高中数学简单线性规划习题专项练习

一、选择题

1．在平面直角坐标系中，若点(－2，t)在直线x －2y ＋4＝0的上方，则t 的取值范围是( ) A ．(－∞，1) B ．(1，＋∞) C ．(－1，＋∞) D ．(0,1)

[答案] B

[解析] ∵点O(0,0)使x －2y ＋4>0成立，且点O 在直线下方，故点(－2，t)在直线x －2y ＋4＝0的上方－2－2t ＋4<0，∴t>1. 2.)若2m ＋2n<4，则点(m ，n)必在( ) A ．直线x ＋y －2＝0的左下方 B ．直线x ＋y －2＝0的右上方 C ．直线x ＋2y －2＝0的右上方 D ．直线x ＋2y －2＝0的左下方 [答案] A

[解析] ∵2m ＋2n≥22m ＋n ，由条件2m ＋2n<4知， 22m ＋n<4，∴m ＋n<2，即m ＋n －2<0，故选A.

3．不等式组⎩⎪⎨⎪

⎧

x≥0x ＋3y≥43x ＋y≤4所表示的平面区域的面积等于( )

[解析] 平面区域如图．解⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＋3y ＝43x ＋y ＝4得A(1,1)，易得B(0,4)，C ⎝⎛⎭⎫0，43，

|BC|＝4－43＝8

3. ∴S △ABC ＝12×83×1＝4

3.

4不等式组⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＋y≥22x －y≤4x －y≥0所围成的平面区域的面积为( )

A ．3 2

B ．6 2

C ．6

D ．3

[答案] D

[解析] 不等式组表示的平面区域为图中Rt △ABC ，易求B(4,4)，A(1,1)，C(2,0) ∴S △ABC ＝S △OBC －S △AOC

＝12×2×4－1

2×2×1＝3.

5设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪

⎧

y≤x x ＋y≥2y≥3x －6，则目标函数z ＝2x ＋y 的最小值为( )

A ．2

B ．3

C ．5

D ．7

[答案] B

[解析] 在坐标系中画出约束条件⎩⎪⎨⎪

⎧

y≤x x ＋y≥2y≥3x －6所表示的可行域为图中△ABC ，其中A(2,0)，

B(1,1)，C(3,3)，则目标函数z ＝2x ＋y 在点B(1,1)处取得最小值，最小值为3.

6.已知A(2,4)，B(－1,2)，C(1,0)，点P(x ，y)在△ABC 内部及边界运动，则z ＝x －y 的最大值及最小值分别是( ) A ．－1，－3 B ．1，－3 C ．3，－1

D ．3,1

[解析] 当直线y ＝x －z 经过点C(1,0)时，zmax ＝1，当直线y ＝x －z 经过点B(－1,2)时，zmin ＝－3. [答案] B

7(在直角坐标系xOy 中，已知△AOB 的三边所在直线的方程分别为x ＝0，y ＝0,2x ＋3y ＝30，则△AOB 内部和边上整点(即坐标均为整数的点)的总数为( ) A ．95 B ．91 C ．88

D ．75

[答案] B

[解析] 由2x ＋3y ＝30知，y ＝0时，0≤x≤15，有16个；

y ＝1时，0≤x≤13；y ＝2时，0≤x≤12； y ＝3时，0≤x≤10；y ＝4时，0≤x≤9； y ＝5时，0≤x≤7；y ＝6时，0≤x≤6； y ＝7时，0≤x≤4；y ＝8时，0≤x≤3； y ＝9时，0≤x≤1，y ＝10时，x ＝0.

∴共有16＋14＋13＋11＋10＋8＋7＋5＋4＋2＋1＝91个．

8．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨，B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨，B 原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨．那么该企业可获得最大利润是( ) A ．12万元 B ．20万元 C ．25万元

D ．27万元

[答案] D

[解析] 设生产甲、乙两种产品分别为x 吨，y 吨， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧

3x ＋y≤132x ＋3y≤18

x≥0

y≥0

，

获利润ω＝5x ＋3y ，画出可行域如图，

由⎩

⎪⎨⎪⎧

3x ＋y ＝132x ＋3y ＝18，解得A (3,4)． ∵－3<－53<－2

3，∴当直线5x ＋3y ＝ω经过A 点时，ωmax ＝27.

9．(文)(2010·山东省实验中学)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪

⎧

x －y ＋6≥0x ＋y≥0x≤3，若z ＝ax ＋y 的最大值为

3a ＋9，最小值为3a －3，则实数a 的取值范围为( ) A ．a≥1

B ．a≤－1

C ．－1≤a≤1

D ．a≥1或a≤－1

[答案] C

[解析] 作出可行域如图中阴影部分所示，则z 在点A 处取得最大值，在点C 处取得最小值．又kBC ＝－1，kAB ＝1，∴－1≤－a≤1，即－1≤a≤1.

10.已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＋4y －13≥02y －x ＋1≥0x ＋y －4≤0，且有无穷多个点(x ，y)使目标函数z ＝x ＋

my 取得最小值，则m ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1

D ．4

[答案] C

[解析] 由题意可知，不等式组表示的可行域是由A(1,3)，B(3,1)，C(5,2)组成的三角形及其内部部分．当z ＝x ＋my 与x ＋y －4＝0重合时满足题意，故m ＝1.