斯托克《计量经济学》Ch4

y Xβ ε
ˆ ˆ y Xβ
ˆ ˆ ε yy
Cov( 1 , n ) Cov( 2 , n ) 2I Var ( n )
基本假设的矩阵表示 假设2-假设3：
Cov( 1 , 2 ) Var ( 1 ) Cov( 2 , 1 ) Var ( 2 ) Var (ε) Cov( , ) Cov( , ) n 1 n 2
n
极值一阶条件矩阵表示为
ˆ X(y Xβ) 0
从中解出
ˆ β (XX) 1 Xy
另一种表示
ˆ β (XX)1 Xy (XX)1 X(Xβ ε) β (XX)1 Xε
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Ch4：多元线性回归模型
参数OLS估计的性质（假设5）： （1）无偏性（假设1）：
R2的缺陷：添加解释变量增加R2的值。为此提出调整R2
R 2 1
RSS /(n (k 1)) n 1 1 1 R 2） （ TSS /(n 1) n (k 1)
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Ch4：多元线性回归模型
模型整体评价（二）：信息准则 -2倍平均对数似然值加惩罚因子 AIC： l k
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ y 0 1x1 2 x2 k xk xβ
极小化残差平方和得出一阶条件
n n RSS ˆ ˆ ˆ ˆ 2i 1 ( yi 0 1 x1i k xki ) 2i 1 i 0 ˆ 0 n n RSS ˆ ˆ ˆ ˆ 2i 1 ( yi 0 1 x1i k xki ) x1i 2i 1 i x1i 0 ˆ 1
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2
n
2
n
SC：
2
l ln(n) k n n
HQ：
l ln(ln( n)) 2 2k n n
l为模型极大似然估计的最大似然值。 应用准则：AIC、SC、HQ的值达到最小。 和R2及调整R2的关系
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Ch4：多元线性回归模型
模型整体评价（三）：F检验 待检验假设：
模型误差项满足5个基本假设，假设1~假设4与一元回归模型相同 假设5：无共线性假设 ——解释变量样本向量间不存在线性相关关系
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Ch4：多元线性回归模型
参数估计（OLS）：
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n ˆ ˆ ˆ ˆi2 i1 ( yi 0 1 x1 k xk ) 2 RSS i1 n
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输出结果
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ESS / k R2 n (k 1) F RSS /(n (k 1)) 1 R 2 k
nR2
ESS n F ESS ~ 2 (k ) TSS /(n (k 1)) n (k 1)
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Ch4：多元线性回归模型
用Eviews估计和检验模型： 用符号标记参数：
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i1 ˆi2 ˆ 2 s2
n
n
n (k 1)
(n (k 1))s 2
2
i1 ˆi2 2 (n (k 1)) 2


ˆ ˆ i2 与 i , i 0, 1, 2, , n 独立 i 1
n
由此得出参数估计的标准误（Std.Error）
ˆ s( i ) ci s , i 0,1,2,, k
及参数显著性检验统计量
ˆ i i ˆ t ( i ) ~ t (n (k 1)), i 0,1,2, k ˆ) s( i
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Ch4：多元线性回归模型
回归系数显著性检验（t-检验）： 待检验假设：

n RSS ˆ x x ) x 2 n x 0 ˆ 2i 1 ( yi 0 ˆ1 1i i1 ˆi ki k ki ki ˆ k
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Ch4：多元线性回归模型
参数估计（OLS）： 引进矩阵符号，采用矩阵运算
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2
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x
i 1
n
(o) 2 1i
x
i 1
n
(o) 2 2i
其中
r
( x1(io ) x2o ) i i 1
n
x
i 1
n
(o) 2 1i
x
i 1
n
(o) 2 2i
为样本相关系数（考虑共线性对参数估计方差的影响）
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Ch4：多元线性回归模型
误差方差的估计：
Ch4：多元线性回归模型
模型设定： 总体模型：
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y 0 1 x1 2 x2 k xk xβ
其中
x (1, x1 , x2 , xk )
β (0 , 1 , 2 ,, k )
样本模型：
yi 0 1 x1i 2 x2i k xki i , i 1,2,, n
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H0 : 1 2 k 0;
原假设下统计量的分布：
H1 : 1 , 2 ,, k 至少一个不 0 为
ESS / k F ~ F (k , n (k 1)) RSS /[n (k 1)]
临界值：查F分布表 和R2的关系：
另一种检验统计量：
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其中
yi(o) yi y
x(jio) x ji x j , j 1,2
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Ch4：多元线性回归模型
由此可以得出：
1 2, n ( 2 x1io ) (1 r 2 ) i 1 1 ˆ Var ( 2 ) 2, n ( 2 x2o ) (1 r 2 ) i i 1 r ˆ ˆ Cov( 1 , 2 ) ˆ Var ( 1 ) (1 r )
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ˆ E (β) β
（2）一致性（假设1、假设3）：
（3）有效性（假设1-假设3）： ~ 设 β 是 β 任意一个线性无偏估计，则
ˆ β p β
~ ˆ Var(β) Var(β) 0
（4）正态分布（假设1-假设）：
（ 非负定）
ˆ β ~ N (β, (XX)1 2 )
假设5：rank( XX) rank( X) k
1 即 XX 为满秩矩阵，可逆
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Ch4：多元线性回归模型
参数估计（OLS）： 残差平方和用矩阵表示为
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ˆ ˆ ˆ ˆˆ RSS i 1 i2 εε (y Xβ)(y Xβ)
ˆ i ~ N i , ci 2 , i 0,1,2,, k
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Ch4：多元线性回归模型
当k=2时，参数OLS估计可以写为：
ˆ ˆ ˆ ˆ 0 y 1 x1 2 x2 k xk n ( o ) ( o ) n ( o ) 2 n ( o ) ( o ) n ( o ) ( o ) x1i yi x2i x2i yi x1i x2i i 1 i 1 i 1 ˆ 1 i 1 2 n ( o ) 2 n ( o ) 2 n ( o ) ( o ) x1i x2i x1i x2i i 1 i 1 i 1 n ( o ) ( o ) n ( o ) 2 n ( o ) ( o ) n ( o ) ( o ) x2i yi x1i x1i yi x1i x2i i 1 i 1 i 1 ˆ 2 i 1 2 n ( o ) 2 n ( o ) 2 n ( o ) ( o ) x1i x2i x1i x2i i 1 i 1 i 1
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H 0 : i 0,
H1 : i 0
原假设下检验统计量的分布：
ˆ ˆ ) i ~ t ( n ( k 1)), i 0,1,2, k t ( i ˆ s( i )
临界值：查自由为n-(k+1)的t-分布表，当n较大时，用2作为临界值。 模型整体评价（一）：拟合优度R2和调整拟R2 ESS RSS 2 TSS RSS ESS , R 1 TSS TSS