2015年深圳市一模理科数学试题(含解析)精美word版

2015年深圳市高三年级第一次调研考试

数学(理科)试题 2015.1

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的。 1、已知集合}5,1,0,2{=U ，集合}2,0{=A ，则A C U ＝（ ） A.φ B 。}2,0{ C 。}5,1{ D 。}5,1,0,2{ 2、已知复数z 满足1)1(=+i z （其中i 为虚数单位），则=z

A.

21i +- B 。21i -- C 。21i + D 3、若函数b a y x

+=的部分图象如图1所示，则

A.01,10<<-<b a D 。

4、已知实数y x ,满足不等式组3

00≤⎪⎩

⎪

⎨⎧≥≥+y x y x ，则y x +2的最大值为（ ）

A.3 B 。4 C 。6 D 。9

5、已知直线b a ,，平面βα,，且α⊥a ，β⊂b ，则“b a ⊥”是“βα//”的（ ） A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

6、执行如图2所示的程序框图，则输出S 的值为（ ） A. 16 B 。25 C 。36 D 。49

7、在ABC ∆中，c b a ,,分别为C B A ∠∠∠,,所对的边，若函数

1)(3

1)(2223

+-+++=

x ac c a bx x x f 有极值点，则B ∠的范围是（ ） A.)3,

0(π B 。]3,0(π C 。],3[ππ D 。),3(ππ

8、如果自然数a 的各位数字之和等于8，我们称a 为“吉祥数”。将所有“吉

祥数”从小到大排成一列321,,a a a …，若2015=n a ，则=n （ ） A. 83 B 。82 C 。39 D 。37

图1

图2

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。本大题分为必做题和选做题两部分

（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生必须做答。 9、4

)31(x

x -的展开式中常数项为 .（用数字表示） 10、

⎰

-=-3

3

2)sin 2(dx x x

11、已知向量)1,11(-=x

，)1,1(y

b =)0,0(>>y x ，若b a ⊥，则y x 4+的最小值为

12、已知圆C ：05822=-+++ay x y x 经过抛物线E ：y x 42=的焦点，则抛物线E 的准线与圆C 相交所得弦长 为

13、设P 是函数x y ln =图象上的动点，则点P 到直线x y =的距离的最小值为

（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算第一题的得分。 14、（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线1C ：2cos =θρ与曲线12cos :22=θρC 相交于A ，B 两点，则｜AB ｜＝

15、（几何证明选讲选做题）如图3，在ABC Rt ∆中，0

30=∠A ，0

90=∠C ，D 是AB 边上的一点，以BD 为直径的⊙O 与AC 相切于点E 。若BC ＝6，则DE 的长为

三、解答题 16、（本小题满分12分）

函数π

()2sin()3

f x x ω=+（0ω>）的最小正周期是π．

（1）求5π

(

)12

f 的值； （2

）若0sin x =，且0π(0,)2x ∈，求0()f x 的值．

17、（本小题满分12分）

空气质量指数（简称AQI ）是定量描述空气质量状况的指数，其数值越大说明空气污染越严重，

图3

为了及时了解空气质量状况，广东各城市都设置了实时监测站．下表是某网站公布的广东省内21个城市在2014年12月份某时刻实时监测到的数据：

（1）请根据上表中的数据，完成下列表格：

（2）统计部门从空气质量“良好”和“轻度污染”的两类城市中采用分层抽样的方式抽取6个城市，省环保部门再从中随机选取3个城市组织专家进行调研，记省环保部门“选到空气质量“良好”的城市个数为ξ”，求ξ的分布列和数学期望．

18、（本小题满分14分）

在三棱锥P ABC -中，已知平面PBC ⊥平面ABC ，AB 是底面△ABC 最长的边．三棱锥

P ABC -的三视图如图5所示，其中侧视图和俯视图均为直角三角形．

（1）请在图6中，用斜二测画法，把三棱锥P ABC -的直观图补充完整（其中点P 在

xOz 平面内），并指出三棱锥P ABC -的哪些面是直角三角形；

（2）求二面角B PA C --的正切值； （3）求点C 到面PAB 的距离．

19、（本小题满分14分）

已知首项大于0的等差数列{}n a

的公差

1d

=

，且1223112

3

a a a a +=． （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）若数列{}n b 满足：11b =-，2b λ=，

1

11(1)n n n n

n b b n a -+--=+

，其中2n ≥． ①求数列{}n b 的通项n b ；

②是否存在实数λ，使得数列}{n b 为等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

正视图

图5