3.1变化率与导数(教学设计)(3)
导数与函数变化率教案设计
导数与函数变化率教案设计：一、教学目标1.了解导数的概念和定义，掌握基本求导公式和法则。
2.理解函数的单调性和极值，并能应用导数求解。
3.能够掌握函数的变化率的概念，应用导数求解。
4.能够运用导数的概念和方法解决实际问题。
二、教学内容1.导数的概念和定义2.求导法则3.函数的单调性和极值4.函数的变化率与导数5.应用导数解决实际问题三、教学过程第一节：导数的概念和定义1.引入教师通过引导学生想象一下：车在马路上行驶时，如果我们想知道车的速度是多少，应该怎么做？引导学生想到了导数的概念。
2.导数的定义介绍导数的定义：设函数y=f（x），若极限lim Δx→0（f（x+Δx）－f（x））/Δx存在，称为函数f（x）在点x处的导数。
3.图像解释导数通过画图来解释导数的概念，帮助学生掌握。
第二节：求导法则1.基本求导法则（1）常数函数（2）幂函数（3）指数函数（4）对数函数（5）三角函数2.综合例题分析通过综合例题来演示求导过程，让学生掌握求导的方法。
第三节：函数的单调性和极值1.函数的单调性介绍函数的单调性：设函数y=f（x）在区间（a，b）内具有一阶导数，那么如果f’（x）>0，则函数在该区间单调递增，如果f’（x）<0，则函数在该区间单调递减。
2.函数的极值介绍函数的极值：设函数y=f（x）在点x=c处连续，那么如果在（c-d，c）上f（x）≤f（c）,在（c， c+d）上f（x）≤f（c），则c为函数y=f（x）的极大值点；如果在（c-d， c）上f（x）≥f （c），在（c， c+d）上f（x）≥f（c），则c为函数y=f（x）的极小值点。
3.图像分析单调性和极值通过图像分析函数的单调性和极值，帮助学生理解。
第四节：函数的变化率与导数1.函数的变化率介绍函数的变化率：使用导数来研究函数的变化率，函数在某一点的导数就是该点的变化率。
2.应用导数求解通过例题来演示应用导数求解的过程，让学生掌握应用导数求解的方法。
《变化率与导数》教学设计1
《变化率与导数》教学设计1．教学目标：知识与技能：通过具体实例，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的逼近过程，明确瞬时变化率即导数，从而形成导数概念．过程与方法：⑴借助高台跳水问题，明确瞬时速度的含义；⑵通过对瞬时速度的逼近过程，结合平均变化率，使学生认识到瞬时变化率的重大意义；⑶结合其他实例，抽象出导数概念，使学生认识到导数就是瞬时变化率，了解导数的内涵．情感、态度与价值观：通过运动的观点展现导数的内涵，使学生认识到“瞬时与永恒”的辨证关系，从而激发学生学习的兴趣．2．教学重、难点：重点：利用平均变化率的逼近瞬时变化率的过程及其理解；难点：导数概念的形成，导数内涵的理解．3．学法与教学用具：教学方法：教师引导为主，学生自主探索、积极思考为辅；教学手段：黑板和多媒体相结合，利用几何画板等数学工具演示逼近过程；教学思想：以建构主义的“创设问题情境——提出数学问题——尝试解决问题——验证解题方法”为主，强调数学知识（导数概念）的建构过程；教学用具：乒乓球（两枚）、几何画板课件、实物投影等．4．教学设想：（教学课时：1课时）5．课后反思：从旧教材上看，导数概念学习的起点是极限，即从数列的极限，到函数的极限，再到导数.这种概念建立方式具有严密的逻辑性和系统性，但学生很难理解极限的形式化定义，因此也影响了对导数本质的理解.新教材不介绍极限的形式化定义及相关知识，而是用直观形象的逼近方法定义导数.通过列表计算、直观地把握函数变化趋势（蕴涵着极限的描述性定义），学生更易于理解.这堂课由平均速度到瞬时速度再到导数，展示了一个完整的数学探究过程.提出问题、计算观察、发现规律、给出定义，让学生经历了知识再发现的过程，促进了个性化学习.在教学中尝试采用创设问题情景，以问题驱动、层层铺垫，帮助学生实现从被动接受知识变为主动获取知识；同时也试图改进学生的学习方式，以小组合作的方式展开，在合作中相互配合.灵活融合引导启发、数形结合、激励评价、多媒体辅助等教学方式，更好地实现教学目标.在教学过程中，不失时机的进行数学文化渗透，除了能激发学生的学习兴趣、增强学习信心外，更是体现出了数学探索原貌，让学生看到数学探索的艰难和有趣，更客观的认识导数及发明导数的现实意义，这对接受和理解导数这个概念大有裨益！本节课内容较多，一课时难以完成，教师可以根据教学实际删减该课例中的某些环节，比如后面的例1及练习题等！。
3.1变化率与导数教案(人教版(A)选修1-1)
3.1.1变化率问题教学目标知道平均变化率的定义。
会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率。
教学重点：平均变化率的含义教学难点：会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率。
教学过程： 情景导入：展示目标: 知道平均变化率的定义。
会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率。
检查预习:见学案合作探究：探究任务一：问题1：气球膨胀率，求平均膨胀率吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度如何描述这种现象?问题2;:在高台跳水运动中，,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度v 粗略地描述其运动状态?交流展示：学生交流探究结果,并完成学案。
精讲精练：例1 过曲线3()y f x x ==上两点(1,1)P 和(1,1)Q x y +∆+∆作曲线的割线，求出当0.1x ∆=时割线的斜率.例2 已知函数2()f x x =，分别计算()f x 在下列区间上的平均变化率： （1）[1，3]； （2）[1，2]； （3）[1，1.1]； （4）[1，1.001] 有效训练练1. 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6.练2. 已知函数()21f x x =+，()2g x x =-，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上()f x 及()g x 的平均变化率. 反思总结1.函数()f x 的平均变化率是T(月)39122.求函数()f x 的平均变化率的步骤：（1）求函数值的增量 （2）计算平均变化率 当堂检测1. 21y x =+在(1,2)内的平均变化率为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．02. 设函数()y f x =，当自变量x 由0x 改变到0x x +∆时，函数的改变量y ∆为（ ） A ．0()f x x +∆ B ．0()f x x +∆ C ．0()f x x ∆ D ．00()()f x x f x +∆-3. 质点运动动规律23s t =+，则在时间(3,3)t +∆中，相应的平均速度为（ ）A ．6t +∆B ．96t t+∆+∆C ．3t +∆D ．9t +∆4.已知212s gt =，从3s 到3.1s 的平均速度是_______5. 223y x x =-+在2x =附近的平均变化率是____6、已知函数12)(2-==x x f y 的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+x ∆，+1(f x ∆）），求xy∆∆ 【板书设计】：略 【作业布置】：略3.1.2导数的概念教案【教学目标】：1、会用极限给瞬时速度下精确的定义；并能说出导数的概念。
《变化率与导数、导数的计算》教学设计
第一课时 变化率与导数、导数的计算 教学设计一、导入设计：多媒体展示只是框图，并介绍高考重点难点。
设计意图与教学活动：本节课是侧重于构建知识结构的复习课，首先给出导数本章的知识网络，它既有导数的初步知识，又有导数的应用。
这一过程通过课件展示知识网络，教师讲述重点难点，让学生对导数以及导数的应用有整体性的认识把握：导数的初步知识包括导数的概念、求导数的方法，导数的应用主要介绍函数的单调性，可导函数的极值与函数的最大值与最小值。
其中重点是理解导数定义的本质；难点是导数的灵活应用。
一、学习目标：（导入与目标展示 3分钟）1、变化率与导数① 了解导数概念的实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)② 掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，会在已知切点的情况下求切线方程；③理解导函数的概念; 瞬时变化率 平均速度 瞬时速度 平均变化率 割线斜率 切线斜率 导 数 基本初等函数导数公式、导数运算法则 导数与函数单调性的关系导数与极（最）值的关系2、导数的运算 ①能根据导数定义求函数xy x y x y C y 1,,,2====的导数②能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数设计意图与教学活动：通过多媒体展示目标，使学生明白本节课的任务，重点难点，激发主动学习的热情，做到有的放矢。
二、自学探究（包括教师点拨17分钟）1、自学课本P73—78（1）通过问题2了解平均变化率和顺势变化率的关系，如何由平均变化率得到瞬时变化率？（2）函数的瞬时变化率与导数是怎样定义的？导数与瞬时变化率的关系是怎样的？（3）导数有什么几何意义？设计意图与教学活动：以问题探究的形式帮助学生完成知识的构建、教师适时点评学生可以回答的问题：平均变化率和瞬时变化率，导数几何意义与已知切点切线方法 需要教师强调、点拨的问题：1、导数的本质研究的是当自变量的增量趋向于0（0→∆x ）时，函数的增量与自变量的增量的比值的极限。
3.1.1 变化率问题 3.1.2导数的概念 教案(人教A版选修1-1)
3．1 变化率与导数3．1.1变化率问题3．1.2导数的概念(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能通过大量的实例的分析，让学生经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数．2．过程与方法通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力，通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法．3．情感、态度与价值观学生在从平均变化率到瞬时变化率的探索过程中，通过动手算、动脑思和集体合作讨论，发展思维能力，树立敢于战胜困难的信息，养成主动获取知识和敢于探索求知的习惯，激发求知欲，增强合作交流意识．●重点、难点重点：了解导数概念的形成，理解导数有内涵．难点：在平均变化率的基础上探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵．通过列举大量实例增强学生对导数概念形成的理解，以化解重点；通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点．(教师用书独具)●教学建议学生对平均变化率已有了很好的认识，同时在物理课程中已学习过瞬时速度，因此，学生已经具备了一定的认知基础，于是，在教学设计中，宜采用相互讨论、探究规律和引导发现的教学方法，本着为学生发展的原则，通过师生互动、共同探索，形成概念，并学以致用．在学生的认知基础上，为了让学生明确导数就是瞬时变化率，函数f (x )在x ＝x 0处的导数反映了函数f (x )在x ＝x 0处附近变化的快慢，从而更好地理解导数的概念．在学法指导上，应回避了学生较难理解的极限思想，而是通过让学生体验逼近的思想，让他们通过自主探究，发现导数的内涵．使学生在学习过程中探究能力，分析问题、解决问题的能力都得到了不同程度的提升．●教学流程创设问题情境，引出问题：如何刻画物体运动的快慢？⇒引导学生结合物理知识，分析、比较，引出平均变化率与瞬时变化率的概念.⇒通过引导学生回答所提问题理解瞬时变化率，得出导数的概念.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握如何计算平均变化率.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握求瞬时速度的方法，为求导数打下基础.⇒通过例3及其变式训练，学会求函数在某点处的导数的步骤与方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.(对应学生用书第45页)【问题导思】实例：(1)当你吹气球时会发现随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加的会越来越慢．(2)从高空放下一件物体，随着时间的变化，物体下降的速度会越来越快． 1．如何用数学的观点刻画物体运动的快慢？ 【提示】 可以运用平均变化率来刻画．2．实例(2)中，当t 1≈t 2时刻时，平均变化率有什么样的特点？ 【提示】 平均变化率接近t 1或t 2时刻的速度． 1．函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率 (1)定义式：Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比． (3)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢． 2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 (1)定义式：lim Δx →ΔyΔx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. (2)实质：瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值． (3)作用：刻画函数在某一点处变化的快慢．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率称为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝li mΔx →0 ΔyΔx ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.(对应学生用书第45页)求函数f (x )＝x 2在x ＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx 都为13，在哪一点附近平均变化率最大？【思路探究】 (1)Δx 、Δy 分别为多少？(2)平均变化率怎么求？(3)哪一点附近的平均变化率大？【自主解答】 在x ＝1附近的平均变化率为 k 1＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝(1＋Δx )2－1Δx ＝2＋Δx ；在x ＝2附近的平均变化率为k 2＝f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝(2＋Δx )2－22Δx ＝4＋Δx ；在x ＝3附近的平均变化率为k 3＝f (3＋Δx )－f (3)Δx ＝(3＋Δx )2－32Δx ＝6＋Δx .若Δx ＝13，则k 1＝2＋13＝73，k 2＝4＋13＝133，k 3＝6＋13＝193.由于k 1＜k 2＜k 3，故在x ＝3附近的平均变化率最大．1．解答本题的关键是弄清在某点处自变量的增量Δx 与函数值的增量Δy . 2．求函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率的三个步骤 (1)求自变量的增量：Δx ＝x 2－x 1. (2)求函数值的增量：Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． (3)作商求函数的平均变化率：Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.求函数y ＝sin x 在0到π6之间和π3到π2之间的平均变化率，并比较它们的大小．【解】 函数y ＝sin x 在0到π6之间的平均变化率为sin π6－sin 0π6－0＝3π，在π3到π2之间的平均变化率为sin π2－sin π3π2－π3＝3(2－3)π. ∵2－3＜1，∴3π＞3(2－3)π.∴函数y ＝sin x 在0到π6之间的平均变化率为3π，在π3到π2之间的平均变化率为3(2－3)π，且在0到π6之间的平均变化率较大．s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2 (t ≥3)29＋3(t －3)2(0≤t ＜3) 求(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度． (2)物体的初速度v 0.【思路探究】 (1)求物体在[3,5]内的平均速度应选择哪一段函数的解析式？(2)物体的初速度v 0的含义是什么？如何去求？【自主解答】 (1)∵物体在t ∈[3,5]内时，s ＝3t 2＋2，且时间增量Δt ＝5－3＝2， 物体在t ∈[3,5]内的位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48， ∴物体在t ∈[3,5]上的平均速度为 Δs Δt ＝482＝24(m/s)． (2)求物体的初速度v 0，即求物体在t ＝0时的瞬时速度． ∵物体在t ＝0附近的平均变化率为 Δs Δt ＝f (0＋Δt )－f (0)Δt＝29＋3[(0＋Δt )－3]2－29－3(0－3)2Δt ＝3Δt －18，∴物体在t ＝0处的瞬时变化率为 li mΔt →0 ΔsΔt＝li mΔt →0 (3Δt －18)＝－18， 即物体的初速度为－18 m/s.1．解答本例首先要弄清第(1)问是求平均变化率，而第(2)问实际上是求t ＝0时的瞬时速度(即瞬时变化率)．2．求瞬时速度应先求平均速度v ＝Δs ，再用公式v ＝li mΔt →0 Δs，求得瞬时速度． 3．如果物体的运动方程是s ＝s (t )，那么函数s ＝s (t )，在t ＝t 0处的导数，就是物体在t ＝t 0时的瞬时速度．一辆汽车按规律s ＝2t 2＋3做直线运动，求这辆车在t ＝2时的瞬时速度(时间单位：s ，位移单位：m)．【解】 设这辆车在t ＝2附近的时间变化量为Δt ，则位移的增量Δs ＝[2(2＋Δt )2＋3]－(2×22＋3)＝8Δt ＋2(Δt )2，Δs Δt ＝8＋2Δt ，当Δx 趋于0时，平均变化率ΔsΔt 趋于8. 所以，这辆车在t ＝2时的瞬时速度为8 m/s.【思路探究】 求Δy →求ΔyΔx→取极限→得f ′(1) 【自主解答】 Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝[3(1＋Δx )2＋a (1＋Δx )＋b ]－(3＋a ＋b )＝3(Δx )2＋(6＋a )Δx .Δy Δx ＝3(Δx )2＋(6＋a )Δx Δx＝3Δx ＋6＋a . li mΔx →0 ΔyΔx＝li mΔx →0 (3Δx ＋6＋a )＝6＋a . ∴f ′(1)＝6＋a .1．求函数f (x )在某点处导数的步骤与求瞬时变化率的步骤相同，简称：一差、二比、三极限．2．利用定义求函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的两个注意点(1)在求平均变化率Δy Δx 时，要注意对Δy Δx 的变形与约分，变形不彻底可能导致li mΔx →0 ΔyΔx 不存在．(2)当对Δy Δx 取极限时，一定要把ΔyΔx变形到当Δx →0时，分母是一个非零常数的形式．已知函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，求a 的值． 【解】 ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1) ＝a (1＋Δx )2＋c －(a ＋c ) ＝2a ·Δx ＋(Δx )2，∴Δy ＝2a ·Δx ＋(Δx )2＝2a ＋Δx . 因此f ′(1)＝lim Δx →ΔyΔx ＝lim Δx →0(2a ＋Δx )＝2a .∴2a＝2，a＝1.(对应学生用书第48页)求物体的瞬时速度、初速度时要注意步骤的规范性(12分)(2013·长沙高二检测)一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s(t)＝3t－t2.(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度；(3)求t＝0到t＝2时的平均速度．【思路点拨】本题已知函数解析式，求初速度即t＝0时的瞬时速度，t＝2时的瞬时速度和t∈[0,2]时的平均速度，可以用一差、二比、三极限的方法．【规范解答】(1)当t＝0时的速度为初速度．在0时刻取一时间段[0,0＋Δt]，即[0，Δt]，∴Δs＝s(Δt)－s(0)＝[3Δt－(Δt)2]－(3×0－02)＝3Δt－(Δt)2，2分Δs Δt＝3Δt－(Δt)2Δt＝3－Δt，3分lim Δt→0ΔsΔt＝limΔt→0(3－Δt)＝3.4分∴物体的初速度为3.(2)取一时间段[2,2＋Δt]，∴Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝[3(2＋Δt)－(2＋Δt)2]－(3×2－22) ＝－Δt－(Δt)2，6分Δs Δt＝－Δt－(Δt)2Δt＝－1－Δt，7分lim Δt→0ΔsΔt＝limΔt→0(－1－Δt)＝－1，8分∴当t＝2时，物体的瞬时速度为－1.(3)当t∈[0,2]时，Δt＝2－0＝2.Δs ＝s (2)－s (0)＝(3×2－22)－(3×0－02)＝210分 v ＝Δs Δt ＝22＝1. ∴在0到2之间，物体的平均速度为1.12分解答此类问题首先要理解概念与公式的内涵，其次在解题过程中要严格按规定步骤解答，切忌跨步，以免出错．1．平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ，当Δx 趋于0时，它所趋于的一个常数就是函数在x 0处的瞬时变化率，即求函数的瞬时变化率是利用平均变化率“逐渐逼近”的方法求解．另外，它们都是用来刻画函数变化快慢的，它们的绝对值越大，函数变化得越快．2．函数在一点处的导数，就是在该点函数值的改变量与自变量的改变量的比值的极限，它是一个定值，不是变数.(对应学生用书第48页)1．已知物体位移公式s ＝s (t )，从t 0到t 0＋Δt 这段时间内，下列说法错误的是( ) A ．Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)叫做位移增量B.Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt 叫做这段时间内物体的平均速度C.ΔsΔt 不一定与Δt 有关 D.lim Δt →ΔsΔt叫做这段时间内物体的平均速度 【解析】 D 错误，应为t ＝t 0时的瞬时速度． 【答案】 D2．已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43D ．0.44【解析】 ∵x ＝2，Δx ＝0.1， ∴Δy ＝f (2＋0.1)－f (2)＝2.12－22＝0.41. 【答案】 B3．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( )A ．f ′(x )＝aB ．f ′(x )＝bC ．f ′(x 0)＝aD ．f ′(x 0)＝b 【解析】Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝a ＋b ·Δx ， f ′(x 0)＝lim Δx →ΔyΔx ＝lim Δx →0(a ＋b ·Δx )＝a . 【答案】 C4．一物体运动的方程是s ＝3＋t 2，求物体在t ＝2时的瞬时速度． 【解】 Δs ＝(2＋Δt )2－4＝4Δt ＋(Δt )2.∴ΔsΔt＝4＋Δt . ∴当Δt →0时，瞬时速度为4.(对应学生用书第103页)一、选择题1．已知函数y ＝x 2＋1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy )，则ΔyΔx 等于( )A ．2B ．2xC ．2＋ΔxD ．2＋(Δx )2【解析】 Δy ＝(1＋Δx )2＋1－(12＋1)＝2Δx ＋(Δx )2.∴Δy Δx ＝2Δx ＋(Δx )2Δx＝2＋Δx . 【答案】 C2．自由落体运动的公式为s ＝s (t )＝12gt 2(g ＝10 m/s 2)，若v ＝s (1＋Δt )－s (1)Δt ，则下列说法正确的是( )A ．v 是在0～1 s 这段时间内的速度B ．v 是1 s 到(1＋Δt )s 这段时间内的速度C ．5Δt ＋10是物体在t ＝1 s 这一时刻的速度D ．5Δt ＋10是物体从1 s 到(1＋Δt )s 这段时间内的平均速度【解析】 由平均速度的概念知：v ＝s (1＋Δt )－s (1)Δt ＝5Δt ＋10.故应选D.【答案】 D3．(2013·惠州高二检测)某物体做直线运动，其运动规律是s ＝t 2＋3t (t 的单位是秒，s 的单位是米)，则它在4秒末的瞬时速度为( )A.12316米/秒B.12516米/秒 C ．8米/秒 D.674米/秒【解析】 ∵Δs Δt ＝(4＋Δt )2＋34＋Δt －16－34Δt＝(Δt )2＋8Δt ＋－3Δt 4(4＋Δt )Δt＝Δt ＋8－316＋4Δt，∴lim Δt →0 Δs Δt ＝8－316＝12516. 【答案】 B4．函数f (x )＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2，则k 1，k 2的大小关系是( )A ．k 1＜k 2B ．k 1＞k 2C ．k 1＝k 2D ．无法确定【解析】 k 1＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝2x 0＋Δx ，k 2＝f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx＝2x 0－Δx ，而Δx 可正可负，故k 1、k 2大小关系不确定．【答案】 D5．已知点P (x 0，y 0)是抛物线y ＝3x 2＋6x ＋1上一点，且f ′(x 0)＝0，则点P 的坐标为( )A ．(1,10)B ．(－1，－2)C ．(1，－2)D ．(－1,10)【解析】 Δy ＝3(x 0＋Δx )2＋6(x 0＋Δx )－3x 20－6x 0＝6x 0·Δx ＋3(Δx )2＋6Δx ，∴lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0(6x 0＋3Δx ＋6)＝6x 0＋6＝0. ∴x 0＝－1，y 0＝－2.【答案】 B二、填空题6．(2013·洛阳高二检测)一小球沿斜面自由滚下，其运动方程是s (t )＝t 2, (s 的单位：米，t 的单位：秒)，则小球在t ＝5时的瞬时速度为________．【解析】 v ′(5)＝lim Δt →0 s (5＋Δt )－s (5)Δt＝lim Δt →0(10＋Δt )＝10 【答案】 10米/秒7．已知函数f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a ＝________.【解析】 f ′(1)＝lim Δx →0 a (1＋Δx )＋4－a －4Δx ＝lim Δx →0 a Δx Δx＝2，∴a ＝2. 【答案】 28．若函数f(x)在x＝a处的导数为m，那么limΔx→0f(a＋Δx)－f(a－Δx)Δx＝________.【解析】∵limΔx→0f(a＋Δx)－f(a)Δx＝m，则limΔx→0f(a－Δx)－f(a)－Δx＝m.∴limΔx→0f(a＋Δx)－f(a－Δx)Δx＝limΔx→0f(a＋Δx)－f(a)＋f(a)－f(a－Δx)Δx＝limΔx→0f(a＋Δx)－f(a)＋limΔx→0f(a－Δx)－f(a)－Δx＝m＋m＝2m.【答案】2m三、解答题9．已知f(x)＝(x－1)2，求f′(x0)，f′(0)．【解】∵Δf＝(x0＋Δx－1)2－(x0－1)2＝2x0·Δx－2Δx＋(Δx)2，∴ΔfΔx＝2x0Δx－2Δx＋(Δx)2Δx＝2x0－2＋Δx，f′(x0)＝limΔx→0ΔfΔx＝limΔx→0(2x0－2＋Δx)＝2x0－2，把x0＝0代入上式，得f′(0)＝2×0－2＝＝－2.10．设质点做直线运动，已知路程s是时间t的函数：s＝3t2＋2t＋1.(1)求从t＝2到t＝2＋Δt的平均速度，并求当Δt＝1，Δt＝0.1时的平均速度；(2)求当t＝2时的瞬时速度．【解】(1)从t＝2到t＝2＋Δt内的平均速度为：Δs Δt＝s(2＋Δt)－s(2)Δt＝3(2＋Δt)2＋2(2＋Δt)＋1－3×4－2×2－1Δt＝14Δt＋3(Δt)2Δt＝14＋3Δt.当Δt＝1时，平均速度为14＋3×1＝17；当Δt＝0.1时，平均速度为14＋3×0.1＝14.3.(2)t＝2时的瞬时速度为：v＝limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0(14＋3Δt)＝14.11．(2013·黄冈高二检测)枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果枪弹的加速度是a ＝5×105 m/s 2，它从枪口射出所用的时间为t 1＝1.6×10－3 s ，求枪弹射出枪口时的瞬时速度． 【解】 ∵s (t )＝12at 2， ∴Δs ＝s (t 1＋Δt )－s (t 1)＝12a (t 1＋Δt )2－12at 21＝at 1Δt ＋12a (Δt )2， Δs Δt ＝at 1Δt ＋12a (Δt )2Δt ＝at 1＋12a Δt . ∴枪弹射出枪口时的瞬时速度为v ＝lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0 (at 1＋12a Δt )＝at 1. 由题意a ＝5×105 m/s 2，t 1＝1.6×10－3s ， ∴v ＝at 1＝5×105×1.6×10－3 ＝800(m/s)，即枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.(教师用书独具)求函数y ＝1x在x ＝1时的瞬时变化率． 【解】 ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1) ＝11＋Δx －1＝1－1＋Δx 1＋Δx＝1－1－Δx (1＋1＋Δx )1＋Δx＝－Δx (1＋1＋Δx )1＋Δx， ∴Δy Δx ＝－1(1＋1＋Δx )1＋Δx . ∴Δx 趋于0时，Δy Δx 趋于－12. ∴x ＝1时的瞬时变化率为－12.求y ＝x 在x ＝1处的导数．【解】 由题意知Δy ＝1＋Δx －1， ∴Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝(1＋Δx －1)(1＋Δx ＋1)Δx (1＋Δx ＋1) ＝11＋Δx ＋1， ∴y ′|x ＝1＝lim Δx →011＋Δx ＋1＝12.。
人教A版高中数学选修1-1《三章导数及其应用3.1变化率与导数3.2导数的概念》优质课教案_24
1.1.2导数的概念（一）教材分析本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（A版）数学选修2-2第一章第一节的《变化率与导数》，《导数的概念》是第2课时.导数是微积分的核心概念之一，它是一种特殊的极限，反映了函数变化的快慢程度.导数是求函数的单调性、极值、曲线的切线以及一些优化问题的重要工具，同时对研究几何、不等式起着重要作用.导数概念是我们今后学习微积分的基础•同时，导数在物理学，经济学等领域都有广泛的应用，是开展科学研究必不可少的工具.（二）教学目标（1）在上一节学习平均变化率的基础上，了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；（2）理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；（3）会求函数在某点的导数及简单应用.（三）教学重点与难点重点：通过运动物体在某一时刻的瞬时速度的探求，抽象概括出函数导数的概念. 难点：使学生体会运动物体在某一时刻的平均速度的极限意义，由此得出函数在某点平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此得出导数的概念.（四）教学过程1. 复习引入（1）函数y = f（x）从x i到X2的平均变化率公式；（2）函数y = f（x）从x0到X Q L X的平均变化率公式.2. 合作探究在高台跳水运动中，运动员在不同时刻的速度是不同的. 我们把物体在某一时刻（某一位置）的速度称为瞬时速度.探究一：瞬时速度的求解从前面的学习我们知道，平均速度只能粗略地描述某段时间内物体的运动状态，不一定能反映运动员在某一时刻的瞬时速度. 如何求运动员的瞬时速度呢？设计意图：让学生产生进一步学习的需求，即有必要知道任意时刻的速度.以高台跳水运动为例，研究运动员在某一时刻的瞬时速度.在高台跳水运动中，如果运动员相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在关系ht =-4.9t26.5t 10.探究：如何求运动员瞬时速度？比如t =2s的瞬时速度是多少？平均速度与瞬时速度有关系吗？设计意图：问题具体化，即求运动员在t=2s时的瞬时速度.针对具体的问题情境，寻求解决问题的想法.我们求t=2s的瞬时速度是多少，先察t=2s附近平均速度的情况：(2) 我们如何表示运动员在t=2s 时的瞬时速度？ (3) 运动员在某一时刻t o 的瞬时速度怎样表示？设计意图：从特殊到一般，即从特殊点t=2上升到任意点t=t °瞬时速度的表示. (4) 函数f(x)在x=x 0处的瞬时变化率怎样表示？设计意图：舍弃具体变化率问题的实际意义，抽象为数学问题，定义导数. 探究二：导数的定义瞬时速度是平均速度—当览趋近于0时的极限.L t导数的定义：函数y =f(x)在x =x o 处的瞬时变化率是啊卡=|m f(xo：-f (xo)，我们称它为函数y = f(x)在x=x o 处的导数，记作 f (x o ) 或 y'U 即 f(x o )pm of(x x)—f(x o )注意：(1) 函数应在点X 。
3.1变化率与导数的导学案
3.1变化率与导数的导学案《函数的平均变化率》导学案恩施市第一高级中学高二年级理科数学严新国执笔【课程学习目标】1、知识与技能：（1）通过大量的实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数；（2）理解导数概念和几何意义，能用定义求解简单函数的导函数，会求曲线在某点处的切线。
2、过程与方法：①通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力；②通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。
3、情感、态度与价值观：通过运动的观点体会导数的内涵，使学生掌握导数的概念不再困难，从而激发学生学习数学的兴趣。
二、重点、难点:重点：导数概念的形成，导数内涵的理解；难点：在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵，通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点【知识体系探究】探究（一）平均变化率问题1：有关气球膨胀率我们都吹过气球，回忆一下吹气球的过程。
开始可以轻松的吹进气体，并且气球半径增加的较快；随着气球的变大，吹进一口气往往要使出吃奶的力气，气球大小变化却不明显。
也就是说随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.思考1.你能用所学的数学知识解释这个现象吗？我们先研究当气球的体积增加1L时，气球半径半径的变化情况。
思考2.当气球的容量V1增加到V2时，气球的半径增大的幅度是如何变化的？气球的平均膨胀率是多少?问题2：有关高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10.思考1：如何用运动员在5.0≤t时的平均速v度粗略地描述其运1≤0≤≤t和2动状态?思考2：上面计算了两个时间段运动员的平均速度，下面在计算49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题： ⑴运动员在这段时间内是静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？知识归纳：1.把上述问题进行推广，对于函数()y f x =中的变化率问题可以用式子 来表示。
优秀教案21-变化率与导数
第三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数〔1〕教材分析导数是微积分的核心概念之一.它是研究函数增减、变化快慢、最大〔小〕值等问题最一般、最有效的工具，因而也是解决诸如运动速度、物种繁殖率、绿化面积增长率，以及用料最省、利润最大、效率最高等实际问题的最有力的工具.在本章,我们将利用丰富的背景与大量实例,学习导数的根本概念与思想方法;通过应用导数研究函数性质、解决生活中的最优化问题等实践活动，初步感受导数在解决数学问题与实际问题中的作用.教材安排导数内容时，学生是没有学习极限概念的．教材这样处理的原因，一方面是因为极限概念高度抽象，不适合在没有任何极限认识的根底上学习．所以，让学生通过学习导数这个特殊的极限去体会极限的思想，这为今后学习极限提供了认识根底．另一方面，函数是高中的重要数学概念，而导数是研究函数的有力工具，因此，安排先学习导数方便学生学习和研究函数．基于学生已经在高一年级的物理课程中学习了瞬时速度，因此，先通过求物体在某一时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度，再由此抽象出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的的模型，并将瞬时变化率定义为导数，这是符合学生认知规律的．课时分配本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书〔A 版〕数学选修1－1第三章第一节的?变化率与导数?，?导数的概念?是第2课时，主要讲解导数的概念及利用定义求导数.教学目标重点: 通过运动物体在某一时刻的瞬时速度的探求，抽象概括出函数导数的概念．难点：使学生体会运动物体在某一时刻的平均速度的极限意义，由此得出函数在某点平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此得出导数的概念．知识点：导数的概念.能力点：掌握利用求函数在某点的平均变化率的极限实现求导数的根本步骤教育点：通过导数概念的构建，使学生体会极限思想，为将来学习极限概念积累学习经验自主探究点：通过导数概念的教学教程，使学生体会到从特殊到一般的过程是发现事物变化规律的重要过程.考试点：利用导数的概念求导数.易错易混点：对0x ∆→的理解，0,0,x x ∆>∆<0,0x x ∆>∆≠但0x ∆≠. 拓展点：导数的几何意义.教具准备 多媒体课件和三角板 课堂模式 学案导学一、引入新课师生活动：教师：请说出函数()y f x =从x 1到x 2的平均变化率公式．学生：2121()()f x f x x x --．教师：如果用x 1与增量△x 表示，平均变化率的公式是怎样的？ 学生：11()()f x x f x x+∆-∆教师：高台跳水的例子中，在时间段650,49⎡⎤⎢⎥⎣⎦里的平均速度是零，而实际上运发动并不是静止的．这说明平均速度不能准确反映他在这段时间里运动状态.学生：在教师的讲述中思考用什么量来反映运发动的运动状态． 提问：用一个什么样的量来反映物体在某一时刻的运动状态？ 学生：体会并明确瞬时速度的作用．提问：我们如何得到物体在某一时刻的瞬时速度？例如，要求物体在2s 的瞬时速度，应该怎么解决？【设计意图】让学生理解平均速度与瞬时速度的区别与联系，感受到平均速度在时间间隔很小时可以近似地表示瞬时速度.【设计说明】应使学生明确平均速度与瞬时速度的关系，为下一阶段实验活动作铺垫.二、探究新知跳水运发动在跳水过程中距离水面的高度与时间的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++，完成以下表格中02t =秒附近的平均速度的计算并填充好表格，观察平均速度的变化趋势．0t ∆>时，在[]2,2t +∆内，(2)(2)h t h v t +∆-=∆0t ∆<时，在[]2,2t +∆内，(2)(2)h h t v t -+∆=-∆t ∆νt ∆ν0.01 -13.149 －0.01 -13.051 0.001-13.1049 －0.001 -13.0951 0.0001 -13.10049 －0.0001 -13.09951 0.00001 -13.100049－0.00001 -13.099951 0.000001-13.1000049－0.000001-13.0999951师：观察以上表格，你能发现平均速度有什么变化趋势吗？将结果投影，引导同学们一起观察.在学生观察的根底上指出：当t ∆趋近于0时，平均速度都趋近于一个确定的常数，这个常数就是瞬时速度．[设计意图] 让学生通过定量分析感受平均速度在时间间隔越来越小时向瞬时速度逼近的过程．给学生充分的感性材料, 使学生从感性上获得求瞬时速度的方法．培养学生归纳、概括能力.师:你认为通过实验所得结果〔常数〕就是瞬时速度吗？这个数据到底是精确值还是近似值？启发学生归纳出结论：0t ∆→时，平均速度所趋近的这个常数是可以得到的，它不是近似值，是一个精确值，它与变量t ∆无关，只与时刻0t 有关．[设计意图] 使学生认识到平均速度当时间间隔趋向于零时的极限就是瞬时速度，为给出导数概念提炼出一个具体的极限模型．一般地,函数()y f x =在x x =处的瞬时变化率是00()()limlim x x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆,我们称它为函数()y f x =在x x =处的导数,记作()f x '或|x xy =',即()f x '=00()()lim lim x x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆.三、理解新知求函数()y f x =在点0x 处的导数的步骤大致分为以下三步：第一步，求函数增量00()()y f x x f x ∆=+∆-；第二步，求平均变化率00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆； 第三步，求平均变化率的极限，即导数'00()limx yf x x∆→∆=∆．[设计意图]为准确地运用新知，作必要的铺垫.四、运用新知例1求2y x =在点1x =处的导数． 解:222(1)12()y x x x ∆=+∆-=∆+∆,22()2y x x x x x∆∆+∆==+∆∆∆, ∴00limlim (2)2x x yx x ∆→∆→∆=+∆=∆.1'|2x y =∴=注意:2()x ∆括号别忘了写.变式训练: 求224y x x =+在点3x =处的导数.解:2222(3)4(3)(2343)2()16y x x x x ∆=+∆++∆-⨯+⨯=∆+∆,216yx x∆=∆+∆, 00lim lim(216)16x x y x x ∆→∆→∆=∆+=∆, 即3'|16x y ==.[设计意图]通过变式训练,便于学生全面的认识利用定义求导数的步骤, 提高理解、运用知识的能力． 例2 21y x =+,求'y .解:[]2()1(21)y x x x ∆=+∆+-+2x =∆,2yx∆∴=∆, 0lim 2x y x∆→∆∴=∆,即'2y =.变式训练: y 求'y .解:y ∆yxx∆=∆∆,0limlimx x y x x ∆→∆→∆==∆∆=’'y ∴=[设计意图] 由一个问题引申为一类问题，提高学生的解题能力．同时,便于学生发现不同题目解题过程的 区别与联系,有利于学生用联系的观点看问题．五、课堂小结教师提问：本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想方法？学生作答： 1．知识：导数的概念.2．思想：特殊与一般、化归的思想．教师总结: 本节课学习了导数的概念，导数的概念说明：当自变量的增量趋向于零时，函数在某点的平均变化率的无限地趋向于函数在该点的瞬时变化率，这是非常重要的极限思想．求导数的步骤大致分为以下三步： 第一步，求函数增量； 第二步，求平均变化率并化简； 第三步，求平均变化率的极限，即导数． [设计意图] 加强对学生学习方法的指导．六、布置作业1．阅读教材P74—76； 2.书面作业必做题： P79 习题3.1 A 组 1,2,3,4,5. 选做题：1.如果质点A 按照规律23s t =运动，那么在3t =时的瞬时速度为 .2.设函数()f x 可导，那么0(1)(1)lim3x f x f x∆→+∆-=∆ .3. 设函数()f x 3ax =+，假设'(1)3f =，那么a = .4.函数1y x x=+在1x =处的导数等于 . 5.质点M 按规律223s t =+做直线运动(位移单位:cm ，时间单位：s)，求质点M 在2t =时的瞬时速度，并与运用匀变速直线运动速度公式求得的结果进行比拟. 答案:1. 18 2.1(1)3f ' 3. 3 4. 0 5. 瞬时速度为8/cm s ,用两种方法求得的结果相同. 课外思考:函数()y f x =在一点处的导数有什么几何意义吗?[设计意图]设计作业1,2，是引导学生先复习，再作业，培养学生良好的学习习惯.书面作业的布置，是为了让学生能够运用导数的概念，解决简单的数学问题；课外思考的安排，是让学生深刻思考、领悟导数的意义，为下节课的学习做铺垫．七、教后反思1.“以学生为本〞的教育观是教学设计的根本指导思想.学生通过“经历〞、“体会〞、“感受〞，最后形成概念的学习过程，充分表达了学生为本的现代教育观.2.作业的布置尽量满足多样化的学习需求,做到因材施教,但在具体实施中,分寸的把握需视情况而定.八、板书设计x∆,我们称它处的导数,记作()f x '或(lim x f x yx x∆-∆=∆∆.。
高中数学变化率与导数精品教学设计
变化率与导数教学设计一、内容与内容解析变化是自然界的普遍现象，丰富多彩的变化问题随处可见。
函数是描述运动变化规律的重要工具。
如何定量刻画千变万化的变化现象，是数学研究的重要课题。
17世纪创立的微积分就源于研究运动物体的变化规律，它是数学发展中的里程碑。
本节课的核心内容是平均变化率和瞬时变化率。
这是微积分中的两个核心概念，有着极其丰富的实际背景和广泛的应用。
对于宏观地描述一个简单的变化过程，可以利用平均变化率的这个指标，但是随着对变化问题研究的深入和细化，用平均变化率已经不足刻画一个较复杂的变化问题，需要引进瞬时变化率的概念。
由平均变化率的概念拓展至瞬时变化率的概念，这不是两个平行概念间的迁移，而是在原有概念基础上的质的飞跃。
如果说平均变化率是静态的概念，那么瞬时变化率则是一个动态的概念。
其蕴涵的无限分割的微分的思想，无限逼近的极限的思想是两个极为重要的数学思想。
因此本节课的重点是理解瞬时变化率的概念，学会用瞬时变化率来“度量”变化过程。
二、目标与目标解析抽象的数学往往都具有丰富的实践背景，变化率概念的形成和发展也不例外。
课堂教学需要再现数学概念的形成与发展过程，让学生体会数学的重要思想和丰富内涵，感受数学工具在解决实际问题的作用，使学生认识到数学概念的形成也是人的思想的自然合理、符合逻辑的发展过程。
因此确定本节课的教学目标为：1.从具体案例中，发现平均变化率是在刻画变化规律中过程的重要指标作用和局限性。
2.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，激发学生求变、求新的学习热情。
3.自然合理地形成微分、逼近、极限等数学观点，体会微积分的思想及其内涵，理解导数就是瞬时变化率。
三、教学问题诊断分析函数是刻画运动变化的重要数学模型，函数的图象与性质是学生定性分析变化现象的重要认知基础。
或许学生能够从函数图象上感受函数变化的快与慢。
但学生往往缺乏从定量和抽象的层面去分析数学问题本质的习惯与能力。
高中数学《变化率与导数》教案3 新人教A版选修1-1
课题：3.1 函数的变化率教学目标：1、知识目标：通过生活实例使学生理解函数增量、函数的平均变化率的概念；掌握求简单函数平均变化率的方法，会求函数的平均变化率；理解函数的平均变化率的含义，引出函数的瞬时变化率概念，简单应用为下一节导数概念的学习打好基础。
2、能力目标：使学生在研究过程中熟悉数学研究的途径：背景——数学表示——应用，培养学生独立思考，解决问题的能力和在生活中建立数学模型，用数学理论解释生活问题、应用数学的能力。
3、情感目标：使学生通过学习，了解简单的情景蕴涵建立模型解决问题的一般思想方法，鼓励学生主动探究、不惧困难，勇于挑战自我的思想品质。
并养成学生探究——总结型的学习习惯。
教学重点：函数自变量的增量、函数值的增量的理解函数平均变化率和瞬时变化率的理解和简单应用。
教学难点：函数平均变化率转化为瞬时变化率的理解。
教学方法：例举分析——归纳总结——实际应用教学过程：一、引入：1、情境设置：（图片）巍峨的珠穆朗玛峰、攀登珠峰的队员两幅陡峭程度不同的图片2、问题：当陡峭程度不同时，登山队员的感受是不一样的，如何用数学来反映山势的陡峭程度，给我们的登山运动员一些有益的技术参考呢？3、引入：让我们用函数变化的观点来研讨这个问题。
二、例举分析：（一）登山问题例：如图，是一座山的剖面示意图:A是登山者的出发点,H是山顶,登山路线用y=f(x)表示才问题：当自变量x样表示？ 分析：1、选取平直山路AB 放大研究 若),(),,(1100y x B y x A自变量x 的改变量：1x x =∆ 函数值y 的改变量：1y y =∆ 直线AB 的斜率：xyx x y y k ∆∆=--=0101说明：当登山者移动的水平距离变化量一定（x ∆为定值）时，垂直距离变化量（y ∆）越大，则这段山路越陡峭；2、选取弯曲山路CD 放大研究方法：可将其分成若干小段进行分析：如CD 1的陡峭程度可用直线CD 1的斜率表示。
2019新人教A版(选修1-1)3.1《变化率与导数》word教案
2019新人教A版（选修1-1）3.1《变化率与导数》word教案【励志导学】注意细节其实是一种功夫，这种功夫是靠日积月累培养出来的。
谈到日积月累，就不能不涉及到习惯，因为人的行为的95%都是受习惯影响的，在习惯中积累功夫，培养素质。
爱因斯坦曾说过这样一句有意思的话：“如果人们已经忘记了他们在学校里所学的一切，那么所留下的就是教育。
”也就是说“忘不掉的是真正的素质”。
而习惯正是忘不掉的最重要的素质之一。
微分和积分的思想在古代就已经产生了。
公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。
作为微分学基础的极限理论来说，我国古代的数学家庄周和刘徽都做出了巨大的贡献。
到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，如物体在研究运动时，求即时速度的问题，求曲线的切线的问题，求函数的最大值和最小值问题。
十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，这也就成了促使微积分产生的因素，他们为微积分的创立做出了贡献。
十七世纪下半叶，在前人研究的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里细心钻研，独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。
他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题(积分学的中心问题)，微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。
自己也奠定了在微积分理论方面的坚实基础。
本章主要由三部分，导数的概念及其几何意义、导数的基本运算、导数在研究函数中的应用以及生活中的优化问题，在学习本章时，应注意以下几个方面的问题：（1）导数是建立在极限基础上的，并用极限定义的基本概念，它在微积分中有极其重要的地位，导数也就是函数的变化率，可直接反映出实际问题中函数变化的快慢，如瞬时速度，加速度，光滑曲线的切线的斜率等；（2）导数的方法涉及导数定义、常用求导公式、四则运算法则等求导方法，因此重点应为导数的概念与计算。
变化率与导数教案
变化率与导数教案一、教学目标：1.理解变化率的概念，知道变化率可以用来描述函数在一些点的瞬时变化。
2.掌握求函数在一些点的瞬时变化率的方法，可以利用导数求变化率。
3.理解导数的概念，认识导数是函数变化率的极限。
4.掌握求函数导数的方法，可以通过“导函数”公式或者导数的定义求函数的导数。
5.掌握利用导数求函数的极值、切线以及函数的增减性。
二、教学重难点：1.掌握求函数在一些点的瞬时变化率的方法，可以利用导数求变化率。
2.掌握求函数导数的方法，可以通过“导函数”公式或者导数的定义求函数的导数。
3.掌握利用导数求函数的极值、切线以及函数的增减性。
三、教学准备：1.教学课件、电子白板2.笔记本电脑、投影仪3.相关教学素材：函数的图像、求导公式。
四、教学过程：步骤一：导入与引入1.导入：通过呈现一个问题引入本节课的主题：“小明骑自行车从家到学校的距离是10公里，他用了1小时到达。
那么，小明在哪个位置的时候速度最快？”引导学生思考问题。
2.引入：让学生想一想在一小时内的任何时刻骑车的速度都是一样的吗？为什么？引导学生思考速度是如何变化的。
这种速度的变化可以用什么来描述？步骤二：引导学生理解变化率1.提问：让学生思考如果小明家到学校的距离是20公里，他用了1小时到达，那么小明在哪个位置的时候速度最快？在哪个位置的时候速度最慢？2.学生合作讨论，教师介绍：引导学生思考速度变化率的概念，说明速度变化率可以反映速度的变化情况。
如果速度变化率是正值，说明速度在增加；如果速度变化率是负值，说明速度在减小；如果速度变化率是零，说明速度保持不变。
3.举例说明：通过一个具体的例子，如小明每隔10分钟记录下自行车的位置，并计算出速度变化率。
通过计算结果展示速度是如何变化的。
步骤三：引导学生理解导数1.导入：提问学生，是否可以通过计算出速度变化率来确定速度在一些位置的变化情况？2.导入定义：引导学生理解导数的概念，导数是函数的变化率的极限。
人教课标版高中数学选修1-1《变化率与导数(第1课时)》教案-新版
3.1.1 变化率与导数第一课时一、教学目标 1.核心素养:通过了解平均变化率，培养学生的数学抽象和运算能力. 2.学习目标（1）理解平均变化率的概念. （2）了解平均变化率的几何意义. （3）会求函数在某点处附近的平均变化率. 3.学习重点平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率. 4.学习难点 平均变化率的概念. 二、教学设计 （一）课前设计 1.预习任务 任务1阅读教材P72—P74，思考：什么是平均变化率？计算平均变化率的步骤有哪些？平均变化率有怎样的几何意义？ 2.预习自测1.在平均变化率的定义中，自变量的增量x ∆满足（ ） A.0x ∆> B.0x ∆< C.0x ∆= D.0x ∆≠ 解：D2.下列各式中，不能表示平均变化率的是（ ） A.yx ∆∆ B.1212()()f x f x x x -- C.11()()f x x f x x +∆-∆ D.1221()()f x f x x x --解：D（二）课堂设计 1.知识回顾（1）sv t=,即速度等于路程变化量除以时间变化量.（2）1212y y k x x -=-,即直线的斜率等于直线上两点纵坐标之差除以横坐标之差.2.问题探究问题探究一 ●活动一 分析实例 想一想：（1）气球在吹起过程中，随着吹入气体的增加，它的膨胀速度有何变化？ （2）你认为膨胀速度与哪些量有关系？ （3）球的体积公式是什么？有哪些基本量？（4）结合球的体积公式，试用两个变量之间的关系来表述气球的膨胀率问题？总结：可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加越来越慢.从数学角度，如何描述这种现象呢?气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是334)(r r V π=，如果将半径r 表示为体积V 的函数，那么343)(πV V r =. 分析:对于343)(πV V r =， （1）当V 从0增加到1时，气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈-，气球的平均膨胀率为)/(62.001)0()1(L dm r r ≈--（2）当V 从1增加到2时，气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈-，气球的平均膨胀率为)/(16.012)1()2(L dm r r ≈--可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了. 想一想：当空气容量从1V 增加到2V 时，气球的平均膨胀率是多少?1212)()(V V V r V r --问题2 高台跳水在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系2() 4.9 6.510h t t t =-++.想一想：如何用运动员在某些时间段内的平均速度v 粗略地描述其运动状态? 思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度. 在5.00≤≤t 这段时间里，)/(05.405.0)0()5.0(s m h h v =--=；在21≤≤t 这段时间里，)/(2.812)1()2(s m h h v -=--=.●活动二 探索新知上述问题中的变化率可用式子1212)()(x x x f x f --表示，称为函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率，若设12x x x -=∆，)()(12x f x f f -=∆ (这里x ∆看作是对于1x 的一个“增量”可用1x +x ∆代替2x ，同样)()(12x f x f y f -=∆=∆)，则平均变化率为=∆∆=∆∆x fx y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212. 问题探究二 平均变化率有怎样的几何意义？ ●活动一 观察结构，得出结论 平均变化率=∆∆x f 1212)()(x x x f x f --表示函数()y f x =图像上两点11(,())x f x ,22(,())x f x 连线的斜率.问题探究三 如何计算函数在某点附近的平均变化率？●活动一 初步运用，计算平均变化率例1 物体的运动方程是23s t =+，则在一小段时间[2，2.1]内相应的平均速度为（ ） A.0.41 B.3 C.4 D.4.1 【知识点：平均变化率】详解：平均速度为22(3 2.1)(32)4.12.12s t ∆+-+==∆-,答案选D.●活动二 结合图形，深化运用例2 现有重庆市某年3月和4月某天日最高气温记载.观察：3月18日到4月18日与4月18日到4月20日的温度变化，用曲线图表示为：思考1：“气温陡增”是一句生活用语，若从数学角度描述，那该如何描述？ 2：如何从数学角度说明曲线上升的陡峭程度？温度T (℃时间t （d ）【知识点：平均变化率；数学思想：数形结合】详解：（1）“气温陡降”从数学角度是指在相应时间内，气温的平均变化率很大. （2）从A 到B ，平均变化率为18.6 3.50.49321-≈-；从B 到C ，平均变化率为33.418.67.43432-=-点拨：关于平均变化率计算的问题，关键是准确算出各自的变化量. 3.课堂总结 【知识梳理】 平均变化率=∆∆=∆∆xfx y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212. 【重难点突破】x ∆表示横坐标的变化量，可以为正数，也可以是负数，但不能为0. 4.随堂检测1.物体的运动方程是22s t =，则从2s 到3s 这段时间内路程的增量为（ ） A.18 B.8 C.10 D.12 【知识点：平均变化率】 解：B2.某质点A 沿直线运动的方程为221y x =-+，则该质点从t ＝1到t ＝2时的平均速度为（ ） A.－4 B.－8 C.－6 D.6 【知识点：平均变化率】 解：C3.已知函数2()f x x =，分别计算()f x 在下列区间上的平均变化率： （1）[1，3]；（2）[-2，-1]；（3）[-1，2]；（4）[5，10] 【知识点：平均变化率】解：（1）(3)(1)431y f f x ∆-==∆-;（2）(2)(1)31y f f x ∆---==-∆-；（3）(2)(1)13y f f x ∆--==∆（4）(10)(5)155y f f x ∆-==∆. 4.某婴儿从出生到第12个月的体重变化如右图所示，试分别计算从出生到第3个月以及第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率. 【知识点：平均变化率；数学思想：数形结合】 解：11(3)(0)13y f f x ∆-==∆；22(12)(6)0.46y f f x ∆-==∆. （三）课后作业 基础型 自主突破1.在平均变化率的定义中，自变量的增量满足（ ）A.0x ∆>B.0x ∆<C.0x ∆=D.0x ∆≠ 【知识点：平均变化率】 解：D2.物体的运动规律是()s s t =，物体在t 至t t +∆这段时间内的平均速度是（ ）A._st v t = B._s t v t ∆=∆ C._s v t ∆=∆ D.0t ∆→时，_s t v t ∆=∆解：C【知识点：平均变化率】 能力型 师生共研3.水经过水管从容器甲中流向容器乙，t s 后容器甲中水的体积0.1()52t V t -=⨯（单位：3cm ），计算第一个10s 内的平均变化率. 【知识点：平均变化率】 解：(10)(0)1104y v v x ∆-==-∆. 4.已知函数()21f x x =+，g()2x x =-，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上()f x 及g()x 的平均变化率.【知识点：平均变化率】解：在[-3-1]，上，(-1)(-3)22f f f x ∆-==∆;(-1)(-3)22g g g x ∆-==-∆; 在[05]，上，(5)(0)25f f f x ∆-==∆；(5)(0)25g g g x ∆-==-∆. 探究型 多维突破5.已知函数2()f x x x =-+的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-，则=∆∆xy. 【知识点：平均变化率】 解：-3x ∆+∵222(1)(1)32y x x x x -+∆=--+∆+-+∆=-∆+∆-,∴=∆∆xy-3x ∆+. 6.过曲线3()y f x x ==上两点(1,1)P 和(1,1)Q x y +∆+∆作曲线的割线，则当0.1x ∆=时割线的斜率为 .【知识点：平均变化率】 解：3.311.3311(1.1,1.331), 3.310.1y Q k x ∆-===∆. （四）自助餐1.在平均变化率的定义中，自变量的增量x ∆是（ ） A.0x ∆> B.0x ∆< C.0x ∆≠ D.0x ∆= 【知识点：平均变化率】 解：C2.设函数()y f x =，当自变量x 由0x 改变到0x x +∆时，函数的改变量y ∆是（ ） A.()0f x x +∆ B.()0f x x +∆ C.()0f x x ⋅∆ D.()()00f x x f x +∆- 【知识点：平均变化率】 解：D3.已知函数()224f x x =-的图象上一点()1,2-及附近一点()1,2x y +∆-+∆，则yx∆∆等于（ ） A.4 B.4x C.42x +∆ D.()242x +∆ 【知识点：平均变化率】 解：C4.自变量0x 变到1x 时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数（ ） A.在区间[]01,x x 上的平均变化率 B.在0x 处的变化率 C.在1x 处的变化量 D.在区间[]01,x x 上的导数 【知识点：平均变化率】 解：A5.如果质点M 按规律23s t =+运动，则在一小段时间[]2,2.1中相应的平均速度是（ ） A.4 B.4.1 C.0.41 D.3 【知识点：平均变化率】 解：B6.一质点运动方程为253s t =-，则在一段时间[]1,1t +∆内的平均速度是（ ） A.36t ∆+ B.36t -∆+ C.36t ∆- D.36t -∆- 【知识点：平均变化率】 解：D7.已知212s gt =(其中g 为重力加速度)，t 从3秒到3.1秒的平均速度是 . 【知识点：平均变化率】 解：3.05g8.已知函数32y x =-，当2x =时，yx∆=∆ . 【知识点：平均变化率】 解：2612yx x x∆=∆+∆+∆。
变化率与导数教案
变化率与导数教案教案标题：变化率与导数教案教案目标：1. 了解变化率的概念和意义；2. 理解导数的定义和计算方法；3. 掌握使用导数求函数在某一点的变化率；4. 能够应用变化率和导数解决实际问题。
教案内容和步骤：一、引入（5分钟）1. 激发学生学习本课内容的兴趣，例如，介绍一些实际应用中变化率的重要性和意义。
2. 提问引导学生思考：什么是变化率？我们可以如何计算它？二、理论讲解（15分钟）1. 介绍变化率的定义：变化率是指函数在某一点的增长速度或减少速度。
2. 解释变化率的计算方法：计算函数在两个点间的斜率，或者通过求函数的导数。
3. 引入导数的概念：导数是函数在某一点的变化率。
介绍导数的符号表示和几何意义。
4. 讲解导数的计算方法：通过限定增量趋近于零的极限来计算导数。
三、例题演练（15分钟）1. 给出一个函数，要求学生计算其一些特定点上的导数。
2. 指导学生使用限定增量计算导数的方法，理解导数的物理意义。
3. 利用导数计算函数在某一点的变化率，并解释其意义。
四、综合应用（15分钟）1. 提供一些实际问题，要求学生应用导数和变化率的概念解决问题。
2. 通过问题的解答，巩固学生对导数和变化率的理解。
五、拓展延伸（10分钟）1. 引导同学思考：导数和变化率是否总是有意义的？有什么例外情况？2. 讲解导数在图像上的几何意义：导数表示函数图像的切线斜率。
3. 鼓励学生通过阅读相关书籍或课外资料，深入了解导数的应用领域。
六、总结与评价（5分钟）1. 总结本节课的重点内容，强调变化率与导数的关系和应用。
2. 提醒学生复习导数计算的方法和应用技巧。
3. 鼓励学生提出问题和困惑，并对本节课的教学进行评价。
备注：根据实际教学情况，上述步骤的时间可以适当调整。
同时，可以在教案中加入多媒体教学资源、互动讨论等教育工具，以提高学生的参与度和理解能力。
【公开课教案】“变化率问题与导数的概念”教学设计
“变化率问题与导数的概念”教学设计一、教材分析本节内容选自课标实验教材人教A版，是导数的起始课，主要内容有变化率问题和导数的概念。
导数是微积分中的核心概念，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用。
在本章的学习中，学生将学习导数的有关知识，体会其中蕴含的思想方法，感受其在解决实际问题中的作用，了解微积分的文化价值。
大纲教材中导数概念学习的起点是极限，这种建立概念的方式具有严密的逻辑性和系统性，但学生很难理解极限的形式化定义，因此也影响了对导数本质理解。
教材通过列表计算、直观地把握函数变化趋势（蕴涵着极限的描述性定义），这种直观形象的方法中蕴含了逼近的思想，这样定义导数的优点是：1．使学生将更多精力放在导数本质的理解上；2．学生对逼近思想有了丰富的直观基础和一定的理解，有利于在大学的初级阶段学习严格的极限定义。
基于上述分析，本节课的教学重点是：丰富学生的感性经验，运用逼近的思想方法引导学生探索理解导数的思想及内涵。
二、教学设计课题：变化率问题与导数的概念教学目标：1．通过分析实例，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；2．通过动手计算培养学生观察、分析、比较和抽象概括的能力，体会逼近的思想方法；3．经历从生活中的变化率问题抽象概括出平均变化率的过程，体会数学知识来源于生活，又服务于生活。
通过概念的形成过程体会从特殊到一般的数学思想方法。
教学重点：了解瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵。
教学难点：从平均变化率向瞬时变化率的过渡。
教学过程：1．创设情境、引入新课教师介绍：微积分的创立是数学发展的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要方法和手段。
在本章中，学生将通过大量的实例，经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，那么，我们先来研究变化率的问题，引出新课。
设计意图：充分挖掘章引言的教学价值，它说明了三方面的问题：首先，简明的指出了函数和微积分的关系；其次，概述了微积分的创立史及它的地位；第三，概述本章的学习内容。
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3．1变化率与导数（教学设计）（3）3．1．3导数的几何意义教学目标：知识与技能目标：通过实验探究，理解导数的几何意义，体会导数在刻画函数性质中的作用。
过程与方法目标：培养学生分析、抽象、概括等思维能力；通过“以直代曲”思想的具体运用，使学生达到思维方式的迁移，培养学生科学的思维习惯。
情感、态度与价值观目标：渗透逼近和“以直代曲”思想，能激发学生的学习兴趣，培养学生不断发展、探索知识的精神，引导学生从有限中认识无限，体会量变和质变的辩证关系，感受数学思想方法的魅力。
教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义； 教学难点：导数的几何意义． 教学过程：一、复习回顾：导数的概念： 从函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是:000()()limlimx x f x x f x f xx∆→∆→+∆-∆=∆∆我们称它为函数()y f x =在0x x =出的导数，记作'0()f x 或0'|x x y =，即 0000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆说明：（1）导数即为函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率（2）0x x x ∆=-，当0x ∆→时，0x x →，所以000()()()limx f x f x f x x x ∆→-'=-二．创设情景，新课引入：（一）平均变化率、割线的斜率 （二）瞬时速度、导数我们知道，导数表示函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率，反映了函数y =f (x )在x =x 0附近的变化情况，导数0()f x '的几何意义是什么呢？三．师生互动，新课讲解：（一）曲线的切线及切线的斜率：如图 3.1-2，当(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，割线n P P 的变化趋势是什么？图3.1-2我们发现,当点n P 沿着曲线无限接近点P 即Δx →0时,割线n P P 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为曲线在点P 处的切线.问题：⑴割线n P P 的斜率n k 与切线PT 的斜率k 有什么关系？ ⑵切线PT 的斜率k 为多少？ 容易知道，割线n P P 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-,当点n P 沿着曲线无限接近点P 时，n k 无限趋近于切线PT 的斜率k ，即0000()()lim()x f x x f x k f x x∆→+∆-'==∆说明：（1）设切线的倾斜角为α,那么当Δx →0时,割线PQ 的斜率,称为曲线在点P 处的切线的斜率. 这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质—函数在0x x =处的导数.（2）曲线在某点处的切线: 1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个. （二）导数的几何意义：函数y =f (x )在x =x 0处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率， 即 0000()()()limx f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出P 点的坐标;②求出函数在点0x 处的变化率0000()()()limx f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆ ，得到曲线在点00(,())x f x 的切线的斜率；③利用点斜式求切线方程. （二）导函数：由函数f (x )在x =x 0处求导数的过程可以看到,当时,0()f x ' 是一个确定的数，那么,当x 变化时,便是x 的一个函数,我们叫它为f (x )的导函数.记作：()f x '或y '，即: 0()()()limx f x x f x f x y x∆→+∆-''==∆注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数．（三）函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '、导函数()f x '、导数 之间的区别与联系。
1）函数在一点处的导数0()f x '，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。
2）函数的导数，是指某一区间内任意点x 而言的， 就是函数f(x)的导函数3）函数()f x 在点0x 处的导数'0()f x 就是导函数()f x '在0x x =处的函数值，这也是 求函数在点0x 处的导数的方法之一。
例1:（1）求曲线y =f (x )=x 2+1在点P (1,2)处的切线方程.（2）求函数y =3x 2在点(1,3)处的导数.解：（1）22210[(1)1](11)2|limlim2x x x x x xy x x=∆→∆→+∆+-+∆+∆'===∆∆,所以，所求切线的斜率为2，因此，所求的切线方程为22(1)y x -=-即20x y -=（2）因为222211113313(1)|limlimlim 3(1)611x x x x x x y x x x =→→→-⋅-'===+=--所以，所求切线的斜率为6，因此，所求的切线方程为36(1)y x -=-即630x y --= 例2：求函数f (x )=x x +-2在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．解：x x x x xy ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(220(1)(1)2(1)lim lim (3)3x x yx x f x x x→→∆--+∆+-+∆-'-===-∆=∆∆例3（课本P77例2）如图3.1-3，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++，根据图像，请描述、比较曲线()h t 在0t 、1t 、2t 附近的变化情况．解：我们用曲线()h t 在0t 、1t 、2t 处的切线，刻画曲线()h t 在上述三个时刻附近的变化情况． （1） 当0t t =时，曲线()h t 在0t 处的切线0l 平行于x 轴，所以，在0t t =附近曲线比较平坦，几乎没有升降．（2） 当1t t =时，曲线()h t 在1t 处的切线1l 的斜率1()0h t '<，所以，在1t t =附近曲线下降，即函数2() 4.9 6.510h x x x =-++在1t t =附近单调递减．（3） 当2t t =时，曲线()h t 在2t 处的切线2l 的斜率2()0h t '<，所以，在2t t =附近曲线下降，即函数2()4.96.510h x x x =-++在2t t =附近单调递减． 从图3.1-3可以看出，直线1l 的倾斜程度小于直线2l 的倾斜程度，这说明曲线在1t 附近比在2t 附近下降的缓慢．例4（课本P78例3）如图3.1-4，它表示人体血管中药物浓度()c f t =(单位：/mg mL )随时间t （单位：m in ）变化的图象．根据图像，估计0.2,0.4,0.6,0.8t =时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确到0.1）．解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度()f t 在此时刻的导数，从图像上看，它表示曲线()f t 在此点处的切线的斜率．如图3.1-4，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值．作0.8t =处的切线，并在切线上去两点，如(0.7,0.9，(1.0,0.48)，则它的斜率为：0.480.911.41.00.7k -=≈--所以 (0.8)1.f '≈-课堂练习1、求函数2)(x x f =在点（2，4）处的切线斜率。
x xx f x f xy ∆+=∆-∆+=∆∆4)()2(，故斜率为42、直线运动的汽车速度V 与时间t 的关系是12-=t V ，求o t t =时的瞬时速度。
t t t t v t t v t Vo o o ∆+=∆-∆+=∆∆2)()(，故斜率为2t 0四．课堂小结，巩固反思： 1．曲线的切线及切线的斜率； 2．导数的几何意义 五．布置作业 A 组： 1、（课本P79习题3.1A 组 NO ：5） 2、（课本P79习题3.1A 组 NO ：6）3、(tb11502101)函数y=f(x)在x=x 0年的导数f ’（x 0）的几何意义是（ C ） （A ）在点x=x 0处的函数值；（B ）在点(x 0,f(x 0))处的切线与x 轴所夹锐角的正切值 （C ）曲线y=f(x)在点(x 0,f(x 0))年的切线的斜率 （D ）点(x 0,f(x 0))与点（0，0）连线的斜率 B 组： 1、（课本P79习题3.1B 组 NO ：2）2、已知函数x x f =)(，求)(x f 在2=x 处的切线。
分析：f(x)在x=2处的切线的斜率就是f ’(2)。
解：xx xf x f xy ∆-∆+=∆-∆+=∆∆22)2()2()22()22)(22(+∆+∆+∆+-∆+=x x x x=221+∆+x所以：f ’(2)=42221)221(lim 0==+∆+→∆x x 所以，函数f(x)在x=2年的切线的斜率为：42所以所求的切线方程：y-2=42(x-2)即：42x-y+22=03、（1）求曲线y =f (x )=x 2+1在点P (1,2)处的切线方程.（2）求函数y =3x 2在点(1,3)处的导数.解：（1）222100[(1)1](11)2|limlim 2x x x x x xy x x=∆→∆→+∆+-+∆+∆'===∆∆,所以，所求切线的斜率为2，因此，所求的切线方程为22(1)y x -=-即20x y -=（2）因为222211113313(1)|limlimlim 3(1)611x x x x x x y x x x =→→→-⋅-'===+=--所以，所求切线的斜率为6，因此，所求的切线方程为36(1)y x -=-即630x y --=4、求函数f (x )=x x +-2在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．解：x xx x xy ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(22(1)(1)2(1)limlim (3)3x x y x x f x xx→→∆--+∆+-+∆-'-===-∆=∆∆。