高中数学简单线性规划习题专项练习
高中数学简单线性规划复习题及答案(最全面)
简单线性规划复习题及答案（1）1、设,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥-020202y x y x y x ，则22y x ++的最大值为 452、设变量,x y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥-≤-+030201825y x y x y x ，若直线20kx y -+=经过该可行域，则k 的最大值为答案：13、若实数x 、y ，满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥123400y x y x ，则13++=x y z 的取值范围是]7,43[．4、设y x z +=，其中y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-≥+k y y x y x 0002，若z 的最大值为6，则z 的最小值为5、已知x 、y 满足以下条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则22z x y =+的取值范围是 4[,13]56、已知实数,x y 满足约束条件1010310x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则22(1)(1)x y -+-的最小值为 127、已知,x y 满足约束条件1000x x y x y m -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，若1y x +的最大值为2，则m 的值为 58、表示如图中阴影部分所示平面区域的不等式组是⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤--≤-+0623063201232y x y x y x9、若曲线y ＝ x 2上存在点（x ，y ）满足约束条件20,220,x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪>⎩，则实数m 的取值范围是 (,1)-∞10、已知实数y ,x 满足10103x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，则3z x y =+的最小值为 －311、若,x y 满足约束条件10,0,40,x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则x y的最小值为 13. 12、已知110220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩，则22(2)(1)x y ++-的最小值为＿＿＿10＿13、已知,x y 满足不等式0303x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则函数3z x y =+取得最大值是 1214、已知x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x ，则z ＝2x ＋4y 的最小值是－615、以原点为圆心的圆全部在区域⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤-+≥+-0943042063y x y x y x 内，则圆面积的最大值为 π51616、已知y x z k y x x y x z y x 42,0305,,+=⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤≥+-且满足的最小值为－6，则常数k = 0 . 17、已知,x y 满足约束条件，03440x x y y ≥⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩则222x y x ++的最小值是 118、在平面直角坐标系中，不等式组0,0,,x y x y x a +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩（a 为常数），表示的平面区域的面积是8，则2x y +的最小值 14-19、已知集合22{(,)1}A x y x y =+=，{(,)2}B x y kx y =-≤，其中,x y R ∈.若A B ⊆，则实数k 的取值范围是⎡⎣20、若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为 12-21、若实数x ，y 满足不等式组201020x y x y a -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩，目标函数2t x y =-的最大值为2，则实数a 的值是 222、已知点(,)P x y 满足条件020x y x x y k ≥⎧⎪≤⎨⎪++≤⎩，若3z x y =+的最大值为8，则实数k = 6- .23、设实数x , y 满足的最大值是则x y y y x y x ,03204202⎪⎩⎪⎨⎧≤->-+≤-- 23.24、已知实数y x , 22222)(y x y y x +++的取值范围为 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+221,35．简单线性规划复习题及答案（2）1、设实数x,y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≤--0205202y y x y x 则y x x y z +=的取值范围是 10[2,]3由于yx表示可行域内的点()x y ，与原点(00)，的连线的斜 率，如图2，求出可行域的顶点坐标(31)(12)A B ，，，， (42)C ，，则11232OA OB OC k k k ===，，，可见123y x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，结合双勾函数的图象，得1023z ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，2、若实数,x y 满足不等式组22000x y x y m y ++≥⎧⎪++≤⎨⎪≥⎩，且2z y x =-的最小值等于2-，则实数m 的值等于 1-3、设实数x 、y 满足26260,0x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩，则{}max 231,22z x y x y =+-++的取值范围是 [2,9]【解析】作出可行域如图，当平行直线系231x y z +-=在直线BC 与点A 间运动时，23122x y x y +-≥++，此时[]2315,9z x y =+-∈，平行直线线22x y Z ++=在点 O 与BC 之间运动时，23122x y x y +-≤++，此时，[]222,8z x y =++∈. ∴[]2,9z ∈图23 A yxOcB 634、佛山某家电企业要将刚刚生产的100台变频空调送往市内某商场，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供调配。
高中数学线性规划各类习题精选5
2．已知点 P( x , y) 在不等式组 ⎨ y - 1 ≤ 0 表示的平面区域内运动，则 z = x - y 的最大 ⎪ x + 2 y - 2 ≥ 0 3．若实数 x, y 满足 ⎨ x + y ≥ 0，则 z = 3x +2 y 的最大值是（）5．设变量 x, y 满足约束条件 ⎨ y ≥ 3x ，若目标函数 z = x + y 的最大值为 14，则 a 值⎪x + ay ≤ 7 A ．1B ． 1 6．已知实数 x, y 满足 ⎨ x - y ≤ 0 ，则 2 x - y 的最大值为（）1高中数学线性规划各类习题精选 5学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设 ， 满足约束条件，若目标函数 的最大值为 12，则A ．B ．的最小值为（ ）C ．D ．4⎧ x - 2 ≤ 0 ⎪ ⎩值是（）A ． -1B ． -2C ．2D ．3⎧ x - y + 1 ≥ 0⎪ ⎪ ⎩x ≤ 0A ．13B ．9C ．1D ．34．已知实数 ， 满足，如果目标函数 的最小值为 ，则实数 等于（）A ．6B ．5C ．4D ．3⎧x ≥ 0 ⎪⎩为（）1 1 1 或C ．D ．2 32 3⎧ x + y - 1 ≤ 0 ⎪⎪ ⎩ x ≥ 01⎪ y ≥ 09．若实数 x, y 满足条件 ⎨ y - x ≤ 2 ，则 z = x - 2 y 的最小值为（ ） ⎪ y ≥ 0 A ．-1 B ．-2 C ． - 5 12．已知 a > 0 ， x, y 满足约束条件 { x + y ≤ 3 ，若 z = 2 x + y 的最大值为 ，y ≥ a (x - 2) A ． 113．已知 x 、y 满足约束条件 ⎨ x - y ≤ 0 则 z = x + 2 y 的最大值为（ ）14．已知 x, y 满足 ⎨ x + y ≤ 4记目标函数 z = 2 x + y 最大值为 a ，最小值为 b ，则⎪x - y - 2 ≤ 0⎧ x - y ≥ 0 ⎪2 x + y ≤ 27．若不等式组 ⎨ ，表示的平面区域是一个三角形，则 a 的取值范围是（ ）⎪⎩ x + y ≤ a4 4 4A ．a≥B ．0＜a≤1C ．1 ≤a≤D ．0＜a≤1 或 a≥3338．设 x ，y 满足约束条件，则 z=2x-3y 的最小值是（ ）A ．-7B ．-6C ．-5D ．-3⎧ y + x ≤ 1 ⎪⎩7D ． -2 2⎧ x ≤ 0 ⎪ y ≥ 010．已知由不等式 ⎨ 确定的平面区域 Ω 的面积为 7，则 k 的值（）⎪ y - kx ≤ 2 ⎪⎩ y - x - 4 ≤ 0A ． -2B ． -1C ． -3D ． 211．如果实数 x 、y 满足关系，则 的取值范围是（ ）A ．[3，4]B ．[2，3]C ．D ．x ≥ 1112则 a = （ ）1 B ．C ．1D ．242⎧ x + y - 1 ≤ 0 ⎪⎪ ⎩x ≥ 0A 、﹣2B 、﹣1C 、1D 、2⎧ x ≥ 1⎪⎪⎩ y ≤ 2 217．若 x, y 满足约束条件 ⎨ y ≥ 0 ，则目标函数 z = 2 x + 3 y 的最大值为________ ． ⎪2x + y ≤ 2 18．若实数 x ， y 满足 ⎨ x + y ≥ 0 ，则目标函数 z = x + 2 y 的取值范围是_______． ⎪ x ≤ 0 19．实数 x, y 满足 ⎨ x - y ≥ 1 ，则目标函数 z = x + y - 3 的最小值是______．⎪ x - 2 y ≤ 2 21．已知变量 x, y 满足 ⎨ x + y - 4 ≤ 0 ，则点 (x, y )对应的区域面积是 __________， ⎪ x ≥ 1 （ ya +b =A ．1B ．2C ．7D ．8⎧ x + y - 2 2 ≥ 0 ⎪⎪15．已知不等式组 ⎨ x ≤ 2 2 表示平面区域 Ω ，过区域 Ω 中的任意一个点 P ，⎪作圆 x 2 + y 2 = 1的两条切线且切点分别为 A ，B ，当 ∆PAB 的面积最小时，cos ∠APB的值为（ ）A ． 7 1 3B ．C ．D ．8 2 43 2二、填空题16．2011•宝坻区一模）设 x ， 满足约束条件 则 z=2x+y 的最大值为 ．⎧ x ≥ 0 ⎪⎩⎧ x - y + 1 ≥ 0 ⎪⎩⎧2x + y ≤ 4 ⎪⎩20．在直角坐标系中，△的三个顶点坐标分别为 ， ， ，动点△是内的点（包括边界）．若目标函数的最大值为 2，且此时的最优解所确定的点是线段上的所有点，则目标函数 的最小值为．⎧ x - 4 y + 3 ≤ 0⎪⎩x 2 + y 2 u = 的取值范围为__________．xy22．若实数 x ，y 满足 ⎨x > 0，则 的取值范围是_________ ．⎪ y ≤ 224．已知实数 x, y 满足 ⎨ y ≥ x ，则 z =x - y2 的最大值为 ．⎪2 x + y - 6 ≥ 0 y 1 ⎪ 26．设 x ， y 满足约束条件： ⎨ y ≥x 的可行域为 M ，若存在正实数 a ，使函数 2y = 2a sin( + )cos( + ) 的图象经过区域 M 中的点，则这时 a 的取值范围M (a, b )在由不等式 ⎨ y ≥ 0 确定的平面区域内，则点 N (a - b , a + b )所 ⎪x + y ≤ 2 ⎨ x ≤ 2 ⎪ x + y - 1 ≥ 0 29．设 z = x + y ，其中实数 x, y 满足 ⎨ x - y ≤ 0 ，若 z 的最大值为12 ，则 z 的最小值⎪0 ≤ y ≤ k⎧x - y + 1 ≤ 0 ⎪y x ⎩x + y ≤ 723．已知点 P (x, y ) 满足{ y ≥ x，过点 P 的直线与圆 x 2 + y 2 = 50 相交于 A ， B 两 x ≥ 2点，则 AB 的最小值为．⎧ x ≥ 0 ⎪⎩25．设 x ， 满足约束条件，向量， ，且，则m 的最小值为_____．⎧ x ≥ 1⎪⎪⎪⎩2 x + y ≤ 10x π x π2 4 2 4是．27．已知点⎧ x ≥ 0 ⎪⎩在的平面区域面积是．⎧ x - 2 y + 1 ≥ 0 ⎪28．已知不等式组⎩ 表示的平面区域为 D ，若函数 y =| x - 1| +m 的图像上存在区域 D 上的点，则实数 m 的取值范围是________．⎧ x + 2 y ≥ 0⎪⎩为．30．已知实数 x ， y 满足约束条件 ⎨ y ≤ x,时，所表示的平面区域为 D ，则 ⎪2x + y - 9 ≤ 0⎧x ≥ 0, ⎪⎩z = x + 3 y 的最大值等于，若直线 y = a( x + 1) 与区域 D 有公共点，则 a 的取值范围是．试题分析：画出不等式组 ⎨ y - 1 ≤ 0 表示的可行域如图， z = x - y 即 y= x-Z ⎪ x + 2 y - 2 ≥ 0 参考答案1．A【解析】试题分析：作出 ， 满足约束条件下平面区域，如图所示，由图知当目标函数经过点取得最大值 12，即，亦即，所以＝，当且仅当，即时等号成立，故选 A ．考点：1、简单的线性规划问题；2、基本不等式．【方法点睛】运用线性规划求解最值时，关键是要搞清楚目标函数所表示的直线的斜率与可行域便捷直线的斜率之间的大小关系，以好确定在哪个端点，目标函数取得最大值，在哪个端点，目标函数取得最小值；已知 ﹙ ﹚求的最小值，通常转化为＝ （ )，展开后利用基本不等式求解．2．C【解析】⎧ x - 2 ≤ 0 ⎪ ⎩即 t 增大，由图象得，当直线 y = - x + 过点 A(0,1) 时， t 取得最大值 2 ，即 z = 3x +2 y 的Z 的几何意义是直线 y= x-Z 在 y 轴上的截距的相反数，画直线 y= x ，平移直线 y= x ，当过点 B （2，0）时 z 有最大值 2．故选：C ．考点：简单的线性规划及利用几何意义求最值．【名师点睛】本题考查线性规划解题的基本方法，本题属于基础题，要求依据二元一次不等式组准确画出可行域，利用线性目标函数中直线的纵截距的几何意义，令 z= 0 ，画出直线 y = x ，在可行域内平移该直线，确定何时z 取得最大值，找出此时相应的最优解，依据线性目标函数求出最值，这是最基础的线性规划问题．3．B【解析】试题分析：设 t = x + 2 y ，将 t = x + 2 y 化成 y = - 1 tx + ，作出可行域与目标函数基准线2 21 1 t y = - x （如图所示）当直线 y = - x +2 2 2 t向右上方平移时，直线在 y 轴上的截距 增大，21 t2 2最大值是 32 = 9 ；故选 B ．考点：1．简单的线性规划；2．指数运算．.（ （【易错点睛】本题考查简单的线性规划问题以及指数运算，属于中档题；利用简单的线性规划知识求有关线性目标函数的最值时，一般是先画出可行域，再结合目标函数的几何意义进行求解，容易忽视的是不能准确目标函数直线与可行域边界的倾斜程度（通过比较目标函数直线的斜率和某条边界的斜率的大小），导致寻找最优解出错．4．B【解析】试题分析：由下图可得 在 处取得最大值，由，故选 B.考点：线性规划.【方法点晴】本题考查线性规划问题，灵活性较强，属于较难题型 考生应注总结解决线性规划问题的一般步骤： 1）在直角坐标系中画出对应的平面区域，即可行域； 2）将目标函数变形为；（3）作平行线：将直线 平移，使直线与可行域有交点，且观察在可行域中使 最大（或最小）时所经过的点，求出该点的坐标； 4）求出最优解：将（3）中求出的坐标代入目标函数，从而求出 的最大（小）值.5．C【解析】试题分析：首先根据已知约束条件画出其所表示的平面区域，如下图所示，然后由目标函数z = x + y 的最大值为 14，此时目标函数经过点 A(0, 7 ) ，所以14 = 0 + a 7 1，所以 a = ，故应选 C ．a 2试题分析：作出不等式组 ⎨2x + y ≤ 2 表示的平面区域，如图 ∆OAB （内部含边界），再作 ⎪ y ≥ 0 B考点：1、简单的线性规划问题．6．A【解析】试题分析：在坐标系内作出可行域，由图可知当目标函数z = 2 x - y 经过可行域内的点1 1 1 1 1A( , ) 时有最大值 z = 2 ⨯ - = ，故选 A ．2 2 2 2 2BAO考点：线性规划．7．D【解析】⎧ x - y ≥ 0 ⎪⎩直线 l : x + y = 0 ，过 A ， 作与 l 平行的直线 l , l ，由图可知当直线 x + y = a 夹在直线 l 与 l1 21之间或在直线 l 上方时，题设不等式组表示的区域是三角形，计算得0 < a ≤ 1 或 a ≥ 2选 D ．4 3．故考点：二元一次不等式组表示的平面区域．8．B【解析】试题分析：由么时候纵截距所求．得，作出可行域如图，平移直线，看什最大，即最小，所以由图可知，过点C时，所得值即为考点：线性规划问题．9．D【解析】试题分析：作出可行域，如图所示.⎪⎪ ⎧ y = x + 2 z = x - 2 y 取得最小值，由 ⎨ 得： ⎨ ，所以点 A 的坐标为 - , ⎪ ，所 ⎪ y = 3 - 3 = - 试题分析：作出不等式组 ⎨ y ≥ 0所表示的平面区域，如图所示，可知其围成的区域 ⎪ y - x - 4 ≤ 0 ⎧ y - kx = 2 2 4k - 2 1 2作直线 l : x - 2 y = 0 ，再作一组平行于 l 的直线 l : z = x - 2 y ，当直线 l 经过点 A 时，0 0⎧1 x =-2 ⎛ 13 ⎫ ⎩ y = - x + 1⎝ 2 2 ⎭ ⎪⎩ 2以 z 1 7min = - 2 2 ，故选 D ．考点：线性规划．10．B【解析】⎧ x ≤ 0 ⎪⎩是等腰直角三角形且面积为 8 ．由于直线 y = kx + 2 恒过点 B(0, 2) ，且原点的坐标恒满足y - kx ≤ 2 ，当 k = 0 时，y ≤ 2 ，此时平面区域 Ω 的面积为 6 ，由于 6 < 7 ，由此可得 k < 0 ．由⎨可得 D( , ) ，依题意应有 ⨯ 2⨯ | |= 1 ，解得 k = -1 或 k = 3 ⎩ y - x - 4 = 0k - 1 k - 1 2 k - 1 （舍去），故选 B ．考点：简单的线性规划问题．11．D【解析】试题分析：由题意得，画出不等式组表示的可行域（如图所示），又范围，其中，当取点大值．，此时可看出可行域内点与点时，目标函数取得最小值；当取点之间的连线的斜率的取值时，目标函数取得最考点：二元一次不等式组表示的平面区域及其应用．【思路点晴】本题主要考查了二元一次不等式组表示的平面区域及其应用求最值，属于基础题，解答的关键是把目标函数化简为，转化为可行域内点和点12．C之间的连线的斜率的取值，其中认真计算是题目的一个易错点．目标函数z=2x+y经过点A ⎛2a+3a⎫,⎝a+1a+1⎭2⨯2a+3+=，解得a=1，故选C．【解析】试题分析：根据题意作出x,y满足约束条件下的平面区域，如图所示，由图知，当a11 a+1a+12⎪11时取得最大值，所以2考点：简单的线性规划问题．13．D【解析】试题分析：根据约束条件可作出可行域如图，作出直线y=-1x，经过平移得当直线过点2A(0,1)时，z取到最大值2．考点：线性规划．14．D【解析】(⎪⎩y≤2212+12=2，OA=1，OA⊥AP，所以∠APO=30︒,∠APB=2∠APO=60︒，试题分析：不等式组表示的平面区域如图所示，由图易得目标函数z=2x+y在A(3,1)处取得最大值7，在B1,-1)处取得最小值1，则a+b=8，故答案为D．考点：线性规划的应用．15．B【解析】⎧x+y-22≥0⎪⎪试题分析：不等式⎨x≤22表示平面区域Ω为下图所示的∆DEF边界及内部的点，⎪由图可知，当点P在线段DE上，且OP⊥DE时，∆P AB的面积最小，这时OP=-22所以cos∠APB=12，故选B．y DB OPAFE x考点：1．线性规划；2．直线与圆的位置关系．【方法点睛】本题主要考查的是线性规划以及直线与圆的位置关系，属中档题．线性规划类问题的解题关键是先正确画出不等式组所表示的平面区域，然后确定目标函数的几何意义，通过数形结合确定目标函数何时取得最值．解题时要看清楚是求“最大值”还是求“最小值”，否则很容易出现错误；画不等式组所表示的平面区域时要通过特殊点验证，防止出现错误．16．2【解析】试题分析：先画出对应的可行域，结合图象求出目标函数取最大值时对应的点，代入即可求出其最值．解：约束条件对应的可行域如图：由图得，当z=2x+y位于点B（1，0）时，z=2x+y取最大值，此时：Z=2×1+0=2．故答案为：2．（考点：简单线性规划．17．6【解析】试题分析：如图画出可行域，目标函数 z = 2 x + 3 y 平移到 (0, 2)处有最大值 0 + 3⨯ 2 = 6 ．考点：1、可行域的画法；2、最优解的求法．【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题．求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”： 1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最有解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值．18． [0,2]【解析】试题分析：线性约束条件对应的可行域为直线 x - y + 1 = 0, x + y = 0, x = 0 围成的三角形及其内部，顶点为 (0,0 ), (0,1), - 1 , 1 ⎫，当 z = x + 2 y 过点 (0,0 )时取得最小值 0，过点 (0,1)(0, -1), (2,0 ), ⎛ 5 , 2 ⎫⎪ ，当 z = x + y - 3 过点 (0, -1) 时取得最小值 -4⎢⎣2, 3 ⎥⎦⎝ 2 2 ⎭时取得最大值 2，所以其范围是[0,2]考点：19． -4【解析】试题分析：线性约束条件对应的可行域为直线2 x + y = 4, x - y = 1, x - 2 y = 2，顶点为⎝ 3 3 ⎭考点：线性规划问题20．【解析】试题分析：先根据约束条件画出可行域，设 z=ax+by ，将最大值转化为 y 轴上的截距，当直线 ax+by=z 与可行域内的边 BC 平行时，z=ax+by 取最大值时的最优解有无数个，将 等价为斜率， 数形结合，得，且 a×1+b×0=2，∴a=2，b=1，z=2x+y当直线 z=2x+y 过点 B 时，z 取最小值，最小值为-2考点：简单线性规划的应用21．8⎡ 10 ⎤ 5【解析】A B x y y x x 13 x t 13试题分析：不等式组表示的可行域是如图所示的三角形 ABC 边界及其内部，（1，3），（1，1），C (13 7 5, 5 1 13 8 y ) 故所求面积为 ⨯ (3 - 1)⨯ ( - 1) = ， u = + ，其中 表示可行域上任2 5 5 x一点与原点连线的斜率， 函数性质得 u ∈ [2, 10]3y 7 y 1 7∈ [k , k ] = [ ,3] ， t = , u = t + , t ∈ [ ,3] 故根据对勾 OC O A考点：线性规划，对勾函数．22． [2, +∞)【解析】试题分析：作出实数 x ，y 满足的平面区域，如图所示，由图知，斜率 y的取值范围是[2, +∞) ．x考点：简单的线性规划问题．【方法点睛】运用线性规划求解最值时，关键是要搞清楚目标函数所表示的直线的斜率与可行域便捷直线的斜率之间的大小关系，以便确定在哪个端点处，目标函数取得最大值；在哪个端点处，目标函数取得最小值．23． 2 21【解析】试题分析：作出约束条件 ⎨ y ≥ x表示的可行域如图阴影部分（含边界）， ⎪2 x + y - 6 ≥ 0 联立 ⎨，解得 A （2，2）， 2 x + y - 6 = 0-x + y ≤ 7试题分析：不等式组{ y ≥ x 所表示的平面区域为如下图所示的 ∆DEF ，且 ∆DEF 在圆x ≥ 2x 2 + y 2 = 50 的内部，在 ∆DEF 区域内，其中点 D 到圆心 O 的距离最远，所以过点 D 且垂直于 OD 的弦 AB 最短，考点：1．线性规划;2．直线和圆的位置关系．【名师点睛】本题主要考查的是线性规划，属于容易题．线性规划类问题的解题关键是先正确画出不等式组所表示的平面区域，然后确定目标函数的几何意义，通过数形结合确定目标函数何时取得最值．解题时要看清楚是求“最大值”还是求“最小值”，否则很容易出现错误．24．－2【解析】⎧ x ≥ 0 ⎪⎩⎧ y = x⎩ 化目标函数 z = x - 2 y 为 y = x z，2 2由图可知，当直线y=x z-过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为2﹣2×2=﹣222．考点：简单的线性规划问题．25．-6【解析】试题分析：先根据平面向量共线（平行）的坐标表示，得m=2x-y，根据约束条件画出可行域，再利用m的几何意义求最值，只需求出直线m=2x-y过可行域内的点A时，从而得到m值即可．由向量向量，，且，得，根据约束条件画出可行域，设，将m最小值转化为y轴上的截距，当直线经过点（，）时，m最小，最小值是：2×1-8=-6．故答案为：-6．考点：平面向量共线的坐标表示；简单的线性规划26．[1,+∞)．2cos1【解析】试题分析：如下图所示，画出不等式组所表示的区域，即可行域，而xπxπy=2a sin(+)cos(+)=2424π1a sin(x+)=a cos x，故可知问题等价于点(1,)不在函数y=a cos x的上方，即22111a cos1≥⇒a≥,+∞)．22cos12cos1，∴正实数a的取值范围是[试题分析： M (a, b )在由不等式 ⎨ y ≥ 0 确定的平面区域内， ⎪x + y ≤ 2 ⎧a ≥ 0 ⎪⎪ 2 ∴ ⎨b ≥ 0 ，设 x = a - b , y = a + b ，则 ⎨ ⎪a + b ≤ 2 ⎪b = y - x ⎪⎩ 2 ⎩ ≥ 0 ，即 ⎨ y - x ≥ 0 ⎪ y ≤ 2 作出不等式组对应的平面区域如图：则对应区域为等腰直角三角形 AOB ，则 ⎨，y = 2 同理 B (- 2,2)，则 ∆AOB 的面积为 S = ⨯ 4 ⨯ 2 = 4 ．⎧考点：1．三角函数的图象和性质；2．线性规划的运用．27．4【解析】⎧ x ≥ 0 ⎪ ⎩⎪ ⎩⎧ y - x = 0⎩ 得 ⎨ x = 2 ⎩ y = 21 2考点：简单的线性规划．28．[-2,1]．【解析】试题分析：如下图所示，画出不等式组所表示的平面区域，考虑极端情况，函数图象经过点(2,-1)，此时m=-2，函数图象经过点(1,1)，此时m=1，∴实数m的取值范围是[-2,1]．考点：线性规划的运用．29．-6【解析】试题分析：可行域如图：⎧ ∴由 ⎨ x - y ≤ 0 得 A (k, k ) ，目标函数 z = x + y 在 x = k. y = k 时取最大值，即直线 z = x + y ⎩ y = k在 y 轴上的截距 z 最大，此时，12 = k + k ， k= 6 ∴得 B (-12,6 )，目标函数 z = x + y 在x = -12, k = 6 时取最小值，此时， z 的最小值为 z = -12 + 6 = -6考点：简单的线性规划3 30．12 ， (-∞, ] ． 4【解析】试题分析：如下图所示，画出不等式组所表示的可行域，作直线 l ： x + 3 y = 0 ，平移 l ，即可知，当 x = y = 3 时，z 3 的取值范围是 (-∞, ] ． 4 max = 3 + 9 = 12 ，直线 y = a( x + 1) 恒过点 (-1,0) ，∴可知实数 a考点：线性规划的运用．。
高中数学332_简单的线性规划问题(有答案)
3.3.2 简单的线性规划问题(1)一、选择题。
1. 若实数x ，y 满足不等式组{x +3y −3≥02x −y −3≤0x −y +1≥0，则x +y 的最大值为（ ）A.9B.157C.1D.7152. 已知点P (x,y )的坐标满足条件{x +y ≤4，y ≥x ，x ≥1，则x 2+y 2的最大值为（ ）A.√10B.8C.16D.103. 设变量x ，y 满足约束条件{x −y +2≥0,x −5y +8≤0，x +y −8≤0，则目标函数z =3x −4y 的最大值和最小值分别为（ ） A.3，−11 B.−3，−11 C.11，−3 D.11，34. 在坐标平面上有两个区域M 和N ，其中区域M ={(x,y)|y ≥0,y ≤x,y ≤2−x }，区域N ={(x,y )|t ≤x ≤t +1,0≤t ≤1}，区域M 和N 公共部分的面积用函数f(t)表示，则f(t)的表达式为（ ） A.−t 2+t +12B.−2t 2+2tC.1−12t 2D.12(t −2)25. 已知向量a =(x +z,3)，b =(2,y −z )，且a ⊥b ．若x ，y 满足不等式|x|+|y|≤1，则z 的取值范围为（ ） A.[−2,2] B.[−2，3] C.[−3,2] D.[−3,3]6. 设不等式组{x ≥1，x −2y +3≥0，y ≥x所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x −4y −9=0对称．对于Ω1中的任意点A 与Ω2中的任意点B ，则|AB|的最小值为（ ） A.285B.4C.125D.2二、填空题。
设变量x ，y 满足约束条件{x +y ≥3，x −y ≥−1，2x −y ≤3．则目标函数z =2x +3y 的最小值为________．已知−1<x +y <4且2<x −y <3，则z =2x −3y 的取值范围是________．（答案用区间表示）已知实数x 、y 满足{2x −y ≤0x +y −5≥0y −4≤0,，若不等式a(x 2+y 2)≥(x +y)2恒成立，则实数a的最小值是________． 三、解答题。
高中数学333_简单的线性规划问题(有答案)
3.3.3 简单的线性规划问题(2)一、选择题。
1. 若变量x ，y 满足约束条件{x +y ≤6,x −3y ≤−2,x ≥1,则z =2x +3y 的最小值为（ ）A.17B.14C.5D.32. 已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组{0≤x ≤√2,y ≤2y,x ≤√2y 给定．若M (x,y )为D 上的动点，点A 的坐标为(√2,1)，则z =OM →⋅OA →的最大值为（ ） A.4√2 B.3√2 C.4 D.33. 某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 需满足约束条件{5x −11y ≥−22,2x +3y ≥9,2x ≤11,则z =10x +10y 的最大值是（ ） A.50 B.150 C.90 D.1604. 若A 为不等式组{x ≤0y ≥0y −x ≤2表示的平面区域，则当a 从−2连续变化到1时，动直线x +y =a 扫过A 中的那部分区域的面积为（ ） A.1 B.32C.34D.745. 变量x ，y 满足约束条件{x +y ≥0,x −2y +2≥0,mx −y ≤0,若z =2x −y 的最大值为2，则实数m 等于( ) A.−2 B.−1C.1D.26. 如图所示，目标函数z =kx −y 的可行域为四边形OABC ，点B (3,2)是目标函数的最优解，则k 的取值范围为（ ）A.(23,2) B.(1,53)C.(−2,−23)D.（−3,−43）二、填空题。
已知不等式组{x ≥0,x −y ≤0,4x +3y ≤12,则z =y−1x+1的最大值为________.二次函数f (x )=ax 2+bx (a ≠0)满足1≤f (−1)≤2，2≤f (1)≤4，则f (−2)的取值范围是________.已知实数x ，y 满足{(x −y +6)⋅(x +y −6)≥0,1≤x ≤4,则x 2+y 2−2的取值范围是________.三、解答题。
高中数学333_简单的线性规划问题(有答案) (2)
3.3.3 简单的线性规划问题(2)一、解答题。
1. 若变量x ，y 满足{x +y ≤22x −3y ≤9x ≥0，则x 2+y 2的最大值是（ ）A.4B.9C.10D.122. 已知函数x ，y 满足{x ≥1x −y +1≤02x −y −2≤0，则√x 2+y 2的最小值为________．3. 设m >1，在约束条件{y ≥x,y ≤mx,x +y ≤1下，目标函数z =x +my 的最大值小于2，则m 的取值范围为（ ）A.(1,1+√2)B.(1+√2,+∞)C.(1,3)D.(3,+∞)4. 设m >1在约束条件{y ≥x,y ≤mx,x +y ≤1下，目标函数z =x +5y 的最大值为4，则m 的值为________．5. 某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．6. 小明准备用积攒的300元零用钱买一些科普书和文具，作为礼品送给山区的学生，已知科普书每本6元，文具每套10元，并且买文具的钱不少于买科普书的钱．那么最多可以买的科普书与文具的总数是________．7. 设x ，y 满足约束条件{x ≥0,y ≥x,4x +3y ≤12,则x+2y+3x+1取值范围是（ ）A.[1,5]B.[2,6]C.[3,10]D.[3,11]8. 实数x，y满足约束条件{3x−y−6≤0,x−y+2≥0,x≥0,y≥0,若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为12，则2a +3b的最小值为（）A.256B.83C.113D.49. 小结与反思___________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________参考答案与试题解析3.3.3 简单的线性规划问题(2)一、解答题。
高中数学线性规划各类习题精选100题
高中数学线性规划各类习题精选7学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设x y ，满足约束条件04312x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则2x y -的最小值是（ ）A ．-4B ．127C ．0D ．6 2．定义,m a x {,},a a ba b b a b≥⎧=⎨<⎩，设实数x ，y 满足约束条件22x y ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，则m a x {4,3z x y x y=+-的取值范围是（ ） A ．[7,10]- B ．[8,10]- C ．[6,8]- D ．[7,8]-3．若x y ，满足约束条件221{21x y x y x y +≥≥-≤且向量()3,2a =， ()b x y =，，则•a b 的取值范围是（ ）A ．5,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．7,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．7,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．5,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦4．实数x ，y 满足2x a y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩（1a <），且2z x y =+的最大值是最小值的4倍，则a的值是（ ） A ．211 B ．14 C ．12 D ．1125．已知变量x ，y 满足约束条件，则 的最大值为（ ）A ．B ．C ．1D ．26．设,x y 满足约束条件220840x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩,若目标函数11(0,0)z x y a b a b =+>>的最大值为2，则a b +的最小值为（ ）A ．92B ．14C ．29D ．47．设y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥--≤--≤-+02301206y x y x y x ，若y ax z +=的最大值为42+a ，最小值为1+a ，则实数a 的取值范围为（ ）A ．]2,1[-B ．]1,2[-C ．]2,3[--D ．]1,3[-8．已知x ，y 满足，则使目标函数z=y ﹣x 取得最小值﹣4的最优解为（ ）A ．（2，﹣2）B ．（﹣4，0）C ．（4，0）D ．（7，3）9．已知变量y x ,满足以下条件：,,11y xx y R x y y ≤⎧⎪∈+≤⎨⎪≥-⎩，z ax y =+，若z 的最大值为3，则实数a 的值为（ ）A ．2或5B ．-4或2C ．2D ．5 10．不等式表示的平面区域（用阴影表示）是（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知 是不等式组的表示的平面区域内的一点， ，为坐标原点，则的最大值（ ）A ．2B ．3C ．5D ．612．已知实数x ，y 满足条件若目标函数的最小值为5，其最大值为（ ）A ．10B ．12C ．14D ．1513．已知(),P x y 为区域22400y x x a -≤⎧≤≤⎨⎩内的任意一点，当该区域的面积为2时，2z x y=+的最大值是( )A ．5B ．0C ．2D ．14．若A 为不等式组表示的平面区域，则当从连续变化到时，动直线扫过A 中的那部分区域的面积为（ ）A ．34 B ．1 C ．74D ．2 15．过平面区域内一点 作圆 的两条切线，切点分别为，记 ，则当 最小时 的值为( ) A ．B ．C ．D ．16．若变量满足约束条件且的最大值为，最小值为，则的值是（ ） （A ）（B ）（C ）（D ）17．设变量x ，y 满足约束条件则目标函数z ＝3x －y 的最大值为（ ）A ．－4B ．0C ．D ．418．已知实数m ， n 满足不等式组，则关于x 的方程()23260x m n x mn -++=的两根之和的最大值和最小值分别是（ ）A ．7， 4-B ．8， 8-C ．4， 7-D ．6， 6-19．实数x ，y 满足不等式组则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．20．已知变量满足： 的最大值为（ ）A ．B ．C ．2D ．421．若y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤-010x y x y x 则y x z 2+=的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．23D ．2 22．若实数,x y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≥-+,01,032,033my x y x y x 且x y +的最大值为9，则实数m =（ ）A ．1B ．-1C ．2D ．-2 23．若两个正数b a ,满足24a b +<，则222-+=a b z 的取值范围是（ ）A ．{}|11z z -≤≤B ．{}|11z z -≥≥或z C ．{}|11z z -<< D ．{}|11z z ->>或z24．（题文）已知实数满足，若目标函数的最大值为，最小值为，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．25．如果实数x ,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤++≥+≥+-010101y x y y x ，则y x -2的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．2-D ．3-26．如果实数,满足约束条件，则的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．27．设 ， 满足约束条件 ，若目标函数（ ）的最大值为 ，则的图象向右平移后的表达式为（ ）A ．B ．C ．D ．28．在平面直角坐标系中，不等式组20200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，表示的平面区域的面积是（ ）A．．4 C．．229．已知正数,x y 满足20350x y x y -≤⎧⎨-+≥⎩，则2z x y =--的最小值为（ ）A ．2B ．0C ．-2D ．-430．已知实数x 、y 满足，如果目标函数的最小值为－1，则实数m ＝（ ）． A ．6B ．5C ．4D ．331．设,x y 满足约束条件()0,230,,,230.x x y a y m x x y ≥⎧⎪+-≥=+⎨⎪+-≤⎩()1,2b =，且a ∥b ，则m 的最小值为（ ） A 、1 B 、2 C 、12 D 、1332．已知实数,x y 满足约束条件00220y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪--≥⎩，则11y z x -=+的取值范围是（ ）A ．11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．11,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭33．设变量,x y 满足约束条件211y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2x y +的最大值为（ ）A ．95 B ．25- C ．0 D ．5334．若实数x ，y 满足不等式024010x y x y x y +≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩，且x y +的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．435．已知实数满足：，，则的取值范围是A ．B ．C ．D ．36．若实数x ，y 满足不等式024010x y x y x my +≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩，且x y +的最大值为3，则实数m =（ ）A ．-1B ．12C ．1D ．2 37．若点),(y x P 满足线性约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≤-002303y y x y x ，点)3,3(A ，O 为坐标原点，则⋅的最大值为（ ）A ．0B ．3C ．-6D ．638．设变量,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+3213y x y x y x ，则目标函数23z x y =+的最小值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9 39．如果直线12:220,:840l x y l x y -+=--=与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成的四边形封闭区域（含边界）中的点，使函数()0,0z abx y a b =+>>的最大值为8， 求a b +的最小值（ ）A 、4B 、3C 、2D 、040．设变量,x y 满足约束条件：3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则目标函数1ax y z x ++=的取值范围是[3,5]，则a =（ ）A ．4B ．3C ．2D ．141．已知不等式组210210x y x x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域为D ，若函数|1|y x m =-+的图象上存在区域D 上的点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1[0,]2 B ．1[2,]2- C ．3[1,]2- D ．[2,1]- 42．已知点集}0222|),{(22≤---+=y x y x y x M ，}022|),{(22≥+--=y x y x y x N ，则N M 所构成平面区域的面积为（ ）A ．πB ．π2C ．π3D ．π443．若实数x ，y 满足不等式组024010x y x y x my +≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩，且x+y 的最大值为3，则实数m=（ ）A ．-1B ．12C ．1D ．2 44．若实数x ，y 满足不等式组，且x+y 的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．445．设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，若目标函数)0,0(>>+=b a by ax z 的值是最大值为12，则ba 32+的最小值为（ ） A ．38 B ．625 C ．311 D ．446．设O 是坐标原点，点A （-1，1），若点M （,x y ）为平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+212y x y x 上的一个动点，则OA OM ⋅的取值范围为 （ ）A ．[]0,1-B ．[]1,0C ．[]2,0D ．[]2,1-47．已知变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤112y x y x y ，则y x z +=3的最大值为（ ）A ．12B ．11C ．3D ．-1 48．在直角坐标系内，满足不等式的点的集合(用阴影表示)正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．49．设x ，y 满足10x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩，则4z x y =+的最大值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．650． 若,x y 满足约束条件5315153x y y x x y +⎧⎪+⎨⎪-⎩≤≤≤，则35x y +的取值范围是（ ）A ．[13,15]-B ．[13,17]-C ．[11,15]-D ．[11,17]-51．设的最大值为（ ）A ．80B ．C ．25D ．52．已知0a >，不等式组00(2)x y y a x ≥⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩表示的平面区域的面积为1，则a 的值为（ ）A ．14 B ．12C ．1D ．2 53．不等式2350x y --≥表示的平面区域是（ ）A ．B ．C ．D ．54．设x ，y 满足约束条件 ，若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12，则的最小值为 （ ）． A ．4 B ． C ． D ．55．已知实数,x y 满足1000x y x y x +-≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则2x y -的最大值为（A ）12-（B ）0 （C ）1 （D ）1256．若实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-≤-020102y x y x ，则目标函数y x t 2-=的最大值为（ ）A ． 1-B ．0C ．1D ．257．若实数x ，y 满足4024020+-⎧⎪--⎨⎪-+⎩x y x y x y ………，则目标函数23=+z x y 的最大值为（ ）A ．11B ．24C ．36D ．49⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x 23a b +3831162558．已知 ， 满足约束条件则目标函数 的最大值为（ ）A ．1B ．3C ．D ．59．已知实数,x y 满足不等式组2010220x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩，，，则z x y =+的取值范围为（ ）A ．[]1,2-B ．[]13，C ．[]1,3-D ．[]2,460．设变量x ，y 满足约束条件00220x x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩则z ＝3x －2y 的最大值为A ．4B ．2C ．0D ．661．已知实数x 、y 满足约束条件1,1,2 2.x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩则目标函数25y z x +-=的最大值为A ．3B ．4C ．3-D ．-1262．不在不等式623<+y x 所表示的平面区域内的点是（ ） A ．)0,0( B ．)1,1( C ．)2,0( D ．)0,2(二、填空题63．设不等式组2000x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一点P ，则点P 落在圆221x y +=内的概率为 ．64．已知,x y 满足14210x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪--≤⎩，则2z x y =+的最大值为 ．65．已知方程220x ax b ++=(,)a R b R ∈∈，其一根在区间(0,1)内，另一根在区间(1,2)内，则31b a --的取值范围为 ． 66．设x ，y 满足， ，若 ，则m 的最大值为 ．67．设x ，y 满足约束条件则z ＝x ＋4y 的最大值为________．68．直线01-22=-+a y ax 与不等式组2040220x y x y x y -+-≤⎧⎪+-≤⎨⎪-+≤⎩表示的区域没有．．公共点，则a 的取值范围是 ．69．已知变量x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≤+-104034x y x y x ， xy y x 22+的取值范围为 ．70．设变量x ，y 满足则x ＋2y的最大值为 71．已知变量x 、y 满足约束条件 则的取值范围是 ．72．已知实数对（x ，y ）满足210x y x y ≤⎧⎪≥⎨⎪-≥⎩，则2x y +的最小值是 ．73．设变量y x ，满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≤-,2,2,1y y x y x 则目标函数22y x z +=的取值范围是 ．74．已知实数y x ,则 22222)(y x y y x +++的取值范围为 ． 75．若实数满足则的取值范围是 ．76．已知0m >，实数,x y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥,,0,0m y x y x 若2z x y =+的最大值为2，则实数m =______．77．设2z x y =-+，实数,x y 满足2,{1, 2.x x y x y k ≤-≥-+≥若z 的最大值是0，则实数k =_______， z 的最小值是_______．78．给出平面区域如图所示，其中若使目标函数仅在点处取得最大值，则的取值范围是________．79．设实数x ，y 满足约束条件202x y y x -≥⎧⎪⎨≥-⎪⎩，则2z x y =+的最大值为 ． 80．设,x y 满足约束条件1{10 1x y x x y +≤+≥-≤，则目标函数2y z x =-的取值范围为___________． 81．设实数,x y 满足,102,1,x y y x x ≤⎧⎪≤-⎨⎪≥⎩向量2,x y m =-()a ，1,1=-()b ．若// a b ，则实数m 的最大值为 ．82．已知实数x ，y 满足220,220,130,x y x y x y --≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩则z xy =的最大值为 ．83．已知变量,x y 满足240{2 20x y x x y -+≥≤+-≥,则32x y x +++的取值范围是 ． 84．设x ，y 满足约束条件1210,0≤+⎧⎪≥-⎨⎪≥≥⎩y x y x x y ，若目标函数()0,0z abx y a b =+>>的最大值为35， 则a b +的最小值为 ．85．若x y ，满足约束条件1020,220,x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，，则2z x y =+的最大值为____________．86．若,x y 满足约束条件：1020,220,x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，，则3x y +的最大值为___ ____．87．已知x 、y 满足，则 的最大值是___________ ．88．已知变量,x y 满足约束条件13,1,x y y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩，若z kx y =+的最大值为5，且k 为负整数，则k =____________．89．已知不等式表示的平面区域为 ，若直线 与平面区域 有公共点，则 的范围是_________90．已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-1002x y x y x 则y x z +=2的最小值为__________．91．若点（2，1）和（4，3）在直线230x y a -+= 的两侧，则a 的取值范围是____________．92．设变量x ，y 满足约束条件3{ 1 1x y x y y +≤-≥-≥，则2z x y =-的最小值为93．设变量y x ,满足约束条件22024010x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则y x z 23+-=的最大值为 ．94．已知实数 满足，则的取值范围是__________．95．已知变量x ，y 满足约束条件22,24,41,x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩则目标函数33z x y =-+的最大值是 ．96．已知实数x ，y 满足约束条件则 的最大值等于______．97．设1,m >在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数5z x y =+的最大值为4，则m 的值为 ，目标函数y x z -=2的最小值为________．三、解答题98．画出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x 表示的平面区域99．（本小题12分）已知⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥+-0520402y x y x y x ， 求（Ⅰ）12++=x y z 的取值范围; （Ⅱ）251022+-+=y y x z 的最小值．100．（本小题12分）已知y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥+-0520402y x y x y x ，求（1）y x z 2+=的最大值；（2）251022+-+=y y x z 的最小值．参考答案1．A【解析】试题分析：作出x y ，满足约束条件下的平面区域，如图所示，由图当目标函数2z x y =-经过点(0,4)A 时取得最小值，且min 044z =-=-，故选A ．考点：简单的线性规划问题．2．A ．【解析】试题分析：若4320x y x y x y +≥-⇒+≥：4z x y =+，如下图所示，画出不等式组所表示的可行域，∴当2x y ==时，m a x 10z =，当2x =-，1y =时，m i n 7z =-；若432x y x y x y+<-⇒+<： 3z x y =-，画出不等式所表示的可行域，∴当2x =，2y =-时，max 8z =，当2x =-，1y =时，min 7z =-，综上，z 的取值范围是[7,10]-，故选A ．考点：线性规划的运用．3．D【解析】试题分析：∵向量()3,2a =， ()b x y =，，∴·32a b x y =+，设z=3x+2y ， 作出不等式组对于的平面区域如图：由z=3x+2y ，则322z y x =-+，平移直线322z y x =-+，由图象可知当直线322z y x =-+， 经过点B 时，直线322z y x =-+的截距最大，此时z 最大，由{ 21x yx y =-=，解得1{ 1x y ==，即B （1，1），此时zmax=3×1+2×1=5， 经过点A 时，直线322z y x =-+的截距最小，此时z 最小， 由{ 221x y x y =+=，解得14{ 14x y ==，即A 11,44⎛⎫ ⎪⎝⎭，此时zmin=3×14+2×14=54，则54≤z≤5 考点：简单线性规划4．B【解析】试题分析：在直角坐标系中作出可行域如下图所示，当目标函数y x z +=2经过可行域中的点)1,1(B 时有最大值3，当目标函数y x z +=2经过可行域中的点),(a a A 时有最小值a 3，由a 343⨯=得41=a ，故选B ．考点：线性规划．5．C【解析】试题分析：画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点 取得最大值为 .考点：线性规划．6．A【解析】试题分析：作出可行域如图， ()2201,4840x y A x y -+=⎧⇒⎨--=⎩，当目标函数11(0,0)z x y a b a b=+>>过点()1,4A 时纵截距最大，此时z 最大．即()142,0,0a b a b+=>>．()1141419552222a b a b a b a b b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=++=++≥= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当4b a a b =，即322a b ==时取''''=．故选A ． 考点：1线性规划；2基本不等式．7．B【解析】试题分析：由z ax y =+得，y ax z =-+，直线y ax z =-+是斜率为,a y -轴上的截距为z 的直线，作出不等式组对应的平面区域如图：则()()1,1,2,4,A B z ax y =+的最大值为24a +，最小值为1a +∴直线z ax y =+过点B 时，取得最大值为24a +，经过点A 时取得最小值为1a +，若0a =，则y z =此时满足条件，若0a >则目标函数斜率0k a =-<，要使目标函数在A 处取得最小值，在B 处取得最大值，则目标函数的斜率满足1BC a k -≥=-，即01a <≤，若0a <，则目标函数斜率0k a =->要使目标函数在A 处取得最小值，在B 处取得最大值，则目标函数的斜率满足2AC a k -≤=，即20a -≤<，综上21a -≤≤；故选B ．考点：简单的线性规划8．C【解析】试题分析：由题意作出其平面区域将z=y-x 化为y=x+z ，z 相当于直线y=x+z 的纵截距，则由平面区域可知，使目标函数z=y-x 取得最小值-4的最优解为（4，0）；考点：简单线性规划问题9．B【解析】试题解析：当直线y ax z +=平移到点()1,1--B 时有最大值，此时应满足431-=⇒=--a a ；当直线y ax z +=平移到点()1,2-B 时有最大值，此时应满足2312=⇒=-a a ．考点：线性规划的应用．10．B【解析】试题分析：可用特殊值法．代入点可知满足不等式，故点所在区域即为所求．考点：二元一次不等式表示平面区域．11．D【解析】试题分析：由题意可知，，令目标函数 ，作出不等式组表示的平面区域，如图所示，由图知，当目标函数 经过点 时取得最大值，最大值为 ，故选D ．考点：简单的线性规划问题．12．A【解析】试题分析：依题意知，不等式表示的平面区域如图所示的三角型ABC 及其内部且A （2，2）、C （2，4-c ）．目标函数可看作是直线在y 轴上的截距，显然当直线过点C 时，截距最小及z 最小，所以解得，此时B （3，1），且直线过点B 时截距最大，即z 最大，最大值为．故选A ．考点：线性规划求最值．【方法点睛】线性规划求最值和值域问题的步骤：（1）先作出不等式组表示的平面区域；（2）将线性目标函数看作是动直线在y 轴上的截距；（3）结合图形看出截距的可能范围即目标函数z 的值域；（4）总结结果．另外，常考非线性目标函数的最值和值域问题，仍然是考查几何意义，利用数形结合求解．例如目标函数为可看作是可行域内的点（x ，y ）与点（0，0）两点间的距离的平方；可看作是可行域内的点（x ，y ）与原点（0，0）连线的斜率等等． 13．A 【解析】试题分析：由约束条件作出可行域，求出使可行域面积为2的a 值，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合可得最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．2240{0y x x a-≤≤≤作出可行域如图, 由图可得22A a a B a a -（，），（，），1421122OAB S a a a B ∆=⨯⨯=∴=∴，，（，），目标函数可化为122z y x =-+，∴当122zy x =-+，过A 点时，z 最大，z=1+2×2=5，故选A ．考点：简单的线性规划14．C【解析】试题分析：如图，不等式组表示的平面区域是△AOB，动直线x+y=a（即y=-x+a）在y轴上的截距从-2变化到1．知△ADC是斜边为3的等腰直角三角形，△EOC是直角边为1等腰直角三角形，所以区域的面积13173112224 ADC EOCS S S∆∆=-=⨯⨯-⨯⨯=考点：二元一次不等式（组）与平面区域视频15．C【解析】试题分析：因为，所以在中，，因为，而函数在上是减函数，所以当最小时最大，因为为增函数则此时最大。
高中数学简单线性规划习题专项练习
一、选择题1．在平面直角坐标系中，若点(－2，t)在直线x－2y＋4＝0的上方，则t的取值范围是() A． (－∞， 1)B． (1，＋∞)C． (－ 1，＋∞ )D． (0,1)[答案 ]B[分析 ]∵点O(0,0)使x－2y＋4>0建立，且点O 在直线下方，故点(－ 2，t)在直线 x－ 2y＋ 4＝0的上方－ 2 －2t ＋4<0，∴ t>1.2.)若 2m＋ 2n<4，则点 (m， n) 必在 ()A．直线 x＋ y－ 2＝ 0 的左下方B．直线 x＋ y－ 2＝ 0 的右上方C．直线 x＋ 2y－ 2＝ 0 的右上方D．直线 x＋ 2y－ 2＝ 0 的左下方[答案 ]A[分析 ]∵ 2m＋2n≥22m＋n，由条件2m＋2n<4 知，2 2m＋n<4 ，∴ m＋ n<2，即 m＋ n－2<0，应选 A.x≥03．不等式组x＋ 3y ≥4所表示的平面地区的面积等于()3x＋ y≤4[分析 ]x＋ 3y＝ 4得 A(1,1)，易得 B(0,4)，C 0，4，平面地区如图．解33x＋ y＝ 448|BC| ＝ 4－3＝3.184.∴S△ABC＝× ×1＝323x＋ y≥24 不等式组2x－ y≤4所围成的平面地区的面积为()x－ y≥0A． 32B． 62C． 6D． 3[答案 ]D[分析 ]不等式组表示的平面地区为图中Rt△ ABC，易求B(4,4)， A(1,1)， C(2,0)∴S△ABC＝S△ OBC－S△AOC1 1＝× 2×4－× 2×1＝3.2 2y≤x5 设变量 x， y 知足拘束条件x＋ y≥2，则目标函数z＝2x＋ y 的最小值为 ()y≥ 3x－ 6A． 2B． 3C． 5D． 7[答案 ]By≤x[ 分析 ]在座标系中画出拘束条件x＋ y≥2所表示的可行域为图中△ABC，此中A(2,0)，y≥ 3x－ 6B(1,1)，C(3,3)，则目标函数z＝ 2x＋y 在点 B(1,1)处获得最小值，最小值为 3.6.已知 A(2,4) ，B(－ 1,2)，C(1,0)，点 P(x， y)在△ ABC 内部及界限运动，则z＝ x－ y 的最大值及最小值分别是 ()A．－ 1，－ 3B． 1，－ 3C． 3，－ 1D． 3,1[分析 ] 当直线 y＝ x－ z 经过点 C(1,0)时， zmax＝ 1，当直线 y＝ x－z 经过点 B(－ 1,2)时， zmin＝－ 3. [答案 ] B7(xOy AOB x 0 y 0,2x 3y 30则△ AOB 内部和边上整点(即坐标均为整数的点)的总数为()A． 95B． 91C． 88D． 75[答案 ]B[分析 ]由2x＋3y＝30知，y＝0时，0≤ x≤，15有16个；y＝1 时， 0≤ x≤；13y＝ 2 时， 0≤ x≤；12y＝3 时， 0≤ x≤；10y＝ 4 时， 0≤ x≤9；y＝5 时，0≤ x≤7；y＝ 6 时， 0≤ x≤6；y＝7 时， 0≤ x≤4；y＝8 时， 0≤ x≤3；y＝9 时， 0≤ x≤1，y＝10 时， x＝0.∴共有 16＋ 14＋13＋ 11＋ 10＋ 8＋ 7＋ 5＋ 4＋2＋ 1＝ 91 个．8．某公司生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用 A 原料3 吨， B 原料 2 吨；生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨， B 原料 3 吨，销售每吨甲产品可获取收益 5 万元，每吨乙产品可获取收益 3 万元．该公司在一个生产周期内耗费 A 原料不超出13 吨， B 原料不超出18吨．那么该公司可获取最大收益是()A． 12万元B． 20万元C． 25万元D． 27万元[答案 ]D[分析 ]设生产甲、乙两种产品分别为x吨， y 吨，3x＋y≤ 132x＋3y ≤ 18由题意得，x≥0y≥0获收益ω＝5x＋ 3y，画出可行域如图，3x＋ y＝13，解得 A (3,4)．由2x＋ 3y＝ 1852，∴当直线 5x＋3y＝ω经过 A 点时，ωmax＝ 27.∵－ 3<－ <－33x－ y＋ 6≥0． (文 )(2010 山·东省实验中学)已知实数 x， y 知足 x＋ y≥0，若 z＝ ax＋ y 的最大值为 x≤33a＋ 9，最小值为A． a≥ 1C．－ 1≤ a≤ 13a－ 3，则实数 a 的取值范围为B． a≤－ 1D． a≥1或 a≤－1()[答案 ]C[分析 ] 作出可行域如图中暗影部分所示，则 z 在点 A处获得最大值，在点 C处获得最小值．又kBC＝－ 1， kAB＝ 1，∴－ 1≤－ a≤1，即－ 1≤ a≤ 1.x＋ 4y－13≥010.已知变量 x， y 知足拘束条件2y－ x＋1≥0，且有无量多个点 (x，y)使目标函数z＝ x＋x＋ y－ 4≤0my 获得最小值，则m＝ ()A．－ 2B．－ 1C． 1D． 4[答案 ] C[分析 ]由题意可知，不等式组表示的可行域是由A(1,3)， B(3,1)， C(5,2)构成的三角形及其内部部分．当z＝ x＋ my 与 x＋y－4＝ 0 重合时知足题意，故m＝ 1.11.当点 M(x ， y)在以下图的三角形ABC 地区内 (含界限 )运动时，目标函数z＝ kx＋ y 获得最大值的一个最优解为(1,2)，则实数k 的取值范围是()A． (－∞，－ 1] ∪[1，＋∞)B． [－ 1,1]C． (－∞，－ 1)∪ (1，＋∞)D． (－ 1,1)[答案 ]B[分析 ]由目标函数z＝kx＋ y 得 y＝－ kx＋ z，联合图形，要使直线的截距z 最大的一个最优解为 (1,2)，则 0≤－ k≤kAC≤1或 0≥－k≥kBC＝－ 1，∴ k∈[ － 1,1] ．y≥x12 已知 x、y 知足不等式组x＋ y≤2，且 z＝ 2x＋ y 的最大值是最小值的 3 倍，则 a＝ ()x≥aA． 0D． 1[答案 ] B[分析 ]依题意可知a<1.作出可行域以下图，z＝2x＋ y 在 A 点和 B 点处罚别获得最小值和最大值．x＝ a由得 A(a， a)，y＝ xx＋ y＝ 2由得 B(1,1)，x＝ y1∴z max＝ 3， zmin＝3a.∴ a＝3.y≥013(理 )已知实数 x， y 知足 y≤ 2x－ 1 ，假如目标函数 z＝ x－ y 的最小值为－ 1，则实数 m x＋y≤m等于 ()A． 7B． 5C． 4D． 3[答案 ]B[分析 ]画出x，y知足条件的可行域以下图，可知在直线y＝2x－ 1 与直线 x＋ y＝ m 的交点 A 处，目标函数z＝ x－y 获得最小值．y＝ 2x－1由，x＋ y＝ mm＋1x＝3解得，2m － 1y＝3即点 A 的坐标为m＋ 1， 2m－1.33将点 A 的坐标代入 x－ y＝－ 1，得m＋1－2m－1＝－ 1，即 m＝5.应选 B.33二、填空题x－ y≥014．设变量 x， y 知足拘束条件x＋ y≤1，则目标函数z＝ 2x＋ y 的最大值为 ________．x＋ 2y ≥1[答案 ]2[分析 ]可行域为图中暗影部分△ABC，明显当直线2x＋ y＝ z 经过可行域内的点A(1,0)时， z 取最大值， zmax＝ 2.15．毕业庆典活动中，某班团支部决定组织班里48 名同学去水上公园坐船赏析景色，支部先派一人去认识船只的租金状况，看到的租金价钱以下表，那么他们合理设计租船方案后，所付租金最少为___ _____元 .船型每只船限载人数租金 (元 / 只 )大船512小船38[答案 ]116[分析 ]设租大船 x 只，小船 y 只，则 5x＋ 3y ≥ 48，租金 z＝ 12x＋ 8y，作出可行域如图，53＋ 8y经过点 ,0)时， z 取最小值，但x， y∈ N，∵－ <－，∴当直线 z＝12x32∴当 x＝ 9，y＝ 1 时， zmin＝ 116.x≥1， y≥116 已知 M、 N 是不等式组x－ y＋1≥0所表示的平面区域内的不一样两点，则 |MN| 的最大x＋ y≤6值是 ________．[答案 ]17[分析 ]不等式组所表示的平面地区如图中暗影部分(包含界限)所示，由图形易知，点D(5,1)与点 B(1,2)的距离最大，因此 |MN| 的最大值为17.17. ( 理 )假如直线 y ＝ kx ＋ 1 与圆 x2＋ y2＋ kx ＋ my － 4＝ 0 订交于 M 、 N 两点，且 M 、 N 对于kx － y ＋ 1≥0直线 x ＋ y ＝ 0 对称，点 P(a ， b) 为平面地区kx － my ≤0 内随意一点，则 b ＋1的取值范围a － 1y ≥0是________．[答案 ]－ 1，－ 12[分析 ] ∵直线 y ＝ kx ＋ 1 与圆 x2＋ y2＋ kx ＋ my － 4＝ 0 订交于 M 、N 两点，且 M 、 N 对于 xk m＋y ＝0 对称，∴ y ＝kx ＋ 1 与 x ＋y ＝ 0 垂直，∴ k ＝ 1，而圆心在直线 x ＋ y ＝0 上，∴－ 2＋ － 2 ＝0，∴ m ＝－ 1，∴作出可行域以下图，而b ＋ 1表示点 P(a ，b)与点 (1，－ 1)连线的斜率，a － 10＋ 1 1∴kmax ＝ － 1－ 1＝－ 2， kmin ＝－ 1，1 ∴所求取值范围为－1，－ 2 .x ≤ my ＋ n18．若由不等式组x － 3y ≥0 (n>0) 确立的平面地区的界限为三角形，且它的外接圆的圆 y ≥0心在 x 轴上，则实数 m ＝ ________.[答案 ]3－3[分析 ]依据题意，三角形的外接圆圆心在x 轴上，∴OA 为外接圆的直径，∴直线 x＝ my＋ n 与 x－3y＝ 0 垂直，∴1×1＝－ 1，即 m＝－3.m33x219. 若 x、 y 满足约束条件y2，则 z=x+2y的取值范围是x y2A 、 [2,6]B、 [2,5]C、 [3,6]D、（ 3,5]y 解：如图，作出可行域，作直线 l ： x+2y ＝ 0 ，将l 向右上方平移，过点 A （ 2,0）时，有最小值22 ，过点 B （ 2,2 ）时，有最大值 6 ，故选 AO2x y 6020. 不等式组x y 3 0表示的平面区域的面积为y 2（）（）By =2A2xx+ y =2 x=2yA、 4B、 1C、 5D、无穷大解：如图，作出可行域，△ ABC 的面积即为所求，由梯形OMBC的面积减去梯形O MAC的面积即可，选B x＋y –3 = 0By =2M AO C x2x + y –6= 0 =521. 、满足 |x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（）A 、 9 个B、 10 个C、 13 个D、 14 个x y2(x0, y0)解： |x|x y2(x0, y p 0)＋ |y| ≤2等价于y2(x p 0, y0)xx y2( x p 0, y p 0)作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为 13 个，选 Dx y522. 已知 x 、 y 满足以下约束条件x y 5 0 ，使z=x+ay(a>0)取x3yO x得最小值的最优解有无数个，则 a 的值为（）A、－ 3 B 、 3C、－ 1D、 1解：如图，作出可行域，作直线 l ： x+ay ＝ 0 ，要使目标函数 z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将 l 向右上方平移后与直线 x+y ＝ 5 重合，故a=1 ，选 D23 已知x 、y满足以下约束条件2x y20x 2 y40，则 z=x 2 +y 2的最大值和3x y 30最小值分别是（）A 、 13 ， 1B 、 13 ， 2C、 13 ，4D、13，2 5 55jie ：如图，作出可行域 ,x 2 +y 2是点（ x ， y ）到原点的距离的平方，故最大值为点 A（ 2,3 ）到原点的距离的平方，即 |AO|2 =13 ，最小值yAOxx –2y + 4 = 02x + y - 2= 0 = 3x –y –3 = 05为原点到直线 2x ＋ y － 2=0的距离的平方，即为4，选 C 524. 已知 |2x － y ＋ m|＜ 3表示的平面区域包含点（ 0,0）和（－ 1,1 ），则 m的取值范围是（）A 、（ -3,6 ）B 、（ 0,6 ）C、（ 0,3）D、（ -3,3）y2x y m302x –y + 3 = 0解： |2x － y＋ m| ＜ 3 等价于2x y m302x –y = 0m33, 故 0 ＜ m ＜ 3，选 C由右图可知m 3 0O2x y3025.已知x, y知足不等式组2x3y60 ，求使 x y 取最3x5y150大值的整数 x, y ．y 解：不等式组的解集为三直线l1：2x y30 ，l2：A 2x 3y 6 0 ，l3：3x 5 y 150 所围成的三角形内部（不O含界限），设 l1与 l2， l1与l3， l2与l3交点分别为A, B, C ，则BA, B,C 坐标分别为 A(15,3) ， B(0,3) ， C (75,12)，841919作一组平行线 l ： x y t 平行于l0：x y0 ，当l往 l0右上方挪动时，l1l3Cxl 2t随之增大，∴当 l 过 C 点时 x y 最大为63，但不是整数解，又由0 x75知 x 可取 1,2,3 ，1919当 x1时，代入原不等式组得y 2 ，∴ x y1；当x2时，得 y0 或1，∴x y2或；1当 x3时， y1，∴ x y 2 ，故x y的最大整数解为x2x3．y0或1y2x y226.设变量 x、y 知足拘束条件x y 1 ，则z 2 x 3 y 的x y1最大值为。
高中数学线性规划练习题
高中数学线性规划练习题一、选择题 1．不在x+y A． A．m＜－7或m＞24 B． B．－7＜m＜24C． C．m＝－7或m＝24D．D．－7≤m≤42．已知点和点在直线x–2y + m = 0 的两侧，则3．若?x?2，则目标函数 z = x + y 的取值范围是y?2,x?y?2??A．[，6]B． [2，5]C． [3，6]D． [3，5] D．矩形D．3，－14．不等式???0表示的平面区域是一个0?x?3?B．直角三角形C．梯形A．三角形5．在△ABC中，三顶点坐标为A，B，C，点P在△ABC 内部及边界运动，则 z= x – y 的最大值和最小值分别是A．3，1B．－1，－3２C．1，－36．在直角坐标系中，满足不等式 x－y2≥0 的点的集合的是AB CD．不等式x?y?3表示的平面区域内的整点个数为．不等式|2x?A．?2A． 13个 B． 10个 C． 14个D． 17个y?m|?3表示的平面区域包含点和点,则m的取值范围是 B．0?m??m?C．?3?m?D．0?m?39．已知平面区域如右图所示，z?mx?y1 A．B．?C． D．不存在2202010．如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是y??2y??2??y??2y??2????A．? B．3x?2y?6?0 C．? D．3x?2y?6?0 ???3x?2y?6?0?3x?2y?6?0????x?0x?0x?0x?0????二、填空题x?y?5?011．已知x，yx?y?0，则z?4x?y的最小值为______________．x?312．某电脑用户计划用不超过500元的资金购买单价分别为60元，70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要软件至少买3件，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有______________种. 1?x?2y?8813．已知约束条件?，目标函数z=3x+y，某学生求得x=8， y=时，zmax=32，这显然不合要求，正2x?y?8?333?x?N?,y?N??确答案应为x=; y= ; zmax. 14．已知x，y满足??x?2y?5?0，则?x?1,y?0?x?2y?3?0?y的最大值为___________，最小值为____________． x三、解答题15．由y?2及x?y?x?1围成的几何图形的面积是多少? 16．已知a?,当a为何值时，直线l1:ax?2y?2a?4与l2:2x?a2y?2a2?4及坐标轴围成的平面区域的面积最小？17．有两种农作物，可用轮船和飞机两种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机运输效果如下:在一天内如何安排才能合理完成运输2000吨小麦和1500吨大米的任务？?0?x?118．设z?2y?2x?4，式中变量x,y满足条件? ?0?y?2，求z的最小值和最大值．?2y?x?1?19．某家俱公司生产甲、乙两种型号的组合柜，每种柜的制造白坯时间、油漆时间及有关数据如下：问该公司如何安排甲、乙二种柜的日产量可获最大利润，并且最大利润是多少？20．某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少送180t支援物资的任务.该公司有8辆载重为6t的A型卡车与4辆载重为10t的B型卡车，有10名驾驶员；每辆卡车每天往返的次数为A型卡车4次，B型卡车3次；每辆卡车每天往返的成本费A型车为320元，B型车为504元.请你们为该公司安排一下应该如何调配车辆，才能使公司所花的成本费最低？若只调配A型或B型卡车，所花的成本费分别是多少？2参考答案一．选择题二．填空题11． ?12.512． 13．3，2，11 14．，0 三、解答题 15．[解析]：如下图由y?2及x?y?x?1围成的几何图形就是其阴影部分，且S?16．[解析]：设轮船为x艘、飞机为y架，则可得?5x?2y?30，目标函数z=x+y，作出可行域，利用?x,y?0,x,y?N8?图解法可得点A可使目标函数z=x+y最小，但它不是整点，调整为B．3答：在一天内可派轮船7艘，不派飞机能完成运输任务． 18．?0?x?1[解析]：作出满足不等式?0?y?2??2y?x?1?31?0`作直线l1:2y?2x?t,当l经过A时，zmax?2?2?2?0?4?8. 当l经过B时，zmin?2?1?2?1?4?4.19．[解析]：设x，y分别为甲、乙二种柜的日产量，可将此题归纳为求如下线性目标函数Z=20x+24y的最大值.其中 6x?12y?120线性约束条件为x?4y?64，由图及下表x?0,y?0Z=27 答：该公司安排甲、乙二种柜的日产量分别为4台和8台可获最大利润272元.0司所花的成本为z元，则?0?x?8,x?N?0?y?4,y?N?目标函数z=320x+504y，?x?y?10??6?4x?10?3y?180??x,y?N?作出可行域，作L：320x+504y=0, 可行域内的点E点可使Z最小，但不是整数点，最近的整点是即只调配A型卡车，所花最低成本费z=320×8=2560；若只调配B型卡车，则y无允许值，即无法调配车辆．4高中数学线性规划题库满分:班级：_________ 姓名：_________ 考号：_________一、单选题1.已知变量x,y满足约束条件则z=3x+y的最大值为A．1 B．11 C． D．-12.若满足则的最大值为A． B．- C．1 D．-13.设变量x, y满足约束条件A． B．则目标函数z=3x-y的取值范围是C．[-1,6]D．则2x+3y的最大值为.设变量x, y满足A．20B．35C．D．555.已知变量A．满足约束条件，则的最大值为 B． C． D． 6.设变量x，y满足的最大值为A．B． C． D．7.已知满足约束条件，则目标函数的最大值是A．9B．10 C．1 D．208.若变量x, y满足约束条件则z=2x+y的最大值和最小值分别为 A．4和B．4和 C．3和 D．2和09.已知函数的取值范围是A． B．为常数), 当时取得极大值, 当时取极小值,则 C． D．10.设变量ｘ，ｙ满足约束条件,则目标函数的最小值为 A．- B．- C．- D．311.设x, y满足约束条件则z=2x-3y的最小值是A．- B．- C．- D．-312.设，满足约束条件大值为，若目标函数的最小值为2，则的最A．1 B． C． D．13.设x，y满足的约束条件，则的最大值为A． B． C． D．114.设变量，满足约束条件则目标函数的最小值为A． B． C． D．515.若满足且的最小值为-4，则的值为A． B． C． D．且的最小值为7，则 16.设，满足约束条件A．- B． C．-5或 D．5或-317.A．满足约束条件，若的值为 B． C．2或1 D． 18.若变量M-m=满足约束条件的最大值和学科网最小值分别为M和m，则A． B． C． D．519.设变量满足约束条件则目标函数的最小值为A． B． C． D．520.设x,y满足A．有最小值2，最大值 B．有最小值2，无最大值C．有最大值3，无最小值 D．既无最小值，也无最大值21.若x、y满足约束条件的取值范围是，目标函数z=ax+2y仅在点处取得最小值，则aA． B． C．22.在平面直角坐标系中，若不等式组2，则的值为A．为常数）所表示的平面区域的面积等于 B．1 C． D．3所表示的平面区域的面积等于3.不等式组A． B． C． D．24.若不等式组值是所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则的A． B． C． D．25.已知是坐标原点，点的取值范围是A．若点为平面区域上的一个动点，则 B． C． D． 26.设，在约束条件下，目标函数z=x+my的最大值小2，则m的取值范围为A． B． C． D．二、填空题27.设满足约束条件，则目标函数最大值为_________.28.若实数满足则目标函数的最小值为_______________.29.设x，y满足约束条件为．，向量，且//，则m 的最小值30.不等式组取值范围是______. 对应的平面区域为D，直线y＝k 与区域D有公共点，则k的31.设变量x,y满足约束条件则目标函数z=的最大值为_______。
高考数学复习简单的线性规划问题专题训练(含答案)
高考数学复习简单的线性规划问题专题训练（含答案）线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支。
以下是查字典数学网整理的简单的线性规划问题专题训练，请考生练习。
一、填空题1.(2019 广东高考改编 )若变量 x，y 满足约束条件，则 z=2x+y 的最大值等于 ________.[ 解析 ] 作出约束条件下的可行域如图 (阴影部分 )，当直线y=-2x+z 经过点 A(4,2) 时， z 取最大值为 10. [答案 ] 102.(2019 扬州调研 ) 已知 x，y 满足约束条件则z=3x+4y 的最小值是 ________.[ 解析 ] 可行区域如图所示.在 P 处取到最小值 -17.5.[ 答案 ] -17.53.已知实数 x，y 满足若 z=y-ax 取得最大值时的最优解 (x ，y)有无数个，则 a=________.[ 解析 ] 依题意，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，如图所示.要使 z=y-ax 取得最大值时的最优解(x ，y)有无数个，则直线 z=y-ax 必平行于直线 y-x+1=0 ，于是有 a=1. [答案]14.(2019 山东高考改编 )在平面直角坐标系xOy 中， M 为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为________.[ 解析 ] 线性约束条件表示的平面区域如图所示( 阴影部分 ).由得 A(3 ， -1).当 M 点与 A 重合时， OM 的斜率最小， kOM=-.[答案]-5.(2019 陕西高考改编 )若点 (x， y)位于曲线 y=|x| 与 y=2 所围成的封闭区域内，则 2x-y 的最小值是 ________.[ 解析 ] 曲线 y=|x| 与 y=2 所围成的封闭区域如图阴影部分所示.当直线 l：y=2x 向左平移时， (2x-y) 的值在逐渐变小，当l 通过点 A(-2,2) 时， (2x-y)min=-6.[答案 ] -66.已知点 P(x ，y) 满足定点为A(2,0) ，则 ||sinAOP(O 为坐标原点)的最大值为 ________.[ 解析 ] 可行域如图阴影部分所示，A(2,0) 在 x 正半轴上，所以 ||sinAOP 即为 P 点纵坐标 .当 P 位于点 B 时，其纵坐标取得最大值.[答案 ]7.(2019 兴化安丰中学检测)已知不等式组表示的平面区域S的面积为 4，若点 P(x，y)S，则 z=2x+y 的最大值为 ________.[ 解析 ] 由约束条件可作图如下，得 S=a2a=a2，则 a2=4，a=2，故图中点 C(2,2) ，平移直线得当过点 C(2,2) 时 zmax=22+2=6. [答案]68.(2019 江西高考 )x ，yR，若 |x|+|y|+|x-1|+|y-1|2 ，则 x+y 的取值范围为 ________.[ 解析] 由绝对值的几何意义知，|x|+|x-1|是数轴上的点x 到原点和点 1 的距离之和，所以 |x|+|x-1|1 ，当且仅当 x[0,1] 时取 =. 同理 |y|+|y-1|1，当且仅当 y[0,1] 时取 =.|x|+|y|+|x-1|+|y-1|2.而 |x|+|y|+|x-1|+|y-1|2 ，|x|+|y|+|x-1|+|y-1|=2 ，此时， x[0,1] ，y[0,1] ， (x+y)[0,2].[ 答案 ] [0,2]二、解答题9.(2019 四川高考改编 )某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克，B 原料 2 千克 ;生产乙产品1桶需耗 A原料 2千克，B原料 1千克 .每桶甲产品的利润是 300 元，每桶乙产品的利润是 400元 .公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗 A 、 B 原料都不超过 12千克 .通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，试求公司共可获得的最大利润.[ 解 ] 设生产甲产品x 桶，乙产品y 桶，每天利润为z元，则且 z=300x+400y.作出可行域，如图阴影部分所示.作直线 300x+400y=0 ，向右上平移，过点 A 时，z=300x+400y 取最大值，由得 A(4,4) ，zmax=3004+4004=2 800.故公司共可获得的最大利润为 2 800 元.10.(2019 安徽高考改编 )已知实数x， y 满足约束条件(1)求 z=x-y 的最小值和最大值;(2)若 z=，求 z 的取值范围 .[ 解 ] 作约束条件满足的可行域，如图所示为ABC 及其内部 .联立得 A(1,1).解方程组得点B(0,3).(1)由 z=x-y ，得 y=x-z.平移直线 x-y=0 ，则当其过点 B(0,3) 时，截距 -z 最大，即 z 最小 ;当过点 A(1,1) 时，截距 -z 最小，即 z 最大 .zmin=0-3=-3;zmax=1-1=0.(2)过 O(0,0) 作直线 x+2y=3 的垂线 l 交于点 N.观察可行域知，可行域内的点 B 、N 到原点的距离分别达到最大与最小 .宋以后，京所小学和武学堂中的教称皆称之“教”。
高中数学线性规划练习题(含详细解答)
x0 7.若 x, y 满足约束条件： x 2 y 3 ；则 x y 的取值范围为 _____ . 2 x y 3
8．约束条件
2 x y 4 ，则目标函数 z=3x－y 的取值范围是 4 x y 1 3 ，6] 2
B．[
A． [
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X 2Y 12 2 X Y 12 由已知， 得 Z=300X+400Y， 且 ， 画可行域如图所示， X 0 Y 0 3 z 目标函数 Z=300X+400Y 可变形为 Y= x 4 400
这是随 Z 变化的一族平行直线，解方程组
2 2
C
6
D
4 4
（ ）
12.若实数 x、y 满足 A.(0,1)
x y 1 0 y , 则 的取值范围是 x x0
B. 0,1 C.(1,+ )
D. 1,
c ln b ≥ a c ln c ，则 b， c 满足： 5c 3a ≤ b ≤ 4c a ， 13. 已知正数 a ，
A．20 B．35 C．45 D．55
x y 1 0 3．若 x, y 满足约束条件 x y 3 0 ，则 z 3x y 的最小值为 x 3y 3 0
4. 设函数 f ( x )
。
ln x, x 0 ， D 是由 x 轴和曲线 y f ( x ) 及该曲线在点 (1, 0) 处的切线所围成的封 2 x 1, x 0
x y 50, 1.2 x 0.9 y 54, 线性约束条件为 x 0, y 0.
x y 50, 4 x 3 y 180, 即 x 0, y 0.
(整理版)高中学习资料线性规划习题1(2)
线性规划习题
(1)指出三个可行解．
(2)画出可行域．
(3)函数z=3x＋2y能否同时有最大值和最小值．
(4)求最优解及z的最大最小值．
(5)若将约束条件中的“x≤3”改为“x≥3”，其它不改变，函数z=3x＋2y能否同时有最大值和最小值．
2．求z=x＋y的最小值，使式中的x，y满足约束条件：
3．求z=2x＋y的最大值和最小值，使式中的x，y满足约束条件： 4．已知x，y满足不等式组：
求f(x，y)=x－2y的最值．
5．变量x，y满足条件：
线性规划习题答案
1．(1)在直线x=3上找可行解得(3，1)、(3，2)、(3，6)． (3)可行域为封闭区域，z能取得最大值和最小值．
(5)不能．因可行域不封闭．
3．最优解(1，1)和(4，8)
z最大=16，z最小=3．
5．作出可行域，如图
的斜率．
显然OA的斜率最大，OB的斜率最小，
附录：线性规划的思维方式，我们有时可以推广到非线性约束条件下去应用，把数量关系转化到图形上去思考解决，这是数形结合的又一体现．
例已知a，b是正数，方程x2＋ax＋2b=0，x2＋bx＋a=0都有实根，求a＋b的最小值．
分析由于所给方程均有实根，
这是关于a、b的约束条件，问题就是在这一约束条件下，求a＋b 的最小值．我们用线性规划的思维方式去思考．
于是满足条件的点P(a，b)在平面区域G内．
设z=a＋b，则问题转化为，过区域G作直线a＋b=t，使直线有最小的纵截距．
从图形可以看出，当直线过点(4，2)时，纵截距最小，
∴a=4，b=2时，z最小=4＋2=6 a＋b的最小值为6．。
高三数学简单线性规划试题
高三数学简单线性规划试题1.若实数满足不等式组(其中为常数),且的最大值为12,则的值等于 .【答案】-9【解析】解：因为实数x,y满足不等式组 (其中k为常数),且z=x+3y的最大值为12，可见过点（2，-k-4）成立，解得k=-92.和满足约束条件，则目标函数的最小值是___________.【答案】1【解析】作出可行域，当直线z=x+y经过点（1，0）时，z取得最小值，最小值为1,3.若实数满足不等式，则的取值范围是______________；【答案】【解析】，故所求为定点与平面区域内动点连线的斜率，作图可知当时斜率最小为0，当时，斜率最大为24.若变量满足约束条件，则的最大值为A．1.B．2.C．3.D．4【答案】选C【解析】由，所以当直线z=2x+y过点A（1，1）时，z取得最大值，最大值为3.5.若实数x、y满足则的最小值是【答案】2【解析】作出如图所示的可行域，设,所以k的最小值为2.6.若实数x，y满足条件，目标函数z=x+y，则A．B．C．D．【答案】D【解析】解：因为若实数x，y满足条件，作出可行域，那么目标函数z=x+y平移到过点（1,2）时，此时最大为3.7.若实数x,y满足，则S=2x+y－1的最大值为（）A．6B．4C．3D．2【答案】A【解析】解：利用可行域作出图像，可知区域为为直角三角形区域，当目标函数过点（2,3）时，目标函数最大且为6.选A8.已知:x，y满足不等式组，则z=2x＋y的最大值与最小值的比值为A．B．2C．D．【答案】B【解析】解：首先作图，然后平移目标函数，由图像可知，三角形的边界点为（1,1）（2,2）（2,0）过点（1,1）最小，过点（2,2）最大。
代入求解得到比值为B9.若实数满足条件则的最大值为．【答案】4【解析】满足条件的点的可行域如下：由图可知，目标函数在点处取到最大值410.已知实数，满足，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】此题考查线性规划的应用；可以转化为该不等式组所表示的平面区域内的点与定点的斜率的取值范围，该不等式组所表示的平面区域如下图阴影部分所示：所以的范围是，选D；。
高二数学线性规划练习题
高二数学线性规划练习题一、选择题1. 下列关于线性规划的说法，正确的是（）A. 线性规划的目标函数只能是最大值B. 线性规划的约束条件必须是等式C. 线性规划问题的解可以是整数D. 线性规划问题至少有一个可行解A. 目标函数为线性函数B. 约束条件为线性不等式C. 变量非负D. 约束条件中含有绝对值3. 设线性规划问题为最大化 $ z = 2x + 3y $，约束条件为 $ x + y \leq 4 $，$ x \geq 0 $，$ y \geq 0 $，则该问题的最优解为（）A. $ x = 0, y = 4 $B. $ x = 2, y = 2 $C. $ x = 4, y = 0 $D. $ x = 3, y = 1 $二、填空题1. 线性规划问题中，目标函数和约束条件都是________的。
2. 若线性规划问题的目标函数为 $ z = 3x 2y $，约束条件为$ 2x + y \leq 6 $，$ x + 2y \leq 8 $，$ x \geq 0 $，$ y \geq 0 $，则该问题的可行域是________。
3. 在线性规划问题中，若约束条件为 $ x + 2y \leq 4 $，$ 2x + y \leq 5 $，$ x \geq 0 $，$ y \geq 0 $，则目标函数 $ z = 3x + 2y $ 的最大值为________。
三、解答题1. 某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品需耗电3千瓦时，每生产一件乙产品需耗电2千瓦时。
工厂每天最多耗电30千瓦时，甲、乙产品的单件利润分别为4元和3元。
问该工厂每天应如何安排生产计划，才能使总利润最大？2. 设线性规划问题为最大化 $ z = x + 2y $，约束条件为 $ x+ 2y \leq 6 $，$ 2x + y \leq 8 $，$ x \geq 0 $，$ y \geq 0 $。
求该问题的最优解。
3. 某企业生产A、B两种产品，每生产一件A产品需耗用原材料2千克，每生产一件B产品需耗用原材料3千克。
高中线性规划练习(含详细解答),成才系列
7 3
3 7
（ C）
4 3 x 0,
（D）
3
高
4
18.（ 2008 年高考 ・ 浙江卷
理 17）若 a
0, b
0 ，且当 x
y y
0, 时，恒有 ax 1
by
1 ，则以 a ,b 为坐标
点 P ( a, b) 所形成的平面区域的面积等于
__________ .
5. “ 求约束条件中的参数 ” 型考题
X
且
2Y Y 0 0
12 12
，画可行域如图所示，
2X X Y
目标函数 Z=300X+400Y 可变形为 Y=
3 4
x 2x x
z 400 y 2y 12 12
，
这是随 Z 变化的一族平行直线，解方程组
x y
4 4
，即 A （ 4,4 ）
y 11 y 3 9
0 0 0
表示的平面区域为 D，若指数函数 y= a 的
x
3x
5x 3 y
图像上存在区域 A (1 ， 3] D 上的点，则 a 的取值范围是 B [2 ， 3] C (1 ， 2]
D
[ 3，
]
x 2y 5 0
23. （ 2007 年高考 ・ 浙江卷 理 17）设
m 为实数， 若 { ( x, y )
答案解析
通常转化为求直线在
ax
by ( a, b
R) 的线性目标函数的最值问题，
y轴
上的截距的取值 . 结合图形易知，目标函数的最值一般在可行域的顶点处取得
. 掌握此规律可以有效避免因
B 【解析】约束条件对应
5 3 ABC 内的区域 ( 含边界 ) ，其中 A (2, 2), B (3, 2), C ( , ) 画出可行域， 2 2 z 3x y [8,11]
高中数学10.4简单线性规划专项测试同步训练729
高中数学10.4简单线性规划专项测试同步训练2020.031,已知05≥-+y x ，010≤-+y x ．求22y x +的最大、最小值．2,满足线性约束条件 的可行域共有_______个整数点。
3,画出332≤<-y x 表示的区域，并求所有的正整数解),(y x4,设22y x z +=，式中的变量x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-.1,2553,34x y x y x 试求z 的最大值、最小值．5,求不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+-≤-+≥111x y x y 所表示的平面区域的面积．6,用不等式表示以)4,1(A ，)0,3(-B ，)2,2(--C 为顶点的三角形内部的平面区域．7,设，式中变量 满足求 的最大值和最小值。
答案1, 解：由⎩⎨⎧≤-+≥-+,010,05y x y x 得可行域(如图所示)为()22222y x y x z +=+=，而)0,0(到05=-+y x ，010=-+y x 的距离分别为25和210．所以z 的最大、最小值分别是50和225．2, 43, 依照二元一次不等式表示的平面区域，知332≤<-y x 表示的区域如下图：对于332≤<-y x 的正整数解，先画出不等式组．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤->∈∈>>.3,32,,,0,0y x y z y z x y x 所表示的平面区域，如图所示．容易求得，在其区域内的整数解为)1,1(、)2,1(、)3,1(、)2,2(、)3,2(．4, 解：作出直线0341=+-y x l ：，025532=-+y x l ：，13=x l ：得到如图所示的可行域．由⎩⎨⎧=-+=+-02553034y x y x 得)2,5(A 由⎩⎨⎧==+-1034x y x 得)1,1(C 由⎩⎨⎧==-+102553x y x 得)522,1(B ． 由图可知：当),(y x 为点)1,1(C 时，z 取最小值为2；当),(y x 为点)2,5(A 时，z 取最大值29．5, 解：不等式11-+≥x y 可化为)1(-≥≥x x y 或)1(2-<--≥x x y ； 不等式1+-≤x y 可化为)0(1≥+-≤x x y 或)0(1<+≤x x y ． 在平面直角坐标系内作出四条射线)1(-≥=x x y AB ：， )1(2-<--=x x y AC ： )0(1≥+-=x x y DE ：，)0(1<+=x x y DF ：则不等式组所表示的平面区域如图6, 解：直线AB 的斜率为：1)3(104=---=AB k ，其方程为3+=x y ．可求得直线BC 的方程为62--=x y ．直线AC 的方程为22+=x y ．ABC ∆的内部在不等式03>+-y x 所表示平面区域内，同时在不等式062>++y x 所表示的平面区域内，同时又在不等式022<+-y x 所表示的平面区域内（如图）．所以已知三角形内部的平面区域可由不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<+->++>+-22,062,03yxyxyx表示．7, ，。
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一、选择题1．在平面直角坐标系中，若点(－2，t)在直线x －2y ＋4＝0的上方，则t 的取值范围是( ) A ．(－∞，1) B ．(1，＋∞) C ．(－1，＋∞) D ．(0,1)[答案] B[解析] ∵点O(0,0)使x －2y ＋4>0成立，且点O 在直线下方，故点(－2，t)在直线x －2y ＋4＝0的上方－2－2t ＋4<0，∴t>1. 2.)若2m ＋2n<4，则点(m ，n)必在( ) A ．直线x ＋y －2＝0的左下方 B ．直线x ＋y －2＝0的右上方 C ．直线x ＋2y －2＝0的右上方 D ．直线x ＋2y －2＝0的左下方 [答案] A[解析] ∵2m ＋2n≥22m ＋n ，由条件2m ＋2n<4知， 22m ＋n<4，∴m ＋n<2，即m ＋n －2<0，故选A.3．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≥0x ＋3y≥43x ＋y≤4所表示的平面区域的面积等于( )[解析] 平面区域如图．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝43x ＋y ＝4得A(1,1)，易得B(0,4)，C ⎝⎛⎭⎫0，43，|BC|＝4－43＝83. ∴S △ABC ＝12×83×1＝43.4不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≥22x －y≤4x －y≥0所围成的平面区域的面积为( )A ．3 2B ．6 2C ．6D ．3[答案] D[解析] 不等式组表示的平面区域为图中Rt △ABC ，易求B(4,4)，A(1,1)，C(2,0) ∴S △ABC ＝S △OBC －S △AOC＝12×2×4－12×2×1＝3.5设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y≤x x ＋y≥2y≥3x －6，则目标函数z ＝2x ＋y 的最小值为( )A ．2B ．3C ．5D ．7[答案] B[解析] 在坐标系中画出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y≤x x ＋y≥2y≥3x －6所表示的可行域为图中△ABC ，其中A(2,0)，B(1,1)，C(3,3)，则目标函数z ＝2x ＋y 在点B(1,1)处取得最小值，最小值为3.6.已知A(2,4)，B(－1,2)，C(1,0)，点P(x ，y)在△ABC 内部及边界运动，则z ＝x －y 的最大值及最小值分别是( ) A ．－1，－3 B ．1，－3 C ．3，－1D ．3,1[解析] 当直线y ＝x －z 经过点C(1,0)时，zmax ＝1，当直线y ＝x －z 经过点B(－1,2)时，zmin ＝－3. [答案] B7(在直角坐标系xOy 中，已知△AOB 的三边所在直线的方程分别为x ＝0，y ＝0,2x ＋3y ＝30，则△AOB 内部和边上整点(即坐标均为整数的点)的总数为( ) A ．95 B ．91 C ．88D ．75[答案] B[解析] 由2x ＋3y ＝30知，y ＝0时，0≤x≤15，有16个；y ＝1时，0≤x≤13；y ＝2时，0≤x≤12； y ＝3时，0≤x≤10；y ＝4时，0≤x≤9； y ＝5时，0≤x≤7；y ＝6时，0≤x≤6； y ＝7时，0≤x≤4；y ＝8时，0≤x≤3； y ＝9时，0≤x≤1，y ＝10时，x ＝0.∴共有16＋14＋13＋11＋10＋8＋7＋5＋4＋2＋1＝91个．8．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨，B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨，B 原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨．那么该企业可获得最大利润是( ) A ．12万元 B ．20万元 C ．25万元D ．27万元[答案] D[解析] 设生产甲、乙两种产品分别为x 吨，y 吨， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y≤132x ＋3y≤18x≥0y≥0，获利润ω＝5x ＋3y ，画出可行域如图，由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝132x ＋3y ＝18，解得A (3,4)． ∵－3<－53<－23，∴当直线5x ＋3y ＝ω经过A 点时，ωmax ＝27.9．(文)(2010·山东省实验中学)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋6≥0x ＋y≥0x≤3，若z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋9，最小值为3a －3，则实数a 的取值范围为( ) A ．a≥1B ．a≤－1C ．－1≤a≤1D ．a≥1或a≤－1[答案] C[解析] 作出可行域如图中阴影部分所示，则z 在点A 处取得最大值，在点C 处取得最小值．又kBC ＝－1，kAB ＝1，∴－1≤－a≤1，即－1≤a≤1.10.已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －13≥02y －x ＋1≥0x ＋y －4≤0，且有无穷多个点(x ，y)使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，则m ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．4[答案] C[解析] 由题意可知，不等式组表示的可行域是由A(1,3)，B(3,1)，C(5,2)组成的三角形及其内部部分．当z ＝x ＋my 与x ＋y －4＝0重合时满足题意，故m ＝1.11.当点M(x ，y)在如图所示的三角形ABC 区域内(含边界)运动时，目标函数z ＝kx ＋y 取得最大值的一个最优解为(1,2)，则实数k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1]∪[1，＋∞) B ．[－1,1]C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,1) [答案] B[解析] 由目标函数z ＝kx ＋y 得y ＝－kx ＋z ，结合图形，要使直线的截距z 最大的一个最优解为(1,2)，则0≤－k≤kAC≤1或0≥－k≥kBC ＝－1，∴k ∈[－1,1]．12已知x 、y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y≥x x ＋y≤2x≥a ，且z ＝2x ＋y 的最大值是最小值的3倍，则a ＝( )A ．0D ．1[答案] B[解析] 依题意可知a<1.作出可行域如图所示，z ＝2x ＋y 在A 点和B 点处分别取得最小值和最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a y ＝x 得A(a ，a)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2x ＝y 得B(1,1)， ∴zmax ＝3，zmin ＝3a.∴a＝13.13 (理)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y≥0y≤2x －1x ＋y≤m ，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m等于( ) A ．7 B ．5 C ．4D ．3[答案] B[解析] 画出x ，y 满足条件的可行域如图所示，可知在直线y ＝2x －1与直线x ＋y ＝m 的交点A 处，目标函数z ＝x －y 取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1x ＋y ＝m ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋13y ＝2m －13，即点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫m ＋13，2m －13.将点A 的坐标代入x －y ＝－1，得m ＋13－2m －13＝－1，即m ＝5.故选B. 二、填空题14．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y≥0x ＋y≤1x ＋2y≥1，则目标函数z ＝2x ＋y 的最大值为________．[答案] 2[解析] 可行域为图中阴影部分△ABC ，显然当直线2x ＋y ＝z 经过可行域内的点A(1,0)时，z 取最大值，zmax ＝2.15．毕业庆典活动中，某班团支部决定组织班里48名同学去水上公园坐船观赏风景，支部先派一人去了解船只的租金情况，看到的租金价格如下表，那么他们合理设计租船方案后，所付租金最少为________元.船型 每只船限载人数 租金(元/只) 大船 5 12 小船38[答案] 116[解析] 设租大船x 只，小船y 只，则5x ＋3y≥48，租金z ＝12x ＋8y ，作出可行域如图，∵－53<－32，∴当直线z ＝12x ＋8y 经过点,0)时，z 取最小值，但x ，y ∈N ， ∴当x ＝9，y ＝1时，zmin ＝116.16已知M 、N 是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≥1，y≥1x －y ＋1≥0x ＋y≤6所表示的平面区域内的不同两点，则|MN|的最大值是________． [答案]17[解析] 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分(包括边界)所示，由图形易知，点D(5,1)与点B(1,2)的距离最大，所以|MN|的最大值为17.17. (理)如果直线y ＝kx ＋1与圆x2＋y2＋kx ＋my －4＝0相交于M 、N 两点，且M 、N 关于直线x ＋y ＝0对称，点P(a ，b)为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋1≥0kx －my≤0y≥0内任意一点，则b ＋1a －1的取值范围是________．[答案] ⎣⎡⎦⎤－1，－12[解析] ∵直线y ＝kx ＋1与圆x2＋y2＋kx ＋my －4＝0相交于M 、N 两点，且M 、N 关于x ＋y ＝0对称，∴y ＝kx ＋1与x ＋y ＝0垂直，∴k ＝1，而圆心在直线x ＋y ＝0上，∴－k 2＋⎝⎛⎭⎫－m 2＝0，∴m ＝－1，∴作出可行域如图所示，而b ＋1a －1表示点P(a ，b)与点(1，－1)连线的斜率，∴kmax ＝0＋1－1－1＝－12，kmin ＝－1，∴所求取值范围为⎣⎡⎦⎤－1，－12.18．若由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≤my ＋nx －3y≥0y≥0(n>0)确定的平面区域的边界为三角形，且它的外接圆的圆心在x 轴上，则实数m ＝________.[答案] －33[解析] 根据题意，三角形的外接圆圆心在x 轴上， ∴OA 为外接圆的直径，∴直线x ＝my ＋n 与x －3y ＝0垂直， ∴1m ×13＝－1，即m ＝－33.19. 若x 、y 满足约束条件222x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则z=x+2y 的取值范围是 （ ）A 、[2,6]B 、[2,5]C 、[3,6]D 、（3,5]解：如图，作出可行域，作直线l ：x+2y ＝0，将l 向右上方平移，过点A （2,0）时，有最小值 2，过点B （2,2）时，有最大值6，故选A20.不等式组260302x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为（ ）A 、4B 、1C 、5D 、无穷大解：如图，作出可行域，△ABC 的面积即为所求，由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC 的面积即可，选B21. 、满足|x|＋|y|≤2的点（x ，y ）中整点（横纵坐标都是整数）有（ ） A 、9个 B 、10个 C 、13个 D 、14个x y O22 x=2y =2 x + y =2BA2x + y – 6= 0 =5x ＋y – 3 = 0 O yx AB C M y =2解：|x|＋|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0)2(0,0)x y x y x y x y x y x y x y x y +≤≥≥⎧⎪-≤≥⎪⎨-+≤≥⎪⎪--≤⎩p p p p作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选D22. 已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为 （ ） A 、－3 B 、3 C 、－1 D 、1解：如图，作出可行域，作直线l ：x+ay ＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l 向右上方平移后与直线x+y ＝5重合，故a=1，选D23已知x 、y 满足以下约束条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则z=x 2+y 2的最大值和最小值分别是（ ）A 、13，1B 、13，2C 、13，45D、jie ：如图，作出可行域,x 2+y 2是点（x ，y ）到原点的距离的平方，故最大值为点A （2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x ＋y －2=0的距离的平方，即为45，选C24.已知|2x －y ＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m的取值范围是 （ ） A 、（-3,6） B 、（0,6） C 、（0,3） D 、（-3,3） 解：|2x －y ＋m|＜3等价于230230x y m x y m -++>⎧⎨-+-<⎩由右图可知3330m m +>⎧⎨-<⎩,故0＜m ＜3，选C25.已知,x y 满足不等式组230236035150x y x y x y -->⎧⎪+-<⎨⎪--<⎩，求使x y +取最大值的整数,x y ．解：不等式组的解集为三直线1l ：230x y --=，2l ：2360x y +-=，3l ：35150x y --=所围成的三角形内部（不含边界），设1l 与2l ，1l 与3l ，2l 与3l 交点分别为,,A B C ，则,,A B C 坐标分别为153(,)84A ，(0,3)B -，7512(,)1919C -，作一组平行线l ：x y t +=平行于0l ：0x y +=，当l 往0l 右上方移动时，t 随之增大， ∴当l 过C 点时x y +最大为6319，但不是整数解，又由75019x <<知x 可取1,2,3， 当1x =时，代入原不等式组得2y =-， ∴1x y +=-；当2x =时，得0y =或1-， ∴2x y +=或1；当3x =时，1y =-， ∴2x y +=，故x y +的最大整数解为20x y =⎧⎨=⎩或31x y =⎧⎨=-⎩．26.设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则y x z 32+=的最大值为 。