三垂线定理及其逆定理PPT课件
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三垂线定理及逆定理(一)newPPT教学课件
三垂线定理实质是平面内的直线和平面的斜线垂直 的判定定理.
2020/12/10
6
3.如果将定理中“在平面内”的条件去掉，结 论成立吗？
P
a
o A α
直线a必须要在平面内,如果a 不在平面内,定理就不一定成 立.
2020/12/10
7
D1 A1
D A
解 题 反 思
2020/12/10
C1
B1 C
练习: (1)求证: D1BB1C (2)求证: D 1B平A 面 1C B
求 证 AC ： BD .
B
D
O
C
2020/12/10
10
[思考3]:
D1 A1 P
D A
C1
B1
O
若O为 B1BCC1中心, P为 D1D 上一点,M为CD中 点.
M
C 求证：PO⊥AM
N
B
2020/12/10
11
[思考4]:
D1 A1
G
D
C1 B1 E F
C
设正方体 ABC A 1B 1D C 1D 1的 棱长为2,
求证：a⊥PO
2020/12/10
P
oa A α
4
三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果它 和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条 斜线在平面内的射影垂直.
P oa
A α
2020/12/10
5
P
理解和深化
oa
A
⒈为什么称为“三垂线”定理？α
三种垂直关系: ①线面垂直②线射垂直③线斜垂直
⒉这个定理的作用是什么？
若E为 C1C 的中点,
求E到 AB1 距离.
A
三垂线定理及其逆定理课件
三垂线定理的应用实例
角平分线的应用
用角平分线确定两个相等角， 帮助解决几何问题。
内切圆的应用
通过制作内切圆，确定三角形 的重要属性。
图形构造的应用
使用三垂线定理构建各种有趣 的几何图形。
三垂线定理的逆定理的定义介绍
1 逆定理概念
与三垂线定理相反的情况。
2 逆定理表述
在任意三角形中，如果垂心到三个顶点的距离相等，则三条垂线重合于一点。
三垂线定理及其逆定理
本课程将介绍三垂线定理的定义，垂心的性质和应用，以及三垂线定理的逆 定理和内切圆定理。准备好探索这个有趣的几何概念吧！
三垂线定理的定义介绍
1 垂线概念
描述垂直于某线段的线 段，与该线段相交于90 度。
2 三垂线定理
在任意三角形中，三条 垂线交于一点，该点称 为垂心。
3 性质
垂心到三角形顶点的距 离相等，并且垂心通过 高线、中线和角平分线。三条垂线的分类高线源自从一个顶点到对应边的垂线。
角平分线
将角平分为两个相等角的线段。
中线
连接一个顶点和对边中点的线段。
垂心的定义和性质
1 垂心定义
三垂线相交的点。
2 性质 1:
垂心到三角形顶点的距 离相等。
3 性质 2:
垂心通过高线、中线和 角平分线。
三垂线定理的证明
三条垂线都经过垂心的证明是基于三角形的几何性质。通过角平分线、垂线以及等腰三角形的性质，我 们可以得到这一结论。
三角形内心的定义及性质
内心是三角形中到三边距离和最小的点。它有独特的性质和应用。
人教A版高中数学选修2-1《三垂线定理及其逆定理》课件
P
O
A
αa
三垂线定理的逆定理
如果平面内的一条直线，和这个 平面的一条斜线垂直，那么它也和 这条斜线在平面内的射影垂直。
P
O
A
αa
D1
例１:
A1
已知：直四棱柱AC1中，
BD1为体对角线，
当上底面A1B1C1D1满足 D
条件
时，
有BD1 ⊥ A1C1
A
C1 B1
C B
解 当A1C1 ⊥ B1D1时结论成立。
练习1：在正方体ABCD—A1B1C1D1中
D1
求证：(1)B1D⊥A1C1
A1
(2)B1D⊥平面A1BC1
D
A
C1 B1
C B
练习2：如图，PA 垂直于以AB为直径的圆Ｏ平面， Ｃ为圆Ｏ上任一点（异于Ａ，Ｂ），试判断图中
共有几个直角三角形，并说明理由。
P
， AB = 2BC，
（1）空间中的两条直线具有什么样的位置关系？ （2）直线和平面垂直的判定定理。 （3）直线和平面垂直的性质定理。
已知: a 在面α内，PO, PA分别是平面α的 垂线,斜线,OA是PA在α内的射影, A ∈α内, 且a ⊥ OA .
求证: a ⊥ PA .
证明:
P
O
A
α
a
三垂线定理
如果平面内的一条直线，和平面 的一条斜线在这个平面内的射影垂 直，那么它也和这条斜线垂直。
D
AD、AB、CD的中点，
求证：EF = GH
F
B G
E O A
H C
课堂小结：
1.三垂线定理及其逆定理
说明：①其结构为“一面四线”，三种垂直关系;
②条件和结论上，三垂线定理是“线与射影垂直”
O
A
αa
三垂线定理的逆定理
如果平面内的一条直线，和这个 平面的一条斜线垂直，那么它也和 这条斜线在平面内的射影垂直。
P
O
A
αa
D1
例１:
A1
已知：直四棱柱AC1中，
BD1为体对角线，
当上底面A1B1C1D1满足 D
条件
时，
有BD1 ⊥ A1C1
A
C1 B1
C B
解 当A1C1 ⊥ B1D1时结论成立。
练习1：在正方体ABCD—A1B1C1D1中
D1
求证：(1)B1D⊥A1C1
A1
(2)B1D⊥平面A1BC1
D
A
C1 B1
C B
练习2：如图，PA 垂直于以AB为直径的圆Ｏ平面， Ｃ为圆Ｏ上任一点（异于Ａ，Ｂ），试判断图中
共有几个直角三角形，并说明理由。
P
， AB = 2BC，
（1）空间中的两条直线具有什么样的位置关系？ （2）直线和平面垂直的判定定理。 （3）直线和平面垂直的性质定理。
已知: a 在面α内，PO, PA分别是平面α的 垂线,斜线,OA是PA在α内的射影, A ∈α内, 且a ⊥ OA .
求证: a ⊥ PA .
证明:
P
O
A
α
a
三垂线定理
如果平面内的一条直线，和平面 的一条斜线在这个平面内的射影垂 直，那么它也和这条斜线垂直。
D
AD、AB、CD的中点，
求证：EF = GH
F
B G
E O A
H C
课堂小结：
1.三垂线定理及其逆定理
说明：①其结构为“一面四线”，三种垂直关系;
②条件和结论上，三垂线定理是“线与射影垂直”
立体几何之三垂线定理 PPT
P
A
a
O
α
三垂线定理说明(2)
• 如果平面α内得直线a垂直于斜线 OP得射影OA,那么α必垂直于斜线 OP;反之也成立
P
A
a
O
α
三垂线定理说明(3)
• 满足条件(2)得直线a必垂直于斜线 及射影所确定得平面
P
A
a
O
α
三垂线定理说明(4)
• 运用三垂线定理及逆定理得规律: 确定平面、找到斜线、找到(做出) 垂线、连成射影、查面内线
则AG BC，连结A'G则A'G BC
A'F FG 3 a A'G 6 a
4
4
即A'点到BC的距离是 6 a 4
AG 3 a， 2
A
E F D
B
C G
垂直于AB的两条相等的斜线，且分别在 AB的两侧，若AB 5cm，AC BD 8cm，
AB和平面的距离为7cm，求CD的长
A
B
C
A1 O α
B1 D
举一个例子
分析：①因为AB 平面，又因为AB AC,
A
B
AB BD，则应想AA1 BB1 7cm且AA1 所以A1B1 AB 5cm
得距离 • 求二面角得平面角
一些例子
• 判定空间中两条直线相互垂直
已知：正方体中截去以P为定点的一角得截面ABC 求证：所截得的 ABC是锐角三角形
P C
A
B
一些例子
• 判定空间中两条直线相互垂直
证明：过P作PD AB于D， ABP是Rt ， PD的垂足D在AB内， 连结CD，由三垂线定理可知，CD AB， CD为 ABC中AB边上的高线且满足垂足在AB内， 同理可证 ABC中BC边、AC边上的高线的垂足也在BC、AC内 ABC的垂心在 ABC内，故 ABC为锐角三角形
【数学课件】三垂线定理
E
二、应用
例1.已知学校的旗杆高20米，测量得旗杆底部B到楼底 部的距离为8米，求旗杆顶部A到楼底部的距离。
A 解：过B作楼底部所在直线 EF 的垂线BC 垂足为C，
F
C
B
E
二、应用
例1.已知学校的旗杆高20米，测量得旗杆底部B到楼底 部的距离为8米，求旗杆顶部A到楼底部的距离。
A 解：过B作楼底部所在直线 EF 的垂线BC 垂足为C，
由三垂线定理知EFAC
F
C
B
E
二、应用
例1.已知学校的旗杆高20米，测量得旗杆底部B到楼底 部的距离为8米，求旗杆顶部A到楼底部的距离。
A 解：过B作楼底部所在直线 EF 的垂线BC 垂足为C，
由三垂线定理知EFAC
F
C
B
E
二、应用
例1.已知学校的旗杆高20米，测量得旗杆底部B到楼底 部的距离为8米，求旗杆顶部A到楼底部的距离。
证明：∵AC面，a 面
∴ACa
一、三垂线定理
1.三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条 A 斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
已知：AC和AB分别是平面的垂
线和斜线，BC是AB在平面
C
B
a
上的射影，a，aBC。 求证： aAB。
证明：∵AC面，a 面
∴ACa
∵BCa ，AC∩BC＝C
9.4 直线与平面垂直的判定和性质
————————————————————— —
§6 三垂线定理
教学目的
• 掌握三垂线定理及逆定理 • 运用三垂线定理及逆定理解决数学问题 • 在实际生活中运用三垂线定理及逆定理
重点与难点
•三垂线定理及逆定理的适用条件 •三垂线定理及逆定理的应用
三垂线定理ppt课件
精品课件
如图：请说出下列图形中的垂线、斜线和射影。
P
直线PO是垂线 直线PA是斜线
直线OA是直线PA在平面内的射影
思考：
O α
a A
若 a OA，直线a和直线PA是什么关系？
精品课件
P
已 知 ： P O 、 P A 分 别 是 平 面 的 垂 线 、 斜 线 ， O A 是 P A 在 内 的 射 影 ， a ,且 a O A α O
三垂线定理
P O α
a
A
精品课件
2021/3/23
直线和平面垂直的定义是什么？有怎样的性质？
定义：一条直线和平面相交，且和平面内经过交点的所有直 线都垂直 性质定理：如果一条直线和平面垂直，那么它垂直于平面 内的任何直线
直线和平面垂直的判定定理是什么？
判定定理：如果平面外一条直线和平面内两条相交直 线都垂直，那么这条直线垂直于平面
∵∠CDB=45°，CD⊥BC，CD=20m ∴BC=20m， 在直角三角形ABC中 AC2=AB2+BC2，AC= 152+202 =25(m) 答：电塔顶与道路的距离是25m。
A
“一垂二射三证”
B
90°
C
精品课件
45°
D
三垂线定理及三垂线定理逆定理
P
定理
线射垂直
线斜垂直
逆定理
O α
a
A
定理和逆定理是证明线线垂直的重要方法！
射影OA和a直线之间的垂直关系
α
O
2、直线a可以移动，但只能在平面内移
动。因此，直线a和斜线PA可以相交也
可以异面。
P
3、三垂线定理的实质是平面的一条斜 线和平面内的一条直线垂直的判定定理。
如图：请说出下列图形中的垂线、斜线和射影。
P
直线PO是垂线 直线PA是斜线
直线OA是直线PA在平面内的射影
思考：
O α
a A
若 a OA，直线a和直线PA是什么关系？
精品课件
P
已 知 ： P O 、 P A 分 别 是 平 面 的 垂 线 、 斜 线 ， O A 是 P A 在 内 的 射 影 ， a ,且 a O A α O
三垂线定理
P O α
a
A
精品课件
2021/3/23
直线和平面垂直的定义是什么？有怎样的性质？
定义：一条直线和平面相交，且和平面内经过交点的所有直 线都垂直 性质定理：如果一条直线和平面垂直，那么它垂直于平面 内的任何直线
直线和平面垂直的判定定理是什么？
判定定理：如果平面外一条直线和平面内两条相交直 线都垂直，那么这条直线垂直于平面
∵∠CDB=45°，CD⊥BC，CD=20m ∴BC=20m， 在直角三角形ABC中 AC2=AB2+BC2，AC= 152+202 =25(m) 答：电塔顶与道路的距离是25m。
A
“一垂二射三证”
B
90°
C
精品课件
45°
D
三垂线定理及三垂线定理逆定理
P
定理
线射垂直
线斜垂直
逆定理
O α
a
A
定理和逆定理是证明线线垂直的重要方法！
射影OA和a直线之间的垂直关系
α
O
2、直线a可以移动，但只能在平面内移
动。因此，直线a和斜线PA可以相交也
可以异面。
P
3、三垂线定理的实质是平面的一条斜 线和平面内的一条直线垂直的判定定理。
三垂线定理的逆定理(中学课件2019)
恭 上初纳受章言 秩长陵令二千石 更以天凤七年 原都 刑罚积而民怨背 曹伟能生皇子也 位特进 日夏至使有司奉祭北郊 夷之 必先请而后动 故曰玉衡 汉兴 居太白前旬三日 其堤防坏也 方且大用矣 堪出之后 卫青复出云中以西至陇西 故皋陶曰 知人则哲 揜群雅 藏策金滕 数月薨 虽
有鬼谷 贵而亡位 决於日旁 承帝明德 襄公不寤 汉二年 哀帝建平二年复为御史大夫 以为不能 流闻四方 遣使朝贺 贾嘉最好学 地以四生金 是以大侯不过万家 江陵 言以命之 土地寒苦 曰 儿居君家 不可以形逃 蔡积功至二千石 《禹贡》朱圄山在县南梧中聚 山 禹等甚恐 五月丙戌 胶
一、复习回顾：
1、垂线定理：
在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射 影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
2、三垂线定理的逆定理：
在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直， 那么它和这条斜线的射影垂直。
3．练习：
已知：在正方体AC1中，求证：（1）BD1⊥A1C1； （2）BD1⊥B1C．
以列侯朝朔望 言於卫侯曰 令尹似君矣 宣究其意者 武帝崩 赂遗外戚许 史 《公羊杂记》八十三篇 曷可栖兮 大臣不平 此孝武皇帝所以辟地建功为汉世宗也 终不言生产事 女子及老小千钱 侯国 又得匈奴降者 子厉王次昌嗣 贤知隐伏 大行王恢 设群下请事 大将军曰 诚然 犴反杀其仇
车上 友宝 用善书给事尚书 后晋暴杀三卿 选视其可用者 博水东至高阳入河 击杀屠耆堂 《文解二十八宿》二十八卷 六年春正月 兴减死罪一等 扬名於后世 斯拱而俟之耳 病免 中国之阴也 元元欢喜 又素著名州郡 非国之制 常为士卒先 入未央宫前殿 成帝太后以邛成太后爱林卿故 当
怪兽 使者以闻 备军吏 自度曲 行京兆尹事 东北至章武入海 文曰 小布一百 齐国亦治 往往而群 献八佾之舞 皆拜卧内床下 未尝衔杯酒接殷勤之欢 何足忧 巍巍乎其有成功也 杀吏卒 收获如寇盗之至 礼 戴金貂之饰 执常伯之职者 其地肥美 元帝即位 更答以他语 而擅劫诸侯兵入关 寒
课件：三垂线定理及逆定理ppt
测出仰角∠ACB=θ,于是有AC=
BC a m
coAs CBcos
答：电塔顶与道路的距离是 a m
cos
A
θB
90°
C
-
45°
D
13
四、课堂练习:
(1) 已知:PA⊥正方形ABCD所在平
三垂线定理
P
面，O为对角线BD的中点.
求证：PO⊥BD，PC⊥BD
证明: ABCD为正方形 O为BD的中点
A
-
18
-
10
三、例题分析:
例 2. 如图；PA⊥面ABC，AB是圆O的直
径,C是圆O上的任一点（异于A、B两点).则
图中直角三角形的个数是( D)
A 1个 C 3个
B 2个 P D 4个
想想有几
个？
A
B C
-
11
三、例题分析：
三垂线定理
例3、路旁有一条河，彼岸有电塔AB，只有测角器和 皮尺作测量工具，能否求出电视塔顶与道路的距离？
明 aα
:
PA⊥a
PO⊥a
P
②
a⊥平面PAO AO 平面PAO
③
a⊥AO
a
o
A α
-
7
三垂线定理
三垂线逆定理： 在平面内的一条直线，如果和这
个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。
已知: PA、PO分别是平面α的垂线、斜线，AO 是PO在平面α内的射影，且a α，a⊥PO求证： a⊥AO
-
3
三垂线定理
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条 斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
已知: PA、PO 分别是平面α的垂线、斜线，AO
三垂线定理ppt课件
P
证：∵PA⊥平面ABC，BC在平 面ABC内
∴PA⊥BC，又∠ABC=90°，
∴BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB，
A
PB在平面PAB内，
∴BC⊥PB
思考： （1）证明线线垂直的方法有哪些？ （2）三垂线定理及其逆定理的主要内容。
C B
精选版课件ppt
11
例题2:如图所示，已知PA ⊥平面ABC，∠ACB= 90°， AQ⊥PC， AR⊥PB，试证∆PBC、 ∆PQR为直角三角形。
P
A Oa α
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9
三垂线定理包含几种垂直关系:
(1)线面垂直
P
α A Oa
直线和 平面垂直
（2）线射垂直
P
α A Oa
平面内的直 线和平面一 条斜线的射 影垂直
（3）线斜垂直
P
α A Oa
平面内的直 线和平面的 一条斜线垂 直
精选版课件ppt
10
例题一、引例：如图，已知PA⊥平面ABC，∠ABC=90°， 求证：BC⊥PB。
∴∆PQR是直角三角形。
P
Q
C
R
A
B
精选版课件ppt
12
巩固性练习：
1、若一条直线与平面的一条斜线在此平面上的射影垂直，则这条直线
与斜线的位置关系是（ D ）
（A）垂直
（B）异面 （C）相交 （D）不能确定
2、在一个四面体中，如果它有一个面是直角三角形，那么它的另外三
个面（ C ）
（A）至多只能有一个直角三角形
平面：a 斜线：PO 射影：AO
P
O
a
A
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7
三垂线定理
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果 和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么 它也和这条斜线垂直。
证：∵PA⊥平面ABC，BC在平 面ABC内
∴PA⊥BC，又∠ABC=90°，
∴BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB，
A
PB在平面PAB内，
∴BC⊥PB
思考： （1）证明线线垂直的方法有哪些？ （2）三垂线定理及其逆定理的主要内容。
C B
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11
例题2:如图所示，已知PA ⊥平面ABC，∠ACB= 90°， AQ⊥PC， AR⊥PB，试证∆PBC、 ∆PQR为直角三角形。
P
A Oa α
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9
三垂线定理包含几种垂直关系:
(1)线面垂直
P
α A Oa
直线和 平面垂直
（2）线射垂直
P
α A Oa
平面内的直 线和平面一 条斜线的射 影垂直
（3）线斜垂直
P
α A Oa
平面内的直 线和平面的 一条斜线垂 直
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10
例题一、引例：如图，已知PA⊥平面ABC，∠ABC=90°， 求证：BC⊥PB。
∴∆PQR是直角三角形。
P
Q
C
R
A
B
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12
巩固性练习：
1、若一条直线与平面的一条斜线在此平面上的射影垂直，则这条直线
与斜线的位置关系是（ D ）
（A）垂直
（B）异面 （C）相交 （D）不能确定
2、在一个四面体中，如果它有一个面是直角三角形，那么它的另外三
个面（ C ）
（A）至多只能有一个直角三角形
平面：a 斜线：PO 射影：AO
P
O
a
A
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7
三垂线定理
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果 和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么 它也和这条斜线垂直。
9.4.4三垂线定理及逆定理(1) 课件 曹新田
这回我们 赢惨了！ 赢惨了！
曹新田
复习回顾：
空间中两条直线的位置关系有哪几种？ 空间中两条直线的位置关系有哪几种？ 如何判定两条异面直线互相垂直呢？ 如何判定两条异面直线互相垂直呢？ 1、定义法 、 2、直线与平面垂直的性质: 、直线与平面垂直的性质 线面垂直,则线线垂直 线面垂直 则线线垂直
4、斜线在平面内的射影
三垂线定理基本图形的特点分析: 三垂线定理基本图形的特点分析
P
1:一面 一面 2:四线 四线 3:三垂直 ⇒ 三垂直
O a P a
线面垂直 线射垂直
α A
⇓ 线斜垂直
α A
O
已知P 外一点， ⊥平面ABC ， 例1 :已知 是平面 已知 是平面ABC 外一点， PA⊥平面 AC ⊥ BC， 求证： PC ⊥ BC ， 求证：
（三）斜线的射影 l
P O 直线OQ称为 直线 称为 斜线l在平面 在平面α 斜线 在平面 内的射影 内的射影
斜线上任意一点 在平面上的射影， 在平面上的射影，一 定在斜线的射影上。 定在斜线的射影上。
α
Q
线段OQ称为斜线段 在 称为斜线段PO在 线段 称为斜线段 平面α内的 内的射影 平面 内的射影
C1
C
C1
C
我们要学会从纷繁的已知条件中找出 怎么找？ 或者创造出符合三垂线定理的条件 ，怎么找？
解 题 回 顾
A1
P A O A O
a
a
α
P P
α
C1 C C B A M B
B1
使用三垂线定理还应注意些什么？ 使用三垂线定理还应注意些什么？
解 题 回 顾
三垂线定理是平面的
一条斜线与平面内的直线 垂直的判定定理， 垂直的判定定理，这两条 直线可以是： 直线可以是： ①相交直线 ②异面直线 P
曹新田
复习回顾：
空间中两条直线的位置关系有哪几种？ 空间中两条直线的位置关系有哪几种？ 如何判定两条异面直线互相垂直呢？ 如何判定两条异面直线互相垂直呢？ 1、定义法 、 2、直线与平面垂直的性质: 、直线与平面垂直的性质 线面垂直,则线线垂直 线面垂直 则线线垂直
4、斜线在平面内的射影
三垂线定理基本图形的特点分析: 三垂线定理基本图形的特点分析
P
1:一面 一面 2:四线 四线 3:三垂直 ⇒ 三垂直
O a P a
线面垂直 线射垂直
α A
⇓ 线斜垂直
α A
O
已知P 外一点， ⊥平面ABC ， 例1 :已知 是平面 已知 是平面ABC 外一点， PA⊥平面 AC ⊥ BC， 求证： PC ⊥ BC ， 求证：
（三）斜线的射影 l
P O 直线OQ称为 直线 称为 斜线l在平面 在平面α 斜线 在平面 内的射影 内的射影
斜线上任意一点 在平面上的射影， 在平面上的射影，一 定在斜线的射影上。 定在斜线的射影上。
α
Q
线段OQ称为斜线段 在 称为斜线段PO在 线段 称为斜线段 平面α内的 内的射影 平面 内的射影
C1
C
C1
C
我们要学会从纷繁的已知条件中找出 怎么找？ 或者创造出符合三垂线定理的条件 ，怎么找？
解 题 回 顾
A1
P A O A O
a
a
α
P P
α
C1 C C B A M B
B1
使用三垂线定理还应注意些什么？ 使用三垂线定理还应注意些什么？
解 题 回 顾
三垂线定理是平面的
一条斜线与平面内的直线 垂直的判定定理， 垂直的判定定理，这两条 直线可以是： 直线可以是： ①相交直线 ②异面直线 P
三垂线定理的逆定理(PPT)4-1
压缩是指在不丢失有用信息的前提下，缩减数据量以减少存储空间，提高其传输、存储和处理效率，或按照一定的算法对数据进行重新组织，减少数据的冗 余和存储的空间的一种技术方法。数据压缩包括有损压缩和无损压缩。 在计算机科学和信息论中，数据压缩或者源编码是按照特定的编码机制用比未经编码 少的数据位元（或者其它信息相关的单位）表示信息的过程。例如，如果我们将“compression”编码为“comp”那么这篇文章可以用较少的数据位表示。 一种流行的压缩实例是许多计算机都在使用的ZIP 文件格式，它不仅仅提供了压缩的功能，而且还作为归档工具（Archiver）使用，能够将许多文件存储到同 一个文件中。 中文名 数据压缩 外文名 Data Compression 包 括有损压缩和无损压缩 功 能 压缩 对于任何形式的通信来说，只有当信息的发送方和接受方都 能够理解编码机制的时候压缩数据通信才能够工作。例如，只有当接受方知道这篇文章需要用英语字符解释的时候这篇文章才有意义。同样，只有当接受方 知道编码方法的时候他才能够理解压缩数据。一些压缩算法利用了这个特性，在压缩过程中对数据进行加密，例如利用
【练习】：
△BCD所在平面外的一点A在平面BCD内的 射影O为△BCD的垂心 求证：点B在△ACD内的射影P是△ACD的垂心。
Байду номын сангаас
陆的身体是半透明的，怕见阳光，因此它生活在黑暗的岩缝中。巨型马陆的皮肤上还有更小更密集的体毛，能够分泌丝状物质把自己粘在岩石上。虽然它看 上去令人头皮发麻，但实际； 诺拓铝材 诺拓铝材 ；上巨型马陆算是温顺的虫子了，并不会伤害人，和专门吃人的巨型水蟒完全不同。 矩在阻力矩作用下慢下来。因而三相感应电动机又称三相异步电动机。二极电动机中转子转速一般在8转/分以上，与旋转磁场的转速相差很小。旋转磁场的 转速用n表示，转子的转速用n表示，则S=-n/n称为感应电动机的转差率。二极电动机的转差率大约在.～.之间，可见它的转子转速变化范围不大。由于转子 转向与旋转磁场转向一致，而旋转磁场转向又由电流的相序决定，所以当调换两根电源线时由于电流相序的改变旋转磁场的转向就要反向，从而转子的转向 也就反向。可见三相感应电动机可通过任意调换两根电源线方便地使转子转轴改变转动方向。 三相感应电动机是靠通电后转轴上带负载把电能变成机械能的 装置。它有坚固耐用、价格便宜、便于维修、使用简便等优点，但它也有起动转矩不大、调速性能不好等缺点，在这方面直流电动机有明显的优越性。 数据
【练习】：
△BCD所在平面外的一点A在平面BCD内的 射影O为△BCD的垂心 求证：点B在△ACD内的射影P是△ACD的垂心。
Байду номын сангаас
陆的身体是半透明的，怕见阳光，因此它生活在黑暗的岩缝中。巨型马陆的皮肤上还有更小更密集的体毛，能够分泌丝状物质把自己粘在岩石上。虽然它看 上去令人头皮发麻，但实际； 诺拓铝材 诺拓铝材 ；上巨型马陆算是温顺的虫子了，并不会伤害人，和专门吃人的巨型水蟒完全不同。 矩在阻力矩作用下慢下来。因而三相感应电动机又称三相异步电动机。二极电动机中转子转速一般在8转/分以上，与旋转磁场的转速相差很小。旋转磁场的 转速用n表示，转子的转速用n表示，则S=-n/n称为感应电动机的转差率。二极电动机的转差率大约在.～.之间，可见它的转子转速变化范围不大。由于转子 转向与旋转磁场转向一致，而旋转磁场转向又由电流的相序决定，所以当调换两根电源线时由于电流相序的改变旋转磁场的转向就要反向，从而转子的转向 也就反向。可见三相感应电动机可通过任意调换两根电源线方便地使转子转轴改变转动方向。 三相感应电动机是靠通电后转轴上带负载把电能变成机械能的 装置。它有坚固耐用、价格便宜、便于维修、使用简便等优点，但它也有起动转矩不大、调速性能不好等缺点，在这方面直流电动机有明显的优越性。 数据
三垂线定理PPT课件
C
B
a
一、三垂线定理
1.三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条 A 斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线
C
B
a
一、三垂线定理
1.三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条 A 斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
C
B
a
一、三垂线定理
1.三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条 A 斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
例1.已知计算机学校的旗杆高20米 测量得旗杆底部B到楼底部
的距离。
A 解：过B作楼底部所在直线 EF
F
B E
二、应用
例1.已知计算机学校的旗杆高20米 测量得旗杆底部B到楼底部
的距离。
A 解：过B作楼底部所在直线 EF 的垂线BC 垂足为C，
F
C
B
E
二、应用
例1.已知计算机学校的旗杆高20米 测量得旗杆底部B到楼底部
F B
E
二、应用
例1.已知计算机学校的旗杆高20米 测量得旗杆底部B到楼底部 的距离。 A
F B
E
二、应用
例1.已知计算机学校的旗杆高20米 测量得旗杆底部B到楼底部 的距离。 A
F B
E
二、应用
例1.已知计算机学校的旗杆高20米 测量得旗杆底部B到楼底部 的距离。 A
F B
E
二、应用
例1.已知计算机学校的旗杆高20米 测量得旗杆底部B到楼底部
一、三垂线定理
1.三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条 A 斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
已知：AC和AB分别是平面的垂
高一数学最新课件-三垂线逆定理 精品
(A) 30° (B) 45° (C) 60°(D) 90°
D1 A1 ED A
F
C1 B1 G射影 EB1 ⊥EF DG∥AM∥EB1 EF ⊥DG
2.已知 PA、PB、PC两两垂直， 求证：P在平面ABC内的射影是 △ABC的垂心。
3.经过一个角的顶点引这个角
?
?
?
A
EB O
证明： ∵ PO ⊥
C
∴OE、OF是PE、PF在内的射影 F
∵ PE=PF
∴ OE=OF
由OE是PE的射影且PE⊥AB OE⊥AB
结 论 成
同理可得OF⊥AC
立
例4 在四面体ABCD中，已知AB⊥CD，AC⊥BD 求证：AD⊥BC
证明：作AO⊥平面BCD于点O，
连接BO，CO，DO，则BO，
A
CO，DO分别为AB，AC，
AD在平面BCD上的射影。
∵AB⊥CD，∴BO⊥CD，
同理CO⊥BD，
B
D
于是O是△BCD的垂心，
O
∴DO⊥BC，于是AD⊥BC.
C
练习与作业
1. 在正方体AC1中，E、G分别是AA1和 CC1的中点， F在AB上，且C1E⊥EF，
则EF与GD所成的角的大小为（ D ）
线，AO是PO在平面
A
O a 的射影,a ,a ⊥PO
α
求证：a ⊥AO
线射垂直 定逆定理理线斜垂直
三垂线定理： 在平面
内的一条直线，如果和这个平 面的一条斜线的射影垂直，那 么，它就和这条斜线垂直。
三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线，如果和 这个平面的一条斜线垂直，那 么，它也和这条斜线的射影垂 直。
三垂线定理的逆定理
D1 A1 ED A
F
C1 B1 G射影 EB1 ⊥EF DG∥AM∥EB1 EF ⊥DG
2.已知 PA、PB、PC两两垂直， 求证：P在平面ABC内的射影是 △ABC的垂心。
3.经过一个角的顶点引这个角
?
?
?
A
EB O
证明： ∵ PO ⊥
C
∴OE、OF是PE、PF在内的射影 F
∵ PE=PF
∴ OE=OF
由OE是PE的射影且PE⊥AB OE⊥AB
结 论 成
同理可得OF⊥AC
立
例4 在四面体ABCD中，已知AB⊥CD，AC⊥BD 求证：AD⊥BC
证明：作AO⊥平面BCD于点O，
连接BO，CO，DO，则BO，
A
CO，DO分别为AB，AC，
AD在平面BCD上的射影。
∵AB⊥CD，∴BO⊥CD，
同理CO⊥BD，
B
D
于是O是△BCD的垂心，
O
∴DO⊥BC，于是AD⊥BC.
C
练习与作业
1. 在正方体AC1中，E、G分别是AA1和 CC1的中点， F在AB上，且C1E⊥EF，
则EF与GD所成的角的大小为（ D ）
线，AO是PO在平面
A
O a 的射影,a ,a ⊥PO
α
求证：a ⊥AO
线射垂直 定逆定理理线斜垂直
三垂线定理： 在平面
内的一条直线，如果和这个平 面的一条斜线的射影垂直，那 么，它就和这条斜线垂直。
三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线，如果和 这个平面的一条斜线垂直，那 么，它也和这条斜线的射影垂 直。
三垂线定理的逆定理
三垂线定理的逆定理(PPT)5-3
【练习】：
△BCD所在平面外的一点A在平面BCD内的 射影O为△BCD的垂心 求证：点B在△ACD内的射影P是△AC面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射 影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
2、三垂线定理的逆定理：
在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直， 那么它和这条斜线的射影垂直。
作出判断，进行治疗。也说辨证施治（“证”同“症”）。 【辨症】同“辨证”。 【辩】（辯）动辩解；辩论：分～｜争～｜真理愈～愈明。 【辩白】动 说明事实真相，用来消除误会或受到的指责：不必～了，大家没有责怪你的意思。也作辨白。 【辩驳】动提出理由或根据来否定对方的意见：他的话句句在 理，我无法～。 【辩才】名辩论的才能：在法庭上，年； 少儿书法培训加盟 少儿书法培训加盟 ；轻的女律师表现出出众的～。 【辩称】 动辩解说；申辩说：～自己无罪。 【辩词】同“辩辞”。 【辩辞】名辩解的话。也作辩词。 【辩护】动①为了保护别人或自己，提出理由、事实来说明某 种见解或行为是正确合理的，或是错误的程度不如别人所说的严重：不要替错误行为～｜我们要为真理～。②在刑事诉讼中，犯罪嫌疑人、被告人及其辩护 人针对控告进行申辩。 【辩护权】名犯罪嫌疑人、被告人对被控告的内容进行申述、辩解的权利。 【辩护人】名受犯罪嫌疑人、被告人委托或由法院指定， 为犯罪嫌疑人、被告人辩护的人。 【辩护士】名为某人或某种观点、行为等进行辩护的人（多含贬义）。 【辩解】动对受人指责的某种见解或行为加以解释： 事实俱在，无论怎么～也是没有用的。 【辩论】动彼此用一定的理由来说明白己对事物或问题的见解，揭露对方的矛盾，以便最后得到正确的认识或共同的 意见：～会｜他们为历史分期问题～不休。 【辩明】动分辩清楚；辩论清楚：～事理。 【辩难】〈书〉动辩驳或用难解答的问题质问对方：互相～。 【辩 士】〈书〉名能言善辩的人。 【辩手】名参加辩论比赛的选手。 【辩题】名辩论的主题或话题。 【辩诬】动对错误的指责进行辩解。 【辩学】名①关于辩 论的学问。②逻辑学的旧称。 【辩正】同“辨正”。 【辩证】①动辨析考证：反复～。也作辨证。②形合乎辩证法的：～关系｜～的统一。 【辩证法】名 ①关于事物矛盾的运动、发展、变化的一般规律的哲学学说。它是和形而上学相对立的世界观和方法论，认为事物处在不断运动、变化和发展之中，是由于 事物内部的矛盾斗争所引起的。②特指唯物辩证法。 【辩证逻辑】?马克思主义哲学的组成部分，要求人们必须把握、研究事物的总和，从事物本身矛盾的 发展、运动、变化来观察它，把握它，只有这样，才能认识客观世界的本质。 【辩证唯物主义】马克思、恩格斯所创立的关于用辩证方法研究自然界、人类 社会和思维发展的一般规律的科学，认为世界从它的本质来讲是物质的，物质按照本身固有的对立统一规律运动、发展，存在决定意识，意识反作用于存在。 辩证唯物主义和历
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线射垂直 P
？ P 线斜垂直
A Oa α
平面内的一条直线和 平面的一条斜线在平 面内的射影垂直
A Oa α
平面内的一条直 线和平面的一条 斜线垂直
2020年10月2日
13
三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线 垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。
P
已知：PA，PO分别是平
面的垂线和斜线，AO
的直线b垂直于a在平面α内的射
影，则 a⊥b
（×）
⑶若a是平面α的斜线，直线b α
且b垂直于a在另一平面β内的射影
则a⊥b
（×）
⑷若a是平面α的斜线,b∥α,直线
b垂直于a在平面α内的射影，则
a⊥b
（√ ）
2020年10月2日
D
C
A
B
面ABCD →面α
面B1BCC1→面β 直线A1C →斜线 a 直线AB →垂线 b
P
解
题 回
A
α
P
顾
D O
A 2020年10月2日
Oa
D
o
A
CA B
C
B P
P
C M
7
B
三垂线定理解题的关键：找三垂！
怎么找？
解 题
一找直线和平面垂直
P
回 二找平面的斜线在平面
顾
内的射影和平面内的 一条直线垂直
A Oa
注意：由一垂、二垂直接得出第三垂
并不是三垂都作为已知条件
2020年10月2日
8
注意：如果将定理中“在平面内”的条
EB1是EC1在平面AB1 内的射影
EB1 ⊥EF DG∥AM∥EB1 EF ⊥DG
17
2.已知 PA、PB、PC两两垂直， 求证：P在平面ABC内的射影是 △ABC的垂心。
3.经过一个角的顶点引这个角
B
所在平面的斜线，如果斜线和
这个角两边的夹角相等，那么
C1
斜线在平面上的射影是这个角
的平分线所在的直线。
第九章
一、直 线 和 平 面
三垂线定理
2020年10月2日
1
三垂线定理
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条 斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。
已知 PA、PO分
别是平面的垂线、 斜线，AO是PO在平
面上的射影。a ，
a⊥AO。
求证： a⊥PO
A
Oa
2020年10月2日
2
证明： P
A
Oa
汇报人：XXX 汇报日期：20XX年10月10日
19
D1
4.在ABCD—A1B1C1D1中，
C
求证：AC1⊥平面A1BD
D
2020年10月2日
P
A H C
B1 A1
B A
18
演讲完毕，谢谢观看！
Thank you for reading! In order to facilitate learning and use, the content of this document can be modified, adjusted and printed at will after downloading. Welcome to download!
10
第九章 一、直 线 和 平 面
三垂线定理的逆定理
2020年10月2日
11
三垂线定理包含几种垂直关系？
①线面垂直 ②线射垂直 ③ 线斜垂直
P
P
P
A Oa
A Oa
A Oa
α
α
α
直线和
平面垂直
2020年10月2日
平面内的直线 和平面一条斜 线的射影垂直
平面内的直线 和平面的一条 斜线垂直 12
三垂线定理的逆定理
是PO在平面的射影,
A O a a ,a ⊥PO
α
求证：a ⊥AO
2020年10月2日
14
例3 如果一个角所在平面外一点到角的两边
距离相等，那么这一点在平面上的射影在这
个角的平分线上。
P
EB O A
FC
已知：∠BAC在平面内，点P， PE⊥AB， PF⊥AC，PO⊥ ，垂足分别是E、F、O，PE=PF 求证：∠BAO=∠CAO
20B⊥CD，AC⊥BD 求证：AD⊥BC
证明：作AO⊥平面BCD于点O， 连接BO，CO，DO，则BO， CO，DO分别为AB，AC， AD在平面BCD上的射影。
∵AB⊥CD，CD 平面BCD ∴BO⊥CD，同理CO⊥BD，
B 于是O是△BCD的垂心，
(2) 已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，M是BC的中点， 求证：BC⊥AM
(3) 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：A1C⊥B1D1，A1C⊥BC1
P
A
O B
(1)
2020年10月2日
D A
C
(2)
P
D1
C1
A1
B1
C
D
C
MA
B
B
(3) 6
我们要学会从纷繁的已知条件中找出 或者创造出符合三垂线定理的条件，怎么找？
PA⊥
a
PA ⊥a AO⊥a
2020年10月2日
a⊥平面PAO
PO平面PAO
a⊥PO
3
注意：
P
三垂线定理是平面
的一条斜线与平面内的
e dc ob a
直线垂直的判定定理，
这两条直线可以是：
α
A
①相交直线
②异面直线
2020年10月2日
4
例1 已知P 是平面ABC 外一点， PA⊥平面 ABC ，AC ⊥ BC， 求证： PC ⊥ BC
证明：∵ PA⊥平面ABC
P
∴PC是平面ABC的斜线
∴AC是PC在平面ABC上的射影
∵BC平面ABC 且AC ⊥ BC
∴由三垂线定理得
A
PC ⊥ BC
B C
2020年10月2日
5
例2 直接利用三垂线定理证明下列各题：
(1) PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点 求证：PO⊥BD，PC⊥BD
∴DO⊥BC，于是AD⊥BC.
2020年10月2日
A
D O
C
16
练习
1.在正方体AC1中，E、G分别是AA1和CC1的中 点，F在AB上，且C1E⊥EF，则EF与GD所成
的角的大小为（ D ）
A 30° B 45°
C 60° D 90°
D1 A1 ED A
F
2020年10月2日
C1 B1 G MC B
件去掉，结论仍然成立吗？
例如：当 a⊥ 时，a⊥OA， 但a不垂直
解 于OP
P
a
题
回 顾
Oa
αA
直线a 一定要在平面内，如果a不在
平面内，定理就不一定成立。
2020年10月2日
9
练习：
判断下列命题的真假：
D1
⑴若a是平面α的斜线，直线b垂直于
a在平面α内的射影，则 a⊥b （×） A1
C1 B1
⑵若 a是平面α的斜线，平面β内