2019届广东省珠海市高三二模数学(理)试题(解析版)

【答案】A
【解析】画出“ , , ,所表示的平面区域,即可进行判断.
【详解】
如图，“ 且 ”表示的区域是如图所示的正方形，
记为集合P，“ ”表示的区域是单位圆及其内部，记为集合Q，
显然 是 的真子集,所以答案是充分非必要条件，
故选: .
【点睛】
本题考查了不等式表示的平面区域问题,考查命题的充分条件和必要条件的判断,难度较易.
所以 在 时有一个零点
因为当 时， ，
所以函数 在 时单调递减，
由选项知 ， ，
又因为 ，
所以要使 在 时有一个零点，
只需使 ，解得 ，
所以a的取值范围为 ，故选D.
【点睛】
本题主要考查函数与方程的综合问题，难度较大.
二、填空题
9．若x，y均为正数，且 ，则 的最小值为________.
【答案】4
【解析】由基本不等式可得 ,则 ,即可解得 .
17．已知函数 ，
（1）若 ，求 的单调区间和极值；
（2）设 ，且 有两个极值点 ， ，若 ，求 的最小值.
则直线 过定点 ,由 则点 在以 为直径的圆 上，则 .即可求得.
【详解】
如图，由 可知R为MN的中点，所以 ， ，
设 ，则切线PM的方程为 ，
即 ，同理可得 ，
因为PM，PN都过 ，所以 ， ，
所以 在直线 上，
从而直线MN方程为 ，
因为 ，所以 ，
即直线MN方程为 ，
所以直线MN过定点 ,
所以R在以OQ为直径的圆 上，
【答案】（1） （2）见解析
【解析】(1)由 ，周长 ,解得 , 即可求得标准方程.
(2)通过特殊情况 的斜率不存在时,求得 ,再证明 的斜率存在时 ,即可证得 为定值.通过设直线 的方程为 与椭圆方程联立,借助韦达定理求得 ,利用直线 与圆相切,即 ,求得 的关系代入,化简即可证得 即可证得结论.
所以 .
故答案为: .
【点睛】
本题考查直线和圆的位置关系,考查圆的切线方程,定点和圆上动点距离的最值问题,考查学生的数形结合能力和计算能力,难度较难.
三、解答题
13． 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
（1）求B；
（2）若 ，求 的面积的最大值．
【答案】（1） （2）
【解析】(1)由正弦定理边化角化简已知条件可求得 ,即可求得 ;
【点睛】
本题主要考查向量的几何运算以及平面向量数量积的运算法则，属于中档题.向量的运算有两种方法：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）.
6．水平放置的 ，用斜二测画法作出的直观图是如图所示的 ，其中 ，则 绕AB所在直线旋转一周后形成的几何体的表面积为（）
化简得 ， ， ， ，故选D。
【点睛】
本题考查了圆锥曲线的相关性质，主要考察了圆与双曲线的相关性质，考查了圆与双曲线的综合应用，考查了数形结合思想，体现了综合性，提高了学生的逻辑思维能力，是难题。
8．设函数 （ ， 为自然对数的底数）,定义在 上的函数 满足 ，且当 时， ．若存在 ，且 为函数 的一个零点，则实数 的取值范围为（）
【详解】
，
所以 ，
.
因为 ，所以 ，
所以 .
故答案为: .
【点睛】
本题考查了三角函数的化简,重点考查学生的计算能力,难度一般.
12．已知 ，圆 ，直线PM，PN分别与圆O相切，切点为M，N，若 ，则 的最小值为________.
【答案】
【解析】由 可知R为中点,设 ,由过切点的切线方程即可求得 , ， 代入 ， ，则 在直线 上，即可得 方程为 ，将 ，代入化简可得 ，
它的表面积为 .
故选:
【点睛】
本题考查斜二测画法的应用及组合体的表面积求法,难度较易.
7．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，圆 与双曲线在第一象限内的交点为M，若 ．则该双曲线的离心率为
A．2B．3C． D．
【答案】D
【解析】本题首先可以通过题意画出图像并过 点作 垂线交 于点 ，然后通过圆与双曲线的相关性质判断出三角形 的形状并求出高 的长度， 的长度即 点纵坐标，然后将 点纵坐标带入圆的方程即可得出 点坐标，最后将 点坐标带入双曲线方程即可得出结果。
（1）证明：平面 平面ABC；
（2）若点M在棱PA上运动，当直线BM与平面PAC所成的角最大时，求直线MA与平面MBC所成角的正弦值.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】(1)设 的中点为 ,连接 .由展开图可知 , ， . 为 的中点,则有 ,根据勾股定理可证得 ,
则 平面 ,即可证得平面 平面 ．
16．某公司生产的某种产品，如果年返修率不超过千分之一，则其生产部门当年考核优秀，现获得该公司2011-2018年的相关数据如下表所示：
年份
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
年生产台数（万台）
2
3
4
5
6
7
10
11
该产品的年利润（百万元）
2.1
2.75
3.5
3.25
3
4.9
2019届广东省珠海市高三二模数学（理）试题
一、单选题
1．函数 的图象大致为( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】确定函数在定义域内的单调性，计算 时的函数值可排除三个选项．
【详解】
时，函数为减函数，排除B， 时，函数也是减函数，排除D，又 时， ，排除C，只有A可满足．
故选：A.
【点睛】
本题考查由函数解析式选择函数图象，可通过解析式研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等等排除，可通过特殊的函数值，函数值的正负，函数值的变化趋势排除，最后剩下的一个即为正确选项．
(2)由余弦定理借助基本不等式可求得 ,即可求出 的面积的最大值.
【详解】
（1） ， ，
所以 ，
所以 ，
， ，
， ．
（2）由余弦定理得 . ，
，当且仅当 时取等，
.
所以 的面积的最大值为 .
【点睛】
本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用,考查了三角形面积的最值问题,难度较易.
14．已知三棱锥P-ABC（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形ABCD为边长等于 的正方形， 和 均为正三角形，在三棱锥P-ABC中：
【详解】Байду номын сангаас
（1）由题意得 ，周长 ，且 .
联立解得 ， ，所以椭圆C的标准方程为 .
（2）①当直线l的斜率不存在时，不妨设其方程为 ，
则 ，
所以 ，即 .
②当直线l的斜率存在时，设其方程为 ，并设 ，
由 ，
， ，
由直线l与圆E相切，得 .
所以
.
从而 ，即 .
综合上述，得 为定值.
【点睛】
本题考查了椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置关系中定值问题,考查了学生计算求解能力,难度较难.
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】先构造函数 ，由题意判断出函数 的奇偶性，再对函数 求导，判断其单调性，进而可求出结果.
【详解】
构造函数 ，
因为 ，
所以 ，
所以 为奇函数，
当 时， ，所以 在 上单调递减，
所以 在R上单调递减.
因为存在 ，
所以 ，
所以 ，
化简得 ，
所以 ，即
令 ，
因为 为函数 的一个零点，
【详解】
方法一： ，当且仅当 时取等.
方法二：因为 ，所以 ，
所以 ，当且仅当 时取等.
故答案为: .
【点睛】
本题考查基本不等式在求最小值中的应用,考查学生对基本不等式的灵活使用,难度较易.
10．已知数列 的各项均为正数，记 为 的前n项和，若 ， ，则 ________.
【答案】127
【解析】已知条件化简可化为 ,等式两边同时除以 ，则有 ，通过求解方程可解得 ,即证得数列 为等比数列,根据已知即可解得所求.
2．已知函数 为奇函数，且 ，则 （）
A．2B．5C．1D．3
【答案】B
【解析】由函数 为奇函数,则有 ,代入已知即可求得.
【详解】
.
故选: .
【点睛】
本题考查奇偶性在抽象函数中的应用,考查学生分析问题的能力,难度较易.
3．“ 且 ”是“ ”的（）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
附：线性回归方程 中， ， .
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）先判断得到随机变量 的所有可能取值，然后根据古典概型概率公式和组合数计算得到相应的概率，进而得到分布列和期望．（2）由于去掉 年的数据后不影响 的值，可根据表中数据求出 ；然后再根据去掉 年的数据后所剩数据求出 即可得到回归直线方程．
【详解】
根据题意可画出以上图像，过 点作 垂线并交 于点 ，
因为 ， 在双曲线上，
所以根据双曲线性质可知， ，即 ， ，
因为圆 的半径为 ， 是圆 的半径，所以 ，
因为 ， ， ， ，
所以 ，三角形 是直角三角形，
因为 ，所以 ， ，即 点纵坐标为 ，
将 点纵坐标带入圆的方程中可得 ，解得 ， ，
将 点坐标带入双曲线中可得 ，
平面PAC， 平面 平面ABC．
（2）由（1）知， ， ， 平面PAC，
是直线BM与平面PAC所成的角，
且 ，
当OM最短时，即M是PA的中点时， 最大．
由 平面ABC， ，
， ，
于是以OC，OB，OD所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图示空间直角坐标系，