讲义-数学七年级上册-第13讲-角

讲义

【知识梳理】

1．角的定义：

定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边．

定义2：角也可以看作是一条射线绕着其端点，从起始位置旋转到终止位置所组成的图形．

【注意】角的定义1是直接根据角的构成作出的静态定义，而定义2是以动态观点定义的，它强调角的形成过程．

2．角的表示方法：

角可用大写英文字母、阿拉伯数字或小写的希腊字母表示，具体的有四种表示方法．

(1)用三个大写英文字母表示任一个角，如图①所示，记作AOB

∠，其中O为角的顶点，A、B分别为角的两边上的点，“∠”是角的符号．

(2)在一个顶点处只有

．．一个角的角，我们也可以用一个表示顶点的大写字母表示

O

∠，如图①所示．

(3)用小写希腊字母表示，记作α

∠，如图①所示．

(4)用数学表示单独的一个角，记作1

∠，如图①所示．

【注意】表示角时应注意以下问题：(1)用三个大写字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写在两侧；

(2)在一个顶点处有两个及两个以上的角时，其中的任何一个角都不能用一个大写英文字母表示； (3)用小写希腊字母或数字不能表示超过一个以上的角. 3．方位角定义及其应用：

定义：轮船、飞机等物体运动的方向与正北方向之间的夹角称为方位角，如图所示．

【注意】

(1)方位角的正方向与地图中一样，为上北下南，左西右东．

(2)处于四个直角平分线上的方向，也分别被称为东南、东北、西南、西北．

(3)对于其他方向要用到“偏”这个字，例如：北偏东20︒，这里的“偏”字相当于旋转的意思，北偏东20︒，就是以正北方向的射线为始边，绕中心顺时针旋转20︒所成的角的终边所在的方向．一般在表示方向时，始边是正北或正南方向的射线． 4．角的大小比较方法：

角的大小比较一般有两种方法：

(1) 度量法：用量角器量出角的度数（量法与小学学习方法相同）．通过比较度数的大 小来确定角的大小．若用量角器测得130∠=︒，245∠=︒，

3045︒<︒，12∴∠<∠

(2)叠合法：如下图所示，把一个角放在另一个角上，使它们的顶点重合，并将其中一

边也重合，并使这两个角的另一边都放在这条边的同侧，就可以明显看出两个角的大小．如下图所示，先让顶点O 与E 重合，再让OA 边与EC 边重合，并且使另一边OB 、ED 在OA 的同侧；如果OB 与OD 重合，则表示这两个角相等，如图①，记作AOB COD ∠=∠．

如图①所示，如果OD 落在AOB ∠的外部，则表示AOB ∠小于AOD ∠，记作AOB AOD ∠<∠． 如图①所示，如果OD 落在AOB ∠的内部，则表示AOB ∠大于AOD ∠，记作AOB AOD ∠>∠

【例题精讲】

例1. 如图，图中共有多少个角？

【考点】角的概念与表示．

【解析】以OA 为始边的角有AOB ∠、AOC ∠、AOD ∠、AOE ∠，共4个，以OB 为始边的角有BOC ∠、

BOD ∠、BOE ∠，共3个，以OC 为始边的角有COD ∠、COE ∠共2 个，以OD 为始边的角有DOE ∠，

共1个，所以共有432110+++=（个）． 【答案】10个．

【教学建议】找角的个数与找线段方法一样，都按一定的方法分类，找角的个数可按顺时针方向数．也可按逆

时针方向数．本题也可看作过点O 引出5条射线共

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102

⨯=个角，若过点O 引出n 条射，则共有()12n n -个角，这和线段的计数方法一样（注意，此处角指小于平角的角）.

例2. 画出表示下列方向的射线：

(1)南偏东25︒方向；(2)北偏西60︒方向；(3)东南方向；(4)南偏西80︒方向． 【考点】角的概念与表示，方位角．

【解析】(1)以正南方向的射线为始边，逆时针逆转25︒，所成角的终边即为所求的射线，如图①所示． (2)以正北方向的射线为始边，逆时针旋转60︒，所成角的终边即为所求的射线，如图①所示． (3)以正南方向的射线为始边，逆时针旋转45︒，所成角的终边即为所求的射线，如隔①所示． (4)以正南方向的射线为始边，顺时针旋转80︒，所成角的终边即为所求的射线，如图①所示．

【答案】略．

【教学建议】教师需引导学生回顾角的表示和方位角的概念，在进行本题的解答，并且通过本题进一步正确理解方位角的概念，正确表示方位角．

【巩固测试】

1. 观察图所示各角，哪个角最大？有没有相等的角？用度量法比较角的大小，看看与观察的结果是否相同？

【考点】角的大比较．

【解析】估计1∠最大，2∠与3∠相等，

测量：1150∠=︒，2330∠=∠=︒，460∠=︒． 由以上测量得到的数据可知，测量的结果与观察结果相同． 【答案】1∠最大，2∠与3∠相等．

【教学建议】用度量法测量角的大小是常用的一种方法，但只为比较两个角的大小，靠观察也能判定．角的大小与边的长短无关，“开口”大的角就大，因此估计角的大小要从角的“开口”大小比较．

2. 已知40AOB ∠>︒，用量角器画出AOC ∠,使40AOC ∠=︒，然后比较AOB ∠和BOC ∠的大小． 【考点】角的大比较．

【解析】如图所示，当1AOC ∠在AOB ∠的内部时，1BOC AOB ∠<∠；

当2AOC ∠在AOB ∠的外部时，2BOC AOB ∠>∠.

【答案】略．

【教学建议】因为40AOB ∠>︒，要画出40AOC ∠=︒，所以AOB AOC ∠>∠，又因为OA 是两个角的一条公共边，所以可能在AOB ∠的内部也可能在AOB ∠的外部.