()()2,6,3,4,3,5,3,6,()()()4,5,4,6,5,6，共有15个，所以由古典概型可得31()155P A ==，62()155P B ==，31()155P AB ==,所以()()()P AB P A P B ≠，故事件A 与B 不相互独立，故D 错误.故选：BC.10.已知椭圆C ：22162x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆C 上的动点，点()1,1A ，则下列结论正确的是（）A.12PF PF += B.12PF F △面积的最大值是C.椭圆C 的离心率为3D.1PF PA +最小值为-【答案】ACD 【解析】【分析】A 选项，根据椭圆定义求出答案；B 选项，数形结合得到当P 在上顶点或下顶点时，12PF F △面积最大，求出最大值；C 选项，由ce a=直接求解即可；D 选项，作出辅助线，结合椭圆定义得到()12PF PA PA PF +=+-，当2,,P A F 三点共线且A 在2PF 之间时,2PA PF -取得最小值，得到答案.【详解】A 选项，由题意得2a b c ====，由椭圆定义可得122PF PF a +==A 正确；B 选项，当P 在上顶点或下顶点时，12PF F △面积最大，最大值为1212F F b bc ⋅==B 错误；C 选项，离心率3c e a ===，C 正确；D 选项，因为2211162+<，所以点()1,1A 在椭圆内，连接2PF ，由椭圆定义可知12PF PF +=，故12PF PF =，故()122PF PA PF PA PA PF +=-+=-，当2,,P A F 三点共线且A 在2PF 之间时，2PA PF -取得最小值，最小值为2AF -==，所以1PF PA +最小值为D 正确.故选：ACD11.已知向量()1,2,2a = ，(2,1,1)b =-，则下列说法不正确的是（）A.向量(2,4,4)--与向量,a b共面B.向量b 在向量a上的投影向量为244,,999⎛⎫⎪⎝⎭C.若两个不同的平面,αβ的法向量分别是,a b，则αβ⊥D.若平面α的法向量是a ，直线l 的方向向量是b，则直线l 与平面α所成角的余弦值为13【答案】ACD 【解析】【分析】根据空间向量的基本定理，可判定A 错误；根据投影向量的求法，可判定B 正确；根据20a b ⋅=≠，可判定C 错误；根据线面角的空间的向量求法，可判定D 错误.【详解】对于A 中，设()(2,4,4)1,2,2(2,1,1)x y --=+-，可得222424x y x y x y -=-⎧⎪+=-⎨⎪+=⎩，此时，方程组无解，所以向量(2,4,4)--与向量,a b不共面，所以A 错误；对于B 中，由向量()1,2,2,(2,1,1)a b ==-，可得向量b 在向量a 上的投影向量为21244(1,2,2),,33999a ba aa ⋅⎛⎫⋅=⨯⋅= ⎪⎝⎭，所以B 正确；对于C 中，若两个不同的平面,αβ的法向量分别是,a b，因为20a b ⋅=≠ ，所以a 与b不垂直，所以平面α与平面β不垂直，所以C 错误；对于D 中，若平面α的法向量是a ，直线l 的方向向量是b，设直线l 与平面α所成角为θ，其中π02θ≤≤，则·sin cos ,a b a b a b θ===，所以cos 9θ==，所以D 错误.故选：ACD.12.在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第()*n n ∈N次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2；…记1212n k a x x x =+++++ ，数列{}n a 的前n 项为n S ，则（）A.12n k +=B.133n n a a +=- C.()2332n a n n =+ D.()133234n n S n +=+-【答案】ABD 【解析】【分析】根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，再进行推理运算即可.【详解】由题意可知，第1次得到数列1,3,2，此时1k =第2次得到数列1,4,3,5,2，此时3k =第3次得到数列1,5,4,7,3,8,5,7,2，此时7k =第4次得到数列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2，此时15k =第n 次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2此时21n k =-所以12n k +=，故A 项正确；结合A 项中列出的数列可得：123433339339273392781a a a a =+⎧⎪=++⎪⎨=+++⎪⎪=++++⎩123333(*)n n a n N ⇒=++++∈ 用等比数列求和可得()33132n na -=+则()121331333322n n n a +++--=+=+23322n +=+又()3313333392n n a ⎡⎤-⎢⎥-=+-=⎢⎥⎣⎦22393332222n n +++--=+所以133n n a a +=-，故B 项正确；由B 项分析可知()()331333122n nn a -=+=+即()2332n a n n ≠+，故C 项错误.123n nS a a a a =++++ 23133332222n n+⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭ ()231331322nn --=+2339424n n +=+-()133234n n +=+-，故D 项正确.故选：ABD.【点睛】本题需要根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，对于复杂问题，著名数学家华罗庚指出:善于“退”，足够的“退”，退到最原始而不失重要的地方,是学好数学的一个诀窍.所以对于复杂问题我们应该先足够的退到我们最容易看清楚的地方,认透了,钻深了,然后再上去，这就是以退为进的思想.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB a =，AD b =，1AA c = ，点M 是11A D 的中点，点N 是1CA 上的点，且115CN CA = ，若MN xa yb zc =++，则x y z ++=___________.【答案】310##0.3【解析】【分析】利用空间向量的加减及数乘运算，以{},,a b c为基底，用基向量表示MN ，再空间向量基本定理待定系数即可.【详解】在平行六面体1111ABCD A B C D -中,因为点M 是11A D 的中点，点N 是1CA 上的点,所以111114152MN A N A M A C A D =-=- ()()11111141415252AC AA A D AB AD AA A D =--=+--()14152AB AD AA AD =+--14345105AB AD AA =+-4345105a b c =+- .又MN xa yb zc =++ ，由空间向量基本定理得，434,,5105x y z ===-，则310x y z ++=.故答案为：310.14.天气预报预测在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%.现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率，用1，2，3，4，5，6表示下雨，7，8，9，0表示不下雨.用计算机产生了10组随机数为180，792，454，417，165，809，798，386，196，206.据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为____________.【答案】25##0.4【解析】【分析】分析数据得到三天中恰有两天下雨的有417，386，196，206，得到答案.【详解】10组随机数中，表示三天中恰有两天下雨的有417，386，196，206，故这三天中恰有两天下雨的概率近似为42105=.故答案为：2515.等差数列{}{},n n a b的前项和分别为n S 和n T ，若2132n n S n T n +=+，则31119715a a ab b ++=+_____.【答案】129130【解析】【分析】利用等差数列前n 项和公式，将题目所求的式子中的,n n a b 有关的式子，转化为,n n S T 有关的式子来求解.【详解】原式11111212111111212132333322111292222223212130a a a a Sb b b b T +⨯+==⋅=⋅=⋅=⋅=+⨯+.【点睛】本小题主要考查了等差数列通项公式的性质，考查了等差数列前n 项和公式，考查了通项公式和前n 项和公式的转化.对于等比数列{}n a 来说，若m n p q +=+，则有m n p q a a a a +=+，而前n 项和公式()12n n a a n S +⋅=，可以进行通项和前n 项和的相互转化.属于基础题.16.已知过点()1,1P 的直线l 与双曲线C ：()222211,0x y a b a b-=≥>交于A 、B 两点，若点P 是线段AB 的中点，则双曲线C 的离心率取值范围是____________.【答案】(【解析】【分析】利用点差法得到22l b k a=，根据题意和渐近线方程得到l b k a <，故01b a <<，从而求出离心率的取值范围.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则2222221122222222b x a y a b b x a y a b ⎧-=⎨-=⎩，两式相减得()()()()2212121212b x x x x a y y y y +-=+-，若12x x =，则AB 的中点在x 轴上，不合要求，若12x x =-，则AB 的中点在y 轴上，不合要求，所以2121221212y y y y b x x x x a-+⋅=-+，因为()1,1P 为AB 的中点，所以1212212y y x x +==+，故22l b k a=，因为()222211,0x y a b a b-=≥>的渐近线方程为b y x a =±，要想直线l 与双曲线C ：()222211,0x y a b a b -=≥>交于A 、B 两点，则l b k a <，即22b ba a <，解得01b a <<，所以离心率(c e a ==.故答案为：(【点睛】直线与圆锥曲线相交涉及中点弦问题，常用点差法，该法计算量小，模式化强，易于掌握，若相交弦涉及AM MB λ=的定比分点问题时，也可以用点差法的升级版—定比点差法，解法快捷.四、解答题（本大题共6道小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.已知直线l 经过点()3,4P .（1）若向量()1,2a =-是直线l 的一个方向向量，求直线l 的方程；（2）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程.【答案】（1）2100x y +-=；（2）70x y +-=或430x y -=.【解析】【分析】（1）根据给定的方向向量，求出直线的斜率，利用直线的点斜式方程求解即得.（2）由已知，按截距是否为0，结合直线的截距式方程分类求解即得.【小问1详解】由向量()1,2a =-是直线l 的一个方向向量，得直线l 的斜率2k =-，又l 经过点()3,4P ，则l 方程为：()423y x -=--，即：2100x y +-=，所以直线l 的方程为2100x y +-=.【小问2详解】依题意，当直线l 过原点时，而直线l 又过点()3,4P ，则直线l 的方程为43y x =，即430x y -=；当直线l 不过原点时，设直线l 的方程为x y a +=，则有34a +=，解得7a =，即直线l 的方程为70x y +-=，所以直线l 的方程为70x y +-=或430x y -=.18.已知圆C ：()22222320x x y y λλλ+-+++-=.（1）当2λ=时，求直线y x =被圆C 截得的弦长；（2）若直线y x =与圆C 没有公共点，求λ的取值范围.【答案】（1）（2）11,22⎛+⎝⎭【解析】【分析】（1）求出圆心和半径，得到圆心到直线的距离，利用垂径定理求出弦长；（2）求出圆心和半径，根据圆心()2,λλ--到y x =的距离大于半径得到不等式，求出答案.【小问1详解】当2λ=时，圆C ：22410x y y ++-=，圆心()0,2C -，半径r =，所以圆心到直线的距离d ==设直线与圆交于A 、B 两点，则弦长AB ==故直线y x =被圆C截得的弦长为【小问2详解】圆C 方程为()()2222221x y λλλλ+-++=⎡-⎤⎣+⎦，22012221122λλλ⎛⎫-+=- ⎪+⎭>⎝恒成立，因为直线y x =与圆C 没有公共点，圆心()2,λλ--到y x =>所以22221λλ>-+，即22210λλ--<，解得：1122λ-<<，故λ的取值范围是11,22⎛+ ⎝⎭.19.已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==.(I)求数列{a n }通项公式；(II){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（Ⅰ）2n n a =.（Ⅱ）2552n nn T +=-.【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）列出关于1,a q 的方程组,解方程组求基本量；（Ⅱ）用错位相减法求和.试题解析：（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，由题意知：22111(1)6,a q a q a q +==.又0n a >，解得：12,2a q ==，所以2n n a =.（Ⅱ）由题意知：121211(21)()(21)2n n n n b b S n b +++++==+，又2111,0,n n n n S b b b +++=≠所以21n b n =+,令nn nb c a =,则212n nn c +=，因此12231357212122222n n n n n n T c c c --+=+++=+++++ ,又234113572121222222n n n n n T +-+=+++++ ,两式相减得2111311121222222n n n n T -++⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ 所以2552n nn T +=-.【考点】等比数列的通项,错位相减法求和.【名师点睛】(1)等比数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公比q ,然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．等比数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1,a n ,q ,n ,S n ,知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想．(2)用错位相减法求和时,应注意：在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式，若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解．20.如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥平面,2,33ABCD PB AC AD PA BC =====.（1）证明：平面PAC ⊥平面PBC .（2）若AD AB ⊥，求平面PBC 与平面PAD 夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）4515【解析】【分析】（1）先证明线面垂直，再应用面面垂直判定定理证明即可；（2）应用空间向量法求出二面角余弦.【小问1详解】因为PB ⊥平面ABCD ，所以PB AB ⊥.在Rt PAB中可求得AB ==在ABC 中，因为1,2BC AC ==，所以2225AC BC AB +==，所以ACBC ⊥.又PB ⊥平面ABCD ，所以AC PB ⊥.因为PB BC B ⋂=，PB BC ⊂，平面PBC ，所以AC ⊥平面PBC .又AC ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面PBC .【小问2详解】因为,AB AD PB ⊥⊥平面ABCD ，所以分别以,,AD BA BP的方向为,,x y z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()0,2,,2,0,0,2,0,0,0,55P C D AD AP ⎛⎫-==- ⎪ ⎪⎝⎭.由（1）知AC ⊥平面PBC ，所以,,055AC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ 为平面PBC 的一个法向量.设平面PAD 的法向量为(),,n x y z =r，可得2020x z =⎧⎪⎨+=⎪⎩，令2y =，得(n =.设平面PBC 与平面PAD 的夹角为θ，则cos cos ,15n AC n AC n ACθ⋅===.21.甲，乙两人进行围棋比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四周结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为12，负的概率为13，且每局比赛之间的胜负相互独立．（1）求第三局结束时乙获胜的概率；（2）求甲获胜的概率．【答案】（1）427（2）265432【解析】【分析】（1）对乙来说共有两种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）,根据独立事件的乘法公式即可求解.（2）以比赛结束时的场数进行分类，在每一类中根据相互独立事件的乘法公式即可求解.【小问1详解】设事件A 为“第三局结束乙获胜”由题意知，乙每局获胜的概率为13，不获胜的概率为23．若第三局结束乙获胜，则乙第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）．故()121211433333327P A =⨯⨯+⨯⨯=【小问2详解】设事件B 为“甲获胜”．若第二局结束甲获胜，则甲两局连胜，此时的概率1111224P =⨯=．若第三局结束甲获胜，则甲第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）．此时的概率211111112222224P =⨯⨯+⨯⨯=．若第四局结束甲得两分获胜，则甲第四局必定获胜，前三局为1胜2平或1胜1平1负，总共有9种情况：（胜，平，平，胜），（平，胜，平，胜），（平，平，胜，胜），（胜，平，负，胜），（胜，负，平，胜），（平，胜，负，胜），（负，胜，平，胜），（平，负，胜，胜），（负，平，胜，胜）．此时的概率311111111562662263248P =⨯⨯⨯⨯3+⨯⨯⨯⨯=若第四局结束甲以积分获胜，则乙的积分为0分，总共有4种情况：（胜，平，平，平），（平，胜，平，平），（平，平，胜，平），（平，平，平，胜）．此时的概率41111142666108P =⨯⨯⨯⨯=故()3124265432P B P P P P =+++=22.已知(2,0)A -是椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左顶点，过点(1,0)D 的直线l 与椭圆C 交于P Q ，两点（异于点A ），当直线l 的斜率不存在时，3PQ =．（1）求椭圆C 的方程；（2）求APQ △面积的取值范围．【答案】（1）22143x y +=；（2）90,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.【解析】【分析】（1）根据给定条件，确定椭圆C 过点3(1,)2，再代入求解作答.（2）设出直线l 的方程，与椭圆C 的方程联立，结合韦达定理求出APQ △面积的函数关系，再利用对勾函数的性质求解作答.【小问1详解】依题意，2a =，当直线l 的斜率不存在时，由3PQ =，得直线l 过点3(1,)2，于是219144b+=，解得23b =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=．【小问2详解】依题意，直线l 不垂直于y 轴，设直线l 的方程为()()11221,,,,x ty P x y Q x y =+，由221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 整理得()2234690t y ty ++-=，则12122269,3434t y y y y t t --+==++，APQ △的面积121||||2S AD y y =-=218134t ==++，令1u =≥，对勾函数13y u u=+在[1,)+∞上单调递增，则134u u+≥，即4≥，从而189012<≤+，当且仅当0t =时取等号，故APQ △面积的取值范围为90,2⎛⎤ ⎥⎝⎦．【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答.。
2022-2023学年北京市西城区高二上学期期末考试数学试题(解析版)
2022-2023学年北京市西城区高二上学期期末考试数学试题一、单选题1．直线的倾斜角等于（ ） 0x y +=A ． B ． C ． D ．45 90 120 135 【答案】D【分析】由得.0x y +==-+y x【详解】由得，则倾斜角为. 0x y +==-+y x 1-135 故选：D2．抛物线的准线方程为（ ） 24x y =A ． B ． C ． D ．1x ==1x -1y =1y =-【答案】D【分析】根据抛物线方程求出，进而可得焦点坐标以及准线方程. 2p =【详解】由可得，所以焦点坐标为，准线方程为：， 24x y =2p =()0,11y =-故选：D.3．在空间直角坐标系中，点，则（ ） O xyz -()()1,3,0,0,3,1A B -A ．直线坐标平面 B ．直线坐标平面 AB xOy AB ⊥xOy C ．直线坐标平面 D ．直线坐标平面AB xOz AB ⊥xOz 【答案】C【分析】求出及三个坐标平面的法向量，根据与法向量的关系判断．ABAB【详解】，坐标平面的一个法向量是，坐标平面的一个法向量是(1,0,1)AB =--xOy (0,0,1)xOz ，坐标平面的一个法向量是，这三个法向量与都不平行，(0,1,0)yOz (1,0,0)AB但，点均不在坐标平面上，因此与坐标平面平行，(0,1,0)0AB ⋅=,A B xOz AB xOz 故选：C ．4．在的展开式中，的系数为（ ） 4(21)x +2x A ．6 B ．12C ．24D ．36【答案】C【分析】先求二项式展开式的通项公式，然后根据通项公式计算求解即可.【详解】展开式的通项公式， 4(21)x +444144C (2)12C k kk k k kk T x x---+=⋅=令，得，42k -=2k =所以在的展开式中，的系数为，4(21)x +2x 42242C 4624-=⨯=故选：C5．在长方体中，，则二面角的余弦值为（ ） 1111ABCD A B C D -13,2,1AB BC AA ===1D BC D --ABCD【答案】D【分析】画出长方体，为二面角所成的平面角，求出1111ABCD A B C D -1D CD ∠1D BC D --的值即可得出答案.1cosD CD ∠【详解】长方体中，，，1111ABCD A B C D -13,2,1AB BC AA ===1CD ∴=，平面,平面,,BC CD ∴⊥BC ⊥ 11DCC D 1CD ⊂11DCC D 1BC CD ∴⊥又平面平面，1D BCBCD BC =为二面角所成的平面角，∴1D CD ∠1D BC D --11cos CD D CD CD ∠===所以二面角1D BC D --故选：D.6．若直线与圆相离，则实数的取值范围是（ ） 340x y m ++=22(1)1x y ++=m A ． B ． ()(),82,∞∞--⋃+()(),28,∞∞--⋃+C ． D ．()(),22,∞∞--⋃+()(),88,∞∞--⋃+【答案】B【分析】根据直线与圆相离则圆心到直线的距离大于圆的半径即可求解.【详解】因为直线与圆相离，所以圆心到直线的距离，(1,0)-340x y m ++=1d r =解得或， 2m <-8m >故选:B.7．2名辅导教师与3名获奖学生站成一排照相，要求2名教师分别站在两侧，则不同的站法共有（ ） A ．种 B ．种C ．种D ．种33A 332A 5353A A -35A 【答案】B【分析】先排好教师再排学生即可.【详解】2名教师排在两边有种排法，3名学生排在中间有 种排法，22A 2=33A 所以共有 种排法； 332A 故选：B.8．设，则“”是“直线与直线平行”的（ ） a R ∈1a =1:20l ax y +=()2140+++=：l x a y A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】计算直线平行等价于或，根据范围大小关系得到答案.1a =2a =-【详解】直线与直线平行，则，或， 1:20l ax y +=()2140+++=：l x a y ()12a a +=1a =2a =-验证均不重合，满足.故“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件. 1a =1:20l ax y +=()2140+++=：l x a y 故选：A.【点睛】本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力.9．如图是一个椭圆形拱桥，当水面在处时，在如图所示的截面里，桥洞与其倒影恰好构成一个椭l 圆.此时拱顶离水面，水面宽，那么当水位上升时，水面宽度为（ ）2m 6m 1mA ．BC ．D 【答案】A【分析】根据题意可得桥洞与其倒影恰好构成的椭圆方程为：，求直线被椭圆所截22194x y +=1y =得的弦长，代入椭圆方程即可求解.【详解】以图中水面所在的直线为轴，水面的垂直平分线所在直线为轴，建立平面直角坐标x y 系，根据已知条件可知：桥洞与其倒影恰好构成的椭圆方程为：，22194x y +=当水位上升时，水面的宽度也即当时，直线被椭圆所截的弦长. 1m 1y =1y =把代入椭圆方程可得： 1y =x =所以当水位上升时，水面的宽度为， 1m 故选：.A 10．设点，，直线，于点，则的最大值为（ ） ()1,0A ()2,3N -:210l x ay a ++-=AM l ⊥M MNA B ．6C ．4D ．1【答案】B【分析】依题意可得直线的方程，再联立直线的方程，消后可得到的轨迹方程为AM l a M ，则所求的最大值为圆心到点的距离加上半径，由此即可求解．()()22111x y -++=MN ()2,3N -【详解】依题意可得直线的方程为，AM ()1y a x =-联立，消整理得，()2101x ay a y a x ++-=⎧⎨=-⎩a ()()22111x y -++=所以点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， M ()1,1-故的最大值为，MN 16=故选：B ．二、填空题11．设，则过线段的中点，且与垂直的直线方程为__________. ()()3,2,1,4A B --AB AB 【答案】2310x y --=【分析】求出线段的中点坐标和斜率，利用点斜式写出直线方程.AB【详解】因为，所以线段的中点，且.()()3,2,1,4A B --AB ()1,1C --()423132AB k --==---所以与垂直的直线的斜率为， AB 112332ABk k =-=-=-所以过线段的中点，与垂直的直线方程为，即. AB AB ()2113y x +=+2310x y --=故答案为：2310x y --=12．在的展开式中，常数项为_____．61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】20【分析】根据展开式的通项公式求解即可.【详解】在的展开式的通项公式为，61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭6621661kk k k k k T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭所以令，解得，620k -=3k =所以常数项为3620C =故答案为：．2013．设为抛物线的焦点，点在抛物线上，点，且，则F 2:4C y x =A C ()3,0B AF BF =AB =__________.【答案】【分析】由题意可设，且满足，因为，由两点间的距离公式代入可求(),A x y 24y x ==2AF BF =出，即可求出.()1,2A ±AB 【详解】由题意可得，，，设， ()1,0F 2BF =(),A x y 且满足，此时， 24y x =0x >则，2AF ===解得：，此时，所以， 1x =2y =±()1,2A ±故AB ==故答案为：14．记双曲线的离心率为e ，写出满足条件“直线与C 无公共点”的e 2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>2y x =的一个值______________．【答案】2（满足1e <≤【分析】根据题干信息，只需双曲线渐近线中即可求得满足要求的e 值. by x a =±02b a<≤【详解】解：，所以C 的渐近线方程为,2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>b y x a=±结合渐近线的特点，只需，即，02b a <≤224b a ≤可满足条件“直线与C 无公共点”2y x =所以===c e a又因为，所以， 1e >1e <≤故答案为：2（满足 1e <≤15．如图，在正方体中，为棱的中点，是正方形内部（含1111ABCD A B C D -2,AB E =1DD F 11CDD C 边界）的一个动点，且平面.给出下列四个结论：1//B F 1A BE①动点的轨迹是一段圆弧；F ②存在符合条件的点，使得； F 11B F A B ⊥③三棱锥的体积的最大值为；11B D EF -23④设直线与平面所成角为，则的取值范围是. 1B F 11CDD C θtan θ2,⎡⎣其中所有正确结论的序号是__________. 【答案】②③④【分析】对于①，利用线线平行可证得平面平面，进而知动点的轨迹； 1//A BE 1MNB F 对于②，利用垂直的性质的可判断； 对于③，利用三棱锥的体积公式可求得；对于④，利用线面角的定义结合三角形可求解；【详解】对于①，分别取和的中点，连接，，，1CC 11D C ,N M MN 1MB 1NB 由正方体性质知，，平面，平面，所以1//MN A B 11//NB EA 1,MN NB ⊂/1A BE 11,A B EA ⊂1A BE 平面,又平面，，所以平面平面，1,//MN NB 1A BE 1,MN NB ⊂1MNB 1MN NB N = 1//A BE 1MNB 当在上运动时，有平面，故动点的轨迹是线段，故①错误； F MN 1//B F 1A BE F MN 对于②，当为线段中点时，，， F MN 11MB NB = 1B F MN ∴⊥又，，故②正确；1//MN A B 11B F A B ∴⊥对于③，三棱锥的体积，11B D EF -11111233D EF D EF V S B C S =⋅=又所以三棱锥的体积的最大值为，故③正确；1max 12112D EF S =⨯⨯=23对于④，连接，则与平面所成角，则， 11,B F C F 1B F 11CDD C 11FC Bθ=∠12tan C Fθ=，所以的取值范围是，故④正确； 11C F≤tan θ2,⎡⎣故正确结论的序号是①③④， 故答案为：②③④三、解答题16．从4男3女共7名志愿者中，选出3人参加社区义务劳动. (1)共有多少种不同的选择方法？(2)若要求选中的3人性别不能都相同，求共有多少种不同的选择方法？ 【答案】(1)35 (2)30【分析】（1）7名志愿者中选出3人共有种；37C（2）选中的3人性别不能都相同，即为1男2女或2男1女，即.12214343C C C C +【详解】（1）7名志愿者中选出3人共有种； 37765C 353´´==！（2）选中的3人性别不能都相同，即为1男2女或2男1女，则有12214343C C C C 436330+=´+´=种.17．如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，为线段的中P ABCD -PA ⊥ABCD ABCD E AB 点，.2PA AB ==(1)求证：；BC PE ⊥(2)求平面与平面夹角的余弦值. PAB PBD 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）根据线面垂直的性质定理可得,再根据底面是正方形可证明线面垂直，即可PA BC ⊥得；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求得平面与平面的法向量，即可BC PE ⊥PAB PBD 求得二面角的余弦值【详解】（1）由平面，根据线面垂直的性质定理可知， PA ⊥ABCD PA BC ⊥又因为底面为正方形，所以，ABCD AB BC ⊥又因为，且PA,BA 含于平面PAB,所以平面；PA BA A = BC ⊥PAB 为线段的中点，平面， E AB PE ⊂PAB 所以，BC PE ⊥（2）根据题意可知，以A 点为坐标原点，分别以AB 、AD 、AP 所在直线为轴、轴、轴建立x y z 空间直角坐标系，如下图所示：则；(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2)A B D P 则，(2,0,2),(0,2,2)PB PD =-=-设平面的一个法向量为，PBD (,,)n x y z =得，令可得，，即；·220·220n PB x z n PD y z ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩ 1z =1,1x y ==(1,1,1)n = 易知，是平面的一个法向量， (0,2,0)AD =PAB 设平面与平面的夹角为，PAB PBD θ则cos cos ,n AD n AD n AD θ==== 所以，平面与平面PAB PBD 18．在平面直角坐标系中，，曲线是由满足直线与的斜率之积等于定值()()1,0,1,0A B -C PA PB 的点组成的集合.()λλ∈R P (1)若曲线是一个圆（或圆的一部分），求的值；C λ(2)若曲线是一个双曲线（或双曲线的一部分），且该双曲线的离心率，求的取值范围. C e ≥λ【答案】(1)1-(2) [)1+∞，【分析】（1）由题意知，的斜率存在，设代入斜率公式，再由斜率之积为定值，化,PA PB (),P x y 简满足圆的条件即可求得的值.λ（2）由题意知，的斜率存在，设代入斜率公式，再由斜率之积为定值，化简满足双,PA PB (),Px y 曲线的条件及离心率的取值范围.e ≥λ【详解】（1）设且，，由题意知，的斜率存在， (),P x y 1x ≠±()()1,0,1,0A B -,PA PB 则即， ()0011PA PBy y k k x x λ--⋅=⋅=---()()211y x x λ=-+可化为，()()2211y x x x λλλ=+-=-()1x ≠±因为曲线是一个圆（或圆的一部分），所以，C ()()2211y x x x λλλ=+-=-可化为，220x y λλ-++=所以解得.140λλ-=⎧⎨->⎩1λ=-（2）设且，，由题意知，的斜率存在， (),P x y 1x ≠±()()1,0,1,0A B -,PA PB 则即， ()0011PA PBy y k k x x λ--⋅=⋅=---()()211y x x λ=-+可化为，()()2211y x x x λλλ=+-=-()1x ≠±因为曲线是一个双曲线（或双曲线的一部分），所以，C ()()2211y x x x λλλ=+-=-可化为，()210yx λλ-=≠所以， 222221,,1a b c a b λλ===+=+因为 ce a=≥所以，22211c e a λ+==≥1λ≥所以的取值范围为. λ[)1+∞，19．已知椭圆的一个焦点为，其长轴长是短轴长的2倍.2222:1(0)x y C a b a b +=>>)F(1)求椭圆的方程；C (2)记斜率为1且过点的直线为，判断椭圆上是否存在关于直线对称的两点？若存在，F l C l ,A B 求直线的方程；若不存在，说明理由.AB 【答案】(1)2214x y +=(2)不存在【分析】（1）由及，根据，解得，写出方程.c 2a b =222a b c =+,a b（2）先假设存在，设出直线的方程，与椭圆方程联立，求得中点坐标，代入，求得，验证AB l m ，得结论不存在关于直线对称的两点.Δ0<l 【详解】（1）2222244()c a b a b a c ==∴==-24,2,1a a b ∴===椭圆的方程 C 2214x y +=（2）假设存在关于对称的两点l ,A B的方程为:l y x = AB y x m =-+直线与椭圆的方程联立得 AB C 2214y x m x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩2258440x mx m -+-=设1122(,),(,)A x y B x y 则， 12121282,()255m m x x y y x x m +=+=-++=的中点代入AB 4(,55mm y x =解得 m =此时，216800m ∆=-+<所以椭圆上不存在关于直线对称的两点.C l ,A B 20．如图，在四棱柱中，平面，1111ABCD A B C D -1AA ⊥1，，ABCD AB CD AD CD ==∥为线段的中点，再从下列两个条件中选择一个作为已知.12，AA AB E ==1AA 条件①：；条件②：AD BE ⊥BC =(1)求直线与所成角的余弦值；CE 11B D (2)求点到平面的距离；1C BCE (3)已知点在线段上，直线与平面的长. M 1CC EM 11BCCB CM 【答案】(3)的长为或. CM 1232【分析】选①或②，都能得到，，后如图以为原点建立空间直角坐标系.则可利用向量DA AB ⊥A 方法求线线角，点面距离，面面角解决问题.【详解】（1）若选择①，因平面ABCD ，平面ABCD ，则，1AA ⊥DA ⊂1DA AA ⊥又，平面，平面，，则AD BE ⊥1AA ⊂11ABB A EB ⊂11ABB A 1∩AA EB E =DA ⊥平面，又平面，则；11ABB A AB ⊂11ABB A DA AB ⊥若选择②，做，交AB 于F ，又，则四边形DCFA 是平行四边形，则CF AD ∥AB CD ，又，则.1CD CF AD AF ====2AB =1FB =则在中，，得，又，则.CFB 222CF FB BC +=CF AB ⊥CF AD ∥AD AB ⊥故，则如图建立以A 为原点的空间直角坐标系.11，，DA AA DA AB AA AB ⊥⊥⊥则，()()()()11110001102022,,，,,，,,，,,C E D B 得，则直线与所成角的余弦值为： ()()11111120,,，,,CE B D =--=-CE 11B D（2）因，()()()()1020110001112,,，,,，,,，,,B C E C 则. ()()()1110111002,,，,,，,,CB CE CC =-=--=设平面的法向量为，则， BCE ()111,,x n y z = 111110000x y z n CE x y n CB ⎧--+=⋅=⎧⎪⇒⎨⎨-+=⋅=⎩⎪⎩ 取，则求点到平面的距离()1,1,2n = 1C BCE d （3）因点在线段上，则设，其中. M 1CC ()11,,M t []0,2t ∈又，则.又， ()0,0,1E ()111,,EM t =-()()11,1,00,0,2CB CC =-= ，设平面法向量为，则， 11BCC B ()222,,m x y z = 222100200x y m CB z m CC ⎧-+=⎧⋅=⎪⇒⎨⎨=⋅=⎪⎩⎩取，则直线与平面所成角的正弦值为： ()1,1,0m =u r EM 11BCC B或.12EM mtEM m⋅==⇒=⋅32t=得线段的长为或.CM123221．已知椭圆的焦点在轴上，且离心率为.22:116x yCt t+=+-x12(1)求实数的值；t(2)若过点可作两条互相垂直的直线，且均与椭圆相切.证明：动点组成的集合(),P m n12,l l12,l l C P是一个圆.【答案】(1)3t=(2)见解析【分析】（1）根据椭圆的离心率即可求解，（2）联立直线与椭圆的方程，根据相切得判别式为0，进而代入切线中的，化简k k,km n b¢=-+=即可求解.【详解】（1）椭圆的焦点在轴上，且离心率为，所以，解22:116x yCt t+=+-x12()216114t tet+--==+得，3t=（2）当时，椭圆方程为，3t=22143x y+=设与椭圆相切，且斜率存在的直线方程为，y k x b'=+所以，()222223484120143y k x bk x k bx bx y''=+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩'由于相切，所以，化简得—①，()()()222=84344120k b k b¢¢D-+->22430k b¢-+=设过点且斜率为的直线方程为，即，(),P m n0k'≠()y k x m n¢=-+y kx km n=-+所以将代入①得，k k,km n b¢=-+=()22430k km n--++=化简得—②，22224230k n kmn k m -+-+=将代入②得，化简得—③， 1k -22221114230n mn m k k k æöç÷-+--+=ç÷èø22224230n k kmn m k ---+=由②③相加得， ()()()2222227117k k m n m n +=++Þ+=当其中一条切线无斜率时，此时,也满足，12,l l (2P ,±227m n +=综上可知：动点组成的集合是一个圆，且圆的方程为(),P m n 227m n +=【点睛】根据直线与曲线相切，转化成判别式为0，进而得到等量关系式，可将关系式进行适当的变形，根据弦长公式，或者利用向量共线等方式，化简运算即可求解.。
天津市部分区2023-2024学年高二上学期期末考试 数学(含答案)
天津市部分区2023～2024学年度第一学期期末练习高二数学（答案在最后）第Ⅰ卷（共36分）一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知空间向量()1,2,3a =-，()2,1,1b =-，则2a b -= （）A.()3,4,5--B.()5,0,5-C.()3,1,2- D.()1,3,4--2.已知直线1l ：330x ay +-=与直线2l ：()210a x y +++=平行，则实数a 的值为（）A.1B.3- C.1或3- D.不存在3.抛物线24x y =的焦点坐标为（）A.()1,0 B.()0,1 C.()1,0- D.()0,1-4.在等比数列{}n a 中，135a a +=，2410a a +=，则{}n a 的公比为（）A.1B.2C.3D.45.若双曲线()222210,0x y a b a b -=>>经过椭圆221259x y +=的焦点，且双曲线的一条渐近线方程为20x y +=，则该双曲线的方程为（）A.221259x y -= B.221416x y -=C.2211664x y -= D.221164x y -=6.过(1,0)点且与圆224470x y x y +--+=相切的直线方程为（）A.220x y --=B.3430x y --=C.220x y --=或1x = D.3430x y --=或1x =7.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为AB 的中点，则点1B 到平面1ACE 的距离为（）A.3B.6C.4D.148.已知1F ，2F 是椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，以12F F 为直径的圆与椭圆C 有公共点，则C 的离心率的最小值为（）A.13B.12C.22D.329.设数列{}n a 满足()*1232321n a a a na n n +++⋅⋅⋅=+∈N ，则数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项和为（）A.2011B.116C.5122 D.236第Ⅱ卷（共84分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.10.已知空间向量()2,1,3a =- ，()4,2,1b = ，则a b ⋅=__________.11.直线10x -=的倾斜角为_______________.12.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且315S =-，612S =-，则101112a a a ++=_________.13.已知空间三点()0,2,3A ，()2,1,5B -，()0,1,5C -，则点A 到直线BC 的距离为__________.14.圆2210100x y x y +--=与圆2262400x y x y +-+-=的公共弦长为___________.15.已知抛物线E ：()220y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线E 交于A ，B 两点，若直线l 与圆220x y px +-=交于C ，D 两点，且38AB CD =，则直线l 的一个斜率为___________.三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知15a =-，42S =-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若{}n b 是等比数列，且24b a =，335b a a =+，求{}n b 的前n 项和n T .17.已知圆C 经过()4,0A ，()0,2B 两点和坐标原点O .（1）求圆C 的方程；（2）垂直于直线0x y +=的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点，且MN =，求直线l 的方程.18.如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥平面ABC ，ABC 为等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，且12AB AA ==，D ，E ，F 分别是1B A ，1CC ，BC 的中点.（1）求直线DE 与BC 所成角的余弦值；（2）求证：1B F ⊥平面AEF ；（3）求平面1AB E 与平面AEF 夹角的余弦值.19.在数列{}n a 中，11a =，()*122nn n a a n +-=∈N .（1）求2a ，3a ；（2）记()*2n n n a b n =∈N .（i ）证明数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（ii ）对任意的正整数n ，设,,,.n n n a n c b n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前2n 项和2n T .20.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，离心率为2，且经过点()4,1M .（1）求C 的方程：（2）过点M 且斜率大于零的直线l 与椭圆交于另一个点N （点N 在x 轴下方），且OMN 的面积为3（O 为坐标原点），求直线l 的方程.天津市部分区2023～2024学年度第一学期期末练习高二数学第Ⅰ卷（共36分）一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知空间向量()1,2,3a =-，()2,1,1b =-，则2a b -= （）A.()3,4,5--B.()5,0,5-C.()3,1,2- D.()1,3,4--【答案】A 【解析】【分析】直接由空间向量的坐标线性运算即可得解.【详解】由题意空间向量()1,2,3a =-，()2,1,1b =- ，则()()()()()21,2,322,1,11,2,34,2,23,4,5a b -=---=---=--.故选：A.2.已知直线1l ：330x ay +-=与直线2l ：()210a x y +++=平行，则实数a 的值为（）A.1B.3- C.1或3- D.不存在【答案】A 【解析】【分析】求出直线1l 与2l 不相交时的a 值，再验证即可得解.【详解】当直线1l 与2l 不相交时，(2)30a a +-=，解得1a =或3a =-，当1a =时，直线1l ：330x y +-=与直线2l ：310x y ++=平行，因此1a =；当3a =-时，直线1l ：3330x y --=与直线2l ：10x y -++=重合，不符合题意，所以实数a 的值为1.故选：A3.抛物线24x y =的焦点坐标为（）A.()1,0 B.()0,1 C.()1,0- D.()0,1-【答案】B 【解析】【分析】根据抛物线的方程与焦点之间的关系分析求解.【详解】由题意可知：此抛物线的焦点落在y 轴正半轴上，且24p =，可知12p=，所以焦点坐标是()0,1.故选：B.4.在等比数列{}n a 中，135a a +=，2410a a +=，则{}n a 的公比为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】直接由等比数列基本量的计算即可得解.【详解】由题意()()21242131110251a q q a a q a a a q ++====++（1,0a q ≠分别为等比数列{}n a 的首项，公比）.故选：B.5.若双曲线()222210,0x y a b a b -=>>经过椭圆221259x y +=的焦点，且双曲线的一条渐近线方程为20x y +=，则该双曲线的方程为（）A.221259x y -= B.221416x y -=C.2211664x y -= D.221164x y -=【答案】D 【解析】【分析】先求椭圆的焦点坐标，再代入双曲线方程可得2a ，利用渐近线方程可得2b ，进而可得答案.【详解】椭圆221259x y +=的焦点坐标为()4,0±，而双曲线()222210,0x y a b a b -=>>过()4,0±，所以()2222401a b ±-=，得216a =，由双曲线的一条渐近线方程为20x y +=可得2214y x =，则2214b a =，于是21164b =，即24b =.所以双曲线的标准标准为221164x y -=.故选：D.6.过(1,0)点且与圆224470x y x y +--+=相切的直线方程为（）A.220x y --=B.3430x y --=C.220x y --=或1x = D.3430x y --=或1x =【答案】D 【解析】【分析】由题意分直线斜率是否存在再结合直线与圆相切的条件进行分类讨论即可求解.【详解】圆224470x y x y +--+=，即圆()()22221x y -+-=的圆心坐标，半径分别为()2,2,1，显然过(1,0)点且斜率不存在的直线为1x =，与圆()()22221x y -+-=相切，满足题意；设然过(1,0)点且斜率存在的直线为()1y k x =-，与圆()()22221x y -+-=相切，所以1d r ===，所以解得34k =，所以满足题意的直线方程为3430x y --=或1x =.故选：D.7.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为AB 的中点，则点1B 到平面1A CE 的距离为（）A.63B.66C.24D.14【答案】A 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求点到平面的距离公式即可求出结果.【详解】分别以1,,DA DC DD 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，()11,0,1A ,11,,02E ⎛⎫⎪⎝⎭,()0,1,0C ,()11,1,1B ,110,,12A E ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ,()11,1,1AC =-- ,()110,1,0A B = 设平面1A CE 的法向量为(),,n x y z =，1100A E n A C n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即1020y z x y z ⎧-=⎪⎨⎪-+-=⎩，取1,2,1x y z ===，()1,2,1n = 所以点1B 到平面1ACE的距离为113A B n d n⋅===uuu u r rr .故选：A.8.已知1F ，2F 是椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，以12F F 为直径的圆与椭圆C 有公共点，则C 的离心率的最小值为（）A.13B.12C.2D.2【答案】C 【解析】【分析】由圆222x y c +=与椭圆有交点得c b ≥，即2222c b a c ≥=-，可得212e ≥，即可求解.【详解】由题意知，以12F F 为直径的圆的方程为222x y c +=，要使得圆222x y c +=与椭圆有交点，需c b ≥，即2222c b a c ≥=-，得222c a ≥，即212e ≥，由01e <<，解得12e ≤<，所以椭圆的离心率的最小值为2.故选：C9.设数列{}n a 满足()*1232321n a a a na n n +++⋅⋅⋅=+∈N ，则数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项和为（）A.2011B.116C.5122 D.236【答案】C 【解析】【分析】由题意首项得()*121n n n a +=∈+N ，进而有()()*3,1221112,211n n a n n n n n n n ⎧=⎪⎪=∈⎨⎛⎫+⎪=-≥ ⎪++⎪⎝⎭⎩N ，由裂项相消法求和即可.【详解】由题意()*1232321n a a a na n n +++⋅⋅⋅=+∈N ，则()()()*1231232111n n n a a a na n n a ++++⋅⋅⋅++++=∈N ，两式相减得()()*112n n n a ++=∈N ，所以()*121n n n a+=∈+N ，又1221131a =⨯+=≠，所以()*3,12,2n n a n n n =⎧⎪=∈⎨≥⎪⎩N ，()()*3,1221112,211n n a n n n n n n n ⎧=⎪⎪=∈⎨⎛⎫+⎪=-≥ ⎪++⎪⎝⎭⎩N ，所以数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项和为31111113115122223341011221122⎛⎫⎛⎫+⨯-+-++-=+⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C.第Ⅱ卷（共84分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.10.已知空间向量()2,1,3a =- ，()4,2,1b = ，则a b ⋅=__________.【答案】9【解析】【分析】根据空间向量数量积的坐标表示即可求解.【详解】由题意知，(2,1,3)(4,2,1)24(1)2319a b ⋅=-⋅=⨯+-⨯+⨯=.故答案为：911.直线10x -=的倾斜角为_______________.【答案】150 【解析】【分析】由直线10x +-=的斜率为3k =-，得到00tan [0,180)3αα=-∈，即可求解.【详解】由题意，可知直线10x +-=的斜率为3k =-，设直线的倾斜角为α，则00tan [0,180)3αα=-∈，解得0150α=，即换线的倾斜角为0150.【点睛】本题主要考查直线的倾斜角的求解问题，其中解答中熟记直线的倾斜角与斜率的关系，合理准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.12.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且315S =-，612S =-，则101112a a a ++=_________.【答案】39【解析】【分析】由题意36396129,,,S S S S S S S ---成等差数列，结合315S =-，612S =-即可求解.【详解】由题意n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且315S =-，612S =-，所以()()36312151518S S S -=++=--，而36396129,,,S S S S S S S ---成等差数列，所以3101112129318155439a S a S a S =++=⨯+-+=-=.故答案为：39.13.已知空间三点()0,2,3A ，()2,1,5B -，()0,1,5C -，则点A 到直线BC 的距离为__________.【答案】2【解析】【分析】利用空间向量坐标法即可求出点到直线的距离.【详解】因为()0,2,3A ，()2,1,5B -，()0,1,5C -，所以()2,2,0BC =-，()2,1,2AB =-- 与BC同向的单位方向向量BC n BC ⎫==-⎪⎭uu u rr uu u r，2AB n ⋅=-uu u r r 则点A 到直线BC 的距离为2=.故答案为：214.圆2210100x y x y +--=与圆2262400x y x y +-+-=的公共弦长为___________.【答案】【解析】【分析】由两圆的方程先求出公共弦所在的直线方程，再利用点到直线的距离公式，弦长公式，求得公共弦长即可.【详解】 两圆方程分别为：2210100x y x y +--=①，2262400x y x y +-+-=②，由②-①可得：412400x y +-=，即3100x y +-=，∴两圆的公共弦所在的直线方程为：3100x y +-=，2210100x y x y +--=的圆心坐标为()5,5，半径为，∴圆心到公共弦的距离为：d ==，∴公共弦长为：=.综上所述，公共弦长为：故答案为：.15.已知抛物线E ：()220y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线E 交于A ，B 两点，若直线l 与圆220x y px +-=交于C ，D 两点，且38AB CD =，则直线l 的一个斜率为___________.，答案不唯一）【解析】【分析】设l 的方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()()1122,,,A x y B x y ，联立直线方程和抛物线方程，再由焦点弦公式得12222p AB x x p p k=++=+，由圆220x y px +-=的方程可知，直线l 过其圆心，2CD r =，由38AB CD =列出方程求解即可.【详解】由题意知，l 的斜率存在，且不为0，设l 的方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()()1122,,,A x y B x y ，联立222p y k x y px ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，得()22222204k p k x k p p x -++=，易知0∆>，则2122222k p p p x x p k k ++==+，所以12222p AB x x p p k =++=+，圆220x y px +-=的圆心,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径2p r =，且直线l 过圆心,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2CD r p ==，由38AB CD =得，22328p p p k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，k =..三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知15a =-，42S =-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若{}n b 是等比数列，且24b a =，335b a a =+，求{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）38n a n =-（2）122n n T +=-【解析】【分析】（1）由已知条件求出数列首项与公差，可求{}n a 的通项公式；（2）由23,b b 可得{}n b 的首项与公比，可求前n 项和n T .【小问1详解】设等差数列{}n a 公差为d ，15a =-，4143422S a d ⨯=+=-，解得3d =，所以()1138n a a n d n =+-=-；【小问2详解】设等比数列{}n b 公比为q ，244==b a ，335178b a a +=+==，得2123148b b q b b q ==⎧⎨==⎩，解得122b q =⎧⎨=⎩，所以()()11121222112nnn n b q T q +--===---.17.已知圆C 经过()4,0A ，()0,2B 两点和坐标原点O .（1）求圆C 的方程；（2）垂直于直线0x y +=的直线l 与圆C 相交于M ，N两点，且MN =，求直线l 的方程.【答案】（1）()()22215x y -+-=（2）30x y --=或10x y -+=【解析】【分析】（1）由题意可知OA OB ⊥，由此得圆的半径，圆心，进而得解.（2）由直线垂直待定所求方程，再结合点到直线距离公式、弦长公式即可得解.【小问1详解】由题意可知OA OB ⊥，所以圆C 是以()4,0A ，()0,2B 中点()2,1C 为圆心，12r AB ===为半径的圆，所以圆C 的方程为()()22215x y -+-=.【小问2详解】因为垂直于直线0x y +=的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点，且MN =，所以不妨设满足题意的方程为0x y m -+=，所以圆心()2,1C 到该直线的距离为d =所以MN ==，解得123,1m m =-=，所以直线l 的方程为30x y --=或10x y -+=18.如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥平面ABC ，ABC 为等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，且12AB AA ==，D ，E ，F 分别是1B A ，1CC ，BC 的中点.（1）求直线DE 与BC 所成角的余弦值；（2）求证：1B F ⊥平面AEF ；（3）求平面1AB E 与平面AEF 夹角的余弦值.【答案】（1）10（2）证明见解析（3）6【解析】【分析】（1）建立适当的空间直角坐标系，求出()()1,2,0,2,2,0DE BC =-=- ，结合向量夹角余弦公式即可得解.（2）要证明1B F ⊥平面AEF ，只需证明11,B F AE B F AF ⊥⊥，即只需证明110,0B F AF B F AE ⋅=⋅= .（3）由（2）得平面AEF 的一个法向量为()11,1,2B F =-- ，故只需求出平面1AB E 的法向量，再结合向量夹角余弦公式即可得解.【小问1详解】由题意侧棱1AA ⊥平面ABC ，又因为,AB AC ⊂平面ABC ，所以11,AA AB AA AC ⊥⊥，因为90BAC ∠=︒，所以BA BC ⊥，所以1,,AB AC AA 两两互相垂直，所以以点A 为原点，1,,AB AC AA 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系：因为ABC 为等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，且12AB AA ==，D ，E ，F 分别是1B A ，1CC ，BC 的中点.所以()()()()()()1110,0,0,2,0,0,0,2,0,0,0,2,2,0,2,0,2,2A B C A B C ，()()()1,1,0,0,2,1,1,0,1F E D ，所以()()1,2,0,2,2,0DE BC =-=- ，设直线DE与BC所成角为θ，所以cos cos,10DE BCDE BCDE BCθ⋅===⋅.【小问2详解】由（1）()()()11,1,2,1,1,0,0,2,1B F AF AE=--==，所以111100,0220B F AF B F AE⋅=-+-=⋅=-+-=，所以11,B F AE B F AF⊥⊥，又因为,,AE AF A AE AF=⊂平面AEF，所以1B F⊥平面AEF.【小问3详解】由（2）可知1B F⊥平面AEF，即可取平面AEF的一个法向量为()11,1,2B F=--，由（1）可知()()12,0,2,0,2,1AB AE==，不妨设平面1AB E的法向量为(),,n x y z=，则22020x zy z+=⎧⎨+=⎩，不妨令2z=-，解得2,1x y==，即可取平面1AB E的法向量为()2,1,2n=-，设平面1AB E与平面AEF夹角为α，则111cos cos,6B F nB F nB F nα⋅===⋅.19.在数列{}n a中，11a=，()*122nn na a n+-=∈N.（1）求2a，3a；（2）记()*2nnnab n=∈N.（i）证明数列{}n b是等差数列，并求数列{}n a的通项公式；（ii）对任意的正整数n，设,,,.nnna ncb n⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n c的前2n项和2n T.【答案】19.24a=，312a=20.（i ）证明见解析；()1*2n n a n n -=⋅∈N .（ii ）()()*216554929n n n n n T n +-⎛⎫=++∈⎪⎝⎭N .【解析】【分析】（1）由递推公式即可得到2a ，3a ；（2）对于（i ），利用已知条件和等差数列的概念即可证明；对于（ii ），先写出n c ，再利用错位相减法求得奇数项的前2n 项和，利用等差数列的前n 项和公式求得偶数项的前2n 项和，进而相加可得2n T .【小问1详解】由11a =，()*122n n n a a n +-=∈N ，得()*122n n n a a n +=+∈N ，所以121224a a =+=，2322212a a =+=，即24a =，312a =.【小问2详解】（i ）证明：由122n n n a a +-=和()*2n n n a b n =∈N 得，()*11111122122222n n n n n n n n n n n a a a a b b n ++++++--=-===∈N ，所以{}n b 是111122a b ==，公差为12的等差数列；因为()1111222n b n n =+-⨯=，所以()*1,22n n n a b n n ==∈N ，即()1*2n n a n n -=⋅∈N .（ii ）由（i ）得12,1,2n n n n c n n -⎧⋅⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，当n 为奇数，即()*21n k k =-∈N 时，()()()221*21212214N k k k c k k k ---=-⋅=-⋅∈，设前2n 项中奇数项和为n A ，前2n 项中偶数项和为nB 所以()()0121*143454214n n A n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅∈N ①，()()123*4143454214n n A n n =⨯+⨯+⨯++-⋅∈N ②，由①-②得：()()()()()012131431453421234214n n n A n n k -⎡⎤-=⨯+-⨯+-⨯++---⋅--⋅⎣⎦，()()121121444214n n n -=-+⨯++++--⋅ ，()()1142214114nn n ⨯-=⨯--⋅--()242214133n n n ⨯=---⋅-()2521433n n ⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦()*552433n n n ⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭N ，即()*5532433n n A n n ⎛⎫-=--∈ ⎪⎝⎭N ，则()*655499n n n A n -⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N ；当n 为偶数，即()*2n k k =∈N 时，()*212N 2k c k k k =⨯=∈，所以()()*11232n n n B n n +=++++=∈N .综上所述，()()*216554929n n n n n n n T A B n +-⎛⎫=+=++∈ ⎪⎝⎭N .20.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，离心率为2，且经过点()4,1M .（1）求C 的方程：（2）过点M 且斜率大于零的直线l 与椭圆交于另一个点N （点N 在x 轴下方），且OMN 的面积为3（O 为坐标原点），求直线l 的方程.【答案】（1）221205x y +=（2）220x y --=【解析】【分析】（1）由离心率和椭圆上的点，椭圆的方程；（2）设直线方程，代入椭圆方程，利用弦长公式和面积公式求出直线斜率，可得直线方程.【小问1详解】椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，离心率为2，且经过点()4,1M ，则有22222161132a b a b c c e a ⎧+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪==⎪⎩，解得2220,5a b ==，所以椭圆C 的方程为221205x y +=.【小问2详解】过点M 且斜率大于零的直线l 与椭圆交于另一个点N （点N 在x 轴下方），设直线l 的方程为()41y k x =-+，椭圆左顶点为()A -，MA k =，点N 在x 轴下方，直线l的斜率k >，由()22411205y k x x y ⎧=-+⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()()222214846432160k x k k x k k ++-+--=，设(),N m n ，则有()2284414k k m k -+=+，得22168414k k m k --=+，)288414k MN k +==-=+，原点O 到直线l 的距离d =则有)2388121124OMN S MN d k k =⋅⋅++=⋅= ，当41k >时，方程化简为241270k k +-=，解得12k =；当041k <<时，方程化简为2281210k k +-=，解得114k =，不满足k >所以直线l 的方程为()1412y x =-+，即220x y --=.【点睛】方法点睛：解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．要强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．。
2022-2023学年江苏省南通市如皋市高二上学期期末数学试题(解析版)
2022-2023学年江苏省南通市如皋市高二上学期期末数学试题一、单选题1．已知平面α的一个法向量()13,0,n λ=，平面β的一个法向量()22,1,6n =，若αβ⊥，则λ=（ ） A ．92B ．4C ．1-D ．1【答案】C【分析】根据题意，由面面垂直可得法向量也相互垂直，结合空间向量的坐标运算，代入计算即可得到结果.【详解】因为αβ⊥，则可得12n n ⊥， 且()13,0,n λ=，()22,1,6n =， 则可得660λ+=，解得1λ=- 故选:C2．若直角三角形三条边长组成公差为2的等差数列，则该直角三角形外接圆的半径是（ ） A ．52B ．3C ．5D ．152【答案】C【分析】根据题意，设中间的边为a ，由等差数列的定义，结合勾股定理即可得到a 的值，从而得到结果.【详解】由题意设中间的边为a ，则三边依次为2,,2-+a a a 由勾股定理可得()()22222a a a +=-+，解得8a =或0a =（舍） 即斜边为210a +=，所以外接圆的半径为1052= 故选:C3．已知P 为双曲线22:133x y C -=与抛物线22y x =的交点，则P 点的横坐标为（ ）A ．3B ．2CD ．1-【答案】A【分析】根据给定条件，联立方程组并求解判断作答.【详解】依题意，220x y =≥，则由22223y x x y ⎧=⎨-=⎩解得3x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以P 点的横坐标为3.故选：A4．若直线340x y m ++=与圆2220x y y +-=相切，则实数m 取值的集合为（ ） A ．{}1,1- B ．{}9,1- C ．{}1 D ．{}8,2-【答案】B【分析】根据题意，由直线与圆相切可得d r =，结合点到直线的距离公式，代入计算，即可得到结果.【详解】由圆2220x y y +-=可得()2211x y +-=，表示圆心为()0,1，半径为1的圆，则圆心到直线340x y m ++=的距离d =因为直线340x y m ++=与圆2220x y y +-=相切，所以d r =1=，解得1m =或9m =-，即实数m 取值的集合为{}9,1- 故选:B5．已知数列{}n a 首项为2，且112n n n a a ++-=，则n a =（ ） A ．2n B ．121n -+ C ．22n - D ．122n +-【答案】D【分析】由已知的递推公式，利用累加法可求数列通项.【详解】由已知得112n n n a a ++-=，12a =，则当2n ≥时，有12111221()()(222)n n n n n n n a a a a a a a a -----=-+-++-=+++，()12121121222222222212n n n n n n n a a --+-=++++=++++==--经检验当1n =时也符合该式．∴122n n a +=-.故选：D6．如图，在直三棱柱111ABC A B C 中，CA CB =，P 为1A B 的中点，Q 为棱1CC 的中点，则下列结论不正确的是（ ）A ．1PQ AB ⊥ B ．AC //平面1A BQ C ．1PQ CC ⊥D ．PQ //平面ABC【答案】B【分析】A 选项可以利用三线合一证明垂直关系，B 选项可利用“线面平行时，直线无论怎么平移不会和平面相交”的性质来判断.C 选项先通过类似A 选项的证明得到线线垂直，结合AC 的结论得到线面垂直后判断，D 选项可以构造平行四边形，结合线面平行的判定证明， 【详解】不妨设棱柱的高为2h ，AC CB x ==.B 选项，根据棱柱性质，11AC //AC ，而11A C ⋂平面11A BQ A =，若AC //平面1A BQ ，无论怎样平移直线AC ，都不会和平面1A BQ 只有一个交点，于是得到矛盾，故B 选项错误；A 选项，计算可得，221QA QB x h ==+P 为1A B 的中点，故1PQ A B ⊥（三线合一），A 选项正确；C 选项，连接11,,QB QA AB ，根据平行四边形性质，1AB 过P ，计算可得，221QA QB x h =+P 为1AB 的中点，故1PQ AB ⊥（三线合一），结合A 选项，1PQ A B ⊥，11AB A B P =，11,AB A B ⊂平面11ABB A ，故PQ ⊥平面11ABB A ，由1AA ⊂平面11ABB A ，故PQ ⊥1AA ，棱柱的侧棱1AA //1CC ，故1PQ CC ⊥，C 选项正确；D 选项，取AB 中点E ，连接,PE CE ，结合P 为1A B 的中点可知，PE 为1ABA △中位线，故PE //1AA ，且112PE AA =，即PE //CQ ，且PE CQ =，故四边形PECQ 为平行四边形，故PQ //CE ，由PQ ⊄平面ABC ，CE ⊂平面ABC ，故PQ //平面ABC ，D 选项正确. 故选：B7．在数列{}n a 中，若存在不小于2的正整数k 使得1k k a a -<且1k k a a +<，则称数列{}n a 为“k -数列”.下列数列中为“k -数列”的是（ ） A ．n b n = B ．2n n b =C ．9n b n n=+ D ．123n b n =- 【答案】C【分析】利用“k -数列”定义逐项判断可得答案.【详解】对于A ，n b n =，11n b n +=+，1110+=+-=>-n n b b n n ，数列{}n b 是单调递增数列， 所以数列{}n b 不是“k -数列”，故A 错误；对于B ， 2nn b =，112++=n n b ，112220++-=-=>n n n n n b b ，数列{}n b 是单调递增数列，所以数列{}n b 不是“k -数列”，故B 错误；对于C ，对于函数()()90f x x x x=+>，令123x x >>，()()()121212129--=-x x f x f x x x x x ， 因为123x x >>，所以12120,9->>x x x x ，()12121290-->x x x x x x ，所以()()12f x f x >， ()f x 在()3,x ∈+∞上为单调递增函数，令2103<<<x x ，()()()121212129--=-x x f x f x x x x x ， 因为2103<<<x x ，所以12120,09-><<x x x x ，()12121290x x x x x x --<，所以()()12f x f x <，()f x 在()0,3x ∈上为单调递减函数，所以对于9n b n n=+，当23n ≤≤时，有1n n b b -<，当3n ≥时，有1n n b b +<，存在3k =使得数列{}n b 是“k -数列”，故C 正确；对于D ，11b =-，2n ≥时，因为{}23n -的单调递增数列，123⎧⎫⎨⎬-⎩⎭n 是单调递减数列，所以不存在不小于2的正整数k 使得1k k a a -<且1k k a a +<，所以数列{}n b 不是“k -数列”，故D 错误. 故选：C.8．已知O 为坐标原点，A 点坐标为()2,0，P 是抛物线21:2C y x =在第一象限内图象上一点，M 是线段AP 的中点，则OM 斜率的取值范围是（ ） A ．10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．[)2,+∞C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D．⎛ ⎝⎦【答案】A【分析】设()()22,0>P y y y ，可得()221=+OM y k y ，再利用基本不等式可得答案.【详解】设()()22,0>P y y y ，所以21,2⎛⎫+ ⎪⎝⎭y M y ，所以()22112141212===≤+⎛⎫++ ⎪⎝⎭OMyy k y y y y ，当且仅当1y y=即1y =时等号成立， 则OM 斜率的取值范围是10,4⎛⎤⎥⎝⎦.故选：A.二、多选题9．已知正四面体的棱长均为1，分别以四个顶点中的两个点作为向量的起点与终点，在这些向量中两两的数量积可能是（ ） A ．0 B ．12C ．2 D【答案】AB【分析】由[]cos ,cos ,1,1a b a b a b a b ⋅=⨯⨯=∈-，排除C 、D ；取,a AD b BC ==，求出0a b ⋅=；取,a AD b AC ==，求出12a b ⋅=.即可判断A 、B. 【详解】在正四面体ABCD 中，棱长均为1.任意以四个顶点中的两个点作为向量的起点与终点，得到的向量的模长为1. 任取两个向量,a b ，则1a b ==.所以[]cos ,cos ,1,1a b a b a b a b ⋅=⨯⨯=∈-.故C 、D 错误； 取,a AD b BC ==.设BC 中点为E ,连接,AE DE . 因为ABCD 为正四面体，所以,AE BC DE BC ⊥⊥. 因为AEDE E =,AE ⊂面ADE ，DE ⊂面ADE ，所以BC ⊥面ADE .因为AD ⊂面ADE ，所以BC AD ⊥，所以,90a b =︒. 所以cos ,cos900a b a b ⋅==︒=.故A 正确； 取,a AD b AC ==，则,60a b =︒. 所以1cos ,cos602a b a b ⋅==︒=.故B 正确. 故选：AB10．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，左，右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆上一点（异于左，右顶点），且12PF F △的周长为6，则下列结论正确的是（ ） A ．椭圆C 的焦距为1B ．椭圆C 的短轴长为3C ．12PF F △3D ．椭圆C 上存在点P ，使得1290F PF ∠=【答案】BC 【分析】根据12e =，226a c +=解得,,a b c 可判断AB ；设()00,P x y ，由1212012PF F S F F y =知当P 点为椭圆的上顶点或下顶点时面积最大，求出面积的最大值可判断C ；假设椭圆C 上存在点P ，设12,PF m PF n ==，求出m n +、mn ，,m n 可看作方程2460x x -+=，求出判别式∆可判断D. 【详解】由已知得12c e a ==，226a c +=，解得2,1a c ==，2223b a c =-=， 对于A ，椭圆C 的焦距为22c =，故A 错误； 对于B ，椭圆C 的短轴长为223b =，故B 正确； 对于C ，设()00,P x y ，12120012==PF F SF F y c y ，当P 点为椭圆的上顶点或下顶点时面积的最大，此时03==y b ，所以12PF F △面积的最大值为3，故C 正确；对于D ，假设椭圆C 上存在点P ，使得1290F PF ∠=，设12,PF m PF n ==， 所以24m n a +==，22216244m n mn c +=-==，6mn =，所以,m n 是方程2460x x -+=，其判别式16240∆=-<，所以方程无解，故假设不成立，故D 错误. 故选：BC.11．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，下列结论正确的是（ ） A ．异面直线1AB 与CD 所成角的为45 B ．异面直线11A B 与1AC 所成角的为45 C ．直线1AC 与平面11ABB A 所成角的正弦值为33D ．二面角1C AD B --的大小为45 【答案】ACD【分析】利用异面直线所成角的定义可判断AB 选项；利用线面角的定义可判断C 选项；利用二面角的定义可判断D 选项. 【详解】如下图所示：对于A 选项，//CD AB ，则1AB 与CD 所成的角为145BAB ∠=，A 对；对于B 选项，11//AB A B ，所以，1AC 与11A B 所成角为1BAC ∠或其补角，因为2AB =，1BC =1AC ==22211AB BC AC ∴+=，则1AB BC ⊥，所以，11tan BC BAC AB∠==145BAC ∠≠，B 错； 对于C 选项，11B C ⊥平面11AA B B ，故直线1AC 与平面11ABB A 所成角为11B AC ∠， 1AB ⊂平面11AA B B ，则111B C AB ⊥，所以，11111sin B C B AC AC ∠== 因此，直线1AC 与平面11ABB AC 对； 对于D 选项，AD ⊥平面11CC D D ，CD 、1C D ⊂平面11CC D D ，则AD CD ⊥，1AD C D ⊥，所以，二面角1C AD B --的平面角为145CDC ∠=，D 对. 故选：ACD.12．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，数列{}n b 是首项和公比均为2的等比数列，将数列{}n a 和{}n b 中的项按照从小到大的顺序排列构成新的数列{}n c ，则下列结论正确的是（ ） A ．1216c = B ．数列{}n c 中n b 与1n b +之间共有12n -项 C ．22n n b a = D ．121n n n b c -+-=【答案】AB【分析】根据题意可得：数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，则21n a n =-，2nn b =，然后根据数列的性质逐项判断即可求解.【详解】由题意可知：数列{}n a 的前n 项和2n S n =，当1n =时，111a S ==；当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=-；经检验，当1n =时也满足，所以21n a n =-；又因为数列{}n b 是首项和公比均为2的等比数列，所以2nn b =.则数列{}n c 为：1,2,3,4,5,7,8,9,11,13,15,16,17,19,21,23,，所以1216c =，故选项A 正确；数列{}n a 是由连续奇数组成的数列，1,n n b b +都是偶数，所以n b 与1n b +之间包含的奇数个数为112222n nn +--=，故选项B 正确；因为2nn b =，则222n n b =为偶数，但1222121n n n a +=⨯-=-为奇数，所以22n n b a ≠，故选项C 错误；因为2nn b =，前面相邻的一个奇数为21n -，令2121n k a k =-=-，解得：12n k -=，所以数列{}n c 从1到2n 共有12n n -+，也即122n nn n c b -+==，故选项D 错误，故选：AB三、填空题13．已知等差数列{}n a 前3项的和为6，前6项的和为21，则其前12项的和为______. 【答案】78【分析】先求得等差数列{}n a 的首项和公差，然后求得前12项和. 【详解】设等差数列的公差为d ，则1133661521a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得11a d ==，所以前12项的和为1126678a d +=. 故答案为：7814．以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.已知双曲线C 的共轭双曲线的离心率为3，则双曲线C 的离心率为______.【分析】不妨设双曲线C 的实轴长为2a ，虚轴长为2b ，焦距为2c ，根据双曲线的离心率公式可得出b =，进而可求得双曲线C 的共轭双曲线的离心率.【详解】不妨设双曲线C 的实轴长为2a ，虚轴长为2b ，焦距为2c ，则3c a =，可得b =， 所以，双曲线C 的共轭双曲线的实轴长为2b ，虚轴长为2a，焦距为2c =，因此，双曲线C的共轭双曲线的离心率为c b. 15．已知轴截面为正三角形的圆锥顶点与底面均在一个球面上，则该圆锥与球的体积之比为______. 【答案】932##0.28125【分析】根据圆锥、球的体积公式求得正确答案. 【详解】画出轴截面如下图所示， 圆锥的轴截面为正三角形ABC ，设球心为O ，圆锥底面圆心为1O ，球的半径为R ，则圆锥的高为1322R R R +=，底面半径为32R ，所以圆锥与球的体积之比为23133π32294π323R R R ⎛⎫⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭=⨯. 故答案为：932四、双空题16．摆线是一类重要的曲线，许多机器零件的轮廓线都是摆线，摆线的实用价值与椭圆、抛物线相比毫不逊色.摆线是研究一个动圆在一条曲线（基线．．）上滚动时，动圆上一点的轨迹.由于采用不同类型的曲线作为基线，产生了摆线族的大家庭.当基线是圆且动圆内切于定圆作无滑动的滚动时，切点P 运动的轨迹就得到内摆线.已知基线圆O 的方程为()2220x y RR +=>，半径为1的动圆M 内切于定圆O 作无滑动的滚动，切点P 的初始位置为(),0R .若4R =，则PO 的最小值为______；若2R =，且已知线段MP 的中点N 的轨迹为椭圆，则该椭圆的方程为______. 【答案】 2 2219144x y += 【分析】根据圆、摆线、椭圆的知识求得正确答案. 【详解】当4R =时，PO 的最小值为21422R -⨯=-=.当2R =时，N 初始位置为3,02⎛⎫⎪⎝⎭，圆O 的四分之一弧长为12π2π4⨯⨯=，圆M 的半周长为12π1π2⨯⨯=， 所以N 的轨迹过点10,2N ⎛⎫' ⎪⎝⎭， 所以31,22a b ==，椭圆焦点在x 轴上， 所以椭圆方程为2219144x y +=. 故答案为：2；2219144x y +=五、解答题17．如图，PA 是三棱锥-P ABC 的高，线段BC 的中点为M ，且AB AC ⊥，2AB AC PA ===.(1)证明：BC ⊥平面PAM ；(2)求A 到平面PBC 的距离.【答案】(1)证明见解析23【分析】（1）根据已知条件证明BC AM ⊥，PA BC ⊥，由直线与平面垂直的判定定理即可证明. （2）法一：在平面PAM 中，过A 点作AH PM ⊥，证明AH ⊥平面PBC ，再求值即可；法二：A 到平面PBC 的距离，是三棱锥A PBC -的高，利用等体积法求解.【详解】（1）因为AB AC =，线段BC 的中点为M ，所以BC AM ⊥.因为PA 是三棱锥-P ABC 的高，所以PA ⊥平面ABC ，因为BC ⊂平面ABC ，所以PA BC ⊥.因为PA ⊂平面PAM ，AM ⊂平面PAM ，PA AM A =，所以BC ⊥平面PAM（2）法一：（综合法）在平面PAM 中，过A 点作AH PM ⊥，如图所示，因为BC ⊥平面PAM ，AH ⊂平面PAM ，所以BC AH ⊥.因为AH PM ⊥，BC ⊂平面PBC ，PM ⊂平面PBC ，PMBC M =，所以AH ⊥平面PBC . 在Rt BAC 中，22111442222AM BC AB AC ==++=所以在Rt PAM 中，22426PM PA AM =++ 所以22236PA AM AH PM ⨯==A 到平面PBC 23法二：（等体积法）设A 到平面PBC 的距离为d ，则在Rt BAC 中，22111442222AM BC AB AC ==++在Rt PAM 中，22426PM PA AM ++= 因为PA 是三棱锥-P ABC 的高，所以11142223323P ABC ABC V S PA -=⨯=⨯⨯⨯⨯=△， 11142263323P ABC PB PBC C A V V S d d --==⨯=⨯⨯=△，解得23d =， 所以A 到平面PBC 23. 18．已知等比数列{}n a 的首项为2，前n 项和为n S ，且234230S S S -+=.(1)求n a ；(2)已知数列{}n b 满足：n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)2n n a =(2)()1122n n T n +=-⋅+【分析】（1）根据题意，由234230S S S -+=可得公比q ，再由等比数列的通项公式即可得到结果；（2）根据题意，由错位相减法即可求得结果.【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，因为234230S S S -+=，所以()234320S S S S -+-=，所以342a a =，所以2q ，所以112n n n a a q -==.（2）由（1）得，2n n b n =⨯，所以212222n n T n =⨯+⨯++⨯，……① 所以()23121222122n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯，……②①-②，得()()21112122222212212n n n n n n T n n n +++⨯--=+++-⨯=-⨯=-⨯--， 所以()1122n n T n +=-⋅+.19．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的实轴长为2，右焦点F 到32x =的距离为12. (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线1y x =-与双曲线C 交于M ，N 两点，求MNF 的面积.【答案】(1)2213y x -= (2)32【分析】（1）由双曲线实轴长为2可得1a =，再利用右焦点F 到32x =的距离为12可得2c =，即可求得双曲线C 的方程；（2）联立直线和双曲线方程容易解出M ，N 两点坐标即可求得MNF 的面积.【详解】（1）设双曲线C 的焦距为()20c c >，因为双曲线C 的实轴长为2，所以22a =，解得1a =.因为右焦点F 到32x =的距离为12，所以3122c -=，解得1c =或2c =. 因为c a >，所以2c =.可得222413b c a =-=-=，所以双曲线C 的方程为2213y x -=. （2）设()11,M x y ，()22,N x y ， 联立直线和双曲线22113y x y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩可得()223130x x ---=， 即220x x +-=，1x =或2x =-不妨设11x =，22x =-，所以2130,y y ==-. 所以2121113132222MNF S MF y c x y =⨯=-⨯=⨯⨯=△. 即MNF 的面积为3220．已知数列{}n a 的首项为1，前n 项和为n S ，且满足______.①22a =，22n n a a +-=；②()21n n S n a =+；③()12n n nS n S +=+.从上述三个条件中选一个填在横线上，并解决以下问题：(1)求n a ；(2)求数列21n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 【答案】(1)n a n = (2)13112212n T n n ⎛⎫=-- ⎪++⎝⎭【分析】（1）当选①时，分n 为奇数，偶数时，分别计算即可得到结果；当选②时，根据n S 与n a 的关系，即可得到结果；当选③时，根据条件得到()1n S n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭是常数数列，从而得到结果； （2）根据题意，由裂项相消法即可得到结果.【详解】（1）选①因为22n n a a +-=，所以当n 为奇数时，1122n n a a n -=+⨯=； 同理，当n 为偶数时，2222n n a a n -=+⨯=. 所以n a n =.选②因为()21n n S n a =+，（*）所以当2n ≥时，112n n S na --=，（**）（*）-（**），得()11n n n a na --=，即11n n a a n n -=-， 所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1的常数列， 所以n a n =.选③因为()12n n nS n S +=+，所以()()()1211n n S S n n n n +=+++，所以数列()1n S n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭是首项为12的常数列， 所以()12n n n S +=，所以当2n ≥时，()()11122n n n n n n n a S S n -+-=-=-=. 当1n =时，也符合上式.所以n a n =.（2）由（1）得，()211111222n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 所以111111111311123243522212n T n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭ 21．三棱柱111ABC A B C 中，112AB AB AA AC ====，120BAC ∠=，线段11A B 的中点为M ，且BC AM ⊥.(1)求证：AM ⊥平面ABC ；(2)点P 在线段11B C 上，且11123B P BC =，求二面角11P B A A --的余弦值. 【答案】(1)证明见解析313【分析】（1）由AB AM ⊥、BC AM ⊥根据线面垂直的判定定理可得AM ⊥平面ABC ； （2）以A 为原点，以、、AN AC AM 所在的直线为x y z 、、建立空间直角坐标系，求出平面11B AA 、平面1PB A 的一个法向量由二面角的向量求法可得答案.【详解】（1）三棱柱111ABC A B C 中，11//AB A B ，在11AB A △中，11AB AA =，线段11A B 的中点为M ，所以11A B AM ⊥，所以AB AM ⊥； 因为BC AM ⊥，BC ⊂平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，AB BC B ⋂=，AB BC ⊂、平面ABC ，所以AM ⊥平面ABC ；（2）做AN AC ⊥交BC 于N 点，以A 为原点，以、、AN AC AM 所在的直线为x y z 、、建立空间直角坐标系， 则()0,0,0A，)1,0B -，112B -⎝， ()0,2,0C，(M .所以13122AB ⎛=- ⎝，()BC =-，(AM =， 因为111222,033B P B C BC ⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭，所以32P ⎛⎝， 所以32AP ⎛=- ⎝，设平面11B AA 的一个法向量()1111,,n x y z =，则11111113102230n AB x yn AM z ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅==⎩，解得10z =，令1y 11x =，所以()11,3,0n =，设平面1PB A 的一个法向量()2222,,n x y z =，则222221222306231022n AP y n AB y ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅=-=⎪⎩，令2y 23x =，21z =-，所以()23,1n =-，设二面角11P B A A --的平面角为()0180θθ≤≤，则1212126cos cos ,2n n n n n nθ⋅====⨯ 由图知二面角11P B A A --的平面角为锐角，所以二面角11P B A A --22．已知31,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭为椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>上一点，上、下顶点分别为A 、B ，右顶点为C ，且225a b +=.(1)求椭圆E 的方程；(2)点P 为椭圆E 上异于顶点的一动点，直线AC 与BP 交于点Q ，直线CP 交y 轴于点R .求证：直线RQ 过定点.【答案】(1)2214x y += (2)证明见解析【分析】（1）根据已知条件求得22,a b ，从而求得椭圆E 的方程.（2）设出直线BP 的方程，求得点Q 的坐标，联立直线BP 的方程和椭圆E 的方程，求得P 点坐标，进而求得直线PC 的方程，从而求得R 点的坐标，由此求得直线RQ 的方程并确定定点坐标.【详解】（1）因为3P ⎛ ⎝⎭为椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>上一点，所以221314a b +=. 因为225a b +=，所以2213154b b +=-，整理得42419150b b -+=，解得21b =或2154b =. 当2154b =时，254a =，与a b >矛盾.所以21b =，24a =. 椭圆E 的方程为2214x y +=. （2）设直线BP 的斜率为k ，则:1BP l y kx =-.因为1:12AC l y x =-+， 由1112y kx y x =-⎧⎪⎨=-+⎪⎩解得421Q x k =+，2121Q k y k -=+. 因为22114y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，所以()224140x kx +--=，整理得()221480k x kx +-=， 所以2841P k x k =+，224141P k y k -=+. 所以2222241412141888242241PCk k k k k k k k k k --++===--+---+，所以()21:242PC k l y x k +=---. 令0x =，得2121R k y k +=-. 所以()()222221212121822121414144421212121RQ k k k k k k k k k k k k k k k +--+---+--====-----+++， 所以221:2121RQ k k l y x k k +=-+--. 所以()242:12212121RQ k k k l y x x k k k +=-+=-----. 所以直线RQ 过定点2,1.。
2022-2023学年贵州省遵义市高二上学期期末数学试题(解析版)
2022-2023学年贵州省遵义市高二上学期期末数学试题一、单选题110y -+=的倾斜角为（ ）A ．π4B ．π6C ．π3D ．2π3【答案】C【分析】根据斜率与倾斜角的关系即可求.【详解】10y -+=为1y =+，所以直线的斜率k =θ，则tan θ0πθ≤<，π3θ∴=. 故选：C.2．抛物线24y x =的准线方程为 A ．1x = B ．2x = C ．=1x - D ．2x =-【答案】C【分析】由抛物线标准方程知p ＝2，可得抛物线准线方程． 【详解】抛物线y 2＝4x 的焦点在x 轴上，且2p=4,2p=1， ∴抛物线的准线方程是x ＝﹣1． 故选C ．【点睛】本题考查抛物线的标准方程、抛物线的简单性质等基础知识，属于基础题． 3．已知向量(1,),(2,1)a x b =-=，若a b ⊥，则x 的值为（ ） A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2【答案】D【分析】根据题意可得0a b ⋅=，进而求出x 的值. 【详解】因为a b ⊥，所以0a b ⋅=， 即1210x -⨯+⋅=，解得2x =， 故选：D.4．已知正实数a 、b 满足1a b +=，则12a b+的最小值为（ ）A ．3+B ．3C ．2+D ．4【答案】A【分析】利用基本不等式“1”的妙用，可得答案.【详解】由0,0a b >>，则()12122123b aa b a b a b a b⎛⎫+=++=+++≥+ ⎪⎝⎭当且仅当2b aa b=，即1,2a b ==- 故选：A.5．若0.53log 10,3,ln10a b c ===，则（ ） A ．a b c >> B ．c a b >>C ．a c b >>D ．b a c >>【答案】B【分析】将3log 10、0.53与2比较可得a b >，将ln10、3log 10用换底公式变换后构造函数，研究其单调性比较即可.【详解】∵33log 10log 92a =>=，0.532b ===，∴a b >， 又∵1ln10lg e =，31log 10lg3=，0lge lg3<<， ∴11lg e lg 3>，即：3ln10log 10>，∴c a >， ∴c a b >>. 故选：B.6．已知两条直线1:10l ax y +-=和2:10(R)l x ay a ++=∈，下列不正确的是（ ） A ．“a ＝1”是“12l l ∥”的充要条件B ．当12l l ∥C ．当2l 斜率存在时，两条直线不可能垂直D ．直线2l 横截距为1 【答案】D【分析】由直线平行关系可以判断A 正确；利用平行线间距离公式可以判断B 正确；利用垂直关系可以判断C 正确；令0y =可以求出直线2l 得横截距. 【详解】当12l l ∥时，11a a ⋅=⨯，则1a =±， 当1a =-时，直线1l 与2l 重合，故舍去，所以A 正确；当1a =时，12l l ∥，1:10l x y +-=和2:10(R)l x y a ++=∈间的距离为2211211d --==+，所以B 正确；若12l l ⊥，则110a a ⋅+⋅=，则0a =， 又当2l 斜率存在时，0a ≠，所以C 正确；2:10(R)l x ay a ++=∈，令0y =得=1x -，所以直线2l 横截距为-1，所以D 错误. 故选：D.7．已知函数()f x 的图象如下图所示，则(|1|)f x +的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】先由函数()f x 的图象变换得到偶函数()f x 的图象，再根据平移变换得到(|1|)f x +的图象. 【详解】在y 轴左侧作函数()f x 关于y 轴对称的图象，得到偶函数()f x 的图象， 向左平移一个单位得到(|1|)f x +的图象. 故选：A.8．投掷一枚均匀的骰子，记事件A ：“朝上的点数大于3”，B ：“朝上的点数为2或4”，则下列说法正确的是（ ） A ．事件A 与事件B 互斥 B ．事件A 与事件B 对立 C ．事件A 与事件B 相互独立 D ．()56P A B +=【答案】C【分析】根据互斥事件以及对立事件的概念结合事件A 与事件B 的基本事件可判断A ，B ；根据独立事件的概率公式可判断C ；求出事件A B +的概率可判断D.【详解】对于A ，B ，事件A ：“朝上的点数大于3”，B ：“朝上的点数为2或4”，这两个事件都包含有事件：“朝上的点数为4”，故事件A 与事件B 不互斥，也不对立，A ，B 错误； 对于C ，投掷一枚均匀的骰子，共有基本事件6个，事件A ：“朝上的点数大于3”包含的基本事件个数有3个，其概率为1()2P A =, B ：“朝上的点数为2或4”，包含的基本事件个数有2个，其概率为1()3P B =, 事件AB 包含的基本事件个数有1个，其概率为1()6P AB =, 由于()()()P AB P A P B =,故事件A 与事件B 相互独立，C 正确；对于D ，事件A B +包含的基本事件个数有朝上的点数为2,4,5,6共4个， 故()4263P A B +==，D 错误， 故选：C二、多选题9．已知函数()221f x x x =+，则（ ） A ．函数f （x ）为偶函数B ．函数f （x ）的定义域为(,0)(0,)-∞+∞C ．函数f （x ）的最小值为2D ．函数f （x ）在（0，＋∞）单调递减 【答案】ABC【分析】对于A ：根据偶函数的定义即可判断；对于B ：分母不为0即可判断；对于C ：根据基本不等式即可判断；对于D ：求导即可判断.【详解】对于A ：()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，关于原点对称，而()()222211()()f x x x f x x x-=-+=+=-，所以()f x 为偶函数.故A 正确； 对于B ：20,0x x ≠∴≠，()f x ∴的定义域为(,0)(0,)-∞+∞.故B 正确；对于C ：()2212f x x x =+≥，当且仅当221x x =，即1x =±时，等号成立，故()f x 的最小值为2.故C 正确；对于D ：433222()2x f x x x x-'=-=，当0x >时，令()0,f x '>即4220x ->，解得1x >，令()0,f x '<即4220x -<，解得01x <<，()f x ∴在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增.故D 错误.故选：ABC.10．已知函数()1sin22f x x x =，则（ ）A ．函数f （x ）的最小正周期为πB ．将函数f （x ）的图象向右平移3π个单位后的图象关于y 轴对称 C ．函数f （x ）的一个对称中心为,06π⎛⎫⎪⎝⎭D ．函数f （x ）在区间,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减【答案】AD【分析】运用辅助角公式化简、图象平移变换，再研究其周期性、奇偶性、对称性及单调性即可.【详解】1π()sin 22sin(2)23f x x x x ==+，对于A 项，2π2ππ|||2|T ω===，故A 项正确； 对于B 项，()f x 的图象向右平移π3个单位后为πππ()sin(2())sin(2)333g x x x =-+=-， 所以ππ()sin(2)sin(2)()33g x x x g x -=--=-+≠，所以图象不关于y 轴对称.故B 项错误；对于C 项，因为πππ2π362k x k x +=⇒=-+，Z k ∈，所以()f x 的对称中心为ππ(,0)62k -+，Z k ∈，当πππ626k -+=时，2Z 3k =∉，所以π(,0)6不是()f x 的对称中心.故C 项错误； 对于D 项，因为ππ(,)62x ∈，则π2π4π2(,)333x +∈，π()sin(2)3f x x =+，令π23t x =+，则sin y t =，2π4π(,)33t ∈，因为sin y t =在2π4π(,)33上单调递减，所以()f x 在ππ(,)62上单调递减.故D 项正确.故选：AD.11．已知直线l ：10x y ++=，点P 为⊙M ：()()22122x y -+-=上一点，则（ ） A ．直线l 与⊙M 相离B ．点P 到直线l 距离的最小值为1C ．与⊙M 关于直线l 对称的圆的方程为()()22322x y +++=D ．平行于l 且与⊙M 相切的两条直线方程为2210x y ++=和2250x y +-= 【答案】AC【分析】利用圆心()1,2M 到直线l 的距离d与半径r =A 正确；点P 到直线l 距离的最小值为d r -，判断B 错误；求出圆心()1,2M 关于直线l 对称点()3,2N --，进而求出圆的方程，判断C 正确；利用圆心()1,2M 到直线的距离d r =，求出其切线方程，判断D 错误. 【详解】⊙M ：()()22122x y -+-=，圆心()1,2M，半径r =圆心()1,2M 到直线l ：10x y ++=的距离为：d r ==>，所以直线l 与⊙M 相离，故A 正确；点P 到直线l距离的最小值为d r -=，故B 错误； 设圆心()1,2M 关于直线l 对称点为()00,N x y ，则00001110222(1)11x y y x ++⎧++=⎪⎪⎨-⎪⨯-=--⎪⎩，解得()3,2N --，则与⊙M 关于直线l 对称的圆的方程为()()22322x y +++=，故C 正确； 设平行于l 且与⊙M 相切的直线方程为0x y c ++=，则d r =='1c =-或5c =-，平行于l 且与⊙M 相切的两条直线方程为10x y +-=和50x y +-=，故D 错误. 故选：AC.12．双曲线C ：22145x y -=的左、右焦点分别为12,F F ，过点2F 的直线与双曲线右支交于A 、B 两点，12AF F △和12BF F △内切圆半经分别为1r 和2r ，则（ ）A ．双曲线C的渐近线方程为20x = B ．1AF B △面积的最小值为15C ．12AF F △和12BF F △的内切圆圆心的连线与x 轴垂直D ．12r r ⋅为定值 【答案】BCD【分析】A20y ±=；B ：1121212AF BSF F y y =-，联立方程，找到面积的表达式，函数解析式找到最小值，在垂直时取到； CD:画图，设圆1O 切1AF 、2AF 、12F F 分别于点M 、N 、G ，推导出点G 、1O 、2O 的横坐标为a ，证得12O O x ⊥轴，12122O GF O F O △∽△，可得出()212rr c a =-，得证；【详解】选项A :双曲线的渐近线方程为25x =化简成一般式为 520x y ±=，错误；选项B ：设1122(,),(,)A x y B x y 则1121212AF BSF F y y =-； 设过点2F 的直线为l 显然与y 轴不垂直，设l ：3x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立223145x my x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩()225430250m y my ⇒-++=， 故()2Δ40010m =+>，12212230542554m y y m y y m -⎧+=⎪⎪-⎨⎪⋅=⎪-⎩， 由于A ，B 均在双曲线右支，故1221221221212224()60054020363()9054m y y x x m x x m m y y m y y m -⎧++=>⎪+>⎧⎪-⇔⎨⎨⋅>--⎩⎪+++=>⎪-⎩， 解得2045m ≤<，1121212AF BS F F y y =-带入得： ()()1212121212342AF BSc y y y y y y =⨯⨯-=+-代入韦达定理得122604510AF Bm Sm +⎫≤⎪⎝<⎭， 22311m t t ⎛+=≤< ⎝⎭，则1296035605195AF Bt S t t t t⎛==≤< -⎝⎭-，易知95t t-随t 的增大而减小，则当1t =时，()1min15AF BS=，综上：1AF BS的面积的最小值为15，正确；选项C :（如图所示） 过2F 的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点，由切线长定理可得AM AN =，11FM FG =，22F G F N =， 所以()()()21212121AF F F AF AN F N FG F G AM F M +-=+++-+ 222222F N F G F G c a =+==-，则2F G c a =-，所以点G 的横坐标为()c c a a --=. 故点1O 的横坐标也为a ，同理可知点2O 的横坐标为a ，故12O O x ⊥轴，正确； 选项D ：由C 可知圆1O 和圆2O 均与x 轴相切于(),0G a ，圆1O 和圆2O 两圆外切. 在122O O F △中，()122122221211902O F O O F G O F G AF F BF F ∠=∠+∠=∠+∠=，122O O F G ⊥， 12212GO F F O O ∴∠=∠，1212290O GF O F O ∠=∠=，所以，12122O GF O F O △∽△，所以，1121212O G O FO F O O =，则212112O F O G O O =⋅， 所以22222121112112F G O F O G O G O O O G O G O G =-=⋅-=⋅，即()2121r r c a =-=，正确； 故答案为：BCD【点睛】方法点睛：双曲线中的面积最值问题的处理方法：设出直线方程y kx b =+，设出交点坐标11(,)x y ，22(,)x y ，直线方程代入双曲线方程后应用韦达定理得1212,x x x x +，可根据交点情况得出参数范围，利用点的坐标求出面积，代入韦达定理的结果后面积可化为所设参数的函数，从而再利用函数知识、不等式知识求得最值．三、填空题13．若复数12z i =+，则|z |＝___．【分析】根据复数的模长的计算公式，可得答案.【详解】由题意，复数12z i =+的实部为1，虚部为2，则z =14．若sin 0,2παα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan 2α＝___．【答案】【分析】方法1：运用特殊角的三角函数值计算即可.方法2：运用同角三角函数的平方关系与商式关系及二倍角公式计算即可.【详解】方法1：∵π(0,)2α∈，sin α=∴π3α=，∴2πtan 2tan3α==方法2：∵π(0,)2α∈，∴1cos 2α==，∴sin tan cos ααα==∴22tan tan 21tan ααα===-故答案为：15．已知三棱锥P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，若P A ＝2，AB ＝1，BC =，则三棱锥P －ABC 外接球的表面积为___． 【答案】8π【分析】由题意结合球心的性质确定三棱锥-P ABC 的外接球的球心的位置，求得球的半径，即可求外接球的表面积【详解】由题意，在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，,AC BC ⊂平面ABC ， 所以PA AC ⊥，PA BC ⊥,又AB BC ⊥，AB PA A =，,AB PA ⊂平面PAB ， 所以BC ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，所以BC PB ⊥， 设PC 的中点为O ，因为PA AC ⊥，所以OP OC OA ==， 因为BC PB ⊥，所以OCOP OB ，所以O 为三棱锥-P ABC 外接球的球心，因为AB BC ⊥，1,AB BC ==2AC =，因为PA AC ⊥，2AC =，2PA =，所以OP =设三棱锥-P ABC 外接球的为R ，所以R =所以三棱锥的外接球的表面积为()224π4π28πS R ==⨯=．故答案为：8π.16．已知函数2ln ,0()43,0x x f x x x x ⎧>=⎨++≤⎩，若方程()f x m =有四个不相等的实数根1x 、2x 、3x 、4x ，且1234x x x x <<<，则()()341211x x x x +-的取值范围是___．【答案】11,43⎛⎤⎥⎝⎦.【分析】画出()y f x =的图象可得m 的范围，341x x =，124x x +=-，210x -<≤，代入所求式子转化为求函数222123y x x =--+在(1,0]-上的值域即可.【详解】()y f x =的图象如图所示，∵方程()f x m =有四个不相等的实根， ∴03m <≤，又∵34ln ln x x m -==，1222+=-x x ， ∴341x x =，124x x +=-，210x -<≤，∴34212222211(1)(1)(41)(1)23x x x x x x x x ==+---+---+，又∵22223y x x =--+在(1,0]-上单调递减，∴2223234x x ≤--+<，∴2221114233x x <≤--+，∴3412(1)(1)x x x x +-的取值范围为11,43⎛⎤⎥⎝⎦.故答案为：11,43⎛⎤ ⎥⎝⎦.四、解答题17．2022年卡塔尔世界杯正赛在北京时间11月21日－12月18日进行，赛场内外，丰富的中国元素成为世界杯重要的组成部分，某企业为了解广大球迷世界杯知识的知晓情况．在球迷中开展了网上测试，从大批参与者中随机抽取100名球迷，他们测试得分（满分100分）数据的频率分布直方图如图所示：(1)根据频率分布直方图，求a 的值；(2)若从得分在[75，90]内的球迷中用分层抽样的方法抽取6人作世界杯知识分享，并在这6人中选取2人担任分享交流活动的主持人，求选取的2人中至少有1名球迷得分在[80,85)内的概率． 【答案】(1)0.04.(2)35.【分析】（1）根据所有频率之和为1列式解方程即可.（2）根据分层抽样的抽样比相同抽取人数，用列举法解决古典概型. 【详解】（1）50.010.070.060.02)1a ⨯=(++++，解得：0.04a =. （2）由分层抽样可知，从得分在[75,80)内的球迷中抽取0.06630.060.040.02⨯=++人，分别记为1a 、2a 、3a ，从得分在[80,85)内的球迷中抽取0.04620.060.040.02⨯=++人，分别记为1b 、2b ，从得分在[85,90)内的球迷中抽取0.02610.060.040.02⨯=++人，记为c .所以从这6人中选取2人的基本事件有12(,)a a 、13(,)a a 、11()a b ,、12()a b ,、1(,)a c 、23(,)a a 、21()a b ,、22()a b ,、2(,)a c 、31()a b ,、32()a b ,、3(,)a c 、12()b b ,、1(,)b c 、2(,)b c ，共有15个，两人中至少有1名球迷得分在[80,85)内的基本事件有11()a b ,、12()a b ,、21()a b ,、22()a b ,、31()a b ,、32()a b ,、12()b b ,、1(,)b c 、2(,)b c ，共有9个.所以两人中至少有1名球迷得分在[80,85)内的概率为93155P ==. 18．已知M 的圆心在直线y x =上，且过点(0,3),(1,0)P Q -． (1)求M 的方程；(2)若N ：()()22113+++=x y ，求M 与N 公共弦的长度． 【答案】(1)22(1)(1)5x y -+-=【分析】（1）求出PQ 的垂直平分线的方程，联立方程求得圆心坐标，继而求得半径，即可得答案； （2）求出两圆的公共线的方程，求得(1,1)M 到该直线的距离，根据圆的弦长的求法可得答案. 【详解】（1）由题意知M 的圆心在直线y x =上，且过点(0,3),(1,0)P Q -， 则PQ 的垂直平分线方程为311()232y x -=-+，即340x y +-=， 联立340y x x y =⎧⎨+-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，即圆心为(1,1），故M 的方程为22(1)(1)5x y -+-=（2）因为||MN故M 和N 相交，将()()22113+++=x y 和22(1)(1)5x y -+-=相减可得22+10x y +=， 点(1,1)M 到直线22+10x y +==，故M 与N 公共弦的长度为19．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，M 为11C D 中点，且124AA AB ==．(1)证明：1//AD 平面11BCC B ；(2)求DM 与平面I AMD 所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析. (2)48585.【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明结论；（2）作1DP AD ⊥,证明DP ⊥平面1AMD ,找到DM 与平面I AMD 所成角，求出相关线段的长，解直角三角形即可求得答案.【详解】（1）证明：如图，连接1BC ,因为1111,AB D C AB D C =∥ ,所以四边形11ABC D 为平行四边形， 故11AD BC ∥ ,又1AD ⊄平面11BCC B ，1BC ⊂平面11BCC B , 故1//AD 平面11BCC B . （2）作1DP AD ⊥,垂足为P ，因为11C D ⊥平面11ADD A , M 为11C D 中点，1MD ⊥平面11ADD A ,PD ⊂平面11ADD A ,故1MD DP ⊥,11111,AD MD D AD MD =⊂，平面1AMD ,故DP ⊥平面1AMD ,连接MP ,则DMP ∠为 DM 与平面I AMD 所成角， 在1Rt ADD中，11DD AD PD AD ⋅===而DM 故在Rt DPM △中,sin PD DMP MD ∠===,即DM 与平面I AMD20．在①()(sin sin )()sin b c B C b a A -+=-；②(2)cos cos 0b a C c B -+=这两个条件中选择一个，补充在下面问题中并解答．问题：在△ABC 中，A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，___________． (1)求C ；(2)若a ＝1，b ＝2，D 在线段AB 上，且满足25AD AB =，求线段CD 的长． 注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个解答计分． 【答案】(1)π3【分析】（1）选择条件①，先用正弦定理将角转化为边的关系，再利用余弦定理即可；选择条件②，先用正弦定理将边转化为角的关系，再由两角和的正弦公式结合诱导公式即可求解； （2）先利用余弦定理求出AB =π2ABC ∠=，再由题意求出BD ，再根据勾股定理即可求得CD ．【详解】（1）选择条件①()(sin sin )()sin b c B C b a A -+=-， 依题意由正弦定理得()(+)()b c b c b a a -=-，即222a b c ab +-=， 又由余弦定理得2221cos 22a b c C ab +-==，且()0,πC ∈，得π3C =，选择条件②(2)cos cos 0b a C c B -+=，依题意由正弦定理得(sin 2sin )cos sin cos 0B A C C B -+=, 即()2sin cos sin cos sin cos sin sin A C B C C B B C A =+=+=， 又(),0,πA C ∈，则sin 0A >，所以1cos 2C =，得π3C =，（2）结合（1）由余弦定理得22222cos 3AB c a b ab C ==+-=，即3AB =， 则222b a c =+，所以π2ABC ∠=， 又25AD AB =，即22355AD AB ==，则335BD =， 则在Rt △CBD 中，2222233521525CD BC BD ⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭，得2135CD =． 21．如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，P A ⊥平面ABCD ，点H 为线段PB 上一点（不含端点），平面AHC ⊥平面P AB ．(1)证明：PB AC ⊥；(2)若1AB AC ==，四棱椎P －ABCD 的体积为13，求二面角P －BC －A 的余弦值．【答案】(1)见解析 6【分析】（1）利用面面垂直性质定理与线面垂直性质定理，结合公理2，可得线面垂直，可得答案； （2）根据二面角的平面角定义作图，利用等面积法以及棱锥体积公式，求得边长，结合直角三角形的性质，可得答案.【详解】（1）PA ⊥平面ABCD ，且C ∈平面ABCD ，∴过点C 所有垂直于PA 的直线都在平面ABCD 内，平面AHC ⊥平面ABP ，且C ∈平面AHC ，∴存在一条过C 的直线l ⊥平面ABP ，且l ⊂平面AHC ，PA ⊂平面ABP ，l PA ∴⊥，则l ⊂平面ABCD ，平面ABCD ⋂平面AHC AC =，l ∴与AC 为同一条直线，即AC ⊥平面ABP ，PB ⊂平面ABP ，AC PB ∴⊥.（2）在平面ABCD 内，过A 作AE BC ⊥，且AE BC E ⋂=，连接PE ，作图如下：PA ⊥平面ABCD ，且BC ⊂平面ABCD ，PA BC ∴⊥，同理可得PA AE ⊥，AE BC ⊥，AE PA A =，,AE PA ⊂平面PAE ，BC ∴⊥平面PAE ，PE ⊂平面PAE ，PEA ∴∠为二面角P BC A --的平面角，在Rt ABC △中，1122ABCS AB AC AE BC =⋅⋅=⋅⋅，且222BC AB AC +2AE =， 在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 的面积1S AB AC =⋅=，则其体积1133V PA S =⋅⋅=，解得1PA =，在Rt PAE 中，226cos PA PEA PE PA AE∠===+ 故二面角P BC A --6. 22．已知椭圆C 2222:1(0)x y a b a b +=>>的左顶点为()22,0A -2．(1)求C 的方程；(2)过椭圆C 的右焦点F 作两条相互垂直的直线1l 、2l ，M 为1l 与C 两交点的中点，N 为2l 与C 两交点的中点，求△FMN 面积的最大值． 【答案】(1)22184x y +=(2)49【分析】（1）由已知顶点坐标求出a ，由离心率求出c ，进一步运算得出椭圆的方程；（2）设出直线1l 、2l 的方程，与椭圆C 方程联立，得出M ，N 的纵坐标，表示△FMN 的面积，求其最大值.【详解】（1）由左顶点为()22,0A -，得22a =2，即2c a =2c =，222b a c -=，所以椭圆C 的方程为22184x y +=；（2）由已知1l 、2l 斜率都存在且不为0，设1l 与C 交于()11,P x y ，()22,Q x y ，右焦点()2,0F ，设直线1l ：2x my =+，联立222184x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222440m y my ++-=，所以1l 与椭圆C 两交点的中点M 的纵坐标122222M y y my m +==-+，同理2l 与椭圆C 两交点的中点N 的纵坐标22222112Nm m y m m -=-=+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， 所以△FMN的面积()()()2221122221M N m S MF m m y m NF +=+==+ ()()()22222222211121m m m m mm m m +=+=++++， 不妨设0m >，令 21m t m +=，2t ≥， 则212S t t=+，因为12y t t =+，212y t'=-， 因为2t ≥，所以函数12y t t =+在区间[)2,+∞上单调递增，当2t =时，12y t t =+有最小值92，△FMN面积有最大值，最大值为49．。
福建省泉州市高二上学期期末教学质量监测数学试题(解析版)
一、单选题1．已知直线，则直线的倾斜角为（ ） :l y =l A ． B ．C ．D ．30 60 120 150 【答案】B【分析】设直线l 的倾斜角为，，可得，即可得出． θ0θ180<< tan θ=【详解】设直线l 的倾斜角为，． θ0θ180<<则tan θ=．60θ∴= 故选：B2．已知点P 为椭圆上的一点，，为该椭圆的两个焦点，若，则22142x y +=1F 2F 21=3PF PF 1PF =（ ）A ．BC ．1D ．312【答案】C【分析】利用椭圆的定义进行求解.【详解】因为点P 为椭圆上的一点，所以，因为，所以22142x y +=12+=4PF PF 21=3PF PF .1=1PF 故选：C.3．已知数列为等比数列，若，则数列的公比为（ ） {}n a 26182a a a a ={}n a A ．B ．C ．2D ．41412【答案】B【分析】根据给定条件，利用等比数列通项列式计算作答.【详解】设等比数列的公比为，由，得，而，解得{}n a q 26182a a a a =7111512a q a a q q a =⋅⋅10a q ≠， 12q =所以数列的公比为. {}n a 12故选：B4．三棱锥中，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，若，则=O ABC -OA a,OB b,OC c === OE（ ）A ．B ．1122a b c --+ 1122-++a b c C ． D ．111244a b c --+ 111244a b c ++ 【答案】D【分析】利用给定的空间向量的基底，结合空间向量的线性运算表示作答.OE【详解】三棱锥中，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，且，如图，O ABC -OA a,OB b,OC c ===.11111111()22222244OE OA OD OA OB OC a b c =+=+⋅+=++故选：D5．已知O （0，0，0），B （2，0，0），C （0，2，2），则点O 到直线BC的距离为（ ） A BCD【答案】A【分析】先求得，得到向量在方向上的投影为(2,0,0),(2,2,2)OB BC ==- OB BC ||OB BC BC ⋅=，进而求得点O 到直线的距离．BC 【详解】由O （0，0，0），B （2，0，0），C （0，2，2），，可得， (2,0,0),(2,2,2)OB BC ==-则向量在方向上的投影为OB BC||OB BC BC⋅==所以点O 到直线 BC =故选：A.6．已知双曲线C 的右顶点为A ，左、右焦点分别为，，以为直径22221(0,0)x y a b a b -=>>：1F 2F 12F F 的圆与C 的渐近线在第一象限的交点为M ，且，则该双曲线的离心率为（ ）1||2MFMA =A BC ．2 D1【答案】C【分析】设出双曲线半焦距，由双曲线渐近线斜率求出，再由余弦定理求出，判断cos MOA ∠||MA 形状即可求解作答.MOA A 【详解】设双曲线的半焦距为c ，直线的方程为，有，如图 C OM by x a =tan b MOA a∠=即有，而，解得， sin cos bMOA MOA a ∠=∠22sin cos 1MOA MOA ∠+∠=cos a MOA c∠==在中，由余弦定理得：MOA A ||MA b ===，因此，即有，而，则，222||||||MA OA OM +=90OAM ∠= 1||2MF MA =130MF A ∠=又，于是，1||||OM OF c ==1260MOA MF A ∠=∠=所以双曲线的离心率. ||112||cos cos 60c OM e a OA MOA =====∠故选：C7．数列满足，∀，则实数的取值范围是（ ）{}n a 114,32n n a a a +==-()*N 128n n n a a λ∈-<-，λA ． B ． (,9)-∞-(,8)-∞-C ． D ．(12,9)--(12,7)--【答案】B【分析】根据给定的递推公式，利用构造法求出数列的通项，再分离参数，借助数列单调性求{}n a 解作答.【详解】因为数列满足，则，而， {}n a 132n n a a +=-113(1)n n a a +-=-113a -=因此数列是以3为首项，3为公比的等比数列，则，即，{1}n a -11333n n n a --=⨯=31n n a =+又∀，因此对恒成立，即， ()*N 128n n n a a λ∈-<-，3327n n λ<-N n *∈2713nλ<-而数列是递增数列，则当时，，有， 27{1}3n -1n =min 27(183n-=-8λ<-所以实数的取值范围是.λ(,8)-∞-故选：B8．已知平面内两个定点，及动点，若（且），则点的轨迹是圆.后世把这A B P PBPAλ=0λ>1λ≠P种圆称为阿波罗尼斯圆.已知，，直线，直线()0,0O Q ⎛ ⎝1:230l kx y k -++=，若为，的交点，则的最小值为（ ） 2:320l x ky k +++=P 1l 2l 32PO PQ +A ．B ．C ．D ．6-9-3【答案】A【分析】由直线方程可得，则点的轨迹是以为直径的圆，除去点，得到的轨迹方程12l l ⊥P CD D P为，即，取()()22293x y y ++=≠-()22453x y x y ++=≠-)3y ≠-，则，结合，可得，进而求解.5,02A ⎛⎫⎪⎝⎭32PQ PA =()3222PO PQ PA PQ AQ +=+≥【详解】由已知过定点，1:230l kx y k -++=()2,3C -过定点，2:320l x ky k +++=()2,3D --因为，，所以，即，1l k k =21l k k=-121l l k k ⋅=-12l l ⊥所以点的轨迹是以为直径的圆，除去点，故圆心为，半径为3，P CD D ()2,0-则的轨迹方程为，即，易知O 、Q 在该圆内，P ()()22293x y y ++=≠-()22453x y x y ++=≠-又32PO ===即， )332PO y ==≠-取，则，又 5,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭32PO PA ==所以()3322222PO PQ PO PQ PA PQ AQ ⎛⎫+=+=+≥= ⎪⎝⎭所以的最小值为32PO PQ +故选：A.二、多选题9．记是数列的前n 项和，且，则下列说法正确的有（ ） n S {}n a 112n a n =-A ．数列是等差数列 B ．数列是递减数列 {}n a {}n S C ． D ．当 时，取得最大值46S S =5n =n S 【答案】ACD【分析】由等差数列的定义可判断A ；求出可判断B 、C ；根据的表达式结合二次函数的46,S S n S 性质可判断D.【详解】∵，∴数列是等差数列，故A 正确；1112(1)(112)2n n a a n n +-=-+--=-{}n a ， 21()(9112)1022n n n a a n n S n n ++-===-+∵，从而，可知数列不是递减数列，故B 错误，C 正确；4624,24S S ==46S S ={}n S ∵，，∴当 时，取得最大值，故D 正确.2210(5)25n S n n n =-+=--+*N n ∈5n =n S 故选：ACD.10．已知点P 为圆上的动点，直线l 过点，过l 上一点Q 作圆O 的229O x y +=：(6,0),(0,6)A B --切线QC ，QD ，切点分别为C ，D ，则下列说法正确的有( )A ．当∠PAB 最大时，PA =B ．点P 到l 的距离的最大值为 3C ．四边形CQDO 的面积的最小值为9D ．四边形CQDO 的面积最小时，直线OQ 的方程为 220x y -+=【答案】BC【分析】选项A ，当PA 与圆相切时，∠PAB 最大；选项B ，点P 到l 最大距离为圆心到直线l O O 的距离加上半径；选项C ，D ，当时，四边形CQDO 的面积最小.OQ AB ⊥【详解】对于A ，如图1，当PA 与圆相切时，∠PAB 最大，设圆半径为，229O x y +=：O r,，A 错误；OP PA ⊥6OA =3OP r ==对于B ，由已知直线l 的方程为，当点P 到l 的距离最大时，最大距离为圆心到直线60x y ++=Ol 的距离加上半径，即为，故B 正确； 33d r +==对于C ，如图2，QC ，QD 是圆O 的切线，则，， OC CQ ⊥OD DQ ⊥四边形CQDO 的面积， 1232S OC CQ OC CQ CQ =⨯==四边形CQDO 的面积最小时，即为取最小，又，即， CQ 222OC CQ OQ +=229CQ OQ =-所以当最小时，取最小，即当时， OQ CQ OQ AB ⊥OQ d ==则，四边形CQDO 的面积的最小值为9，故C 正确；3CQ =对于D ，四边形CQDO 的面积最小时，，直线OQ 的斜率为，方程为，故OQ AB ⊥1k =0x y -=D 错误；故答案为：BC.11．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过下顶点A 和右焦点的直线与E 交于2212x E y +=：1F 2F 2F 另一点B ，与y 轴交于点P ，则（ ） 1BFA ．B ． 12AF AF ⊥2BF =C ．△D ．1ABF 1430F P PB -= 【答案】ABD【分析】根据给定条件，求出焦点及下顶点坐标，画出图形，再逐项分析计算、判断作答.【详解】依题意，椭圆的焦点，下顶点，如图，22:12+=x E y 12(1,0),(1,0)F F -(0,1)A -对于A ，，因此，A 正确；12||||||OF OF OA ==12AF AF ⊥对于B ，直线，由消去y 得：，则点， 2:1AF y x =-22122y x x y =-⎧⎨+=⎩2340x x -=41(,)33B于是，B 正确；2||BF ==对于C ，的周长为，， 1ABF A r ()1121141233ABF S F F =⋅--=A因此，解得C 错误；1423⨯=r =对于D ，，设点，则，而，即有，41(,)33B 0(0,)P y 10041(1,),(,)33F P y PB y ==- 1//F P PB 143F P PB = 因此，D 正确. 1430F P PB -=故选：ABD12．正方体的棱长为2，H 为线段AB 中点，P 在正方体的内部及其表面运动，若1111ABCD A B C D -，则（ ）1HP DB ⊥A ．三棱锥的体积为定值 11P A BC -B ．若P DP =C ．正方体的每个面与P 的轨迹所在平面所成角都相等D ．正方体的每条棱与P 的轨迹所在平面所成角不都相等 【答案】ABC【分析】根据给定条件，作出点P 的轨迹所在平面截正方体所得截面，再逐项分析、计算判断作答.【详解】点O 为正方体的中心，连接，过AB 的中点H 作交BC 1111ABCD A B C D -,BD AC //HI AC 于I ，则I 为的中点，如图，BC平面，平面，有，而，1BB ⊥ABCD AC ⊂ABCD 1BB AC ⊥1,BD AC BD BB B ⊥= 平面，则平面，又平面，即有，1,BD BB ⊂1BB D AC ⊥1BB D 1DB ⊂1BB D 1AC DB ⊥连接，同理，而平面，则1111,,A B BC A C 1111,A B DB BC DB ⊥⊥1111,,A B BC B A B BC =⊂ 11A BC 1DB ⊥平面，11A BC 令点P 的轨迹所在平面与正方体的棱所在直线交于点， 1111ABCD A B C D -,,,,,H I J K L M 平面平面，平面平面，而平面平面HIJKLM ABCD HI =HIJKLM 1111A B C D KL =//ABCD ，1111D C B A 于是，同理，依题意，平面，因此平面平面//KL HI //,//IJ LM HM JK 1DB ⊥HIJKLM 11//A BC ，HIJKLM 平面平面，平面平面，于是， 11A BC ⋂111BCC B BC =HIJKLM 11BCC B IJ =1//IJ BC 又为棱中点，则为棱中点，同理点分别为棱中点， I BC J 1CC ,,K L M 11111,,C D A D AA 因此点P 的轨迹为正六边形及内部，HIJKLM 对于A ，因为平面平面，则点P 到平面的距离为定值，又的面积为11//A BC HIJKLM 11A BC 11A BC V 定值，于是三棱锥的体积为定值，A 正确； 11P A BC -对于B ，P 在以点D 为半径的球面上，而点D 到正六边形DP =HIJKLM 则点P 的轨迹是该球截正六边形所得截面小圆，而点D 到平面距离HIJKLM HIJKLM112DO DB ==因此这个截面小圆半径，B 正确； r ===对于C ，由于平面平面，则正方体的每个面与平面所成角等于正方体该11//A BC HIJKLM HIJKLM 面与平面所成角，11A BC 又三棱锥是正三棱锥，即正方体的侧面，侧面，上底面与平面111B A BC -11ABB A 11BCC B 1111D C B A 所成角都相等，11A BC 又正方体的相对面平行，所以正方体的每个面与P 的轨迹所在平面所成角都相等，C 正确； 对于D ，正三棱锥的侧棱与平面所成角都相等， 111B A BC -11111,,A B B C BB 11A BC 即正三棱锥的侧棱与P 的轨迹所在平面所成角都相等，111B A BC -11111,,A B B C BB而，，， 1111/////AB CD C D A B 1111//////BC AD A D B C 1111//////AA DD CC BB 所以正方体的每条棱与P 的轨迹所在平面所成角都相等，D 错误. 故选：ABC【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.三、填空题13．已知空间向量，若，则x =___________. (1,2,),(3,2,1)a x b x =-= a b ⊥【答案】1【分析】根据给定条件，利用空间向量垂直的坐标表示求解作答.【详解】空间向量，由，得，解得， (1,2,),(3,2,1)a x b x =-= a b ⊥ 340a b x x ⋅=-+=1x =所以. 1x =故答案为：114．若圆M 的圆心在直线上，且与两坐标轴都相切，则圆M 的标准方程可以为___________.y x =（写出满足条件的一个答案即可）【答案】（答案不唯一）22(1)(1)1x y -+-=【分析】由题意可设圆心为，与两坐标轴都相切可得出半径为， (,)a a ||a 列出圆的标准方程，取一个特殊值即可得出结果.【详解】因为圆的圆心在直线上，所以可设圆心坐标为， M y x =(,)a a 又因为与两坐标轴都相切，所以圆的半径为，即圆的标准方程为||a ，取，得， 222()()x a y a a -+-=1a =22(1)(1)1x y -+-=故答案为：（答案不唯一）22(1)(1)1x y -+-=15．已知P 是圆上任一点，，线段PA 的垂直平分线l 和半径CP 交于点()22:116C x y -+=(1,0)A -Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹方程为___________.【答案】22143x y +=【分析】根据给定条件，结合图形的几何性质探求点Q 满足的关系等式，再借助椭圆的定义求出方程作答.【详解】圆的圆心，半径，点Q 在线段PA 的中垂线l 上，如图，22:(1)16C x y -+=(1,0)C 4r=有，则，||||QP QA =||||||||4||QA QC QP QC r AC +=+==>因此点Q 的轨迹是以A ，C 为焦点，实轴长的椭圆，则虚半轴长，24a=b ==所以点Q 的轨迹方程为.22143x y +=故答案为：22143x y +=16．对于数列，记：…，（其中），并称{}n a ()()()()()()()1212311112n n n nn n n n n a a +++∆∆∆=∆=∆=∆∆，，()()()111k k n n k n-+-∆∆=∆*n ∈N 数列为数列的k 阶商分数列.特殊地，当为非零常数数列时，称数列是k 阶等(){}k n ∆{}n a (){}kn ∆{}n a 比数列.已知数列是2阶等比数列，且，若，则{}n a 20123220482a a a ===，，n m n a a -=m =___________. 【答案】23【分析】根据给定的定义，计算，进而求出数列的公比及通项，再借助累乘法求出数(1)(1)12,∆∆(1){}n ∆列的通项即可推理计算作答.{}n a 【详解】由数列是2阶等比数列，得，即， {}n a (2)(0)nq q ∆=≠(1)(2)1(1)n nnq +∆∆==∆且，即数列是首项为，公比为的等比数列， (1)(1)10(1)932212(1)12112,2,2a a q a a ∆∆==∆====∆(1){}n ∆10212则有，即，当时， (1)10111112()()22n n n --∆=⨯=1111(2n n n a a -+=2n ≥，22320109121(10)(9)(12)3221121111112(((()()22222nn n n n n n a a a a a a a a -+----+-+-++--=⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯== 而满足上式，因此，12a =22320212n n n a -+⎛⎫= ⎪⎝⎭由得：，即，n m n a a -=222320()23()202211()()22n n m n m n -+---+=222320()23()20n n m n m n -+=---+整理得，又为小于的任意正整数，所以. (2)23(2)m n m n m -=-n m 23m =故答案为：23【点睛】关键点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决.四、解答题17．已知抛物线经过点（），焦点为F ，且. 2:2(0)C y px p =>()2,A t 0t >52AF =(1)求抛物线C 的方程；(2)若过点A 且斜率为2的直线交C 于另一点B ，求|AB |. 【答案】(1) 22y x =【分析】（1）由抛物线定义得，解得，得到抛物线方程．5222p ⎛⎫--= ⎪⎝⎭1p =（2）求得，得到直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，弦长公式求解. ()2,2A AB 【详解】（1）因为抛物线的焦点为，准线为， 2:2(0)C y px p =>F 2p x =-点是抛物线上一点，且， ()2,A t C 52AF =所以由抛物线定义得，解得，5222p ⎛⎫--= ⎪⎝⎭1p =因此抛物线的方程为．C 22y x =（2）点在抛物线上，则，又，可得，． ()2,A t 222t =⨯0t >2t =()2,2A 直线的方程：，即，AB 22(2)y x -=-22y x =-联立方程，整理得：，2222y x y x=-⎧⎨=⎩22520x x -+=设，则，1122(,),(,)A x y B x y 12125,12x x x x +==AB ∴==18．设等差数列的前n 项和为，已知 {}n a n S 452439.a S a ==+，(1)求数列{}的通项公式；n a (2)若，求数列{}的前n 项和.2n an n b a =+n b n T 【答案】(1)；n a n =(2).21112222n n T n n +=+-+【分析】（1）设出等差数列的公差，利用给定条件列出方程组，解方程组作答. {}n a （2）由（1）的结论，利用分组求和法及等差等比数列前n 项和公式求解作答.【详解】（1）设等差数列的公差为，依题意，，解得，{}n a d 111345103()9a d a d a d +=⎧⎨+=++⎩111a d =⎧⎨=⎩所以数列{}的通项公式是.n a 1(1)n a a n d n =+-=（2）由（1）知，，2nn b n =+所以. 2321(1)2(12)11(123)(2222)2221222n n n n n n T n n n ++-=+++++++++=+=+-+- 19．四棱锥中，底面ABCD 为菱形，，.P ABCD -60BAD ∠= BDP CDP ∠∠=(1)求证：：DP BC ⊥(2)若，平面PBC ⊥平面ABCD ，且，求平面与平面PBC 的夹角大小. 2AB =PB PC ⊥PAD 【答案】(1)证明见解析； (2). π3【分析】（1）根据给定条件，利用三角形全等证明，再取中点，借助线面垂直的判定PB PC =BC 性质推理作答.（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量计算二面角大小作答.【详解】（1）四边形为菱形，，则为正三角形，即， ABCD 60BAD ∠= BDC A BD CD =在与中，，而为公共边，则≌， PDB △PDC △BDP CDP ∠=∠PD PDB △PDC △有，取的中点O ，如图，连接，则有，PB PC =BC ,PO DO ,PO BC DO BC ⊥⊥而平面，则平面，又平面， ,,PO DO O PO DO =⊂POD BC ⊥POD DP ⊂POD 所以.DP BC ⊥（2）由（1）知，，因为平面平面，平面平面,OD BC OP BC ⊥⊥PBC ⊥ABCD PBC ⋂，ABCD BC =平面，于是平面，又平面，则，OP ⊂PBC OP ⊥ABCD OD ⊂ABCD OP OD ⊥以O 为原点，射线分别为轴的非负半轴建立空间直角坐标系， ,,OD OB OP ,,x y z 因为，，则由（1）得，，PB PC ⊥2BC AB ==1OP=(0,0,1),2,0)D P A ，令平面的一个法向量，(0,2,0),1)DA PD ==- PAD (,,)n x y z =则，令，得，200n DA y n PD z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩1x=n = 显然平面的一个法向量为，设平面与平面PBC 的夹角为PBC OD =PAD θ因此，则，||1cos |cos ,|2||||n OD n OD n OD θ⋅=〈〉===π3θ=所以平面与平面PBC 的夹角大小为. PAD π320．设为数列的前项和，，，，令. n S {}n a n 123n n n a a S +=-11a =0n a ≠21n n b a -=(1)求，，及数列的通项公式；2b 3b {}n b (2)令，求数列的前项和.2n bn n c b =⋅{}n C n n T 【答案】(1)，， 23b =35b =21n b n =-(2)()21106529n n n T ++-⋅=【分析】（1）利用和的关系，可得，进而求解；n a n S ()1122n n a a n +--=≥（2）利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）由， 123n n n a a S +=-所以时，，2n ≥1123n n n a a S --=-两式相减，可得， ()11123232n n n n n n n a a a a S S a +----=--=由，所以， 0n a ≠112n n a a +--=当时，，即，1n =21123a a a =-21a =-所以当为奇数时，数列是以1为首项，2为公差的等差数列， n {}n a 当为偶数时，数列是以为首项，2为公差的等差数列. n {}n a 1-所以，， 23123b a a ==+=351225b a a ==+⨯=.()2111221n n b a a n n -==+-⨯=-（2）由，()212122n b n n n n c b --⋅==⋅所以，()13521123123252212n n n T c c c c n -=++++=⨯+⨯+⨯+-⋅ 则，()2357212123252212n n T n +⋅=⨯+⨯+⨯+-⋅两式相减可得，，()()352121322222212n n n T n -+-=+⋅+++--⋅ 即， ()()21321221232221212n n n T n -+⎡⎤⋅-⎣⎦-=+⋅--⋅-即， 2110532233n n T n +⎛⎫-=-+-⋅ ⎪⎝⎭即.()21106529n n n T ++-⋅=21．如图，圆台的轴截面为等腰梯形，，B 为底面圆周上异于12O O 11A ACC 111224AC AA A C ===A ，C 的点.(1)在平面内，过作一条直线与平面平行，并说明理由；1BCC 1C 1A AB(2)设平面∩平面，与平面QAC 所成角为，当四棱锥的体积1A AB 1C CB l Q l =∈，1BC α11B A ACC -最大时，求的取值范围. sin α【答案】(1)作图及理由见解析；(2).【分析】（1）取中点P ，作直线，再利用线面平行的判定推理作答.BC 1C P （2）延长交于点O ，作直线，再确定四棱锥体积最大时，点B 的位置，然后建立空间11,AA CC BO 直角坐标系，利用空间向量建立线面角正弦的函数关系，求出其范围作答. 【详解】（1）取中点P ，作直线，则直线即为所求， BC 1C P 1C P 取中点H ，连接，则有，如图， AB 1,A H PH 1//,2PH AC PH AC =在等腰梯形中，，有，则四边形为平行四边形， 11A ACC 1112AC AC =1111//,HP A C HP A C =11A C PH 即有，又平面，平面， 11//C P A H 1A H ⊂1A AB 1C P ⊄1A AB 所以平面.1//C P 1A AB （2）延长交于点O ，作直线，则直线即为直线，如图，11,AA CC BO BO l过点B 作于，因为平面平面，平面平面，BO AC '⊥O '11A ACC ⊥ABC 11A ACC ⋂ABC AC =BO '⊂平面，ABC 因此平面，即为四棱锥的高，在中，，BO '⊥11A ACC BO '11B A ACC -Rt ABC △90ABC ∠= ，当且仅当时取等号，此时点与重合，22122BA BC BA BC BO AC AC AC ⋅+'=≤=BA BC =O '2O 梯形的面积为定值，四棱锥的体积，11A ACC S 11B A ACC -1113B A ACC V S BO -'=⋅于是当最大，即点与重合时四棱锥的体积最大，， BO 'O '2O 11B A ACC -22,2BO AC BO ⊥=以为原点，射线分别为轴的非负半轴建立空间直角坐标系， 2O 2221,,O A O B O O ,,x y z 在等腰梯形中，，此梯形的高11A ACC 111224AC AA A C ===h ==显然为的中位线，则，11A C OACA 1(0,0,(2,0,0),(0,2,0),(O ABC -， 12(1,(2,2,0),(0,2,(2,0,0)BC AB BO O A =--=-=-=设，则,R BQ BO λλ=∈ (2,22,)AQ AB BQ AB BO λλ=+=+=--设平面的一个法向量，则，令，得QAC (,,)n x y z = 2202(22)0n O A x n AQ xy z λ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+-+=⎪⎩y =，,1)n λ=-则有111||sin |cos ,|||||n BC n BC n BC α⋅=〈〉===，令，则时，，1t λ=+sin α=0=t sin 0α=当时，，即时取0t≠0sin α<==≤75t =2=5λ等号，综上得， 0sin α≤≤所以的取值范围是. sin α【点睛】思路点睛：求空间角的最值问题，根据给定条件，选定变量，将该角的某个三角函数建立起选定变量的函数，求出函数最值即可.22．圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形. 在一次以“圆锥曲线的阿基米德三角形”为主题的数学探究活动中，甲同学以如图示的抛物线C ：的阿22(0)y px p =>基米德三角形为例，经探究发现：若AB 为过焦点的弦，则：①点P 在定直线上；②PAB ；③.已知△PAB 为等轴双曲线的阿基米德三角形，AB 过PF AB ⊥PA PB ⊥220x y λλΓ-=>：（）Γ的右焦点F .(1)试探究甲同学得出的结论，类比到此双曲线情境中，是否仍然成立？（选择一个结论进行探究即可）(2)若，弦AB 的中点为Q ，，求点P 的坐标.2λ=3AB FP FQ =（注：双曲线的以为切点的切线方程为 22221x y a b -=00(,)x y 0022 1.x x y y a b -=）【答案】(1)条件选择，答案见解析； (2)，. (1,(1,【分析】（1）选①②③，设出点A ，B ，P 的坐标，借助切线方程求出直线AB 的方程，代入焦点坐标，求出点P 的横坐标，再利用斜率计算判断作答.（2）设出直线AB 的方程，与双曲线方程联立，借助弦长公式及已知等式求解作答.【详解】（1）选①，设点，双曲线的焦点， 112200(,),(,),(,)A x y B x y P x yΓF 依题意，过点A 的切线方程为，过点B 的切线方程为， 11x x y y λ-=22x x y y λ-=而两切线交于点，于是，且，00(,)P x y 1010x x y y λ-=2020x x y y λ-=因此是方程的两组实数解，即点在直线1122(,),(,)x y x y 00x x y y λ-=1122(,),(,)A x y B x y 00x x y y λ-=上，则直线AB 的方程为，又直线AB 过点，解得， 00x x y y λ-=F 0λ=0x =所以点P 在定直线P 在定直线上成立. x =选②，设点，双曲线的焦点，112200(,),(,),(,)A x y B x y P x y ΓF 依题意，过点A 的切线方程为，过点B 的切线方程为， 11x x y y λ-=22x x y y λ-=而两切线交于点，于是，且，00(,)P x y 1010x x y y λ-=2020x x y y λ-=因此是方程的两组实数解，即点在直线1122(,),(,)x y x y 00x x y y λ-=1122(,),(,)A x y B x y 00x x y yλ-=上，则直线AB 的方程为，又直线AB 过点，解得， 00x x y y λ-=F 0λ=0x =当时，点，直线AB 垂直于x 轴，显然有，00y =P PF AB ⊥当时，直线AB 的斜率PF 的斜率00y ≠00AB x k y ==PF k ==则有，即， 1AB PF k k ⋅=-PF AB ⊥所以成立.PFAB ⊥选③，设点，双曲线的焦点，112200(,),(,),(,)A x y B x y P x y ΓF 依题意，过点A 的切线方程为，过点B 的切线方程为， 11x x y y λ-=22x x y y λ-=而两切线交于点，于是，且，00(,)P x y 1010x x y y λ-=2020x x y y λ-=因此是方程的两组实数解，即点在直线1122(,),(,)x y x y 00x x y y λ-=1122(,),(,)A xy B x y 00x x y yλ-=上，则直线AB 的方程为，又直线AB 过点，解得， 00x x y y λ-=F 0λ=0x =当时，点，直线AB 垂直于x 轴，直线00y =P :AB x =由得， 22x x yλ⎧⎪⎨-=⎪⎩||y =A B直线PA 的斜率PB 的斜率PA k ==PB k ==有，显然不垂直于， 2PA PB k k ⋅=-PA PB 所以不成立.PA PB ⊥（2）当时，双曲线，，由（1）知，，直线AB 的方程为：2λ=22:2x y Γ-=()2,0F 0(1,)P y ，02x y y -=由消去x 整理得：，显然， 02222x y y x y -=⎧⎨-=⎩2200(1)420y y y y -++=20201Δ8(1)0y y ⎧≠⎨=+>⎩，弦AB 的中点Q 的纵坐标为， 0121222042,11y y y y y y y -+==--01220221y y y y -+=-，||AB =，而，12||||2y y FQ +=||FP =3AB FP FQ =，解得=200)3||y y +=0y =0y =所以点P 的坐标是，. (1,(1,【点睛】结论点睛：直线l ：y =kx +b 上两点间的距离； 1122(,),(,)A x y B x y 12||||AB x x =-直线l ：x =my +t 上两点间的距离.1122(,),(,)A x y B x y 12||||AB y y =-。
福建省莆田第一中学2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题
第 1 页共 4 页莆田一中2022-2023学年第一学期期末试卷高二数学第I 卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知f (x )=alnx −12x 2+x ，且f ′(1)=3，则a =（ ）A ．4B ．3C ．2D ．12．直线l 1:ax +y −1=0，l 2:(a −2)x −ay +1=0，则“a =−2”是“12//l l ”的（ ）条件 A ．必要不充分 B ．充分不必要 C ．充分必要D ．既不充分也不必要3．已知圆的方程为2260x y x +−=，过点(1,2)的直线被该圆所截得的最短弦长为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．等差数列{a n }中，公差12d =，且1359960a a a a ++⋅⋅⋅+=，则123100a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ） A ．145B ．150C ．170D ．1205．在正项等比数列{a n }中，a 3、a 7是函数f (x )=13x 3−4x 2+4x −1的极值点，则a 5＝（ ） A ．2−或2B ．2−C．D ．26．已知1F 、2F 是椭圆C ：22194x y+=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ） A ．13B ．12C ．9D ．47．已知8ln 6a =，7ln 7b =，6ln 8c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．b c a >> B ．c b a >>C ．a c b >>D ．a b c >>第 2 页 共 4 页8．法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>相切的两条互相垂直的直线的交点轨迹是以椭圆中心为圆心的圆2222x y a b +=+，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若圆()22:()()4R C x a y a −+=∈上存在点P ，使得过点P 可作两条互相垂直的直线与椭圆2213x y +=相切，则实数a 的取值范围为（ ）A ． []0,4B ．[]4,4−C ．[]0,2D ． []22−,二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的. 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知数列{}n a 的通项公式为a n =(−1)n ，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列数列一定成等比的有（ ） A ．数列{}1n n a a ++ B ．数列{}2n a C ．232,,n n n n n S S S S S −−D ．数列{}1n n a a +⋅10．任取一个正整数，若是奇数，将该数乘以3再加上1；若是偶数，将该数除以2，反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）. 如：取正整数6m =，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．现给出冰雹猜想的递推关系如下：数列{a n }满足：1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时.若a 2=m （m 为正整数），a 6=1，则m 所有可能的取值为（ ） A ．2B ．5C ．16D ．3211．椭圆22:14x C y +=的左、右焦点分别为F 1、F 2，O 为坐标原点，则下列说法错误．．的是（ ）A ．过点2F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，则△ABF 1的周长为4 B ．椭圆C 的离心率为12C ．P 为椭圆C 上一点，Q 为圆221x y +=上一点，则点P ，Q 的最大距离为3D ．椭圆C 上不存在点P ，使得120PF PF ⋅=第 3 页共 4 页12．已知函数()2ln 2f x x x mx =−，则下列说法正确．．的是（ ） A ．当0m ≤或12em =时，()f x 有且仅有一个零点 B ．当0m ≤或14m =时，()f x 有且仅有一个极值点 C ．若()f x 为单调递减函数，则14m > D ．若()f x 与x 轴相切，则12em =第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知直线l 经过点P (2,−2)，其纵截距为正，且纵截距比橫截距大1，则直线l 的方程为 ．14．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>左､右焦点分别为1F 、2F ，过1F 且倾斜角为30的直线与过2F 的直线2l 交于P 点，1290F PF ∠=，且点P 在椭圆上．则椭圆C 的离心率=e __________．15．点P 是曲线x x y ln 2−=上任意一点,且点P 到直线y =x +a 的距离的最小值是√2，则实数a 的值是 ．16．已知点(,)P m n 在圆22:(2)(2)9C x y −+−=上运动，则m +n 的最大值为 ，的取值范围为 ．四､解答题：本题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)(1) 已知圆22110C x y +=：与圆22222140C x y x y +++−=：．证明圆1C 与圆2C 相交；并求两圆公共弦所在直线的方程；(2) 求圆心既在第一象限又在直线3x −y =0上，与x 轴相切，且被直线x −y =0截得的弦长为2√7的圆的方程．第 4 页 共 4 页18．(12分) 设函数f(x)=x +ax 2+blnx ，曲线y =f(x)过点P(1,0)，且在P 点处的切线斜率为2．(1) 求a 、b 的值； (2) 证明：f(x)≤2x －2．19．(12分) 设{}n a 是公比不为1的等比数列，1a 为2a 、3a 的等差中项．(1) 求{}n a 的公比；(2)若11a =，求数列{}n na 的前n 项和．20． (12分) 设首项为2的数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，且满足_________． 条件①：111n n a a n n +=++； 条件②：23n nn S a +=； 条件③：12n n n n T a T n ++=． 请在以上三个条件中，选择一个补充在上面的横线处，并解答以下问题： （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求证：数列13n n S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和34nM <． （参考公式．．．．：22221123(1)(21)6n n n n ++++=++）21．(12分) 已知点A(−2,0)、B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM 与BM 的斜率之积为43−．记M 的轨迹为曲线C ．(1) 求C 的方程，并说明C 是什么曲线；(2) 经过点P(−1,0)的直线l 与曲线C 交于C 、D 两点. 记△ABD 与△ABC 的面积分别为S 1和S 2，求|S 1−S 2|的最大值．22．(12分) 已知函数()e 1,R x f x ax a =−−∈． (1)求函数()f x 的极值；(2)若1是关于x 的方程()()2R f x bx b =∈的根，且方程2()f x bx =在(0,1)上有实根，求b 的取值范围．莆田一中2022-2023学年第一学期期末考试高二数学姓名： 班级： 考场/座位号：正确填涂缺考标记注意事项1．答题前请将姓名、班级、考场、准考证号填写清楚。
山东省威海市2022-2023学年高二上学期期末数学试题(解析版)
（1）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（2）求平面 与平面 所成角的正弦值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，然后利用空间向量法求直线 与平面 所成角的正弦值；
（2）利用空间向量法求平面 与平面 所成角的正弦值.
【小问1详解】建立如图来自示的空间直角坐标系 ，平面PBC，
故直线MN到平面PBC的距离即为点N到平面PBC的距离，设为
，
，
点P到面ABCD的距离 ，
由 ，得 ，
，
得 .
20.已知抛物线C： ，过点 的直线l与抛物线C交于M，N两点，圆A为 的外接圆（点O为坐标原点）．
（1）求证：线段MN为圆A的直径；
（2）若圆A过点 ，求圆A的方程．
【答案】（1）证明过程见详解
则
，
设面 的法向量为 ，
，取 ，得 ，
即面 的一个法向量为 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
，
即直线 与平面 所成角的正弦值 ；
【小问2详解】
由（1）知面 的一个法向量为 ，
又平面 的一个法向量明显为 ，
，
设平面 与平面 所成角为 ， ，
，
即平面 与平面 所成角的正弦值为 .
18.已知等比数列 的各项均为正数， ，10， 成等差数列，且 ．
【详解】对A，由题知 ， ， ，
所以， ， ，即 ，故A选项正确；
对B， ，即 ，故B选项错误；
所以， ，
对C， ，故C选项正确；
对D，当 为奇数时， ，
当 为偶数时， ，
所以，当 为偶数时， 为单调递减数列，
所以， 的最大值为 ，故D选项正确.
2022-2023学年北京市东城区高二上学期期末考试数学试题(解析版)
2022-2023学年北京市东城区高二上学期期末考试数学试题一、单选题1．已知向量()8,2,1a =-，()4,1,b k =-，且//a b ，那么实数k 的值为（ ） A ．12B ．12-C ．2-D ．2【答案】B【分析】根据平行关系可知b a λ=，由向量坐标运算可构造方程求得结果.【详解】//a b ，()b a λλ∴=∈R ，4812k λλλ-=⎧⎪∴=-⎨⎪=⎩，解得：12k =-.故选：B.2．已知直线0x y --=的倾斜角为（ ）度 A ．45 B ．135 C ．60 D ．90【答案】A【分析】根据给定的直线方程，求出其斜率，再求出倾斜角作答.【详解】直线0x y --=的斜率为1，所以直线0x y --=的倾斜角为45度. 故选：A3．抛物线22y x =-的准线方程是（ ） A ．12y =B ．1y =-C ．12x =D ．1x =【答案】C【分析】根据抛物线方程可直接求得结果. 【详解】由抛物线方程可知其准线方程为：2142x -=-=. 故选：C.4．2021年9月17日，北京2022年冬奥会和冬残奥会主题口号正式对外发布——“一起向未来”（英文为：“Together for a Shared Future ”），这是中国向世界发出的诚挚邀约，传递出14亿中国人民的美好期待.“一起向未来”的英文表达是：“Together for a Shared Future ”，其字母出现频数统计如下表：合计频数为24，那么字母“e ”出现的频率是（ ）A ．18B ．16C ．112 D ．14【答案】B【分析】用字母“e ”出现的频数除以总数就是所求频率.【详解】由图中表格可知，字母“e ”出现的频数为4，合计总频数为24，所以字母“e ”出现的频率为41246=. 故选：B5．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知13a =，12nn n S S +=+，那么3a =（ ）A ．4B ．5C ．7D ．9【答案】A【分析】由332a S S =-可直接求得结果.【详解】由12n n n S S +=+得：12n n n S S +-=，233224a S S ∴=-==.故选：A.6．已知在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，那么直线1A C 与平面11AA D D 所成角的正弦值为（ ）A 6B 35C 3D 6【答案】A【分析】由长方体性质易知1CA D ∠为1A C 与面11AA D D 所成的角，进而求其正弦值即可. 【详解】根据长方体性质知：CD ⊥面11AA D D ， 故1CA D ∠为1A C 与面11AA D D 所成的角， 222112,11126AA AB AD CA ===⇒=++所以116sin 6A CA D CD C =∠=. 故选： A7．如图，点O 是正方形ABCD 两条对角线的交点.从这个正方形的四个顶点中随机选取两个，那么这两个点关于点O 对称的概率为（ ）A ．15B ．14C ．13D ．12【答案】C【分析】先求出事件的基本总数，再求出满足条件的基本事件数，利用古典概型计算即可.【详解】从四个顶点选两个的情况数为：24C 6=，选的两个点关于中心O 对称的情况有：,A C 与,B D 两种， 所以所求概率为：2163P ==， 故选：C. 8．圆心为1,2，半径3r =的圆的标准方程为（ ）A ．()()22129x y -++= B ．()()22129x y ++-= C ．()()22123x y -++= D ．()()22123x y ++-=【答案】B【分析】根据圆的标准方程的形式，由题中条件，可直接得出结果. 【详解】根据题意，圆心为1,2，半径3r =圆的标准方程为()()22129x y ++-=；故选：B ．9．已知正四棱锥P ABCD -的高为4，棱AB 的长为2，点H 为侧棱PC 上一动点，那么HBD △面积的最小值为（ ）A ．2B ．32C ．23D ．423【答案】D【分析】根据正四棱锥的性质得到PO ⊥平面ABCD ，OH BD ⊥，然后根据4PO =，2OC =，得到OH 的范围，最后根据三角形面积公式求面积的最小值即可.【详解】取BD 中点O ，连接OH 、PO 、OC ，因为四棱锥P ABCD -为正四棱锥，所以PO ⊥平面ABCD ，DH BH =， 因为O 为BD 中点，所以OH BD ⊥， 因为OC ⊂平面ABCD ，所以PO OC ⊥，因为2AB =，4PO =，所以22BD =2OC = 在直角三角形POC 中，当OH PC ⊥时，OH 2424342⨯=+，当点H 和点P 重合时，OH 最大，最大为4，所以4,43OH ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，12222HBD S OH OH =⨯=，所以当43OH =时，HBD △42.故选：D.10．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，将第一次得到的点数记为x ，第二次得到的点数记为y ，那么事件“216x y +≤”的概率为（ ） A ．19B ．536 C ．16D ．13【答案】C【分析】由已知先列举出事件总数，然后解出不等式，找出满足条件的事件数，结合古典概率计算即可.【详解】由题意第一次得到的点数记为x ，第二次得到的点数记为y ， 记为(),x y ，则它的所有可能情况为：()()()()()()1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,()()()()()()2,1,2,2,2,3,2,4,2,5,2,6, ()()()()()()3,1,3,2,3,3,3,4,3,5,3,6,()()()()()()4,1,4,2,4,3,4,4,4,5,4,6, ()()()()()()5,1,5,2,5,3,5,4,5,5,5,6,()()()()()()6,1,6,2,6,3,6,4,6,5,6,6共36种，由216x y +≤，即422x y +≤，由2x y =在R 单调递增， 所以4x y +≤，所以满足条件的(),x y 有：()()()1,1,1,2,1,3,()()2,1,2,2,()3,1共6种，所以事件“216x y +≤”的概率为：61366P ==， 故选：C.11．地震预警是指在破坏性地震发生以后，在某些区域可以利用“电磁波”抢在“地震波”之前发出避险警报信息，以减小相关预警区域的灾害损失.根据Rydelek 和Pujol 提出的双台子台阵方法，在一次地震发生后，通过两个地震台站的位置和其接收到的信息，可以把震中的位置限制在双曲线的一支上，这两个地震台站的位置就是该双曲线的两个焦点.在一次地震预警中，两地震台A 站和B 站相距10km .根据它们收到的信息，可知震中到B 站与震中到A 站的距离之差为6km .据此可以判断，震中到地震台B 站的距离至少为（ ） A ．8km B ．6kmC ．4kmD ．2km【答案】A【分析】设震中为P ，根据双曲线的定义以及||||||10PA PB AB +≥=可求出结果.【详解】设震中为P ，依题意有||||6PB PA -=<||10AB =，所以点P 的轨迹是以,A B 为焦点的双曲线靠近A 的一支，因为||||||10PA PB AB +≥=，当且仅当,,A P B 三点共线时，取等号， 所以||6||10PB PB -+≥,所以||8PB ≥， 所以震中到地震台B 站的距离至少为8km . 故选：A12．对于数列{}n a ，若存在正数M ，使得对一切正整数n ，都有n a M ≤，则称数列{}n a 是有界的.若这样的正数M 不存在，则称数列{}n a 是无界的.记数列{}n a 的前n 项和为n S ，下列结论正确的是（ ） A ．若1n a n=，则数列{}n a 是无界的 B ．若sin n a n n =，则数列{}n a 是有界的 C ．若()1nn a =-，则数列{}n S 是有界的 D ．若212n a n =+，则数列{}n S 是有界的 【答案】C【分析】根据1n a ≤可知A 错误；由sin n a n n =可知n a 不存在最大值，即数列{}n a 无界；分别在n 为偶数和n 为奇数的情况下得到n S ，由此可确定1n S ≤，知C 正确；采用放缩法可求得22221n S n n ⎛⎫≤-+ ⎪+⎝⎭，由21,213n n ⎡⎫-∈+∞⎪⎢+⎣⎭可知D 错误.【详解】对于A ，111n a n n==≤恒成立，∴存在正数1M =，使得n a M ≤恒成立，∴数列{}n a 是有界的，A 错误；对于B ，sin sin n a n n n n ==，sin 1n ≤，n a n ∴≤，即随着n 的增大，不存在正数M ，使得n a M ≤恒成立，∴数列{}n a 是无界的，B 错误；对于C ，当n 为偶数时，0n S =；当n 为奇数时，1n S =-；1n S ∴≤，∴存在正数1M =，使得n S M ≤恒成立，∴数列{}n S 是有界的，C 正确；对于D ，()()22144114421212121n n n n n n ⎛⎫=≤=- ⎪-+-+⎝⎭， 2221111111121241233352121n S n n n n n ⎛⎫∴=++++⋅⋅⋅≤+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪-+⎝⎭ 182241222212121n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫=+-=+=-+ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭；221y x x =-+在()0,∞+上单调递增，21,213n n ⎡⎫∴-∈+∞⎪⎢+⎣⎭， ∴不存在正数M ，使得n S M ≤恒成立，∴数列{}n S 是无界的，D 错误.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查数列中的新定义问题，解题关键是理解数列有界的本质是对于数列中的最值的求解，进而可以通过对于数列单调性的分析来确定数列是否有界.二、填空题13．已知空间向量()1,1,0a =-，(),1,1m b =-，若a b ⊥，则实数m =_____． 【答案】1【分析】根据空间向量数量积的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】因为a b ⊥，所以0101a b m m ⋅=⇒-=⇒=， 故答案为：114．在等差数列{}n a 中，12a =，426a a =+，则n a =______. 【答案】*31,(N )n n -∈【分析】利用已知条件求出公差，利用等差数列通项公式求解即可. 【详解】设等差数列的公差为d ， 由12a =，426a a =+，所以11633a a d d d +=+⇒=+，所以*1(1)2(1)331,(N )n a n a n d n n +-=+⨯=-∈=-，故答案为：*31,(N )n n -∈.15．两条直线1:3420l x y --=与2:3480l x y -+=之间的距离是______. 【答案】2【分析】根据平行直线间距离公式可直接求得结果. 【详解】由平行直线间距离公式可得：12,l l 之间的距离2d ==.故答案为：2.16．试写出一个中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，渐近线方程为2y x =±的双曲线方程___________.【答案】2214y x -=(或其它以2y x =±为渐近线的双曲线方程)【分析】根据题意写出一个即可.【详解】中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，渐近线方程为2y x =±的双曲线方程为()2204y x λλ-=≠ 故答案为：2214y x -=(或其它以2y x =±为渐近线的双曲线方程)17．已知点P 是曲线221ax by +=（其中a ，b 为常数）上的一点，设M ，N 是直线y x =上任意两个不同的点，且MN t =.则下列结论正确的是______. ①当0ab >时，方程221ax by +=表示椭圆； ②当0ab <时，方程221ax by +=表示双曲线； ③当124a =，18=b ，且4t =时，使得MNP △是等腰直角三角形的点P 有6个；④当124a =，18=b ，且04t <<时，使得MNP △是等腰直角三角形的点P 有8个.【答案】②③④【分析】对①②，根据方程221ax by +=表示的曲线可以是圆，椭圆，双曲线，直线判断；对③④，求出点P 到直线y x =的距离d 的取值范围，对点P 是否为直角顶点进行分类讨论，确定d ，t 的等量关系，综合可得出结论.【详解】方程221ax by +=中当0a b =>时可表示圆，当0ab <时，221ax by +=表示双曲线，故①错误，②正确；在③④中：椭圆方程为221248x y +=，椭圆与直线l 均关于原点对称，设点,)P θθ，则点P 到直线l 的距离为π4sin [0,4].3d θ⎛⎫===-∈ ⎪⎝⎭ 对③：4t =时，(1)若P 为直角顶点，如图1，则||4MN t ==，4d =，满足MNP △为等腰直角三角形的点P 有四个，图1(2)若P 不是直角顶点，如图2，则||4MN t ==，4d =，满足PMN 是等腰直角三角形的非直角顶点P 有两个，图2故4t =时，使得MNP △是等腰直角三角形的点P 有6个，③正确； 对④：04t <<时，(1)若P 为直角顶点，如图1,则||MN t =，42td =<，满足MNP △为等腰直角三角形的点P 有四个.. (2)若P 不是直角顶点，如图3,则||MN t =，4d t =<，满足MNP △是等腰直角三角形的非直角顶点P 有四个，图3故04t <<时，使得MNP △是等腰直角三角形的点P 有8个，④正确； 故答案为：②③④.【点睛】椭圆的参数方程是cos ,sin x a y b θθ==，对于有关椭圆上点的横纵坐标问题的题目可以转化为三角函数问题求解，比如求23z x y =+的最大值，求点到直线的距离范围等问题都可以使用椭圆的参数方程来解决.三、双空题18．某单位组织知识竞赛，按照比赛规则，每位参赛者从5道备选题中随机抽取3道题作答.假设在5道备选题中，甲答对每道题的概率都是23，且每道题答对与否互不影响，则甲恰好答对其中两道题的概率为______；若乙能答对其中3道题且另外两道题不能答对，则乙恰好答对两道题的概率为______. 【答案】4935【分析】（1）甲能够答对X 道题目，则2~(3,)3X B ，根据二项分布的概率即可进一步求解；（2）设乙能够答对Y 道题目，根据超几何分布即可求出答案. 【详解】解设甲能够答对X 道题目，2~(3,)3X B ，所以()2322242C 1339P X ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 解设乙能够答对Y 道题目，则()123235C C 32C 5P Y ⋅===. 故答案为：49；35.四、解答题19．某超市有A ，B ，C 三个收银台，顾客甲、乙两人结账时，选择不同收银台的概率如下表所示，且两人选择哪个收银台相互独立.(1)求a ，b 的值；(2)求甲、乙两人在结账时都选择C 收银台的概率； (3)求甲、乙两人在结账时至少一人选择C 收银台的概率. 【答案】(1)0.4a =，0.4b =(2)0.12(3)0.58【分析】（1）根据甲在三个收银台结账的概率和为1求a 值，同理求b 的值；（2）“甲选择C 收银台”与“乙选择C 收银台”是相互独立事件，利用独立事件的概率公式求解；（3）利用对立事件求解.【详解】（1）由表可知,甲选择A 收银台的概率为10.20.40.4a =--=,乙选择B 收银台的概率为10.30.30.4b =--=（2）设事件A 为“甲选择C 收银台”,事件B 为“乙选择C 收银台”,事件C 为“甲,乙两人在结账时都选择C 收银台”.根据题意,()0.4,()0.3P A P B ==,事件,A B 相互独立.所以()()0.40.30.12P C P AB ==⨯=.（3）设事件D 为“甲，乙两人在结账时至少一人选择C 收银台”,()1()10.60.70.58P D P AB =-=-⨯=.20．在四棱雉P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，Q 为棱PD 的中点，PA AD ⊥，2PA AB ==，再从下列两个条件中任选一个作为已知，求解下列问题.条件①：平面PAD ⊥平面ABCD ；条件②：PA AB ⊥.(1)求证：PA ⊥平面ABCD ；(2)求平面ACQ 与平面ABCD 夹角的余弦值；(3)求点B 到平面ACQ 的距离.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)证明见解析；323【分析】（1）条件①利用面面垂直的性质定理可证得；条件②利用线面垂直的判定定理可证得；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求面面夹角；（3）利用空间向量求点到面的距离.【详解】（1）条件①：平面PAD ⊥平面ABCD证明：因为平面PAD ⊥平面ABCD ，PA AD ⊥，PA ⊂平面PAD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，所以PA ⊥平面ABCD .条件②：PA AB ⊥证明：因为PA AD ⊥，PA AB ⊥，且,AB AD ⊂平面ABCD ，AB AD A ⋂=，所以PA ⊥平面ABCD .（2）由（1）知PA ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，,,AB AD AP 两两垂直，以A 为原点，,,AB AD AP 分别所在的直线为,,x y z 轴，建立如图空间直角坐标系，则()002P ,,，()0,0,0A ，()0,1,1Q ，()2,2,0C ， 所以()2,2,0AC =，()0,1,1AQ =由（1）知平面ABCD 的法向量()0,0,2AP =，设平面ACQ 的法向量为(),,n x y z =，则2200n AC x y n AQ y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩， 即00x y y z +=⎧⎨+=⎩，令1y =，则()1,1,1n =--， 设平面ACQ 与平面ABCD 夹角的为θ，则cos cos ,2AP nAP n AP n θ⋅-====⨯⋅所以平面ACQ 与平面ABCD （3）由已知得()2,0,0B ，()2,0,0AB =，所以点B 到平面ACQ 的距离为23AB nn -⋅==21．已知圆22:2440C x y x y +-+-=，圆()()221:314C x y -+-=及点()3,1P .(1)判断圆C 和圆1C 的位置关系；(2)求经过点P 且与圆C 相切的直线方程.【答案】(1)相交(2)1y =或125410x y +-=【分析】（1）根据两圆方程可确定圆心和半径，由圆心距与两圆半径之间的关系可确定两圆位置关系；（2）易知切线斜率存在，则可设其为()13y k x -=-，利用圆心到直线距离等于半径可构造方程求得k ，进而得到切线方程.【详解】（1）圆C 方程可整理为：()()22129x y -++=，则圆心()1,2C -，半径3r =； 由圆1C 方程可知：圆心()13,1C ，半径12r =； ()()221132113CC =-+--15r r +=，11r r -=，1112r r CC r r ∴-<<+，∴圆C 和圆1C 相交.（2）当过()3,1P 的直线斜率不存在，即为3x =时，其与圆C 不相切，∴可设所求切线方程为：()13y k x -=-，即310kx y k --+=，∴圆心C 到切线的距离23231kd k -=+，即()229932k k +=-， 解得：0k =或125k =-， ∴切线方程为：1y =或()12135y x -=--，即1y =或125410x y +-=.22．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>()0,1A . (1)求椭圆E 的方程；(2)若过点A 的直线l 与椭圆E 的另一个交点为B，且AB =B 的坐标. 【答案】(1)2212x y += (2)41,33⎛⎫±- ⎪⎝⎭【分析】（1）根据椭圆中,,a b c 的关系求解即可；（2）先利用AB =B 的轨迹方程，然后求点B 的轨迹方程与椭圆2212x y +=的交点即可，求值的时候一定要注意变量范围. 【详解】（1）由题可知c a 1b =，又因为222a b c =+，解得211a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆E 的方程为2212x y += （2）设(),B x y，因为AB =()223219x y +-=， 则点B 为椭圆2212x y +=与圆()223219x y +-=的交点， 联立()2222321912x y x y ⎧+-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得13y =-或53y =-（舍去，因为11y -≤≤） 所以有4313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或4313x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故点B 的坐标为41,33⎛⎫±- ⎪⎝⎭ 23．已知无穷数列{}n y 满足公式112,02122,12n n n n n y y y y y +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩，设()101y a a =≤≤. (1)若14a =，求3y 的值； (2)若30=y ，求a 的值；(3)给定整数()3M M ≥，是否存在这样的实数a ，使数列{}n y 满足：①数列{}n y 的前M 项都不为零；②数列{}n y 中从第1M +项起，每一项都是零.若存在，请将所有这样的实数a 从小到大排列形成数列{}n a ，并写出数列{}n a 的通项公式；若不存在，请说明理由.【答案】(1)31y = (2)10,1,2=a (3)存在这样的a ，2121,1,2,3,,22---==M n M n a n ，理由见解析【分析】（1）根据1y ，求出23,y y ；（2）30=y ，（i ）当2102≤<y 时，可得20y =，由1y 的范围可得与2y 的关系可得a ； （ii ）当2112≤<y 时，由3222=-y y 得2y ，再分1102≤<y 、1112≤≤y 根据2y 与1y 可得答案 （3）存在这样的a ，根据10,0+=≠M M y y 和（2）可知111,2-==M M y y ，分2102-≤<M y 、2112-≤≤M y 讨论，根据1-M y 与2-M y 关系类推，可得答案.，【详解】（1）因为114==y a ，所以213212,2212===-=y y y y ； （2）因为30=y ，（i ）当2102≤<y 时，322y y =，所以20y =， 此时，若1102≤<y ，则211,02===y y a y ； 若1112≤≤y ，则211,122=-==y y a y . （ii ）当2112≤<y 时，3222=-y y ，所以21y =， 此时，若1102≤<y ，则21111,0,222⎡⎫==∉⎪⎢⎭=⎣y y a y ； 若1112≤≤y ，则2111,222=-==y y a y . 综上所述，10,1,2=a ； （3）存在这样的a ，因为10,0+=≠M M y y ，由（2）可知111,2-==M M y y ， （i ）当2102-≤<M y 时，122--=M M y y ，所以214-=M y ， （ii ）当2112-≤≤M y 时，1222--=-M M y y ，所以234-=M y ，以此类推，()111111113521,,,,2222--------==M M M M M M M y y ， 所以数列{}n a 的通项公式为2121,1,2,3,,22---==M n M n a n .【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是由递推关系可得数列的结果，寻找规律，本题考查数列的递推关系的应用，考查了学生推理能力、运算能力.。
广东省深圳市高二上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．已知点，则直线的倾斜角是（ ） ()(1,0,A B AB A ． B ．C ．D ．60 120 30 150 【答案】A【分析】求出直线的斜率，根据倾斜角的范围可得答案.AB 【详解】因为点，所以，()(1,0,AB AB k ==设直线的倾斜角为，则， AB α0180α<< 所以. 60α= 故选：A.2．“”是“方程表示椭圆”的57m <<22175x y m m +=--A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】 由题意，方程表示一个椭圆，则，解得且， 22175x ym m +=--705075m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩57m <<6m ≠所以“”是“方程”的必要不充分条件，故选C.57m <<22175x y m m +=--点睛：本题考查了椭圆的标准方程，其中熟记椭圆的标准的形式，列出不等式组是解答关键，此类问题解答中容易忽视条件导致错解，同时注意有时椭圆的焦点的位置，做到分类讨论.75m m -≠-3．在棱长为1的正方体中，（ ） 1111ABCD A B C D -1AB CB CB -+=A ．1 BC D ．2【答案】B【分析】根据向量的线性运算得，即可得结果．11AB CB CB AB -+=【详解】． 11AB CB CB AB BC CB AC -+=++=+ 故选：B ．4．已知数列的前4项为2，0，2，0，则依次归纳该数列的通项不可能是 ()A ．B ．1(1)1n n a -=-+2,0,n n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数C ． D ．2sin2n n a π=cos(1)1n a n π=-+【答案】C【分析】令，2，3，4分别代入验证：即可得出答案．1n =【详解】解：令，2，3，4分别代入验证：可知，因此不成立． 1n =3:2C a =-故选：．C 【点睛】本题考查了数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.5．在空间四边形中，，点在上，且，为的中OABC ,,OA a OB b OC c === M OB 3OM MB =N AC 点，则（ ）NM =A ．B ．131242a b c -+- 121232a b c -++C ．D ．131242a b c ++ 121232a b c -+ 【答案】A【分析】利用空间向量加减法运算即可得到答案.【详解】.()()31311314242242NM OM ON OB OA OC b a c a b c =-=-+=-+=-+-故选：A6．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>A ．B ．C ．D ． y =y =y =y =【答案】A【详解】分析：根据离心率得a,c 关系，进而得a,b 关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果.详解：2222221312,c b c a b e e a a a a-==∴==-=-=∴因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A.by x a=±y =点睛：已知双曲线方程求渐近线方程：.22221(,0)x y a b a b-=>22220x y by x a b a -=⇒=±7．若直线（，）平分圆，则的最小值是（ ） 10ax by +-=0a >0b >()()22114x y -+-=12a b+A ．2B ．5C ．D ．【答案】C【分析】直线平分圆，得到a ,b 关系，再根据基本不等式，即可求解. 【详解】解：直线平分圆，则直线过圆心，即，1a b +=所以(时，取等号) ()1212233b a a b a b a b a b⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭b =故选：C.8．已知点是抛物线上不同的两点，为抛物线的焦点，且满足，弦的,M N 24y x =F 23MFN π∠=MN 中点到直线的距离记为，若不等式恒成立，则的取值范围（ ） P 1:16l y =-d 22λ≥MN d λA ． B ． (-∞(],2-∞C ． D ．(,1-∞(],3-∞【答案】D【分析】令，利用余弦定理表示出弦的长，再利用抛物线定义结合梯形中位||,||MF a NF b ==MN 线定理表示出，然后利用均值不等式求解作答.d 【详解】在中，令，由余弦定理得MFN △||,||MF a NF b ==， 222||||||2||||cos MN MF NF MFNF MFN =+-⋅∠则有， 222||MN a b ab =++显然直线是抛物线的准线，过作直线的垂线，垂足分别为，如1:16l y =-24y x =,,M P N l ,,A B C 图，而为弦的中点，为梯形的中位线，由抛物线定义知，P MN PB MACN ，11||(||||)()22d PB MA NC a b ==+=+因此， 22222222||4444443222MN a b ab ab a b d a b ab a b ab b a ++=⋅=-=-≥=++++++当且仅当时取等号，又不等式恒成立，等价于恒成立，则，a b =22λ≥MN d 22MN dλ≤3λ≤所以的取值范围是. λ(,3]-∞故选：D【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．二、多选题9．若是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的是（ ） {}n a A ． {}n a B ．{}1n n a a +-C ．(为常数) {}n pa q +,p q D ． {}2n a n +【答案】BCD【分析】根据等差数列的定义逐一进行检验即可求解.【详解】对于选项A ，数列是等差数列，取绝对值后不是等差数列，故选项A 不符合题1,1,3-1,1,3意；对于选项B ，若为等差数列，根据等差数列的定义可知：数列为常数列，故{}n a 1{}n n a a +-为等差数列，故选项B 符合题意；1{}n n a a +-对于选项C ，若为等差数列，设其公差为，则为常数{}n a d 11()n n n n pa q pa q p a a pd +++--=-=列，故为等差数列，故选项C 符合题意；{}n pa q +对于选项D ，若为等差数列，设其公差为，则为常数，故{}n a d 121221n n a n a n d +++--=+为等差数列，故选项D 符合题意， {2}n a n +故选：BCD.10．圆和圆的交点为A ，B ，则有（ ）221:20x y x O +-=222:240O x y x y ++-=A ．公共弦AB 所在直线方程为 0x y -=B ．公共弦ABC ．线段AB 中垂线方程为10x y +-=D ．P 为圆上一动点，则P 到直线AB 2O 1+【答案】AC【分析】A 选项，两圆方程作差即可求出公共弦方程；B 选项，求出一个圆的圆心到公共弦的距离，利用垂径定理计算即可；C 选项，线段AB 的中垂线即为两圆圆心的连线，利用点斜式求解即可；D 选项，求出到公共弦的距离，加上半径即可求出最值.2O 【详解】因为圆：和圆：的交点为A ，B ， 1O 2220x y x +-=2O 22240x y x y ++-=作差得，440x y -=所以圆与圆的公共弦AB 所在的直线方程为，故A 正确； 1O 2O 0x y -=因为圆心，，所在直线斜率为， 1(1,0)O 2(1,2)O -12O O 2111=---所以线段AB 的中垂线的方程为，即，故C 正确；0(1)y x -=--10x y +-=圆：的圆心为，半径，圆心到直线的距离2O 22240x y x y ++-=2(1,2)O -2r =2(1,2)O -0x y -=P 到直线AB 与圆的公共弦AB 的长d 1O 2O为B,D 错误． =故选:AC.11．某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地F 点（离地面最近的点）距地面千米，远地点（离地面最远的点）距地面千米，并且A mB n 三点在同一直线上，地球半径约为千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为F A B 、、R ，则222a b c 、、A ．B ．C ．D ．a c m R -=+a c n R +=+2a m n =+b =【答案】ABD【分析】根据条件数形结合可知，然后变形后，逐一分析选项，得到正确答案.m a c Rn a c R=--⎧⎨=+-⎩【详解】因为地球的中心是椭圆的一个焦点，并且根据图象可得 ，（*）m a c Rn a c R=--⎧⎨=+-⎩ ，故A 正确；a c m R ∴-=+，故B 正确；a c n R +=+（*）两式相加，可得，故C 不正确；22m n a R +=-22a m n R =++由（*）可得 ，两式相乘可得 m R a c n R a c +=-⎧⎨+=+⎩()()22m R n R a c ++=- ，222a c b -=，故D 正确.()()2b m R n R b ∴=++⇒=故选ABD【点睛】本题考查圆锥曲线的实际应用问题，意在考查抽象，概括，化简和计算能力，本题的关键是写出近地点和远地点的方程，然后变形化简.12．如图，棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，为面对角线1111ABCD A B C D -,E F 111,A D AA G 上一个动点，则（ ）1B CA ．三棱锥的体积为定值1A EFG -B ．线段上存在点，使平面//平面1B C G EFG 1BDCC ．当时，直线与平面134CG CB = EG ABCDD ．三棱锥1A EFG -【答案】ACD【分析】A 选项，使用等体积法，面面平行进行证明； B 选项，建立空间直角坐标系，利用空间向量进行证明；C 选项，根据先求出的坐标，然后利用向量的夹角公式计算；134CG CB =G D 选项，找到外接球的球心，表达出半径，求出最大值.【详解】对于A 选项，因为平面//平面，而平面，故//平面11ADD A 11BCC B 1B C ⊂11BCC B 1B C ，11ADD A 因为点为面对角线上一个动点，故点到面距离不变，为， G 1B C G 11ADD A 2因为分别为棱的中点，故为定值，,E F 111A D AA ､1111122A EF S =⨯⨯=A 故三棱锥，而三棱锥的体积，A 选项正确；1112313G E A F F A E S V -⨯⨯==A 11A EFG G EFA V V --=对于B 选项，如图1，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直D DA x DC y 1DD 线为轴建立空间直角坐标系，z 则，，，，，设（），()2,2,0B ()0,0,0D ()10,2,2C ()1,0,2E ()2,0,1F (),2,G m m 02m ≤≤平面的法向量为，则，令，则，，则1BDC ()1111,,n x y z = 1111111220220n DB x y n DC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩11y =11x =-11z =-，()1111n ,,=--设平面的法向量，则，令，则EFG ()2222,,n x y z = ()()222222202210n EF x z n FG m x y m z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-++-=⎪⎩ 21x =，， 21z =2322my -=所以， 2321,,12m n -⎛⎫= ⎪⎝⎭若平面//平面，则存在，使得，即，解得：，EFG 1BDC k 12n kn = ()321,1,11,,12m k -⎛⎫--= ⎪⎝⎭1k =-，52m =因为，故不合题意，02m ≤≤所以线段上不存在点，使平面//平面，B 选项错误；1B C G EFG 1BDC 对于C 选项，，，，若，即，解得(),2,G m m (0,2,0)C 1(2,2,2)B 134CG CB = ()()3,0,2,0,24m m =， 32m =此时，又，，显然平面的一个法向量，33,2,22G ⎛⎫⎪⎝⎭()1,0,2E 11,2,22EG ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ABCD (0,0,1)a =设直线与平面所成角为，则C 选项正确；EG ABCD θsin cos ,a θ=对于D 选项，如图2，连接，交EF 于点J ，则为EF 的中点，1A D J 1A J =的外接球球心的投影为，1A EFG -J 过点作于点，则平面，，找到球心位置，连接，则G 1GH A D ⊥H GH ⊥11ADD A 2GH =O 1,OA OG 为外接球半径，1OA OG =过点作于点，则，，设（），O OK GH ⊥K OK JH =OJ HK =OK JH a ==0a ≤≤，OJ HK h ==由勾股定理得：，，从而2222211OA OJ A J h =+=+()2222OG h a =-+()22222h h a +=-+，解得：，2724a h +=要想半径最大，则只需最大，即最大，当最大为，此时半径的最大值为h 2a a =h2，故D 正确. =故选：ACD三、双空题13．已知数列的通项公式为：，则的最小值为_____，此时的值为_____. {}n a 103n a n =-n a n 【答案】133【分析】分类讨论去绝对值，即可根据通项公式的单调性判断求值.【详解】，已知先减后增，且. 10,4103103,43n n n a n n n ⎧-<⎪⎪=-=⎨⎪-≥⎪⎩n a 3413a a =<故的最小值为，此时的值为3.n a 13n 故答案为：；3.13四、填空题14．在等差数列中，前n 项和记作，若，则______． {}n a n S ()15265k S a a a =++k =【答案】16【分析】根据等差数列前项和公式及下标和性质以及通项公式计算可得； n 【详解】解：因为，所以，即()15265k S a a a =++()()115261552k a a a a a +=++，所以，所以()82615252k a a a a ⨯=++8263k a a a a =++，所以；()()()()826111113375151k a a a a a d a d a d a d a k d =-+=+-+++=+=+-16k =故答案为：1615．已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线E 的左、1F 2F ()222:103x yE a a -=>1F 右两支分别交于A ，B 两点，若，则的面积为__________． 22::5:12:13BF AB AF =2ABF△【答案】##2.4 125【分析】根据双曲线的定义以及焦点三角形即可根据勾股定理求解，由直角三角形的面积公22a =式即可得解. 【详解】如图，因为，所以． 22::5:12:13BF AB AF =2AB BF ⊥设，，得，25BF x =12AB x =213AF x =由，得 1221BF BF AF AF -=-1112||513||x AF x x AF +-=-所以，则，13AF x =115BF x =由，得，2221212BF BF F F +=222504x c =又 ，所以，，， 12221023BF BF x a c a ⎧-==⎨=+⎩22a =25c =2225x =故的面形. 2ABF △221123025S AB BF x ===故答案为：125五、双空题16．已知数列满足，，则数列的通项公式为_____________，若数{}n a 14a =()121n n na n a +=+{}n a 列的前项和，则满足不等式的的最小值为_____________．{}(1)(2)na n n ++n n S 30n S ≥n 【答案】 612n n a n +=⋅【分析】根据给定递推公式变形构造新数列即可得解；利用裂项相消法求出，再借助数列单调性n S 计算得解.【详解】在数列中，，由得：，而， {}n a 14a =()121n n na n a +=+121n n a a n n +=⋅+141a=于是得数列是以4为首项，2为公比的等比数列，则，即，{}n a n 142n n a n-=⋅12n n a n +=⋅所以数列的通项公式为；{}n a 12n n a n +=⋅显然，，121212(1)2(2)222(1)(2)(1)(2)(1)(2)21n n n n n n a n n n n n n n n n n n +++++⋅+⋅-+⋅===-++++++++则，324354121222222222222))))2324354121(((((2n n n n n n S n n n n n ++++-+-+-++-+-=+=-+++ 由得：，即，令，则，即数列是递增30n S ≥222302n n +-≥+22322n n +≥+222n n b n +=+12(2)13n n b n b n ++=>+{}n b 数列，由，得，而，因此，，从而得，， 22322n n +≥+32n b ≥632b =6n b b ≥6n ≥min 6n =所以满足不等式的的最小值为6.30n S ≥n 故答案为：；612n n a n +=⋅六、解答题17．已知直线，．()():12360m a x a y a -++-+=:230n x y -+=(1)当时，直线过与的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线的方程；0a =l m n l (2)若坐标原点O 到直线的距离为1，求实数的值．m a 【答案】(1)或，120x y -+=370x y -=(2)或 1a =132a =-【分析】（1）先求出直线与的交点，然后设出直线的方程，求出直线在两坐标轴上的截距，m n l l 由截距相反列方程可求出直线的斜率，从而可求出直线的方程；l （2）利用点到直线的距离公式列方程可求出实数的值.a 【详解】（1）当时，直线， 0a =:360m x y -++=由，解得， 360230x y x y -++=⎧⎨-+=⎩219x y =-⎧⎨=-⎩所以直线与的交点为，m n (21,9)--由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，l l 9(21)y k x +=+当时，，0x =219y k =-当时，， 0y =921x k=-因为直线在两坐标轴上的截距相反，l 所以，即， 9219210k k-+-=271030k k -+=解得或， 1k =37k =所以直线的方程为或， l 921y x +=+39(21)7y x +=+即或，120x y -+=370x y -=（2）因为坐标原点O 到直线的距离为1，直线，m ()():12360m a x a y a -++-+=，1=化简得，解得或. 2211130a a +-=1a =132a =-18．如图在边长是2的正方体中，E ，F 分别为AB ，的中点．1111ABCD A B C D -1AC（1）求异面直线EF 与所成角的大小．1CD （2）证明：平面． EF ⊥1ACD 【答案】（1）；（2）证明见解析．60︒【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，利用可得解； 111cos ,EF CD EF CD EF CD ⋅= （2）利用和，可证得线线垂直，进而得线面垂直. 10EF DA ⋅= 0EF DC ⋅= 【详解】据题意，建立如图坐标系．于是：，，，，，(0,0,0)D 1(2,0,2)A (0,2,0)C (2,1,0)E (1,1,1)F 1(0,0,2)D ∴，，，．(1,0,1)EF =- 1(0,2,2)CD =- 1(2,0,2)DA = (0,2,0)DC = （1）， 11cos ,2EF CD = ∴1,60EF CD ︒= ∴异面直线EF 和所成的角为．1CD 60︒（2）11200120EF DA ⋅=-⨯+⨯+⨯= ∴，即1EF DA ⊥ 1EF DA ⊥，1002100EF DC ⋅=-⨯+⨯+⨯=∴即．EF DC ⊥ EF DC ⊥又∵，平面且1DA DC ⊂1DCA 1DA DC D ⋂=∴平面． EF ⊥1ACD 19．记为数列的前项和，． n S {}n a n 1122n n n S a --=()*n N ∈（1）求；1n n a a ++（2）令，证明数列是等比数列，并求其前项和．2n n n b a a +=-{}n b n n T 【答案】（1）；（2）证明见解析，. 12n -11122n n T +=-【分析】（1）运用数列的递推式：时，，时，，化简变形可得1n =11a S =2n ≥1n n n a S S -=-，进而得到所求答案. 1112n n n a a --+=-（2）由（1）的结论，将n 换为n +1，两式相减，结合等比数列的定义和求和公式，即可得到答案.【详解】（1）由，可得时，，即； 1122n n n S a --=1n =1121S a -=11a =当时，，2n ≥1n n n a S S -=-由，， 1122n n n S a --=112122n n n S a ----=两式相减可得：，即：. 11211222n n n n n a a a ----+=-1112n n n a a --+=-即有. 112n n na a ++=-（2）由（1）可得，即有， 112n n n a a ++=-21112n n n a a ++++=-两式相减可得，即. 2112n n n a a ++-=112n n b +=则，可得数列是首项为，公比为的等比数列. 1122122n n n n b b +++=={}n b 1412所以. 1111114212212n n n T +⎛⎫- ⎪⎝⎭==--【点评】本题考查数列的递推式的运用，考查等比数列的定义、通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和化简运算能力，属于中档题．20．已知：圆过点，，，是直线上的任意一点，直线C ()0,1D ()2,1E -(F -P 1:2l y x =-与圆交于、两点.2:1=+l y x C A B（1）求圆的方程；C （2）求的最小值.22PA PB +【答案】（1）；（2）．22210x y x ++-=13【分析】（1）设圆的一般方程为，即可根据题意列出三个方程，解出C 220x y Dx Ey F ++++=，即可得到圆的方程； ,,D E F C （2）联立直线的方程和圆的方程可得、两点的坐标，设，再根据两点间的距离公2l C A B (),P x y 式表示出，消去，可得关于的二次函数，即可求出最小值． 22PA PB +y x 【详解】（1）设圆的一般方程为，依题意可得，C 220x y Dx Ey F ++++=．1025030E F D E F D F ⎧++=⎪-+++=⎨⎪-+==⎩2,0,1D E F ⇒===-所以圆的方程为：．C 22210x y x ++-=（2）联立或， 221002101y x x x y x y ⎧--==⎧⇒⎨⎨++-==⎩⎩21x y =-⎧⎨=-⎩不妨设，，则，(0,1),(2,1)A B --(),P x y 2y x =-∴． 222222221||||(1)(2)(1)44144132PA PB x y x y x x x ⎛⎫+=+-++++=-+=-+ ⎪⎝⎭故的最小值为．22PA PB +13【点睛】本题主要考查圆的方程的求法，直线与圆的交点坐标的求法，以及两点间的距离公式的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．21．如图，在三棱锥中， ，为的中点，. A BCD -AB AD =O BD OA CD ⊥(1)证明：平面平面;ABD ⊥BCD(2)若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，三棱锥OCD A E AD 2DE EA =B ACD -，求平面BCD 与平面BCE 的夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析【分析】（1）根据线面垂直的判定定理先证明平面BCD ，又平面ABD ，从而由面面垂OA ⊥OA ⊂直的判定定理即可得证；（2）取的中点，因为为正三角形，所以，过作与交于点OD F OCD A CF OD ⊥O //OM CF BC M ，则，又由（1）知平面BCD ，所以，，两两垂直，以点为坐标原OM OD ⊥OA ⊥OM OD OA O 点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，然后求出所需点的坐标，进OM OD OA x y z 而求出平面的法向量，最后根据向量法即可求解.【详解】（1）证明：因为，为的中点，AB AD =O BD 所以，又且，OA BD ⊥OA CD ⊥BD CD D ⋂=所以平面BCD ，又平面ABD ， OA ⊥OA ⊂所以平面平面； ABD ⊥BCD（2）解：由题意，， 1112OCD S =⨯⨯=A BCD S =A 由（1）知平面BCD ，OA ⊥所以，所以OA =2， 1133B ACD A BCD BCD V V S OA --=⋅⋅==A 取的中点，因为为正三角形，所以，OD F OCD A CF OD ⊥过作与交于点，则，所以，，两两垂直，O //OM CF BC M OM OD ⊥OM OD OA以点为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，O OM OD OA x yz则，，，，，1，，A （0，0，2），， (0B 1-0)1,0)2C (0D 0)14(0,,)33E 因为平面，所以平面的一个法向量为， OA ⊥BCD BCD (0,0,1)m = 设平面的法向量为，又， BCE (,,)n x y z =344,0),(0,,)233BC BE == 所以由，得，令，， 00n BC n BE ⎧⋅=⎨⋅=⎩30244033x y y z +=⎪+=⎪⎩x =1y =-1z =所以，1,1)n =-所以 |||cos ,|||||m n m n m n⋅<>= 所以平面BCD 与平面BCE22．在平面直角坐标系中，椭圆2． ()2222:10x y C a b a b +=>>(1)求椭圆C 的方程；(2)动直线A 、B 两点，D 是椭圆C 上一点，直线OD 的斜率为，且:l y mx =n 12mn =．T 是线段OD 的半径为，OP ，OQ 是的两条切T A DT T A 线，切点分别为P ，Q ，求的最大值．QOP ∠【答案】(1)； 22132x y +=(2)最大值为.QOP ∠3π【分析】（1）根据焦距易得; 1c =（2）将直线与椭圆联立得到方程组，利用弦长公式得到的表达式，再利用AB |||DT AB =，则可得到，即圆半径的表达式，根据，则,则将直线的方程与椭圆方程DT r 12mn =12n m =OD 联立，得到的表达式，利用,将上述表达式代入，利用换元法结合二次函OD sin2||QOP r r OD ∠=+数最值得到的最值，最终得到的最大值. sin 2QOP ∠QOP ∠【详解】（1）由题意得，， 22c =1c =又c e a = a ∴=b ∴=椭圆方程为：. ∴22132x y +=（2）设，， ()11,A x y ()22,B x y 联立，22132x y y mx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩()2281290m x +--=，()2227203681211522880m m m ∆=++=+>， 12x x +=129128x x m -=+2||AB x -==， |r AB =，直线的方程为：， 12n m=∴OD 12yx m =联立得，，2213212x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2222483m x m =+22683y m =+ ||OD ==,1sin ||2||1QOP r OD r OD r ∠==++，OD r ==令，，且， 223m t +=()2123m t =-2t>110,2t ⎛⎫∈⎪⎝⎭则ODr==1=≥=当且仅当，，即，时等号成立， 1114t =14t =22314m +=2m =±，因此， 1sin 22QOP ∠≤π26QOP ∠≤的最大值为， QOP ∴∠π3综上所述，的最大值为，此时. QOP ∴∠π32m =±【点睛】本题第二问计算量与思维量较大，对于弦长公式要做到熟练运用，角度最值转化为在一定角度范围内的角的正弦值的最值，最终结合换元法，配方法等求解函数表达式的最值，从而得到角度的最值.。
北京市大兴区2023-2024学年高二上学期期末检测数学试题含答案
大兴区2023~2024学年度第一学期高二期末检测数学（答案在最后）1.本试卷共4页，共两部分，21道小题.满分150分.考试时间120分钟.2.在试卷和答题卡上准确填写学校名称､班级､姓名和准考证号.3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.4.在答题卡上，选择题用2B 铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答.第一部分（选择题共40分）一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.椭圆22194x y +=的长轴长为（）A.4B.5C.6D.9【答案】C 【解析】【分析】由椭圆的方程即可得出答案.【详解】由22194x y +=可得29a =，则26a =.故选：C .2.双曲线22142x y -=的渐近线方程为（）A.y x =±B.22y x =±C.y =D.12y x =±【答案】B 【解析】【分析】直接由渐近线的定义即可得解.【详解】由题意双曲线22142x y -=的渐近线方程为22042x y -=，即2y x =±.故选：B.3.若直线l 的方向向量为()2,1,m ，平面α的法向量为11,,22⎛⎫⎪⎝⎭，且l α⊥，则m =（）A.1B.2C.3D.4【答案】D 【解析】【分析】由l α⊥可知，直线l 的方向向量与平面α的法向量平行，列方程组求解即可.【详解】∵直线l 的方向向量为()2,1,m ，平面α的法向量为11,,22⎛⎫⎪⎝⎭，且l α⊥，∴直线l 的方向向量与平面α的法向量平行，则存在实数λ使()12,1,1,,22m λ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴21122m λλλ=⎧⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，解得2,4m λ==，故选：D.4.两条平行直线0x y -=与10x y --=间的距离等于（）A.2B.1C.D.2【答案】A 【解析】【分析】直接利用两平行线间的距离公式求解.【详解】两条平行直线0x y -=与10x y --=，由两平行线间的距离公式可知，所求距离为22d ==．故选：A ．5.过点()1,0且被圆22(2)1x y ++=截得的弦长最大的直线方程为（）A.220x y +-=B.220x y --=C.210x y +-= D.210x y --=【答案】B【解析】【分析】根据圆的性质可知所求直线即为过圆心的直线，结合直线的截距式方程求解.【详解】由题意可知：圆22(2)1x y ++=的圆心为()0,2-，显然圆的最大弦长为直径，所求直线即为过圆心的直线，可得直线方程为112x y +=-，即220x y --=.故选：B.6.圆221:2C x y +=与圆222:(2)(2)2C x y -+-=的位置关系是（）A.相交B.相离C.内切D.外切【答案】D 【解析】【分析】求出两个圆的圆心距即可判断得解.【详解】圆221:2C x y +=的圆心1(0,0)C ，半径1r =，圆222:(2)(2)2C x y -+-=的圆心2(2,2)C ，半径2r =显然1212||C C r r ==+，所以圆1C 与2C 外切.故选：D7.采取随机模拟的方法估计气步枪学员击中目标的概率，先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中，以三个随机数为一组，代表三次射击击中的结果，经随机数模拟产生了20组随机数：907966181925271932812458569683431257393027556488730113537989根据以上数据估计，该学员三次射击至少击中两次的概率为（）A.310B.720C.25 D.920【答案】B 【解析】【分析】根据所给数据计数至少击中两次的次数后计算概率．【详解】所给数据中有181，271，932，812，431，393，113共7个数据表示至少击中两次，所以概率为720P =．故选：B ．8.若方程221343x y m m+=--表示双曲线，则实数m 的取值范围为（）A.()4,3,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭ B.4,33⎛⎫⎪⎝⎭C.()4,3,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D.4,33⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】根据题意得到()()3430m m --<，再解不等式即可.【详解】依题意，()()3430m m --<，则43<m 或3m >.故选：A9.已知12,F F 是双曲线221:18y C x -=与椭圆2C 的左､右公共焦点，A 是12,C C 在第一象限内的公共点，若121F F F A =，则2C 的离心率是（）A.35B.25 C.13D.23【答案】A 【解析】【分析】由双曲线定义、椭圆定义以及离心率公式，结合已知条件运算即可得解.【详解】由221:18y C x -=知1,3a b c ====，所以12126F F F A c ===，∵12||||22F A F A a -==，∴24F A =，∴1210F A F A +=，∵12||6F F =，∴2C 的离心率是63105e ==.故选：A.10.平面内与定点()()12,0,,0F a F a -距离之积等于2(0)a a >的动点的轨迹称为双纽线.曲线C 是当a =P 是曲线C 上的一个动点，则下列结论不正确的是（）A.曲线C 关于原点对称B.满足12PF PF =的点P 有且只有一个C.4OP ≤D.若直线y kx =与曲线C 只有一个交点，则实数k 的取值范围为()1,1-【答案】D 【解析】【分析】由题意得当a =()()2222216x y x y +=-，对于A ，用(,)x y --替换方程中的(,)x y 即可判断；对于B ，令12PF PF =，求出点P 的坐标即可验证；对于C ，由()2222221616x y x y x y -+=≤+即可判断；对于D ，由方程()()22221161k x k +=-无零解，即可得解.2a =，当a =C 8，即()()2422228864y y x x +++-=，整理，得()()2222216x y x y +=-，对于A ，用(,)x y --替换方程中的(,)x y ，原方程不变，所以曲线C 关于原点中心对称，故A 正确；对于B ，若12PF PF =，=所以0x =，此时288y +=，即0y =，所以满足12PF PF =的点P 有且只有一个，即()0,0，故B 正确；对于C ，由()()2222216x yx y+=-，得()2222221616x y x y x y -+=≤+，所以曲线C 上任意一点到原点的距离，即都不超过4，故C 正确；对于D ，直线与曲线C 一定有公共点()0,0，若直线与曲线C 只有一个交点，将y kx =代入方程()()2222216x y x y +=-中，得()()224221161kx k x +=-，当0x ≠时，方程()()22221161k x k +=-无零解，则210k -≤，解得1k ≥或1k ≤-，故D 错误.故选：D.【点睛】关键点睛：判断D 选项的关键是首先一定有公共点()0,0，然后通过化简方程组得方程()()22221161k x k +=-无零解，由此即可顺利得解.第二部分（非选择题共110分）二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.如果事件A 与事件B 互斥，且()0.2P A =，()0.3P B =，则()P A B ＝．【答案】0.5【解析】【分析】()P A B 表示事件A 与事件B 满足其中之一占整体的占比．所以根据互斥事件概率公式求解．【详解】()()0.20.3)0.5(P A P B P A B =+=+= 【点睛】此题考查互斥事件概率公式，关键点在于理解清楚题目概率表示的实际含义，属于简单题目．12.经过原点()0,0且与直线3450x y ++=垂直的直线方程为__________.【答案】430x y -=【解析】【分析】与直线3450x y ++=垂直的直线方程可设为：430x y b -+=，再将()0,0代入即可得出答案.【详解】与直线3450x y ++=垂直的直线方程可设为：430x y b -+=，又因为经过原点()0,0，所以0b =.所求方程为430x y -=故答案为：430x y -=.13.已知双曲线222:1(0)y C x m m-=>是等轴双曲线，则C 的右焦点坐标为__________；C 的焦点到其渐近线的距离是__________.【答案】①.)②.1【解析】【分析】根据等轴双曲线的概念求得m ，即可得焦点，再根据点到直线的距离可得结果．【详解】双曲线222:1(0)y C x m m-=>是等轴双曲线，则21m =，1m =，222112c a b =+=+=，则c =C 的右焦点坐标为)，双曲线的渐近线方程为y x =±，即0x y ±=，则焦点()到渐近线的距离1d ==，故答案为：)，1．14.探照灯、汽车灯等很多灯具的反光镜是抛物面（其纵断面是拋物线的一部分），正是利用了抛物线的光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出．根据光路可逆图，在平面直角坐标系中，抛物线2:8C y x =，一条光线经过()8,6M -，与x 轴平行射到抛物线C 上，经过两次反射后经过()08,N y 射出，则0y =________，光线从点M 到N 经过的总路程为________．【答案】①.83②.20【解析】【分析】由点N 与点Q 的纵坐标相同和韦达定理可得0y ，利用抛物线的定义可求得总路程.【详解】如图，设第一次射到抛物线上的点记为P ，第二次射到抛物线上的点记为Q ，易得9,62P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为()2,0F ，所以直线PF 的方程为125240x y +-=．联立28125240y xx y ⎧=⎨+-=⎩消去x 整理得2310480y y +-=，可设()00,Q x y ，显然6-和0y 是该方程的两个根，则0616y -=-，所以083y =．（方法一）光线从点M 到N 经过的总路程为()()()||||||4420M P P Q N Q M N MP PQ QN x x x x x x x x ++=-++++-=++=．（方法二）设抛物线的准线为l ，则其方程为2x =-，分别过点P ，Q 做准线l 的垂线，垂足分别为G ，H ，则PF PG =，QF QH =，所以PQ PF QF PG QH =+=+，故光线从点M 到N 经过的总路程为828220MP PQ QN MG NH ++=+=+++=．故答案为：83；20.15.画法几何的创始人法国数学家加斯帕尔⋅蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12,,2F F 分别为椭圆的左､右焦点，,A B 为椭圆上两个动点.直线l 的方程为220bx ay a b +--=.给出下列四个结论：①C 的蒙日圆的方程为2223x y b +=；②在直线l 上存在点P ，椭圆C 上存在,A B ，使得PA PB ⊥；③记点A 到直线l 的距离为d ，则2d AF -的最小值为3b ；④若矩形MNGH 的四条边均与C 相切，则矩形MNGH 面积的最大值为26b .其中所有正确结论的序号为__________.【答案】①②④【解析】【分析】由(),Q a b 在蒙日圆上可得蒙日圆的方程，结合离心率可得,a b 关系，由此可知①正确；由l 过(),P b a 且(),P b a 在蒙日圆上，可知当,A B 恰为切点时，PA PB ⊥，知②正确；根据椭圆定义可将2||d AF -转化为12d AF a +-，可知1F A l ⊥时，1||d AF +取得最小值，由点到直线距离公式可求得1||d AF +最小值，代入可得2||d AF -的最小值，知③错误；由题意知，蒙日圆为矩形MNGH 的外接圆，由矩形外接圆特点可知矩形长宽与圆的半径之间的关系22212x y b +=，利用基本不等式可求得矩形面积最大值，知④正确．【详解】对于①，过(),Q a b 可作椭圆的两条互相垂直的切线：,x a y b ==，∴(),Q a b 在蒙日圆上，∴蒙日圆方程为2222x y a b +=+，由2c e a ==，得222a b =，∴C 的蒙日圆方程为2223x y b +=，故①正确；对于②，由l 方程知：l 过(),P b a ，又(),P b a 满足蒙日圆方程，∴(),P b a 在圆2223x y b +=上，当,A B 恰为过P 作椭圆两条互相垂直切线的切点时，PA PB ⊥，故②正确；对于③，∵A 在椭圆上，∴12||||2AF AF a +=，∴211||(2||)||2d AF d a AF d AF a -=--=+-，当1F A l ⊥时，1||d AF +取得最小值，最小值为1F 到直线l 的距离，又1F 到直线l 的距离2222213d b ==，∴2min (||)23d AF a -=-，故③错误；对于④，当矩形MNGH 的四条边均与C 相切时，蒙日圆为矩形MNGH 的外接圆，∴矩形MNGH 的对角线为蒙日圆的直径，设矩形MNGH 的长和宽分别为,m n ，则22212m n b +=，∴矩形MNGH 的面积22262m n S mn b +=≤=，当且仅当m n ==时取等号，即矩形MNGH 面积的最大值为26b ，故④正确.故答案为：①②④．【点睛】关键点睛：本题考查圆锥曲线中的新定义问题的求解，解题关键是能够根据蒙日圆的定义，结合点(),a b 在蒙日圆上，得到蒙日圆的标准方程，从而结合圆的方程来判断各个选项．三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知两直线1l ：80mx y n ++=和2l ：210x my +-=，（1）若1l 与2l 交于点(,1)P m -，求,m n 的值；（2）若12l l //，试确定,m n 需要满足的条件．【答案】（1）1,7m n ==（2）当4,2m n =≠-或4,2m n =-≠时，【解析】【分析】（1）将点代入则得到方程，解出即可；（2）根据平行列出方程，解出4m =±，再排除重合的情况即可.【小问1详解】将点(,1)P m -代入两直线方程得：280m n -+=和210m m --=，解得1,7m n ==.【小问2详解】由12l l //得：28204m m -⨯=⇒=±，又两直线不能重合，所以有8(1)0nm ⨯--≠，对应得2n ≠±，所以当4,2m n =≠-或4,2m n =-≠时，12l l //．17.已知椭圆22:143x y C +=与经过左焦点1F 的一条直线交于,A B 两点.（1）若2F 为右焦点，求2ABF △的周长；（2）若直线AB 的倾斜角为π4，求线段AB 的长.【答案】（1）8（2）247【解析】【分析】（1）直接画出图形结合椭圆的定义即可求解.（2）由题意结合左焦点1F 的坐标以及直线AB 的倾斜角为π4，可得直线AB 的方程，将其与椭圆方程联立，结合韦达定理以及弦长公式即可得解.【小问1详解】由题意2a =，由椭圆定义有121224,24AF AF a BF BF a +==+==，所以2ABF △的周长为221212448AB AF BF AF AF BF BF ++=+++=+=.【小问2详解】设()()1122,,,A x y B x y ，由题意直线AB 的斜率为πtan 14k ==，1c ===，即()11,0F -，所以直线AB 的方程为1y x =+，将它与椭圆方程22143x y +=联立得221431x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 并化简整理得27880x x +-=，显然0∆>，由韦达定理得121288,77x x x x +=-=-，所以线段AB的长为12247AB x =-===.18.已知圆C 经过点A （2，0），与直线x +y ＝2相切，且圆心C 在直线2x +y ﹣1＝0上.（1）求圆C 的方程；（2）已知直线l经过点（0，1），并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程.【答案】（1）（x﹣1）2+（y+1）2＝2（2）x＝0或3x+4y﹣4＝0【解析】【分析】（1）由圆C的圆心经过直线2x+y﹣1＝0上，可设圆心为C（a，1﹣2a）.由点到直线的距离公式表示出圆心C到直线x+y＝2的距离d，然后利用两点间的距离公式表示出AC的长度即为圆的半径，然后根据直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，由a的值可确定出圆心坐标及半径，然后根据圆心和半径写出圆的方程即可.（2）分类讨论，利用圆心到直线的距离为1，即可得出结论.【小问1详解】因为圆心C在直线2x+y﹣1＝0上，可设圆心为C（a，1﹣2a）.则点C到直线x+y＝2的距离d=.据题意，d＝|AC|=解得a＝1.所以圆心为C（1，﹣1），半径r＝d=则所求圆的方程是（x﹣1）2+（y+1）2＝2.【小问2详解】k不存在时，x＝0符合题意；k存在时，设直线方程为kx﹣y+1＝0=1，∴k34=-，∴直线方程为3x+4y﹣4＝0.综上所述，直线方程为x＝0或3x+4y﹣4＝0.19.如图，在四面体ABCD中，AD⊥平面ABC，点M为棱AB的中点，2,2 AB AC BC AD====.（1）证明：AC BD ⊥；（2）求平面BCD 和平面DCM 夹角的余弦值；（3）在线段BD 上是否存在一点P ，使得直线PC 与平面DCM 所成角的正弦值为66？若存在，求BP BD 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）23（3）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）由勾股定理得AB AC ⊥，由AD ⊥平面ABC 得AD AC ⊥，从而AC ⊥平面ABD ，进而得出结论；（2）以A 为坐标原点，以,,AB AC AD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，求出平面BCD 与平面DCM 的法向量，利用向量夹角公式求解；（3）设()01BP BD λλ=≤≤，则BP BD λ= ，求得22,0(,2)P λλ-，设直线PC 与平面DCM 所成角为θ，由题意sin cos ,PC n PC n PC nθ⋅== ，列式求解即可.【小问1详解】∵2,2AB AC BC ===，∴222AB AC BC +=，∴AB AC ⊥，∵AD ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴AD AC ⊥，∵AB AD A ⋂=，,AB AD ⊂平面ABD ，∴AC ⊥平面ABD ，∵BD ⊂平面ABD ，∴AC BD ⊥.【小问2详解】以A 为坐标原点，以,,AB AC AD 所在直线分别为,,x y z轴，建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(1,0,0)A B C D M ，(2,2,0),(0,2,2),(1,2,0)BC CD CM =-=-=- ,设平面BCD 的法向量为111(,,)m x y z = ，由1111220220m BC x y m CD y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令11x =，则111,1==y z ，(1,1,1)m = ，设平面DCM 的法向量为222(,,)n x y z = ，由222222020n CD y z n CM x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令21y =，则222,1x z ==，(2,1,1)n = ，∴cos ,3m n m n m n ⋅=== ，∴平面BCD 和平面DCM夹角的余弦值为3.【小问3详解】设()01BP BDλλ=≤≤，则BP BD λ= ，设(,,)P x y z ，则()()2,,2,0,2x y z λ-=-，得22,0,2x y z λλ-=-==，∴22,0(,2)P λλ-，()22,2,2PC λλ=-- ，平面DCM 的法向量为(2,1,1)n = ，设直线PC 与平面DCM 所成角为θ，由题意，sin cos ,6PC n PC n PC n θ⋅==== ，∴210λ+=，此方程无解，∴在线段BD 上是不存在一点P ，使得直线PC 与平面DCM 所成角的正弦值为6.20.已知抛物线2:2(0)C y px p =>，过C 的焦点F 且垂直于x 轴的直线交C 于不同的两点,P Q ，且4PQ =.（1）求抛物线C 的方程；（2）若过点()0,2M 的直线l 与C 相交于不同的两点,,A B N 为线段AB 的中点，O 是坐标原点，且AOB与MON △:1，求直线l 的方程.【答案】（1）24y x=（2）123=+y x 或2y x =-+【解析】【分析】（1）由题意可得直线,P Q 方程，进而可得2PQ p =，可求得p 值，即可得答案.（2）设直线l 的方程为2(0)y kx k =+≠，联立直线与抛物线，根据韦达定理及弦长公式求得点N 的横坐标N x ，AB ，求出O 到直线l 距离d ，由AOB 与MON △的面积的关系列式求出k ，可得答案.【小问1详解】抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则,P Q 两点所在的直线方程为：2p x =，代入抛物线2:2(0)C y px p =>，得22y p =，y p =±，则||24PQ p ==，故2p =，∴抛物线C 的方程为24.y x =【小问2详解】由题意，设直线l 的方程为2(0)y kx k =+≠，1122(,),(,)A x y B x y ，联立224y kx y x=+⎧⎨=⎩，得22(44)40k x k x +-+=，∴22(44)1632160k k k ∆=--=-+>，解得12k <且0k ≠，121222444,k x x x x k k -+==，∴点N 的横坐标为122222N x x k x k +-==，∴A B =O 到直线l 距离d =，∴AOB 的面积21122AOB S d k AB =⋅=△，MON △的面积22112222222M N ON k k S OM x k k --=⋅=⨯=⨯△，由题意AOB MON S =，∴2222kk k =-，整理得23210k k +-=，解得13k =或1k =-，∴直线l 的方程为123=+y x 或2y x =-+.21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上､下顶点为21,B B ，左､右焦点为12,F F ，四边形1122B F B F 是面积为2的正方形.（1）求椭圆C 的方程；（2）若P 是椭圆C 上异于12,B B 的点，判断直线1PB 和直线2PB 的斜率之积是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由；（3）已知圆2223x y +=的切线l 与椭圆C 相交于,D E 两点，判断以DE 为直径的圆是否经过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由.【答案】（1）2212x y +=（2）是定值，定值为12-（3）过定点，定点为(0,0)【解析】【分析】（1）根据题意列式求,,a b c ，即可得椭圆方程；（2）设()000,,0P x y x ≠，根据斜率公式结合椭圆方程分析求解；（3）取特例3x =±可知定点应为()0,0，再对一般情况，利用韦达定理可得0OC OD ⋅= ，即可得结果.【小问1详解】由题意可得22212222b c b c a b c=⎧⎪⎪⨯⨯=⎨⎪=+⎪⎩，解得11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆C 的方程为2212x y +=.【小问2详解】是定值，理由如下：设()000,,0P x y x ≠，则220012x y +=，可得()220021x y =-，由（1）可知：()()120,1,0,1B B -，则()1222000022000011111221PB PB y y y y k k x x x y +---⋅=⋅===--，所以直线1PB 和直线2PB 的斜率之积是定值12-.【小问3详解】由题意可知：圆2223x y +=的圆心为()0,0，半径为3，因为13<，可知圆2223x y +=在椭圆内，可知切线l 与椭圆C 相交，①当直线l 的斜率不存在时，因为直线l 与圆M相切，故切线方程为3x =±，若切线方程为3x =代入椭圆方程可得，可得,33C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，,33D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，则以CD为直径的圆的方程为22233x y ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭；若切线方程为3x =-代入椭圆方程可得，可得,33C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，,33D ⎛-- ⎝⎭，则以CD 为直径的圆的方程为226233x y ⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭；联立方程2222233233x y x y ⎧⎛⎫⎪-+= ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎪++= ⎪ ⎪⎝⎭⎩，解得00x y ==⎧⎨⎩，即两圆只有一个交点()0,0，若存在定点，则定点应为()0,0；②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+，则3d ==，整理得222(1)3m k =+，联立方程2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得222(21)4220k x kmx m +++-=，设()11,C x y ，()22,D x y ，则122421km x x k -+=+，21222221m x x k -=+，所以22221212121222()()()21m k y y kx m kx m k x x km x x m k -=++=+++=+，所以()2222121222212232202121k k m k OC OD x x y y k k +----⋅=+===++ 即0OC OD ⋅=，所以以CD 为直径的圆经过定点(0,0)O ；综上可知，以CD 为直径的圆过定点(0,0)．【点睛】方法点睛：1．过定点问题的两大类型及解法（1）动直线l 过定点问题．解法：设动直线方程(斜率存在)为y kx t =+，由题设条件将t 用k 表示为t mk n =+，得()y k x m n =++，故动直线过定点(),m n -；（2）动曲线C 过定点问题．解法：引入参变量建立曲线C 的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点；2．求解定值问题的三个步骤（1）由特例得出一个值，此值一般就是定值；（2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值；（3）得出结论．。
浙江省杭州2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题含答案
杭州2023学年第一学期高二年级期末数学试卷（答案在最后）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.抛物线24x y =的准线方程为()A. 1x =-B. 1x = C. 1y =- D. 1y =【答案】C 【解析】【分析】根据抛物线标准方程即可求解.【详解】由题知，抛物线方程为24x y =，则其准线方程为1y =-.故选：C2.圆2240x y x +-=上的点到直线3490x y -+=的距离的最小值为（）A.1 B.2C.4D.5【答案】A 【解析】【分析】求出圆的圆心和半径，利用点到直线的距离以及半径关系，求解即可.【详解】由2240x y x +-=，得22(2)4x y -+=，圆心为(2,0)，半径2r =，圆心到直线3490x y -+=的距离3d ==，故圆上的点到直线3490x y -+=的距离的最小值为1d r -=.故选：A3.设平面α内不共线的三点A ，B ，C 以及平面外一点P ，若平面α内存在一点D 满足()2PD xPA x =+- 3PB xPC +，则x 的值为（）A.0B.19-C.13-D.23-【答案】C【解析】【分析】由空间向量共面定理构造方程求得结果.【详解】 空间A B C D 、、、四点共面，但任意三点不共线，231x x x ∴+-+=，解得：13x=-.故选：C4.已知ABC 的三个顶点分别为()1,0,0A ，()0,2,0B ，()2,0,2C ，则BC 边上的中线长为（）A.1B.C.D.2【答案】B 【解析】【分析】利用中点坐标公式与空间两点的距离公式即可得解.【详解】因为()0,2,0B ，()2,0,2C ，所以BC 的中点为()1,1,1，又()1,0,0A ，则BC =.故选：B.5.设{}n a 是公差为d 的等差数列，n S 是其前n 项和，且10a <，48S S =，则（）A.0d <B.70a = C.120S = D.7n S S ≥【答案】C 【解析】【分析】根据等差数列的通项公式和前n 项求和公式，结合选项计算依次判断即可.【详解】A ：由48S S =，得1143874822a d a d ⨯⨯+=+，则1112a d =-，又10a <，所以11102a d =-<，得0d >，故A 错误；B ：7111166022a a d d d d =+=-+=>，故B 错误；C ：121121111121266022S a d d d ⨯=+=-⨯+=，故C 正确；D ：7177711135()()22222S a a d d d -=+=-+=，21(1)1222n n n n nS na d d --=+=，由21235n n -≥-，得15n ≤≤或7n ≥，即当15n ≤≤或7n ≥时，有7n S S ≥，故D 错误.故选：C6.用数学归纳法证明：()111212322n n f n +=++++≥ （*n ∈N ）的过程中，从n k =到1n k =+时，()1f k +比()f k 共增加了（）A.1项B.21k -项C.12k +项D.2k 项【答案】D 【解析】【分析】分别计算出()1f k +和()f k 的项数，进而作差即得结论．【详解】因为()1111232n f n =++++ ，所以()1111232k f k =++++ ，共2k 项，则()11111112321221k k k f k +++++++++=+ 共12k +项，所以()1f k +比()f k 共增加了1222k k k +-=项，故选：D7.若数列{}n a 满足递推关系式122nn n a a a +=+，且12a =，则2024a =（）A.11012B.22023C.11011D.22021【答案】A 【解析】【分析】利用取倒数法可得11112n n a a +-=，结合等差数列的定义和通项公式即可求解.【详解】因为122n n n a a a +=+，所以1211122n n n n a a a a ++==+，所以11112n n a a +-=，又12a =，所以1112=a ，故数列1{}na 是以12为首项，以12为公差的等差数列，则1111(1)222n n n a =+-=，得2n a n=，所以20242120241012a ==.故选：A8.设双曲线Γ的中心为O ，右焦点为F ，点B 满足2FB OF =，若在双曲线Γ的右支上存在一点A ，使得OA OF =，且3OAB OBA ∠≥∠，则Γ的离心率的取值范围是（）A.22,77⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B.21,7⎛⎤+ ⎥ ⎝⎦C.31,7⎛⎤+ ⎥ ⎝⎦D.33,77⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】因为OA OF =，所以A 是以O 为圆心，为OF 半径的圆O 与Γ的交点，根据条件结合双曲线的定义得27480e e --≤求解即可.【详解】不妨设A 在第一象限．因为OA OF =，所以A 是以O 为圆心，为OF 半径的圆O 与Γ的交点．设Γ的左焦点为X ，则4XOA OAB OBA OBA ∠=∠+∠≥∠，122AFO XOA OBA ∠=∠≥∠，即A FAB FB ≥∠∠，FA BF ≤在圆O 上上取一点C ，使FC B F =，则FC FA ≥由双曲线的定义知2CX FC a -≤（a 是实半轴长），即()222224FC aC c C X F +≥=-（c 是半焦距），由2FB OF = ，得212c FB FO ==，得22222242c c c Xa C ⎛⎫+≥=⎭⎛⎫⎪⎝ ⎪⎭-⎝2274202a ac c +-≥，又离心率ce a =，所以27480e e --≤，又1e >，所以21,7e ⎛⎤⎝∈⎥⎦，故选：B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知()f x ，()g x 在R 上连续且可导，且()00'≠f x ，下列关于导数与极限的说法中正确的是（）A.()()()000Δ0ΔlimΔx f x x f x f x x→--'= B.()()()Δ0ΔΔlim2Δh f t h f t h f t h→+--'=C.()()()000Δ03Δlim3Δx f x x f x f x x→+-'= D.()()()()()()000Δ0000Δlim Δx g x x g x g x f x x f x f x →'+-='+-【答案】BCD 【解析】【分析】利用导数的定义逐个求解.【详解】()()()()()000000limlimx x f x x f x f x x f x f x xx∆→∆→+⎡⎤-∆--∆-'=-=-∆-∆⎣⎦，故A 错；()()()()()02limlim22h h f t h f t h f t h f t f t hh∆→∆→+∆--∆+∆-'==∆∆，故B 对；()()()00003lim3x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆，由导数的定义知C 对；()()()()()()()()()()0000000000000limlimlim x x x g x x g x g x x g x g x x f x x f x f x x f x f x x ∆→∆→∆→+∆-'+∆-∆==+∆-'+∆-∆，故D 对；故选：BCD10.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，正项等比数列{}n b 的前n 项积为n T ，则（）A.数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 B.数列{}3na 是等比数列C.数列{}ln n T 是等差数列D.数列2n n T T +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列【答案】ABD 【解析】【分析】根据等差数列与等比数列的定义及等差数列前n 项和公式为计算即可.【详解】设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则2112222n n S d d d d S n a n n a n ⎛⎫⎛⎫=+-⇒=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()1212n n S S d n n n --=≥-是常数，故A 正确；易知()1133323nn n n a a a d a n ---==≥是常数，故B 正确；由()1ln ln ln 2n n n T T b n --=≥不是常数，故C 错误；()221212n n n n n nT T b q n T T b +++-÷==≥是常数，故D 正确.故选：ABD11.已知O 为抛物线()2:20C y px p =>的顶点，直线l 交抛物线于,M N 两点，过点,M N 分别向准线2px =-作垂线，垂足分别为,P Q ，则下列说法正确的是（）A.若直线l 过焦点F ，则以MN 为直径的圆与y 轴相切B.若直线l 过焦点F ，则PF QF⊥C.若,M N 两点的纵坐标之积为28p -，则直线l 过定点()4,0pD.若OM ON ⊥，则直线l 恒过点()2,0p 【答案】BCD 【解析】【分析】根据抛物线的焦半径公式结合条件判断AB ，设直线l 方程为x my b =+，与抛物线方程联立，利用韦达定理结合条件判断CD.【详解】设()()1122,,,M x y N x y ，选项A ：MN 中点H 即以MN 为直径的圆的圆心横坐标为122x x +，则由抛物线的定义可知12MN MP NQ x x p =+=++，所以梯形PMNQ 的中位线122x x pGH ++=，所以点H 到y 轴的距离为1222x x p GH +-=不等于半径1222x x pMN ++=，A 说法错误；选项B ：由抛物线的定义可知MP MF =，NF NQ =，又根据平行线的性质可得1MPF PFO MFP ∠=∠=∠=∠，2NQF QFO NFQ ∠=∠=∠=∠，因为()212π∠+∠=，所以π122∠+∠=，即PF QF ⊥，B 说法正确；选项C ：由题意可知直线l 斜率不为0，设直线l 方程为x my b =+，联立22x my b y px=+⎧⎨=⎩得2220y pmy pb --=，22480p m pb ∆=+>，所以122y y pb =-，由21228y y pb p =-=-解得4b p =，满足0∆>，所以直线:4l x my p =+过定点()4,0p ，C 说法正确；选项D ：因为OM ON ⊥，所以由0OM ON ⋅= 可得12110x x y y +=，所以221212022y y y y p p⋅+=①，将122y y pb =-，代入①得2b p =，满足0∆>，所以直线:2l x my p =+过定点()2,0p ，D 说法正确；故选：BCD12.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转化成图3所示的几何体，若图3中每个正方体的棱长为1，则（）A.122QC AD AB AA =+- B.若M 为线段CQ 上的一个动点，则BM BD ⋅的最小值为1C.点F 到直线CQ 的距离是3D.异面直线CQ 与1AD 【答案】ABD 【解析】【分析】根据空间向量线性运算法则判断A ，以1A 为坐标原点，1A F 所在直线为x 轴，11A B 所在直线为y 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算B 、C 、D .【详解】因为()1112222CQ CB BQ AD BA AD AA AB AB AD AA =+=-+=-+-=--+，所以()112222QC CQ AB AD AA AD AB AA =-=---+=+-，故A 正确；如图以1A为坐标原点，建立空间直角坐标系，则()0,1,1B -，()11,0,0D -，()1,0,1D --，()0,1,1Q -，()1,1,1C --，()0,0,1A -，()1,0,0F ，()1,1,0BD =-- ，()1,2,2CQ =- ，()11,0,1AD =- ，()2,1,1CF =-，对于B ：因为M 为线段CQ 上的一个动点，设CM CQ λ=，[]0,1λ∈，则()()()1,0,01,2,21,2,2BM BC CM λλλλ=+=-+-=--，所以()121BM BD λλλ⋅=--+=+，所以当0λ=时()min1BM BD ⋅= ，故B 正确；对于C ：CF ==63CF CQ CQ ⨯+-⨯-+⨯⋅==，所以点F到直线CQ的距离d ==，故C 错误；对于D：因为111cos ,6CQ AD CQ AD CQ AD ⋅===⋅ ，所以1sin ,6CQ AD ==，所以1tan ,CQ AD =，即异面直线CQ 与1AD ，故D 正确；故选：ABD .第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知()sin exf x =，则()f x '=_____________．【答案】sin e cos x x ⋅【解析】【分析】利用复合函数求导函数方法求解即可.【详解】由()()()sin sin sin c e e e sin os x x x x x x f '=⋅=⋅''=，故答案为：sin e cos x x⋅14.若平面内两定点A ，B 间的距离为3，动点P 满足2PA PB=，则△PAB 面积的最大值为_____________．【答案】3【解析】【分析】首先求点P 的轨迹方程，再利用数形结合求PAB 面积的最大值.【详解】以AB 所在直线为x 轴，以线段AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，设33(,),(,0),(,0)22P x y A B -，因为2PA PB=，即2PA PB =，=，整理为：22542x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则点P 的轨迹是以点5,02⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，半径为2的圆，所以点P 到AB 距离的最大值是2，所以PAB 面积的最大值是13232⨯⨯=.故答案为：315.已知点P 是抛物线24y x =上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为()1,0-，则PFPA的最小值为________.【答案】2【解析】【分析】过P 做准线的垂线，根据定义可得PF PM =，将所求PFPA最小，转化为sin PM PAM PA =∠的最小，结合图像分析出，当PA 与抛物线相切时，PAM ∠最小，联立直线与抛物线方程，根据判别式求出PA 斜率k ，进而可得PAM ∠的值，代入所求即可。
2022-2023学年天津市天津中学高二上学期期末数学试题(解析版)
2022-2023学年天津市天津中学高二上学期期末数学试题一、单选题 1．直线tan 4x π=-的倾斜角是（ ）A ．0B ．2πC ．34π D ．4π 【答案】B【分析】由倾斜角的概念求解 【详解】tan 4x π=-，即=1x -，直线的倾斜角为2π． 故选：B2．两直线3430x y +-=与810mx y ++=平行，则它们之间的距离为（ ） A ．4 B ．75C ．710D ．1710【答案】C【分析】先根据直线平行求得m ，再根据平行线间的距离公式求解即可.【详解】因为直线3430x y +-=与810mx y ++=平行，故3840m ⨯-=，解得6m =.故直线6860+-=x y 与810mx y ++=710=. 故选：C3．设椭圆2222x y m n+=1(0,0)m n >>的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同,离心率为12,则此椭圆的方程为A ．2211216x y +=B ．2211612x y +=C ．2214864x y +=D ．2216448x y +=【答案】B【分析】先根据抛物线的方程求得焦点坐标,进而求得椭圆的半焦距c,根据椭圆的离心率求得m,最后根据m 、n 和c 的关系求得n. 【详解】∴抛物线28y x =,4p ∴=,焦点坐标为(2,0)∴椭圆的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同 ∴椭圆的半焦距2c =,即224m n -=212e m ==，4m n ∴==，∴椭圆的标准方程为2211612x y +=，故选B.本题主要考查了椭圆的标准方程的问题.要熟练掌握椭圆方程中a,b 和c 的关系,求椭圆的方程时才能做到游刃有余.【解析】椭圆与抛物线的标准方程，及性质.点评：由抛物线的焦点，可得椭圆的半焦距c,再由离心率可知m,从而n 因而椭圆方程确定.4．已知点(3,1)P --，向量(5,1)m =-，过点P 作以向量m 为方向向量的直线L ，则点(3,1)A -到直线L 的距离为（ ）A ．0 BCD 【答案】B【分析】根据题意得直线L 为30x +，再由点到直线距离公式解决即可. 【详解】由题知点(3,1)P --，向量(5,1)m =-，过点P 作以向量m 为方向向量的直线L ， 所以直线L 的斜率为k =所以直线L 为13)y x +=+，即30x ++， 因为(3,1)A -所以A L d -== 故选：B5．已知三棱柱111ABC A B C ，点P 为线段11B C 上一点，且11113B P BC =，则AP =（ ）A ．11122AB AC AA ++B ．11122AB AC AA ++ C ．11233AB AC AA +-D ．12133AB AC AA ++ 【答案】D【分析】根据空间向量的运算，利用基底表示向量AP .【详解】由题意得11AP AB BP AB BB B P =+=++，因为11113B P BC =，11BB AA =，所以11111133AP AB AA B C AB AA BC =++=++()113AB AA AC AB =++-12133AB AA AC =++.故选：D.6．若点()1,1P 在圆22:0C x y x y k ++-+=的外部，则实数k 的取值范围是（ ） A ．()2,-+∞ B ．12,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭C ．12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()2,2-【答案】C【分析】由于点()1,1P 在圆22:0C x y x y k ++-+=的外部，所以111101140k k ++-+>⎧⎨+->⎩，从而可求出k 的取值范围【详解】解：由题意得111101140k k ++-+>⎧⎨+->⎩，解得122k -<<，故选：C ．7．已知直线0x y m -+=与圆22:40C x y y ++=相交于A 、B 两点，若CA CB ⊥，则实数m 的值为（ ） A ．4-或0 B ．4-或4 C ．0或4 D ．4-或2【答案】A【分析】分析可知ABC 为等腰直角三角形，利用几何关系求出圆心C 到直线AB 的距离，再利用点到直线的距离公式可得出关于m 的等式，即可解得m 的值.【详解】圆C 的标准方程为()2224x y ++=，圆心为()0,2C -，半径为2r =，因为CA CB ⊥且2CA CB ==，故ABC 为等腰直角三角形，且222AB CA == 则圆心C 到直线AB 的距离为122d AB ==由点到直线的距离公式可为d ==4m =-或0.故选：A.8．已知空间中四点()1,1,0A -，()2,2,1B ，()1,1,1C ，()0,2,3D ，则点D 到平面ABC 的距离为（ ）A B C D ．0【答案】A【分析】根据题意，求得平面ABC 的一个法向量(1,1,2)n =--，结合距离公式，即可求解. 【详解】由题意，空间中四点()1,1,0A -，()2,2,1B ，()1,1,1C ，()0,2,3D ， 可得(3,1,1),(2,0,1),(1,1,3)AB AC AD ===，设平面ABC 的法向量为(,,)n x y z =，则3020n AB x y z n AC x z ⎧⋅=++=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1x =，可得1,2y z =-=-，所以(1,1,2)n =--，所以点D 到平面ABC 的距离为111n AD n⋅-==+故选：A.9．使得“直线210ax y +-=与直线(1)210a x ay +-+=垂直”的充分不必要条件是（ ） A ．1a = B ．2a =C ．3a =D ．3a =或0a =【答案】C【分析】求得直线210ax y +-=与直线(1)210a x ay +-+=垂直时，a 的值，由此确定充分不必要条件.【详解】直线210ax y +-=与直线(1)210a x ay +-+=垂直时，()()1220a a a ++-=，230a a -=，解得0a =或3a =.所以使得“直线210ax y +-=与直线(1)210a x ay +-+=垂直”的充分不必要条件是C 选项. 故选：C10．若直线:420l kx y k -++=与曲线y k 的取值范围是（ ） A ．{}1k k =±B ．3{|}4k k <-C ．3{|1}4k k -≤<-D ．3{|1}4k k -≤<【答案】C【分析】根据直线l 和曲线方程在平面直角坐标系中画出图形，数形结合分析即可.【详解】由题意，直线l 的方程可化为(2)40x k y +-+=，所以直线l 恒过定点(2,4)A -，24y x =-，可化为224(0)x y y +=≥其表示以(0,0)为圆心，半径为2的圆的一部分，如图.当l 与该曲线相切时，点(0,0)到直线的距离24221kd k +==+，解得34k =-.设(2,0)B ，则40122AB k -==---.由图可得，若要使直线l 与曲线24y x -则314k -≤<-. 故选：C.11．若数列{}n a 的通项公式是()()132nn a n =--，则1220a a a +++=A ．30B ．29C ．-30D ．-29【答案】A【详解】试题分析：由数列通项公式可知()()12201219201010330a a a a a a a d +++=++++==⨯=【解析】分组求和12．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，过点F 且倾斜角为π4的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，则AB =（ ）． A ．8 B ．82C ．16D ．32【答案】C【分析】根据过抛物线焦点的弦长公式求得正确答案. 【详解】焦点()2,0F ，直线l 的方程为2y x =-，由228y x y x=-⎧⎨=⎩，消去y 并化简得21240,144161280x x -+=∆=-=>， 设()()1122,,,A x y B x y ，所以1212x x +=， 所以1212416AB x x p =++=+=. 故选：C13．设抛物线y 2=8x 的焦点为F ，准线为l,P 为抛物线上一点,PA ⊥l,A 为垂足．如 果直线AF 的斜率为-3,那么|PF|= A ．43 B ．8 C ．83 D ．16【答案】B【详解】设A （-2，t ），∴，∴∴PF =814．若数列{}n a 满足12332n n a a a a ++++=-，则这个数列的通项公式为( )A ．123n n a -=⨯B ．113()2n n a -=⨯C ．32n a n =-D ．11,=1=2?3,2n n n a n -≥⎧⎨⎩ 【答案】D【分析】根据递推数列的性质，可以得到1123132n n a a a a --++++=-，两式相减，即可得到n a 的表达式；此时要注意首项是否符合通项公式． 【详解】因为12332n n a a a a ++++=-，所以11231++++=322n n a a a a n ---≥，，两式相减，得123n n a -=⨯，且当=1n 时，1=2a ，在原式中，首项11321a =-=，二者不相等，所以11,=1=2?3,2n n n a n -≥⎧⎨⎩ 故选：D15．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>> 的一条渐近线过点(3 ，且双曲线的一个焦点在抛物线247y x = 的准线上，则双曲线的方程为A．2212128x y-=B．2212821x y-=C．22134x y-=D．22143x y-=【答案】D【详解】试题分析：双曲线的一条渐近线是by xa=2ba=①，抛物线2y=的准线是x=c=2227a b c+==②，由①②联立解得2ab=⎧⎪⎨=⎪⎩22143x y-=．故选D．【解析】双曲线的标准方程．16．圆22:(1)(1)2C x y-+-=关于直线:1l y x=-对称后的圆的方程为（）A．22(2)2x y-+=B．22(2)2x y++=C．22(2)2x y+-=D．22(2)2x y++=【答案】A【分析】由题可得圆心关于直线的对称点，半径不变，进而即得.【详解】圆22:(1)(1)2C x y-+-=的圆心(1,1)，由:1l y x=-得1lk=，设圆心关于直线对称点的坐标为(,)m n，则111111022nmm n-⎧=-⎪⎪-⎨++⎪--=⎪⎩，解得2mn=⎧⎨=⎩,所以对称圆的方程为22(2)2x y-+=.故选：A.17．设n S为等比数列{}n a的前n项和，若4212a a-=，316a a-=，则63SS=（）A．665B．2 C．9 D．72【答案】C【分析】根据已知先求出数列的首项和公比，即可利用求和公式求出.【详解】设等比数列{}n a的公比为q，则1231113421612aaa a qa a a qa q⎧-=-=-=-=⎪⎨⎪⎩，解得122aq=⎧⎨=⎩，则()6621212612S ⨯-==-，()332121412S ⨯-==-，所以63126914S S ==. 故选：C.18．已知1F 、2F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的两个焦点，过2F 的直线与椭圆交于A 、B 两点，若11:||:3:4:5AF AB BF =，则该椭圆的离心率为（ ） A ．32B ．23-C ．312- D ．22【答案】D【分析】利用勾股定理得出1290F AF ∠=，利用椭圆的定义求得1AF 、2AF ，利用勾股定理可得出关于a 、c 的等量关系，由此可解得该椭圆的离心率.【详解】如下图所示，设13AF t =，则4AB t =，15BF t =，所以，22211AF AB BF +=， 所以，1290F AF ∠=，由椭圆定义可得11124AF AB BF t a ++==，3at ∴=，13AF t a ∴==， 所以，212AF a AF a =-=，所以，12AF F △为等腰直角三角形，可得2221212AF AF F F +=，2224a c ∴=， 所以，该椭圆的离心率为2c e a ==. 故选：D.【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.19．若双曲线经过点()，且它的两条渐近线方程是3y x =±，则双曲线的方程是（ ）．A ．2219y x -=B ．2219x y -=C ．221273y x -=D ．221273x y -=【答案】A【分析】由渐近线方程可设双曲线为229y x m -=且0m ≠，再由点在双曲线上，将点代入求参数m ，即可得双曲线方程.【详解】由题设，可设双曲线为229y x m -=且0m ≠，又()在双曲线上，所以36319m =-=-，则双曲线的方程是2219y x -=. 故选：A20．在各项均不为零的等差数列{}n a 中，若2110(2)n nn a a a n +--+=≥， 则214n S n --= A ．2- B ．0 C ．1 D ．2【答案】A【详解】试题分析：根据等差数列{}n a 性质可知()1122n n n a a a n +-+=≥，所以220n n a a -=，因为0n a ≠，所以2n a =，则()21421242n S n n n --=-⨯-=-，故选A. 【解析】等差数列. 21．数列{}n a 满足123n na n +++⋅⋅⋅+=，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为（ ）A ．1nn + B ．2nn + C ．21nn + D ．22nn + 【答案】D【分析】利用等差数列的前n 项和公式得到n a ，进而得到1111412n n a a n n +⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，利用裂项相消法求和.【详解】依题意得：()1122n n n n a n ++==， ()()1141141212n n a a n n n n +⎛⎫∴==- ⎪++++⎝⎭，12231111n n a a a a a a +∴++⋯+ 1111114233412n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1124222n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭， 故选：D ．22．已知抛物线24y x =与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，且AF x ⊥轴，则双曲线的离心率为（ ） A2+ B1C1D1【答案】D【分析】由抛物线24y x =可得双曲线的右焦点为()1,0F ，根据题意列式求解a ，即可得双曲线离心率.【详解】由抛物线24y x =可得焦点()1,0F ，则双曲线22221x y a b-=的右焦点为()1,0F ，即1c =，若AF x ⊥轴，可设()01,A y ，则204y =，由题意可得：22221141a b a b⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得1a =，∴双曲线的离心率为1c e a ==. 故选：D.23．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项11a =，且满足132nn n a a ++=⋅，则11S 的值为（ ）A ．4093B ．4094C ．4095D ．4096【答案】A【详解】由递推公式确定通项公式(1)2n nn a =-+，再求11S 即可.【解答】132nn n a a ++=⋅，故111232221222n n n n n n nn n nn n n a a a a a a +++-⋅---===----，又121a -=-， 所以{}2n n a -是首项为1-，公比为1-的等比数列，所以(1)2n nn a =-+，则()1112111112112121212121409312S a a a ⨯-=+++=-++++-+=-+=-故选：A24．已知函数()113sin 22f x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，数列{}n a 满足2023n n a =，则()()()122022f a f a f a ++⋅⋅⋅+=（ ） A ．2022 B ．2023 C ．4044 D ．4046【答案】A【分析】先求得()()12f x f x +-=，然后利用倒序相加法求得正确答案. 【详解】∵()11113sin 22f x x x ⎛⎫-=-+-+ ⎪⎝⎭，∴()()12f x f x +-=． ∵20232023120232023n n n na a --+=+=， ∴()()20232n n f a f a -+=．令()()()122022S f a f a f a =++⋅⋅⋅+， 则()()()202220211S f a f a f a =++⋅⋅⋅+，两式相加得222022S =⨯， ∴2022S =． 故选:A25．在数列{}n a 中，12a =，11ln(1)1n n a a n n n+=+++，则n a 等于（ ） A ．2ln n n + B ．2(1)ln n n n +- C ．2ln n n n + D ．1ln n n n ++【答案】C【分析】将给定的递推公式变形，再借助累加法计算作答. 【详解】因11ln(1)1n n a a n n n +=+++，则有1(1)ln 1ln n n a n n a nn +-=+-+， 于是得，当2n ≥时，23111223()()()1121n n n a a a a n an a a a n -++++=---- ()()()2ln 2ln1ln3ln 2ln ln 12ln n n n ⎡⎤=+-+-++--=+⎣⎦，因此，2ln n a n n n =+，显然，12a =满足上式， 所以2ln n a n n n =+. 故选：C26．过点()2,3M 作圆224x y +=的两条切线，设切点分别为A 、B ，则直线AB 的方程为（ ） A ．220x y +-= B ．2340x y +-=C ．2340x y --=D ．3260x y +-=【答案】B【分析】根据题意，可知圆224x y +=的圆心为()0,0O ，半径2r =，由切线长公式求出MA 的长，进而可得以M 为圆心，MA 为半径为圆，则AB 为两圆的公共弦所在的直线，联立两个圆的方程，两方程作差后计算可得答案．【详解】解：根据题意，可知圆224x y +=的圆心为()0,0O ，半径2r =， 过点()2,3M 作圆224x y +=的两条切线，设切点分别为A 、B ，而MO =3MA =，则以M 为圆心，MA 为半径为圆为()()22239x y -+-=，即圆224640x y x y +--+=，所以AB 为两圆的公共弦所在的直线，则有222244640x y x y x y ⎧+=⎨+--+=⎩， 作差变形可得：4680x y +-=； 即直线AB 的方程为2340x y +-=. 故选：B.27．若函数()1n n a f a +=，则称f （x ）为数列{}n a 的“伴生函数”，已知数列{}n a 的“伴生函数”为()21f x x =+，11a =，则数列{}n na 的前n 项和n T =（ ）A ．(1)222n n n n +⋅+-B ．()11222n n n n ++⋅+-C ．()()111222n n n n ++-⋅+- D ．()()11222n n n n +-⋅+-【答案】C【分析】由已知可得数列{}1n a +为等比数列，其首项为112a +=，公比也为2，从而可求得21nn a =-，则2nn na n n =⋅-，从而可表示出n T ()121122222n n n n +=⨯+⨯++⋅-，令()1212222n H n n =⨯+⨯++⋅，利用错位相减法可求出()H n ，从而可求得结果【详解】依题意，可得*121()n n a a n N +=+∈，所以()11210n n a a ++=+>，即1121n n a a ++=+， 故数列{}1n a +为等比数列，其首项为112a +=，公比也为2， 所以11222n n n a -+=⋅=，所以21nn a =-，所以2n n na n n =⋅-，所以1112222(12)n n T n n =⨯+⨯++⋅-+++()121122222n n n n +=⨯+⨯++⋅-.令()1212222n H n n =⨯+⨯++⋅，则()21H n =()211222122n n n n +⨯+⨯++-⋅+⋅，两式相减，得()121112222222n n n n H n n n +++-=+++⋅=--⋅-，所以()()1122n H n n +=-⋅+，所以()()11()1222n n n T n n ++=-⋅+-.故选：C.28．点M 为抛物线214y x =上任意一点，点N 为圆223204x y y +-+=上任意一点，若函数()()()log 221a f x x a =++>的图象恒过定点P ，则MP MN +的最小值为（ ）A ．52B ．114C ．3D ．134【答案】A【解析】计算()1,2P -，则1122MP MN MP MF PD +≥+-≥-，计算得到答案. 【详解】函数()()()log 221a f x x a =++>的图象恒过定点1,2，故()1,2P -.214y x =，即24x y =，焦点为()0,1F ，准线为1y =-， 223204x y y +-+=，即()22114x y +-=. 111532222MP MN MP MF PD +≥+-≥-=-=，当PMD 共线时等号成立. 故选：A .【点睛】本题考查了对数函数过定点问题，抛物线的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.29．正项数列{}n a 的前n 项的乘积2621()(N ),log 4n n n n n T n b a -+=∈=，则数列{}n b 的前n 项和n S 中的最大值是 （ ） A ．6S B ．5S C ．4S D ．3S【答案】D【分析】由已知，求得{}n a 的通项公式，再求得数列{}n b 的通项公式，继而求得n S 中的最大值．【详解】由已知当1n =时，55111()44a T -===，当2n ≥时，2711()4n nn n Ta T --==，1n =时也适合上式，数列{}n a 的通项公式为2721()log 44,14n n n n a b a n -=∴==-， 数列{}n b 是以10为首项，以4-为公差的等差数列,22(1)(4)102122[(3)9]2n n n S n n n n -⨯-=+=-+=---，当3n =时取得最大值, 即n S 中的最大值是3S 故选：D30．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N 分别是1A D ，1D B 的中点，则下述结论中正确的个数为（ ）①MN ∥平面ABCD ； ②平面1A ND ⊥平面1D MB ；③直线MN 与11B D 所成的角为45︒； ④直线1D B 与平面1A ND 所成的角为45︒． A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】建立空间直角坐标系，利用法向量的性质，结合空间向量夹角公式逐一判断即可. 【详解】建立如下图所示的空间直角坐标系，设该正方体的棱长为2，111(0,0,0),(2,0,2),(2,2,0),(0,0,2),(2,2,2),(1,0,1),(1,1,1)D A B D B M N ，由正方体的性质可知：1D D ⊥平面ABCD ，则平面ABCD 的法向量为1(0,0,2)DD =， (0,1,0)MN =，因为10D D MN ⋅=，所以1D D MN ⊥，而MN ⊄平面ABCD ，因此MN ∥平面ABCD ，故①对；设平面1A ND 的法向量为(,,)m x y z =，(1,1,1)DN =，1(2,0,2)DA =， 所以有1100(1,0,1)2200m DN m DN x y z m x z m DA m DA ⎧⎧⊥⋅=++=⎧⎪⎪⇒⇒⇒=-⎨⎨⎨+=⊥⋅=⎩⎪⎪⎩⎩， 同理可求出平面1D MB 的法向量(1,0,1)n =，因为110m n ⋅=-=，所以m n ⊥，因此平面1A ND ⊥平面1D MB ，故②正确； 因为(0,1,0)MN =，11(2,2,0)B D =--， 所以1111112cos ,144MN B D MN B D MN B D ⋅〈〉===⨯+⋅，因为异面直线所成的角范围为(0,90]，所以直线MN 与11B D 所成的角为45︒，故③正确； 设直线1D B 与平面1A ND 所成的角为θ，因为1(2,2,2)D B =-，平面1A ND 的法向量为(1,0,1)m =-， 所以11162sin cos ,11444D B m D B m D B mθ⋅=〈〉===≠+⨯++⋅ 所以直线1D B 与平面1A ND 所成的角不是45︒，因此④错误， 一共有3个结论正确， 故选：C。
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2015-2016学年山东省青岛市胶州市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知椭圆的方程为+=1，则此椭圆的长轴长为（）A．3 B．4 C．6 D．82．若直线ax+y﹣1=0与直线4x+（a﹣3）y﹣2=0垂直，则实数a的值等于（）A．﹣1 B．4 C．D．3．直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系为（）A．相切 B．相交但直线不过圆心C．直线过圆心D．相离4．命题“若xy=0，则x2+y2=0”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．45．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的各个面中，最大的面积是（）A．B．1 C．D．6．抛物线y=4x2的焦点坐标是（）A ．（0，1）B ．（1，0）C ．D ．7．若m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下面命题正确的是（ ）A ．若m ⊂β，α⊥β，则m ⊥αB ．若α∩γ=m ，β∩γ=n ，则α∥βC ．若m ⊥β，m ∥α，则α⊥βD ．若α⊥β，α⊥γ，则β⊥γ8．圆心在曲线上，且与直线2x+y+1=0相切的面积最小的圆的方程为（ ）A ．（x ﹣1）2+（y ﹣2）2=5B ．（x ﹣2）2+（y ﹣1）2=5C ．（x ﹣1）2+（y ﹣2）2=25D ．（x ﹣2）2+（y ﹣1）2=259．在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱AB ，AD ，AA 1，上分别各取异于端点的一点E ，F ，M ，则△MEF 是（ ）A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不能确定10．设F 1，F 2分别为双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|=|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．2二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．已知圆锥的母线长为5cm ，侧面积为15πcm 2，则此圆锥的体积为 cm 3．12．已知：椭圆的离心率，则实数k 的值为 ． 13．已知实数x ，y 满足，则u=3x+4y 的最大值是 ．14．“a ≠1或b ≠2”是“a+b ≠3”成立的 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中的一个）．15．椭圆+=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，弦AB 过点F 1，若△ABF 2的内切圆周长为π，A ，B 两点的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），则|y 1﹣y 2|= ．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.16．设命题p ：方程+=1表示双曲线；命题q ：∃x 0∈R ，x 02+2mx 0+2﹣m=0（Ⅰ）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若命题q 为真命题，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）求使“p ∨q ”为假命题的实数m 的取值范围．．17．已知坐标平面上一点M （x ，y ）与两个定点M 1（26，1），M 2（2，1），且=5．（Ⅰ）求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（Ⅱ）记（Ⅰ）中的轨迹为C ，过点M （﹣2，3）的直线l 被C 所截得的线段的长为8，求直线l 的方程．18．已知P （x ，y ）为平面上的动点且x ≥0，若P 到y 轴的距离比到点（1，0）的距离小1．（Ⅰ） 求点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ） 设过点M （m ，0）的直线交曲线C 于A 、B 两点，问是否存在这样的实数m ，使得以线段AB 为直径的圆恒过原点．19．如图所示，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，F 为CD 的中点．求证：（Ⅰ）AF ∥平面BCE ；（Ⅱ）平面BCE ⊥平面CDE ．20．已知F 1，F 2分别为椭圆=1（a ＞b ＞0）左、右焦点，点P （1，y 0）在椭圆上，且PF 2⊥x轴，△PF 1F 2的周长为6；（1）求椭圆的标准方程；（2）E 、F 是曲线C 上异于点P 的两个动点，如果直线PE 与直线PF 的倾斜角互补，证明：直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值．21．已知椭圆C 的两个焦点的坐标分别为E （﹣1，0），F （1，0），并且经过点（，），M 、N 为椭圆C 上关于x 轴对称的不同两点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若⊥，试求点M 的坐标； （3）若A （x 1，0），B （x 2，0）为x 轴上两点，且x 1x 2=2，试判断直线MA ，NB 的交点P 是否在椭圆C 上，并证明你的结论．2015-2016学年山东省青岛市胶州市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知椭圆的方程为+=1，则此椭圆的长轴长为（）A．3 B．4 C．6 D．8【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】判断椭圆的焦点坐标所在的轴，然后求解长轴长即可．【解答】解：椭圆的方程为+=1，焦点坐标在x轴．所以a=4，2a=8．此椭圆的长轴长为：8．故选：D．【点评】本题考查椭圆的基本性质的应用，基本知识的考查．2．若直线ax+y﹣1=0与直线4x+（a﹣3）y﹣2=0垂直，则实数a的值等于（）A．﹣1 B．4 C．D．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】计算题．【分析】由两直线垂直的充要条件可得：4a+（a﹣3）=0，解之即可．【解答】解：由两直线垂直的充要条件可得：4a+（a﹣3）=0，解得a=．故选C【点评】本题考查两直线垂直的充要条件，属基础题．3．直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系为（）A．相切 B．相交但直线不过圆心C．直线过圆心D．相离【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题．【分析】求出圆心到直线的距离d，与圆的半径r比较大小即可判断出直线与圆的位置关系，同时判断圆心是否在直线上，即可得到正确答案．【解答】解：由圆的方程得到圆心坐标（0，0），半径r=1则圆心（0，0）到直线y=x+1的距离d==＜r=1，把（0，0）代入直线方程左右两边不相等，得到直线不过圆心．所以直线与圆的位置关系是相交但直线不过圆心．故选B【点评】此题考查学生掌握判断直线与圆位置关系的方法是比较圆心到直线的距离d与半径r的大小，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道中档题．4．命题“若xy=0，则x2+y2=0”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．4【考点】四种命题的真假关系；四种命题．【专题】常规题型．【分析】先写出其命题的逆命题，只要判断原命题和其逆命题的真假即可，根据互为逆否命题的两个命题真假相同，即可判定其否命题、逆否命题的真假．【解答】解：“若xy=0，则x2+y2=0”，是假命题，其逆命题为：“若x2+y2=0，则xy=0”是真命题，据互为逆否命题的两个命题真假相同，可知其否命题为真命题、逆否命题是假命题，故真命题的个数为2故选C．【点评】本题考查四种命题及真假判断，注意原命题和其逆否命题同真假，属容易题．5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的各个面中，最大的面积是（）A．B．1 C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是直三棱锥，根据图中的数据，求出该三棱锥的4个面的面积，得出面积最大的三角形的面积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是如图所示的直三棱锥，且侧棱PA⊥底面ABC，PA=1，AC=2，点B到AC的距离为1；∴底面△ABC的面积为S=×2×1=1，1=××1=，侧面△PAB的面积为S2=×2×1=1，侧面△PAC的面积为S3在侧面△PBC中，BC=，PB==，PC==，∴△PBC是Rt△，∴△PBC的面积为S=××=；4∴三棱锥P﹣ABC的所有面中，面积最大的是△PBC，为．故选：A．【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，也考查了空间中的位置关系与距离的计算问题，是基础题目．6．抛物线y=4x2的焦点坐标是（）A．（0，1） B．（1，0） C．D．【考点】抛物线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】把抛物线y=4x2的方程化为标准形式，确定开口方向和p值，即可得到焦点坐标．【解答】解：抛物线y=4x2的标准方程为 x2=y，p=，开口向上，焦点在y轴的正半轴上，故焦点坐标为（0，），故选C．【点评】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用；把抛物线y=4x2的方程化为标准形式，是解题的关键．7．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下面命题正确的是（）A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若α∩γ=m，β∩γ=n，则α∥βC．若m⊥β，m∥α，则α⊥βD．若α⊥β，α⊥γ，则β⊥γ【考点】命题的真假判断与应用．【专题】空间位置关系与距离；简易逻辑．【分析】根据空间直线与平面的位置关系的定义，判断定理，性质定理及几何特征，逐一分析四个答案中命题的正误，可得答案．【解答】解：若m⊂β，α⊥β，则m与α的夹角不确定，故A错误；若α∩γ=m，β∩γ=n，则α与β可能平行与可能相交，故B错误；若m∥α，则存在直线n⊂α，使m∥n，又由m⊥β，可得n⊥β，故α⊥β，故C正确；若α⊥β，α⊥γ，则β与γ的夹角不确定，故D错误，故选：D【点评】本题以命题地真假判断为载体，考查了空间直线与平面的位置关系的判定，熟练掌握空间线面关系的判定方法及几何特征是解答的关键．8．圆心在曲线上，且与直线2x+y+1=0相切的面积最小的圆的方程为（）A．（x﹣1）2+（y﹣2）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5 C．（x﹣1）2+（y﹣2）2=25 D．（x﹣2）2+（y﹣1）2=25【考点】圆的切线方程；圆的标准方程．【专题】计算题．【分析】设出圆心坐标，求出圆心到直线的距离的表达式，求出表达式的最小值，即可得到圆的半径长，得到圆的方程，推出选项．【解答】解：设圆心为，则，当且仅当a=1时等号成立．当r最小时，圆的面积S=πr2最小，此时圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5；故选A．【点评】本题是基础题，考查圆的方程的求法，点到直线的距离公式、基本不等式的应用，考查计算能力．9．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB，AD，AA1，上分别各取异于端点的一点E，F，M，则△MEF是（）A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．不能确定【考点】棱柱的结构特征．【专题】数形结合；转化法；空间位置关系与距离．【分析】根据题意，画出图形，结合图形，设出AE=x，AF=y，AM=z，利用勾股定理和余弦定理，求出△MEF的内角的余弦值，即可判断三角形的形状．【解答】解：如图所示，设AE=x ，AF=y ，AM=z ，则EF 2=x 2+y 2，MF 2=y 2+z 2，ME 2=x 2+z 2，∴cos ∠EMF==＞0， ∴∠EMF 为锐角；同理，∠EFM 、∠FEM 也是锐角，∴△MEF 是锐角三角形．故选：B ．【点评】本题考查了利用余弦定理判断三角形形状的应用问题，也可以用平面向量的坐标表示求向量的夹角进行判断，是基础题目．10．设F 1，F 2分别为双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|=|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．2【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a 与b 之间的等量关系，运用双曲线的a ，b ，c 的关系和离心率公式即可求出双曲线的离心率．【解答】解：依题意|PF 2|=|F 1F 2|，可知三角形PF 2F 1是一个等腰三角形，F 2在直线PF 1的投影是其中点，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，由勾股定理可知|PF 1|=4b ，根据双曲定义可知4b ﹣2c=2a ，整理得c=2b ﹣a ，代入c 2=a 2+b 2整理得3b 2﹣4ab=0，求得=，即b=a，则c==a，即有e==．故选：A．【点评】本题主要考查双曲线的定义、方程和性质，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考查，属中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为15πcm2，则此圆锥的体积为12πcm3．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题．【分析】先求圆锥的底面半径，再求圆锥的高，然后求其体积．【解答】解：已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为15πcm2，所以圆锥的底面周长：6π底面半径是：3圆锥的高是：4此圆锥的体积为：故答案为：12π【点评】本题考查圆锥的侧面积、体积，考查计算能力，是基础题．12．已知：椭圆的离心率，则实数k的值为或3 ．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】当K＞5时，由 e===求得K值，当0＜K＜5时，由 e===，求得K值．【解答】解：当K＞5时，e===，K=．当0＜K＜5时，e===，K=3．综上，K=或3．故答案为：或3．【点评】本题考查椭圆的标准方程，以及简单性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，易漏讨论焦点在y轴上的情形．13．已知实数x，y满足，则u=3x+4y的最大值是11 ．【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；转化思想；不等式．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用u的几何意义，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由u=3x+4y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+，由图象可知当直线y=﹣x+经过点A时，直线y=﹣x+的截距最大，此时u最大，由，解得，即A（1，2），此时u=3+2×4=11，故答案为：11．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用u的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．14．“a≠1或b≠2”是“a+b≠3”成立的必要不充分条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中的一个）．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】阅读型．【分析】根据互为逆否命题的真假一致，将判断“a≠1或b≠2”是“a+b≠3”成立的什么条件转换为判断a+b=3是a=1且b=2成立的什么条件．【解答】解：由题意得∵命题若a≠1或b≠2则a+b≠3与命题若a+b=3则a=1且b=2互为逆否命题因为当a=3，b=0有a+b=3所以“命题若a+b=3则a=1且b=2”显然是假命题所以命题若a≠1或b≠2则a+b≠3是假命题所以a≠1或b≠2推不出a+b≠3“若a=1且b=2则a+b=3”是真命题∴命题若a+b≠3则≠1或b≠2是真命题∴a+b≠3⇒a≠1或b≠2“a≠1或b≠2”是“a+b≠3”的必要不充分条件．故答案为必要不充分．【点评】判断充要条件时可以先判断某些命题的真假，当命题的真假不易判断时可以先判断原命题的逆否命题的真假（原命题与逆否命题的真假相同）．15．椭圆+=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，弦AB 过点F 1，若△ABF 2的内切圆周长为π，A ，B两点的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），则|y 1﹣y 2|= ．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；作图题；数形结合；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意作图辅助，易知△ABF 2的内切圆的半径长r=，从而借助三角形的面积，利用等面积法求解即可．【解答】解：由题意作图如下，，∵△ABF 2的内切圆周长为π， ∴△ABF 2的内切圆的半径长r=， 又∵△ABF 2的周长l=4a=16， 故S △ABF2=16×=4，且S △ABF2=|F 1F 2|×|y 1﹣y 2|=3|y 1﹣y 2|，故|y 1﹣y 2|=， 故答案为：．【点评】本题考查了数形结合的思想应用及等面积法的应用．属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 16．设命题p ：方程+=1表示双曲线；命题q ：∃x 0∈R ，x 02+2mx 0+2﹣m=0（Ⅰ）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围； （Ⅱ）若命题q 为真命题，求实数m 的取值范围； （Ⅲ）求使“p ∨q ”为假命题的实数m 的取值范围．． 【考点】命题的真假判断与应用．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；简易逻辑． 【分析】（Ⅰ）命题p 为真命题时，方程+=1表示双曲线，求出（1﹣2m ）（m+2）＜0时的解集即可；（Ⅱ）命题q 为真命题时，方程x 02+2mx 0+2﹣m=0有解，△≥0，求出解集即可； （Ⅲ）“p ∨q ”为假命题时，p 、q 都是假命题，求出m 的取值范围即可． 【解答】解：（Ⅰ）当命题p 为真命题时，方程+=1表示双曲线，∴（1﹣2m ）（m+2）＜0， 解得m ＜﹣2，或m ＞，∴实数m 的取值范围是{m|m ＜﹣2，或m ＞}； … （Ⅱ）当命题q 为真命题时， 方程x 02+2mx 0+2﹣m=0有解， ∴△=4m 2﹣4（2﹣m ）≥0， 解得m ≤﹣2，或≥1；∴实数m 的取值范围是{|m ≤﹣2，或≥1}；… （Ⅲ）当“p ∨q ”为假命题时，p ，q 都是假命题， ∴，解得﹣2＜m ≤；∴m 的取值范围为（﹣2，]． …【点评】本题考查了双曲线的概念与应用问题，也考查了命题真假的判断问题，一元二次方程有解的判断问题，是综合题目．17．已知坐标平面上一点M （x ，y ）与两个定点M 1（26，1），M 2（2，1），且=5．（Ⅰ）求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（Ⅱ）记（Ⅰ）中的轨迹为C ，过点M （﹣2，3）的直线l 被C 所截得的线段的长为8，求直线l 的方程．【考点】轨迹方程．【专题】综合题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）直接利用距离的比，列出方程即可求点M 的轨迹方程，然后说明轨迹是什么图形； （Ⅱ）设出直线方程，利用圆心到直线的距离，半径与半弦长满足的勾股定理，求出直线l 的方程． 【解答】解：（Ⅰ）由题意，得=5.，化简，得x 2+y 2﹣2x ﹣2y ﹣23=0… 即（x ﹣1）2+（y ﹣1）2=25．∴点M 的轨迹方程是（x ﹣1）2+（y ﹣1）2=25， 轨迹是以（1，1）为圆心，以5为半径的圆．…（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，l ：x=﹣2，此时所截得的线段的长为2=8，∴l ：x=﹣2符合题意．…当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y ﹣3=k （x+2），即kx ﹣y+2k+3=0， 圆心到l 的距离d=，由题意，得（）2+42=52，解得k=．∴直线l 的方程为x ﹣y+=0，即5x ﹣12y+46=0．综上，直线l 的方程为x=﹣2，或5x ﹣12y+46=0…【点评】本题考查曲线轨迹方程的求法，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．18．已知P （x ，y ）为平面上的动点且x ≥0，若P 到y 轴的距离比到点（1，0）的距离小1．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）设过点M（m，0）的直线交曲线C于A、B两点，问是否存在这样的实数m，使得以线段AB 为直径的圆恒过原点．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（Ⅰ）由题意得：，化简得：y2=4x（x≥0）．求得P的轨迹方程．（Ⅱ）分斜率存在和斜率不存在两种情况讨论，当斜率存在时，设直线AB方程为y=k（x﹣m），A（x1，y1），B（x2，y2），直线和抛物线联立方程求解．当斜率不存在时，m=0或m=4．成立．【解答】解：（Ⅰ）由题意得：，化简得：y2=4x（x≥0）．∴点P的轨迹方程为y2=4x（x≥0）．．（Ⅱ）①当斜率存在时，设直线AB方程为y=k（x﹣m），A（x1，y1），B（x2，y2），由，得ky2﹣4y﹣4km=0，∴，∵以线段AB为直径的圆恒过原点，∴OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0．即m2﹣4m=0∴m=0或m=4．②当斜率不存在时，m=0或m=4．∴存在m=0或m=4，使得以线段AB为直径的圆恒过原点．【点评】本题主要考查轨迹方程的求解和直线与抛物线的综合应用，属于中档题，早高考中经常涉及19．如图所示，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，F为CD的中点．求证：（Ⅰ）AF∥平面BCE；（Ⅱ）平面BCE⊥平面CDE．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）取CE的中点G，连结FG、BG．由已知条件推导出四边形GFAB为平行四边形，由此能证明AF∥平面BCE．（Ⅱ）由等边三角形性质得AF⊥CD，由线面垂直得DE⊥AF，从而AF⊥平面CDE，由平行线性质得BG⊥平面CDE，由此能证明平面BCE⊥平面CDE【解答】证明：（Ⅰ）取CE的中点G，连FG、BG．∵F为CD的中点，∴GF∥DE且GF=DE．∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB∥DE，∴GF∥AB．又AB=DE，∴GF=AB．∴四边形GFAB为平行四边形，则AF∥BG．∵AF⊄平面BCE，BG⊂平面BCE，∴AF∥平面BCE．（Ⅱ）∵△ACD为等边三角形，F为CD的中点，∴AF⊥CD．∵DE⊥平面ACD，AF⊂平面ACD，∴DE⊥AF．又CD∩DE=D，故AF⊥平面CDE．∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE．∵BG⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE．【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20．已知F 1，F 2分别为椭圆=1（a ＞b ＞0）左、右焦点，点P （1，y 0）在椭圆上，且PF 2⊥x轴，△PF 1F 2的周长为6； （1）求椭圆的标准方程；（2）E 、F 是曲线C 上异于点P 的两个动点，如果直线PE 与直线PF 的倾斜角互补，证明：直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值． 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）利用点P （1，y 0）在椭圆上，且PF 2⊥x 轴，△PF 1F 2的周长为6，求出a ，b ，c ，即可求椭圆的标准方程；（2）设直线PE 方程代入椭圆方程，得（3+4k 2）x 2+4k （3﹣2k ）x+4（﹣k ）2﹣12=0，求出E ，F 的坐标，由此能证明直线EF 的斜率为定值．【解答】解：（1）由题意，F 1（﹣1，0），F 2（1，0），c=1，… C △=|PF 1|+|PF 2|+2c=2a+2c=8… ∴…∴椭圆方程为…（2）由（1）知，设直线PE 方程：得y=k （x ﹣1）+，代入，得（3+4k 2）x 2+4k （3﹣2k ）x+4（﹣k ）2﹣12=0… 设E （x E ，y E ），F （x F ，y F ）． ∵点P （1，）在椭圆上，∴x E =，y E =kx E +﹣k ，…又直线PF 的斜率与PE 的斜率互为相反数，在上式中以﹣k 代k ，可得x F =，y F =﹣kx F ++k ，…∴直线EF 的斜率k EF ==．即直线EF 的斜率为定值，其值为…【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线EF 的斜率为定值的证明，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．已知椭圆C 的两个焦点的坐标分别为E （﹣1，0），F （1，0），并且经过点（，），M 、N 为椭圆C 上关于x 轴对称的不同两点． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）若⊥，试求点M 的坐标；（3）若A （x 1，0），B （x 2，0）为x 轴上两点，且x 1x 2=2，试判断直线MA ，NB 的交点P 是否在椭圆C 上，并证明你的结论．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题． 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）利用椭圆的长轴长的定义及焦点坐标，计算即得结论； （2）通过设M （m ，n ），N （m ，﹣n ），利用，计算即得结论；（3）通过设M （m ，n ）、直线MA 与直线NB 交点为P （x 0，y 0），分别将点P 代入直线MA 、NB 的方程，利用x 1x 2=2、m 2=2﹣2n 2，计算即得结论． 【解答】（1）解：依定义，椭圆的长轴长，∴4a 2=8，即a 2=2， 又∵b 2=a 2﹣1=1， ∴椭圆标准方程为；（2）解：设M （m ，n ），N （m ，﹣n ）， 则，，精品文档。