2016-2017年度丰台上学期初三数学期末考试试题及答案
2016-2017学年北京市丰台区九年级(上)期末数学试卷-含详细解析
2016-2017学年北京市丰台区九年级（上）期末数学试卷副标题一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，且DE∥BC，如果AD：AB=2：3，那么DE：BC等于（）A. 3：2B. 2：5C. 2：3D. 3：52.如果⊙O的半径为7cm，圆心O到直线l的距离为d，且d=5cm，那么⊙O和直线l的位置关系是（）A. 相交B. 相切C. 相离D. 不确定3.如果两个相似多边形的面积比为4：9，那么它们的周长比为（）A. 4：9B. 2：3C. ：D. 16：814.把二次函数y=x2-2x+4化为y=a（x-h）2+k的形式，下列变形正确的是（）A. B. C. D.5.如果某个斜坡的坡度是1：，那么这个斜坡的坡角为（）A. B. C. D.6.如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在⊙O上，如果∠C=40°，那么∠ABD的度数为（）A.B.C.D.7.如果A（2，y1），B（3，y2）两点都在反比例函数y=的图象上，那么y1与y2的大小关系是（）A. B. C. D.8.如图，AB为半圆O的直径，弦AD，BC相交于点P，如果CD=3，AB=4，那么S△PDC：S△PBA等于（）A. 16：9B. 3：4C. 4：3D. 9：169.如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE=0.5米，EF=0.25米，目测点D到地面的距离DG=1.5米，到旗杆的水平距离DC=20米，则旗杆的高度为（）A. 米B. 米C. 米D. 10米10.如图，在菱形ABCD中，AB=3，∠BAD=120°，点E从点B出发，沿BC和CD边移动，作EF⊥直线AB于点F，设点E移动的路程为x，△DEF的面积为y，则y关于x的函数图象为（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.二次函数y=2（x-1）2-5的最小值是______．12.已知，则=______．13.已知一扇形的面积是24π，圆心角是60°，则这个扇形的半径是______．14.请写出一个符合以下两个条件的反比例函数的表达式：______．①图象位于第二、四象限；②如果过图象上任意一点A作AB⊥x轴于点B，作AC⊥y轴于点C，那么得到的矩形ABOC的面积小于6．15.如图，将半径为3cm的圆形纸片折叠后，劣弧中点C恰好与圆心O距离1cm，则折痕AB的长为______cm．16.太阳能光伏发电是一种清洁、安全、便利、高效的新兴能源，因而逐渐被推广使用．如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中的粗线表示支撑角钢，太阳能电池板与支撑角钢AB的长度相同，支撑角钢EF长为cm，AB的倾斜角为30°，BE=CA=50cm，支撑角钢CD，EF与底座地基台面接触点分别为D，F，CD垂直于地面，FE⊥AB 于点E．两个底座地基高度相同（即点D，F到地面的垂直距离相同），均为 30cm，点A到地面的垂直距离为50cm，则支撑角钢CD的长度是______cm，AB的长度是______cm．三、解答题（本大题共13小题，共72.0分）17.计算：6tan 30°+cos245°-sin 60°．18.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，tan A=，BC=12，求AB的长．19.已知二次函数y=-x2+x+c的图象与x轴只有一个交点．（1）求这个二次函数的表达式及顶点坐标；（2）当x取何值时，y随x的增大而减小．20.如图，已知AE平分∠BAC，=．（1）求证：∠E=∠C；（2）若AB=9，AD=5，DC=3，求BE的长．21.如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=的图象与一次函数y=-x+1的图象的一个交点为A（-1，m）．（1）求这个反比例函数的表达式；（2）如果一次函数y=-x+1的图象与x轴交于点B（n，0），请确定当x＜n时，对应的反比例函数y=的值的范围．22.已知：如图，AB为⊙O的直径，PA、PC是⊙O的切线，A、C为切点，∠BAC=30°．（1）求∠P的大小；（2）若AB=6，求PA的长．23.已知：△ABC．（1）求作：△ABC的外接圆，请保留作图痕迹；（2）至少写出两条作图的依据．24.青青书店购进了一批单价为20元的中华传统文化丛书．在销售的过程中发现，这种图书每天的销售数量y（本）与销售单价x（元）满足一次函数关系：y=-3x+108（20＜x＜36）．如果销售这种图书每天的利润为p（元），那么销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？25.如图，将一个Rt△BPE与正方形ABCD叠放在一起，并使其直角顶点P落在线段CD上（不与C，D两点重合），斜边的一部分与线段AB重合．（1）图中与Rt△BCP相似的三角形共有______个，分别是______；（2）请选择第（1）问答案中的任意一个三角形，完成该三角形与△BCP相似的证明．26.有这样一个问题：探究函数y=的图象与性质．小美根据学习函数的经验，对函数y=的图象与性质进行了探究．下面是小美的探究过程，请补充完整：（1）函数y=的自变量x的取值范围是______；（2）下表是y与x的几组对应值．（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；（4）结合函数的图象，写出该函数的一条性质：______．27.如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O，与BC交于点D，点E是弧BD的中点，连接AE交BC于点F，∠ACB=2∠BAE．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若sin B=，BD=5，求BF的长．28.已知抛物线G1：y=a（x-h）2+2的对称轴为x=-1，且经过原点．（1）求抛物线G1的表达式；（2）将抛物线G1先沿x轴翻折，再向左平移1个单位后，与x轴分别交于A，B 两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点，求A点的坐标；（3）记抛物线在点A，C之间的部分为图象G2（包含A，C两点），如果直线m：y=kx-2与图象G2只有一个公共点，请结合函数图象，求直线m与抛物线G2的对称轴交点的纵坐标t的值或范围．29.如图，对于平面直角坐标系xOy中的点P和线段AB，给出如下定义：如果线段AB上存在两个点M，N，使得∠MPN=30°，那么称点P为线段AB的伴随点．（1）已知点A（-1，0），B（1，0）及D（1，-1），E（，-），F（0，2+），①在点D，E，F中，线段AB的伴随点是______；②作直线AF，若直线AF上的点P（m，n）是线段AB的伴随点，求m的取值范围；（2）平面内有一个腰长为1的等腰直角三角形，若该三角形边上的任意一点都是某条线段a的伴随点，请直接写出这条线段a的长度的范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵DE∥BC，∴DE：BC=AD：AB=2：3；故选：C．由平行线分线段成比例定理即可得出结果．本题考查了平行线分线段成比例定理；由平行线分线段成比例定理得出比例式是解决问题的关键．2.【答案】A【解析】解：∵⊙O的半径为7cm，圆心O到直线l的距离为d，且d=5cm，∴5＜7，∴直线l与⊙O的位置关系是相交，故选：A．根据直线和圆的位置关系的内容判断即可．本题考查了直线和圆的位置关系的应用，注意：已知⊙O的半径为r，如果圆心O到直线l的距离是d，当d＞r时，直线和圆相离，当d=r时，直线和圆相切，当d＜r时，直线和圆相交．3.【答案】B【解析】解：∵两个相似多边形面积的比为4：9，∴两个相似多边形周长的比等于2：3，∴这两个相似多边形周长的比是2：3．故选：B．直接根据相似多边形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方进行解答即可．本题考查的是相似多边形的性质，即相似多边形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．4.【答案】D【解析】解：y=x2-2x+4，=x2-2x+1+3，=（x-1）2+3．故选：D．利用配方法整理即可得解．本题考查了二次函数解析式的三种形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y=a（x-h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y=a（x-x1）（x-x2）．5.【答案】A【解析】解：设这个斜坡的坡角为α，由题意得：tanα=1：=，∴α=30°；故选A．根据坡角的正切=坡度，列式可得结果．本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，明确坡度实际就是一锐角的正切值；在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．6.【答案】B【解析】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠C=40°，∴∠DAB=∠C=40°，∴∠ABD=90°-∠DAB=50°．故选B．由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，求得∠DAB的度数．由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角求得∠ADB的度数，进而即可求得∠ABD的度数．此题考查了圆周角定理．此题难度不大，注意掌握直径所对的圆周角是直角与在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用是解此题的关键．7.【答案】B【解析】解：∵A（2，y1），B（3，y2）两点都在反比例函数y=的图象上，∴y1=，y2=．∵＞，∴y1＞y2．故选B．直接把点A（2，y1），B（3，y2）两点代入反比例函数y=的解析式，求出y1与y2的值，再比较其大小即可．本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．8.【答案】D【解析】解：∵∠DCP=∠BAP，∠CPD=∠APB，∴△ABP∽△CDP，∴S△PDC：S△PBA=（）2=（）2=，故选：D．根据图形可得∠DCP=∠BAP，∠CPD=∠APB，进而得出△ABP∽△CDP，根据相似三角形的性质可得，S△PDC：S△PBA=（）2，最后根据CD=3，AB=4进行计算即可．本题主要考查了相似三角形的判定与性质以及圆周角定理的运用，解题时注意：相似三角形的面积的比等于相似比的平方．9.【答案】C【解析】解：∵∠FDE=∠ADC=30°，∠DEF=∠DCA=90°，∴△DEF∽△DAC，∴=，即=，解得AC=10，∵DF与地面保持平行，目测点D到地面的距离DG=1.5米，∴BC=DG=1.5米，∴旗杆的高度=AC+BC=10+1.5=11.5米．故选C．确定出△DEF和△DAC相似，根据相似三角形对应边成比例求出AC，再根据旗杆的高度=AC+BC计算即可得解．本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例，准确确定出相似三角形是解题的关键．10.【答案】C【解析】解：①当E在BC边上时，-S△BEF-S△ADF-S△DEC=2××32-••x-•（3-x）•-y=S菱形ABCD•（3-x）•=-x2+x．②当点E在CD上时，y=•（6-x）•=-x+，故选C．分两种情形求出y与x的关系即可判断．本题考查动点问题函数图象、分段函数、菱形的性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会构建分段函数解决实际问题，属于中考常考题型．11.【答案】-5【解析】解：∵y=2（x-1）2-5，∴当x=1时，y取得最小值-5，故答案为：-5．由二次函数的定顶点式可得当x=1时，y取得最小值-5．本题考查二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．12.【答案】【解析】解：，得x=y，把x=y，代入=．故答案为：．由，得x=y，再代入所求的式子化简即可．考查了比例的性质，找出x、y的关系，代入所求式进行约分．13.【答案】12【解析】解：设这个扇形的半径是为R，则=24π，解得，R=12，故答案为：12．把已知数据代入扇形的面积公式S=，计算即可．本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形的面积公式S=是解题的关键．14.【答案】y=-【解析】解：设反比例函数解析式为y=，根据题意得k＜0，|k|＜6，当k取-5时，反比例函数解析式为y=-．故答案为y=-．设反比例函数解析式为y=，根据反比例函数的性质得k＜0，根据k的几何意义得到|k|＜6，然后取一个k的值满足两个条件即可．本题考查了反比例函数系数k的几何意义：比例系数k的几何意义在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．15.【答案】2【解析】【分析】本题考查的是翻折变换，垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键.连接OC并延长交⊙O于D，交AB于E，由点C是劣弧AB的中点，得到OC⊥AB，AE=BE，根据勾股定理即可得到结论.【解答】解：连接OC并延长交⊙O于D，交AB于E，∵点C是劣弧AB的中点，∴OC⊥AB，AE=BE，∵OD=3，OC=1，∴CE=DE=1，∴OE=2，∴AE==，∴AB=cm.故答案为2.16.【答案】45；300【解析】解：过A作AG⊥CD于G，则∠CAG=30°，在Rt△ACG中，CG=ACsin30°=50×=25，∵GD=50-30=20，∴CD=CG+GD=25+20=45，即支撑角钢CD的长度是45cm．连接FD并延长与BA的延长线交于H，则∠H=30°，在Rt△CDH中，CH=2CD=90，∴AH=CH-AC=90-50=40，∵在Rt△EFH中，EH===290，∴AE=EH-AH=290-40=250，∴AB=AE+BE=250+50=300，即AB的长度是300cm．故答案为45，300．过A作AG⊥CD于G，在Rt△ACG中，求得CG=25，再根据题意得出GD=50-30=20，代入CD=CG+GD求出支撑角钢CD的长度；连接FD并延长与BA的延长线交于H，在Rt△CDH中，根据三角函数的定义得到CH=90，在Rt△EFH中，根据三角函数的定义即可得到结论．本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是将实际问题转化为数学问题，构造直角三角形并解直角三角形，难度适中．17.【答案】解：原式===．【解析】根据特殊角的函数值，直接计算即可．本题主要考查特殊角的函数值，解决此类问题的关键是熟记各特殊角的函数值．18.【答案】解：∵∠C=90°，BC=12，，∴AC=16，∵AB2=AC2+BC2，∴AB2=162+122=400，∴AB=20．【解析】根据锐角三角函数的定义求出AC，根据勾股定理求出AB即可．本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理，能根据锐角三角函数的定义求出AC是解此题的关键．19.【答案】解：（1）由题意得△=1+4c=0，∴c=-，∴y=-x2+x-，∵当x=-=时，y=0，∴顶点坐标为（，0）．（2）∵a=-1＜0，开口向下，∴当x＞时，y随x的增大而减小．【解析】（1）二次函数y=-x2+x+c的图象与x轴只有一个交点，可知△=0，解方程即可解决问题．（2）根据二次函数的增减性即可解决问题．本题考查二次函数与x轴的交点、待定系数法、二次函数的性质等知识，解题的关键是记住△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．20.【答案】（1）证明：∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠EAC，又∵，得到，∴△ABE∽△ADC，∴∠E=∠C；（2）解：∵△ABE∽△ADC，∴，设BE=x，∵，∴，即BE=．【解析】本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．（1）由AE 平分∠BAC，得到∠BAE=∠EAC，根据三角形角平分线的到来得到，得到，推出△ABE∽△ADC，根据相似三角形的性质即可得到结论；（2）根据相似三角形的性质得到，列方程即可得到结论．21.【答案】解：（1）∵点A在一次函数y=-x+1的图象上，∴m=-（-1）+1=2，∴点A的坐标为（-1，2）．∵点A在反比例函数的图象上，∴k=-1×2=-2．∴反比例函数的表达式为y=-．（2）令y=-x+1=0，解得：x=1，∴点B的坐标为（1，0），∴当x=1时，=-2．由图象可知，当x＜1时，y＞0或y＜-2．【解析】（1）由点A在一次函数图象上利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点A的坐标，根据点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可找出反比例函数表达式；（2）令一次函数表达式中y=0求出x值，进而可得出点B的坐标，根据点B的横坐标结合图形即可得出结论．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的坐标特征，根据一次函数图象上点的坐标特征求出点A、B的坐标是解题的关键．22.【答案】解：（1）∵PA是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，∴PA⊥AB，即∠PAB=90°．∵∠BAC=30°，∴∠PAC=90°-30°=60°．又∵PA、PC切⊙O于点A、C，∴PA=PC，∴△PAC是等边三角形，∴∠P=60°．（2）如图，连接BC．∵AB是直径，∠ACB=90°，∴在Rt△ACB中，AB=6，∠BAC=30°，可得AC=AB cos∠BAC=6×cos30°=3．又∵△PAC是等边三角形，∴PA=AC=3．【解析】（1）由圆的切线的性质，得∠PAB=90°，结合∠BAC=30°得∠PAC=90°-30°=60°．由切线长定理得到PA=PC，得△PAC是等边三角形，从而可得∠P=60°．（2）连接BC，根据直径所对的圆周角为直角，得到∠ACB=90°，结合Rt△ACB 中AB=6且∠BAC=30°，得到AC=ABcos∠BAC=3．最后在等边△PAC中，可得PA=AC=3．本题着重考查了圆的切线的性质定理、切线长定理、直径所对的圆周角、等边三角形的判定与性质和解直角三角形等知识，掌握各知识点的运用是关键，难度适中．23.【答案】解：（1）如图⊙O即为所求；（2）作图依据：①到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；②垂直平分线上一点到线段的两个端点距离相等．【解析】（1）分别作出线段AB、BC的垂直平分线，画出外接圆即可；（2）根据线段垂直平分线的性质即可得出结论．本题考查的是作图-基本作图，熟知三角形外接圆性质是解答此题的关键．24.【答案】解：p=（x-20）（-3x+108）=-3x2+168x-2160=-3（x-28）2+192，∵20＜x＜36，且a=-3＜0，∴当x=28时，y最大=192．答：销售单价定为28元时，每天获得的利润最大，最大利润是192元．【解析】根据“总利润=单件利润×销售量”列出函数解析式，并配方成顶点式可得最值情况．本题主要考查二次函数的应用，理解题意找到相等关系列出函数解析式是解题的关键．25.【答案】3；Rt△EPB，Rt△PDF，Rt△EAF【解析】解：（1）图中与Rt△BCP相似的三角形共有3个，分别是Rt△EPB，Rt△PDF，Rt△EAF；故答案是：3；Rt△EPB，Rt△PDF，Rt△EAF；（2）答案不唯一，如：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABP+∠PBC=∠C=90°．∵∠PBC+∠BPC=90°，∴∠ABP=∠BPC．又∵∠BPE=∠C=90°，∴Rt△BCP∽Rt△EPB．（1）根据相似三角形的判定定理得到Rt△EPB，Rt△PDF，Rt△EAF均与Rt△BCP相似；（2）Rt△BCP∽Rt△EPB．利用“两角法”证得结论即可．本题考查了相似三角形的判定，正方形的性质．相似三角形的判定方法：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．26.【答案】x≥-2且x≠0；当-2≤x＜0或x＞0时，y随x增大而减小【解析】解：（1）由题意得：，解得：x≥-2且x≠0．故答案为：x≥-2且x≠0．（2）当x=2时，m==1．（3）图象如图所示．（4）观察函数图象发现：当-2≤x＜0或x＞0时，y随x增大而减小．故答案为：当-2≤x＜0或x＞0时，y随x增大而减小．（1）根据被开方数非负以及分母不为0即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出结论；（2）将x=2代入函数解析式中求出m值即可；（3）连点成线即可画出函数图象；（4）观察函数图象，根据函数图象可寻找到函数具有单调性．本题考查了函数自变量的取值范围以及函数图象，连点成曲线画出函数图象是解题的关键．27.【答案】（1）证明：连接AD，如图1所示．∵E是弧BD的中点，∴，∴∠1=∠2．∴∠BAD=2∠1．∵∠ACB=2∠1，∴∠C=∠BAD．∵AB为⊙O直径，∴∠ADB=∠ADC=90°．∴∠DAC+∠C=90°．∵∠C=∠BAD，∴∠DAC+∠BAD=90°．∴∠BAC=90°．即AB⊥AC．又∵AC过半径外端，∴AC是⊙O的切线．（2）解：过点F作FG⊥AB于点G．如图2所示：在Rt△ABD中，∠ADB=90°，，设AD=2m，则AB=3m，由勾股定理得：BD==m．∵BD=5，∴m=．∴AD=，AB=．∵∠1=∠2，∠ADB=90°，∴FG=FD．设BF=x，则FG=FD=5-x．在Rt△BGF中，∠BGF=90°，，∴．解得：=3．∴BF=3．【解析】（1）连接AD，由圆周角定理得出∠1=∠2．证出∠C=∠BAD．由圆周角定理证出∠DAC+∠BAD=90°，得出∠BAC=90°，即可得出结论．（2）过点F作FG⊥AB于点G．由三角函数得出，设AD=2m，则AB=3m，由勾股定理求出BD=m．求出m=．得出AD=，AB=．证出FG=FD．设BF=x，则FG=FD=5-x．由三角函数得出方程，解方程即可．本题考查了切线的判定、圆周角定理、勾股定理、三角函数等知识；熟练掌握切线的判定和圆周角定理，由三角函数得出方程是解决问题（2）的关键．28.【答案】解：（1）∵抛物线G1：y=a（x-h）2+2的对称轴为x=-1，∴y=a（x+1）2+2，∵抛物线y=a（x+1）2+2经过原点，∴a（0+1）2+2=0．解得a=-2，∴抛物线G1的表达式为y=-2（x+1）2+2=-2x2-4x；（2）由题意得，抛物线G2的表达式为y=2（x+1+1）2-2=2x2+8x+6．∴当y=0时，x=-1或-3．∴A（-3，0）；（3）由题意得，直线m：y=kx-2交y轴于点D（0，-2），由抛物线G2的解析式y=2x2+8x+6，得到顶点E（-2，-2），当直线y=kx-2过E（-2，-2）时与图象G2只有一个公共点，此时t=-2，当直线y=kx-2过A（-3，0）时把x=-3代入y=kx-2，k=，∴，把x=-2代入，∴y=，即t=，∴结合图象可知t=-2或＞．【解析】（1）根据待定系数法求得即可；（2）根据关于x轴对称的点的坐标特征即可求得；（3）求出直线y=kx-2的解析式，再结合图象和点的坐标即可得出答案．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和一次函数的解析式、抛物线与x轴的交点坐标、关于x轴对称的点的坐标特征等知识；熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式和一次函数的解析式是解决问题的关键．29.【答案】D、F【解析】解：（1）①根据伴随点的定义卡D、F是线段AB的伴随点；故答案为D、F．②以AB为一边，在x轴上方、下方分别构造等边△ABO1和等边△ABO2，分别以点O1，点O2为圆心，线段AB的长为半径画圆，∵线段AB关于y轴对称，∴点O1，点O2都在y轴上．∵AB=AO 1=2，AO=1，∴OO1=，∴O1（0，），同理O2（0，）．∵F（2+，0），∴O 1F=2+-=2，∴点F在⊙O1上．设直线AF交⊙O2于点C，∴线段FC上除点A以外的点都是线段AB的“伴随点”，∴点P（m，n）是线段FC上除点A以外的任意一点，连接O2C，作CG⊥y轴于点G，∵等边△O1AB和等边△O2AB，且y轴垂直AB，∴∠AO1B=∠AO2B=∠O1AB=∠O2AB=60°，∠AO1O=∠AO2O=30°，∵O1A=O1F，∴∠AFO1=∠FAO1=15°，∴∠CAO2=∠AFO2+∠AO2F=15°+30°=45°，∵O2A=O2C，∴∠CAO2=∠ACO2=45°，∴∠O2CG=180°-∠CFG-∠FGC-∠ACO2=30°，∴CG=OC•cos30°=2×=，2∴-≤m≤0，且m≠-1．（2）如图△DEF的腰长为1的等腰直角三角形，⊙O是△DEF的外接圆，△OAB 是等边三角形，∵∠G=∠AOB=30°，∴根据伴随点的定义可知，△DEF的边上任意一点都是线段AB的伴随点，∵EF==，∴AB=OA=OE=，∴a时，△DEF的边上任意一点都是线段AB的伴随点．（1）根据伴随点的定义，观察图象即可判定．（2）以AB为一边，在x轴上方、下方分别构造等边△ABO1和等边△ABO2，分别以点O1，点O2为圆心，线段AB的长为半径画圆，求出两圆与直线AF的交点的位置，即可解决问题．（3）如图，△DEF的腰长为1的等腰直角三角形，⊙O是△DEF的外接圆，△OAB是等边三角形，根据伴随点的定义可知，△DEF的边上任意一点都是线段AB的伴随点，求出AB的长即可解决问题．本题考查三角形综合题、圆周角定理、勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，搞清楚伴随点的定义，学会利用辅助圆解决问题，属于中考创新题目．。
第一学期丰台区初三数学期末练习 终板答案
丰台区2010-2011学年度第一学期期末练习初三数学参考答案2011.1一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）9． d= 10 ．10．α= 45°．11． 30°或150° ．12．32π．三、解答题（共6个小题，共27分） 13.（本小题满分4分） 计算：2cos30sin 45tan60︒+︒-︒.解： ----------3分-------------------------------4分说明：3个函数值各占一分，最后结果1分.14.（本小题满分4分） 解：在△ABC 和△ADE 中，∵ ABC ADE ∠=∠，,A A ∠=∠ ∴ △ABC ∽△ADE . ------2分 ∴AB AC AD AE=. ------------------3分 ∴ ,7.237AC= ∴ AC 6.3= ---------------------4分15.（本小题满分4分）解：16.（本小题满分5分） 解：联结O A ，∴O A = O D .--------------------------------------1分∵A B 是⊙O 的一条弦，O D ⊥A B ，A B =8∴A E =21A B =4-----------------------------------------------2分 在R t △O E A 中，由勾股定理得，O E 2= O A 2 -E A 2 ∴O E=3------------------------------------------------------3分∴D E=2------------------------------------------------------4分8216.ABCD S AB DE =⋅=⨯=Y ----------------------------5分17.（本小题满分5分）解：(1)4)1(4)12(221+--=++--=x x x y Θ∴图象的顶点坐标为（1，4）. ----------------------------1分 (2)令y =0，则0322=++-x x ，解得：x 1=-1, x 2=3.∴图象与x 轴的交点坐标分别为(-1,0)、(3,0). --------3分 (3) x <1. -------------------------------------------------------------4分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ABDABDCB3223222 3322 2=⨯+=-=原式 A 1B 1C 1 A 2B 2C 2C A B OC D BAEE DACB (4) 221<<-x . ---------------------------------------------------5分 说明：(3)若写成“≤”不扣分. 18.（本小题满分5分） 解：(1) ∵反比例函数xmy =(m ≠0)的图象经过点A （-2,6）， ∴2612m =-⨯=- ∴m 的值为-12．----------1分(2) 由（1）得反比例函数的解析式为xy 12-=．过点A 作AD x ⊥轴于点D ，过点B 作BE x ⊥轴于点E ， ∴R t △BEC ∽R t △ADC ．--------------------------2分 ∴13BE BC AD AC ==． ∵6AD =,∴2BE =．-------------------------------------------------3分 ∴点B 的纵坐标为2．------------------------------------4分又点B 在反比例函数xy 12-=的图象上，∴点B 的横坐标为x = -6，即点B 的坐标为(-6,2). -------------------------------------5分四、解答题（共4个小题，共23分）19.（本小题满分5分）解：方法（1） 方法（2）------------------3分------------------所有可能出现的结果有9个，并且每个结果发生的可能性相等，其中所求结果有1个，∴P(上午选中中国馆下午选中沙特馆)= 19. ------------------5分方法（3）:所有可能出现的结果有9个：中韩、中日、中沙、法韩、法日、法沙、加韩、加日、加沙. 以下同方法（1）.20.（本小题满分6分）解：∵BE=2AE ，∴设AE=k ，则BE =2k ，AB =3k . ------------1分∵AD ⊥BC 于D ，CE ⊥AB 于E ，∴∠BEC =∠ADB =90°.又∠B =∠B ，∴△ABD ∽△CBE . --------------------------------------------------3分∴BCCEAB AD = ----------------------------------------------------------4分 ∵sin ∠BCE =13，∴BC =k kBCE BE 6312sin ==∠. ---------------5分 ∴kCEk 6362=，∴64=CE . -----------------------------------6分上午下午 中国馆 法国馆 加拿大馆 韩国馆 中韩 法韩 加韩 日本馆 中日 法日 加日沙特馆 中沙 法沙 加沙加沙加日加韩法沙法日法韩中沙中日中韩韩国馆日本馆沙特馆韩国馆日本馆沙特馆韩国馆日本馆沙特馆一天下午上午加拿大馆法国馆中国馆ABCDM东D BAP北21.（本小题满分6分） （1）证明：∵AB ∥DC ，AC 、BD 相交于点M ，∴△AMB ∽△CMD ---------------------------------------------1分 （2）解: ∵△AMB ∽△CMD ，∴MDMBCD AB =-----------------2分 ∴MB =7872052=⨯=⋅MD CD AB ---------------------------3分∴DB =DM +MB =4 ---------------------------------------------4分 ∴222DC BD BC =+∴△DBC 为直角三角形（∠DBC =90°） ------------------5分 ∴sin ∠BDC =53=DC BC . -----------------------------------------6分 22.（本小题满分6分）解：过点B 作BD ⊥AP 于点D ， ----------------------------------------------------1分在Rt △ABD 中，BD =ABsin45°=240212022=⨯， ------------------2分在Rt △BDP 中，sin60°=BDBP, ------------------------------------------------3分 806sin60BDBP ︒== -----------------------------------------------------------5分 ≈196.0 ------------------------------------------------------------------------6分答：距港口约为196.0千米.五、解答题（共3个小题，共22分） 23.（本小题满分7分）解：(1)由表格知：当x ＝7时，y ＝300；当x ＝8时，y ＝240. -----------------------------1分设一次函数关系式为(0)y kx b k =+≠，根据题意得30072408k b k b =+⎧⎨=+⎩，．----------2分解得60k =-，720b =．∴所求一次函数关系式为60720y x =-+． -------------------------------------------3分 (2)由题意得W=(6)(60720)x x --+ -------------------------------------------------------4分26010804320x x =-+- ---------------------------------------------------5分 (3) ∵ W=26010804320x x -+-，当x ＝-b2a＝9时，W 有最大值， -------------------------------------------------------6分最大值是540. ------------------------------------------------------------------------------7分 答：该厂应当以每支签字笔9元出售时，利润最大是540元. 24.（本小题满分8分）解：(1) ∵四边形OABC 为矩形，C(0,3)∴BC ∥OA ，点D 的纵坐标为3. ----------------------------------------------------1分 ∵直线3942y x =-+与BC 边相交于点D ，∴39342x -+=.∴2x =, 故点D 的坐标为(2,3) ---------------------------------------------------2分(2) ∵若抛物线2y ax bx =+经过A (6,0)、D (2,3)两点，∴3660,42 3.a b a b +=⎧⎨+=⎩ -------------------------------------------------------------------3分解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=.49,83b a ∴抛物线的解析式为x x y 49832+-=. --------------4分 (3) ∵抛物线x x y 49832+-=的对称轴为x =3， ---------------------------------5分 设对称轴x =3与x 轴交于点P 1，∴BA ∥MP 1，∴∠BAD =∠AMP 1. ①∵∠AP 1M =∠ABD =90°，∴△ABD ∽△MP 1A .∴P 1 (3,0). ------------------------------------------------------6分 ②当∠MAP 2=∠ABD =90°时，△ABD ∽△MAP 2. ∴∠AP 2M =∠ADB∵AP 1=AB , ∠AP 1 P 2=∠ABD =90°, ∴△AP 1 P 2≌△ABD∴P 1 P 2=BD =4. -----------------------------------------------7分 ∵点P 2在第四象限，∴P 2 (3,-4). -------------------------8分 ∴符合条件的点P 有两个，P 1 (3,0)、P 2 (3,-4).25．（本小题满分7分）解：(1) 原点O 与⊙G 的位置关系是：点O 在⊙G 上；----------------------------1分如图3，联结OG ，∵∠AOB 是直角，G 为AB 中点，∴GO =21AB =半径，故原点O 始终在⊙G 上. ----------------------------2分(2) ∵∠ACB =90°，AB =6，AC =3，∴∠ABC =30°.联结OC ，过点C 作CD ⊥x 轴于点D ，如图4， ∴∠AOC =∠ABC =30°，在Rt △ODC 中，tan ∠COD =CD OD，即tan30°=x y，∴y 与x 的关系式是：x y 33=. -------------------------------------------3分 自变量x 的取值范围是33332x ≤≤ . ------------------------------------4(3) ∵由(2)中的结论可知，点C 在与x 轴夹角为30°的射线上运动.∴如图5，点C 的运动路径为：C 1C 2=OC 2-OC 1=6-3=3；----------------5分 如图6，点C 的运动路径为：C 2C 3=OC 2-OC 3=6-33；--------------6分 ∴总路径为：C 1C 2+C 2C 3=33-933-63=+. --------------------------7分图3y OxACGBDy OxACGB图4C 1C 2B 2A 2图5y O xA 1()B 1A 3 A 2B 2C 2y OxC 3GB 3()图6。
北京市丰台区九年级上期末数学试题有答案(精)
一、选择题（本题共16分，每小题2分）下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．如果32a b =(0ab ≠），那么下列比例式中正确的是 A ．32a b = B ．23b a = C ．23a b = D ．32a b = 2．将抛物线y = x 2向上平移2个单位后得到新的抛物线的表达式为 A ．22y x =+ B ．22y x =- C ．()22y x =+D ．()22y x =-3．如图，在Rt △ABC 中，∠C = 90°，AB = 5，BC = 3，则tan A 的值为A ．35B ．34C ．45D ．434．“黄金分割”是一条举世公认的美学定律. 例如在摄影中，人们常依据黄金分割进行构图，使画面整体和谐. 目前，照相机和手机自带的九宫格就是黄金分割的简化版. 要拍摄草坪上的小狗，按照黄金分割的原则，应该使小狗置于画面中的位置 A ．①B ．②C ．③D ．④5．如图，点A 为函数ky x=（x > 0）图象上的一点，过点A 作x 轴的平行线交y轴于点B ，连接OA ，如果△AOB 的面积为2，那么k 的值为 A ．1 B ．2 C ．3D ．46．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC 相似的是A B C D7．如图，A ，B 是⊙O 上的两点，C 是⊙O 上不与A ，B 重合的任意一点. 如果∠AOB =140°，那么∠ACB 的度数为 A．70° B ．110° C ．140°D ．70°或110°CB ABC8．已知抛物线2y ax bx c =++上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如下表：①抛物线2y ax bx c =++的开口向下；②抛物线2y ax bx c =++的对称轴为直线1x =-；③方程20ax bx c ++=的根为0和2； ④当y ＞0时，x 的取值范围是x ＜0或x ＞2. 其中正确的是 A ．①④B ．②④C ．②③D ．③④二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．如果sin α =12，那么锐角α = .10．半径为2的圆中，60°的圆心角所对的弧的弧长为 . 11．如图1，物理课上学习过利用小孔成像说明光的直线传播.现将图1抽象为图2，其中线段AB 为蜡烛的火焰，线段A ＇B ＇为其倒立的像. 如果蜡烛火焰AB 的高度为2cm ，倒立的像A ＇B ＇的高度为5cm ，点O 到AB 的距离为4cm ，那么点O 到A ＇B ＇的距离为 cm. 12．如图，等边三角形ABC 的外接圆⊙O 的半径OA 的长为2，则其内切圆半径的长为 .13．已知函数的图象经过点（2，1），且与x 轴没有交点，写出一个满足题意的函数的表达式 .14．在平面直角坐标系中，过三点A （0，0），B （2，2），C （4，0）的圆的圆心坐标为 .15．在北京市治理违建的过程中，某小区拆除了自建房，改建绿地. 如图，自建房占地是边长为8m 的正方形ABCD ，改建的绿地是矩形AEFG ，其中点E 在AB 上，点G 在AD 的延长线上，且DG = 2BE . 如果m 2），那么y 与x 时，绿地AEFG16图1图2A B'A'BO请回答以下问题：（1）连接OA ，OB ，可证∠OAP =∠OBP = 90°，理由是 ； （2）直线P A ，PB 是⊙O 的切线，依据是 ．三、解答题（本题共68分，第17-24题，每小题5分，第25题6分，第26，27题，每小题7分，第28题8分）17．计算：2cos30sin 45tan60︒+︒-︒.18．如图，△ABC 中，DE ∥BC ，如果AD = 2，DB = 3，AE = 4，求AC 的长.19．已知二次函数y = x 2- 4x + 3．（1）用配方法将y = x 2 - 4x + 3化成y = a (x - h )2 + k（2）在平面直角坐标系xOy 中画出该函数的图象； （3）当0≤x ≤3时，y 的取值范围是.20锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代语言表述为：如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，AE = 1寸，CD = 10寸，求直径AB 的长． 请你解答这个问题.21．在平面直角坐标系xOy 中，直线1y x =+与双曲线ky x=的一个交点为P (m ，2). （1）求k 的值；（2）M （2，a ），N （n ，b ）是双曲线上的两点，直接写出当a > b 时，n 的取值范围.22．在北京市开展的“首都少年先锋岗”活动中，某数学小组到人民英雄纪念碑站岗执勤，并在活动后实地测量了纪念碑的高度. 方法如下：如图，首先在测量点A 处用高为1.5m 的测角仪AC 测得人民英雄纪念碑MN 顶部M 的仰角为35°，然后在测量点B 处用同样的测角仪BD 测得人民英雄纪念碑MN 顶部M 的仰角为45°，最后测量出A ，B 两点间的距离为15m ，并且N ，B ，A 三点在一条直线上，连接CD 并延长交MN 于点E . 请你利用他们的测量结果，计算人民英雄纪念碑MN 的高度. （参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7）D CBA ECDME23．如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB ，喷水口A 距地面2m ，喷出水流的运动路线是抛物线. 如果水流的最高点P 到喷水枪AB 所在直线的距离为1m ，且到地面的距离为3.6m ，求水流的落地点C 到水枪底部B 的距离.24．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是»AB 的中点，连接AC 并延长至点D ，使C D A C =，点E 是OB 上一点，且23OE EB =，CE 的延长线交DB 的延长线于点F ，AF 交⊙O 于点H ，连接BH .（1）求证：BD 是⊙O 的切线；（2）当2OB =时，求BH 的长.25．如图，点E 是矩形ABCD 边AB 上一动点（不与点B 重合），过点E 作EF ⊥DE 交BC 于点F ，连接DF ．已知AB = 4cm ，AD = 2cm ，设A ，E 两点间的距离为x cm ，△DEF 面积为y cm 2． 小明根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究．DC BAEF下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）确定自变量x 的取值范围是 ；（2）通过取点、画图、测量、分析，得到了x 与y 的几组值，如下表：（3）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（4）结合画出的函数图象，解决问题：当△DEF 面积最大时，AE 的长度为cm ．26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =-++经过点（2，3），对称轴为直线x =1.（1）求抛物线的表达式；（2）如果垂直于y 轴的直线l 与抛物线交于两点A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），其中01<x ，02>x ，与y 轴交于点C ，求BC -AC 的值；（3）将抛物线向上或向下平移，使新抛物线的顶点落在x 轴上，原抛物线上一点P 平移后对应点为点Q ，如果OP =OQ ，直接写出点Q 的坐标.27．如图，∠BAD=90°，AB=AD ，CB=CD ，一个以点C 为顶点的45°角绕点C 旋转，角的两边与BA ，DA交于点M ，N ，与BA ，DA 的延长线交于点E ，F ，连接AC .（1）在∠FCE 旋转的过程中，当∠FCA =∠ECA 时，如图1，求证：AE =AF ；（2）在∠FCE 旋转的过程中，当∠FCA ≠∠ECA 时，如图2，如果∠B=30°，CB=2，用等式表示线段AE ，AF 之间的数量关系，并证明.28．对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和⊙C ，给出如下定义：如果⊙C 的半径为r ，⊙C 外一点P 到⊙C的切线长小于或等于2r ，那么点P 叫做⊙C 的“离心点”. （1）当⊙O 的半径为1时，①在点P 1（12），P 2（0，－2），P 30）中，⊙O 的“离心点”是 ；②点P （m ，n ）在直线3y x =-+上，且点P 是⊙O 的“离心点”，求点P 横坐标m 的取值范围；（2）⊙C 的圆心C 在y 轴上，半径为2，直线121+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B . 如果线段AB 上的所有点都是⊙C 的“离心点”，请直接写出圆心C 纵坐标的取值范围.EMNFA CEMN FAC图1图2丰台区2017—2018学年度第一学期期末练习初三数学参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 30°； 10.2π3； 11. 10； 12. 1； 13. 2y x =或245y x x =-+等，答案不唯一；14.（2，0）； 15.22864(08)y x x x =-++<<（可不化为一般式），2；16.直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.三、解答题（本题共68分，第17-24题每小题5分，第25题6分，第26,27题每小题7分，第28题8分）17. 解：45tan60︒-︒=2+-……3分……4分 . ……5分 18. 解：∵DE ∥BC ， ∴AD AE DBEC=.……2分即243EC=． ∴EC ＝6．……4分∴AC ＝AE + EC ＝10． ……5分 其他证法相应给分.19.解：（1）2444+3y x x =-+-()221x =--. ……2分（2）如图： ….3分 （3）13y -≤≤ ….5分20.解：连接OC ，∵AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，且CD =10，∴∠BEC ＝90°，152CE CD ==.……2分设OC =r ，则OA =r ，∴OE =1r -. 在Rt OCE ∆中， ∵222OE CE OC +=，∴()22125r r -+=.∴=13r . …4分 ∴AB = 2r = 26（寸）. 答：直径AB 的长26寸． …5分21. 解：（1）一次函数1y x =+的图象经过点(,2)P m ，∴1m =． ……… 1分∴点P 的坐标为(1，2). ……… 2分∵反比例函数ky x=的图象经过点P (1，2)， ∴2k = ………3分 （2）0n <或2n > …………5分22.解：由题意得，四边形ACDB ，ACEN 为矩形，∴EN=AC=1.5.AB=CD=15.在Rt MED 中， ∠MED ＝90°，∠MDE ＝45°， ∴∠EMD ＝∠MDE ＝45°. ∴ME ＝DE . …2分设ME ＝DE ＝x ，则EC ＝x +15.在Rt MEC 中，∠MEC ＝90°， ∠MCE ＝35°，∵tan ME EC MCE =⋅∠，∴()0.715x x ≈+ .∴35x ≈ . ∴35ME ≈ . …4分 ∴36.5MN ME EN =+≈ .∴人民英雄纪念碑MN .的高度约为36.5米.…5分23.解：建立平面直角坐标系，如图. 于是抛物线的表达式可以设为()2y a x h k =-+根据题意，得出A ，P2），P （1，3.6）. ……2分∵点P 为抛物线顶点， ∴1 3.6h k ==， .∵点A 在抛物线上， ∴ 3.62a +=， 1.6a =-…3分∴它的表达式为()21.61 3.6y x =--+. ……4分当点C 的纵坐标y =0时，有()21.61 3.6=0x --+.10.5x =-（舍去），2 2.5x =.∴BC =2.5.∴水流的落地点C 到水枪底部B 的距离为2.5m. ……5分O EAB CDDMD CBA Ex +324.（1）证明：连接OC ，∵AB 为⊙O 的直径，点C 是»AB 的中点，∴∠AOC ＝90°. ……1分 ∵OA OB =,CD AC =，∴OC 是ABD ∆的中位线. ∴OC ∥BD. ∴∠ABD ＝∠AOC ＝90°. ……2分 ∴AB BD ⊥.∴BD 是⊙O 的切线. ……3分 其他方法相应给分.（2）解：由（1）知OC ∥BD ，∴△OCE ∽△BFE. ∴OC OEBF EB=. ∵OB = 2，∴OC = OB = 2，AB = 4，∵23OE EB =，∴223=，∴BF =3. ……4分 在Rt ABF ∆中，∠ABF ＝90°，5AF ==.∵1122ABFSAB BF AF BH =⋅=⋅ ，∴AB BF AF BH ⋅=⋅.即435BH ⨯=. ∴BH =125. .……5分 其他方法相应给分.25.（1）04x ≤<；.……1分（2）3.8，4.0； ……3分（3）如图 ……4分 （4）0或2. ……6分 26. 解：（1）1,242 3.b bc ⎧=⎪⎨⎪-++=⎩ ……1分解得2,3.b c =⎧⎨=⎩. ……2分 ∴322++-=x x y . ……3分（2）如图，设l 与对称轴交于点M ，由抛物线的对称性可得，BM = AM. …… 3分∴BC -AC = BM+MC -AC = AM+MC -AC= AC+CM+MC -AC =2 CM =2. ……5分其他方法相应给分.（3）点Q 的坐标为（12-）或（12-）．……7分27.解：（1）证明：∵AB=AD ，BC=CD ，AC=AC ，∴△ABC ≌△ADC . …1分∴∠BAC =∠DAC =45°，可证∠FAC =∠EAC =135°. ……2分又∵∠FCA =∠ECA ，∴△ACF ≌△ACE . ∴AE =AF . ……3分 其他方法相应给分.（2）过点C 作CG ⊥AB 于点G ，求得AC =2.……4分∵∠FAC =∠EAC =135°，∴∠ACF +∠F =45°. 又∵∠ACF +∠ACE =45°，∴∠F =∠ACE . ∴△ACF ∽△AEC. ……5分∴ACAFAE AC =，即AF AE AC ⋅=2. ……6分 ∴2=⋅AF AE . ……7分28.解：（1）①2P ，3P ； ……2分②设P （m ,－m ＋3），则()5322=+-+m m . …3分解得11=m ，22=m . ……4分故1≤m ≤2. ……6分（2）圆心C 纵坐标C y 的取值范围为：521-≤C y ＜51-或3＜C y ≤4. ……8分。
北京市丰台区2017届九年级上期末数学试卷含答案解析
22．已知：如图，AB 为⊙O 的直径，PA、PC 是⊙O 的切线，A、C 为切点，∠ BAC=30°． （1）求∠P 的大小； （2）若 AB=6，求 PA 的长．
23．已知：△ABC． （1）求作：△ABC 的外接圆，请保留作图痕迹； （2）至少写出两条作图的依据．
四、解答题（本题共 22 分，第 24 至 25 题，每小题 5 分，第 26 至 27 题，每 小题 5 分） 24．青青书店购进了一批单价为 20 元的中华传统文化丛书．在销售的过程中发 现，这种图书每天的销售数量 y（本）与销售单价 x（元）满足一次函数关系： y=﹣3 x+108（20＜x＜36）．如果销售这种图书每天的利润为 p（元），那么销售 单价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 25．如图，将一个 Rt△BPE 与正方形 ABCD 叠放在一起，并使其直角顶点 P 落
A．10 米 B．（10 +1.5）米 C．11.5 米 D．10 米 10．如图，在菱形 ABCD 中，AB=3，∠BAD=120°，点 E 从点 B 出发，沿 BC 和 CD 边移动，作 EF⊥直线 AB 于点 F，设点 E 移动的路程为 x，△DEF 的面积为 y，则 y 关于 x 的函数图象为（ ）
2016-2017 学年北京市丰台区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本题共 30 分，每小题 3 分）下列各题均有四个选项，其中只有
一个是符合题意的．
1．如图，点 D，E 分别在△ABC
的 AB，AC 边上，且 DE∥BC，如果 AD：
AB=2：3，那么 DE：BC 等于（ ）
A．3：2 B．2：5 C．2：3 D．3：5 2．如果⊙O 的半径为 7cm，圆心 O 到直线 l 的距离为 d，且 d=5cm，那么⊙O 和直线 l 的位置关系是（ ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 3．如果两个相似多边形的面积比为 4：9，那么它们的周长比为（ ） A．4：9 B．2：3 C． ： D．16：81 4．把二次函数 y=x2﹣2x+4 化为 y=a（x﹣2 h ） +k 的形式，下列变形正确的是 （） A．y=（x+1）2+3 B．y=（x﹣2）2+3 C．y=（x﹣1 ）2+5 D．y=（x﹣1 ） 25+．3如果某个斜坡的坡度是 1： ，那么这个斜坡的坡角为（ ） A．30° B．45° C．60° D．90° 6．如图，AB 是⊙O 的直径，C，D 两点在⊙O 上，如果∠C=40°，那么∠ABD 的 度数为（ ）
2017年北京市丰台区初三上学期期末数学试卷及答案
丰台区2017学年度第一学期期末练习初 三 数 学一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1. 如果45(0)x y y =≠，那么下列比例式成立的是 A ．45x y = B ．54x y = C ．45x y =D ．54x y=2．二次函数2(3)1y x =--+的最大值为A ．1B ．－1C ．3D ．－33．⊙O 1和⊙O 2的半径分别为2cm 和3cm ，如果O 1O 2=5cm ，那么⊙O 1和⊙O 2的位置关系是A ．内含B ．内切C ．相考生须知 1．本试卷共6页，共五道大题，25道小题，满分120分.考试时间120分钟.2．在试卷和答题卡上认真填写学校名称、姓名和考号. 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回. ABCO交 D ．外切4. 如图，A ，B ，C 是⊙O 上的三个点，如果∠BAC =30°，那么∠BOC 的度数是 A ．60○B ．45○C ．30○D ．15○5. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于点D ，如果AC =3， AB =6， 那么AD 的值为A. 32B. 92C.332D. 336．如图，扇形折扇完全打开后，如果张开的角度（∠BAC ）为120°，骨柄AB 的长为30cm ，扇面的宽度BD 的长为20cm ，那么这把折扇的扇面面积为 A ．2400πcm 3B ．2500πcm 3C ．2800πcm 3D ．2300πcm7. 如果点A ()11y -,，B ()22y ,，C ()33y ,都在反比例函数3y x=的图象上，那么 A ．B ．C ．D ．321y y y <<8．如图，在平面直角坐标系中，点C 的坐标123y y y <<132y y y <<213y y y <<EDACBD CABM C BAOy xB CA为（0，2），动点A 以每秒1个单位长的速度从点O 出发沿x 轴的正方向运动，M 是线段AC 的中点，将线段AM 以点A 为中心，沿顺时针方向旋转 90得到线段AB ．联结CB ．设△ABC 的面积为S ，运动时间为t 秒，则下列图象中，能表示S 与t 的函数关系的图象大致是1SO t 111SOt 11S O t 11SOt1A BCD二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分） 9．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 边上，且 DE ∥BC ，如果AD ∶DB =3∶2， EC =4，那么AE 的长等于 ．10．如图，AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 于点C ，如果 AB=8，OC=3，那么⊙O 的半径等于 ．11．在某一时刻，测得一身高为1.80m 的人的影长为3m ，同时测得一根旗杆的影长为25m ，那么这根旗杆的高度为 m ．12．在正方形网格中，ABC △的位置如图所示，则E ACBD ABCOtan B 的值为__________．13．关于x 的二次函数22y x kx k =-+-的图象与y 轴的交点在x轴的上方，请写出一个．．满足条件的二次函数的表达式： ．14．在平面直角坐标系xOy 中，对于点(),P x y ，其中0≠y ，我们把点)11,1(yx P -+-'叫做点P 的衍生点.已知点1A 的衍生点为2A ，点2A 的衍生点为3A ，点3A 的衍生点为4A ，…，这样依次得到点1A ，2A ，3A ，…，n A ，…，如果点1A 的坐标为)1,2(-，那么点3A 的坐标为________；如果点1A 的坐标为()b a ,，且点2015A 在双曲线xy 1=上，那么=+ba11________．三、解答题（本题共20分，每小题5分） 15．计算：2tan 45sin 60cos30︒+︒-︒.16．已知二次函数y= x 2－4x ＋3. （1）把这个二次函数化成2()y a x h k =-+的1234221213143xO y形式；（2）画出这个二次函数的图象，并利用图象写出当x 为何值时，y>0．17．如图，矩形ABCD 中，AP 平分∠DAB ，且AP ⊥DP 于点P ，联结CP ，如果AB ﹦8，AD ﹦4，求sin ∠DCP 的值.18．如图，正比例函数12y x =-的图象与反比例函数k y x=的图象分别交于M ，N 两点，已知点M （-2，m ）. （1）求反比例函数的表达式； （2）点P 为y 轴上的一点，当∠MPNNMOyxABCD P为直角时，直接写出点P的坐标．四、解答题（本题共22分，第19，22题每小题5分，第20，21题每小题6分）19．某工厂设计了一款产品，成本为每件20元．投放市场进行试销，经调查发现，该种产品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足=-+（20≤x≤40），设销售这种产品每天的利润为y x280W（元）.（1）求销售这种产品每天的利润W（元）与销售单价x（元）之间的函数表达式；（2）当销售单价定为多少元时, 每天的利润最大？最大利润是多少元？20. 如图，一艘渔船正自西向东航行追赶鱼群，在A处望见岛C在船的北偏东60°方向，前进20海里到达B处，此时望见岛C北在船的北偏东30°方向，以岛C为C 中心的12海里内为军事演习的危险区.请通过计算说明:如果这艘渔A B船继续向东追赶鱼群是否有进入危险区的可能. （参考数据:2 1.43 1.7≈≈，）21．如图，PB 切O 于点B ，联结PO 并延长交O 于点E ，过点B 作BA ⊥PE 交O 于 点A ，联结AP ，AE ．（1）求证：PA 是O 的切线； （2）如果OD ＝3，tan ∠AEP ＝12，求O的半径．22．对于两个相似三角形，如果对应顶点沿边界按相同方向顺序环绕，那么称这两个三角形互为同相似，如图1，111A B C ∆∽ABC ∆，则称111A B C ∆与ABC ∆互为同相似；如果对应顶点沿边界按相反方向顺序环绕，那么称这两个三角形互为异相似，如图2，222A B C ∆∽OABED PABC ∆，则称222A B C ∆与ABC ∆互为异相似.C 1B 1AA 1BC C BA 2AB 2C 2图1 图2 （1）在图3、图4和图5中，△ADE ∽△ABC ， △HXG ∽△HGF ，△OPQ ∽△OMN ，其中△ADE 与△ABC 互为 相似，△HXG 与△HGF 互为 相似，，△OPQ 与△OMN 互为 相似；BEA DCG XHFNQOPM图 3 图 4图5（2）在锐角△ABC 中，∠A <∠B <∠C ，点P 为AC 边上一定点（不与点A ，C 重合），过这个定点P 画直线截△ABC ，使截得的一个三角形与△ABC 互为异．相似．．，符合条件的直线有_____条.五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23. 已知抛物线22y x x m =--与x 轴有两个不同的交点． （1）求m 的取值范围； （2）如果A 2(1,)n n -、B 2(3,)n n +是抛物线上的两个不同点，求n 的值和抛物线的表达式；（3） 如果反比例函数k y x=的图象与（2）中的抛物线在第一象限内的交点的横坐标为0x ，且满足4<0x <5，请直接写出k 的取值范围. 24. 已知：如图，矩形ABCD 中，AB >AD .（1）以点A 为圆心，AB 为半径作弧，交DC 于点E ，且AE＝AB ，联结AE ，BE ，请补全图形，并判断∠AEB 与∠CEB 的数量关系；（2）在（1）的条件下，设EC a BE=，BE b AB=，试用等式表示a与b 间的数量关系并加以 证明.DCBAABC25．我们规定：线段外一点和这条线段两个端点连线所构成的角叫做这个点对这条线段的视 角.如图1，对于线段AB 及线段AB 外一点C ，我们称∠ACB 为点C 对线段AB 的视角. 如图2，在平面直角坐标系xOy 中，已知点D （0，4），E （0，1）.（1）⊙P 为过D ，E 两点的圆， F 为⊙P 上异于点D ，E 的一点.①如果DE 为⊙P 的直径，那么点F 对线段DE 的视角∠DFE 为_________度； ②如果⊙P 的半径为3 ，那么点F 对线段DE 的视角∠DFE 为_________度；（2）点G 为x 轴正半轴上的一个动点，当点G 对线段DE 的视角∠DGE 最大时，求点G 的坐标.yOx3413121224321y =x 24x+3x =2yOx31213214丰台区2017学年度第一学期期末练习初三数学试题答案及评分参考一、选择题（本题共8个小题，每小题4分，共32分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BADAACBC二、填空题（本题共6个小题，每小题4分，共24分） 题 号 91011121314答 案6 5 1534231y x x =-+答案不唯一1(2,)21三、解答题（共20分，每小题5分） 15．解：原式＝332122⨯+-------3分2=------5分16．解：（1）∵224+3(2)1y x x x =-=--．------2分（2）二次函数图象如右图，当13x x <>或时，0y >．------5分17．解：过点P 作PE ⊥CD 于点E ，------1分∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ＝AB ＝8，∠DAB ＝∠ADC ＝90°．∵AP 是∠DAB 的角平分线，∴∠DAP ＝12∠DAB ＝45°．∵DP ⊥AP ，∴∠APD ＝90°．∴∠ADP ＝45°．∴∠CDP ＝45°．在Rt△APD 中， AD ＝4， ∴DP＝AD ·sin ∠DAP ＝22． ------2分在Rt△DEP 中，∠DEP ＝90°，∴PE ＝DP ·sin ∠CDP ＝2，DE ＝DP ·cos ∠CDP ＝2． ∴CE ＝CD —DE ＝6． ------3分在Rt△DEP 中，∠CEP ＝90°，22210PC CE PE =+=.------4分∴sin ∠DCP ＝1010PE PC=. ------5分18．解：（1）∵点M （-2，m ）在正比例函数12y x =-的图象上，∴()1=212m -⨯-= ． ------1分∴M （-2，1）．------2分∵反比例函数k y x=的图象经过点M （-2，1），∴k ＝-2×1＝-2．∴反比例函数的解析式为2y x=-． ------ 3分（2）点P 的坐标为（0，5）或（0，5-）PD CBAE-------5分四、解答题（本题共22分，第19，22题每小题5分，第20， 21题每小题6分）19．解：（1）(20)(20)(280)W y x x x =-=--+ ------- 1分221201600x x =-+-． ------- 3分（2）()2230200W x =--+． ------4分∴当销售单价定为30元时，工厂每天获得的利润最大，最大利润是200元．------5分20．解：过点C 作CD ⊥AB ，交AB 延长线于点D ．由题意可知，------- 1分在△ABC 中，∠CAB ＝30°，∠ABC ＝90°＋30°＝120°，∴∠ACB ＝30°，BC ＝AB ＝20 ． ------- 3分在Rt△CBD 中，∠CBD ＝60°， ∴CD ＝CB ·sin ∠CBD ＝103（海里）． ------- 5分∵103﹥12，∴这艘渔船继续向东航行追赶鱼群不会进入危险区． ------- 6分北ABCD21．（1）证明：如图，联结OA ，OB ．∵PB 是⊙O 的切线，∴ ∠PBO ＝90°． -------1分∵ OA ＝OB ，BA ⊥PE 于点D ， ∴ ∠POA ＝∠POB ． -------2分又∵ PO ＝PO ，∴ △PAO ≌△PBO ．∴ ∠PAO ＝∠PBO ＝90°． ∴PA ⊥OA ．∴ 直线PA 为⊙O 的切线． ------- 3分（2）在Rt△ADE 中，∠ADE ＝90°，∵tan ∠AEP ＝ADDE＝12，∴设AD ＝x ，DE ＝2x ．----- 4分∴OE ＝2x —3．在Rt△AOD 中，由勾股定理 ，得 (2x－3)2＝x 2＋32． ------5分解得，x 1＝4，x 2＝0（不合题意，舍去）．∴ AD＝4，OA ＝OE ＝2x －3＝5． 即⊙O的半径的长PD EBAO5． ------ 6分 22．解：（1）同，异，同． ------3分（2）1或2． ------5分 五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．解：（1）根据题意得，Δ440m =+>，------1分解得 1.m >-------2分（2）由题意知，抛物线对称轴为直线x ＝1，点A和点B 是抛物线上的两个对称点，则()311(1)n n +-=--，解得0.n =------3分∴点A （-1，0），∴22 3.y x x =--------5分（3）2060.k << ------7分24．解：（1）如图1， ------1分∠AEB ＝∠CEB ． ------2分 （2）b a 21=. ------3分证明：如图2，作过点A 作AF ⊥BE 于点F ， ------4图1EABCDFEDC分∵ AB ＝AE ，∴1.2BF BE =∵∠AFB ＝∠C =90°，∠ABE ＝∠CEB ， ∴△ABF ∽△BEC . ------5分 ∴ABBFBE EC=． ------6分∴ABBEBE EC 21=， 即12a b =． ------7分25.解：（1）①90°； ------1分②60°或120°． ------3分 （2）如图，当⊙P 与x 轴相切，G 为切点时，∠DGE 最大．------4分由题意知，点P 在线段ED 的垂直平分线上，∴PG ＝2.5. ------5分过点P 作PH ⊥DE 于点H ， ∴1 1.5.2EH DE ==------6分∵PG ⊥x 轴，∴四边形PHOG 为矩形.联结PE ，在Rt △PEH 中， PE ＝PG ＝2.5，EH ＝1.5，∴PH ＝2．所以点G （2，0）． ------8分图21PxOy D GH E。
2016-2017第一学期九年级数学期末试卷(含答案)
2016-2017学年度第一学期九年级数学期末检测试卷一、选择题(本大题8小题，每小题3分，共24分，请将下列各题中唯一正确的答案代号A 、B 、C 、D 填到本题后括号内)1. 民族图案是数学文化中的一块瑰宝，下列图案中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（ ）2．一元二次方程240+=x x 的解为（ ）A ．4=xB ．4=-xC ．121,3=-=x xD ．120,4==-x x 3．如果关于x 的一元二次方程ax 2+x ﹣1=0有实数根，则a 的取值范围是( ) A ．14a >-B ．14a ≥- C ．14a ≥-且a ≠0 D ．14a >且a ≠0 4．抛物线262y x x =-+的顶点坐标是（ ）A ．（－3，7）B ．（3，2）C ．（3，－7）D ．（6，2）5．如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上一点，∠CDB ＝20°，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，则∠E 的度数为（ ） A ．20° B ．30° C ．40° D ． 50°6. 一个布袋内只装有1个黑球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球后放回搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是黑球的概率是( ) A .49B .13C .16D .197．若反比例函数1232)12(---=k kx k y 的图象位于第二、四象限，则k 的值是（ ）A . 0B . 0或23 C . 0或23- D . 4 8. 已知面积为2的三角形ABC ，一边长为x ，这边上的高为y ，则y 与x 的变化规律用图象表示正确的是（ ）9.如图，Rt △ABC 的斜边AB 与量角器的直径恰好重合，B 点与0刻度线的一端重合，∠ABC=40°，射线CD 绕点C 转动，与量角器外沿交于点D ，若射线CD 将△ABC 分割出以BC 为边的等腰三角形，则点D 在量角器上对应的度数是（ ）A ．40°B ．80°或140°C ．70°D ．70°或80° 10．如图，已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2，点D 为边AB 上一点，过点D 作DE∥AC，交BC 于点E ；过点E 作EF⊥DE，交AB 的延长线于点F.设AD ＝x ，△DEF 的面积为y ，则能大致反映y 与x函数关学校 班级 姓名 座位号系的图象是( )二、填空题(本题共4小题，每小题4分，共16分)11．某药品2013年的销售价为50元/盒，2015年降价为42元/盒，若平均每年降价百分率是x ，则可以列方程 ； 12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线212y x =经过平移得到抛物线2122y x x =-，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为__________；13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 经过点A(6，0)、B(0，6)，⊙O 的半径为2(O 为坐标原点)，点P 是直线AB 上的一动点，过点P 作⊙O 的一条切线PQ ，Q 为切点，则切线长PQ 的最小值为＝ ；14. 如图，在4×4正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，现在任意选取一个白色的小正方形并涂黑，使黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是 .三、解答题(本大题2小题，每小题8分，共16分)15. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为了扩大销售、增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件，若商场平均每天盈利2100元，每件衬衫应降价多少元？16．设点A 的坐标为（x ，y ），其中横坐标x 可取﹣1、2，纵坐标y 可取﹣1、1、2． （1）求出点A 的坐标的所有等可能结果（用树状图或列表法求解）； （2）试求点A 与点B （1，﹣1）关于原点对称的概率．四、(本大题2小题，每小题8分，共16分)17. 如图，正比例函数12y x =-与反比例函数2y 相交于点E （m ，2）． （1）求反比例函数2y 的解析式．（2）观察图象直接写出当120y y >>时，x 的取值范围．18．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(10，0)，点B 的坐标为(8，0)，点C ，D 在以OA 为直径的半圆M 上，且四边形OCDB 是平行四边形．求点C 的坐标．五、(本大题2小题，每小题10分，共20分)19．如图所示，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A （﹣2，3），B （﹣6，0），C （﹣1，0）． （1）点A 关于原点O 对称的点的坐标为 ；（2）将△ABC 绕坐标原点O 逆时针旋转90°，画出图形并求A 点经过的路径长； （3）请直接写出：以A 、B 、C 为顶点的平行四边形的第四个顶点D 的坐标．20. 实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量y （毫克/百毫升）与时间x （时）的关系可近似地用二次函数2200400y x x =-+；1.5小时后（含1.5小时）y 与x 可近似地用反比例函数(0ky k x=＞）刻画，如图.（1）喝酒后血液中酒精含量达到最大值？最大值是多少？ （2）当x=5时，y=45，求k 的值；（3）按照国家规定，驾驶员血液中酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时，属于“酒后驾驶”，不能驾车，假设某驾驶员晚上20:00在家喝了半斤低度白酒，第二天早上7:00能否驾车去上班？说明理由.六、本题12分21. 如图，△ABC 中，BE 是它的角平分线，∠C ＝90°，D 在AB 边上，以DB 为直径的半圆O 经过点E ，交BC 于点F .(1)求证：AC 是⊙O 的切线；(2)若∠A ＝30°，连接EF ，求证：EF ∥AB ；(3)在(2)的条件下，若AE ＝2，求图中阴影部分的面积．七、本题12分22. 操作：在△ABC 中，AC=BC=2，∠C =90°，将一块等腰三角板的直角顶点放在斜边AB 的中点P 处，将三角板绕点P 旋转，三角板的两直角边分别交射线AC 、CB 于D 、E 两点．如图①、②、③是旋转三角板得到的图形中的3种情况，研究：y （毫克/百毫升）455x （时）（1）三角板绕点P旋转，观察线段PD与PE之间有什么数量关系？并结合图②说明理由．（2）三角板绕点P旋转，△PBE是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PBE为等腰三角形时CE的长）；若不能，请说明理由．八、本题14分23．科技馆是少年儿童节假日游玩的乐园．如图所示，图中点的横坐标x表示科技馆从8：30开门后经过的时间（分钟），纵坐标y表示到达科技馆的总人数．图中曲线对应的函数解析式为y=，10：00之后来的游客较少可忽略不计．（1）请写出图中曲线对应的函数解析式；（2）为保证科技馆内游客的游玩质量，馆内人数不超过684人，后来的人在馆外休息区等待．从10：30开始到12：00馆内陆续有人离馆，平均每分钟离馆4人，直到馆内人数减少到624人时，馆外等待的游客可全部进入．请问馆外游客最多等待多少分钟？2016-2017九年级数学参考答案一、选择题: 1-10：C D CCD D A C B A二、填空题11、250(1)42x -=； 12、4； 13、 14； 14、513三、解答题：15、解：设每件衬衫应降价x 元，可使商场每天盈利2100元．根据题意得（45﹣x ）（20+4x ）=2100， 化简得：2403000x x -+=…………………………..5分 解得x 1=10，x 2=30．因尽快减少库存，故x=30．(未作讨论的酌情扣1-2分) 答：每件衬衫应降价30元．…………………………..10分16、（1）列举所有等可能结果，画出树状图如下由上图可知，点A 的坐标的所有等可能结果为：（﹣1，﹣1）、（﹣1，1）、（﹣1，2）、（2，﹣1）、 （2，1）、（2，2），共有6种，…………………………6分 （2）点B （1，﹣1）关于原点对称点的坐标为（-1,1）． ∴P （点A 与点B 关于原点对称）=16…………………………10分 四、17、解：（1）设反比例函数解析式为xky =2………………1分 ∵x y 21-=过点)2,(m E ∴122-==-m m ∴)2,1(-E …………4分∵xky =2过)2,1(-E ∴2-=k ∴反比例函数解析式为xy 22-=……………7分 （2）当x ＜-1时，120y y >>．………………………10分18. 解：过点M 作MF ⊥CD 于点F ，过点C 作CE ⊥x 轴于点E ，连接CM. 在Rt △CMF 中，CF ＝12CD ＝12OB ＝4，CM ＝12OA ＝5，∴MF ＝CM 2－CF 2＝3.∴CE ＝MF ＝3.又EM ＝CF ＝4，OM ＝12OA ＝5，∴OE ＝OM －EM ＝1. ∴C(1，3)．五、19、解：（1）点A 关于原点O 对称的点的坐标为（2，﹣3）；…………………………..1分（2）△ABC 旋转后的△A ′B ′C ′如图所示，…………………………..4分 点A ′的对应点的坐标为（﹣3，﹣2）； OA ′，即点A；…………..7分（3）若AB 是对角线，则点D （﹣7，3）， 若BC 是对角线，则点D （﹣5，﹣3）， 若AC 是对角线，则点D （3，3）．…………………………..10分 20.解：(1)证明：连接OE.∵OB ＝OE ，∴∠BEO ＝∠EBO.∵BE 平分∠CBO ，∴∠EBO ＝∠CBE. ∴∠BEO ＝∠CBE.∴EO ∥BC.∵∠C ＝90°，∴∠AEO ＝∠C ＝90°. ∴AC 是⊙O 的切线．(2)证明：∵∠A ＝30°，∴∠ABC ＝60°. ∴∠OBE ＝∠FBE ＝30°.∴∠BEC ＝90°－∠FBE ＝60°. ∵∠CEF ＝∠FBE ＝30°，∴∠BEF ＝∠BEC －∠CEF ＝60°－30°＝30°. ∴∠BEF ＝∠OBE.∴EF ∥AB. (3)连接OF.∵EF ∥AB ，BF ∥OE ，OB ＝OE ，∴四边形OBFE 是菱形． ∴S △EFB ＝S △EOF. ∴S 阴影＝S 扇EOF.设圆的半径为r ，在Rt △AEO 中，AE ＝2，∠A ＝30°，∴r ＝OE ＝233.∴S 阴影＝S 扇EOF ＝60π×（233）2360＝2π9.六、21、解：（1）22200400200(1)200y x x x =-+=--+,∴饮酒后1小时血液中酒精含量达到最大值，最大值为200（毫克/百毫升）（2）k=225（3）不能驾车上班，理由：晚上20:00到第二天早上7:00共计11小时，把x=11代入22522511y y x ==得，＞20,所以不能.七、22、解：（1）由图①可猜想PD=PE ，再在图②中构造全等三角形来说明．即PD=PE ．y （毫克/百毫升）455x （时）理由如下：连接PC，因为△ABC是等腰直角三角形，P是AB的中点，∴CP=PB，CP⊥AB，∠ACP=12∠ACB=45°．∴∠ACP=∠B=45°．又∵∠DPC+∠CPE=∠BPE+∠CPE，∴∠DPC=∠BPE．∴△PCD≌△PBE．∴PD=PE．（2）△PBE是等腰三角形，①当PE=PB时，此时点C与点E重合，CE=0；②当BP=BE时，E在线段BC上，；E在CB的延长线上，；③当EP=EB时，CE=1．八、23、解（1）由图象可知，300=a×302，解得a=，n=700，b×（30﹣90）2+700=300，解得b=﹣，∴y=，（2）由题意﹣（x﹣90）2+700=684，解得x=78，∴=15，∴15+30+（90﹣78）=57分钟所以，馆外游客最多等待57分钟．。
北京市丰台区2016届九年级上学期期末考试数学试题解析(解析版)
北京市丰台区2016届九年级上学期期末考试数学试题一、选择题（本题共30分，每小题3分，）下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的1.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC ＝3，AB=4， 则cosB 的值是( )A ．37B ．47C ．43D ．34【答案】C 【解析】试题分析：根据直角三角形的锐角三角函数可得：cosB=34BC AB =. 考点：三角函数的计算2.如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，且 DE ∥BC ，如果AD ∶DB=3∶2，那么AE ∶AC 等于( ) A ．3∶2 B ．3∶1 C ．2∶3 D ．3∶5【答案】D 【解析】试题分析：根据AD:DB=3：2可得：AD:AB=3:5，根据DE ∥BC 可得：△ADE ∽△ABC ，∴AE:AC=AD:AB=3：5. 考点：三角形相似的应用3.⊙O 的半径为3cm ，如果圆心O 到直线l 的距离为d ， 且d=5cm ，那么⊙O 和直线l 的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定 【答案】C 【解析】试题分析：当圆心到直线的距离d ＞r ，则直线与圆相离；当圆心到直线的距离d=r ，则直线与圆相切；当圆心到直线的距离d ＜r ，则直线与圆相交. 考点：直线与圆的位置关系4.抛物线3)2(2+-=x y 的顶点坐标是（ ）A ．（2，3）B ．（－2，3）C ．（2，－3）D ．（－2，－3）5.如果ABC DEF △∽△，相似比为2∶1，且△DEF 的面积为4，那么△ABC 的面积为( )A ．1B ．4C ．8D ．16 【答案】D 【解析】试题分析：相似三角形的面积之比等于相似比的平方.根据定义可得：△ABC 的面积：△DEF 的面积=1:4. 考点：相似三角形的应用6.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠BCD=120°，则∠BAD 的度数是( )A ．30°B ．60°C ．80°D ．120°【答案】B 【解析】试题分析：圆的内接四边形对角互补，则∠BAD=180°－∠BCD=180°－120°=60°. 考点：圆的内接四边形的性质 7.对于反比例函数2y x=，下列说法正确的是( )A．图象经过点（2，-1） B．图象位于第二、四象限C．当x＜0时，y随x的增大而减小 D．当x＞0时，y随x的增大而增大【答案】C【解析】试题分析：对于反比例函数y=2x图象上的点的横纵坐标之积为2；图象位于第一、三象限；在每个象限内y随着x的增大而减小.考点：反比例函数的性质.8.如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿顶端的影子与树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时竹竿与这一点相距5m，与树相距10m，则树的高度为( )A. 5mB. 6mC. 7mD. 8m【答案】B【解析】试题分析：根据题意可得:△ABC∽△ADE，则AC BCAE DE=，即52=5+10DE，解得：DE=6，即树的高度为6m.考点：三角形相似的应用9.小宏用直角三角板检查某些工件的弧形凹面是否是半圆，下列工件的弧形凹面一定是半圆的是A B C D【答案】A【解析】试题分析：本题根据直径所对的圆周角为直角可以得出答案.考点：圆心的确定10.如图，点A 、B 、C 、D 、E 、F 为⊙O 的六等分点，动点P 从圆心O 出发，沿OE →弧EF →FO 的路线做匀速运动，设运动的时间为t ，∠BPD 的度数为y ，则下列图象中表示y 与t 之间函数关系最恰当的是( )A B C D 【答案】C 【解析】试题分析：当点P 在圆心O 时每间BPD=120°；当点P 在OE 上运动时，∠BPD 的度数从120°减小到60°；当点P 在弧EF 上运动时，∠BPD=60°；当点P 在FO 上运动时，∠BPD 的度数从600°增加到120°. 考点：动点问题二、填空题（本题共22分，第11题3分，第12题3分，第13-16题，每小题4分）11.如果A ∠是锐角，且sinA=21，那么=∠A __________゜．【答案】30 【解析】试题分析：根据直角三角形特殊角的三角函数可得：∠A=30°. 考点：三角函数的计算 12.已知y x 5=2，则=yx__________． 【答案】52【解析】试题分析：根据比的性质可以得出52x y =. EBFCDAO考点：比的性质13.圆心角是60°的扇形的半径为6，则这个扇形的面积是 . 【答案】6π【解析】试题分析：根据扇形的面积计算公式可得：S=2606360p´=6π.考点：扇形的面积计算14.排水管的截面为如图所示的⊙O，半径为5m，如果圆心O到水面的距离是3m，那么水面宽AB=__________ m.【答案】8【解析】试题分析：过点O作OC⊥AB，连接OA，根据题意可得：OA=5m，OC=3m，根据Rt△AOC的勾股定理可得：AC=4m，则AB=2AC=8m.考点：垂径定理15.请写出一个符合以下三个条件的二次函数的解析式：．①过点（1，1）；②当0x 时，y随x的增大而减小；③当自变量的值为3时，函数值小于0．【答案】y=－2x+2【解析】试题分析：根据第二个条件可以得出函数的开口向下，且对称轴在y轴的左边或者是y轴.考点：二次函数的性质16.阅读下面材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题：利用直尺和圆规确定图中弧AB所在圆的圆心．A B小亮的作法如下：老师说：“小亮的作法正确．”请你回答：小亮的作图依据是_________________________．三、解答题（本题共24分，每小题6分）17.计算：2cos30°－tan 45°＋sin 60°．－1 【解析】试题分析：首先根据三角函数分别求出三个三角函数的值，然后根据实数的加减法计算法则进行计算. 试题解析：原式=2－1 考点：(1)、锐角三角函数；(2)、实数的计算. 18.函数5-4+=1-3x mxy m 是二次函数．(1)、求m 的值；(2)、写出这个二次函数图象的对称轴： ；将解析式化成y=a(x-h)2+k 的形式为： 【答案】(1)、m=1；(2)、直线x=－2；y=2(2)x +－9. 【解析】试题分析：(1)、根据二次函数的定义得出m 的值；(2)、根据配方法得出二次函数的顶点式. 试题解析：(1)、由题意得：3m －1=2，解得m=1.(2)、二次函数的对称轴为：x=－2 顶点式为：y=2(2)x +－9. 考点：二次函数的性质19.如图，在ABC △中，D 是AB 上一点，连接 CD ，且∠ACD =∠ABC.(1)、求证：△ACD ∽△ABC ； (2)、若AD=6，AB=10，求AC 的长.【答案】(1)、证明见解析；(2)、 【解析】试题分析：(1)、根据∠A 为公共角以及∠ACD=∠ABC 得出三角形相似； (2)、根据三角形相似得出2AC =AD ·AB ，从而求出AC 的长度.试题解析：(1)、∵∠A=∠A, ∠ACD=∠ABC, ∴ΔACD ∽ΔABC.(2)、∵ΔACD ∽ΔABC,∴AC AD AB AC=∴2AC =AD ·AB ∴ 考点：三角形相似的判定与性质 20.如图，直线2+=1x y 与双曲线xky =2相交于A ，B 两点其中点A 的纵坐标为3，点B 的纵坐标为-1. (1)、求k 的值；(2)、若21<y y ，请你根据图象确定x 的取值范围．【答案】(1)、k=3；(2)、x ＜－3或0＜x ＜1. 【解析】试题分析：(1)、首先根据点A 的纵坐标以及一次函数的解析式得出点A 的坐标，然后将点A 的坐标代入反比例函数解析式得出k 的值；(2)、根据函数解析式得出点B 的坐标，然后根据函数图象得出x 的取值范围. 试题解析：(1)、∵点A 的纵坐标为3, ∴x+2=3. ∴x=1. ∴点A 坐标是（1，3） ∵点A 在反比例函数2ky x的错误！未找到引用源。
2016-2017年度丰台上学期初三数学期末考试试题及答案
丰台区2016-2017学年度第一学期期末练习初 三 数 学2017.01一、选择题(本题共30分，每小题3分)下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1。
如图，点D ,E 分别在△ABC 的AB ,AC 边上，且DE ∥BC ， 如果AD ∶AB =2∶3，那么DE ∶BC 等于A. 3∶2B. 2∶5C 。
2∶3D. 3∶52. 如果⊙O 的半径为7cm ，圆心O 到直线l 的距离为d ，且d =5cm ，那么⊙O 和直线l 的位置关系是 A 。
相交B. 相切C 。
相离D 。
不确定3。
如果两个相似多边形的面积比为4∥9，那么它们的周长比为 A. 4∶9B. 2∶3C.2∶3D. 16∶814. 把二次函数422+-=x x y 化为()k h x a y +-=2的形式，下列变形正确的是 A. ()312++=x yB 。
()322+-=x yC. ()512+-=x yD 。
()312+-=x yADECB5。
如果某个斜坡的坡度是1：3，那么这个斜坡的坡角为 A 。
30° B 。
45° C 。
60°D 。
90°6. 如图，AB 是⊙O 的直径,C ，D 两点在⊙O 上,如果∠C =40°,那么∠ABD 的度数为 A 。
40° B 。
50°C 。
70°D 。
80°7. 如果A （2，1y )，B （3，2y ）两点都在反比例函数xy 1=的图象上，那么1y 与2y 的大小关系是 A 。
21y y <B 。
21y y >C 。
21y y =D 。
21y y ≥8. 如图，AB 为半圆O 的直径，弦AD ，BC 相交于点P ,如果CD = 3，AB = 4，那么S △PDC ∶S △PBA 等于A 。
16∶9B 。
3∶4 C. 4∶3 D 。
北京市丰台区届九级上期末数学试卷含答案解析
2016-2017学年北京市丰台区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．如图，点D，E分别在△ABC 的AB，AC边上，且DE∥BC，如果AD：AB=2：3，那么DE：BC等于（）A．3：2 B．2：5 C．2：3 D．3：52．如果⊙O的半径为7cm，圆心O到直线l的距离为d，且d=5cm，那么⊙O和直线l的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不确定3．如果两个相似多边形的面积比为4：9，那么它们的周长比为（）A．4：9 B．2：3 C．： D．16：814．把二次函数y=x2﹣2x+4化为y=a（x﹣h）2+k的形式，下列变形正确的是（）A．y=（x+1）2+3 B．y=（x﹣2）2+3 C．y=（x﹣1）2+5 D．y=（x﹣1）2+35．如果某个斜坡的坡度是1：，那么这个斜坡的坡角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°6．如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在⊙O上，如果∠C=40°，那么∠ABD的度数为（）A．40°B．50°C．70°D．80°7．如果A（2，y1），B（3，y2）两点都在反比例函数y=的图象上，那么y1与y2的大小关系是（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1=y2D．y1≥y28．如图，AB为半圆O的直径，弦AD，BC相交于点P，如果CD=3，AB=4，那么S△PDC：S△PBA等于（）A．16：9 B．3：4 C．4：3 D．9：169．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE=0.5米，EF=0.25米，目测点D到地面的距离DG=1.5米，到旗杆的水平距离DC=20米，则旗杆的高度为（）A．10米B．（10+1.5）米C．11.5米D．10米10．如图，在菱形ABCD中，AB=3，∠BAD=120°，点E从点B出发，沿BC和CD边移动，作EF⊥直线AB于点F，设点E移动的路程为x，△DEF的面积为y，则y关于x的函数图象为（）A．B．C．D．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．二次函数y=2（x﹣1）2﹣5的最小值是．12．已知，则=．13．已知一扇形的面积是24π，圆心角是60°，则这个扇形的半径是．14．请写出一个符合以下两个条件的反比例函数的表达式：．①图象位于第二、四象限；②如果过图象上任意一点A作AB⊥x轴于点B，作AC⊥y轴于点C，那么得到的矩形ABOC的面积小于6．15．如图，将半径为3cm的圆形纸片折叠后，劣弧中点C恰好与圆心O距离1cm，则折痕AB的长为cm．16．太阳能光伏发电是一种清洁、安全、便利、高效的新兴能源，因而逐渐被推广使用．如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中的粗线表示支撑角钢，太阳能电池板与支撑角钢AB的长度相同，支撑角钢EF长为cm，AB的倾斜角为30°，BE=CA=50cm，支撑角钢CD，EF与底座地基台面接触点分别为D，F，CD垂直于地面，FE⊥AB于点E．两个底座地基高度相同（即点D，F到地面的垂直距离相同），均为30cm，点A到地面的垂直距离为50cm，则支撑角钢CD的长度是cm，AB的长度是cm．三、解答题（本题共35分，每小题5分）17．计算：6tan 30°+cos245°﹣sin 60°．18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，BC=12，求AB的长．19．已知二次函数y=﹣x2+x+c的图象与x轴只有一个交点．（1）求这个二次函数的表达式及顶点坐标；（2）当x取何值时，y随x的增大而减小．20．如图，已知AE 平分∠BAC，=．（1）求证：∠E=∠C；（2）若AB=9，AD=5，DC=3，求BE的长．21．如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=的图象与一次函数y=﹣x+1的图象的一个交点为A（﹣1，m）．（1）求这个反比例函数的表达式；（2）如果一次函数y=﹣x+1的图象与x轴交于点B（n，0），请确定当x＜n时，对应的反比例函数y=的值的范围．22．已知：如图，AB为⊙O的直径，PA、PC是⊙O的切线，A、C为切点，∠BAC=30°．（1）求∠P的大小；（2）若AB=6，求PA的长．23．已知：△ABC．（1）求作：△ABC的外接圆，请保留作图痕迹；（2）至少写出两条作图的依据．四、解答题（本题共22分，第24至25题，每小题5分，第26至27题，每小题5分）24．青青书店购进了一批单价为20元的中华传统文化丛书．在销售的过程中发现，这种图书每天的销售数量y（本）与销售单价x（元）满足一次函数关系：y=﹣3x+108（20＜x＜36）．如果销售这种图书每天的利润为p（元），那么销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？25．如图，将一个Rt△BPE与正方形ABCD 叠放在一起，并使其直角顶点P落在线段CD上（不与C，D两点重合），斜边的一部分与线段AB重合．（1）图中与Rt△BCP相似的三角形共有个，分别是；（2）请选择第（1）问答案中的任意一个三角形，完成该三角形与△BCP相似的证明．26．有这样一个问题：探究函数y=的图象与性质．小美根据学习函数的经验，对函数y=的图象与性质进行了探究．下面是小美的探究过程，请补充完整：（1）函数y=的自变量x的取值范围是；（2）下表是y与x的几组对应值．﹣﹣﹣﹣求m的值；（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；（4）结合函数的图象，写出该函数的一条性质：．27．如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O，与BC交于点D，点E是弧BD的中点，连接AE交BC于点F，∠ACB=2∠BAE．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若sinB=，BD=5，求BF的长．五、解答题（本题共15分，第28题7分，第29题8分）28．已知抛物线G1：y=a（x﹣h）2+2的对称轴为x=﹣1，且经过原点．（1）求抛物线G1的表达式；（2）将抛物线G1先沿x轴翻折，再向左平移1个单位后，与x轴分别交于A，B两点（点A在点B 的左侧），与y轴交于C点，求A点的坐标；（3）记抛物线在点A，C之间的部分为图象G2（包含A，C两点），如果直线m：y=kx﹣2与图象G2只有一个公共点，请结合函数图象，求直线m与抛物线G2的对称轴交点的纵坐标t的值或范围．29．如图，对于平面直角坐标系xOy中的点P和线段AB，给出如下定义：如果线段AB上存在两个点M，N，使得∠MPN=30°，那么称点P为线段AB的伴随点．（1）已知点A（﹣1，0），B（1，0）及D（1，﹣1），E（，﹣），F（0，2+），①在点D，E，F中，线段AB的伴随点是；②作直线AF，若直线AF上的点P（m，n）是线段AB的伴随点，求m的取值范围；（2）平面内有一个腰长为1的等腰直角三角形，若该三角形边上的任意一点都是某条线段a的伴随点，请直接写出这条线段a的长度的范围．2016-2017学年北京市丰台区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．如图，点D，E分别在△ABC 的AB，AC边上，且DE∥BC，如果AD：AB=2：3，那么DE：BC等于（）A．3：2 B．2：5 C．2：3 D．3：5【考点】平行线分线段成比例．【分析】由平行线分线段成比例定理即可得出结果．【解答】解：∵DE∥BC，∴DE：BC=AD：AB=2：3；故选：C．2．如果⊙O的半径为7cm，圆心O到直线l的距离为d，且d=5cm，那么⊙O和直线l的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不确定【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据直线和圆的位置关系的内容判断即可．【解答】解：∵⊙O的半径为7cm，圆心O到直线l的距离为d，且d=5cm，∴5＜7，∴直线l与⊙O的位置关系是相交，故选A．3．如果两个相似多边形的面积比为4：9，那么它们的周长比为（）A．4：9 B．2：3 C．： D．16：81【考点】相似多边形的性质．【分析】直接根据相似多边形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方进行解答即可．【解答】解：∵两个相似多边形面积的比为4：9，∴两个相似多边形周长的比等于2：3，∴这两个相似多边形周长的比是2：3．故选：B．4．把二次函数y=x2﹣2x+4化为y=a（x﹣h）2+k的形式，下列变形正确的是（）A．y=（x+1）2+3 B．y=（x﹣2）2+3 C．y=（x﹣1）2+5 D．y=（x﹣1）2+3【考点】二次函数的三种形式．【分析】利用配方法整理即可得解．【解答】解：y=x2﹣2x+4，=x2﹣2x+1+3，=（x﹣1）2+3．故选D．5．如果某个斜坡的坡度是1：，那么这个斜坡的坡角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】根据坡角的正切=坡度，列式可得结果．【解答】解：设这个斜坡的坡角为α，由题意得：tanα=1：=，∴α=30°；故选A．6．如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在⊙O上，如果∠C=40°，那么∠ABD的度数为（）A．40°B．50°C．70°D．80°【考点】圆周角定理．【分析】由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，求得∠DAB的度数．由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角求得∠ADB的度数，进而即可求得∠ABD的度数．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠C=40°，∴∠DAB=∠C=40°，∴∠ABD=90°﹣∠DAB=50°．故选B．7．如果A（2，y1），B（3，y2）两点都在反比例函数y=的图象上，那么y1与y2的大小关系是（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1=y2D．y1≥y2【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】直接把点A（2，y1），B（3，y2）两点代入反比例函数y=的解析式，求出y1与y2的值，再比较其大小即可．【解答】解：∵A（2，y1），B（3，y2）两点都在反比例函数y=的图象上，∴y1=，y2=．∵＞，∴y1＞y2．故选B．8．如图，AB为半圆O的直径，弦AD，BC相交于点P，如果CD=3，AB=4，那么S△PDC：S△PBA等于（）A．16：9 B．3：4 C．4：3 D．9：16【考点】相似三角形的判定与性质；圆周角定理．【分析】根据图形可得∠DCP=∠BAP，∠CPD=∠APB，进而得出△ABP∽△CDP，根据相似三角形的性质可得，S△PDC ：S△PBA=（）2，最后根据CD=3，AB=4进行计算即可．【解答】解：∵∠DCP=∠BAP ，∠CPD=∠APB ， ∴△ABP ∽△CDP ，∴S △PDC ：S △PBA =（）2=（）2=，故选：D ．9．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF 来测量操场旗杆AB 的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF 与地面保持平行，并使边DE 与旗杆顶点A 在同一直线上，已知DE=0.5米，EF=0.25米，目测点D 到地面的距离DG=1.5米，到旗杆的水平距离DC=20米，则旗杆的高度为（ ）A ．10米B ．（10+1.5）米C ．11.5米D ．10米【考点】相似三角形的应用．【分析】确定出△DEF 和△DAC 相似，根据相似三角形对应边成比例求出AC ，再根据旗杆的高度=AC +BC 计算即可得解．【解答】解：∵∠FDE=∠ADC=30°， ∠DEF=∠DCA=90°， ∴△DEF ∽△DAC ， ∴=，即=，解得AC=10，∵DF 与地面保持平行，目测点D 到地面的距离DG=1.5米， ∴BC=DG=1.5米，∴旗杆的高度=AC +BC=10+1.5=11.5米． 故选C ．10．如图，在菱形ABCD中，AB=3，∠BAD=120°，点E从点B出发，沿BC和CD边移动，作EF⊥直线AB于点F，设点E移动的路程为x，△DEF的面积为y，则y关于x的函数图象为（）A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【分析】分两种情形求出y与x的关系即可判断．【解答】解：①当E在BC边上时，y=S菱形ABCD﹣S△BEF﹣S△ADF﹣S△DEC=2××32﹣••x﹣•（3﹣x）•﹣•（3﹣x）•=﹣x2+x．②当点E在CD上时，y=•（6﹣x）•=﹣x+，故选C．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．二次函数y=2（x﹣1）2﹣5的最小值是﹣5．【考点】二次函数的最值．【分析】由二次函数的定顶点式可得当x=1时，y取得最小值﹣5．【解答】解：∵y=2（x﹣1）2﹣5，∴当x=1时，y取得最小值﹣5，故答案为：﹣5．12．已知，则=．【考点】比例的性质．【分析】由，得x=y，再代入所求的式子化简即可．【解答】解：，得x=y，把x=y，代入=．故答案为：．13．已知一扇形的面积是24π，圆心角是60°，则这个扇形的半径是12．【考点】扇形面积的计算．【分析】把已知数据代入扇形的面积公式S=，计算即可．【解答】解：设这个扇形的半径是为R，则=24π，解得，R=12，故答案为：12．14．请写出一个符合以下两个条件的反比例函数的表达式：y=﹣．①图象位于第二、四象限；②如果过图象上任意一点A作AB⊥x轴于点B，作AC⊥y轴于点C，那么得到的矩形ABOC的面积小于6．【考点】反比例函数系数k的几何意义．【分析】设反比例函数解析式为y=，根据反比例函数的性质得k＜0，根据k的几何意义得到|k|＜6，然后取一个k的值满足两个条件即可．【解答】解：设反比例函数解析式为y=，根据题意得k＜0，|k|＜6，当k取﹣5时，反比例函数解析式为y=﹣．故答案为y=﹣．15．如图，将半径为3cm的圆形纸片折叠后，劣弧中点C恰好与圆心O距离1cm，则折痕AB的长为2cm．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】连接OC并延长交⊙O于D，交AB于E，由点C是劣弧AB的中点，得到OC⊥AB，AE=BE，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：连接OC并延长交⊙O于D，交AB于E，∵点C是劣弧AB的中点，∴OC⊥AB，AE=BE，∵OD=3，OC=1，∴CE=DE=1，∴OE=2，∴AE==，∴AB=cm；故答案为：2．16．太阳能光伏发电是一种清洁、安全、便利、高效的新兴能源，因而逐渐被推广使用．如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中的粗线表示支撑角钢，太阳能电池板与支撑角钢AB的长度相同，支撑角钢EF长为cm，AB的倾斜角为30°，BE=CA=50cm，支撑角钢CD，EF与底座地基台面接触点分别为D，F，CD垂直于地面，FE⊥AB于点E．两个底座地基高度相同（即点D，F到地面的垂直距离相同），均为30cm，点A到地面的垂直距离为50cm，则支撑角钢CD的长度是45cm，AB的长度是300cm．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】过A作AG⊥CD于G，在Rt△ACG中，求得CG=25，再根据题意得出GD=50﹣30=20，代入CD=CG+GD求出支撑角钢CD的长度；连接FD并延长与BA的延长线交于H，在Rt△CDH中，根据三角函数的定义得到CH=90，在Rt△EFH中，根据三角函数的定义即可得到结论．【解答】解：过A作AG⊥CD于G，则∠CAG=30°，在Rt△ACG中，CG=ACsin30°=50×=25，∵GD=50﹣30=20，∴CD=CG+GD=25+20=45，即支撑角钢CD的长度是45cm．连接FD并延长与BA的延长线交于H，则∠H=30°，在Rt△CDH中，CH=2CD=90，∴AH=CH﹣AC=90﹣50=40，∵在Rt△EFH中，EH===290，∴AE=EH﹣AH=290﹣40=250，∴AB=AE+BE=250+50=300，即AB的长度是300cm．故答案为45，300．三、解答题（本题共35分，每小题5分）17．计算：6tan 30°+cos245°﹣sin 60°．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】根据特殊角的函数值，直接计算即可．【解答】解：原式===．18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，BC=12，求AB的长．【考点】解直角三角形；勾股定理．【分析】根据锐角三角函数的定义求出AC，根据勾股定理求出AB即可．【解答】解：∵∠C=90°，BC=12，，∴AC=16，∵AB2=AC2+BC2，∴AB2=162+122=400，∴AB=20．19．已知二次函数y=﹣x2+x+c的图象与x轴只有一个交点．（1）求这个二次函数的表达式及顶点坐标；（2）当x取何值时，y随x的增大而减小．【考点】抛物线与x轴的交点；待定系数法求二次函数解析式．【分析】（1）二次函数y=﹣x2+x+c的图象与x轴只有一个交点，可知△=0，解方程即可解决问题．（2）根据二次函数的增减性即可解决问题．【解答】解：（1）由题意得△=1+4c=0，∴c=﹣，∴y=﹣x2+x﹣，∵当x=﹣=时，y=0，∴顶点坐标为（，0）．（2）∵a=﹣1＜0，开口向下，∴当x＞时，y随x的增大而减小．20．如图，已知AE 平分∠BAC，=．（1）求证：∠E=∠C；（2）若AB=9，AD=5，DC=3，求BE的长．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）由AE 平分∠BAC，得到∠BAE=∠EAC，根据三角形角平分线的到来得到，得到，推出△ABE∽△ADC，根据相似三角形的性质即可得到结论；（2）根据相似三角形的性质得到，列方程即可得到结论．【解答】（1）证明：∵AE 平分∠BAC，∴∠BAE=∠EAC，又∵，得到，∴△ABE∽△ADC，∴∠E=∠C；（2）解：∵△ABE∽△ADC，∴，设BE=x，∵，∴，即BE=．21．如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=的图象与一次函数y=﹣x+1的图象的一个交点为A（﹣1，m）．（1）求这个反比例函数的表达式；（2）如果一次函数y=﹣x+1的图象与x轴交于点B（n，0），请确定当x＜n时，对应的反比例函数y=的值的范围．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）由点A在一次函数图象上利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点A的坐标，根据点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可找出反比例函数表达式；（2）令一次函数表达式中y=0求出x值，进而可得出点B的坐标，根据点B的横坐标结合图形即可得出结论．【解答】解：（1）∵点A在一次函数y=﹣x+1的图象上，∴m=﹣（﹣1）+1=2，∴点A的坐标为（﹣1，2）．∵点A在反比例函数的图象上，∴k=﹣1×2=﹣2．∴反比例函数的表达式为y=﹣．（2）令y=﹣x+1=0，解得：x=1，∴点B的坐标为（1，0），∴当x=1时，=﹣2．由图象可知，当x＜1时，y＞0或y＜﹣2．22．已知：如图，AB为⊙O的直径，PA、PC是⊙O的切线，A、C为切点，∠BAC=30°．（1）求∠P的大小；（2）若AB=6，求PA的长．【考点】切线的性质．【分析】（1）由圆的切线的性质，得∠PAB=90°，结合∠BAC=30°得∠PAC=90°﹣30°=60°．由切线长定理得到PA=PC，得△PAC是等边三角形，从而可得∠P=60°．（2）连接BC，根据直径所对的圆周角为直角，得到∠ACB=90°，结合Rt△ACB中AB=6且∠BAC=30°，得到AC=ABcos∠BAC=3．最后在等边△PAC中，可得PA=AC=3．【解答】解：（1）∵PA是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，∴PA⊥AB，即∠PAB=90°．∵∠BAC=30°，∴∠PAC=90°﹣30°=60°．又∵PA、PC切⊙O于点A、C，∴PA=PC，∴△PAC是等边三角形，∴∠P=60°．（2）如图，连接BC．∵AB是直径，∠ACB=90°，∴在Rt△ACB中，AB=6，∠BAC=30°，可得AC=ABcos∠BAC=6×cos30°=3．又∵△PAC是等边三角形，∴PA=AC=3．23．已知：△ABC．（1）求作：△ABC的外接圆，请保留作图痕迹；（2）至少写出两条作图的依据．【考点】作图—复杂作图；三角形的外接圆与外心．【分析】（1）分别作出线段AB、BC的垂直平分线，画出外接圆即可；（2）根据线段垂直平分线的性质即可得出结论．【解答】解：（1）如图⊙O即为所求；（2）作图依据：①到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；②垂直平分线上一点到线段的两个端点距离相等．四、解答题（本题共22分，第24至25题，每小题5分，第26至27题，每小题5分）24．青青书店购进了一批单价为20元的中华传统文化丛书．在销售的过程中发现，这种图书每天的销售数量y（本）与销售单价x（元）满足一次函数关系：y=﹣3x+108（20＜x＜36）．如果销售这种图书每天的利润为p（元），那么销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？【考点】二次函数的应用．【分析】根据“总利润=单件利润×销售量”列出函数解析式，并配方成顶点式可得最值情况．【解答】解：p=（x﹣20）（﹣3x+108）=﹣3x2+168x﹣2160=﹣3（x﹣28）2+192，∵20＜x＜36，且a=﹣3＜0，∴当x=28时，y最大=192．答：销售单价定为28元时，每天获得的利润最大，最大利润是192元．25．如图，将一个Rt△BPE与正方形ABCD 叠放在一起，并使其直角顶点P落在线段CD上（不与C，D两点重合），斜边的一部分与线段AB重合．（1）图中与Rt△BCP相似的三角形共有3个，分别是Rt△EPB，Rt△PDF，Rt△EAF；（2）请选择第（1）问答案中的任意一个三角形，完成该三角形与△BCP相似的证明．【考点】相似三角形的判定；正方形的性质．【分析】（1）根据相似三角形的判定定理得到Rt△EPB，Rt△PDF，Rt△EAF均与Rt△BCP相似；（2）Rt△BCP∽Rt△EPB．利用“两角法”证得结论即可．【解答】解：（1）图中与Rt△BCP相似的三角形共有3个，分别是Rt△EPB，Rt△PDF，Rt△EAF；故答案是：3；Rt△EPB，Rt△PDF，Rt△EAF；（2）答案不唯一，如：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABP+∠PBC=∠C=90°．∵∠PBC+∠BPC=90°，∴∠ABP=∠BPC．又∵∠BPE=∠C=90°，∴Rt△BCP∽Rt△EPB．26．有这样一个问题：探究函数y=的图象与性质．小美根据学习函数的经验，对函数y=的图象与性质进行了探究．下面是小美的探究过程，请补充完整：（1）函数y=的自变量x的取值范围是x≥﹣2且x≠0；（2）下表是y与x的几组对应值．﹣﹣﹣﹣求m的值；（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；（4）结合函数的图象，写出该函数的一条性质：当﹣2≤x＜0或x＞0时，y随x增大而减小．【考点】反比例函数的图象；函数自变量的取值范围．【分析】（1）根据被开方数非负以及分母不为0即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出结论；（2）将x=2代入函数解析式中求出m值即可；（3）连点成线即可画出函数图象；（4）观察函数图象，根据函数图象可寻找到函数具有单调性．【解答】解：（1）由题意得：，解得：x≥﹣2且x≠0．故答案为：x≥﹣2且x≠0．（2）当x=2时，m==1．（3）图象如图所示．（4）观察函数图象发现：当﹣2≤x＜0或x＞0时，y随x增大而减小．故答案为：当﹣2≤x＜0或x＞0时，y随x增大而减小．27．如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O，与BC交于点D，点E是弧BD的中点，连接AE交BC于点F，∠ACB=2∠BAE．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若sinB=，BD=5，求BF的长．【考点】切线的判定．【分析】（1）连接AD，由圆周角定理得出∠1=∠2．证出∠C=∠BAD．由圆周角定理证出∠DAC+∠BAD=90°，得出∠BAC=90°，即可得出结论．（2）过点F作FG⊥AB于点G．由三角函数得出，设AD=2m，则AB=3m，由勾股定理求出BD=m．求出m=．得出AD=，AB=．证出FG=FD．设BF=x，则FG=FD=5﹣x．由三角函数得出方程，解方程即可．【解答】（1）证明：连接AD，如图1所示．∵E是弧BD的中点，∴，∴∠1=∠2．∴∠BAD=2∠1．∵∠ACB=2∠1，∴∠C=∠BAD．∵AB为⊙O直径，∴∠ADB=∠ADC=90°．∴∠DAC+∠C=90°．∵∠C=∠BAD，∴∠DAC+∠BAD=90°．∴∠BAC=90°．即AB⊥AC．又∵AC过半径外端，∴AC是⊙O的切线．（2）解：过点F作FG⊥AB于点G．如图2所示：在Rt△ABD中，∠ADB=90°，，设AD=2m，则AB=3m，由勾股定理得：BD==m．∵BD=5，∴m=．∴AD=，AB=．∵∠1=∠2，∠ADB=90°，∴FG=FD．设BF=x，则FG=FD=5﹣x．在Rt△BGF中，∠BGF=90°，，∴．解得：=3．∴BF=3．五、解答题（本题共15分，第28题7分，第29题8分）28．已知抛物线G1：y=a（x﹣h）2+2的对称轴为x=﹣1，且经过原点．（1）求抛物线G1的表达式；（2）将抛物线G1先沿x轴翻折，再向左平移1个单位后，与x轴分别交于A，B两点（点A在点B 的左侧），与y轴交于C点，求A点的坐标；（3）记抛物线在点A，C之间的部分为图象G2（包含A，C两点），如果直线m：y=kx﹣2与图象G2只有一个公共点，请结合函数图象，求直线m与抛物线G2的对称轴交点的纵坐标t的值或范围．【考点】抛物线与x轴的交点；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与几何变换．【分析】（1）根据待定系数法求得即可；（2）根据关于x轴对称的点的坐标特征即可求得；（3）求出直线y=kx﹣2的解析式，再结合图象和点的坐标即可得出答案．【解答】解：（1）∵抛物线G1：y=a（x﹣h）2+2的对称轴为x=﹣1，∴y=a（x+1）2+2，∵抛物线y=a（x+1）2+2经过原点，∴a（0+1）2+2=0．解得a=﹣2，∴抛物线G1的表达式为y=﹣2（x+1）2+2=﹣2x2﹣4x；（2）由题意得，抛物线G2的表达式为y=2（x+1+1）2﹣2=2x2+8x+6．∴当y=0时，x=﹣1或﹣3．∴A（﹣3，0）；（3）由题意得，直线m：y=kx﹣2交y轴于点D（0，﹣2），由抛物线G2的解析式y=2x2+8x+6，得到顶点E（﹣2，﹣2），当直线y=kx﹣2过E（﹣2，﹣2）时与图象G2只有一个公共点，此时t=﹣2，当直线y=kx﹣2过A（﹣3，0）时把x=﹣3代入y=kx﹣2，k=，∴，把x=﹣2代入，∴y=，即t=，∴结合图象可知t=﹣2或．29．如图，对于平面直角坐标系xOy中的点P和线段AB，给出如下定义：如果线段AB上存在两个点M，N，使得∠MPN=30°，那么称点P为线段AB的伴随点．（1）已知点A（﹣1，0），B（1，0）及D（1，﹣1），E（，﹣），F（0，2+），①在点D，E，F中，线段AB的伴随点是D、F；②作直线AF，若直线AF上的点P（m，n）是线段AB的伴随点，求m的取值范围；（2）平面内有一个腰长为1的等腰直角三角形，若该三角形边上的任意一点都是某条线段a的伴随点，请直接写出这条线段a的长度的范围．【考点】三角形综合题．【分析】（1）根据伴随点的定义，观察图象即可判定．（2）以AB为一边，在x轴上方、下方分别构造等边△ABO1和等边△ABO2，分别以点O1，点O2为圆心，线段AB的长为半径画圆，求出两圆与直线AF的交点的位置，即可解决问题．（3）如图，△DEF的腰长为1的等腰直角三角形，⊙O是△DEF的外接圆，△OAB是等边三角形，根据伴随点的定义可知，△DEF的边上任意一点都是线段AB的伴随点，求出AB的长即可解决问题．【解答】解：（1）①根据伴随点的定义卡D、F是线段AB的伴随点；故答案为D、F．②以AB为一边，在x轴上方、下方分别构造等边△ABO1和等边△ABO2，分别以点O1，点O2为圆心，线段AB的长为半径画圆，∵线段AB关于y轴对称，∴点O1，点O2都在y轴上．∵AB=AO1=2，AO=1，∴OO1=，∴O1（0，），同理O2（0，）．∵F（2+，0），∴O1F=2+﹣=2，∴点F在⊙O1上．设直线AF交⊙O2于点C，∴线段FC上除点A以外的点都是线段AB的“伴随点”，∴点P（m，n）是线段FC上除点A以外的任意一点，连接O2C，作CG⊥y轴于点G，∵等边△O1AB和等边△O2AB，且y轴垂直AB，∴∠AO1B=∠AO2B=∠O1AB=∠O2AB=60°，∠AO1O=∠AO2O=30°，∵O1A=O1F，∴∠AFO1=∠FAO1=15°，∴∠CAO2=∠AFO2+∠AO2F=15°+30°=45°，∵O2A=O2C，∴∠CAO2=∠ACO2=45°，∴∠O2CG=180°﹣∠CFG﹣∠FGC﹣∠ACO2=30°，∴CG=O2C•cos30°=2×=，∴﹣≤m≤0，且m≠﹣1．（2）如图△DEF的腰长为1的等腰直角三角形，⊙O是△DEF的外接圆，△OAB是等边三角形，∵∠G=∠AOB=30°，∴根据伴随点的定义可知，△DEF的边上任意一点都是线段AB的伴随点，∵EF==，∴AB=OA=OE=，∴a时，△DEF的边上任意一点都是线段AB的伴随点．2017年2月13日。
北京市丰台区九年级上册期末数学试题有答案
丰台区第一学期期末练习初三数学考 生 须 知1. 本试卷共6页，共三道大题，28道小题，满分100分。
考试时间120分钟。
2. 在试卷和答题卡上认真填写学校名称、姓名和考号。
3. 试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
4. 在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5. 考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本题共16分，每小题2分）下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．如果32a b =(0ab ≠），那么下列比例式中正确的是 A ．32a b = B ．23b a = C ．23a b = D ．32a b = 2．将抛物线y = 2向上平移2个单位后得到新的抛物线的表达式为 A ．22y x =+ B ．22y x =- C ．()22y x =+D ．()22y x =-3．如图，在Rt △ABC 中，∠C = 90°，AB = 5，BC = 3，则tan A 的值为A ．35B ．34C ．45D ．434．“黄金分割”是一条举世公认的美学定律. 例如在摄影中，人们常依据黄金分割进行构图，使画面整体和谐. 目前，照相机和手机自带的九宫格就是黄金分割的简化版. 要拍摄草坪上的小狗，按照黄金分割的原则，应该使小狗置于画面中的位置 A ．①B ．②C ．③D ．④5．如图，点A 为函数ky x=（ > 0）图象上的一点，过点A 作轴的平行线交y轴于点B ，连接OA ，如果△AOB 的面积为2，那么的值为 A ．1 B ．2 C ．3D ．46．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC 相CBA②①③ ④ AB xOy似的是A B C D7．如图，A ，B 是⊙O 上的两点，C 是⊙O 上不与A ，B 重合的任意一点. 如果∠AOB =140°，那么∠ACB 的度数为 A ．70° B ．110° C ．140°D ．70°或110°8．已知抛物线2y ax bx c =++上部分点的横坐标与纵坐标y 的对应值如下表：… 1-0 1 2 3 … y…31-m3…有以下几个结论：①抛物线2y ax bx c =++的开口向下；②抛物线2y ax bx c =++的对称轴为直线1x =-； ③方程20ax bx c ++=的根为0和2； ④当y ＞0时，的取值范围是＜0或＞2. 其中正确的是 A ．①④B ．②④C ．②③D ．③④二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．如果sin α =12，那么锐角α = .10．半径为2的圆中，60°的圆心角所对的弧的弧长为 . 11．如图1，物理课上学习过利用小孔成像说明光的直线传播.现将图1抽象为图2，其中线段AB 为蜡烛的火焰，线段A ＇B ＇为其倒立的像. 如果蜡烛火焰AB 的高度为2cm ，倒立的像A ＇B ＇的高度为5cm ，点O 到AB 的距离为4cm ，那么点O 到A ＇B ＇的距离为 cm. 12．如图，等边三角形ABC 的外接圆⊙O 的半径OA 的长为2，则其内切圆半径的长为 .13．已知函数的图象经过点（2，1），且与轴没有交点，写出一个满足题意的函数的表达式 .14．在平面直角坐标系中，过三点A （0，0），B （2，2）， C （4，0）的圆的圆心坐标为 .15．在北京市治理违建的过程中，某小区拆除了自建房，改建绿地. 如图，自建房占地是边长为8m 的正方形ABCD ，改建的绿地是矩形AEFG ，其中点E 在AB 上，点G 在AD的延长线上，且DG = 2BE . 如果设BE 的长为（单位：m ），绿地AEFG 的图1图2 ABCE DGFHACBA B'A'BOO AC BOAB面积为y （单位：m 2），那么y 与的函数的表达式为 ；当BEAEFG 的面积最大.16．下面是“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程.请回答以下问题：（1）连接OA ，OB ，可证∠OAP =∠OBP = 90°，理由是 ； （2）直线P A ，PB 是⊙O 的切线，依据是 ．三、解答题（本题共68分，第17-24题，每小题5分，第25题6分，第26，27题，每小题7分，第28题8分）17．计算：2cos30sin 45tan60︒+︒-︒.18．如图，△ABC 中，DE ∥BC ，如果AD = 2，DB = 3，AE = 4，求AC 的长.19．已知二次函数y = 2 - 4 + 3．（1）用配方法将y = 2 - 4 + 3化成y = a ( - h )2 + 的形式； （2）在平面直角坐标系xOy 中画出该函数的图象；（3）当0≤≤3时，y 的取值范围是 .20．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代语言表述为：如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，AE = 1寸，CD = 10寸，求直径AB 的长．D CBA E请你解答这个问题.21．在平面直角坐标系xOy中，直线1y x=+与双曲线kyx=的一个交点为P(m，2).（1）求的值；（2）M（2，a），N（n，b）是双曲线上的两点，直接写出当a > b时，n的取值范围.22．在北京市开展的“首都少年先锋岗”活动中，某数学小组到人民英雄纪念碑站岗执勤，并在活动后实地测量了纪念碑的高度. 方法如下：如图，首先在测量点A处用高为1.5m的测角仪AC测得人民英雄纪念碑MN顶部M的仰角为35°，然后在测量点B处用同样的测角仪BD测得人民英雄纪念碑MN 顶部M的仰角为45°，最后测量出A，B两点间的距离为15m，并且N，B，A三点在一条直线上，连接CD并延长交MN于点E. 请你利用他们的测量结果，计算人民英雄纪念碑MN的高度.（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7）23．如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷水口A距地面2m，喷出水流的运动路线是抛物线. 如果水流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为1m，且到地面的距离为3.6m，求水流的落地点C到水枪底部B的距离.24．如图，AB是⊙O的直径，点C是»AB的中点，连接AC并延长至点D，使CD AC=，点E是OB上一点，且23OEEB=，CE的延长线交DB的延长线于点F，AF交⊙O于点H，连接BH.（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）当2OB=时，求BH的长.OACHECDABNMEPCBA25．如图，点E 是矩形ABCD 边AB 上一动点（不与点B 重合），过点E 作EF ⊥DE 交BC 于点F ，连接DF ．已知AB = 4cm ，AD = 2cm ，设A ，E 两点间的距离为cm ，△DEF 面积为y cm 2． 小明根据学习函数的经验，对函数y 随自变量的变化而变化的规律进行了探究．DC BAEF下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）确定自变量的取值范围是 ；（2）通过取点、画图、测量、分析，得到了与y 的几组值，如下表：（3）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（4）结合画出的函数图象，解决问题：当△DEF 面积最大时，AE 的长度为 cm ．26．在平面直角坐标系Oy 中，抛物线2y x bx c =-++经过点（2，3），对称轴为直线 =1.（1）求抛物线的表达式；（2）如果垂直于y 轴的直线l 与抛物线交于两点A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），其中01<x ，02>x ，与y 轴交于点C ，求BCAC 的值；（3）将抛物线向上或向下平移，使新抛物线的顶点落在轴上，原抛物线上一点P 平移后对应点为点Q ，如果OP =OQ ，直接写出点Q 的坐标.27．如图，∠BAD=90°，AB=AD ，CB=CD ，一个以点C 为顶点的45°角绕点C 旋转，角的两边与BA ，DA 交于点M ，N ，与BA ，DA 的延长线交于点E ，F ，连接AC .（1）在∠FCE 旋转的过程中，当∠FCA =∠ECA 时，如图1，求证：AE =AF ；（2）在∠FCE 旋转的过程中，当∠FCA ≠∠ECA 时，如图2，如果∠B=30°，CB=2，用等式表示线段AE ，AF 之间的数量关系，并证明.28．对于平面直角坐标系Oy 中的点P 和⊙C ，给出如下定义：如果⊙C 的半径为r ，⊙C 外一点P 到⊙C的切线长小于或等于2r ，那么点P 叫做⊙C 的“离心点”. （1）当⊙O 的半径为1时，①在点P 1（12），P 2（0，－2），P 3，0）中，⊙O 的“离心点”是 ；②点P （m ，n ）在直线3y x =-+上，且点P 是⊙O 的“离心点”，求点P 横坐标m 的取值范围； （2）⊙C 的圆心C 在y 轴上，半径为2，直线121+-=x y 与轴、y 轴分别交于点A ，B . 如果线段AB 上的所有点都是⊙C 的“离心点”，请直接写出圆心C 纵坐标的取值范围.EMNFA CEMN F AC图1图2丰台区第一学期期末练习 初三数学参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）9. 30°； 10.2π3； 11. 10； 12. 1； 13. 2y x =或245y x x =-+等，答案不唯一；14.（2，0）； 15.22864(08)y x x x =-++<<（可不化为一般式），2；16.直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.三、解答题（本题共68分，第17-24题每小题5分，第25题6分，第26,27题每小题7分，第28题8分）17. 解：2cos30sin45tan60︒+︒-︒=2……3分……4分……5分18. 解：∵DE∥BC，∴AD AEDB EC=.……2分即243EC=．∴EC＝6．……4分∴AC＝AE + EC＝10．……5分其他证法相应给分.19.解：（1）2444+3y x x=-+-()221x=--. ……2分（2）如图：….3分（3）13y-≤≤….5分20.解：连接OC，∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且CD=10，∴∠BEC＝90°，152CE CD==.……2分设OC=r，则OA=r，∴OE=1r-.在Rt OCE∆中，∵222OE CE OC+=，∴()22125r r-+=.∴=13r. …4分∴AB = 2r= 26（寸）.答：直径AB的长26寸．…5分21. 解：（1）一次函数1y x=+的图象经过点(,2)P m，1m=．……… 1分点P的坐标为(1，2). ……… 2分∵反比例函数kyx=的图象经过点P(1，2)，2k=………3分（2）0n<或2n>…………5分22.解：由题意得，四边形ACDB，ACEN为矩形，∴EN=AC=1.5.AB=CD=15.在Rt MEDV中，∠MED＝90°，∠MDE＝45°，∴∠EMD＝∠MDE＝45°.∴ME＝DE.…2分设ME＝DE＝，则EC＝+15.在Rt MECV中，∠MEC＝90°，∠MCE＝35°，∵tanME EC MCE=⋅∠，∴()0.715x x≈+.∴35x≈ .∴35ME≈ .…4分∴36.5MN ME EN=+≈ .∴人民英雄纪念碑MN.的高度约为36.5米.…5分23.解：建立平面直角坐标系，如图.于是抛物线的表达式可以设为()2y a x h k=-+根据题意，得出A，P两点的坐标分别为A（0，2），P（1，3.6）. ……2分∵点P为抛物线顶点，∴1 3.6h k==， .∵点A在抛物线上，∴ 3.62a+=，a=-…3分∴它的表达式为()21.61 3.6y x=--+. ……4分当点C的纵坐标y=0时，有OEABC DCDABNMEDCAEx+3()21.61 3.6=0x--+.10.5x=-（舍去），22.5x=.∴BC=2.5.∴水流的落地点C到水枪底部B的距离为2.5m. ……5分24.（1）证明：连接OC ，∵AB 为⊙O 的直径，点C 是»AB 的中点，∴∠AOC ＝90°. ……1分 ∵OA OB =,CD AC =，∴OC 是ABD ∆的中位线. ∴OC ∥BD. ∴∠ABD ＝∠AOC ＝90°. ……2分 ∴AB BD ⊥.∴BD 是⊙O 的切线. ……3分 其他方法相应给分.（2）解：由（1）知OC ∥BD ，∴△OCE ∽△BFE. ∴OC OE BF EB=. ∵OB = 2，∴OC = OB = 2，AB = 4，∵23OE EB =，∴223BF =，∴BF =3. ……4分 在Rt ABF ∆中，∠ABF ＝90°，5AF ==.∵1122ABFS AB BF AF BH =⋅=⋅V ，∴AB BF AF BH ⋅=⋅.即435BH ⨯=. ∴BH =125. .……5分其他方法相应给分.25.（1）04x ≤<；.……1分 （2）3.8，4.0； ……3分（3）如图 ……4分 （4）0或2. ……6分 26. 解：（1）1,242 3.b bc ⎧=⎪⎨⎪-++=⎩ ……1分解得2,3.b c =⎧⎨=⎩. ……2分∴322++-=x x y . ……3分（2）如图，设l 与对称轴交于点M ，由抛物线的对称性可得，BM = AM. …… 3分∴BC -AC = BM+MC -AC = AM+MC -AC= AC+CM+MC -AC =2 CM =2. ……5分 其他方法相应给分.（3）点Q的坐标为（12-）或（12-）．……7分27.解：（1）证明：∵AB=AD ，BC=CD ，AC=AC ，∴△ABC ≌△ADC . …1分∴∠BAC =∠DAC =45°，可证∠FAC =∠EAC =135°. ……2分 又∵∠FCA =∠ECA ，∴△ACF ≌△ACE . ∴AE =AF . ……3分 其他方法相应给分.（2）过点C 作CG ⊥AB 于点G ，求得AC =2.……4分∵∠FAC =∠EAC =135°，∴∠ACF +∠F =45°. 又∵∠ACF +∠ACE =45°，∴∠F =∠ACE . ∴△ACF ∽△AEC. ……5分 ∴ACAFAE AC =，即AF AE AC ⋅=2. ……6分 ∴2=⋅AF AE . ……7分28.解：（1）①2P ，3P ； ……2分②设P （m ,－m ＋3），则()5322=+-+m m . …3分解得11=m ，22=m . ……4分 故1≤m ≤2. ……6分（2）圆心C 纵坐标C y 的取值范围为：521-≤C y ＜51-或3＜C y ≤4. ……8分。
2016-2017年九年级上数学期末试题及答案
2016-2017年九年级上数学期末试题及答案2016-2017学年度第一学期期末考试初三年级数学试卷一、选择题（10×3分=30分）1、下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（。
）2、将函数y=-3x^2+1的图象向右平移2个单位得到的新图象的函数解析式为（。
）A。
y=-3(x-2)^2+1B。
y=-3(x+2)^2+1C。
y=-3x^2+2D。
y=-3x^2-23、如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO=50°，则∠ACB的大小为(。
)A．40°B．30°C．45°D．50°4、方程x^2-9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（）A．12B．12或15C．15D．无法确定5、如图，有6张写有数字的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上，从中任意抽取一张是数字3的概率是（。
）A、1/4B、1/6C、2/3D、1/36、一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，则截面圆心O到水面的距离OC是(。
)A.4B.5C.6D.37、如果矩形的面积为6，那么它的长y与宽x间的函数关系用图像表示(。
)8、如图，将Rt△ABC（其中∠B=35°，∠C=90°）绕点A 按顺时针方向旋转到△ABC1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于(。
)A．55°B．70°C．125°D．145°9、一次函数y=ax+b与二次函数y=ax^2+bx+c在同一坐标系中的图像可能是（。
）A．B．C．D．10、如图，已知正方形ABCD的边长为2，P为BC的中点，连接AP并延长交BD于点E，则PE的长度为（。
）A。
2B。
1C。
√2D。
1/√2二、填空题（8×4分=32分）11、方程x^2=x的解是（。
）12、正六边形的边长为10cm，那么它的边心距等于（。
丰台初三上期末数学试卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 若一个等腰三角形的底边长为8cm，腰长为10cm，则该三角形的面积是（）A. 40cm²B. 45cm²C. 50cm²D. 55cm²2. 下列各数中，有最小正整数解的一元一次方程是（）A. 2x - 3 = 0B. 3x + 2 = 0C. 4x - 5 = 0D. 5x + 6 = 03. 在函数y = -2x + 3中，当x = 2时，y的值为（）A. -1B. 1C. 3D. 54. 下列关于x的方程中，解集不为空集的是（）A. x² + 1 = 0B. x² - 1 = 0C. x² + 2 = 0D. x² - 2 = 05. 若∠A和∠B是等腰三角形的两个底角，且∠A = 50°，则∠B的度数是（）A. 50°B. 60°C. 70°D. 80°6. 下列关于圆的性质中，正确的是（）A. 同圆中，半径相等的弦所对的圆心角相等B. 在圆内，直径所对的圆周角是直角C. 在圆内，直径所对的圆周角是锐角D. 在圆内，直径所对的圆周角是钝角7. 若a、b、c是等差数列的前三项，且a + b + c = 15，a² + b² + c² = 75，则该等差数列的公差是（）A. 2B. 3C. 4D. 58. 下列函数中，在其定义域内单调递减的是（）A. y = 2x + 1B. y = -x²C. y = x³D. y = 1/x9. 下列图形中，面积最大的是（）A. 正方形B. 长方形C. 等腰梯形D. 梯形10. 若函数f(x) = ax² + bx + c的图像开口向上，且f(1) = 0，f(-1) = 0，则a、b、c的取值范围是（）A. a > 0，b ≠ 0，c > 0B. a > 0，b ≠ 0，c < 0C. a < 0，b ≠ 0，c > 0D. a < 0，b ≠ 0，c < 0二、填空题（每题5分，共50分）11. 若等腰三角形底边长为10cm，腰长为6cm，则该三角形的周长是____cm。
丰台区九年级上期数学期末试卷及答案(word)
第一学期期末练习 初 三 数 学学校 姓名 考号 一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1．已知23(0)x y xy =≠，则下列比例式成立的是A ．32x y= B ．32x y= C ．23x y =D ．23=x y 2．二次函数2)1(2-+=x y 的最小值是A ．1B ．－1C ．2D ．－23．⊙O 1和⊙O 2的半径分别为3cm 和5cm ，若O 1O 2=8cm ，则⊙O 1和⊙O 2的位置关系是 A ．外切 B ．相交 C ．内切 D ．内含 4．若ABC DEF △∽△，相似比为1∶2，且△ABC 的面积为4，则△DEF 的面积为 A ．16 B ．8 C ．4D ．25．将∠α放置在正方形网格纸中，位置如图所示，则tan α的值是A ．21B ．2C ．25D ．5526．如图，⊙O 的半径为5，AB 为弦，半径OC ⊥AB ，垂足为点E ，若CE =2，则AB 的长是A ．4B ．6C ．8D ．107． 如图，若点P 在反比例函数(0)ky k x=≠的图象上，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，PN ⊥y 轴于点N ，若矩形PMON 的面积为6，则k 的值是考生须知1．本试卷共6页，共五道大题，25道小题，满分120分。
考试时间120分钟。
2．在试卷和答题卡上认真填写学校名称、姓名和考号。
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。
αOE BAxy MN P OA ．-3B ．3C ．-6D ．68．如图，在矩形ABCD 中，AB =4cm ，AD =2cm ，动点M 自点A 出发沿A →B 的方向，以每秒1cm 的速度运动，同时动点N 自点A 出发沿A →D →C 的方向以每秒2cm 的速度运动，当点N 到达点C 时，两点同时停止运动，设运动时间为x （秒），△AMN 的面积为y （cm 2），则下列图象中能反映y 与x 之间的函数关系的是A B C D 二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分） 9．在Rt △ABC 中，∠C =90°，若sin A 3∠A ＝__________． 10．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，且 DE ∥BC ，若AD ∶DB =3∶2，AE =6，则EC 的长等于 ．11．若扇形的圆心角为60°，它的半径为3cm ，则这个扇形的弧长是 cm ． 12．如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，∠ABC =20°，点D 是弧CA B上一点，若∠ABC =20°，则∠D 的度数是______．13．已知二次函数y=ax 2+bx+c ，若x 与y 的部分对应值如下表：x 0 1 2 3 y-5-8-9-8则当x =4时，y = ．14．我们定义：“四个顶点都在三角形边上的正方形是三角形的内接正方形” ．已知：在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =6，BC =3．（1）如图1，四边形CDEF 是△ABC 的内接正方形，I H F B E F B EA E D CBDOBA xy 123–1123–1O xy 123–1123–1O xy 123–1123–1O xy 123–1123–1O N M ABCD则正方形CDEF 的边长a 1是 ；（2）如图2，四边形DGHI 是（1）中△EDA 的内接正方形，则第2个正方形DGHI 的边长a 2= ；继续在图2中的△HGA 中按上述方法作第3个内接正方形；…以此类推，则第n 个内接正方形的边长a n = ．（n 为正整数） 三、解答题（本题共20分，每小题5分） 15．计算：2cos30°＋sin45°－tan60°． 16．已知二次函数322--=x x y ．（1）求出这个函数图象的对称轴和顶点坐标；（2）求出这个函数图象与x 轴、y 轴的交点坐标．17．如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =90°，联结BD ，过点C 作CE ⊥BD 于交AB 于点E ，垂足为点H ，若AD =2，AB =4，求sin ∠BCE ．18．已知：在平面直角坐标系xOy 中，将直线x y =绕点O 顺时针旋转90°得到直线l ，反比例函数xky =的图象与直线l 的一个交点为A (a ，2)，试确定反比例函数的解析式．四、解答题（本题共22分，第19、 22题每小题5分，第21、 22题每小题6分）H A EBCD 图1 图2 y xy =x123–1–2–3–41234–1–2–3–4O19．如图，天空中有一个静止的热气球A ，从地面点B 测得A 的仰角为30°，从地面点C 测得A 的仰角为60°．已知BC =50m ，点A 和直线BC 在同一垂直平面上，求热气球离地面的高度．20．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AD 是∠BAC 的平分线，以AB 上一点O 为圆心，AD 为弦作⊙O ．（1）求证：BC 为⊙O 的切线； (2）若AC = 6，tan B =43，求⊙O 的半径．（1）若日销售量y （件）是售价x （元∕件）的一次函数，求这个一次函数的解析式； （2）设这个工厂试销该产品每天获得的利润为W （元），当售价定为每件多少元时，工厂每天获得的利润最大？最大利润是多少元？22．小明喜欢研究问题，他将一把三角板的直角顶点放在平面直角坐标系的原点O 处，两条直角边与抛物线2(0)y ax a =<交于A 、B 两点． （1）如左图，当2OA OB ==时，则a = ；（2）对同一条抛物线，当小明将三角板绕点O 旋转到如右图所示的位置时，过点B 作BC x ⊥轴于点C ，测得1OC =，求出此时点A 的坐标；（3）对于同一条抛物线，当小明将三角板绕点O 旋转任意角度时，他惊奇地发现，若三角板的两条直角边与抛物线有交点，则线段A B 总经过一个定点，请直接写出售价x （元∕件） …… 30 40 50 60 …… 日销售量y （件）……500400300200……ABC D O30°60°C AB该定点的坐标．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y mx nx =+-与直线y =x －1交于A （－1，a ）、B （b ，０）两点，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式； （2）求△ABC 的面积；（3）点(t,0)P 是x 轴上的一个动点．过点P 作x 轴的垂线交直线AB 于点M ，交抛物线于点N ．当点M 位于点N 的上方时，直接写出t 的取值范围．24．在Rt △ABC 中，∠ACB =90，AC =BC ，CD ⊥AB 于点D ，点E 为AC 边上一点，联结BE 交CD 于点F ，过点E 作EG ⊥BE 交AB 于点G ，（1） 如图1，当点E 为AC 中点时，线段EF 与EG 的数量关系是 ；（2） 如图2，当12CE AE =，探究线段EF 与EG 的数量关系并且证明； （3） 如图3，当nAE CE 1=，线段EF 与EG 的数量关系是 ． y x123–1–2–3–4123–1–2–3–4–5O图1 图2 图325．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C 1：212.y x x =-+（1）将抛物线C 1先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线C 2，求抛物线C 2的顶点P 的坐标及它的解析式．（2）如果x 轴上有一动点M ，那么在两条抛物线C 1、C 2上是否存在点N ，使得以点O 、P 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形（OP 为一边）？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．y x12345678–1–2123–1–2–3–4–5O初三数学试题答案及评分参考一、选择题（本题共8个小题，每小题4分，共32分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BDAABCCD二、填空题（本题共6个小题，每小题4分，共24分） 题 号 9 10 11 12 13 14答 案 60°4π5-70°234 132-n n三、解答题（共20分，每小题5分） 15．解：原式=322232-+⨯ ------3分3223-+=------4分 22=------5分16．解：（1）∵4)1(3222--=--=x x x y ，∴对称轴是1=x ，顶点坐标是（1，4-）．------2分 （2）令y =0，则0322=--x x ，解得11-=x ，32=x ；令x =0，则3-=y ．∴图象与x 轴交点坐标是(-1，0)、(3，0)，与y 轴的交点坐标是)3,0(-． ------5分17．解：∵CE ⊥BD ，∴∠1+∠3=90°．∵∠ABC =90°，∴∠2+∠3=90°，∴∠1=∠2．------1分∵AD ∥BC ，∠ABC =90°，∴∠A =90°． 在Rt △ABD 中，AD =2，AB =4， 由勾股定理得，BD =52． ------2分 ∴sin ∠2=55522==BD AD ．------4分∴sin ∠BCE 55=．------5分 18．解：根据题意，直线l 的解析式为x y -=．------1分 ∵反比例函数xky =的图象与直线l 交点为A (a ，2)，∴2=-a . ∴2-=a . ------2分∴A (-2，2)． ------3分∴22-=k. ∴4-=k . ------4分 ∴反比例函数的解析式为xy 4-=．------5分H321A E BD19．解：过点A 作AD ⊥BC 于点D ，∴∠ADC =90°．------1分∵∠B =30°，∠ACD =60°，∴∠1=30°．------2分 ∴∠1=∠B ， ∴CA =CB =50．------3分在Rt △ACD 中，sin ∠ACD =ACAD，------4分∴523AD =，325=AD ． 答: 热气球离地面的高度是325米. ------5分20．（1）证明：联结OD ，∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠1=∠2．∵OA =OD ，∴∠1=∠3．∴∠2=∠3．∴OD ∥AC ．------1分∴∠C =∠ODB =90°， 即OD ⊥BC ．------2分又点D 在⊙O 上，∴BC 为⊙O 的切线．------3分（2）解：∵∠C =90°，tan B =43，∴43=BC AC ．∵AC =6，∴BC =8．------4分 在Rt △ABC 中，根据勾股定理，AB =10． 设⊙O 的半径为r ，则OD =OA = r ，OB =10-r .∵OD ∥AC ，∴△BOD ∽△BAC ．------5分 ∴AB OB AC OD =，即10106r r -=，解得415=r ． 所以，⊙O 的半径为415．------6分21．解：（1）设y =kx +b (k ≠0)．∴⎩⎨⎧=+=+.40040,50030b k b k ------1分解得⎩⎨⎧=-=.800,10b k ------2分 ∴y =80010+-x ．------3分(2) )80010)(20()20(+--=-=x x x y W ------4分9000)50(102+--=x ．------5分∴当售价定为50元时，工艺厂每天获得的利润W 最大，最大利润是9000元．------6分321ACO130°60°CAB22．解：（1）22-=a ．------1分 （2）由（1）可知抛物线的解析式为222x y -=. ∵OC =1, ∴y B =22-, ∴B （1，22-）．------2分过点A 作AD ⊥x 轴于点D ， 又BC ⊥x 轴于点C ， ∴∠ADO =∠BCO =90°． ∴∠1+∠2 =90°． ∵AO ⊥OB ，∴∠1+∠3 =90°．∴∠2=∠3． ∴△DAO ∽△COB ．∴OC AD BC OD =． ------3分设点A 坐标为（222,x x -），则OD =-x ，AD =222x ． ∴122222xx =- , 解得x =-2, ∴y A =22-,故点A 的坐标为(-2, 22-)．------4分（3）定点坐标是（0，2-）．------5分23．解：（1）∵抛物线与直线交于点A 、B 两点，∴a =--11，01=-b ．∴2-=a ，1=b ． ∴A （-1，-2），B （1，0）．------2分∴⎩⎨⎧=-+-=--.02,22n m n m 解得⎩⎨⎧==.1,1n m ∴抛物线的解析式为22-+=x x y ．------4分（2）点A （-1，-2），点C （0，2-），∴AC ∥x 轴，AC =1．------5分 过点B 作AC 的垂线，垂足为点D ，则BD =2．xy321C BADO∴S △ABC =1212121=⨯⨯=⋅BD AC ．------ 6分（3） 1-<t <1．------7分24．解：（1） EF =EG ; ------1分(2)21=EG EF ; ------2分 证明：过点E 作EM ⊥CD 于点M ，作EN ⊥AB 于点N ， ------3分∴∠ENA =∠CME =∠EMF =90．∵CD ⊥AB 于点D ，∴∠CDA =90°． ∴EM ∥AD ．∠A =∠CEM ． ∴△EMC ∽△ANE . ∴ANEMAE CE =. ------4分 ∵EM ∥AD ，∴∠NEM =90．即∠2＋∠3=90°．∵ EG ⊥BE ，∴∠3＋∠2=90，∴∠1＝∠2． ∴△EFM ∽△EGN ． ∴ENEMEG EF =. ------5分 ∵∠ACB =90，AC =BC ，∴∠A =45， ∴tan ∠A =ANEN=1, ∴AN =EN . ∴AN EM EG EF =, ∵21=AE CE , ∴21=EG EF ． ------6分(3) nEG EF 1=. ------7分25．解：(1) ∵1)1(2221+--=+-=x x x y ，------1分∴抛物线C 1的顶点坐标是（1,1），∴平移后的抛物线C 2顶点P （3，2）．------2分∴2)3(22+--=x y ． （或者7622-+-=x x y ）------3分 (2) 存在点N （x ,y ）满足条件．------ 4分∵以点O 、P 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形，∴N P y y -=，∴2-=N y ． 当点N 在C 1上时，21-=y ，即21)1(2-=+--x ，解得31±=x ；213F EDBAGM∴N 1（2,31-+）, N 2（2,31--）;当点N 在C 2上时，22-=y ，即22)3(2-=+--x ，解得1543==x x ，； ∴N 3（2,5-）, N 4（2,1-）．∴满足条件的点N 有4个，分别是N 1（2,31-+）、N 2（2,31--）、N 3（2,5-）、N 4（2,1-）．------ 8分(说明: 每求出一个点N 的坐标得1分)。
丰台区九年级上期数学期末试卷及答案(word).doc
第一学期期末练习 初 三 数 学学校 姓名 考号 一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1．已知23(0)x y xy =≠，则下列比例式成立的是A ．32x y= B ．32x y= C ．23x y =D ．23=x y 2．二次函数2)1(2-+=x y 的最小值是A ．1B ．－1C ．2D ．－23．⊙O 1和⊙O 2的半径分别为3cm 和5cm ，若O 1O 2=8cm ，则⊙O 1和⊙O 2的位置关系是 A ．外切 B ．相交 C ．内切 D ．内含 4．若ABC DEF △∽△，相似比为1∶2，且△ABC 的面积为4，则△DEF 的面积为 A ．16 B ．8 C ．4D ．25．将∠α放置在正方形网格纸中，位置如图所示，则tan α的值是A ．21B ．2C ．25D ．5526．如图，⊙O 的半径为5，AB 为弦，半径OC ⊥AB ，垂足为点E ，若CE =2，则AB 的长是A ．4B ．6C ．8D ．107． 如图，若点P 在反比例函数(0)ky k x=≠的图象上，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，PN ⊥y 轴于点N ，若矩形PMON 的面积为6，则k 的值是考生须知1．本试卷共6页，共五道大题，25道小题，满分120分。
考试时间120分钟。
2．在试卷和答题卡上认真填写学校名称、姓名和考号。
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。
αA．-3 B．3 C．-6 D．68．如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，AD=2cm，动点M自点A出发沿A→B的方向，以每秒1cm的速度运动，同时动点N自点A出发沿A→D→C的方向以每秒2cm的速度运动，当点N到达点C时，两点同时停止运动，设运动时间为x（秒），△AMN的面积为y（cm2），则下列图象中能反映y与x之间的函数关系的是A B C D二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）9．在Rt△ABC中，∠C=90°，若sin A A＝__________．10．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，且DE∥BC，若AD∶DB=3∶2，AE=6，则EC的长等于．11．若扇形的圆心角为60°，它的半径为3cm，则这个扇形的弧长是cm ．12．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠ABC=20°，点D是弧CA B上一点，若∠ABC=20°，则∠D的度数是______．13．已知二次函数y=ax2+bx+c，若x与y的部分对应值如下表：则当x=4时，y= ．14．我们定义：“四个顶点都在三角形边上的正方形是三角形的内接正方形”．已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=3．（1）如图1，四边形CDEF是△ABC的内接正方形，I HFBEFBEAEDCBNBCD则正方形CDEF 的边长a 1是 ；（2）如图2，四边形DGHI 是（1）中△EDA 的内接正方形，则第2个正方形DGHI 的边长a 2= ；继续在图2中的△HGA 中按上述方法作第3个内接正方形；…以此类推，则第n 个内接正方形的边长a n =．（n 为正整数） 三、解答题（本题共20分，每小题5分） 15．计算：2cos30°＋sin45°－tan60°． 16．已知二次函数322--=x x y ．（1）求出这个函数图象的对称轴和顶点坐标；（2）求出这个函数图象与x 轴、y 轴的交点坐标．17．如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =90°，联结BD ，过点C 作CE ⊥BD 于交AB 于点E ，垂足为点H ，若AD =2，AB =4，求sin ∠BCE ．18．已知：在平面直角坐标系xOy 中，将直线x y =绕点O 顺时针旋转90°得到直线l ，反比例函数xky =的图象与直线l 的一个交点为A (a ，2)，试确定反比例函数的解析式．四、解答题（本题共22分，第19、 22题每小题5分，第21、 22题每小题6分）H A EBCD 图1 图219．如图，天空中有一个静止的热气球A，从地面点B测得A的仰角为30°，从地面点C测得A的仰角为60°．已知BC=50m，点A和直线BC在同一垂直平面上，求热气球离地面的高度．20．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，以AB上一点O为圆心，AD为弦作⊙O．（1）求证：BC为⊙O的切线；(2）若AC= 6，tan B=43，求⊙O的半径．（1）若日销售量y（件）是售价x（元∕件）的一次函数，求这个一次函数的解析式；（2）设这个工厂试销该产品每天获得的利润为W（元），当售价定为每件多少元时，工厂每天获得的利润最大？最大利润是多少元？22．小明喜欢研究问题，他将一把三角板的直角顶点放在平面直角坐标系的原点O处，两条直角边与抛物线2(0)y ax a=<交于A、B两点．（1）如左图，当2OA OB==时，则a= ；（2）对同一条抛物线，当小明将三角板绕点O旋转到如右图所示的位置时，过点B作BC x⊥轴于点C，测得1OC=，求出此时点A的坐标；（3）对于同一条抛物线，当小明将三角板绕点O旋转任意角度时，他惊奇地发现，若三角板的两条直角边与抛物线有交点，则线段A B总经过一个定点，请直接写出B30°60°CAB该定点的坐标．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y mx nx =+-与直线y =x －1交于A （－1，a ）、B （b ，０）两点，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式； （2）求△ABC 的面积；（3）点(t,0)P 是x 轴上的一个动点．过点P 作x 轴的垂线交直线AB 于点M ，交抛物线于点N ．当点M 位于点N 的上方时，直接写出t 的取值范围．24．在Rt △ABC 中，∠ACB =90，AC =BC ，CD ⊥AB 于点D ，点E 为AC 边上一点，联结BE 交CD 于点F ，过点E 作EG ⊥BE 交AB 于点G ，（1） 如图1，当点E 为AC 中点时，线段EF 与EG 的数量关系是 ；（2） 如图2，当12CE AE =，探究线段EF 与EG 的数量关系并且证明； （3） 如图3，当nAE CE 1=，线段EF 与EG 的数量关系是 ．图1 图2 图325．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C1：212.y x x=-+（1）将抛物线C1先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线C2，求抛物线C2的顶点P的坐标及它的解析式．（2）如果x轴上有一动点M，那么在两条抛物线C1、C2上是否存在点N，使得以点O、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形（OP为一边）？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．初三数学试题答案及评分参考一、选择题（本题共8个小题，每小题4分，共32分）二、填空题（本题共6个小题，每小题4分，共24分）三、解答题（共20分，每小题5分） 15．解：原式=322232-+⨯ ------3分3223-+=------4分 22=------5分16．解：（1）∵4)1(3222--=--=x x x y ，∴对称轴是1=x ，顶点坐标是（1，4-）．------2分 （2）令y =0，则0322=--x x ，解得11-=x ，32=x ；令x =0，则3-=y ．∴图象与x 轴交点坐标是(-1，0)、(3，0)，与y 轴的交点坐标是)3,0(-． ------5分17．解：∵CE ⊥BD ，∴∠1+∠3=90°．∵∠ABC =90°，∴∠2+∠3=90°，∴∠1=∠2．------1分∵AD ∥BC ，∠ABC =90°，∴∠A =90°． 在Rt △ABD 中，AD =2，AB =4， 由勾股定理得，BD =52． ------2分 ∴sin ∠2=55522==BD AD ．------4分∴sin ∠BCE 55=．------5分 18．解：根据题意，直线l 的解析式为x y -=．------1分 ∵反比例函数xky =的图象与直线l 交点为A (a ，2)，∴2=-a . ∴2-=a . ------2分∴A (-2，2)． ------3分∴22-=k. ∴4-=k . ------4分 ∴反比例函数的解析式为xy 4-=．------5分A E B19．解：过点A 作AD ⊥BC 于点D ，∴∠ADC =90°．------1分∵∠B =30°，∠ACD =60°，∴∠1=30°．------2分 ∴∠1=∠B ， ∴CA =CB =50．------3分在Rt △ACD 中，sin ∠ACD =ACAD，------4分∴0523AD =，325=AD ．答: 热气球离地面的高度是325米. ------5分20．（1）证明：联结OD ，∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠1=∠2．∵OA =OD ，∴∠1=∠3．∴∠2=∠3．∴OD ∥AC ．------1分∴∠C =∠ODB =90°， 即OD ⊥BC ．------2分又点D 在⊙O 上，∴BC 为⊙O 的切线．------3分（2）解：∵∠C =90°，tan B =43，∴43=BC AC ．∵AC =6，∴BC =8．------4分 在Rt △ABC 中，根据勾股定理，AB =10． 设⊙O 的半径为r ，则OD =OA = r ，OB =10-r .∵OD ∥AC ，∴△BOD ∽△BAC ．------5分 ∴AB OB AC OD =，即10106r r -=，解得415=r ． 所以，⊙O 的半径为415．------6分21．解：（1）设y =kx +b (k ≠0)．∴⎩⎨⎧=+=+.40040,50030b k b k ------1分解得⎩⎨⎧=-=.800,10b k ------2分 ∴y =80010+-x ．------3分(2) )80010)(20()20(+--=-=x x x y W ------4分9000)50(102+--=x ．------5分∴当售价定为50元时，工艺厂每天获得的利润W 最大，最大利润是9000元．------6分A22．解：（1）22-=a ．------1分 （2）由（1）可知抛物线的解析式为222x y -=. ∵OC =1, ∴y B =22-, ∴B （1，22-）．------2分过点A 作AD ⊥x 轴于点D ， 又BC ⊥x 轴于点C ， ∴∠ADO =∠BCO =90°． ∴∠1+∠2 =90°． ∵AO ⊥OB ，∴∠1+∠3 =90°．∴∠2=∠3． ∴△DAO ∽△COB ．∴OC AD BC OD =． ------3分设点A 坐标为（222,x x -），则OD =-x ，AD =222x ． ∴122222xx =- , 解得x =-2, ∴y A =22-,故点A 的坐标为(-2, 22-)．------4分（3）定点坐标是（0，2-）．------5分23．解：（1）∵抛物线与直线交于点A 、B 两点，∴a =--11，01=-b ．∴2-=a ，1=b ． ∴A （-1，-2），B （1，0）．------2分∴⎩⎨⎧=-+-=--.02,22n m n m 解得⎩⎨⎧==.1,1n m ∴抛物线的解析式为22-+=x x y ．------4分（2）点A （-1，-2），点C （0，2-），∴AC ∥x 轴，AC =1．------5分 过点B 作AC 的垂线，垂足为点D ，则BD =2．∴S △ABC =1212121=⨯⨯=⋅BD AC ．------ 6分（3） 1-<t <1．------7分24．解：（1） EF =EG ; ------1分(2)21=EG EF ; ------2分 证明：过点E 作EM ⊥CD 于点M ，作EN ⊥AB 于点N ， ------3分∴∠ENA =∠CME =∠EMF =90．∵CD ⊥AB 于点D ，∴∠CDA =90°． ∴EM ∥AD ．∠A =∠CEM ． ∴△EMC ∽△ANE . ∴ANEMAE CE =. ------4分 ∵EM ∥AD ，∴∠NEM =90．即∠2＋∠3=90°．∵ EG ⊥BE ，∴∠3＋∠2=90，∴∠1＝∠2． ∴△EFM ∽△EGN ． ∴ENEMEG EF =. ------5分 ∵∠ACB =90，AC =BC ，∴∠A =45， ∴tan ∠A =ANEN=1, ∴AN =EN . ∴AN EM EG EF =, ∵21=AE CE , ∴21=EG EF ． ------6分(3) nEG EF 1=. ------7分25．解：(1) ∵1)1(2221+--=+-=x x x y ，------1分∴抛物线C 1的顶点坐标是（1,1），∴平移后的抛物线C 2顶点P （3，2）．------2分∴2)3(22+--=x y ． （或者7622-+-=x x y ）------3分 (2) 存在点N （x ,y ）满足条件．------ 4分∵以点O 、P 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形，∴N P y y -=，∴2-=N y ． 当点N 在C 1上时，21-=y ，即21)1(2-=+--x ，解得31±=x ；B∴N 1（2,31-+）, N 2（2,31--）;当点N 在C 2上时，22-=y ，即22)3(2-=+--x ，解得1543==x x ，； ∴N 3（2,5-）, N 4（2,1-）．∴满足条件的点N 有4个，分别是N 1（2,31-+）、N 2（2,31--）、N 3（2,5-）、N 4（2,1-）．------ 8分(说明: 每求出一个点N 的坐标得1分)。
北京市丰台区九年级上期末数学试题(含答案)
丰台区第一学期期末练习初三数学一、选择题（本题共16分，每小题2分）下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．如果32a b =(0ab ≠），那么下列比例式中正确的是 A ．32a b =B ．23b a = C ．23a b = D ．32a b = 2．将抛物线y = x 2向上平移2个单位后得到新的抛物线的表达式为 A ．22y x =+ B ．22y x =- C ．()22y x =+D ．()22y x =-3．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =5，BC =3，则tan A 的值为A ．35B ．34C ．45D ．434．“黄金分割”是一条举世公认的美学定律. 例如在摄影中，人们常依据黄金分割进行构图，使画面整体和谐.目前，照相机和手机自带的九宫格就是黄金分割的简化版.要拍摄草坪上的小狗，按照黄金分割的原则，应该使小狗置于画面中的位置 A ．①B ．②C ．③D ．④5．如图，点A 为函数ky x=（x >0）图象上的一点，过点A 作x 轴的平行线交y 轴于点B ，连接OA，如果△AOB 的面积为2，那么k 的值为 A ．1 B ．2 C ．3D ．4形与△ABC 相6．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角CB似的是AB CD7．如图，A ，B 是⊙O 上的两点，C 是⊙O 上不与A ，B 重合的任意一点. 如果∠AOB =140°，那么∠ACB 的度数为 A ．70° B ．110° C ．140°D ．70°或110°8．已知抛物线2y ax bx c =++上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如下表：①抛物线2y ax bx c =++的开口向下；②抛物线2y ax bx c =++的对称轴为直线1x =-； ③方程20ax bx c ++=的根为0和2； ④当y ＞0时，x 的取值范围是x ＜0或x ＞2. 其中正确的是 A ．①④B ．②④C ．②③D ．③④二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．如果sin α=12，那么锐角α=.10．半径为2的圆中，60°的圆心角所对的弧的弧长为. 11．如图1，物理课上学习过利用小孔成像说明光的直线传播.现将图1抽象为图2，其中线段AB 为蜡烛的火焰，线段A ＇B ＇为其倒立的像. 如果蜡烛火焰AB 的高度为2cm ，倒立的像A ＇B ＇的高度为5cm ，点O 到AB 的距离为4cm ，那么点O 到A ＇B ＇的距离为 cm.12．如图，等边三角形ABC 的外接圆⊙O 的半径OA 的长为2，则其内切圆半径的长为.13．已知函数的图象经过点（2，1），且与x轴没有交点，写出一个满足题意的函数的表达式.14．在平面直角坐标系中，过三点A （0，0），B （2，2），C （4，0）的圆的圆心坐标为.15．在北京市治理违建的过程中，某小区拆除了自建房，改建绿地. 如图，自图1图2ABCG AA B'A'BO建房占地是边长为8m 的正方形ABCD ，改建的绿地是矩形AEFG ，其中点E 在AB 上，点G 在AD 的延长线上，且DG =2BE . 如果设BE 的长为x （单位：m ），绿地AEFG 的面积为y （单位：m 2），那么y 与x 的函数的表达式为；当BE =m 时，绿地AEFG 的面积最大. 16．下面是“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程.请回答以下问题：（1）连接OA ，OB ，可证∠OAP =∠OBP =90°，理由是； （2）直线PA ，PB 是⊙O 的切线，依据是．三、解答题（本题共68分，第17-24题，每小题5分，第25题6分，第26，27题，每小题7分，第28题8分）17．计算：2cos30sin 45tan60︒+︒-︒.18．如图，△ABC 中，DE ∥BC ，如果AD =2，DB =3，AE =4，求AC 的长.19．已知二次函数y =x 2- 4x +3．（1）用配方法将y =x 2- 4x +3化成y =a (x -h )2+k 的形式；（2）在平面直角坐标系xOy 中画出该函数的图象； （3）当0≤x ≤3时，y 的取值范围是.20．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁DCBAE中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？” 用现代语言表述为：如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，AE =1寸，CD =10寸，求直径AB 的长． 请你解答这个问题.21．在平面直角坐标系xOy 中，直线1y x =+与双曲线ky x=的一个交点为P (m ，2). （1）求k 的值；（2）M （2，a ），N （n ，b ）是双曲线上的两点，直接写出当a >b 时，n 的取值范围.22．在北京市开展的“首都少年先锋岗”活动中，某数学小组到人民英雄纪念碑站岗执勤，并在活动后实地测量了纪念碑的高度. 方法如下：如图，首先在测量点A 处用高为1.5m 的测角仪AC 测得人民英雄纪念碑MN 顶部M 的仰角为35°，然后在测量点B 处用同样的测角仪BD 测得人民英雄纪念碑MN 顶部M 的仰角为45°，最后测量出A ，B 两点间的距离为15m ，并且N ，B ，A 三点在一条直线上，连接CD 并延长交MN 于点E . 请你利用他们的测量结果，计算人民英雄纪念碑MN 的高度. （参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7）23．如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB ，喷水口A 距地面2m ，喷出水流的运动路线是抛物线. 如果水流的最高点P 到喷水枪AB 所在直线的距离为1m ，且到地面的距离为3.6m ，求水流的落地点C 到水枪底部B 的距离.24．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是»AB 的中点，连接AC 并延长至点D ，使CD AC =，点E 是OB 上一C D ABNME点，且23OE EB =，CE 的延长线交DB 的延长线于点F ，AF 交⊙O 于点H ，连接BH . （1）求证：BD 是⊙O 的切线； （2）当2OB =时，求BH 的长.25．如图，点E 是矩形ABCD 边AB 上一动点（不与点B 重合），过点E 作EF ⊥DE 交BC 于点F ，连接DF ．已知AB =4cm ，AD =2cm ，设A ，E 两点间的距离为x cm ，△DEF 面积为y cm 2．小明根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究．DC BAEF下面是小明的探究过程，请补充完整： （1）确定自变量x 的取值范围是；（2）通过取点、画图、测量、分析，得到了x 与y 的几组值，如下表：（3）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（4）结合画出的函数图象，解决问题：当△DEF 面积最大时，AE 的长度为cm ．26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =-++经过点（2，3），对称轴为直线x =1.（1）求抛物线的表达式；（2）如果垂直于y 轴的直线l 与抛物线交于两点A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），其中01<x ，02>x ，与y轴交于点C ，求BC -AC 的值；（3）将抛物线向上或向下平移，使新抛物线的顶点落在x 轴上，原抛物线上一点P 平移后对应点为点Q ，如果OP =OQ ，直接写出点Q 的坐标.27．如图，∠BAD=90°，AB=AD ，CB=CD ，一个以点C 为顶点的45°角绕点C 旋转，角的两边与BA ，DA 交于点M ，N ，与BA ，DA 的延长线交于点E ，F ，连接AC .（1）在∠FCE 旋转的过程中，当∠FCA =∠ECA 时，如图1，求证：AE =AF ；（2）在∠FCE 旋转的过程中，当∠FCA ≠∠ECA 时，如图2，如果∠B=30°，CB=2，用等式表示线段AE ，AF 之间的数量关系，并证明.28．对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和⊙C ，给出如下定义：如果⊙C 的半径为r ，⊙C 外一点P 到⊙C 的切线长小于或等于2r ，那么点P 叫做⊙C 的“离心点”. （1）当⊙O 的半径为1时，①在点P 1（12），P 2（0，－2），P 30）中，⊙O 的“离心点”是；②点P （m ，n ）在直线3y x =-+上，且点P 是⊙O 的“离心点”，求点P 横坐标m 的取值范围； （2）⊙C 的圆心C 在y 轴上，半径为2，直线121+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B .如果线段AB 上的所有点都是⊙C 的“离心点”，请直接写出圆心C 纵坐标的取值范围.丰台区第一学期期末练习 初三数学参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）EMNFBA DCEMN F AC图1图2二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 30°； 10.2π3； 11. 10； 12. 1；13. 2y x =或245y x x =-+等，答案不唯一；14.（2，0）； 15.22864(08)y x x x =-++<<（可不化为一般式），2；16.直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.三、解答题（本题共68分，第17-24题每小题5分，第25题6分，第26,27题每小题7分，第28题8分）17. 解：2cos30sin45tan60︒+︒-︒=2+-……3分-……4分……5分18.解：∵DE∥BC，∴AD AEDB EC=.……2分即243EC=．∴EC＝6．……4分∴AC＝AE+ EC＝10．……5分其他证法相应给分.19.解：（1）2444+3y x x=-+-()221x=--. ……2分（2）如图：….3分（3）13y-≤≤….5分20.解：连接OC，∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且CD=10，∴∠BEC＝90°，152CE CD==.……2分设OC=r，则OA=r，∴OE=1r-.在Rt OCE∆中，∵222OE CE OC+=，∴()22125r r-+=.∴=13r. …4分∴AB = 2r= 26（寸）.答：直径AB的长26寸．…5分21. 解：（1）一次函数1y x=+的图象经过点(,2)P m，∴1m=．……… 1分∴点P的坐标为(1，2). ……… 2分∵反比例函数kyx=的图象经过点P(1，2)，∴2k=………3分（2）0n<或2n>…………5分22.解：由题意得，四边形ACDB，ACEN为矩形，∴EN=AC=1.5.AB=CD=15.在Rt MED中，∠MED＝90°，∠MDE＝45°，∴∠EMD＝∠MDE＝45°.∴ME＝DE. …2分设ME＝DE＝x，则EC＝x+15.在Rt MEC中，∠MEC＝90°，∠MCE＝35°，∵tanME EC MCE=⋅∠，∴()0.715x x≈+.∴35x≈.∴35ME≈.…4分∴36.5MN ME EN=+≈.∴人民英雄纪念碑MN.的高度约为36.5米.…5分23.解：建立平面直角坐标系，如图.于是抛物线的表达式可以设为()2y a x h k=-+根据题意，得出A，P两点的坐标分别为A（0，2），P（1，3.6）.……2分∵点P为抛物线顶点，∴1 3.6h k==，.∵点A在抛物线上，∴ 3.62a+=， 1.6a=-…3分∴它的表达式为()21.61 3.6y x=--+. ……4分OEABC DCDABNMEDCAEx+3当点C的纵坐标y=0时，有()21.61 3.6=0x--+.10.5x=-（舍去），22.5x=.∴BC=2.5.∴水流的落地点C到水枪底部B的距离为2.5m.……5分24.（1）证明：连接OC，∵AB为⊙O的直径，点C是»AB的中点，∠AOC＝90°. ……1分∵OA OB=,CD AC=，∴OC是ABD∆位线. ∴OC∥BD.∴∠ABD＝∠AOC90°. ……2分∴AB BD⊥.∴BD是⊙O的线. ……3分其他方法相应给分.（2）解：由（1）知OC∥BD，∴△OCE∽△BFE.OC OEBF EB=.∵OB = 2，∴OC=OB = 2，AB = 4，∵23OEEB=∴223BF=，∴BF=3. ……4分在Rt ABF∆中，∠ABF＝90°5AF==.∵1122ABFS AB BF AF BH=⋅=⋅，AB BF AF BH⋅=⋅.即435BH⨯=.∴=125.……5分其他方法相应给分.25.（1）04x≤<；.……1分（2）3.8，4.0；……3分（3）如图……4分（4）0或2. ……6分26. 解：（1）1,242 3.bb c⎧=⎪⎨⎪-++=⎩……1分分分-AC=2-）或，∴△ABC∴G，求得ACF+∠ACE.△即7分/-/-//-/-/ ②设P （m ,－m ＋3），则()5322=+-+m m . …3分解得11=m ，22=m . (4)分故1≤m ≤2. (6)分（2）圆心C 纵坐标C y 的取值范围为：521-≤C y ＜51-或3＜C y ≤4. ……8分。
2016.1丰台区初三数学期末试卷及答案
丰台区2015-2016学年度第一学期期末练习初三数学学校姓名考号一、选择题（本题共30分，每小题3分，）下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC ＝3，AB =4，则cos B 的值是A ．37B ．47C ．43D ．342．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，且DE ∥BC ，如果AD ∶DB =3∶2， 那么AE ∶AC 等于A ．3∶2B ．3∶1C ．2∶3D ．3∶53．⊙O 的半径为3cm ，如果圆心O 到直线l 的距离为d ，且d =5cm ，那么⊙O 和直线l 的位置关系是A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定 4．抛物线3)2(2+-=x y 的顶点坐标是（）A ．（2，3）B ．（－2，3）C ．（2，－3）D ．（－2，－3）5．如果ABC DEF △∽△，相似比为2∶1，且△DEF 的面积为4，那么△ABC 的面积为A ．1B ．4C ．8D ．166.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠BCD =120°，则∠BAD 的度数是A ．30°B ．60°C ．80°D ．120° 7．对于反比例函数2y x=，下列说法正确的是 A ．图象经过点（2，-1） B ．图象位于第二、四象限C ．当x <0时，y 随x 的增大而减小D ．当x >0时，y 随x 的增大而增大E D CBA8．如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m 的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿顶端的影子与树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时竹竿与这一点相距5m ，与树相距10m ，则树的高度为A. 5mB. 6mC. 7mD.8m9．小宏用直角三角板检查某些工件的弧形凹面是否是半圆，下列工件的弧形凹面一定是半圆的是ABCD二、填空题（本题共22分，第11题3分，第12题3分，第13-16题，每小题4分） 11．如果A ∠是锐角，且sin A =21，那么=∠A __________゜． 12．已知y x 5=2，则=yx__________． 13．圆心角是60°的扇形的半径为6，则这个扇形的面积是.14．排水管的截面为如图所示的⊙O ，半径为5m ，如果圆心O 到水面的距离是3m ，那么水面宽AB =__________m ．15．请写出一个符合以下三个条件的二次函数的解析式：． ①过点（1，1）；②当0x 时，y 随x 的增大而减小； ③当自变量的值为3时，函数值小于0． 16．阅读下面材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题：小亮的作法如下：老师说：“小亮的作法正确．”请你回答：小亮的作图依据是_________________________．三、解答题（本题共24分，每小题6分） 17．计算：2cos30°－tan 45°＋sin 60°． 18．函数5-4+=1-3x mxy m 是二次函数．（1）求m 的值；（2）写出这个二次函数图象的对称轴：；将解析式化成y=a (x -h )2+k 的形式为：.19．如图，在ABC △中，D 是AB 上一点，连接CD ，且∠ACD =∠ABC . （1）求证：△ACD ∽△ABC ；（2）若AD =6，AB =10，求AC 的长.20．如图，直线2+=1x y 与双曲线xky =2相交于A ，B 两点ABCD其中点A 的纵坐标为3，点B 的纵坐标为-1. （1）求k 的值；（2）若21<y y ，请你根据图象确定x 的取值范围．四、解答题（本题共28分，每小题7分）21．如图，某小区在规划改造期间，欲拆除小区广场边的一根电线杆AB ，已知距电线杆AB 水平距离14米处是观景台，即BD ＝14米，该观景台的坡面CD 的坡角∠CDF 的正切值为2，观景台的高CF 为2米，在坡顶C 处测得电线杆顶端A 的仰角为30°，D 、E 之间是宽2米的人行道，如果以点B 为圆心，以AB 长为半径的圆形区域为危险区域．请你通过计算说明在拆除电线杆AB 时，人行道是否在危险区域内？(73.13,41.12≈≈)22．如图，D 为O ⊙上一点，点C 在直径BA 的延长线上，CDA CBD ∠=∠． （1）求证：CD 是O ⊙的切线；（2）过点B 作O ⊙的切线交CD 的延长线于点E ，若AB =6，tan 23CDA ∠=， 依题意补全图形并求DE 的长A23．某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点A 处的正上方，如果每次发出的乒乓球的运动路线固定不变，且落在中线上，在乒乓球从发射出到第一次落在桌面的运行过程中，设乒乓球与端点A 的水平距离为x （米），距桌面的高度为y （米），运行时间为t （秒），经多次测试后，得到如下部分数据：（1） 如果y 是t 的函数，① 如下图，在平面直角坐标系tOy 中，描出了上表中y 与t 各对对应值为坐标的点.请你根据描出的点，画出该函数的图象；②当t 为何值时，乒乓球达到最大高度？（2）如果y 是关于x 的二次函数，那么乒乓球第一次落在桌面时，与端点A 的水平距离是多少？24．如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，直线l 与⊙O 相切与点P ，且l ∥B C ．(1)请仅用无刻度的直尺．．．．．．．．，在⊙O 中画出一条弦．，使这条弦将△ABC 分成面积相等的两部分(保留作图痕迹，不写作法)；(2)请写出证明△ABC 被所作弦分成的两部分面积相等的思路．l五、解答题（本题共16分，每小题8分）25．已知抛物线G 1：y =ax 2+b x +c 的顶点为（2，-3)，且经过点（4，1)． （1）求抛物线G 1的解析式；（2）将抛物线G 1先向左平移3个单位，再向下平移1个单位后得到抛物线G 2，且抛物线G 2与x 轴的负半轴相交于A 点，求A 点的坐标；（3）如果直线m 的解析式为3+21=x y ，点B 是（2）中抛物线G 2上的一个点，且在对称轴右侧部分（含顶点）上运动，直线n 过点A 和点B ．问：是否存在点B ，使直线m 、n 、x 轴围成的三角形和直线m 、n 、y 轴围成的三角形相似？若存在，求出点B 的坐标；若不存在，请说明理由．备用图1备用图226．在平面直角坐标系xOy中，定义点P（x,y）的变换点为P′(x+y, x-y)．(1)如图1，如果⊙O的半径为①请你判断M(2,0)，N(-2,-1)两个点的变换点与⊙O的位置关系；②若点P在直线y=x+2上，点P的变换点P′在⊙O的内，求点P横坐标的取值范围.(2)如图2，如果⊙O的半径为1,且P的变换点P’在直线y=-2x+6上，求点P与⊙O上任意一点距离的最小值．图1图2。
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丰台区2016-2017学年度第一学期期末练习初 三 数 学一、选择题（本题共30分，每小题3分）下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1. 如图，点D ，E 分别在△ABC 的AB ，AC 边上，且DE ∥BC ， 如果AD ∶AB =2∶3，那么DE ∶BC 等于A. 3∶2B. 2∶5C. 2∶3D. 3∶52. 如果⊙O 的半径为7cm ，圆心O 到直线l 的距离为d ，且d =5cm ，那么⊙O 和直线l 的位置关系是 A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定3. 如果两个相似多边形的面积比为4∥9，那么它们的周长比为A. 4∶9B. 2∶3C.2∶3D. 16∶814. 把二次函数422+-=x x y 化为()k h x a y +-=2的形式，下列变形正确的是 A. ()312++=x y B. ()322+-=x yC. ()512+-=x yD. ()312+-=x y5. 如果某个斜坡的坡度是1：3，那么这个斜坡的坡角为 A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°6. 如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 两点在⊙O 上， 如果∠C =40°，那么∠ABD 的度数为 A. 40° B. 50°C. 70°D. 80°7. 如果A （2，1y ），B （3，2y ）两点都在反比例函数xy 1=的图象上，那么1y 与2y 的大小关系是 A. 21y y <B. 21y y >C. 21y y =D. 21y y ≥8. 如图，AB 为半圆O 的直径，弦AD ，BC 相交于点P ，如果CD = 3，AB = 4，那么S △PDC ∶S △PBA 等于 A. 16∶9B. 3∶4C. 4∶3D. 9∶16ABADECB9. 如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF 来测量操场旗杆AB 的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF 与地面保持平行，并使边DE 与旗杆顶点A 在同一直线上，已知DE =0.5米，EF =0.25米，目测点D 到地面的距离DG =1.5米，到旗杆的水平距离DC =20米，则旗杆的高度为 A. 105米 B.（105+1.5）米 C. 11.5米D. 10米10. 如图，在菱形ABCD 中，AB =3，∥BAD =120°，点E从点B 出发，沿BC 和CD 边移动，作EF ∥直线AB 于点F ，设点E 移动的路程为x ，∥DEF 的面积为y ，则y 关于x 的函数图象为A. B. C. D.二、填空题（本题共18分，每小题3分）11. 二次函数()5122--=x y 的最小值是__________．12. 已知34=y x ，则=-yyx __________． 13. 已知一扇形的面积是24π，圆心角是60°，则这个扇形的半径是 ． 14. 请写出一个符合以下两个条件的反比例函数的表达式： ．∥图象位于第二、四象限；∥如果过图象上任意一点A 作AB ∥x 轴于点B ，作AC ∥y 轴于点C ，那么得到的矩形ABOC 的面积小于6．15. 如图，将半径为3cm 的圆形纸片折叠后，劣弧中点C 恰好与圆心O 距离1cm ，则折痕AB 的长为 cm ．16. 太阳能光伏发电是一种清洁、安全、便利、高效的新兴能源，因而逐渐被推广使用．如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中的粗线表示支撑角钢，太阳能电池板与支撑角钢AB 的长度相同，支撑角钢EF 长为33290cm ，AB 的倾斜角为30°，BE =CA =50 cm ，支撑角钢CD ，EF 与底座地基台面接触点分别为D ，F ，CD 垂直于地面，FE ∥ABy4x123124365Oy4x123124365Oy4x123124365Oy4x123124365OGFABC D E AOB C于点E ．两个底座地基高度相同（即点D ，F 到地面的垂直距离相同），均为 30 cm ，点A 到地面的垂直距离为50 cm ，则支撑角钢CD 的长度是 cm ，AB 的长度是 cm ．三、解答题（本题共35分，每小题5分） 17. 计算：6tan 30°+cos 245°-sin 60°．18. 如图，在Rt ∥ABC 中，∥C =90°，43=A tan ，BC =12， 求AB 的长．19. 已知二次函数c x x y ++-=2的图象与x 轴只有一个交点．（1）求这个二次函数的表达式及顶点坐标； （2）当x 取何值时，y 随x 的增大而减小．ABC20. 如图，已知AE 平分∥BAC ，ACADAE AB =． （1）求证：∥E =∥C ；（2）若AB =9，AD =5，DC =3，求BE 的长．21. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数ky =的图象与一次函数1+-=x y 的图象的一个交点为A （-1，m ）． （1）求这个反比例函数的表达式；（2）如果一次函数1+-=x y 的图象与x 点B （n ，0），请确定当x ＜n 比例函数xky =的值的范围．22. 如图，已知AB 为∥O 的直径，P A ，PC 是∥O 的切线，A ，C 为切点，∥BAC =30°． （1）求∥P 的度数； （2）若AB =6，求P A 的长．ABDE23. 已知：∥ABC ．（1）求作：∥ABC 的外接圆，请保留作图痕迹； （2）至少写出两条作图的依据．四、解答题（本题共22分，第24至25题，每小题5分，第26至27题，每小题6分） 24. 青青书店购进了一批单价为20元的中华传统文化丛书．在销售的过程中发现，这种图书每天的销售数量y （本）与销售单价x （元）满足一次函数关系：1083+-=x y ()3620<<x ．如果销售这种图书每天的利润为p （元），那么销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？25. 如图，将一个Rt ∥BPE 与正方形ABCD 叠放在一起，并使其直角顶点P 落在线段CD上（不与C ，D 两点重合），斜边的一部分与线段AB 重合． （1）图中与Rt ∥BCP 相似的三角形共有________个，分别是______________；（2）请选择第（1）问答案中的任意一个三角形，完成该三角形与∥BCP 相似的证明．A B C D E FA CB P26. 有这样一个问题：探究函数xx y 2+=的图象与性质．小美根据学习函数的经验，对函数xx y 2+=的图象与性质进行了探究．下面是小美的探究过程，请补充完整： （1）函数xx y 2+=的自变量x 的取值范围是___________； （2）下表是y 与x 的几组对应值．x -2 23- -1 21-31 21 1 2 3 4 … y32--16- 21 103m35 46 …求m 的值；（3）如下图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点.根据描出的点，画出该函数的图象；（4）结合函数的图象，写出该函数的一条性质：．27. 如图，以∥ABC 的边AB 为直径作∥O ，与BC 交于点D ，点E 是BD 的中点，连接AE 交BC 于点F ，2ACB BAE ∠=∠．（1）求证：AC 是∥O 的切线；（2）若32=B sin ，BD=5，求BF 的长．ABDF O⌒五、解答题（本题共15分，第28题7分，第29题8分）28. 已知抛物线G 1：()22+-=h x a y 的对称轴为x = -1，且经过原点．（1）求抛物线G 1的表达式；（2）将抛物线G 1先沿x 轴翻折，再向左平移1个单位后，与x 轴分别交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于C 点，求A 点的坐标；（3）记抛物线在点A ，C 之间的部分为图象G 2（包含A ，C 两点），如果直线m ：2-=kx y 与图象G 2只有一个公共点，请结合函数图象，求直线m 与抛物线G 2的对称轴交点的纵坐标t 的值或范围．29. 如图，对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和线段AB ，给出如下定义：如果线段AB上存在两个点M ，N ，使得∥MPN =30°，那么称点P 为线段AB 的伴随点．（1）已知点A （-1，0），B （1，0）及D （1，-1），E ⎪⎭⎫⎝⎛-325 , ，F （0，32+）， ①在点D ，E ，F 中，线段AB 的伴随点是_________；②作直线AF ，若直线AF 上的点P （m ，n ）是线段AB 的伴随点，求m 的取值范围；（2）平面内有一个腰长为1的等腰直角三角形，若该三角形边上的任意一点都是某条线段a 的伴随点，请直接写出这条线段a 的长度的范围．丰台区2016-2017学年度第一学期期末练习初 三 数 学 参 考 答 案二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11. -5； 12.31； 13. 12； 14. 答案不唯一，如：xy 5-=； 15.52； 16. 45,300. 三、解答题（本题共35分，每小题5分）17．解：原式=23223362-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯-----3分 =232132-+=2133+ -----5分18．解： ∵∠C =90°，BC =12，43==AC BC A tan ，∴AC =16. -----3分 ∵AB 2= AC 2 +BC 2，∴AB 2= 162 +122=400， AB =20. -----5分 19．解：（1）由题意得△=1+4c =0，∴41-=c . ∴412-+-=x x y . -----2分 ∵当212=-=a b x 时，0=y ，∴顶点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛0,21. -----3分（2）∵01<-=a ，开口向下， ∴当21>x 时，y 随x 的增大而减小． -----5分 20．（1）证明：∵AE 平分∠BAC , ∴∠BAE =∠EAC . -----1分又∵AC AD AE AB =， 得到ACAEAD AB = ∴△ABE ∽△ADC . -----2分 ∴∠E =∠C . -----3分（2）解：∵△ABE ∽△ADC , ∴DCBEAD AB =. -----4分 设BE =x , ∵359x=, ∴527=x ，即BE =527. -----5分21.解：（1）∵点A 在一次函数1+-=x y 的图象上，∴m =2. ∴A （-1，2）.∵点A 在反比例函数xky =的图象上，∴k = -2.∴xy 2-=. (2) 令y = -x +1=0，x =1，∴B （1，0）. ∴当x = 1时，xy 2-== -2. 由图象可知，当x <1时，y >0或y <-2. -----5分 22. 解：（1）∵PA 、PC 是⊙O 的切线，∴PA =PC ，∠PAB =90°. -----2分∵∠BAC =30°, ∴∠PAC =60°.∴△ACP 为等边三角形. ∴∠P =60°. -----3分 （2）连接BC ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB =90°. -----4分∵∠BAC =30°, AB =6，23==∠AB AC CAB cos . ∴AC =33.∴PA = AC =33. -----5分23.解：作图正确 -----3分 作图依据：（1（2）两点确定一条直线；（3）垂直平分线上一点到线段的两个端点距离相等；（4）在平面内，圆是到定点的距离等于定长的点的集合.四、解答题（本题共22分，第24至25题，每小题5分， 第26至27题，每小题6分）24. 解：p =(x －20)(－3x +108)= －3x 2+168x －2160 ∵20<x <36，且a =－3<0，∴当x = 28时， y 最大= 192. -----4分答：销售单价定为28元时，每天获得的利润最大，最大利润是192元. -----5分 25. 解：（1）3；Rt △EPB ，Rt △PDF ，Rt △EAF . -----2分 （2）答案不唯一，如：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABP +∠PBC =∠C =90°. ∵∠PBC +∠BPC =90°, ∴∠ABP =∠BPC .又∵∠BPE =∠C = 90°，∴Rt △BCP ∽Rt △EPB . -----5分26. 解：（1）x ≥－2且x ≠0. -----2分 （2）当x =2时，122=+=m . -----3分 （3-----5分 （4）当－2≤x <0或 -----6分 27.（1）证明：连接AD .∵ E 是弧BD 的中点，∴弧BE = 弧ED ，∴∠BAD =2∠BAE ．∵2ACB BAE ∠=∠，∴∠ACB=∠BAD . -----1分 ∵AB 为⊙O 直径, ∴∠ADB =90°,∴∠DAC +∠ACB =90°.∴∠BAC =∠DAC +∠BAD =90°. -----2分 ∴AC 是⊙O 的切线. -----3分 （2）解：过点F 作FG ⊥AB 于点G .∵∠BAE =∠DAE ，∠ADB =90°，∴GF =DF . -----4分在Rt △BGF 中，∠BGF =90°，32==BF GF sinB ， 设BF =x ，则GF =5-x ，∴325=x x -,x =3,即BF =3. -----6分 五、解答题（本题共15分，第28题7分，第29题8分） 28. 解：（1）∵抛物线G 1：()22+-=h x a y 的对称轴为x = -1，∴y =a (x +1)2+2．∵抛物线y =a (x +1)2+2经过原点， ∴a (0+1)2+2=0．解得 a =-2．∴抛物线G 1的表达式为y = -2(x +1)2+2= -2x 2-4x ． -----2分（2）由题意得，抛物线G 2的表达式为y =2(x +1+1)2﹣2=2x 2+8x +6．∴当y =0时，x = -1或-3.∴A (﹣3，0) -----4分 （3）由题意得，直线m :2-=kx y 交y 轴于点D （0，-2）. 由抛物线G 2的解析式y =2x 2+8x +6，得到顶点E （-2，-2）.当直线2-=kx y 过E （-2，-2）时与图象G 2只有一个公共点，此时t = -2. 当直线2-=kx y 过A （-3，0）时，把x = -3代入2-=kx y , k =32-,∴232--=x y .把x = -2代入232--=x y ,∴y =32-,即t =32-.∴结合图象可知2-=t 或32->t . -----729. 解：（1）○1D 、F ； -----2分 ○2以AB 为一边，在x 轴上方、下方分别构造等边△ABO 1和等边△ABO 2， 分别以点O 1，点O 2为圆心，线段AB ∵线段AB 关于y 轴对称，∴点O 1，点O 2都在y 轴上.∵AB =AO 1=2，AO =1，∴OO 1.∴O 1（0）.同理O 2（0，）.∵F (2,0)+,∴O 1F =22AB +-==. ∴点F 在⊙1O 上.设直线AF 交⊙2O 于点C ，∴线段FC 上除点A 以外的点都是线段AB 的“伴随点”，∴点P （m ，n ）是线段FC 上除点A 以外的任意一点. 连接O 2C ，作CG ⊥y 轴于点G ，∵等边△O 1AB 和等边△O 2AB ，且y 轴垂直AB ，∴∠AO 1B =∠AO 2B =∠O 1AB =∠O 2AB = 60°， ∠AO 1O =∠AO 2O =30°.∵O 1A =O 1F ，∴∠AFO 1=∠FAO 1=15°.∴∠CAO 2=∠AFO 2+∠AO 2F =15°+30°=45°.∵O 2A =O 2C ，∴∠CAO 2=∠ACO 2=45°.∴∠O 2CG =180°-∠CFG -∠FGC -∠ACO 2=30°.∴CG =O 2C ·cos30°=3232=⨯. 0m ∴≤≤ 且1m ≠-. -----6分（2）22≥a . -----8分。