三垂线定理及其逆定理PPT课件

是PO在平面的射影,
A O a a ,a ⊥PO
α
求证：a ⊥AO
2020年10月2日
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例3 如果一个角所在平面外一点到角的两边
距离相等，那么这一点在平面上的射影在这
个角的平分线上。
P
EB O A
Байду номын сангаас
FC
已知：∠BAC在平面内，点P， PE⊥AB， PF⊥AC，PO⊥ ，垂足分别是E、F、O，PE=PF 求证：∠BAO=∠CAO
∴DO⊥BC，于是AD⊥BC.
2020年10月2日
A
D O
C
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练习
1.在正方体AC1中，E、G分别是AA1和CC1的中 点，F在AB上，且C1E⊥EF，则EF与GD所成
的角的大小为（ D ）
A 30° B 45°
C 60° D 90°
D1 A1 ED A
F
2020年10月2日
C1 B1 G MC B
证明：∵ PA⊥平面ABC
P
∴PC是平面ABC的斜线
∴AC是PC在平面ABC上的射影
∵BC平面ABC 且AC ⊥ BC
∴由三垂线定理得
A
PC ⊥ BC
B C
2020年10月2日
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例2 直接利用三垂线定理证明下列各题：
(1) PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点 求证：PO⊥BD，PC⊥BD
P
解
题 回
A
α
P
顾
D O
A 2020年10月2日
Oa
D
o
A
CA B
C
B P
P
C M
7
B
三垂线定理解题的关键：找三垂！
怎么找？
解 题
一找直线和平面垂直
P
回 二找平面的斜线在平面
顾
内的射影和平面内的 一条直线垂直
A Oa
注意：由一垂、二垂直接得出第三垂
并不是三垂都作为已知条件
2020年10月2日
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注意：如果将定理中“在平面内”的条
第九章
一、直 线 和 平 面
三垂线定理
2020年10月2日
1
三垂线定理
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条 斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。
已知 PA、PO分
别是平面的垂线、 斜线，AO是PO在平
面上的射影。a ，
a⊥AO。
求证： a⊥PO
A
Oa
2020年10月2日
2
证明： P
A
Oa
的直线b垂直于a在平面α内的射
影，则 a⊥b
（×）
⑶若a是平面α的斜线，直线b α
且b垂直于a在另一平面β内的射影
则a⊥b
（×）
⑷若a是平面α的斜线,b∥α,直线
b垂直于a在平面α内的射影，则
a⊥b
（√ ）
2020年10月2日
D
C
A
B
面ABCD →面α
面B1BCC1→面β 直线A1C →斜线 a 直线AB →垂线 b
D1
4.在ABCD—A1B1C1D1中，
C
求证：AC1⊥平面A1BD
D
2020年10月2日
P
A H C
B1 A1
B A
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演讲完毕，谢谢观看！
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件去掉，结论仍然成立吗？
例如：当 a⊥ 时，a⊥OA， 但a不垂直
解 于OP
P
a
题
回 顾
Oa
αA
直线a 一定要在平面内，如果a不在
平面内，定理就不一定成立。
2020年10月2日
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练习：
判断下列命题的真假：
D1
⑴若a是平面α的斜线，直线b垂直于
a在平面α内的射影，则 a⊥b （×） A1
C1 B1
⑵若 a是平面α的斜线，平面β内
2020年10月2日
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例4 在四面体ABCD中，已知AB⊥CD，AC⊥BD 求证：AD⊥BC
证明：作AO⊥平面BCD于点O， 连接BO，CO，DO，则BO， CO，DO分别为AB，AC， AD在平面BCD上的射影。
∵AB⊥CD，CD 平面BCD ∴BO⊥CD，同理CO⊥BD，
B 于是O是△BCD的垂心，
EB1是EC1在平面AB1 内的射影
EB1 ⊥EF DG∥AM∥EB1 EF ⊥DG
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2.已知 PA、PB、PC两两垂直， 求证：P在平面ABC内的射影是 △ABC的垂心。
3.经过一个角的顶点引这个角
B
所在平面的斜线，如果斜线和
这个角两边的夹角相等，那么
C1
斜线在平面上的射影是这个角
的平分线所在的直线。
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第九章 一、直 线 和 平 面
三垂线定理的逆定理
2020年10月2日
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三垂线定理包含几种垂直关系？
①线面垂直 ②线射垂直 ③ 线斜垂直
P
P
P
A Oa
A Oa
A Oa
α
α
α
直线和
平面垂直
2020年10月2日
平面内的直线 和平面一条斜 线的射影垂直
平面内的直线 和平面的一条 斜线垂直 12
三垂线定理的逆定理
汇报人：XXX 汇报日期：20XX年10月10日
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PA⊥
a
PA ⊥a AO⊥a
2020年10月2日
a⊥平面PAO
PO平面PAO
a⊥PO
3
注意：
P
三垂线定理是平面
的一条斜线与平面内的
e dc ob a
直线垂直的判定定理，
这两条直线可以是：
α
A
①相交直线
②异面直线
2020年10月2日
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例1 已知P 是平面ABC 外一点， PA⊥平面 ABC ，AC ⊥ BC， 求证： PC ⊥ BC
(2) 已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，M是BC的中点， 求证：BC⊥AM
(3) 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：A1C⊥B1D1，A1C⊥BC1
P
A
O B
(1)
2020年10月2日
D A
C
(2)
P
D1
C1
A1
B1
C
D
C
MA
B
B
(3) 6
我们要学会从纷繁的已知条件中找出 或者创造出符合三垂线定理的条件，怎么找？
线射垂直 P
？ P 线斜垂直
A Oa α
平面内的一条直线和 平面的一条斜线在平 面内的射影垂直
A Oa α
平面内的一条直 线和平面的一条 斜线垂直
2020年10月2日
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三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线 垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。
P
已知：PA，PO分别是平
面的垂线和斜线，AO